pohon -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/1.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 1
Pohon
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit
Program Studi Teknik Informatika ITB
![Page 2: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/2.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 2
Definisi
Pohon adalah graf tak-berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit
pohon pohon bukan pohon bukan pohon
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
![Page 3: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/3.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 3
Hutan (forest) adalah
- kumpulan pohon yang saling lepas, atau
- graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap
komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon
![Page 4: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/4.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 4
Hutan
![Page 5: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/5.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 5
Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah
sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan
di bawah ini adalah ekivalen:
1. G adalah pohon.
2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan
lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah
sisi.
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari
pohon.
![Page 6: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/6.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 6
Pohon Merentang (spanning tree)
Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf
merentang yang berupa pohon.
Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di
dalam graf.
G T1 T2 T3 T4
![Page 7: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/7.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 7
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah
pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning
forest).
![Page 8: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/8.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 8
Aplikasi Pohon Merentang
1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang
menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap
terhubung satu sama lain.
2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
(a) (b)
Router
Subnetwork
(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast
![Page 9: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/9.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 9
Pohon Merentang Minimum
Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1
pohon merentang.
Pohon merentang yang berbobot minimum –dinamakan pohon
merentang minimum (minimum spanning tree ).
a
bc
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
5020
15
35 10
a
bc
d
e
f
g
h
5
40
25 30
20
15
10
![Page 10: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/10.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 10
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum,
masukkan ke dalam T.
Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak
membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
![Page 11: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/11.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 11
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-
berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil
T {(p,q)}
for i1 to n-2 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun
bersisian dengan simpul di T
T T {(u,v)} endfor
![Page 12: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/12.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 12
Contoh:
1 2
3
4
5
6
1050
4530
2015
35
55
25
40
![Page 13: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/13.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 13
Langkah Sisi Bobot Pohon rentang
1 (1, 2) 101 210
2 (2, 6) 25
1 2
6
10
25
3 (3, 6) 151
3
6
10
15
25
4 (4, 6) 201 2
3
4
6
10
2015
25
5 (3, 5) 351 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
![Page 14: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/14.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 14
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
![Page 15: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/15.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 15
Pohon merentang yang dihasilkan tidak
selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.
![Page 16: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/16.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 16
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a b c d
ef g h
i j k l
3 2
4 2 3
5 4
4 2
4
a b c d
ef h
i j k l
3 2
4 2 3
5 3 4
4 2
4
a b c d
ef g h
i j k l
3 4 2
4 2 3
5 3 4
2
43
Bobotnya sama yaitu = 36
a b c d
ef g
h
i j k l
3
5
6
5 3 5 4
4 2
4 4
4 2
6324
![Page 17: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/17.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 17
Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan
bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar)
Langkah 1: T masih kosong
Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam
T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
![Page 18: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/18.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 18
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung –
berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik
berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot
besar)
T {}
while jumlah sisi T < n-1 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil
if (u,v) tidak membentuk siklus di T then
T T {(u,v)} endif
endfor
![Page 19: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/19.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 19
Contoh:
1 2
3
4
5
6
1050
4530
2015
35
55
25
40
![Page 20: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/20.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 20
Sisi-sisi diurut menaik:
Sisi (1,2) (3,6) (4,6) (2,6) (1,4) (3,5) (2,5) (1,5) (2,3) (5,6)
Bobot 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Langkah Sisi Bobot Hutan merentang
1 (1, 2) 10
2 (3, 6) 15
3 (4, 6) 20
0 1 2 3 4 5 6
1 2
1 2 3
6
4 5
1 2 3
6
4
5
4 (2, 6) 251 2 3
4
5
![Page 21: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/21.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 21
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
5 (1, 4) 30 ditolak
6 (3, 5) 351 2
3
6
4
5
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
![Page 22: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/22.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 22
Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah
dinamakan pohon berakar (rooted tree).
(a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat
dibuang
a
b
cd
ef g
h i j
a
b
cd
ef g
h i j
![Page 23: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/23.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 23
b sebagai akar e sebagai akar
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan
dua simpul berbeda sebagai akar
a
b
c
d
e f
g
h
f
g
a
b
cd
e
f
g h
d
e
hb
a c
![Page 24: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/24.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 24
Terminologi pada Pohon Berakar
Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)
b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,
a adalah orangtua dari anak-anak itu
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
![Page 25: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/25.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 25
2. Lintasan (path)
Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.
Panjang lintasan dari a ke j adalah 3.
3. Saudara kandung (sibling)
f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan
saudara kandung e, karena orangtua mereka
berbeda.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
![Page 26: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/26.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 26
4. Upapohon (subtree)
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
![Page 27: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/27.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 27
5. Derajat (degree)
Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah
anak) pada simpul tersebut.
Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2,
Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.
Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar.
Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu
sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
![Page 28: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/28.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 28
6. Daun (leaf)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut
daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.
7. Simpul Dalam (internal nodes)
Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d,
e, g, dan k adalah simpul dalam. a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
![Page 29: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/29.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 29
8. Aras (level) atau Tingkat
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman
pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
![Page 30: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/30.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 30
Pohon Terurut (ordered tree)
Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon
terurut (ordered tree).
(a) (b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
1
2
6 87
34
9
10
5
1
2
68 7
3 4
9
10
5
![Page 31: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/31.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 31
Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai
paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary.
< sentence>
<subject> <verb> <object>
<article> <noun phrase> wears <article> <noun>
A <adjective> <noun> a <adjective> <noun>
tall boy red hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat
Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap
simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.
![Page 32: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/32.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 32
Pohon Biner (binary tree)
Adalah pohon n-ary dengan n = 2.
Pohon yang paling penting karena banyak aplikasinya.
Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai paling banyak 2 buah anak.
Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak kanan (right child)
Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon biner adalah pohon terurut.
![Page 33: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/33.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 33
a
b c
d
a
b c
d
Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda
![Page 34: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/34.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 34
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
a
b
c
d
a
b
c
d
![Page 35: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/35.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 35
Gambar Pohon biner penuh
![Page 36: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/36.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 36
Pohon Biner Seimbang
Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi
upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.
T1 T2 T3
Gambar T1 dan T2 adalah pohon seimbang, sedangkan T3 bukan pohon
seimbang.
![Page 37: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/37.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 37
Terapan Pohon Biner
1. Pohon Ekspresi
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
*
+ /
a b
+
d e
c
daun operand
simpul dalam operator
![Page 38: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/38.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 38
2. Pohon Keputusan
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
a : b
a : c b : c
b : c c > a > b a : c c > b > a
a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a
a > b b > a
a >c c > a
b > c c > b
b > c c > b
a >c c > a
![Page 39: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/39.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 39
3. Kode Awalan
Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
1
11
1
0
0
0
0
111001
001000
![Page 40: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/40.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 40
4. Kode Huffman
Tabel Kode ASCII
Simbol Kode ASCII
A 01000001
B 01000010
C 01000011
D 01000100
rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 8 = 56 bit (7 byte).
![Page 41: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/41.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 41
Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman
untuk string ABACCDA
Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman
A 3 3/7 0
B 1 1/7 110
C 2 2/7 10
D 1 1/7 111
Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:
0110010101110
hanya 13 bit!
![Page 42: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/42.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 42
Algoritma pembentukan pohon Huffman
1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling
kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua
simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari
simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan
peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang kedua
anaknya.
2. Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk
simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.
![Page 43: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/43.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 43
A = 0, C = 10, B = 110, D = 111
ABCD, 7/7
A, 3/7 CBD, 4/7
C, 2/7 BD, 3/7
B, 3/7 D, 3/7
1
1
1
0
0
0
![Page 44: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/44.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 44
5. Pohon Pencarian Biner
R
T1 T2
Kunci(T1) < Kunci(R)
Kunci(T2) > Kunci(R)
![Page 45: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/45.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 45
Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70
50
32
4018
50
52 70
5 25
![Page 46: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/46.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 46
Penelusuran (traversal) Pohon Biner
1. Preorder : R, T1, T2
- kunjungi R
- kunjungi T1 secara preorder
- kunjungi T2 secara preorder
2. Inorder : T1 , R, T2
- kunjungi T1 secara inorder
- kunjungi R
- kunjungi T2 secara inorder
3. Postorder : T1, T2 , R
- kunjungi T1 secara postorder
- kunjungi T2 secara postorder
- kunjungi R
![Page 47: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/47.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 47
(a) preorder (b) inorder
(c) postorder
R
T1 T2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1
secara postorder
Langkah 2: kunjungi T2
secara postorder
R
T1 T2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi T1
secara preorder
Langkah 3: kunjungi T2
secara preorder
R
T1 T2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1
secara inorder
Langkah 3: kunjungi T2
secara inorder
![Page 48: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/48.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 48
preorder : * + a / b c - d * e f (prefix)
inorder : a + b / c * d - e * f (infix)
postorder : a b c / + d e f * - * (postfix)
*
+ -
a / d *
b c e f
![Page 49: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/49.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 49
Soal latihan
1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari
delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu
mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada
koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah
timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah
pohon keputusan untuk mencari uang palsu
dengan cara menimbang paling banyak hanya 3
kali saja.
![Page 50: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/50.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 50
2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-
ary berikut ini:
a
b c d
e f g h i j k l m
n o p q
![Page 51: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/51.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 51
3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan
semua kemungkinan hasil dari pertandingan
tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi,
yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain
yang pertama memenangkan dua set berturut-
turut atau pemain yang pertama memenangkan
total tiga set.
![Page 52: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/52.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 52
4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah
ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a b c
de
f
g h i
5 4
2 3 5 6 37 1
6 8 3 4 4
4 2
![Page 53: Pohon - informatika.stei.itb.ac.idinformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2013-2014/Pohon... · Hutan (forest) adalah - kumpulan pohon yang saling lepas, atau - graf tidak](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052205/5c8186fc09d3f28e2f8c7e96/html5/thumbnails/53.jpg)
Rinaldi M/IF2120 Matdis 53
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan
sebagai berikut:
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O
(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk.
(b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,
dari pohon jawaban (a) di atas.