Traitement d’images

Partie 2: Transformée de Fourier des images

Thomas Oberlin

Signaux et Communications, IRIT/ENSEEIHT

thomas.oberlin@enseeiht.fr

http://oberlin.perso.enseeiht.fr/teaching.html

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Pourquoi l’analyse de Fourier ?

Transformée et séries de Fourier◮ Permet l’analyse fréquentielle d’un signal◮ TF continue, TF discrète, FFT

Outil fondamental pour beaucoup d’applications

◮ Échantillonnage◮ Compression d’une image◮ Filtrage des images◮ Outil d’analyse

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Plan de la séance

1 Rappels : séries et transformée de Fourier 1D

2 Transformée de Fourier d’une imageTransformée de Fourier 2DPropriétésReprésentation de la TFTransformée 2D discrète

3 Exercices – À vous de jouer !Calcul de TransforméesTransformées de Fourier d’images réelles

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Série de Fourier (signaux périodiques)

◮ Soit un signal périodique f (x) de période T =1

f0.

◮ f (x) peut se représenter par une somme dénombrable (p-e infinie) desinus/cosinus

=

1× +0.5× +1.5× +.3×

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Série de Fourier (signaux périodiques)

◮ Soit un signal périodique f (x) de période T =1

f0.

◮ f (x) peut se représenter par une somme dénombrable (p-e infinie) desinus/cosinus

f (x) =

+∞∑

n=−∞

cn(f )ei2π nT

x avec cn(f ) =1

T

∫ T/2

−T/2

f (t)e−i2π nT

tdt

◮ Remarque : c0(f ) =1

T

∫ T/2

−T/2

f (t)dt = R0 = moyenne de f

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Série de Fourier (signaux périodiques)

◮ Exemple, signal carré impair :

◮ f (x) =4

π

(

sin x

1+

sin 3x

3+

sin 5x

5+ . . .

)

◮ R0 = 0 et f0 =1

2π

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Des séries de Fourier aux transformées de Fourier

◮ Plus la période, T , du signal est grande, plus lafréquence fondamentale f0 = 1

Test faible (ainsi que

la distance entre harmoniques)

◮ On peut donc voir un signal apériodique comme unsignal de période infinie

◮ La série de Fourier d’un tel signal est une suiteinfinie et indénombrable de sinusoïdes. La sommeest remplacée par l’intégrale.

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Transformée de Fourier 1D

TF 1D de f ∈ L1(R) :

Transformée directe F : f 7→ f , avec f (ξ) =

∫

R

f (x)e−iξx dx,

Transformée inverse F−1 : f 7→ f , avec f (x) =1

2π

∫

R

f (ξ)eiξx dξ,

Principales propriétés :◮ Linéaire, f à valeurs complexes◮ S’étend en une isométrie sur L2(R)

◮ Symétries (si f est réelle/imaginaire, paire/impaire)◮ Translation F [f (x + x0)](ξ) = eiξx0F [f ](ξ)

◮ Dilatation F [f (ax)](ξ) = 1|a| F [f ]( ξ

a)

◮ Convolution F [f ∗ g] = F [f ]F [g]

◮ Dérivation F [f ′](ξ) = iξF [f ](ξ)

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Transformée de Fourier discrète (TFD)

TFD d’un signal discret s ∈ RN , s = s[i], i = 0 · · · N − 1

s[u] =

N−1∑

n=0

s[n]e−2iπu nN

s[n] =1

N

N−1∑

u=0

s[u]e2iπn uN

Relation entre la TFD du signal discrétisé et la série de Fourier du signal périodisé

Fast Fourier Transform (FFT)

◮ basée sur un algorithme diviser pour régner [Cooley-Tukey, 1966]◮ permet de calculer la TFD en O(N log(N ))

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Plan de la séance

1 Rappels : séries et transformée de Fourier 1D

2 Transformée de Fourier d’une imageTransformée de Fourier 2DPropriétésReprésentation de la TFTransformée 2D discrète

3 Exercices – À vous de jouer !

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Transformée de Fourier 2D

TF 2D de f ∈ L1(R2) :

f (ξ1, ξ2) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

f (x1, x2) e−iξ1x1e−iξ2x2 dx1 dx2

La TF est séparable. Éléments de base : sinusoïdes 2D.

hξ(x) = eiξ·x = cos(ξ · x) + i sin(ξ · x)

= eir(x1 cos θ+x2 sin θ), avec r = |ξ| et θ = arctanξ

|ξ|

ξ = (16, 16), θ = π4 ξ = (30, 90), θ ≈ 2π

5 ξ = (90, −30), θ ≈ − π10

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Inversion et conservation de l’énergie

Inversion dans L1(R2)

Si f ∈ L1(R2), alors on a presque partout

f (x) =1

4π2

∫∫

R2

f (ξ) eiξ·x dξ.

Extension à L2(R) et conservation de l’énergie

F : L2(R2) → L2(R2) est inversible, et on a conservation de l’énergie :∫

R2

|f (x)|2 dx =1

4π2

∫

R2

|f (ξ)|2 dξ

‖f ‖L2(R2) =1

2π

∥

∥

∥f

∥

∥

∥

L2(R2).

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Propriétés de la TF

Fonction f Transformée f

Linéarité f (x) = αg(x) + βh(x), α, β ∈ R f (ξ) = αg(ξ) + βh(ξ)

Translation f (x) = g(x − a), a ∈ R2 f (ξ) = e−ia·ξ g(ξ)

Dilatation f (x1, x2) = g(a1x1, a2x2) f (ξ1, ξ2) = 1|a1a2| g

(

ξ1

a1, ξ2

a2

)

Anti-involution f (x) = g(x) f (ξ) = g(−ξ)

Séparabilité f (x1, x2) = g(x1)h(x2) f (ξ1, ξ2) = g(ξ1)h(ξ2)

Dérivation f (x) = ∂n+pg(x)∂xn

1∂x

p

2

f (ξ) = (iξ1)n(iξ2)pg(ξ)

Rotation f (x) = g(rθ(x)) f (ξ) = g(rθ(ξ))

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Transformée de Fourier des distributions

Classe de Schwarz des distributions tempérées

ϕ ∈ S(R2) si ϕ ∈ C ∞(R2) et si pour tous les entiers i, j, k, l, on a

supx∈R2

|x i1x

j2∂k

1 ∂l2ϕ(x)| < ∞

Définition de la TF par dualité

◮ Topologie sur S : la suite ϕn converge vers 0 si et seulement si

limn→∞

supx∈R2

|x i1x

j2∂k

1 ∂l2ϕn(x)| → 0, ∀i, j, k, l ∈ N

◮ L’ensemble S ′(R2) des distributions tempérées est l’ensemble desapplications linéaires continues de S dans C.

◮ Si T ∈ S ′, sa transformée de Fourier, notée T , vérifie ∀ϕ ∈ S,

〈T , ϕ〉 = 〈T , ϕ〉

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Transformée de Fourier des distributions – un exemple

Exercice

On s’intéresse à la distribution de Dirac 2D, définie par 〈δ, φ〉 = φ(0, 0)∀φ ∈ S(R2).

◮ Vérifier que δ est bien une distribution tempérée (δ ∈ S ′(R2))◮ Calculer sa transformée de Fourier

Solution

◮ δ est clairement linéaire. Pour vérifier que δ ∈ S ′, on montre qu’elle estcontinue de S dans R

2. On utilise pour cela la caractérisation séquentielle dela limite (en 0 car application linéaire).Soit (φn) une suite de S tendant vers 0, il suffit de montrer que〈δ, φn〉 → 〈δ, 0〉 = 0.

◮ Pour tout φ ∈ S, on écrit

⟨

δ, φ⟩

=⟨

δ, φ⟩

= φ(0) =

∫

R2

φ(x) dx = 〈1R2 , φ〉 , donc δ = 1R2

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Représentation du spectre

Domaine spatial Domaine fréquentiel

Fonction

Image

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Représentation logarithmique du spectre

L’énergie est concentrée dans les basses fréquences ! −→ échelle log

Image f |f | log(1 + |f |)17 / 31

Importance de la phase

F

= · exp(

i ∗)

module aléatoire F−1

· exp(

i ∗)

=

phase aléatoire F−1

· exp(

i ∗)

=

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Transformée discrète

TFD 2D

TFD d’une image discrète f [m, n], m = 0 · · · M − 1, n = 0 · · · N − 1 :

f [u, v] =

M−1∑

m=0

N−1∑

n=0

f [m, n]e−2iπ(u mM

+v nN )

Inversion habituelle :

f [m, n] =1

NM

M−1∑

u=0

N−1∑

v=0

f [u, v]e−2iπ(m uM

+n vN )

Propriétés :◮ symétrie (pour une image réelle)◮ FFT à temps de calcul : O(MN log(MN ))

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Base de Fourier 2D

u = 0 u = 1 u = 2 u = 3 u = 4

v = 0

v = 1

v = 2

v = 3

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Artefacts de bords

Comme en 1D, on calcule en fait la TFD du signal périodisé−→ introduction de singularités aux bords.−→ ajout de fréquences horizontales et verticales artificielles

Image Spectre

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Plan de la séance

1 Rappels : séries et transformée de Fourier 1D

2 Transformée de Fourier d’une image

3 Exercices – À vous de jouer !Calcul de TransforméesTransformées de Fourier d’images réelles

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TF d’images synthétiques

◮ Structure de la TF 2D :◮ Exprimer la TF 2D comme composition de transformées 1D◮ Montrer que F est covariante par rotation◮ Que peut-on dire de la TF d’une fonction radiale f (x) = g(|x|) ?

◮ Calculez la transformée de Fourier des fonctions suivantes :◮ Fonction rectangle χ(−a,a)×(−b,b) avec a, b > 0

◮ Gaussienne f (x) = e−|x|2

◮ Calculez la TF des distributions tempérées suivantes :◮ f (x) = eik·x

◮ f (x1, x2) = e−a|x1|. Que vaut la transformée de Fourier de f (x1, x2) = g(x1)quand g ∈ L1

loc(R) ?

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TFs d’images réelles

(a) (b) (c) (d)

(1) (2) (3) (4)

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