pratique des produits dérivés p5 : optionsbrandouy.free.fr/documents/m2mb_cpa/p5.pdf · parit e...

Pratique des produits dérivésP5 : Options

Olivier Brandouy

Université de Bordeaux

Diapo 1/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque

Notions essentiellesStrategies de base

Strategies ElaboreesLectures

Plan

1 Notions essentiellesCe que vaut l’optionDistinction VI/VT

2 Strategies de baseProteger son investissementDynamiser ses profits

3 Strategies ElaboreesStraddleSpreadCollarAutres strategies

4 Lectures

Diapo 2/52 Olivier Brandouy Master 2 Metiers de la Banque (CPA)



Ce que vaut l’optionDistinction VI/VT

Option : definition

Contrat donnant a son acquereur le droit d’acheter (option d’achat = call) ou devendre (option de vente = put) :

une quantite determinee d’actif sous-jacent

a un cours fixe d’avance (prix d’exercice ou ”strike”)

pendant une periode (”American options”) ou a une echeance donnee(”European options”)

En echange de ce droit, l’acheteur paie le vendeur en lui versant une prime. Levendeur est alors tenu de realiser l’operation d’echange si l’acheteur en decideainsi.





Terminologie

Selon la relation entre le prix d’exercice et le prix du sous-jacent sur le marchespot :

at-the-money option

in-the-money option

out-of-the-money option

Pourquoi les options ”out-of-money” existent ?

valeur intrinseque

valeur temps





Valeur temps d’un call

SK

V I = max(S − K, 0)

Incertitude maximale quant à l'exercice de

l'option

Valeur





Valeur temps d’un call et la duree d’une option

SK

V I = max(S − K, 0)

Valeur

3 mois

2 mois





Valeur temps d’un call et la volatilite du sous-jacent

SK

V I = max(S − K, 0)

Valeur

σ = 30%

σ = 20%





Profil de gain des options europeennes a l’echeance





Le profil de gain d’un portefeuille d’options

P1 : 1 Call + actif sans risque pour un montant de Ke−r(T−t)

STK

Valeur





Le profil de gain d’un portefeuille d’options

P2 : 1 put + 1 sous-jacent

STK

Valeur





Parite put-call

P1=P2 a la date T quelque soit le prix du sous-jacent dans le future. Leur valeura la periode t doit s’averer identique, car sinon opportunite d’arbitrage.

Ainsi,ct + Ke−r(T−t) = pt + St (1)

En raison de cette parite, nous pouvons nous concentrer sur les calls pourl’evaluation des options.





Exercise

A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European calloption on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% perannum. What is the price of a three-month European put option with a strikeprice of $20 ?

Answer : In this case, c0 = 1, T = 0, 25, S0 = 19, K = 20, t = 0, and r = 0, 04.From put-call parity

c0 + Ke−rT = p0 + S0

orp0 = 1 + 20e−0,04×0,25 − 19 = 1, 80





L’impact du dividende sur la valeur d’un call

Quand un dividende est attendu pendant la duree de vie d’une option, lavaleur d’un call (put) est ajustee en soustrayant (ajoutant) la valeur actuelledu dividende.

La periode d’actualisation est fixee selon la date d’ex-dividende.





Exemple

A European call option and a put option on a stock both have a strike price of$20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10%per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader.

3 + 20e−0,1×3/12 + e−0,1×1/12 − 19 = 4, 50





Plan : 1 - Notions essentielles






Flux lies a l’option (1)

L’acheteur de l’option PAYE la prime et achete ainsi le ”droit de”

Le vendeur de l’option ENCAISSE la prime et se trouve lie a la volonte del’acquereur du droit





Flux lies a l’option (2)

1 Si l’option est exercee :I Cas du CALL :

F le detenteur de l’option PAYE le prix convenu (X) et RECOIT le sous-jacentF le vendeur de l’option DOIT LIVRER le sous-jacent (REPO) et ENCAISSE le

prix convenu (X)I Cas du PUT :

F le detenteur de l’option LIVRE le sous jacent et RECOIT le prix convenu (X)F le vendeur de l’option PAYE le prix convenu (X) et PREND POSSESSION du

sous-jacent

2 Si l’option est abandonnee, aucun echange nouveau n’est execute





Une fonction a plusieurs variables

– Le prix de l’option peut se calculer a l’aide du modele Black-Scholes [1] (bienque cela ne fasse plus en pratique, voir modeles alternatifs type Heston [2] ouHeston et Nandi [3])– Le calcul se base sur :

S0 le prix du sous-jacent

X le strike

T la distance a la maturite

r le taux sans risque

b le taux de distribution (dividende, lorsque necessaire)

σ la volatilite du sous jacent





Valorisation des options (1)

Par exemple, la formule de Black et Scholes pour le call europeen est la suivante :

c0 = S0N(d1)− Xe−rTN(d2)

avec

d1 =ln(S0

X ) + (r + σ2

2 )T

σ√T

(2)

etd2 = d1 − σ

√T (3)

N(d.) etant la probabilite issue de la fonction de repartition de la loi NormaleP(X < d1)





Valeur Intrinseque

La valeur intrinseque (VI) de l’option correspond a l’avantage qu’elle procure dufait de son exercice :

VI (c) = max(0,S − K ) (4)

VI (p) = max(0,K − S) (5)

Toutefois l’exercice n’est possible, dans le cas d’une option Europeenne parexemple, qu’a la maturite. La valeur de l’option differe donc avant la maturite dela VI.





Exemple

La valeur d’une option se decompose en deux : la valeur intrinseque (cf. supra) etla ”valeur temps” qui repose sur l’incertitude qu’elle puisse etre exercee ou non.On prend l’exemple suivant :

S0 = 110

X = 100

r = 5 % annuels

b = 0 % annuels

σ % annuels





Valeur Temps (2 – A la maturite )

On calcule le prix de l’option a la maturite pour toute une serie de prix possiblespour le sousjacent ; a cet effet on va se positionner un instant avant la maturite :

library(fOptions)

## Loading required package: fBasics## Loading required package: MASS#### Attaching package: ’fBasics’#### The following object is masked from ’package:base’:#### norm

V <- NULLS <- 90:120for (i in 1:length(S)) {

cM <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = 1/1e+21,r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25)

V[i] <- cM@price}





Valeur Temps (3 – A la maturite )

Clairement, la VT est ici NULLE, on est ”a la maturite”

plot(S, V, type = "l", col = "red", xlab = "Valeurs possibles pour S",ylab = "Prix de l'option")

90 95 100 105 110 115 120

05

1015

20

Valeurs possibles pour S

Prix

de

l'opt

ion





Valeur Temps (4 – Un mois avant la maturite :)

V <- NULLfor (i in 1:length(S)) {

cM <- GBSOption("c", S[i], 100, Time = 1/12, 0.04, 0.04,0.25)

V[i] <- cM@price}plot(S, V, type = "l", col = "green", xlab = "Valeurs possibles pour S",

ylab = "Prix de l'option")

90 95 100 105 110 115 120

05

1015

20

Valeurs possibles pour S

Prix

de

l'opt

ion





Valeur Temps (5 – Pour 4 distances a la maturitedifferentes)

V <- matrix(NA, length(S), 4)T <- c(1/1e+21, 1/12, 3/12, 6/12)for (j in 1:4) for (i in 1:length(S)) {

cM <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = T[j],r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25)

V[i, j] <- cM@price}





Valeur Temps (6 – Pour 4 distances a la maturitedifferentes)

plot(S, V[, 1], type = "l", col = "red", xlab = "S", ylab = "Prix de l'option")for (i in 2:4) {

lines(S, V[, i], col = (i + 1))points(S[11], V[11, i])

}abline(v = 100, lty = 2, col = "grey")

90 95 100 105 110 115 120

05

1015

20

S

Prix

de

l'opt

ion




Proteger son investissementDynamiser ses profits

Plan : 2 - Strategies de base






Fonction preliminaire

On commence par definir une fonction exprimant la VI :

VI <- function(d, o, K, p) {## direction : d<-'s' short or 'l' long o <-'c' call or 'p'## put 'S' pour Sous jacent K <-strike, p <- premium ;## ATTENTION K doit etre inf a 1000S <- (1:1000).maxx <- function(a) {

max(0, a)}.minn <- function(a) {

min(0, a)}ifelse(o == "S", ifelse(d == "l", .vi <- (S), .vi <- (-S)),

ifelse(d == "l", ifelse(o == "c", .vi <- apply(as.array((S -K)), 1, .maxx) - p, .vi <- apply(as.array((K - S)),1, .maxx) - p), ifelse(o == "c", .vi <- apply(as.array((K -S)), 1, .minn) + p, .vi <- apply(as.array((S - K)),1, .minn) + p)))

.vi}





Put defensif (protective put)

– Long sur le sous-jacent ⊕ Achat d’un put

a <- VI("l", "S", 100, 0)b <- VI("l", "p", 100, 10)strat <- a + bplot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green",

lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent")plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue",

lwd = 2, ylab = "P/L du put")plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200),

col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la strategie")

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

sous

−ja

cent

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

put

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

de

la s

trat

égie





Call couvert (covered call)

– Long sur le sous-jacent ⊕ Vente d’un call

a <- VI("l", "S", 100, 0) b <- VI("s", "c", 100, 10) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim =c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type= "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat,type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la strategie")

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

sous

−ja

cent

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

put

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

IndexP

/L d

e la

str

atég

ie




StraddleSpreadCollarAutres strategies

Plan : 3 - Strategies Elaborees






Strategies elaborees

On peut composer toutes sortes de strategies en combinant des options de memematurite et de meme sous-jacent.Ces strategies correspondent a des anticipations tres variees.Les transparents suivants en presentent quelques unes parmi les plus connues.





Straddle : pari sur la volatilite (1)

– Achat d’un call ⊕ Achat d’un put de meme strike

Antic. : Le sous-jacent est tres volatile mais on ne sait pas si le mouvement serahaussier ou baissier

Issues : Excellent si un des mouvements extremes est observe, tres mauvais si lecours reste stable.

– Strips et Straps sont similaires





Straddle : pari sur la volatilite (2)

a <- VI("l", "c", 100, 0)b <- VI("l", "p", 100, 0)strat <- a + bplot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green",


lwd = 2, ylab = "P/L du put")plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200),


0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

sous

−ja

cent

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

put

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

de

la s

trat

égie





Spread (1)

– Achat ⊕ Vente de calls (ou puts) de strike differents –money spread– (ou dematurites differentes –time spread–)

Antic. : Tout depend de ce qui est construit ! Le cas suivant (achat d’un call strikeX1, vente d’un call de Strike X2 avec X1 < X2) est un ”bullish spread”, oul’anticipation est haussiere.

Issues : Si le prix du sous-jacent chute sous X1, la perte est limitee a c1 tandis quel’operateur beneficiera d’une augmentation du prix du sous-jacent

– On construit souvent ce type de strategie si on pense qu’une option est malvalorisee sur le marche (dans mon cas, c1 est ”bon marche” relativement a c2)





Spread (2)

a <- VI("l", "c", 100, 10)b <- VI("s", "c", 110, 5)strat <- a + bplot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green",


lwd = 2, ylab = "P/L du put")plot(strat, type = "l", ylim = c(-20, 20), xlim = c(80, 140),


0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

sous

−ja

cent

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

put

80 90 100 110 120 130 140

−20

−10

010

20

Index

P/L

de

la s

trat

égie





Collar, protection (1)

– Achat d’un put defensif a X1 ⊕ Vente d’un call couvert a X2 pour proteger lavaleur d’un investissement (on imagine ici X1 < S < X2)

Antic. : Le financement du put defensif se fait par la vente d’un call. On protegeainsi la valeur d’un investissement en recherchant l’autofinancement.

Issues : La laeur du sous-jacent est ”encadree” de facon rigide.

– Pour que le collar fonctionne bien, on doit avoir c proche de p





Collar (2)

a <- VI("l", "S", 100, 10)b <- VI("l", "p", 90, 10)c <- VI("s", "c", 110, 10)strat <- a + b + cplot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green",


lwd = 2, ylab = "P/L du put")plot(c, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue",

lwd = 2, ylab = "P/L du put")plot(strat, type = "l", ylim = c(70, 140), xlim = c(70, 130),


0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

sous

−ja

cent

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

put

0 50 100 150 200 250 300

−10

0−

500

5010

015

020

0

Index

P/L

du

put

70 80 90 100 110 120 130

7080

9010

011

012

013

014

0

Index

P/L

de

la s

trat

égie





Papillon (ici, ”Long Butterfly” – 1 )

– Le prix du sous-jacent est sense dans cette strategie terminer aux environs duStrike ”central”

a <- VI("l", "c", 97, 5)b <- VI("s", "c", 100, 4)c <- VI("s", "c", 100, 4)d <- VI("l", "c", 103, 3)strat <- a + b + c + d





Papillon (ici, ”Long Butterfly” – 2)

plot(strat, xlim = c(90, 110), ylim = c(-1, 5), col = "blue",lwd = 2, type = "l")

abline(v = c(97, 100, 103), h = 0, lty = 2, col = "grey")

90 95 100 105 110

−1

01

23

45

Index

stra

t





Condor (ici, ”Short Condor” – 1)

– Strategie voisine du Straddle ou du Short Butterfly (anticipation de volatiliteimportante)

a <- VI("s", "c", 97, 5)b <- VI("l", "c", 100, 4)c <- VI("l", "c", 103, 3)d <- VI("S", "c", 106, 3)strat <- a + b + c + d





Condor (ici, ”Short Condor” – 2)

plot(strat, xlim = c(95, 107), ylim = c(-2, 2), col = "blue",lwd = 2, type = "l")

abline(v = c(97, 100, 103, 106), h = 0, lty = 2, col = "grey")

96 98 100 102 104 106

−2

−1

01

2

Index

stra

t




Documents a consulter

1 Un livret de l’Australian Stock Exchange repertoriant une petite trentaine destrategies elementaires : http://www.asx.com.au/documents/resources/UnderstandingStrategies.pdf

2 Sept erreurs a ne pas commettre quand on traite les options : : http://www.optionsuniversity.com/mediaroom/article-seven-mistakes.pdf


http://www.asx.com.au/documents/resources/UnderstandingStrategies.pdf

http://www.asx.com.au/documents/resources/UnderstandingStrategies.pdf

http://www.optionsuniversity.com/mediaroom/article-seven-mistakes.pdf

http://www.optionsuniversity.com/mediaroom/article-seven-mistakes.pdf



References bibliographiques

Fischer Black and Myron Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities.Journal of Political Economy, 81(3) :637–654, 1973.

Steven L. Heston.A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility withApplications to Bond and Currency Options.The Review of Financial Studies, 6(2) :327–343, 1993.

Steven L. Heston and Saikat Nandi.A closed-form garch option pricing model.Technical report, Federal Reserve Bank of Atlanta., 1997.
