pored'16enje kvantne zamr enosti i kvantne koherentnosti u xy …prodanvc/seminari/sonja...

Pored̄enje kvantne zamřsenosti i kvantne koherentnosti uXY spinskim lancima sa -Dalošinski-Morija interakcijom i

uočavanje kvantnog faznog prelaza

Sonja Gombar

Departman za fiziku

2018.

Sonja Gombar (Departman za fiziku) 2018. 1 / 29

Elementarni uvod u svet kvantne informatike

Osnovni cilj: proširenje mogućnosti u informatičkom svetu, skraćivanjeaktivnog vremena izvřsenja

Gordon Mur (1965): snaga procesora dupliraće se na okvirno svake dvegodine uz konstantnost cene

Moguće rešenje: paralelizacija, KVANTNI RAČUNARI

Misao oblikovana 1982. godine (Ričard Fajnman), nastavak Dejvid Dajč

Algoritmi Pitera Šora i Lova Grovera

Blagodeti: kvantna kriptografija, kvantna teleportacija, ”gusto” kodiranje

D-Wave 2000Q računar

Vǐsekubitni spinski sistemi - najčešći sistem za simulaciju kvantnog računara

XY i XYZ sistemi frustrirani -Dalošinski-Morija interakcijom

Veza kvantne zamřsenosti i kvantne koherentnosti kao posledica kvantnesuperpozicije i uočavanje kvantnog faznog prelaza posredstvom veličinakvantne informatike


Zamřsena stanja

Šmitova dekompozicija stanja:

|Ψ〉 =∑i,j

dij |vi 〉 ⊗ |wj〉 (1)

Dekompozicija singularne vrednosti:

D̃ = UDY † (2)

Razlikovanje zamřsenih od separabilnih stanja pomoću Šmitovog koeficijenta:

|Ψ〉 =∑i

√λi |vSi 〉 ⊗ |wSi 〉 (3)

Stanja Belovog bazisa:

|Φ±〉 = 1√2

(|00〉 ± |11〉

)(4)

|Ψ±〉 = 1√2

(|01〉 ± |10〉

)(5)


Svedoci zamřsenosti

Osnovna ideja: razgraničavanje separabilnih i zamřsenih stanja

Uobičajeni uslov za separabilna stanja:

〈Ψs |W |Ψs〉 ≥ 0 (6)

te su sigurno zamřsena:Tr(ρW

)< 0 (7)


Primeri svedoka zamřsenosti


Mere zamřsenosti

Osobine koje zadovoljavaju validne mere zamřsenosti:1 E(ρ) = 0 samo ako je ρ separabilno stanje,2 lokalne unitarne operacije ostavljaju E(ρ) invarijantnim:

E(ρ) = E(UA ⊗ UBρU†A ⊗ U†B),

3∑

i Tr(ρi )E

(ρi

Tr(ρi )

)≤ E(ρ), gde je ρi = ViρV †i sa uslovom

∑i V

†i Vi = I

Validne veličine: zamřsenost formacije (entanglement of formation),zamřsenost destilacije (entanglement of distillation), relativna entropijazamřsenosti (relative entropy of entanglement)

Najčešća u upotrebi - zamřsenost formacije:

Ef (ρ) = −Tr ρA log2 ρA (8)

za mešana stanja definisana u obliku:

Ef (ρ) = inf∑i

piEf (ρi ) (9)


Konkurentnost

Veza izmed̄u zamřsenosti formacije i konkurentnosti (dvokubitni sistemi):

Ef (ρ) = E(C (ρ)

)= h

(1 +

√1− C 2(ρ)

2

)(10)

gde je h(x) = −x log x − (1− x) log(1− x)Konkurentnost:

C (ρ) = max{0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4} (11)

gde su λi (i = 1...4) kvadratni koreni svojstvenih vrednosti matrice R = ρρ̃ uopadajućem poretku, a matrica ρ̃:

ρ̃ =(σy ⊗ σy

)ρ∗(σy ⊗ σy

)(12)


Mere koherentnosti

Nekoherentna stanja:

δ =d−1∑i=0

pi |i〉〈i | (13)

Nekoherentne operacije: set Krausovih operatora {Kn}, koji zadovoljavaju∑n K†nKn = I , za koje važi KnIK †n ⊂ I za sve n

Osobine koje zadovoljavaju validne mere koherentnosti:1 C(ρ) ≥ 0 za sva kvantna stanja, dok znak jednakosti važi samo u slučaju kada

je stanje nekoherentno, tj. ρ ∈ I,2 monotonost pod ΦICPTP mapiranjima: C(ρ) ≥ C

(ΦICPTP(ρ)

),

3 monotonost srednje koherentnosti pod podselekcijom baziranom narezultatima merenja: C(ρ) ≥

∑n pnC(ρn), gde su ρn i pn definisani relacijama

(3.3) i (3.4) i4 funkcija ne raste pri mešanju kvantnih stanja:

∑i piC(ρi ) ≥ C

(∑i piρi

)za

ma koji set stanja {ρi} i pi ≥ 0 sa uslovom∑

i pi = 1

Validne mere: l1 norma koherentnosti (l1 norm), relativna entropijakoherentnosti (relative entropy of coherence)


Relativna entropija koherentnosti

Osnovna definicija:Cre(ρ) = inf

δ∈IS(ρ‖δ)

(14)

Pogodniji oblik:Cre(ρ) = S(ρdiag)− S(ρ) (15)

Ograničenje relativne entropije koherentnosti:

Cre(ρ) 6 S(ρdiag) 6 log2 d (16)


Veza kvantne zamřsenosti i kvantne koherentnosti

Kvantna koherenetnost još uvek mlada - pogodno naći vezuPoreklo: kvantna superpozicija, drugačija interpretacijaVeza izmed̄u entropije i koherentnosti:

Cre(ρ) + S(ρ) ≤ log2 d (17)

Povezanost izmed̄u relativne entropije koherentnosti i zamřsenosti formacije:

E (ρAB) + Cre(ρA) ≤ log2 dA (18)

Strestlov i saradnici (2015) - stvaranje zamřsenosti pomoću nekoherentnihoperacijaDolaze do relacije:

ESAD(ΦSA(ρS ⊗ |0〉〈0|A)

)≤ CD(ρS) (19)


XY Hajzenbergov model sa DM tipom interakcije u slučajusimetrične anizotropije

DM interakcija - -Dalošinski ju je apstraktno postavio, a Morija uobličio kaonezanemarljiv entitet u brojnim fizičkim sistemima (npr. CsCuCl3)Hamiltonijan:

H =J

4

2∑i=1

((1 + γ

)σxi σ

xi+1 −

(1− γ

)σyi σ

yi+1 + D

(σxi σ

yi+1 + σ

yi σ

xi+1

))(20)

Osnovno stanje - dvostruko degenerisano sa energijom i svojstvenimfunkcijama:

E0 = −J√2q, q =

√1 + D2 + γ2 (21)

|Ψ〉 = 1√2q

√D2 + 1

(− q√

2(1+iD)| ↑↑↓〉+ γ1+iD | ↑↓↑〉 −

q√2(1+iD)

| ↓↑↑〉+ | ↓↓↓〉)

(22)

|Ψ′〉 = 12

(−√

2(1−iD)q | ↑↑↑〉+ | ↑↓↓〉 −

√2γq | ↓↑↓〉+ | ↓↓↑〉

)(23)



Odgovarajuće matrice gustine daju analogne rezultate - koristiće se prva:

ρ = |Ψ〉〈Ψ| =

0 0 0 0 0 0 0 00 14 −

γ

2√

2q0 14 0 0

−1+iD2√

2q

0 − γ2√

2q

γ2

2q2 0 −γ

2√

2q0 0 γ(1−iD)2q2

0 0 0 0 0 0 0 00 14 −

γ

2√

2q0 14 0 0

−1+iD2√

2q

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 − 1+iD2√

2q

γ(1+iD)2q2 0 −

1+iD2√

2q0 0 1+D

2

2q2

(24)



Odgovarajuća redukovana matrica gustine:

ρ13 = Tr2 ρ =

γ2

2q2 0 0γ(1−iD)

2q2

0 1414 0

0 1414 0

γ(1+iD)2q2 0 0

1+D2

2q2

(25)Odgovarajuća relacija za konkurentnost:

C13 =

√1

4−

√(1 + D2)γ2

q4(26)

Odgovarajuća relacija za relativnu entropiju koherentnosti:

Cre = 1−γ2

2q2log2

(γ2

2q2

)− 1 + D

2

2q2log2

(1 + D2

2q2

)(27)



-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Γ

C13

aL

D=5

D=2

D=1

D=0

-4 -2 0 2 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

Γ

Cre

bL

D=5

D=2

D=1

D=0



Uopštenje na veće sisteme - metod kvantne renormalizacione grupeKreće se od hamiltonijana sa N čvorova:

H =J

4

N∑i=1

((1+γ)σxi σ

xi+1+(1−γ)σ

yi σ

yi+1+(−1)

iD(σxi σyi+1−σ

yi σ

xi+1)

)(28)

sa neophodnom transformacijom:

H =J

4

N∑i=1

((1 + γ)σxi σ

xi+1 − (1− γ)σ

yi σ

yi+1 + D(σ

xi σ

yi+1 + σ

yi σ

xi+1)

)(29)

Kadanovljev pristup - razdvajanje na blokovski i med̄ublokovski hamiltonijan:

H = HB + HBB (30)

Koristi se transformacija:Heff = T

†HBBT (31)

T =∑l

Tl , Tl = |Ψ〉l〈⇑ |+ |Ψ′〉l〈⇓ |, T †l = | ⇑〉l〈Ψ|+ | ⇓〉l〈Ψ

′| (32)



Efektivni hamiltonijan:

Heff =J

′

4

N/3∑j=1

((1+γ

′)σxj σ

xj+1−(1−γ

′)σyj σ

yj+1 +D

′(σxj σ

yj+1 +σ

yj σ

xj+1)

)(33)

gde su renormalizovani parametri:

J′

=1 + D2 + 3γ2

2q2J, γ

′=

3γ + 3γD2 + γ3

1 + D2 + 3γ2, D ′ = −D (34)



-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Γ

C13

aL

D=5

D=2

D=1

D=0

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Γ

C13

cL

D=5

D=2

D=1

D=0

-4 -2 0 2 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

Γ

Cre

bL

D=5

D=2

D=1

D=0

-3 -2 -1 0 1 2 31.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

Γ

Cre

dL

D=5

D=2

D=1

D=0


Uplitanje single ion anizotropije

Magnetokristalna anizotropija

Oblik single ion anizotropije:

HSI = −∑i

Ai (Szi )

2 (35)

Rezultat: trivijalni dodatak - pomeranje osnovnog stanja na energijskomnivou i dobijanje analognih pripadnih svojstvenih funkcija

E0 =AJ

4− q|J|√

2(36)

Single ion anizotropija ne utiče na razmatrane kvantno-informatičke veličine.


XY Hajzenbergov model sa DM tipom interakcije u slučajuasimetrične anizotropije

Hamiltonijan:

H =J̃

4

2∑i=1

(σxi σ

xi+1 + Mσ

yi σ

yi+1 + D̃

(σxi σ

yi+1 + σ

yi σ

xi+1

))(37)

Veza sa prvim izborom hamiltonijana:

J̃ = (1 + γ)J, D̃ =D

1 + γ, M =

γ − 1γ + 1

(38)

Dobijeno dvostruko degenerisano osnovno stanje:

E0 = −1

2J̃m, m =

√1 + 2D̃2 + M2 (39)

|Ψ〉 =√

4D̃2+(−1+M)22m

(im

2D̃+i(−1+M) | ↑↑↓〉 −i(1+M)

2D̃+i(−1+M) | ↑↓↑〉+im

2D̃+i(−1+M) | ↓↑↑〉+ | ↓↓↓〉)

(40)

|Ψ′〉 = 12

(−1+2iD̃+M

m | ↑↑↑〉+ | ↑↓↓〉 −1+Mm | ↓↑↓〉+ | ↓↓↑〉

)(41)



Odgovarajuće matrica gustine ponovo daju iste rezultate i prva je:

ρ =

0 0 0 0 0 0 0 0

0 14 −1+M4m 0

14 0 0

2iD̃+(−1+M)4m

0 − 1+M4m(1+M)2

4m2 0 −1+M4m 0 0

−2iD̃(1+M)−(M2−1)4m2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 14 −1+M4m 0

14 0 0

2iD̃+(−1+M)4m

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 −2iD̃+(−1+M)4m2iD̃(1+M)−(M2−1)

4m2 0−2iD̃+(−1+M)

4m 0 04D̃2+(−1+M)2

4m2

(42)



Odgovarajuća redukovana matrica gustine:

ρ13 =

(1+M)2

4m2 0 0−2iD̃(1+M)−(M2−1)

4m2

0 1414 0

0 1414 0

2iD̃(1+M)−(M2−1)4m2 0 0

4D̃2+(−1+M)24m2

(43)Odgovarajuća relacija za konkurentnost:

C13 =

√1

4−

√(1 + M)2(1 + 4D̃2 − 2M + M2)

4m4(44)

Odgovarajuća relacija za relativnu entropiju koherentnosti:

Cre = 1− (1+M)2

4m2 log2

((1+M)2

4m2

)− 4D̃

2+(−1+M)24m2 log2

(4D̃2+(−1+M)2

4m2

)(45)



-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

M

C13

aL

D

=5

D

=2

D

=1

D

=0

-4 -2 0 2 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

M

Cre

bL

D

=5

D

=2

D

=1

D

=0



Uopštenje na veće sisteme - efektivni hamiltonijan:

Heff =J̃ ′

4

N/3∑i=1

(σxi σ

xi+1 + M

′σyi σyi+1 + D̃

′(σxi σyi+1 + σyi σxi+1)) (46)gde su renormalizovani parametri:

J̃ ′ = J̃ 1+D̃2(2+M)m2 , M

′ = D̃2+2D̃2M+M3

1+2D̃2+D̃2M, D̃ ′ = −D̃ 1+D̃

2+M+M2

1+2D̃2+D̃2M(47)



-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

M

C13

aL

D

=5

D

=2

D

=1

D

=0

-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

M

C13

cL

D

=5

D

=2

D

=1

D

=0

-4 -2 0 2 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

M

Cre

bL

D

=5

D

=2

D

=1

D

=0

-4 -2 0 2 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

M

Cre

dL

D

=5

D

=2

D

=1

D

=0


Registrovanje kvantnih faznih prelaza

Wu i saradnici - divergencija parne konkurentnosti naznaka je KFP I vrste, au slučaju njenog prvog izvoda reč je o KFP II vrste

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-15

-10

-5

0

Γ

dC13

dΓ

N=81

N=27

N=9

N=3

5 10 15 20 25 300.00

0.02

0.04

0.06

0.08

Γ

dC13

dΓ

N=81

N=27

N=9

N=3



-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-15

-10

-5

0

5

10

15

ý

dCre

dý

N=81

N=27

N=9

N=3

0 5 10 15 20 25 30

-0.04-0.02

0.000.020.040.060.08

D

dC13

dD

N=81

N=27

N=9

N=3



-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

M

dC13

dM

N=27

N=9

N=3

D=0

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

M

dCre

dM

N=27

N=9

N=3

-4 -2 0 2 4-3-2-1

0123

M

dC13

dM

N=27

N=9

N=3

D=1

-4 -2 0 2 4

-2

-1

0

1

2

M

dCre

dM

N=27

N=9

N=3



-2 -1 0 1 2

-5

0

5

D

dCre

dD

N=27

N=9

N=3


Zaključak

Zamřsenost je već duže intrigantan entitet.

Koherentnost teži da postane.

Pogodno bi bilo naći korelaciju izmed̄u dve pojave.

U XY spinskim sistemima sa simetričnim i asimetričnim oblikom anizotropijedolazi do obrnutog ponašanje kvantno-informatičkih entiteta.

Dvokubitni sistemi imaju konstantnu vrednost obe veličine u slučajuosnovnog stanja i stoga nisu posebno razmatrani, ali ne odudaraju od donetihzaključaka vezanih za sisteme bazirane na tri kubita.

Ostaje pitanje porekla ovakve veze.

Promenom DM interakcije može se indukovati kvantni fazni prelaz u slučajuXY spinskih lanaca sa asimetričnim oblikom anizotropije, za razliku odsimetričnog izbora.


pored'16enje kvantne zamr enosti i kvantne koherentnosti u xy …prodanvc/seminari/sonja...

Documents