GRADOS DE LIBERTAD Y LIGADURAS

1. 2. 3.

Definiciones y ejemplos Tipos de sistemas segn el nmero de grados de libertad Ligaduras en sistemas planos

1. Definiciones y ejemplosCoordenadas cartesianas La posicin de un punto en el espacio queda definida por su r vector de posicin r

r r ( x, y , z )Coordenadas cilndricas Hacen falta 3 coordenadas para definir la posicin de un punto en el espacio. Se dice que el punto en el espacio tiene 3 GRADOS DE LIBERTAD

r r ( , , z )

Coordenadas esfricas

r r (r , , )

NMERO DE GRADOS DE LIBERTAD DE UN SISTEMA FSICO Es el nmero de coordenadas independientes, necesarias para determinar su posicin en cualquier instante de tiempo CUERPO LIBRE Aquel que puede moverse libremente por el espacio, sin restricciones Si su movimiento est restringido de alguna manera, se dice que el cuerpo est LIGADO LIGADURA o APOYO Agente externo que determina tales restricciones Ligaduras holnomas: Son aquellas que matemticamente pueden expresarse como r r r funciones del tipo f ( r , r ,L, r ) = 01 2 N

LIGADURAS

HOLNOMAS

NO HOLNOMAS

r r r donde r1 , r2 ,..., rN

son los vectores de posicin de las partculas del cuerpo

SIMPLES DOBLES TRIPLES .......

Estas ligaduras eliminan grados de libertad del slido al que se aplican. Simples (quitan uno), dobles (dos), triples (tres), etc. Ligaduras no holnomas: No eliminan grados de libertad del slido al que se aplican

EjemplosEjemplo 1: Partcula obligada a moverse en una superficie Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partcula deben cumplir la ecuacin de la superficie: f(x,y,z)=0 Se trata, por tanto, de una ligadura holnoma simple, que quita un grado de libertad Es el caso, por ejemplo, de una partcula encima de una mesa. La mesa es una ligadura holnoma simple, que le impide caerse. En este caso, la ecuacin de la ligadura es z=0 Para definir la posicin de la partcula, necesitamos dos coordenadas (x,y). Por tanto, la partcula tiene 2 grados de libertad: 3 (partcula libre)-1(ligadura simple)=2

Ejemplo 2: Partcula obligada a moverse en una curva Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partcula deben cumplir las ecuaciones de las dos superficies que intersectadas forman la curva: f1(x,y,z)=0 f2(x,y,z)=0 Se trata, por tanto, de una ligadura holnoma doble, que quita dos grados de libertad Es el caso, por ejemplo, de una partcula sobre una recta. La recta supone una ligadura holnoma doble. En este caso, la ecuaciones de la ligadura son y=0 z=0 Para definir la posicin de la partcula, necesitamos una coordenada (x). Por tanto, la partcula tiene 1 grado de libertad: 3 (partcula libre)-2(ligadura doble)=1

Ejemplo 3: Partcula obligada a estar fija en un punto Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partcula deben valer igual a las coordenadas del punto donde debe permanecer (x0,y0,z0) x=x0 ; y=y0 ; z=z0 Se trata, por tanto, de una ligadura holnoma triple, que quita tres grados de libertad Por tanto, la partcula tiene 0 grados de libertad: 3 (partcula libre)-3(ligadura triple)=0 Ejemplo 4: Partcula obligada a moverse en el interior de un paraleleppedo de dimensiones a, b y c. Las coordenadas (x,y,z) del punto P donde se encuentra la partcula deben satisfacer las inecuaciones: x