pp (revised final)

NERACA MIKROSKOPIK

(Steady State dan Unsteady State Conditions)

Kelompok 5

Adinda Putri Wisman 1006661185

Anissa Permatadietha Ardiellaputri 1006661203

Hermawan 1006775880

Ines Hariyani 1006775893

Linarty 1006686553

Rizki Dwi Saputro 1006775962

Departemen Teknik Kimia

Fakultas Teknik Universitas Indonesia

Depok, 2011

Peristiwa Perpindahan

Neraca Mikroskopik

(Steady State dan Unsteady State Conditions) 1

(Neraca Mikrskopik Keadaan Tunak dengan Generasi)

PERPINDAHAN MASSA DENGAN KONVEKSI

I. Konveksi pada Pipa Laminer

Aliran berlapis (laminar flow) dari cairan Newtonian (ℬ) yang tidak dapat dikempa

(incompressible) dalam sebuah pipa yang diberi tekanan, ditunjukkan pada gambar 1. Persamaan

distribusi kecepatan dari aliran tersebut adalah.

𝑣𝑧 = 2 𝑣𝑧 1 − 𝑟

𝑅

2

Secara teori, sebuah cairan (liquid) memiliki spesi 𝒜 yang uniform dengan konsentrasi 𝑐𝐴0

untuk 𝑧 < 0. Untuk 𝑧 > 0, konsentrasi spesi 𝒜 mulai berubah terhadap fungsi 𝑟 dan 𝑧 sebagai hasil

dari perpindahan massa dari dinding pipa. Berikut adalah proses pengembangan persamaan dari

konsentrasi spesi 𝒜, dengan asumsi viskositas liquid tidak mempengaruhi perpindahan massa.

Dari tabel C.8 pada appendiks C (Tosun, 2006), komponen elemen fluks tak nol untuk spesi 𝒜 adalah.

r

z

R

∆𝑧

r

∆𝑟

r

z

Gambar 1. Konveksi melalui sebuah pipa

(1.1)


Neraca Mikroskopik


𝒲𝐴𝑟= −𝜌𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜔𝐴

𝜕𝑟

𝒲𝐴𝑧= −𝜌𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜔𝐴

𝜕𝑧+ 𝜌𝐴𝑣𝑧

Untuk larutan sangat encer, massa jenis total hampir konstan sehingga persamaan (1.2) dan (1.3)

menjadi

𝒲𝐴𝑟= −𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜌𝐴

𝜕𝑟

𝒲𝐴𝑧= −𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜌𝐴


Membagi persamaan (1.4) dan (1.5) dengan massa molekular dari 𝒜, ℳ𝐴, memberikan

𝑁Ar= −𝒟AB

∂𝒸A

∂r

𝑁Az= −𝒟AB

∂𝒸A

∂z+ 𝒸A𝑣z

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.7)

(1.6)


Neraca Mikroskopik


Karena tidak ada generasi spesi 𝒜, persamaan umum neraca mikroskopik kedaan tunak tanpa

generasi dapat disederhanakan menjadi

Laju masuk

spesi 𝒜 −

Laju keluar

spesi 𝒜 = 0

Untuk elemen volume diferensial silinder dengan ketebalan ∆𝑟 dan panjang ∆𝑧, seperti terlihat pada

gambar, persamaan (1.8) diekspresikan sebagai.

𝑁𝐴𝑟 𝑟

2𝜋𝑟∆𝑧 + 𝑁𝐴𝑧 𝑧

2𝜋𝑟∆𝑟 − 𝑁𝐴𝑟 𝑟+∆𝑟

2𝜋 𝑟 + ∆𝑟 ∆𝑧 + 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

2𝜋𝑟∆𝑟 = 0

Membagi persamaan (1.9) dengan 2𝜋𝑟∆𝑟∆𝑧 dan memberikan limit ∆𝑟 → 0 dan ∆𝑧 → 0 sehingga.

lim∆𝑟→0

(𝑟𝑁𝐴𝑟)

𝑟− (𝑟𝑁𝐴𝑟

) 𝑟+∆𝑟

∆𝑟+ lim

∆𝑧→0

𝑁𝐴𝑧 𝑧

− 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

∆𝑧= 0

atau

1

𝑟

∂(𝑟𝑁𝐴𝑟)

∂𝑟+

∂𝑁𝐴𝑧

∂𝑧= 0

Subsitusi persamaan (1.6) dan (1.7) pada persamaan (1.11).

𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧=

𝒟AB

𝑟

∂

∂𝑟 𝑟

∂𝒸A

∂𝑟 + 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑧2

Difusi dapat diabaikan karena bilangan dimensi Peclet 𝑃𝑒𝑀 ≫ 1, sehingga persamaan (1.12) menjadi.

𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧=

𝒟AB

𝑟

∂

∂𝑟 𝑟

∂𝒸A

∂𝑟

Untuk forced convection mass transfer pada silinder dengan radius R, konsentrasi bulk dari ditentukan

dengan formulasi.

𝒸𝐴𝑏=

𝑣𝑧𝒸𝐴 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑅

0

2𝜋

0

𝑣𝑧 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑅

0

2𝜋

0

Integrasi persamaan (1.13).

𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

R

0

2𝜋

0

= 𝒟AB 1

𝑟

∂

∂𝑟 𝑟

∂𝒸A

∂𝑟

R

0

2𝜋

0

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.15)

Konveksi pada arah z

Difusi pada arah r

Difusi pada arah z


Neraca Mikroskopik


Karena 𝑣𝑧 ≠ 𝑣𝑧(𝑧), persamaan (1.15) dapat disusun ulang menjadi.

𝑣𝑧

∂𝒸A


R

0

2𝜋

0

= ∂(𝑣z𝒸A )

∂𝑧

R

0

2𝜋

0

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =𝑑

𝑑𝑧 𝑣z𝒸A 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

R

0

2𝜋

0

Substitusi persamaan (1.14) pada persamaan (1.16).

𝑣𝑧∂𝒸A


R

0

2𝜋

0=

𝑑

𝑑𝑧 𝒸Ab

𝑣z 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃R

0

2𝜋

0 𝒬

= 𝒬𝑑𝒸A b

𝑑𝑧

Karena ∂𝒸A ∂𝑟 = 0 oleh kondisi simetris pada pusat silinder, persamaan (1.15) menjadi.

1

𝑟

∂

∂𝑟 𝑟

∂𝒸A

∂𝑟

R

0

2𝜋

0

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝜋𝐷 ∂𝒸A

∂𝑟 𝑟 =𝑅

Substitusi persamaan (1.17) dan (1.18) pada persamaan (1.15) memberikan persamaan untuk

konsentrasi bulk

𝒬𝑑𝒸Ab

𝑑𝑧= 𝜋𝐷𝒟AB

∂𝒸A

∂𝑟 𝑟=𝑅

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)


Neraca Mikroskopik


A liquid is being transported in a circular plastic tube of inner and outer radii R1 and

R2, respectively. The dissolved O2 (species 𝒜) concentration in the liquid is 𝑐𝐴0. Develop

an expression relating the increase in O2 concentration as a untion of tubing length as

follows :

a) Over a differential volume element of thickness ∆𝑧, write down the inventory rate equations for

the mass of species 𝒜 and show that the governing equation is

𝒬𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧=

2𝜋𝒟𝐴𝐵

ln(𝑅2𝑅1

) (𝑐𝐴∞

− 𝑐𝐴𝑏)

where 𝒟𝐴𝐵 is the diffusion coefficient of O2 in a plastic tube and 𝑐𝐴∞ is the concentration of O2 in

the air surrounding the tube. In the development of Eq. (1), note that the molar rate of O2 transfer

through th etubing can be represented by Eq. (B) in Tabel 8.9.

b) Show that the integration of Eq. (1) leads to.

𝑐𝐴𝑏= 𝑐𝐴∞

− 𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴0

𝑒𝑥𝑝 −2𝜋𝒟𝐴𝐵𝑧

𝒬 ln(𝑅2𝑅1

)

Solusi.

a) Pada keadaan tunak (steady conditions) dimana laju akumulasi = 0, dalam kasus ini tidak ada O2

yang tidak larut dalam aliran, persamaan konservasi umum untuk molekul O2 adalah sebagai berikut.

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 O2 − 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 O2 + 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖 O2 = 0

a.1. Asumsi 𝕽=0

Pada kasus pipa ini, diasumsikan ℜ=0 dan perpindahan massa tidak mempengaruhi besar viskositas

liquid-nya. Jadi, pada pipa, terdapat dua buah komponen yang tidak mol, yaitu aliran ruah di sumbu z

(Fluks konvektif) dan juga perpindahan (penambahan) molekul O2 yang terlarut dalam aliran Secara

teori, liquid dengan molekul O2 memiliki konsentrasi yang sama 𝑐𝐴0 untuk 𝑧 < 0. Untuk 𝑧 > 0,

konsentrasi spesi 𝒜 berubah sebagai sebuah fungsi ke arah r dan z, dimana aliran perpindahan massa

mengalir dari dinding sepanjang pipa tersebut. Sehingga persamaan perpindahaan massa pada pipa

dapat diekspresikan seperti dibawah ini.

𝐴 𝑁𝐴𝑟 𝑟

− 𝐴 𝑁𝐴𝑟 𝑟+∆𝑟

+ 𝐴 𝑁𝐴𝑧 𝑧

− 𝐴 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

= 0

SOAL

1

1

2

(2)

(1)


Neraca Mikroskopik


2𝜋𝑟∆𝑧 𝑁𝐴𝑟 𝑟

− 2𝜋 𝑟 + ∆𝑟 ∆𝑧 𝑁𝐴𝑟 𝑟+∆𝑟

+ 2𝜋𝑟∆𝑟 𝑁𝐴𝑧 𝑧

− 2𝜋𝑟∆𝑟 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

= 0

Persamaan diatas kemudian dikalikan dengan 1

2𝜋𝑟∆𝑟∆𝑧, sehingga menghasilkan persamaan yang lebih

sederhana, seperti persamaan di bawah ini.

1

𝑟 (𝑟𝑁𝐴𝑟

) 𝑟

− (𝑟 𝑁𝐴𝑟)

𝑟+∆𝑟

∆𝑟+

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

Kemudian kita dapat melakukan pendekatan ∆𝑟 → 0 dan ∆𝑧 → 0.

1

𝑟 lim∆𝑟→0

(𝑟𝑁𝐴𝑟)

𝑟− (𝑟 𝑁𝐴𝑟

) 𝑟+∆𝑟

∆𝑟+ lim

∆𝑧→0

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

− 1

𝑟 𝑑

𝑑𝑟 (𝑟𝑁𝐴𝑟

) −𝑑𝑁𝐴𝑧

𝑑𝑧= 0

𝑁𝐴𝑟 dan 𝑁𝐴𝑧

merupakan fluks massa pada arah r dan aliran arah z, dimana besarnya kedua fluks

tersebut, secara matematis dinyatakan dalam persamaan di bawah ini.

𝑁𝐴𝑟= −𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟

𝑁𝐴𝑧= −𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧+ 𝑐𝐴𝑏

𝑉𝑧

Pada 𝑁𝐴𝑧 terjadi penambahan 𝑐𝐴𝑏

𝑉𝑧 (fluks konvektif) karena pada arah z, perpindahan massa terjadi

disepanjang badan pipa, sehingga terjadi perubahan konsentrasi terhadap volume tabung. Kedua

persamaan fluks terebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan hasil pendekatan lim∆𝑟→0

dan

lim∆𝑧→0

yang telah kita cari sebelumnya, sehingga menghasilkan persamaan perpindahan massa.

− 1

𝑟 𝑑

𝑑𝑟(𝑟 . −𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟) −

𝑑

𝑑𝑧 −𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧+ 𝑐𝐴𝑏

𝑉𝑧 = 0

1

𝑟 𝑑

𝑑𝑟𝑟 𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟 + 𝒟𝐴𝐵

𝑑2𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧2− 𝑉𝑧

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧= 0

1

𝑟 𝑑


𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟 + 𝒟𝐴𝐵

𝑑2𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧2= 𝑉𝑧

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧

Pada larutan dilute liquid, fluks konvektifnya memilki bilangan dimensi Peclet Pe >> 1 dan

𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧= 0, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi persamaan di bawah ini.

(3)

(4)

(7)

(5)

(6)

(8)

(9)

(10)

(11)


Neraca Mikroskopik


1

𝑟 𝑑


𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟 = 𝑉𝑧

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧

Untuk konveksi perpindahan massa pada sebuah pipa dengan jari-jari R, konsentrasi aliran ‘bulk’

dapat ditentukan melalui persamaan berikut.

𝑐𝐴𝑏=

𝑐𝐴𝑏𝑉𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

𝑉𝑧𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅

0

2𝜋

0

𝑐𝐴𝑏 𝑉𝑧𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

= 𝑐𝐴𝑏𝑉𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

Persamaan ruas kiri dapat disederhanakan sehingga menghasilkan sebuah besaran 𝒬.

𝑐𝐴𝑏 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

𝑉𝑧

𝑐𝐴𝑏 𝑉𝑧𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

= 𝒬 𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧

Kemudian, kita dapat menyelesaikan persamaan ruas kanan dengan menuliskan.

𝑐𝐴𝑏𝑉𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

= 𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧𝑉𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

dimana.

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧𝑉𝑧 =

1

𝑟 𝑑


𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟

maka.

1

𝑟 𝑑


𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

= 1

𝑟 𝑑

𝑑𝑟𝑟2 𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅

0

2𝜋

0

ruas kiri ruas kanan

𝐴 𝑉 = 𝒬

(12)

(13)

)

(14)

)

(15)

)

(16)

)

(17)

)

(18)

)


Neraca Mikroskopik


= 𝑟 𝑑

𝑑𝑟 𝒟𝐴𝐵 𝑑𝑐𝐴𝑏

2𝜋

0

𝑅0

𝑑𝜃

= 𝑅 𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟 𝒟𝐴𝐵 𝑑𝜃

2𝜋

0

= 2𝜋𝑅 𝒟𝐴𝐵 𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟

Gabungkan kedua ruas kiri dan kanan, sehingga menghasilkan persamaan.

𝒬 𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑧= 2𝜋𝑅 𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑟

Berdasarkan Tabel 8.9 Persamaan (B), besar 𝒟𝐴𝐵 dapat ditentukan dengan formulasi.

Substitusikan persamaan 𝐵 tersebut ke dalam persamaan sebelumnya, sehingga kita dapat

memperoleh persamaan baru yakni.


𝑑𝑧= 2𝜋𝑅

2𝜋𝐿 𝒟𝐴𝐵 𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴𝑏

2𝜋𝑅𝐿 ln(𝑅1𝑅2

)

𝓠 𝒅𝒄𝑨𝒃

𝒅𝒛=

𝟐𝝅 𝓓𝑨𝑩

𝐥𝐧(𝑹𝟐𝑹𝟏

) 𝒄𝑨∞

− 𝒄𝑨𝒃

(19)

)

(20)

)

(21)

)

TERBUKTI


Neraca Mikroskopik


a.2. Asumsi 𝕽 ≠ 𝟎

Beberapa asumsi lain pada poin a.2. ini juga sama seperti kasus sebelumnya, dimana koefisien

difusi 𝒟𝐴𝐵 bernilai konstan, terjadi pada keadaan steady-state, dan tidak terjadi kebocoran, serta

konsentrasi awal O2 dalam aliran adalah 𝑐𝐴0, sedangkan konsentrasi akhir dari O2 adalah 𝑐𝐴𝑏

dimana

nilai 𝑐𝐴𝑏> 𝑐𝐴0

.

Untuk perpindahan dari O2 dalam arah radial (r), diasumsikan 0 (nol) karena pada pelat tidak

dapat ditembus oleh molekul O2. Jadi, diasumsikan unsur O2 yang melarut juga berasal dari arah

sumbu z. Sehingga komponen fluks tak-nolnya adalah.

𝑁𝐴𝑧= −𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴

𝑑𝑧+ 𝑐𝐴𝑉𝑧

Dengan laju akumulasi = 0, maka persamaan inventarisasinya adalah sebagai berikut.

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 O2 − 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 O2 + 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖 O2 = 0

Persamaan tersebut dapat dikembangkan lagi menjadi.

𝐴𝑁𝐴𝑧|𝑧 − 𝐴𝑁𝐴𝑧

|𝑧+∆𝑧 + ℜ 𝑉 = 0

Dengan mensubstitusikan nilai A sebagai komponen luas dan V sebagai komponen volume yang

ditentukan dengan persamaan.

𝐴𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑧 = 2𝜋𝑟∆𝑟

𝑉 = 2𝜋𝑟∆𝑟∆𝑧

Maka persamaan (24) dikembangkan lagi menjadi persamaan.

2𝜋𝑟∆𝑟𝑁𝐴𝑧|𝑧 − 2𝜋𝑟∆𝑟𝑁𝐴𝑧

|𝑧+∆𝑧 + ℜ 2𝜋𝑟∆𝑟∆𝑧 = 0




𝑟𝑁𝐴𝑧

𝑧

∆𝑧−

𝑟 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

∆𝑧+ ℜ. 𝑟 = 0

Lalu, dilakukan pendekatan lim ∆𝑧 → 0.

lim∆𝑧→0

𝑟𝑁𝐴𝑧

𝑧

− 𝑟 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

∆𝑧= − ℜ. 𝑟

(22)

)

(23)

)

(24)

)

(25)

) (26)

)

(27)

)

(28)

)

(29)

)


Neraca Mikroskopik


−𝑑𝑟(𝑁𝐴𝑧

)

𝑑𝑧+ ℜ. 𝑟 = 0

−𝑟𝑑(𝑁𝐴𝑧

)

𝑑𝑧= −ℜ. 𝑟

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi persamaan di bawah ini.

𝑑(𝑁𝐴𝑧)

𝑑𝑧= ℜ

Dengan metode yang berbeda dengan metode sebelummnya, yakni menggunakan metode pembuktian

satuan, akan dibuktikan bahwa satuan ℜ adalah 𝑚𝑜𝑙

𝑠.𝑚3 yang memiliki kesamaan satuan dengan.

𝑛

𝑉=

𝑚𝑜𝑙𝑠

𝑚3

jadi nilai ℜ pada persamaan (32) dapat diganti dengan 𝑛

𝑉, yang kemudian menghasilkan persamaan

baru yakni.

𝑑(𝑁𝐴𝑧)

𝑑𝑧=

𝑛

𝑉

dari Tabel 8.9 persamaan (B), kita dapat mengetahui nilai 𝑛

𝑛 = 2𝜋𝐿𝒟𝐴𝐵(𝑐𝐴∞

− 𝑐𝐴𝑏)

ln𝑅2𝑅1

Dimana 𝑐𝐴∞ adalah nilai konsentrasi di luar airan (posisi saat O2 bebas) pada 𝑅2 dan 𝑐𝐴𝑏

adalah

konsentrasi O2 yang terlarut dalam aliran (pada 𝑅1).

Substitusi persamaan (33) dan (34) ke dalam persamaan (32).

𝑑(𝑁𝐴𝑧)

𝑑𝑧=

2𝜋𝐿𝒟𝐴𝐵(𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴𝑏

)

𝑉 ln𝑅2𝑅1

𝑑(𝑁𝐴𝑧)

𝑑𝑧=

2𝜋𝐿𝒟𝐴𝐵 𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴𝑏

2𝜋𝑟∆𝑟𝐿 ln𝑅2𝑅1

𝑑(𝑁𝐴𝑧)

𝑑𝑧=

2𝜋𝒟𝐴𝐵 𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴𝑏

2𝜋𝑟∆𝑟 ln𝑅2𝑅1

karena 2𝜋𝑟∆𝑟 = 𝐴, maka persamaan di atas dapat dirubah menjadi.

(30)

)

(31)

)

(32)

)

(33)

)

(34)

)

(35)

)

(36)

)

(37)

)


Neraca Mikroskopik


𝑑(𝑁𝐴𝑧)

𝑑𝑧=


𝐴 ln𝑅2𝑅1

dengan mensubstitusikan nilai 𝑁𝐴𝑧 pada persamaan (22), maka persamaan diatas dapat dimodiikasi

lagi menjadi.

𝑑

𝑑𝑧 −𝒟𝐴𝐵

𝑑𝑐𝐴𝐵

𝑑𝑧+ 𝑐𝐴𝑉𝑧 =


𝐴 ln𝑅2𝑅1

karena nilai 𝒟𝐴𝐵 konstan, 𝒟𝐴𝐵 = 0, maka

−𝒟𝐴𝐵

𝑑2𝑐𝐴𝐵

𝑑𝑧2= 0

Persamaan (39) dapat disederhanakan menjadi persamaan berikut ini.

𝑑𝑐𝐴𝐵

𝑑𝑧𝑣𝑧 =


𝐴 ln𝑅2𝑅1

𝐴 𝑑𝑐𝐴𝐵

𝑑𝑧𝑣𝑧 =


ln𝑅2𝑅1

nilai dari 𝐴 dan 𝑣𝑧 dapat disubstitusikan dengan laju volumetrik (𝒬) dengan metode pembuktian

satuan sebagai berikut.

𝒬 𝑚3

𝑠 = 𝐴 𝑣 𝑚2

𝑚

𝑠

Sehingga, persamaan (42) dapat diubah menjadi persamaan dibawah ini.

𝓠 𝒅𝒄𝑨𝑩

𝒅𝒛=

𝟐𝝅𝓓𝑨𝑩 𝒄𝑨∞− 𝒄𝑨𝒃

𝐥𝐧𝑹𝟐𝑹𝟏

(38)

)

(39)

)

(40)

)

(41)

)

(42)

)

(43)

)

TERBUKTI


Neraca Mikroskopik


b) Persamaan akhir pada point (a) dapat dikembangkan lagi melalui proses integral, seperti

penjabaran di bawah ini.

Kondisi batas.

𝑧 = 0 𝑐𝐴𝑏= 𝑐𝐴0

𝑧 = 𝑧 𝑐𝐴𝑏= 𝑐𝐴𝑏


𝑑𝑧=

2𝜋 𝒟𝐴𝐵

𝑙𝑛(𝑅2𝑅1

) 𝑐𝐴∞

− 𝑐𝐴𝑏

𝑑𝑐𝐴𝑏

𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴𝑏

=

2𝜋 𝒟𝐴𝐵 𝑑𝑧

𝒬 𝑙𝑛(𝑅2𝑅1

)

𝑑𝑐𝐴𝑏


𝑐𝐴𝑏

𝑐𝐴0

= 2𝜋 𝒟𝐴𝐵 𝑑𝑧


)

𝑧

0

ln 𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴𝑏

𝑐𝐴𝑏

𝑐𝐴0=

2𝜋 𝒟𝐴𝐵 𝑧


)

ln 𝑐𝐴∞

− 𝑐𝐴𝑏

𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴0

=



)


𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴0

= exp



)


= 𝑐𝐴∞− 𝑐𝐴0

exp −2𝜋 𝒟𝐴𝐵 𝑧


)

𝒄𝑨𝒃= 𝒄𝑨∞

− 𝒄𝑨∞− 𝒄𝑨𝟎

𝐞𝐱𝐩 −𝟐𝝅 𝓓𝑨𝑩 𝒛

𝓠 𝒍𝒏 (𝑹𝟐𝑹𝟏

)

(44)

)

TERBUKTI


Neraca Mikroskopik


II. Difusi pada Falling Liquid Film

Absorpsi gas pada dinding kolom yang lembab ditunjukkan pada gambar 2. Cairan Newtonian

(ℬ) merupakan cairan incompressible yang tidak dapat dikempa, mengalir pada sebuah plat berlapis

dengan lebar (W) dan panjang (L). Plat tersebut merupakan lapisan tipis dengan ketebalan 𝛿 yang

dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Gas 𝒜 mengalir pada arah yang sama dengan aliran liquid. Persamaan

distribusi kecepatan pada aliran ini, ditunjukkan dengan persamaan.

𝑣𝑧 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑥

𝛿

2

dimana.

𝑣𝑚𝑎𝑠 =3

2 𝑣𝑧 =

𝜌𝑔𝛿2

2𝜇

Viskositas liquid dianggap tidak mempengaruhi perpindahan massa.

Secara umum, konsentrasi spesi 𝒜 pada fasa liquid berubah sebagai fungsi x dan z. Jadi dari

tabel C.7 pada Appendix C, komponen fluks tak-nol adalah.

(2.1)

(2.2)


Neraca Mikroskopik


𝒲𝐴𝑟= −𝜌𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜔𝐴

𝜕𝑟

𝒲𝐴𝑧= −𝜌𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜔𝐴


Pada larutan dilute liquid, total kepadatan (density) adalah mendekati konstan, sehingga

persamaan (2.3) dan (2.4) menjadi.

𝒲𝐴𝑥= −𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜌𝐴

𝜕𝑥

𝒲𝐴𝑧= −𝒟𝐴𝐵

𝜕𝜌𝐴


Membagi persamaan (2.5) dan (2.6) dengan massa molekular dari 𝒜, ℳ𝐴, memberikan.

𝑁𝐴𝑥= −𝒟AB

∂𝒸A

∂x

𝑁𝐴𝑧= −𝒟AB

∂𝒸A

∂z+ 𝒸A𝑣z

Karena tidak ada generasi spesi 𝒜, persamaan umum neraca mikroskopik kedaan tunak tanpa

generasi dapat disederhanakan menjadi.

(2.4)

Gambar 2. Difusi pada Falling Liquid Film

(2.3)

(2.6)

(2.5)

(2.8)

(2.7)


Neraca Mikroskopik


Laju masuk

spesi 𝒜 −

Laju keluar

spesi 𝒜 = 0

Untuk elemen volume diferensial silinder dengan ketebalan ∆𝑥 dan panjang ∆𝑧, serta lebar W seperti

terlihat pada gambar 2, persamaan (2.9) diekspresikan sebagai

𝑁𝐴𝑥 𝑥𝑊∆𝑧 + 𝑁𝐴𝑧

𝑧𝑊∆𝑥 − 𝑁𝐴𝑥

𝑥+∆𝑥

𝑊∆𝑧 + 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

𝑊∆𝑥 = 0

Membagi persamaan (1.9) dengan 𝑊∆𝑥∆𝑧 dan memberikan limit ∆𝑥 → 0 dan ∆𝑧 → 0 sehingga

lim∆𝑥→0

𝑁𝐴𝑥 𝑥

− 𝑁𝐴𝑥 𝑥+∆𝑥

∆𝑥+ lim

∆𝑧→0

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

atau

∂𝑁𝐴𝑥

∂𝑥+

∂𝑁𝐴𝑧

∂𝑧= 0

Subsitusi persamaan (1.6) dan (1.7) pada persamaan (1.11).

𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧= 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑥2+ 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑧2

Pada arah 𝑧, massa dari spesi 𝒜 berpindah melalui proses konveksi dan difusi. Difusi dapat diabaikan

karena bilangan dimensi Peclet 𝑃𝑒𝑀 ≫ 1, sehingga persamaan (2.13) menjadi.

𝑣𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑥

𝛿

2

∂𝒸A

∂𝑧= 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑥2

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)


Difusi pada arah x

Difusi pada arah z

(2.14)


Neraca Mikroskopik


H2S is being absorbed by pure water flowing down a vertical wall with a volumetric flow

rate of 6.5 × 10-6 m3/s at 200C. The height and the width of the late are 2 m and 0.8 m,

respectively. if the diffusion coefficient of H2S in water is 1.3 × 10-9 m2/s and its

solubility is 0.1 kmol/m3, calculate the rate of absorption of H2S into water.

Diketahui. H2S mengalami absorpsi oleh air murni yang mengalir pada sebuah dinding vertikal, yang

memiliki beberapa besaran berikut ini.

𝒬 = 6.5 × 10-6 m3/s

𝑇 = 200C

𝐻 = 2 m

𝐿 = 0.8 m

𝒟𝐴𝐵 = 1.3 × 10-9 m2/s

𝑐𝑠 = 0.1 kmol/m3

Pemahaman Soal.

Berdasarkan soal di atas, problem yang terjadi dimulai ketika senyawa H2S mengalami proses absorbsi

oleh air murni yang mengalir pada sebuah dinding secara vertikal, searah arah 𝑧. Pada proses absorbsi

otomatis terjadi perpindahan molekul dari senyawa H2S ke dalam air. Ketika molekul H2S terabsrobsi

SOAL

2

W

L

x

z

𝛿

𝒸∗A

Gambar 3. Absorpsi H2S pada dinding vertikal

H2S


Neraca Mikroskopik


oleh air, konsentrasi air yang mengalir akan bertambah, dan nilainya akan semakin tinggi seiring

dengan pergerakan vertikal oleh air menuruni dinding tersebut. Hal ini ditunjukkan oleh profil

konsentrasi berupa garis melengkung berwarna hijau pada Gambar 3. Secara teoritis hal tersebut

dapat dibuktikan dengan pemahaman ketika sebuah molekul teserap oleh molekul lainnya yang

sedang mengalir secara verikal menuruni sebuah dinding, maka konsentrasinya akan bertambah.

Semakin ke bawah nilainya akan semakin tinggi, karena proses absorbsi terus terjadi.

Solusi.

Dengan langkah yang sama dengan penyelesaiian soal nomor 1, asumsi : laju akumulasi = 0, dan laju

generasi ℜ = 0, maka.

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 − 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 + 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖 = 0

𝑁𝐴𝑥 𝑥𝑊∆𝑧 + 𝑁𝐴𝑧

𝑧𝑊∆𝑥 − 𝑁𝐴𝑥

𝑥+∆𝑥

𝑊∆𝑧 + 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

𝑊∆𝑥 = 0

dimana berdsarkan elemen volum diferensial pada Gambar 3, ketebalan ditunjukkan oleh besaran ∆𝑥

dan panjang ∆𝑧, serta dinding dengan lebar W.


𝑊∆𝑥∆𝑧, sehingga menghasilkan persamaan yang lebih


𝑁𝐴𝑥 𝑥


∆𝑥 +

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

Lalu, dilakukan pendekatan lim ∆𝑥 → 0 dan lim ∆𝑧 → 0.

lim∆𝑥→0

𝑁𝐴𝑥 𝑥


∆𝑥+ lim

∆𝑧→0

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

∂𝑁𝐴𝑥

∂𝑥+

∂𝑁𝐴𝑧

∂𝑧= 0

Pengembangan persamaan (9), dapat dilakukan dengan mensustitusi kmponen fluks tak-nol pada

kasus perpindahan massa ini, seperti yang telah dituliskan sebelumnya pada persamaan (1.6) dan

(1.7) pada persamaan (1.11), dan menghasilkan persaman baru.

𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧= 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑥2+ 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑧2

Telah dijelaskan pada dasar teori, bahwa difusi pada arah z dapat diabaikan. Maka persamaan (6)

ditulis kembali dalam bentuk persamaan dibawa ini.

(1)

(2)

(3)

)

(4)

)

(5)

)

(6)

)


Neraca Mikroskopik


𝑣𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑥

𝛿

2

∂𝒸A

∂𝑧= 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑥2

untuk menyelesaikan persamaan (7) digunakan kondisi batas.

pada 𝑧 = 0 𝒸A = 𝒸A0

pada 𝑥 = 0 𝒸A = 𝒸∗A

pada 𝑥 = 𝛿 𝜕𝑐𝐴

𝜕𝑥= 0

Berdasarkan problem yang ada, air memiliki konsentrasi awal 𝒸A0 untuk 𝑧 < 0 (sebelum terjadi

aliran dan proses absorbsi). Pada antar fasa, gas dan liquid (pertemuan kedua permukaan air dan

molekul H2S), diketahui nilai solubility H2S. Sedangkan kondisi batas (21), dimana spesi H2S berada

pada 𝑥 = 𝛿 menunjukkan bahwa spesi H2S tidak berdifusi melalui dinding.

Untuk menyelesaikan probem ini digunakan prinsip long contact times, karena kontak antara molekul

air dan H2S terjadi disepanjang dinding vertikal. berbeda dengan konsep short contact times, dimana

secara umum spesi 𝒜 kontak dengan molekul air (pada kasus ini) menembus /penetrate ke dalam

lapisan film, sehingga spesi 𝒜 tidak terdeteksi pada 𝑥 = 𝛿 . Justru, akan menghasilkan kondisi batas

baru, yakni 𝑥 = ∞ dimana 𝒸A = 𝒸A0.

Untuk sistem ling contact times, pada persegi panjang, elemen volume differensial dari ketebalan ∆𝑥 ,

panjang ∆𝑧 , dan ketebalan W, persamaan inventarisasinya juga dapat dinyatakan sebagai:

𝒬 𝐶𝐴𝑏 𝑧 + 𝑘𝑐 𝑐∗𝐴 − 𝑐𝐴𝑏 𝑊 ∆𝑧 − 𝒬 𝑐𝐴𝑏 𝑧+ ∆𝑧 = 0

Kemudian membagi persamaan diatas dengan ∆𝑧 dan melimitkan ∆𝑧 menuju 0 maka:

𝒬 lim∆𝑧 →0𝐶𝐴𝑏 𝑧 − 𝑐𝐴𝑏 𝑧+ ∆𝑧

∆𝑧+ 𝑘𝑐 𝑐

∗𝐴 − 𝑐𝐴𝑏 𝑊 = 0

atau


𝑑𝑧= 𝑘𝑐 𝑐

∗𝐴 − 𝑐𝐴𝑏 𝑊

Persamaan diatas dapat dipisahkan dan disusun kembali menjadi


𝑐∗𝐴− 𝑐𝐴0

= 𝑊 𝑘𝑐 𝑑𝑧𝐿

0

(𝑐𝐴𝑏 )𝐿

𝑐𝐴0

Mengeluarkan integral, menjadi:

𝑘𝑐 = 𝒬

𝑊 𝐿ln

𝑐∗𝐴 − 𝑐𝐴0

𝑐∗𝐴 − (𝑐𝐴𝑏 )𝐿

(9)

(10)

(7)

(8)


Neraca Mikroskopik


Dalam buku Tosun terdapat penurunan 𝑘𝑐 dalam keadaan makroskopik (penurunan dapat dilihat

pada buku Tosun persamaan 9.5-130 sampai 9.5-136). Perumusannya adalah

𝑘𝑐 = 4 𝐷𝐴𝐵 𝑣𝑚𝑎𝑥

𝜋 𝐿

Dengan berbagai pertimbangan berdasarkan nilai Sherwood, nilai Reynold, maka persamaan tersebut

menjadi

𝑘𝑐 = 4𝐷𝐴𝐵

𝜋𝑡𝑒𝑥𝑝

Dimana 𝑡𝑒𝑥𝑝 adalah exposure time yang di definisi sebagai

𝑡𝑒𝑥𝑝 =𝐿

𝑣𝑚𝑎𝑥

Berdasarkan soal yang ada, besaran-besaran diatas dapat dicari melalui langkah awal, yakni

menentukan nilai 𝑐𝐴∞ :

𝑐𝐴∞ =𝑃𝑠𝑎𝑡

𝑅𝑇… (27)

𝑐𝐴∞ =0,02336 atm

0,082 𝐿 𝑎𝑡𝑚𝑚𝑜𝑙 𝐾 . 293 𝐾

… (28)

𝑐𝐴∞ = 9,72 . 10−4 𝑚𝑜𝑙𝑑𝑚3 = 9,72 . 10−4 𝑘𝑚𝑜𝑙

𝑚3 … (29)

Kedua, mencari nilai 𝑘𝑐 dalam makroskopik, karena pada perumusan 𝑘𝑐 data-data yang diketahui

memenuhi dibanding dengan mencari 𝑘𝑐 dengan perumusan mikroskopik.

𝑘𝑐 = 4𝐷𝐴𝐵

𝜋𝑡𝑒𝑥𝑝


𝑣𝑚𝑎𝑥


𝑄𝐴

karena pada kasus ini yang di tinjau ada pelat persegi maka luas areanya adalah

𝐴 = 𝑊. 𝐿


Neraca Mikroskopik



𝑄𝑊. 𝐿

𝑡𝑒𝑥𝑝 =𝑊 𝐿2

𝒬

𝑘𝑐 =

4𝐷𝐴𝐵

𝜋𝑊 𝐿2

𝒬

𝑘𝑐 = 4𝐷𝐴𝐵 . 𝑄

𝜋 𝑊. 𝐿2

𝑘𝑐 = 4. 1,3𝑥10−96,5𝑥10−6

3,14 .0,8 . 22= 5,79 × 10 −8

Lalu, kita mencari nilai 𝑐𝐴0 dari persamaan berikut.

𝑘𝑐 =𝒬

𝑊 𝐿ln

𝑐∗𝐴 − 𝑐𝐴0

𝑐∗𝐴 − (𝑐𝐴𝑏 )𝐿

5,79−8 =6,5𝑥10−6

0,8 .2ln

9,72−4 − 𝑐𝐴0

9,72−4 − 0,1

1,425−2 = ln 9,72−4 − 𝑐𝐴0

−0,09903

𝑒1,425−2=

9,72−4 − 𝑐𝐴0

−0,09903

1,01435 −0,09903 = 9,72−4 − 𝑐𝐴0

𝑐𝐴0 = 0,101423 𝑘𝑚𝑜𝑙𝑚3

Terakhir, kita dapat mencari laju absorbsi dengan rumus .

Laju Absorbsi = 𝑐𝐴0𝑥 𝒬

Laju Absirbsi = 0,101423 𝑘𝑚𝑜𝑙𝑚3 𝑥 6,5𝑥10−6 𝑚3

𝑠

Laju Absorbsi = 𝟔, 𝟓𝟗 × 𝟏𝟎−𝟕 𝒌𝒎𝒐𝒍𝒔


Neraca Mikroskopik


Water at 250C flows down a wetted wall column of 5 cm diameter and 1.5 m height at a

volumetric flow rate of 8.5 × 10-6 m3/s. Pure CO2 at a pressure of 1 atm flows in the

countercurrent direction. If the solubiity of CO2 is 0.03365 kmol/m3, determine the rate

of absorption of CO2 into water.

Diketahui. Air mengalir pada dinding sebuah tiang, dengan besaran-besaran sebagai berikut.

𝒬 = 8.5 × 10-6 m3/s

𝑇 = 250C

𝑑 = 5 cm

𝐻 = 1.5 m

𝒟𝐴𝐵 = 1.92 × 10-9 m2/s (Appendix D)

𝑐𝐴𝑏 = 0.0336 kmol/m3

𝑃 = 1 atm

Pemahaman soal.

Problem yang terjadi adalah terdapat sebuah kolom yang lembab (pada dinding bagian dalam kolom

terdapat molekul air (H20). Pada kolom tersebut juga mengalir gas CO2 berlawanan arah jarum jam

(countercurrent directiron), mengitari seluruh dinding kolom. Sehingga terjadilah proses absorbsi

molekul gas CO2 dan menyebabkan terjadinya kontak dengan molekul H20. Dapat disimpulkan bahw

aperpindahan massa yang terjadi adalah perpindahaan CO2 ke araha radial 𝑟.

Solusi.

Problem ini diselesaikan dengan mengunakan persamaan inventarisai, dengan kondisi steady state,

dan nilai laju generasinya adalah 0.

𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 − 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 = 0

SOAL

3

𝛿

Air hanya mengalir pada bagian dalam kolom

(aliran ditunjukkan oleh warna biru yang lebih

muda)

Gambar 4. Aliran air pada kolom yang lembab

(1)

x

z


Neraca Mikroskopik


Konsentrasi spesi CO2 berubah sebagai sebuah fungsi ke arah r, dimana aliran perpindahan massa

mengalir dari dinding sepanjang kolom tersebut (sama dengan arah aliran air ke sumbu z). Sehingga

persamaan perpindahaan massa pada kolom dapat diekspresikan seperti dibawah ini.

𝐴 𝑁𝐴𝑟 𝑟

− 𝐴 𝑁𝐴𝑟 𝑟+∆𝑟

+ 𝐴 𝑁𝐴𝑧 𝑧

− 𝐴 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

= 0

2𝜋𝑟∆𝑧 𝑁𝐴𝑟 𝑟

− 2𝜋 𝑟 + ∆𝑟 ∆𝑧 𝑁𝐴𝑟 𝑟+∆𝑟

+ 2𝜋𝑟∆𝑟 𝑁𝐴𝑧 𝑧

− 2𝜋𝑟∆𝑟 𝑁𝐴𝑧 𝑧+∆𝑧

= 0




1

𝑟 (𝑟𝑁𝐴𝑟

) 𝑟

− (𝑟 𝑁𝐴𝑟)

𝑟+∆𝑟

∆𝑟+

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

Kemudian kita dapat melakukan pendekatan ∆𝑟 → 0 dan ∆𝑧 → 0.

1

𝑟 lim∆𝑟→0

(𝑟𝑁𝐴𝑟)

𝑟− (𝑟 𝑁𝐴𝑟

) 𝑟+∆𝑟

∆𝑟+ lim

∆𝑧→0

𝑁𝐴𝑧 𝑧


∆𝑧= 0

− 1

𝑟 𝑑

𝑑𝑟 (𝑟𝑁𝐴𝑟

) −𝑑𝑁𝐴𝑧

𝑑𝑧= 0

Dengan prinsip yang sama pada soal nomor 2, dimana komponen fluks tak-nolnya adalah sebagai

berikut.

𝑁𝐴𝑟= −𝒟AB

∂𝒸A

∂r

𝑁𝐴𝑧= −𝒟AB

∂𝒸A

∂z+ 𝒸A𝑣z

maka, persamaan (6), dapat dikembangkan lagi dengan mensubstitusi persamaan (7) dan (8).

𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧=

1

r𝒟AB

∂

∂r

r ∂𝒸A

∂𝑟 + 𝒟AB

∂2𝒸A

∂𝑧2

Perpindan molekular pada arah z sangatlah keci sehingga dapat dianggap 0, sehingga persamaannya

menjadi.

1

r𝒟AB

∂

∂r

r ∂𝒸A

∂𝑟 − 𝑣𝑧

∂𝒸A

∂𝑧= 0

(3)

(4)

(5)

(6)

(8)

(9)


Difusi pada arah x

Difusi pada arah z

(2)

(7)

(10)


Neraca Mikroskopik


Untuk menyelesaikan persamaan diatas digunakan kondisi batas berikut ini.

pada 𝑧 = 0 𝒸A = 0

pada 𝑟 = 0 𝒸A = 𝒸∗A

pada 𝑟 = 𝛿 𝜕𝑐𝐴

𝜕𝑟= 0

Pada 𝑧 = 0, belum terjadi aliran karena belum terjadi proses konveksi sehingga konsentrasi awal

spesi CO2 pada arah z adalah nol (𝒸A = 0). Sedangkan saat kondisi 𝑟 = 0, artinya adalah saat spesi

CO2, tepat akan mengalami proses perpindahan massa (terserap oleh air) konsentrasinya sama dengan

solubility-nya, 𝒸A = 𝒸∗A . Hal ini karena seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa CO2,

berpindah pada arah radial. Pada saat 𝑟 = 𝛿, kondisi batas yang terjadi adalah 𝜕𝑐𝐴

𝜕𝑟= 0 , dimana hal

ini menjelaskan bahwa spesi CO2 tidak berdifusi menembus dinding dalam kolom.

(12)

(13)

(11)


Neraca Mikroskopik


(Neraca Mikrskopik Keadaan Tidak Tunak tanpa Generasi)

PERPINDAHAN ENERGI

Pemanasan pada Partikel Spherical (berbentuk bola)

Bola pada radius 𝑅 awalnya bersuhu sama 𝑇𝑜. Saat 𝑡 = 0, bola tersebut terekspos pada fluida

dengan temperatur 𝑇∞ 𝑇∞ > 𝑇𝑜 . Karena perpindahan panas terjadi pada arah r, maka berdasarkan

pada Tabel C.6 Appendix C, komponen fluks tak-nol dituliskan dalam persamaan berikut ini.

𝑒𝑟 = 𝑞𝑟 = −𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑟

Untuk volume diferensial partikel berbentuk bola dengan ketebalan ∆𝑟, seperti yang ditunjukkan oleh

gambar 5, memiliki persamaan inventarisasi.

Rate

Energy In −

Rate

Energy Out =

Rate of

Energy Accumulation

yang dapat dikembangkan menjadi.

𝑞𝑟 𝑟4𝜋𝑟2 − 𝑞𝑟 𝑟+∆𝑟4𝜋 𝑟 + ∆𝑟 2 =𝜕

𝜕𝑡 4𝜋𝑟2∆𝑟𝜌Ĉ𝑝 𝑇 − 𝑇∞

Persamaan (3.3) dikalikan dengan 1

4𝜋∆𝑟, dimana ∆𝑟 → 0, sehingga menghasilkan persamaan.

𝜌Ĉ𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑟=

1

𝑟2lim

∆𝑟→0

𝑟2𝑞𝑟 𝑟 − 𝑟2𝑞𝑟 𝑟+∆𝑟

∆𝑟

atau

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)


Neraca Mikroskopik


𝜌Ĉ𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑟= −

1

𝑟2

𝜕 𝑟2𝑞𝑟

𝜕𝑟

Substitusi persamaan (3.1) ke dalam persamaan (3.5), sehingga menghasilkan persamaan

pengembangan diferensial untuk temperatur.

𝜌Ĉ𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑟=

𝑘

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕𝑇

𝜕𝑟

Persamaan (3.6) tersebut dapat diselesaikan melalui penentuan kondisi batas, seperti di bawah ini.

pada 𝑡 = 0 𝑇 = 𝑇o

pada 𝑟 = 0 𝜕𝑇

𝜕𝑟= 0

pada 𝑟 = 𝑅 𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑟= 𝑕 𝑇∞ − 𝑇

Pada kondisi ini, akan digunakan beberapa bilangan dimensi, antara lain.

𝜃 =𝑇∞ − 𝑇

𝑇∞ − 𝑇𝑜

𝜏 =𝛼𝑡

𝑅2

𝜉 =𝑟

𝑅

BiH = 𝑕 𝑅

𝑘

Mereduksi persamaan (3.6) hingga (3.9), menjadi.

𝜕𝜃

𝜕𝑟=

1

𝜉2

𝜕

𝜕𝜉 𝜉2

𝜕𝜃

𝜕𝜉

(3.5)

R

Gambar 5. Pemanasan pada Partikel berbentuk Bola

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(4.0)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)


Neraca Mikroskopik


pada 𝜏 = 0 𝜃 = 1

pada 𝜉 = 0 𝜕𝜃

𝜕𝜉= 0

pada 𝜉 = 1 −𝜕𝑇

𝜕𝜉= BiHθ

Solusi untuk 0.1 < BiH < 40

𝜃 =𝑢

𝜉

mengkonversi geometri bola menjadi geometri pelat. Substitusi persamaan (4.8) ke persamaan (4.4).

𝜕𝑢

𝜕𝑟=

𝜕2𝑢

𝜕𝜉2

Persamaan di atas identik dengan persamaan perpindahan panas keadaan tidak tunak pada geometri

pelat, sehingga penyelesaiannya menjadi persamaan di bawah ini.

𝑢 = 𝑒−𝜆2𝜏 𝐴 sin 𝜆𝜉 + 𝐵 cos 𝜆𝜉

atau

𝜃 = 𝑒−𝜆2𝜏 𝐴sin 𝜆𝜉

𝜉+ 𝐵

cos 𝜆𝜉

𝜉

Dari kondisi batas yang telah ditentukan sebelumnya pada persamaan (4.6) menunjukkan bahwa nilai

𝐵 = 0. Pengaplikasian kondisi batas (4.7) memberikan hasil seperti berikut ini.

𝐴𝑒−𝜆2𝜏 sin λ − λ cos λ = BiH𝐴𝑒−𝜆2𝜏 sin λ

Dengan penyelesaian 𝜆

λn cot λn = 1 − BiH

Lima akar pertama dari persamaan (4.13) sebagai fungsi BiH diberikan pada tabel.

BiH λ1 λ2 λ3 λ4 λ5

0 0.000 4.493 7.725 10.904 14.066

0.1 0.542 4.516 7.738 10.913 14.073

0.5 1.166 4.604 7.790 10.950 14.102

1.0 1.571 4.712 7.854 10.996 14.137

2.0 2.029 4.913 7.979 11.086 14.207

10.0 2.836 5.717 8.659 11.653 14.687

(4.6)

(4.7)

(4.5)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)


Neraca Mikroskopik


Solusi akhirnya adalah sebagai berikut.

𝜃 = 𝐶𝑛

∞

𝑛=1

𝑒−𝜆𝑛2 𝜏

sin 𝜆𝑛𝜉

𝜉

Koefisien 𝐶𝑛 yang tidak diketahui, dapat ditentukan dari kondisi batas (4.5) sehingga.

𝐶𝑛 = 𝜉

1

0sin 𝜆𝑛𝜉 𝑑𝜉

sin2 𝜆𝑛𝜉 1

0𝑑𝜉

=2

λn

sin λn − λn cos λn

λn − sin λn cos λn

Penyelesaian akhirnya menjadi

𝜃 = 2 1

λn

sin λn − λn cos λn


∞

𝑛=1

𝑒−𝜆𝑛2 𝜏

sin 𝜆𝑛𝜉

𝜉

Laju energi yang memasuki bidang bola adalah.

𝑄 = 4𝜋𝑅2 𝑘 𝜕𝑇

𝜕𝑟 𝑟=𝑅

= −4𝜋𝑅𝑘(𝑇∞ − 𝑇0) 𝜕𝜃

𝜕𝜉 𝜉=1

Substitusi persamaan (4.17) ke dalam persamaan (4.18).

𝑄 = 8𝜋𝑅𝑘 𝑇∞ − 𝑇0 1

λn

sin λn − λn cos λn 2


∞

𝑛=1

exp −λn2τ

Besarnya panas yang dipindahkan dapat dihitung melalui persamaan.

𝑄 = 𝑄 𝑑𝑡 = 𝐿2

𝛼

𝑡

0

𝑄 𝑑𝑟𝜏

0

Substitusi persamaan (4.19) ke dalam persamaan (4.20).

𝑄

𝑄0=

6

λn3

sin λn − λn cos λn 2


∞

𝑛=0

1 − exp −λn2τ

dimana 𝑄0 adalah nilai panas yang dipindahkan ke bidang berbentuk bola , dimana driving force-nya

konstan dan sama dengan greatest-nya.

𝑄0 = 4

3 𝜋𝑅3 𝜌Ĉ𝑝 𝑇∞ − 𝑇0

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)


Neraca Mikroskopik


A spherical material of 15 cm in radius is initially at a uniform temperature of 60 °C. It is

placed in a room where the temperature is 23 °C. Estimate the average heat transfer

coefficient if it takes 42 min for the center temperature to reach 30°C. Take 𝑘 =

0.12 W/m ∙ K and 𝛼 = 2.7 × 10−6m2/s

Solusi.

𝑅 = 15 𝑐𝑚 = 0.15 𝑚

𝑇 = 300𝐶

𝑇∞ = 250𝐶

𝑇0 = 600𝐶

𝑡 = 42 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 = 2520 𝑠

𝑘 = 0.12 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾

𝛼 = 2.7 × 10−6m2/s

Untuk menyelesaikan problem di atas, berikut adalah langkah-langkah penyelesaiaanya.

1. Menentukan arah perpindahan panas

Berdasarkan problem tersebut, panas berpindah dari dalam nola ke luar (kulit bola) searah

pada arah radial, hal ini ditunjukkan secara tersirat pada soal dimana suhu awal bola jauh lebih tinggi

dibandingkan dengan suhu fkuilda di sekitar bola, kemudian suhu akhir pusat bola mengalami

penurunan hingga menjadi lebih rendah dibandingkan suhu awalnya. Secara teoritis, panas akan

mengalir dari ebnda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah.

2. Elemen Volume Diferensial

Partikel berbentuk bola dengan jari-jari R berada pada suhu awal seragam T0. Pada t = 0,

partikel tersebut dipaparkan ke dalam fluida dengan temperatur T∞. Perpindahan panas terjadi dalam

arah r, sehingga satu-satunya fluks energi tak nol adalah :

𝑒𝑟 = 𝑞𝑟 = −𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑟

SOAL

4

R

Arah fluks energi


Neraca Mikroskopik


Untuk elemen volumetrik sferis dengan ketebalan ∆r, maka persamaan laju inventarisasi dapat

dinyatakan sebagai berikut:

𝑞𝑟 𝑟4𝜋𝑟2 − 𝑞𝑟 𝑟+∆𝑟4𝜋(𝑟 + ∆𝑟)2 =𝜕

𝜕𝑡 4𝜋𝑟2∆𝑟𝜌𝐶𝑝 𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓𝑓

Dengan mengalikan setiap suku dalam persamaan di atas dengan 1

4𝜋∆𝑟 dan melakukan

pendekatan persamaan ∆r→0, menghasilkan persamaan sebagai berikut:

𝜌𝐶𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡=

1

𝑟2lim∆r→0

𝑟2𝑞𝑟 |𝑟 − 𝑟2𝑞𝑟 |𝑟+∆𝑟

∆𝑟

𝜌𝐶𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡= −

1

𝑟2

𝜕 𝑟2𝑞𝑟

𝜕𝑟

𝜌𝐶𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡=

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2

𝜕𝑇

𝜕𝑟)

3. Menentukan Persamaan Laju Inventarisasi

Problem ini diselesaikan dengan prinsip dasar Neraca Mikroskopik pada Keadaan Unsteady-

State tanpa Generasi, dimana nilai ℜ = 0, dan laju akumulasinya diperhitungkan, sehingga

persamaannya menjadi.

𝑅𝑎𝑡𝑒 𝑜𝑓 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 𝑖𝑛 − 𝑅𝑎𝑡𝑒 𝑜𝑓 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 𝑂𝑢𝑡 = 𝑅𝑎𝑡𝑒 𝑜𝑓 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 𝑎𝑐𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

4. Menentukan kondisi batas

pada 𝜏 = 0 𝜃 = 1

pada 𝜉 = 0 𝜕𝜃

𝜕𝜉= 0

pada 𝜉 = 1 −𝜕𝑇

𝜕𝜉= BiHθ

Pada kondisi batas I dimana 𝜏 = 0, berdasarkan persamaan 𝜏 =𝛼𝑡

𝑅2 berarti pada saat tersebut

𝑡 = 0 dan bila diamati pada kondisinya pada saat waktu belum berjalan 𝜃 = 1. Sedangkan pada saat

𝜉 = 0, berdasarkan persamaan 𝜉 =𝑟

𝑅 berarti 𝑟 = 0, dimana kondisi tersebut berada pada titik tengah

sferis, dan saat itulah tidak terjadi perubahan temperatur berdasarkan perubahan posisi, 𝜕𝜃

𝜕𝜉= 0.

Untuk kondisi batas III, yakni pada saat 𝜉 = 1 dan meninjau persamaan 𝜉 =𝑟

𝑅, berarti 𝑟 = 𝑅. Hal

tersebut menunjukkan bahwa kondisi ini terjadi tepat pada bagial luar bola (bagian kulitnya),

sehingga fluks konvektif-nya akan sama dengan fluks molekularnya −𝜕𝑇

𝜕𝜉= BiHθ.

5. Menentukan nilai 𝝉

Untuk menentukan besaran ini, digunakan persamaan dasar sebagai berikut.


Neraca Mikroskopik


𝜏 =𝛼𝑡

𝑅2

setelah dimasukkan nilai yang terdapat pada soal, maka akan diperoleh.

𝜏 =2.7 × 10−6m2/s × 2520 s

(0.15 m)2

𝝉 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟐𝟒

6. Menentukan nilai 𝜽

Untuk menentukan besaran ini digunakan persamaan dasar.

𝜃 =𝑇∞ − 𝑇

𝑇∞ − 𝑇𝑜

kita dapat memasukkan nilai suhu yang diketahui dalam soal, dan diperoleh nilai 𝜃 sebagai

berikut ini.

𝜃 =25 − 30

25 − 60

𝜽 =𝟏

𝟕

7. Menghitung nilai 𝝃

Besarakan ini dapat ditentukan dengan persamaan dasar.

𝜉 =𝑟

𝑅

nilainya dapat ditentukan dengan memasukkan nilai r dan R yang diperoleh dari soal,

sehingga.

𝜉 =0

0,15

𝜉 = 0

8. Melakukan pendekatan nilai 𝝃 → 𝟎 (mendekati nol),

sehingga dapat ditulisakan limit untuk salah satu faktor pengali pada persamaan akhir (4.17)

sebagai berikut:

lim𝜉→0

sin(𝜆1𝜉)

𝜉= 𝜆1

9. Menghitung nilai λ1 berdasarkan persamaan (4.17) dan nilai-nilai 𝜉, 𝜃, 𝑑𝑎𝑛 𝜏 yang telah

dihitung pada langkah-langkah sebelumnya. Nilai-nilai 𝜉, 𝜃, 𝑑𝑎𝑛 𝜏 disubtitusikan ke dalam

persamaan (4.17) sebagai berikut:


Neraca Mikroskopik


𝜃 = 2 1

𝜆𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜆𝑛 − 𝜆𝑛𝑐𝑜𝑠𝜆𝑛

𝜆𝑛 − 𝑠𝑖𝑛𝜆𝑛𝑐𝑜𝑠𝜆𝑛 𝑒−𝜆𝑛

2 𝜏sin(𝜆𝑛𝜉)

𝜉

∞

𝑛=1

Penentuan 𝜆 dapat dilakukan melalui perhitungan tabel Trial Error. Setelah diperoleh nilai 𝜆𝑛 ,

maka kita dapat meencari nilai BiH nya melalui persamaan.

𝜆1 cot 𝜆1 = 1 − BiH

terakhir, koeisien perpindahan panasnya 𝑕 dapat ditentukan dengan persamaan dasar.

BiH = 𝒉 𝑅

𝑘

pp (revised final)

Documents