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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemá tica
Lourival Alves Freitas Filho
ESTRATÉGIAS USADAS PELOS ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVE NS E
ADULTOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS .
Belo Horizonte 2011
Lourival Alves Freitas Filho
ESTRATÉGIAS USADAS PELOS ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVE NS E
ADULTOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós
Graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade Católica
de Minas Gerais, como requisito parcial para a
obtenção do título de Mestre em Ensino de
Ciências e Matemática.
Orientador: Dr. João Bosco Laudares.
Belo Horizonte 2011
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Freitas Filho, Lourival Alves F866e Estratégias usadas pelos alunos da educação de jovens e adultos na
resolução de problemas aritméticos / Lourival Alves Freitas Filho. Belo Horizonte, 2012.
142f.: il.
Orientador: João Bosco Laudares Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de adultos. 3. Aritmética – Problemas, exercícios, etc. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 51:373.5
Lourival Alves Freitas Filho
ESTRATÉGIAS USADAS PELOS ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVE NS E
ADULTOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS.
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para a obtenção
do título de Mestre em Ensino de Ciências e
Matemática.
____________________________ ______________ Prof Dr João Bosco Laudares (orientador)- PUC Minas
_________________________________ Profa Dra Márcia Gorett Ribeiro Grossi- CEFET-MG
___________________________________ Profa Dra Maria Aparecida da Silva - CEFET-MG
_____________________________ Prof Dr Dimas Felipe de Miranda- CEFET-MG
Belo Horizonte, 04 de Novembro de 2011.
Aos meus pais, pelo incentivo e carinho.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, que me deu inspiração e força para desenvolvê-lo.
Aos meus pais, que incentivaram e me apoiaram em toda a trajetória do mestrado,
mesmo distantes.
Ao orientador Prof. Dr. João Bosco Laudares, pela confiança, paciência,
credibilidade e contribuições depositadas para realização de cada etapa desse
trabalho.
Aos professores Doutores do Mestrado: Eliane Gazire, Maria Clara, Dimas Felipe,
Agnela, Amauri e outros, pela oportunidade de socializar conhecimentos que
buscaram uma importante reflexão do ensino e aprendizagem, em especial do
Ensino de Matemática.
Aos professores doutores que ministraram aula no Programa de Pós Graduação de
Educação Profissional (PROEJA- 2008): Suzana Burnier, Maria Aparecida, Jussara
Biangini, José Ângelo, Márcia Goreti, Maria Rita e Júlio Emílio, pelas contribuições
depositadas acerca da Educação de Jovens e Adultos no Brasil, bem como seus
limites e os desafios enfrentados.
A Raquel, pela paciência e compreensão nos momentos ausentes.
Aos meus amigos do Mestrado: Raquel, Sebastião, Marlizete, Flavia, Rodrigo, Maria
Beatriz, Adilson Lopes, Maria Beatriz e Adilson Miranda, pelo apoio.
Ao meus amigos Jesusney, Heliane, José Malta, Renato Frade e sua esposa
Cláudia; pelas extensas discussões consolidadas; e pelo apoio no decorrer de todos
os momentos de desenvolvimento desse trabalho..
A Ana Higina, que muito apoiou e acreditou no meu potencial, depositando
confiança em todas as etapas desta pesquisa.
RESUMO
O presente trabalho tem o objetivo de investigar as estratégias usadas pelos alunos
da Educação de Jovens e Adultos (EJA) na resolução de problemas aritméticos,
relativos ao contexto do cotidiano. A justificativa se dá pelo fato de eles
apresentarem diferentes habilidades ao resolver situações problemas, diferentes das
usadas pelas crianças. Muitas são as discussões sobre o modo como esse público
lida com a Aritmética contextualizada em vários momentos vivenciados por ele, tais
como: compra de mercadorias, assentamento de pisos, pinturas de casas, venda de
doces, entre outros. Desse modo, apresentaram-se alguns problemas aos sujeitos
da EJA - Fundamental, com o propósito de se discutirem algumas estratégias que
exigem o modo matemático de pensar, por intermédio de problemas
contextualizados às suas atividades corriqueiras. As que mais se destacaram foram:
contagem (inclusive cálculo mental) e pensamento proporcional. As atividades
exploradas pelos alunos foram sugeridas a partir de situações que eles já
vivenciaram, de maneira a se (re)significarem os conceitos de Aritmética. No
percurso deste trabalho, há uma importante reflexão quanto à linguagem da
Matemática apresentada nos problemas abordados nos enunciados dos mesmos.
Para tanto, foi elaborado um Caderno de Atividades que contempla problemas
aritméticos diferenciados quanto à linguagem. Os enunciados foram categorizados
por Figural, Textual, Gráficos e Tabelas.
Palavras-chave: Aprendizagem de Matemática na EJA. Contagem. Cálculo
Proporcional. Estratégias do pensamento matemático.
Resolução de problemas aritméticos.
ABSTRACT
The present work has the objective to investigate the learning of Mathematics of the
citizens of the young education of e adult, as well as its education. The justification of
to the fact of them presents different abilities in deciding situations, problems,
different of the used ones for the children. Many are the quarrels on the way as this
public chore with the arithmetic contextualized at some moments lived deeply for it,
such as: in the purchase of merchandises, the nesting of floors, paintings of houses
in the candy sales, among others. In this manner, some problems to the citizens of
the EJA - Basic with the intention are presented to argue some strategies that
demand the mathematical way to think, for intermediary of declared of contextualized
problems to its current activities. The ones that had been more distinguished had
been counting (also mental arithmetic) and proportional thought. The activities
explored for the pupils had been suggested from situations that they already had
lived deeply, in way (reverse speed) to mean the arithmetic concepts. In the passage
of this work, it has an important reflection how much the language of the
mathematics presented in the boarded problems in the statements of the same ones.
For in such a way, a notebook of activities was elaborated contemplating arithmetical
problems, differentiated how much to the language. The statements had been
categorized by Figural, Literal, Graphical and Tables.
Keywords: Learning of mathematics in the EJA. Counting. Proportional Calculation.
Strategies that demand the mathematical way to think. Resolution of
arithmetic problems.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - 1º Problema de livro estudado................................................................................35
Quadro 2 - 2º Problema de livro estudado................................................................................36
Quadro 3 - 3º Problema de livro estudado................................................................................39
Quadro 4 - Problema 4 do livro estudado.................................................................................40
Quadro 5 - Problema Figural 1 .................................................................................................57
Quadro 6 - Problema Textual 1 ................................................................................................58
Quadro 7 - Problema Gráficos e Tabelas 1...............................................................................60
Quadro 8 - Problema 1 aplicado: Figural .................................................................................62
Quadro 9 - Registrado apresentado por um dos alunos............................................................64
Quadro 10 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................64
Quadro 11 - Problema 2 aplicado: Figural ...............................................................................65
Quadro 12 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................67
Quadro 13 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................67
Quadro 14 - Problema 3 aplicado: Figural ...............................................................................68
Quadro 15 - Registro apresentado de um dos alunos ...............................................................69
Quadro 16 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................70
Quadro 17 - Problema 4 aplicado: Figural ...............................................................................71
Quadro 18 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................73
Quadro 19 - Problema 5 aplicado: Textual...............................................................................75
Quadro 20 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................77
Quadro 21 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................78
Quadro 22 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................79
Quadro 23 - Problema 6 aplicado: Textual...............................................................................80
Quadro 24 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................82
Quadro 25 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................83
Quadro 26 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................84
Quadro 27 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................85
Quadro 28 - Problema 7 aplicado: Textual...............................................................................86
Quadro 29 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................88
Quadro 30 - Registro apresentado por outro aluno...................................................................88
Quadro 31 - Problema 8 aplicado: Textual...............................................................................89
Quadro 32 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................91
Quadro 33 - Registro apresentado por outro aluno...................................................................91
Quadro 34 - Problema 9 aplicado: Gráficos e Tabelas.............................................................93
Quadro 35 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................95
Quadro 36 - Registro apresentado por outro aluno...................................................................96
Quadro 37 - Registro apresentado pelo terceiro aluno .............................................................96
Quadro 38 - Problema 10 aplicado: Gráficos e Tabelas...........................................................97
Quadro 39 - Registro apresentado por um dos alunos..............................................................99
Quadro 40 - Problema 11 aplicado: Gráficos e Tabelas.........................................................100
Quadro 41- Registro apresentado por um dos alunos.............................................................102
Quadro 42 - Registro apresentado por outro aluno.................................................................102
Quadro 43- Problema 12 aplicado: Gráficos e Tabelas..........................................................104
Quadro 44 - Registro apresentado por um dos alunos............................................................106
Quadro 45 - Registro apresentado por outro aluno.................................................................106
Quadro 46 - Problema 13 aplicado: Gráficos e Tabelas.........................................................108
Quadro 47 - Problema 14 aplicado.........................................................................................110
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Modelo de Representação Mental.............................................................................43
Figura 2 - Composição de quadrados .......................................................................................46
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Apuração dos resultados do problema 1 ................................................................63
Gráfico 2 - Apuração dos resultados do problema 2 ................................................................66
Gráfico 3 - Apuração dos resultados obtidos do Problema 3 ...................................................69
Gráfico 4 - Resultado de apuração do problema 4A ................................................................72
Gráfico 5 - Resultado do problema 4B aplicado ......................................................................74
Gráfico 6 - Resultado de apuração do problema 5 ...................................................................76
Gráfico 7 - Apuração dos resultados do problema 6A .............................................................80
Gráfico 8 - Apuração dos resultados do problema 6B..............................................................82
Gráfico 9 - Apuração dos resultados do problema 7 ................................................................87
Gráfico 10 - Apuração dos resultados do problema 8 ..............................................................90
Gráfico 11- Problema 9 aplicado..............................................................................................94
Gráfico 12- Apurados dos resultados dos dados coletados ......................................................98
Gráfico 13 - Apuração dos resultados dos dados coletados ...................................................101
Gráfico 14- Resultado de apuração do problema 12 ..............................................................105
Gráfico 15 - Apuração dos resultados do problema 13..........................................................109
Gráfico 16- Apurado dos resultados do problema 14.............................................................111
LISTA DE ABREVIATURAS
CNE- Conselho Nacional de Educação
CONFITEA -Conferência Internacional sobre Educação de Jovens e Adultos
EJA- Educação de Jovens e Adultos
INAF- Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional
LDB - Lei de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira
MEC- Ministério de Educação e Cultura
MOBRAL- Movimento Brasileiro Alfabetismo
PCN’s- Parâmetros Curriculares Nacionais
PROEJA - Programa de Educação Profissional Integrada à Educação de Jovens e
Adultos
RM- Representação Mental
SEA - Serviço de Educação de Adultos
SEE-MG- Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais
SIMAVE- Sistema Mineiro de Avaliação
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................13 2 O PERCURSO DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS NO BRASIL................17 2.1 A Educação de Jovens e Adultos como Política Nacional de Educação ......................17 2.2 Caracterizando os sujeitos da Educação de Jovens e Adultos .....................................21 3 DISCUTINDO O ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA
EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS........................................................................24 3.1 Limites e desafios do ensino de Matemática na Educação de Jovens e Adultos.........24 3.2 Refletindo sobre a Proposta Curricular de Matemática na Educação de Jovens e
Adultos para o Ensino Fundamental.............................................................................28 3.3 Um estudo dos livros e cadernos textos propostos para a Educação de Jovens e
Adultos..............................................................................................................................33 3.3.1 Coleção 1: Tempo de Aprender: Educação de Jovens e Adultos- 6º ao 9º ano do
Ensino Fundamental - Editora IBEP- Volume 1 e 2 (6º e 7º anos)...........................34 3.3.2 Coleção 2: Cadernos de EJA..........................................................................................37 3.3.3 Coleção 3: Cadernos do Programa de Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR II
.........................................................................................................................................38 4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.....................................................................................42 4.1 Discutindo a Resolução de Problemas para o Ensino de Matemática.........................42 4.2 Classificando um problema .............................................................................................44 4.3 Fases da “Resolução Problema”......................................................................................48 4.3.1 Fase 1: Compreensão do problema................................................................................48 4.3.2 Fase 2: Estabelecimento de um plano ...........................................................................49 4.3.3 Fase 3: Execução do plano ............................................................................................50 4.3.4 Fase 4: Realização do retrospecto..................................................................................50 4.4 Algumas estratégias usadas pelos alunos ao resolverem problemas............................50 5 O PERCURSO DA PESQUISA .........................................................................................53 5.1 O ambiente escolar e os sujeitos da pesquisa .................................................................53 5.2 Primeiro Momento: aplicação de um questionário .......................................................54 5.3 Segundo momento: elaboração das atividades ..............................................................55 5.3.1 Categoria de Problema “Figural” .................................................................................56 5.3.2 Categoria de Problema “Textual” .................................................................................58 5.3.3 Categoria de problema “Gráficos e Tabelas”................................................................59 5.4 Terceiro Momento: aplicação da atividade....................................................................61 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................113 REFERÊNCIAS ...................................................................................................................117 APÊNDICE ...........................................................................................................................121
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1 INTRODUÇÃO
No ano de 1998, ingressei no curso de Matemática-Licenciatura promovido
por uma universidade pública de Minas Gerais e, logo durante o primeiro semestre
daquele ano, percebi na disciplina Cálculo Integral e Diferencial I, na turma de
Matemática, que muitos alunos da sala apresentavam um bom desempenho
cognitivo na compreensão dos conceitos acerca da disciplina. Em contrapartida,
destacavam-se outros alunos dos cursos de Engenharia que cursavam a mesma
Disciplina, em outras turmas, e que não tinham a mesma facilidade. O alto índice de
reprovação das disciplinas de Matemática nesses e em outros cursos foi observado
no decorrer dos três semestres subsequentes, na mesma universidade. Pude notar,
via comentários de colegas com os quais convivi na moradia universitária, que
algumas das disciplinas de Matemática não permitiam aos alunos refletirem sobre
sua importância e utilização.
Havia aqui uma importante preocupação sobre o porquê das dificuldades
encontradas por eles, deixando-os com baixa estima e desinteressados. Essas
indagações me impulsionaram a uma maior discussão socializada nas disciplinas de
Fundamentos da Metodologia da Matemática e Matemática e Escola, frequentadas
nos últimos semestres do curso. Nessas disciplinas, pude evidenciar alguns
percursos metodológicos que se fizeram presentes na construção do conceito
matemático ensinado na Educação Básica, bem como suas formas de serem
apresentadas.
A partir do segundo semestre de 1998, fui contratado pela Secretaria de
Estado de Educação de Minas Gerais para lecionar Matemática para quatro turmas
do ensino fundamental. Foi aí que percebi que a trajetória de um docente não
consistia apenas em abordar ou ensinar conceitos. Os alunos apresentavam
inúmeras dificuldades para compreenderem o que havia sido abordado. A
Matemática já se caracterizava como disciplina “temida” pelos alunos. Aqueles que a
compreendiam o faziam porque detinham de um bom conhecimento prévio.
Ao concluir o curso no primeiro semestre de 2001, assumi um cargo público
efetivo, na rede estadual de Belo Horizonte – MG, de Professor de Matemática, onde
pude compreender que o processo ensino - aprendizagem contempla aspectos que
podem ser associados a variadas situações, que podem ser justificadas no convívio
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social. O fato é que, ao assumir três turmas de ensino médio, na modalidade regular,
e uma turma do segundo período do ensino fundamental, na modalidade Educação
de Jovens e Adultos (EJA), me surpreendi com as maneiras distintas que esses dois
grupos de sujeitos interpretavam e resolviam problemas matemáticos, parcial ou
totalmente.
Um aspecto que me chamou a atenção foi o fato de os alunos do ensino
regular possuírem livros didáticos e os da EJA não. O fato é que o Ministério da
Educação (MEC) e a Secretaria de Estado de Educação de Minas (SEE-MG) não
disponibilizaram,na época, o uso desses materiais para esse público. Apenas
cadernos de orientações foram distribuídos, mas não atendiam à demanda. Para
tanto, foi usada parte do material disponibilizado para o ensino regular no
desenvolvimento das atividades didáticas usadas na EJA. Um dos maiores
problemas enfrentados foi a escolha das linguagens a serem usadas no enunciado
das questões propostas.
Em 2005, ao lecionar apenas a alunos da Educação de Jovens e Adultos,
pude relacionar a prática de “ensinar” à de “aprender”, o que gerou uma ação
pedagógica reflexiva, em que aluno e professor trocam experiências, produzindo
novos significados da aprendizagem da Matemática.
Durante esse período, pude perceber que se tratava de um público com
características próprias, que muitas vezes apresentava gosto pela Matemática
ensinada na escola, mas a vivenciada no dia a dia, segundo eles, mostrava-se de
maneira mais natural. Essa foi uma inquietude constante na minha prática docente.
Foi aí que busquei maiores fundamentações com o intuito de compreender o
modo como a Matemática está presente na vida desses sujeitos e como consolidam
suas aprendizagens, ingressando no curso de Pós Graduação “Programa de
Educação Profissional Integrada à Educação de Jovens e Adultos (PROEJA),
promovido por um Centro Federal de Educação Tecnológica, no ano de 2008.
Durante o curso, constatei que a Educação de Jovens e Adultos remetia a um
discurso mais amplo do que esperava, e que as implicações do ensino e
aprendizagem nessa modalidade abrangem um conjunto de aspectos que devem
ser considerados no decorrer de minha prática docente. Dentre eles está o “currículo
de Matemática”, que necessita de uma constante revisão, por se tratar de um
currículo próprio para a Educação de Jovens e Adultos.
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Nesse instante, despertou-me o interesse de buscar fontes e inovações para
atender às necessidades desse público, já que os estudantes de EJA retornam à
escola com propósitos de resgatar o tempo perdido ou mesmo buscam uma
(re)significação de conceitos utilizados no mundo do trabalho.
Hoje, lecionando para alunos do terceiro período da EJA do ensino
fundamental, percebo uma necessidade de os alunos articularem os conhecimentos
matemáticos aprendidos na escola e os conhecimentos tácitos. Em especial,
encontra-se a Aritmética, que está presente em diferentes situações do seu convívio
social e, muitas vezes, é apresentada por propriedades prontas e acabadas.
Esses e outros questionamentos e aspectos impulsionaram meu ingresso no
Mestrado em Ensino de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, no ano de 2009. Enquanto estudante do Mestrado, pude refletir acerca das
indagações surgidas com foco na aprendizagem dos alunos da EJA. Durante esse
período, a PUC Minas viabilizou informações acerca de reflexões e procedimentos
metodológicos no ensino de Matemática, o que me permitiu pesquisar a Resolução
de Problemas Aritméticos na EJA, com as contribuições positivas depositadas pelo
meu orientador, João Bosco Laudares. A realização do meu projeto de pesquisa,
cujo tema é “Estratégias usadas pelos alunos da Educação de Jovens e Adultos na
Resolução de Problemas Aritméticos”, foi uma resposta a essas indagações.
O objetivo geral deste trabalho, portanto, foi investigar como os alunos de um
curso de EJA resolvem problemas aritméticos relativos ao contexto do cotidiano.
Os objetivos específicos foram assim elencados:
a) Elaborar atividades com problemas aritméticos destinados ao público da
EJA;
b) Observar as estratégias utilizadas pelos alunos de um curso de EJA, ao
desenvolverem as questões do conjunto de atividades propostas;
c) Analisar e interpretar, à luz de algumas categorias da teoria da
aprendizagem, os dados apresentados nas observações.
Para tanto, foram estudados, em livros e cadernos didáticos, tópicos de
Aritmética através da Resolução de Problemas e, dentre eles, elencados e
articulados os assuntos relacionados ao contexto do cotidiano.
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As seguintes questões foram trabalhadas nesta pesquisa:
a) O ensino de Aritmética para alunos da EJA pode ser analisado quanto
ao seu contexto social?;
b) Como os alunos desenvolvem seu pensamento aritmético?;
c) A partir do estudo da aprendizagem dos alunos, podem-se selecionar
situações-problemas próximas à realidade do público alvo?;
d) De que maneira um Caderno de Atividades, com situações – problema,
que aborde tópicos de Aritmética com as especificidades da EJA,
contribui para o ensino significativo da Matemática de maneira a
favorecer a aprendizagem dos alunos?.
Desse modo, a dissertação foi dividida em seis capítulos:
No primeiro capítulo, relata-se o meu percurso acadêmico e minha atuação
enquanto docente, que justificam os objetivos que me levaram a pesquisar sobre o
tema escolhido.
No segundo, seguem-se um breve histórico do percurso da Educação de
Jovens Adultos no Brasil e uma importante consideração quanto à
(re)democratização de uma educação para todos, frente à legislação vigente.
No terceiro capítulo, é feita uma exposição um discurso sobre a situação do
ensino de Matemática na Educação de Jovens e Adultos, os limites e desafios
encontrados, além de um estudo de livros e cadernos textos acerca da metodologia
da abordagem da aritmética nos problemas propostos.
No quarto, há uma reflexão sobre a Resolução de Problemas para o ensino
de Matemática, bem como as estratégias usadas pelos alunos na descoberta de
novas habilidades para o pensamento numérico.
A caracterização da Escola, elaboração e execução das atividades, bem
como a trilha percorrida no desenvolvimento da pesquisa a que refere a proposta
dessa dissertação encontram-se no capítulo cinco.
As conclusões e considerações finais são enunciadas no capítulo seis, onde
há uma reflexão mais abrangente da pesquisa realizada.
O produto final dessa pesquisa é mostrado sob Apêndice, contemplando um
Caderno de Atividades sobre tópicos de aritmética, apresentado por problemas.
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2 O PERCURSO DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS NO BRA SIL
2.1 A Educação de Jovens e Adultos como Política N acional de Educação
Segundo Di Pietro e Haddad (2000b), a Constituição de 1891 consagrou uma
nova concepção de federalismo, em que a responsabilidade pública pelo ensino
básico foi descentralizada nas Províncias e Municípios. Com isso, a União assumiu
o papel de “animador” das atividades concernentes ao ensino secundário e superior,
garantindo a formação das elites em detrimento de uma educação para as camadas
sociais marginalizadas. As decisões relativas à oferta de ensino primário que ficaram
dependiam da fragilidade financeira das Províncias e dos interesses das oligarquias
regionais que as controlavam politicamente. Em detrimento disso, a nova
constituição republicana estabeleceu a exclusão dos adultos analfabetos da
participação pelo voto, pois a maioria da população adulta daquele período era
iletrada. Esse fato repercutiu em uma série de medidas, inclusive reformas
educacionais no ensino primário, pois a situação para esse campo estava muito
precária.
Segundo Brasil (2002b), a partir da segunda metade do século vinte,
crescentes foram os movimentos que impulsionaram a educação com o objetivo de
erradicar o analfabetismo no Brasil e qualificar a mão de obra dos operários
industriais. Foi no ano de 1925, com o decreto 16782/A, conhecido pela “Reforma
João Alves”, que se implementou o ensino noturno para alunos adultos.
Posteriormente, nas décadas de 1940 e 1950, foram instituídas a implementação da
obrigatoriedade e a gratuidade do ensino primário a todos os cidadãos brasileiros.
Nesse período surgiram:
a) A criação do Fundo Nacional de Ensino Primário, em 1942, que objetivou
a inclusão do supletivo a adolescentes e adultos;
b) O Serviço de Educação de Adultos (SEA) em 1947, para regulamentar os
planos de ensino;
c) A campanha Nacional de Educação Rural, 1952, para erradicar o
analfabetismo do “campo”;
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d) A Campanha Nacional de Erradicação do Analfabetismo em 1958, que
teve pouca duração.
Com essas criações e implementações, o ensino de jovens e adultos tomou
um novo rumo, pois o país necessitava de garantir aos jovens, adultos e
trabalhadores uma formação escolar crítica, pautada em valores inerentes ao ser
humano, que permitissem novos impulsos cognitivos a todos os cidadãos.
[...] ao direito de educação que já se afirmara nas leis do Brasil, com as garantias do ensino primário gratuito para todos os cidadãos, virá agora associar-se, da mesma forma como ocorrera em outros países, a noção de um dever do futuro cidadão para com a sociedade, um dever educacional de preparar- se para o exercício das responsabilidades da cidadania (BEISIEGEL, 1974, p. 63).
A esses aspectos somam- se as contribuições trazidas pelo educador Paulo
Freire que se destacou por sensibilizar os educadores ao afirmar que a educação
popular devia se pautar na conscientização dos sujeitos, de maneira que a realidade
dos alunos, jovens e adultos fosse respeitada e consolidada na escola, o que
implicou em uma renovação dos procedimentos e métodos de ensino em todo o
território brasileiro. Paulo Freire foi um dos precursores da revolução educacional no
Brasil ao disseminar suas ideias e reflexões em todo o território nacional, mesmo
sofrendo repressões militares e políticas.
Para Freire (2004), durante anos a educação foi marcada por inúmeras
desigualdades e opressões e novos paradigmas teriam de ser levados em conta
como a valorização das experiências vivenciadas, culturas e pensamentos diferentes
das pessoas.
[...] A pessoa conscientizada é capaz de perceber claramente, sem dificuldades, a fome como algo mais do que seu organismo sente por não comer, a fome como expressão de uma realidade política, econômica, social, de profunda injustiça. (FREIRE, 1994, p.225).
Em 1967 iniciou-se a campanha nacional pelo Movimento Brasileiro
Alfabetismo (MOBRAL), que consistiu em garantir uma educação que possibilitou
certificação aos jovens e adultos analfabetos. Esse movimento implicou em algumas
iniciativas governamentais e sindicais que impulsionaram novas reflexões acerca da
disseminação do MOBRAL no Brasil. Em 1971, o Ministério da Educação e Cultural
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instituiu o exame supletivo aos jovens e adultos que se encontravam defasados em
sua escolarização. (BRASIL, 2002b).
A EJA tomou novos rumos principalmente ao referir um dos movimentos que
mais se destacou no seu percurso: a 5ª Conferência Internacional sobre Educação
de Jovens e Adultos (CONFITEA) realizada em 1997, em Hamburgo, na Alemanha,
onde expandiu por toda América Latina. Os objetivos que se fizeram presentes
nessa conferência foram:
a) manifestar a importância da aprendizagem de jovens e adultos;
b) conceber compromissos regionais de maneira a facilitar a participação de
todos no desenvolvimento sustentável;
c) promover uma cultura de paz baseada na liberdade, justiça e respeito
mútuo;
d) construir uma relação sinérgica entre educação formal e não formal.
A CONFITEA também firmou os pilares educativos: aprender a ser, aprender
a conhecer, aprender a fazer e aprender a conviver. Esses pilares, segundo Brasil
(2002b), constituiriam fatores estratégicos para a formação do cidadão. Os jovens e
adultos deveriam priorizar a formação integral direcionada ao desenvolvimento de
capacidades e competências adequadas ao trabalho, além de contribuírem para sua
formação como cidadão crítico, em conformidade com os direitos humanos.
Em 1996, com a intitulação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Brasileira (LDB) nº 9394/96, a Educação de Jovens e Adultos foi incorporada como
modalidade da Educação Básica, destinada àqueles que: “não tiveram acesso ou
continuidade de estudos no ensino fundamental e médio na idade própria”. Os
sistemas de ensino deveriam assegurar gratuitamente aos jovens e aos adultos que
não puderam efetuar os estudos na idade regular, oportunidades educacionais
apropriadas, consideradas as características do alunado, seus interesses, condições
de vida e de trabalho, mediante cursos e exames que, para sua certificação.
No nível de conclusão do ensino fundamental, destinava-se aos maiores de
quinze anos e no nível de conclusão do ensino médio, destinava-se aos maiores de
dezoito anos.
20
Segundo a LDB, cabe ao poder público viabilizar e estimular o acesso e
permanência do trabalhador na escola, mediante ações integradas e
complementares entre si. A EJA deverá articular-se, preferencialmente, com a
educação profissional, na forma do regulamento (Incluído pela Lei nº 11.741, de
2008).
Os sistemas de ensino manterão cursos e exames supletivos, que
compreenderão a base nacional comum do currículo, habilitando ao prosseguimento
de estudos em caráter regular.
A Resolução 03/2010 do Conselho Nacional de Educação (CNE) apresenta
uma nova configuração diretriz para a organização da EJA no Brasil, reduzindo o
tempo de escolarização dos seus discentes de nove para seis ano, de modo a
propiciar ao aluno um ensino de qualidade e que atenda à sua especificidade,
instituindo as suas diretrizes curriculares.Deixa claro ainda que se deve observar o
perfil dos alunos, bem como sua faixa etária, ao propor um modelo pedagógico.
Seus moldes baseiam-se em assegurar nos pilares: equidade e diferença.
Equidade pela distribuição dos componentes curriculares de forma específica,
promovendo um patamar igualitário de formação e restabelecimento de igualdade de
direitos.
Diferença pela valorização do mérito de cada indivíduo e desenvolvimento de
seus conhecimentos e valores.
Dentre as diretrizes curriculares previstas na referida resolução, a modalidade
EJA deverá desempenhar várias funções, como reparadora, equalizadora e
qualificadora, de forma a garantir um ensino específico que a atenda. Reparadora
pela reparação de um direito a eles negado. Equalizadora, pois a equidade dos bens
sociais ocorre em vista da maior igualdade, nas situações específicas. Qualificadora,
pois refere-se à educação permanente do cidadão.
Antes mesmo de se construírem diretrizes curriculares para a Educação de
Jovens e Adultos, é preciso analisar como as políticas articulam e implementam
suas ações. Para tanto, cabe uma institucionalização aos sistemas educacionais
públicos de Educação Básica para regulamentação e funcionamento eficaz de
jovens e adultos como política pública de Estado, e não apenas de governo,
direcionando a gestão democrática escolar e todos os educadores que atuam,
21
proporcionando a conjugação de políticas públicas setoriais de maneira a preservar
o direito da diversidade dos sujeitos jovens e adultos.
Tem-se uma reflexão quanto à garantia da Educação de Jovens e Adultos como
direito legado, com vista na constituição e resolução mencionadas, uma vez que a
proposta implementada para essa modalidade da educação básica não garante a
eficácia do ensino, pois as políticas públicas que a asseguram não contemplam as
especificidades próprias dos discentes de cada escola, que muitas vezes se
confundem com os propósitos atribuídos aos do ensino regular.
Esse discurso apresenta uma constante preocupação por parte dos governos
em diminuir o índice de analfabetismo adulto no Brasil, o que remete a medidas
urgentes cada vez mais discutidas entre os educadores de EJA. As implementações
pedagógicas, bem como o preparo dos profissionais, estão pouco ancorados nessas
políticas, uma vez que a falta de materiais e a valorização dos docentes são
discutidas em segundo plano. Faz-se aqui uma reflexão quanto à implementação de
novas regulamentações governamentais que possam subsidiar mais ações
pedagógicas e garantia de recursos mínimos, de modo a possibilitar um ensino que
atenda a esse público: trabalhadores que buscam a escola para continuar seus
estudos por falta de acesso e insucesso escolar nos anos anteriores, dentro outros
aspectos.
2.2 Caracterizando os sujeitos da Educação de Joven s e Adultos
Segundo Oliveira (1999), a Educação de Jovens e Adultos é caracterizada
não apenas por uma questão etária, mas também há uma questão de especificidade
cultural. O adulto, na modalidade EJA:
[...] não é o estudante universitário, o profissional qualificado que freqüenta cursos de formação continuada ou de especialização, ou a pessoa adulta interessada em aperfeiçoar seus conhecimentos em áreas como artes, línguas estrangeiras ou música, por exemplo. Ele é geralmente o migrante que chega às grandes metrópoles proveniente de áreas rurais empobrecidas, filho de trabalhadores rurais não qualificados e com baixo nível de instrução escolar (muito frequentemente analfabetos), ele próprio com uma passagem curta e não sistemática pela escola e trabalhando em ocupações urbanas não qualificadas, após experiência no trabalho rural. (OLIVEIRA, 1999, p.59).
Ainda segundo a autora, esse público é composto por homens e mulheres,
trabalhadores inseridos no mundo do trabalho em ocupações com baixa qualificação
22
profissional e baixa remuneração, marginalizados nos campos sociais e econômicos
e que não tiveram acesso à cultura letrada, ao ensino normal, ou seja, estiveram
fora da escola no período de sua infância, não iniciaram ou não concluíram seus
estudos; são excluídos do sistema de ensino ou por não terem acesso à instituição
escolar, ou pela exclusão do ensino regular, ou por terem que trabalhar e foram
obrigadas a abandonar os estudos. Muitas dessas pessoas vivem em situação de
preconceito. Apresentam o desejo de aprender, mas se sentem desencorajadas em
função da idade, raça, gênero e cultura, pois não acreditam que são capazes de ler
ou que vão ter um bom desempenho escolar na fase adulta. Mas, diferentes da
criança e do adolescente quando chegam à escola, pois os adultos trazem consigo
uma bagagem de conhecimentos e reflexões acerca do mundo. Deste modo, para
serem inseridos em situações de aprendizagem, a escola deve propiciar a
capacidade de criação de novas habilidades, provavelmente diferenciadas em
relação à aprendizagem das crianças, que não apresentam essas especificidades.
A questão da idade pode resultar em experiências que as crianças e
adolescentes ainda não vivenciaram. A maneira pela qual esses jovens e adultos
foram inseridos no mundo do trabalho e a forma como se relacionaram com outras
pessoas lhes permite encarar os desafios de forma mais madura, a sua vida adulta
lhes permite interpretar, fazer inferências e produzir sentido a partir de suas
vivências. Ao contrário da Educação infantil, cuja formação se faz visando a
vivências futuras, a Educação de jovens e adultos se faz a partir de situações atuais,
experiências vividas no cotidiano de cada um (OLIVEIRA, 1999).
[...] Epistemologicamente seria reconhecer e valorizar o outro tipo de conhecimento para além do conhecimento sistematizado, socialmente valorizado [...] denominado como conhecimento tácito. [...] O trabalhador, ainda que de forma, que não é apenas constituído de noções de sobrevivência e relacionamento na selva competitiva de trabalho, mas que é também técnico. (ARANHA, 2003, p.105).
Para Oliveira(1999), o sujeito da EJA não é caracterizado como o homem
ocidental, urbano, das classes médias e com nível de instrução elevado. É aquele
que se tornou excluído do processo de escolarização, durante anos. As
especificidades apresentadas por ele são inúmeras. Os desafios são encontrados
diariamente. O fato é que a escola, muitas vezes, vê a EJA como uma ramificação
do ensino regular, onde currículo e métodos de ensino foram inicialmente
23
direcionados para crianças e adolescentes, sem se observar que se trata de uma
modalidade de ensino específica do público de jovens ( quase ou total adultos) e
adultos.
Segundo Di Pierro e Haddad (2000b):
A ampliação da oferta de vagas não foi acompanhada de uma melhoria das condições de ensino, de modo que, hoje, temos mais escolas, mas sua qualidade é muito ruim. A má qualidade do ensino combina-se à situação de pobreza extrema em que vive uma parcela importante da população para produzir um contingente numeroso de crianças e adolescentes que passam pela escola sem lograr aprendizagens significativas e que, submetidas a experiências penosas de fracasso e repetência escolar, acabam por abandonar os estudos. Temos agora um novo tipo de exclusão educacional: antes as crianças não podiam freqüentar a escola por ausência de vagas, hoje ingressam na escola mas não aprendem e dela são excluídas antes de concluir os estudos com êxito. (DI PIERRO; HADDAD, 2000b, p.126).
Fonseca (2005a) traz uma importante consideração quanto à necessidade de
uma luta pela (re)democratização e preservação de um ensino de qualidade para a
EJA, uma vez que não se trata de um público do ensino regular, mas de um público
com especificidade própria. Em consideração, discute-se a condição do aluno
trabalhador que chega cansado para assistir às aulas e que, muitas vezes, não
consegue associar trabalho e estudo noturno. Esse e outros indicadores justificam
os motivos que levam esses alunos a se evadirem da escola. Inúmeras vezes, a
aprendizagem é deixada em segundo plano, já que o trabalho é mais importante, por
ser uma das necessidades das classes baixas e populares.
24
3 DISCUTINDO O ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
3.1 Limites e desafios do ensino de Matemática na E ducação de Jovens e Adultos
Segundo os Parâmetros Curriculares de Matemática de 1998, aprender
Matemática é um direito que deve ser garantido a todo e qualquer cidadão que
esteja inserido em uma sociedade, principalmente ao se referir àqueles que foram
excluídos do processo de escolarização, jovens e adultos de baixa renda que
deixaram a escola por diversas dificuldades e/ou precisavam trabalhar para seu
próprio sustento. Esse público detém algumas habilidades que adquiriram no
decorrer de sua vivência social, tais como mensurar, calcular e argumentar
matematicamente sobre diferentes situações do cotidiano. Essas e outras
constituem uma rede de conexão imprescindível à formação do cidadão para o
exercício de sua cidadania. As regras de memorização, ou mesmo estratégias
desenvolvidas para eles resolverem problemas, têm sido consideradas pouco
significativas para a aprendizagem de Matemática. Certamente, o estímulo à
descoberta por eles mesmos e a autonomia advinda da confiança da própria
capacidade pode contribuir para o enfrentamento de seus limites e desafios na
aprendizagem desses jovens e adultos.
Hoje há muitas discussões acerca do letramento matemático no Brasil. Um
estudo realizado pelo Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional(INAF)
desenvolvido pelo Instituto Paulo Montenegro mostra a situação da população
brasileira quanto à aprendizagem em Matemática. Esse indicador tem por objetivo
avaliar a capacidade das pessoas de desenvolver algumas habilidades. Para tanto,
categorizou-as em Analfabeta, Alfabeta de nível rudimentar, Alfabeta de nível básico
e Alfabeta de nível pleno.
Analfabeta por referir-se às pessoas que não conseguem realizar tarefas
simples que envolvem leituras de palavras, números de telefones etc.
Alfabeta de nível rudimentar refere-se às pessoas que apresentam capacidade
de localizar informações em textos curtos, ler e escrever números usuais, além de
realizar simples operações.
25
Alfabeta de nível básico são aquelas pessoas alfabetizadas que conseguem ler
e compreender textos de média extensão, podendo localizar informações com
pequenas referências, como resolver problemas que envolvem sequência simples
de operações.
Alfabeta de nível pleno consiste em categorizar pessoas cujas habilidades não
mais impõem restrições para compreender e interpretar textos em situações usuais.
Resolvem problemas que exigem maior planejamento e controle.
Um estudo realizado por Fonseca (2004) relata que 3% da população
brasileira constituem-se de analfabetos funcionais. Segundo a autora, 29% dos
jovens e adultos encontram dificuldades para resolver problemas envolvendo
simples cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão, e que apenas 23% da
população brasileira é capaz de adotar estratégias para resolver algum problema
que envolva a execução de uma série de operações simultâneas como adição,
subtração, multiplicação, divisão e cálculo proporcional. Segundo a autora, os
resultados alcançados nesse índice mostram quais iniciativas, além da escola,
podem fazer a diferença para que o Brasil supere os grandes déficits.
[...] os resultados da pesquisa INAF 2002, pauta-se que apenas 3% da população brasileira de 15 a 64 anos encontra-se nessa situação de analfabetismo matemático, contra 9% em situação de analfabetismo absoluto apurado na pesquisa que avaliou em 2001 habilidades de leitura e escrita. (FONSECA, 2004, p. 18).
Em 2009, uma nova pesquisa foi realizada pelo INAF e apontou, com base
nos dados informados, que há 47% de alfabetos de nível básico, seguido de 25% de
nível pleno. Com isso, ao comparar com resultados anteriores(2001-2009), pode-se
afirmar que os esforços têm produzidos resultados para melhoria das capacidades
de alfabetismo da população brasileira (BRASIL, 2009).
Ao elencar os limites encontrados na aprendizagem de Matemática, não se
pode esquecer das reminiscências dos sujeitos da EJA que, segundo Fonseca
(2001), são colocadas como ação social organizada, em que os conceitos,
proposições, estratégias, os termos e as representações gráficas, as aplicações e as
avaliações do conhecimento matemático são tomados como versões pragmáticas.
Muitas vezes, os jovens e adultos retomam as lembranças de sua aprendizagem
com o intuito de incorporá-las à atualidade e, pelo fato de eles terem se afastado da
26
escola já há algum tempo, não percebem que os conceitos rebuscados são apenas
ideias, e por isso ocorre o confronto de pensamentos.
Ainda segundo a autora, a recorrência desse procedimento se dá por
considerar que a recordação dos conhecimentos escolares é muito mais do que uma
tentativa de abreviar o processo de aprendizagem do presente ( uma tentativa de
aproveitar lembranças do passado). O resgate e a manifestação dessas lembranças
são ações sociais organizadas que definem as identidades socioculturais dos alunos
da EJA.
Outro limite encontrado está associado à crença de muitos alunos e
professores, que consideraram a Matemática uma disciplina exata, onde o resultado
final de um problema ou exercício é suficiente para se avaliar a aprendizagem, o que
implica no desestímulo à aprendizagem de muitos alunos. O ensino passou a torna-
se cada vez mais excludente, o que fez esses sujeitos abandonarem a escola,
reportando para a Matemática um conceito de conteúdo escolar difícil de ser
entendido, inacessível e sem sentido para eles. Com o passar dos últimos anos esse
limite foi se dissolvendo, e novos rumos foram surgindo.
O fato é que esses e outros aspectos são estruturantes para se conhecer as
possíveis causas dos limites e desafios encontrados no processo de ensino e
aprendizagem na EJA.
Outro desafio percebido está associado aos desinteresses desses alunos,
que muitas vezes se sentem desmotivados para aprender Matemática. Esse fato
pode estar relacionado por eles apresentarem dificuldades em alguns conceitos
básicos de aritmética, pela falta de alguns hábitos de leitura, de informações de
jornais ou revista, além da inadequação dos métodos de ensino escolhidos pelos
docentes dessa modalidade. Deve-se possibilitar a esse público o desenvolvimento
de atitudes e capacidades de modo a despertar suas habilidades, tornando-o capaz
de lidar com novas situações. Para tanto, é necessário que cada professor propicie
condições que favoreçam a curiosidade e o desejo de aprender, valorizando o
pensamento de cada indivíduo. Além disso, é necessário que os docentes da EJA
tenham um olhar adequado aos diferentes discursos emergidos da apresentação
dos conceitos matemáticos abordados em uma sala de aula (DANTE, 1995).
27
[...] Os alunos da EJA também se remetem à mobilização das reminiscências matemáticas não só como um exercício de resgate de conceitos, procedimentos, diagramas, termos ou proposições da matemática, mas como oportunidade de reviver os sentimentos que envolveram sua relação com aquela matemática e de (re)elaborá-los a partir de uma reconstrução coletiva, realizada na interação discursiva da sala de aula: são “ocasiões de ‘re-sentir’ certos acontecimentos, às vezes de ser capaz de re-ordenar esses sentimentos para imaginar novas relações entre coisas conhecidas ou mundos completamente novos(SHOTTER, 1990, p. 152).
Dentre as dificuldades encontradas pelos alunos da EJA na aprendizagem
dos conceitos matemáticos na escola, cita-se a linguagem abordada, pois muitas
vezes esse alunado não percebe a conexão entre a Matemática vivenciada por ele e
um conceito matemático explorado de maneira conceitual (no ambiente sala de
aula). Por exemplo, se um professor pedir aos alunos para resolverem a operação
5,00 – 1,75, provavelmente boa parte terá dificuldade em operar o algoritmo. Por
outro lado, se a questão for abordada sob outro aspecto, por exemplo: “Tem R$ 5,00
e pagará uma passagem de ônibus de R$ 1,75, quanto de troco receberá?”,
certamente a maioria acertará. Para Gimenes e Lins (2006), há necessidade de
envolver os alunos em situações onde o contexto matemático trazido da rua possa
contribuir para melhores resultados na escola e vice versa, consolidando deste
modo uma aprendizagem significativa. Não há aqui a intenção de privilegiar um
contexto ou outro, e sim de discutir uma possível articulação de conhecimentos ou
mesmo de (re)significar àqueles conhecidos por “conhecimentos tácitos"1.
Discutir as implicações de como se podem trabalhar os conteúdos na escola
não é suficiente para definir os limites e desafios do ensino de Matemática em
turmas de EJA, pois há uma gama de aspectos a serem considerados, como: “A
quantidade de alunos matriculados nas salas é ideal? Quais ambientes são
necessários para se realizar uma atividade investigativa? Os recursos tecnológicos
são disponíveis? Qual a formação do professor de matemática?”. Esses e outros
aspectos elencados consistem em um conjunto de reflexões que podem contribuir
para identificação de fatores que fragmentam a aprendizagem desses alunos.
Não se pode deixar de discutir que muitos são os cursos de licenciaturas que
não oferecem aos futuros professores de Matemática uma maior discussão
fundamentada na especificidade desse público, reportando a EJA a uma modalidade
singular do ensino regular, pautada em procedimentos didáticos e pedagógicos
1 Conhecimentos adquiridos do convívio social. (ARANHA, 2004).
28
reproduzidos deste ensino. Segundo Brousseau (1986) a tríade professor - aluno -
saber consiste na dependência de regras e convenções, implícitas e explícitas, em
que as dificuldades dos alunos têm causa nos efeitos de um contrato didático mal
colocado ou mal-entendido. Nesse âmbito, procura-se refletir sobre quais aspectos
devem-se considerar ao avaliar o ensino de Matemática para atendimento a um
público específico que traz consigo uma visão de mundo socialmente adquirida e
construída no decorrer de seu percurso de vida.
3.2 Refletindo sobre a Proposta Curricular de Matem ática na Educação de Jovens e Adultos para o Ensino Fundamental
No ano de 2002, a Secretaria de Ensino Fundamental do Ministério de
Educação e Cultura Brasileira implementou uma proposta curricular para apoiar as
diretrizes curriculares do ensino de Matemática da Educação de Jovens e Adultos –
segundo segmento. A filosofia desta proposta, segundo Brasil (2002b) teve por base
as seguintes temáticas:
a) a necessidade de unir esforços entre as diferentes instâncias governamentais
e da sociedade, para apoiar a escola na complexa tarefa educativa;
b) o exercício de uma prática escolar comprometida com a interdependência
escola/sociedade, tendo como objetivo situar os alunos como participantes da
sociedade (cidadãos);
c) a participação da comunidade na escola, de modo que o conhecimento
aprendido resulte em maior compreensão, integração e inserção no mundo;
d) a importância de que cada escola tenha clareza quanto ao seu projeto
educativo, para que, de fato, possa se constituir em uma unidade com maior
grau de autonomia, e que todos os que dela fazem parte possam estar
comprometidos em atingir as metas a que se propuseram;
e) o fato de que os jovens e adultos deste país precisam construir diferentes
capacidades, e que a apropriação de conhecimentos socialmente elaborados
é base para a construção da cidadania e de sua identidade;
f) a certeza de que todos são capazes de aprender;
29
É fato que os jovens e adultos apresentam iguais condições de aprendizagem
que as crianças e adolescentes, mas diferenciadas quanto ao modo de pensar.
Essas diferenças podem estar associadas às diferentes interlocuções matemáticas
trazidas em situações do cotidiano. Os adultos (e jovens) manipulam a matemática
desde um simples cálculo para fazerem “trocos” em padaria, supermercado, dentre
as mais diferentes situações que lhes são submetidos.
[...] A Matemática compõe-se de um conjunto de conceitos e procedimentos que englobam métodos de investigação e raciocínio, formas de representação e comunicação que abrange tanto os modos próprios de indagar sobre o mundo, organizá-lo, compreendê-lo e nele atuar, quanto o conhecimento gerado nesses processos de interação entre o homem e os contextos naturais, sociais e culturais. (BRASIL, 2002b, p.12).
A presente proposta do MEC traz uma importante discussão quanto às
implicações do ensino de Matemática na Educação de Jovens e Adultos no Brasil,
bem como os desafios docentes encontrados. Um dos aspectos discutidos é a
escassez de materiais didáticos pedagógicos publicados para atendimento a esse
público, o que implica em adequações trazidas do ensino regular feitas por vários
professores, obrigando-os a se prenderem às vezes a uma única série. O segundo
aspecto evidenciado são as falhas das políticas públicas destinadas á formação de
professores,objeto constante de discussões. O terceiro foi a escolha de livros
didáticos que não atendem a essa modalidade, inúmeras vezes abordando uma
grande quantidade de exercícios mecanizados, divergindo do que é previsto pelos
Parâmetros Nacionais de Matemática do ano de 1998 (PCN) que relata que o aluno
deverá ser estimulado a questionar sua própria resposta, a transformar um dado
problema numa fonte de novos problemas. Deste modo, a aprendizagem não se
limitará pela reprodução de conhecimentos e sim pela transformação de ações.
Ainda segundo a proposta, a atividade matemática a ser explorada na
Educação de Jovens e Adultos deve-se integrar, indissociavelmente, às funções
formativas e funcionais dos discentes. Formativa, para preservar as capacidades
intelectuais de pensamento, e funcionais em garantir a aplicação dessas
capacidades à vida prática para, a partir daí, resolverem problemas em diversas
áreas de conhecimento.
Para que os professores possam fazer as escolhas pedagógicas, alcançar os
objetivos e escolher os conteúdos selecionados, além de avaliar, é preciso identificar
30
as principais características da ciência, seus métodos e aplicações, de maneira a
desempenhar seu papel de mediador entre o conhecimento matemático e o aluno. O
professor deve conceber a Matemática como uma ciência dinâmica, para se
incorporar aos novos conhecimentos, e não como um saber isolado ou imutável.
Para tanto, há necessidade de que o docente da EJA compreenda que os
conhecimentos matemáticos devem ser transformados e construídos pelos alunos
(BRASIL, 2002b).
Essa proposta enfatiza a importância da contextualização dos conteúdos de
Matemática sob diferentes aspectos. Os temas deverão ser apresentados sob uma
ou mais situações, fazendo sentido para os alunos por meio de conexões com
questões do cotidiano, com problemas ligados a outras áreas do conhecimento ou,
ainda, por relações entre os próprios conteúdos da Matemática, como Álgebra e
Geometria, por exemplo. O discurso aqui é desenvolver no alunado da EJA a
percepção matemática das coisas e de suas diferentes situações vivenciadas ou
não, ampliando, deste modo, sua visão de mundo. Ao deparar com diversos
contextos, ele não identifica apenas um conteúdo ou outro, mas o associa a outras
áreas de conhecimento.
Ao se identificarem os conteúdos de Matemática a serem explorados e as
estratégias didáticas traçadas, primeiramente devem-se definir os objetivos do
ensino de Matemática a serem alcançados na Educação de Jovens e Adultos. Para
tanto, segundo Brasil (2002b), é necessário:
a) reconhecer os conhecimentos matemáticos como meios para
compreender e transformar o mundo, estimulando o interesse, a
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade
para resolver problemas. O fato de a Matemática ser utilizada no dia a dia
das pessoas é de fundamental importância para estimular o jovem e/ou
adulto a desenvolver novas habilidades, onde “Ensinar o quê?”, “Para
quê?” e “Em que aplicar”? São reflexões importantíssimas que podem
conduzir o professor a rever sua própria prática docente;
b) fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da
realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o
conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico,
31
estatístico, combinatório, probabilístico). Os alunos jovens e adultos
assistem a jogos de futebol, fazem previsão de jogos, apostam na mega
sena, estimam o “pé direito de uma casa” ou mesmo fazem cálculo
utilizando grandezas como área e volume. Deste modo, há necessidade
organizar, selecionar e produzir informações relevantes, para interpretá-las
e avaliá-las criticamente;
c) resolver situações problema para validar suas estratégias e resultados,
como intuição, indução, dedução, analogia e estimativa, utilizando
conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos
tecnológicos disponíveis. Há a intenção de envolver o alunado em
situações mais amplas, para ele que possa adquirir mais autonomia na
tomada de algumas decisões, contribuindo para a transformação do
cidadão crítico;
d) Comunicar-se com a Matemática com precisão e argumentar sobre suas
conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações em
diferentes representações matemáticas.(ou mantém como estava?). Esse
objetivo permite que o professor reconheça como o aluno é sujeito ativo da
aprendizagem matemática, podendo adquirir níveis mais elevados, que
vão desde uma simples contagem a buscar padrões encontrados em
algumas situações propostas;
e) Estabelecer conexões entre os diferentes campos da Matemática, e entre
esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares. Os diferentes
campos da Matemática e outras áreas de conhecimento podem ser
trabalhados e desenvolvidos de modo a favorecer diferentes relações, de
maneira a otimizar o tempo das atividades desenvolvidas na EJA, uma vez
que este necessita de uma ampliação;
f) Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos
matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de
soluções;
g) Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente
na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos
consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de
pensar dos colegas e aprendendo com eles.
32
Um dos aspectos a ser levantado é a socialização dos alunos na tomada de
decisões ao resolverem problemas, o que permitirá a eles uma integração mútua de
saberes, em que o respeito às opiniões é preservado e valorizado. O trabalho em
equipe poderá desempenhar novas funções cognitivas para esse público,
principalmente se se tratar de alunos adultos que apresentam visões distintas do
desenvolvimento do ser humano.
Ainda segundo a proposta, os conceitos matemáticos devem estimular e
desenvolver diferentes pensamentos: numérico;, geométrico, algébrico, competência
métrica, de raciocínio que envolva proporcionalidade, assim como o raciocínio
combinatório, estatístico e probabilístico.
Para tanto, esses pensamentos devem permitir ao discente da EJA do ensino
fundamental descobrir novas habilidades cognitivas, imprimindo criações de
estratégias próprias, impulsionadoras para o traçado de resoluções de situações
problemas, uma vez que o conjunto de práticas apresentadas por habilidades e
maneiras matemáticas de pensar são relacionadas ao processo de letramento ou
numeramento (FONSECA, 2005).
Observou-se ainda, no discurso desta proposta, que não há orientação pela
identificação de conteúdos privilegiados, como, por exemplo, aqueles que
constituem os chamados “pré-requisitos” para o desenvolvimento de outros, porém
deixa uma reflexão sobre a abrangência de temas que poderão incorporar
conteúdos que os alunos já vivenciaram tanto na escola quanto em seu percurso de
vida. Ainda segundo a proposta, deve-se assegurar a busca de contextos
significativos para abordagem de algum tema proposto, além de indicar as conexões
que podem ser estabelecidas entre os assuntos abordados.
No que se refere ao tema dessa dissertação, pode-se dizer que o trabalho
com resolução de problemas na EJA oferece oportunidades de os alunos ampliarem
tanto seus conhecimentos acerca dos conceitos quanto o desenvolvimento de auto-
confiança. Segundo Brasil (2002), uma situação problema deverá ser criativa e
desafiadora, onde as perguntas deverão ser motivadoras, de ordem prática, como
divisão de terras, cálculo de créditos, bem como questões relacionadas a
investigações relativas ao próprio conhecimento matemático.
A Aritmética aqui foi categorizada pelo bloco de números e operações, e
grandezas e medidas, sintetizando:
33
a) compreensão da potência como produto de fatores iguais, uso das
propriedades da potenciação em situações problema, extensão das
propriedades das potências com expoente positivo para as potências de
expoente nulo e negativo;
b) resolução de situações problemas que envolvem juros simples, construindo
estratégias variadas, particularmente as que fazem uso de calculadora;
c) constatação de que existem situações problema, em particular algumas
vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por
números racionais.
Não se pode deixar de comentar que os autores que implementaram essa
proposta orientam sobre a importância da exploração dos conteúdos de Matemática
abordados em contextos já vivenciados pelos alunos da Educação de Jovens e
Adultos. O fato é que esse público detém conhecimentos muitos tácitos que podem
contribuir para um (re)significado da Matemática. Ao perceber, por exemplo, um
aumento significativo de uma conta de luz em sua residência, o jovem ou adulto
certamente fará reflexões sobre quais fatores são considerados para descoberta das
causas desse aumento e em que proporção ele ocorre. O mesmo acontece quando
o preço da cesta básica aumenta de um mês para o outro, consideravelmente.
Essas e outras situações permitem uma reflexão acerca do conhecimento
matemático observado em seu cotidiano, além de propiciar uma investigação mais
consistente entre os objetos da própria Matemática. Por outro aspecto, deve-se
explorar essa metodologia e não meramente contextualizar a Matemática ou mesmo
inserir algum contexto a ela.
3.3 Um estudo dos livros e cadernos textos proposto s para a Educação de Jovens e Adultos
Conforme já discutido anteriormente, há ainda uma escassez de materiais
didáticos voltados para Educação de Jovens e Adultos. Foram levados em
consideração algumas coleções disponibilizadas e cadernos textos de Matemática
34
referentes ao Ensino Fundamental dessa modalidade. O objetivo é fazer uma
investigação acerca de como os conhecimentos aritméticos são apresentados na
forma de resolução de problemas, conforme se vê a seguir:
3.3.1 Coleção 1: Tempo de Aprender: Educação de Jov ens e Adultos- 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental - Editora IBEP- Volume 1 e 2 (6º e 7º anos)
O volume I desta coleção refere-se à abordagem de Matemática do 6º ano,
elaborada pelas autoras Clarice Gameiro da Fonseca Pachi e Sônia Maria Ferreira
Valentini. Os problemas apresentados pelas autoras são explorados por meio de
exercícios de reconhecimento e identificação, como:
a) Apresente sucessor e antecessor de um número;
b) Represente as frações com barras de chocolates;
c) Compare os números;
d) Calcule as seguintes operações;
e) Identifique as frações;
f) Compare os créditos e débitos;
g) Transforme as frações em decimais;
h) Identifique a localização de sua casa.
Os problemas classificados como padrão, segundo Dante (1995), também
são explorados tanto no volume 1 quanto no 2. Exercícios envolvendo gráficos e
tabelas são apresentados por recurso de construção, como ”desenhe uma tabela
colocando os dados obtidos a partir da situação apresentada”. Quanto à abordagem
de problemas mais amplos, pode se dizer que é apontada uma metodologia voltada
para orientação de caminhos em que os alunos são submetidos a responderem
algumas perguntas para concluírem seu raciocínio, conforme o exemplo a seguir:
35
Quadro 1 - 1º Problema de livro estudado Uma pessoa precisa caminhar todos os dias, por recomendação médica, um percurso de
no mínimo 3 km . Ela prefere fazer esse percurso em duas etapas, pois precisa adequar
essa caminhada ao seu horário de trabalho. Sendo assim, para não deixar de cumprir todo
o percurso, ela sempre faz o registro das distâncias em uma agenda..Em determinado dia,
ela anotou na sua agenda como segue:
• 1000 m no período da manhã;
• 2 km no período da noite.
Converse com seus colegas e seu educador, respondendo ao que se pede:
a) Será que essa pessoa cumpriu a sua meta diária?
b) As distâncias anotadas na agenda foram feitas com a mesma unidade de medida?
c) Para verificar se a pessoa cumpriu a meta, é possível fazer a conta calculando os valores
em metros junto com os valores em quilômetros? Por quê?
d) Você sabe o que é preciso fazer para realizar essa conta?
Fonte: (PACHI; VALENTINI,2009)
Nota-se, aqui, que o problema foi apresentado de modo orientado, onde o
aluno poderá se prender apenas aos itens a, b, c e d, sem fazer uma análise
detalhada. Para que o problema citado apresente-se de maneira desafiadora, as
perguntas poderiam vir enunciadas de forma mais reflexiva. Outro aspecto
importante discutido é o fato de a palavra “pessoa” ser muito ampla e poderia ser
substituída por um nome, por exemplo.
No volume 2, as autoras trazem uma abordagem de porcentagem através de
textos explicativos, objetivando desenvolver hábitos de leitura e compreensão, com
perguntas também orientadas. Os problemas simples também aparecem, mas no
decorrer de seu desenvolvimento. As questões envolvendo gráficos são
apresentadas por contextos associados ao cotidiano, como taxa de mortalidade e
natalidade, com mais dois itens; porém, o conteúdo matemático que surge aparece
nos itens finais.
Relata-se aqui que as autoras tiveram grande preocupação em contextualizar
os problemas propostos. Todavia, não se observaram muitas situações que
implicam em descobertas de novas habilidades.
No volume 3 dessa coleção, há uma abordagem do conceito de proporcionalidade
apresentada sob a forma de textos, apresentando os temas “culinária” e “cultura”,
36
explorados, muitas vezes, por resoluções também orientadas. Os problemas padrão
surgem em pequena quantidade. É evidenciado nesse volume que as autoras
tiveram maior preocupação em discutir os conceitos aritméticos com uma maior
abrangência, em que os problemas de aplicação são explorados sob diferentes
pensamentos, inclusive o proporcional, conforme se vê:
Quadro 2 - 2º Problema de livro estudado
Receita de Feijoada
Ingredientes: 500 g de feijão preto
500 g de pé de porco salgado 200 g de rabo de porco salgado
400 g de costela salgada 400 g de paio
400 g de carne de porco salgada 300 g de carne seca
3 cebolas grandes picadas 6 dentes de alho
2 laranjas (bem lavadas, com casca, partidas em 4)
Acompanhamentos : Arroz (prepare 1 xícara (chá) de arroz para cada 3 pessoas).
Couve (sugerimos 1 maço pequeno de couve para cada 4 pessoas) Laranja (½ laranja por pessoa)
Farinha de mandioca ou farofa temperada. Molho de pimenta vermelha ( a gosto)
Rendimento : 10 pessoas Imagine que você foi convocado para ajudar a preparar uma feijoada para 20 pessoas. Para isso, recebeu a receita que acabou de ler. O que fazer para que a quantidade de feijoada seja suficiente para deixar todos satisfeitos? 1- Recordando o estudo das proporções, qual é a quantidade de arroz que será necessária para alimentar 20 pessoas? 2- Agora, faça os cálculos para os outros ingredientes, indicando qual é a quantidade de feijoada que dá para servir cerca de 20 pessoas”.
Fonte: (PACHI;VALENTINI,2009).
Observe que, na situação descrita acima, se espera que o aluno resolva cada
item solicitado, não permitindo a ele uma maior reflexão. As perguntas poderiam ser
agrupadas em uma só, de modo que, ao resolvê-la, ele pudesse estabelecer suas
próprias estratégias, por exemplo: “Qual a quantidade de ingredientes necessária
para servirem 20 pessoas? E para 40?”.
37
No volume 4, os problemas envolvendo porcentagem são explorados
fazendo-se uso de figuras, de folhetos, gráficos e tabelas, novamente apresentados
por roteiros orientados em suas perguntas. Outro aspecto que se tem evidenciado
foi o fato de Aritmética, Geometria e Álgebra se apresentarem de forma isolada, sem
conexão, seja em exercícios de reconhecimento, aplicação a um algoritmo ou
mesmo um problema de aplicação, salvo algumas situações exploradas sob forma
de projetos, como, “Projeto: construção civil”, em que o alunado deverá fazer
pesquisa de preços e quantidade de materiais, orçamentos e previsão do tempo
necessário para a conclusão da obra e cálculo de área.
As autoras Pachi e Valentini, desta coleção, tiveram a preocupação em
abordar os conteúdos de Aritmética sob uma visão mais geral, buscando sensibilizar
o alunado da EJA do ensino fundamental com abordagens de temas já vivenciados,
além do recurso da exploração de algoritmos simples, como soma, diferença,
multiplicação ou divisão, mas isoladamente.
3.3.2 Coleção 2: Cadernos de EJA
Essa coleção foi desenvolvida em parceria com a Rede Unitrabalho e o
Ministério da Educação Brasileira do ano de 2007, contemplando 27 cadernos que
objetivam o apoio ao docente da Educação de Jovens e Adultos do ensino
fundamental. Os temas destacados nessa coleção foram:
a) Cultura e Trabalho;
b) Diversidade e Trabalho;
c) Economia e Trabalho;
d) Emprego e Trabalho;
e) Globalização e Trabalho;
f) Juventude e Trabalho;
g) Meio Ambiente e Trabalho;
h) Mulher e Trabalho;
i) Qualidade de Vida;
j) Consumo de Trabalho;
k) Segurança e Saúde no Trabalho;
l) Tecnologia e Trabalho;
38
m) Tempo Livre e Trabalho;
n) Trabalho no Campo.
A metodologia apresentada nos cadernos estudados consiste em um
trabalho multidisciplinar, integrando a Matemática com diferentes áreas de
conhecimento. As atividades apresentadas por essa coleção referem-se a um ensino
voltado para envolver o alunado em uma investigação de situações problema a
serem exploradas por seus grupos, onde cada um se organizará para execução de
um croqui.
Não se observaram abordagens de problemas padrão ou que exijam
algoritmos prontamente já aprendidos, porém o roteiro de cada atividade tem por
base informações orientadas acerca de textos propostos, como “Segurança no
Trabalho”, “Portadores de HIV”, “Moradia aos Trabalhadores” e outros. Além disso,
não se percebeu, nesta coleção, a importância de se explorar a resolução de
problemas aritméticos e sim de discutir alguns assuntos em que a Matemática se faz
presente.
3.3.3 Coleção 3: Cadernos do Programa de Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR II
Essa coleção foi implementada pela Secretaria de Educação Básica do
Ministério da Educação e Cultura (MEC), em 2007, visando à formação continuada
de professores dos anos finais do ensino fundamental. Os cadernos foram
elaborados por temas como “Matemática Na Alimentação e nos Impostos”,
“Matemática nos Esportes e nos Seguros”, “Construção do Conhecimento
Matemático em Ação”, dentre outros.
Ao estudar essa coleção, percebeu-se que os indicativos para se trabalhar a
resolução de problemas se dão sob “resolução problematizadora”, onde as
atividades são contextualizadas à realidade social, cultural e econômica do país.
Segundos os autores da referida coleção, a resolução de problema é uma
importante ferramenta para se trabalhar no ambiente sala de aula, mas o professor
não deveria ter pressa para mostrar o modo de resolução de um problema a seus
39
alunos, pois leva à sua exclusão do processo. O importante é que se façam valer os
procedimentos mais espontâneos dos alunos.
Refletindo sobre o modo como os problemas aritméticos surgem como
proposta, pode-se dizer que, primeiramente, é apresentada uma situação aos alunos
sob abordagem de temas diferenciados (como impostos, alimentação, esporte,
seguros e outros) em forma de textos, gráficos e tabelas ou figuras. Em seguida, é
feita uma discussão acerca dos dados matemáticos encontrados no texto, para,
posteriormente, os alunos responderem as perguntas enumeradas (geralmente
compostas de mais de um item), na maioria das atividades.
Constam também nesses cadernos problemas que envolvem simples
operações de multiplicação e divisão, além daqueles que exigem uma complexidade
de raciocínio de nível mais elevado, por exemplo:
Quadro 3 - 3º Problema de livro estudado Um estádio está com 30% de seus lugares ocupados. Imagine que se faça o
seguinte:
Separamos o estádio todo em partes, cada uma com capacidade par 100
pessoas. Quantas pessoas devem chamar para cada parte dessas, de modo a
distribuir igualmente todos os presentes? Responda e mostre como foi seu
raciocínio, descrevendo qual foi a linha do seu pensamento, as imagens mentais
que você utilizou, etc.
Fonte: (BRASIL, 2007)
Observe que este problema não requer apenas um cálculo simples de
porcentagem, pois na sua resolução serão levantadas algumas hipóteses para
concluírem o raciocínio. A seguir, outro problema estudado:
40
Quadro 4 - Problema 4 do livro estudado
Na lanchonete da escola, o cardápio é composto por:
Bebidas
Salgado
Chocolate Quente R$ 1,20
Esfirra R$ 0,50
Suco com água R$ 0,80
Pão de queijo R$0,50
Suco com leite R$ 1,50
Coxinha R$0,80
Refrigerante R$1,00
Pastel Assado R$ 1,20
Café R$0,50
As crianças geralmente escolhem algo para beber e algo para comer. De quantos modos diferentes eles podem pedir o seu lanche? Faça a contagem utilizando: a) Um diagrama. b) Uma tabela. c) Uma árvore de possibilidades. d) Dentre as formas de representar a contagem, qual você observou ser a mais adequada para esta situação?
Fonte: (BRASIL,2007)
Para essa situação problema descrita, observe que o aluno é guiado à
escolha das estratégias, de maneira a resolver os passos comandados pelos itens
da atividade.
Vários são os problemas identificados sob diferentes aspectos e níveis de
dificuldades, apresentados no programa GESTAR II, como sugestão de proposta de
trabalho com os alunos do ensino fundamental, além das orientações aos docentes
41
quando optarem pela metodologia “Resolução de Problemas” no ambiente sala de
aula. Os mais evidenciados foram os problemas padrão e aplicação. Um aspecto
muito importante a ser discutido quanto aos cadernos de orientações é que a
abordagem conceitual da Aritmética se faz presente em quase toda sua totalidade,
antes mesmo de apresentar um dado problema.
42
4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
4.1 Discutindo a Resolução de Problemas para o Ensi no de Matemática
A Resolução de Problemas é uma metodologia de ensino de Matemática que
foi estudada por vários pesquisadores, tais como: Polya (1978), Gazire (1988),
Echeverría e Pozo (1998), Dante (1995, 2003), Butts (1997), Huete e Bravo (2006),
dentre outros, ao longo das últimas décadas. Trata-se de uma perspectiva que
busca o envolvimento do aluno em situações não específicas de conteúdos de
Matemática, mas de maneira a favorecer o desenvolvimento de habilidades e
estratégias em resolver problemas matemáticos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN’s) do ano de
1998 relatam que a Resolução de Problemas deve ser incentivada como meio de
desenvolver habilidades e atitudes, possibilitando ao aluno mobilizar os
conhecimentos e desenvolver capacidades para gerenciar as informações que estão
ao seu alcance. Deste modo, espera-se que ele adquira autonomia para ampliar sua
visão de mundo, uma vez que a arte de resolver problemas está inserida em
diferentes contextos reais das pessoas. Trata-se de uma metodologia de ensino que
permite uma mobilização de saberes matemáticos, no sentido de problematizar uma
situação, além de propiciar a criatividade e a tomada de decisão.
Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantida de apropriação do conhecimento envolvido. (BRASIL, 1998, p.42).
Para Pozo (1998), essa metodologia busca constituir não só os conteúdos
mas também conceber as atividades didáticas, de modo a contribuir para um
aumento do conhecimento científico e tecnológico, assegurando uma leitura mais
ampla de mundo. Um problema se deve constituir de uma situação nova, sem regras
e estratégias prontas para servirem aos alunos.
43
[...] ensinar a resolver problemas não consiste em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta. (POZO, 1998, p. 14).
O motivo para tal questionamento está associado ao fato de os alunos
tenderem a resolver exercícios que exigem caminhos direcionados ou mesmo
relações algoritmizáveis já construídas, e posteriormente reproduzidas, pois muitos
problemas não exigem apenas uma única solução, o caminho a ser escolhido pode
estar aberto e eles precisarão delinear seu próprio percurso.
Para Echeverría e Pozo (1998); e Dante (2003) a prática de se elaborar um
problema é também do aluno, pois, fazendo isso, ele deverá adquirir hábitos de
resolvê-lo, permitindo-lhe mais autonomia e confiança, estimulando-o a resolver
outros novos problemas.
É importante discutir que a prática de resolver problemas é tarefa do cérebro,
que está em constante evolução, e que se deve estimular o desenvolvimento
cognitivo do aluno.
Ao mencionar as funções cognitivas do cérebro, quanto à resolução de
problemas, recorre-se a Greeno e Kintsch (1985). Segundo os autores, há uma
relação imediata que associa resolução de problemas a uma Representação Mental
(RM) do cérebro, criada por cada ser humano, pois a produção da Matemática é
uma atividade que se constitui a partir da evolução do cérebro, conforme se vê a
seguir:
Figura 1- Modelo de Representação Mental
Fonte: (GREENO; KINTSCH, 1985)
44
Segundo Greeno e Kintsh (1985), as dificuldades encontradas na resolução
de um problema podem estar associadas às falhas na compreensão da linguagem e,
por isso, há necessidade de uma representação mental global para se obter ideias
essenciais para, possivelmente, resolver o problema proposto. O fato é que a
Resolução de Problema deverá permitir ao aluno transformar o problema numa fonte
de informações que ele terá de questionar e analisar, de forma a reconstruir sua
maneira própria de pensar.
A Resolução de Problemas durante anos foi vista sob mero aspecto de
enfatizar o uso de algoritmos prontos e acabados, o que implicou em uma série de
distorções acerca de sua implementação. Gazire (1988), em sua dissertação de
mestrado, traz uma importante discussão acerca dos propósitos dessa tendência no
ensino de Matemática. Sob o ponto de vista da autora, há três perspectivas:
a) Resolução de Problemas como conteúdo técnico;
b) Resolução de Problemas como aplicação de conteúdo;
c) Resolução de Problemas como um meio de ensinar Matemática.
Segundo Gazire(1988), é possível refletir sobre para que finalidade se deve
envolver o aluno a resolver problemas e quais suas implicações do ponto vista da
aprendizagem de Matemática. O entendimento para essa tendência discorre sobre
amplas finalidades, basta saber o momento e condições apropriadas para se fazer a
investigação desejada à implantação dessa tendência no ambiente sala de aula.
Frente à concepção de “Resolução Problema” discutida, apresenta-se a
seguir uma reflexão acerca das classificações dos conceitos de “problema”.
4.2 Classificando um problema
Dante (1995) diz que um problema matemático é qualquer situação que exija
a maneira matemática de pensar e de conhecimentos dos indivíduos para solucioná-
la. Essas foram as razões pela qual a Resolução de Problemas foi considerada
fundamental para desenvolver o raciocínio dos alunos, em especial do ensino
fundamental. O fato é que nesse nível os alunos são mais curiosos a descobrirem as
coisas, sem preocupação pelos erros a serem cometidos.
45
O autor ainda ressalta a conveniência do uso de conceitos matemáticos
contextualizados no dia a dia dos alunos, pois não é suficiente que eles saibam
operar corretamente alguns algoritmos já estudados em uma sala de aula, mas que
eles saibam usá-los em situações problema apresentadas.
É preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções ás questões que surgem em seu dia a dia, na escola ou fora dela. (DANTE, 1995, p. 11-12).
Para o autor, é necessário ensinar o aluno a enfrentar situações novas e
desafiadoras, oferecendo oportunidades para que ele se envolva com as aplicações
da Matemática e garantindo aulas mais interessantes, além de suas contribuições no
desenvolvimento de novas estratégias. Ainda segundo o autor, um bom problema
deve:
a) desafiar o aluno;
b) ser contextualizado a sua vida cotidiana;
c) ser interessante;
d) ser o elemento de um problema realmente desconhecido;
e) não consistir apenas em um mero mecanismo direto de fazer operações
aritméticas;
f) apresentar um nível adequado de dificuldade do aluno.
Essas e outras proposições oferecem aos professores de matemática uma
maior reflexão acerca de como a resolução de problemas pode contribuir para
melhorias no ensino e aprendizagem dos alunos.
No conjunto de classificações, Dante (1995) ainda define “problema” de
diferentes maneiras. Exercício de reconhecimento refere-se ao reconhecimento de
um conceito específico em um problema, como: “Qual é o sucessor de 109?” ;
exercício algoritmo por trata-se de um problema exercício que requer o uso imediato
de algoritmos prontos. Por exemplo, “Calcule o valor de [(3.4) +2]: 7”; problema
padrão simples ou composto são aqueles problemas que envolvem a aplicação
direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos, em que não é exigida
nenhuma estratégia, exemplo, “Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos
alunos há na classe?”; problema processo ou heurístico são os que, cuja solução,
46
envolve operações que não estão contidas no seu enunciado, como “Em uma
reunião de equipe há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os
outros, quantos apertos de mão teremos ao todo?”; problema de aplicação ou
situação problema refere-se àqueles problemas que tratam de situações do
cotidiano, mas que exijam o uso da Matemática para serem resolvidos, como “Para
fazer seu relatório, um diretor de uma escola precisa saber qual é o gasto mensal,
por aluno,que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer esses
cálculos?” e problema quebra cabeça que são problemas que envolvem e desafiam
os alunos, com o objetivo de desenvolver habilidades recreativas. Observe: “Com 24
palitos de fósforos, forme 9 quadradinhos como mostra a figura a seguir. Como fazer
para tirar apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?”
.
Figura 2 - Composição de quadrados
Fonte: (DANTE, 1995)
O aluno poderá utilizar-se de diferentes estratégias para resolver o problema
proposto, não ficando alienado a fórmulas ou algoritmos prontos, salvo se ele já
desenvolver algum argumento indutivo.
Segundo Butts (1997), os conjuntos de problemas são apresentados pelas
classificações a seguir.
Exercício de reconhecimento trata-se de uma abordagem realizada para
recordar um fato específico ou mesmo um enunciado de um teorema. Como:
reconhecer dentre um conjunto de expressões o grau de um polinômio.
47
Exercícios algorítmicos consiste em resolver um exercício pronto com o uso
de um algoritmo aprendido pelos alunos. Por exemplo: “Encontrar as raízes da
equação 2x2-3x-5=0.
Problemas de aplicação refere-se a situações problema que envolva
algoritmos aplicados. Veja: “Aumentando a base e altura de um retângulo em 20%,
em que porcentagem aumentará a área?”.
Problemas de pesquisa aberta são problemas que exigem do aluno um maior
rigor da Matemática, como: “Prove que há infinitos números primos”.
Situações problema: essa abordagem é parte da resolução de problemas no
sentido mais amplo, oferecendo ao aluno diferentes caminhos para chegar ao
resultado a ser alcançado como: “Esboce um estacionamento de carros. Seguem
alguns problemas pertinentes que poderiam ser considerados.
a) Qual tamanho deverá ter cada boxe?
b) Qual o ângulo a ser observado para marcar cada boxe?
c) Quanto deverá ser cobrado por carro, por hora, se deseja obter um lucro de
10%?”
Observe que o aluno precisará de outras informações para responder cada
item pedido, como que tipos de carros existem, quais tamanhos, qual o custo de
cada funcionário, que despesas existem.
Para Pozo (1998) há três tipos fundamentais de problemas: problema escolar,
problema científico e problema cotidiano. Segundo o pesquisador um problema
cotidiano é toda situação do cotidiano que requer uma solução. Um carro que não dá
partida, o chuveiro que não aquece a água ou até o vestido que será usado em um
casamento. Um problema escolar é apresentado por qualquer situação que enfatize
algum algoritmo. Já os problemas científicos são mais inacessíveis à população de
um modo geral, mas na História da Ciência há vários exemplos. Geralmente um
problema científico nasce de um evento que as teorias não conseguem explicar,
necessitando de uma reorientação teórica.
Para cada grupo de categorias observado na apresentação dos autores
citados, pode-se refletir quanto ao cuidado que se deve ter ao elaborar um
48
problema, pois, sendo ele mal formulado, os alunos podem se sentir desmotivados e
desestimulados pelo fato de eles não o entenderem..
Observe que tanto Dante (1995) quanto Butts (1997) apresentam
configurações para classificar um problema matemático semelhantes. A diferença
pode estar associada ao nível de aprendizagem encontrada. Outros autores como
Bravo e Huete (2006) discutem outras classificações distintas para um problema a
partir da sua estrutura aditiva e sua complexidade. O primeiro apresentando 6
categorias, enquanto o segundo autor, 4.
Conforme categorização dos autores citados, é notório que a linguagem
abordada no enunciado de um problema deve apresentar-se de forma clara e
objetiva, pois um enunciado confuso implicará em sérias complicações quanto à sua
compreensão.
4.3 Fases da “Resolução Problema”
Segundo Polya (1978), devem-se levar em consideração quatro fases para
resolução de um problema: compreensão do problema, estabelecimento de um
plano, execução do plano e realização do retrospecto, discutidas a seguir:
4.3.1 Fase 1: Compreensão do problema
Esta fase pretende que o aluno interprete todo o enunciado problema a ser
proposto, identificando as incógnitas, os dados e o condicionante. O ideal é que o
aluno represente o problema de modo pessoal, de forma a facilitar a sua
interpretação, apresentando-o por meio de uma figura, desenho ou similar, ou
mesmo levantando questionamentos acerca. Por exemplo, “O que se pede no
problema?”, “Que dados são esses?” e “Quais as condições que tenho?”
Estas fases são imprescindíveis na resolução de qualquer problema, uma vez
que se ele for mal compreendido, certamente implicará em um resultado não
49
esperado. Sugere-se que aluno faça constantes perguntas, a fim de produzir uma
maior interpretação do assunto abordado.
4.3.2 Fase 2: Estabelecimento de um plano
O plano é o caminho escolhido para resolver o problema proposto. A escolha
da estratégia é de fundamental importância para se chegar ao resultado esperado.
Muitas vezes o discente necessita relacionar o problema a outro já resolvido
anteriormente, reformulando-o de uma maneira própria, de fácil entendimento.
É importante que o aluno relacione as variáveis e utilize todas as
condicionantes encontradas no enunciado, como:
a) Considerar uma incógnita e procurar resolver um problema que utilize a
mesma encontrada;
b) É possível identificar essa incógnita?;
c) E se existir mais de uma?
É nessa fase que os alunos necessitam mudar de tratamentos ou mesmo de
sistema para conclusão do seu plano. Tratamentos são transformações de
representações semióticas usadas dentro de um mesmo registro, conceituadas por
Duval citado em Machado (2003), como, por exemplo, efetuar um cálculo usando o
mesmo sistema de escrita, ou mesmo completar uma figura segundo critérios de
complexidade e simetria.
Para Duval o conhecimento matemático pode ser compreendido através da
semiótica. Segundo o autor, ao mudar de um registro para o outro (em um mesmo
sistema), o indivíduo está relacionando tratamentos, como, por exemplo, explorar as
identificações da fração ½ e 0,5. Ao relacionar os tratamentos anteriores a uma
representação geométrica, muda-se o sistema, contudo o autor relata que o aluno
está mudando o sistema de registro, classificando essa passagem por “conversão”.
50
4.3.3 Fase 3: Execução do plano
Nesta fase, é necessário que o plano estabelecido seja executado, testando
passo a passo. Ao suscitar a execução, procura-se que os procedimentos adotados
na trilha da resolução estejam corretos e se há possibilidades de demonstração
desses passos.
4.3.4 Fase 4: Realização do retrospecto
Consiste em verificar se o resultado alcançado é pertinente ao enunciado do
problema. O retrospecto permite ao aluno uma nova investigação, fazer o caminho
inverso. Para tanto, sugerem-se alguns questionamentos: “Examine se a solução
obtida está correta”; “Existe outra maneira de resolver o problema?”; e “É possível
usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?”
Com essas quatro fases desenvolvidas passo a passo, possivelmente, o
aluno atingirá o resultado esperado ao problema proposto.
4.4 Algumas estratégias usadas pelos alunos ao reso lverem problemas
Segundo Gimenes e Lins (2006), a Aritmética propõe um sentido integrador
que permite ao aluno resolver problemas através de diferentes técnicas escolhidas
pelo modo individual. Nesse instante, não se pretende ensinar o uso dessas técnicas
e sim envolvê-lo em situações que ele possa desenvolvê-las. O cálculo aritmético
deve estar vinculado a situações reais.
Para o autor, são vários os tipos de raciocínios desenvolvidos pelos alunos,
desde as séries iniciais:
51
a) Raciocínio figurativo e intuitivo: consiste na percepção e reconhecimentos de
elementos observáveis entre parte e todo, geralmente identificado pela
visualização de figuras ou intuição de um elemento. A estimativa e o erro
podem se incorporar a esse raciocínio, uma vez que esse último é parte
integrante da sua aprendizagem, pois permite ao aluno recorrer ao que foi
realizada por ele, implicando em uma alta reflexão;
b) Pensamento relativo e absoluto: baseia-se no processamento visual que
permite identificar informações absolutas, como o caso da contagem. O
cálculo mental pode se fazer presente nesse tipo de raciocínio, desde que o
aluno tenha condições para executá-lo;
c) Raciocínio estruturado e aditivo: define-se pelo conjunto de estratégias
desenvolvidas pelos sujeitos ao observar as propriedades de tipo aditivo do
fenômeno que trata, não sendo exclusivo de situações de adição, podendo
existir em situações de multiplicação, partição e em situações funcionais;
d) Pensamento proporcional: corresponde a uma estrutura de comparação entre
partes ou entre todos, ou entre as partes de um todo, ou como esquema
instrumental que resolve algumas situações de comparação em forma
multiplicativa. Observa que esse tipo de pensamento é muito utilizado entre
os adultos, pois já fazem cálculos proporcionais entre grandezas diretas em
seu contexto social, como “se para 2 gastam-se R$10,00, para 4 se gastarão
R$ 20,00”;
e) Raciocínio e investigação aritmética: independente da forma de raciocínio
utilizada é evidente que o pensamento se põe em movimento perante as
perguntas, como: “Relacionar os números da sequência: 12, 18, 147”.
Observa-se que não há uma relação direta entre os números e o que exigirá
um estudo mais detalhado por parte do aluno.
O uso de uma técnica específica já abordada em sala de aula implica na
neutralidade da participação do alunado na tentativa de resolver problemas diversos,
Sabe-se que o modo tradicional de se empregar um raciocínio não é suficiente para
se desenvolverem novas habilidades, uma vez que este se apresenta sob vários
aspectos cognitivos, principalmente relacionando a aritmética escolar e a vivenciada
pelo alunado no seu cotidiano.
52
Vários autores como Carraher (1988), Gimenes e Lins (2006) apontam a
importância de os problemas aritméticos serem contextualizados ao cotidiano do
aluno, justificando ao fato de que o mundo é arimetizável. Muito se vê, no dia a dia,
resolver problemas usando apenas cálculo mental, como estimar a altura de um
prédio ou mesmo determinar quantos copos serve uma garrafa de refrigerante. São
situações que não necessitam, a priori, do uso de algoritmos, mas, quando se
agrupam quantidades equivalentes, a contagem economiza tempo de resolução.
Deixa-se claro que essa estratégia somente se aplica quando há domínio de
conhecimentos numéricos operatórios já aprendidos.
O fato é que o aluno da Educação de Jovens e Adultos é um sujeito que já
compreende os assuntos abordados em sala de aula, e por isso não mais aceita
ideias prontas e acabadas para o desenvolvimento do pensamento matemático, uma
vez que ele apresenta sua própria representação mental. Muitas vezes o estímulo ao
desafio o sensibilizará a descobrir seus próprios meios para descobrir o novo.
53
5 O PERCURSO DA PESQUISA
5.1 O ambiente escolar e os sujeitos da pesquisa
A pesquisa foi realizada em uma escola estadual de Belo Horizonte – Minas
Gerais em que o professor é efetivo desde o ano de 2002. Essa instituição vem
desenvolvendo vários projetos educacionais voltados à cidadania e meio ambiente,
desde o ano de 1991, com o foco na aprendizagem sociocultural na comunidade
escolar. Devido ao reconhecimento de suas ações implementadas e à necessidade
de se desenvolverem projetos que atendessem aos cidadãos “excluídos” do entorno
escolar, o poder público (via Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais)
decretou, em 2005, o funcionamento da Educação de Jovens e Adultos nessa
instituição, que até este momento vem apresentando resultados satisfatórios no
qualitativo e quantitativo, sendo que se reduziu o índice de evasão, gradativamente,
no decorrer desse período.
A EJA - Fundamental, na rede estadual, é distribuída em três períodos letivos.
Para o ingresso do aluno no 1º período é necessário que ele tenha concluído o 5º
ano/09 do ensino fundamental, ter quinze anos completos e não ter frequentado o
ensino regular no ano anterior. A carga horária de Matemática para o primeiro e
segundo períodos da modalidade ensino fundamental consiste em 4h/ aulas
semanais de quarenta minutos cada, enquanto no terceiro período a disciplina é
ministrada em três módulos. A presente instituição atende a quarenta turmas de
ensino fundamental e médio, distribuídas nos turnos manhã, tarde e noite, sendo
que neste último turno sete turmas são destinadas ao público da EJA, das quais três
são do Ensino Fundamental. Com relação a outros ambientes de aprendizagem há
uma biblioteca, laboratório de ciências, sala de vídeo e uma sala de informática para
atender no máximo vinte e seis alunos (dois alunos por computador). O uso desses
ambientes é constante, disponibilizados continuadamente.
A pesquisa foi realizada com alunos do 3º Período dessa modalidade. O
estudo ocorreu em um contexto natural de sala de aula durante o mês de março de
2011, e se desenvolveu em duas turmas A e B, com vinte e oito e vinte e nove
alunos, respectivamente, cujas idades variam entre dezesseis e cinqüenta e três
54
anos, das quais o pesquisador é regente desde 2010. No decorrer da prática
docente, notou-se que a grande maioria dos alunos dessas turmas era composta por
trabalhadores de diferentes segmentos e que retornaram à escola por vários
motivos, dentre eles:
a) exigência do trabalho;
b) subir de cargo na empresa em que trabalham;
c) somente agora tiveram acesso à escola;
d) melhor acompanhar seus filhos na escola;
e) retomar o tempo perdido.
O desenvolvimento da pesquisa consistiu de três momentos: aplicação de um
questionário, elaboração de atividades e aplicação.
5.2 Primeiro Momento: aplicação de um questionário
No dia 1º de março de 2011, aplicou-se um questionário aos alunos
contemplando os seguintes itens:
a) Idade,
b) Sexo;
c) Se trabalham, em qual ramo;
d) Maiores facilidades/ dificuldades encontradas na aprendizagem de
Matemática na escola, Em que situações a Matemática se faz presente?;
e) Qual a melhor maneira de se aprender a matemática?
O objetivo desse questionário foi buscar informações referentes ao perfil do
público estudado, bem como identificar a percepção que ele tem em relação à
Matemática nos diferentes contextos.
Pós-tabulação dos dados observou-se que o público investigado é composto
por alunos com idade média de 28 anos, trabalhadores dos setores de construção
civil (22%), lojas, supermercados ou similares (47%), residências (23%) e
autônomos (8%).
55
Nota-se, que o índice de maior destaque (47%) é composto por profissionais
que fazem uso de tecnologias, como calculadora, caixa registradora ou afins,
durante boa parte do tempo de sua jornada de trabalho, recursos de fundamental
importância à reflexão da utilização com o intuito de agilizar o processo e não como
substituição algoritmizável da aritmética básica.
Ao perguntar aos alunos quanto às maiores dificuldades/facilidades
encontradas na aprendizagem em Matemática, muito chamou atenção o fato de uma
parcela significativa não percebê-la como uma ciência que impulsiona desafios e
descobertas, e sim um “conteúdo” difícil de ser compreendido e aprendido, exigindo
fórmulas. Alguns a identificaram como uma ciência importante tanto no cotidiano
quanto no campo científico.
Dos contextos em que a Matemática se faz presente, destacaram-se:
a) jornais e folhetos;
b) assentamento de piso das casas;
c) compras feitas nos supermercados;
d) receitas culinárias;
e) contas pagas ou a pagar;
f) troco das passagens de ônibus;
g) horários dos serviços e outros.
É de conhecimento de muitos professores que os adultos fazem uso de
diferentes leituras de informações que lhes são apresentadas através de jornais,
revistas, folhetos ou mesmo em outras situações do dia a dia.
Nota-se, aqui, que há uma variedade de situações em que a Matemática é
percebida pelos alunos. Isso favoreceu a escolha dos contextos inseridos nos
problemas a serem aplicados no terceiro momento.
5.3 Segundo momento: elaboração das atividades
Para elaboração das atividades, fez-se necessário um estudo de questões
apresentadas nos livros didáticos, cadernos textos destinados ao público da EJA,
56
conceitos de aritmética vivenciados anteriormente, conhecimentos tácitos, além de
observar a Proposta Curricular de Matemática para o Ensino Fundamental (BRASIL,
2002a), mencionada no capítulo II. Os dados coletados no questionário muito
contribuíram para a seleção/elaboração das questões. É importante mencionar que
as atividades foram contextualizadas conforme o ramo de trabalho do público alvo,
como construção civil, aplicações no comércio, situações vivenciadas no dia a dia,
problemas padrão simples e compostos. Atividades com níveis diferenciados (fácil,
médio e difícil), que permitissem a resolução por diferentes caminhos, de modo que
o aluno registrasse suas estratégias.
Outro aspecto importante considerado na elaboração foi a linguagem
abordada no enunciado que viesse a contribuir para a compreensão , pois uma vez
que o aluno não compreende o problema, conseqüentemente não obterá sucesso na
resolução.
Para se obter um melhor entendimento acerca da enunciação dos conteúdos
a serem explorados, recorreu-se às técnicas de análise conteúdo de Bardin(1977),
de maneira a possibilitar maiores evidências de categorização de abordagens. Além
dos aspectos anteriormente citados na elaboração das atividades e vislumbrando
um Caderno de atividades, que é o “produto” desta pesquisa, fez-se necessário um
maior aprofundamento de aportes teóricos. Sendo assim, levaram-se em
consideração três categorias de atividades, classificadas em: Figural, Textual e
Gráficos e Tabelas.
5.3.1 Categoria de Problema “ Figural”
Muito se tem observado que o alunado da EJA faz uso de registros de figuras
no desenvolvimento de seu raciocínio cognitivo, principalmente ao fazerem
medições de grandezas exploradas por eles no seu cotidiano.
A palavra ”figural” foi usada por Duval citado em Machado (2003) para se
referir à representação pictórica de um conceito matemático.
O objetivo dessa abordagem é favorecer uma leitura significativa das
informações enunciadas nos problemas em que as figuras desempenham um
importante papel, e espera-se que os alunos possam melhor compreender as
57
informações abordadas com essa perspectiva. Faz-se aqui uma importante
observação quanto essa categoria: a figura deverá impulsionar objetos matemáticos
rapidamente mencionados, tais como ideias de proporcionalidade, surgimento de
números, expressões, dentre outros.
Uma figura contribui para compreensão do problema se ela impulsionar
imaginação e cognição para desenvolvimento de novas habilidades a serem
alcançadas.
A situação problema a seguir foi selecionada e categorizada sob o aspecto de
figura, veja:
Quadro 5 - Problema Figural 1
A figura mostra o marcador de combustível de um veículo que mostra a fração do volume de combustível que existe no tanque, além da reserva. O tanque possui capacidade máxima de 40 litros. Sabendo-se que o tanque possui 6 litros de reserva, quantos litros de combustível há no tanque?
Fonte: elaborado pelo autor
O papel da figura para essa questão é de contribuir para que o aluno da EJA,
que, possivelmente, já observou registro em marcador de combustível de veículo
automotores, desenvolva suas habilidades tácitas associadas ao contexto do
enunciado da situação problema descrita.
Observe que aparece no enunciado da figura o tratamento de frações
próprias. Muito se tem observado em algumas pesquisas a aplicação de problemas
considerados difíceis, e se esquece de que se devem observar aspectos
estruturantes na aprendizagem de conceitos aritméticos em situações fáceis e/ou
Marcador de Combustível
58
elementares. Uma vez identificados, aspectos elementares podem ser
diagnosticados, outros associados ou relacionados a eles.
5.3.2 Categoria de Problema “Textual”
Abordagem enunciada apenas através de um texto escrito em língua
materna. A redação do texto se faz presente no decorrer de todo enunciado.
Busca-se aqui consolidar uma compreensão significativa do texto, de maneira
a permitir uma maior exploração da escrita e conceitos aritméticos associados a ela.
O objetivo principal dessa categoria é favorecer uma melhor interpretação das
informações enunciadas através da redação do texto, com a finalidade de melhorar
a compreensão das informações abordadas nos problema propostos nessa
dissertação.
Quadro 6 - Problema Textual 1
D. Ana foi a um Bazar de roupas com seu filho André no mês de Abril de 2011 e
percebeu que uma loja foi enfeitada com luzes pisca-pisca de maneira diferenciada
das outras. Enquanto ela escolhia as roupas, André notou, em um certo momento
(às 14h 25min), que as luzes azuis, amarelas e vermelhas acendiam
simultaneamente e, em seguida, começaram a piscar em intervalos de tempo
diferentes. As luzes azuis piscam a cada 4 minutos ; as vermelhas , a cada 5
minutos ; as amarelas a cada 2 minutos . Curioso, André não desistiu até descobrir
o horário do próximo fenômeno simultâneo das luzes. A que horas se deu esse
fenômeno?
Fonte: elaborado pelo autor
O objetivo principal é familiarizar o aluno com questões observadas no
convívio social, de modo a explorar os diferentes significados de operar com os
múltiplos de 2, 4 e 5, permitindo a ele observar que o menor intervalo de tempo
simultâneo a esses números (mínimo múltiplo comum) é 20 minutos, que somados
ao horário observado (14h 25min.) implicaria em 14h 45 min.
59
5.3.3 Categoria de problema “Gráficos e Tabelas”.
Sabe-se que os gráficos e tabelas organizam informações dadas em textos,
facilitando a interpretação de um assunto abordado, através da visualização, uma
vez que no cotidiano do público investigado surge essa abordagem em jornais,
revistas e folhetos. É parte integrante do “Tratamento da Informação” prevista pelos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) de Matemática do Ensino Fundamental
(BRASIL, 2000) e do Currículo Básico Comum (CBC) proposto pela Secretaria de
Estado de Educação de Minas Gerais do ano de 2009 (SEE-MG). O
desenvolvimento de habilidades referentes a ela é de fundamental importância para
que o aluno interprete e critique as informações apresentadas por meio de gráficos e
tabelas.
O objetivo é familiarizar os alunos com leitura e compreensão de dados
apresentados em gráficos e tabelas, com a finalidade de oferecer maior autonomia
ao alunado da EJA, uma vez que eles fazem leituras de gráficos em jornais, folhetos
de supermercado e tabelas de preços diversas, além de eles utilizarem registros
similares a essa abordagem em contextos da construção civil, segmento comercial,
costura, etc. Além disso, o uso dessa categoria em problemas permitirá ao aluno
adquirir uma visão ampla da situação, pois ele terá de buscar métodos próprios para
compreender a situação enunciada e não apenas fazer uso de um algoritmo já
explorado em uma sala de aula.
Apesar de o adulto apresentar o pensamento numérico diferenciado da
criança, ele também deve ser estimulado a contextualizar situações que lhe
permitam participar efetivamente do (re)construção do conhecimento, uma vez que o
ambiente é parte integrante do seu processo ensino e aprendizagem.
Um exemplo para essa categoria de questões a seguir:
60
Quadro 7 - Problema Gráficos e Tabelas 1 Na construção civil costuma-se muito dizer a palavra “traço ”, que é a indicação das proporções dos componentes de uma mistura. A tabela abaixo contém as quantidades de cimento e areia para cada mistura. Veja a seguir:
Tipo/uso Cimento (uni)
Areia (uni)
Tijolo Comum/Alicerce 1 8
Tijolo Furado 1 8
Concreto 1 3
Para Impermeabilização 1 2
Piso Cimentado 1 3
Piso para receber Tacos 1 4
A) Quantos quilos de cimento serão utilizados no traço de concreto , sabendo-se que serão gastos 237 kg de areia? B) Quantos quilos de areia serão usados no traço de tijolo comum , se serão gastos 20 kg de cimento?
Fonte: Elaborado pelo autor
O enunciado desse problema está representado por informações contidas em
uma tabela. O aluno deverá aferir conclusões acerca dos dados contidos nela e
traçar sua própria estratégia encontrar o que se. Observe que aparece no enunciado
uma terminologia que é muito usada por profissionais da construção civil, “Traço”.
Espera-se que os alunos associem essa terminologia a noções de proporcionalidade
direta entre as grandezas quantidade de areia e de cimento, de maneira a utilizar
operações aritméticas necessárias para resolverem os itens A e B.
No item A, espera-se que os discentes compreendam que a quantidade de
cimento a ser encontrada pode se dar pela divisão de 237 por 3, imprimindo 79 kg
como resultado final.
Para o item B, eles deverão fazer o caminho inverso, fazendo o uso da
multiplicação 20 x 8 = 160 kg de areia , que é o resultado esperado.
Com essas três categorias de abordagem (do enunciado) espera-se
contribuir para uma melhor compreensão dos problemas propostos aos alunos da
61
Educação de Jovens e Adultos. Dentre as atividades elaboradas pelo investigador,
citam-se também outras que foram selecionadas e categorizadas para composição
da sequência didática, a partir do banco de questões desenvolvidas pelo grupo de
professores do colégio Pitágoras de Belo Horizonte – MG (rede para a qual o
investigador também trabalha) e das provas externas do Sistema Mineiro de
Avaliação (SIMAVE) de 2009.
As atividades elaboradas contemplam descritores extraídos dos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN’s) de Matemática do Ensino Fundamental, da Matriz de
Referência proposta pela Secretaria Estadual de Educação de Minas Gerais, do ano
de 2009. Denotamos por descritor o cruzamento entre o conteúdo programático e as
habilidades que lhe são próprias. A matriz proposta é formada por um conjunto de
descritores que expressam habilidade e competência que serão avaliadas no
desenvolvimento de cada problema.
O próximo momento será discutido a seguir:
5.4 Terceiro Momento: aplicação da atividade
A atividade foi aplicada durante a terceira e quarta semanas do mês de março
de 2011 no decorrer de nove aulas de 50 minutos, sendo que as categorias dos
problemas elaborados contemplaram as abordagens Figural, Textual, Gráficos e
Tabelas, totalizando dezoito situações problema.
Inicialmente, os alunos foram orientados a resolverem as questões de forma
autônoma, individualmente, uma vez que a obtenção de maior número diferentes de
registros é de fundamental importância para a observação, discussão e análise, em
conformidade com a pesquisa. Entendem-se, aqui, por formas de registro de um
pensamento aritmético os desenhos, contagens, operações, ou textos explicativos
que justificaram a resposta encontrada pelos alunos na resolução de cada problema.
Durante a realização da aplicação dos problemas descritos anteriormente, o
investigador pôde notar que os alunos investigados foram instigados a resolver os
problemas propostos, primeiramente, interpretando o enunciado e, posteriormente,
traçando seu plano estratégico.
62
Para maiores evidências dos dados durante a apuração dos resultados,
houve necessidade de categorizar os registros das estratégias utilizadas em Aluno 1
a Aluno 15, devido ao fato de haver um número expressivo delas.
A coleta dos dados e discussão dos resultados tiveram por base a
observação que, segundo André e Lüdke (1986):
[...] permite também que o observador chegue mais perto da “perspectiva do sujeito”, um importante alvo nas abordagens qualitativas. Na medida em que o observador acompanha in loco as experiências diárias dos sujeitos, pode tentar aprender sua visão de mundo, isto é o significado que eles atribuem à realidade que os cerca e às suas próprias ações. (ANDRÉ; LÜDKE, 1986, p.26).
Essa perspectiva impulsiona a observação das atitudes dos estudantes diante
das situações apresentadas.
A seguir, os resultados alcançados na aplicação:
Quadro 8 - Problema 1 aplicado: Figural
Fonte: Elaborado pelo autor.
Leia atentamente as afirmativas feitas pelos dois alunos a seguir:
Qual dos alunos fizeram afirmações verdadeiras ?
Aluno I Aluno II
63
Esta questão exige que o aluno reconheça equivalência de frações a partir da
figura mostrada. Um aspecto importante a ser discutido aqui está relacionado ao fato
de as duas frações serem representadas sob tratamentos diferentes. O primeiro
associado à representação figural e outro através do símbolo a/b. É importante
ressaltar que ao reconhecer o conceito fração de distintas maneiras o aluno é capaz
de produzir diferentes significados a ele.
O Gráfico 1 apresenta dados/resultados que demonstram o percentual de
acertos dos alunos.
Gráfico 1 - Apuração dos resultados do problema 1
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que 64% responderam que os Alunos I e II inferiram informações
verdadeiras, ou seja, que foram pintados 5
1 da figura. Já os que responderam
erroneamente, 36%, é preocupante, pois ainda não reconhecem frações
equivalentes, mesmo através de conversão. Para melhor compreensão da
aprendizagem do grupo pesquisado, coletou-se alguns dos registros encontrados no
desenvolvimento do problema proposto.
Veja a resolução de um dos alunos:
64
Quadro 9 - Registrado apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
A estratégia usada aqui foi apenas de visualização, pois esse aluno concluiu
que os dois inteiros foram divididos em partes de mesmo tamanho. O que o levou a
compreender que 5
1
15
3 = . O caminho traçado por esse aluno foi utilizar-se da
visualização da figura. É importante ressaltar que um problema com abordagem
“Figural” focando fração favorece a aprendizagem do aluno, uma vez que esta
abordagem promove uma associação entre o signo ba / e seu significado
geométrico. Os alunos que se encontram nesse nível reconhecem que as frações
são equivalentes. Verifica-se que esse grupo detém conhecimento no
reconhecimento de diferentes representações de uma fração por meio de conversão.
Outra estratégia evidenciada na resolução dessa questão foi o cálculo por
algoritmização(divisões de números naturais).
Quadro 10 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
65
Com essa construção, pode-se concluir que os alunos, ao utilizarem essa
estratégia, são capazes de resolver situações problema envolvendo números
racionais, em variadas situações de contexto real, uma vez que eles já associaram o
número decimal 0,2 como uma extensão do número racional 5
1. Nota-se ainda que
esse aluno já passou pela escola e sabe utilizar o algoritmo da divisão corretamente.
Ele não se preocupou em fazer o retrospecto da operação, possivelmente fez
cálculo mental.
Relata-se aqui uma importante reflexão acerca das estratégias usadas pelos
alunos ,o que impulsiona a evidências do agrupamento das idéias desenvolvidas
para elaboração do plano a ser executado, na resolução do problema proposto.
A seguir a discussão e coleta dos resultados do problema seguinte.
Quadro 11 - Problema 2 aplicado: Figural
A figura a seguir refere-se a uma cédula de R$ 20,00.
Um vendedor de balas pretende trocá-la em uma padaria. Uma maneira que ele
poderá usar para fazer isso é obter:
A) 1 cédula de R$ 10,00, 1 cédula de R$ 5,00 e 10 moedas de 5 centavos.
B) 1 cédula de R$ 10,00, 1 cédula de R$ 5,00 e 5 moedas de 1 real.
C) 3 cédulas de R$ 5,00, 4 moedas de R$ 1,00 e 2 moedas de 5 centavos.
D) 2 cédulas de R$ 5,00, 8 moedas de R$ 1,00 e 2 moedas de 10 centavos.
Fonte: (MINAS GERAIS, 2009).
Um dos objetivos dessa questão é o reconhecimento da equivalência de um
número natural a partir de decomposição, que é encontrada a partir da soma de
produtos de seus divisores por suas quantidades máximas atingidas.
66
Os resultados apurados neste item constam no Gráfico 2.
Gráfico 2 - Apuração dos resultados do problema 2
Fonte: dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Os dados mostram que 85% dos alunos investigados optaram pela letra B,
afirmando que R$ 20,00 podem ser trocados por 1 cédula de R$ 10,00, 1 cédula de
R$ 5,00 e 5 moedas de 1 real. Nota-se que a grande maioria dos alunos
pesquisados acertou a questão, o que mostra que eles apresentam habilidades em
resolver problemas aritméticos aplicados a unidades monetárias. Este alto índice
pode se justificar pelo fato de a questão envolver situações do cotidiano do aluno.
Com relação aos alunos que optaram pelos distratores A, C ou D, pode-se afirmar
que eles apresentam dificuldades em realizar operações que exigem o uso de
algoritmos de multiplicação ou divisão, fato este observado com os dados da
presente pesquisa, o que demonstra uma aprendizagem fragmentada dos conceitos
de múltiplos e divisores de um número inteiro.
Vale lembrar que, ao abordar em sala de aula questões envolvendo unidades
monetárias, o aluno passa a explorar os diferentes significados da moeda de sua
nação e suas expansões em forma de soma e produto, além de permitir uma
aprendizagem significativa para ele, uma vez que o aluno adulto da EJA possui
experiências envolvendo dinheiro, por manipular de diversas maneiras, o que os
diferencia do público do ensino regular.
As estratégias estabelecidas para resolução do problema proposto foram
comprovadas conforme registros a seguir:
67
Quadro 12 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que esse aluno identificou a expansão do número 20 sob a forma 20
= 1 x 10 + 1 x 5 + 5 x 1. A estratégia de contagem utilizada por esse aluno consistiu
em análise cada opção, resolvendo-as uma a uma, até concluir que a opção correta
é a letra B. Essa estratégia é muito utilizada pelos alunos jovens e adultos, uma vez
que a resposta da questão pode ser encontrada a partir dos dados já elaborados, o
que facilita o seu desenvolvimento.
Segue-se abaixo o registro de outra estratégia utilizada para resolução do
problema proposto:
Quadro 13 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Nesse registro, observe que o aluno resolveu a questão sem se preocupar
com as opções. Expandiu o número 20 sob a forma “10 + 5 + 5x1 = 20”, marcando a
68
letra B como resposta do problema proposto. O teste de hipóteses utilizadas nessa
estratégia também é utilizado por muitos alunos, tanto do ensino regular quanto da
EJA, pois permite que o discente explore seu conhecimento sob vários pontos de
vista.
O problema proposto nessa questão faz referência às equações Diofantinas,
do tipo ax + by + cz = d, e uma de suas soluções particular é evidenciada na
resolução desse problema, dada por 10x1 + 5x1 +10x 0,50 = 20.
Apesar de o problema proposto direcionar para uma única solução, é
necessário explorar com os alunos outras possíveis soluções, para se obterem
melhores resultados de aprendizagem acerca do conteúdo estudado.
Observe a próxima situação problema proposta:
Quadro 14 - Problema 3 aplicado: Figural O inteiro foi dividido em diferentes porções, em cada figura abaixo: Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6 Que pares de figuras representam a mesma fração de pizza?
Registre aqui a estratégia usada.
Fonte: elaborado pelo autor
69
O problema propõe que o aluno reconheça equivalência de frações, em
inteiros diferentes, a partir das figuras mostradas, e que a partir desse
reconhecimento ele possa enumerá-las em ordem crescente.
Os resultados alcançados no item “A” são observados no Gráfico 3.
Gráfico 3 - Apuração dos resultados obtidos do Prob lema 3
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Os resultados mostram que 70% dos alunos acertaram o item “A”, ou seja,
que os pares de figuras correspondentes a uma mesma fração foram: Figura 4 e
Figura 6, representando a fração ¼, e Figura 2 e Figura 5, representando a fração
½. Dentre os alunos que se encontram nesse nível destacam-se aqueles que
estabeleceram estratégias diferentes para resolver o problema proposto, conforme
se vê a seguir:
Quadro 15 - Registro apresentado de um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
70%
30%
Correta
Errada
70
A estratégia utilizada por esse aluno consistiu em simplificar fração. Ele
dividiu o numerador e denominador das frações por 2,obtendo ¼ e ½ como
resultados. Observe que esse aluno já compreendeu que, ao dividir ambos os
membros de uma fração por um número não nulo, seu resultado não se altera.
Outra estratégia utilizada por outro aluno foi a seguinte:
Quadro 16 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que esse aluno usou a estratégia de comparação de pedaços de
mesmo tamanho de pizza, sem a preocupação do uso de algoritmo. Esse
procedimento só foi possível de ser usado devido ao fato de o problema apresentar-
se de modo Figural, o que facilitou a compreensão do problema.
Os 30% dos alunos investigados que erraram a resposta da questão
apresentaram dificuldades de compreensão do problema, conforme registrado nos
dados coletados. Vale aqui uma reflexão acerca desse resultado, pois a não
compreensão de um problema leva o aluno a inferir resultados errados.
A seguir, o problema 4 aplicado.
71
Quadro 17 - Problema 4 aplicado: Figural
Joaquim tem uma casa cuja planta está apresentada a seguir:
A) Qual a medida da área construída da casa?
B) Considerando a área encontrada no item A, que fração da casa ocupam os
quartos ?
Fonte: elaborado pelo autor
Não se tem aqui a intenção de investigar a aprendizagem dos alunos acerca
de cálculo de figuras planas, visto que a proposta é investigar o modo como eles
resolvem problemas aritméticos. Há apenas um contexto geométrico. O item B
refere-se à identificação da fração ocupada pelos quartos em relação à área da
casa, que dada pela soma das áreas dos segmentos que compõem a casa.
Os resultados obtidos para o item a seguem no gráfico a seguir:
72
Gráfico 4 - Resultado de apuração do problema 4A
Percentual de abrangência da resposta
75%
25%
Correta
Errada
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que 75% dos alunos investigados alcançaram o resultado de forma
correta, ou seja, identificaram a área da casa equivalente à soma das áreas dos
segmentos quartos, sala, circulação, banho, cozinha e área de serviço. Deste modo:
Área = 9,50 + 3,25 + 8,00 + 1,87 + 12,87 + 5,55 + 3,50 = 44,54 m2 .
A estratégia de visualizar a área da figura como soma das áreas que a
compõe é muito utilizada pelos discentes da EJA, uma vez que muitos já
vivenciaram situações cotidianas similares em suas casas e/ ou trabalho que
contemplam desde um assentamento de um piso à construção da própria casa, o
que diferencia dos alunos jovens e adolescentes do ensino regular, que muitas
vezes procuram fórmulas prontas para chegarem a um resultado pretendido, por não
vivenciarem tais situações.
73
Quadro 18 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que esse aluno demonstrou sua aprendizagem nesse item com
êxito, mostrando ser competente para resolver situação problema envolvendo
números racionais contextualizada com o saber tácito. Nota-se que ele se utilizou de
uma linguagem própria do contexto da construção civil popular, a palavra “cômodos”,
que representa todos os segmentos de casa. Com isso ele observou que área total
da casa é composta pelas somas de todos os seus segmentos ( ou cômodos).
Quanto aos alunos que erraram o item, ou seja, 25% dos investigados, pode-
se afirmar, com base nos registros, que o erro se deu devido à não visualização da
área da casa como soma de pequenas áreas, o que remete novamente a uma
reflexão sobre a linguagem utilizada nos enunciados das situações problema
propostas. Com isso, sugere-se que se trabalhe o conceito de fração usando a
técnica de composição e decomposição de figuras como estratégia para se atingir
maior compreensão do problema.
O item B do problema 4 apresentado obteve a seguinte configuração de
resultados:
74
Gráfico 5 - Resultado do problema 4B aplicado
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
O item B do problemas proposto pressupõe que o aluno identifique a fração
4454
1750 como sendo a ocupação dos quartos em relação à área da casa. Observe no
gráfico que 70% dos alunos erraram o item, o que mostra que eles apresentaram
dificuldades em identificar frações.
Um aspecto modal evidenciado foi o fato de alguns alunos registrarem 7
2
como resposta do item. A justificativa se dá devido ao fato de eles tomarem por base
os sete cômodos da casa, considerando-os equivalentes em área.
Essa maneira de pensar dos alunos não está errada completamente, do ponto de
vista conceitual sobre identificação de fração imprópria, pois parte do erro,
possivelmente está associado à abrangência do enunciado. Uma vez que eles não
observaram que se tratava de comparação entre os valores das áreas ocupadas
pelos quartos em relação à da casa e, por isso, compreenderam que se tratava de
comparação entre quantidades de cômodos dos quartos em relação aos da casa.
Em se tratando de reconhecimento de uma fração, pode-se aferir com esse dado
que os alunos que se encontram nesse nível apresentaram uma aprendizagem
significativa associada ao contexto tácito, conciliando conhecimentos vivenciados
aos saberes escolares.
Vale aqui uma reflexão sobre a linguagem utilizada nos enunciados das
situações problemas propostas ao alunado da EJA, uma vez que esse público traz
consigo bagagem de conhecimentos já internalizados do dia-a-dia e, muitas vezes,
30%
70%
Correta
Errada
75
utilizam-nos para resolverem problemas abordando as referidas situações. Esses
alunos souberam identificar uma fração imprópria ao fazer analogia com os quartos
e os sete cômodos da casa.
Quadro 19 - Problema 5 aplicado: Textual
As tintas usadas nas pinturas de casas e prédios são encontradas nas lojas em
galões e latas. O galão americano é uma unidade de capacidade usada nos
diversos países, inclusive no Brasil. Sua capacidade é de 3,8 litros , enquanto a da
lata é de 18 litros .
Joaquim precisa fazer uma reforma de pintura na sua casa e foi a uma loja de
tintas onde podia escolher entre os tipos:
a) Lata a R$ 153,00.
b) Galão a R$ 34,20.
Se a marca das tintas a serem vendidas é a mesma, qual dos tipos é mais
econômico?
Fonte: elaborado pelo autor.
Observe que este é um problema aplicado a situações do cotidiano, que exige
do aluno conhecimentos operatórios de aritmética básica. Pretende-se que o aluno
investigado da EJA saiba utilizar seus conhecimentos tácitos de maneira a facilitar a
compreensão da questão, de forma a contribuir para o seu desenvolvimento lógico
aritmético. O problema sugere que o aluno identifique qual dos tipos de tinta é mais
econômico, relacionando capacidade dos tipos e preços.
Os resultados encontrados na aplicação desse problema seguem-se
conforme o gráfico:
76
Gráfico 6 - Resultado de apuração do problema 5
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Os resultados apurados para essa questão mostram que 56% dos alunos
acertaram a resposta (é mais econômico escolher a lata de 18 litros ), o que
demonstra que esse grupo é competente para resolver problemas envolvendo
números racionais em situações de contextos reais.
Os que responderam parcialmente correta a questão apresentaram
dificuldades quanto à posição da vírgula ao fazer uso dos algoritmos. Vale lembrar
que o uso de um algoritmo convencional permite ao alunado encontrar uma resposta
certa para tal situação, desde que ele tenha condições de utilizá-la de maneira
correta, porém é importante que o professor deixe o aluno descobrir procedimentos
criados por eles mesmos.
Para aqueles que responderam a questão de forma incorreta (30%), pode-se
dizer, através dos dados, que esses compreenderam bem o problema, usaram
estratégias similares aos que responderam corretamente, mas apresentaram
dificuldades em resolver operações usando o algoritmo da divisão de números
racionais. O fato é que o aluno da EJA busca reminiscências escolares para
estruturar seu pensamento lógico matemático, como se a aprendizagem consistisse
em mera reprodução de conhecimentos.
Quanto aos recursos utilizados pelos alunos que responderam corretamente
esta questão, foram evidenciadas quatro diferentes estratégias para resolução que
se veem a seguir:
77
Quadro 20 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que esse aluno utilizou-se do algoritmo da divisão de números
decimais para calcular o preço de cada litro de tinta na lata e no galão, e os
comparou. Concluiu que o preço de um litro de tinta no galão era de R$ 9,00 e na
lata R$ 8,50, registrando desse modo, que a lata é mais econômica que o galão de
tinta. Essa estratégia usada, conhecida por redução à unidade, imprime um
importante desenvolvimento lógico aritmético do alunado, pois, além de ele já saber
operar com algoritmo da divisão, compara os resultados obtidos e, consequemente,
desenvolverá novas habilidades cognitivas.
O grupo de alunos que se encontra nessa situação sabe operar corretamente
os algoritmos da multiplicação e divisão de números decimais, o que o torna
competente em resolver problemas aritméticos aplicados a rendimentos e ⁄ou
capacidade de líquidos. Em conformidade com os relatos anteriores, nota-se que
esse tipo de problema que aborda situações aplicadas à construção civil contribuiu
para o desempenho dos alunos, uma vez que há um percentual significativo de
trabalhadores nesse segmento nas salas de aula in loco.
Com o objetivo de promover no aluno da EJA outras habilidades, sugere-se
que se trabalhem questões que envolvam situações de redução às unidades iguais,
em níveis variados de aprendizagem
78
Outra estratégia observada com frequência através dos dados coletados foi a
exposição realizada por outro aluno.
Quadro 21 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Esse aluno utilizou-se da estratégia de redução à unidade do preço de um
litro da tinta na lata e, em seguida, o multiplicou pela capacidade do galão.
153 : 18 = 8,50 8,50
X 3,8 32,30
Comparando o valor encontrado ao preço do galão enunciado (que é de R$
34,20), concluiu que a lata de tinta é mais econômica. Percebe-se que esse aluno já
adquiriu a habilidade de resolver problemas envolvendo números decimais através
de algoritmos da multiplicação e divisão, o que lhe dá a certificação de competente a
resolver esse tipo de problema.
Em um terceiro registro realizado por outro aluno, conforme mostrado no
quadro a seguir, nota-se que ele, ao fazer uso do algoritmo da multiplicação da
operação 34,20 por 3, 4 e 5, estaria usando pensamento proporcional. Em seguida,
percebeu que cabiam entre 4 e 5 galões de tinta em uma lata de 18 litros .
Multiplicando o menor e o maior inteiros desse intervalo por 3,80, ele encontrou 15,2
litros e 19 litros . A partir daí, concluiu que o custo do galão era maior que o da lata
de tinta de 18 litros (ao comparar o preço de 4 galões de tinta). Vale um comentário
79
importante acerca da estratégia utilizada por esse aluno, uma vez que ele fez uso de
aproximações dos números 15,2 e 18 litros . Esse tipo de aproximação não é
suficiente para garantir que a lata de 18 litros é mais econômica, pois se a lata de
tinta apresentasse capacidade um pouco maior, ele certamente erraria a questão.
Para tanto, sugere-se que sejam trabalhados problemas que explorem
aproximações de números decimais em diferentes níveis de aprendizagem a fim de
se obterem melhores resultados na aprendizagem dos alunos.
Quadro 22 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
As estratégias traçadas pelos alunos investigados foram pertinentes à
elaboração do plano estabelecido para resolver o problema proposto. Observe que
este problema exige do aluno uma maior compreensão dos dados enunciados do
problema, mesmo que ele contemple uma aplicação de alguma situação do
cotidiano.
Faz-se aqui uma importante discussão acerca da não limitação da resolução
de problemas a problemas-padrão ou problemas-exercícios sugeridos em diferentes
livros didáticos, uma vez que o alunado da EJA já vivenciou situações cotidianas
similares a essa. Sugere-se que sejam abordados problemas de aplicação de
contextos familiares2 do público da EJA, que envolvam diferentes significados de
números decimais em níveis variados de aprendizagem.
Há necessidade de se trabalhar com diferentes questões envolvendo
operações com números racionais em contextos já vivenciados pelos alunos da EJA.
Os resultados e coleta dos dados da situação problema 8, veja a seguir:
80
Quadro 23 - Problema 6 aplicado: Textual
Geralmente um terreno a ser vendido apresenta uma forma retangular e sua área é
determinada multiplicando a seu comprimento pela sua largura. Senhor Manoel, tio
de Pedro, comprou um terreno de 15 metros de frente por 32 metros de fundo.
Ganhou um desconto e pagou R$ 300,00 por cada metro quadrado desse terreno.
Com base neste enunciado, responda:
A) Quanto Senhor Manoel pagou pelo terreno?
B) Quantos metros de muro foram gastos para cercar esse terreno?
Fonte: elaborado pelo autor.
O objetivo dessa questão é analisar como os alunos estabelecem estratégias
para resolverem problemas aritméticos, e não, objetivamente, avaliar se eles sabem
utilizar conceitos de cálculo de área e perímetro de figuras planas.
O item A da questão requer que o aluno seja capaz de determinar a área do
terreno comprado, 480 m2 e, em seguida, multiplicar o número encontrado por 300
reais, encontrando desse modo R$ 144.000,00 para o valor do terreno.
Os resultados obtidos para o item A dessa questão encontram-se no gráfico a
seguir:
Gráfico 7 - Apuração dos resultados do problema 6A
Percentual de abrangência da resposta
40%
32%
28%
Correta
Parcialmente correta
Errada
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
81
Dos alunos que responderam a questão de forma incorreta, correspondente a
28%, pode-se afirmar que eles confundiram a unidade de área (metros quadrados)
com a unidade linear (metros), registrando as operações:
32 + 32 + 18+18 =100
300 x 100 = 30.000 reais
Nota-se, pelo erro cometido mostrar a seguir, que os alunos que se
encontram nesse nível apresentam dificuldades em reconhecer o conceito de área e
perímetro de figuras planas, mesmo que esta não seja a proposta desse trabalho.
Possivelmente, se o enunciado do problema tivesse sido apresentado de modo
figural, com especificações das medidas do terreno, poderia ter contribuído para o
desenvolvimento da questão. Porém, ao lançar mão da figura, pretende-se que o
aluno tenha condições de ele mesmo associar a língua materna ao registro gráfico
de uma dada informação.
Considerando os alunos que resolveram a questão parcialmente correta,
pode-se afirmar que eles cometeram um erro quanto à posição da vírgula ao
utilizarem o algoritmo da multiplicação, conforme se vê:
32 480
x 15 x 300,00
480 144.400,00
Esse fato ocorreu por se tratar de um número grande, uma vez que ele
utilizou o algoritmo da multiplicação 32 x 18 x 300 corretamente, mas se confundiu
com a posição da vírgula. Vale uma reflexão nesse sentido, ao discutir a grandeza
de um número e a maneira como ele é manipulado como variáveis que determinam
o tipo de cálculo que deve ser usado.
O registro a seguir refere-se à estratégia traçada por um dos alunos que
acertou corretamente o problema:
82
Quadro 24 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que esse aluno soube operar corretamente o algoritmo da
multiplicação, porém marcou duas vírgulas no número 14400000. Entende-se que a
primeira vírgula representa um ponto, fato muito usual dos alunos da EJA
investigados em atividades anteriores.
Faz-se necessário trabalhar questões que abordem valor posicional de um
número em diferentes níveis de aprendizagem.
O item B dessa questão sugere que o aluno compreenda que, ao cercar todo
o terreno, ele precisará somar as medidas de seus lados, o que remete à
compreensão do conceito de perímetro de uma figura plana, mas não objetivada
aqui. Os resultados coletados nesse item seguem-se no gráfico a seguir:
Gráfico 8 - Apuração dos resultados do problema 6B
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
83
Observe que 64 % dos alunos não acertaram a resposta do item. Os alunos
que se encontram nesse nível apresentaram dificuldades em interpretação do
problema proposto, pois a palavra “cercar” não foi bem interpretada por eles.
Um aspecto relevante evidenciado foi o fato de a maioria desses alunos que
erraram a resposta calcularem a medida do semiperímetro para representar o
perímetro do terreno. Esse procedimento se deu devido ao fato de esses alunos não
desenharem o terreno como um retângulo, pois se o fizessem descobririam algumas
de suas propriedades, por exemplo, que os lados paralelos do retângulo possuem
medidas equivalentes.
Analisando esses resultados, pode-se concluir que o aspecto com maior
dificuldade no desenvolvimento da aprendizagem dos alunos foi a linguagem
apresentada para o conceito aritmético relacionado ao geométrico, abordados na
mesma situação. Para melhor desempenho de novos níveis de aprendizagem, deve-
se propiciar a prática de resolver diferentes problemas articulando aritmética e
geometria.
A seguir algumas estratégias usadas para resolução do problema proposto:
Quadro 25 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Observe que esse aluno apresentou registro figural do terreno, em formato de
um retângulo, além de especificar as medidas de suas dimensões. Ao fazer esse
procedimento, percebeu que “cercar o terreno” correspondia a somar as dimensões
do retângulo, utilizando o algoritmo da soma 15 + 15 + 32 + 32= 94 metros . Os
84
alunos desse nível são competentes em resolver problemas abordando tópicos de
aritmética associados às propriedades geométricas de figuras planas.
Outra estratégia evidenciada se deu a partir do registro de outro aluno,
conforme a figura a seguir:
Quadro 26 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Nota-se, aqui, que esse aluno usou dois dispositivos de algoritmos da soma
para encontrar o perímetro do terreno. O procedimento usado resume em somar as
medidas equivalentes do retângulo, 15 + 15 = 30 e 32 + 32 = 64, e em seguida fazer
a soma 30 + 64 = 94 metros . Não houve por parte desse aluno economia de
pensamento, pois ele usou o recurso mais prático de se chegar ao resultado
pretendido. Os alunos que se encontram nesse nível também já identificaram
algumas propriedades do retângulo e são competentes para resolver problemas
similares.
Outra estratégia encontrada:
85
Quadro 27 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Com esse registro é possível verificar que esse aluno já compreendeu que o
processo de soma de mesmo número resume em uma multiplicação desse por
quantas vezes ele repete. Nota-se que ele preferiu fazer 15 x 2 = 30 e 32 x 2= 64 ao
lançar mão da operação 15 + 15 e 32 + 32, imprimindo o resultado 94 metros para
essas duas somas. Aparentemente, as duas últimas estratégias são equivalentes, o
que as difere é a utilização de algoritmos diferentes.
Observe que os alunos, nessa situação, são competentes para resolver
problemas aritméticos envolvendo o conceito de perímetro de figuras planas
e,possivelmente, saberão identificar o perímetro de um retângulo cujas dimensões
são a e b pela relação 2a + 2b.
Sugere-se que se trabalhem questões sobre aritmética abordando
separadamente o conceito de área e perímetro e, em seguida, questões envolvendo
os dois conceitos citados em diferentes níveis, de modo a favorecer o aluno para a
obtenção melhores resultados na sua aprendizagem.
86
Quadro 28 - Problema 7 aplicado: Textual
Dona Maria diluiu 500 ml de gelatina concentrada de morango em 1,5 litros de
água, conforme determinam as orientações descritas no rótulo. Se ela usar
copinhos com capacidade de 125 ml cada um, quantos ela poderá servir?
Fonte: elaborado pelo autor
O problema proposto exige que o aluno desenvolva habilidades de operar
algoritmo de soma e divisão de números decimais aplicados ao conceito de volume
de líquidos. Observe no enunciado da questão que aparecem dois tratamentos
distintos de unidade de capacidade, mililitro (mm) e litro (l). Exige-se, ainda, que o
aluno da EJA reduza essas unidades a uma só, de forma a facilitar o entendimento
que o possibilite a resolver o problema. Como exemplo, transformar 1,5 litros de
água em 1500 ml, para em seguida adicioná-lo aos 500 ml de suco concentrado,
obtendo uma mistura de 2000 ml, e com o dispositivo do algoritmo 2000 : 125 o
aluno obterá 16 copos.
Os resultados alcançados nessa questão estão mostrados no gráfico a seguir:
87
Gráfico 9 - Apuração dos resultados do problema 7
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
De acordo com esses dados, verifica-se que a grande maioria dos alunos
investigados (64%) respondeu corretamente a questão, registrando que a mistura
serviria 16 pessoas. Questões envolvendo situações já vivenciadas pelos alunos da
EJA certamente promoverão uma aprendizagem significativa. Um aspecto facilitador
da aprendizagem dos alunos investigados está associado ao fato de o problema
estar inserido em um contexto natural, notado pelo fato de o número inteiro surgir no
processo de contagem, no qual os discentes não necessitam de um algoritmo para
chegarem ao resultado pretendido.
Considerando os alunos que acertaram o resultado da situação descrita,
foram identificadas algumas estratégias. A de maior frequência foi o uso do cálculo
mental e proporcional, em que os alunos contaram quantos copos serviram um litro
da mistura, e a partir desse momento responderam que a mistura servira 16
pessoas.
“ 500 gramas dá pra 4 pessoas
1000 dá pra 8 pessoas
2000 dá pra 16” .
(fala de um dos alunos investigados).
Observe que mesmo esse aluno associando a grandeza grama ao volume,
soube calcular mentalmente as quantidade de copos que serviria, tomando a
88
unidade 500 como referência. Nota-se aqui que esse aluno tem noções de cálculo
proporcional para situações do seu contexto natural, porém não se pode afirmar que
ele é competente para resolver problemas envolvendo situações similares que
requerem proporcionalidades inversas entre grandezas distintas.
Outras estratégias utilizadas na resolução da situação são observadas a
seguir:
Quadro 29 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
Quadro 30 - Registro apresentado por outro aluno
Fonte: Dados da pesquisa, realizada pelo autor.
É evidente aqui que este aluno usou da técnica de redução à unidade ml para
resolver a questão, fazendo 500 ml + 1500 ml= 2000 ml, e em seguida calculou que
cabiam 16 de 125 ml em 2000 ml. O Aluno 9 também recorreu a essa técnica, porém
utilizou um dispositivo de algoritmo diferente. Ele dividiu 500 e 1500 por 125,
encontrando 4 e 12 como resultados, concluindo que seriam gastos 4 + 12=16
89
copos. Vale lembrar que esse aluno se utilizou de uma estratégia válida, mas
perigosa, pois os resultados das divisões poderiam não ser exatos em alguma delas
ou mesmo nas duas, o que poderia confundi-lo ou mesmo apresentar um resultado
incorreto.
Com relação aos alunos que erraram o problema proposto (36%), relata-se
que os erros se deram devido à falta de atenção na interpretação (uma vez que eles
usaram somente 1500 ml de água para calcularem a quantidade de copos
necessários, registrando a operação 1500 : 125 = 12 copos) e à dificuldade em
operar com algoritmo de divisão. Muito preocupa esse ocorrido, pois os alunos que
se encontram nesse nível apresentam dificuldades de compreensão do problema
proposto e não de operar com números decimais.
Mesmo que tenha havido bom desempenho dos alunos investigados, sugere-
se explorar questões que abordem capacidades de líquidos em níveis mais
avançados, com a finalidade de se obterem melhores resultados de aprendizagem.
Quadro 31 - Problema 8 aplicado: Textual
Pai e filho são pescadores de um grande rio amazonense e cada um possui seu
próprio barco. Sabe-se que o pai trabalha três dias e volta para casa no dia
seguinte, chegando neste mesmo dia. O filho trabalha seis dias e volta para casa no
dia seguinte, chegando neste mesmo dia. Ao se encontraram em casa pela primeira
vez, em uma sexta-feira, trabalharão ambos no sábado próximo. Em que dia da
semana eles se encontrarão em casa pela segunda vez?
Fonte: Adaptado ao Banco de questões da Rede PITÁGO RAS.
90
O problema proposto requer que o aluno explore os conceitos de mínimo
múltiplo comum de números naturais contextualizados em uma situação de pesca,
pois o pai retorna para casa de 4 em 4 dias, e o filho de 7 em 7 dias. Ambos se
encontrarão pela segunda vez em 28 dias (menor tempo múltiplo para retorno de
ambos). Como 28 é múltiplo de 7, pai e filho se encontrarão novamente na sexta-
feira.
Os resultados alcançados para essa questão, a seguir:
Gráfico 10 - Apuração dos resultados do problema 8
Fonte: Dados da pesquisa.
Os resultados mostram que apenas 40% dos alunos investigados acertaram a solução
do problema proposto, o que denota pouca aprendizagem desses alunos ao
resolverem situações envolvendo mínimo múltiplo comum de números naturais.
A fala dos que erraram, (60%),mostra um aspecto muito evidenciado , que se
deu devido ao fato de o problema apresentar-se de forma complicada. Veja:
“o problema ta confuso muito complicado pra resolve”
(fala de um dos alunos investigados)
É notório que a aprendizagem dos alunos que se encontravam nesse nível
não se efetivou devido à dificuldade de compreensão da linguagem usada na
91
redação do texto. Como o problema não foi compreendido corretamente, certamente
não foi realizado nenhum plano para ser executado, salvo quando foram feitas
hipóteses aleatórias. Outro aspecto evidenciado que muito dificultou a aprendizagem
foi a contagem errada dos dias da semana, ao repetirem os mesmos dias.
Com relação àqueles que acertaram o resultado pretendido, foram
evidenciadas algumas estratégias, conforme se vê a seguir:
Quadro 32 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa.
Quadro 33 - Registro apresentado por outro aluno
Fonte: Dados da pesquisa.
Observe que tanto o primeiro aluno quanto o segundo dispuseram de duas
estratégias semelhantes. O primeiro dispôs da técnica de contagem construindo
uma tabela para distribuir os dias em que pai e filho voltariam para casa, concluindo
que o incidente ocorreria em uma sexta-feira. O segundo aluno fez contagem direta
92
desses dias, concluindo também que o fato ocorreria em uma sexta-feira, porém
registrou a de semana em que o fato iria acontecer.
Nota-se que ambos fizeram afirmações verdadeiras pertinentes à solução do
problema proposto, o que demonstra serem habilidosos e competentes para resolver
problemas envolvendo situações acerca do conceito de múltiplo de números
naturais.
Pode-se considerar que o enunciado deste problema permitiu aos alunos que
se encontram nesse nível a reescrita de sua abordagem a partir de vocábulos
próprios que favoreceram a sua aprendizagem, mesmo que tenham lançado mão do
algoritmo para calcular o mínimo múltiplo comum de 4 e 7.
Além disso, é evidente que o uso de tabelas favoreceu a aprendizagem dos
alunos para resolver a questão proposta, o que mostra que eles sabem interpretar e
construir situações problema envolvendo essa abordagem.
Para os alunos alcançarem melhores níveis de aprendizagem, é necessário
trabalhar questões que lhes possibilitem explorar e inferir afirmações corretas acerca
de dados em uma tabela, com a finalidade de produzir melhores resultados em
leitura de textos matemáticos.
A configuração e análise dos resultados do problema 9 a seguir:
93
Quadro 34 - Problema 9 aplicado: Gráficos e Tabelas
A empresa vendedora da tinta abaixo faz o seguinte informativo:
ESMALTE ALUMNÍNIO
(Indicado para superfícies e metal),
TEMPO DE SECAGEM 12h
GALÃO 3,8 Litros
RENDIMENTO por GALÄO 150 M2
PREÇO POR GALÂO R$ 48,60
D. Clara contratará um pintor que cobra R$ 140,00 para pintar 480 m² das paredes
de sua sala. Qual o gasto mínimo que ela terá para contratar esse serviço?
Fonte: elaborado pelo autor.
Esse problema aborda conceitos de números decimais aplicados à rendimentos de
tinta em superfícies e metais. Pretende-se que o aluno investigado desenvolva
habilidades de operar com diferentes significados de números decimais a partir de
seus conhecimentos lógicos aritméticos, além da contribuição dos seus saberes
tácitos.
Observe que serão necessários 4 galões de tinta para pintar a casa, pois 3 galões
pintam somente 450 m2 de superfície. Com isso, o gasto mínimo na pintura será o
gasto da tinta (4 x 48,60= R$194,40), adicionado ao serviço para pintura (R$140,00),
totalizando R$ 334,40.
Os resultados alcançados para essa questão , seguem o gráfico 11:
94
Gráfico 11- Problema 9 aplicado
Fonte: Dados da pesquisa
Observe que apenas 30% dos alunos investigados responderam a questão
corretamente, registrando R$ 334,40, sendo o gasto mínimo necessário para se
fazer esse serviço. Esses dados revelam que os alunos desse nível de
aprendizagem sabem operar corretamente com os algoritmos da soma, multiplicação
e divisão de números decimais, o que implica serem competentes em resolver
problemas aritméticos sob contextos do cotidiano.
A partir dos registros coletados dos alunos investigados foram identificadas
diferentes estratégias por eles traçadas, com a finalidade de resolver a situação em
questão.
95
Quadro 35 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa.
Com esse registro, observa-se que esse aluno lançou mão do algoritmo da
divisão e preferiu multiplicar. Utilizou-se do pensamento proporcional para estimar a
quantidade de galões a serem gastos na pintura das paredes. Observa-se também
que, por um descuido, ele cometeu um erro ao fazer a multiplicação, obtendo o valor
620 na multiplicação 150 x 4. Nota-se que esse aluno compreendeu que seriam
necessários 4 galões na pintura, em seguida multiplicou o preço do galão por 4,
obtendo o custo de R$ 194,40, concluindo que o gasto mínimo total seria de R$
140,00 + 194,40 = 334,40 reais.
Vale ressaltar que os alunos que se encontram nesse nível de aprendizagem
sabem operar corretamente com problemas aritméticos de contextualizados ao
seguimento da construção civil, uma vez que eles buscaram conhecimentos
adquiridos no seu dia-a-dia para consolidar os resultados alcançados.
Outra estratégia evidenciada é mostrada, conforme o registro a seguir:
96
Quadro 36 - Registro apresentado por outro aluno
Fonte: Dados da pesquisa.
O registro acima mostra que há um domínio do uso dos algoritmos da adição,
multiplicação e divisão, o que permite afirmar que os alunos são competentes para
realizar esses procedimentos. Em se tratando da estratégia utilizada pelo Aluno 1,
fica constatado que seu plano para execução do problema proposto consistiu em
dividir 480 por 150, obtendo assim o número 3,2. Em seguida tomou o número 4
como o natural imediatamente superior a 3,2 e o multiplicou por 48,60, obtendo
como resultado 194,40. Em seguida fez a soma 194,40 + 140,00 = 334,90.
Um terceiro registro é mostrado abaixo, e refere-se ao percentual de alunos
que responderam a questão de modo parcialmente correta. Veja:
Quadro 37 - Registro apresentado pelo terceiro alu no
Fonte: Dados da pesquisa.
97
Observe que esse aluno não se preocupou em observar que a menor
quantidade de galão seria 4 e não 3,2, como interpretou. A ocorrência desse tipo de
erro é comum quando não há ligação entre os algoritmos realizados e o contexto do
problema. É importante discutir a utilização da Matemática no cotidiano dos alunos.
Os alunos que se encontram nesse nível de aprendizagem são competentes para
utilizar os algoritmos da adição, multiplicação e divisão de números decimais.
A próxima situação problema teve uma configuração similar às outras quanto aos
resultados apurados, como é mostrado a seguir:
Quadro 38 - Problema 10 aplicado: Gráficos e Tabela s
Uma loja de eletrodomésticos apresenta uma promoção de TV’s, no modelo LED,
conforme a tabela abaixo:
TV’s LED à vista
Polegas ( ” ) Preço (R$)
32 1300,00
40 2300,00
Comprando a prazo há um acréscimo de 10% sobre o valor à vista, podendo ser dividido
em 10 parcelas sem juros no cartão de crédito.
Senhor Joaquim comprou uma TV LED de 32 a prazo. Qual o custo de cada uma
das parcelas da TV comprada?
Fonte: elaborado pelo autor.
O proposto problema espera que o aluno desenvolva habilidades de operar
com o conceito de porcentagem de diferentes maneiras, levando em consideração
os algoritmos de soma e divisão de números decimais. Para tanto, ele deverá extrair
informações corretas da tabela mostrada.
Os resultados alcançados para essa questão no gráfico, a seguir:
98
Gráfico 12- Apurados dos resultados dos dados colet ados
Fonte: Dados da pesquisa
Observe que o gráfico de apuração dos resultados dessa questão mostra que
64% dos alunos investigados responderam corretamente contra 36% dos que
erraram. Nota-se que a maioria do grupo pesquisado soube compreender bem o
problema e traçou estratégias próprias para resolvê-lo. Além disso, extraiu
informações verdadeiras a partir da tabela, interpretando-as de forma correta. O
problema abordando representações distintas do conceito de polegada (forma
escrita e simbológica) permite aos alunos um melhor entendimento ao resolvê-lo,
conforme se vê a diante.
Dos que registraram a questão de forma errada, evidenciou-se que
apresentavam dificuldades em operar com porcentagem fazendo uso de algoritmos,
novamente devido á incerteza da posição da vírgula.
Esses dados mostram a competência dos alunos que acertaram a questão
em resolver problemas envolvendo operações com números decimais a partir de
informações que se extraem de enunciado de tabelas.
99
Quadro 39 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa
Conforme se vê no registro acima, nota-se que o aluno calculou 10% de 1300
fazendo uso da operação 1300 x 10, e somente ao final da operação excluiu dois
zeros finais, resultado 130 reais. Em seguida, realizou a operação 130,00+1300,00 e
dividiu o resultado alcançado por 10, obtendo assim R$ 143,00 (sendo o valor de
cada parcela a pagar).
Outro aspecto evidenciado aqui está associado ao fato de alguns alunos
fazerem uso de cálculo mental para efetuarem cálculos, sem a preocupação de
algoritmizar seu pensamento, uma vez que o conceito de porcentagem está inserido
em variadas situações de seu cotidiano. O cálculo mental é uma forte ferramenta a
ser usada em cálculos similares, desde que o alunado já tenha construído
corretamente seu modelo de pensamento proporcional.
Para se obter um melhor nível de aprendizagem, faz-se necessária a
abordagem de questões envolvendo números decimais de maneira a explorar os
algoritmos da multiplicação e divisão, bem como enfatizar a localização da vírgula
para esses números.
A seguir o problema 11 aplicado:
100
Quadro 40 - Problema 11 aplicado: Gráficos e Tabela s
Na construção civil costuma-se muito dizer a palavra “traço”, que é a indicação das
proporções dos componentes de uma mistura. A tabela a seguir contém as
quantidades de cimento e areia usadas em cada mistura desses materiais.
Veja a seguir:
Tipo/uso Cimento (uni) Areia (uni)
Tijolo Comum/Alicerce 1 8
Tijolo Furado 1 8
Concreto 1 3
Para Impermeabilização 1 2
Piso Cimentado 1 3
Piso para receber Tacos 1 4
Quantos quilos de cimento serão utilizados no traço de concreto, sabendo-se que
serão gastos 237 quilos de areia?
Fonte: elaborado pelo autor .
A situação acima aborda o conceito de razão e proporção entre as grandezas
quantidade de cimento e areia utilizados na construção civil. Esse problema permite
ao alunado que já vivenciou práticas de construção de traço de uma mistura utilizar
conhecimentos prévios operatórios que possam construir para o desenvolvimento de
seu plano estratégico. Além disso, pretende-se aqui que o alunado saiba extrair
informações corretas da tabela, com a finalidade de perceber a relação proporcional
direta entre as grandezas cimento e areia. Como essa relação é de uma unidade de
cimento para três de areia, espera-se que ele entenda que, para descobrir a
quantidade de cimento, basta fazer 237: 3 = 79. Esse é o resultado, em quilos de
cimento necessários ao traço pretendido.
Os resultados alcançados na apuração dessa situação problema seguem a
configuração do gráfico a seguir:
101
Gráfico 13 - Apuração dos resultados dos dados cole tados
Fonte: dados da pesquisa.
As categorias evidenciadas nesses resultados mostram que 64% dos alunos
investigados acertaram a questão. Observe que esse índice foi obtido devido ao fato
de a questão abordar situações já vivenciadas por uma parcela considerável dos
pesquisados. Os que encontram nesse nível de aprendizagem sabem resolver
problemas envolvendo proporcionalidade entre grandezas a partir de situações já
exploradas por eles. Fato comprovado na fala de alguns alunos.
“Sei fazer este problema porque já fiz traço de cimento no meu serviço”
(fala de um dos alunos investigados).
Considerando aqueles que acertaram parcialmente a situação proposta, justifica
esse percentual de 16% o fato de os alunos fazerem as mesmas operações que os
outros, mas multiplicaram o resultado por 50. Possivelmente essa evidência ocorreu
devido à unidade de cimento “saco” ser explorada no cotidiano dos adultos. Observe
o registre a seguir:
102
Quadro 41- Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa.
Através desse registro se vê que o aluno dispôs do pensamento proporcional
entre as grandezas cimento e areia. O desenvolvimento de sua estratégia não
apresentou economia de registro. Aplicou corretamente a propriedade das
proporções e efetuou o algoritmo da divisão corretamente.
Os alunos que se encontram nesse nível de aprendizagem já passaram pela
escola ha pouco tempo, possivelmente são mais jovens que os outros.
Quadro 42 - Registro apresentado por outro aluno
Fonte: Dados da pesquisa.
Com o registro acima observe que o discente interpretou corretamente e
compreendeu bem o problema proposto, mesmo recorrendo dos conhecimentos
adquiridos no dia a dia, sem sua menção no enunciado. É perceptível, com esse
registro, a representação da unidade cimento em “saco de 50 kg ”, uma vez que o
103
discente multiplicou o resultado esperado, 79 kg , por 50, concluindo que seriam
necessários 3950 kg de cimento. Com esse registro, observe que esse é um aluno
que se utiliza de suas reminiscências para resolver o problema. Inúmeras são as
situações em que o alunado recorre à lembranças de situações semelhantes para
executar algum plano estratégico para resolver problemas. Vale lembrar que
informações extras trazidas para resolução de um dado problema apenas são
válidas se elas não interferirem matematicamente no resultado esperado, como se
viu anteriormente.
Desta forma, qualquer outra situação que aborde terminologias advindas do
convívio social deverá ser explicitada no enunciado de cada problema. Vale
comentar que essa construção necessita de uma intervenção do professor da EJA,
direcionando as variadas unidades encontradas em um problema, específicas do
problema.
Em se tratando dos alunos que não apresentaram resultados próximos ao
esperado, 20%, relata-se que estes apresentaram dificuldades na compreensão da
linguagem do enunciado proposto, além dos procedimentos fragmentados
algoritmizáveis. Fato observado nas falas de alguns alunos:
“Traço? Nunca vi falar. Qual a conta pra fazer
”(Fala de um dos alunos).
Diante desses registros, se faz necessário abordar questões que envolvam
razão e proporção em contextos familiares à construção civil, explorando
cuidadosamente as diferentes unidades utilizadas em níveis variados de
aprendizagem.
A situação a seguir trata de uma abordagem muito comum entre os alunos
pesquisados.
104
Quadro 43- Problema 12 aplicado: Gráficos e Tabelas
Os números de consumo apresentados na tabela abaixo foram calculados com base
em uma família de 4 pessoas de uso moderado, sem excessos, que tomam o banho
1 vez por dia e possuem apenas um aparelho de cada espécie.
Veja a tabela de consumo de cada aparelho:
Aparelho Consumo kW hora por mês
Aparelho de som completo 4
Chuveiro Elétrico 24
Ferro Elétrico 12
Geladeira 21
Televisor 12
Microcomputador 15
O preço de cada kW hora cobrado para essa faixa total de energia foi de R$ 0,40.
Quanto gastará essa família pela energia consumida por esses aparelhos?
Fonte: elaborado pelo autor .
O problema proposto permite ao aluno desenvolver diferentes habilidades
para operar com números decimais. Observe que o preço total a ser pago por essa
família pode ser encontrado a partir de duas estratégias: na primeira, soma-se o
consumo total (88 KW hora) e multiplica-se por R$ 0,40. Na segunda, soma-se o
gasto em R$ por cada aparelho, para em seguida obter a soma total, obtendo dessa
forma um gasto de R$ 35,20.
Observe o gráfico dos resultados apurados, a seguir:
105
Gráfico 14- Resultado de apuração do problema 12
Fonte: Dados da pesquisa.
Os resultados mostram que 68% dos alunos resolveram a situação problema
de forma correta contra 32% dos que erraram. Dos que responderam corretamente a
questão, pode-se afirmar que compreenderam bem o problema e utilizaram-se das
estratégias previstas para solução , além de apresentaram um bom gerenciamento
das informações contidas na tabela.
O fato de o conteúdo abordado apresentar-se em um contexto “familiar”
vivenciado pelos adultos permitiu o êxito da aprendizagem , uma vez que seus
conhecimentos tácitos sobre o consumo de energia se associaram aos seus
conhecimentos escolares. Além disso, a metodologia utilizada pelo grupo de alunos
que acertaram a resposta do referido problema se deu de forma consolidada.
Alguns registros observados quanto à resolução da situação apresentada:
106
Quadro 44 - Registro apresentado por um dos alunos
Fonte: Dados da pesquisa.
A estratégia usada por esse aluno foi a de maior frequência, uma vez que a
compreensão do problema lhe permitiu entender que primeiramente ele precisaria
saber o gasto, em KWH, total, para posteriormente multiplicar pelo custo de R$ 0,40.
Observe que a manipulação dos algoritmos da soma e multiplicação de números
decimais tomou maior força.
Quadro 45 - Registro apresentado por outro aluno
Fonte: dados da pesquisa
Nota-se aqui nesse registro a evidência do cálculo mental que o aluno utilizou
no desenvolvimento da questão. Ao multiplicar o consumo de cada aparelho por R$
107
0,40 ele entendeu que o gasto total poderia ser encontrado pela soma dos gastos de
cada um. Vale discutir aqui que, fazendo uso desse recurso, o discente já deve ter
domínio das operações com números decimais, pois o cuidado que necessário com
a posição da vírgula é maior nesse instante que uma simples multiplicação de
números naturais.
Com esses dois registros, observe que esses alunos foram competentes para
estabelecer corretamente um plano para resolverem a situação proposta. Mesmo em
se tratando de estratégias distintas, fizeram uso adequado das informações contidas
na tabela a que se refere o enunciado do problema. Pode-se afirmar que a
estratégia utilizada pelo registro do primeiro aluno é uma expansão da utilizada pelo
outro aluno, porém o primeiro obteve a resposta com economia de tempo (em se
tratando de operações).
Mesmo que o maior percentual seja de alunos que acertaram a resposta, é
preocupante o índice de erros de 32%. Ao observar os aspectos que mais se
sobressaíram dentre os erros dos alunos, pode-se afirmar, através dos registros
coletados, que a maioria apresentou dificuldades em compreensão da linguagem do
enunciado do problema, além de fragmentação dos algoritmos da multiplicação e
posição da vírgula.
Para se obterem melhores resultados para aplicação dessa situação
problema, faz-se necessário abordar situações problemas discursivas que envolvam
problemas similares, com maior número de itens (a, b e c, por exemplo).
A seguir o próximo problema:
108
Quadro 46 - Problema 13 aplicado: Gráficos e Tabela s
A empresa “Casa e vida” construiu casas em 4 bairros da cidade das Flores,
como mostra o quadro abaixo:
O bairro em que foram construídas 200 casas é:
A) Santa Rita
B) Santa Cruz
C) Santa Rosa
D) Santa Bárbara
Fonte: Avaliação do Sistema Mineiro de Educação, 20 09).
Pretende-se nesta questão envolver o aluno em situações que explorem o
pensamento proporcional de números naturais, de maneira a reconhecer as variadas
formas de apresentação de uma unidade.
Observe que, além de a questão vir apresentada por abordagem de tabelas,
há figuras associadas às casas construídas naquela cidade. Como a figura de uma
casa representa 50 casas construídas, logo o bairro que recebeu 200 casas foi
Santa Bárbara.
Os resultados alcançados nessa pesquisa encontram-se no gráfico a seguir:
109
Gráfico 15 - Apuração dos resultados do problema 13
Fonte: Dados da pesquisa.
Observe que 73 % dos alunos investigados optaram em marcar a opção
correta, letra D, ou seja, se a unidade do desenho de uma casa corresponde a 50
casas, então para se construir 200 casas serão necessários 4 desenhos de casas
equivalentes (200: 50 = 4). Contudo, com base na tabela do enunciado, o bairro que
apresenta 4 desenhos de unidades de casas é o Santa Bárbara. Nota-se que os
alunos que se encontram nesse nível sabem resolver problemas que apresentam
variação proporcional a partir de informações obtidas em tabelas, o que os torna
competentes para tal situação.
Observados os erros cometidos, nota-se que 27% dos alunos, que marcaram
as alternativas A, B ou C, apresentaram dificuldades em leitura e compreensão,
dados da tabela. Contudo, destaca-se que a não aprendizagem dos alunos
investigados (27%) foi associada a problemas de linguagem, pois eles não fizeram
relação da figura da casa com o valor relacionado a ela, o que dificultou o êxito para
se alcançarem tais habilidades.
O próximo problema refere-se ao consumo de água em uma residência,
observe:
110
Quadro 47 - Problema 14 aplicado
Paulinho, aluno do 6º ano do Ensino Fundamental, separou as seis ultimas
contas de água do ano passado, com o objetivo de realizar um trabalho na
sua escola sobre o consumo de água em residências mineiras. Sua
professora orientou a sua turma a representar os dados adquiridos sob a
forma de gráfico. O gráfico de Paulinho teve a seguinte configuração:
Em quais meses o consumo de água da residência de Pedro foi superior a
40 000 litros ?
Fonte: elaborado pelo autor
O principal objetivo dessa questão é avaliar como os alunos investigados
lidam com leituras de gráficos. Para tanto, eles precisam saber que cada metro
cúbico corresponde a 1000 litros de água e, seguidamente, observar no gráfico os
meses em que o consumo foi superior a 40 metros cúbicos.
A análise dos resultados obtidos aqui segue no gráfico a seguir:
Consumo de água na residência de Pedro
0
10
20
30
40
50
60
Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro
Meses
cons
umo
( em
met
ros
cúbi
cos
)
111
Gráfico 16- Apurado dos resultados do problema 14
Fonte: Dados da pesquisa.
A partir dos resultados obtidos para essa questão, nota-se que apenas 13 %
dos alunos não a responderam corretamente, ou seja, não souberam identificar os
meses em que o consumo de água foi superior a 40 m3, a partir de um contexto já
vivenciado por eles. Em contrapartida, 87% acertaram a resposta da questão.
Um dos aspectos evidenciados nos registros coletados foi o fato de alguns
alunos responderem que o consumo no mês de Dezembro (cujo consumo foi de 40
m3) faz parte da resposta da questão, o que não é verdade.
Pode-se afirmar que os alunos pesquisados sabem interpretar dados a partir
de informações contidas em gráficos de barras, bem como relacionar uma grandeza
com outra.
As estratégias identificadas para essa questão tiveram por base o processo
de visualização, uma vez que os alunos apenas observaram os dados e não fizeram
uso de algoritmos (adição, subtração, multiplicação ou divisão).
Os alunos da EJA são capazes de mensurar ou mesmo preparar uma receita
culinária, cortar e confeccionar uma roupa, sapato, bolsa, etc. Deixo aqui uma
reflexão sobre a utilização dessa técnica por parte dos alunos da EJA, uma vez que
a maioria deles a utiliza em ambientes vivenciados diariamente, principalmente
aqueles que lidam com situações problema da construção civil.
Após a realização da aplicação da atividade descrita, discutiu-se a resolução
de todos os problemas com os alunos investigados, com a finalidade de se
112
observarem outros aspectos estruturantes da aprendizagem deles. Durante a
correção das questões propostas, os discentes puderam melhor refletir sobre os
assuntos abordados, além de desenvolverem novas habilidades (a partir daquela
que já registraram na pesquisa), inclusive algumas não mencionadas na coleta de
registros escritos por eles. Como exemplo, que 10% de 1300 é igual a 13 x 10, o que
novamente permite-se afirmar que o eles fazem uso do cálculo proporcional e
mental.
Muito já se discute o fato de que alguns alunos já construíram uma estrutura
pronta e inacabada para a Matemática. O fato é que eles se sentem e/ou pensam
que são passíveis da construção do saber. Espera-se que, usando as três
linguagens diferenciadas nos enunciados das situações propostas, os alunos
possam refletir sobre cada assunto abordado e que estejam preparados a resolver
novos desafios.
Os alunos devem ser incentivados a fazer uso de pesquisas de informações
que leem, podendo aprofundar tanto nos conceitos matemáticos abordados quanto
em outra área do saber.
As atividades desenvolvidas nesse capítulo podem ser abordadas
isoladamente ou em equipe; contudo, sugerem-se outras complementares em
consonância com estas, incluindo aquelas que possam promover um sentido mais
amplo, lúdico e de jogos para os alunos, oportunizando novos ambientes de
aprendizagem. Com base na aplicação destas atividades, procurou-se elaborar um
Caderno de Atividades que contempla problemas aritméticos,apresentado nesta
dissertação por APÊNDICE sob as abordagens Figural, Textual, Gráficos e Tabelas.
113
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após aplicação das atividades e coleta dos dados, verificou-se que os
alunos pesquisados apresentam diferentes estratégias para resolverem problemas
aritméticos. Os problemas apresentados para eles consistem em um grupo de
situações que podem contribuir para uma intervenção didático-pedagógica do
docente de turmas de Educação de Jovens e Adultos.
Os resultados alcançados dos problemas 1,3 e 4 mostram que a maioria dos
alunos sabe identificar frações equivalentes a partir de sua parte e seu todo, aspecto
discutido por Gimenes e Lins (2006). Pode-se afirmar ainda que, em se tratando
desses problemas, o grupo pesquisado sabe operar corretamente com os algoritmos
da divisão, reconhecendo e atribuindo o conceito de fração a tratamentos distintos: o
tratamento a/b e expansão por decimais, conforme visto por Duval apud Machado
(2003). As estratégias identificadas aqui foram: reconhecimento de parte todo,
simplificação de frações e divisão dos termos de uma fração (numerador e
denominador). Essa conclusão pôde ser evidenciada devido ao fato de esses
problemas serem apresentados de modo Figural, o que contribuiu para essa análise.
Além disso, vale relatar que os algoritmos da adição de números decimais foram
muito bem explorados por esses alunos em se tratando desse grupo de problemas
(1,3 e 4)
Outro aspecto evidenciado aqui foi a aceitação considerável dos alunos em
resolver problemas que explorem unidades monetárias, como o problema 2. Em
consonância com Brasil (2002a,b) a unidade monetária é explorada constantemente
pelos jovens e adultos que fazem uso de dinheiros em seu dia a dia. Para tanto,
sugere-se envolver o alunado da EJA em outras que abordem o mesmo assunto, de
modo que ele perceba as diferentes expansões dos números decimais, uma vez que
as estratégias de cálculo mental são comuns a esse público.
Outro aspecto importante observado foi o fato de os problemas 5 e 7 serem
apresentados em seus enunciados de modo Textual e contextualizados a uma
situação em que o público da EJA já vivenciou ou faz uso. Comparar preços de tinta
bem como conhecer o rendimento de mistura de tinta, massa ou outras é tarefa
natural desses sujeitos. Em concordância com Gimentes & Lins (2006) e Dante
(1995, 2003) há necessidade de trazer a Matemática da rua para a escola e fazer o
114
inverso, de modo a (re)significar conceitos e propriedades. As estratégias mais
observadas foram: pensamento aditivo e cálculo proporcional.
Ainda sobre o problema 7, relata-se que o grupo pesquisado não economizou
pensamentos para resolverem-no, pois tratou de uma situação em que os alunos
possivelmente se viram diante de outra semelhante, ou que já tenham vivenciado,
pois manipularam mais de um algoritmo para resolverem problemas aritméticos.
Uma estratégia que relevante foi a contagem, evidenciada nas situações
problemas 8 e 10. Para Gimenes e Lins (2006) e Fonseca(2002), esta é uma
ferramenta usual dos adultos, que muitas vezes lançam mão dos algoritmos para
efetuar alguns cálculos. Vale lembrar que esse recurso é viável se e somente se o
discente já sabe fazer uso correto dos algoritmos da adição, multiplicação e divisão,
mesmo sendo diferenciados daqueles ensinados na escola.
Em relação ao fato de alguns alunos pesquisados apresentarem resultados
satisfatórios, há de se comentar os erros cometidos, uma vez que os registros
observados apontam para uma fragmentação do processo de algoritmização (da
multiplicação e divisão). Muitas vezes as reminiscências de como eles faziam as
operações servem de escudo para eles se defenderem da observação. Mas, o seu
conhecimento cultural de mundo lhes permite coerência nas respostas., como se viu
nos problemas 5 e 9. Deve-se estimular os alunos da Educação de Jovens e Adultos
a ampliar suas estratégias de contagem e não simplesmente ensiná-los a contar,
uma vez que esse recurso é bem aceito na infância e não na fase adulta, conforme
Fonseca ( 2002).
Analisando a maneira com a qual os alunos pesquisados resolveram os
problemas propostos, pode-se afirmar que a maioria buscou compreendê-los,
estabeleceu seu próprio plano estratégico, executando-o. Uma pequena parcela
comparou os resultados alcançados com o enunciado dos mesmos. Em
conformidade com Polya (1978), um bom resolvedor de problemas é aquele que
executa as fases de compreensão, estabelecimento de um plano, executa-o e faz o
retrospecto
Os problemas 4, 5, 6, 7 e 11 puderam ser analisados de modo mais
abrangente, pois apresentaram resultados positivos superiores a 50 % de
aprendizagem. O contexto nos quais foram envolvidos consistiu em uma
reconfiguração de algumas áreas de atuação que o público estudado já vivenciou no
115
dia a dia, pois as situações de compra de terreno, cálculo de área de uma casa e
traço de mistura são tarefas que apenas os adultos realizam, em especial os sujeitos
estudados. Novamente, retoma-se a importância de se abordarem conceitos de
Aritmética em situações em que os alunos apresentam alguma “familiaridade”, que
sejam interessantes e que façam sentindo para eles, conforme Dante (1995; 2003).
Pode-se comentar que os enunciados dos problemas propostos sob as
abordagens Figural, Textual, Gráficos e Tabelas contribuíram para que os alunos
pesquisados tenham uma visão ampla de “problema” (que não são aqueles que
iniciam ou terminem por “calcule isso...”, “determine aquilo...” e “Resolva esta...”).
Outro aspecto a ser discutido destina-se à maneira pela qual os problemas
aritméticos são apresentados ao público da EJA, pois mesmo sendo criativos,
conforme Dante (1995) deve-se sensibilizar o aluno a descobrir sua maneira própria
de resolvê-los.
Há de se comentar que já houve momentos que os discentes da EJA já
passaram por uma escola do ensino regular, e esta não deu conta de resolver os
problemas da aprendizagem de seus alunos, tornando-os cada vez mais excluídos
da escolarização.
Em concordância com Fonseca (2001, 2002) os alunos da EJA buscam a
escola por exigência do mercado de trabalho, porque não tiveram oportunidades,
para suprir o tempo perdido ou mesmo porque não há mais indisciplina, que foi
durante anos um aspecto que muito dificultou a sua aprendizagem. Nas últimas
décadas, o ensino para esse público repercutiu em uma transformação da educação
popular, em que o ensino por transmissão não é mais pelo público adulto, pois as
pessoas detêm saberes e conhecimentos que não são abordados em uma sala de
aula, além de resolverem variadas situações problemas do cotidiano.
No enfrentamento dessas situações, surge o desejo de vencer as etapas,
através das quais se desenvolvem as chamadas habilidades, já discutidas
anteriormente.
Muitas vezes, o aluno desiste de estudar porque se sente incapaz de
aprender ou porque está cansado demais, ou mesmo porque os conteúdos não
apresentam um significado para ele. A distância entre conteúdo escolar e saberes
tácitos ainda existe. Portanto, deve-se propiciar condições para que esses alunos
depositem suas próprias contribuições no decorrer do processo, que eles participem
116
com opiniões, ideias e discussões acerca dos acontecimentos, de modo a não
acontecer o retrabalho didático e a fragmentação da aprendizagem . Deste modo, os
conteúdos passam a ter um novo significado, a partir de sua importância para as
pessoas. “Ensinar o quê?”, “Para quê?” e “Como?”, são perguntas que cabem aos
docentes e pesquisadores, para uma reflexão quanto à especificidade de seu
público alvo e o que eles devem aprender na escola.
Em se tratando dos conhecimentos aritméticos, em concordância com Kamii
(1995) e Gimenes e Lins (2006) o mundo é aritmetizável, e acredita-se em nova
configuração para seu ensino, de maneira a possibilitar uma aprendizagem de
Matemática pautada em valores, conceitos e cultura.
Essa dissertação tem o caráter de promover uma maior reflexão sobre o
ensino de Aritmética em turmas de Educação de Jovens e Adultos, de modo a
possibilitar a professores de Matemática e à equipe pedagógica dessa modalidade a
realização de maiores investigações de como os adultos interpretam informações e
resolvem problemas. Para tanto, em futuras pesquisas, sugere-se que se
investiguem as habilidades desenvolvidas pelos alunos da EJA, do ensino médio,
bem como os alunos dos cursos Pós Médio, Profissionalizantes e PROEJA. Para os
docentes de Matemática, deixa-se aqui uma reflexão quanto às possíveis
intervenções didáticas e pedagógicas no ensino de \aritmética, pois há de se pensar,
a priori, sobre o que é essencial e o que é prático ensinar. Desse modo, há
necessidade de uma futura investigação quanto à formação continuada do
profissional em Educação de Jovens e Adultos.
117
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121
APÊNDICE
Produto Elaborado
Lourival Alves Freitas Filho João
Bosco Laudares
Caderno de Atividades
De Aritmética para
Educaçãããão de Jovens e
Adultos do Ensino
Fundamental Lourival Alves Freitas Filho
João Bosco Laudares
Autores
122
Caros leitores,
Este caderno de atividades é resultado de uma pesquisa de Mestrado Profissional
realizada no ano de 2011, sendo elaborado com o objetivo de propiciar aos alunos
da Educação de Jovens e Adultos do Ensino Fundamental melhores condições para
resolverem problemas aritméticos, que muitas vezes já vivenciaram em algumas
situações do dia-a-dia. Consta esse caderno de 18 problemas categorizados em
Figural, Textual e Gráficos e Tabelas.
Os autores
123
Enunciado Textual
Atividade 1- Pescando Longe de Casa
Pai e filho são pescadores de um grande rio amazonense e cada um possui
seu próprio barco. Sabe-se que o pai trabalha três dias e volta para casa no
dia seguinte. O filho trabalha seis dias e volta para casa também no dia
seguinte. Sabe-se que eles se encontraram em casa pela primeira vez em
uma sexta-feira e ambos trabalharão no sábado próximo.
Com base no texto acima, responda:
a) Que dia da semana pai e filho se encontram pela segunda vez em casa?
b) Sabendo que os dois saíram para trabalhar pela primeira vez dia 10 de
Fevereiro de 2011, qual a data que eles encontraram novamente pela 4ª vez ?
124
Enunciado Textual
Atividade 2- Jogando com os números
Um time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto em caso de
derrota. Até hoje, cada time já disputou 20 jogos.
a) Se um desses times venceu 8 jogos e perdeu outros 8 jogos, quantos pontos ele
tem até agora?
b) De quantas maneiras diferentes 5 times podem jogar um contra o outro?
125
Enunciado Textual
Atividade 3- Preparando gelatina e observando seu r endimento
Dona Maria diluiu 500 ml de gelatina concentrada de morango em 2,5 litros de
água, conforme determina as orientações descritas no rótulo.
Quantos copinhos de gelatina ela poderá servir com capacidades de:
a) 125 ml
b) 200 ml
c) 250 ml
126
Enunciado Textual
Atividade 4- Comprando terreno
Geralmente um terreno a ser vendido apresenta uma forma retangular e sua área é
determinada multiplicando seu comprimento pela sua largura. Senhor Manoel, tio de
Pedro, comprou um terreno de 18 metros de frente por 30 metros de fundo. Pelo
fato de o vendedor ser seu amigo ganhou um desconto e pagou R$ 450,00 por cada
metro quadrado desse terreno, em 18 parcelas fixas, a juros simples de 1,5% ao
mês.
Qual a quantia, em reais, paga por Senhor Joaquim pelo terreno?
127
Enunciado Textual
Atividade 5- Comparando preços de tinta
As tintas usadas nas pinturas de casas e prédios são encontradas nas lojas em
galões e latas. O galão americano é uma unidade de capacidade usada nos
diversos países, inclusive no Brasil. Sua capacidade é de 3,8 litros , enquanto a da
lata é de 18 litros .
Joaquim precisa fazer uma reforma de pintura na sua casa e foi a uma loja de
tintas onde podia escolher entre os tipos:
1- Lata a R$ 153,00.
2- Galão a R$ 34,20.
Se a marca das tintas a serem vendidas é a mesma, qual dos tipos é mais
econômica?
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Atividade 6: Aprendendo frações em receitas de feij oada. Observe a receita de feijoada:
Feijoada
Ingredientes: 500 g de feijão preto
500 g de pé de porco salgado 200 g de rabo de porco salgado
400 g de costela salgada 400 g de paio
400 g de carne de porco salgada 300 g de carne seca
3 cebolas grandes picadas 6 dentes de alho
2 laranjas (bem lavadas, com casca, partidas em 4) Acompanhamentos :
Arroz (prepare 1 xícara (chá) de arroz para cada 3 pessoas). Couve (sugerimos 1 maço pequeno de couve para cada 4 pessoas)
Laranja (½ laranja por pessoa) Farinha de mandioca ou farofa temperada.
Molho de pimenta vermelha (a gosto)
Rendimento : 10 pessoas
Imagine que você foi convocado para ajudar a preparar uma feijoada para 20 na primeira semana e 50 pessoas na semana seguinte. Para isso, recebeu a receita que acabou de ler. O que fazer para que a quantidade de feijoada seja suficiente para deixar todos satisfeitos?
Fonte: Adaptado pelo autor
Enunciado Textual
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Enunciado Figural
Atividade 7: Identificando frações equivalentes
Observe a figura a seguir:
Sabendo-se que a FIGURA foi dividida em partes equivalentes, qual dos alunos disse a verdade? Justifique sua resposta.
Fonte: Adaptado pelo autor do colégio Pitágoras
Aluno I Aluno II
130
Enunciado Figural
Atividade 8- Conhecendo os números usando unidade monetária
A figura refere-se a uma cédula de R$ 20,00.
Imagine que você precisa de moedas de 10, 25 e 50 centavos e 1 real, e cédulas de
2, 5 e 10 reais. De quantas maneiras você poderá trocar essa cédula de forma a
receber pelo menos uma moeda e uma cédula de cada?
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Enunciado Figural
Atividade 9- Reconhecendo Frações de pizzas
As figuras de pizzas abaixo foram divididas em diferentes porções:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Que pares de figuras representam a mesma fração de pizza?
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Enunciado Figural
Atividade 10- Entendendo de Matemática com a constr ução civil
Observe a planta de uma casa a seguir:
a) Qual a medida da área construída da casa?
b) Em relação aos cômodos( segmentos que compõe a casa), os quartos
ocupam que fração da casa?
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Enunciado Figural
Atividade 11- Fazendo compras em supermercado
Um supermercado W divulgou as seguintes ofertas de preços:
Suponha que esses produtos pertençam à sua lista de compras mensal. Com uma
cédula de R$ 100,00, quantos e quais produtos você poderia comprar nesse
supermercado?
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Enunciado Figural
Atividade 12- Assentando pisos em sua casa
Suponha que sua cozinha precise de uma reforma no piso e que você irá trocá-lo
daqui a um mês. Os modelos que mais gostou foram cotados por você em algumas
lojas conforme as figuras a seguir:
Se você optar em comprar por um dos tipos dessas peças, qual o gasto mínimo que
terá no assentamento do piso da sua cozinha?
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Gráficos e Tabelas
Atividade 13- Comemorando o aniversário em uma lanc honete
Um grupo de 4 amigos de Pedro resolveu comemorar seu aniversário na lanchonete
do colégio em que estudam. A lanchonete apresentou os seguintes preços dos
lanches:
Lanche R$
Hambúrguer 2,70
Americano 3,40
X-salada 3,50
Batata frita 4,30
Suco de laranja 1,80
Vitamina 2,00
Comeram um três Hambúrgueres, dois Americanos e três batatas fritas. Tomaram
dois sucos de laranja e duas vitaminas.
a) Quanto pagou cada um dos amigos, se o aniversariante ficasse sem pagar ?
b) Se a conta foi dividida igualmente por todos quanto caberia pagar cada um ?
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 14- Pintando sua casa
A empresa vendedora da tinta abaixo fez o seguinte informativo:
ESMALTE ALUMÍNIO
(Indicado para superfícies e metal),
TEMPO DE SECAGEM
12h
GALÃO 3,8 Litros
RENDIMENTO por GALÄO 150 M2
PREÇO POR GALÂO R$ 48,60
D. Clara contratará um pintor que cobra R$ 230,00 para pintar 500 m² de paredes
de sua sala. Qual o gasto mínimo que ela terá para contratar esse serviço?
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 15- Comprando TV’s
Uma loja de eletrodomésticos apresenta uma promoção de TV’s, no modelo LED,
conforme a tabela abaixo:
TV’s LED à vista
Polegas ( ” ) Preço (R$)
32 1300,00
40 2300,00
• Comprando a prazo há um acréscimo de 5% sobre o valor à vista, podendo ser
dividido em 8 parcelas de mesmo valor sem mais acréscimo, no cartão de crédito.
Senhor Joaquim comprou uma TV LED de 40, a prazo. Qual o custo de cada uma
das parcelas da TV comprada?
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 16- Aprendendo a fazer mistura na constru ção civil
Na construção civil costuma-se muito dizer a palavra “traço ”, que é a indicação das
proporções dos componentes de uma mistura. A tabela a seguir contém as
quantidades de cimento e areia usadas em cada mistura desses materiais.
Veja a seguir:
Tipo/uso Cimento (uni) Areia (uni)
Tijolo Comum/Alicerce 1 8
Tijolo Furado 1 8
Concreto 1 3
Para
Impermeabilização
1 2
Piso Cimentado 1 3
Piso para receber
Tacos
1 4
Qual o traço de mistura que você usaria para a ampliação de uma cozinha? Quais
as quantidades de cimento e areia que precisaria? Discuta com seus colegas e
apresente os resultados:
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 17- O consumo de energia elétrica em uma residência.
Os números de consumo apresentados na tabela abaixo foram calculados com
base em uma família de 4 pessoas de uso moderado, sem excessos, que tomam
banho 1 vez por dia e possuem apenas um aparelho de cada espécie. O preço do
KW hora é R$ 0,40.
Veja a tabela de consumo de cada aparelho:
Aparelho Consumo kW hora por mês
Aparelho de som completo 4
Chuveiro Elétrico 24
Ferro Elétrico 12
Geladeira 21
Televisor 12
Microcomputador 15
Reúnam em grupo de 4 alunos. Suponha que vocês façam parte de uma dessas
famílias.Com base nos dados da tabela:
a) O que vocês fariam para diminuir o consumo de energia elétrica em suas casas?
b) Qual o gasto mínimo que teriam por mês,?
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 18- O consumo de água em residências.
Paulinho, aluno do 6º ano do Ensino Fundamental, separou as seis últimas contas
de água do ano passado, com o objetivo de realizar um trabalho na sua escola
sobre o consumo de água em residências mineiras. Sua professora orientou a sua
turma a representar os dados adquiridos sob a forma de gráfico. O gráfico de
Paulinho teve a seguinte representação:
Com base no gráfico construído por Paulinho, responda?
a) Quais os meses em que o consumo de água foi superior a 30 metros cúbicos ?
b) Em quais meses o consumo de água foi crescente?
Reúnam-se em grupo de 4 alunos e discutam o consumo de água e o preço
pago por ele do mês anterior. Para aqueles que residem em condomínios
peçam auxílio ao síndico.
Consumo de água na residência de Pedro
0
10
20
30
40
50
60
Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro
Meses
cons
umo
( em
met
ros
cúbi
cos
)
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 19: Fabricando Pães de Mel.
Uma fábrica caseira, que produz pão de mel, recebeu a seguinte encomenda:
Quantidade de Pães de Mel
Tipo de Recheio do Pão de Mel
24 Recheio de Brigadeiro
36 Recheio de Castanha
48 Sem Recheio
Só existem embalagens disponíveis para 6, 9, 12 ou 24 pães. Para que as embalagens tenham o mesmo número de pães de cada tipo e a maior quantidade possível de pães , determine: a) Quantas embalagens serão utilizadas? b) Quantos Pães de Mel de cada tipo serão colocados em cada uma das
embalagens?
Fonte: Banco de questões da rede PITÁGORAS
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Enunciado Gráficos e Tabelas
Atividade 20- Taxa de natalidade no Brasil
Observe o gráfico a seguir :
a) Em quais décadas a taxa de natalidade foi inferior a 40 ?
b) Faça uma estimativa para determinar a taxa de natalidade no período de 2000 a 2011.
c) Teria uma explicação para a redução da taxa de natalidade aos longos dos próximos anos? Justifique sua resposta.