plus - گنیلتسا یددع بعکمmrserajian.ir/admin/imgs/1484594592.مکعب عددی بر...
TRANSCRIPT
نوع دوم استرلینگ عددی بر پایه آرایه مثلث " plus - استرلینگ" مکعب عددی
Cube array basis on Stirling numbers of the second kind
محمدرضا سراجیان اصل: مؤلف
پژوهشگر آزاد
" [email protected]: " آدرس الکترونیکی
:چکیده مقاله
بر اساس مقاله این در .می باشد... عددی پر کاربرد در حل مسائل آنالیز ریاضی و ترکیبیات و آرایه های جمله آرایه مثلثی اعداد استرلینگ نوع دوم از
plus - استرلینگعنوان از .معرفی می گرددبا ویژگی ها ی قابل توجه {ه بعدی س} آرایه ای مکعبی آن،با هدف بسط و تعمیم آرایه مثلثی استرلینگ و
و در آخر اینکه مقاله حاضر برای . ه شده استمقاله بدلیل امکان تفکیک و شناسایی بهتر موضوعات استفاد موضوع برای نام گذاری بخشی از ملزومات
.استسطوح دانش آموزی و در راستای ریاضی همگانی تهیه گردیده
نما ها ثابت می ]اعداد پایه توان هر یک ازواحد به [ m]دنباله ای حسابی وجود دارد که با اضافه نمودن همواره ،هر عدد استرلینگ نوع دومبرای
از دنباله حسابی مزبور [ m + 1]جمله شماره ، برای آن عدد استرلینگی شجره انسان و جنالگوریتم حاصل از استرلینگی ساده ای در مجموعه [مانند
شرح در انتهای این مقاله .تعیین می گردد
:مقدمه
از دنباله های عددی متعدد در کلیه ستون ها و ردیف ها و جهات مختلف ،از آنجا که آرایه مکعبی ایجاد شده بر اساس آرایه مثلثی اعداد استرلینگ نوع دوم
در این مقاله ؛فرمول هائی استفاده گردد از روشها و ی مذکورالزم است که برای تعیین جمله ها در دنباله ها کهیک مکعب عددی تشکیل یافته است
که البته نام گذاری شجره انسان و جن ارتباط واقعی با این دو مخلوق ) .گ نوع دوم معرفی می شودالگوریتمی با عنوان شجره انسان و جن برای تعیین اعداد استرلین
( ندارد جفت های چاق و الغرا ب بطور مثال اتحاد ریاضی چاق و الغر ارتباطیمورد نظر می باشد ،شجره ایریاضی های ندارد و فقط برای امکان تفکیک دو گونه از رابطه
"،" plus "،" Cube array basis on Stirling numbers of the second kind –آرایه مکعب عددی استرلینگ "،": کلید واژگان
[ نوع دوم ی بر پایه آرایه مثلثی استرلینگمکعب عدد ] { بر آرایه مثلث عددی استرلینگ بسط و تعمیمی}
بشکل زیر می باشد نوع دوم مثلثی استرلینگآرایه
"Figure 1"
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1
2 1 1
3 1 3 1
4 1 7 6 1
5 1 15 25 10 1
6 1 31 90 65 15 1
7 1 63 301 350 140 21 1
8 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36
10 1
بشکل زیر حاصل شود " نوع دوم استرلینگ" مربعی تا آرایهکلیه ستون های عمودی را به باالترین ردیف افقی انتقال می دهیم
"Figure 2"
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 6 10 15 21 28 36
3 1 7 25 65 140 266 462 750
4 1 15 90 350 1050 2646 5880 11880
5 1 31 301 1701 6951 22827 63987 159027
6 1 63 966 7770 42525 179487 627396 1899612
7 1 127 3025 34105 246730 1323652 5715424 20912320
8 1 255 9330 145750 1379400 9321312 49329280 216627840
9 1
تشکیل می دهند دنباله های حسابی ،افقی آرایه مربعی فوق اعداد واقع در هر یک از ردیف های
بشکل زیر می باشد ) n = 3 ( عددی ردیفطور مثال دنباله ب
{1 , 7 , 25 , 65 , 140 , 266 …. 1155 …}
.باشد می عددی عبارت یک با برابر الذکر فوق دنباله در واقع اعداد از یک هر
. خواهد بود زیر بشکل (n = 3) ردیف عددی دنباله به مربوط های عبارت مثال بطور
.بشکل زیر می باشد ) n = 4 ( دنباله عددی ردیف در مثالی دیگر
1 , 15 , 90 , 350 , 1050 , 2646 …. 5880}
.بودخواهد زیر بشکل (n = 4) ردیف عددی دنباله به مربوط های عبارت و
266 11
31
2
2
12
32
2
2
13
33
2
2
14
34
2
2
15
35
2
2
16
36
2
2
....1 11
31
2
2
....7 11
31
2
2
12
32
2
2
..25 11
31
2
2
12
32
2
2
13
33
2
2
..65 11
31
2
2
12
32
2
2
13
33
2
2
14
34
2
2
140 11
31
2
2
12
32
2
2
13
33
2
2
14
34
2
2
15
35
2
2
و نیز ) + ( با حذف عالمت های جمع، در آن شکلی مثلثی حاصل می شود که ایجاد شده ی عددیهمانگونه که مشاهده می شود از مجموعه عبارت ها
یعمود ز ها در ستون هایآرایه ای مثلثی بوجود می آید که در آن کسرهای های داخل پرانت ،عالمت تساویو همچنین اعداد قبل از ) = ( مساوی،
ندمی باشمشابه ،همسان
آرایه ای مثلثی از ضرایب عددی پرانتزها ما بین ضرایب و ) * (در ادامه با حذف پرانتزها و کسرهای عددی مربوط به آنها و نیز عالمت ضربدر
بشکلهای زیر حاصل می گردد
"استرلینگ"مربعی از آرایه ( n = 3) ردیف عددی دنباله به مربوط های عبارت از حاصل "plus –استرلینگ " مثلثیآرایه
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
مربعی استرلینگاز آرایه ( n = 4) ردیف عددی دنباله به مربوط های عبارت حاصل از "plus –استرلینگ " مثلثیآرایه
1
3 2
6 5 3
10 9 7 4
15 14 12 9 5
21 20 18 15 11 6
28 27 25 22 18 13 7
36 35 33 30 26 21 15 8
مربعی های آرایهمبدل به کلیه ستون های عمودی را به باالترین ردیف افقی انتقال می دهیم تا ،ایجاد شده " plus –استرلینگ " در آرایه های مثلثی
استرلینگ " یک آرایه مربعی متمایز، " استرلینگ "مربعی آرایه هر ردیف های افقی ( دنباله های عددی موجود در )در این حالت برای هر یک از ؛گردند
– plus " ایجاد خواهد گردید
......1 ..11
31
2
2
....15 ..31
31
2
2
..22
32
2
2
....90 ..61
31
2
2
..52
32
2
2
..33
33
2
2
..350 101
31
2
2
..92
32
2
2
..73
33
2
2
..44
34
2
2
1050 151
31
2
2
142
32
2
2
123
33
2
2
..94
34
2
2
..55
35
2
2
2646 211
31
2
2
202
32
2
2
183
33
2
2
154
34
2
2
115
35
2
2
66
36
2
2
" استرلینگ"آرایه مربعی از ( n = 3) حاصل از دنباله عددی ردیف افقی " plus –استرلینگ " آرایه مربعی
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1
9 1
" استرلینگ"آرایه مربعی از ( n = 4) حاصل از دنباله عددی ردیف افقی " plus –استرلینگ " آرایه مربعی
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 7 9 11 13 15 17
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 10 14 18 22 26 30 34 38
5 15 20 25 30 35 40 45 50
6 21 27 33 39 45 51 57 63
7 28 35 42 49 56 63 70 77
8 36 44 52 60 68 76 84 92
9 45
"استرلینگ"آرایه مربعی از ( n = 5) حاصل از دنباله عددی ردیف افقی " plus –استرلینگ " آرایه مربعی
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 4 9 16 25 36 49 64
2 7 19 37 61 91 127 169 217
3 25 55 97 151 217 295 385 487
4 65 125 205 305 425 565 725 905
5 140 245 380 545 740 965 1220 1505
6 266 434 644 896 1190 1526 1904 2324
7 462 714 1022 1386 1806 2282 2814 3402
8 750 1110 1542 2046 2622 3270 3990 4782
1155
"استرلینگ"آرایه مربعی از ( n = 6) حاصل از دنباله عددی ردیف افقی " plus –استرلینگ " آرایه مربعی
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 8 27 64 125 216 343 512
2 15 65 175 369 671 1105 1695 2465
3 90 285 660 1275 2190 3465 5160 7335
4 350 910 1890 3410 5590 8550 12410 17290
5 1050 2380 4550 7770 12250 18200 25830 35350
6 2646 5418 9702 15834 24150 34986 48678 65562
7 5880 11130 18900 29694 44016 62370 85260 113190
8 11880 21120 34320 52200 75480 104880 141120 184920
9 22275
"استرلینگ"آرایه مربعی از ( n = 7) حاصل از دنباله عددی ردیف افقی " plus –استرلینگ "آرایه مربعی
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 16 81 256 625 1296 2401 4096
2 31 211 781 2101 4651 9031 15961 26281
3 301 1351 4081 9751 19981 36751 62401
4 1701 5901 15421 33621 64701 113701
5 6951 20181 47271 95781 174951
6 22827 58107 124887 238287
7 63987 147147 294987
8 159027 337227
9 359502
" استرلینگ "مربعی آرایه از ( n = 8) حاصل از دنباله عددی ردیف افقی " plus –استرلینگ "مربعی آرایه
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768
2 63 665 3367 11529 31031 70993 144495
3 966 6069 23772 70035 170898 365001
4 7770 35574 116298 305382 688506
5 42525 156660 447195 1071630
6 179487 563409 1446291
7 627396 1740585
8 1899612
9
اعداد استرلینگی واقع همواره } k = 1} ،اعداد واقع در ستون عمودی شماره یک ،"plus –استرلینگ "نکته مهم اینکه در کلیه آرایه های مربعی
می باشند "استرلینگ"از آرایه مربعی ،( شماره ردیف دو واحد کمتر ) با افقی ردیف هایدر
ضی و نیز ریا با استفاده از روابط ،باال دو آرایه داده شده درنشان ( n = 8) و plus ( "n = 7 ) –استرلینگ " دو آرایه مربعی تکمیل نمودن اعداد *
بعهده دانش آموزان عزیز می باشد ،و نیز سایر روش های ابتکاری، " برای تعیین اعداد استرلینگ شجره انسان و جن" الگوریتمی با عنوان
فرمایندمراجعه “ mrserajian.ir “سایت ،به مقاله های "دوم شجره انسان و جن برای تولید اعداد استرلینگ نوع" برای آشنائی با الگوریتم
تشکیل عددیدنباله های " افقی و عمودی و اریب و قطری " در کلیه جهات ستون های " plus –استرلینگ " مربعی بعنوان راهنمائی اینکه ارایه های
.خود روابط و دنباله های عددی خاص ایجاد می نمایند قبل و بعد ازآرایه های با " plus –استرلینگ " همچنین هر یک از آرایه های مر بعی ؛می دهند
دنباله عددی بصورت زیر تشکیل می ،{ 8} شماره " plus –استرلینگ " از آرایه مربعی { 5} بطور مثال مجموعه اعداد واقع در ردیف افقی شماره
نیز الگوریتمی تفاضل مشترک، و متوالی برای حصول های یا ایجاد جدولی از تفاضل گیری که تعیین جمله های آن با استفاده از روابط ماتریسی و دهند
انجام پذیر می باشد" نوع دوم ن اعداد استرلینگشجره انسان و جن برای تعیی" با عنوان
شماره
5 42525 156660 447195 1071630
" plus –استرلینگ " عددی با عنوان مکعب ای آرایه
استرلینگ " آرایه مربعی مقادیر عددی ، " plus -استرلینگ " مربعی با استفاده از دورابطه ریاضی باال می توان با معلوم بودن مقادیر عددی یک آرایه
plus "بعدی را تعیین نمود
بوده و ارتباطی با " plus - استرلینگ" مربعی قرار داشتن اعداد مورد نظر در آرایه های مختصات محل و آدرس نشانگر حروف و اعداد فقطرابطه باال در دو
است هشد استفاده[ package] و یا بسته بعنوان کروشه ترکیب و یا ماتریس نماد از و ندارند در ریاضی و ترکیب روابط ماتریسی
{ 6} شماره " plus -استرلینگ " از آرایه های مربعی { 3} و ستون عمودی شماره { 7} ردیف افقی شماره در{ 00911} عدد ،بطور مثال در رابطه ریاضی باال
و قرار دارد{ 5} شماره " plus -استرلینگ " از آرایه های مربعی { 3} و ستون عمودی شماره { 7} در ردیف افقی شماره { 0111} قرار دارد و یا اینکه عدد
قرار دارد{ 6} شماره " plus -استرلینگ " از آرایه های مربعی { 3} و ستون عمودی شماره { 6} در ردیف افقی شماره { 9702} مثال دیگر عدد
متوالی، با یکدگر می باشند " plus -استرلینگ " آرایه مربعی دو روابط باال نشانگر ارتباط زنجیره ای اعداد*
باین معنی که می باشند" plus –استرلینگ " از آرایه عددی سه بعدی با نام مکعب بمنزله یک الیه " plus -استرلینگ " آرایه های مربعی هر یک از
magic cube با خصوصیت " plus -استرلینگ " مکعب عددی متوالی، آرایه" plus -استرلینگ " مربعی با کنار هم قرار گرفتن آرایه های
با یکدیگر دارای ( space rows) و عمقی و ستون ها و قطرها و نیز در ردیف های فضائی اعداد تشکیل دهنده آن در ردیف هاکه (ییجادوشبه مکعب )
. و سایر روابط ریاضی می باشند ایجاد می شود ، (تصاعد) ارتباط ریاضی از نوع دنباله
42525 156660 447195 1071630 2263065 4345320 7748055 13021890 20853525
114135 290535 624435 1191435 2082255 3402735 5273835 7831635 11227335
176400 333900 567000 890820 1320480 1871100 2557800 3395700
157500 233100 323820 429660 550620 686700 837900 1004220
75600 90720 105840 120960 136080 151200 166320
15120 15120 15120 15120 15120 15120 15120
Example for relation 1 Example for relation 2
array a=6 row n=7 column k=3 array a=6 row n=7 column k=3
a
n
k
a
n 1
k
a 1
n
k
n k 1( )
a
n
k
a
n 1
k 1
a 1
n
k
k( )
6
7
3
6
7 1
3
6 1
7
3
7 3 1( )
6
7
3
6
7 1
3 1
6 1
7
3
k( )
18900( ) 9702( ) 1022( ) 7 3 1( ) 18900( ) 15834( ) 1022( ) 3( )
" می دهند plus – " تشکیل آرایه مکعبی " استرلینگ plus –مجموعه متوالی از آرایه های مربعی " استرلینگ
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 4 9 16 25 36 49 64
2 7 19 37 61 91 127 169 217
3 25 55 97 151 217 295 385 487
4 65 125 205 305 425 565 725 905
5 140 245 380 545 740 965 1220 1505
6 266 434 644 896 1190 1526 1904 2324
462 714 1022 1386 1806 2282 2814 3402
8 750 1110 1542 2046 2622 3270 3990 4782
9
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 7 9 11 13 15 17
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 10 14 18 22 26 30 34 38
5 15 20 25 30 35 40 45 50
6 21 27 33 39 45 51 57 63
7 28 35 42 49 56 63 70 77
8 36 44 52 60 68 76 84 92
9
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1
9
n \ k 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1
9
شگفتی از طبیعت ریاضی اعداد
کال سیک می توان از روش های " plus -استرلینگ " آرایه های مربعی دنباله های عددی واقع در ردیف های افقی هر یک از جمالت تعیینبرای
برای تعیین اعداد استرلینگشجره انسان و جن " این مقاله استفاده از الگوریتم بهره جست و البته روش پیشنهادی ( ...ماتریس و دستگاه و ) موجود
.می باشد
بصورت زیر{ 8} شماره " plus –استرلینگ " از آرایه مربعی { 3} بطور مثال دنباله عددی حاصل از مجموعه اعداد واقع در ردیف افقی شماره
می باشد
شماره
3 966 6069 23772 70035 170898 365001
عددی " plus –استرلینگ " با در نظر داشتن اینکه همواره اولین جمله از دنباله های آرایه های مربعی ءابتدابرای تعیین جمله های دنباله عددی فوق
سپس برای ؛ می نماییماز شجره انسان و جن برای عدد استرلینگی مورد نظر ایجاد [بدون عبارت های کسری ]مجموعه ای ساده ؛استرلینگی می باشد
به کلیه اعداد موجود در مجموعه ] به کلیه اعداد پایه ای ،مرتبه و شماره عدد مورد نظر در دنباله یک واحد کمتر از به تعداد ،تعیین سایر جمله های دنباله
؛ حاصل جمع مجموعه ایجاد شده برابر با جمله مورد نظر در دنباله عددی خواهد بوداضافه می نماییم [استرلینگی، باستثنای نماها و یا عدد توان
در جمله اول دنباله عبارت عددی نمونه عبارت عددی همردیف در جمله دوم دنباله عبارت عددی همردیف در جمله سوم دنباله عبارت عددی همردیف در جمله چهارم دنباله
واحد به هر یک { 3 = 1 – 4} سه از دنباله عددی الزمست به تعداد چهارمهمانگونه که در مثال باال مالحظه می شود، بعنوان نمونه برای تعیین جمله
همواره ثابت و توان ها عدد نمای] ضافه گردد از اعداد پایه توان در کلیه عبارت های عددی موجود در بسته استرلینگی مربوط به اولین جمله دنباله ا
[ مانند بدون تغییر می
2 3( ) 12
3 3 1 3( ) 22
3 3 189 3 4( ) 22
4 4 2 4( ) 32
4 4 1312 4 5( ) 32
5 5 3 5( ) 42
5 5 5225 5 6( ) 42
6 6 4 6( ) 52
6 6 15336
شجره انسان " با استفاده از الگوریتم " plus -استرلینگ " آرایه های مربعی برای تعیین جمالت دنباله های عددی واقع در ردیف های افقی هر یک از
[عدد استرلینگی استکه ]جهت اولین جمله دنباله استرلینگیساده بسته می توان از برنامه اکسل فعال برای ایجاد ،"و جن برای ایجاد اعداد استرلینگ
مقادیر جمله های دیگر دنباله عددی مورد تعریف شده، و با اعمال تغییرات در یک سلول عددی ه،نمود استفاده "شجره انسان و جن " بر اساس الگوریتم
نظر را تعیین نمود
بصورت جمله عبارت های عددیبرای اختصار و کوچک شدن منظور از بسته ساده استرلینگی اینست که بسته های استرلینگی ارائه شده در جدول ها : نکته مهم
عددی ذکر شده در باال، فرم گسترده و ساده شده عبارت های عددی بکار گرفته شود ؛ بطور مثال عبارت که برای ایجاد دنباله های و الزم است می باشند های کسری
.گسترده ساده و فشرده مختصر بشکل زیر می باشد به دو صورت زیر نمونه عددی
آن بصورت گسترده و ساده ،عبارت عددی نمونه همانبصورت فشرده و مختصر ،نمونه یعبارت عدد
با استفاده از برنامه اکسل فعال { 8} شماره " plus –استرلینگ " از آرایه مربعی { 5} ردیف افقی شماره عددی بطور مثال تعیین جمله های دنباله
تعیین می گردند مورد نظر عددی جمله های دنباله، سایر { A1} تعریف شده بصورت زیر می باشد که با تغییر مقدار عددی سلول
Stirling Seraj
Square Array
8
n 3
k 1
966
Stirling Seraj
Square Array
8
n 3
k 2
6069
Stirling Seraj
Square Array
8
n 3
k 3
23772
Stirling Seraj
Square Array
8
n 3
k 4
70035
15
25
35
276 25
35
45
1299 35
45
55
4392 45
55
65
11925
2 3( ) 14
1 3( ) 24
1 2( ) 34
312 3 4( ) 24
2 4( ) 34
2 3( ) 44
1878 4 5( ) 34
3 5( ) 44
3 4( ) 54
7152 5 6( ) 44
4 6( ) 54
4 5( ) 64
20730
2 3( ) 13
3 1 3( ) 23
3 111 3 4( ) 23
4 2 4( ) 33
4 872 4 5( ) 33
5 3 5( ) 43
5 3775 5 6( ) 43
6 4 6( ) 53
6 11724
2( ) 13
2 4 3( ) 23
3 72 4( ) 33
4 432 5( ) 43
5 1600
2 3( ) 12
3 3 1 3( ) 22
3 3 189 3 4( ) 22
4 4 2 4( ) 32
4 4 1312 4 5( ) 32
5 5 3 5( ) 42
5 5 5225 5 6( ) 42
6 6 4 6( ) 52
6 6 15336
2( ) 12
2 3 12 3( ) 22
3 4 144 4( ) 32
4 5 720 5( ) 42
5 6 2400
2( ) 12
2 2 8 3( ) 22
3 3 108 4( ) 32
4 4 576 5( ) 42
5 5 2000
1( ) 2 3 3 3 54 2( ) 3 4 4 4 384 3( ) 4 5 5 5 1500 4( ) 5 6 6 6 4320
276 312 111 4 189 12 8 54 966 1299 1878 872 72 1312 144 108 384 6069 4392 7152 3775 432 5225 720 576 1500 23772 11925 20730 11724 1600 15336 2400 2000 4320 70035
Human = 912 Jinni = 54 Human = 5685 Jinni = 384 Human = 22272 Jinni =1500 Human = 65715 Jinni =4320
912 54 966 5685 384 6069 22272 1500 23772 65715 4320 70035
2 3 4( ) 15
1 3 4( ) 25
1 2 4( ) 35
1 2 3( ) 45
811042
2
2
15
42
0
2
25
42
2
2
35
42
4
2
45
8110
شماره
5 42525 156660 447195 1071630
چرا شگفتی ؟
با تغییر اعداد پایه توان در آنها جمله های دنباله از عبارت های ریاضی که مولد اعداد شگفت انگیز استرلینگ بوده و ییو بسته ها وجود مجموعه ها آیا
؟ و آیا این خود مؤید زیبا بودن ریاضی و روابط مابین اعداد نیست ؟ نمی باشد تعیین گردند موجب شگفتی از آرایه ای مکعبی های منظم عددی
که فضای تحقیق مناسبی برای دانش آموزان و دانش پژوهان می باشدزیاد مجهول ای ابعاددار" plus –استرلینگ " در پایان اینکه مکعب عددی
.خواهد بود
0 0 0
(1+A1)^5+(2+A1)^5+(3+A1)^5+(4+A1)^5+(5+A1)^5 4425
(2+3+4+5+4*A1)*(1+A1)^4+(1+3+4+5+4*A1)*(2+A1)^4+(1+2+4+5+4*A1)*(3+A1)^4+(1+2+3+5+4*A1)*(4+A1)^4+(1+2+3+4+4*A1)*(5+A1)^4 10260
(2+3+4+5+4*A1)*(1+A1)^3*(5+A1)+(1+3+4+5+4*A1)*(2+A1)^3*(5+A1)+(1+2+4+5+4*A1)*(3+A1)^3*(5+A1)+(1+2+3+5+4*A1)*(4+A1)^3*(5+A1) 5730
(2+3+4+3*A1)*(1+A1)^3*(4+A1)+(1+3+4+3*A1)*(2+A1)^3*(4+A1)+(1+2+4+3*A1)*(3+A1)^3*(4+A1) 1048
(2+3+2*A1)*(1+A1)^3*(3+A1)+(1+3+2*A1)*(2+A1)^3*(3+A1) 111
(2+1*A1)*(1+A1)^3*(2+A1) 4
(2+3+4+5+4*A1)*(1+A1)^2*(5+A1)*(5+A1)+(1+3+4+5+4*A1)*(2+A1)^2*(5+A1)*(5+A1)+(1+2+4+5+4*A1)*(3+A1)^2*(5+A1)*(5+A1)+(1+2+3+5+4*A1)*(4+A1)^2*(5+A1)*(5+A1) 8750
(2+3+4+3*A1)*(1+A1)^2*(4+A1)*(5+A1)+(1+3+4+3*A1)*(2+A1)^2*(4+A1)*(5+A1)+(1+2+4+3*A1)*(3+A1)^2*(4+A1)*(5+A1) 2080
(2+3+2*A1)*(1+A1)^2*(3+A1)*(5+A1)+(1+3+2*A1)*(2+A1)^2*(3+A1)*(5+A1) 315
(2+1*A1)*(1+A1)^2*(2+A1)*(5+A1) 20
(2+3+4+3*A1)*(1+A1)^2*(4+A1)*(4+A1)+(1+3+4+3*A1)*(2+A1)^2*(4+A1)*(4+A1)+(1+2+4+3*A1)*(3+A1)^2*(4+A1)*(4+A1) 1664
(2+3+2*A1)*(1+A1)^2*(3+A1)*(4+A1)+(1+3+2*A1)*(2+A1)^2*(3+A1)*(4+A1) 252
(2+1*A1)*(1+A1)^2*(2+A1)*(4+A1) 16
(2+3+2*A1)*(1+A1)^2*(3+A1)*(3+A1)+(1+3+2*A1)*(2+A1)^2*(3+A1)*(3+A1) 189
(2+1*A1)*(1+A1)^2*(2+A1)*(3+A1) 12
(2+1*A1)*(1+A1)^2*(2+A1)*(2+A1) 8
(1+1*A1)*(2+A1)*(5+A1)*(5+A1)*(5+A1)+(1+2+2*A1)*(3+A1)*(5+A1)*(5+A1)*(5+A1)+(1+2+3+3*A1)*(4+A1)*(5+A1)*(5+A1)*(5+A1) 4375
(1+1*A1)*(2+A1)*(4+A1)*(4+A1)*(5+A1)+(1+2+2*A1)*(3+A1)*(4+A1)*(4+A1)*(5+A1) 880
(1+1*A1)*(2+A1)*(3+A1)*(3+A1)*(5+A1) 90
(1+1*A1)*(2+A1)*(4+A1)*(5+A1)*(5+A1)+(1+2+2*A1)*(3+A1)*(4+A1)*(5+A1)*(5+A1) 1100
(1+1*A1)*(2+A1)*(3+A1)*(4+A1)*(5+A1) 120
(1+1*A1)*(2+A1)*(3+A1)*(5+A1)*(5+A1) 150
(1+1*A1)*(2+A1)*(4+A1)*(4+A1)*(4+A1)+(1+2+2*A1)*(3+A1)*(4+A1)*(4+A1)*(4+A1) 704
(1+1*A1)*(2+A1)*(3+A1)*(3+A1)*(4+A1) 72
(1+1*A1)*(2+A1)*(3+A1)*(4+A1)*(4+A1) 96
(1+1*A1)*(2+A1)*(3+A1)*(3+A1)*(3+A1) 54
42525 42525