počítačová grafika iii – monte carlo integrování p římé osvětlení
DESCRIPTION
Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení. Jaroslav Křivánek, MFF UK [email protected]. Rendering = Integrování funkcí. Problémy Nespojitost integradu (viditelnost) Téměř libovolné hodnoty integrandu (distribuce světla, BRDF) Složitá geometrie. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/1.jpg)
Počítačová grafika III –Monte Carlo integrováníPřímé osvětlení
Jaroslav Křivánek, MFF [email protected]
![Page 2: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/2.jpg)
Rendering = Integrování funkcí
Problémy Nespojitost integradu
(viditelnost) Téměř libovolné hodnoty
integrandu (distribuce světla, BRDF)
Složitá geometrie
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 2
)(
iioiiior dcos),(),(),(x
xxxH
rfLL
Příchozí radiance Li(x,i) pro jeden bod na podlaze.
![Page 3: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/3.jpg)
Historie Monte Carlo (MC)
Vývoj atomové bomby, Los Alamos 1940, John von Neumann, Stanislav Ulam, Nicholas Metropolis
Rozvoj a aplikace metod od roku 1949
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 3
![Page 4: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/4.jpg)
Metoda Monte Carlo
Simuluje se mnoho případů daného děje, například:
Neutrony – vznik, zánik, srážky s atomy vodíku
Úlohy hromadné obsluhy – chování počítačových sítí, dopravní situace
Sociologické a ekonomické modely – demografie, vývoj inflace, pojišťovnictví atd.
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 4
![Page 5: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/5.jpg)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013
Slide credit: Iwan Kawrakov
5
![Page 6: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/6.jpg)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013
Slide credit: Iwan Kawrakov
6
![Page 7: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/7.jpg)
Šum v obrázcích
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 7
![Page 8: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/8.jpg)
Odbočka – Kvadraturní vzorce pro numerické integrování Obecný předpis v 1D:
f integrand (tj. integrovaná funkce)n řád kvadratury (tj. počet vzorků integrandu) xi uzlové body (tj. umístění vzorků v oboru integrálu)f(xi) vzorky integranduwi váhy
n
iii xfwI
1
)(ˆ
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 8
![Page 9: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/9.jpg)
Odbočka – Kvadraturní vzorce pro numerické integrování Kvadraturní pravidla se liší volbou uzlových bodů
xi a váhami wi
Obdélníková metoda, Rovnoběžníková metoda, Simpsonova metoda, Gaussovská kvadratura, …
Vzorky na integračním oboru (tj. uzlové body) jsou rozmístěny deterministicky
Jednoznačně určeny kvadraturním pravidlem
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 9
![Page 10: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/10.jpg)
Kvadraturní vzorce pro více dimenzí Obecný předpis pro integrování fcí více
proměnných:
Rychlost konvergence pro s-dimenzionální integrál je O(N-1/s)
Např. pro dvojnásobné zpřesnění odhadu 3-rozměrného integrálu musíme zvýšit počet vzorků 23 = 8 krát
Nepoužitelné pro vysokodimenzionální integrály Dimenzionální exploze
n
i
n
i
n
iiiiiii
s
ssxxxfwwwI
1 1 11 2
2121),...,,(......ˆ
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 10
![Page 11: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/11.jpg)
Kvadraturní vzorce pro více dimenzí Kvadraturní vzorce
V 1D lepší přesnost než Monte Carlo Ve 2D srovnatelné s MC Od 3D bude MC téměř vždy lepší
Kvadraturní metody NEJSOU metody Monte Carlo!
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 11
![Page 12: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/12.jpg)
Monte Carlo integrování
Obecný nástroj k numerickému odhadu určitých integrálů
1
f(x)
0 1
p(x)
23 45 6
xx d)(fI
)(;)()(1
1
xppf
NI i
N
i i
i
Integrál:
Monte Carlo odhad I:
„V průměru“ to funguje:
IIE ][PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 12
![Page 13: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/13.jpg)
Monte Carlo integrování
Vzorky jsou rozmístěny náhodně (nebo pseudonáhodně)
Konvergence: O(N-1/2) Konvergence nezávisí na dimenzionalitě Rychlejší než klasické kvadraturní vzorce pro 3 a
více dimenzí
Speciální metody pro rozmístění vzorků Quasi-Monte Carlo, Randomized quasi-Monte
Carlo Ještě rychlejší konvergence než MC
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 13
![Page 14: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/14.jpg)
Monte Carlo integrování – shrnutí
Výhody Jednoduchá implementace Robustní řešení pro různé tvary domén a
integrantů Efektivní pro vícerozměrné integrály
Nevýhody Relativně pomalá konvergence – zmenšení
statistické chyby o polovinu vyžaduje zvětšit počet vzorků čtyřikrát
Pro syntézu obrazu: obrázek obsahuje šumPG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 14
![Page 15: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/15.jpg)
The MC method: applications
Financial market simulations Traffic flow simulations Environmental sciences Particle physics Quantum field theory Astrophysics Molecular modeling Semiconductor devices Optimization problems Light transport calculations ...
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 15
![Page 16: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/16.jpg)
Náhodné veličiny
![Page 17: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/17.jpg)
Náhodná veličina
X … náhodná veličina
X nabývá různých hodnot s různou pravděpodobností X p(x) Rozložení pravděpodobnosti
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 17
![Page 18: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/18.jpg)
Diskrétní náhodná veličina
Konečná množina hodnot xi
S pravděpodobností pi
Distribuční funkce (cumulative distribution function)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 18
0)Pr( ii xXp
n
iip
1
1ip
ix
Pravděpodobnostní funkce(probability mass function)
i
jjii pxXP
1
Pr 1nP
iP
ix
Distribuční funkce1
![Page 19: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/19.jpg)
Spojitá náhodná veličina
Hustota pravděpodobnosti p(x)(probability density function, pdf)
V 1d:
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 19
xxpDXD
d)(Pr
b
attpbXa d)(Pr
![Page 20: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/20.jpg)
Spojitá náhodná veličina
Distribuční funkce P(x)(cumulative distribution function, cdf)V 1d:
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 20
xttpxXxP d)(Pr)(
!0d)(Pr a
attpaX
![Page 21: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/21.jpg)
Spojitá náhodná veličina
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 21
Hustota pravděpodobnosti (pdf)
Př. Rovnoměrné rozdělení (uniform distribution)
Distribuční funkce (cdf)
![Page 22: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/22.jpg)
Spojitá náhodná veličina
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 22
Zdro
j: w
ikip
edia
Gaussovské (normální) rozdělení
Hustota pravděpodobnosti (pdf)
Distribuční funkce (cdf)
![Page 23: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/23.jpg)
Střední hodnota a rozptyl
Střední hodnota (očekávaná hodnota, expected value)
Rozptyl (variance)
Vlastnosti
DpXE xxx d)(
(pokud jsou Xi nezávislé)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 23
![Page 24: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/24.jpg)
Transformace náhodné veličiny
Y je náhodná veličina
Střední hodnota Y
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 24
XfY
D
pfYE xxx d)()(
![Page 25: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/25.jpg)
Monte Carlo integrování
![Page 26: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/26.jpg)
xxfI dOdhadovaný integrál:
Je-li X náhodná veličina s distribucí p(x), pak f(X)/p(X) je tzv. primární estimátor integrálu:
)()(
prim XpXfF
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 26
Primární estimátor určitého integrálu
![Page 27: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/27.jpg)
Primární estimátor určitého integrálu
X
f(x)
f(X)
0 1PG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 27
![Page 28: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/28.jpg)
Estimátor a odhad
Estimátor je náhodná veličina Vznikla transformací jiné náhodné veličiny
Její realizace (hodnota) je konkrétní odhad (estimate)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 28
![Page 29: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/29.jpg)
Nestrannost obecného estimátoru
Nestrannost estimátoru (obecně):
„V průměru“ estimátor dává správnou hodnotu odhadované veličiny (bez systematické chyby)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 29
QFE
Odhadovaná veličina (např. integrál)
Estimátor veličiny Q(náhodná veličina)
![Page 30: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/30.jpg)
Nestrannost
Náš estimátor Fprim je nestranným (unbiased) odhadem I
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 30
I
xxpxpxfFE
d)(prim
![Page 31: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/31.jpg)
Rozptyl primárního estimátoru
22
2prim
2prim
2primprim d
)(][][ Ix
xpxfFEFEFV
Měřítkem kvality odhadu je jeho rozptyl(nebo standardní odchylka):
Při výpočtu jediného vzorku je rozptyl výsledkupříliš velký!
(pro nestranný odhad)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 31
![Page 32: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/32.jpg)
Sekundární estimátor integrálu
N nezávislých náhodných veličin, f(Xi) / p(Xi)
Sekundární estimátor je nestranný
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 32
N
i i
iN Xp
XfN
F1
1
![Page 33: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/33.jpg)
Rozptyl sekundárního estimátoru
prim
2
1i
1)()(1
)()(1
)()(1
FVN
XpXfV
N
XpXfVN
N
XpXf
NVFV
i
i
i
i
N
i
iN
... std. chyba je ÖN-krát menší! (konvergence 1/ÖN)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 33
![Page 34: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/34.jpg)
Vlastnosti estimátorů
![Page 35: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/35.jpg)
Nestrannost obecného estimátoru
Nestrannost estimátoru (obecně):
„V průměru“ estimátor dává správnou hodnotu odhadované veličiny (bez systematické chyby)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 35
QFE
Odhadovaná veličina (např. integrál)
Estimátor veličiny Q(náhodná veličina)
![Page 36: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/36.jpg)
Výchylka (bias) obecného estimátoru Pokud
pak estimátor není nestranný (je vychýlený, „biased“).
Systematická chyba, bias
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 36
QFE
FEQ
![Page 37: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/37.jpg)
Konzistence (obecného estimátoru)
Uvažujme sekundární estimátor (N vzorků):
Estimátor FN je konzistentní pokud
tj. pokud chyba FN – Q jde k nule s pravděpodobností 1.
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 37
),...,,( 21 NNN XXXFF
![Page 38: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/38.jpg)
Konzistence (obecného estimátoru)
Postačující podmínka pro konzistenci estimátoru:
(tj. ne každý nestranný estimátor je konzistentní)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 38
bias
![Page 39: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/39.jpg)
Zobrazovací algoritmy
Nestranné (unbiased) Sledování cest (path tracing) Obousměrné sledování cest (bidirectional path
tracing) Metropolis light transport
Konzistentní (consistent) Progresivní fotonové mapy (progressive photon
mapping)
Nekonzistentní, vychýlené (biased) Fotonové mapy (photon mapping) Irradiance / radiance caching
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 39
![Page 40: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/40.jpg)
Střední kvadratická chyba(Mean Squared Error – MSE) Definice
Platí
Důkaz
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 40
])[(][ 2QFEFMSE
2][][][ FFVFMSE
![Page 41: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/41.jpg)
Střední kvadratická chyba(Mean Squared Error – MSE) Pokud F je nestranný, pak
tj. pro nestranný estimátor je snazší odhadnout chybu, protože rozptyl estimátoru lze odhadnout ze vzorků Yi = f(Xi) / p(Xi)
Nestranný estimátor rozptylu
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 41
][][ FVFMSE
![Page 42: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/42.jpg)
Účinnost estimátoru
Pro nestranný estimátor je účinnost (eficience, angl. efficiency) dána vztahem:
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 42
rozptyl čas výpočtu (počet operací, např. početvržených paprsků)
![Page 43: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/43.jpg)
Metody snížení rozptylu MC estimátorů
![Page 44: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/44.jpg)
Metody snížení rozptylu
Importance sampling (vzorkování podle důležitosti)a) Podle BRDF (nejčastější)b) Podle Li (pokud známo: přímé osvětlení) V syntéze obrazu je IS nejčastěji používaná
metoda
Řídící funkce (control variates)
Lepší rozložení vzorků Stratifikace quasi-Monte Carlo (QMC)PG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 44
![Page 45: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/45.jpg)
Vzorkování podle důležitosti
Některé části vzorkovaného intervalu jsou důležitější, protože zde má f větší hodnotu Vzorky z těchto oblastí mají větší vliv na výsledek
Vzorkování podle důležitosti (“importance sampling”) umisťuje vzorky přednostně do takových oblastí
Tj. pdf p je „ podobná“ integrandu
Menší rozptyl při zachování nestrannosti
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 45
![Page 46: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/46.jpg)
Vzorkování podle důležitosti
X1
f(x)
0 1
p(x)
X2X3 X4X5 X6PG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 46
![Page 47: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/47.jpg)
Řídící funkce
xxxxxxx ddd ggffI
Funkce g(x), která aproximuje integrant adokážeme ji analyticky integrovat:
numerické integrování (MC)menší rozptyl než f(x)
umíme analyticky integrovat
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 47
![Page 48: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/48.jpg)
Transformace řídící funkcí
f(x)
0 1
0
g(x)
f(x)-g(x)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 48
![Page 49: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/49.jpg)
Řídící funkce vs. Importance sampling Importance sampling
Lepší pokud se funkce, podle níž umíme vzorkovat, vyskytuje v integrantu jako multiplikativní člen (rovnice odrazu, zobrazovací rovnice).
Řídící funkce Lepší pokud se funkce, kterou umíme analyticky
integrovat, vyskytuje v integrantu jako aditivní člen.
Proto v se v syntéze obrazu téměř vždy používá importance sampling.
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 49
![Page 50: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/50.jpg)
Lepší rozmístění vzorků
Při výběru množiny nezávislých vzorků se stejnou hustotou pravděpodobnosti dochází ke shlukování velký rozptyl odhadu
Lepší rozmístění vzorků = integrační oblast je pravidelněji pokryta snížení rozptylu
Metody Vzorkování po částech (stratifikace, stratified
sampling) quasi-Monte Carlo (QMC)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 50
![Page 51: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/51.jpg)
Vzorkování po částech
Interval se rozdělí na části, které se odhadují samostatně
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 51
x2
f(x)f(xi)
0 1x1 x3 x4
![Page 52: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/52.jpg)
Rozdělení intervalu na N částí i:
Estimátor:
ii
N
ii XXf
NI
,)(1ˆ1
strat
N
ii
N
i
IxxfxxfIi
11
dd
Vzorkování po částech
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 52
![Page 53: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/53.jpg)
Vzorkování po částech
Potlačuje shlukování vzorků
Redukuje rozptyl odhadu Rozptyl menší nebo roven rozptylu sekundárního
estimátoru
Velmi účinné pro nízkou dimenzi integrantu
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 53
![Page 54: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/54.jpg)
uniformní rozklad intervalu (0,1) přirozená metoda pro zcela neznámou funkci f
známe-li alespoň přibližně průběh funkce f, snažíme se o takový rozklad, aby byl rozptyl funkce na subintervalech co nejmenší
rozklad d-rozměrného intervalu vede na Nd výpočtů úspornější metodou je vzorkování “N věží”
Rozklad intervalu na části
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 54
![Page 55: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/55.jpg)
Metody Quasi Monte Carlo (QMC)
Použití striktně deterministických sekvencí místo náhodných čísel
Vše funguje jako v MC, důkazy se ale nemohou opírat o statistiku (nic není náhodné)
Použité sekvence čísel s nízkou dikrepancí (low-discrepancy sequences)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 55
![Page 56: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/56.jpg)
Diskrepance
Low Discrepancy (more uniform)
High Discrepancy (clusters of points)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 56
![Page 57: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/57.jpg)
Stratified sampling
Hen
rik
Wan
n Je
nsen
10 cest na pixelPG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 57
![Page 58: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/58.jpg)
Quasi-Monte Carlo
Hen
rik
Wan
n Je
nsen
10 cest na pixelPG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 58
![Page 59: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/59.jpg)
Fixní náhodná sekvence
Hen
rik
Wan
n Je
nsen
10 cest na pixelPG III (NPGR010) - J. Křivánek
2013 59
![Page 60: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/60.jpg)
Příklady MC estimátorů
![Page 61: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/61.jpg)
Přímé osvětlení
Globální = přímé + nepřímé
61
Přímé osvětlení
![Page 62: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/62.jpg)
Odhad irradiance – uniformní vzork.
Uniformní vzorkování:
Estimátor:
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 62
)(
iiii dcos),()(x
xxH
LE
21)( p
N
k,kk
N
k k
kN
LN
pf
NF
1ii,i
1 i,
i,
cos),(2
1
x
![Page 63: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/63.jpg)
Odhad irradiance – cos vzorkování
Importance sampling:
Estimátor:
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 63
)(
iiii dcos),()(x
xxH
LE
cos)( p
N
k,k
N
k ,k
,kN
LN
pf
NF
1ii
1 i
i
),(
1
x
![Page 64: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/64.jpg)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 64
![Page 65: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/65.jpg)
Odhad irradiance – vzrokování zdroje
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 65
![Page 66: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/66.jpg)
Odhad irradiance – vzrokování zdroje
Uniformní vzorkování plochy zdroje:
Estimátor
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 66
A
H
AVL
LE
dcoscos
)()(
dcos),()(
2e
)(iiii
xyxyxy
xx
xy
x
)( xy G
Ap 1)( y
N
kkkkN GVL
NA
F1
e )()()( xyxyxy
![Page 67: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/67.jpg)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 67
![Page 68: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/68.jpg)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 68
![Page 69: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/69.jpg)
Plošné zdroje světla
1 vzorek na pixel 9 vzorků na pixel 36 vzorků na pixel
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 69
![Page 70: Počítačová grafika III – Monte Carlo integrování P římé osvětlení](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062520/5681614a550346895dd0c848/html5/thumbnails/70.jpg)
Přímé osvětlení na ploše s obecnou BRDF Odhadovaný integrál
Estimátor (uniformní vzorkování povrchu zdroje)
PG III (NPGR010) - J. Křivánek 2013 70
A
r AGVfLL d)()()()(),( oeoo xyxyxyxyx
N
kkkkrkN GVfL
NA
F1
oe )()()()( xyxyxyxy