polinomios taylor
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Calculo: Polinomio de Taylor
Antonio Garvın
Curso 04/05
1 El polinomio de Taylor
Nos detendremos especialmente en el teorema de Taylor, justificando laintroduccion del polinomio de Taylor como la mejor aproximacion lineal,cuadratica, y en general polinomica de una funcion en un punto. Hare-mos ver que consecuencias teoricas y practicas tiene el teorema de Taylor.Como ejemplo de las consecuencias teoricas deduciremos el criterio sobremaximos y mınimos, y desde un punto de vista mas practico aproximare-mos el valor de algunas funciones acotando el error cometido. Enunciaremoslas propiedades mas importantes sobre los polinomios de Taylor y propon-dremos y calcularemos los polinomios de Taylor de las funciones usuales.
Si f es derivable en a se tiene
limx→a
f(x)− (f(a) + f ′(a)(x− a))x− a
= 0
en particular limx→a
f(x)− (f(a) + f ′(a)(x− a)) = 0
Ası pues si x ' a entonces f(x) ' f(a) + f ′(a)(x− a)
1.1 Ejemplo:
f(x) = ex, f ′(x) = ex. Tomemos el punto a = 0.
f(0) = f ′(0) = e0 = 1
x ' 0 f(x) ' f(0) + f ′(0)(x− 0)
ex ' 1 + 1(x− 0) = 1 + x
Si tomamos por ejemplo x = 0.01
e0.01 ' 1 + 0.01 = 1.01
1
Fijemonos que en realidad estamos aproximando una funcion f por unpolinomio de grado 1, p(x) = b0 + b1(x − a)(= a0 + a1x si lo queremosexpresar en la forma habitual que es centrado en 0 en lugar de a, dondea0 = f(a)−f ′(a)a y a1 = f ′(a)x). Este polinomio p viene caracterizado porla siguiente propiedad: p tiene grado 1, p coincide con el valor de f en a, yla derivada de p, p′, coincide con el valor de la derivada de f ,f ′, en a.
p(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) p′(x) = f ′(a)
p(a) = f(a) p′(a) = f ′(a)
Evidentemente si f es derivable dos veces y f ′′(a) 6= 0 la segunda derivadade p no puede coincidir con la de f en a ya que al ser p de grado 1, todassus derivadas son nulas a partir de 2
p′′(x) = 0 = p′′′(x) = · · · = p(i)(x) i ≥ 2
Podrıamos sin embargo pensar en aproximar f por un polinomio de grado2, en lugar de hacerlo con uno de grado 1. Es esperable que la aproximacionsea mejor si le pedimos que se ” parezca mas ” a f exigiendo ademas quep′′(a) = f ′′(a).
¿Como debe ser este polinomio? Sera de la forma p(x) = a0 +a1x+a2x2
para ciertos coeficientes ai ∈ R y debera cumplir que p(a) = f(a), p′(a) =f ′(a) y p′′(a) = f ′′(a). Por facilidad para el calculo de los coeficientes loexpresamos centrado en el punto a, esto es, en la forma p(x) = b0 + b1(x−a)+ b2(x−a)2 y buscamos determinar los coeficientes bi. Como se tiene que
p(x) = b0 + b1(x− a) + b2(x− a)2 ⇒ p(a) = b0
p′(x) = b1 + 2b2(x− a) ⇒ p′(a) = b1
p′′(x) = 2b2 ⇒ p′(a) = 2b2
para que se cumplan las condiciones sobre las primeras derivadas, los coefi-cientes deben ser
p(a) = f(a) ⇒ b0 = f(a)
p′(a) = f ′(a) ⇒ b1 = f ′(a)
p′′(a) = f ′′(a) ⇒ b2 =f ′′(a)
2Por tanto el polinomio es
p(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2
2
Observemos que los polinomios de grado 0,1 y 2 que coinciden en a con f ,con f y la derivada de f , y con f la derivada de f y la segunda derivada def , son respectivamente
p0(x) = f(a), p1(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)
p2(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2(x− a)2
1.2 Ejemplo:
f(x) = log x, f ′(x) = 1x , f ′′(x) = − 1
x2 . Tomemos el punto a = 1. si x estacerca de 1,
log x ' 0
log x ' 0 + (log)′(1)(x− 1) = 0 + 1(x− 1) = x− 1
log x ' 0 + (x− 1) +12(log)′′(1)(x− 1)2 = (x− 1)− 1
2(x− 1)2 =
= (x− 1)− 12(x2 − 2x + 1) = x− 1− 1
2x2 + x− 1
2= −1
2x2 + 2x− 3
2Podemos pensar en aproximar por polinomios de grado mayor, 3, 4, o en
general de un grado cualquiera y es esperable que cuanto mas se ”parezca”a la funcion, mejoren sean las aproximaciones. Ası pues la pregunta que noshacemos es:
¿Como debe ser un polinomio de grado n para que coincidan en a susderivadas, con todas las derivadas de f hasta orden n?
Debe serp(a) = f(a)
p′(a) = f ′(a)
p′′(a) = f ′′(a)
...
p(n)(a) = f (n)(a)
Si expresamos centrado en a, el polinomio y sus derivadas son
p(x) = b0 + b1(x− a) + b2(x− a)2 + b3(x− a)3 + · · ·+ bn(x− a)n
p′(x) = b1 + 2b2(x− a) + 3b3(x− a)2 + · · ·+ nbn(x− a)n−1
3
p′′(x) = 2b2 + 3 · 2b3(x− a) + · · ·+ n · (n− 1)bn(x− a)n−2
p′′′(x) = 3 · 2b3 + · · ·+ n · (n− 1) · (n− 2)bn(x− a)n−3
...
p(n)(x) = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1bn
Evaluando en a
p(a) = b0
p′(a) = b1
p′′(a) = 2b2
p′′′(a) = 3 · 2b3
...
p(n)(a) = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1bn = n!bn
Igualando
b0 = f(a)
b1 = f ′(a)
b2 =f ′′(a)
2
b3 =f ′′′(a)
3!...
bn =f (n)(a)
n!El polinomio es
p(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)
2(x−a)2+
f ′′′(a)3!
(x−a)3+· · ·+f (n)(a)n!
(x−a)n
que podemos expresar como
n∑
i=0
f (i)(a)i!
(x− a)i
siendo f (0) = f , f (1) = f ′, f (2) = f ′′, f (3) = f ′′′, etc.
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1.3 Definicion:
Al polinomio ası construido que coincide con f y todas sus derivadas hastael orden n en el punto x = a, se denomina polinomio de Taylor de orden nde la funcion f en el punto a. Lo escribimos como Tn,f,a(x)
Tn,f,a(x) =n∑
i=0
f (i)(a)i!
(x−a)i = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)
2(x−a)2+· · ·+f (n)(a)
n!(x−a)n
La notacion se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es elpunto, la funcion y el orden y podremos escribir
Tn,f,a = Tn,f = Tn = T
1. Aproximar f(x) en el punto x = a
f(x) ' Tn,f,a(x)
2. ¿Que error se comete al aproximar f?
Rn,f,a(x) = f(x)− Tn,f,a(x)
Si una funcion es derivable se tiene que
limx→a
f(x)
−T1(x)︷ ︸︸ ︷−f(a)− f ′(a)(x− a)
x− a= 0
o lo que es lo mismo
R1(x)︷ ︸︸ ︷f(x)− T1(x)
x− a
x→a−→ 0, limx→a
R1(x)x− a
= 0
Intuitivamente esto puede ser interpretado como que para valores de x muycercanos a a, el error R1(x) es menor que la diferencia entre x y a, ya quepara que el lımite sea 0 apartir de un lugar el numerador debe ser menorque el denominador. El siguiente resultado, que generaliza el hecho anterior,nos dice que cuanto mayor sea el orden la aproximacion sera mejor.
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1.4 Teorema:
Si f es n veces derivable ”cerca de a”(en un entorno de a) entonces,
limx→a
Rn,f,a(x)(x− a)n
= 0
Suponiendo solo un poco mas podemos podemos incluso dar una esti-macion del resto
1.5 Teorema:
Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a, entonces
1. (Lagrange)
Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!
(x− a)n+1 c entre x y a
2. (Cauchy)
Rn(x) =f (n+1)(c)
n!(x− c)n(x− a) c entre x y a
3. (Integral)
Rn(x) =∫ x
a
f (n+1)(t)n!
(x− t)ndt
1.6 (I) Consecuencia:
Si | f (n+1) |≤ K entre a y x, entonces
| Rn(x) |≤ K
(n + 1)!| x− a |n+1
1.7 Ejemplo:
Calculemos cos 36o con error menor que 10−4.36o = π/5rad, consideramos cosx en el punto x = π/5Tenemos
0 = a ≤ x = π/5 ≤ 1
f(x) = cosx f ′(x) = − sen x f ′′(x) = − cosx f ′′′(x) = sen x
6
f (4)(x) = cosx f (5)(x) = − sen x f (6)(x) = − cosx f (7)(x) = sen x · · ·
f(0) = 1 f ′(0) = 0 f ′′(0) = −1 f ′′′(0) = 0
f (4)(0) = 1 f (5)(0) = 0 · · ·
T2n,cos x,0(x) = f(0)+f ′(0)(x−0)+f ′′(0)
2(x−0)2+
f ′′′(0)3!
(x−0)3+· · ·+f (2n)(0)(2n)!
(x−0)2n
T2n,cos x,0(x) = 1︸︷︷︸(n=0)
+−12
x2
︸ ︷︷ ︸(n=1)
+14x4
︸︷︷︸(n=2)
+ · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!
T2n,cos x,0(x) = 1− x2
2+
x4
4!− x6
6!+
x8
8!− · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!
f(π/5) ' T2n(π/5)
f(π/5) = T2n(π/5) + R2n(π/5)
| R2n(π/5) |=| (cosx)2n+1(c)(2n + 1)!
(π/5−0)2n+1 |≤ 1(2n + 1)!
(π/5)2n+1 ≤ 1(2n + 1)!
¿1
(2n + 1)!< 10−4 ?
1(2n + 1)!
< 10−4 ⇐⇒ (2n + 1)! > 104
Si n = 4, 9! > 8! = 40.320 > 104.
n = 4
cosπ/5 = T8(π/5) + ε con ε < 10−4
cosπ/5 = 1− (π/5)2
2+
(π/5)4
4!− (π/5)6
6!+
(π/5)8
8!+ ε
7
1.8 (II) Consecuencia:
Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a y si
f ′(a) = f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, y f (n)(a) 6= 0
Entonces:
1. Si n es par y f (n)(a) > 0 =⇒ a es un mınimo local.
2. Si n es par y f (n)(a) < 0 =⇒ a es un maximo local.
3. Si n es impar =⇒ a es un punto de inflexion.
1.9 Propiedades:
α, β ∈ R, f y g funciones.
(1) Tn(αf + βg) = αTn(f) + βTn(g)
(2) Tn(f · g) = Tn(f) · Tn(g)−{terminos de orden > n}
(3) Tn(f/g) =Tn(f)Tn(g)
”haciendo division larga hasta n”
(4) Tn(f ◦ g) = Tn(f) ◦ Tn(g)−{terminos de orden > n}(5) [Tn(f)]′ = Tn−1(f ′)
(6)∫ x
aTn(f)(t)dt = Tn+1(
∫ x
a)f(t)dt
(6)’∫
Tn(f) = Tn+1(∫
f) + K, K ∈ R.
1.10 Algunos ejemplos:
Vamos a calcular los polinomios de Taylor de:
ex, sen x, cosx,1
1− x,− log(1− x), log(1− x), log(1 + x),
11 + x2
, arctag (x), senh (x), cosh(x) (en x = 0)
ex
8
Inmediato
Tn,ex,0(x) = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!
sen x
f(x) = sen x f ′(x) = cosx f ′′(x) = − sen x f ′′′(x) = − cosx
0 1 0 − 1
f iv fv fvi fvii
fviii f ix · · ·
T2n+1, sen ,0(x) = x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · ·+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)!
cosx Ya lo hemos hecho. Veamoslo de otra forma.
[Tn(f)]′ = Tn−1(f ′)
T2n(cos(x)) = (T2n+1( sen (x))′ = (x− x3
3!+
x5
5!− · · ·+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)!)′ =
= 1− x2
2+
x4
4!− x6
6!+ · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!
11− x
Tn(1) = 1, Tn(1− x) = 1− x
Tn(1
1− x) =
Tn(1)Tn(1− x)
” por division larga hasta n”
1 | 1− x
−(1− x) 1 + x + x2 + · · ·+ xn |x
−(x− x2)x2
−(x2 − x3)x3 · · · xn
−(xn − xn+1)
9
xn+1
Tn, 11−x
,0(x) = 1 + x + x2 + · · ·+ xn
1/(1 + x)Se puede hacer por division larga. Hagamoslo de otra forma:
R (−x)−→ R (1/(1−x))−→ Rx 7→ −x 7→ 1/(1− (−x)) = 1
1+x
| ↑
(1
1 + x) = (
11− x
) ◦ (−x)
Tn(1/(1 + x)) = Tn(1/(1− x)) ◦ Tn(−x) = Tn(1/(1− x)(Tn(−x)) =
= Tn(1/(1− x)(−x) = 1 + (−x) + (−x)2 + · · ·+ (−x)n =
= 1 +−x + x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn
− log(1− x)
(log(1− x))′ =−1
1− x, por tanto (− log(1− x))′ =
11− x
Al ser∫
Tnf = Tn+1
∫f + K, tomando f(x) =
11− x
Tn+1(− log(1− x)) =∫
Tn(1/(1− x)) =∫
1 + x + x2 + · · ·+ xn =
= x +x2
2+
x3
3+ · · · xn+1
n + 1+ K
Como el termino independiente del polinomio de Taylor de g en a es g(a),se tiene que K = 0, de donde
Tn(− log(1− x)) = x +x2
2+
x3
3+ · · · x
n
n
log(1− x)
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Tn(αf) = αTn(f), α ∈ R, f una funcion. Si tomamos α = −1 yf = − log(1− x), se tiene
Tn(log(1− x)) = −x− x2
2− x3
3− · · · − xn
n
log(1 + x)
R (−x)−→ R log(1−x)−→ Rx 7→ −x 7→ log(1− (−x)) = log(1 + x)
| ↑
Tn(log(1 + x)) = Tn(log(1− x)) ◦ Tn(−x) = Tn(log(1− x))(−x)
Tn(log(1 + x)) = −(−x)− (−x)2
2− (−x)3
3+ · · ·+−(−x)n
n=
= x− x2
2+
x3
3+ · · ·+ (−1)n+1 xn
n
1/(1 + x2)Se puede hacer como Composicion,
R (x2)−→ R 1/(1+x)−→ Rx 7→ x2 7→ 1
1+x2
| ↑o por ”Division larga”
1 | 1 + x2
En cualquier caso se obtiene:
T2n, 11+x2 ,0(x) = 1− x2 + x4 − x6 + x8 + · · ·+ (−1)nx2n
arctag (x) Integrando el resultado anterior, y salvo una constante Cse tiene:
T2n+1, arctag x,0(x) + C = x− x3
3+
x5
5− x7
7+
x9
9+ · · ·+ (−1)n x2n+1
2n + 1
Por ser arctag (0) = 0 =⇒ C = 0.senh x y coshx
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