Conceptos básicos deGeometría Analítica

Distancia entre dos puntos

1. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son P(10, 5), B(3, 2) y C(6, -5) es rectángulo. (Sug. En todo triángulo rectángulo se verifica el Teorema de Pitágoras)

2. Hallar las coordenadas del punto de abscisa -2 y cuya distancia el punto A(1, -2) sea igual a 5. (Dos soluciones) Sol. (-2, 2) y (-2, 6)

3. Determinar todos los puntos que, además de distar 5 unidades del punto A(1, 2), disten dos unidades del eje de las X.

Sol. (6, 2) y (-4, 2) ó (4, -2) y (-2, -2)

4. Determinar las coordenadas del punto del eje de las ordenadas que equidista de los puntos A(4, 1) y B(-3, 2). Sol. (0, -2)

5. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos P(2, 1), Q(-6, 5) y R(7, -2).

Sol. (-3 ,1)

Punto de división

6. Dado el segmento de extremos A(-4, -4) y D(2, 5), determinar los puntos que trisecan al segmento AD. Sol. B(-2, -1) y C(0, 2)

7. Determinar las coordenadas de los extremos A y D del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos B(2, 2) y Q(1, 5).

Sol. A(3, -1) y B(0, 8)

8. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos A(1, -1) y B(4, 5) en la dirección AB, para que su longitud se triplique? Sol. (10, 17)

9. Dados los puntos P(2, -3) y Q(-1, 2), encontrar sobre PQ el punto que diste doble de P que Q.

Sol. (0, 1/3)

10. Dado el segmento de recta cuyos extremos son A(-6, 8) y B(4, -2). Determinar las coordenadas del punto que lo divide en la razón 2/3, debiendo estar dicho punto más cerca de A que de B. Sol. (-2, 4)

Punto medio

11. Calcular el punto de medio del segmento PQ, donde P(-5, 4) y Q(1, -2). Sol. M(-2, 1)

12. El punto medio de cierto segmento es el punto M(-1, 2) y uno de sus extremos es el punto

(2, 5). Hallar las coordenadas del otro extremo.

Sol. (-4, -1)

13. Los puntos medios de los lados del triángulo ABC son (-2, 1), (-1, -3) y (3, -1). Determinar las coordenadas de los vértices de dicho triángulo.

Sol. A(6, -1), B(4, -5) y C(2, 3)

Baricentro

14. Los vértices de un triángulo ABC son A(2, -1), B(-4, 7) y C(8, 0). Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Sol. V(2, 2)

15. El baricentro del triángulo PQR es el punto V(1, -2). Se sabe que P(2, -5) y R(-3, 0), determinar las coordenadas de Q.

Sol. Q(4, -1)

16. Calcule las coordenadas del baricentro del triángulo ABM si M es el punto medio de AC en el triángulo ABC donde: A(-5, -3), B(-2, 6) y C(13, 9). Sol. V(-1, 2)

Área del triángulo

17. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son: P(-6, -6), Q(-2, 8) y R(4, 2).

Sol. A = 54 [u2]

18. El área del triángulo ABC es 13.5 [u2], si A(-3, 4) y B(5, 3), determinar las coordenadas del vértice C si este se encuentra en el eje de las abscisas. Sol. C(2, 0)

19. Dos de los vértices de un triángulo de área 31 [u2] son (-6, -1) y (4, 1); determinar las coordenadas del tercer vértice si su ordenada es el triple del opuesto de su abscisa.

Sol. (-2, 6)

20. Demostrar que los puntos P(-1, -4), Q(0, -1) y R(2, 5) están situados sobre una misma línea recta (son colineales).

21. Halla el valor de “y” para que los puntos A(1, 1), B(0, 3) y C(2, y) estén alineados.

Sol. y = -1