Práctica 4: Efecto Zeeman

Luis Fabian Garcia Mendoza, Álvaro Gerardo Reyes Morgado

8 de Mayo de 2015

1 Resumen En este experimento estudiamos el efecto Zeeman y lo visualizamos experimentalmente con la línea verde de 546.2 nm del espectro de mercurio. A medida de que se variaba la corriente, también se notaba una variación del campo magnético, mediamos cuanto se separaban las múltiples líneas en las que se desdoblaban las líneas del espectro. Con estos datos obtuvimos un valor para el magnetón de Bohr igual a 7.833x10

-24J/T, que comparando con el valor referencial 9.27x10

-24J/T

se obtiene un error de 15.54%. In this experiment we study the Zeeman effect and experimentally visualize the green line of 546.2 nm spectrum of mercury. As of the current is varied, there was also a variation of the magnetic field as multiple lines mediate in which the spectral lines are separated unfolded. With these data we obtained a value for the Bohr magneton equal to 7.833x10

-24J/T,

that compared with the reference value9.27x10-24

J/T ,error is obtained by 15.54%.

1

2 Introducción 2.1 Antecedentes

En 1862 Faraday fue el primero en examinar, sin mucho éxito, la influencia de un campo magnético en el espectro atómico.

Este efecto fue predicho por H. A. Lorentz en 1895 en el marco de su teoría clásica de los electrones.

El primer resultado importante en este estudio se registra en 1896, y es debido al físico holandés Pieter Zeeman, quien demostró que en presencia de un campo magnético algunas líneas espectrales se desdoblan en grupos de líneas muy próximas.

En la actualidad, el fenómeno se conoce como efecto Zeeman. Consiste en la división de niveles atómicos de energía y de las correspondientes líneas espectrales, cuando los átomos se colocan en un campo magnético.

2.2 Conceptos básicos La explicación de este fenómeno reside en la interacción del momento magnético de cada átomo con el campo externo. La fuerza de esta interacción depende del

momento angular total del átomo J , de acuerdo con:

J L S (1)

Donde L y S son los momento angulares orbital y spin,

respectivamente.

En la presencia de un campo magnético externo, cada

orientación permitida de J con respecto a la dirección

del campo, está asociada con una energía diferente. En consecuencia tenemos la división de cada línea del espectro en otras líneas; el número de ellas depende de los momentos angulares spin y orbital, en los estados de energía inicial y final que intervienen en la producción de la línea original.

Tenemos dos casos a considerar: el llamado Zeeman normal (figura 1 a) en el cual una lineal del espectro se separa en tres componentes, que puede observarse cuando los estados de energía inicial y final involucrados tienen spin cero; y el Zeeman anómalo (figura 1 b), en el cual la línea se separa en más de tres componentes, denominado así porque no pudo ser explicado hasta treinta años después de su observación, cuando se descubrió el spin del electrón. [1]

2

Figura 1. a) Efecto Zeeman normal para el Zinc. b) Zeeman anómalo en la línea D1 del sodio.

Efecto Zeeman normal

Aparece sólo en transiciones entre estados atómicos con

spin total 0S . El impulso angular total J L S de

un estado es, luego, un impulso angular orbital puro

( )J L . Para el momento magnético relacionado se

tiene sencillamente:

B J

(2)

Con:

2B

e

e

m

(3)

Donde:

B : Magnetón de Bohr.

em : Masa del electrón.

e : Carga elemental.

2h : Constante de Planck.

La energía E B , que se debe a la presencia de un

campo magnético externo inducido B , está ligada al momento magnético. La componente del impulso angular en la dirección del campo magnético puede adoptar lo valores:

z JJ m , con 0, 1,...,jm J

Es por eso que el término con el impulso angular J se

desdobla en 2 1J componentes de Zeeman, que se

diferencian entre sí en el valor de Jm . La diferencia

energética entre las componentes contiguas Jm y 1Jm

es:

BE B (4)

Efecto Zeeman en Mercurio

Este elemento tiene 80 electrones en el estado fundamental con la configuración electrónica 1s

22s

22p

6

3s2 3p

63d

104s

24p

64d

104f

145s

25p

65d

106s

2. Los niveles 1, 2,

3, 4 y 5 forman una estructura altamente estable, por lo cual, las líneas emitidas por el Hg se deben a las transiciones de los dos electrones del nivel 6s entre los distintos estados excitados posibles.

En un sistema de dos electrones, como el Hg o el He, el momento angular total del átomo está determinado por el momento angular total de los dos electrones de valencia ya que los momentos angulares orbitales e intrínsecos de los electrones de niveles inferiores suman cero. En estos casos, coexiste la interacción electrostática (repulsión de Coulomb) con la magnética (interacción espín-órbita), y el modelo se conoce como acoplamiento

LS .

Fue objeto de estudio en esta práctica el efecto Zeeman sobre ciertas líneas espectrales del Hg. Las mismas se presentan en el cuadro 1, junto con los estados involucrados en la transición correspondiente. [2]

Cuadro I: Longitudes de onda del espectro de emisión del Hg donde se ve el efecto Zeeman, colores y transiciones correspondientes

λ [nm] Color Transición

546.2 Verde 73 s1 −→ 6

3 p2

435.8 Azul 73 s1 −→ 6

3 p1

404.6 Violeta 73 s1 −→ 6

3 p0

La notación utilizada es n2S+1

LJ , donde n es el nivel de energía

La energía de interacción entre un momento magnético

y un campo magnético aplicado B se calcula como el

producto escalar de ambos. Sielegimos nuestro sistema de coordenadas de modo que el campo magnético tenga dirección z , tenemos:

zE B (5)

3

Figura 2: Diagramas de transiciones del Hg al desdoblar los niveles cuánticos indicados. En (b) no está permitida la línea

que va de (MJ )i = 0 a (M, )f = 0 ya que no satisface la regla de selección. En (c), debe tomarse gf = 0 ya que no hay

desdoblamiento del nivel 63P1.

Por la presencia de B , la componente z de J está

restringida a los valores del número cuántico Jm que toma

cantidades discretas. En términos de lamisma, la ecuación anterior se escribe:

B JE g m B (6)

Donde B es la constante fundamental denominada magnetón

de Bohr, y el factor numérico g se llama factor g de Landé, y

lo podemos calcular para unátomo libre en el estado2 1S

JL

como sigue:

( 1) ( 1) ( 1)1

2 ( 1)

J J L L S Sg

J J

(7)

Como ya dijimos, el efecto Zeeman normal involucra transiciones entreestados de estados de energía con spin

S nulo. Luego, el momento angularorbital L y el total Json idénticos, y tenemos 1g para ambos estados.

Deacuerdo con las reglas de selección:

1,0Jm (8)

y en consecuencia, cuando se aplica un campo magnético tendremos unadivisión en tres líneas. Es importante

también destacar que los casos 1Jm los

componen líneas cuya luz tiene polarización circular,

pero que en las direcciones normales a B se verá lineal y perpendicular al campomagnético; por ello, en lo que sigue, hablaremos de polarizaciónperpendicular para

este caso. Por su parte, el caso 0Jm tiene luz

polarizada linealmente y paralela a B . Cuando las transiciones de energía incluyen un spin no nulo tenemos el Zeeman anómalo. En este caso, las reglas de selección restringen loscambios en los

momentos angulares L y S , que en el eje z escribimos

lm y sm , de la siguiente forma:

1,0lm y 0sm (9)

Entonces el factor g del estado inicial de energía será diferente

que el delestado final, y tendremos un desdoblamiento de líneas más complejo. Consideremos ahora que la diferencia de energía entre

dos estados ´E , emitiéndose luz de longitud de onda ,

puede obtenerse directamente de laecuación:

´hc

E

(10)

Siendoh la constante de Plank y c la velocidad de la luz en

el vacío. Al introducir el campo magnético B , la línea

espectral correspondiente a se dividirá por la

contribución de B , y tendremos otras líneas de longitud deonda muy próximas. Podemos obtener entonces una expresión para la pequeñadiferencia en el número de onda

, entre la línea original y alguna de lasnuevas.

Siendoi el estado inicial de la transición y f el final, resulta:

( ) ( ) BJ f J i

Bgm gm

hc

(11)

Que nos permite saber cuánto se separan las líneas en función del campoaplicado y de las características de la línea espectral en cuestión. [3]

4

Polarización de la luz emitida

A partir de la teoría cuántica, desarrollada en torno a un modelo dipolar eléctrico, se tiene además que la luz emitida por los átomos de Hg está polarizada. El tipo de

polarización depende del número cuántico Jm ,

vinculado a la componente en el eje z del momento magnético atómico de la siguiente manera:

1Jm luz − polarizada

0Jm luz − polarizada

La polarización corresponde a la polarización circular,

quedando las líneas perpendiculares al campo magnético. Mientras que la polarización es lineal

paralela al campo. En la figura 3 se muestran los picos de intensidad que se esperarían de las líneas producidas a

partir de la línea espectral verde ( = 546.2 nm). Allí

mismo se indica la polarización que debieran presentar.

Figura 3: Picos de las líneas producidas a partir de la línea espectral correspondiente a λ = 546.2 nm. Se diferencian aquellos de polarización σ de aquellos de polarización π.

Interferómetro de FabryPerot

Este instrumento nos permite detectar pequeñasdiferencias en la longitud de onda de una luz emitida.

Está compuestobásicamente, de dos superficies paralelas y de alto poder reflectante, separadas por una distancia t. El fenómeno físico que ocurre en elinterferómetro es la interferencia en películas delgadas, formándose unpatrón de anillos concéntricos y cuya ecuación es:

2 cosn t (12)

Figura4. Etalon de Fabry-Perot como espectrómetro de interferencia

Donde n es el orden del anillo y el ángulo al que se forma.

Se puede probar siendo un ángulo pequeño, que la diferencia en

número de ondaentre dos anillos sucesivos es aproximadamente:

1

2nt (13)

Nos interesa saber cuánto se separan los anillos que aparecen al introducir uncampo magnético. Entonces

supondremos, bajo la misma hipótesis de pequeño, que

el cambio de número de onda es lineal respecto a la distanciaque se separan los nuevos anillos de los originales. Llamandoa la proporción que se separa una línea nueva en relación a la distancia entredos anillos sucesivos, el cambio en su número de onda será ahora:

2nt

(14)

5

Figura5: Separaciones entre anillos d1 y d2, que definen α

Combinando las ecuaciones, se obtiene una expresión general de la forma:

1

2

BBbB

nt hc

(15)

Dónde ( ) ( )J f J igm gm . Entonces, si graficamos

el corrimiento como función del campo aplicado B ,

Deberíamos obtener una recta deordenada cuya pendientebinvolucra al magnetón deBohr: [4]

2 Bntb

hc

(16)

2.2 Objetivo experimental El objetivo es determinar el magnetón de Bohr midiendo

los corrimientos para distintas intensidades de B en

una línea característica del espectro del mercurio. Se trata de la línea verde de 546.2 nm [5] que se produce por la transición

entre los niveles de energía3

17 S y3

26 P . En este

caso tenemos el efecto Zeeman anómalo. En la figura 3mostramos las nueve líneas que resultan de la división delverde. Las dos más próximas a la central de cada lado son las más intensas ylas que podremos medir cómo

se corren. La primera tiene polarizaciónparalela al campo B , con

1iJm y 1

fJm . La segunda tiene

polarizaciónperpendicular a B , con 1iJm y 2

fJm . De

una de las ecuaciones dadasanteriormente obtenemos los

factores : 2ig g y 32fg ; de modo talque los

factores resultan: para el primer caso 1 2 y para

el segundo 1 .

3 Desarrollo experimental 3.1 Materiales

Multímetro, Marca Steren, Modelo MUL-600. Fuente de alta corriente, Marca BK-Precision. Electroimán, Marca GENCO. Lámpara de Mercurio, Marca SPECTROLINE, Modelo

SCT-1A. Gaussometro, Marca FW BELL, Modelo 5180 Gauss. EtalónFebry – Perot. Lente de 12 centímetros, aunque realmente

estimamos que su foco se encuentra en 18 centímetros.

Telescopio de 1.75cm de abertura.

3.2 Montaje del Dispositivo.

1. Conectamos el electroimán a la fuente y procedemos a desmagnetizarlo, para ello variamos la corriente desde 1.5 A a 0.1 A, lo dejamos un tiempo y luego cambiamos el sentido de la corriente y la volvemos a dejar por un tiempo, se repitió el proceso cada 0.2 A.

2. Como en el arreglo final no había forma de medir el campo magnético, entonces calibramos el campo en el electroimán, variamos la corriente de 0 a 2.7A y medimos el campo magnético, se hicieron 15 mediciones, por último graficamos la corriente contra el campo magnético (Que medimos en Gauss pero convertimos a Teslas para evitar conversiones en los resultados finales). Ajustamos la curva con un polinomio de orden 5 y con ello podemos predecir el campo simplemente midiendo la corriente.

3. Volvemos a desmagnetizar el electroimán y alienamos el experimento, primero colocamos un láser que cruce por el centro del electroimán, luego cruza por la lente y finalmente pasará por el interferómetro de Febry-Perot y finalmente en el telescopio, que se encuentra colocado en el interferómetro de Febry-Perot, observaremos el patrón de interferencia, eso indica que el experimento se encuentra alineado.

4. Quitamos el láser y colocamos la lámpara de mercurio en el centro del electroimán y

6

colocamos un filtro de verde para que solamente observemos el color verde en el telescopio, también colocamos un polarizador

para observar la componente σ-polarizada y tomamos una foto del patrón de interferencia.

5. Ahora variando la fuente observamos que ocurre con el patrón de interferencia y tomamos fotos del patrón con o sin polarizador. Se tomaron fotos cada 0.2 A.

6. Con el programa Tracker pudimos medir: En la foto del patrón polarizado sin campo medimos la distancia entre los dos primeros anillos, y en la demás fotos medimos el ancho del segundo anillo, para poder determinar cuánto se movió al aumentar la corriente. Solamente hicimos las mediciones a las fotos con polarizador

7. Graficamos la intensidad del campo, que se obtiene al usar el polinomio de orden 5

obtenidode la calibración, contra el valor de α,

obteniendo una recta dada por (15), con el

programa Gnuplot obtenemos el valor de la

pendiente con incertidumbre. 8. Despejando de la ecuación (16) obtenemos el

valor μB y se compara con el valor teórico. A Continuación muestro una foto del montaje del dispositivo y una imagen del patrón polarizado sin campo y otra del patrón polarizado con 5 A.

3.3 Problemas

1. En otras prácticas que hemos revisado, se menciona que el desdoblamiento de los anillos se observa bien a partir de 10 A pero nosotros al llegar a 5 A empezamos a escuchar que las bobinas de electroimán se movían y no quisimos aumentar la corriente, pero al observar las fotos se ve el movimiento de los anillos cada 0.5 A entonces tomamos datos de 0 a 5 A en intervalos de 0.5 A.

2. Otro problema que experimentamos fue con el telescopio, ya que nos era imposible observar el patrón de interferencia a la hora de alinear, hasta que revisamos el telescopio y resultó que la lente que utilizaba se encontraba muy maltratada y estaba muy floja, entonces pedimos un cambio y nos dieron un telescopio de un interferómetro chino, al cambiarlo fue muy rápido poder hacer la alineación.

4 Resultados, Análisis y Discusión 4.1 Datos a Considerar

7

Constante de Planck: h=6.63x10-34

J/s Velocidad de la luz: c=2.99x10

8 m/s

Distancia entre espejos: t=0.552 mm d2= 0.92 cm.

4.2 Incertidumbres Obtuvimos las siguientes incertidumbres para el campo y la corriente Corriente: Incertidumbre de 0.005 A. Campo Magnético: Incertidumbre de 1.841x10

-4 Tesla.

4.3 Resultados Primero, se muestran los resultados de la calibración del electroimán:

Aquí se muestra el valor del campo en función de la

corriente. Ahora se muestra la gráfica del campo vs. α .

De aquí obtenemos la pendiente, la incertidumbre se obtiene del programa Gnuplot.

0.0873 0.0031b

Ahora, usando (16) tenemos que:

24(7.883 0.278) 10 /B x J T

Al comparar con el valor teórico: 249.27 10 /B x J T

Obtenemos un error de:

0.155Error

5 Conclusiones

Fue posible observar el efecto Zeeman en la

lámpara de Hg con longitud de onda de 546.2

nm.

Obtuvimos un error del 15.5% en la medición

del magnetón de Bohr que fue de: 24(7.883 0.278) 10 /B x J T

Nos fue muy complicado observar la división de

las líneas espectrales del Mercurio debido a que

no quisimos aumentar tanto la corriente.

Hubo problemas con el telescopio del

laboratorio que complicó las cosas pero al

cambiarlo fue más fácil encontrar el patrón de

interferencia.

y = 0.087x + 0.014

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.00 0.10 0.20 0.30

α

Campo (Tesla)

Campo vs. α

y = 0.000x5 - 0.000x4 + 0.001x3 + 0.001x2 + 0.044x + 0.001R² = 1

0

0.05

0.1

0.15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cam

po

(Tes

la)

Corriente (A)

Calibración Electroiman

8

6 Bibliografía

1. “Efecto Zeeman y el magnetón de Bohr.” En

línea. Disponible en:

http://es.scribd.com/doc/107290380/Efecto-

Zeeman #scribd

2. “Efecto Zeeman en mercurio”. En línea.

Disponible en:

http://www.ib.cnea.gov.ar/Zeeman%20Maceira

-Sesma.pdf

3. “Estudio del Efecto Zeeman anómalo en Mercurio “. En línea. Disponible en: http://www.ib.cnea.gov.ar/~experim2/Zeeman%20Lorenzi-Tosi.pdf

4. “Modern Lab Experiment Normal Zeeman Efect” En línea. Disponible en: http://wanda.fiu.edu/teaching/courses/Modern_lab_manual/zeeman_effect.html

5. “Efecto Zeeman” Manual de Laboratorio de Física Moderna. Facultad de Ciencias.