Power Series2301520 Fundamentals of AMCS

2

อนุ�กรมก��ลังเป็�นุอนุ�กรมอนุนุต์�ที่��อยู่��ในุร�ป็ของ

โดยู่ที่�� เป็�นุสัมป็ระสั�ที่ธิ์��ของพจนุ�ที่�� nc เป็�นุค่��ค่งที่��x เป็�นุต์วแป็ร เร�เร�ยู่กอนุ�กรมนุ�%ว��เป็�นุ อนุ�กรมก��ลังม�ศู�นุย์�กลั�งที่�� c

(power series centered at c )

อนุ�กรมก��ลัง (Power Series)

20 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ...nn

n

f x a x c a a x c a x c

na

3

อนุ�กรมดงกลั��วอ�จลั��เข&�สั��หรบค่�� x บ�งค่��แลัะลั��ออก สั��หรบค่�� x ค่��อ)�นุๆ ยู่กต์วอยู่��งเช่�นุอนุ�กรม

ห�กใช่& Ratio Test จะพบว��อนุ�กรมดงกลั��วจะลั��เข&�เม)�อ แลัะลั��ออกเม)�อ หร)อ

(example 1)

อนุ�กรมก��ลัง (Power Series)

1

( 3)n

n

xn

2 4x 2x 4x

4

ที่ฤษฎี�บที่ที่�� 1 ก��หนุดให& เป็�นุอนุ�กรมก��ลัง จะได&ว��

หนุ0�งในุสั�มข&อต์�อไป็นุ�%เป็�นุจร�ง1. อนุ�กรมดงกลั��วลั��เข&�เม)�อ x=c เที่��นุ%นุ (R=0)2. อนุ�กรมดงกลั��วลั��เข&�สั��หรบ x ที่�กๆค่�� (R=∞)3. ม�จ��นุวนุเต์1มบวก R ที่��ที่��ให&อนุ�กรมดงกลั��วลั��เข&�เม)�อ |x-

c|<R แลัะ ลั��ออกเม)�อ |x-c|>R

เร�เร�ยู่กค่�� R ว��เป็�นุ รศูม�ของก�รลั��เข�� (radius of convergence)

อนุ�กรมก��ลัง (Power Series)

0

( )nn

n

a x c

5

นุอกจ�กนุ�%ยู่งม�ช่�วงของก�รลั��เข�� (interval of convergence) ของอนุ�กรมก��ลัง ซึ่0�งเป็�นุช่�วงของค่�� x ที่��ที่��ให&อนุ�กรมลั��เข&�

ถ้&�อนุ�กรม ม�รศม�ของก�รลั��เข&� R

ช่�วงของก�รลั��เข&�เป็�นุไป็ได&สั��แบบค่)อ(c-R,c+R)(c-R,c+R][c-R,c+R)[c-R, c+R]

อนุ�กรมก��ลัง (Power Series)

0

( )nn

n

a x c

6

บ�งฟั6งก�ช่นุสั�ม�รถ้เข�ยู่นุให&อยู่��ในุร�ป็อนุ�กรมก��ลังได& โดยู่อ�ศยู่อนุ�กรมเรข�ค่ณิ�ต์

ที่บที่วนุ อนุ�กรมเรข�ค่ณิ�ต์ (Geometric Series)

ซึ่0�งจะลั��เข&�สั�� เม)�อ |x|<1

ยู่กต์วอยู่��งเช่�นุ สั�ม�รถ้เข�ยู่นุในุร�ป็ของอนุ�กรมก��ลัง ได&เป็�นุ

ซึ่0�งลั��เข&�ในุช่�วง (-2,2)

เข�ย์นุฟั�งก�ช่นุในุร�ปของอนุ�กรมก��ลัง

2

0

1 ...n

n

x x x

1

1 x3

2x

x 1

23

( 1)2

nn

nn

x

(example 2)

7

ผลับวกในุอนุ�กรมก��ลังดงกลั��วเป็�นุผลับวกอนุนุต์� ลัองม� ด�ว��จะเก�ดอะไรข0%นุถ้&�เร�เอ�ม�เฉพ�ะผลับวกของพจนุ�แรกๆ

กลั��วค่)อ สัมม�ต์�ให&

( ซึ่0�งหม�ยู่ค่ว�มว�� )

โดยู่ใช่&ต์วอยู่��ง แลัะ

(example 3)

เข�ย์นุฟั�งก�ช่นุในุร�ปของอนุ�กรมก��ลัง

0

( ) ( )k

nk n

n

S x a x c

0

( ) lim ( )nn kk

n

a x c S x

3 1

23

( 1)2 2

nn

nn

xx

x

0

11

n

n

xx

8

ที่ฤษฎี�บที่ที่�� 2 ถ้&�ฟั6งก�ช่นุ f(x) สั�ม�รถ้เข�ยู่นุอยู่��ในุร�ป็อนุ�กรมก��ลังที่��ม�

ศ�นุยู่�กลั�งที่�� c ได& หร)อ ถ้&�

จะได&ว��ค่��สัมป็ระสั�ที่ธิ์��ของแต์�ลัะพจนุ�จะเป็�นุ

Taylor and Maclaurin Series

0

( ) ( ) ,nn

n

f x a x c x c R

( )( )!

n

n

f ca

n

9

เม)�อแที่นุค่�� an ลังไป็ในุสัมก�รจะได&

อนุ�กรมก��ลังดงกลั��วเร�ยู่กว��อนุ�กรมเที่ยู่�เลัอร� (Taylor Series)

ถ้&�ค่�� c=0 อนุ�กรมดงกลั��วยู่งม�ช่)�อพ�เศษข0%นุม�อ�กว�� เป็�นุ Maclaurin Series (example 4)

Taylor and Maclaurin Series

( )

0

2 3

( )( ) ( )

!( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ...1! 2! 3!

nn

n

f cf x x c

nf c f c f c

f c x c x c x c