Použití metody konečných prvků v úlohách elasticity s malou stlačitelností

Jana Cibulková

Obor Matematické modelování v technice

Školitel: Ing. Jiří Plešek, CSc.

Konzultant: RNDr. Marta Čertíková

Klasická formulace smíšené úlohy pružnosti

Na oblasti s jednou spojitě diferencovatelnou hranicí Γ hledáme složkykde

splňující

Lamého rovnice pro homogenní a izotropní materiál v Ω, i=1,2:

Okrajové podmínky:

λ, μ Lamého konstanty τij tenzor napětí: vektor vnějších sil eij tenzor malé deformace

zadaný vektor napětí na Γt νi vektor jednotkové vnější normályzadané posunutí na Γu

2

0ji i

i j

uu f

x x

1 2 , 1, 2i u tu C C C i ,t u t u

1

0

0

i

i t

i u

f C

T C

u C

( ) ( ) ( ),

( ) ( ),

ij j oi t

i oi u

T

u u

x x = x x

x x x

( ) ( ) 2 ( )ij kk ij ije e x x x

2R

Slabá formulace a její aproximace MKP

1)

2) ( ) (v) v v pro vt

i oi

ij ij i i oi i i

u u V

u dV f dV T dS Ve

Hledáme složky splňující

Prostor testovacích funkcí

Nechť Vh je konečně rozměrný podprostor V s bází . Řešení hledáme ve tvaru

Výsledkem je systém rovnic pro neznámý vektor posunutí U v uzlech

Zde B je matice derivací testovacích funkcí a E je matice elastických konstant.

1iu H

d d d

T T ΤoB EBU V Φ f V Φ T S

1

Nnod

i i

h hVu

1u: Τr na V H v v

1

, RnodN

h i i ii

U U

u

Uzamknutí (locking) a jeho odstraněníLocking je označení situace, kdy tvarové funkce prvku nepřenesou žádaný deformační mod.

Hlavní typy uzamknutí smykové uzamknutí (shear locking) objemové uzamknutí (volumetric locking)

Projevy uzamknutí výskyt fiktivních napětí zvýšení tuhosti výrazné změny hodnot napětí na elementu

Metody odstranění uzamknutí smíšené a hybridně – smíšené metody podintegrování a stabilizace

Numerické experimenty

známé analytické řešení pole napětí nezávisí na Poissonově čísle

Q4 – bilineární isoparametrický element se 4 uzly obdélníková a čtyřúhelníková síť

Konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě pro Q4

Obr. 2: Konvergence numerického řešení

a): 16 elementů b): 64 elementů

c): 256 elementů d): 1024 elementů

Obr. 1: Regulární zahušťení sítě

Q4 a podintegrace Plná Gaussova integrace: 2x2 Gaussovy body Redukovaná integrace : 1 Gaussův bod ve středu elementu

Mod 1 - 3: pohyb tuhého tělesa Mod 4 - 6: konstatní deformace Mod 7 - 8: ohyb

Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4

Referenční příklady

1. příklad – pevná deska Jednoosá napjatost Okrajové podmínky

Analytické řešení

Očekáváme mody nulové energie

00, , 0x y xy

0u x,0 =0, v 0,y =0, (x,10)=1.0 MPa

1. referenční příklad

Obr. 4: Vývoj napětí na desce

2x2 integrace

Poissonovo číslo ν = 0.3 ν = 0.4998

1x1 integrace

Poissonovo číslo ν = 0.3 ν = 0.4998

Referenční příklady

2. příklad – pevná deska s dírou Okrajové podmínky

Analytické řešení (s pomocí Airyho funkce napětí) podél osy x

Maximální hodnota napětí

Očekáváme objemové uzamknutí pro rostoucí Poissonovo číslo

2 4 2 40 0

2 4 2 43 3 , 2 3 , 0

2 2x y xy

a a a a

x x x x

0,0 3y a

0u x,0 =0, v 0,y =0, (x,10)=1.0 MPa

2. referenční příklad - 2x2 integrace

Obr. 5: Vývoj napětí na descepro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

2. referenční příklad - 2x2 integrace

Obr. 6: Vývoj napětí podél osy x

pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

2. referenční příklad - Podintegrace

Obr. 7: Vývoj napětí na desce

pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

2. referenční příklad - Podintegrace

Obr. 8: Vývoj napětí podél osy x

pro hodnotu Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

Chyba numerických výsledků

Obr. 9: Vývoj chyby pro maximum napětí σy

a hodnoty Poissonova čísla ν = 0.3 - 0.4998

Závěr

Hlavní výsledky práce vývoj vlastního MKP programu pro testování uzamykání a metod

pro jeho odstranění, implementace metody podintegrace testovací úlohy pro objemové uzamknutí porovnaní analytického řešení a podintegrace na desce s dírou

Získané poznatky demonstrace projevů objemového uzamknutí podintegrace postačuje k zabránění uzamknutí na složitější síti pointegrovaní nestačí pro pravidelnou obdélníkovou síť a vyžaduje

stabilizaci v posunutí

Práce byla součástí grantového projektu 101/06/0914.