Glava 1

Prava

Implicitni oblik prave: Ax+By + C = 0.Eksplicitni oblik prave: y = kx+ n.

Segmentni oblik prave:x

a+y

b= 1.

1. Za datu pravu x+ y + 3 = 0, odrediti:

a) koecijent pravca,

b) ugao koji zaklapa sa pozitivnim delom x-ose,

c) ta£ke u kojima se£e x- i y-osu.

Re²enje. Lako dobijamo da je y = −x − 3. Odavde se jasno vidi da jek = −1, a n = −3.

Kako je k = tg α = −1, gde je α ugao koji data prava zaklapa sa pozi-

tivnim delom x-ose, to je α = 135 =3π

4.

Za x = 0, dobijamo y = −3, a za y = 0, dobijamo x = −3, pa je presekdate prave sa x-osom ta£ka (−3, 0), a sa y-osom ta£ka (0,−3).

1

2 GLAVA 1. PRAVA

2. Ako prava sa pozitivnim delom x-ose zaklapa ugao saπ

3i neka prava

prolazi kroz ta£ku A(−2√

3, 3). Na¢i:

a) koecijent pravca (nagib) date prave,

b) jedna£inu ove prave,

c) ta£ke u kojima prava se£e x- i y-osu.

Re²enje. Koecijent pravca (nagib) prave je k = tgπ

3=√

3.

Jedna£ina ove prave je y − 3 =√

3(x− (−2√

3)), odnosno y =√

3x+ 9.Dalje se lako dobija da je presek prave sa x-osom ta£ka (−3

√3, 0), a sa

y-osom ta£ka (0, 9).

3. Na¢i jedna£inu prave koja prolazi kroz dve date ta£ke A(−1, 1) i B(2, 4),a potom odrediti:

a) koecijent pravca date prave,

b) ugao koji ova prava zaklapa sa pozitivnim delom x-ose,

c) ta£ke u kojima prava se£e x- i y-osu.

Re²enje. Jedna£ina ove prave je

y − 1

4− 1=x+ 1

2 + 1,

odnosno y = x+ 2.Nagib ove prave je 1 = k = tg α, odnosno α = 45 = π/4.Dalje se lako dobija da je presek prave sa x-osom ta£ka (−2, 0), a sa y-osomta£ka (0, 2).

4. Ako neka prava se£e x-osu u ta£ki a, a y-osu u ta£ki b pokazati da sejedna£ina te prave moºe zapisati u obliku

x

a+y

b= 1.

5. Neka je ON (normalno) rastojanje koordinatnog po£etka od prave p. Akoje |ON | = d i ako ON sa pozitivnim delom x-ose zaklapa ugao α, onda sejedna£ina prave p moºe zapisati u obliku

x cosα+ y sinα = d.

Dokazati.

6. Data je prava p koja sadrºi datu ta£ku P (2, 3) i paralelna je sa pravomq : x+ y − 2 = 0. Na¢i:

a) eksplicitni, implicitni i segmentni oblik prave p,

b) ugao koji prava p zaklapa sa pozitivnim delom x-ose,

3

c) ta£ke u kojima prava p se£e x- i y-osu.

Re²enje. Ekplicitni oblik prave q je y = −x + 2, pa po²to su prave pi q paralelne, to i koecijent pravca prave p je −1, pa je jednaina prave

p : y− 3 = −1(x− 2), odnosno y = −x+ 5, tj. x+ y− 5 = 0 ilix

5+y

5= 1.

Kako je −1 = k = tg α, to je α = 135 = 3π/4.Iz segmentnog oblika prave, odmah se dobija da su preseci sa x- i y-osomta£ke (5, 0) i (0, 5), redom.

7. Na¢i koordinate ta£ke A(x, y) koja se nalazi na pravoj p koja ima koe-cijent pravca 2 i prolazi kroz koordinatni po£etak i na pravoj q koja imakoecijent pravca 1 i prolazi kroz ta£ku M(−1, 0).

8. a) Na¢i jedna£inu prave p koja sadrºi ta£ku A(−2, 2) i normalna je napravu q : 2x+ y = 4.

b) Na¢i koordinate ta£ke preseka pravih p i q.

c) Na¢i odstojanje ta£ke A od prave q.

9. Na¢i rastojanje ta£ke B(4, 1) od prave p : 3x− y = 5.

10. U funkciji odm, b i b′, na¢i rastojanje izmeu paralelnih pravih y = mx+bi y = mx+ b′.

11. a) Zavisnost izmeu temperature izraºene u stepenima celzijusa C i ustepenima Farenhajta F je linearna. Ako je poznato da je C = 0,ako je F = 212 i C = 100, ako je F = 212, izraziti tu zavisnost.

b) Da li je za neku temperaturu C = F i ako jeste za koju vrednost sedostiºe?

12. Kada se vazduh kre¢e ka gore, on se ²iri i hladi.

a) Ako je na zemlji temperatura vazduha 20C, a temperatura na visiniod 1 km je 10C, izraziti temperaturu T (u C) u funkciji od visineh (u kilometrima), koriste¢i linearni model (funkciju).

b) Nacrtati grak ove funkcije. Na¢i nagib ove krive i objasniti ²tapredstavlja u ovom modelu.

c) Koja je temperatura vazduha na visini od 2,5 km?

Re²enje. Ako sa T ozna£imo temperaturu vazduha, a sa h rastojanje(visinu) od zemlje, onda se ovaj proces moºe opisati jedna£inom

T − 20

10− 20=h− 0

1− 0,

odnosno T = −10h+ 20.

4 GLAVA 1. PRAVA

Ova funkcija ima smisla samo za vrednosti h ≥ 0. Njen nagib je k = −10.Ako je h = 2, 5, onda je T = −10 ∗ 2, 5 + 20 = −5C.

Glava 2

Funkcije

2.1 Pojam funkcije i grak funkcije

Funkcija koja preslikava skup A u skup B je podskup f skupa A×B = (a, b) :a ∈ A ∧ b ∈ B takav da

za svako a ∈ A postoji ta£no jedno b ∈ B takvo da (a, b) ∈ f.

Umesto (a, b) ∈ f £e²¢e pi²emo f(a) = b. Skup A je domen, a skup B kodomen

funkcije f .

1. Koja od slede¢ih pridruºivanja su funkcije:

(a) osoba 7→plata;

(b) osoba 7→majka;

(c) ºena7→dete;

(d) nastavnik 7→u£enik?

2. Neka su data su dva skupa: A - skup koji sadrºi sve graane Srbije i B -skup svih nizova od 13 cifara, tj. oblika a1a2...a13, gde su ai proizvoljnecifre (dopu²tamo da ovi nizovi po£inju i nulom). Denisati funkciju f koja¢e preslikavati skup A u skup B, tj. f : A→ B.

3. Neka je ρ skup svih ta£aka (x, y) ∈ Ω2 takvih da je x2 + y2 = 1. Da li jeρ funkcija, ako je

(a) Ω = [−1, 1],

(b) Ω = [0, 1]?

4. Pacijentu sa sistolnim pritiskom 195 mmHg, dat je odgovaraju¢i lek, areakcija na lek (u satima nakon uzimanja leka) je prikazana na graku.

5

6 GLAVA 2. FUNKCIJE

a) Proceniti u kom periodu od uzimanja leka je pacijent imao sistolnipritisak ispod 140 mmHg.

b) Proceniti u kom periodu je sistolni pritisak bio iznad 150 mmHg.

c) Prokomentarisati dejstvo ovog leka.

5. Na¢i oblast denisanosti slede¢ih funkcija:

f(x) =√x− 3,a) f(x) =

1

x3 − x,b) f(x) =

√x

1− x.c)

Napomena: Nadalje ¢e se, gde god nije druga£ije re£eno, za domen funkcijeuzimati oblast denisanosti.

6. Koja je razlika izmeu funkcija f(x) = x+ 3 i g(x) =x2 − 9

x− 3?

Apsolutna vrednost | · | se deni²e na slede¢i na£in:

|x| =

−x, ako je x < 0,

x, ako je x ≥ 0.

7. Skicirati grake funkcija:

f(x) = |x|,a) f(x) = |x− 2|,b) f(x) = − |x|+ 1.c)

2.1. POJAM FUNKCIJE I GRAFIK FUNKCIJE 7

8. Neka je data funkcija:

C(m) =

0.6, ako je 0 ≤ m < 0.5,

1.1, ako je 0.5 ≤ m < 1,

2, ako je 1 ≤ m < 2,

3.5, ako je 2 ≤ m < 4,

6, ako je 4 ≤ m < 8,

. . .

koja predstavlja cenu transporta paketa (u evrima), u zavisnosti od masetog paketa (izraºeno u kilogramima). Skicirati grak ove funkcije.

9. Ispitati parnost slede¢ih funkcija:

f(x) = x2 + 2,a) g(x) = x3 − x,b) h(x) = 3x− x2.c)

Funkcija f : A→ B je:

• 1-1 ako za sve x, y ∈ A iz f(x) = f(y) sledi x = y;

• "na" ako za svako b ∈ B postoji a ∈ A takvo da je f(a) = b;

• bijekcija ako je 1-1 i "na".

Funkcija f−1 naziva se inverzna za funkciju f : A → B, moºe se denisatiako i samo ako je f bijekcija, i to na slede¢i na£in: za svako b ∈ B, f−1(b) = a,gde je a ∈ A jedinstveni element takav da f(a) = b.

10. Neka je f(x) = 2x − 7. Dokazati da je ova funkcija bijekcija i na¢i njoj

inverznu funkciju f−1(x). Uporediti f−1(x) i1

f(x).

8 GLAVA 2. FUNKCIJE

2.2 Elementarne funkcije

2.2.1 Polinomi

Polinom po promenljivoj x je izraz oblika

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0,

pri £emu je n ∈ N, an 6= 0 i a0, a1, ..., an ∈ K, gde je K ∈ Z,Q,R,C.Stepen polinoma p(x) je n = deg(p(x)). Polinom p(x) ≡ 0 naziva se nulapolinom.

1. Loptica je ba£ena sa vrha tornja visokog 450 metara. U tabeli je dataudaljenost h loptice od tla, merena nakon t sekundi od trenutka kada jeloptica ba£ena.

t (u sekundama) h (u metrima)0 4501 4452 4313 4084 3755 3326 2797 2168 1439 61

Tabela 2.1

a) Na¢i model (funkciju), koji daje zavisnost visine h od vremena t.

b) Na¢i kolika je udaljenost loptice od zemlje nakon 8, 5 sekundi.

c) Na¢i za koje vreme ¢e loptica pasti na zemlju.

2.2.2 Stepena funkcija

Posmatramo stepenu funkciju, tj. funkciju oblika f(x) = xp, gde je p konstanta.

(i) Neka je p = n, gde je n prirodan broj.

2.2. ELEMENTARNE FUNKCIJE 9

Figure 2.1: Stepena funkcija, p = n.

(ii) Neka je p = 1/n, gde je n prirodan broj.

Figure 2.2: Stepena funkcija, p = 1/n.

(iii) Neka je p = −1.

2.2.3 Racionalna funkcija

Racionalna funkcija je koli£nik dva polinoma, tj.

f(x) =P (x)

Q(x),

10 GLAVA 2. FUNKCIJE

gde su P i Q polinomi. Domen ove funkcije je D = x ∈ R|Q(x) 6= 0.

2.2.4 Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika f(x) = ax, gde je a ∈ R+\1.

2.2.5 Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je inverzna funkcija eksponencijalnoj funkciji.

Figure 2.3: Logaritamske funkcije

Glava 3

Grani£na vrednost funkcije

1. Na¢i:

limx→2

(x2 − x− 2),a) limx→2

√2x2 + 1

3x− 2.b)

2. Na¢i:

limx→−3+

x+ 2

x+ 3,a) lim

x→−3−x+ 2

x+ 3.b)

3. Na¢i:

limx→1

2− x(x− 1)2

,a) limx→5−

ex

(x− 5)3,b)

limx→3+

ln (x2 − 9),c) limx→π/2−

ctg x.d)

4. Na¢i limx→1−

1

x3 − 1i limx→1+

1

x3 − 1, potom pomo¢u programskog paketaMath-

ematica nacrtati grak funkcije1

x3 − 1i potvrditi dobijeni rezultat.

5. a) Na¢i vertikalne asimptote funkcije f(x) =x+ 2

x+ 3.

b) Pomo¢u programskog paketa Mathematica nacrtati grak funkcije fi potvrditi rezultat pod a).

6. Na¢i slede¢e grani£ne vrednosti (ukoliko postoje):

limx→5

x2 − 5x+ 6

x− 5,a) lim

x→−1

2x2 + 3x+ 1

x2 − 2x− 3,b)

limt→−3

t2 − 9

2t2 + 7t+ 3,c) lim

h→0

(4 + h)2 − 16

h,d)

11

12 GLAVA 3. GRANINA VREDNOST FUNKCIJE

limh→0

√1 + h− 1

h,e) lim

x→−4

√x2 + 9− 5

x+ 4.f)

7. Na¢i slede¢e grani£ne vrednosti:

limx→0

sin 3x

x,a) lim

x→0

sin 4x

sin 6x,b)

limt→0

tg 6t

sin 2t,c) lim

t→0

sin 3t

t2,d)

8. Na¢i slede¢e grani£ne vrednosti (ukoliko postoje):

limx→∞

3x− 2

2x+ 1,a) lim

x→∞

1− x2

x3 + x+ 2,b)

limx→∞

x2 − 5

x+ 2,c) lim

x→−∞

4x3 + 6x2 − 2

2x3 + 3x− 2,d)

limt→−∞

0.6t,e) limr→∞

5

10r,f)

limx→∞

x2√x4 + 3

,g) limx→∞

(√x2 + ax−

√x2 + bx),h)

limx→−∞

(lnx2 − ln(x2 + 1)),i) limx→∞

2e3x − 3e−3x

3e3x − 2e−3x,j)

limx→∞

(e−x + 2 cos 3x),k) limx→∞

sinx

x.l)

9. Na¢i sve asimptote funkcije f(x) =2x2 − 1

x2 − xi pomo¢u programskog paketa

Mathematica nacrtati grak funkcije f i potvrditi dobijeni rezultat.

10. Gde su slede¢e funkcije neprekidne:

f(x) = sinx2,a) ln(1 + cosx)?b)

11. Da li su slede¢e funkcije neprekidne na R:

a) f(x) =

x2 − xx− 1

, ako je x 6= 1,

1, ako je x = 1.

b) f(x) =

2x2 − 5x− 3

x− 3, ako je x 6= 3,

7, ako je x = 3.

Glava 4

Izvodi

1. Po deniciji na¢i izvode slede¢ih funkcija:

f(x) = ax+ b,a) f(x) = x2,b)

f(x) =√x,c) f(x) = sinx.d)

2. Gde je funkcija f(x) = |x| diferencijabilna?

3. U tabeli su dati eksperimentalni podaci o porastu malari£nih parazitatokom 6 dana. Sa N je ozna£en broj parazita po mikrolitri krvi, dok je sat ozna£no proteklo vreme izraºeno u danima.

t N1 2282 2.3573 12.7504 26.6615 372.3316 2.217.441

Tabela 4.1

a) Na¢i prose£nu brzinu porasta malari£nih parazita za vremenske peri-ode [1, 3], [2, 3], [3, 4], [3, 5].

b) Dati interpretaciju i procenu N ′(3).

4. Na¢i jedna£inu tangente na parabolu y = x2 − 8x+ 9 u ta£ki (3,−6).

5. Na¢i izvode slede¢ih funkcija:

f(t) = et sin t,a) f(x) = (x+ ex)(3−√x),b)

f(x) =ex

1 + x,c) f(x) =

x+ 1

x3 + x− 2,d)

13

14 GLAVA 4. IZVODI

y =1 + cosx

x+ sinx,e) y =

1 + tet

t+ et.f)

6. Na¢i tangentu na krivu y = x√x u ta£ki (1, 1), kao i normalu na tu

tangentu u istoj ta£ki. U programskom paketu Mathematica nacrtati svetri funkcije.

7. Na¢i jedna£inu tangente na krivu y =ex

1 + x2u ta£ki

(1,

1

2e

).

8. Model koji opisuje brzina reprodukcije bakterija Escherichia coli dat je sa

R(N) =SN

c+N,

gde je N koncentracija hranljivih materija (glukoza, fosfat i sl.), S nivo

zasi¢enja, a c pozitivna konstantna. Na¢idR

dNi dati komentar tog rezul-

tata.

9. Na¢i izvode slede¢ih funkcija:

f(x) =√

1− 2x,a) f(x) = (1 + 2x)2016,b)

f(t) = e−2t cos 4t,c) f(x) = ex cos x,d)

y = cosx2,e) y = 101−x2

.f)

10. U eksperimentu sa protozoama Paramecium, biolog G. F. Gause je kreiraomodel, koji prikazuje veli£inu populacije protazoa i koji je dat sa

P (t) =61

1 + 31e−0.7944t,

gde je t vreme mereno u danima. Koja je brzina rasta ove populacijenakon 8 dana?

11. Na¢i linearnu aproksimaciju funkcije f(x) =√x+ 3 u ta£ki x = 1 i po-

mo¢u nje odrediti pribliºno√

3.98 i√

4.05.

12. Na¢i linearnu aproksimaciju funkcije f(x) = ln (1 + x) u ta£ki x = 0 ipomo¢u nje odrediti pribliºno ln 0.99 i ln 1.03.

13. Na¢i maksimum funkcije f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 1 na intervalu [−2, 3].

14. Funkcija C(t) = 0.0225te−0.0467t predstavlja model za prose£nu koncen-traciju alkohola u krvi (BAC) grupe od 8 mu²karaca nakon brze konzu-macije 15 mL etanola (koje odgovara jednom alkoholnom pi¢u) gde je tvreme mereno u minutama nakom te konzumacije, dok je C koncentracijamereana u mg/mL. Na¢i maksimalnu vrednost BAC tokom prvih sat vre-mena.

Glava 5

Ispitivanje funkcija

1. Detaljno ispitati i skicati grake slede¢ih funkcija:

y =x− 2

x+ 2,a) y =

4x

4− x2,b)

y =x2 − 4

1− x2,c) y =

x2 − 5x+ 7

x− 2,d)

y = x2e−x,e) y = (3− x2)ex,f)

y = x lnx,g) y =lnx

x2,h)

y = ln (x2 − 1),i) y = lnx− 2

x+ 1.j)

15

16 GLAVA 5. ISPITIVANJE FUNKCIJA

Glava 6

Neodreeni integral

1. Izra£unati:∫(x2 − 3)dx,a)

∫2

x2dx,b)

∫t(1− t)2dt,c)

∫x− 1√x

dx.d)

2. Izra£unati:∫ √2x+ 1dx,a)

∫2x√

1− 4x2dx,b)

∫e5tdt,c)

∫tgxdx,d)

∫dx

(3− 2x)2,e)

∫sin 3xdx,f)

∫ex√

1 + exdx,g)

∫ln2 x

xdx.h)

3. Izra£unati:∫x sinxdx,a)

∫lnxdx,b)

∫t cos 5tdt,c)

∫(x2 + 1)e−xdx.d)

4. Izra£unati:∫1

x2 − 1dx,a)

∫x+ 5

x2 + x− 2dx,b)

17

18 GLAVA 6. NEODREÐENI INTEGRAL

∫2− x

x2 − 2x− 8dx,c)

∫x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2xdx,d)

∫x3 + x

x− 1dx,e)

∫x3 − 4x− 10

x2 − x− 6dx,f)

∫5x2 + 3x− 2

x2(x+ 2)dx,g)

∫2x2 + x+ 1

x(x2 + 1)dx.h)

Glava 7

Odreeni integral

1. Izra£unati:∫ 3

0

(x− 1)dx,a)

∫ 3

1

exdx,b)

∫ 1

0

cos(πt/2)dt,c)

∫ 1

0

(3t− 1)50dx.d)

2. Brzina protoka vode na dnu (otvorenog) rezervoara data je sa r(t) =200 − 4t, gde je r(t) izraºeno u litrama po minuti i 0 ≤ t ≤ 50. Na¢ikoli£inu vode koja je istekla iz rezervoara tokom prvih 10 minuta.

3. Populacija bakterija, od 400 bakterija u po£etku, raste brzinom r(t) =450.268e1.12567t po satu u vremenskom trenutku t. Koliko bakterija ¢ebiti nakon 3 sata?

4. Model rasta bazi£nog metabolizma, u kcal/h, za mladog £oveka dat jesa R(t) = 85 − 0.18 cos(πt/12), gde je t vreme dato u satima, merenonakon 17:00h. Koji je ukupni bazi£ni metabolizam ovog £oveka tokom

24-£asovnog perioda (odnosno na¢i

∫ 24

0

R(t)dt)?

5. (Gompertz-ova brzina rasta tumora) Brzina rasta nekog tumora je datasa

g(t) = 21−e−t

e−t ln 2

i izraºena je u mm3 po mesecu. Kolika je o£ekivana zapremina tumoranakon godinu dana?

6. Model regulacije gena dat je sa

p(t) =1

2− 1

2e−t(sin t+ cos t),

19

20 GLAVA 7. ODREÐENI INTEGRAL

gde je p(t) koncentracija proteina u ¢eliji u funkciji vremena. Bioraspoloºivostovog proteina se deni²e kao integral ove koncentracije tokom vremena.Koja je bioraspoloºivost proteina tokom prve jedinice vremena?