Podstawowym i nieodzownym dla każdej konstrukcji technicznej warunkiem jest zapewnienie jej dostatecznej wytrzymałości

(nośności).

Dla określenia nośności konstrukcjinośności konstrukcji stosujemy:

• doświadczeniadoświadczenia (najpewniejszy sposób sprawdzenia). Wyznaczona w doświadczeniu wartość końcowa obciążenia, podzielona przez współczynnik bezpieczeństwa, jest obciążeniem dopuszczalnymobciążeniem dopuszczalnym.Badanie na drodze eksperymentowania jest jednak dość długotrwałe i kosztowne, a czasem niemożliwe.

•• korzystanie zz danych danych charakteryzujących właściwości materiału.charakteryzujących właściwości materiału.Wprawdzie dane materiałowe otrzymuje się również na drodze eksperymentalnej, ale dzięki takiemu ujęciu zagadnienia konieczna liczba eksperymentów niepomiernie maleje.

Odkształcenia trwałeOdkształcenia trwałe powstają w skutek przemieszczania sięprzemieszczania sięposzczególnych atomów w siatce krystalograficznej z jednej w

drugie położenie równowagi. Przemieszczenia takie odbywają się wuprzywilejowanych płaszczyznach, najczęściej w płaszczyznach

najgęstszego ułożenia atomów, nazywa się je płaszczyznami płaszczyznami poślizgu.poślizgu.

Powstanie poślizgów jest związane jest związane z ruchem w siatce atomowej zakłóceń, zwanych dyslokacjami.dyslokacjami.

Odkształcenia trwałeOdkształcenia trwałe mają charakter postaciowypostaciowy, a nie objętościowy. Dalszy wzrost obciążeń powoduje w rezultacie utratę

spójności materiałuspójności materiału, czyli złomzłom. Jeżeli złom powstaje w płaszczyźnie poślizgupłaszczyźnie poślizgu, to nazywamy go złomem poślizgowym,złomem poślizgowym,

jeżeli w innych płaszczyznach - złomem rozdzielczymzłomem rozdzielczym. Gdy złomu rozdzielczego nie poprzedza znaczne odkształcenie trwałe,

wówczas złom taki określa się jako złom kruchyzłom kruchy

Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania trwałych odkształceńtrwałych odkształceń i zniszczenia spójnościzniszczenia spójności określa się jako

wytężenie.wytężenie.Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą

wytężenie. Jej argumentami są składowe stanu ośrodka ciągłegoskładowe stanu ośrodka ciągłegow danym punkcie (z reguły składowe stanu naprężenia σx, ..., τxy,

...) i parametry charakteryzujące materiałparametry charakteryzujące materiał (C1,...)

W = F(σx, ..., τxy, ..., C1, ...)

Graniczne wartości wytężeniaGraniczne wartości wytężenia WWpp (na granicy plastyczności) i WWzz(na granicy wytrzymałości) uważa się najczęściej za niebezpieczne

dla konstrukcji. Stosunek wytężenia granicznego Wp lub Wz do wytężenia W nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwawspółczynnikiem bezpieczeństwa

(jego odwrotność nazywa się współczynnikiem zagrożeniawspółczynnikiem zagrożenia).

(1)

BB

dz

dx

dy

σσxx

ττxzxz

ττxyxy

σσxx

ττxzxzττxyxy

σσyy

ττyzyz

ττyxyx

σσyy

ττyzyz

ττyxyx

σσzz

ττzxzx

ττzyzy

σσzz

ττzxzxττzyzy

σx, σy, σz składowe normalne stanu naprężaniaskładowe normalne stanu naprężania działające w płaszczyźnie, do której normalną jest odpowiednio oś x, y, z, τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz - składowe styczne stanu naprężeniaskładowe styczne stanu naprężenia

00xx

yy

zz

Tensor stanu naprężenia

[ ]Tx xy xz

yx y yz

zx zy z

σ

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

T ijσ

σ σ σσ σ σ σσ σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

→

1 2 3

11 22 33

12 23 31

, ,, ,

, ,

σ σ σ σ σ σ

τ σ τ σ τ σ

→ → →= = =

= = =x y z

xy yz zx

x x y x z x

ij jiσ σ=xy yx

yz zy

zx xz

τ τ

τ τ

τ τ

=

=

=

[ ]0

T 0

0 0 0σ

σ τ

τ σ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x xy

yx yPłaski stan naprężenia

Naprężenia główne

[ ]1

2

3

0 0T 0 0

0 0σ

σσ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

→aby1 2 31, 2, 3

0,σ

σ σ

→ → →= ≠

=ij

ii i

x x xdla i j

Czy możliwe są takie kierunki

Tensor stanu naprężenia

, 1,2,3i iσ = naprężenia główne

xp

p

p

μ μ

μ μ

μ μ

σ τ τ α

τ σ τ α

τ τ σ α

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

x xy xz x

y yx y yz y

z zx zy z z

1 2 3

11 22 33

12 23 31

, ,, ,, ,

σ σ σ σ σ σ

τ σ τ σ τ σ

→ → →= = =

= = =x y z

xy yz zx

x x y x z x

1 111 12 13

2 21 22 23 2

31 32 333 3

p

p

p

μ μ

μ μ

μ μ

ασ σ σσ σ τ ασ σ σ α

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

1 1

2 2

3 3

p

p

p

μ μ

μ μ

μ μ

σα

σα

σα

=

=

=

11 12 13

21 22 23

31 32 3

1

2

33

000

μ

μ

μ

σ σ σ σσ σ σ σ

α

α

ασ σ σ σ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎦⎪

⎩ ⎭ ⎩⎣⎪⎭

Równanie wiekowe (sekularne):Równanie wiekowe (sekularne):

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

−− =

−

3 2 0I II IIIs s sσ σ σ− + − =

11 22 33

2 2 211 22 22 33 33 11 12 23 31

2 2 211 22 33 12 23 31 11 23 22 31 33 132

I

II

III

s

s

s

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

= + +

= + + − − −

= + − − −

Niezmienniki stanu naprężenia:

Dowolny stan naprężeniaDowolny stan naprężenia określić można trzema składowymigłównymi σσ11, , σσ22, , σσ33. Zbiór wszystkich stanów naprężenia w

analizowanym punkcie ciała można traktować jak trójwymiarową przestrzeń. Każdemu punktowi tej przestrzeni o współrzędnych

σ1, σ2, σ3 odpowiada określony stan naprężenia, któremu przyporządkowane jest wytężenie W(wytężenie W(σσ11, , σσ22, , σσ33,C),,C), (rys.1).

Stanowi naprężenia o stałym stosunku σ1: σ2: σ3 i rosnących wartościach składowych głównych odpowiada prosta wychodząca z

początku układu współrzędnych. W przypadku jednoosiowego stanu naprężenia pokrywa się ona z jedną z osi σ1, σ2, σ3 układu

współrzędnych.

Zbiór punktów zawierających stan naprężenia, które powodują Zbiór punktów zawierających stan naprężenia, które powodują jednakowe wytężenie, tworzy powierzchnię o równaniu W=jednakowe wytężenie, tworzy powierzchnię o równaniu W=constconst..

A zatem stan naprężenia odpowiadające punktom A i B (rys.1) wywołują identyczne wytężenie.

σ2

σ2

σ1

powierzchnia jednakowego wytężenia W=const

prosta jednoosiowego stanu naprężenia

W’(σred, 0, 0,C)

σ red

Rys.1

prosta stanów naprężenia σ1: σ2: σ3=const

A

B

Można dzięki temu zredukować (czyli zastąpić) dowolny stan naprężenia o wytężeniu W(σ1, σ2, σ3,C) - punkt A, do jednoosiowego stanu naprężenia o takim samym wytężeniu W’(σred, 0, 0,C) - punkt B. Z równania W(W(σσ11, , σσ22, , σσ33,C)= ,C)= W’(W’(σσredred, 0, 0,C), 0, 0,C) wyznacza się naprężenia redukowane σσredred..

σred=F(σ1, σ2, σ3,C)

W(σ1, σ2, σ3,C)

W przypadku przestrzeni sześciowymiarowej wytężenie w ogólnym stanie naprężenia F(σx, ..., τxy, ..., C, ...) i wytężenie w jednoosiowym rozciąganiu F(σo, 0, 0, 0, 0, 0, C, ...) są również są również sobie równesobie równe

F(σx, ..., τxy, ..., C, ...) = F(σo, 0, 0, 0, 0, 0, C, ...)

wówczas rozwiązując tę nierówność ze względu na σo, otrzymuje się

σo = f(σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, C, ...) (2)

Prawą stronę równania (2) nazywa się naprężeniem zredukowanymnaprężeniem zredukowanymσσredred lub naprężeniem zastępczymnaprężeniem zastępczym

σred =f(σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, C, ...) (3)

Naprężenia zredukowane Naprężenia zredukowane σσredred jest to wielkość charakteryzująca jest to wielkość charakteryzująca dany stan naprężenia pod względem wytężenia. Do oceny dany stan naprężenia pod względem wytężenia. Do oceny współczynnika bezpieczeństwawspółczynnika bezpieczeństwa w trójosiowym stanie naprężenia w trójosiowym stanie naprężenia należy wyznaczyć należy wyznaczyć σσredred i porównać je z odpowiednim naprężeniem i porównać je z odpowiednim naprężeniem niebezpiecznym dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania).niebezpiecznym dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania).Ogólnie Ogólnie warunek wytrzymałościowywarunek wytrzymałościowy można wyrazić w postacimożna wyrazić w postaci

nnieb

dopredσσσ =≤

(4)

gdzie gdzie σσdopdop -- dopuszczalna wartość naprężenia w jednoosiowym dopuszczalna wartość naprężenia w jednoosiowym rozciąganiurozciąganiu

Hipoteza największego naprężenia stycznegoHipoteza największego naprężenia stycznego, zaproponowana przez Coulomba i rozwinięta Tresca i Guesta dotyczy granicy plastyczności i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą miarą

wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.

Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężenia wynosi

2minmax

maxσστ −

=

20στ =max

W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenie styczne wynosi

Dla równych naprężeń stycznych wytężenia w obu stanach naprężeń są równe; przyrównując prawe strony podanych wzorów na τmax, otrzymuje się

minmax σσσ −=0

Naprężenie zredukowane wyraża się w postaci

(8)minmax σσσ −=red

Aby w danym stanie naprężenia nie wystąpiły

trwałe odkształceniatrwałe odkształcenia, musi być spełniony warunek

eprminmax R=≤− σσσ (9)

Warunek zaś zachowania zachowania wytrzymałości materiałuwytrzymałości materiału wyraża

się w postaci

zrminmax σσσ ≤− (10)

W celu wyznaczenia wyznaczenia powierzchni granicznych powierzchni granicznych

wytrzymałości materiałówwytrzymałości materiałów w układzie σ1 σ2 σ3 (nie

przesądzając z góry, które z naprężeń głównych osiąga

wartości największe i najmniejsze) wyraża się

warunek (9) w postaci sześciu nierówności (lub równań) przy

założeniu, że σZc= - σZr

Zr13Zr

Zr32Zr

Zr21Zr

σσσσσσσσσσσσ

≤−≤−≤−≤−≤−≤−

(11)

Powierzchnię graniczną stanowią boki graniastosłupa sześciobocznego o osi σ1, σ2, σ3, jednakowo nachylonej do osi σ1≠0, σ2 ≠0, σ3 ≠0, . Dla

stanu naprężenia warunekstanu naprężenia warunek (10) przedstawia się w postaci

σZr

σZr

σ2

σ1

b

a

c

f

e

dRys.2

Zr12Zr

Zr2Zr

Zr21Zr

σσσσσσ

σσσσ

≤≤−≤≤−

≤−≤−

(12)

W płaskim układzie sześć równań (a, b, c, d, e, f)

)b()a(

Zr21

Zr21

σσσσσσ−=−=−

)d()c(

Zr2

Zr2

σσσσ−==

)f()e(

Zr1

Zr1

σσσσ−=−=−

wyznacza sześć prostych (rys.2), tworzących kontur graniczny w postaci sześcioboku.

Jeżeli płaski stan naprężeniapłaski stan naprężenia jest określony ogólnie przez składowe to naprężenie głównenaprężenie główne wyznacza się ze wzoru

( ) ( ) 2xy

2yxyx2,1 4

21

21 τσσσσσ +−±+=

Rozpatrzymy jako pierwszy przypadek, gdy znaki σ1 i σ2 są różnewówczas σ1σ2<0 , σ3=0 .Aby przypadek ten zaistniał, składowe

naprężenia σx, σy, τxy, muszą spełniać warunek

( ) yx2xy

2yx 4 σστσσ +>+−

co po przekształceniach można zapisać

2xyyx τσσ < (13)

Wówczas σσ11= = σσmaxmax, , σσ22= = σσminmin. Na naprężenie zredukowanenaprężenie zredukowane uzyskuje się wzór

( ) 2xy

2yxred 4τσσσ +−= (14)

Jeżeli znaki naprężeńgłównych są jednakoweσ1σ2>0 , a więc

2xyyx τσσ >

i gdy ponadto σ1+ σ2>0 , wówczas σmax= σ1, zaś σmin= 0. Na naprężenia naprężenia

zredukowane zredukowane otrzymujemy wzór

(15) ( ) ( ) 2x

2yxyxred 4

21

21 τσσσσσ +−++=

(16)

Gdy zaś σ1+ σ2<0 , wówczas σmax= 0 , zaś σmin= σ2 . Na naprężenia naprężenia zredukowanezredukowane uzyskujemy wzór

( ) ( ) 2x

2yxyxred 4

21

21 τσσσσσ +−++−= (17)

Dla prostego ścinania σ1= σmax, σ2= σmini wzór na naprężenie zredukowanenaprężenie zredukowane

przyjmuje postaćτσ 2red =

Stąd wniosek, że

Zrz 5,0 στ =

Hipoteza ta opiera się na założeniu, że i można ją stosować tylko dla materiałów spełniających ten warunek.

Doświadczenia przeprowadzone dla materiałów plastycznychmateriałów plastycznych(złom poślizgowy), szczególnie dla płaskich stanów naprężeń,dla płaskich stanów naprężeń,

wystarczająco potwierdzają tę hipotezę.

Kryteria tych hipotez zostały sformułowane w naprężeniach naprężeniach głównych.głównych.

Naprężenia główneNaprężenia główne są pierwiastkami równania sekularnego, które można rozwiązać wyłącznie przez zastosowanie przekształceń hiperbolicznych lub trygonometrycznych. Pociąga to za sobą

trudności otrzymania rozwiązania w postaci ogólnej. Dlatego niemożna sformułować ogólnych wzorów na σσredred , jeżeli stan naprężenia

jest określony sześcioma składowymi σσxx, , σσyy, , σσzz, , ττxyxy, , ττyzyz, , ττzxzx.

Energia sprężysta właściwa• Właściwa energia sprężysta == energia sprężysta przypadająca na jednostkę

objętości

11 11 22 22 33 33 12 12 23 23 31 311

2 2 22σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ εΦ = + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( )

( )

211 22 33

2 2 212 23 31 11 22 11 22 11 22

1 1[2

(1 ) ]E

σ σ σ

ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ

Φ = + + +

+ + + + − − −

lub

Energia sprężysta właściwa

energia sprężysta właściwa odkształcenia objętościowego

V fΦ = Φ + Φ

energia sprężysta właściwa odkształcenia postaciowego

VΦ =

fΦ =

( )211 22 331 2

6V Eν σ σ σ−

Φ = + +

( ) ( ) ( )

( )

2 2 211 22 22 33 33 11

2 2 212 23 31

166

f Eν σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

+ ⎡Φ = − + − + − +⎣

+ + + ⎤⎦

Hipoteza energetycznaHipoteza energetyczna zakłada, że w miarę wytężenia należywytężenia należyuważać właściwą energię odkształceniauważać właściwą energię odkształcenia. Początkowo uwzględniono całkowitą energię odkształcenia, później ograniczono się do energii

odkształcenia postaciowego; w tej formie zyskała ona najszersze zastosowanie i nazywana jest ona od nazwisk jej autorów hipotezą

Hubera, Misesa, Hencky’ego

Wielkością decydującą o wytężeniu materiału jest tu właściwa właściwa energia odkształcenia postaciowegoenergia odkształcenia postaciowego, która w ogólnym stanie

naprężenia wynosi

)]()()()[( 2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxf 6

E61 τττσσσσσσνΦ +++−+−+−+

=

Dla jednoosiowego stanu naprężenia (σx= σ0, σy= σz=0, τxy=τyz= τzx=0) energia ta się wyraża

20f 2

E61 σνΦ +

=

Jeżeli wytężenia te są równe, można przyrównać prawe strony powyższych równań i stąd wyznaczymy σσredred w sposób najbardziej

ogólny

)( 2zx

2yz

2xyxzzyyx

2z

2y

2xred 3 τττσσσσσσσσσσ +++−−−++= (18)

Dla płaskiego stanu naprężeniapłaskiego stanu naprężenia σx≠0, σy ≠0 σz ≠0, τxy≠0 τyz ≠0 τzx ≠0

2xyyx

2y

2xred 3τσσσσσ +−+= (19)

Dla często spotykanych w praktyce technicznejw praktyce technicznej stanów naprężeń σx= σ≠ 0, σy = 0, σz = 0, τxy=τ ≠ 0, τyz = τzx =0

uzyskuje się wzóruzyskuje się wzór22

red 3τσσ +=

a dla ścinaniaa dla ścinania

τσ 3red =

Stąd wniosek, żeStąd wniosek, że

ZrZz

niebnieb

580580στστ

,,

=

=

Hipoteza ta jako kryterium plastyczności materiału stała się podstawowym prawem teorii plastycznościpodstawowym prawem teorii plastyczności. Zastosowana zaś do

granic wytrzymałości daje w przypadku złomu poślizgowego wyniki dobrze pokrywające się z wynikami doświadczeń.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego można wyrazić przez niezmiennikiniezmienniki stanu naprężenia

)( ΙΙΙνΦ s3s

E31 2

f −+

=

lub przez naprężenie stycznenaprężenie styczne na płaszczyźnie jednakowo nachylonej do kierunków głównych

2oktf E3

123 τνΦ +

=

Korzystając z powyższych zależności, można otrzymać wzory na naprężenia zredukowanenaprężenia zredukowane w postaci

ΙΙΙσ s3s2red −= oktred 2

3 τσ = (20)

σ1

σ3

σ2

r

Rys.3

Hipotezę tę więc można sformułować jako hipotezę stycznego hipotezę stycznego naprężenia naprężenia oktaedrycznegooktaedrycznego..

Powierzchnię graniczną w tej hipotezie tworzy walec walec kołowykołowy (rys.3) o osi jednakowo nachylonej do osi układu o promieniu koła

Zr22r σ=

σ1

σ2

σZr

Ścinanie

Rys.4

Dla płaskiego zaś stanu Dla płaskiego zaś stanu naprężenianaprężenia w układzie osi otrzymuje się jako kontur

graniczny elipsęelipsę (rys.4) opisaną na konturze granicznym (na rysunku linia przerywana)

według hipotezy największych naprężeń stycznych.

Rozszerzenie możliwości zastosowań wyników omawianej hipotezy otrzymuje się w hipotezie Burzyńskiego. Przyjął on, że wytężenie wytężenie materiału wyraża funkcja trzech niezmienników stanu naprężeniamateriału wyraża funkcja trzech niezmienników stanu naprężenia

),,( utsFW =

Przy czym wprowadzone tu niezmienniki są kombinacjami znanych nam już niezmienników ssII, , ssIIII, , ssIIIIII

)( zyxI 31s

31s σσσ ++==

=−= 2II

2I s3s

32t

)( 2zx

2yz

2xyxzzyyx

2z

2y

2x 3

32 τττσσσσσσσσσ +++−−−++= (21)

2xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx

3III 2su τστστστττσσσ −−−+==

Przyjmuje się jednak, że wpływ niezmiennika uu jest bardzo nieznaczny, tak że z wystarczającą dokładnością można wytężenie wytężenie

sformułować jako funkcję tylko dwóch niezmienników s i t

(22)),( tsFW =

Funkcję tę można przedstawić wykreślnie w układzie s-t jak na rys.5 gdzie krzywa krzywa WW jest jest wykresem funkcji wytężeniawykresem funkcji wytężenia dla jego granicznej dla jego granicznej

wartości wartości WWzz..

Można wykazać, że odrzucenie niezmiennika uu sprowadza się do założenia, że powierzchnia graniczna jest powierzchnią obrotową o osi obrotu jednakowo nachylonej do osi σ1, σ2, σ3 o promieniu w odległości mierzonej na osi obrotu . Krzywa wytężenia Krzywa wytężenia WW w układzie s-t jest po prostu południkiem powierzchni granicznej.

t3r = s3=ξ

Ściskanie równomierne przestrzenne

Rozciąganie równomierne przestrzenne

Rozciąganie

równomierne płaskie

Rozc

iągan

ie jed

noos

iowe

Czy

ste śc

inan

ie

Ściskanie

jednoosiowe

α1

α3

α2

WW’

s

t

R

C l1

l3 l2

Zr32

Zc32 κσσ =

Zr31

Zc31 κσσ = Zr3

1 σ

SC SR

Zr32σ

Rys.5

Punkty odpowiadające temu rodzajowi stanu naprężenia muszą leżeć na prostej l1, o współczynniku kierunkowym

22

sttga 11 === α

Dla równomiernego płaskiego rozciąganiapłaskiego rozciągania( σx= σ, σy= σ, σz=0, τxy=0, τyz=0, τzx=0)niezmiennikiniezmienniki wynoszą

σσ32t

32s == ,

Podobnie dla jednoosiowego jednoosiowego rozciąganiarozciągania( σx= σ, σy= 0, σz=0, τxy=0, τyz=0, τzx=0)niezmiennikiniezmiennikiprzyjmują wartości

σσ32t

31s == ,

a prostą l2 wyznacza współczynnik kierunkowy

2sttga 22 === α

Dla jednoosiowego jednoosiowego ściskaniaściskania

( σx= -σ, σy= 0, σz=0, τxy=0, τyz=0, τzx=0) otrzymuje

się

σσ32t

31s =−= ,

zaś prostą l3wyznacza

współczynnik kierunkowy

2sttga 33 −=== α

W uproszczonej hipotezie hipotezie BurzyńskiegoBurzyńskiego krzywą między punktami C i R (rys.5) aproksymuje się prosta W’ i otrzymuje się wzór na

naprężenie zredukowane

)(

)(

zyx

2zx

2yz

2xyxzzyyx

2z

2y

2xred

21

32

1

σσσκ

κ

τττσσσσσσσσσκ

κσ

++−+

+++−−−+++

=

(23)

Wzór ten można stosować do materiałów o różnychwytrzymałościach na ściskanie σσZcZc i rozciąganie σσZrZr((σσZcZc/ / σσZrZr==κκ).).

W przypadku gdy κ=1, wzór ten jest identyczny z analogicznym wzorem wynikłym z hipotezy energii odkształcenia

postaciowego.

Dla materiałów metalowych stosowanych powszechnie w technice, a głównie dla stali węglowych, ogranicza się do badania

wytrzymałości w stanach naprężenia zbliżonych do ścinania. Na podstawie uzyskanych wyników uważa się, że hipotezy energii energii

odkształcenia postaciowegoodkształcenia postaciowego oraz największych naprężeń stycznychnajwiększych naprężeń stycznychpozwalają na określenie z dostateczną dokładnością granicznych

stanów naprężenia do przejścia w stan plastyczny (kryterium plastyczności) oraz dla złomu poślizgowego.

Doświadczenia dotyczące wytrzymałości zmęczeniowejwytrzymałości zmęczeniowej w niejednoosiowych stanach naprężenia wskazują na dopuszczalność stosowania hipotezy energii odkształcenia postaciowegoenergii odkształcenia postaciowego dla stali

węglowej. W przypadku stali wysokostopowych odstępstwa wyników doświadczalnych od teoretycznych są większe niż dla

obciążenia statycznego.

Zwrócimy teraz uwagę, że dla stanów naprężenia bliskich równomiernego, przestrzennego stanu naprężenia granica

plastyczności i wytrzymałości określona z hipotez największych największych naprężeń stycznych naprężeń stycznych i energii odkształcenia postaciowegoenergii odkształcenia postaciowego jest

bardzo duża, a przy równomiernym rozciąganiu nieskończenie wielka, co nie jest możliwe. Przyjmuje się, że przy równomiernym

rozciąganiu powinien zawsze wystąpić złom rozdzielczy.

W przypadku materiałów „kruchych”„kruchych” i w zakresie stanów naprężenia spełniających warunki złomu rozdzielczego w praktyce technicznej stosuje się hipotezę największych naprężeń normalnychnajwiększych naprężeń normalnych

lub hipotezę największych wydłużeńhipotezę największych wydłużeń.

Za autorów hipotezy największego rozciąganiahipotezy największego rozciągania uważa się Galileusza i Leibnitza.

W myśl tej hipotezy W myśl tej hipotezy miarą natężenia materiału jest największemiarą natężenia materiału jest największenaprężenie rozciągającenaprężenie rozciągające.. Warunek wytrzymałości materiałuWarunek wytrzymałości materiału w w ogólnym stanie naprężenia jest zachowany, jeżeli największe ogólnym stanie naprężenia jest zachowany, jeżeli największe

naprężenie rozciągające naprężenie rozciągające nie przekroczynie przekroczy wartości granicywartości granicywytrzymałościwytrzymałości przy jednoosiowym rozciąganiu przy jednoosiowym rozciąganiu σσZrZr = = RRmm..

Z hipotezy tej wynikałoby, że w przypadku jednoosiowego ściskania wytrzymałość materiału jest nieograniczonanieograniczona. Jest to

oczywiście sprzeczne z doświadczeniem.

Modyfikacją tej hipotezy jest Modyfikacją tej hipotezy jest hipoteza największego naprężeniahipoteza największego naprężenianormalnego.normalnego.Wprowadza ona ograniczenia nie tylko dla dodatnich, Wprowadza ona ograniczenia nie tylko dla dodatnich,

ale również i dla ujemnych wartości i naprężeń normalnych. ale również i dla ujemnych wartości i naprężeń normalnych. Warunek zachowania wytrzymałościWarunek zachowania wytrzymałości można zapisać w sposób można zapisać w sposób

następującynastępujący

Zr3Zc

Zr2Zc

Zr1Zc

σσσσσσσσσ

≤≤

≤≤

≤≤

(5)

Żadne więc z naprężeń Żadne więc z naprężeń nie możenie może być większebyć większe od od granicy granicy wytrzymałości przy jednoosiowym rozciąganiu wytrzymałości przy jednoosiowym rozciąganiu σσZrZr i i mniejszemniejszeod granicy wytrzymałości przy ściskaniu od granicy wytrzymałości przy ściskaniu σσZcZc= = RRcc..

Powierzchnię granicznąPowierzchnię graniczną w układzie σ1,σ2, σ3 tworzą ściany sześcianu o bokach σZc+σZr. Dla płaskiego stanu naprężenia (σ3 =0) konturem granicznym jest kwadrat o bokach σZc+σZr(rys.1)

Ścinanie

σ1

σ2σZc σZr

σ Zc

σ Zr

Zbadajmy zgodnie z przytoczoną hipotezą wytrzymałości przy prostym ścinaniuprostym ścinaniu, w którym σ2 = σ1. Wówczas

1121

22

2στστσστ ==

−= ,,

Wynika stąd, że przy ścinaniuścinaniu zostanie osiągnięta granicagranicawytrzymałościwytrzymałości, gdy τ = σZr . Doświadczenia zaś dla materiałów

sprężysto-plastycznych wykazują, że graniczne naprężenie styczne przy ścinaniu τz ≈ 0,6 σZr

Rys.1

Punktem wyjścia do oceny wytężenia w hipotezach odkształceń właściwych jest nie stan naprężenia, lecz stan odkształcenia. Znane

są dwa warianty.

Wariant pierwszy de de SaintSaint----VenantaVenanta przyjmuje, że miarą miarą wytężenia jest największe wydłużeniewytężenia jest największe wydłużeniewłaściwewłaściwe. Warunek zachowaniawytrzymałości wyraża się w postaci

Zr3

Zr2

Zr1

εεεεεε

≤

≤

≤

(6)

W wariancie drugim GrashoffaGrashoffa warunek zachowania wytrzymałościprzyjmuje postać

Zr3Zc

Zr2Zc

Zr1Zc

εεεεεεεεε

≤≤

≤≤

≤≤

(7)

εZr - wydłużenie na granicy wytrzymałości przy prostym rozciąganiu.

εZc - skrócenie względne na granicy wytrzymałości przy prostym ściskaniu.