prec alculo - dariocamargo0077.files.wordpress.com · la resta y el rec proco o inverso aditivo ......

Precalculo

Departamento de MatematicasUniversidad de los Andes

Indice general

1. Numeros, sistemas numericos y operaciones 1

1.1. Operaciones en los sistemas numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Jerarquıa de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Reglas de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4. La resta y el recıproco o inverso aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5. Factorizacion de numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Multiplicacion y division de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2. Suma y resta de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3. Como encontrar el mınimo comun denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4. Numeros mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1. Decimales y numeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2. Numeros reales y sus operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3. Porcentajes y regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.4. Aplicaciones a la geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4. Orden en la recta numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.1. La recta real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.3. Valor absoluto y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5. Exponentes y Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.1. Exponentes Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.2. Notacion Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6. Manejo de radicales y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

i

ii INDICE GENERAL

1.6.1. Exponentes racionales, propiedades y racionalizacion . . . . . . . . . . . . . 59

1.7. Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Capıtulo 1

Numeros, sistemas numericos yoperaciones

Figura 1.1: Historia de los numeros 1

1

2 CAPITULO 1. NUMEROS, SISTEMAS NUMERICOS Y OPERACIONES

La historia de los numeros se remonta 40.000 anos atras. Existen huesos con muescas, encontradosen el Africa, que dan testimonio de los primeros ensayos de “numeracion” abstracta. El mas antiguoes el hueso de Lebombo, de por lo menos 35.000 anos, que tiene 29 muescas sencillas alusivas almes lunar. El hueso de Isango, que data de hace mas de 20.000 anos, tiene incisiones que seagrupan de maneras distintas, que podrıan dar la idea de operaciones numericas. Hacia 10.000anos a.C., las muestras de numeracion se vuelven mas comunes entre los primeros agricultores,especialmente en el Medio Oriente, cuando comienza a haber excedentes agrıcolas que promuevenel comercio. En los sitios arqueologicos de Mesopotamia, se han encontrado cuentas o fichas de barrococido que se utilizaban para registrar cantidades diferentes de distintos productos. La forma de lacuenta dependıa del producto y de su cantidad. Paulatinamente, la numeracion se fue tornando massofisticada; de fichas se paso a tablillas de barro cocido, y en estas, la numeracion se volvio muchomas compleja como se observa en tablillas elaboradas en la epoca de Hammurabi (1800 a.C.), elgran rey de Babilonia que conquisto un territorio amplio de la media luna fertil y le dio uno de losprimeros codigos escritos.

En el siglo VI d.C. durante el reino de los Gupta en el noroccidente de la India, aparecen los primerosindicios de la numeracion decimal posicional que usamos actualmente. Esta se esparce gradualmentehacia occidente junto con algoritmos parecidos a los nuestros para ejecutar operaciones con numerosde tamanos arbitrarios. Hacia el 800 d.C. desde Bagdad, Al-Juarismi comienza a popularizarla, juntocon el algebra, en el imperio arabe.

La entrada a Europa de la numeracion indo-arabica comienza con los escritos de Leonardo de Pisa,conocido tambien como Fibonacci, a principios del siglo XIII. Ya para principios del siglo XVIIItanto los numeros como los signos algebraicos se parecen mucho a los nuestros como se observa enla cita de Newton de la figura siguiente. Ademas, los numeros irracionales y negativos que habıansido discriminados, comienzan a usarse sin reservas, y aun los numeros imaginarios y complejospierden el misterio con Euler hacia mediados del siglo. Sin embargo, la comprension rigurosa delos numeros reales se demoro hasta la decada de 1870, cuando fueron publicados los tratados deCantor y Dedekind explicandolos.

Figura 1.2: Historia de los numeros 2

1.1. OPERACIONES EN LOS SISTEMAS NUMERICOS 3

1.1. Operaciones en los sistemas numericos

1.1.1. Conjuntos numericos

Definicion 1.1. Se llama conjunto a cualquier coleccion de objetos o de individuos. Los objetosse llaman los elementos del conjunto. Si x es un elemento de un conjunto S, escribimos x ∈ S ydecimos que x pertenece al conjunto S, si x no es un elemento del conjunto S; escribimos x /∈ S,o x no pertenece a S. Con esta terminologıa podemos referirnos al conjunto de todas las letras, alconjunto de estudiantes de la universidad de los Andes que estudian Matematicas, al conjunto detodos los numeros naturales, etc.

En el tema de los numeros nos referiremos a los siguientes conjuntos:

El conjunto de los numeros naturales, N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, donde los puntos suspensivosindican que los elementos del conjunto continuan indefinidamente.

El conjunto de los numeros enteros, Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}, donde los puntossuspensivos indican que los elementos del conjunto continuan indefinidamente a la derecha ya la izquierda.

El conjunto de los numeros racionales, Q ={r = m

n : m,n ∈ Z, n 6= 0}

. Es el conjunto delos numeros que pueden escribirse como divisiones o razones de enteros. Se entiende que dosde estas razones son iguales si los productos del numerador de una por el denominador de laotra son iguales. Es decir, m

n = rs si ms = rn.

Desde Grecia Antigua (400 a.C.) se sabe que hay otros numeros que no se pueden escribir comorazones de enteros, como

√2,√

3,√

5 y√

6, numeros que por este motivo fueron llamadasirracionales. Hoy sabemos que hay una infinidad de este tipo de numeros. Actualmente nosreferimos al conjunto de estos numeros, junto con los numeros racionales, como el conjuntode los numeros reales, R. Ver figura XX.

Figura 1.3: El sistema numerico

Dentro de estos grandes conjuntos numericos, podemos describir conjuntos mas pequenos de dosmaneras. Por ejemplo, el conjunto de enteros positivos menores que 8, se puede describir como

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

listando explicitamente sus elementos, o exhibiendo una propiedad comun que cumplen sus elemen-tos, como

T = {x ∈ N|0 < x < 9}.


Definicion 1.2. Si tenemos dos conjuntos A y B los podemos unir y formar un nuevoconjunto denotado A ∪B, llamado A union B. A ∪B es el conjunto de todos los elementosque estan en el conjunto A o en el conjunto B o en ambos.

Tambien podemos formar el conjunto A interseccion B, A ∩ B, que consiste de todos loselementos comunes a los conjuntos A y B.

El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacio y se nota ∅.

Por ultimo, podemos comparar dos conjuntos, diciendo que uno esta contenido en el otro o no.A esta contenido en B, notado A ⊆ B, si todos los elementos de A son tambien elementosde B.

Teorema 1.1. Es claro que si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B, y recıprocamente. Ası mismo,si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. Finalmente, ∅ ⊆ A, cualquiera que sea A, porque como elconjunto vacıo no tiene elementos podemos decir que todos sus elementos son tambien elementosde A.

Ejemplo 1.1. Consideremos los conjuntos

A = {1, 2, 3, 4, 5},B = {1, 2, 5, 10},C = {3, 6, 9},T = {x ∈ N|0 ≤ x ≤ 9},

entonces se tiene que:

A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 10},A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}B ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10}A ∩B = {1, 2, 5}A ∩ C = {3}B ∩ C = ∅.

Ademas observamos que A ⊆ D y C ⊆ D.

1.1.2. Jerarquıa de las operaciones

En esta seccion tratamos las cuatro operaciones usuales: adicion, sustraccion, multiplicacion ydivision. Ademas, hablamos de potencias y raıces de una manera muy elemental. Para entenderlas potencias en este momento, basta decir que expresan, de una forma abreviada, multiplicacionesrepetidas de un mismo numero, como a5 = a · a · a · a · a o 23 = 2 · 2 · 2 = 8. La raız expresa laoperacion inversa a la potenciacion, como 3

√8 = 2, porque 23 = 8.

Ahora bien, tratandose de estas operaciones, las expresiones aritmeticas, que combinan signos de


Figura 1.4: Calvin

operaciones y numeros, no se ejecutan de izquierda a derecha de la manera en que se leen, sino quedebe respetarse la siguiente jerarquıa.

A no ser que haya parentesis, primero se computan las potencias y raıces; luego las multiplicacionesy divisiones, de izquierda a derecha; y por ultimo las sumas y las restas.

Si hay parentesis, primero deben computarse las expresiones dentro de las mas internas, siguiendoel mismo orden de las operaciones.

Estas reglas para los computos, ası como los sımbolos que usamos hoy, +, -, /, ... se establecieronen el siglo XVII.

Ejemplo 1.2. Las siguientes expresiones se computan de izquierda a derecha.

8 + 5− 9 + 3− 1 = 13− 9 + 3− 1 = 4 + 3− 1 = 7− 1 = 6 primero se suman 8 y 5 que dan13, luego se resta 9, y ası sucesivamente hasta obtener 6. Ası mismo:

3 · 8/4 = 24/4 = 6

24/8 · 4 = 3 · 4 = 12

24/6/2 = 4/2 = 2

Ejemplo 1.3. En las siguientes expresiones se debe respetar la jerarquıa de las operaciones.

10 − 3· 2 + 5 · 3 − 8 · 2/4 = 10 − 6 + 15 − 4 = 15. En este ejemplo se efectuan primero lasmultiplicaciones y divisiones.

10− 32 + 3 · 23 −√

4 · 9 = 10− 9 + 3 · 8− 2 · 9 = 10− 9 + 24− 18 = 7. En este, van primerolas potencias y raıces, para luego calcular los productos.

[30− (10/2+2 ·32)] · [5+3 · (4−2)2] = [30− (5+2 ·9)] · [5+3 ·22] = [30− (5+18)] · [5+3 ·4] =[30 − 23] · [5 + 12] = 7 · 17 = 119. En esta expresion se calculan primero los parentesis enordern comenzando por los de adentro.

Los parentesis pueden tomar la forma de lıneas continuas encima o debajo de la expresion comosucede en las fracciones y las raıces. En la expresion siguiente se debe calcular la suma de cuadradosantes de la raız porque se encuentra debajo de una lınea continua.√

32 + 42 =√

(9 + 16) =√

25 = 5

y en la expresion8 + 2 · 3

6− 4= (8 + 2 · 3)/(6− 4) = 14/2 = 7

la linea continua reemplaza dos pares de parentesis.

1.1.3. Reglas de los signos

Los numeros enteros, racionales y reales estan separados por el cero, en los positivos o mayores quecero, que estan a la derecha del cero en la recta numerica, y los negativos o menores que cero, queestan a la izquierda del cero . Por ejemplo, −4 es menor que cero, escrito −4 < 0, y 3 es mayor quecero, escrito 3 > 0. El cero no es ni positivo ni negativo.

En la discusion que sigue necesitamos hablar tambien del valor absoluto de un numero, |a|, que esla distancia del numero al cero en la recta numerica; este numero siempre es positivo, excepto parael cero para el que es cero. Por ejemplo: |3| = 3, | − 5| = 5, |0| = 0.

Las adiciones y substracciones de numeros se explican mejor graficamente con movimientos en larecta numerica. Para la adicion, a+ b, comience en el numero a de la recta y muevase |b| unidadesa la derecha si b > 0 o a la izquierda si b < 0.

En la substraccion los movimientos se hacen al reves; por eso se dice que la substraccion es laoperacion inversa a la adicion. Para la resta, a− b, comience en el numero a de la recta y muevase|b| unidades a la izquierda si b > 0 o a la derecha si b < 0

En resumen, en las adiciones deben seguirse las siguientes instrucciones.

Para sumar numeros del mismo signo se suman sus valores absolutos adjuntandole el signocomun de los numeros.

3 + 5 = |3|+ |5| = 8

(−3) + (−5) = −(|3|+ |5|) = −8.

Para sumar numeros de distinto signo se resta el menor de los valores absolutos del mayor yluego se le adjunta el signo del numero con mayor valor absoluto.

3 + (−5) = −(| − 5| − |3|) = −(5− 3) = −2

−3 + 5 = +(|5| − | − 3|) = (5− 3) = 2

.

Por su parte, para las multiplicaciones y divisiones, se multiplican o dividen los valores absolutosy el signo del resultado obedece las siguientes reglas.

Si ambos numeros son positivos o negativos, el resultado es positivo.

3 · 5 = −5 · (−3) = 15

15/5 = −15/(−5) = 3

3/5 = −3/(−5) =3

5


Figura 1.5: Sumas y restas en la recta numerica


Si los numeros tienen signos diferentes, el resultado es negativo.

−3 · 5 = 3 · (−5) = −15

15/(−5) = −15/5 = −3

3/(−5) = −3/5 = −3

5

1.1.4. La resta y el recıproco o inverso aditivo

Cuando escribimos a para hablar de un numero, este puede ser positivo, negativo o cero y, segunel caso, −a, el recıproco de a, va a ser negativo, positivo o cero, respectivamente. Todo numero atiene un recıproco −a: el de 4, por ejemplo, es −4; el de −3 es 3; y el de 0 es 0.

Cuando se suma un numero con su recıproco, el resultado es 0, numero que se conoce como elelemento neutro de la adicion: a+ (−a) = 0

Ademas, como la sustraccion es la operacion que deshace la adicion, ((a menos b)) se define como lasuma de a con el recıproco de b: a− b = a+ (−b).

3− 5 = 3 + (−5) = −2

3− (−5) = 3 + 5 = 8

El siguiente cuadro ilustra las propiedades de los numeros y sus recıprocos.

Cuadro 1.1: Propiedades de recıprocos

1.1.5. Factorizacion de numeros naturales

Un concepto importante entre los numeros naturales, N, es el de la factorizacion.

Definicion 1.3. Factorizar un numero significa encontrar numeros, llamados factores, que almultiplicarlos den el numero. Por ejemplo, el numero 36 se puede factorizar en 4 ·9 o en 3 ·12 o en6 · 6.

Ası como 36 se puede factorizar de diferentes maneras, existen numeros mayores que uno,llamados primos, que solo pueden factorizarse en el numero mismo por uno, como 2, 3, 5, 7o 13...; el cero y el uno no se consideran primos.

Por consiguiente, al factorizar un numero mayor que uno y seguir factorizando sus factores sucesi-vamente, eventualmente llega el punto en que todo los factores son primos. Estos factores se puedenordenar, poniendo los repetidos en terminos de potencias, con lo cual se obtiene la forma estandarde la factorizacion o descomposicion prima del numero. Ası por ejemplo, 36 = 22 · 33, 625 = 54

y 720 = 24 · 32 · 5. En el caso de los numeros primos, la factorizacion se reduce al mismo numero:2 = 2, 3 = 3, 29 = 29, 163 = 163. Este hecho lo podemos resumir en el siguiente teorema.

Teorema 1.2. Todo numero natural mayor que uno se puede descomponer en factores primos deuna manera unica.

1.1.6. Ejercicios

1. Describa N, Z, Q y R. ¿Que nombre se les da a estos conjuntos? Ilustre algunos de suselementos en la recta numerica.

2. Explique por que

a) N ⊆ Zb) Z ⊆ Q

3. Escriba en notacion de conjuntos:

a) El conjunto de los enteros iguales o mayores que −3 y estrictamente menores que 5.

b) El conjunto de los numeros naturales pares. Escriba este conjunto sin utilizar puntossuspensivos.

c) El conjunto interseccion de los dos conjuntos anteriores.

4. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} , C = {x ∈ N | 8 ≤ x < 10},encuentre:

a) A ∩Bb) A ∪Bc) A ∩ C

5. Diga si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique

a) 0 ∈ Nb) {0} ∈ Nc) {0} ⊆ Nd) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∈ Ne) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ⊆ N

6. Escriba los sımbolos adecuados: ∈, ⊆, ∩, ∪, ∅, en los espacios provistos:

a) ∅ Nb) {1} Nc) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {8, 9} = ∅d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}


e) {5, 7} ∩ ∅ =

7. Jerarquıa de las operaciones

a) 6 + 2− 9 + 3− 7 = (Ilustre estas operaciones en la recta numerica)

b) 7 · 8/4 =

c) 8/4 · 2 =

d) 8/4/2 =

e) 5− 3 · 2 + 4/2− 8 + 5 · 2 =

f ) 2 + 10/2 · 3 + 4− 5 · 2− 8 · 2/4 =

g) −32 + 10/2 · 4− 5 · 2− 8 + 2 · 23 =

8. Si x = −1 y y = 2, cuanto valen:

a) 2x3 − 3xy

b) (2x)3 − 3xy

c) 2(x3 − 3x)y

9. La cima del monte Everst esta a 8891 m sobre el nivel del mar, el mar Caspio esta 14 m bajoel nivel del mar. ¿Cual es la diferencia de altura entre los dos sitios?

10. Escriba las siguientes restas como la suma de un numero mas el inverso aditivo de otro:

a) 3− 8

b) 7− (−5)

11. Parentesis, jerarquıa de las operaciones y propiedades de los signos

a) [15− (23 − 10/2)] · [5 + (3 · 2− 4)]− 32 + (−8 + 2 · 3)4 =

b) ¿Cual es la diferencia entre −34 y (−3)4?

c) ¿Cual es la diferencia entre −23 y (−2)3?

d) Calcule√

32 + 42 (¿Que sımbolo hace las veces de parentesis, en este caso?)

e) Calcule (−3)2+63−4·5 (¿Que sımbolo hace las veces de parentesis, en este caso?)

f ) Calcule 5+2·35−6 (¿Por que no se pueden simplificar los cincos en este caso?)

g) Colocando parentesis de diferentes maneras, escriba expresiones distintas que representen((el producto de 3 menos que x por el doble de x incrementado en 1))

h) Escriba la siguiente expresion sin parentesis −3(−a)− (−2)5 + b(−2)

12. Factorice los siguientes numeros enteros como producto de dos factores, luego descompongalosen primos: 72, 132, 1252.

1.2. NUMEROS RACIONALES 11

Figura 1.6: Carlitos

1.2. Numeros racionales

En la seccion 1.1 se definieron los numeros racionales − llamados tambien fracciones − como ladivision o la razon entre dos enteros, pq = p/q, donde q 6= 0. Al numero de arriba, p, se le llama nu-merador y al de abajo, q, denominador. De la palabra ((razon)) se deriva el nombre ((racionales))que se les da a estos numeros.

Si p es divisible por q, al efectuar la division se obtiene un numero entero, es decir, un numero deZ. El conjunto de los numeros racionales, que notamos Q, comprende tanto a las razones que alefectuar la division dan un entero como a las que no, por lo que Z ⊆ Q.

Vale la pena repasar el concepto mas elemental de fraccion pq interpretandola como la cantidad de

pastel que se obtiene al reunir una porcion de cada pastel del resultado de dividir p pasteles cadauno en q porciones iguales. Ası observamos rapidamente que 2

6 = 13 porque es lo mismo tomar dos

porciones de 16 que una de 1

3 .

En general se tiene quenp

nq=p

q.

Por ejemplo,6

12=

3

6=

1

2.

Se dice que uno reduce una fraccion cuando divide su numerador y su denominador por el mismonumero entero, de manera que estos terminos sigan dando enteros, y cuando no es posible seguirdividiendolos se dice que la fraccion se encuentra reducida a su mınima expresion.


En algunos casos puede ser conveniente multiplicar numerador y denominador por un mismo numeroentero para amplificar una fraccion sabiendo que el valor de la fraccion no cambia. Como ya sevio, otra manera de descubrir que dos fracciones p

q y rs son iguales consiste en ver si son iguales

los productos del numerador de una por el denominador de la otra, ps = rq. Ası, 34 = 12

16 porque3 · 16 = 12 · 4.

1.2.1. Multiplicacion y division de fracciones

Volviendo al ejemplo de los pasteles, si pedimos la tercera parte de la mitad del pastel, sabemosque es la sexta parte. Esta situacion se modela con el producto de las fracciones 1

3 ·12 = 1

6 .

Igualmente, si se pide 23 de 3

5 se entiende que es el producto 23 ·

35 = 6

15 = 25 .

La multiplicacion de fracciones se efectua tomando como numerador al producto de los numeradoresy como denominador al producto de los denominadores. La preposicion ((de)) indica multiplicacion

El ultimo ejemplo sirve para mostrar que se puede reducir la fraccion que resulta antes de efectuarlas multiplicaciones, cancelando factores comunes del numerador y el denominador:

Entre los numeros racionales, con la excepcion del cero, todo numero, pq tiene un inverso multipli-

cativo qp : el de −4, por ejemplo, es −1

4 ; el de 13 es 3; y el de 3

4 es 43 . En general, si a es un numero

diferente de cero, su inverso multiplicativo es 1a , notado con frecuencia a−1.

Cuando se multiplica un numero por su inverso multiplicativo, el resultado es 1, numero que seconoce como el elemento neutro de la multiplicacion: p

q ·qp = 1 o simplemente a · a−1 = 1

Adicionalmente, ası como la substraccion es la operacion que deshace a la adicion, la division es laoperacion que deshace la multiplicacion. Por esta razon a÷ b se define como el producto de a conel inverso multiplicativo de b: a/b = a · b−1.

3/5 = 3 · 1

5=

3

5

3÷ 2

5= 3 · 5

2=

15

2


5243

=5

2· 3

4=

15

8

1.2.2. Suma y resta de fracciones

De nuevo con el ejemplo de los pasteles vemos que es muy facil representar la suma o la resta dedos fracciones que tengan el mismo denominador. Por ejemplo si queremos sumar 2

5 + 15 partimos el

pastel en cinco porciones, tomamos 2 porciones y le agregamos 1 porcion para obtener 3 porciones,es decir, 2

5 + 15 = 3

5 . Igual de facil resulta la resta: 45 −

25 = 2

5 , con lo cual podemos resumir lo queencontramos en la siguiente regla.

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradoresdejando el mismo denominador.

El problema esta al sumar o restar fracciones con diferente denominador. La solucion esta enamplificar una o las dos fracciones para que ambas tengan el mismo denominador o un ((denominadorcomun)) y luego sumarlas o restarlas como ya se ha descrito. Por ejemplo:

Para sumar 23 + 1

6 vemos que 23 es lo mismo que 4

6 y, por lo tanto,

2

3+

1

6=

4

6+

1

6=

5

6.


Para sumar 16 + 1

4 vemos que al amplificar 16 por 2 y 1

4 por 3, obtendremos dos fracciones conel mismo denominador 2

12 y 312 , y por lo tanto,

1

6+

1

4=

2

12+

3

12=

5

12.

Para sumar o restar fracciones con denominadores distintos, se amplifican las fracciones para quetengan el mimo denominador y luego se suman o restan los numeradores dejando el mismo deno-minador.

1.2.3. Como encontrar el mınimo comun denominador

Una forma infalible de encontrar un comun denominador para varias fracciones consiste en mul-tiplicar todos sus denominadores. Sin embargo, este denominador comun generalemente no es elmınimo y puede resultar muy grande y engorroso. Por esta razon se recomienda encontrar el mıni-mo comun denominador, es decir el mas pequeno de los denominadores comunes. Para encontrarlo,una manera sencilla consiste en listar los multiplos de cada denominador en forma ascendente hastaencontrar el primer multiplo que aparece en todas las listas.

Por ejemplo, para encontrar el mınimo comun denominador para las fracciones 34 ,16 ,29 , se hacen las

siguientes listas:

Los multiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

Los multiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

Los multiplos de 9: 9, 18, 27, 36, ...,


para descubrir que 36 es el mınimo comun denominador pues es el primer multiplo que aparece entodas las listas. Luego, las tres fracciones se pueden escribir con el mismo denominador como

3

4=

27

36,

1

6=

6

36,

2

9=

8

36.

Si se hubieran multiplicado los tres denominadores se habrıa encontrado un comun denominador4 · 6 · 9 = 216, que es bastante mas grande.

Otra manera mas tecnica para encontrar el mınimo comun denominador consiste en descomponer losdenominadores en factores primos y multiplicar los factores primos que aparecen, con el exponentemayor que tenga en alguna de las decomposiciones. Por ejemplo, para encontrar el mınimo comundenominador para las fracciones 3

4 , 1240 ,29 hallamos primero las descompocisiones en factores primos

de los denominadores en cuestion:

4 = 22

240 = 24 · 3 · 5

9 = 32.

Los numeros primos que aparecen son 2, 3 y 5, donde los exponentes mayores son 4, 2 y 1 respec-tivamente. Luego el mınimo comun denominador es:

24 · 32 · 5 = 720.

Las fracciones con este denominador comun se escriben:

3

4=

540

720,

1

240=

3

720,

2

9=

160

720.

1.2.4. Numeros mixtos

Los numeros mixtos son una forma de escribir racionales cuyo valor absoluto es mayor que uno enuna parte entera y otra fraccionaria como 11

2 ,−423 y 31

7 . Su significado, en cada caso es

11

2= 1 +

1

2

−42

3= −(4 +

2

3)


Cuadro 1.2: Propiedades de las fracciones

31

7= 3 +

1

7.

Por lo tanto, se pueden expresar como fraccionarios puros haciendo la suma de fracciones.

11

2= 1 +

1

2=

2

2+

1

2=

3

2

−42

3= −(4 +

2

3) = −12

3+

2

3=

14

3

31

7= 3 +

1

7=

21

7+

1

7=

22

7.

Esta operacion se puede resumir con el siguiente algoritmo:

Para convertir un numero mixto en fraccionario puro se multiplica la parte entera por el denomi-nador de la parte fraccionaria y se suma el resultado al numerador. De denominador se utiliza eldenominador de la parte fraccionaria.

1.2.5. Ejercicios

Multiplicacion y division de fracciones

1. Simplifique las siguientes fracciones:

a) 1624

b) 213


c) 1352

d) 3660

2. Escriba las siguientes divisiones como productos:

a) 2x÷ 5

b)325

c) 2−x2+x4

3. Escriba los siguientes productos como divisiones:

a) a · 14b) 3 · 35

4. Efectue las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones. No olvide simplificar siempre

a)4b

5c· ac

2b

b)4b

5c÷ bc

10

c)4b5c

2c

d)ac3ba6

5. Encuentre2

3de

5

4

6. Sume o reste las siguientes fracciones, segun se indique, pensando en porciones de pastel:

a) 23 + 5

6

b) 13 −

14

c) 13 −

14

d) 25 −

310

e) 32 − 1

7. Encuentre el mınimo comun denominador de los siguientes conjuntos de fracciones:

a) 23 ,

34 ,

56

b) 516 ,

14 ,

112

c) 17 ,

14 , 2

d) 25 ,

13 ,

34

8. Efectue las siguientes operaciones de fracciones:

a) 23 + 3

4 −56

b) 516 + 1

4 + 112

c) 17 −

14 + 2


d) 25 −

13 −

34

e) 25(10− 5

2)

f ) (2 + 25)(1− 1

3)

g) 225

−252

9. Convierta los siguientes numeros mixtos en fraccionarios puros:

a) 423

b) −134

c) −315

d) 517

10. Convierta las fracciones en numeros mixtos:

a) 73

b) −94

c) 255

d) 257

1.3. Numeros reales

La definicion rigurosa de los numeros reales no se alcanzo sino hasta la decada de 1870. Parapresentar el concepto de numero real de manera entendible al nivel de este libro, es necesariocomenzar por la escritura decimal de los numeros racionales. Los numeros arabigos que comenzarona usarse en Europa hacia el siglo XII tuvieron sus comienzos hacia el siglo IV en la India, pasandoluego al mundo arabe a traves del matematico musulman persa, al-Jwarizmi, en el siglo noveno.A pesar de que hubo algunos matematicos musulmanes que usaron fracciones decimales desde esesiglo, los cientıficos europeos solo comenzaron a usar este tipo de fracciones entre los siglos XVI yXVII.

1.3.1. Decimales y numeros irracionales

La escritura de numeros en forma decimal no necesitan presentacion. Consiste en anotar una parteentera a la izquierda y otra fraccionaria a la derecha, separadas por un punto o una coma. En estelibro utilizaremos la coma llamada coma decimal. Al utilizar solamente diez dıgitos, se requierede un sistema posicional para representar todos los numeros. En la parte entera las posiciones sedenominan, de derecha a izquierda, unidades, decenas, centenas, etc., mientras que las posicionesfraccionarias son, de izquierda a derecha desde la coma decimal, decimas, centesimas, milesimas,etc. Resulta, entonces, que un numero escrito en esta forma es una suma de dıgitos multiplicadospor las que llamamos potencias de 10. Por ejemplo:

342, 7159 = 3 · 100 + 4 · 10 + 2 +7

10+

1

100+

5

1000+

9

10000.

Este numero, por lo tanto, puede escribirse como el numero mixto,

1.3. NUMEROS REALES 19

342, 7159 = 3427159

10000.

De ahı se desprende el algoritmo para convertir un numero decimal en un numero mixto:

Se escribe la parte entera seguida por la fraccion cuyo numerador es la parte fraccionaria y cuyodenominador es la potencia de diez escrita como un 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene laparte fraccionaria. Si es necesario, esta parte fraccionaria se debe reducir a su mınima expresion.

Para convertir una numero fraccionario en una fraccion decimal, se divide el numerador por eldenominador. Supondremos que el lector conoce como se efectua este tipo de division que resultaen un numero decimal. En este numero la parte fraccionaria puede resultar en un numero infinitode dıgitos, pero en este caso siempre sera periodica, repitiendose uno o un conjunto de numeros alinfinito. Para representar esta repeticion de dıgitos utilizaremos una raya encima de los dıgitos quese repiten. Por ejemplo:

3

4= 0, 75

1

3= 0, 3

2

7= 0, 285714

−23

8= −2, 375.

Esto suscita una nueva pregunta. ¿Como se convierte un decimal periodico en una fraccion? Porejemplo, como se convierte 34, 523 = 34, 523232323... en fraccionario?

Primero decimos que x = 34, 523 = 34, 523232323.... Observamos que su perıodo tiene dos dıgitos,luego multiplicamos x por 102 = 100 corriendo la coma dos posiciones a la derecha, para obtener100x = 3452, 323 = 3452, 3232323.... Ahora restamos:

100x = 3452, 323 = 3452, 3232323...

−x = −34, 523 = 34, 523232323...

para obtener:99x = 3417, 80 = 3417, 800000000... = 3417, 8

Finalmente despejamos x, dividiendo ambos lados de la ecuacion por 99, y amplificamos la fraccion,si es necesario, para que no quede la coma decimal en la fraccion. Ası:

x =3417, 8

99=

34178

990.

Al hacer esta transformacion con un numero x cualquiera con decimal periodico, debemos recordarque hay que multiplicar x por 10n donde n es el numero de dıgitos en el perıodo para que se corrala coma n posiciones a la derecha.

Existe una aparente paradoja en los numeros decimales pues los decimales que tienen perıodo 9tienen dos formas de escribirse. Por ejemplo:


Si x = 0, 9, al transformarlo en una fraccion, se resta:

10x = 9, 9

−x = −0, 9

para obtener

9x = 9, 0 = 9

De donde,

x =9

9= 1

Luego el numero uno tiene dos escrituras 0, 9 = 1, 0. En realidad no es una contradiccion puestoque a los numeros escritos en forma decimal de desarrollo infinito hay que entenderlos como lımites,concepto que se define en los cursos de calculo. Otros numeros semejantes son: 3, 9 = 4, 0 y 0, 129 =0, 130.

Numeros irracionales

En esta discusion se vio que los numeros racionales siempre tienen un desarrollo decimal que o bienes finito o bien periodico y no se hablo nada de numeros que tengan un desarrollo decimal infinitono-periodico. Estos son los numeros que no son racionales, o sea, los irracionales.

Teorema 1.3. Un numero es irracional si su desarrollo decimal no es ni finito ni periodico.

Hay una infinidad de numeros irracionales. Estan los que empezaron a descubrir los griegos, como√2,√

3,√

5,√

6,..., 3√

2, etc. y otros, como

π = 3, 14159265358979323846...y

e = 2, 7182818284590452353....

Muchos se pueden construir con un poco de ingenio, mostrando su desarrollo decimal infinitono periodico con un patron que indique como es. Por ejemplo, el numero cuyo desarrollo es lasecuencia de todos los numeros naturales, 0, 123456789101112131415..., es irracional, como tambienlos siguientes:

0, 101001000100001...

0, 112123123412345123456...

1, 3579111315171921...

56, 556655566655556666....

Adicionalmente, los que mas abundan son los de desarrollo infinito sin ningun patron.


1.3.2. Numeros reales y sus operaciones

Los numeros reales comprenden tanto los racionales como los irracionales. Los podrıamos definircomo todos los numeros que se pueden denotar en el sistema decimal, con desarrollos finitos,infinitos periodicos o infinitos no periodicos. Sobre ellos se definen las cuatro operaciones que yahemos mencionado, la adicion, la multiplicacion, la sustraccion y la division, para formar un sistemanumerico muy completo que se usa en toda la matematica.

Muchas de las propiedades de las operaciones entre numeros reales son comunes a todos los sistemasnumericos que hemos presentado aca, otras rigen solo para ellos y para los numeros racionales.Probablemente ya conocen las propiedades conmutativas de la adicion y de la multiplicacion: ((elorden de los sumandos o de los factores no altera el resultado)). Tambien esta la propiedad asociativa:((cuando se suman o multiplican mas de dos cantidades, no importa como se agrupen)).

En la siguiente tabla se presentan las propiedades mas importantes.

Cuadro 1.3: Propiedades de numeros reales

Redondeo En la practica, es importante poder recortar los numeros reales para usar aproxima-ciones del numero mas o menos precisas, segun el requerimiento. El metodo mas utilizado es elsiguiente.

Primero, se decide cual es el ultimo dıgito que se desea guardar.

Se conserva este dıgito, si el siguiente dıgito a la derecha es menor que 5.

Se le suma uno a este dıgito, si el siguiente dıgito a la derecha es mayor o igual a 5.

Este metodo se conoce como redondeo.

Por ejemplo, al redondear el numero 0, 285714 a la centesima mas cercana se obtiene 0, 29; a lamilesima mas cercana se obtiene 0, 286 y a la diezmilesima mas cercana, 0, 2857. Igualmente, alredondear el numero π a la milesima mas cercana se obtiene 3, 142. Vemos, por lo tanto, que elredondeo se puede hacer tan preciso como se quiera.

1.3.3. Porcentajes y regla de tres

El nombre de regla de tres se le da a los problemas de proporcion directa o inversa donde se dantres numeros y se pide encontrar un cuarto.

Por ejemplo: Si una docena de huevos vale $3600, ¿cuanto valen 30 huevos? Este problema se puederesumir de la siguiente manera:

12 −→ 3600

30 −→ x


y para resolverlo se puede plantear cualquiera de las siguientes ecuaciones:

12

30=

3600

x

12

3600=

30

x

x

30=

3600

12.

Lo importante es no revolver los datos que se dan. De cualquier manera, la solucion es:

x =30 · 3600

12

o sea, $9000 valen los 30 huevos.

En este problema a mayor numero de huevos, mayor el precio total, y se dice que la regla de treses simple pues la proporcion es directa. Sin embargo, hay situaciones donde el incremento en unavariable significa un descenso en la otra.

Por ejemplo: Si dos pintores se demoran tres horas en pintar una pared, ¿cuanto tiempo se demorancinco pintores en hacer el mismo trabajo? El resumen de este problema es muy parecido:

2 −→ 3

5 −→ x,

pero la relacion es inversa pues a mayor numero de pintores, menor el tiempo. Por lo tanto, elplanteo matematico es distinto, pues se trata de una regla de tres inversa:

2 · 3 = 5 · x.

Luego, x = 2·35 , o sea, x = 1, 2 horas.

Un uso muy comun de la regla de tres simple, es el caso de descuentos, intereses y comisiones dondeintervienen los porcentajes. Comencemos por recordar que cuando se habla de un tanto por cientoy se usa el sımbolo % se refiere a una fraccion donde el denominador es 100:

85 % =85

100= 0, 85

200 % =200

100= 2.

Ahora veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.4. En la venta de una casa, el vendedor gana el 3 % del precio de venta. ¿Cuanto esla comision si el precio de venta fue de $750 millones?

Se pregunta cuanto es el 3 % de $750 millones. La preposicion ((de)) significa multiplicacion, comocon las fracciones. Luego, la respuesta es:

3 % · $750 = 0, 03 · $750 = $22, 5millones


Ejemplo 1.5. Hay 20 mujeres en una clase de 34 estudiantes. ¿Que porcentaje de los estudiantesde la clase son mujeres?

Una manera de resolver este tipo de problemas es con regla de tres. Si 40 estudiantes representanel 100 %, 24 representan x%. Resumiendo,

40 −→ 100 %

24 −→ x%

luego,x%

100 %=

24

40

y

x% =24 · 100 %

40= 60 %

Ejemplo 1.6. Si un par de zapatos, que se encuentra rebajado en un 25 %, vale $66,000, ¿cuantocostaban inicialmente?

Aca hay que darse cuenta de que $66,000 representa el 75 % del valor inicial y se pide encontrar elvalor inicial que representa el 100 %. De nuevo, usando regla de tres,

$66,000 −→ 75 %

x −→ 100 %

luego,x

100 %=

66,000

75 %

y

x =$66,000 · 100 %

75 %= $88,000

1.3.4. Aplicaciones a la geometrıa

Areas y perımetros de figuras planas

El area de un rectangulo se calcula multiplicando su base b por su altura h, es decir A = bh. Amodo de justificacion parcial, si b tiene m unidades de largo y h tiene n unidades de largo, entoncesel area tiene m·n unidades cuadradas (u). El perımetro del rectangulo es la suma de las longitudesde sus lados, es decir P = 2b+ 2h.

El area de un paralelogramo tambien se calcula multiplicando la base b por la altura h , es decirA = bh, pero la altura se mide con una perpendicular a la base. Justificacion: si se recorta unaesquina del paralelogramo y se le pega al otro lado se obtiene un rectangulo con la misma area. Elperımetro del paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados, es decir P = 2a+ 2b.


El area de un triangulo se calcula multiplicando su base b por su altura h y dividiendo por 2, es de-cir A = 1

2bh. La base b puede ser cualquiera de sus lados y la altura se mide con una perpendicular ala base. A modo de justificacion, si se pegan dos triangulos iguales por uno de sus lados, se obtiene unparalelogramo. Luego el area del triangulo es la mitad. El perımetro del triangulo es la suma de las

longitudes de sus lados, es decir P = a+b+c.

El area de un trapecio es la mitad de la suma de las bases, a + b, por su altura h , es decirA = 1

2(a+ b)h. La altura se mide con una perpendicular a las bases. A modo de justificacion, si sesi se pegan dos trapecios resulta un paralelogramo de area (a + b)h. Luego el area del trapecio esla mitad.

El perımetro del trapecio es la suma de las longitudes de sus cuatro lados, es decir P = a+b+c+d.

Un polıgono regular de n lados esta compuesto de n triangulos iguales. Su area, por lo tanto, esA = 1

2ab · n, donde a es la altura de los triangulos y b es la base. Como el perımetro del polıgonoes P = b · n, el area del polıgono es A = 1

2aP , donde a se llama la apotema del polıgono y P es elperımetro.

Cuando el numero de lados del polıgono tiende a infinito, el polıgono tiende a un cırculo. Por lotanto, el area del cırculo es A = 1

2rC, donde r es el radio y C su circunferencia o perımetro. Ahora,como π se define como el numero que resulta de dividir la circunferencia de un cırculo, C, por sudiametro d, C = πd = 2πr, y el area del cırculo es A = 1

2rC = 12r(2πr) = πr2.


volumenes de figuras solidas

El volumen de paralelepıpedos y cilindros se obtiene multiplicando el area de la base B por laaltura h, es decir V = Bh. La altura se mide con una perpendicular a la base.

El volumen de piramides y conos es la tercera parte del area de la base B por la altura h, esdecir V = 1/3Bh. La altura se mide con una perpendicular a la base.

El volumen de una esfera de radio r es V = 43πr

3. Su area es A = 4πr2

Ejemplo 1.7. En un triangulo rectangulo, los lados menores, o catetos miden a y b. Calcule elarea del triangulo.

Solucion:


Como en un triangulo rectangulo el angulo recto esta entre los dos catetos, estos son perpendicularesentre sı. Por lo tanto podemos escoger uno de ellos como base y el otro como altura y el area esA = 1

2bh = 12ab

Ejemplo 1.8. Un tarro de conservas mide 10 cm de alto y 4 cm de diametro. Encuentre su volumenen cm3 y su area superficial en cm2, aproximados a la decima mas cercana.

Solucion:

El volumen se obtiene de la formula V = πr2h = π · 22 · 10 = 40πcm3 ≈ 125, 7cm3. Para el areasuperficial se deben sumar dos tapas de area πr2, o sea 2π · 22 = 8πcm2, mas el area de la regioncurva, que si se corta y se extiende forma un rectangulo de 10 cm por 4π cm. Por lo tanto, el areatotal es 8π + 40π = 48πcm2 ≈ 150, 8cm2

Ejemplo 1.9. La gran piramide de Guiza tiene 140 m de altura y su base cuadrada tiene lados de230 m. Calcule el volumen de la piramide, a la centesima de m3 mas cercana.

Solucion: El area de la base cuadrada es de 2302 = 52900m2. Por lo tanto el volumen es: V =1/3Bh = 1/3(52900) · 140 ≈= 2468666, 67 m3

Ejemplo 1.10. El diametro de una bola de billar mide 6, 15 cm. Encuentre su volumen en cm3 ysu area superficial en cm2, a la centesima mas cercana.

Solucion:

El volumen es V = 43πr

3 = 43π6, 153 ≈ 974, 35cm3. Su area es A = 4πr2 ≈ 475, 29cm2

1.3.5. Ejercicios

Decimales, racionales e irracionales

1. Convierta los siguientes decimales en fracciones:

a) 2, 111

b) 3, 57

c) −3, 14

d) 2, 1

e) −3, 15

2. Redondee los siguientes numeros a la posicion decimal indicada:

a) 2, 111; decima

b) 3, 57; unidad

c) −3, 1415; milesima

d) 2, 1; diezmilesima

e) −3, 15; decima


3. Convierta los siguientes numeros en decimales, redondeando a la diezmilesima mas cercana,si es necesario:

a) 423

b) −1 512

c) −235

d) 17

4. Justifique por que 1 = 0, 9 = 1, 0

5. Que es un numero irracional? Por que se llama ası? De cinco ejemplos de numeros irracionales.

6. Explique por que Q ⊆ R

7. Explique como se reconoce que un numero en desarrollo decimal es racional o irracional

8. El numero a = 0, 101001000100001... es racional o irracional

9. Dado un numero irracional, explique como se encuentra un numero racional, tan proximocomo se quiera al irracional dado. Utilice este metodo para encontrar un numero racional talque su diferencia con el numero π sea menor a 0, 0000000005

10. Explique los algoritmos para sumar, restar, multiplicar y dividir decimales.

11. Que propiedades de las operaciones se utilizan en las siguientes expresiones:

a) (2 + 3x)5 = 10 + 15x

b) (2x+ 3)y = y(2x+ 3)

c) 5(−3 · 2) = (5(−3)) · 2

12. Utilice la propiedad distributiva para escribir las siguientes expresiones sin parentesis.

a) 2x(a+ b− c)b) 2a− (2− 3b)

13. Utilice las propiedades de las operaciones para encontrar cuanto vale x si:

a) 3x+ 5 = −1

b) 34x+ 5 = −1

2

14. Sabiendo que una hora son 60 minutos y que un minuto son 60 segundos:

a) Convierta 2 horas, 45 minutos 20 segundos en un decimal de horas, redondeado a lamilesima mas proxima.

b) Convierta 3, 48 en horas en horas, minutos y segundos.

15. Encuentre el promedio, de las siguientes calificaciones de cuatro pruebas: 3, 5, 4, 0, 5, 0, 2, 5.¿Cuanto se debe sacar en la quinta prueba para que el promedio sea 4, 0?

Porcentajes y regla de tres

16. Convierta decimal en porcentaje:


a) 0, 333

b) 2, 45

c) 0, 005

17. Convierta porcentaje en decimal:

a) 1000 porciento

b) 55 porciento

c) 5,5 porciento

18. Si 3 huevos cuestan 500, ¿cuanto cuesta una docena de huevos?

19. Cuanto es 30 % de 150

20. En un curso de 50 personas 35 son mujeres. ¿Que porcentaje son mujeres?

21. Si un vestido, rebajado en 15 % se compro por 76500 pesos, ¿cuanto costaba inicialmente?

22. En un curso se tienen 5 examenes parciales que valen 15 porciento cada uno y un examenfinal que vale 25 porciento. Un estudiante tiene las siguientes calificaciones en los examenesparciales: 3, 5, 4, 0, 5, 0, 2, 5, 3, 0. ¿Cuanto debe sacar en el examen final para obtener unpromedio de 3, 75?

Mas Aplicaciones

23. Encuentre el perımetro y el area de las siguientes figuras planas:

24. Si el largo de un rectangulo de perımetro 5 es dos veces su ancho, ¿cuales son las dimensionesdel rectangulo?

25. Encuentre el volumen de un silo que consiste de un cilindro de 5 m de diametro y 20 de alto,coronado por un domo en forma de media esfera.

26. La formula para convertir una temperatura dada en grados Farenheit en grados Centıgradoses C = 5

9(F − 32). Encuentre a cuantos grados Centigrados corresponden:

a) 212◦F

b) 32◦F

c) 100◦F

27. Encuentre a cuantos grados Farenheit corresponden:


a) 37◦C

b) −5◦C

c) −100◦C

d) −273◦C

28. Cual temperatura tiene los mismos grados en las dos escalas


Figura 1.7: Ubicacion de puntos

1.4. Orden en la recta numerica

En esta seccion abordaremos los conceptos matematicos de: desigualdad, intervalo, y valor abso-luto, conceptos claves en el estudio de la matematica universitaria.

1.4.1. La recta real.

Una manera muy util de visualizar los numeros reales es extendiendolos a lo largo de una recta, demanera que cada numero real coincida con un punto sobre la recta y, recıprocamente, cada puntode la recta se corresponda con un numero real.Es usual tomar la direccion positiva de la recta hacia la derecha e indicarla con una flecha. Comopunto de partida tomamos un punto O arbitrario sobre la recta que llamaremos el origen, quecorresponde al numero real 0. Para representar un numero real sobre la recta, tomamos una unidadde medida conveniente, de manera tal que, un numero real positivo x se representa por un puntosobre la recta, que esta a una distancia de x unidades a la derecha del origen. De igual manera, unnumero negativo −x se representa por un punto sobre la recta a una distancia de x unidades a laizquierda del origen. como puede verse en la figura 1.3.

Ejemplo 1.11. El numero 5 esta a la derecha del origen en un punto de la recta a 5 unidadesde este, mientras que el numero −5 estara a la izquierda del origen en un punto de la recta a 5unidades de este, ver figura 1.4.

Figura 1.8: Ubicacion de 5 y -5 en la recta real

De esta manera identificamos un numero real como un punto sobre la recta y por tanto a esta rectala llamamos Recta real.

1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMERICA 31

En este momento es importante apropiarnos de las siguientes propiedades del conjunto de numerosreales.

La recta real es continua, esto es, la recta real no tiene “huecos”. No hay vacios a ocupar porotro real. Los reales llenan totalmente todos los puntos de una recta.

Los numeros reales son ordenados. Diremos que el numero a es menor que b y lo notamosa < b, si la diferencia b − a es un numero positivo. Geometricamente, esto significa que elnumero a esta a la izquierda del numero b, o equivalentemente, el numero b esta a la derechadel numero a, lo cual se escribe b > a, de manera que las expresiones a a sondos maneras de escribir lo mismo. Una expresion que contenga los simbolos < o >, se llamauna desigualdad. Las desigualdades juegan un papel importante en nuestro siguiente curso decalculo diferencial.

Terminologia Notacion Definicion

a es menor que b a b b− a es negativo

Ejemplo 1.12. La desigualdad −3 < 1, es una desigualdad verdadera, pues, 1− (−3) = 4 > 0. Verfigura 1.5.

Figura 1.9: -3 esta a la izq. de 1

Ejemplo 1.13. Al contrario del ejemplo anterior, desigualdad −2 < −3 es falsa, ya que, −3 −(−2) = −1 < 0.

Los numeros a que satisfacen la desigualdad a > 0, se les llaman positivos, los numeros a quesatisfacen la desigualdad a < 0, se les llaman negativos mientras que los numeros a tales que a ≤ 0se denominan reales no negativos.

Relaciones entre si a es positivo, entonces −a es negativoa y −a si a es negativo, entonces −a es positivo

Es importante reconocer la siguiente propiedad de los numeros reales.

Teorema 1.4 (Tricotomia). Para todo numero real a se cumple una y solo una de las siguientes:

a = 0 o

a es un numero positivo, o,

a es un numero negativo.

Geometricamente, lo que dice el resultado es que si tomamos un numero en la recta real, estenumero es el origen o esta a la derecha del origen o esta a la izquierda del origen. Como era deesperarse.Debido a esta propiedad podemos afirmar que si a, b son dos numeros cualesquiera, se cumple unay solo una de las siguientes:

1. a− b = 0, o,

2. a− b positivo, o

3. −(a− b) positivo, o sea, b− a es positivo.

De manera que si tomamos dos numeros a y b podemos compararlos, ya que lo anterior, para estosdos numeros se cumple una y solo una de las siguientes:

1. a = b, o,

2. a < b, o,

3. a > b.

Por lo anterior se dice que los reales son un conjunto ordenado.

Ejemplo 1.14. Ordenamiento de tres numeros reales

1 < 3 < 5

−3 < −2 < 0

5 > 1 > −2

Ley de si a y b tienen el mismo signo, ab ya

bson positivos

signos si a y b tienen signos contrarios, ab ya

bson negativos

En realidad en la ley anterior podemos cambiar la palabra “entonces”por “si y solo si”.

Mediante este resultado podemos argumentar que si a 6= 0 es un real cualquiera, a2 es positivo,pues, si a es positivo entonces a2 = aa es positivo. Y si a es negativo esto es, −a es positivo entonces(−a)(−a) = a2 es positivo.

Hasta el momento solo hemos hecho referencia a las desigualdades simples a b. Lanotacion a ≤ b que se lee “a menor o igual a b ” y significa que a b o a = b

Ejemplo 1.15. La desigualdad 2 ≤ 3 es una desigualdad verdadera, pues, 2 < 3. La desigualdadx ≤ x tambien es una desigualdad cierta para todo numero real x, ya que, x = x.

Ejemplo 1.16. La desigualdad 3 ≤ 2 es falsa, pues, ni 3 < 2, ni 3 = 2.

Al manipular desigualdades usaremos las siguientes propiedades.Para a, b, c y d numeros, se tiene que:

Propiedad Significado Ejemplo

a < b, si y solo si < se preserva si sumamos o restamos un −2 < 3, es equivalente aa± c < b± c numero a lado y lado de la desigualdad −2− 4 < 3− 4 o −6 < −1.

Si a < b, y c > 0 < se preserva si multiplicamos por un −3 < 1, es equivalente aac < bc numero positivo a lado y lado de la desigualdad −3(2) < 1(2) o −6 < 2.

Alerta. Si en la desigualdad 2 < 7 multiplicamos por el numero negativo -3, obtenemos la desigual-dad, −6 < −14, la cual es una desigualdad falsa, pues, -14 esta a la izquierda de -6 en la rectareal.

De modo que nuestra propiedad no se cumple al multiplicar por numeros negativos, pero se cumplela siguiente.


Si a < b, y c < 0 < se invierte (>) si multiplicamos por un −3 < 1, es equivalente aac > bc numero negativo a lado y lado de la desigualdad −3(−2) > 1(−2) o 6 > −2.

Prosigamos con las propiedades de las desigualdades.


Si a < b y b < c, el simbolo < es transitivo de −3 < −1 y −1 < 4, se obtiene laa < c desigualdad −3 < 4

Si a 0 y b > 0, entonces los inversos multiplicativos como 2 < 4 entonces

a 

1

4invierten la desigualdad

Estas propiedades tambien son ciertas si cambiamos el simbolo “< ” por el simbolo “≤ ”

Con frecuencia en el calculo debemos tratar desigualdades que contienen incognitas, estas desigual-dades son llamadas inecuaciones.

Definicion 1.4. Se llama inecuacion a una desigualdad que involucra una o mas incognitas ovariables.

Ejemplo 1.17. La desigualdad 2x+ 1 ≤ 3 es una inecuacion que contiene una incognita, x. Porejemplo el numero x = 0 satisface la inecuacion, mientras que el numero x = 2 no la satisface. Verla siguiente tabla.

x 2x+ 1 ≤ 3 Conclusion

0 1≤3 Verdadero

2 5≤3 Falso

-2 -3≤3 Verdadero

3 7≤3 Falso

Ejemplo 1.18. La desigualdad x2+y2 ≥ 2 es una inecuacion con dos incognitas x e y. Por ejemplola pareja de numeros x = 1 y y = 2 satisfacen la inecuacion, mientras que, la pareja x = 0 y y = 1no la satisface.

Resolver una inecuacion que contenga una incognita significa hallar el conjunto de todos losnumeros que al ser sustituidos por la incognita hacen de la inecuacion una desigualdad verdadera.Los metodos para resolver desigualdades en una variable x son similares a los que se usan pararesolver ecuaciones. El conjunto de todos los numeros que satisfacen la inecuacion se llama conjuntosolucion ( CS) de la inecuacion. Resolver una inecuacion significa hallar su conjunto solucion. Engeneral, el (CS) de una inecuacion es un tipo de conjunto de numeros muy importante y requiereun tratamiento especial.

Veamos una de las nociones mas importantes de la matematica moderna y de mucha utilidad ennuestro trabajo.

Dentro del conjunto de numeros reales existe un tipo de conjunto especial y que juega papel im-portante en lo que sigue, los intervalos.

1.4.2. Intervalos

Sean a y b numeros reales con a < b, se llama intervalo abierto al conjunto de todos los numerosque se encuentran entre a y b, sin incluir ni a ni a b y se denota por (a, b). Geometricamente, unintervalo (a, b) es el segmento de recta de la recta real comprendido entre los puntos a y b sin incluirlos puntos extremos. Ver figura 1.6.

Figura 1.10: Intervalo abierto (a, b)

En notacion de conjuntos, un intervalo abierto (a, b) se escribe

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

Si el intervalo contiene los extremos a y b se llama intervalo cerrado y se denota [a, b] que ennotacion conjuntista escribimos [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} y geometricamente, es el segmento derecta entre a y b incluyendo los extremos a y b. Ver figura 1.7.

Figura 1.11: Intervalo cerrado [a, b]

Un intervalo puede contener uno de sus extremos, en tal caso, el intervalo de dice intervalo semi-abierto. Tambien consideramos intervalos infinitos, como se describen en la siguiente tabla.

Notacion Desigualdad Grafica

(a, b) a < x a ——◦————->

[a,∞) x ≥ a ——•————>

(−∞, b) x 

Observese que ahora el conjunto de los reales puede definirse de las siguientes dos formas equiva-lentes,

R = (−∞,∞) = {x : −∞ < x <∞}

A diferencia de los intervalos que son copias pequenas del conjunto de los reales y que por lo tantono tienen “huecos” sino que son conjuntos continuos, y que por ende, si tomamos dos elementoscualesquiera de un intervalo, digamos x y y, los elementos del subintervalo entre x y y, son todoselementos del mismo intervalo. Esto no sucede por ejemplo con el conjunto de numeros racionales,ya que si tomamos los numeros racionales 1 y 2 el intervalo entre 1 y 2 contiene elementos que noson numeros racionales como el numero

√2,√

3. Conjuntos como los racionales son ejemplos deconjuntos que no son continuos en el sentido que si tomamos dos elementos distintos en el conjunto,existen numeros reales entre estos elementos que no pertenecen al conjunto, tales conjuntos sonllamados conjuntos discretos.

Definicion 1.5. Un conjunto se dice discreto si esta formado por un numero finito de elementos,o si sus elementos se pueden colocar en secuencia de modo que haya un primer elemento, unsegundo elemento, un tercer elemento, y ası sucesivamente. Estos conjuntos se pueden describircompletamente mediante la notacion

{x1, x2, x3, ..., xn, ...}

Ejemplo 1.19. El conjunto de los numeros naturales, el conjunto de los numeros enteros y elconjunto de los numeros racionales son conjuntos discretos.

Ejemplo 1.20. El conjunto An =

{1

n: n ∈ N

}es un conjunto discreto.

Con estos conceptos a disposicion podemos entrar a resolver inecuaciones mas generales.

Ejemplo 1.21. Resolver la inecuacion 1− 2x < 3.

Solucion. Realizamos los siguientes pasos:

Paso 1. Sumamos -1 a lado y lado de la desigualdad 1− 2x− 1 < 3− 1 para obtener −2x < 2.

Paso 2. Multiplicamos por −12 a lado y lado de la desigualdad −1

2(−2x) > −12(2) para obtener

x > −1.Por tanto, el conjunto solucion de esta inecuacion es CS= {x/ x > −1} = (−1,∞). (ver figura1.8.)

Figura 1.12: CS de la inecuacion 1− 2x < 3

Ejemplo 1.22. (Doble desigualdad) Resolver la inecuacion −2 < 3x+ 2 < 3.

Solucion. Realizamos los siguientes pasos:Paso 1. Sumar a lado y lado -2, −2− 2 < 3x+ 2− 2 < 3− 2. Esto es, −4 < 3x < 1.Paso 2. Multiplicar a lado y lado por 1/3, 1

3(−4) < 133x < 1

3 . Esto es −43 < x < 1

3Por tanto el (CS) de la inecuacion es el intervalo (−4

3 ,13).

Ejemplo 1.23. (Doble desigualdad) Resolver la inecuacion −2x < 3x− 1 < x.

Solucion. Resolvemos por separado las desigualdades: −2x < 3x− 1 y 3x− 1 < x.Caso 1. Resolvemos la desigualdad −2x < 3x− 1.Sumamos 2x a lado y lado 0 < 5x− 1sumamos 1 a lado y lado 1 < 5xmultiplicamos por 1/5 a lado y lado 1

5 < x.Para este caso obtenemos como conjunto solucion al intervalo, S1 = (15 ,∞).Caso 2. Resolvemos la desigualdad 3x− 1 < x.Sumamos −x a lado y lado 2x− 1 < 0sumamos 1 a lado y lado 2x < 1multiplicamos por 1/2 a lado y lado x < 1

2Para este caso tenemos el conjunto solucion S2 = (−∞, 12).

Por tanto el conjunto solucion de la inecuacion −2x < 3x + 2 < x sera: S = S1 ∩ S2, esto es

S = (1

5,1

2). Ver fig 1.9

Figura 1.13: Conjunto solucion de −2x < 3x < x

El siguiente concepto de distancia en la recta real, desempenara un papel decisivo en este curso.

1.4.3. Valor absoluto y distancias

Para medir la distancia en la recta real de un punto cualquiera x al origen, usamos la notacion |x|y se denomina valor absoluto del numero real x. Como la distancia es no negativa, se tiene siempreque |x| ≥ 0. Ver figura 1.10.

Figura 1.14: Distancia de x y de −x al origen.

de acuerdo con la figura 1.10. podemos tomar la siguiente definicion para el valor absoluto de unnumero.

Definicion 1.6. El valor absoluto de un numero real x es

|x| =

{x, si x ≥ 0

−x, si x < 0

Ejemplo 1.24. |7− 3| = 4 y |4− 6| = | − 2| = −(−2) = 2.

Ejemplo 1.25. |π − 4| = −(π − 4) = 4− π (pues π − 4 < 0).

Ejemplo 1.26. Si x es un numero real, entonces, |x−2| sera igual a x−2 en caso que x−2 ≥ 0,es decir, en caso que x ≥ 2, pero, sera igual a −(x− 2) = 2− x en caso que x− 2 < 0, es decir, encaso que, x < 2. Lo cual podemos resumir en

|x− 2| =

{x− 2, si x− 2 ≥ 0

−(x− 2), si x− 2 < 0

o equivalentemente,

|x− 2| =

{x− 2, si x ≥ 2

2− x, si x < 2

Alerta. Observese que cada vez que deseamos evaluar el valor absoluto de un numero del cualdesconocemos si en la recta real esta a la derecha o a la izquierda del origen, se requiere laconsideracion por separado de distintos casos, como en el ejemplo anterior.

El valor absoluto tambien lo podemos utilizar para hallar la distancia entre dos puntos de la rectareal.

Definicion 1.7. Sean a y b dos numeros cualesquiera en la recta real, La distancia entre elnumero a y el numero b notada d(a, b) es: d(a, b) = |b− a|

Notese que |b− a| = |a− b|. (Ver figura 1.11.)

Ejemplo 1.27. Para calcular la distancia entre 3 y -2 calculamos |3− (−2)| = |5| = 5 o tambien| − 2− 3| = | − 5| = 5.

Ejemplo 1.28. Para calcular la distancia entre -5 y -20 calculamos | − 20− (−5)| = | − 15| = 15o tambien | − 5− (−20)| = |15| = 15.

Las siguientes propiedades en los numeros reales seran de gran utilidad en el manejo del valorabsoluto:

Figura 1.15: Distancia entre a y b.

Propiedad Interpretacion ejemplo

Para todo real a se tiene que El valor absoluto de todo real | − 5| = 5|a| ≥ 0 y |a| = 0 si y solo si a = 0 es siempre no negativo |x− 2| = 0, x = 2

Para todo real a se tiene que El valor absoluto de un numero | − 5| = |5|| − a| = |a| y su negativo es el mismo |x− 2| = |2− x|

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.29. (Ecuaciones con valor absoluto.) Resolver la ecuacion |x− 3| = 0.

Solucion. Debemos hallar todo el conjunto de numeros que satisfacen la ecuacion, es decir, elconjunto de numeros que puede tomar la variable x y que al ser remplazados en la ecuacion laconvierten en una identidad.

Por la propiedad |x− 3| = 0, solo si, x− 3 = 0, esto es, x = 3.

Ejemplo 1.30. Resolver la ecuacion |x| = 3.

Solucion. Si x > 0, la igualdad se convierte en: x = 3. Mientras que si x < 0, la igualdad seconvierte en: −x = 3, esto es, x = −3, por consiguiente las soluciones de la ecuacion son x = −3y x = 3. La figura 10. ilustra graficamente la solucion.

En general se tiene la siguiente propiedad.

Propiedad Interpretacion ejemplo

Sea a > 0. Las soluciones de la ecuacion a y −a estan a la misma Las soluciones de |x| = 2|x| = a son x = a y x = −a distancia del origen son x = 2 y x = −2

La figura 1.12. ilustra graficamente la situacion.

Ejemplo 1.31. (Ecuaciones con valor absoluto.) Resuelva la ecuacion |x− 1| = 2.

Figura 1.16: Puntos cuya distancia al origen es a

Solucion. Por la propiedad anterior considerar dos casos. O bien

x− 1 = 2, es decir, x = 3, o x− 1 = −2, es decir, x = −1. Las soluciones de la ecuacion son:x = 3 y x = −1. (Compruebe que efectivamente estos valores son soluciones de la ecuacion)

Ejemplo 1.32. (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuacion |x+ 1| = |x|.

Solucion. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bien x+ 1 = x, osea, 1 = 0, lo cuales imposible, o bien, x+ 1 = −x, o sea, x = −1/2. Obteniendose la unica solucion x = −1

2 .

Ejemplo 1.33. (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuacion |x+ 1| = |x|.

Solucion. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bien x+ 1 = x, osea, 1 = 0, lo cuales imposible, o bien, x+ 1 = −x, o sea, x = −1/2. Obteniendose la unica solucion x = −1

2 .

Propiedad Interpretacion Ilustracion

Para todo par de numeros a El valor absoluto de un producto |(−2)(4)| = | − 2||4| = 8y b, |ab| = |a||b| es el producto de los valores ab |1− x2| = |1− x||1 + x|

Para todo par de numeros a El valor absoluto de un cociente es

∣∣∣∣x3 + x2 + x+ 1

1 + x2

∣∣∣∣ =

y b 6= 0,∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

el cociente de los valores absolutos|1 + x||1 + x2||1 + x2|

= |1 + x|

La siguiente propiedad se cumple en un triangulo, de hay su nombre “desigualdad del triangulo”


Para todo par de numeros El valor absoluto de una suma nunca 1 = | − 4 + 5| ≤ | − 4|+ |5| = 9a y b, |a+ b| ≤ |a|+ |b| excede la suma de los valores absolutos |1− x2| = |1− x||1 + x|

Ejemplo 1.34. |2 + 3| = |2|+ |3|, mientras que |5− 3| < |5|+ | − 3|

Alerta. Observe que, |a+ b| = a+b siempre que los numeros a y b tengan el mismo signo, mientrasque |a+ b| < a+ b si a y b tienen signos contrarios.


Si a > 0, entonces La distancia de x al origen es menor |x| < 1⇔ −1 < x < 1|x| < a si y solo si −a < x < a que a, significa que x > −a y que x < a

La propiedad se ilustra en la grafica 1.13.

Figura 1.17: La igualdad |x| = a y las desigualdades |x| < a y |x| > a

Ejemplo 1.35. Resolver la inecuacion |x+ 1| < 2.


Si a > 0, entonces |x| > a La distancia de x al origen es mayor |x| < 1⇔ −1 < x < 1si y solo si x > a o x < −a que a, significa que x > a o que x < −a

La propiedad se ilustra en la grafica 1.13.Estas propiedades siguen siendo validas si el simbolo < o > es reemplzado por el simbolo ≤ o ≥.

Ejemplo 1.36. Resolver la inecuacion |x+ 1| ≤ 2.

Solucion. La desigualdad |x+ 1| ≤ 2 es equivalente a la desigualdad −2 ≤ x+1 ≤ 2. Sumando −1a lado y lado se recibe, −3 ≤ x ≤ 1, obteniendose ası el intervalo [−3, 1] como conjunto solucion.

Ejemplo 1.37. Resolver |2x+ 1| ≥ 6.

Solucion. |2x+ 1| ≥ 6 es equivalente a2x+ 1 ≥ 6 o 2x+ 1 ≤ −6 ——propiedad2x ≥ 5 o 2x ≤ −7 —————–sumar -1 a lado y lado

x ≥ 52 o x ≤ −7

2——————multiplicar por

1

2a lado y lado.

En consecuencia, la solucion de la inecuacion es la union de los intervalos (−∞,−7/2]∪ [5/2,∞) .

Alerta. En la solucion anterior no es correcto escribir la solucion x ≤ −7

2o x ≥ 5

2como

5

2≤ x ≤ −7

2pues

5

26≤ −7

2.

Tampoco es correcto escribir a ≤ x ≥ b, ya que cuando se usa una doble desigualdad, elsentido de las desigualdades debe ser el mismo.

Ejemplo 1.38. (Desigualdades con doble valor absoluto.) Resolver la inecuacion |2x− 3| <|x− 4|.

Solucion. Como 2x − 3 se anula en x = 32 y x − 4 se anula en x = 4 y estos puntos dividen la

recta en tres segmentos, como se ilustra en la grafica 13.Resolvemos entonces la inecuacion en cada uno de esos intervalos ası:

a) Para el primer segmento donde x <3

2la desigualdad se convierte en −(2x − 3) < −(x − 4),

esto es, 2x− 3 > x− 4, o sea, x > −1, como estamos en el primer segmento, se tiene como (CS) al

intervalo I1 = (−1,3

2).

b) En el segundo segmento se tiene3

2< x < 4. La desigualdad se convierte en 3x− 3 < −(x− 4)

esto es 2x < 7 o x <7

2, como estamos en el segundo segmento, el (CS) es I2 = (

3

2,7

2).

c) Por ultimo, en el tercer segmento, x > 4 la desigualdad se escribe 2x− 3 < x− 4, o, x < −1.

En este caso I3 = ∅. Uniendo las soluciones y observando que x =3

2satisface la desigualdad (en

este caso los numeros 3/2 y 4 no se habian considerado), la solucion de la inecuacion es el intervalo:(−1, 7/2).

Ejemplo 1.39. (Desigualdad racional.) Resolver la desigualdad1

x− 3> 0.

Solucion. Como el numerador es positivo, es necesario que el denominador tambien lo sea, es decirx− 3 > 0, en consecuencia x > 3 y la solucion son todos los numeros del intervalo (3,∞).

Ejercicios propuestos

1. Sean a, b y c numeros reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Encuentre el signo (+ o -) decada una de las expresiones

a) −ab) bc

c) ab+ ac

d) ab2

e) a+ bc

f ) ab− bc+ ac

g) −c(a− b)

2. Grafique el conjunto sobre la recta real.

a) (−3, 1) ∪ [0, 3]

b) (−∞, 0] ∩ [0,∞)

c) (−∞, 0) ∪ (0,∞)

d) (−3, 1] ∩ [0, 3]

3. Grafique el par de numeros en la recta real y luego encuentre la distancia entre los puntos.

a) 5, 8

b) −3, 5

c) −8, −2

d)1

17,

1

18e) −1,2, −0,5

4. Observando la figura, explique como ubicar el punto√

3 en la recta real. ¿Y como ubicar elpunto

√5?

Figura 1.18: Construccion de√

2 en la recta real.

5. Escriba en el espacio el signo correcto (<, >, o =)

3 -3 3.5 2/3 0.67

7/2

-7/2

0.67

-0.67

6. Sea H =

{−π,−e,−

√3,−1, 0,

1

2, e, π, 4

}. ¿Cuales de los elementos del conjunto H satisfacen

la desigualdad?

a) 2x− 1 <√

2

b) 1− 2x < π

c) 1 < 1− 2x < 3

d) 2x− 1 +1

x< 0

e) −3 < 2− x < −1

7. Complete la tabla con los signos de <, >, o =

-10 12/13 -1 1.41 1.1 -3 0.1

-6 <√2

−π-1/2

1.1

10/11

0.01

8. Diga si la desigualdad es verdadera o falsa. Si la desigualdad es falsa corrıjala.

-3.3 -1 11/13√

3

−3.3 ≤ > ≥ <

-0,3 < < ≤ <

15/16 > > < ≥√2 ≥ > ≥ >

9. Escriba cada enunciado en terminos de una desigualdad valida.

a) x es positivo.

b) y es negativo.

c) x es menor a 1/2 y mayor a -5.

d) La distancia de x a 5 es a lo mas 3.

e) w es positiva y menor igual a 11.

f ) y esta al menos 2 unidades de π.

g) El cociente de p y q es al menos 5.

10. Considere los intervalos I1 = (−1, 1), I2 = [0, 5] y I3 = (−2, 3]. Halle:

a) I1 ∪ I2b) I1 ∩ I2c) I1 ∪ I2 ∪ I3d) I1 ∩ I2 ∩ I3

11. Considere los conjuntos I1 = {x| x ≥ 1}, I2 = {x| − 2 ≤ x < 1}, I3 = {x| x ≥ 0}. Halle:

a) I1 ∪ I2b) I1 ∩ I2

c) I1 ∪ I2 ∪ I3d) I1 ∩ I2 ∩ I3

12. Dada la desigualdad −5 < −1, determine la desigualdad que se obtiene si:

a) Se suma 8 a lado y lado.

b) Se multiplica por 1/2 a lado y lado.

c) Se resta 5 a lado y lado.

d) Se multiplica por −1

2a lado y lado.

13. Exprese la desigualdad como un intervalo y trace su grafica.

a) x ≤ 3

b) x ≥ 3

c) −2 ≤ x < 1

d) −3 ≥ x > −5

14. Exprese el intervalo como una desigualdad en la variable x.

a) (0, 5)

b) [−4,−1]

c) (−∞, 5)

d) (2,∞).

15. Sean a y b reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Halle el valor exacto de:

a) |−a|b) |−b|c) |a+ bc|d) |ab− bc+ ac|e) |−c(a− b)|

16. Compare los numeros5

101,

11

86y

906

996.

17. Escriba el enunciado en terminos de desigualdad.

a) x es negativo.

b) x esta a menos de 3 unidades de 2.

c) La distancia entre x y π esta entre 1 y 2.

d) x es no negativo y menor a 15.

18. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el enunciado dado.

a) El peso de una persona no ha de variar mas de 2 lbs de 148 lbs.

b) El radio de un globo esferico no debe variar mas de 0,001 cm. de 1 cm.

Figura 1.19: Intervalo cerrado [0, 4]

c) La diferencia de dos temperaturas T1 y T2 de una una lamina homogenea tiene que estarentre 5◦CC y 10◦CC.

19. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el conjunto ilustrado en la grafica.

20. En la desigualdad despeje x, suponiendo que a, b y c son positivos y a < c.

a) a+ b(c− ax) ≥ a+ b(c− a)

b) −a ≤ c− bx ≤ a

c)∣∣∣xa− b∣∣∣ > c

21. Evalue cada expresion.

a) ||−2| − |−6||

b)

∣∣∣∣π − 3

3− π

∣∣∣∣c)∣∣π −√2−

√3∣∣

d) |2x+ 3|

22. Exprese la expresion dada sin utilizar el simbolo de valor absoluto y simplificar.

a) |1 + 2x| si x < −12

b) |b− a| si a < b

c) | − x2 − 1|d) |x2 + x+ 1|.

23. Pruebe que si |x− x0| < r2 y |y − y0| < r

2 , entonces se tiene que |(x+ y)− (x0 + y0)| < r. Yque |(x− y)− (x0 + y0)| < r, r un real positivo.

24. Obtenga los numeros que estan a una distancia de 3 unidades del numero -1.

25. Encontrar todos los numeros x para los cuales se cumple que:

a) |x− 3| = 8

b) |x− 3| < 8

c) |x− 3| > 8

d) |x− 1|+ |x− 2| > 1

e) |x+ 1| |x+ 2| = 3

f ) (x− 3)2 = 1

g) |2x− 3|+ 5 ≤ 0

h)

∣∣∣∣3− 1

x− 2

∣∣∣∣ = 7

26. Resuelva la inecuacion lineal. Exprese la solucion en notacion de intervalo y grafique el con-junto solucion.

a) 3− x < 5− 2x

b)1

x< 0

c)1

2<

2− 3x

7≤ 3

4d) |7x+ 4| ≥ 3

e) (1− x) (x+ 2) > 0(¿ En que casos es po-sitivo el producto de dos numeros?)

f )3− x3 + x

≤ −1

g)x− 1

x+ 1> 0

27. Sean a, b, c y d numeros positivos tales quea

b<c

d. Muestre que

a

b<a+ c

b+ d<c

d.

28. Considere el conjunto An =

{1

n: n ∈ N

}.

a) Explique el porque el conjunto An es un conjunto discreto.

b) Halle

∞⋂i=1

An

29. Considere el conjunto H =

{n+ 1

n: n ∈ N

}.

a) Explique el porque el conjunto H es un conjunto discreto.

b) Encuentre el intervalo mas pequeno I tal que H ⊆ Ic) ¿El conjunto H tiene primer elemento?

d) ¿El conjunto H tiene ultimo elemento?

e) Halle la distancia entre el numero 1 y un numero cualquiera de H.

30. Mostrar que

a) Si 0 < a < 1, entonces a2 < a

b) Si 0 < a < b, entonces a2 < b2

c) Si a y b son no negativos con a2 < b2, entonces a < b

d) Si 0 < a < b, entonces a <√ab <

a+ b

2< b

31. Una oficina de correos por razones de logıstica solo acepta paquetes cuya longitud mas perıme-tro de una seccion trasversal no exceda los 100 cm.


a) Realice un dibujo y coloque sus variables.

b) Escriba la inecuacion correspondiente a los datos dados.

c) Si usted tiene que llevar un paquete de 8 cm. de ancho por 7 cm. de alto, ¿cual es lamaxima longitud que puede tener el paquete?

32. La relacion entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) esta dada por la ecuacion

C =5

9(F − 32). Si un alimento debe conservarse refrigerado entre los 0◦CC y los 10◦CC. ¿A

que intervalo de temperatura Fahrenheit corresponde?

33. Una compania de alquiler de autos goza de dos planes para sus clientes:Plan A: $ 100.000 por dıa mas $ 100 por kilometro recorrido.Plan B : $ 130.000 por dıa y kilometraje ilimitado.

a) ¿Cuantos kilometros por dıa debe recorrer un cliente para que el plan A sea mas ventajosoque el plan B?

b) ¿Cuantos kilometros por dıa debe recorrer un cliente para que el planB sea mas ventajosoque el plan A?

34. Establecer la veracidad (V) o falsedad (F) de la proposicion. En caso que la proposicion seafalsa reemplacela por una proposicion correspondiente que sea verdadera.

a) Una desigualdad lineal en una incognita tiene un numero infinito de soluciones siempre.

b) Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente decero se preserva el sentido de la desigualdad.

c) Si un numero negativo se resta a lado y lado de una desigualdad, el sentido de la de-sigualdad cambia.

d) El conjunto solucion de una inecuacion puede ser un numero.

e) Si |x| = a, entonces x = a o x = −a para todo valor de a.

f ) Si |x| = |y|, entonces x = y o x = −y.

g) La ecuacion |x− 2|+ |x− 3| = 0 no tiene solucion.

h) |x+ y| = |x|+ |y|, si y solo si, x y y tienen el mismo signo.

i) Si x es un numero real, entonces |x| ≥ x y |x| ≥ −x.j ) x > y implica |x| > |y|k) Si x2 > y2, entonces |x| > |y|.

35. Si una tienda puede vender x unidades diarias de un producto a un precio de $ p cada uno,donde p = 600 − x ¿Cuantas unidades del pruducto debe vender para obtener un ingresodiario de al menos $ 8000 ?

36. Si dos resistores R1 y R2 se conectan en paralelo en un circuito electrico, la resistencia netaR esta dada por

1

R=

1

R1+

1

R2

Si R1 = 10 ohms ¿que valores de R2 daran una resistencia neta de menos de 5 ohms?

1.5. EXPONENTES Y RADICALES 49

37. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F en lbs requerida para estirar un resorte x pulgadas,mas alla de su longitud natural, esta dada por F = 4, 5x (ver figura). Si 10 ≤ F ≤ 18 ¿cualesson los valores correspondientes de la variable x?

38. Segun la figura, si una lente convexa tiene una longitud focal de f cm y si un objeto se colocaa una distancia de p cm de la lente p > f, entonces la distancia desde la lente a la imagenesta relacionada con p y f mediante la formula

1

p+

1

q=

1

f

Si f = 5 vm, ¿cuan cerca debe estar el objeto de la lente para que la imagen quede a mas de12 mc de la lente?

1.5. Exponentes y Radicales

En esta seccion estudiamos las expresiones de la forma ab en escenarios evolutivos: primero estu-diamos potencias donde b es entero y luego donde b es numero racional. La extension a cuando bes numero real arbitrario se presentara en el capıtulo de exponenciales.

Definicion 1.8. En la expresion ab se dice que a es la base y que b es el exponente.

Ejemplo 1.40.

(x+ 3)5 tiene a x+ 3 como la base y a 5 como el exponente.4−3 tiene a 4 como la base y a −3 como el exponente.(−5)(−7) tiene a −5 como la base y a −7 como el exponente.

1.5.1. Exponentes Enteros

La primera aproximacion a exponentes es a traves de la escritura simplificada del producto de unnumero real con si mismo.

Definicion 1.9. Si x es un numero real y n es un entero positivo, se definen las potencias enterasde x ası:

xn = x · x · · · ·x︸︷︷︸n veces

x0 = 1 si x 6= 0

x−n = 1xn si x 6= 0

Observe que las potencias cero y negativas de numeros reales no estan definidas unicamente parael cero. Tenemos entonces


Ejemplo 1.41. Potencias positivas

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 8123 = 2 · 2 · 2 = 8(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 1602 = 0 · 0 = 0(12

)2= 1

2 ·12 = 1

4(−1

2

)3=(−1

2

)·(−1

2

)·(−1

2

)= −1

8

Ejemplo 1.42. Potencia Cero

40 = 1(−3)0 = 1

Alerta. 00 no esta definido

Ejemplo 1.43. Potencias Negativas

2(−3) = 123

= 18

4(−2) = 142

= 116

(−3)(−4) = 1(−3)4 = 1

81

(−7)(−2) = 1(−7)2 = 1

49

(−2)(−3) = 1(−2)3 = 1

−8 = −18

Alerta. Por ejemplo, 0−2 y 0−5 no estan definidas.

Considere el siguiente hecho de conteo: Si el evento A puede pasar de c formas distintas y el eventoB puede pasar de k formas independientes distintas, entonces el evento AyB simultaneamente puedepasar de c · k formas distintas. Por ejemplo, lanzar una moneda normal tiene 2 opciones distintas(cara, sello) y lanzar un dado normal tiene 6 opciones distintas. Luego si lanzamos la moneda y eldado tenemos 2 · 6 = 12 posibles resultados distintos.

Ejemplo 1.44. Suponga que un numero de una loteria consta de 3 dıgitos (Numeros del conjunto{0, 1, 2, ..., 9}). Observe que cada casilla de las tres tiene las mismas 10 posibilidades de ser lle-nada. Luego, elegir un numero para la primer casilla tiene 10 posibilidades, para la segunda 10posibilidades e igual para la tercera casilla. Por tanto, usando el hecho de conteo anterior, tenemos10 · 10 · 10 = 103 posibles numero de loteria, es decir 1000 de ellos.


Ejemplo 1.45. Poblaciones. El total de individuos en un cultivo de cierto tipo de bacterias seduplica cada hora. Si B0 es el numero de bacterias al iniciar el cultivo (tiempo t = 0) tenemos, parat en horas, 2B0 bacterias en una hora, 2(2B0) = 4B0 al cabo de dos horas y ası sucesivamente.Luego:

Tiempo t Bacteriast = 0 B0

t = 1 2B0 = B0 · 2 = B0 · (21)t = 2 2(2B0) = 4B0 = B0 · (22)t = 3 2(4B0) = 8B0 = B0 · (23)t = 4 2(8B0) = 16B0 = B0 · (24)

Si como caso particular, tenemos inicialmente 5 bacterias, es decir B0 = 5, tenemos 10 bacteriasal cabo de una hora, 20 al cabo de dos, 40 al cabo de tres y 80 al finalizar la cuarta hora de cultivo.

Ejemplo 1.46. Aquiles y La Tortuga (por Zenon de Elea). Para llegar del punto A al punto Ben linea recta, primero debe llegarse al punto medio entre ellos (recorrer la mitad de la distancia).Luego, de este punto medio al punto B debe llegarse a la mitad (o sea, recorrer la mitad de la mitad)y ası sucesivamente. Si D es la distancia entre A y B tenemos:

Paso Distancia a recorrer0 D1 1

2D = D · 12 = D · (2−1)2 1

2(12D) = 14D = D · (2−2)

3 12(14D) = 1

8D = D · (2−3)4 1

2(18D) = 116D = D · (2−4)


1. Responda a las siguientes preguntas, justificando su respuesta

a) ¿es cierto que x0 = 1 para cualquier numero real x?

b) ¿para cualquier valor de x, numero real, se puede calcular x0?

c) ¿Para cualquier valor de x (numero real), y de n (numero entero) se puede calcular x−n?

2. Calcule las potencias indicadas

a) 30 = , 31 = , 32 = , 33 = , 34 =

b) 3−1 = , 3−2 = , 3−3 = , 3−4 = . ¿Existe un numero entero n que satisfaga 3n = 2?Justifique su respuesta.

c) (−2)0 = , (−2)1 = , (−2)2 = , (−2)3 = , (−2)4 = ,

d) (−2)−1 = , (−2)−2 = , (−2)−3 = , (−2)−4 = .

3. Observe en el punto anterior. los literales c) y d) el comportamiento del signo de las potenciaspares de −2. Este fenomeno es general y depende de la ley de signos del producto.

a) ¿Que puede afirmar del signo de las potencias pares de un numero negativo cualquiera?


b) ¿Que puede afirmar del signo de las potencias impares de un numero negativo cualquiera?

c)¿Que puede afirmar del signo de las potencias pares e impares de un numero positivo cualquiera?

d) Use sus razonamientos anteriores para mostrar que las ecuaciones x2 = −1 y x4 = −16 notienen solucion en los numeros reales.

4. Diferencia entre nx y xn: Si se puede, calcule lo siguiente

a) Calcule 3x y x3 para x = 0, 1, 2, 3, 4

b) Calcule 2x y x2 para x = 0, 1, 2, 3, 4

b) Calcule −2x y x−2 para x = 0, 1, 2, 3, 4

5. ¿Cuantos numeros de billentes de loterıa se pueden generar para una loterıa de 6 digitos?

6.Un estudiante en broma le pide a su profesor que le eleve su nota al cuadrado, pero el profesor leresponde que al hacerlo su nota bajarıa. ¿Que caracterıstica tiene la nota que obtuvo el estudiantepara que esto pase? ¿Que nota saco el estudiante si al elevarla al cuadrado no tuviera cambio?

1.4.2 Propiedades de los Exponentes Enteros

Si x, y ∈ R y n,m ∈ Z entonces

Propiedad Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

xn · xm = xn+m x3 · x4 = x3+4 = x7 45 · 47 = 45+7 = 412 2−3 · 2−2 = 2(−3)+(−2) = 2−5

xn

xm = xn−m x8

x5= x8−5 = x3 52

59= 52−9 = 5−7 = 1

57810

86= 810−6 = 84

(xn)m = xn·m(x3)4

= x3·4 = x12(35)6

= 35·6 = 330(42)−5

= 4(2)·(−5) = 4−10 = 1410

(x · y)n = xn · yn (x · y)5 = x5 · y5 (2 · 5)−3 = 2−3 · 5−3 (3x)4 = 34 · x4 = 81x4(xy

)n= xn

yn

(xy

)7= x7

y7

(23

)4= 24

34= 16

81

(34

)−2= 3(−2)

4(−2) = 1/91/16 = 16

9

Observe que 3x4 6= (3x)4 pues (3x)4 = 34 · x4 = 81x4. Luego, por la misma propiedad tenemos

−x6 6= (−x)6 pues (−x)6 = (−1 · x)6 = (−1)6 · x6 = x6 y

4y3 6= (4y)3 pues (4y)3 = 43 · y3 = 64y3

Alerta. Errores comunes: Los siguientes son algunos ejemplos de equivocaciones usuales. Son afir-maciones que no son ciertas en general, es decir, hay numeros con los que fallan.

Error Ejemplo 1 Ejemplo 2

(x+ y)n = xn + yn (2 + 3)3 = 53 = 125 6= 23 + 33 = 8 + 27 = 35 (1 + 2)−4 = 3−4 = 134

= 181 6= 1−4 + 2−4 = 1

14+ 1

24= 1 + 1

16 = 1716

xn + xm = xn+m 22 + 23 = 4 + 8 = 12 6= 22+3 = 25 = 32 3−1 + 32 = 13 + 9 = 28

3 6= 3−1+2 = 31 = 3


Ejemplo 1.47. Longitudes, Areas, Volumenes y Unidades de medida: Recuerde que para medirlongitud, areas y volumenes tenemos, entre otras medidas:

longitud area volumenmetros m metros cuadrados m2 metros cubicos m3

centımetros cm centımetros cuadrados (cm)2 centımetros cubicos (cm)3

kilometros km kilometros cuandrados (km)2 kilometros cubicos (km)3

Recuerde que el area A de un cuadrado de longitud de lado x es A = x2 y el volumen V de uncubo de lado (arista) x es V = x3. Luego si x es el lado del cuadrado y tambien la arista del cuboy x tiene longitud 3 metros tenemos

longitud x = 3marea cuadrado A = (3m)2 = 32m2 = 9m2

volumen cubo V = (3m)3 = 33m3 = 27m3

Recuerde que el area A de un cırculo de radio r es A = πr2 y el volumen V de la esfera deradio r es V = 4

3πr3. Luego un cırculo de radio r = 1

2cm tiene area A = π(12cm

)2= π

(12

)2cm2 =

π · 14cm2 = π

4 cm2 y una esfera del mismo radio tiene volumen V = 4

3π(12cm

)3= 4

3π(12

)3cm3 =

43π

18cm

3 = π6 cm

3

mientras que un cırculo de radio 5km tiene area A = π(5km)2 = π · 25 = 25π y la esfera delmismo radio tiene volumen V = 4

3π (5km)3 = 43π (5)3 cm3 = 4

3π · 125cm3 = 500π3 cm3

Ejemplo 1.48. Suponga que un cırculo de radio 3m esta completamente contenido en el interiorde otro cırculo de radio 7m . Determine el area de la region entre los cırculos.

Para esto, basta al area del cırculo grande restar el area del cırculo pequeno, es decir:Agrande = π(7m)2 = π · 49 ·m2 = 49π ·m2

Apequeno = π(3m)2 = π · 9 ·m2 = 9π ·m2

Aregion = 49π ·m2 − 9π ·m2 = 40π ·m2

Ejemplo 1.49. Conversiones de medidas:

De metros a centımetros: Sabemos que 1m = 100cm.Luego un area de 4m2 en centımetros cuadrados es: 4m2 = 4 · (100cm)2 = 4 · (100)2 · cm2 =

40000cm2

y un volumen de 2m3 en centımetros cubicos es: 2m3 = 2 · (100cm)3 = 2 · (100)3 · cm3 =2000000cm3

Algunos productos famosos

Despues de hacer el producto descrito en cada caso y simplificar el resultado, podemos usar lassiguientes estructuras de producto, dado que por la forma que tienen, se conoce el resultado sinecesidad de distribuir:


Estructura Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

(a− b) (a+ b) = a2 − b2 (2x− 3) (2x+ 3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9 (2x− 3) (2x+ 3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9(5x3 − 6z

) (5x3 + 6z

)=(5x3)2 − (6z)2 = 25x6 − 36z2

(a− b) (a2 + ab+ b2) = a3 − b3 (4x− 3)(16x2 + 12x+ 9

)= (4x)3 − (3)3 = 64x3 − 27 (x− 5y)

(x2 + 5xy + 25y2

)= (x)3 − (5y)3 = x3 − 125y3 (a− 3)

(a2 + 3a+ 9

)= (a)3 − (3)3 = a3 − 27

(a+ b) (a2 − ab+ b2) = a3 + b3 (2x+ 5)(4x2 − 10x+ 25

)= (2x)3 + (5)3 = 8x3 + 125 (x+ 3y)

(x2 − 3xy + 9y2

)= (x)3 − (3y)3 = x3 − 27y3 (a+ 2)

(a2 − 2a+ 4

)= (a)3 + (2)3 = a3 − 8

(a± b)2 = (a± b) (a± b) = a2 ± 2ab+ b2(3x+ 4y5

)2= (3x)2 + 2 (3x)

(4y5)

+(4y5)2

= 9x2 + 24xy5 + 16y10 (6t− 5)2 = (6t)2 − 2 (6t) (5) + (5)2 = 36t2 − 60t+ 25(2x3y + 3z4

)2=(2x3y

)2+ 2

(2x3y

) (3z4)

+(3z4)2

= 4x6y2 + 12x3yz4 + 9z8

Errores comunes: Los siguientes son algunos ejemplos de equivocaciones usuales. Son afirmacionesque no son ciertas en general, es decir, hay numeros con los que fallan.

Error Ejemplo 1 Ejemplo 2

(x+ y)n = xn + yn (2 + 3)3 = 53 = 125 6= 23 + 33 = 8 + 27 = 35 (1 + 2)−4 = 3−4 = 134

= 181 6= 1−4 + 2−4 = 1

14+ 1

24= 1 + 1

16 = 1716

xn + xm = xn+m 22 + 23 = 4 + 8 = 12 6= 22+3 = 25 = 32 3−1 + 32 = 13 + 9 = 28

3 6= 3−1+2 = 31 = 3

A continuacion encuentra la definicion de cantidades directamente e inversamente proporcionales,muy utiles, entre otros, en algunos modelos de la fısica.

Definicion 1.10. Suponga que A y B son cantidades variables. Se dice que A y B son cantidadesdirectamente proporcionales si existe k ∈ R tal que A = kB. (Una cantidad es multiplo escalarde la otra). Se dice que A y B son cantidades inversamente proporcionales si existe k ∈ R tal queA = k 1

B . (Una cantidad es multiplo escalar del inverso multiplicativo de la otra, con lo cual, si unaaumenta la otra disminuye)

Ley de Hooke: En fısica dentro del estudio de el estiramiento longitudinal de un resorte, seestablece que si x es el estiramiento o compresion del resorte, x es directamente proporcional alla fuerza aplicada F . Es decir: F = kx donde a la constante de proporcionalidad se le dominaconstante de elasticidad del resorte.

Caida libre: Al soltar un objeto y dejarlo caer libremente (distancias pequenas), sin considerarla resistencia del aire, se afirma que la diferencia entre la altura al piso h y la altura inicial h0, esproporcional al cuadrado del tiempo transcurrido en la caida.

Es decir, h− h0 = kt2

Si se considera que por ser distancias pequenas, la gravedad g como constante, se llega a h− h0 =−1

2gt2 o lo mismo escrito en forma estandar h = h0 − 1

2gt2

Fuerza de Gravedad: Si se ponen dos objetos de masas m1 y m2 a una distancia R, la ley degravitacion universal afirma que la fuerza de atraccion entre ellos F es directamente proporcionalal producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, esdecir F = km1m2

R2 donde k es denotada usualmente como G, y denota a la constante de gravitacionunviersal.

Modelos de Produccion: En economıa es usual estudiar modelos de produccion con la formaQ = AKcLd donde A, c y d son constantes positivas y Q es el valor de la produccion, K es el capitaly L es horas-hombre trabajadas. Si tomamos c = 3 y d = 2 el modelo Q = AK3L2 podrıamos leerlocomo: el valor de la produccion es directamente proporcional al cubo del capital y al cuadrado delas horas-hombre trabajadas.



1. Determine el valor de n numero entero, si existe, tal que:

a) xnx5 = x8

b) xnx10 = x3

c) (xn)3 = x15

d)(a−4)n

= a20

e) b4

bn = b11

f) c−2n

c4= c5

2. Determine el valor de n numero entero, si existe, tal que:

a) 2n = 8

b) 2n = 16

c) 5n = 15

d) 5n = 125

3. Directamente proporcionales: Describa en una ecuacion los siguientes hechos de proporcionalidaddirecta:

a) El volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio. ¿Cual es la constante de propor-cionalidad?

b) El area de un cuadrado es proporcional a su lado elevado al cuadrado. ¿Cual es la constante deproporcionalidad?

c) El area de un cırculo es proporcional al cuadrado de su radio. ¿Cual es la constante de propor-cionalidad?

4. Inversamente proporcionales: Describa en una ecuacion los siguientes hechos de proporcionalidadinversa:

a) El tiempo del viaje es inversamente proporcional a la velocidad.

b) El tiempo en construir un muro es inversamente proporcional al numero de trabajadores en suconstruccion.

c) La intensidad de la luz I es directamente proporcional a su potencia P e inversamente propor-cional al area iluminada A.

5. Calcule los siguientes productos y simplifique

a) (2x)(3x4) =

b) (4x3y4)(−5x−2y3z) =

c) (2x−5y4z2)(−3x4y5z−3)(−4xy) =?,

d) 6x3y(3x−1y5 + 4x2y−3) =?

6. Las unidades: Elabore las siguientes conversiones de medidas de longitud y perımetro, area,volumen:

a) Escriba 1000cm3 en m3 y luego en mm3

b) Una caja tiene un volumen de 2m3. Exprese este volumen en cm3 y en dm3.

c) Un terreno tiene un area de 3000m2. Exprese esta area en cm2 y km2.

7. Si se duplica el radio de una circunferencia, ¿Cuanto aumenta su area? ¿Cuanto si se triplica?

8. Si se duplica el radio de una esfera ¿Cuanto aumenta su volumen? ¿Cuanto disminuye si se reducea la mitad?

9. Si queremos aumentar en 8 el volumen de un cubo, ¿Cuanto debemos aumentar la longitud desus aristas?

10. Si los radios de dos circunferencias estan en la razon de 2 a 3 las areas estan en razon de?

11. Simplifique las siguientes expresiones:

a) (x−n)−n

b)(x−1

)−112. Simplifique

a)(x2y−3

z−4

)−2b) (2x)

(3x4)

c)(4x−3y−5

)−1(−5x−2y3)

d)(2x−5y4z2

)−2 (−12x

4y5z−3)3

(−4xyz)−2

e) 6x3y(3x−1y5 + 4x2y − 3)

1.5.2. Notacion Cientıfica

La notacion cientıfica descrita a continuacion permite la escritura decimal de numeros reales muygrandes o muy pequenos y da luces acerca de la aritmetica que los involucra basandose en la teorıade exponentes descrita hasta ahora.

Definicion 1.11. Un numero real x se dice que esta escrito en notacion cientıfica si se escribe dela forma

x = a× 10n

donde a es un numero real cualquiera con 1 ≤ a < 10 y n es un numero entero.

Ejemplo 1.50. 3, 14 = 3, 14× 100

27, 4 = 2, 74× 101

300 = 3× 102

1258 = 1, 258× 103

14500 = 1, 45× 104

12,300,000 = 1, 23× 106

0, 4 = 4× 10−1

0, 075 = 7, 5× 10−2

0, 0014 = 1, 4× 10−3

0, 00000056 = 5, 6× 10−7

Observe que las potencias positivas corresponden a numeros reales donde, desde la escritura decimalpara pasar a notacion cientıfica, la coma debe correrse a la izquierda tantas posiciones decimalescomo indique el exponente del 10. De forma dual las potencias negativas corresponden a numerosreales donde, desde la escritura decimal para pasar a notacion cientıfica, la coma debe correrse a laderecha tantas posiciones decimales como indique el valor absoluto del exponente del 10.

Numeros reales grandes y pequenos:

Suponga que n es un numero entero positivo y 1 ≤ a < 10 y 1 ≤ b < 10. Tenemos entonces que

x = a× 10n es un numero mayor que 10 y

y = b× 10−n es un numero entre 0 y 1.

Observe que entre mas grande sea el valor de n el numero x es cada vez mas grande (cientos, miles,millones,...) y y es cada vez mas cercano a cero (decimas, centecimas, milesimas, millonesimas,...).Por tanto, la sucesion de numeros:

2× 102, 2× 103, 2× 104, 2× 105, 2× 106, ..., 2× 102000, ..., 2× 10200,000, ..., 2× 105,000,000, ... muestraque en los numeros reales existen numeros tan grandes como se requiera y la sucesion de numeros

3×10−2, 3×10−3, 3×10−4, 3×10−5, 3×10−6, ..., 3×10−5000, ..., 3×10−500,000, ..., 3×10−20,000,000, ...muestraque en los numeros reales existen numeros tan cercanos a cero como se requiera.

Ejemplo 1.51. Como escribir un numero en notacion decimal? Considere los numeros x =5,600,000 y y = 0, 00000159.

Para que x = a × 10n con 1 ≤ a < 10 tome a = 5, 6 y n = 6 que corresponde al numero deposiciones decimales que debe correrse la coma decimal del 5,600,000, 000....a la izquierda. Luegox = 5, 6× 106.

Para que y = b × 10m con 1 ≤ b < 10 tome b = 1, 59 y m = −8 que corresponde, en valorabsoluto, al numero de posiciones decimales que debe correrse la coma decimal del 0, 00000159 a laderecha. Luego x = 1, 59× 10−8.

Algunas operaciones con numero en notacion decimal

Si x = a× 10n con 1 ≤ a < 10 y y = b× 10m con 1 ≤ b < 10 y n y m son enteros. Entonces

xy = (a× 10n) (b× 10m) = ab× 10n+m

xy = a×10n

b×10m = ab × 10n−m


Ejemplo 1.52.(3× 107

) (5× 104

)= 15× 107+4 = 15× 1011 = 1, 5× 1012(

2× 10−4) (

9× 1012)

= 18× 10−4+12 = 18× 108 = 1, 8× 109(4× 10−14

) (8× 10−21

)= 32× 10−14−21 = 32× 10−35 = (3, 2× 101)× 10−35 = 3, 2× 101−35 =

3, 2× 10−348×10154×106 = 8

4 × 1015−6 = 2× 109

6×10−4

5×109 = 65 × 10−4−9 = 1, 2× 10−13

1×10128×10−5 = 1

8 × 1012−(−5) = 0, 125 × 1012+5 = 0, 125 × 1017 =(1, 25× 10−1

)× 1017 = 1, 25 ×

10−1+17 = 1, 25× 1016


1. ¿Que diferencia la escritura de numero reales muy grandes positivos en notacion cientıfica y losnumeros positivos muy cercanos a cero?

2. Use notacion cientıfica para argumentar sus respuestas a los siguientes

a) ¿Porque es cierto que al multiplicar dos numeros muy pequenos (cercanos a cero) su resultadoes mas pequeno inclusive? ¿Es cierto si se divide uno en otro?

b) ¿Porque es cierto que al multiplicar dos numeros positivos muy grandes su resultado es masgrande inclusive? ¿Es cierto si se divide uno en otro?

3. Escriba en notacion cientıfica

a) x = 23,456

b) x = 98,700,000,000

c) x = 145, 2

d) x = 0, 234

e) x = 0, 000139

f) x = 0, 000000000657

4. Para los numeros x e y calcule xy y xy y escriba el resultado en notacion cientıfica:

a) x = 4× 1015 y y = 2× 1012

b) x = 9× 10−4 y y = 7× 108

c) x = 5× 1020 y y = 7× 10−6

d) x = 4× 10−9 y y = 8× 10−16

5. Considere la sucesion

a1 = 2

a2 = 0, 2

a3 = 0, 02

a4 = 0, 002 . . .

a5 = 0, 0002

...

Escriba estos terminos en notacion cientıfica y use esto para inferir la forma que debe tener eln-esimo termino an de la sucesion. ¿Que concluye?

1.6. MANEJO DE RADICALES Y OPERACIONES 59

6. Repita el ejercicio 5. para la sucesiones

b1 = 0, 03

b2 = 0, 3

b3 = 3

b4 = 30

b5 = 300

b6 = 3000

...

y para

c1 = −1/1000

c2 = 1/100

c3 = −1/10

c4 = 1

c5 = −10

c6 = 100

c7 = −1000

c8 = 10000

...

1.6. Manejo de radicales y operaciones

1.6.1. Exponentes racionales, propiedades y racionalizacion

Definicion 1.12. Para n un numero entero positivo y x y y numeros reales. Se dice que y es laraız n-esima de x, denotada por n

√x, si yn = x, es decir

n√x = y si yn = x.

Para n par se requiere que x ≥ 0 y y ≥ 0. La extension a x un numero real cualquiera y n parse hara al final del capıtulo. Observe que tanto x como n

√x tienen siempre el mismo signo, si esta

definida la raız. Ademas, n√x esta definida para cualquier numero real x si n es impar.

Ejemplo 1.53. 8 = 2√

64 pues 82 = 64−2 = 3

√−8 pues (−2)3 = −8

3 = 4√

81 pues 34 = 812 = 5√

32 pues 25 = 32−1 = 5

√−1 pues (−1)5 = −1

−32 = 3

√−27

8 pues(−3

2

)3= −27

8

Alerta. Pero 4√−5,√−9 y 8

√−1 no estan definidas en los numeros reales por ser raices pares de

numeros negativos.

Hecho importante:


Si n es un entero positivo impar n√xn = x

Si n es un entero positivo par n√xn = |x|

Ejemplo 1.54.√

52 =√

25 = |5| = 5√(−4)2 =

√16 = |−4| = 4

6√

76 =√

117,649 = |7| = 74

√(−2)4 = 4

√16 = |−2| = 2

Mientras que3√

43 = 3√

64 = 45

√(−2)5 = −2

3

√(−4)3 = 3

√−64 = −4

7√

37 = 7√

2187 = 3

Aplicaciones:Sabemos que n

√x es, si existe, el numero real con el mismo de x que elevado a la n da x. En el caso

n impar tenemos n√x = y si y solo si x = yn. Esto en el caso par no es cierto, pues por definicion

n√x = y entonces yn = x pero la ecuacion yn = x si tiene solucion, tiene a |y| = n

√x como solucion,

es decir, y = ± n√x.Veamos:

Raices Impares

x3 = 27 si y solo si3√x3 = 3

√27 es decir x = 3

x5 = 32 si y solo si5√x5 = 5

√32 es decir x = 2

x7 = −1 si y solo si7√x7 = 7

√−1 es decir x = −1

Raices Pares

x2 = 36 si y solo si√x2 =

√36 es decir |x| = 6 o sea x = 6 o x = −6

x4 = 81 si y solo si4√x4 = 4


x6 = 1 si y solo si6√x6 = 6


Definicion 1.13. Definicion: Para n numero entero positivo y m numero entero cualquiera y m/nsimplificada

am/n =(a1/n

)m= ( n√a)m

siempre que n√a este definida.

Basado en los ejemplos anteriores, observe que n√am no es siempre igual a ( n

√a)m

(revise los casosen que a es negativo).

Observe que desde la definicion:

Ejemplo Tipo 1 Ejemplo Tipo 2 Ejemplo Tipo 3n√x = x1/n xm/n = ( n

√x)m

5m/n =(

n√

5)m

√x = x1/2 x3/4 = ( 4

√x)

373/4 =

(4√

7)3

3√x = x1/3 x5/3 = ( 3

√x)

5(−6)5/3 =

(3√−6)5

4√x = x1/4 x7/2 = ( 2

√x)

7π7/2 = ( 2

√π)

7

5√x = x1/5 x7/11 = ( 11

√x)

7(−2)7/11 =

(11√−2)7

1.6. MANEJO DE RADICALES Y OPERACIONES 61

Como las raices se definen en terminos de exponentes, las leyes de exponentes siguen siendo validas,siempre que las raices involucradas esten definidas.En particular

n√xy = n

√x n√y n√

3 · 5 = n√

3 · n√

5√

9 · 5 =√

9 ·√

5 = 3√

5 3√

8y15 = 3√

8 · 3√y15 = 2y5

n

√xy =

n√xn√y

n

√17 =

n√1n√7 = 1

n√7

√2536 =

√25√36

= 56

3

√x12

27 =3√x12

3√27= x4

3

n√

m√x = nm

√x

n√

m√

3 = nm√

35√

8√

2 = 40√

2 3√

7√x = 21

√x

Errores comunes:√x2 = x es falso en general pues

√x2 = |x| . Por ejemplo:

√(−3)2 =

√9 = 3 = |−3|

√x+ y =

√x +

√y es falso salvo algunas excepciones. Por ejemplo: 5 =

√25 =

√9 + 16 =√

9 +√

16 = 3 + 4 = 7

Raices y Numeros irracionales

Se tiene que la raız n-esima de la potencia n de un numero racional es racional. Cuando el numerono es la potencia n-esima de un racional, el resultado de su raız n-esima es un numero irracionalcomo

√2, 3√

7, 4√

6/5 y 5√−2/7. Pero podemos hacer un poco de aritmetica. Usemos la descomposi-

cion en productos del numero:√

32 =√

25 =√

24 · 2 =√

24 ·√

2 =√

16 ·√

2 = 4√

2

3√

2592 =3√

34 · 25 =3√

33 · 3 · 23 · 22 =3√

33 · 23 · 3 · 4 = 3

√(3 · 2)3 · 12 = 3

√(6)3 · 3

√12 = 6 3

√12

4√

2400 =4√

25 · 3 · 52 =4√

24 · 2 · 3 · 25 =4√

24 · 150 =4√

24 · 4√

150 = 2 4√

150√

69984 =√

25 · 37 =√

24 · 2 · 36 · 3 =√

24 · 36 · 2 · 3 =

√(22 · 33)2 · 6 =

√(4 · 27)2 · 6 =

√1082 · 6 =

108 ·√

6

Comportamiento de la raız n-esima.

La raız n-esima es creciente, es decir, si a 37 implica que7√x7 >

7√

37 es decir x > 3.

x5 < 25 implica que5√x5 <

5√

25 es decir x < 2.

x4 < 54 implica que4√x4 <

4√

54 es decir |x| < 5 o sea −5 < x < 5.

x2 > 72 implica que√x2 >

√72 es decir |x| > 7 o sea −7 > x o 7 < x.

Racionalizacion

Racionalizacion

El proceso de racionalizacion consiste en multiplicar por el mismo termino el numerador y deno-minador de una fraccion que involucra raices de forma que el resultado sea una fraccion en la quese ha simplificado o eliminado el uso de tales raices en el numerador o el denominador.

Ejemplos:

a) 1√5

= 1√5·√5√5

=√5

(√5)

2 =√55 . Observe que se racionalizo el denominador.

b)√22 =

√22 ·

√2√2

=(√2)

2

2√2

= 22√2

= 1√2. Observe que se racionalizo el numerador.

c) 34√x = 3

4√x ·4√x3

4√x3

= 3· 4√x3

4√x· 4√x3

= 3· 4√x3

4√x·x3

= 34√x3

4√x4

= 34√x3

|x| = 34√x3

x pues x > 0 para poder calcular el

termino 34√x .


d) 53√y2

= 53√y2·

3√y

3√y =

5· 3√y3√y2· 3√y

=5· 3√y3√y2·y

=5· 3√y3√y3

=5· 3√yy lo cual es valido para todo y 6= 0.

e) 17√a3

= 17√a3·

7√a4

7√a4

=7√a4

7√a3· 7√a4

=7√a4

7√a3·a4

=7√a4

7√a7

=7√a4

a lo cual es valido para todo a 6= 0

f) 16√a = 1

6√a ·6√a5

6√a5

=6√a5

6√a· 6√a5

=6√a5

6√a·a5

=6√a5

6√a6

=6√a5

|a| =6√a5

a pues a > 0 para poder calcular el

termino 16√a .

Racionalizacion usando los productos famosos

Recuerde los productos

Estructura(a− b) (a+ b) = a2 − b2(a− b) (a2 + ab+ b2) = a3 − b3(a+ b) (a2 − ab+ b2) = a3 + b3

Estas estructuras nos permiten racionalizar algunas expresiones. Por ejemplo

a) 1√x+√y

= 1√x+√y·√x−√y√x−√y =

√x−√y

(√x+√y)(√x−√y)

=√x−√y

(√x)

2−(√y)

2 =√x−√yx−y lo cual es valido para

x ≥ 0, y ≥ 0, para poder calcular√x y√y, pero ademas se requiere que x− y 6= 0 o sea x 6= y

b) z−t3√z−√t3

= z−t3√z−√t3·√z+√t3√

z+√t3

=(z−t3)(

√z+√t3)

(√z−√t3)(√z+√t3)

=(z−t3)(

√z+√t3)

(√z)

2−(√t3)

2 =(z−t3)(

√z+√t3)

z−t3 =√z +√t3

siempre que z − t3 6= 0 para que las fracciones tengan sentido y z ≥ 0, t ≥ 0 para poder calcular√z y√t3.

c) 13√x− 3

√y

= 13√x− 3

√y·

3√x2+ 3√x 3

√y+ 3√y2

3√x2+ 3√x 3

√y+ 3√y2

=3√x2+ 3√x 3

√y+ 3√y2

( 3√x− 3√y)

(3√x2+ 3√x 3

√y+ 3√y2

) =3√x2+ 3√x 3

√y+ 3√y2

( 3√x)3−( 3√y)

3 =3√x2+ 3√x 3

√y+ 3√y2

x−y

lo cual es valido para x− y 6= 0 o sea x 6= y.

d) x+y3√x+ 3

√y

= 13√x+ 3

√y·

3√x2− 3√x 3

√y+ 3√y2

3√x2− 3√x 3

√y+ 3√y2

=(x+y)

(3√x2− 3√x 3

√y+ 3√y2

)( 3√x+ 3

√y)

(3√x2− 3√x 3

√y+ 3√y2

) =(x+y)

(3√x2− 3√x 3

√y+ 3√y2

)( 3√x)

3+( 3√y)

3 =

(x+y)(

3√x2− 3√x 3

√y+ 3√y2

)x+y =

3√x2 − 3

√x 3√y + 3

√y2 lo cual es valido para x+ y 6= 0 o sea x 6= −y.


1. ¿Es cierto para todo numero real x y todo entero n que (xn)1/n = x?

2. ¿Siempre es cierto que (xn)1/n = (x1/n)n? ¿Bajo que condiciones es cierta la afirmacion anterior?

3. Para todo x numero real ¿(x2)1/2 = x? ¿(x1/2)2 = x?

4. a) Si el area de una circunferencia es 36π, ¿cual es el radio?

b) Si el volumen de una esfera es 36π, ¿cual es el radio?

5. a) Si el area de un cuadrado es 25cm2, ¿cual es la longitud de su lado?

b) Si el volumen de un cubo es 24cm2, ¿cual es la longitud de su lado?

6. Si hay numeros negativos que satisfacen la ecuacion dada, ¿cuales son tales numeros?

a) x4 = 16

b) x3 = −5

c) x4 = 81

d) (x2 − 9)(x2 − 25) = 0

1.7. NUMEROS COMPLEJOS 63

e)(x4 + 2

) (x4 − 16

)= 0

7. ¿Cuales numeros positivos resuelven las ecuaciones del punto anterior? ¿Cuales son las todassoluciones entre positivas y negativas?

8. Use la definicion de exponentes para simplificar

a)√√

x

b)3√

4√x7

c)5√

4√x3

9. Determine si el numero dado es irracional y o racional:

a)√

128

b) 3√

81

c) 5√

32

d) 6√

64

10. Use la descomposicion como producto de cada termino y haga la sumas indicada

a)√

8 +√

50

b) 5 3√

24 + 7 3√

2

c) 9 4√

48− 5 4√

3

11. Resuelva

a) x2 < 16

b) x3 > 64

c) x4 > 16

d) x5 < −1

12. Racionalice las siguientes denominadores,

a) 1√5

b) 10√6

c) 54√x3

d) −13√x

e) 45√x2

13. La media geometrica de los numeros reales a1, ..., ak es k√a1 · a2 · · · · · ak. Calcule la media

geometrica de

a) 1, 2 y 4

b) −1, 2,−4,−2, 2

c) 1,−1, 1,−1, 16, 4

1.7. Numeros Complejos

Sabemos que no existe en los numeros reales un valor para x de forma que x2 = −1 o x4 = −16 ox6 = −5 pues siempre las potencias pares de numeros reales son positivas o cero.


Definicion 1.14. i =√−1 es decir i2 = −1. Ademas, si a > 0:

√−a =

√−1 · a =

√−1 ·√a = i

√a

Claramente i no es un numero real.

Observe los siguientes hechos

i3 = i2 · i = −1 · i = −i√−9 =

√−1 · 9 =

√−1 ·√

9 = i · 3 = 3i

i4 = i2 · i2 = −1 · −1 = 1√−64 =

√−1 · 64 =

√−1 ·√

64 = i · 8 = 8i

i5 = i4 · i = 1 · i = i√−25 =

√−1 · 25 =

√−1 ·√

25 = i · 5 = 5i

Definicion 1.15. Definicion: Los numeros complejos C son todos los numeros de la forma a+ ibdonde a y b son numeros reales arbitrarios. es decir: C = {a+ ib : a, b ∈ R}. Si z = a + bi, cona, b ∈ R se dice que a es la parte real de z y b es la parte imaginaria.

Ejemplo 1.55. a) z = 3− 5i tiene a 3 como su parte real y a −5 como su parte imaginariab) z = 2 + i tiene a 2 como su parte real y a 1 como su parte imaginariac) z = −4 + 2i tiene a −4 como su parte real y a 2 como su parte imaginariad) z = 3 tiene a 3 como su parte real y a 0 como su parte imaginariae) z = 8i tiene a 0 como su parte real y a 8 como su parte imaginaria

Por tanto, los numeros complejos incluyen a los numeros reales pues si x es un numero real entoncesz = x+ 0i = x es un numero complejo con parte imaginaria cero.

Operaciones basicas y propiedades:

Si z = a+ ib y w = c+ id con a, b, c, d ∈ R entonces

Propiedad Ejemplo 1 Ejemplo 2z + w = (a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i (b+ d) (3 + 4i) + (−2 + 7i) = (3− 2) + i (4 + 7) = 1 + 11i (3 + 4i) + (−2 + 7i) = (3− 2) + i (4 + 7) = 1 + 11iz − w = (a+ ib)− (c+ id) = (a− c) + i (b− d) (5− 7i)− (2 + 9i) = (5− 2) + i (−7− 9) = 3− 16i (−2 + i)− (4 + 5i) = (−2− 4) + i (1− 5) = −6− 4iz · w = (a+ ib) · (c+ id) = (ac− bd) + i (ad+ bc) (3 + 4i) · (−1 + 7i) = −3− 4i+ 21i+ 28i2 = −3− 28 + 17i = −31 + 17i (1 + 2i) · (3 + 5i) = 3 + 5i+ 6i+ 15i2 = 3− 15 + 11i = −12 + 11i

La tercera propiedad se obtiene distribuyendo el producto y luego agrupando los terminos queincluyen y los que no a i.

Definicion 1.16. Si z = a+ bi es un numero complejo con a, b ∈ R, el conjungado de z, denotadopor z es

z = a− bi.

Propiedades:

a) z = z (al conjugar dos veces obtiene el numero original)

b) z + w = z + w (el conjugado de la suma se obtiene sumando los conjugados de los numeros)

c) z · w = z ·w (el conjugado del producto se obtiene multiplicando los conjugados de los numeros)

d) z + z = (a+ bi) + (a− bi) = 2a

e) z − z = (a+ bi)− (a− bi) = 2bi

f) z · z = (a+ bi) · (a− bi) = a2 + b2

La propiedad f) se obtiene al ditribuir y simplificar usando el hecho de que i2 = −1.

prec alculo - dariocamargo0077.files.wordpress.com · la resta y el rec proco o inverso aditivo ......

Documents