PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PROGRAMA DE ESTUDOS PÓS-GRADUADOS EM HISTÓRIA DA CIÊNCIA

Donizetti Fermino Louro

Hipercomplexos: Dos Tripletos ao Espaço

MESTRADO EM HISTÓRIA DA CIÊNCIA

Dissertação apresentada à Banca Examinadora

da Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, como exigência parcial para obtenção do

título de MESTRE em História da Ciência, sob a

orientação da Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrósio.

São Paulo

2014

  2  

Banca examinadora

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

  3  

Neste universo, a relatividade é constituída pela infinita

variabilidade da experiência, pela infinidade das

mensurações e das perspectivas possíveis, mas a

objetividade do todo reside na invariância das descrições

simples formais (das equações diferenciais) que

estabelecem exatamente a relatividade das mensurações

empíricas. (UMBERTO ECO, 1988, p.61).

  4  

AGRADECIMENTOS

A minha dedicatória é corporificada em minha inquietude e por tantos avanços

tecnológicos que acentuaram a velocidade de entendimento e compreensão neste

processo. Meu registro de agradecimentos iniciais alcança as pessoas que tiveram

imbricamentos com as minhas proposições de difusão científica, em um cenário de

consolidação de tantas elucidações e discussões sobre as possibilidades que situam

os pensadores matemáticos neste início de século.

Este trabalho é dedicado primeiramente aos meus pais (in memorian)

Sebastiao Fermino Louro e Geralda Adami Louro, exemplos de generosidade e

firmeza para os desdobramentos das aprendizagens e experiências em minha vida.

Fundamentalmente, meu rigozijo e eterno amor aos meus filhos que me ofereceram

um cálice mágico com suas vidas, questionamentos diuturnos, na certeza do querer

fazer e da necessidade de sonhar sempre com a gratidão do que temos, são eles:

Vinicius Louro, Naira Louro, Gabriel Louro (in memorian) e Arthur Louro. E,

finalmente, mas de inicio, registrar a verdadeira ancoragem e plenitude, a base

dessa pirâmide que reflete o caminho mais seguro, o lugar predileto e a esperança

do que está por vir, da luz e da sensatez, do acordar descansado e da paixão que

fez o Amor, minha esposa: Luciana Espindola Corrêa Louro. Aos meus irmãos (in

memorian), minhãs irmãs, sobrinhos e sobrinhas, primos e primas, cunhados e

cunhadas, por tantos sorrisos e prazer em discussões de entorno.

A todos os amigos e amigas que ao redor deste planeta participaram e

presenciaram a persistência nesta longa jornada e que contribuíram efetivamente

com o meu sucesso, a minha gratidão e meu depoimento.

  5  

Especialmente, fica aqui registrado também meu carinho e saudade do Amigo

e Orientador (in memorian) Franco Levi, do Instituto de Geociências da Universidade

de São Paulo, que me conduziu às reflexões iniciais complexas e me ensinou o

caminho da investigação e da contemplação com método e persistência.

Aos meus irmãos neste convívio: Ismael da Silva e Odilon Otávio Luciano,

símbolos de conhecimento, paciência e generosidade, de presença e recompensa

por crescermos as margens da ciência contemporânea, por reverenciar a história de

nossos antepassados na luta constante pelo conhecimento e suas aplicações.

Ao meu orientador Ubiratan D’Ambrósio que participa desse momento de

alegria e de contribuição científica, Professor e Amigo, que desde nosso primeiro

encontro, me recebeu com serenidade, sabedoria e respeito por minha trajetória, e

alcance das participações de experiências levadas a tantas nações. Minha gratidão

e profundo reconhecimento por sua condução, dedicação e carinho incondicional.

Enfim, estas linhas refletem parte de minhas incursões científicas,

inquietudes, objetivos e conclusões parciais das investigações que foram escolhidas

para esse trabalho, sem a pretensão de esgotar as teorias no tema proposto, mas

com propriedade e profundidade necessária para realizá-la.

Meu Amor e Carinho, meu sucesso e gratidão por todos vocês existirem na

minha vida.

Donizetti Louro

  6  

Título: Hipercomplexos: Dos Tripletos ao Espaço

Autor: DONIZETTI FERMINO LOURO

Resumo

A historiografia dos tripletos de Hamilton pretende abordar o raciocínio

matemático que antecedeu o desenvolvimento dos quaternions e sua contribuição

ao estudo de objetos tridimensionais. O estudo dos tripletos como representação

geométrica das raízes quadradas e quantidades negativas antecedeu a formalização

dos números hipercomplexos, em específico da álgebra de quaternions. A origem e

os fundamentos dos quaternions baseados nos tripletos, aplicados no movimento

rotacional de objetos tridimensionais no espaço suscitam um estudo mais

aprofundado de suas estruturas complexas, a priori. A busca de Hamilton por um

número hipercomplexo capaz de representar rotações do espaço apresentava

preocupações geométricas, assim como uma abordagem vetorial do plano, logo

suas aplicações determinariam isometrias que ainda fundamentam a morfologia da

imagem digital dinâmica.

Palavras-chave: História da ciência; História da matemática; Hipercomplexos, Quaternion,

Quadripletos, Tripletos

  7  

Title: HYPERCOMPLEX: From Triplets to Space

Author: DONIZETTI FERMINO LOURO

Abstract:

The historiography of triplets of Hamilton aims to address the mathematical

reasoning that preceded the development of quaternions and their contribution to the

study of three-dimensional objects. The study of triplets as geometrical

representation of square roots and negative quantities prior to the formalization of

hypercomplex numbers, in particular the algebra of quaternions. The origin and the

quaternion's fundaments based on triplets, applied in the rotational motion of three-

dimensional objects in space, evokes further study of their complex structures, a

priori. The search of Hamilton for a hypercomplex number able to represent rotations

in space presented geometrical concerns, as well as, a vector approach of plane,

then their applications determine isometries that still underlie the mathematical

morphology of the digital dynamic image.

Key Words: History of Science, History of Mathematics, Hypercomplex, Quaternions, Quadriplets,

Triplets

  8  

SUMÁRIO Introdução…………………….………………………………………….………… 9

CAPITULO 1. O Resseguro do Esperado.................................................... 17

CAPITULO 2. A premissa dos Hipercomplexos........................................... 22

CAPITULO 3. Tripletos: as Tessituras Numéricas de Hamilton................... 47

CAPITULO 4. Elos Sincréticos: O Devir dos Imaginários sem Fim.............. 66

Considerações Finais....................................................................................96

Anexos.........................................................................................................108

Bibliografia...................................................................................................110

 

  9  

INTRODUÇÃO

“Hoje em dia vemos o que a ciência está fazendo por

nós. (...) O objetivo da ciência não são as próprias coisas,

como os dogmáticos imaginaram em sua simplicidade,

mas as relações entre elas”.1

Jules Henri Poincaré

Pode-se dizer que o século XIX foi um dos períodos marcantes na história da

ciência, especificamente na matemática, pois houve uma contribuição efetiva e

inovadora dessa ciência. Até o início do século XX, a matemática era definida como

a ciência da quantidade e das extensões, sendo representada pela aritmética e a

geometria, respectivamente.

A utilização de números hipercomplexos a partir da segunda metade do

século XX em aplicações computacionais tem apresentado dificuldades, equívocos e

soluções que nem sempre são visíveis. Essas construções dinâmicas e não lineares

que fundamentam teorias complexas dos números nos remete ao estudo na história

da ciência do desenvolvimento da álgebra de quaternions.

A História da Ciência enquanto campo científico alcança a sistematização do

processo de desenvolvimento dos tripletos como contribuição à compreensão e

aplicação dessa teoria em áreas científicas contemporâneas de alta complexidade.

                                                                                                                         1 Poincaré, J. Henri. Science and Hypothesis, pág. xvi (tradução livre)

  10  

Este trabalho pretende contribuir de forma epistemológica na pesquisa da

fundamentação proposta por Willian Rowan Hamilton sobre os tripletos, raciocínio

este que antecedeu os quadripletos ou quaternions. Serão apresentadas as

principais motivações, ideias, e dificuldades ocorridas, até a conjectura dos

quaternions, reiterando as aplicações que ainda são presentes na solução de

problemas complexos de movimentos de corpos rígidos virtuais.

A primeira referência sobre a palavra tridimensional foi registrada em meados

do século XIX nos trabalhos do matemático, físico, poeta e astrônomo irlandês, Sir

William Rowan Hamilton2, em Lectures on Quaternions3 com a seguinte sentença:

"But there was still another view of the whole subject, sketched

not long afterwards in another communication to the R. I.

Academy, on which it is unnecessary to say more than a few

words in this place, because it is, in substance, the view

adopted in the following Lectures, and developed with some

fullness in them: namely, that view according to which a

QUATERNION is considered as the QUOTIENT of two directed

lines in tridimensional space”4.

Esta citação revela o estreitamento de Hamilton com a elaboração dos

quaternions em 1843, definidos no espaço R4; um sistema numérico desenvolvido a                                                                                                                          2 William Rowan Hamilton (Dublin, 4 de agosto de 1805 — Dublin, 2 de setembro de 1865) foi matemático, físico, poeta e astrónomo irlandês. 3 Quaternion é um sistema numérico que dá extensão aos números complexos. 4 "Mas ainda havia outra visão de todo o assunto, esboçado não muito tempo depois em outra comunicação para a Irish Royal Academy, na qual não é necessário dizer mais do que algumas palavras neste lugar, porque é, em substância, a visão adotada nas palestras seguintes e desenvolvido com alguma plenitude neles: a saber, que ver, segundo a qual um quaternion é considerado como o quociente de duas linhas direcionadas no espaço tridimensional ". tradução livre (Cairbre, Twenty Years of the Hamilton Walk, 43).

  11  

partir das conjecturas dos tripletos5 e aplicados em mecânica no espaço

tridimensional, sendo algumas vezes simbolizados por H em homenagem ao seu

desenvolvedor. Para desenvolvê-lo, Hamilton estudou os trabalhos dos

matemáticos: Carl Friedrich Gauss e Leonhard Euler. 6

William Rowan Hamilton nasceu em Dublin, Irlanda, em 3 de Agosto de 1805,

foi um matemático, astrônomo e poeta. Seu pai, Archibald Hamilton, foi um

Procurador na cidade de Dublin; sua mãe, Sarah Hutton, apesar de ser oriunda de

uma família de intelectuais, não exerceu muita influência na educação de Hamilton.

Aos sete anos ficou órfão e sua guarda foi atribuída ao seu tio James Hamilton, um

promotor, que tinha muito afeto por ele, porém exercia uma rígida educação com o

menino que foi se destacando de outros jovens por sua aplicação e interesse

peculiar por diversos idiomas, assim como por matemática.

Hamilton realizou sua primeira incursão de reflexão científica aos doze anos

com a leitura do Principia de Newton (1687) e do Mécanique Celeste de Laplace

(1798). Neste último identificou um equívoco de cáculo na obra. A partir desta

observação Hamilton escreveu um texto relatando o assunto em questão, o que o

fez muito popular na esfera científica e preterido pela Academia de Ciências da

Irlanda O crescimento dele foi embalado a discussões intermináveis em seu

convívio, desenvolvia-se de forma natural e apresentava características particulares

de aprendizagem segundo os registros de seus contemporâneos.7

                                                                                                                         5 Tratado sobre a representação geométrica das raízes quadradas de quantidades negativas. 6 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 32. 7 ibid, 34

  12  

A primeira escola que Hamilton frequentou foi o Trinity College em 1824 aos

19 anos de idade, mas logo em seguida aos 22 anos, ainda como aluno de

graduação, recebeu a nomeação da Royal Astronomer da Irlanda para Diretor do

Observatório de Dunsik e Professor de Astronomia na mesma universidade. A

carreira de Hamilton apresentava uma rica produção científica e suas contribuições

eram inesgotáveis até aquele momento, o que o diferenciava de outros estudantes

da turma.8 A vida acadêmica na universidade estava alicerçada em uma riqueza

bibliográfica a disposição da comunidade, tais como: conjecturas algébricas e

novos métodos científicos que discutiam teorias com profundidade. Tais

oportunidades e estudos contribuiram para que Hamilton escrevesse um trabalho

sobre a refração cônica em cristais biaxiais.

Em 1833 Hamilton surpreende a comunidade acadêmica com uma nova

comunicação realizada à Academia Irlandesa sobre um significativo artigo em que a

álgebra dos números complexos era definida como uma álgebra de pares

ordenados de números reais, a saber a mesma definição que usamos até os dias

de hoje.9 O estudo obteve como resultado os números complexos que formavam

uma álgebra de pares ordenados de números reais10. Os números complexos

podiam ser interpretados de várias maneiras: como um vetor de dimensão quatro,

um número complexo com três unidades imaginárias, ou um número

hipercomplexo.

                                                                                                                         8 ibid, 35 9 ibid, 37 10 Ibid

  13  

Dessa forma, considerando o escalar 1 e os versores, i , j , k como base no

espaço de quaternions poderia-se representar um quaternion genérico por: (x y z)

( x y z ) q = q + q i + q j + q k = q + q = q,q = q,q,q,q onde q , x q , y q e z q são

escalares reais e x q , y q e z q são componentes do vetor q. Essa relação que

definiu os quaternions era investigada por Hamilton desde 1830, e que na

interpretação geométrica da aritmética dos números complexos no plano procurava

obter resultados análogos no espaço de três dimensões11. Hamilton tentou estender

este conceito aos triplos de números, com um real e dois imaginários.

Uma das motivações de Hamilton para procurar números complexos

tridimensionais era encontrar uma descrição de rotações no espaço, análoga ao

caso complexo, onde a multiplicação correspondesse a uma rotação e a uma

mudança de escala. A definição dos quaternions seguiu uma forma quadrinomial

padrão, dada por Q = {qr + qxi + qyj + qzk | qr , qx , qy , qz ∈ reais e i,j,k ∈

imaginários}. Essa definição se parece bastante com a de um vetor no plano

complexo u = x + yi.12

Contudo, um quaternion conforme a definição de Hamilton poderia ser visto

como a representação complexa do ponto (r,x,y,z) em um espaço

quadridimensional. Para Crowe13, Hamilton não apresenta nesse trabalho o

problema da representação geométrica dos números complexos. Isso ocorreu

porque Hamilton “pensava como Gauss, que a representação geométrica era uma

                                                                                                                         11 Ibid. 12 Ibid 13 Ibid

  14  

ajuda para a intuição, mas não uma justificativa satisfatória para os números

complexos”14.

A representação geométrica das raízes quadradas de quantidades negativas

objetivou o estudo dos números hipercomplexos e pretende, com esse trabalho,

contribuir com os elementos históricos na evolução das relações matemáticas na

história da ciência. As soluções e implementações do raciocínio matemático

mediado por quaternions, advindo dessa conjectura, por décadas ficaram restritas a

pesquisas dentro de ambientes acadêmicos e militares.

Finalmente analisamos as condições de reflexão que marcaram sua época e

que avançaram nas décadas seguintes, seus colaboradores, admiradores, e

supostos críticos, assim como os desdobramentos contemporâneos.

Ao realizar esse trabalho percebemos que o recurso da história tem um papel

decisivo nas aplicações de desenvolvimento das nações e outras contribuições

humanas ao longo da História da Ciência. A relação existente entre o discreto e o

contínuo se apresenta como cenário de fundo em todas as tensões advindas de

teorias e aplicações científicas, das quais o principal ator sempre se posiciona como

artífice atemporal do objeto científico.

O desenvolvimento da tecnologia sempre sinalizou e sinaliza experimentos de

fronteira. No primeiro capítulo deste trabalho abordarmos uma visão geral dos

desdobramentos advindos desde a concepção dos tripletos e consolidação dos

                                                                                                                         14 Eves, H, Introducao à História da Matemática,328.

  15  

quaternions. Percorremos seus fundamentos no movimento dos objetos

tridimensionais virtuais que suscitam, a cada dia, uma curiosidade sem precedentes,

pois suas estruturas complexas se comportam como uma narrativa imagética

própria, estimulando todas as formas sensoriais humanas. A História da Ciência

estabelece uma linha tênue entre a ciência pura e suas conjecturas e a aplicação na

formação de profissionais que se utilizam de ferramentas para simulação

computacional, computação gráfica, robótica médica, bases de lançamento de

satélites, sobretudo no campo da Educação: ensino e aprendizagem.

No segundo capítulo discorremos sobre a premissa dos números

hipercomplexos na história da matemática, inseridos na história da ciência como

fator desencadeador de diversas teorias ao longo dos séculos. Apresenta-se,

também, nesse trabalho a dificuldade de aceitação dos números negativos e de

suas raízes, suas aplicações e conjecturas.

No terceiro capítulo ampliamos seu entendimento no processo axiomático e o

encontro dos obstáculos que os tripletos alcançaram na busca de uma

representação geométrica tridimensional e as contribuições que apontaram para

outra direção refletindo na proposição da álgebra de quaternions.

No quarto e último capítulo discorremos sobre as motivações de Hamilton

com os hipercomplexos, suas aplicações no final do século XIX e a utilização

contemporânea desses números hipercomplexas em conjunto com outras teorias

mais recentes advindas dos quaternions.

  16  

Assim, nas considerações finais apresentaremos a importância dos tripletos,

tendo a História da Ciência como um subsídio de trabalho para validar esta proposta

em teoria de sistemas numéricos, suas contribuições como um fio de extensão do

plano para o espaço em dinâmica de corpos rígidos, sua trajetória de redescoberta

algébrica e a epistemologia dos próprios tripletos.

Ao final do presente trabalho apresentamos anexos como aprofundamento de

questões circundantes aos temas discutidos nos capítulos anteriores.

  17  

CAPÍTULO 1

O Resseguro do Esperado

... A maioria dos matemáticos considera que suas

questões são relativas aos assuntos fora da experiência

humana. Eles reconhecem os signos matemáticos como

sendo relacionados com o mundo do imaginário, assim,

naturalmente fora do universo experimental. (...) Toda a

imagem é considerada como sendo a respeito de algo,

não como uma definição de um objeto individual deste

universo, mas apenas um objeto individual, deste modo,

verdadeiramente, qualquer um é de uma classe ou de

outra” (NEM 4: 213).15

Charles Sanders Peirce

No inicio da década de sessenta, o estudo sobre os números hipercomplexos,

em específico os quaternions, foi retomado na aplicação de modelos fundamentais

da física quântica.16 Além desse trabalho, dois outros fatos proporcionaram o

reaparecimento dos quaternions: a) o efeito do Gimbal Lock17 nos processos de

rotação através do método tradicional com ângulos de Euler, nomeadamente com o

módulo lunar Apollo da NASA que alarmou a comunidade aeronáutica e astronáutica

a procura de soluções para o problema; b) o surgimento da era da computação

gráfica.

                                                                                                                         15 Peirce, Charles Sanders, The New Elements of Mathematics 23. 16 Finkelstein, D, Jauch, J. M., Schiminovich, S. e Speiser., D., Math, J. Phys Principle of General Q Covariance, 788. 17 Gimbal é o nome em inglês de um aparelho chamado Giroscópio. Consiste em um rotor e 3 aros concêntricos. O travamento do giroscópio (Gimbal Lock) ocorre quando dois ou os três aros ficam na mesma posição, causando problemas em rotações.

  18  

A utilização de números hipercomplexos na teoria quântica e nas aplicações

computacionais de rotação no espaço de alta complexidade buscou processos de

otimização na aplicação matemática. Atualmente, existem trabalhos desenvolvidos

com quaternions que apresentam novas ferramentas por meio de gráficos e formas

tridimensionais de alta complexidade, mas a relação entre a matemática e a imagem

foram fundamentadas nas incursões que estabeleceram avanços além da

computação estética. Em Louro e Fraga18 encontramos uma referência sobre a

matemática da imagem, que discute os patterns19, presentes e ativos em ambientes

digitais interativos, tridimensionais.

O tema do presente trabalho sobre um sistema numérico baseado em

tripletos e quadripletos marcou a década de oitenta como um grande salto na

criação e desenvolvimento de imagens dinâmicas pela utilização de campos

vetoriais com isometrias. Como decorrência, podemos perceber que os objetos

tridimensionais suscitam, a cada dia, em suas estruturas, as aplicações

computacionais de alta complexidade20.

A compreensão das formas matemáticas emerge com rigor e formalização na

análise epistemológica dos tripletos como vetor dos processos internos, e relevante

na pesquisa dos números hipercomplexos em História da Ciência. O assunto sobre

o sistema numérico hamiltoniano com os seus elementos históricos a partir das                                                                                                                          18 Louro, Donizetti ; Fraga, Tania. Thinking Responsive Morphologies for Computer, 109 19 Pattern: do francês "patron", o qual deriva de uma das acepções da palavra "pai". Ele designa um tipo de tema recursivo que incide sobre objetos ou eventos. O termo possui diversas incidências, tais como nas ciências da computação, na arte, na psicologia, na psicanálise, na etologia, na matemática e outras. Os patterns são estruturas complexas replicáveis que tendem a organizar uma estrutura predicável (de sentido), tais como algoritmos recursivos (computação), estampas repetitivas (arte), esquemas comportamentais (psicologia), repetições compulsivas (psicanálise), rituais de aproximação (etologia), proporção áurea (matemática). Repetição, ciclo, periodicidade, organização, manifestação e transformação são alguns dos princípios lógicos que estão inerentes e atuantes nos patterns. Os exemplos mais primários de patterns que podem ser apresentados são as estruturas fractais da natureza, exemplificada no floco de Neve de Kepler. Stewart. 126. 20 S. Smale, M. Shub e L. Blum introduziram uma teoria da computação e complexidade sobre um anel ou corpo arbitrário R, que mais tarde seria publicada no livro Complexity and Real Computation, 3-26.

  19  

conjecturas dos tripletos, enriqueceu as soluções e implementações do raciocínio

matemático da época. Por outro lado, em conjunto com algumas reflexões sobre

quaternions na física quântica, iniciamos uma incursão histórica em fontes primárias

sobre esse sistema numérico.

Os estudos de Willian Rowan Hamilton obtiveram como resultado os números

complexos que formavam uma álgebra de pares ordenados de números reais.21 A

exploração de Hamilton sobre os quaternions foi mais um percurso de sua pesquisa

do que o objetivo de seu trabalho inicial. Em verdade, Hamilton estudava, desde

1830, a interpretação geométrica da aritmética dos números complexos no plano e

procurava obter resultados análogos no espaço de três dimensões e tentou estender

este conceito aos triplos de números, com um real e dois imaginários.22

Assim, uma das motivações de Hamilton, para procurar números complexos

tridimensionais, era encontrar uma descrição de rotações no espaço, análoga ao

caso complexo, onde a multiplicação correspondesse a uma rotação e a uma

mudança de escala. A definição dos quaternions seguiu uma forma quadrinomial

padrão, dada por Q = {qr + qxi + qyj + qzk | qr , qx , qy , qz ∈ reais e i,j,k ∈

imaginários}. Essa definição se parece bastante com a de um vetor no plano

complexo u = x + yi.

Desta forma um quaternion pode ser visto como a representação complexa do

ponto (r,x,y,z) em um espaço quadridimensional. A sistematização do estudo de

                                                                                                                         21 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 28 22 Ibid

  20  

vetores ocorreu no século XIX e nas duas primeiras décadas do século XX com as

representações geométricas dos números complexos.    

 

A utilização deste sistema numérico tem apresentado questões que nem

sempre são evidentes e suficientemente analisadas em suas aplicações

contemporâneas. Por esse motivo, devemos considerar a imagem digital dinâmica

no seu contexto histórico e nos vínculos que a tecnologia23 os utiliza como

instrumentos materiais, intelectuais e persuasivos na cultura humana. O

desenvolvimento nos campos da ciência e tecnologia da imagem denota o “fazer da

matemática algo vivo, lidando com situações reais no tempo [agora] e no espaço

[aqui]” D’Ambrósio24.

As matemáticas chamadas não lineares com os avanços da tecnologia

computacional estabelecem transformações na forma e no contexto da percepção

humana. A historiografia dos trabalhos de Hamilton elucidou o raciocínio matemático

que se apresentava no desenvolvimento dos quaternions. A origem de seus

fundamentos no movimento dos objetos tridimensionais suscita, a cada dia, uma

curiosidade sem precedentes, pois suas estruturas complexas se comportam como

uma narrativa imagética própria, estimulando todas as formas sensoriais humanas.

A compreensão das formas canônicas matemáticas emerge com rigor e

formalização apropriada, sistematizada, com uma análise do contexto externo na

representação científica e social convergentes ao período e local estudado. Assim, a

                                                                                                                         23 Houaiss. Substantivo feminino - teoria geral e/ou estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou domínios da atividade humana (p.ex., indústria, ciência etc.), 1783. 24 Ubiratan D’Ambrosio, Etnomatemática, (transcrição, com ligeira revisão, da gravação).

  21  

análise epistemológica como vetor dos processos internos do objeto de estudo é de

relevante importância na pesquisa em História da Ciência.

Vale sublinhar que, em um curto espaço de tempo, o avanço da ciência

possibilitou à cultura humana uma absorção das tecnologias que mudaram o

comportamento ergonômico, cognitivo, visual e de apreensão de conhecimentos.

Existem trabalhos gerados com novas ferramentas por meio de gráficos e

formas tridimensionais de alta complexidade25, mas as condições meta-cognitivas da

relação entre a matemática e a imagem em movimento estabelecem avanços e

apropriam-se de relações culturais e científicas algoritimizadas em constante

mutação, pois a matemática computacional proporciona um cenário de avanços

tecnológicos com estranhamentos positivos e negativos que auxiliam e determinam

ambientes imersivos complexos abordando temas científicos, artísticos e médicos da

contemporaneidade.

                                                                                                                         25 Foi em 1989, que S. Smale, M. Shub e L. Blum introduziram uma teoria da computação e complexidade sobre um anel ou corpo arbitrário R, que mais tarde seria publicada no livro Complexity and Real Computation, 21.

  22  

CAPÍTULO 2

A premissa dos Hipercomplexos

‘’The taste for the abstract sciences in general and, above all,

for the mysteries of numbers, is very rare: this is not surprising,

since the charms of this sublime science in all their beauty

reveal themselves only to those who have the courage to

fathom them’’.26

Johann Carl Friedrich Gauss (1807)

Quaisquer que sejam as incursões na história da teoria dos números,

especificamente dos hipercomplexos, estabelecer uma digressão nesse processo

nos faz pensar sobre as conjecturas e desenvolvimento desse grupo numérico que,

paralelamente aos seus registros mais atuais, nos remete ao entendimento de

alguns atores que delinearam esse conhecimento no século XV, onde se registra a

formalização da trigonometria Regiomontanus (1436-1476) e a utilização dos

símbolos + (mais) e - (menos) por J. Widmann d'Eger (1462-1498) para designar a

adição e a subtração de números. 27

Ao longo desse período de desenvolvimento, os registros de Copérnico

(1473-1543) e as hipóteses de Ptolomeu foram substituídas por uma nova

                                                                                                                         26 Fragmento da carta escrita por Gauss em 1807 para J. LeBlanc (Sophie Germain).“… O gosto pelas ciências abstratas em geral e, acima de tudo, para os mistérios dos números, é muito raro: isso não é surpreendente, uma vez que os encantos desta sublime ciência em toda a sua beleza se revelam apenas para aqueles que têm a coragem para entendê-los’’. (tradução livre). Darlin, David. From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes, 74 27 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 12.

  23  

concepção e reflexão sobre a natureza dos números, após momentos de muita

produção na história da ciência.

Em 1545, o método de Girolamo Cardano28 (1501-1576) discutia processos

convergentes à solução de equações de terceiro e quarto graus e considerava-se a

ideia de que os números negativos e suas raízes, pela primeira vez, faziam parte do

corpo de uma teoria matemática.

Apresenta-se, em conjunto da evidência acima, as dificuldades de

entendimento e compreensão que o próprio Cardano chamava de numeri ficti e às

suas raízes de sofísticadas. Cardano29 contribuiu com diversos estudos sobre as

relações de equações em seu livro Ars Magna (1545), e incluiu as chamadas

quantidades “sofisticadas”, como eram caracterizadas as raízes de números

negativos. Importante ressalvar que essa publicação continha, também, os trabalhos

de Nícolo Fontana (1500-1557) nascido em Brescia no norte da Itália, também

conhecido como Tartaglia. 30

Cardano considerava, ainda, alguns valores em suas indagações e procurava

exemplos para fundamentar o uso dessas quantidades “sofisticadas”. Seu trabalho

desenvolveu o conceito desses números, conhecidos hoje como números

complexos ou imaginários. Como exemplo elucidativo desse trabalho apresentamos

o seguinte raciocínio, considerado por ele, sobre o problema de dividir um segmento

de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.31

                                                                                                                         28 EVES, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226 29 Ibid 30 Ibid 31 Ibid

  24  

Figura 1 - Problema de Cardano

A interpretação desta representação pressupõe que ao chamarmos o

comprimento de uma das partes de “x”, a outra terá comprimento de “10 – x”, e a

condição do problema se traduz na equação: x(10 - x) = 40 => x2 – 10x + 40 = 0, as

quais encontrarão seus resultados expressos por x = 5 (+) (-) raiz quadrada de -15.

Nessa proposição, Cardano reconheceu que a solução do problema dado não

existia, mas conseguiu avançar em suas reflexões em outros campos aritméticos e

algébricos.

Com os fatos estudados, entendemos que Cardano introduziu a notação

matemática de “-1” na decorrência de outros trabalhos, o que fundamentou seu

raciocínio para concluir as suas obras. Alguns de seus contemporâneos tinham

considerações controversas a respeito de suas incursões e conjecturas

matemáticas. A questão da raiz negativa, por si só, abriu uma discussão que se

arrastou por algumas décadas, culminando inicialmente com o depoimento de René

Descartes (1596-1650), cujas primerias contribuições foram: cunhar esse número

como “imaginário” e sua representação como “i”.32

As contribuições de Cardano são denotadas em importantes trabalhos na

História da Ciência. Entre esses trabalhos, desenvolveu e apresentou o anel de

suspensão, o qual levou seu nome, reconhecidamente, na língua francesa

como cardan. Como matemático Cardano publicou vários livros e, como destaques,

                                                                                                                         32 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 31.

  25  

o The Practice of Arithmetic and Simple Mensuration (1537), Practica

arithmetice (1539) e Ars magna (1545), mais conhecido atualmente, onde

apresentou uma variedade de métodos para resolver equações polinomiais,

equações de terceiro (cúbicas mixtas) e quarto graus, as quárticas.33

Os trabalhos de Cardano reconheceram a validade dos números negativos e

a expressão dos números imaginários. Essas contribuições alteraram o estudo da

matemática naquele momento e, com isto, antecipou a evidência de trabalhos sobre

números complexos34. E, ainda, reiterava Cardano, que as equações quadráticas já

eram solucionadas pelos babilônios quatro mil anos antes. Descreveu as citações da

própria obra e afirmou que as soluções não eram de sua autoria, mas sim

de Scipione del Ferro (1465-1526) e as cúbicas, de Nicollo Tartaglia, além

de Ludovico Ferrari (1522-1565), com as quárticas.35

No contexto europeu do século XVI, Cardano é considerado um dos cientistas

mais proeminentes e importantes. Como algebrista, demonstrando grande

habilidade com os números, ele desenvolveu o conceito da resolução do problema

de probabilidade ao identificar o espaço amostral com resultados igualmente

prováveis, apresentando, assim, as primeiras computações sistemáticas das

probabilidades. Registra-se aqui, por uma questão de temporalidade científica na

linha do tempo de contribuições relevantes para a história da Ciência que esse

episódio ocorreu um século antes de Blaise Pascal (1623 –1662) e Pierre de Fermat

(1601–1665).36

                                                                                                                         33 Ibid 34 Ibid 35 Ibid 36 Ibid

  26  

Mesmo com essas contribuições acerca da teoria dos números, percebe-se

que a utilização dos números reais eram insuficientes para se tratar de equações

algébricas. Todas as pesquisas desenvolvidas ao longo do século XVI

aproximavam-se da história grega antiga por correlação de suas tentativas na

aplicação dos números irracionais, uma vez verificada a insuficiência dos números

racionais com a definição do número expresso pela raiz quadrada de duas unidades

inteiras e positivas, que não era racional.37 Logo, entende-se que o conceito de

número precisava ser ampliado. Rafael Bombelli (1526-1572), italiano nascido na

Bolonha, um engenheiro hidráulico de reflexões matemáticas inquietantes,

desenvolveu inúmeras algebrizações ao longo de sua vida. Com esse engajamento

peculiar nas conjecturas numéricas alcançou resultados surpreendentes com suas

explorações aritméticas. Seus estudos apontavam o desenvolvimento de novos

números, conforme seu relato pessoal na publicação de 1572 no livro L'Algebra

parte maggiore dell'Arithmetica.38

O desvelar dos métodos algébricos e suas aplicações na Geometria, iniciados

por François Viète (1540-1603), destacou também as contribuições de outros

celebres cientistas, tais como: René Descartes (1596-1650), Fermat (1601-1665) e

Pascal (1623-1662). Entre tantos que desenvolveram a matemática na história da

civilização a figura de Descartes é magnânima porque suas indagações e definições

alcançaram propriedades importantes na história dos números. Suas incursões

apresentavam reflexões sobre a reta de dimensão ‘um’, uma vez que se pode

representar um ponto sobre uma reta com um número da seguinte forma: positivo à

                                                                                                                         37 Ibid 38 Ibid

  27  

direita da origem e negativo à esquerda da origem. Sabemos, ainda, que pontos são

entes geométricos e que os números são entes algébricos.39

A grande recursão advinda dos trabalhos de Descartes é com relação à

reflexão sobre a condição de transformar e admitir números como pontos e pontos

como números.40 Essa prática alcançou resultados surpreendentes e definiu um

campo matemático chamado geometria algébrica. Soberbo e potente, esse método

iria delinear conjecturas sobre a interpretação dos pontos de uma reta como

números, pois facilitaria os cálculos matemáticos e a compreensão geométrica do

significado das operações elementares entre números, principalmente a adição e a

multiplicação. Para exemplificar a força e a importância dessa sistematização,

podemos raciocinar com um algoritmo de parcelas aditivas: se subtrairmos uma

unidade de um número hipotético “X” admitimos, segundo a teoria de Descartes, que

a forma canônica do mesmo apresentaria uma transformação algébrica X – 1. Esse

processo ficou definido como a geometria da translação, ou seja, todos os pontos

são transladados de 1 para a esquerda, assim como se a operação multiplicação é

definida por uma adição repetitiva de parcelas iguais, de modo que podemos admitir

que uma multiplicação por três unidades possa ser raciocinada como um processo

de dilatação. 41

Por outro lado, podemos ampliar o raciocínio dos operadores aritméticos e

extrair reflexões geométricas muito interessantes com a percepção de simetrias.

Nesse caso em particular, ao desenvolvermos o raciocínio sobre uma multiplicação

                                                                                                                         39 Ibid 40 Ibid 41 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 26.

  28  

por -1 significa imaginarmos cada ponto X sobre - X como o resultado de uma

simetria, ou seja, teremos a compreensão de que cada ponto será transformado,

pelo mesmo princípio anterior, em um ponto simétrico com relação à origem. Por

outro lado ao multiplicarmos por “menos dois” teremos uma composição das duas

operações anteriores.42 Assim, podemos concluir que multiplicar dois números

significa transformar as suas composições associadas.

Ao adentrarmos o pensamento matemático que estrutura os procedimentos

de cáculos na aritmética, álgebra e geometria, podemos extrapolar condições

esperadas como, por exemplo, tomando o raciocínio anterior, ao considerarmos uma

transformação associada à multiplicação por um fator “menos um” alcançamos uma

simetria. Mas quando efetuarmos esta mesma operação duas vezes, na sequência,

haverá um retorno ao ponto de partida, recursivo, de tal modo que teremos

delineado o produto de “menos um” por ele mesmo como “mais um”, ou seja,

podemos concluir que o quadrado de “menos um” será “mais um”.

Ao extrapolarmos esse raciocínio indutivo da reflexão do parágrafo anterior

para o campo multiplicativo encontraremos situações de controle pela definição do

evento, o que possibilita imaginarmos que se tomarmos o quadrado de dois inteiros

negativos obteremos quatro inteiros positivos. Com essa proposição podemos

concluir que se ao tomarmos o quadrado de quaisquer números, positivo ou

negativo, seu resultado será sempre um número positivo. Portanto, ao

considerarmos essas abstrações admitimos também que será inexistente a raiz

quadrada de uma unidade inteira negativa.

                                                                                                                         42 Ibid, 32

  29  

Por outro lado, em Mecânica, as contribuições de Galileo Galilei (1564 - 1642)

apresentaram os princípios da Estática e da Dinâmica.43 Trabalho este que foi

finalizado por Christiaan Huygens (1629-1695). No fim do século XVII, e no princípio

do século XVIII, após longas discussões, surgiu o Cálculo Diferencial e Integral

advindo dos trabalhos de Isac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716). 44

E, ainda, a representação de Girard Desargues45 (1591-1661), ou melhor, dos

números reais por intermédio de pontos sobre uma reta contribuiu para dar um

sentido aos números negativos que são vistos como comprimentos de segmentos

localizados no lado oposto àquele no qual se representam os positivos. Na condição

de raízes quadradas que constituiriam os números imaginários, mesmo a obtenção

de uma forma de representação, encontrou enormes barreiras que somente se

dissiparam ao longo do século XIX. STILLWELL 46

Nessa trajetória da teoria dos números, novas formas de se representar os

imaginários puros foram desenvolvidas e muitas passaram despercebidas da

comunidade cientifica da época. No Harmonia Mundi (1618), Johannes Kepler47

(1571-1630) sugeriu uma convergência de ações na qual se manifestava o

Zeitgeist48, o que viria a ser fundamental na proposta historiográfica de Georg

Wilhelm Friedrich Hegel49 (1770-1831).50 Essa convergência de ações caracterizou

uma cultura. ”Uma cultura é identificada pelos seus sistemas de explicações,                                                                                                                          43 Eves, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226 44 Ibid 45 Ibid 46 Stillwell, John. Mathematics and its history, 91b 47 Ibid 48 Ibid 49 Eves, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226. 50 DAmbrósio, Ubiratan. Sociedade, cultura, matemática e seu ensino, 28.

  30  

filosofias, teorias, e ações e pelos comportamentos cotidianos”, acrescenta

D’Ambrósio51.

Com isto, a partir das realizações algébricas de Bombelli52, muitos

matemáticos começaram a utilizar em seus trabalhos as raízes quadradas de

números negativos, mas a representação algébrica da “raiz quadrada de menos um”

pela letra “i “ ocorreu somente no século XVIII com o matemático suíço Leonhard

Euler (1707-1783). E, com essa proposição, entre outras contribuições de Euler para

o universo da matemática com símbolos e representações, sabemos que uma

notação qualquer é parte da solução para que uma teoria tenha êxito.

Com o mesmo vigor e determinação, muitos outros cientistas estiveram à

frente de seu tempo e apresentaram proposições que são utilizadas formalmente até

os dias de hoje. As formas algébricas e os métodos mais sofisticados na condução

investigativa dos números complexos foram apresentadas também por Abraham de

Moivre53 (1667-1754) que, como recorte das proposições, explorou outras

possibilidades em grupos numéricos na trigonometria.54

Na matemática contemporânea, os números complexos são geralmente

justificados em termos de pares de números reais ou por representação geométrica.

É relevante o entendimento da origem do método e os trabalhos realizados para

representar os números complexos geometricamente, pois esses caminhos são

norteadores de outras iniciativas além de validar o desenvolvimento de trabalhos em

                                                                                                                         51 Ibid 52 Eves, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics, 214-226. 53 Ibid 54 KATZ, Victor J. A history of mathematics, an introduction, 96.

  31  

suas circunstâncias pessoais ou em equipe. Dessa forma as conquistas na área da

matemática são balizadas por uma revisão contínua de conteúdo, trabalho esse

realizado por historiadores e filósofos da ciência.

Muitas investigações ao longo da história da teoria dos números são relatadas

em literaturas da área, como por exemplo o trabalho desenvolvido, sem sucesso, no

século XVII por John Wallis. Além desse, um trabalho em especial deve ser

mencionado por suas escritas sobre o tema, trata-se do agrimensor / matemático

norueguês Caspar Wessel (1745-1818), que alcançou sua expressão fundamental

no século XVIII. Segundo Michael J. Crowe (1967) pelo menos outras cinco pessoas

publicaram trabalhos sobre rotações no plano via multiplicação de segmentos:

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) (teve a idéia em 1799 mas só publicou em

1831); Abbé Buée e Jean-Robert Argand (1768-1822), publicaram,

independentemente, em 1806; John Warren (1796-1852) e C. V. Mourey (1783-

1861) publicaram, independentemente, em 1828. Com exceção de Warren, todos

tentaram, sem sucesso, estender seus resultados do plano para o espaço.55

Wessel desenvolveu métodos sofisticados baseados em sua experiência

cartográfica advindos de estudos geométricos e trigonométricos. A partir desses

levantamentos em atividades profissionais, ele aplicava suas teorias em indagações

práticas para solucionar problemas geométricos adversos de seu tempo. 56

                                                                                                                         55 Ibid 56 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 5-11

  32  

Ensaios e resultados de suas observações foram explicados em um relatório

de 1787. Esse relatório apresentava reflexões matemáticas com uma abordagem

inovadora para a época, ou seja, uma interpretação geométrica dos números

complexos em que contemplava a lei de formação algébrica e suas considerações

algébricas.57

Em 1796, Gaspar Wessel havia terminado um longo e exaustivo trabalho de

cartografia sobre a chamada triangulação dinamarquesa e se utilizou desses

estudos para produzir o primeiro mapa oficial do país. Nesse mesmo ano, escreveu

seu primeiro e único artigo sobre matemática e fez sua apresentação no dia 10 de

março 1797 para os presentes da Real Academia Dinamarquesa. Insere-se a

ressalva de que até o ano anterior dessa apresentação era obrigatória a filiação

nessa academia como membro oficial para que se tivesse a oportunidade de

apresentar quaisquer trabalhos de natureza investigativa, entre outros. O trabalho de

Wessel foi, assim, o primeiro a contemplar a liberdade de expressão conquistada por

seu trabalho na referida academia.58

A notoriedade de Wessel como matemático é devida, exclusivamente, a esse

trabalho publicado em 1799. Conforme registro, esse artigo foi apresentado pela

primeira vez com um tema sobre os números complexos abordando a sua

interpretação geométrica.59

                                                                                                                         57 Ibid 58 Smith, David Eugene. History of Mathematics. 135-143 59 Ibid

  33  

Os trabalhos de Wessel sobre rotações no plano e no espaço via

multiplicação de segmentos é de fundamental importância para a evolução desse

trabalho de pesquisa que discutirá, consequentemente, a discussão sobre o mesmo

tema por outro prisma de análise. Portanto será abordado diversas vezes como

incursão de referência nos trabalhos de Hamilton. Os estudos de Wessel foram

importantes na indução de raciocínio desenvolvido por Hamilton na álgebra de

quaternions: sua contribuição foi consolidada como a primeira publicação sobre um

método correto para a realização de rotações no espaço, ainda que apenas em

torno das direções dos eixos imaginários.

As investigações de Hamilton, como veremos no capítulo três, apresentam

suas inquietudes e suas abordagens sobre as representações analíticas de

segmentos no plano e no espaço, a priori, pois suas contribuições como cientista

foram muito além dessas conjecturas e formalizações descritas em registros na

história da ciência, uma vez que as reflexões primeiras ocorrem no universo do

pesquisador, em suas simbioses com o meio e suas aprendizagens sucessivas ao

longo dos trabalhos. Essas investigações tinham como ancoragem diversas

considerações muito próximas às conjecturas utilizadas por Gaspar Wessel, porém

não há registros sobre quaisquer manuscritos analisados ou estudados por

Hamilton, advindos dos trabalhos de Wessel, ou seja, provavelmente, os trabalhos

de Hamilton não foram fundamentados pelas contribuições de Wessel.60

Atualmente, chama-se essa representação de interpretação geométrica do

diagrama de Argand, matemático que também realizou pesquisas sobre o tema em

                                                                                                                         60 Ibid

  34  

1806. Este fato reitera a redescoberta dessa representação, uma vez que a

formalização existente sobre a mesma teoria tenha sido trabalhada por Wessel. 61

Nessa mesma direção, Gauss o fez também em 1831, ou seja, ambos

estavam alinhados na mesma perspectiva de incursões sobre a representação

geométrica desses números. Além dessas considerações, há registros de que

Gauss, também, deu continuidade aos trabalhos de Wessel desenvolvendo uma

retriangulação de Oldenburg, em torno de 1824. Porém, ambos os trabalhos de

Argand e Gauss são posteriores a apresentação realizada por Wessel em 1787 e

1797. 62

Gaspar Wessel realizou uma apresentação na Academia de Ciência Real da

Dinamarca, em Copenhagen, em 1797, e seu artigo consolidou-se como a primeira

tentativa de explicação da representação geométrica dos números complexos,

sendo publicado em 1799 nas Memoires desta Academia. Essa incursão histórica

sobre os trabalhos de Wessel apresenta a mesma publicação que passou

despercebida por matemáticos europeus até 1899 quando foi reeditada em francês,

a partir do trabalho original, com o título Essai sur la représentation analytique de la

direction.63

Entre os registros de Wessel aparece em seu livro de memórias a seguinte

frase:

                                                                                                                         61 ibid 62 Smith, David Eugene. History of Mathematics. 135 -143 63 Ibid

  35  

"This present attempt deals with the question, how may

we represent direction analytically; that is, how shall we

express right lines so that in a single equation involving

one unknown line and others known, both the length and

the direction of the unknown line may be expressed." 64

Com esta citação Wessel sugere o raciocinio do desenvolvimento e criação

dos métodos geométricos, além da sua representação para os números complexos.

No entanto, essa representação teve um papel fundamental como é registrada pela

citação:

"The occasion for its being [his treatise] was my seeking a

method whereby I could avoid the impossible

operations."65

Com isto, suas demonstrações tinham como objetivo uma representação

analítica das direções opostas. Sendo assim, Wessel sugeriu que deveria ser

possível encontrar métodos para representar linhas inclinadas também, o que em

seguida o permitiu desenvolver a adição de linhas retas:

"Two right lines are added if we unite them in such a way

that the second line begins where the first one ends, and

                                                                                                                         64 No primeiro parágrafo de seu livro de memórias Wessels relatou que: "a presente tentativa lida com a questão, como é que pode representar direção analiticamente, isto é, como devemos expressar linhas retas para que em uma única equação que envolve uma linha de desconhecidos e outros conhecidos, tanto o comprimento e a direção da linha desconhecida possam ser expressos”. Ibid (traduçãoo livre) 65 "O motivo para a sua existência foi a minha busca por um método no qual eu poderia evitar as operações impossíveis.” ibid. tradução livre

  36  

then pass a right line from the first to the last point of the

united lines. This line is the sum of the united lines."66

A representação geométrica trouxe para as suas conjecturas definições

importantes reconhecidas pela comunidade cientifica no final do século, pois a sua

proposta ampliava as aplicações matemáticas, permitindo a utlização na adição de

mais do que dois pontos, não necessariamente no mesmo plano, e que nessas

linhas a ordem de adição não se caracterizava de forma decisiva. Esse conceito

introduziu a ideia de vetor tridimensional que culminou com o reconhecimento da lei

comutativa para a adição. Embora Wessel tenha chegado até este ponto o qual

chamou de unidade positiva, ele ainda não havia indicado a regra de linhas em geral

que eram para ser representadas em termos de números complexos, o que o

possibilitou algum tempo depois a apresentar a multiplicação de linhas. O produto

dessas duas linhas coplanares, umas com as outras, e com a unidade positiva,

obteve como resultado o comprimento igual ao produto dos comprimentos de dois

fatores.

O trabalho de Wessel foi pautado com dificuldades diretamente envolvidas

com a representação das rotações, com as quais o mesmo não obteve êxito. Porém,

as suas aprendizagens foram suficientes para que ele aplicasse essas relações

descobertas na trigonometria esférica, uma de suas áreas de aplicação prática em

sua vida profissional de agrimensor. Portanto, embora as aplicações

contemporâneas se utilizem da nomenclatura estabelecida no século XIX com o

                                                                                                                         66 "Duas linhas direitas são adicionados se uni-los de tal forma que a segunda linha começa onde o primeiro termina, e em seguida, passar uma linha reta desde o primeiro até o último ponto . das linhas estados Esta linha representa a soma das linhas unido". Ibid. (tradução livre)

  37  

nome de diagrama de Argand/Gauss, o reconhecimento científico da contribuição

advinda do agrimensor/matemático Gaspar Wessel reitera que as suas explorações

e definições foram de fundamental importância para a história da ciência e

tecnologia, mais precisamente da história da matemática.

Todas essas condições assertivas no desenvolvimento da matemática do

século XIX se fundamenta em processos de representações, classificação,

comparação, quantificação, contagem, medição, inferências e de comunicação.

“Esses processos se dão de maneiras diferentes nas diversas culturas e se

transformam ao longo do tempo. Eles sempre revelam as influências do meio e se

organizam com uma lógica interna, se codificam e se formalizam. Assim nasce o

conhecimento.” D’Ámbrosio67.

A contribuição efetiva com relação aos números imaginários ocorreu por

desenvolvimento das reflexões de Argand que, reiterando as considerações

anteriores principalmente por Descartes, adotou uma proposta de representação

preocupada em atribuir um significado geométrico aos números. Para esse

raciocínio obter êxito Argand considerou a “raiz quadrada de menos um” como uma

média de posição, ao dividir pela metade a distância que os números “mais um” e

“menos um” representam sobre a reta dos reais. Essa incursão, oportunamente,

culminou com os radicais de números negativos, mas foram registrados diversos

anos de trabalho para vencer os obstáculos que tornavam a solução de uma raiz

quadrada de um número negativo praticamente impossível.

                                                                                                                         67 D’Ambrósio, Ubiratan. Sociedade, cultura, matemática e seu ensino, 36

  38  

Epistemologicamente, os cientistas que estudaram tais possibilidades de

solução para a representação dos imaginários, que também eram chamados de

impossíveis entre outros, transmitiam aos seus discípulos uma condição dogmática

dessa teoria com insucesso até aquele momento. Porém, a inventividade e a

inquietude dos matemáticos buscavam incessantemente ampliar tal condição

limítrofe dos números. Considerava-se que se existisse uma condição possível de

escrita simbólica, logo as derivações dessa natureza também se caracterizariam

como possíveis para outros números associados por outras operações aritméticas.

Essas reflexões percorreram diversas culturas, mas os registros históricos de

sucesso reconhecidos como uma contribuição decisiva sobre o caráter geométrico

desses números imaginários perpetuaram os nomes de Argand, Wessel e Gauss,

conforme já citados anteriormente.

O raciocínio que fundamentava a natureza dos pensamentos sobre a

representação dos imaginários, considerava que o número “menos um” estava

associado à simetria em relação à origem da reta real. Dessa maneira, a

representação geométrica deste movimento circunscreveria uma rotação de meia

volta que efetuava transformações ocasionadas por sequências. Baseado nesse

raciocínio Argand sugeriu que deve existir uma raíz quadrada de “menos um” e que

a mesma deve estar associada a uma rotação simples de um quarto da volta

completa.68 Dessa forma, por definição dessa operação anterior, rotacionar duas

vezes é o mesmo que alcançar a metade da volta, ou seja, efetuar uma operação

multiplicativa por “menos um”.

                                                                                                                         68 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 32

  39  

A evolução do pensamento matemático ocorre justamente ao imaginarmos as

reflexões em torno do desenvolvimento dessa teoria ao longo dos anos. Ao

considerar a definição reversa (pressuposta na teoria dos números complexos) de

se obter a “raiz quadrada de menos um” rotacionando um quarto da volta completa

partindo-se de “menos um”. Com isto a imagem da “raiz quadrada de menos um”

não se encontrará sobre a mesma reta, portanto essa “raíz quadrada de menos um”

também não se posicionará sobre a reta, mas sim no plano. Mesmo com essas

reflexões, simples e objetivas, após a representação das mesmas por esses

cientistas, continuaram a inquietar mentes que objetivavam entender outras

consequências advindas da observação de suas necessidades e culturas diversas

sobre a natureza da teoria dos números.

Com essa trajetória, a teoria dos números avançou sistematicamente a

medida em que a cada passo estavam sendo ampliadas as reflexões anteriores.

Nessa direção, a apresentação de Argand teve papel decisivo nos desdobramentos

do conhecimento matemático do século XIX, porém, em momento algum, essas

contigenciaram o uso de números complexos.

Ressalva, nesse texto, para o desenvolvimento das equações de terceiro grau

que impuseram a necessidade de trabalhar com os números complexos, mas com

essa consideração de raciocínio Wessel, em 1798, incorporou essa representação

sob a qual os números imaginários estariam localizados em pontos sobre uma reta

perpendicular à que contém os reais, e uma vez mais, ele apresentou uma

contextualização inovadora com suas aplicações conjuntas, algebricamente, entre

  40  

reais e imaginários. A partir dessa análise e composição, os números complexos

foram interpretados como coordenadas de um ponto no plano.

As explorações realizadas por todos os que foram citados nesse trabalho,

além de todos aqueles que trabalharam com essas premissas e que não foram

contemplados nessa pesquisa, contribuíram efetivamente para os avanços da

ciência, e entendemos que o objetivo de extensão desse número em estudo era um

caminho relevante porque o que se buscava estava além do fato da descoberta por

si mesma, e sim por motivos outros que encontravam-se, principalmente, na busca

de fundamentos que a geometria até então não demonstrava com seus teoremas e

axiomas estabelecidos por Euclides e Apolônio. 69

Reiterando a evolução do conceito até o momento discutido nesse trabalho,

principalmente no que diz respeito ao estudo dos imaginários, Gauss apresentou em

uma carta70 a Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) que os motivos dessas

incursões não foram consideradas somente exploratórios com fim de aplicação

prática, mas para consolidar e garantir a independência científica de análise que

contemplava os números complexos.

Com a expressão Gaussiana, acima citada, considerava-se apresentar uma

teoria que com seus fundamentos poderiam mudar os rumos da geometria e

consolidar os números complexos como números reais. Abaixo nós temos um trecho

dessa carta escrita e datada de 18 de dezembro de 1811:

                                                                                                                         69 Krantz, Steven G.. An Episodic History of Mathematics, 71 70  Gauss,  Johann Carl Friedrich. Letter Gauss to Bessel, 90

  41  

‘’in the realm of magnitudes, the imaginary numbers a +

b√−1 = a + bi have to be considered as having the same

rights as the reals. The matter is not here the practical

usefulness, but analysis is for me an independent science,

which by rejecting these fictitious magnitudes would lose

enormously in beauty and roundness’’71

Embora todas as discussões realizadas por Gauss sobre os números

complexos e a sua representação geométrica, ele mesmo não aceitou a

representação geométrica dos números complexos como justificativa suficiente,

embora suas considerações publicadas tenham sido notoriamente identificada como

a mais curta, a mais precisa, e a mais influente entre outras apresentações

independentes (exceto a de Wessel).72

Gauss encontrou, ainda, aos dezenove anos de idade, uma maneira de

construir um heptadecágono (um polígono regular com 17 lados) usando apenas

uma régua e um compasso com uma notória e peculiar capacidade geométrica que

havia escapado dos gregos. Em seguida, conseguiu consolidar uma proposição do

que agora chamamos de teorema fundamental da algebra, ou seja, que todo

polinômio tem pelo uma raiz complexa. Em síntese Gauss apresentou quatro provas

diferentes.73

                                                                                                                         71[No reino de magnitudes, os números imaginários a + b√−1 = a + bi devem ser considerados como se tivessem as mesmas propriedades que os reais. O assunto não é aqui uma utilidade prática, mas a análise é para mim uma ciência independente, que, rejeitando essas magnitudes fictícias perderia muito em sua beleza e riqueza’’. Ibid. (tradução livre) 72  Krantz, Steven G.. An Episodic History of Mathematics, 47

73 Darlin, David. From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes, 32

  42  

Na continuidade de seus trabalhos, Gauss provou em 1801 o teorema

fundamental da aritmética (que todo número natural pode ser representado como o

produto de números primos de uma única maneira), além das propriedades dos

números inteiros apresentados em seu livro Disquisitiones Arithmeticae74, que

sistematizou o estudo da teoria dos números, e mostrou que cada número é a soma

de, no máximo, três números triangulares. Com o lançamento de seu livro, Gauss

começou a receber correspondências de Sophie Germain75 que, após a leitura do

Disquisitiones Arithmeticae em 1804, foi compelida ao estudo da teoria dos números

e decidiu contribuir com os trabalhos do "Príncipe da Matemática", como Johann

Carl Friedrich Gauss era chamado no círculo científico da época. Devido as sérias

contingências sócio-políticas da época, e também por conta do momento conturbado

da ocupação francesa de sua cidade natal de Braunschweig, Sophie Germain

trocava essas correspondências com Gauss sob o pseudônimo de "J. LeBlanc". Ela

enviou a Gauss vários resultados de seus estudos para análise e incursões

algébricas sobre a teoria dos números.

Após alguns anos de contribuições científicas profícuas, em 1807, Gauss

descobriu que seu correspondente "J. LeBlanc" não era um homem e, sim, uma

mulher. Porém, esse pseudo-homem, com afeto e respeito foi muito importante para

a segurança do próprio Gauss, pois Sophie solicitou a um comandante francês, que

era amigo de sua família, que o mesmo providenciasse uma proteção especial para

o Professor Gauss naqueles tempos difíceis, com a qual Gauss ficou muito grato

                                                                                                                         74 Goldstein, Schappacher. The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae Schwermer, 126 75  Marie-Sophie Germain (1776-1831) foi uma das figuras mais marcantes de toda a matemática moderna. Nascida em Paris

no ano da revolução norte-americana, ela foi uma adolescente na época da Revolução Francesa. É possível que um pouco desse espírito revolucionário entrou em seu sangue, pois ela era uma pensadora independente desde cedo. A casa de Sophie era um ponto de encontro para os aficionados liberais da reforma, de modo que ela foi exposta a discussões políticas e filosóficas em uma idade ainda precoce. Ibid, (tradução ivre).

  43  

quando soube da preocupação de "J. LeBlanc" (Sophie) por ele. Mas, ao descobrir

que seu correspondente matemático, talentoso, era uma mulher, Gauss ficou

encantado com essa surpresa e escreveu uma carta para Sophie Germain, que

revelou algo sobre esse homem:

But how can I describe my astonishment and admiration

on seeing my esteemed correspondent Monsieur LeBlanc

metamorphosed into this celebrated person, yielding a

copy so brilliant it is hard to believe? The taste for the

abstract sciences in gen- eral and, above all, for the

mysteries of numbers, is very rare: this is not surprising,

since the charms of this sublime science in all their beauty

reveal themselves only to those who have the courage to

fathom them. But when a woman, because of her sex, our

customs and prejudices, encounters in- finitely more

obstacles than men, in familiarizing herself with their

knotty problems, yet overcomes these fetters and

penetrates that which is most hidden, she doubtless has

the most noble courage, extraordinary talent, and superior

genius. Nothing could prove to me in a more flattering and

less equivocal way that the attractions of that science,

which have added so much joy to my life, are not

  44  

chimerical, than the favour with which you have honoured

it.76

No decorrer das atividades conjuntas mediadas por cartas Gauss concedeu a

Sophie Germain uma orientação notável para as suas pesquisas, porém ele já havia

aceitado trabalhar na Universidade de Göttingen em uma outra área do

conhecimento, mais especificamente em Astronomia, o que o fez distanciar-se dos

estudos sobre a teoria dos números. Ao aceitar a proposta da universidade, aplicou-

se nesse novo desafio e desenvolveu contribuições importantes para esta ciência.77

A pró-atividade que marcara a personalidade de Sophie demonstrava que

nunca lhe faltou iniciativa, tampouco ousadia. Depois que Sophie se deparou com

um outro artigo sobre a Teoria dos Números de Adrien-Marie Legendre ela iniciou,

também, uma troca de correspondências sobre algumas dúvidas que ocorreram na

leitura. Além disso, Sophie enviou a Legendre algumas notações sobre seus

trabalhos mais importantes e seminais na teoria dos números e, por esse motivo,

suas trocas científicas culminaram com contribuições sofisticadas e extensas.

                                                                                                                         76  Carta escrita por Gauss em 1807 para J. LeBlanc (Sophie Germain). Darlin (2004). Mas como eu posso descrever o meu espanto e admiração em ver meu estimado correspondente Monsieur LeBlanc metamorfoseado nessa célebre pessoa, produzindo uma cópia tão brilhante que é difícil de acreditar? O gosto pelas ciências abstratas em geral e, acima de tudo, para os mistérios dos números, é muito raro: isso não é surpreendente, uma vez que os encantos desta sublime ciência em toda a sua beleza se revelam apenas aos que têm coragem para entendê-los’’ Mas quando uma mulher, por causa de seu sexo, de nossos costumes e preconceitos, que encontra infinitamente mais obstáculos do que os homens para familiarizar-se com os seus complicados problemas, mas supera esses grilhões e penetra o que é mais escondido, ela, sem dúvida, tem a mais nobre coragem, extraordinário talento e genialidade superior. Nada poderia revelar-me de uma forma mais lisonjeira e menos ambígua que as atrações de que a ciência, que adicionou tanta alegria à minha vida, não é uma quimera, do que o favor com o qual você tem honrado isso. Ibid, (tradução livre) 77 Krantz Steven G.. An Episodic History of Mathematics, 85

  45  

Essas contribuições advindas deste relacionamento profissional possibilitou

Legendre incluir alguns desses resultados dos trabalhos de Sophie em um

suplemento para a segunda edição de seu artigo.78

Nessa mesma época no Reino Unido um longo ensaio intitulado "Mémoire sur

les quantités imaginaires" foi lido perante a Royal Society de Londres. Seu autor foi

Abbe Buee e apresentou em 20 de junho de 1805. Posteriormente, seu trabalho foi

publicado (sem tradução) em 1806 nos Transactions of the Royal Society. Está

registrado que esse trabalho não apresentou uma boa qualidade em seu tratamento

com os números complexos, porém sua publicação ocorreu mesmo assim, mas foi

criticado posteriormente. 79

O próprio Hamilton citou os trabalhos de Buee sobre seus métodos para o

espaço, porém nesse mesmo ano de 1806 um pequeno livro foi publicado também

com o título de “Essai sur une manière de répresenter les quantités Imaginaires dans

les constructions géométriques”, assinado por Jean Robert Argand. Com este

episódio, Argand finalmente deu a representação geométrica moderna da adição e

multiplicação de números complexos, e mostrou como esta representação poderia

ser aplicada para deduzir uma série de teoremas em trigonometria, geometria

elementar e álgebra. Importante ressaltar que naquele momento Argand não tentou

expandir o seu método para o espaço tridimensional. 80

                                                                                                                         78 Darlin, David. From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes, 73. 79 Boyer, Carl Benjamin. A history of mathematics, 91-146. 80 Ibid

  46  

O Sistema Vetorial tridimensional de Wessel foi exibido, mas muito deficiente

quando comparado com os sistemas modernos. Embora todas estas contribuições

tenham florescido a luz do final do século XVIII, as conjecturas que ilustram as

inovações desses atores os tornam preciosos na historia da ciencia. O tratamento

que Wessel conseguiu com os números complexos foi brilhante e igualmente

impressionante do ponto de vista algébrico. Ao chegarmos no final desse capítulo

fica evidente o desenvolvimento humano nas tessituras numéricas ao longo de

alguns séculos até os dias de hoje.

E, como foi visto na evolução desse trabalho até o presente momento, três

fatos surpreendentes ocorreram; e em três ocasiões distintas dois homens de forma

independente e simultaneamente descobriram uma representação geométrica dos

números complexos. Em 1806, Argand e Buee, ambos com seus tratamentos

distintos publicaram seus trabalhos sobre os numeros complexos. A mesma

coincidência ocorreu também com Mourey e Warren em 1828. E o que se coloca

mais surpreendentemente é que provavelmente Gauss descobriu uma

representação geométrica dos números complexos ao mesmo tempo que Wessel o

fez, mas o primeiro livro publicado sobre o tratamento da representação geométrica

dos números complexos apareceu em 1831 escrito por Gauss.81

                                                                                                                         81 Mazur, Barry. Imagining Numbers, 92.

  47  

CAPÍTULO 3

Tripletos: as tessituras numéricas de Sir Hamilton

“Mestre não é quem sempre Ensina, mas

quem de repente, Aprende”.

Guimarães Rosa

A investigação de Hamilton por um número que seria capaz de solucionar as

rotações no espaço demonstravam que por trás dessa simples expressão algébrica

dos números imaginários haviam reflexões que ainda necessitavam de uma

definição sustentável, pois não faltavam preocupações geométricas em suas

abordagens.

Em seus diálogos com Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Robert

Perceval Graves (1810–1893), Arthur Cayley (1821-1895), entre outros, Hamilton

realizava avanços consideráveis nos estudos da matemática e física, o que

possibilitou à matemática ampliar seus campos de atuação e aplicação com

ferramentas indispensáveis para a ciência contemporânea. 82

Interpretando-se números complexos como pontos em um plano, o segmento

que leva da origem dos eixos até esse ponto consegue representar uma informação

quanto a um comprimento, ao mesmo tempo em que especifica uma direção. A

partir daí, a utilização das regras para operação com tais números, associada a essa

                                                                                                                         82 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 41

  48  

forma de representação geométrica, tornou-se possível a operação algébrica com

direções. Utilizar a direção no cálculo com números era um outro problema, ainda

não resolvido completamente.

Vamos considerar o caso da multiplicação de números complexos e uma

interpretação que a mesma possa permitir a partir da representação geométrica para

esses números. Sabemos que a representação geométrica de números reais como

pontos numa reta orientada, associando-se a cada número um segmento com

origem no zero e extremidade no ponto que o representa, permite a descrição de

rotações de 180°. Portanto, multiplicar um número real por “menos um”, por

exemplo, representa uma inversão da posição do mesmo na reta real, o que

equivale a 180° com o segmento que o representa.

Se trabalharmos com números complexos é possível descrever uma rotação

qualquer no plano. E, também, associar aos números complexos quaisquer pontos

no plano, agregam-se diferentes números, diferentes direções; e a partir daí,

multiplicar dois números chega-se a um terceiro, tanto em módulo como em direção,

e é possível atribuir ao produto o significado de uma rotação no plano, composta

pelas rotações parciais dos dois primeiros e representada no mesmo plano.

Com o desenvolvimento dessa forma de representação para os números

complexos, operações com direção eram realizadas e interpretadas: multiplicar

poderia significar girar, entre outras reflexões.83 É nesse sentido de possibilidade de

operacionalização para entidades de natureza mista, envolvendo simultaneamente

                                                                                                                         83 ibid

  49  

número e direção, que reside talvez a maior contribuição dessa forma de

representação para a evolução do conceito de vetor, mesmo que restrita ainda a

duas dimensões.

Tomando como ponto de partida algumas preocupações de sua época,

Hamilton desenvolveu pesquisas que o conduziu à elaboração de uma teoria cujos

elementos centrais são expressões algébricas formadas por quatro elementos

numéricos, a saber: os Quaternions; sendo três termos imaginários e um real. Sua

obra contém uma descrição dessas pesquisas, dando conta de suas conquistas e de

suas hesitações na criação de novos conceitos.

Ao mesmo tempo em que Hamilton mergulhava na abstração matemática

para articular estruturas com novos elementos imaginados, procurou inseri-los em

teorias já estabelecidas. Ao longo desse percurso, apelou constantemente para a

realidade física na busca de sugestões para progredir.

A leitura dos trabalhos de Hamilton permitiu a compreensão mais nítida do

significado de suas investigações, além de mostrar a sua efetiva contribuição à

Álgebra e ao estudo dos números complexos. Propomo-nos aqui a acompanhar um

trecho das pesquisas de Hamilton, tendo como preocupação temática identificar

especificamente à concepção de um produto de dois vetores (o produto vetorial). 84

Visando a contextualização de algumas preocupações de Hamilton que

deram origem às suas pesquisas nesse campo, começamos por levantar alguns

                                                                                                                         84 ibid

  50  

aspectos relativos às origens históricas do conceito de vetor. Em função do objetivo

anterior, em vez de fazer um relato linear de tal desenvolvimento, preocupamo-nos

em levantar algumas das barreiras conceituais que marcaram sua história.

Retomando o conceito e as considerações apresentadas temos que ao

interpretarmos os números complexos como pontos num plano, o segmento que sai

da origem dos eixos até esse ponto consegue rmensurar a informação quanto a um

comprimento, ao mesmo tempo em que específica uma direção. A utilização das

regras para operação com tais números, associada a essa forma de representação

geométrica, torna possível a operação algébrica com direções. Até esse ponto,

incorporar a direção estabelecida no cálculo com números já seria um outro

problema, ainda sem solução, até o momento que Simon Stevin (1548-1620)85, no

século XVI, desenvolveu uma operação de caráter geométrico envolvendo reflexões

sobre direções, a mesma que hoje se conhece como regra do paralelogramo, e que

a luz das incursões de Stevin permitiu a obtenção da soma de segmentos

orientados.86

A representação geométrica de números reais como pontos numa reta

orientada, associando-se a cada número um segmento com origem no zero e

extremidade no ponto que o representa, permitiu a descrição de rotações de 180°.

Podemos, ainda, considerar esse raciocínio e abordarmos o caso da multiplicação

de números complexos com uma interpretação que ela permite a partir dessa

representação geométrica.

                                                                                                                         85 Devreese, Jozef T.; Berghe, Guido Vanden. ‘Magic is no magic’ the wonderful word of Simon Stevin.52. 86 ibid

  51  

Os deslocamentos na reta por incansáveis tentativas de multiplicar um

número real por “menos um” representou uma inversão da posição do mesmo na

reta real, o que estabeleceu uma equivalência de rotacionar noventa graus o

segmento que o representa. Logo, diversas derivações ocorreram desses ensaios

numéricos e algébricos. O entendimento destas derivações desenvolveu situações

de evolução que justificou ainda mais as pesquisas com este raciocínio, ou seja, por

exemplo, que multiplicar poderia também significar rotacionar. Estabelecida esta

forma de representação para os números complexos, as operações com direção

foram representadas geometricamente. Com essa definição, mesmo que restrito a

duas dimensões, o conceito de vetor foi definitivamente sendo aludido nessas

representações com entidades de natureza hibrida que envolvia simultaneamente

número e direção.

Conforme a breve explanação no capítulo anterior sobre a contribuição de

outros matemáticos na história dos números, a participação de Gauss foi definitiva

com sua publicação em 1831, pois caracterizou a aproximação e contato dos

matemáticos, de uma maneira geral, com a teoria dos imaginários, embora Hamilton

tenha tido notícias de seus trabalhos apenas em 1852 e de Hermann Günther

Grassmann (1809-1877) em 1844.

Como objeto primeiro desse trabalho, nos motivou o entendimento de como

Hamilton desenvolveu seus estudos sobre os números hipercomplexos,

especificamente as idéias que antecederam os quaternions. Sabe-se que suas

abordagens foram inúmeras até a reflexão que resultou na célebre sentença

algébrica, porém os caminhos percorridos até essa consolidação continuam em

  52  

evidência para muitos historiadores da ciência, embora tenhamos uma extensa

bibliografia sobre o tema e seus desdobramentos no século XIX.

Sem querer esgotar o assunto, tampouco objetivar a compreensão completa

de suas incursões nessa teoria dos números hipercomplexos, temos a informação

de que Hamilton ficou a par dos trabalhos de Gauss em 1845 e que o mesmo já

havia investido muito tempo com pensamentos semelhantes, principalmente no que

se referia à álgebra de tripletos.87

Uma ressalva aos parágrafos anteriores que contemplam as reminiscências

da álgebra de quaternions, com sua caracterização peculiar que ainda será

discutida, faz-se necessário registrar que Hamilton investigou uma forma de

representação no espaço e esgotou suas reflexões com os tripletos, o que

geralmente não é abordado em grande parte das publicações acerca desse tema

sobre quaternions. 88

Embora entendendo o importante momento da caminhada de Hamilton com

sua esposa por uma ponte em Dublin, Escocia, no qual ele reiterou as suas ideias

delineadas naquela tarde sobre o caminho da solução possível para uma

representação no espaço, nosso foco está na prerrogativa dessas conjecturas que o

levou durante anos a conceituar a álgebra de quaternions e um novo grupo de

números chamados de hipercomplexos.

                                                                                                                         87 Hamilton, On Quaternions, 311-312 88 ibid

  53  

Em decorrência dos anos investidos por Hamilton no estudo dos tripletos e da

representação geométrica dos números complexos admitindo-se uma condição de

tridimensionalidade, eram notórios os conhecimentos consolidados sobre esses

números, haja vista, suas cartas aos amigos onde descreveu as incompletudes a

respeito de sua álgebra.

Hamilton se utlizou da representação geométrica de números complexos por

vários anos e escreveu em seu artigo sobre a definição dos mesmos como pares de

números (a,b), os quais seriam seguidos de regras definidas para a adição e

multiplicação. Com essa assertiva, e os anos de investigação de Hamilton, o mesmo

fez uma indagação a si mesmo:

To find how number-triplets (a, b, c) are to be multiplied in

analogy to couples (a, b)? 89

Hamilton sempre manteve a esperança em descobrir uma regra multiplicativa

para os tripletos. Como exemplo dessa esperança há um fragmento do registro de

outubro de 1843 quando escreveu uma carta a seu filho Archibald [3, p. xv]90:

"... the desire to discover the law of multiplication of triplets

regained with me a certain strength and earnestness,..." 91

                                                                                                                         89 Como os números tripletos (a, b, c) devem ser multiplicados em analogia aos pares (a, b)? Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 32 (tradução livre) 90 ibid 91 "... "... O desejo de descobrir a lei da multiplicação dos tripletos recuperou em mim uma certa força e seriedade, ..." Ibid, (trad. livre)

  54  

Com essa carta ao filho, Hamilton caracterizou suas conjecturas sobre os

tripletos em analogia aos números complexos dados pela expressão (a + ib), porém

ele estabeleceu uma representação algébrica para os seus tripletos como (a + bi +

cj).

Hamilton representou seus vetores unitários (1, i, i) como perpendiculares ou

"segmentos dirigidos" de unidades de comprimento no espaço. Em seguida,

desenvolveu ainda mais suas representações atribuindo os seguintes produtos, tais

como (a + bi + ci) (x + yi + zj), mas novamente como vetores em um mesmo espaço,

definindo regras, principalmente a "lei dos módulos", a mais famosa entre todas. 92

A continuidade da abordagem anterior é contemplada com um outro

fragmento da carta de Hamilton, sobre sua primeira tentativa, enviada ao seu filho na

mesma data, a saber:

Every morning in the early part of the above-cited month

[October 1843], on my coming down to breakfast, your

brother William Edwin and yourself used to ask me, 'Well,

Papa, can you multiply triplets? 93

Após tantas idas e vindas em suas conjecturas com os tripletos, Hamilton

estava certo em desistir da proposição de que ij = O como pressuposto em vez ij = -

ji. Por exemplo, se ij = O, então o módulo do produto ij seria zero, o que, mais uma

                                                                                                                         92 Ibid 93 “Toda manhã... quando eu descia para o café da manhã, seu (na época) pequeno irmão William Edwin, e você também, costumavam me perguntar, “Bem, Papai, você consegue multiplicar tripletos?” Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 42 (trad.livre)

  55  

vez, estaria em contradição com a lei dos módulos. Ainda que suas sistemáticas

abordagens mais uma vez não lograram êxito, Hamilton continuou a perseguir as

condições diferenciadas e de alcance da lei dos módulos, a qual deveria sustentar

suas hipóteses.

Dessa forma, generalizou a forma canônica de sua expressão e multiplicou (a

+ ib + jc) por (x + ib + jc). Neste caso específico, os dois segmentos que eram para

ser multiplicados, também se situavam no mesmo plano, isto é, no plano gerado

pelos pontos:

0, 1, e ib + jc

O resultado dessa multiplicação foi: ax- b2 - c 2 + i(a + x )b + j(a + x)c + k(bc- bc)

Com essa sentença, Hamilton concluiu a partir deste cálculo que:

"... the coefficient of k still vanishes; and ax - b 2 - c 2, (a +

x )b, (a + x )c are easily found to be the correct

coordinates of the product-point in the sense that the

rotation from the unit !ine to the radius vector of a, b, c

being added in its own plane to the rotation from the same

unit-line to the radius vector of the other factor-point x, b,

c conducts to the radius vector of the lately mentioned

product-point; and that this latter radius vector is in length

the product of the two former. Confirmation of ij = - ji; but

no information yet of the value of k." 94

                                                                                                                         94  "... O coeficiente de k ainda desaparece, e ax - b2 - c2, (a + x) b, (a + x) c são facilmente identificados como as coordenadas do produto dos pontos, no sentido de que a rotação da reta unitária para o vetor de raio de a, b, c foi adicionado no seu próprio plano, com a mesma rotação da reta unitaria para o raio do vetor do outro fator do ponto x, b, c conduzindo ao vetor do raio do

  56  

Da geratriz dos tripletos advindos dos números complexos tradicionais, as

reflexões de Hamilton ficaram mais elucidativas com os últimos resultados,

principalmente a partir das últimas correspondências travadas com Graves. Após

estes resultados Hamilton debruçou-se sobre o caso geral, uma vez que sempre

revisitava suas anotações anteriores na esperança de encontrar uma guia para as

suas próximas indagações. "Tente corajosamente então o produto geral de dois

tripletos, ..." 95 E, então, ele calculou:

(a+ ib + jc)(x + iy + jz) = (ax- by- cz)+ i(ay + bx)+ j(az +ex)+ k(bz- cy)

Em uma tentativa exploratória ele considerou k = O, e perguntou a si mesmo:

a Lei do Módulo é safisfeita? Em outras palavras, a sentença respeita uma

identidade? Com isso considerou a sentença: (a2 + b2 + c2)(x 2 + y + z 2) = (ax- by-

cz)+ (ay + bx)2 + (az + cx)2.96

Em sua reflexão abaixo demonstrou a sua indução lógica de raciocinio

perseguida naquele momento:

"No, the first member exceeds the second by (bz- cy)2.

But this is just the square of the coefficient of k, in the

development of the product (a+ ib + ic)(x + iy + jz), if we

grant that ij = k, ji = - k, as before." 97

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           produto dos pontos, ultimo mencionado, e que este último vetor do raio é, em comprimento formado, o produto dos dois. Confirmação de ij = - ji; mas ainda sem informação do valor de k”. Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 24 (tradução livre) 95 Ibid 96 Ibid 97 "Não, o primeiro membro excede o segundo por (bz-cy)2. Mas este é apenas o quadrado do coeficiente de k no desenvolvimento do produto (a + ib + ic) (x + iy + jz), se admitirmos que ij = k, ji = - k, como antes." Ibid. (Tradução livre)

  57  

E a identidade sugerida pela expressão trabalhada por Hamilton foi norteada

por outros pensamentos matemáticos que o serviu para um novo rumo nas

pesquisas. Na carta a Graves,98 Hamilton enfatiza seu intuição:

"And here there dawned on me the notion that we must

admit, in some sense, a fourth dimension of space for the

purpose of calculating with triplets." 99

Com essa frase, Hamilton realizava sua reflexão mais importante para a

conjectura dos quaternions, pois ele havia discernido uma necessidade inerente nas

tessituras dos tripletos, e em sua própria inquietude algébrica com a busca da

representação tridimensional no espaço.

E, essa frase de Hamilton, representava a quarta dimensão que surgiu como

um "paradoxo" e logo ele apressou-se a transferir o paradoxo para a álgebra [3, p.

108]:

"...or transferring the paradox to algebra, [we] must admit a third

distinct imaginary symbol k, not to be confounded with either i

or j, but equal to the product of the first as multiplier, and the

second as multiplicand; and therefore [I] was led to introduce

quaternions such as: a + ib + jc + kd, or (a, b, c, d)." 100

                                                                                                                         98 ibid,108 99   "E aqui não me ocorreu a idéia de que temos de admitir, em certo modo, uma quarta dimensão do espaço para fins de cálculo dos tripletos." I Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 47 (Tradução livre) 100   "... Ou transferir o paradoxo para a álgebra, [devemos] admitir um terceiro simbolo imaginário distinto k, para não ser confundido com qualquer i ou j, mas igual ao produto do primeiro como multiplicador, e o segundo como multiplicando e, portanto, [I] foi levado a introduzir cuaternions, tais como: a + ib + jc + kd, ou (a, b, c, d) ". ibid, (tradução livre)

  58  

Importante ressalvar que Hamilton não foi o primeiro a pensar sobre uma

geometria multidimensional, pois de maneira elegante ele fez uma citação no rodapé

de sua carta para Graves sobre essas contribuições. Entretanto, na nota do Livro de

16 outubro de 1843 por Hamilton, não há menção do artigo trabalhado por Cayley.

Logo, parece que ele chegou ao conceito de um espaço quadrimensional de forma

isolada de Cayley. E, mesmo depois que Hamilton tinha introduzido ij =-ji = k como

um quarto vetor de base independente, ainda continuou os cálculos de maneira

rigorosa, como segue:

"I saw that we had probably ik = -j, because ik = iij, and i 2

= -1; and that in like manner we might expect to find kj = ijj

= - i". 101

Nessa frase, citada no texto acima, percebe-se que a utilização da palavra

"possibilidade" explicita o quanto Hamilton continuava cauteloso mesmo após

algumas assertivas de sucesso. São condições, como as anteriores, que ocorrem

geralmente nesse processo de busca e validação teóricas para alguma conjectura

ainda não consolidada. Importante aqui é entender que o próprio Hamilton não se

sentia ainda seguro de suas intuições, tampouco das aplicações, porém seguiu em

frente, mesmo na dúvida sobre aplicar a lei associativa, como sugere a sentença: i

(ij) = (ii) j. 102

Com a mesma preocupação anterior considerou determinar ki: ki = - (ji) i = - j

(ii) = (- j) (- i) = j, utilizando a lei associativa. Nessa direção, Hamilton estudou as

                                                                                                                         101  Eu vi que teriamos uma possibilidade de ki = -j, jporque ik = iij, e i 2 = -1, e que da mesma maneira poderíamos esperar encontrar kj = ijj = - i". Ibid (tradução livre) 102 ibid

  59  

variações e as identidades exaustivamente chegando a uma conclusão por analogia.

Com essa determinação, escreveu:

"... from which I thought it likely that ki = j, jk = i, because

it seemed likely that if ji = - ij, we should have also kj =

- jk, ik = - ki." 103

Mesmo com a determinação de validar essa identidade, Hamilton, novamente

procedeu de maneira muito cautelosa, como relata o texto que se segue:

"And since the order of multiplication of these

imaginaries is not indiflerent, we cannot infer that k', or

ijij, is = + 1, because i 2 x j' = (- 1)(- 1) = + 1. It is more

likely that k' = ijij = - iijj = -1." 104

Após percorrer suas tessituras numéricas com os tripletos, Hamilton

apresentou sua última hipótese dada por “e = -1”. Logo, ele afirmou que também era

necessário considerá-la para garantir a "lei dos módulos". Com isso concluiu:

My hypotheses are now finalized: i2 = j2 = k2 = -1, ij = - ji =

k jk = - kj = I, ki = - ik = j." 105

                                                                                                                         103 “… a partir do qual eu pensei que seria possível ki = j, jk = i, pois parecia provável que se ji = - ij, deveríamos ter também kj = - jk, ik = -.ki " Ibid (tradução livre) 104 "E uma vez que a ordem de multiplicação desses imaginários não é indiflerente, não podemos inferir que k ', ou ijij, é = + 1, porque i2 xj' = (- 1) (- 1). = + 1 É mais provável que k '= ijij = -. iijj = -1" Ibid (tradução livre) 105 "Minhas hipóteses encontram-se agora finalizadas: i2 = j2 = k2 = -1, ij = - ji = k jk = - kj = I, ki = - ik = j." Ibid, 46. (tradução livre)

  60  

Hamilton havia verificado se a lei dos módulos foi realmente satisfeita, pois o

mesmo considerou essencial verificar se essas equações estavam consistentes com

a referida lei, obrigatoriamente, porque sem essa consistência verificada ele teria

considerado a análise exploratória como um fracasso.

Mesmo com esse raciocinio delineado, Hamilton ainda esclareceu que suas

preocupações se deslocaram apenas com algum sucesso, mas algumas indagações

permaneciam ainda a desafiar o seu raciocinio e que deveria estar atento com as

criticas que chegariam após uma discussão mais contundente dos pesquisadores

que se aproximassem tecnicamente dos domínios escritos no trabalho. 106

Com diversas preocupações Hamilton ainda reiterou que as mesmas

indagações apresentavam fundamentos tais como, por exemplo: uma conclusão de

que não foi possível definir ij igual a zero, desde então, e que a lei dos módulos não

sustentaria a identidade.

Um outro fato ocorreu ao atravessar o canal, com uma visão espontânea que

sucedeu ao caminhar, que o fez acreditar que suas incursões com os tripletos

alcançaram um fechamento razoável, mas desta vez na aplicação com os

quadripletos, ou seja, que ij poderiam ser tomados para ser uma nova unidade

imaginária.

Hamilton, mais uma vez, perseguiu sua intuição matemática em seus

apontamentos ao multiplicar dois quadripletos quaisquer de acordo com as regras

                                                                                                                         106 ibid

  61  

formuladas por ele: (a b c d) (a' b' c' d') = (a" b’’ c" d"). Calculou a expressão (a", b",

c", d") e definiu a soma dos quadrados como:

(a")2 + (b")2 + (c")2 + (d")2

Logo, Hamilton descobriu que esta soma de quadrados era igual ao produto:

(a2 + b2 + c2 + d2) (a’2 + b'2 + c'2 + d'2). Essas e outras abordagens foram incansáveis

nos trabalhos de Hamilton, mas ao ler alguns manuscritos e uma das cartas enviada

a seu filho Archibalbi podemos entender sua apreensão e engajamento soberbo com

as facilidades matemáticas que carregava como experiência nas tentativas de

encontrar uma representação para os números hipercomplexos. 107

Contudo, nessa mesma carta a seu filho Archibalbi, percebemos que

Hamilton intensificou ainda mais suas reflexões após a intuição que teve ao

atravessar a Ponte Brougham com sua esposa. Naquele momento percebeu que

seriam necessários quatro números para descrever uma rotação seguida de uma

mudança de escala, dessa forma escreve:

"But on the 16th day of the same month [October 1843]-

which happened to be a Monday and a Council day of the

Royal Irish Academy-I was walking in to attend and

preside, and your mother was walking with me, along the

Royal Canal, to which she had perhaps been driven; …

An electric circuit seemed to close; anda spark flashed

forth, the herald (as I foresaw immediately) of many long                                                                                                                          107 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 32

  62  

years to come of definitely directed thought and work, by

myself if spared, and at ali events on the part of others, íf I

should ever be allowed to live long enough distinctly to

communicate the discovery.108

Com essa carta ficou evidente as contribuições que consolidaram a teoria dos

quaternions, e que uma interpretação para as suas incursões naquele momento

percorreram um raciocínio muito próximo a um número correspondente à mudança

de escala, outro número para indicar o ângulo de rotação e os dois restantes para

indicar o plano de rotação, encontrando assim a solução para o problema.109 E,

continua:

… I pulled out on the spot a pocket-book, which still exists,

and made an entry there and then. Nor could I resist the

impulse - unphilosophical as it may have been - to cut with

a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it,

the fundamental formula with the symbols i,j, k; i'= i'= k 2 =

ijk = -1, which contains the solution of the Problem, but of

course as an inscription, has long since mouldered

away.... 110

                                                                                                                         108 “Mas no dia 16 do mesmo mês (outubro de l843) - que era uma segunda-feira e dia de reunião do Conselho da Real Sociedade da Irlanda - eu ia andando para participar e presidir, e tua mãe andava comigo, ao longo do Royal Canal, embora ela falasse comigo ocasionalmente, uma corrente subjacente de pensamento estava acontecendo na minha mente, que finalmente teve um resultado, cuja importância senti imediatamente. Pareceu como se um circuito elétrico tivesse se fechado; e saltou uma faísca, o arauto de muitos anos vindouros de pensamento e trabalho dirigidos, por mim, se poupado, e de qualquer forma por parte de outros, se eu vivesse o suficiente para comunicar minha descoberta.“ Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 42 (tradução livre) 109 Silva, C. C. Da força ao tensor, 67 110 … “eu peguei uma caderneta de anotações em meu bolso, que ainda existe em Dublin, e fiz um registro naquela hora. Não pude resistir ao impulso – mesmo não filosófico quanto possa ser - de gravar com um canivete numa pedra da ponte de Brougham, quando a cruzamos, a fórmula fundamental dos símbolos i,j,k i2 - j2 = k2 = ijk = −1 que contém a solução do Problema.” Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 42 (tradução livre)

  63  

Continuando suas expectativas, escreveu ainda o momento e suas

características advindas da reflexão. Dessa forma, finalizou o documento como

segue:

"The entry in the pocket book is reproduced on the title

page of [3]: it contains the formulas i2 = r = e = -1 111

De fato, esta carta ao seu filho Archibald relatou suas considerações sobre os

quadripletos, e suas profundas reflexões sobre tantas incursões e releituras

algébricas de outros pesquisadores. Em anexo desse trabalho encontra-se a carta

que anunciou sua vitória, na íntegra, ao seu filho. Um expressivo acontecimento,

porém Hamilton não foi o único a descrever um sistema que não respeitasse a lei

comutativa. Gibbs (1839-1903), explora um artigo de Möbius de 1827 chamado

Barycentrischer Calculus, e afirma que “vimos pela primeira vez, pelo que é de meu

conhecimento, [...] que a mudança de posição de duas letras em expressões como

AB, ABC, ABCD é equivalente a prefixar o sinal negativo”.112

Essas premissas antecederam os quaternions, mas muitas indagações ainda

apontam para um caminho inesgotável de pesquisas com foco nesta época marcada

por grandes contribuições que foram, de maneira definitiva, um vetor no

desenvolvimento da tecnologia no século XX. Para Hamilton a teoria dos tripletos

não demonstrou ser uma extensão natural da teoria de pares numéricos. E, sim,

percebeu que para definir uma multiplicação de tripletos deveria criar alternativas e

artifícios que até o momento a comunidade científica não havia investigado para

                                                                                                                         111 "A introdução do livro de bolso é reproduzida na página de título de [3]: e contém as fórmulas i2 = r = e = -1”. Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 42 (tradução livre) 112 GIBBS, Josiah Willard. The scientific papers of J. Willard Gibbs, 36.

  64  

essa aplicação proposta. Ou seja, na questão de validar o processo não deveria

conter a comutação para a multiplicação em sua lei de formação para esses

números e, sim, vislumbrar uma nova possibilidade de entendimento que

descrevesse uma conjectura no espaço que não fossem mais os estudados tripletos,

mas uma nova categoria de quadripletos ou chamados quaternions.113

Com o objetivo de perseguir essa nova condução algébrica Hamilton

pressupôs a adição de quadripletos preservando as suas propriedades com os pares

numéricos e uma extensão para a multiplicação que contemplasse a lei dos

módulos, em termos de manter sua conjectura geométrica para o espaço. Ao

ampliar o raciocínio da adição e conseguindo a primeira condição de validar a

contingência da lei dos módulos, com exceção da propriedade comutativa, Hamilton

buscava preservar também as propriedades da multiplicação com pares numéricos.

Hamilton, ainda, trabalhou conceitos em suas tentativas de alcançar seu

objetivo, o que o fez explorar caminhos por tentativas e erros nas atribuições

algébricas com significados às partes real e imaginária de um produto de linhas.

Entretanto, com as experiências colhidas face as investidas aos tripletos, suas

derivações otimizaram resultados e a condição de verificação das suas conjecturas

demonstraram uma redução ao absurdo, ou seja, os significados das partes real e

imaginária de um produto de linhas não contemplaram todas as condições

necessárias e suficientes para a multiplicação de duas linhas no espaço, o que só

resultaria em uma linha no espaço quando as linhas fatores forem perpendiculares

                                                                                                                         113 Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 45

  65  

e, além disso, para essa demonstração entende-se que as três linhas são

perpendiculares duas a duas, ou seja, não são coplanares.

Nessa direção entendemos que o estudo dos tripletos propiciou uma condição

exploratória segura, ao contrário do que parece, e que suas incompletudes para o

objetivo pretendido alcançaram outras reflexões que serviram de escopo para outros

ensaios e amadurecimento científico, assim como as reflexões ulteriores aos

mesmos, pois dessa matriz de conhecimento se fez todas as inquietações e

aplicações nos estudos de vetores e das discussões do espaço tempo no final do

século XIX, além de consolidar ampliações dos estudos em eletromagnetismo. 114

Embora Hamilton, após mais de uma década, tenha alcançado êxito em suas

reflexões para as linhas no espaço, ainda não havia garantia de sua extensão para

os quaternions. Seus trabalhos com os tripletos iniciados em 1830, foram baseados

em resultados de Warren em 1828 conforme exposto nesse trabalho. Hamilton

realizou o seu objetivo de extensão numérica definindo geometricamente o produto

desses tripletos (x, y, z) via multiplicação de segmentos, mas essa contribuição não

validava a propriedade distributiva para segmentos do plano, portanto a mesma teve

de ser suprimida de suas reflexões. 115

                                                                                                                         114 Ibid 115 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 23

  66  

CAPÍTULO 4

Elos Sincréticos – O devir dos imaginários sem fim

O mecanismo do pensamento sincrético representa

uma transição entre a lógica dos sonhos e a lógica

do pensamento.116

Jean Piaget

O alvorecer da Álgebra, nas primeiras duas décadas do século XX, foi

proporcionado pela sistematização do estudo de vetores que ocorreu no final do

século XIX com as representações geométricas dos números complexos,

elaboradas, fundamentalmente, por meio da contribuição de Hamilton (1805-1865)

em seu artigo "On Quaternions” para a Real Academia Irlandesa em 1844, que

também introduziu o termo tensor em 1846.117

Ao iniciarmos esse capítulo pretendemos evidenciar um recorte cognitivo que

possa alcançar as aplicações e implicações contínuas que se originaram com o

advento dos quadripletos de Hamilton (1843) e que permanecerão como fundamento

de diversas outras investigações que possam considerar rotações no espaço

tridimensional.118 A forma canônica elaborada a partir dos tripletos contemplou um

percurso único na história da ciência e teve como ator um homem com uma infância

normal, porém atípica, e uma juventude inclinada a questões da ciência com

                                                                                                                         116 Piaget, J. La jugement at la raisonnement chez l'enfant, 323 117 Pendergast, The Life of Myron Evans, 186 118 Hamilton, Lectures on Quaternions, 68

  67  

diversas inquietudes que resultaram em uma representação que entraria para a

história da matemática.119

O pensamento matemático consiste em uma série de processos iterativos que

expressam abstração, raciocínio, indução, conjectura, análise, generalização,

formalização, classificação, representação, validação, visualização, interpretação e

revisão. Isto pressupõe um repositório de conhecimento e, nesta direção, Hamilton

esgotou suas incursões nas conjecturas dos tripletos e estava finalmente decidido a

desistir da procura por um sistema "numérico" tridimensional. Com isto, subitamente,

suas reflexões fizeram sentido e ocorreu que ao caminhar por Dublin, a conjectura

de um sistema de quatro dimensões veio a sua mente e que chamou de quaternions

como é possível constatar ao ler seu próprio testemunho:

“Em 16 de outubro de 1843 o que parecia ser uma

segunda-feira e um dia de Conselho da Academia Real

Irlandesa, eu estava caminhando para participar e presidir

a sessão quando uma sub-corrente de pensamento

estava na minha mente, que finalmente deu um resultado,

o qual não é muito dizer que logo senti a importância. Não

pude resistir ao impulso ... escrever com uma faca sobre

uma pedra da Brougham, quando passamos por ela, a

fórmula fundamental i² = j² = k² = ijk = -1”. 120

Importante a ressalva sobre esse texto escrito por Hamilton, porém sob a luz

da reflexão de Poincarè “Inventar é discernir, é escolher”, e é a intuição de ordem

matemática que permite adivinhar as harmonias e as relações ocultas.121

                                                                                                                         119 Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk, 33 120 ibid, 39 121 Poincaré, L'invention mathématique, 47-48

  68  

Hamilton chamou esse novo sistema de Quaternions porque cada quadripleto

tinha quatro componentes, uma nova estrutura matemática. Ele descreveu sua

descoberta em uma carta no dia 15 de outubro de 1858 após a caminhada pela

ponte:

‘[I] felt the galvanic circuit of thought close; and the sparks

which fell from it were the fundamental equations between

i, j, k; exactly such as I have used them ever since. I

pulled out on the spot a pocket-book, which still exists,

and made an entry, on which, at the very moment, I felt

that it might be worth my while to expend the labour of at

least ten (or it might be fifteen) years to come’122.123

Figura 2. Anotações de Hamilton sobre o desenvolvimento dos quaternions

                                                                                                                         122 "[I] senti um curto circuito no pensamento; e as faíscas que caíram com ele foram as equações fundamentais entre i, j, k; exatamente como eu tinha usado desde então. Eu retirei do bolso no local uma caderno de anotação, que ainda existe, e fiz uma entrada, em que, no momento, eu senti que talvez valesse a pena investir o meu tempo para um trabalho de pelo menos dez (ou poderia ser quinze) anos" 123 Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 40

  69  

A inscrição não foi tão longa quanto a que Hamilton escreveu originalmente

na rocha, porém este registro o tempo apagou. Em seu lugar, foi colocada uma

placa que relata este episódio histórico. Atualmente, o governo local promove festas

comemorativas anuais no dia do ocorrido no século XIX com visitações abertas

vindas de todas as nações para refletirem sobre os trabalhos desse ilustre

irlandês.124

Figura 3. Placa comemorativa com inscrição da relação matemática dos quaternions

Os quaternions de Hamilton foram desenvolvidos mediante muito trabalho e

gerou diversas composições, tal como: q = w + ix + jy + kz, onde w, x, y, e z eram

números reais. Hamilton rapidamente percebeu que sua relação de quaternions

consistia de duas partes distintas: o primeiro termo chamou de escalar e "x, y, z”

para suas componentes retangulares, ou projeções em três eixos retangulares. Ele

[referindo-se a si próprio] foi induzido a chamar a expressão trinomial propriamente

dita, assim como a reta a qual ela representa, de um “vetor". Hamilton usou sua

fórmula fundamental expressa por i2 = j2 = k2 = -ijk = -1, para multiplicar quatérnios, e

imediatamente descobriu que o produto, q1q2 = - q2q1, não era comutativo.125

                                                                                                                         124 ibid, 41 125 Hamilton, Lecture on Quaternion, 44

  70  

Hamilton se tornou cavaleiro real em 1835. Assim, na época em que

desenvolveu os quatérnios ele já era considerado um cientista reconhecido e que

havia realizado um trabalho fundamental em óptica e física teórica. Por isso, foi

imediatamente acolhido na sociedade científica da época. Com essa determinação

que definiu os quaternions, ele devotou os 22 anos restantes de sua vida ao

desenvolvimento contínuo e promoção deste sistema numérico. Escreveu dois

livros completos sobre o assunto, Lectures on Quaternions (1853) e Elements of

Quaternions (1866), detalhando não apenas a álgebra dos quatérnios mas também

como poderiam ser usados em geometria.126 Ele teve um discípulo, Peter Guthrie

Tait (1831--1901), que, na década de 1850, começou a aplicar os quaternions a

problemas em eletricidade e magnetismo e a outros problemas da física. Na

segunda metade do século XIX, a defesa de Tait sobre os quatérnios provocou

reações calorosas, ambas positivas e negativas na comunidade científica. Por outro

lado, a compreensão do momento em que Hamilton registrou a conclusão de seu

processo investigativo em uma rocha, nos remete à digressão de sua vida que

foram inclinados à elaboração da álgebra de quaternions127, advinda dos exaustivos

estudos sobre os tripletos. A teoria dos quaternions, conforme concebida, ainda

perdura na dinâmica presente em diversas aplicações computacionais

contemporâneas, desde simples representações em ambientes digitais de imersão,

entretenimento, simulação por computador, estudos aeroespaciais, robótica

médica, entre outras de alta complexidade.128

Entendemos que o inicio do século XIX apresentou muitas inquietações

                                                                                                                         126 Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 42 127 Hamilton, Lecture on Quaternion, 44 128 Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk 43

  71  

científicas e uma significativa quantidade de trabalhos matemáticos, e que no início

do século XX ainda se explorava as suas extensões e consolidavam algumas destas

conjecturas pensadas e atribuidas a diversas soluções intangíveis na época. Sabe-

se, portanto, que do ponto de vista físico o sistema de números complexos é

extremamente conveniente para o estudo dos vetores e das rotações do plano.

Desta forma, com pressupostos similares, Hamilton vislumbrou a possibilidade de

um sistema de números, análogo, para o estudo dos vetores e das rotações do

espaço tridimensional.129

Hamilton considerou em seu exercício exploratório, investigativo,

aproximações sucessivas com quádruplos ordenados (a, b, c, d) de números reais,

tendo imersos neles os números reais tanto quanto os números complexos.

Chamando esses elementos de quaternions (reais), Hamilton definiu a adição e a

multiplicação dos mesmos a partir da investigação sobre os tripletos por mais de

dez anos, o que o permitiu verificar suas propriedades associativa e comutativa da

adição inerentes ao processo. Considerava também a multiplicação associativa e

distributiva em relação à adição, porém ainda não estava consolidada a lei

comutativa para a multiplicação dos quaternions, o que não ocorreria jamais em

suas validações. Com isto, historiograficamente, foi evidenciado o primeiro exemplo

de uma álgebra não-comutativa.130

Por trás dessas dificuldades do pensamento matemático de Hamilton estava

a concepção substancialista de número, ou seja, a idéia de número ligada à de

grandezas mensuráveis. Uma das evidências para estas dificuldades talvez fosse o                                                                                                                          129 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 23 130 Cairbre, Twenty Years of the Hamilton Walk 43

  72  

fato de que a palavra “nada” aparecesse em lugar de “zero” em argumentos

associados ao tema, pois em síntese a palavra “número” em documentos gregos

dizia respeito ao que hoje chamados de “números naturais”, os quais, de fato,

permitem uma ligação intuitiva e imediata com a idéia de medida. Os números

podiam ser representados como segmentos de reta, seus quadrados como áreas e

seus cubos como volumes. Baseado neste raciocínio, os números negativos não

representavam senso algum, tampouco suas raízes. Se a raiz quadrada de um

número representava o comprimento do lado de um quadrado cuja área é igual ao

número, qual seria o significado da raiz quadrada de um número negativo? 131

Considerando as tessituras hamiltonianas, podemos refletir sobre o caso da

multiplicação de números complexos e uma possível interpretação que esta permite

a partir da representação geométrica. A representação geométrica de números

reais como pontos numa reta orientada pode ser aventada por uma associação de

cada número a um segmento com origem no “zero” e extremidade no ponto que o

representa, pois permite a descrição de rotações de 180°. Logo, multiplicar um

número real por -1, exemplificando, representa uma inversão da posição do mesmo

número na reta numerada, o que equivale a girar 180o o segmento representado.

Ampliando essa conjectura, podemos identificar que Hamilton descreveu vários

modelos de investigação em suas inferências numéricas, porém com a

compreensão dos complexos foi possível descrever uma rotação qualquer no

plano.132

                                                                                                                         131 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 36 132 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 26

  73  

Logo, perseguindo este raciocínio, o matemático entendeu que multiplicar um

número real por “raíz quadrada de menos um”, permitiria ao segmento original

alcançar uma rotação de 90º. A partir destas reflexões multiplicar dois números nos

levaria a um terceiro número, definido tanto em módulo como em direção, o que

nos permitiria atribuir ao produto desses números o significado de uma rotação no

plano, consolidada pelas rotações parciais dos dois primeiros números e

representada no mesmo plano.133

Com os desdobramentos desta forma de representação com os números

complexos, as operações com direção apresentavam solução e interpretação.

Assim, multiplicar também poderia significar girar. Hamilton reitera que, "inventar

uma álgebra que fizesse pelas rotações em espaço de três dimensões o que os

números complexos, ou seus pares, fazem pelas rotações em espaço de duas

dimensões ..." era agora um problema a ser resolvido; tal meta tornou-se, de acordo

com Bell (1937) 134, o objetivo principal de toda a investigação de Hamilton.

O objeto desse trabalho é compreender o pensamento matemático de

Hamilton e seu percurso de desenvolvimento com os trabalhos que foram

desenvolvidos em uma época na qual uma nova caracterização do fazer

Matemática estava em curso, com todos os seus objetos de composição. É possível

perceber que todas estas contribuições no início do século XIX estavam avançando

na direção de uma ruptura com a vinculação do número à grandeza, o que

indubitavelmente refletiria no desenvolvimento da Álgebra, pois a mesma alteraria

                                                                                                                         133 Ibid 134 Bell, Men of mathematics, 68

  74  

seu escopo e as propriedades seriam as leis de combinação entre os seus

elementos.135

Ao mesmo tempo em que Hamilton mergulhava em uma abstração

matemática para articular estruturas com os novos elementos imaginados,

procurava associá-los e inseri-los em teorias já estabelecidas. Ao longo desse

percurso, evidenciava suas buscas no estudo da realidade física e no intento de

novas sugestões para progredir. Aqui se estabelece um dos trabalhos que Hamilton

desenvolveu e que permitiu a compreensão mais nítida do significado de suas

investigações, além de mostrar sua efetiva contribuição à Álgebra e ao estudo dos

números complexos. Vamos acompanhar um recorte de suas pesquisas, tendo

como preocupação temática identificar alguns passos que o levaram

especificamente à concepção de um produto de dois vetores (o produto vetorial).

Visando essa contextualização começamos por levantar alguns aspectos relativos

às origens históricas do conceito de vetor. Em função desta proposta, em vez de

fazer um relato linear de tal desenvolvimento, preocupamo-nos em levantar

algumas das barreiras conceituais que marcaram sua história e evolução. Hoje

sabemos que a dupla exigência de Hamilton só pode ser realizada em espaços de

dimensões 1, 2, 4 e 8. Isto foi provado por Hurwitz.136 Portanto, a tentativa de

Hamilton em três dimensões falhou. Sua idéia era continuar em quatro dimensões,

porque suas tentativas em três dimensões não conseguiram atingir o objetivo.137

                                                                                                                         135 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 32 136 Van der Waerden, B. L. Hamilton’s Discovery of Quaternions, 229 137 Ibid, 228

  75  

As reflexões com os tripletos suscitaram indagações que culminaram com o

desenvolvimento dos quadripletos ou quaternions em 1843. Este

desenvolvimento está intimamente relacionado com os estudos de Hamilton

sobre inúmeras proposições ao longo de, aproximadamente, treze anos até a sua

reflexão final sobre os tripletos e reflexão inicial sobre os quaternions, de modo a

contextualizar uma nova forma de representar o plano dos números complexos. A

digressão realizada em suas incursões reflete a questão sobre o que fazer com o

produto ij para que o produto entre dois tripletos continue sendo um tripleto. Logo,

Hamilton tentou várias soluções para este problema assumindo sempre que i2 = j2

= –1: e tentou considerar (ij)2 = 1 o que resultaria em ij = 1 ou ij = –1; mas, não

satisfeito, testou também ij = 0 e depois ij = –ji = k, onde k seria uma constante a

ser determinada.138

Para uma melhor compreensão do raciocínio de Hamilton tem-se que ele

entendia que um número complexo x + yi com x, y reais poderia ser representado por

um ponto P de coordenadas (x,y) no plano. Neste caso, o número imaginário

representaria uma direção perpendicular à reta dos números reais. Estabeleceu-

se, dessa forma, uma outra questão: seria possível desenvolver um formalismo

mais geral para o espaço tridimensional?

A situação análoga em três dimensões poderia ser a correspondência entre

os vetores no espaço e os “tripletos”, ou seja, certos números contendo uma parte

real e duas partes imaginárias, como vimos em capítulos anteriores. Essa analogia

mostrou-se inconsistente, conforme descrição abaixo, mas Hamilton insistiu em                                                                                                                          138 Hamilton, Lecture on Quaternion, 44

  76  

suas investigações. Em uma carta escrita em 1843 para John T. Graves, Hamilton

demonstrou suas reflexões e esgotamento sobre o estudo dos tripletos, que o

levaria a definição dos quaternions, porém para verificar a consistência dessa

generalização, Hamilton testou a validade da lei dos módulos que afirma que: o

módulo de um produto deve ser igual ao produto dos módulos. Sejam dois

tripletos t1 = a + ib + jc e t2 = x + iy + jz . Vamos analisar o produto t1.t2.

Multiplicando cada termo do primeiro por cada termo do segundo, este produto

resulta em t1t2 = – ax – by – cz + i(ay + bx) + j(az + cx) + ij(bz +cy).139

Vamos analisar a primeira solução, considerando o caso mais simples do

quadrado de um tripleto. Seja t = a + ib + jc, então t.t = a² – b² – c² + 2iab + 2jac +

2ijbc. Se considerarmos o módulo de t, devemos ter xt ê.xt ê= xt.t ê. Logo, além

dessa proposição, sabemos que de acordo com a geometria tradicional, xt ê.xt

ê= (a2 + b2 + c2). Se fizermos ij = 1 ou ij = –1 teremos um tripleto, para o produto t.t

= a2 – b2 – c2 ± 2bc + 2iab + 2jac e obtemos êt.t ê2 = (a2 – b2 – c2 + 2bc)2 +

(2ab)2 + (2ac)2 ou (a2 – b2 – c2 – 2bc)2 + (2ab)2 + (2ac)2. Logo, em qualquer um

dos casos a lei dos módulos não permaneceu válida, ou seja, xt ê.xt ê¹xt.t ê. Como

reflexão, podemos pensar que se quisermos que tal propriedade continue válida,

devemos rejeitar ij = 1 e ij = –1. Vale ressaltar que se ignorarmos o termo ij a regra do

módulo se satisfaz: (a2- b2- c2)2+ (2ab)2+ (2ac)2 = (a 2 + b2 + c2 )2, de modo que

uma outra alternativa possível seria fazer ij = 0, a qual Hamilton considerou artificial

e desconfortável.140 Hamilton percebeu que o termo 2ijbc poderia desaparecer de

outra forma. Percebe-se que este termo surgiu na multiplicação dos dois tripletos,                                                                                                                          139 Van der Waerden, B. L. Hamilton’s Discovery of Quaternions, 231 140 ibid

  77  

sob a forma de ibjc + jcib. Supondo que a ordem dos fatores não alterasse o

produto, teríamos 2ijbc. Portanto, os dois termos poderiam se anular se ij fosse

igual a –ji. Assim, Hamilton considerou ij = –ji, e fez ij = k e ji = –k, deixando a

possibilidade de decidir depois se k = 0 ou não. Com esta escolha, estava

resolvido o problema do produto de um tripleto por si mesmo. Em seguida,

considerou o produto de dois tripletos contidos no mesmo plano, como segue:

t1 = (a + bi + cj) e t2 = (x + bi + cj) => t .t = (ax - b2 - c2 ) + i(a + x)b + j(a + x)c

+ ijbc + jibc, e fazendo ij = k e ji = -k, temos t .t = (ax - b2 - c2) + i(a + x)b + j(a

+ x)c + k(bc - cb) o que elimina o último termo com o coeficiente k e o produto

resultará em um tripleto. Testou, ainda, se a lei dos módulos continuaria válida caso

fizesse k = 0. Para isso considerou o produto de dois tripletos quaisquer: sejam t1 = a

+ bi + cj e t2 = x + yi + zj, t1t2 = (ax – by – cz) + i(ay + bx) + j(az + cx) + k(bz – cy), se

fizermos ij = – ji = k = 0 temos que: (½ t1t2½)² = (ax – by – cz)² + (ay + bx)² + (az +

cx)² = a²x² + a²y² + a²z² + b²x² +b²y²+ c²x² + c²z² + 2bycz e (½t1½.½ t2½)² = (a² + b²

+ c²).(x² + y² + z²) = a²x² + a²y² + a²z² + b²x² + b²y²+ b²z² + c²x² + c²y² + c²z², ou seja,

(½t1½.½ t2½)² = (½t1t2½)² + (bz – cy)². Portanto, a lei dos módulos não era válida,

a menos que o último termo desaparecesse.

O termo (bz – cy)2 é justamente o quadrado do termo que contém o

coeficiente k na equação t1.t2. Conforme a explicação de Hamilton (1853), esta

diferença foi a reflexão primordial que o fez reformular suas representações e definir

os quaternions. Nesta direção Hamilton começou a refletir que devesse admitir, em

algum sentido, uma quarta dimensão no espaço para o cálculo dos tripletos ou,

transferindo o paradoxo para a álgebra, admitir um terceiro símbolo imaginário k,

  78  

que não deve ser confundido com i ou j, mas igual ao produto do primeiro como

multiplicador e do segundo como multiplicando; e portanto fui levado a introduzir

quaternions, tais como a + ib + jc + kd, ou (a, b, c, d)”. 141

Reiterando, os quaternions contêm, portanto, três componentes imaginárias

e uma real, ou seja, os quatérnions são formados por quatro números: um escalar e

três componentes de um vetor, que formam uma álgebra não comutativa. Os

símbolos i, j, k são três unidades imaginárias diferentes entre si que obedecem às

regras: i2 = j2 = k2 = –1, ij = k, etc. Hamilton esclareceu, ainda, que as outras

regras são consequências destas duas primeiras citadas no parágrafo anterior, que

ik = – j pois ik = iij = i2j = – j e da mesma maneira kj = jj = ij2 = – i. Como os

quaternions são uma extensão dos números complexos para quatro dimensões

(quartetos ou quadripletos), Hamilton utilizou a representação no plano complexo

para explicar o significado de i2 = –1 a partir da representação geométrica de um

número complexo. Portanto, como consequência deste raciocínio têm-se que com

quaternions podemos rotacionar um vetor com uma boa qualidade de movimento e

ao contrário da multiplicação entre matrizes de rotação, ao usar um quaternion, uma

rotação não influenciará a outra. Logo, com matrizes de rotação, entende-se que

uma pode influenciar o resultado da outra ao serem multiplicadas.142

É importante a ressalva de que Hamilton estudava desde 1830 a

interpretação geométrica da aritmética dos números complexos no plano e

procurava obter resultados análogos no espaço de três dimensões. Seu trabalho

                                                                                                                         141 Ibid 142 Ibid

  79  

pretendia estender este conceito aos triplos de números com um real e dois

imaginários, mas percebeu em 1843 que seriam necessários quatro números para

descrever uma rotação seguida de uma mudança de escala, ou seja, um número

correspondente à mudança de escala, outro número para indicar o ângulo de

rotação e os dois restantes para indicar o plano de rotação, que seria a solução

para o problema. Consequentemente, uma das motivações de Hamilton para

procurar números complexos tridimensionais seria encontrar uma descrição de

rotações no espaço, análoga ao caso complexo, onde a multiplicação

correspondesse a uma rotação e a uma mudança de escala.143

A definição dos quaternions seguiu uma forma quadrinomial padrão, dada

por Q={qr + qxi + qyj + qzk | qr , qx , qy , qz ∈ reais e i,j,k ∈ imaginários}. Essa

definição se parece bastante com a de um vetor no plano complexo u = x + yi .

Dessa forma, quaternions poderiam ser vistos como a representação complexa do

ponto (r,x,y,z) em um espaço quadridimensional. Para Crowe (1967), Hamilton não

evoca neste trabalho o problema da representação geométrica dos números

complexos. Isso ocorreu porque Hamilton “pensava como Gauss que a

representação geométrica era uma ajuda para a intuição, mas não uma justificativa

satisfatória para os números complexos”. 144

Introduzindo uma estrutura diferente Hamilton apresentou com detalhes um

sistema algébrico não comutativo na Royal Irish Academy, o que historicamente foi

reconhecido como o primeiro exemplo de uma álgebra não comutativa.145 Esta

                                                                                                                         143 Ibid, 232 144 ibid 145 ibid

  80  

conjectura conduziu os trabalhos que definiram a álgebra abstrata. Ele dedicou o

resto da sua vida ao desenvolvimento de aplicações em quaternions à geometria,

mecânica e física. Hamilton desvelou, ainda, em suas conjecturas, uma relação que

representou como um conjunto de números para a multiplicação da forma w +ix+jy

+kz, fazendo i2 = j2 = k2 = ijk = i1 e definiu esses números complexos em R4, os

quais os chamou de quaternions.146

Nesse período de grandes contribuições do pensamento matemático às

ciências aplicadas, foram introduzidos termos como vetor, versor, tensor, escalar,

os quais são familiares até os nossos dias. O próprio Hamilton introduziu em 1853,

em suas Lectures on Quaternions (1853), um sistema numérico com coeficientes

complexos, que chamou de biquaternions. Nesse mesmo texto, desenvolveu,

ainda, uma nova generalização que já tinha iniciado em um outro artigo nos

Transactions of Royal Irish Academy (1848): chamados de números

Hipercomplexos. A aplicação dos quaternions foi explorada de imediato por vários

pesquisadores da época. Em 1845, Arthur Cayley mostrou que com os quaternions

podemos representar orientações e em 1858 demonstrou que esses quaternions

poderiam ser representados por meio de matrizes, além de ter alcançado um novo

campo o qual chamou de “octonions”.147

Durante a metade do século XIX, Benjamin Peirce (1809-1880)148 era o mais

proeminente matemático nos Estados Unidos, e se referiu a Hamilton como, "o

                                                                                                                         146 ibid 147 ibid 148  Benjamin Peirce foi professor de matemática e astronomia em Harvard de 1833 a 1880. Escreveu, entre outros, System of Analytical Mechanics (1855; s.e.1872) e, Linear Associative Algebra (1870), este último um livro de álgebra abstrata, no qual se referiu a Hamilton com a frase "esta maravilhosa álgebra do espaço". Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 62

  81  

monumental autor dos quaternions".149 Peirce foi um professor de matemática e

astronomia em Harvard de 1833 a 1880 e escreveu um enorme livro chamado

System of Analytical Mechanics (1855; segunda edição 1872), no qual,

surpreendentemente não incluiu os quaternions. Em vez disso, Peirce expandiu o

que chamou de "esta maravilhosa álgebra do espaço" ao escrever seu livro Linear

Associative Algebra (1870), um trabalho totalmente de álgebra abstrata. Dizia-se

que quaternions era o assunto favorito de Peirce e ele teve muitos alunos que se

tornaram matemáticos e que escreveram um bom número de livros e artigos sobre

o assunto.150

Também o físico e matemático escocês, James Clerk Maxwell (1831 - 1879)

percebeu a utilidade dos quaternions para o seu trabalho, utilizando-os na sua

formulação de ondas electromagnéticas em 1864. Mais tarde, este trabalho

fundamentou o primeiro telégrafo desenvolvido em 1895 por Marconi, propiciando

um estudo mais sistemático sobre as concepções que originaram posteriormente o

rádio e a televisão.151

Os trabalhos de Hamilton foram enfatizados por Maxwell em seu Treatise on

Electricity and Magnetism (1873), por "idéias de quaterrnions ... ou a doutrina de

vetores" como um "método matemático ... um método de pensar".152 Neste contexto,

Maxwell (1885) introduziu no seu Tratado de Eletricidade e Magnetismo a aplicação

dos quaternions em campos como a mecânica clássica e a teoria da relatividade,

que foi identificada somente no início do século XX. É nessa atmosfera de mudança                                                                                                                          149 ibid 150 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 40 151 ibid 152 ibid

  82  

que a noção de vetor vem a se estabelecer definitivamente, tornando-se, na

Matemática, o índice e o instrumento de um estilo, a que Granger (1974) chamou de

"estilo vetorial". Um exame dos traços que caracterizou o estilo vetorial153, revelou

completa inversão com relação ao modo matemático de pensar, que partia da

realidade empírica para a construção de seus objetos: objetos matemáticos que são

agora constituídos por feixes de relações. A partir dessa perspectiva, o que

determina a natureza de um elemento são as regras de combinação daqueles

tomados como base de construção. E, tendo natureza simbólica, a intuição

matemática liberta-se um pouco mais da realidade empírica: "a intuição certamente

continua a desempenhar um papel na manipulação efetiva dos seres matemáticos

mas é, a partir daí, dissociada de seu elemento métrico". 154

Com este espírito, Hamilton propôs "a primeira grande teoria de caráter

vetorial".155 Com estas características de reflexões e na tentativa de generalizar os

números complexos para três dimensões, Hamilton percebeu que não bastavam

essas três para definir o primeiro sistema vetorial: seriam necessárias mais quatro.

Com base nesses estudos e no produto de quaternions, Gibbs e Heaviside (1850-

1925) aprofundaram suas aplicações com os produtos escalar e vetorial,

delineando o sistema tridimensional utilizado em implementação de alta

complexidade na atualidade.156

Como já citado anteriormente, a inquietude de Gibbs o levou a conjecturar

diversas possibilidades que alcançaram a reflexão do que seria chamado de                                                                                                                          153 Granger, G.G. Filosofia do estilo, 67 154 ibid 155 Lounis, A. Considérations historiques et difficultés d'elevès à propos des grandeurs vectorielles, 207 156 ibid

  83  

tensores mais tarde, pois suas incursões foram muito importantes no emprego das

matrizes para representar as transformações de um espaço vetorial no estudo das

rotações. Importante reiterar que aquele momento na história da ciência seria

definitivo para o que conhecemos hoje na utilização dos dispositivos móveis e

computação ubíqua, com todos os seus conteúdos expressos tridimensionalmente

e com movimentos advindos de rotações e translações geométricas no espaço

virtual digital.157

O contínuo desenvolvimento e comprometimento com os desdobramentos

destes conceitos ampliaram o repositório cognitivo cultural do século XIX,

consolidando um modelo de produção científica diferenciado na história da

humanidade. Com esta participação conjunta e discutida em congressos

internacionais, periodicamente, e com os meios de comunicação da época, os

diálogos e descobertas facilitaram as atividades profícuas das sociedades

científicas da época. Nesta direção, e revelando a continuidade do vigor e riqueza

do assunto chamado vetores, Grassmann se inclinou mais ainda em suas

pesquisas com o produto e as formas diferenciáveis que levaram à unificação do

cálculo vetorial, seus desdobramentos na física e sua generalização para quaisquer

dimensões.158

Nas apresentações científicas do final do século XIX, entre quaternions e

outras aplicações com vetores, encontramos conceitos que também suscitavam

conhecimentos no avanço da ciência, o cálculo diferencial absoluto, que ficou

conhecido por cálculo tensorial desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro. Este                                                                                                                          157 ibid 158 ibid

  84  

campo de pesquisa em conjunto com as demais descritas neste trabalho,

sustentaram a formalização matemática para a imagem tridimensional em

movimento que ocorrem nas aplicações contemporâneas.159 Ricci (1853-1825)160,

como era chamado, assumiu a cátedra da Universidade de Pisa em 1880 como

professor de matemática, e teve como discipulo Tullio Levi-Civita quem, a partir de

1900, o auxiliou na escrita de artigos. Suas contribuições obtiveram muito sucesso

na geometria diferencial, entre outras, responsáveis pelo desenvolvimento de

sistemas complexos na aplicação da computação científica.161

No transcorrer de inúmeras contribuições científicas, a década de 1890 foi

marcada por diversas manifestações de profunda reflexão, pois a revista Nature foi

palco de uma emocionante disputa que considerava dois sistemas matemáticos para

descrever grandezas vetoriais. De um lado encontraríamos Peter Guthrie Tait

(1831–1901), Cargill Knott, Alexander MacFarlane e outros; e por outro lado

teríamos Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside. Um dos principais fatores que

tornou este debate interessante foi o fato dos debatedores serem físicos importantes

e respeitados na época, mas com interesses profundos em matemática. Além disso,

o estilo metafórico (e, às vezes, agressivo) da argumentação usado principalmente

por Heaviside e Tait também contribuiram para aumentar o interesse no debate.162

A questão debatida foi sobre qual sistema matemático seria o mais apropriado

para tratar as grandezas vetoriais. Os seguidores de Hamilton, principalmente Peter

Tait, acreditavam que quaternions fosse uma ferramenta apropriada para resolver

                                                                                                                         159 ibid 160 Gregorio Ricci Curbastro, matmético, nascido em Lugo, Itália, nasceu em 1853 e faleceu em 1925. 161 Lounis, A. Considérations historiques et difficultés d'elevès à propos des grandeurs vectorielles, 214 162 Silva, C. C., Da força ao tensor, 84

  85  

problemas em física, pois suas aplicações físicas foram desenvolvidas

principalmente por Tait a partir de 1860.163 A questão de fundo foi baseada na teoria

dos quaternions que apresentava, também, leis da álgebra vetorial, incluindo a soma

de vetores, os produtos escalar e vetorial, o operador ł, os teoremas de Gauss e

Stokes na forma vetorial e funções lineares vetoriais. 164

A análise vetorial utilizada para tratar o espaço euclidiano (como a

conhecemos hoje) não existia no tempo de Maxwell e foi desenvolvida

independentemente por Gibbs e Heaviside, em parte devido à reflexão de Maxwell e,

como será mostrado neste capítulo, teve suas origens no método de quaternions.

Esta análise vetorial tornou-se conhecida a partir da publicação do trabalho de Gibbs

em 1881.165 Outros trabalhos com formalismos semelhantes à análise vetorial já

haviam aparecido anteriormente, em particular no trabalho Ausdehnungslehre de

Hermann (1809–1877) publicado em 1844. Esta obra contém idéias úteis para lidar

com o espaço tridimensional mas com conteúdo muito mais geral e abstrato que o

trabalho de Gibbs, não tendo sido utilizado pelos físicos da época.166

4.1 A evolução do conceito de vetor e suas dificuldades

Uma primeira barreira no caminho seguido até a criação das entidades

vetoriais esteve relacionada à dificuldade de aceitação de números negativos e de

suas raízes.

                                                                                                                         163 Ibid 164 Ibid 165 ibid 166 ibid

  86  

A sistematização do estudo de vetores ocorreu no século XIX nas primeiras

duas décadas, com as representações geométricas dos números complexos. Foi

Gauss quem, de fato, tornou amplamente aceita a interpretação geométrica dos

números complexos, que demonstrou uma primeira versão do que ele mesmo

chamou de Teorema Fundamental da Álgebra.167

“ele pressupôs uma correspondência biunívoca entre os

pontos do plano cartesiano e os números complexos de

tal modo que se a + bi é uma raiz complexa de um

polinômio real não nulo P, então ( a,b ) está na

intersecção das curvas u=0 e v=0, obtidas mediante a

decomposição P (x+yi) = u(x,y) + iv(x,y)”.168

Em outras palavras, suas incursões procuravam transformar um vetor em

outro vetor. O caminho da transformação era refletido por dois vetores u e v, mas

que deveria existir uma quantidade que o transformasse u em v, tal que: qu=v. As

consequências desse ensaio, em uma dimensão, eram facilmente dedutíveis em

q=v/u. Nesse caso, q expressava a direção e o comprimento relativo entre os dois

vetores, o que seria uma informação mínima necessária como condição de

transformação de u em v.169

Todos estes aspectos se apresentam nos manuais contemporâneos de

álgebra vetorial, mas com outra notação e usando o conceito de vetor no espaço

                                                                                                                         167 Eves, H, Introducao à História da Matemática, 328 168 ibid 169 ibid

  87  

tridimensional e suprimindo o termo quaternions. Com isto, reitera-se a extensão do

raciocínio de Hamilton para uma transformação em três dimensões que exigiu alterar

o comprimento de u para correspondê-lo ao tamanho de v, e que pediria uma outra

quantidade. Por consequência dessa conjectura, rotacionar u de certo ângulo, em

um plano, até que seja paralelo a v, exigiria mais três quantidades, a saber: i. o

próprio ângulo de rotação e ii. o plano em que ocorre, separadamente. Portanto, de

maneira direta, e sem buscarmos relatar aqui as viscissitudes desse cálculo, essas

quatro quantidades representariam o quaternions que, em sua essência são

extensões dos números complexos no espaço quadridimensional e são

representados por quantidades algébricas com três eixos “imaginários” ortonormais

(i,j,k). Herdam todas as propriedades e operações de vetores, incluindo o produto

escalar, vetorial, adição, multiplicação e norma. Heaviside, trabalhando na Inglaterra,

também desenvolveu um sistema vetorial na mesma época, independentemente de

Gibbs que trabalhava nos Estados Unidos.170

O desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como

conhecemos hoje foi apresentado primeiramente em um conjunto de notas de aula

feitos por J. Willard Gibbs feito para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs

nasceu em New Haven, Connecticut e suas conquistas científicas principais foram

em física, termodinâmica propriamente dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs

em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas de seus

resultados. Gibbs tomou conhecimento dos quaternions quando leu o Treatise on

Electricity and Magnetism de Maxwell, e estudou também o Ausdehnungslehre de

                                                                                                                         170 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 29

  88  

Grassmann.171 Concluiu que vetores seriam muito úteis e mais eficientes para os

seus trabalhos em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu as notas de

aulas sobre análise vetorial para seus alunos, que foram amplamente distribuídas

nos Estados Unidos, Inglaterra e Europa.172 Vale ressaltar que o primeiro livro

moderno sobre análise vetorial em inglês foi Vector Analysis (1901), em referência

às notas de Gibbs colecionadas por um de seus alunos de pós-graduação, chamado

Edwin B. Wilson (1879-1964).173 Ironicamente, Wilson cursou a graduação em

Harvard (B.A. 1899) onde estudou sobre quatérnions com seu professor, James

Mills Peirce (1834-1906), um dos filhos de Benjamin Peirce. O livro de Gibbs/Wilson

foi reimpresso em uma nova edição em 1960174

Uma outra contribuição para a utiliização de vetores foi feita por Jean Frenet

(1816-1990). Frenet cursou a École normale supérieure em 1840/. Depois estudou

em Toulouse, onde escreveu sua tese em 1847. Esse trabalho continha a teoria de

curvas espaciais e as fórmulas conhecidas como as fórmulas de Frenet-Serret (o

triedro de Frenet). Frenet contribuiu com apenas seis fórmulas enquanto que Serret

contribui com nove. Frenet publicou esta informação no Journal de mathematique

pures et appliques em 1852.175 Na última década do século XIX e na primeira

década do século 20, Tait e alguns outros descredibilizaram os vetores e

defenderam os quatérnions enquanto outros cientistas e matemáticos desenharam

seu próprio método vetorial. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887,

1888, 1897), na Rússia (1907) e na Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem

                                                                                                                         171 Ibid 172 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 30 173 Ibid 174 Finney, Ross L.; Weir, Maurice D.; Giordano, Frank R., Cálculo, 127 175 Crowe, Michael J.. A History of Vector Analysis, 34

  89  

moderna de grande parte da física e da matemática aplicada e continuam tendo seu

próprio interesse matemático intrínseco.176

Todas as contribuições acima descritas foram utilizadas por Albert Einstein no

estudo gravitacional e na formulação da teoria geral da relatividade. Discorrer sobre

este conceito significa tentar compreender o campo gravitacional que, segundo o

próprio Einstein, é a curvatura do espaço-tempo representado por um tensor de

quarta ordem. As aplicações desses conceitos, no florescer da geometria algébrica,

estabeleceram as conexões com a mecânica quântica e teoria quântica de campos

que, aos cuidados de Mario Schemberg, ficou demonstrado que essas mesmas

álgebras poderiam ser descritas como álgebras de Grassmann, comutativas e não-

comutativas. As contextualizações de Schenberg em decorrência das reflexões

sobre os fenômenos gravitacionais revelaram possibilidades de convergência

teórica. Suas observações da inomogeneidade sobre um raio de luz e a causa da

curvatura como índice de refração variável, levou o cientista a interpretar o campo

gravitacional de forma eletromagnética, um marco importante na história da ciência e

para a motivação de jovens cientistas no Brasil.177

Este percurso na história da ciência desvela culturas estabelecidas

paralelamente às inovações científicas ao longo de períodos e transições. Ao

colocarmos as aplicações de quaternions nas representações de imagens digitais

em movimento, aplicadas no cinema digital, visão computacional estereoscópica,

robótica médica, sistemas de realidade virtual, entre outras, utilizamos também o

conceito e aplicação de vetores. Estes são usados para representar a posição de um                                                                                                                          176 Ibid 177 Schenberg, Mario. Pensando a Física, 51.

  90  

objeto qualquer tridimensional, como exemplo em um jogo digital onde representa

sua direção em cálculos de caminhos, determinação de linha de tiro, visibilidade,

ângulos, forças, dentre outros. No caso de personagens, deve-se utilizar pelo menos

dois vetores para sua representação: um para a posição e outro para a direção. Para

cenários e desenvolvimento de partículas as contribuições de Ricci foram

fundamentais e, com estas, os desdobramentos advindos destas reflexões.178

Por fim, estudos sobre a relação da matemática e imagem em movimento até

a segunda guerra mundial foram ancorados na geometria dos mecanismos por

europeus e, após, a escola norte-americana marcou sua contribuição com técnicas

de análise, síntese de mecanismos, baseadas nos métodos algébricos e numéricos

bem como no uso do computador.179 O imbricamento das pesquisas relatadas nos

sugere vários tipos de interpretação em aplicações geométricas, mas existem

mecanismos de controle que organizam a atividade interpretativa e de construção da

imagem. Hildebrand (2002)180 se utiliza da citação de Charles Peirce (1976), num

fragmento de "Consciência da Razão", publicado em "The New Elements of

Mathematics", afirma que:

“as expressões abstratas e as imagens são relativas ao

tratamento matemático. Não há nenhum outro objeto que

elas possam representar. As imagens são criações da

inteligência humana conforme algum propósito, e um

propósito geral só pode ser pensado como abstrato ou em

cláusulas gerais. E assim, de algum modo, as imagens

                                                                                                                         178 Louro, Donizetti ; Fraga, Tania. Thinking Responsive Morphologies for Computer, 109 179 Ibid, 112 180 Hildebrand, Hermes. Uma arte de raciocinar, 9-10

  91  

representam, ou traduzem, uma linguagem abstrata,

enquanto, as expressões são representações destas

formas ...”181

É importante sublinhar que as considerações de Charles Peirce (1976)

ampliavam a reflexão advinda de seu pai, Benjamin Peirce182 (1809-1880),

matemático americano do século XIX, que se referia a Hamilton como, "o

monumental autor dos quaternions".183 E, Charles Peirce continua:

“... A maioria dos matemáticos considera que suas

questões são relativas aos assuntos fora da experiência

humana. Eles reconhecem os signos matemáticos como

sendo relacionados com o mundo do imaginário, assim,

naturalmente fora do universo experimental. (...) Toda a

imagem é considerada como sendo a respeito de algo,

não como uma definição de um objeto individual deste

universo, mas apenas um objeto individual, deste modo,

verdadeiramente, qualquer um é de uma classe ou de

outra”.

Implementando o tema com algumas ideias de Vilém Flusser184 (2002), as

imagens devem sua origem à capacidade de abstração específica que podemos

chamar de imaginação. Imaginação entendida como a capacidade de codificar

fenômenos de quatro dimensões em símbolos planos (superfícies planas e

                                                                                                                         181 NEM 4, 213 182 Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, 64 183 Peirce, Charles.S., Consciência da Razão.22 184 Flusser, Vilém, Filosofia da caixa preta, 67

  92  

bidimensionais) e decodificar as mensagens assim codificadas (Flusser, 2002). A

partir deste raciocínio podemos observar que é cada vez mais comum a procura por

soluções inovadoras que se utilizem dos benefícios da tecnologia. Ao contribuir para

o processo de hominização, a tecnologia modificou o homem. Assim, discutir como

os hipercomplexos se apresentam e transformam os limites do conhecimento vem

sendo objeto de estudo de muitos especialistas em diversos campos do saber ao

longo da história. Paralelamente, a este pensamento encontra-se Santaella (2001)

para quem:

“No cerne dessas transformações, os computadores e as

redes de comunicação passam por uma evolução

acelerada, catalisada pela digitalização, a compressão

dos dados, a multimídia, a hipermídia. Alimentada com

tais progressos, a internet, rede mundial das redes

interconectadas, explode de maneira espontânea, caótica,

superabundante, tendência que só parece aumentar com

a recente imigração massiva do e-comércio para o

universo das redes. Nesse mesmo ambiente, nos setores

técnicos e científicos, emergem tendências inquietantes,

tais como a realidade virtual e a vida artificial.”185

A explosão de novas ferramentas e possibilidades de interação do ser

humano com máquinas chega a ser vertiginosa. Alguns teóricos, como Breton186

chegam a falar do “Adeus ao Corpo”, hipótese na qual os seres humanos estariam

abandonando seus envelopes carnais para imergir em um mundo virtual onde seria

possível mesmo vivenciar experiências físicas. O processo de personificação dos

mundos virtuais, no qual o jogador ou participante pode incorporar uma personagem                                                                                                                          185 Santaella, Novos Desafios da Comunicac ̧ão 188 186 Novaes, A., O Homem Máquina. 22

  93  

e, em alguns casos, uma vida diferente da sua realidade física, como uma nova

forma da mente humana se colocar no mundo real e virtual.

Atualmente, os computadores lançam luz no estudo de sistemas complexos e

em novos princípios físicos como “Comportamento Emergente”, “Caos” e “Auto-

Organização”, sendo largamente empregados em simulações abrangendo

praticamente todas as áreas do conhecimento humano. Fazendo uso de sua

dinâmica discreta, a implementação de regras simples muitas vezes leva a

resultados extremamente complexos e até imprevisíveis, como no caso de máquinas

de estado conhecidas como Autômatos Celulares. 187

Um pattern se constitui em uma estrutura capaz de replicabilidade

componente na produção de mundos tridimensionais. É o que nos indica Louro &

Fraga188 (2009) quando nos dizem que o estudo dos patterns se constitui em um

elemento essencial para a compreensão do crescimento das estruturas

tridimensionais no ciberespaço. Segundo os autores, existem tipos específicos de

patterns que estão diretamente relacionados com o desenvolvimento e expansão da

estrutura tridimensional e sua transformação em uma linha temporal.

Um destes casos pode ser encontrado na descrição de experimentos digitais

e físicos propostos por Fraga (2007)189. Neles entendemos que a ideia de patterns

tridimensionais podem se converter em objetos materiais e/ou virtuais. Tais

estruturas têm como objetivo incitar experiências incomuns em seus usuários a partir

                                                                                                                         187 Wolfram, Stephen. A new Kind of Science, 46 188 Louro & Fraga, Morphologies for the grown of responsive shapes, 36 189 Fraga, Tania. Percursos poéticos: vislumbrando possibilidades para arte, arquitetura e design, 11

  94  

do conceito matemático de computação afetiva de Picard (2000)190, dado que elas

provocam a suspensão da crença racional de uma realidade única (sic). Táteis ou

quase táteis as experiências oferecem um protótipo da futuridade da holografia, da

interação total imersiva e as interfaces de mente e computador chamadas de BCI

(Brain-Computer Interface).

Assim, como no século XIX e no final do século XX, o início deste século

testemunha transformações significativas no modo de conceber o mundo, além das

novas linguagens científicas e movimentos matemático-artísticos advindos das mais

novas teorias propostas por cientistas. Tal fenômeno ocorreu não apenas no campo

da ciência e da tecnologia, mas, também, nas mais diferentes áreas do

conhecimento humano conforme, acrescenta Fraga (2007)191

“Caracterizam o momento de transformação pelo qual

passamos e delineiam vertentes para futuras explorações

sensíveis, num espaço tempo onde matéria e energia

transformam-se, uma na outra, incessantemente”.

Presente nos cenários transmidiáticos, de ajustes e controles por usuários,

encontram-se as parametrizações computacionais, como por exemplo, detecção de

colisão apropriada, e rotações de objetos em espaços tridimensionais que se

utilizam de números hipercomplexos chamados quaternions.192 Esta ferramenta

desvela possibilidades de interação do ser humano com máquinas, de forma a

                                                                                                                         190 Causa, E. & Sosa, A. ,Computacion Afectiva y Arte Interactivo, 8 191 Ibid 192 Louro, Donizetti ; Fraga, Tania. Thinking Responsive Morphologies for Computer Art, 10

  95  

suavizar os movimentos que ocorrem na experiência sucessiva de reconhecimento

virtual.

A morfologia digital de imagens dinâmicas no seu contexto histórico e nos

vínculos que se estabelece na atualidade, reiteram as condições epistemológicas

dos tripletos ao espaço, como um conjunto numérico hipercomplexo de aplicacões

inesgotáveis utilizadas por sistemas computacionais de alta complexidade e

dispositivos móveis na educação, medicina, aeroespacial entre outros campos de

estudos científicos.

  96  

CONSIDERAÇÕES FINAIS

“A imaginação fantástica, pode tornar-se um guia para a

ação mais eficaz que o simples raciocínio lógico do

mundo de hoje, sobretudo no de amanhã.”

Mario Schenberg193

Com esta pesquisa entendemos que a epistemologia dos tripletos que

fundamentaram a álgebra de quaternions de Hamilton retomou os trabalhos de

Lagrange sob uma roupagem teórica e conceitual diferenciada, na qual as

grandezas não correspondiam mais a conceitos fundamentados sobre noções

comuns. Com isto, passou-se a admitir como princípio físico fundamental uma

propriedade aparentemente muito formal, como o princípio do mínimo de ação na

sua expressão variacional dada por Hamilton.194 Consideramos o assunto como

resultado de um processo de desenvolvimento histórico para o qual convergem

diversos determinantes.

Desde o final do século XIX que a cultura científica demonstra a absorção e

utilização do conceito de quaternions e, no inicio da década de sessenta, ganhou

vigor quando voltou a ser aplicado em modelos fundamentais da física em um artigo

intitulado “Algumas consequências físicas da Q-covariância geral” escrito por

Finkelstein, Jauch, Schiminovich e Speiser.195

                                                                                                                         193 Schenberg, Mario. Pensando a Física, 51. 194 Paty, Michel. A física do século XX, 8 195 Finkelstein, D, Jauch, J. M., Schiminovich, S. e Speiser., D., Math, J. Phys Principle of General Q Covariance, 788.

  97  

A matemática não encerra em si a preocupação exclusiva com o

desenvolvimento puro nas suas relações e abstrações. Ela reconforta interações

resgatando conceitos físicos, artísticos, químicos, biológicos, perceptivos,

cinestésicos e de reflexões críticas sobre a ficção do contexto em suas metáforas

visuais e etnomatemáticas, assim como ampara a ciência de maneira geral em

processos de aprendizagem com os túneis de eventos para compreensão e

apreensão do conhecimento humano.

O conceito de vetores, por exemplo, pode ser usado para representar

qualquer quantidade que possuir propriedades de magnitude e direção na

determinação de ambientes digitais de imersão tridimensionais. Utiliza-se como

espelho na criação dos cenários e movimentos de corpos rígidos o tensor de

curvatura de Ricci (1853-1825)196 como curvatura seccional, como um operador

linear no plano tangente aplicado nas linhas de códigos que descrevem as funções

que representam as imagens técnicas geradas por iterações computacionais.197

Os reflexos destes avanços na ciência alcançam o espectador e seus

dispositivos tecnológicos e tratar cada espectador dentro de seu contexto cultural é

um dos grandes fatores considerados na matemática, especificamente com a

etnomatemática, o que possibilita uma comunicação encarada não apenas como ato

individual, e sim como um fato cultural, uma instituição e um sistema social, e sob

este contexto é uma das linguagens contemporâneas mais penetrantes no ambiente

das relações do ser humano com as tecnologias emergentes.

                                                                                                                         196 Gregorio Ricci Curbastro, matmético, nascido em Lugo, Itália, nasceu em 1853 e faleceu em 1925. 197 Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis, 56 -63

  98  

Um dos momentos importantes na história da ciência ocorreu com a

matemática aplicada em imagens e o desenvolvimento de suas relações culturais

advindas deste contexto. Se refere a reflexão do movimento da velocidade constante

ao longo de um arco de círculo máximo com raio unitário, sendo dadas as

extremidades e um parâmetro de interpolação entre 0 e 1. Na contingência de se

conhecer matemática para o desenvolvimento de ambientes imersivos, o presente

trabalho percorreu a epistemologia dos tripletos até o espaço tridimensional

representando as orientações e rotações descritas por quaternions, ou seja, as

contribuições da álgebra de quaternions na ciência e tecnologia. 198

A matemática dos quaternions como suporte e fundamentação de pesquisas

na área específica de ambientes imersivos amplia o olhar do saber/fazer, uma vez

que as parametrizações de animações e de rotações de figuras no espaço se

utilizam dos mesmos. A computação gráfica estuda os métodos que permitem a

visualização de informações armazenadas na memória do computador. Como

praticamente não existem limitações na origem ou natureza desses dados, ela é

hoje utilizada por pesquisadores e usuários das mais diversas áreas do

conhecimento humano. 199

Em computação gráfica200, a (i)materialidade matemática traduzida em arte e

ciência aplicadas na composição da imagem virtual dinâmica localiza um fator

fundamental chamado de SLERP (spherical linear interpolation), o qual está definido

                                                                                                                         198 Louro & Fraga, Morphologies for the grown of responsive shapes, 36 199 Ibid 200 A Computação Gráfica é a área da computação destinada à geração de imagens em geral em forma de representação de dados e informação, ou em forma de recriação do mundo real. Tem uma estreita relação com o processamento de imagens, que envolve técnicas de transformação de imagens, e o reconhecimento de padrões também conhecida como análise de imagens. ISO ("International Standards Organization"), http://www.iso.org, 20/02/2014.

  99  

pela interpolação com quaternions no propósito de rotações em imagens

tridimensionais em movimento. Este tema foi desenvolvido por Ken Shoemake e

marcou a década de oitenta como cenário de um grande avanço na criação e

desenvolvimento destas imagens. O físico Géza Szamoszi “refere-se às pinturas

abstratas do século XX como responsáveis pela ampliação do repertório visual do

homem ocidental contemporâneo”.201 As considerações sobre a imagem em

movimento nos dispositivos computacionais de alta complexidade são concorrentes

com as incessantes buscas de otimização e desempenho das máquinas para

realizarem o processamento destas construções de imagens em tempo real, com

alta percepção realística e ilusionista.202

A matemática visual que representa as expressões visuais computacionais é

um exemplo presente na nossa consciência, resultado de uma boa utilização de

suportes midiáticos, tais como: pintura, fotografia, cinema, holografias, vídeo,

infografia, túnel de eventos, ambientes imersivos, dispositivos móveis, haptics, entre

outros. A computação gráfica, leia-se aqui a matemática, arte e tecnologia aplicadas,

é uma representação numérico-topológica da imagem, hoje aplicada desde o

monitoramento aeroespacial, astronômico e geofísico até a computação científica

nos tratamentos e prolongamento da vida humana nas ciências biomédicas, além de

poéticas visuais e na emergência criativa contemporânea.203

Finalizando, as preocupações de Hamilton foram as bases do conhecimento

que contribuíram e que contribuem para o desenvolvimento da arte e ciência

                                                                                                                         201 Ibid 202 Ibid 203 Ibid

  100  

contemporâneas e, exposto por ele mesmo, em uma passagem reflexiva de suas

incursões com os tripletos afirmou: "As dificuldades que muitas pessoas têm sentido

em relação à doutrina das Quantidades Negativas e Imaginárias em Álgebra fizeram

com que eu, desde há muito, concentrasse minha atenção nelas ..."204. Foi dessa

forma que Hamilton apresentou o seu problema de partida no prefácio de Lectures

on Quaternions.

Durante vários anos os quaternions foram divulgados, mas por alguma razão

desconhecida ainda ficaram no esquecimento dos cientistas sendo redescobertos

pelo mundo da engenharia espacial e da robótica a partir da década de sessenta. A

capacidade dos quaternions em representar rotações em três dimensões à volta de

um eixo arbitrário motivou investigadores a empregar essa álgebra nas equações

que definem sua cinemática.205

Em 1985 os quaternions foram introduzidos na Computação Gráfica por

Shoemake, com o objetivo de facilitar a animação rotacional e apresentou a sua

pesquisa na conferência SIGGRAPH (special interest group on computer graphics),

com o artigo Animating Rotation with Quaternion Curves considerado desde a sua

publicação, como uma referência em ambientes acadêmicos e na indústria.

Shoemake apresentou também as vantagens da utilização dos quaternions na

obtenção de interpolações suaves de rotações e descreveu algoritmos de

conversões entre matrizes, ângulos de Euler e quaternions.206 Este trabalho deu

origem a um interesse crescente pela aplicação dos quaternios no campo da

                                                                                                                         204 LANCZOS, C. William Rowan Hamilton - an appreciation,129-143. 205 ibid 206 Shoemake, Ken. Proceedings of the 12th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, 23.

  101  

computação gráfica e, desde esse momento, a interpolação de orientações tem sido

objeto de estudo de diversos trabalhos publicados em áreas com estudo de

movimentos e as chamadas de situação crítica. Os cientistas, matemáticos e

engenheiros de softwares, programadores gráficos, entre outros, tomaram

consciência do potencial da álgebra de quaternions como operador de rotação no

espaço, muito poderoso.207

Assim, na computação gráfica especificamente, o domínio de aplicação dos

quaternions expandiu-se rapidamente em campos como visualização computacional,

fractais e sistemas de realidade virtual interativos de alta complexidade. A

computação digital tornou-se uma componente essencial da existência humana e

influenciam tudo, desde o entretenimento às funcionalidades do carro familiar, os

métodos da investigação científica, instrumentos cirúrgicos e simulações por síntese

de imagens. Os quaternions são ainda utilizados como ferramenta matemática e

algorítmica em sistemas de simulação e assistência por computador de operações

cirúrgicas. As aplicações aeroespaciais e os simuladores de vôos também

empregam quaternions. Astronautas da NASA, bem como diretores

cinematográficos de Hollywood, usam esses sistemas computacionais para dirigir e

controlar as posições de objetos no espaço o que se consegue com a utilização da

matemática hamiltoniana.208

Assim como o momento efervescente do final do século XIX com as

transformações significativas no modo de conceber o mundo e o pensamento

humano como instrumento de reflexões inovadoras, além das novas linguagens e                                                                                                                          207 Ibid 208 Ibid

  102  

movimentos artísticos advindos das mais novas teorias propostas pelos cientistas da

época, ocorreu também no final do século XX e está acontecendo no início deste

século XXI não apenas no campo da arte e ciência, mas também nas mais

diferentes áreas do conhecimento humano e, acrescenta Tânia Fraga: “Caracterizam

o momento de transformação pelo qual passamos e delineiam vertentes para futuras

explorações sensíveis, num espaço tempo onde matéria e energia transformam-se,

uma na outra, incessantemente.”

Devemos considerar a Matemática e as imagens técnicas no seu contexto

histórico e nos vínculos que a tecnologia209 estabelece entre as mesmas na

atualidade. O desenvolvimento nos campos da arte, ciência e tecnologia das últimas

décadas e da mudança comportamental nessa era da informação, solicita um rever

imediato e contínuo de novas relações estéticas, pedagógicas e científicas.

Ao observar o ambiente contemporâneo projetamos sobre ele a nossa visão

de mundo, o que nos deixaram como legado perceptivo e as verdadeiras

apreensões científicas que ocorreram, além de todo o imaginário coletivo construído

pelos meios de comunicação de massa. Aquilo que somos capazes de perceber são

reflexos, ou redundâncias, como diria Claude Shannon, do mundo filtrado pelo nosso

sistema perceptivo e cognitivo.210 Portanto, podemos concluir que a visão de mundo

pode ser atribuída ao conjunto das relações e percepções visuais e linguísticas

integradas ao sistema de valores e crenças que embasam a cultura dos indivíduos.

                                                                                                                         209 substantivo feminino - teoria geral e/ou estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou domínios da atividade humana (p.ex., indústria, ciência etc.). Fonte: Houaiss 210 Shannon, C & Weaver, W. The Mathematical Theory of Communication, 84-93

  103  

Conjecturar sobre o pensamento matemático na criação de ambientes

imersivos pressupõe uma reflexão inicial sobre o que se entende por matemática e

qual o objeto de seu estudo, ou seja, realizar uma reflexão sobre a Filosofia da

Matemática.

A natureza dos registros (fatos, datas e nomes) pode resultar de diversas

fontes: memórias, práticas, monumentos e artefatos, escritos e documentos que são

identificadas por fontes históricas, e essa metodologia se chama historiografia. Faz-

se necessário um trabalho minucioso de pesquisa profunda através de averiguações

e constatações, concentrando-se em documentos de época, procurando novos

caminhos, novos pontos de vista, enfim, uma análise epistemológica abordando

processos internos da questão. A análise do contexto externo, representado pela

ciência e sociedade da época estudada também é de fundamental importância, bem

como a historiografia envolvida, que são características da pesquisa em História da

Ciência.211

E nos interessa reafirmar que a História da Matemática é a essência da

Filosofia da Matemática, pois a história tem servido das mais diversas maneiras a

grupos sociais, desde família, tribos e comunidades, até nações e civilizações. Mas,

sobretudo tem servido como afirmação de identidade de um povo, sua cultura e sua

relação com a tecnologia. Igualmente, ao filósofo das ciências e da tecnologia cabe

entender as tramas conceituais que permitem reconhecer, identificar e valorizar

                                                                                                                         211  Alfonso-Goldfarb, “Documentos, Métodos e Identidade da História da Ciência”, 5-9.

  104  

formas de explicações e de ações classificadas como científicas e tecnológicas

porque implicitamente a esta reflexão repousa a ideologia humana nestes grupos.

Importante ressalva, neste percurso, é que os registros e suas

representações linguísticas das grandes descobertas científicas e tecnológicas são

prerrogativas de grandiosos antecedentes na história da humanidade e uma análise

crítica revelará, indubitavelmente, acertos e distorções nas fases que prepararam os

elementos essenciais para essas descobertas como alicerces para novas reflexões

na fronteira da ciência.

Estas reflexões podem sugerir que apenas uma mudança no processo do

método, seja ela em quaisquer situações, é natural da necessidade de adequação

de nosso intelecto àquilo que está sendo por ele investigado, e essa imperiosa

adequação só ocorre porque os objetos de investigação científica têm diferenças

enormes entre si, principalmente no processo sócio cultural da sociedade

contemporânea, a qual tem experimentado situações adversas com o

desenvolvimento da realidade virtual interativa e suas iterações afetivas e emotivas

criadas em ambientes de imersão a partir de quaternions com orientações e

rotações no espaço tridimensional, dando vida a uma exploração visual e

comportamental características dessa nova abordagem da arte e ciência.

A representação das rotações usando quaternions tem sido utilizada em

diversas áreas. A partir de sua definição que se entende como uma extensão dos

números complexos pode-se desenvolver a álgebra dos quaternions e provar a sua

relação com as matrizes de rotação. Deste modo os quaternions podem ser

  105  

utilizados como uma representação alternativa às matrizes de rotação. Dentre

algumas vantagens nessa aplicação pode-se destacar: o menor custo

computacional; a não existência de condições críticas; a geração de sistemas bem

condicionados na solução de problemas de orientação; a maior simplicidade na

restrição necessária para impor a ortogonalidade da matriz de rotação;212 a não

existência de funções trigonométricas; e a simplicidade das derivadas parciais em

relação aos parâmetros.213

Reiterando a motivação e conclusão deste tema, encontra-se a possibilidade

de investigação em uma matemática específica para estudo de estados afetivos, a

priori, baseada em condições que se utiliza da inferência computacional em

dinâmicas (animação cognitiva) que simulam imageticamente padrões

comportamentais ancorados na ciência cognitiva aplicada e neurociência

computacional.

As aproximações sucessivas da matemática na arte e ciência de uma maneira

geral, reiteram os desdobramentos da construção e reconstrução contemporâneas

na computação gráfica. Fazendo uso de sua dinâmica discreta e de regras simples

essas construções levam a resultados extremamente complexos e até imprevisíveis

em suas conceoções e aplicações, como no caso de máquinas de estados214.

                                                                                                                         212 Horn BKP (1987) Closed-form solution of absolute orientation using unit quaternions., 629–642. 213 Jain, A. K., Duin, R. P. W., and Mao, J. (2000). Statistical pattern recognition, 35 214 Uma máquina de estados finitos (FSM) ou autômato de estados finitos (plural: autômatos), ou simplesmente uma máquina de estado, é um modelo matemático de cálculo usado para projetar os programas de computador e circuitos lógicos seqüenciais. Ele é concebido como uma máquina abstrata que pode estar em um de um número finito de estados. (hopcroft & Ulmann). Hopcroft, John. Jeffrey Ullman (1979). Introduction to Automata Theory, 45.

  106  

Por fim, os estudos sobre a relação da matemática e imagem em movimentos

até a segunda guerra mundial foram ancorados na geometria dos mecanismos por

europeus e, após, na escola norte-americana que marcou sua contribuição com

técnicas de análise e síntese de mecanismos baseados nos métodos algébricos e

numéricos bem como no uso de computadores.

No inicio da década passada, os computadores lançaram luz no estudo de

sistemas complexos e em novos princípios físicos como “Comportamento

Emergente”, “Caos” e “Auto-Organização”, sendo largamente empregados em

simulações abrangendo praticamente todas as áreas do conhecimento humano.

Fazendo uso de sua dinâmica discreta, a implementação de regras simples muitas

vezes leva a resultados extremamente complexos e até imprevisíveis, como no caso

dessas máquinas de estado conhecidas como Autômatos Celulares.215

As tessituras que envolvem o arcabouço numérico topológico vivenciado por

matemáticos justificam suas incursões em sincronicidade com a arte, que ao denotar

tecnologias computacionais apresentam evidências sobre a importância da

interação e da dialogia nos processos cognitivos e no desenvolvimento intelectual

desses atores transmatemáticos e transmidiáticos.

Ao finalizar esse trabalho ocorre o revisitar de um tema que faz parte do

alcance dos números hipercomplexos e de sua contribuição para a história da

técnica e tecnologia, que alcançaram desenvolvimentos de alta complexidade.

                                                                                                                         215 Wolfram, Stephen. A new Kind of Science. 167.

  107  

O tema desenvolvido desvelou arte, devaneios, estranhamentos positivos e

negativos, uma reflexão algébrica e geométrica, uma poesia sincrética numérico-

topológica advinda de Hamilton. Como músicos que buscam seus melhores acordes,

ritmos melódicos, fragmentados, os caminhos da arte e ciência desvelam novas

melodias e ritmos em nossas vidas, como a música que nos envolve em sua

composição de acordes, dissonantados ou não, mas que invadem a nossa alma e

tomam conta do bem-estar proporcionado a cada passo em compasso à proposta da

prova matemática.

Os matemáticos como compositores e maestros de sua propria música,

simbolicamente regida em nome da própria vontade são guiados pela harmonia e

beleza de encontros em aproximações sucessivas em suas conjecturas, que fazem

parte da melodia e do ritmo na composição de suas vidas. Desta forma, nossas

incursões na obra de Willian Rowan Hamilton foram motivadas por uma tentativa de

entendimento no processo epistemológico dos tripletos que balizou sua reflexão final

com a inscrição canônica dos quaternions em uma rocha na ponte em Dublin,

Escócia.

Os tripletos e os quadripletos (quaternions) para Hamilton foram enunciados,

desenvolvidos, transformados, lapidados a velocidade e ao ritmo da sua ressonância

cognitiva, peculiar, e refletiram uma expressão consolidada com um alcance

inimaginável em várias áreas do conhecimento humano, assim como o formato

cônico de um oboé rico em parciais harmônicas foi utilizado para iniciar o tom de

afinação de toda uma orquestra a pedido do maestro, Hamilton, e o fez de forma

poética, e intrinsicamente incontestável.

  108  

ANEXO

MY DEAR ARCHIBALD

(1) I had been wishing for an occasion of corresponding a little with you on

QUATERNIONS: and such now presents itself, by your mentioning in your note of

yesterday, received this morning, that you ``have been reflecting on several points

connected with them'' (the quaternions), ''particularly on the Multiplication of Vectors''

(2) No more important, or indeed fundamental question, in the whole Theory of

Quaternions, can be proposed than that which thus inquires What is such

MULTIPLICATION? What are its Rules, its Objects, its Results? What Analogies

exist between it and other Operations, which have received the same general Name?

And finally, what is (if any) its Utility?

(3) If I may be allowed to speak of myself in connexion with the subject, I might do so

in a way which would bring you in, by referring to an ante-quaternionic time, when

you were a mere child, but had caught from me the conception of a Vector, as

represented by a Triplet: and indeed I happen to be able to put the finger of memory

upon the year and month - October, 1843 - when having recently returned from visits

to Cork and Parsonstown, connected with a meeting of the British Association, the

desire to discover the laws of the multiplication referred to regained with me a certain

strength and earnestness, which had for years been dormant, but was then on the

point of being gratified, and was occasionally talked of with you. Every morning in the

early part of the above-cited month, on my coming down to breakfast, your (then)

little brother William Edwin, and yourself, used to ask me, ``Well, Papa, can you

multiply triplets''? Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake of the

  109  

head: ``No, I can only add and subtract them.''

(4) But on the 16th day of the same month - which happened to be a Monday, and a

Council day of the Royal Irish Academy - I was walking in to attend and preside, and

your mother was walking with me, along the Royal Canal, to which she had perhaps

driven; and although she talked with me now and then, yet an under-current of

thought was going on in my mind, which gave at last a result, whereof it is not too

much to say that I felt at once the importance. An electric circuit seemed to close;

and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of many long years

to come of definitely directed thought and work, by myself if spared, and at all events

on the part of others, if I should even be allowed to live long enough distinctly to

communicate the discovery. Nor could I resist the impulse - unphilosophical as it may

have been - to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the

fundamental formula with the symbols, i, j, k; namely,i2 = j2 = k2 = ijk = -1 which

contains the Solution of the Problem, but of course, as an inscription, has long since

mouldered away. A more durable notice remains, however, on the Council Books of

the Academy for that day (October 16th, 1843), which records the fact, that I then

asked for and obtained leave to read a Paper of Quaternion at the First General

Meeting of the session: which reading took place accordingly, on Monday the 13th of

the November following.

With this quaternion of paragraphs I close this letter I.; but I hope to follow it up very

shortly with another.

Your affectionate father,

WILLIAM ROWAN HAMILTON

  110  

BIBLIOGRAFIA

Alfonso-Goldfarb, Ana M. “Documentos, Métodos e Identidade da História da

Ciência.“ Circunscribere 4 (2008): 5-9.

__________ A Magia das Máquinas – John Wilkins e a Origem da Mecânica

Moderna. São Paulo: Experimento, 1994.

__________ O que é História da Ciência. São Paulo: Brasiliense, 2004.

Alfonso-Goldfarb, Ana M. & Maria H. R. Beltran, orgs. Escrevendo a História da

Ciência: tendências, propostas e discussões historiográficas. São Paulo:

EDUC, 2004.

Armengaud, Jacques-Eugène. Publication industrielle des machines. Paris: Chez

l’auteur, 1889.

A. Gsponer and J.-P. Hurni, Quaternion bibliography: 1843–1993. Report ISRI-93-13

35 pp. This is the first version of the present bibliography, 1993.

Aumont, Jacques. A Imagem. Papirus. Campinas. 1993.

Ball, W. W. Rouse . A short account of the history of mathematics. New York: Dover,

1960.

Bell, E. T. Men of mathematics. New York, Simon & Schuster, 1937

Blum, L. Cucker, F. Shub M. and Smale. S. (1998). Complexity and Real

Computation, Springer Verlag,

Boyer, Carl Benjamin. A history of mathematics. New York: Wiley, 1989

Burton, David M. The history of mathematics: an introduction. Boston: Allyn &

Bacon, 1985.

Cairbre, Fiacre O. Twenty Years of the Hamilton Walk. Irish Math. Soc. Bulletin 65,

2010

  111  

Cantor & Hodge (eds.). Conceptions of ether studies in the history of ether theories

1740-1900. Cambridge: Cambridge Universtity Press, 1981.

Chace, M. A. "Vector Analysis of Linkages," Journal of Engineering in Industry,

Series B, vol. 55, no. 3, August, pp.289-297, 1963.

Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis, University of Notre Dame Press,

Notre Dame, 1967.

Darlin, David. From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes - The Universal Book of

Mathematics. John Wiley & Sons, 2004.

Denavit, J. and Hartenberg, R. S. "A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms

Based on Matrices," ASME Journal of Applied Mechanisms, pp. 215-221,

1955

D’Ambrósio, Ubiratan. Palestra de encerramento do Primeiro Congresso Brasileiro

de etnomatemática, Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo,

1-4 de novembro de (transcrição, com ligeira revisão, da gravação), 2000.

____________. Sociedade, cultura, matemática e seu ensino. Em foco: educação

matemática em perspectiva Educ. Pesqui. vol.31 no.1, São

Paulo Jan./Mar., 2005.

Dickson, L.E. On quaternion and their generalization and the history of the eight

square theorem, Ann. of March,155–171, 1918.

Domingues, Hygino H. Fundamentos de Aritmética Santa Catarina: Editora da

UFSC, 2009.

Eco, Umberto. Obra Aberta. São Paulo: Perspectiva, 1988

EVES, Howard Whitley. An introduction to the history of mathematics. New York:

Rinehart, 1953. Later editions: New York: Holt, 1964, 1976; Philadelphia:

Sanders. Reviewed: Math. Rev 84c:01001, 1983, 1990.

  112  

Fearnley-Sander, D. Hermann Grassmann and the prehistory of universal álgebra,

Am. Math. Monthly 89, 161–166, 1982.

Flores, P., Claro, J. C. P. Cinemática de Mecanismos. 1ª Edição. Edições Almedina

S.A. Coimbra, Portugal., 2007.

Flusser, Vilém. Filosofia da caixa preta – Ensaios para uma futura filosofia da

fotografia coleção Conexões, Rio de Janeiro: Relume Dumará (tradução do

autor, 1a ed. alemã em 1983), 2002.

Fraga, Tania. Wanderings into the Creative Process of the Computer Artist. In

Leonardo Electronic Almanac. Boston: MITPRESS, 1995.

____________. Uma Colagem Conceitual sobre o Fazer Artístico Contemporâneo.

Sergipe: Cadernos UFS, v. 4, n. 1, pp 43-51, 1997.

____________. Inquiry into Allegorical Knowledge Systems for Telematic Art. Ascott,

Roy. (org). Art, Technology, Counsciousness. Bristol: Intellect, v. 1, pp 59-64,

2000.

____________. Pensando Pensamentos Líquidos. In Maciel, Kátia (org). Redes

Sensoriais. Rio de Janeiro: Contra-capa, pp 301-308, 2003.

____________. Thinking Liquid Thoughts: Version 2. In Ascott, Roy (ed).

Technoetics Arts: A Journal of Speculative Research 2.3. Bristol: Intellect, v. 2,

n. 3, pp 169-180, 2004.

____________. Percursos poéticos: vislumbrando possibilidades para arte,

arquitetura e design. Brasíl ia, DF, Brasil: Venturell i , S., 2007

Gibbs, Josiah Willard. The scientific papers of J. Willard Gibbs, vol 2. New York:

Dover, 1961.

Goenner, H.F.M. Einstein, spinors, and semivectors, Sec. 7.3 of “On the history of

unified field theories,” Living Reviews of Relativity 72, 2004.

  113  

Goldfarb, José L. Voar tambem é com os homens. O pensamento de Mario

Schenberg. São Paulo: EDUSP, 1994.

Goldstein, H. Prehistory of the “Runge-Lenz” vector, Am. J. Phys. 43, 737–738,

1975.

Goldstein, S. The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones

Arithmeticae Schwermer, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.

Granger, G.G. Filosofia do estilo. Trad. S.Z. Marton. São Paulo, Perspectiva /

Edusp, 1974.

Harman, P. M. Wranglers and physicists: studies on Cambridge physics in the 19th

century. Manchester: Manchester University Press, 1985.

Hamilton, William Rowan. Four and eight square theorems, in Appendix The

Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton, vol. 3, eds. H.

Halberstam and R. E. Ingram, Cambridge University Press, Cambridge, pp.

648-656, 1967.

______________ ‘‘Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a

Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time,’’

Transactions of the Royal Irish Academy 17 (1837): 293–422.

______________ ‘‘On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra,’’

The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of

Science, 3rd ser., published in 18 installments over the years 1844–1850.

______________ Lectures on Quaternions: Containing a Systematic Statement

Cambridge, MacMillan & Co., 1853. Volumes 2-4, 60-68.

______________ “Copy of a letter from Sir William R. Hamilton to John Graves”, The

London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of

Science, 1844. vol. xxv, pp. 489-95.

  114  

______________ “On a new Species of Imaginary Quantities connected with a

theory of Quaternions”, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1844. vol.2,

pp. 424-434.

______________ “On Quaternions”, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847.

vol.3, pp. 1-16.

______________ “Researches respecting quaternions first series”, Transactions of

the Royal Irish Academy, 1848, t.XXI , p.199-296.

______________ “On quaternions and the rotation of a solid body”, Proccedings of

the Royal Irish Academy, 1850, t.IV , p.38-56.

Hentzel, I. R. ; Peresi, L. A. . Special identities for Bol algebras. Linear Algebra and

its Applications, v. 436, p. 2315-2330, 2012

Hildebrand, Hermes. (2002). Uma arte de raciocinar. In: Revista Acadêmica de Pós

- Graduação da Faculdade Cásper Líbero – Ano V – Vol. 5 – No. 9-10,

Jain, A. K., Duin, R. P. W., and Mao, J. (2000). Statistical pattern recognition: A

review. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

22(1):4-37.

Julesz, Bela. Foundations of Cyclopean Perception. Chicago: The University of

Chicago, 1971.

KATZ, Victor J. A history of mathematics, an introduction. New York: Harper Collins

College Publishers, 1993.

Krantz, Steven G. An Episodic History of Mathematics. Mathematical Culture

through Problem Solving. September 23, 2006

Kosslyn, Stephen M. Image and Brain, Cambridge, MA, MIT Press, 1994.

Lounis, A. Considérations historiques et difficultés d'elevès à propos des grandeurs

vectorielles. B.U.P., n. 721, p. 205-219, 1990.

  115  

Louro, Donizetti; Fraga, Tania. Thinking Responsive Morphologies for Computer Art.

Emerging forms of computer art. Europia: Paris. 1 ed. Paris: Europia, v. 1, p.

107-113, 2008.

Louro, Donizetti, Fraga, Tania. Morphologies for the grown of responsive shapes.

IJDST (International Journal of Design Sciences and Technology). Europia

(Paris), 2009.

Louro, Donizetti, Fraga, Tania. Louro, Luciana. Virtual Cognitivo - O desvelar de

morfologias afetivas em repertórios poéticos de imersão. Revista Digital de

Tecnologias Cognitivas – TECCOGS, Número 5, 2011.

Machado, Arlindo. Repensando Flusser e as Imagens Técnicas, Interlab, L.

Leão(org.), São Paulo: Iluminuras, pp 147-156, 2002.

Maxwell, James C. Treatise on electricity and magnetism. New York: Dover, 1954.

Mazur, Barry. Imagining Numbers. . New York: Penguin Books, 2004.

Ortony, A.; Clore, G.; Collins, A. The cognitive structure of emotions. Cambridge,

UK: Cambridge University Press, 1988.

Paty, Michel. A física do século XX. S. Paulo: Ideias e Letras, 2009

Peirce, Charles Sanders. Consciência e razão. IN The New Elements of

Mathematics, ed. Eisele, Carolyn. 4 vols. The Hague: Mouton. Referida como

NEM. 1976, p.22

Pendergast, Kerry. "The Life of Myron Evans", Cambridge, UK, Cambridge

International Science Publishing, 2009

Piaget, J. La jugement at la raisonnement chez l'enfant. Neuchâtel-Paris, Delachaux

& Niestlé, 1924.

Poincaré, Henri, Science and Hypothesis, in Great Books of Western World, Paris,

1993.

  116  

_____________. L'invention mathématique. Bulletin de l'Institut Général de

Psychologie, ano 8, n. 3, p. 175-196, 1908c. Conferência pronunciada na Sociedade

de Psicologia de Paris. Igualmente, L'enseignement mathématique, 10, p. 359-371;

republicado em Poincaré, 1908a, éd. 1918, p. 43-63.

ROQUE, Tatiana. Notas de aula de história da matemática. Mestrado em ensino de

matemática, RJ, Ed. UFRJ, 2007.

Santaella, L. & Nöth, W. Imagem. Cognição, semiótica, mídia. São Paulo:

Iluminuras, 1998.

____________. Novos desafios da comunicação. In: Lumina, Facom/UFJF - v.4, n.1,

p.1-10, jan/jun 2001.

Schenberg, Mario. Pensando a Fisica. São Paulo, Nova Stella Editora, 1990

Shannon, C. A Mathematical Theory of Communication”. Bell System Technical

Journal 27, 379-423, 623-656. 1948.

Shannon, C & Weaver, W. The Mathematical Theory of Communication, University

of Illinois Press, Urbana, Illinois, 1949.

Silva, C. C. Da força ao tensor: evolução do conceito físico e da representação

matemática do campo eletromagnético, Tese de Doutorado, outubro de 2002

Smale, Stephen. Complexity and Real Computation: A Manifesto (with L. Blum, F.

Cucker and M. Shub), International Journal of Bifurcation and Chaos/ *6*

(1996) pp. 3-26.

Smith, David Eugene. History of Mathematics. Dover Publications, New York, (June

1, 1958)

______________. A Source Book in Mathematics, Volume 3. McGraw Hill, 1959

Stillwell, John. Mathematics and its history. New York-Berlin: Springer-Verlag,

Reviewed: Math. Rev. 91b:01001, 1989.

  117  

Struik, Dirk J. A concise history of mathematics. revised edition: New York: Dover,

1967.

Szamosi, Géza. Tempo & Espaço: as Dimensões Gêmeas. Rio de Janeiro: Jorge

Zahar, 1988.

Tapskot, Don. Grown Up Digital: How the Net Generation is Changing Your World,

McGraw-Hill, EUA, 2008.

Van Der Waerden, B. L. Hamilton’s Discovery of Quaternions. Mathematics

Magazine, Volume 49, no. 5, Novembro, Zurich,1976, pp. 277-334.

Wiener, Norbert. Deus, Golem & Cia.. Cultrix: São Paulo, 1971.

Wolfram, Stephen. A new Kind of Science. Wolfram Midia. Chicago, EUA., 2002.