podstawy mechaniki kwantowej · podstawy mechaniki kwantowej za dzie ń narodzenia mechaniki...
TRANSCRIPT
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w InstytucieFizyki Uniwersytetu Berlińskiego czterdziestodwuletni profesor zwyczajny tego uniwersytetu, Max Planck wygłosił referat pt ”O teorii prawa rozkładu energiiw widmie normalnym".
K. Zalewski „Mały wykład z mechaniki kwantowej”, 2004
„Całą mechanikę kwantową da się wyprowadzić z doświadczenia z dwiema szczelinami”
„Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu widzenia zdrowego rozsądku i w pełni zgadza się z doświadczeniem. Mam więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest –absurdalną”
„Jeśli sądzisz, że rozumiesz mechanikę kwantową, to nie rozumiesz mechaniki kwantowej”
Richard Phillips Feynman (1918–1988)
1900 Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnego
1905 Einstein - zjawisko fotoelektryczne
1913 Bohr - kwantowa teoria widm
1922 Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach
1924 Pauli - zakaz Pauliego1924 Pauli - zakaz Pauliego
1925 de Broglie - fale materii
1926 Schrodinger - równanie falowe
1927 Heisenberg - zasada nieoznaczoności
1927 Davisson i Germer - dowód własności falowych elektronu
1927 Born - interpretacja funkcji falowej
λλλλλλλλ11
1s
νννννννν 1 1 = = 4 cykle/1s4 cykle/1s = 3Hz= 3Hz
λλλλλλλλνννννννν = c= c
długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne
mała długość fali mała długość fali ((λλλλλλλλ11))duża częstość duża częstość ((11))
duża długość fali duża długość fali ((λλλλλλλλ22))mała częstość mała częstość ((νννννννν22))
barwa promieniowania elektromagnetycznegobarwa promieniowania elektromagnetycznego
widmo promieniowaniawidmo promieniowaniaelektromagnetycznego elektromagnetycznego
widmo promieniowania ciała doskonale czarnegowidmo promieniowania ciała doskonale czarnego
promieniowanie promieniowanie obserwowaneobserwowane
wnęka o temperaturze T
obszar widzialny
prawo przesunięć Wienaprawo przesunięć Wiena
TTλλmaxmax = 1/5 c= 1/5 c22 cc22= 1.44 cmK= 1.44 cmK
druga stała druga stała promieniowaniapromieniowania
Prawo StefanaPrawo Stefana--BoltzmannaBoltzmanna
εε = = EE//VV= = aTaT44
Prawo RayleighaPrawo Rayleigha--JeansaJeansa
pole elektromagnetyczne jako zbiór pole elektromagnetyczne jako zbiór oscylatorówoscylatorów
ddεε = = ρρρρρρρρddλλλλλλλλ ρρρρρρρρ = 8= 8ππππππππkT/kT/λλλλλλλλ44
katastrofa nadfioletowakatastrofa nadfioletowa
obszar widzialny
falowa natura cząstek
doświadczenie Davissonadoświadczenie Davissona--GermerraGermerra
rozpraszanie elektonów na krysztale Nirozpraszanie elektonów na krysztale Ni
wiązka ewiązka e--
kryształ Nikryształ Ni
efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905)efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905)
wybijanie ewybijanie e-- pod wpływem naświetlania promieniowaniem UVpod wpływem naświetlania promieniowaniem UVen
erg
ia k
inet
yczn
a fo
toel
ektr
on
u,
ener
gia
kin
etyc
zna
foto
elek
tro
nu
, EEkk
wzrost wzrost Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ RbRb KK NaNa
korpuskularny charakter promieniowania
ener
gia
kin
etyc
zna
foto
elek
tro
nu
, en
erg
ia k
inet
yczn
a fo
toel
ektr
on
u,
częstość padającego promieniowania, częstość padającego promieniowania, ν ν ν ν ν ν ν ν
Φ−= νhme
2
21 v
Φ<νh
EFEKT COMPTONAEFEKT COMPTONA
c
hp
ν=
hp =
2c
Em =
λc
h
c
hvm ==
2
relacjarelacjade Brogliede Broglie
19231923λ
hp =
( )Θ−=∆ cos1cλλ
pm426,2==cm
h
e
cλ
cząstce materialnej możemy przypisać falę o długości:
λλλλλλλλ = = hh//mvmv
gdzie: m - masa cząstki, v – prędkość cząstki
falę przypisaną cząstce nazywamy falą de Broglie’a
Dla makroskopowych obiektów fali de Broglie'a niejesteśmy w stanie zaobserwować. Przykładowoczłowiek o masie 100 kg pędzący z prędkością 10 m/s(ok. 36 km/h) ma przypisaną falę o długości:
λλλλλλλλ == 66..6363··1010--3434//100100··1010 == 66..6363··1010--3737 mm
Dla kuli karabinowej o m = 10 g i prędkości 1000 m/s
λλλλλλλλ = 6.63·10= 6.63·10--3535 mm
Dla elektronu o m = 9.11 ·10-31 kg i prędkości 1·107 m/s
λλ == 77..2727··1010--1111 mm(rząd(rząd odległościodległości pomiędzypomiędzy atomamiatomami ww kryształach)kryształach)
9,58 sUsain Bolt
widma promieniowania pierwiastkówwidma promieniowania pierwiastkówskładają się z serii linii o określonych składają się z serii linii o określonych λλλλλλλλ
np. widmo atomów Henp. widmo atomów He
długość fali, długość fali, λλλλλλλλ/ nm/ nm
Podczas całkowitego zaćmienia Słońca, (1868) P. Janssen, badając widmo korony słonecznej, zaobserwował pomarańczowy prążek odpowiadający długości fali 5876 Å, którego nie można było przypisać do żadnego spośród znanych wówczas pierwiastków. Helium od greckiego boga słońca Heliosa.
kwantowanie energii (Max Planck)kwantowanie energii (Max Planck)
νnhE =
rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów
sJ10626,6 34 ⋅⋅= −h
ANALOGIA
Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, żemożna wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody,którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O.
Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposóbciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylkopewnymi porcjami.
WŁAŚCIWOŚCIWŁAŚCIWOŚCI FOTONÓWFOTONÓW
energia energia masa masa pęd pęd
νhE f =2
c
hm f
ν=
λ
ν h
c
hp f ==
energia energia masa masa pęd pęd
hh -- stała Plancka = 6,62 stała Plancka = 6,62 .. 1010--3434 JJ..s s
νννννννν -- częstość częstość
λλλλλλλλ -- długość fali długość fali
cc –– prędkość światła 3prędkość światła 3..101088 m/s m/s
FaktyFakty doświadczalne,doświadczalne, aa zwłaszczazwłaszcza możliwośćmożliwośćzachodzeniazachodzenia zderzeńzderzeń nienie tylkotylko pomiędzypomiędzy cząsteczkami,cząsteczkami,aleale rórówwnieżnież pomiędzypomiędzy cząsteczkamicząsteczkami aa falamifalami prowadziprowadzi dodownioskuwniosku wyprowadzonegowyprowadzonego przezprzez HeisenbergaHeisenberga
zasada nieoznaczoności Heisenberga zasada nieoznaczoności Heisenberga
iloczyniloczyn niepewnościniepewnościiloczyniloczyn niepewnościniepewnościpołożeniapołożenia ((∆∆∆∆∆∆∆∆x)x) ii pędupędu ((∆∆∆∆∆∆∆∆p)p) musimusi byćbyć większywiększy lublubrównyrówny wartościwartości h/h/44ππππππππ::::::::
∆∆∆∆∆∆∆∆x·x· ∆∆∆∆∆∆∆∆p ≥ h/4p ≥ h/4ππππππππ
(( ∆∆∆∆∆∆∆∆x·x· ∆∆∆∆∆∆∆∆ppxx ≥ h, ≥ h, ∆∆∆∆∆∆∆∆x·x· ∆∆∆∆∆∆∆∆ppxx ≥ ½≥ ½ηηηηηηηη ))
Fizyka klasyczna:Fizyka klasyczna:
ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne
Mechanika kwantowa: Mechanika kwantowa:
cząstka rozmyta w przestrzeni jak falacząstka rozmyta w przestrzeni jak fala
Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni
P – prawdopodobieństwo napotkania cząstki w objętości dV
ρρρρ = P/dV – gęstość prawdopodobieństwa
ρρρρ = ρρρρ (x, y, z)
∫ =1dVρ
Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera
niezależne od czasu niezależne od czasu dla cząstki o masie dla cząstki o masie mm i energii i energii EE
poruszającej się w jednym wymiarzeporuszającej się w jednym wymiarze
ΨΨ)(Ψ
2
2
22
ExVdx
d
m=+−
η
E – energia cząstkiV(x) – energia potencjalna w punkcie x
– funkcja falowa (psi)
π2
h=η
Ψ
OgólnaOgólna postaćpostać rrównaniaównania SchrodingeraSchrodingera
HΨ = EΨHΨ = EΨ
gdziegdzie HH oznaczaoznacza tzwtzw.. operatoroperator HamiltonaHamiltona(czyli(czyli szeregszereg operacjioperacji matematycznychmatematycznych jakiejakie należynależy wykonaćwykonać nanafunkcjifunkcji falowejfalowej Ψ)Ψ)..
Interpretacja Borna funkcji ΨΨΨΨInterpretacja Borna funkcji ΨΨΨΨ
Kwadrat amplitudy fali de Broglie’a, a zatem i gęstość
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki są dane przez │ΨΨΨΨ│2
ρ = ρ (x, y, z) = │Ψ(x, y, z)│2
P = ρ (x, y, z) dV = │Ψ(x, y, z)│2dV
∫ =Ψ 1),,(2dVzyx
•• jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1
•• dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych
Rozwiązaniem równania SchrRozwiązaniem równania Schröödingera dingera jest funkcja o następujących właściwościach:jest funkcja o następujących właściwościach:
elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych miejscach)miejscach)
•• ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe (elektron nie może zanikać).(elektron nie może zanikać).
CząstkaCząstka ww jednowymiarowymjednowymiarowym pudlepudle potencjałupotencjału
x = 0 x = L
Ψ(0)=0 Ψ(L) = 0
WarunekWarunek brzegowybrzegowy dladla xx == 00 ΨΨ(x)(x) == 00
sin sin kxkx = 0= 0
cos cos kxkx = 1= 1
ΨΨ(x)(x)x=0x=0 = = BB = 0= 0
ΨΨ(x) = (x) = AA sin sin kxkx
WarunekWarunek brzegowybrzegowy dladla xx == LL ΨΨ((LL)) == 00
Ogólne rozwiązania równania ma postać:Ogólne rozwiązania równania ma postać:
ΨΨ(x) = (x) = AA sin sin kx + kx + B cos kxB cos kx, , EEkk = k= k22ηηηηηηηη / / 2m2m
WarunekWarunek brzegowybrzegowy dladla xx == LL ΨΨ((LL)) == 00
ΨΨ(L)(L) == AA sinsin kLkL == 00
a zatem a zatem albo albo AA = 0= 0 albo albo sin sin kLkL = 0= 0
Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że cząstka nie istnieje cząstka nie istnieje ((ΨΨ(x)= 0 dla 0 < x< (x)= 0 dla 0 < x< LL))
aa zatemzatem sin kL = 0
kL = nπ
1
nn –– liczba całkowitaliczba całkowita
πnh
)mE2(L 2
1
=
2
22
8mL
hnE =
Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej nn
Dla stanu podstawowego Dla stanu podstawowego nn = 1= 1
DlaDla stanustanu wzbudzonegowzbudzonego nn >> 11
MożnaMożna wykazać,wykazać, żeże zz warunkuwarunku
L
∫ =ΨL
dxx0
2 1)(
wynikawynika wzórwzór
L
xn
Lxn
πsin
2)(
2
1
=Ψ
określający funkcję własną dla określający funkcję własną dla nn--tego poziomu energetycznego. tego poziomu energetycznego.
FunkcjaFunkcja falowafalowa ww interpretacjiinterpretacji BornaBorna.. PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwoznalezieniaznalezienia elektronuelektronu ww danymdanym punkciepunkcie jestjest proporcjonalneproporcjonalne dodo
kwadratukwadratu funkcjifunkcji falowejfalowej ((ΨΨ22)):: prawdopodobieństwoprawdopodobieństwo toto jestjestwyrażonewyrażone przezprzez stopieństopień zaczernieniazaczernienia paskapaska uu dołudołu.. Zauważ,Zauważ, żeżegęstośćgęstość prawdopodobieństwaprawdopodobieństwa ww węźlewęźle wynosiwynosi 00.. WęzełWęzeł jestjestpunktem,punktem, ww którymktórym funkcjafunkcja falowafalowa przechodziprzechodzi przezprzez 00..