podstawy teorii sygna ów, systemów i...

Podstawy teorii sygnałów,

systemów i informacji

dr inż. Tomasz Marciniak

PodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodst

awPodPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPodstawPods yTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeoriiyTeo SygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygnaloSygn wSystemwSystemwSystemwSystemwSysemwSysemwSysemwSysemwSysemww owiInfoowiInfoowiInfoowiInfoowiIfoowiIfoowiIfoowiIfoowiIfooo rmacjiPrmacjiPrmajiPrmajiiPrmajiPrmajPrmajPrmajPPrmajPPrmajj odstawyodstawyodtawyodtawyoodtawoodtaoodtaoodtaooddtaooddtaa TeoriiSTeoriiSToriiSTTriiSTTTriiTTTriTTTriTTTriTTTriiTTTriii ygnalowygnalowgnaloowgnloowgnnlowgnnlownnlowwnlowwnlowwwnloo SystemoSystemoystemmoystemoyssteoyssteossteoossteossteeosstt wiInforwiInforwiInforwiIforwiiIfrwiiIfriiIfrriiIfriiIffriiII macjiPomacjiPomacjPomacjPomaacjPmaacjPmacjPmmacjPmacjPmmacjj dstawyTdstawyTdstayTdstayTdsstaydsstaydstayddstaydstayddstaa eoriiSyeoriiSyeoriSyeoriSyeooriSeooriSeoriSeeoriSeoriSeeorii gnalowSgnalowSgnalowSgnaowSgnnaoSgnnaoSnnaoSSnnaoSnnaooSnnaa ystemowystemowstemoowstemowsttemwsttemwttemwwttemwttemmwttee iInformiInformInforrmInorrmInnormInnormnnormmnnrmmnnrrmmnnrr acjiPodacjiPodajiPodajiPodajjiPoajjiPajjiPajjiPajjiPPajjiPPP stawyTestawyTestwyTestwyTeestwyTestwyestwyestwyesttwyesttwyy oriiSygoriiSygoriSygoriSyygoriSygoriSgoriSgoriSgooriSgooriSS nalowSynalowSynalowSynalowSynaloSynaloSynaloSynaloSynaloSynn stemowistemowistemowistemowistemwistemwistemwistemwistemwiss InformaInformaInformaInformaInformaInformaInformaInformaInfo cjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscjiP

tawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyodscjiPodscjiPodscjiPodscjiPodscji

tawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotawyTeotaw

Poznań 2008

Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji

© Tomasz Marciniak, 2008 2

Wersja „draft” skryptu: niedziela, 26 października 2008 © dr inż. Tomasz Marciniak Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ul. Piotrowo 3a pokój 434 (BM) tel. (61) 6652836 e-mail: [email protected] http://cygnus.et.put.poznan.pl/~tmarcin

Spis treści: Wprowadzenie............................................................................................................................ 4 1. Sygnały analogowe. Przekształcenie Fouriera i Laplace’a .................................................... 5 2. Operacja splotu. Grafy przepływu sygnału. ......................................................................... 13 3. Sygnały dyskretne. Przekształcenie Z.................................................................................. 21 4. Opis układu cyfrowego. Rozwiązywanie równań różnicowych .......................................... 28 5. Próbkowanie i kwantyzacja.................................................................................................. 35 6. Splot dyskretny..................................................................................................................... 42 7. Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT) .......................................................................... 48 8. Projektowanie filtrów FIR.................................................................................................... 58 9. Aproksymacja Butterwortha i Czebyszewa ......................................................................... 63 10. Projektowanie filtrów IIR. Przekształcenie impulsowo-inwariantne i biliniowe .............. 74 11. Kodowanie bezstratne ........................................................................................................ 78 12. Kodowanie stratne.............................................................................................................. 86 13. Szyfrowanie danych ........................................................................................................... 87 Dodatek A: Macierze ............................................................................................................... 88 Dodatek A: Systemy liczbowe ................................................................................................. 91 Dodatek C: Skala decybelowa.................................................................................................. 95

Literatura: 1. T. Zieliński "Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – Od teorii do zastosowań”, WKŁ,

2005. 2. Steven W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing

Second Edition, California Technical Publishing, 1999. 3. R.G. Lyons "Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów", WKŁ, 1999. 4. Dag Stranneby „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – metody, algorytmy,

zastosowania”, Wydawnictwo BTC, Warszawa, 2004. 5. Dąbrowski (red.) "Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów sygnałowych",

Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1997. 6. A.V. Oppenheim, R.W. Schafer "Cyfrowe przetwarzanie sygnałów", WKŁ, 1979. 7. W. Borodziewicz, K. Jaszczak "Cyfrowe przetwarzanie sygnałów", WNT, 1987. 8. J. Szabatin "Podstawy teorii sygnałów", WKŁ, 1990.



Wprowadzenie W podręczniku zaprezentowano w formie zadań wybrane zagadnienia dotyczące przetwarzania sygnałów, ze szczególnym zwróceniem uwagi na sygnały cyfrowe. Prawidłowe zrozumienie podstawowych zasad działania algorytmów filtracji cyfrowej ma kluczowe znaczenie podczas zapoznawania się i implementacji metod przetwarzania sygnałów multimedialnych czy telekomunikacyjnych. Informacje teoretyczne zostały podane w skrypcie w ograniczonym zakresie, zakładając, że Czytelnik skorzysta z licznych książek wymienionych w spisie literatury. Teoria sygnałów umożliwia za pomocą specyficznych funkcji matematycznych dokonać opisu sygnałów, dzięki czemu możliwa jest:

• analiza sygnałów – wydobycie informacji zawartej w sygnałach np. rozpoznawanie mowy

• przetwarzanie sygnałów – transformowanie sygnału z jednej postaci do drugiej np. z postaci czasowej do postaci w dziedzinie częstotliwości.

Podczas wyżej wymienionych operacji wyróżniamy następujące rodzaje sygnałów: • ciągłe lub dyskretne, • deterministyczne lub losowe, • rzeczywiste lub zespolone, • jedno, dwu lub wielowymiarowe, • różnych argumentów (np. czasu lub położenia)

Do przykładowych zadań systemu cyfrowego przetwarzania sygnałów, wykorzystującego wydajne układy mikroprocesorowe (w tym procesory sygnałowe DSP) można zaliczyć:

• konwersję analogowo-cyfrową i cyfrowo-analogową, • filtrację usuwającą niepożądane składniki, • analizę czasowo-częstotliwościową, • kodowanie

- kompresję bezstratną i stratną, - szyfrowanie danych, - kodowanie nadmiarowe (przy zabezpieczaniu przed błędami transmisji).

Skrypt jest przeznaczony dla studentów kierunków automatyka (w tym AiZ), elektronika, informatyka i telekomunikacja. UWAGA: Skrypt jest aktualizowany i poprawiany. Jeżeli znalazłeś błędy, to napisz koniecznie do autora [email protected] .



1. Sygnały analogowe. Przekształcenie Fouriera i Laplace’a

Funkcje podstawowe • Skok jednostkowy (step function)

• Impuls Diraca

( )⎩⎨⎧

=≠

=0.00

tnieokrt

tδ

Funkcja ta jest całkowalna, (co jest niezgodne z teorią klasyczną) ( )∫∞

∞−

=1dttδ

• Funkcja okna

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

TtA

TtAtf rect

Transformata Fouriera

( ) ( )∫∞

∞−

−⋅= dtetfF tjωω

Odwrotna transformata Fouriera

( ) ( )∫∞

∞−

⋅= ωω ω deFtf tjπ2

1

( )⎩⎨⎧

<>

=0001

tt

tu 1u(t)

t

( )tδ

t

t

( )tf

2

T−

2

T

A

0



Zadanie: Wyznacz transformatę Fouriera dla funkcji okna i naszkicuj wykres transformaty. Rozwiązanie:

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅=

−

−+

−

−

−

−∫

22sin

22

sin2

221

22

222

2

2

2

TSaTAT

T

ATTA

j

eeAee

jAe

jAdteAF

TjTj

TjTj

T

T

tj

T

T

tj

ωωω

ωω

ωωωω

ωω

ωωωω

Przy obliczeniach wykorzystano: • Całkowanie przez podstawienie:

ω

ωω

jdudt

dtjdutju

−=

−=−=

• Wzory

( )xjee jxjx sin

2=

− − oraz ( ) ( )x

xxSa sin=

Szkic sygnału

ω

( )ωF

T

π2−

T

π2 T

π4−

T

π4

AT

Zadanie: Wyznacz transformatę Fouriera dla impulsu Diraca i naszkicuj wykres transformaty. Rozwiązanie:

( ) ( ) 10 ==⋅= ⋅−−∞

∞−∫ ωωδω jtj edtetF



ω

( )ωF 1

Zadanie: Określ transformatę Fouriera dla funkcji pokazanej na rysunku

f(t) A

2

T−

2

T

t

Rozwiązanie:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈+−

−∈+

>∨−<

=

2,02

0,2

222

0

TtdlaAtTA

TtdlaAtTA

TtTtdla

tf

( )

∫∫∫

∫∫

∫∫

=+−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−

−

−

−

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

0

2

cos2cos4cos22

22

22

TTT

T

tj

T

tj

T

tj

T

tj

tdtAtdttTAtdtAt

TA

dteAtTAdteA

TAt

dteAtTAdteAt

TAF

ωωω

ω

ωω

ωω



( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−=

=+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−= ∫⋅

424sin2

4

44

sin42

cos14

12

cos42

sin242sin

42sin

24

sin14

222

222

22

2

0

2

0

2

0

sin2sin

TSaATTT

TATT

ATT

A

TT

ATAT

AT

TA

TT

TA

dttA tAttTTT

ωωω

ωω

ωω

ωω

ωωωω

ω

ωω

ω

ωωω

ωωω

ω

Wykorzystano:

• całkowanie przez części ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tvdtdutdvtu

duvvudvu

dxxuxvxvxudxxvxu

ωω

ωsin1

cos==

==

⋅−⋅=⋅

′⋅−⋅=′⋅

∫∫∫∫

• wzory

2sin2cos1 2 αα =−

Przekształcenie Laplace’a Funkcja może być reprezentowana jako suma funkcji ekspotencjalnych tωje− . Pulsacje tych eksponentów są ograniczone do osi jω na płaszczyźnie zespolonej. To ograniczenie jest niepożądane w niektórych przypadkach. Aby to wyeliminować stosujemy sumę eksponentów exp [-st], gdzie s = σ + jω. Definicja przekształcenia Laplace’a:

( ){ } ( ) ( )∫∞

−⋅==ℑ0

dtetfsFtf st

Zastosowanie x (t) y (t) f(t) f(t)*e -σt t t



y(t) Zadanie: Wyznacz transformatę Laplace’a dla funkcji :

( )⎩⎨⎧

≥⋅

<=

⋅− 0,0,0

teAt

tf tα

Rozwiązanie:

( ) ( )∫∫∞

⋅+−∞

⋅−⋅−

+=⋅=⋅⋅=

00 ααα

sAdteAdteeAsF tstst

Zadanie: Wyznacz transformatę Laplace’a dla funkcji:

( )⎩⎨⎧

≥⋅<

=0,

0,0ttA

ttf .

Rozwiązanie:

( ) ∫ ∫∫∫∞ ∞

⋅−⋅−∞⋅−

⋅−⋅−

∞⋅−

∞⋅− =⋅=

−⋅

−−⋅⋅

=−

==

===⋅⋅=⋅⋅=

0 0000

dtesAdt

seA

setA

sevedv

dtdutudtetAdtetAsF ts

tststs

tststs

20 s

As

esA ts

=−

⋅=∞⋅−

Zadanie: Oblicz transformatę Laplace’a dla funkcji :

( )⎩⎨⎧

≥⋅<

=0,sin

0,0ttA

ttf

ω

Rozwiązanie:

( ) ( ) +−

⋅=⋅−⋅=⋅⋅=⋅⋅= ⋅−∞

−⋅−∞

⋅−∞

∫∫∫ ωωωωω

jsjAdteee

jAdtetAdtetAsF tstjtjtsts 1

22sinsin

000

( )( ) ( ) ( ) 222222

21

2 ωω

ωω

ωωωω

ω +⋅

=+⋅

⋅=

−⋅+⋅+−+⋅

=+

⋅−s

Asj

jAjsjsj

jsjsAjsj

A

Równanie Różniczkowe

Rozwiązanie Równania Różniczkowego

Równania Algebraiczne

Rozwiązanie Równań Algebraicznych

x(t)

X(s)

Y(s)

y(t)



Odwrotne przekształcenie Laplace’a

( )[ ] ( ) ( )∫∞+

∞−

⋅− ⋅⋅==ℑj

j

ts dsesFj

tfsFσ

σπ211 , 0>t

Całkujemy wzdłuż linii Re{s} = σ, gdzie σ jest wybrane zgodnie z zależnością:

( ) dtetf t∫∞

⋅−⋅0

σ

jω σ + j∞

σ

Obszar zbieżności

σ - j∞

Oczywiście kryterium z tego wzoru jest bardzo skomplikowane. Jeżeli możemy uzyskać :

( ) ( ) ( ) ( )sFsFsFsF n+++= ...21 , wówczas korzystamy z tablic. Najczęściej transformata Laplace’a ma postać :

( ) ( )( )sAsBsF = ,

czyli ilorazu wielomianów (uwaga: zakładamy, że stopień ( )sA jest większy od ( )sB ). Można wtedy zapisać ( )sF jako:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nn

pspspszszszsk

sAsBsF

+⋅⋅+⋅++⋅⋅+⋅+

==......

21

21 .

F(s) można wtedy rozbić na ułamki proste:

( ) ( )( ) nn

psa

psa

psa

sAsBsF

+++

++

+== ...

2

2

1

1 ,

przy czym ka są stałymi nazywanymi residuami dla biegunów kp :

kps −= ,

zatem,



( )( ) ( )

k

kk

psps

sAsBa

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅=

Jeżeli mamy już ka to wiadomo, że :

tpk

k

k keaps

a ⋅−− ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

1α ,

a zatem,

( ) tpntptp neaeaeatf ⋅−⋅−⋅− ⋅++⋅+⋅= ...21 21 Zadanie: Znajdź odwrotną transformatę Laplace’a dla:

( ) ( ) ( )213

+⋅++

=ss

ssF .

Rozwiązanie:

( ) ( ) ( ) 21

12

21213 21

+−

++

=+

++

=+⋅+

+=

sssa

sa

ssssF

( ) ( ) ( ) 21213

11 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

+⋅++

=−=s

sss

sa

( ) ( ) ( ) 12213

22 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

+⋅++

=−=s

sss

sa

( ) tt ees

Ls

Ltf ⋅−−−− −⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+= 211 2

21

12 , 0≥t

Zadanie: Znajdź odwrotną transformatę Laplace’a dla :

( ) ( ) ( )21795 23

+⋅++++

=ss

ssssG ,

wiedząc, że ( )[ ] 1=tL δ , ( ) stdtdL =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ δ .

Rozwiązanie:

Rozpoczynamy od dzielenia wielomianów, ponieważ stopień wielomianu licznika jest

większy od stopnia mianownika.



( ) ( )

3462

77223

23:7952

2

2

23

223

+−−−

++−−−

++++++

sss

sssss

ssssss

( ) ( ) ( )2132

+⋅++

++=ss

sssG

( ) ( ) ( ) tt eettdtdtg ⋅−− −⋅+⋅+= 222 δδ



2. Operacja splotu. Grafy przepływu sygnału.

Operacja splotu Operacja splotu:

h(t)

t t

δ(t)

wej wyj

( )th – odpowiedź układu na pobudzenie impulsem jednostkowym

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t f t h t f h t dτ τ τ∞

−∞

= ∗ = −∫ Splot pozwala obliczyć odpowiedź układu na pobudzenie, jeśli znamy ( )th . Zadanie: Naszkicuj graficznie splot funkcji v(t) i h(t).

h(t)

t

1 v(t)

t

1

-1 1 3

Rozwiązanie: Odwracamy sygnał drugi względem osi pionowej, następnie przesuwamy względem nieruchomego sygnału v(t).



Zakres t Opis operacji splotu Obliczenia splotu

( )1,−∞−∈t nie ma części wspólnej ( ) 0=tg [ )1,1−∈t splot jest powiększającym się

polem trójkąta ( ) ( ) ( ) ( )

61

31

61

61

61

31

31

231

31

d31d

31d

311d

311

d311d

2

22

1

2

1

1111

1 1

++=

=+−+=−=

=−=−=

=−=−=

−−

−−−−

− −

∫∫∫∫

∫ ∫

tt

tttt

tt

tthtvtg

tt

tttt

t t

ττ

ττττττ

ττττ

Zatem

( ) 061

31

611 =+−=−g

( )610 =g

( )32

61

31

611 =++=g

[ )2,1∈t splot jest powiększającym się polem trapezu (boki trapezu w pkt. -1 i 1)

( ) ( ) ( ) ( )

tttt

tt

tthtvtg

32

61

61

31

31

231

31

d31d

31d

311d

311

d311d

1

1

21

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=+−+=−=

=−=−=

=−=−=

−−

−−−−

− −

∫∫∫∫

∫ ∫

ττ

ττττττ

ττττ

( )321 =g

[ )4,2∈t splot jest malejącym polem trapezu (boki w t-3 i +1) ( ) ( ) ( ) ( )

68

61

9612

61

61

61

31

31

231

31

d31d

31d

311d

311

d311d

2

22

1

3

21

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

++−=

=+−+−+−=

=−=

=−=−=

=−=−=

−−

−−−−

− −

∫∫∫∫

∫ ∫

tt

ttttt

t

tt

tthtvtg

tt

tttt

t t

ττ

ττττττ

ττττ

( )342 =g

[ )+∞∈ ,4t nie ma części wspólnej, splot zerowy

( ) 0=tg



WYKRES Zadanie: Wyznacz graficznie i analitycznie splot funkcji f(t) i h(t).

2

t t

f(t) h(t)

1

1 0.5

Rozwiązanie:

( )0,∞−∈t ( ) 0=tg

[ )5.0,0∈t ( ) ∫ ==⋅=t

t ttg0

022d21 ττ

[ )1,5.0∈t ( ) ∫−

−=+−==⋅=

t

t

t

ttttg

5.05.0

11222d21 ττ

[ )5.1,1∈t ( ) ∫−

−−=+−==⋅=

1

5.0

1

5.0231222d21

tt

tttg ττ

[ )+∞∈ ,5.1t ( ) 0=tg

1

t

( )tg

0 5.0 1 5.1

Grafy przepływu sygnału Reguły redukcji grafów:



x2 x1 x2 x1

b

a a+b

≡

b a a• b ≡

c

b

a

≡b• c

a• c

b

c

a

a• c

a• b

≡

1a

q−

q a

≡

Zadanie: Podaj transmitancję pomiędzy A i C.

A C

B D

2

4 2

3

4

Rozwiązanie:



A

D

C

4

8 12

2

A

D

C

12

12

2

A

C

24

24

T= 2423

−

Zadanie: Podaj transmitancję pomiędzy A i F.

4 2

F E

D

C

B

A

3 3

2

1

5

Rozwiązanie:

T=92

Zadanie: Podaj transmitancję pomiędzy A i D.



4 2 3

10 5 D

C

B A

Rozwiązanie:

Rozpoczynamy od redukcji wierzchołka C

T= -18

Zadanie:

4 2

3

2

1

5

F E

D

C

BA

3

2

Rozwiązanie:

Rozpoczynamy od redukcji wierzchołka B

T=176

Zadanie:

-G3

H1 V0

-G4

-G2

-G1

HH

HV1

Rozwiązanie:

1

2 2 3 3 4 4 1(1 )(1 )(1 )(1 )HT

H G H G H G G=

+ + + +



Metoda Masona: i i

iH

H∆

=∆

∑ YH

X=

Reguła ma zastosowanie, gdy X jest węzłem źródłowym. Hi – transmitancja ścieżki wiodącej od wejścia do wyjścia

i∆ – podwyznacznik grafu ∆ – wyznacznik grafu

∑ ∑ ∑ +−+−=∆k lk mlk

mlklkk PPPPPP, ,,

...1

kP – transmitancja pętli

,k l

k lP P∑ – suma po wszystkich parach pętli rozłącznych (nie mają wspólnego

wierzchołka) Zadanie:

A C

B D

2

4 2

3

4

Rozwiązanie:

1 1 2 2 1 22 4 2 4 2 2 4 2 1 4 2 1 241 3 4 2 1 24 1 24 23

i ii

HH HH

∆∆ + ∆ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

= = = = =∆ − ⋅ ⋅ − −

∑

Zadanie:

n

l

a b c d e h g f

i jk

m

ł

X1 X2

Ścieżki H1=abcde ∆1=1-mł H2=alłjde ∆2=1-g H3=abiłjde ∆3=1



Pętle Pary pętli rozłącznych Trójki pętli rozłącznych P1=bcdf P1P6 P2P3P6 P2=g P2P3 P3=h P2P4 P4=jk P2P5 P5=jnd P2P6 P6=mł P2P7 P7=lłjdf P3P6 P8=biłjdf

∆=1-(P1+ P2+ P3+ P4+ P5+ P6+ P7+ P8)+(P1P6+ P2P3+ P2P4+ P2P5+ P2P6+ P2P7+ P3P6)- P2P3P6

∆∆+∆+∆

= 332211HHH

H



3. Sygnały dyskretne. Przekształcenie Z

Elementarne sygnały dyskretne • impuls jednostkowy (unit impulse )

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧ =

=poza

nn

0

01δ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

• przyczynowy skok jednostkowy (unit step)

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=

01

00

n

nnu

• ujemny nieprzyczynowy skok jednostkowy

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

≥



Zadanie: Naszkicuj sygnał ( ) ( ) ( )5−−= nununy , przy czym u jest przyczynowym skokiem jednostkowym. Rozwiązanie:

Przekształcenie Z Przekształcenie Z jest zdefiniowane wzorem

( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=n

nznxzX

Najczęściej posługujemy się prawostronnym przekształceniem Z

( ) ( )∑∞

=

−⋅=0n

nznxzX

czyli ograniczamy się do klasy sygnałów przyczynowych tj. takich, które przyjmują wartości równe 0 dla ujemnych indeksów n .

Właściwości przekształcenia Z:

• liniowość [ ] [ ] ( ) ( )zbVzaXnbnax +⇔+ υ

• opóźnienie sygnału o jedną próbkę "mnoży" jego transformatę przez 1−z tzn.

( ) ( )zXznx 11 −⇔−

• opóźnienie o m próbek

( ) ( )zXzmnx m−⇔− • przesunięcie w lewo

( )[ ] ( ) ( )01 zxzzkx −Χ=+Ζ przy czym ( ) ( )[ ]kxz Ζ=Χ

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )10112 22 zxxzzzzxkxzkx −−Χ=−+Ζ=+Ζ

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1...210 21 −−−−−−Χ=+Ζ −− mzxxzxzxzzzmkx mmmm Zadanie: Sprawdź właściwość ( )[ ] ( ) ( )01 zxzzkx −Χ=+Ζ



Rozwiązanie:

Korzystając z prawostronnego przekształcenia Z ( ) ( )∑∞

=

−⋅=Χ0k

kzkxz otrzymujemy

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00111 0

1

0zxzzXxzkxzzkxzkxkx

k k

kk

k

k −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅⋅=⋅=⋅+=+Ζ ∑ ∑∑

∞

=

∞

=

−+−∞

=

−

Zadanie: Oblicz transformatę (przekształcenie) Z sygnału

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3221312 −+−+−+++= nnnnnnx δδδδδ Rozwiązanie Wiedząc, że [ ] 1⇔nδ otrzymujemy

( ) 321 231 −−− ++++−= zzzzzzX

Zadanie: Oblicz transformatę Z przyczynowego skoku jednostkowego. Rozwiązanie:

Wiadomo, że suma szeregu geometrycznego a

an

n

−=∑

∞

= 11

0, przy czym 1



przy czym [ ]nu to przyczynowy skok jednostkowy . Rozwiązanie:

( ) [ ]∑ ∑∞

−∞=

∞

= −

−−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

n n

nn

n

zzznuzX

0 1

1

511

151

51

Obszar zbieżności:

51

151 1

>



5

( )zIm

( )zRe

Zadanie: Wiedząc, że ( ) ( ) ( ) ( )zYzXnynx ⋅⇔∗ wyznacz obszar zbieżności sygnałów x i y z poprzednich zadań.

Imm

51 Re

5



Odwrotne przekształcenie Z Zadanie: Oblicz odwrotną transformatę Z

( )2

1

411

21−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=

z

zzH

Rozwiązanie: Podaną transmitancję rozkładamy na ułamki proste

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=

−−−−

−

−

−

1

2

1

1

11

1

2

1

211

211

211

211

21

411

21

z

C

z

C

zz

z

z

zzH

przy czym: ( ) ( )11lim −→

−⋅= zzHC izi iα

α

( )

( )23

211

21211lim

25

211

21211lim

21

1

11

212

21

1

11

211

−=−

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

=+

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

−=

−

−−

−→

=

−

−−

→

z

z

z

z

z

zzzHC

z

zzzHC

zatem

( )11

211

23

211

25

−− +−

−=

zzzH

zaś transformata odwrotna

[ ] [ ] [ ]nununhnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

23

21

25

Zadanie: Oblicz odpowiedź impulsową układu o transmitancji:

( ) 1321

5,012,05,021

−

−−−

++++

=z

zzzzH

Rozwiązanie: Rozpoczynamy od dzielenia wielomianów



6,2 6,38,1

1 8,1

0,20,1- 12 0,1

4,00,2z-15,0:125,02,0

6,32,04,0

1

1

12

12

23-

1123

12

−

−−

+=

+

++=

−

++++

++

−

−

−−

−

−

−−−−

−−

zz

zzzz

zzzzz

zz

--

( ) 121 5,016,24,02,06,3 −

−−

+−

+++=z

zzzH

Transformata odwrotna jest określona wzorem:

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]nunnnnh n5,06,224,012,06,3 −−−+−+= δδδ



4. Opis układu cyfrowego. Rozwiązywanie równań różnicowych

Opis układu System może być opisany za pomocą równania różnicowego, czyli liniowej zależności pomiędzy ciągiem wejściowym a ciągiem wyjściowym.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )MkxakxakxaNkybkybkybky MN −++−+=−++−+−+ KK 121 1021

( ) ( ) ( )∑∑==

−−−=N

nn

M

mm nkybmkxaky

10

Przekształcenie Z równania różnicowego

( ) ( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑

=

−

=

−N

n

nn

M

m

mm zbzYzazXzY

10

Transmitancja

( ) ( )( ) ∑

∑

=

−

=

−

+== N

n

nn

M

m

mm

zb

za

zXzYzH

1

0

1

Przykład: ( ) ( ) ( ) ( )11 101 −+=−− kxkxkyky ααβ ( ) ( ) ( ) ( )11 110 −+−+= kykxkxky βαα

( )ky ( )kx Σ

1−z

1β1α

0α

( )1−kx ( )1−ky

1−z

Operacja opóźnienia:

Struktury filtrów cyfrowych Zadanie: Podaj transmitancję filtru opisanego równaniem różnicowym. Narysuj 1 i 2 formę bezpośrednią niekanoniczną tego filtru, a następnie 2 formy bezpośrednie kanoniczne.

[ ] [ ] [ ] [ ]121 3121 −++−= nxnxnyny Dla każdego rysunku, korzystając z reguły Masona, wyznacz transmitancję układu.



Rozwiązanie:

• Forma 1 bezpośrednia niekanoniczna, (niekanoniczna – nieminimalna, bezpośrednio z r.r.)

+[ ]ny[ ]nx

-1z -1z21

31

2

• Forma 2 bezpośrednia niekanoniczna (zamiana bloków)

+[ ]nx

+[ ]ny

-1z -1z21

2

31

• Forma 2 bezpośrednia kanoniczna (1 linia opóźniająca)

[ ]nx

+ +[ ]ny

-1z21

2

31

• Odwrócona forma 2 bezpośrednia kanoniczna (odwrócenie kierunku wszystkich

gałęzi)



[ ]nx 3

1

+

-1z

2 21

[ ]ny

+

Transmitancja dla każdej struktury wynosi: ( )1

1

211

231

−

−

−

+=

z

zzH

Zadanie: Narysuj układ opisany następującym równaniem różnicowym

( ) ( ) ( ) ( ) ( )43212 −−−+−+−= nxnxnxnxny Zadanie: Wyznacz równanie różnicowe układu o następującej transmitancji

( ) 1321

5.012.05.021

−

−−−

++++

=z

zzzzH

Korzystając z równania różnicowego, wyznacz wartości pierwszych dwudziestu próbek odpowiedzi na pobudzenie impulsem jednostkowym. Jak zmieni się odpowiedź, jeżeli sygnałem pobudzającym będzie przyczynowy skok jednostkowy? Rozwiązanie: Równanie różnicowe

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12.032.025.012 −−−+−+−+= nynxnxnxnxny

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n

y

Odpowiedź na pobudzenie impulsem jednostkowym MATLAB x=[1,zeros(1,19)]; B=[1,2,0.5,0.2]; A=[1,0.5]; y=filter(B,A,x); stem(0:length(x)-1,y)



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

y

Odpowiedź na pobudzenie przyczynowym skokiem jednostkowym MATLAB x=[ones(1,20)]; B=[1,2,0.5,0.2]; A=[1,0.5]; y=filter(B,A,x); stem(0:length(x)-1,y)

Zadanie: Narysuj układ mający odpowiedź ( )ky na pobudzenie impulsem jednostkowym

-1 0 1 2 3

... k

z-1

1 1 y(k) δ(k)

Rozwiązywanie równań różnicowych Zadanie: Załóżmy, że mamy liniowy przyczynowy układ opisany równaniem:

( ) ( ) ( )nxnayny =−− 1 Znajdź odpowiedź impulsową układu:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

===

00

01

n

nnnx δ

Rozwiązanie: Zakładamy, że układ jest przyczynowy, czyli ( ) 00



( ) ay =1 ( ) ( ) ( ) 2212 axayy =+= ( ) ( ) ( ) 3323 axayy =+=

Zatem ( ) nany =

Zadanie: Dane jest rekursywne równanie różnicowe:

( ) ( ) ( )nxnyny =−+ 121 ( ) 01 =−y

Oblicz odpowiedź impulsową układu i narysuj go. Czy układ jest stabilny? Rozwiązanie:

( ) 021

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= nnh

n

( )32

231

211

1...41

211 ==

+=−+−=∑ nh Układ jest stabilny.

( )ny( )nx Σ

0.5

1−z

Zadanie: Rozwiąż równanie różnicowe:

( ) ( ) ( )110 −+= kykxky αβ

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

===

00

,...2,1,01

k

kkukx

Rozwiązanie: k=0 00 0)0( ββ =+=y k=1 ( ) ( ) 01010010 11)1( βαβαββαβ +=+=+= xy k=2 ( ) ( ) 02110110 11)2( βααβααβ ++=++=y k=3 ( ) ( ) 031211021110 11)3( βαααβαααβ +++=+++=y Zatem

( ) 01211 ...1)( βααα kky ++++= ,...2,1,0=k Suma skończonego ciągu geometrycznego

1

11

1211 1

1...1α

αααα

−−

=+++++k

k 11 ≠α

Ostatecznie



( ) 01

11

11

βα

α−

−=

+k

ky

Rozwiązywanie równań różnicowych z zastosowaniem przekształcenia Z Zadanie:

Rozwiąż równanie różnicowe z użyciem przekształcenia Z i wiedząc, że [ ]az

za k−

=Ζ

( ) ( ) ( ) 02132 =++++ kxkxkx ( ) ( ) 1100 == xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 020331022 =+−+−− zXzxzzXzxxzzXz

( ) ( )( ) 2121232 +−

+=

++=

++=Χ

zz

zz

zzz

zzzz

( )[ ]1

1+

=−Ζz

zk ( )[ ]2

2+

=−Ζz

zk

( ) ( ) ( )kkkx 21 −−−= k=0,1,2..... Zadanie:

Znajdź odpowiedź x(k) systemu opisanego równaniem

( ) ( ) ( ) ( )kukxkxkx =++−+ 2132

przy czym ( )( )( ) 00

1000

≠==

≤=

kkuu

kkx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zUzXzxzzXzxxzzXz =++−−− 20331022

( ) ( ) ( )zUzzz =Χ+− 232 ( ) ( )∑∞

=

− =⋅=0

1k

kzkuzU

Zatem ( )2

11

123

12 −

+−

−=

+−=Χ

zzzzz

Wiedząc, że ( )[ ] ( ) ( )01 Χ−Χ=+Ζ zzzkx ( )[ ] ( )

211

−+

−−=Χ=+Ζ

zz

zzzzkx

[ ]1

1−

=Ζz

za [ ]2

2−

=Ζz

zk

( ) kkx 211 +−=+ k=0,1,2..... lub

( ) 121 −+−= kkx k=1,2,3..... Zadanie:

Rozwiąż równanie różnicowe z zastosowaniem przekształcenia Z



( ) ( ) ( )110 −+= kykxky αβ ( ) ( )⎩⎨⎧

<≥

==0001

kk

kukx

Rozwiązanie:

( ) ( )zYzz

zzY 110 1−+

−= αβ

( ) ( )10

11 1

1−

−

−=−

zzYzzY βα

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

=−

⋅−

= −−−− 11

21

101

110 111

11

1z

cz

czz

zYα

βα

β

Residua:

111

11 1

11

1αα −

=−

==

−zz

c

111

11

1

11

112

1−

=−

=−

=−

=− α

αααzz

c

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

−+

−⋅

−=

−− 111

11

10 1

111

11

1zz

zYαα

αα

β

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−

−−

⋅−

=11

1

10 111

1αα

αα

βz

zz

zzY

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

= kky 11

1

10 11

1 αα

αα

β

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=+

1

11

10 11

1α

αα

βk

ky

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=+

1

11

0 11

αα

βk

ky

Zadanie:

Wyznacz wartość próbki ( )100y układu opisanego za pomocą równania różnicowego ( ) ( ) ( )18.02 −+= kykuky

Sygnał ( )ku jest przyczynowym skokiem jednostkowym. Zakładamy zerowe warunki początkowe.



5. Próbkowanie i kwantyzacja Proces próbkowania

Twierdzenie o próbkowaniu

Szybkość próbkowania s

s Tf 1= musi być co najmniej dwa razy większa od maksymalnej

częstotliwości gf w widmie sygnału ciągłego, aby ten sygnał można było odtworzyć z sygnału spróbkowanego. Układ konwersji analogowo-cyfrowej A/C

s’(t) s(t) s(nT)=x(n) x̂ (n)

FDP

PRÓBKOWANIE KWANTYZACJA



Twierdzenie o próbkowaniu (uściślone) Niech ( )tx będzie sygnałem dolnopasmowym o transformacie Fouriera ( )ωjX , przy czym

gX ωωω >= dla0)j( Wówczas

)(

)(sin)()(

sg

sg

n nTtnTt

nTsxtx−

−= ∑

∞

−∞= ωω

superpozycja funkcji:x

xsin

przy czym

s

sgs T ωπ

ωω2oraz2 ==

Dowód twierdzenia o próbkowaniu Widmo sygnału ciągłego można odtworzyć za pomocą filtru idealnego

⎩⎨⎧

>≤

=g

gs

dladlaT

Gωωωω

ω0

)j( filtr dolnoprzepustowy

wówczas )j()(*)j( j ωω ω GeXX sT ⋅=

∑∞

−∞=

−⋅=n

nTs

seGnTxX ωωω j)j()(*)j(

Stosując odwrotne przekształcenie Fouriera

∫ ∑∞

∞−

∞

−∞=

−⋅=n

tnTs deeGnTxtx s ωω

ωω jj)j()(*π2

1)(

44 344 21

)(sin)(

π2j2)(

2

)(

)(j)(j

)(*21)(

sgsg

snTtgsnTtg

s

s

g

g

s

nTtnTt

eenTtT

nTtjs

ns deTnTxtx

−⋅−

=

=−

⋅−

=

−

−∞

−∞=

−−−

∫∑ ⋅=

ωϖ

ω

ω

ω

ωω

ωπ

)(

)(sin)()(

sg

sg

ns nTt

nTtnTxtx

−

−⋅= ∑

∞

−∞= ωω

CND ☺



Zadanie: Dla sygnału analogowego ( ) ( )ttxa π125sin= określ, które z podanych poniżej okresów próbkowania są prawidłowe:

Ts0=1 ms, Ts1=4 ms, Ts2=8 ms, Ts3=12 ms, Ts4=16 ms, Ts5=24 ms.

Dla każdego okresu próbkowania wyznacz częstotliwość sygnałów cyfrowych. Rozwiązanie: Szkicujemy sygnał ( ) ( ) ( )ss fnnTnx /π125sinπ125sin == zakładając =sT 1ms.

Ze wzoru ( ) ( )ttxa π125sin= wynika, że częstotliwość sygnału (a zarazem najwyższa składowa częstotliwościowa) to 62,5 Hz.

sT [ms]

sf [Hz]

Podstawienie sfnt /= do

( )t⋅⋅⋅ π5,622sin

Zastosowanie wzorów

redukcyjnych

Sygnał odtworzony

sftn ⋅=

OK?

1 1000 ( )n⋅⋅π125,0sin ( )n⋅⋅π125,0sin ( )t⋅⋅π125sin TAK 4 250 ( )n⋅⋅π5,0sin ( )n⋅⋅π5,0sin ( )t⋅⋅π125sin TAK 8 125 ( )n⋅πsin ( )n⋅πsin ( )t⋅⋅π125sin TAK

12 83,3 ( )n⋅π5,1sin ( )n⋅− π5,0sin ( )t⋅− π66,41sin NIE 16 62,5 ( )n⋅π2sin ( )n0sin ( )stf0sin NIE 24 41,67 ( )n⋅π3sin ( )n⋅πsin ( )t⋅π66,41sin NIE



Zadanie: Na wejście układu podano sygnał

( ) ( ) ( ) ( )ttttx π3600sin4π1200sin2π800sin5 ++=

( )nx A/C

C/A ( )tx Analogowy Filtr

Dolnoprzepustowy o częst. odcięcia

f2/8

( )ty( )tx'

Wyznacz sygnał ( )ty wiedząc, że okresy próbkowania przetworników wynoszą T1=500 µs a T2=1 ms. Rozwiązanie

( ) ( ) ( ) ( )ttttx π3600sin4π1200sin2π800sin5 ++= Próbkowanie Hz2000500 11 =⇒= fsT µ

1/ fnt = ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx π8.1sin4π6.0sin20.4πsin5 ++=

Po zastosowaniu wzorów redukcyjnych: ( ) ( ) ( ) ( )nnnnx π2.0sin4π6.0sin20.4πsin5 −+=

Konwersja C/A 2ftn ⋅=

Hz10001000 22 =⇒= fmsT ( ) ( ) ( ) ( )ttttx π200sin4π600sin2π400sin5' −+=

Za filtrem Filtr „przepuści” sygnały, które mają częstotliwość mniejszą od 8/2f czyli mniej niż 125 Hz.

( ) ( )tty π200sin4−=

Zadanie Na wejście układu pokazanego na rysunku podano następujący sygnał:

( ) ( ) ( ) ( )ttttx π1600sin3π400sin4π300sin5 ++= Wyznacz sygnał y(n) na wyjściu układu.



Analogowy Filtr Dolnoprzepustowy

f

Cyfrowy Filtr Dolnoprzepustowy

PrzetwornikA/C

y(n) x(t) x(n)

fs=1000Hz fc=1000Hz

Ampl

1

0

Ampl.

Faza

1

π

π/3 π/2

π/2

Zadanie: Na układ konwersji szybkości próbkowania podano kolejno 5 próbek o rozdzielczości 5-bitowej: 31, 15, 15, 31, 20 (reprezentacje dziesiętne).

( )ny 3

( )nx Filtr 2

wej. wyj.

Filtr układu jest opisany równaniem różnicowym:

( ) ( ) ( ) ( )( )225.015.025.02 −⋅+−⋅+⋅⋅= nxnxnxny Zakładając zerowe warunki początkowe, wyznacz 3 pierwsze próbki wyjściowe i podaj ich wartości w kodzie Gray’a.

Rozwiązanie: Nr próbki

wyjściowej Wartość próbki wyjściowej Wartość próbki w kodzie

Gray’a 1 2 3



Kwantyzacja A

Xmax ∆

10Ts Ts 2Ts t

Xmin

Zakres dynamiczny

Xmax – wartość maksymalna zakresu dynamicznego Xmin – wartość minimalna zakresu dynamicznego Reguły kwantyzacji:

• Należy „wyskalować” sygnał, bo gdy przekracza Xmax, Xmin to mamy błąd związany nadmiarem,

• Sygnał powinien pokrywać cały zakres poziomów kwantowania.

Sygnał skwantowany )()()(ˆ nenxnx +=

Jeżeli Xmin ≤ x(n) ≤ Xmax to 21)( ≤ne

Zakres dynamiczny: Xmax - Xmin. Liczba poziomów kwantyzacji: N

Krok kwantyzacji: 1

minmax

−−

=∆N

XX

Błąd kwantyzacji )(ˆ)()( txtxte −=

0,5∆

b) Kolejne poziomy kwantyzacji

eq(t)

0.5∆

-τ τ

-0.5∆

a) Sygnał ∆ -τ τ

Wartość błędu kwantyzacji jest wartością z przedziału –0,5∆ do 0,5∆

Bezwzględny błąd kwantowania



τττ

≤≤−⋅∆

= ttte dla2

)(

Stosunek sygnału do szumu (SNR):

,q

x

PP

SNR =

gdzie: Px – moc użyteczna, Pq – moc kwantyzacji

dttedttePq ⋅=⋅= ∫∫−

)(1)(21

0

22ττ

τ ττ

12343421 23

3

2

0

3

3

22

0

2 ∆=⋅

∆=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆= ∫

τττττ

ττ tdttPq

Jeżeli kwantyzator ma b+1 bitów dokładności i zakres wynosi 2A wtedy:

b

A22

=∆ → bbb

q

AA

A

P 2

2

2

2

2

23

2124

1222

=⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ⋅

Moc sygnału:

( )2

cos12

0

20

AdttAT

PT

x =⋅⋅Ω⋅= ∫

dttdt

dttdtdtt

∫∫

∫∫∫

⋅Ω+=

=⋅Ω+=Ω

+=

0

0

2

0

2

2cos21

21

2cos21

21)(cos

22cos1cos αα

b

b

q

x

A

A

PP

SNR ⋅

⋅

⋅=== 2

2

2

2

223

23

2

2log2023log102

23log10log10 1010

21010 ⋅+=⋅==

⋅ bSNRSNR bdB

bSNRdB ,026 1,76 += Zadanie: Wyznacz błąd kwantyzacji 16 bitowego przetwornika.



6. Splot dyskretny

Splot dyskretny Splotem dyskretnym dwóch sygnałów nazywamy wyrażenie:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−⋅=m

mnymxnynx *

Podobnie jak splot ciągły, splot dyskretny ma bardzo duże znaczenie w teorii sygnałów. Przy pomocy splotu możemy obliczyć odpowiedź systemu liniowego na dowolne wymuszenie. Jest ona zawsze splotem tego wymuszenia i odpowiedzi impulsowej układu. Splot jest operacją przemienną. Zadanie Oblicz splot sygnałów ( )nx i ( )ny :

( )⎩⎨⎧ ≤≤−

=poza

nnx

0331

( )⎩⎨⎧ ≤≤−

=poza

nny

0223

( ] [ ] [ ] 0*6, =⇒−∞−∈ nynxn

[ ] [ ] ( ) 18333331*1,53

2

+=++=⋅=⇒−−∈ ∑+

−=

nnnynxnn

m

[ ] [ ] 155331*1,02

2

=⋅=⋅=⇒∈ ∑−=m

nynxn

[ ] [ ] ( ) nnnynxnnm

3183631*5,22

3

−=−=⋅=⇒∈ ∑−=

[ ) [ ] [ ] 0*,6 =⇒+∞∈ nynxn

y (n) x (n)

n n

-3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3

1



Zadanie Wyznacz graficznie i analitycznie splot sygnałów x (n) i y (n):

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−

−<=

30332

30

nn

nnx ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−

−<=

30324

20

nn

nny

1° ( ] [ ] [ ] 0*6, =⇒−∞−∈ nynxn 20 [ ] [ ] ( ) nnnynxn

n

m

84833842*0,53

2

+=++⋅=⋅=⇒−∈ ∑+

−=

30 [ ] [ ] 48246*1 =⋅⋅=⇒= nynxn 40 [ ] [ ] ( ) nnnynxn

nm

8568742*6,23

3

−=⋅−=⋅=⇒∈ ∑−=

( ) 123457

65432

n

n

−↓↓↓↓↓

50 [ ) [ ] [ ] 0*,7 =⇒∞∈ nynxn

6

3

9

12

15

x (n) * y (n)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y (n) x (n)

n n

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

2

4



Zadanie Wyznacz splot dwóch sygnałów:

( )⎩⎨⎧ ≤≤−

=poza

nnv

0551

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤=

poza

nnnh0

150151

Rozwiązanie: ( ] [ ] [ ] 0*5, =⇒−∞−∈ nhnvn

>⇒−∈ 5,5(n[ ] [ ] ( )

( ) ( )30

301162

56151

151

1511*

2

555

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⋅

+−−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅=−⋅= ∑∑∑

−=−=−=

nnnnnn

mnmnnhnvn

m

n

m

n

m

) [ ] [ ] ( ) nnmnnhnvnm 15

1111151

1511*10,5

5

5

=⋅=−⋅=⇒∈ ∑−=

[ ] [ ] ( ) ( )( )30

2012

1021151

1511*20,10

25

15

++−=

+−⋅=−⋅=⇒∈ ∑

−=

nnnnmnnhnvnnm

210

2102

2515 +

=+−

=+−

−nnnnn

[ ) [ ] [ ] 0*,20 =⇒+∞∈ nhnvn

48

16

8

24

32

40

x (n) * y (n)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n



Zastosowanie przekształcenia Z do wyznaczania splotu 1. Wyznaczamy transformaty Z sygnałów wejściowych 2. Obliczamy iloczyn transformat 3. Wiedząc, że ( ) ( ) ( ) ( )zXzXnxnx Z 2121 * ⋅⎯→← obliczamy transformatę odwrotną

i uzyskujemy splot Zadanie Wyznacz splot sygnałów:

( ) { }

( )⎩⎨⎧ ≤≤

=

−=

chwilachinnychwn

nx

nx

0501

1,2,1

2

1

Rozwiązanie: Transformaty Z sygnałów ( )nx1 i ( )nx2 wynoszą odpowiednio

( )( ) 543212

211

1

21−−−−−

−−

+++++=

+−=

zzzzzzX

zzzX

Iloczyn transformat

( ) ( ) ( ) 76121 1 −−− +−−=⋅= zzzzXzXnX Transformata odwrotna z iloczynu jest splotem

( ) { }1,1,0,0,0,0,1,1 −−=nx Zadanie Korzystając z transformaty Z wyznacz i naszkicuj splot sygnałów ( )nx i ( )ny .

n 0 1 2 3 4 5

n

x1(n)

-1 0 1 2 3 4

1

-2

x1(n)



( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>==−=−=<

=

303122110100

nnnnnn

nx ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

<=

60605,0

00

nn

nny

Rozwiązanie:

( ) ( ) ( ) ( )zYzXnynx Z ⋅⎯→←*

( )( ) ( )654321

321

15,021

−−−−−−

−−−

++++++=

+−−=

zzzzzzzYzzzzX

( ) ( ) ( ) ( )

(

)( )98765432

9876543

8765432

7654321

654321

654321321

22015,0

2222222

15,015,021

−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−−−−

+−−−−−−−+=

+++++++

−−−−−−−

−−−−−−−

++++++=

=++++++⋅⋅+−−=⋅

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzYzX

( ) ( ) { }5,0;5,0;1;5,0;5,0;5,0;5,0;1;0;5,0* −−−−−−−=nynx

n

x(n)

-1 0 1 2 3 4

1

-2

0,5

0 1 2 3 4 5 6n

y(n)

0,5

-0,5

-1

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(n)*y(n)



7. Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT)

Bezpośrednia metoda obliczeń jednowymiarowej DFT Transformata Fouriera jest operacją zamiany postaci czasowej sygnału na postać częstotliwościową. W systemach z czasem dyskretnym wykorzystuje się dyskretną transformację Fouriera (DFT - discrete Fourier transformation), która jest odpowiednikiem transformaty Fouriera dla systemów ciągłych. Obliczanie DFT odbywa się według następującej zależności:

( ) ( )∑−

=

=1

0

N

n

knNWnxkX (7.1)

przy czym k N= −0 1 1, ,..., oraz W eNj

N=−

2π

Sygnał wejściowy DFT

( )0x ( )1x ( )1−Nx → ( )0X ( )1X ( )1−NX N N

Dyskretne przekształcenie Fouriera jest przekształceniem Z obliczanym dla N punktów (rys.7.1) oddalonych od siebie o ten sam kąt na okręgu jednostkowym płaszczyzny Z.

012π/Ν

zz

Re

Im

Rys.7.1. Rozmieszczenie próbek na płaszczyźnie Z dla DFT

Ponieważ x(n) może być ciągiem zespolonym, więc równanie (7.1) przyjmie postać

( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]( ){∑−

=

+−=1

0ImImReRe

N

n

knN

knN WnxWnxkX ( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]( )}knNknN WnxWnxj ReImImRe + (7.2)

Przyjmuje się, że złożoność obliczeniowa N-punktowego DFT wynosi N2. Dokładne liczby operacji mnożenia i dodawania zestawiono w tabeli 1. Tabela 1: Złożoność obliczeniowa obliczeń DFT Operacje zespolone Operacje rzeczywiste Liczba mnożeń N2 4N2 Liczba dodawań N(N-1) N(4N-2)



Zadanie: Wyznacz 4 punktową DFT dla próbek wejściowych ( ) ( ) ( ) ( ) 43,32,21,10 ==== xxxx . Rozwiązanie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkn

knkN WxWxWxWxWnxkX

34

24

14

3

0

04 3210 ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑

=

1e0

4π2j0

4 ==⋅−

W

j2πsinj

2πcosee 2

πj1

4π2

j14 −=−===

−⋅−W

1ee jπ2

4π2j2

4 −===−⋅−W

j2π3sinj

23πcosee 2

3πj34π2j3

4 +=−===−−

W

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkk xxjxxkX j31210 ⋅+−⋅+−⋅+= Zatem próbki DFT mają wartości:

( ) 1043210 =+++=X ( ) jjjX 2243211 +−=+−−= ( ) 243212 −=−+−=X ( ) jjjX 2243213 −−=−−+=

Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera (2D DFT)

( )nmf , ( )qpF , N N M M

( ) ( )

( )∑∑

∑∑∑∑−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

=

−−

=

−

=

===

1

0

1

0

π2

1

0

1

0

π221

0

π21

0

π2

e,

e,e,),(

M

m

N

n

Nqn

Mpmj

M

m

N

n

qnN

pmM

jM

m

qnN

jN

n

pmM

j

nmf

nmfenmfqpFπ

Zadanie: Wyznacz dwuwymiarową DFT dla macierzy

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

)1,1()0,1()1,0()0,0(

,ffff

nmf

Rozwiązanie:



( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

????

)1,1()0,1()1,0()0,0(

,FFFF

qpF

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1014131211

e1,1e0,1e1,0e0,00,0 210

2102

200

2102

210

2002

200

2002

==⋅+⋅+⋅+⋅=

=+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅− ππππ jjjj

ffffF

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

24321

)1(43)1(214321

4321

e1,1e0,1e1,0e0,01,0

212

212

211

2102

201

2102

211

2002

201

2002

−==−+−=

=−⋅++−⋅+==+++=

=+++=

=+++=

−−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−

ππ

ππ

ππππ

jj

jj

jjjj

eeee

ffffF

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4433

)1(4)1(321e1,1e0,1e1,0e0,00,1 2

102112

200

2112

210

2012

200

2012

−==−−=

=−⋅+−⋅++==+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅− ππππ jjjj

ffffF

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

04321

e4)1(3)1(21e1,1e0,1e1,0e0,01,1

2

211

2112

201

2112

211

2012

201

2012

==+−−=

=+−⋅+−⋅+=

=+++=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

⋅−

π

ππππ

j

jjjjffffF

1π2sinπ2cosj2π =−=− je Ostatecznie

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

04210

,qpF

Zadanie: Wyznacz dwuwymiarową DFT dla macierzy

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

)1,1()0,1()1,0()0,0(

,ffff

nmf

korzystając ze wzoru na jednowymiarową DFT.

FFT z podziałem czasowym Efektywniejszą metodą obliczania DFT jest algorytm szybkiej transformacji Fouriera (FFT - fast Fourier transformation). Złożoność obliczeniowa N-punktowego FFT jest proporcjonalna do liczby [N*log(N)]. Typowo algorytmy FFT stosuje się w przypadku N powyżej wartości 32. Algorytm FFT z podziałem czasowym bazuje na dekompozycji N-punktowego DFT na

1πsinπcosjπ −=−=− je



dwa niezależne N/2-punktowe DFT1. Pierwszy z nich zawiera jedynie próbki parzyste sygnału wejściowego, drugi natomiast próbki nieparzyste [Opp79]:

( ) ( ) ( )∑ ∑+=parzyste enieparzyst

xn n

nkN

nkN WnWnxkX )

Dokonując podstawienia n=2r dla n parzystych i n=2r+1 dla n nieparzystych otrzymujemy

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑−

=

−

=

+++=1

2

0

12

0

122 122

N

r

N

r

krN

rkN WrxWrxkX

( )( ) ( )( )∑∑−

=

−

=

++=1

2

0

21

2

0

2 122

N

r

rkN

kN

N

r

rkN WrxWWrx

Wiedząc, że

W e e WNj

Nj

NN

2 22 2

2

2

= = =− −

π π/

równanie można zapisać w postaci

( ) ( ) ( )∑∑−

=

−

=

++=1

2

0 2

12

0 2

122

N

r

rkN

kN

N

r

rkN WrxWWrxkX

A zatem ( ) ( ) ( )kHWkGkX kN+=

przy czym ( )kG - N/2-punktowa DFT parzystych punktów ciągu ( )nx , ( )kH - N/2-punktowa DFT nieparzystych punktów ciągu ( )nx , )/π2(je NNW

−= . Zadanie: Naszkicuj graf FFTwyznaczania dwupunktowej DFT. Korzystając z naszkicowanego grafu wyznacz dwuwymiarową DFT dla macierzy

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

)1,1()0,1()1,0()0,0(

,ffff

nmf .

Rozwiązanie:

x(0)

x(1)

X(0)

X(1)W2

1

W20

Rys. Graf wyznaczania 2-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera

+ rozwiązanie dla zadanej macierzy Zadanie: Sprawdź czy dla 4=N zachodzą zależności:

1 Próbki wejściowe (dziedzina czasu) uporządkowane są w tym typie algorytmu FFT zgodnie z tzw. rewersją bitów. Owo specyficzne uporządkowanie ciągu wejściowego ma odzwierciedlenie w nazwie algorytmu „FFT z podziałem czasowym”.



( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )31

203120

HHHH

GGGG

==

==

( ) ( )∑−

=

⋅⋅=1

2

0 2

2

N

r

krNWrxkG

Rozwiązanie:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )31

122223

122221

20

222222

220

12

0

12

0

31

2

0

32

12

0

3

24

12

0

12

0

12

0

12

12

0

1

24

12

0

12

0

12

0

12

0

21

2

0

22

22

22

24

12

0

12

0

0

2

GG

rxerxWrxWrxG

rxerxWrxWrxG

GG

rxerxerxWrxWrxG

rxWrxG

N

r

N

r

rj

N

r

r

N

r

r

N

r

N

r

rj

N

r

r

N

r

r

N

r

N

r

N

r

N

r

rj

N

r

rjrr

N

r

N

r

rN

=

−⋅=⋅=⋅=⋅=

−⋅=⋅=⋅=⋅=

=

=⋅=⋅=⋅=⋅=

=⋅=

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑ ∑ ∑∑

∑∑

−

=

−

=

⋅−

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

−

=

⋅−

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

−

=

−

=

−

=

⋅−

−

=

⋅⋅−⋅⋅

−

=

−

=

⋅

π

π

ππ

Podobnie sprawdzamy wartości ( )kH . Zadanie:

1. Naszkicuj graf FFT z podziałem czasowym dla N=4. 2. Wyznacz dokładne wartości współczynników kNW wykorzystywanych przez graf. 3. Podaj jakimi równaniami są opisane poszczególne próbki DFT 4. Oblicz wartości 2D DFT dla macierzy

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000111100001111

,nmf

Rozwiązanie:



x(0)

x(2)

x(1)

x(3)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)W2

1

W20

W21

W20

W41

W40

W42

W43

Rys. Graf wyznaczania 4-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

X(2)

X(0)

X(1)

X(3)

W80

W80

W80

W80

W80

W80

W80

W80W4

3

W42

W41

W40

W43

W42

W41

W40W2

0

W21

W20

W20

W20

W21

W21

W21

Rys. Graf wyznaczania 8-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera (uwaga na błędy w grafie ☺ )

FFT z podziałem częstotliwościowym Równanie (7.1) transformaty DFT można także zapisać następująco:



( ) ( ) ( )∑∑−

=

−

=

+=1

2

12

0

N

Nn

nkN

N

n

nkN WnxWnxkX

( ) ( ) nkN

N

n

N

n

NkN

nkN W

NnxWWnxkX ∑ ∑−

=

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

12

0

12

0

2/

2

Otrzymano niestety dwa wyrażenia, które nie są N/2 punktowymi transformatami Fouriera,

ponieważ występują czynniki WNnk , a nie WN

nk

2

. Wiedząc, że ( )kkN

NW 12 −= , możemy więc

zapisać

( ) ( ) ( ) nkN

N

n

k WNnxnxkX ∑−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

12

0 21 .

Dla parzystych wskaźników k otrzymujemy

( ) ( ) rnN

N

nWNnxnxrX 2

12

0 22 ∑

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

natomiast dla nieparzystych wskaźników k

( ) ( ) rnNnN

N

nWWNnxnxrX 2

12

0 212 ∑

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+

Pamiętając, że W WNrn

Nrn2

2

= ,

( ) ( ) knN

N

n

WNnxnxkX2

12

0 2∑

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= dla k parzystego

( ) ( ) knNnN

N

n

WWNnxnxkX2

12

0 2∑

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= dla k nieparzystego.

Zatem obliczanie FFT z podziałem częstotliwości polega wyznaczeniu ciągu ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2Nnxnx

oraz ciągu ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

2Nnxnx przemnożonego przez współczynnik nNW , a następnie obliczeniu

N/2 punktowych transformat obu ciągów. Zadanie:

1. Naszkicuj graf FFT z podziałem częstotliwościowym dla 4=N , 2. Wyznacz dokładne wartości współczynników nNW wykorzystywanych przez graf, 3. Podaj równania opisujące poszczególne próbki DFT, 4. Oblicz wartości 2D DFT dla macierzy.

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2222111122221111

, nmf



Zadanie: Naszkicuj graf obliczeń FFT z podziałem częstotliwościowym dla N=8.

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(2)

X(0)

X(1)

X(3)

W80

W80

W80

W81

-1

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

x(0)

x(4)

x(2)

x(6)

W20

-1

-1

-1

W80

W82

W83

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

W20

W20

W20

W40

4W1

W40

4W1

Rys. Graf wyznaczania 8-pkt. dyskretnej transformaty Fouriera (uwaga na błędy w grafie ☺)

Algorytm Goertzela Algorytm Goertzela zakłada, że do analizy częstotliwościowej sygnału potrzebny jest niewielki podzbiór próbek transformaty DFT. Procedura obliczeniowa algorytmu Goertzela polega na szeregowym przetwarzaniu danych wejściowych [Opp79]. Pojedyncza próbka

( )kX przekształcenia DFT z równania (8.1) jest określona wzorem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1)1210 −−++++= NkNkNkNkN WNxWWxWxxkX K . (*) Utwórzmy układ cyfrowy (filtr IIR), który będzie działał zgodnie z równaniem różnicowym

( ) ( ) ( )1−+= − nyWnxny kkNk .

Po przetworzeniu całego bloku próbek wejściowych sygnał wyjściowy będzie wówczas określony wzorem

( ) ( ) ( )( )101)1( −−++−=− NkNk WxNxNy K . (**)



Porównując (*) z (**) zauważamy, że aby otrzymać próbkę widma ( )kX należy ostatnią próbkę ( )1−Nyk sekwencji wyjściowej przemnożyć przez współczynnik ( )1−NkNW , który można zapisać jako

( ) kN

kN

kNN

NkN WWWW

−−− ==1 ,

ponieważ 1ee π2jπ2j

=== −− kkNNkN

NW . Transmitancja układu (rys. 6) realizującego obliczenia próbki ( )kX jest określona wzorem

( ) 11 −−−

−=

zWW

zH kN

kN

k .

kN2πj

e

( )kX

T

+

X

kN2πj

e

X( )nx

Rys. Układ zespolonego algorytmu Goertzela

Przy założeniu, że ciąg wejściowy ( )nx jest rzeczywisty do wyznaczenia ( )kX jest konieczne wykonanie N4 mnożeń rzeczywistych i ( )13 −N sumowań liczb rzeczywistych. Tak więc obliczenia realizowane zgodnie z układem na rys. 6 są mniej efektywne od metody bezpośredniej wynikającej z równania (7.1). Zaletą jego jest jednak to, że nie wymaga on wyznaczania ani pamiętania współczynników WN

kn- , gdyż są one obliczane rekursywnie. W celu zmniejszenia liczby operacji arytmetycznych, można zmodyfikować omawiany

algorytm przekształcając transmitancję (8.18) w następujący sposób

=)(zH k( )

21

1

π2cos21

1−−

−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

zzkN

zWW kNk

N

21

1

π2cos21 −−

−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

zzkN

zW kN .

Transmitancji określonej wzorem (8.19) odpowiada filtr IIR pokazany na rys. 7. W tym przypadku dla każdego indeksu k należy wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1 sumowań liczb rzeczywistych. Jak można zauważyć, liczba mnożeń jest teraz ok. dwukrotnie mniejsza od liczby wymaganej przy obliczeniach bezpośrednich. Jedynymi wartościami, które muszą być obliczone i zapamiętane dla każdej wyznaczanej próbki widma

( )kX są współczynniki ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Nkπ2cos oraz

kNk

NWπ2j

e=− . W algorytmach detekcji sygnałów (np.

detekcji telefonicznych sygnałów DTMF) mnożenia przez współczynnik zespolony w ogóle nie trzeba wykonywać, jeżeli analizy sygnału dokonuje się na podstawie jego energii. W celu



redukcji błędu położenia badanej składowej widma, współczynniki ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Nkπ2cos można

wyznaczać jako ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

s

k

ff

π2cos , gdzie fk – częstotliwość badanej składowej, fs- szybkość

próbkowania.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Nk2π2cos

( )kX

T

+

X

kN2πj

e

X( )nx

1- T

X

1-X

+

Rys. Układ algorytmu Goertzela



8. Projektowanie filtrów FIR

Projektowanie FIR metodą okien Kroki projektowania:

1. Wybór typu filtru:

- dolnoprzepustowy,

- górnoprzepustowy,

- pasmowoprzepustowy,

- pasmowozaporowy,

2. Analityczne wyznaczenie wzoru na dyskretną odpowiedź impulsową

( ) ( ) Ω= Ω−

Ω∫ deeHnh njjdπ

ππ21

3. Obliczenie wartości próbek odpowiedzi impulsowej ( )nhd dla zakresu

21

21 −

≤≤−

−NnN (zakładamy, że N jest nieparzyste),

4. Wymnożenie próbek odpowiedzi impulsowej przez przez próbki wybranej funkcji okna w

celu eliminacji zjawiska Gibbsa („tracimy” na stromości zbocza, ale „zyskujemy” na

tłumieniu w paśmie zaporowym)

( ) ( ) ( )nwnhnh Ndw ⋅=

5. Przesunięcie w prawo otrzymanego wyniku, aby filtr był przyczynowy.

Odpowiedzi impulsowe Odpowiedź impulsowa idealnego filtru dolnoprzepustowego:

Ω

( )ΩjeH

cω

1

0cω−

[ ] ( )nnee

ne

neh c

njnjnjn

d

ccc

c

c

cπ

sinj2π

1j1

π21d1

π21 j ωωωω

ω

ω

ω

=−

==Ω⋅=−

−

Ω

−

Ω∫

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠=

0

0sin

n

nnn

nhc

c

d

πωπω

Odpowiedź impulsowa idealnego filtru górnoprzepustowego:



( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

≠−=

01

0sin

n

nnn

nhc

c

d

πωπω

Odpowiedź impulsowa idealnego filtru pasmowo-przepustowego:

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

≠−

=0

0sinsin

12

12

n

nn

nn

nhd

πωω

πωω

Odpowiedź impulsowa idealnego filtru pasmowo-zaporowego:

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

−

≠−

=01

0sinsin

12

21

n

nn

nn

nhd

πωω

πωω

Typy okien Okno Hamminga:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ −

≤≤−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

poza02

12

11

π2cos46.054.0 NnNN

nnwN

Okno Hanninga:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ −

≤≤−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

poza02

12

11

2cos121 NnN

Nn

nwNπ

Okno Blackmana:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ −

≤≤−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

poza02

12

11

4cos08.01

2cos5.042.0 NnNN

nN

nnwN

ππ

Zadanie: Korzystając z metody okien zaprojektuj dolnoprzepustowy filtr FIR o długości 5=N (rząd = 4), przyjmując, że π2.0=cω . Narysuj schemat filtru. Rozwiązanie: Stosujemy wzór na odpowiedź impulsową filtru dolnoprzepustowego

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠=

0

0sin

n

nnn

nhc

c

d

πωπω

Wartości próbek dla okna prostokątnego: ( ) =− 2h 0.1514 ( ) =−1h 0.1871 ( ) =0h 0.2000 ( ) =1h 0.1871 ( ) =2h 0.1514



Transmitancja filtru (okno prost.): ( ) 4321 1514.01871.02.01871.01514.0 −−−− ++++= zzzzzH Wartości próbek dla okna Hamminga

( ) =− 2h 0.0121 ( ) =−1h 0.1010 ( ) =0h 0.2000 ( ) =1h 0.1010 ( ) =2h 0.0121

Transmitancja filtru (okno Hamminga): ( ) 4321 0121.01010.02.01010.00121.0 −−−− ++++= zzzzzH

Schemat układu Zadanie: Wyznacz odpowiedź impulsową idealnego filtru górnoprzepustowego. Następnie zaprojektuj górnoprzepustowy filtr FIR o długości 5=N , przyjmując, że π1.0=cω . Narysuj schemat filtru.

Projektowanie filtrów FIR metodą próbkowania w dziedzinie częstotliwości Każdą funkcje okresową można przedstawić jako szereg Fouriera. Stąd możemy zapisać, iż:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ωω

ωω

ω

ω

ωω

deeHkTh

gdzie

zkThzH

ekTheH

TjkTj

s

k

k

Tjk

k

Tj

s

s

∫

∑

∑

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

=

=

=

2/

2/

1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑−

=

−+−+=2/)1(

1

' 0N

k

kk zkThzkThhzH

)()( '2/)1( zHzzH N −−= - przesunięcie, aby filtr był przyczynowy Zadanie: Stosując metodę okna Hamminga wyznacz transmitancję filtru odpowiadającego charakterystyce pokazanej na rysunku.



Rozwiązanie: Korzystając z wzorów zamieszczonych powyżej możemy zapisać:

∫−

=×===T

Tc

Tjk kTk

kT

Tk

kk

deTkTh2/

2/

)sin(1)241sin(1

2sin1

2)(

π

π

ω ωπ

ππ

ππ

ωπ

dla 0≠k

Gdzie cω jest pulsacją odcięcia filtru. Jeżeli przyjmiemy T=1 wówczas otrzymamy:

( )

( )

( )

02sin41)4(

31

23sin

31)3(

0sin212

1111

21

22

220

2

2

==

−==

==

==

===−

ππ

ππ

π

ππ

ππ

ππ

ωπ

π

π

Th

Th

Th

Th

TTTTh

T

T

{ } 0,31,0,1,

21)(

ππ−=kTh

Okno Hamminga jest określone wzorem:

12cos46,054,0)(

−+=

Nkkwhmπ

W naszym zadaniu 9=N i otrzymujemy:

081,0cos46,054,0)4(

215,04

3cos46,054,0)3(

541,02

cos46,054,0)2(

865,04

cos46,054,0)1(

10cos46,054,0)0(

=+=

=+=

=+=

=+=

=+=

π

π

π

π

hm

hm

hm

hm

hm

w

w

w

w

w

Połowa próbek odpowiedzi impulsowej:



{ } { } 0,3215,0,0,865,0,

21)()()(

ππ−== kwkhkh hmw

Transmitancja ( )zH ' jest określona wzorem: 3311

3215,0

3215,0865,0865,0

21)(' zzzzzH

ππππ−−++= −−

3113

3215,0865,0

21865,0

3215,0)(' −− −+++−= zzzzzH

ππππ

Aby znaleźć ostateczną postać korzystamy ze wzoru:

6432

3

3215,0865,0

21865,0

3215,0)(

)(')(

−−−−

−

−+++−=

=

zzzzzH

zHzzH

ππππ

RYSUNEK UKŁADU



9. Aproksymacja Butterwortha i Czebyszewa

Aproksymacja Butterwortha Charakterystyka amplitudowa filtru Butterwortha rzędu n

( )nn

jH21

1ω

ω+

=

Korzystając z faktu, że: ( ) ( )

ωω

jsnnsHjH

==

można zapisać:

( ) ( )( ) ( )nnnn s

jj

sHsH2

2

2 11

1

1−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−⋅ω

zatem bieguny ( ) 01 2 =−+ ns

( ) 12 −=− ns ( ) ( )π122 11 −=−=⋅− kjnn es nk 2,,2,1 K=

( ) ( )π1221 −=⋅− kjnn es ( ) njkjn ees ππ122 −=

Zatem k -ty biegun ( ) nnkj

k es2/12 π−+=

( ) nkjnnjk ees

2/122/ ππ −= ( ) nkj

k jes2/12 π−=

( )[ ] ( )[ ]nkjnksk 2/12cos2/12sin ππ −+−−= Transmitancja:

( ) ( )( ) ( )nsssssssH

−⋅⋅−−=

K21

1

Projektowanie filtru: 1. Wyznaczenie rzędu filtru n na podstawie warunków tłumienności (wartość n

zaokrąglamy „w górę” do wartości całkowitej), 2. Wybór odpowiedniej charakterystyki znormalizowanej ( )sH n ,

3. Dokonanie denormalizacji częstotliwościowej ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cn

sHsHω

.

Projektowanie filtru o zadanej falistości Rząd filtru:

kk

n d10

10

loglog

≥

110

110

10

10

−

−=

s

p

dk α

α

- parametr dyskryminacji

k=s

p

ωω

- parametr selektywności



Zadanie: Wykreśl kilka charakterystyk amplitudowych dla różnych rzędów n. Jaką wartość przybiera charakterystykę dla 1=ω ?

| Hn(jω)|= 2

1 =0,707| Hn(jω)|max

Rozwiązanie: Matlab w=[0:0.01:4]; H1=(sqrt(1+w.^2)).^(-1); H2=(sqrt(1+w.^3)).^(-1); H3=(sqrt(1+w.^4)).^(-1); H4=(sqrt(1+w.^5)).^(-1); plot(w,H1,w,H2,w,H3,w,H4); grid on; legend('n=2','n=3','n=4','n=5');

Zadanie: Naszkicuj położenie biegunów oraz podaj transmitancje dolnoprzepustowych filtrów Butterwortha rzędów: 1, 2, 3 i 4.

Matlab % n jest rzędem filtru n=2 for k=1:n s(k)=exp(j*(2*k+n-1)*pi/(2*n)) % otrzymujemy bieguny end poly(s) % mianownik transmitancji



n=1 s1=-1

H(s)= 1

1+s

n=2 s1,2= 2

1− ± j

21

H(s)= 12

12 ++ ss

n=3 s1,3= 2

1− ± j

23

s2= -1

H(s)= 122

123 +++ sss

n=4

s1,4=-0,3827±j0,9239

s2,3=-0,9239±j0,3827 H(s)=

16131,24142,36131,21

234 ++++ ssss

Zadanie: Korzystając ze wzoru na znormalizowaną charakterystykę amplitudową filtru Butterwortha znajdź transmitancję filtru, który posiada tłumienie α≥10 dB dla pulsacji cω2 , przy czym ωc=2500. Wykreśl charakterystyki filtru zgodnie z warunkiem zadania.

Rozwiązanie:

|Hn(j2)|2= n2211

+ dla filtru znormalizowanego

-10log10|Hn(j2)|2=10log10(1+22n)≥10



1+22n≥10

22n≥9

n=2ln2

9ln

Przyjmujemy 2=n zatem

( )sH n = 14142,11

2 ++ ss

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cn

sHsHω

=1106569,5106,1

1427 +⋅+⋅ −− ss

Wykres Matlab w=[0:20:6000]; b=[0 0 0 1] a=[1.6e-7 5.6569e-4 1] freqs(b,a,w) Zadanie: Znajdź transmitancję dolnoprzepustowego filtru Butterwortha, który dla podwójnej pulsacji odcięcia ma tłumienie min 20 dB. Odcięcie 3kHz.

|Hn(j2)|2= n2211

+

-10log10|Hn(j2)|2=10log10(1+22n)≥20

1+22n≥102

n=3.3

n=4 ( )sH n = 432 6131,24142,36131,211

ssss ++++

54.1884930002 =⋅⋅= πωc

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cn

sHsHω

= 418313294 109213,7109017,310609,9103869,111

ssss −−−− ⋅+⋅+⋅+⋅+

Projektowanie filtrów o zadanej falistości Zadanie: Wyznacz n i H(s) dla filtru Butterwortha przy następujących warunkach.

α≤0,1dB dla f≤5MHz



α≥60dB dla f≥12MHz Korzystając z MATLABa Wykreśl charakterystyki filtru. Zaobserwować zafalowania. Rozwiązanie:

k1=110

110

1060

101,0

−

− =0,1562 10-3 k=123 =0,25

n≥6,33

( )14940.40978.105920.145920.140978.104940.4

1234567 +++++++

=sssssss

sH

Przeskalowanie: α(ω)-10log(1+ω2n)

ω2n= 110 101,0

−

ω= 764,011014 01,0 =−

s← 61032 ⋅πs s← s 4,0533 10-8

H(s)=

....106591,6106991,2100940,1104343,4107973,11

323430537645752 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ −−−−− sssss

1100533,4106429,1.... 8215 +⋅+⋅+ −− ss

H(s)= +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ −−−−− 322429536644752 107169,9109385,3101047,1109911,110797,1

1sssss

1108215,1106589,1 7214 +⋅+⋅+ −− ss



Aproksymacja Czebyszewa Charakterystyka amplitudowa dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa

( )( )

,...3,2,11

122

=+

= nT

jHn

nωε

ω

Wielomiany Czebyszewa

( )( )

( )⎪⎩⎪⎨⎧

>⋅

≤⋅=

−

−

1coshcosh

1coscos1

1

ωω

ωωω

dlan

dlanTn

Wzór rekurencyjny: ( ) ( ) ( ) ,...3,2,12 11 =−= −+ nTTT nnn ωωωω

Zafalowania ( )

110

][1log10

10

210

−=

+=

p

dBpα

ε

εα

Transmitancja

012

21

1 ...)(

asasasasksH n

nn +++++

= −−

stała k jest dobierana w celu osiągnięcia odpowiedniego poziomu DC

Położenie biegunów

( ) ( ) ωε

jsbo

jsT

sHsH

n

nn =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=−⋅ ,1

122

εε112 −±=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛jsTzatem

jsT nn

εj

jsn ±=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

podstawy teorii sygna ów, systemów i...

Documents