Aleksa Čavid

PLOČE

Prije svega, treba znati koji tipovi ploča postoje.

Sa aspekta dimenzionisanja i načina proračuna mogu se javiti:

ploče koje opteredenje prenose dominantno u jednom pravcu

ploče koje opteredenje prenose u dva pravca približno jednako (ili, drugačije rečeno,

dovoljno opteredenja “odlazi” u oba pravca da im se mora posvetiti podjednaka “pažnja” pri

dimenzionisanju )

ploče koje su oslonjene direktno na stubova (sa ili bez kapitela)

kružne ploče

kasetirane ploče

montažne, polumontažne ploče, itd.

Aleksa Čavid

PLOČE KOJE PRENOSE OPTEREĆENJE U JEDNOM PRAVCU

Informativno Ovo su ploče koje imaju dominantne uticaje u jednom pravcu, ali to ne znači da se nece javiti u

određeoj vrijednosti i u drugom. U kom iznosu? Hajde prvo da utvrdimo zašto de naprezanja biti veda

u jednom pravcu. Prvo treba na pomenuti da je (ručno) dimenzionisanje “ploča jednog pravca”,

jednostavnije od dimenzionisanja “ploča u dva pravca”, te ako postoji mogudnost da se ploča na taj

način dimenzioniše, treba je iskorisiti.

Postoje dva tipa ploča za koje kažemo da prenose opteredenje u jednom pravcu.

Ploče koje su oslonjene na dvije naspramne strane (slobodno oslonjene ili uklještene), a imaju dvije

druge strane slobodne potpuno, nemaju čemu ni da predaju uticaje tamo gdje nema nikakve

potpore, zar ne? Jasno, onda da de se naprezanja prenjeti u onom pravcu koji de ih “odvesti” u

oslonac (gredu, zid…), pa de se i ploča tako deformisati (inače,deformacija je najbolji pokazatelj

onoga šta se dešava u konstrukciji, i na osnovu nje se može dosta toga zaključiti). Ova navedena

ploča je primjer ploče koja fizički uticaje nosi u jednom pravcu. Postoji jos jedan takav primjer, a to je

ploča uklještena po jednoj ivici, dok su joj ostale tri slobodne, i kod nje uticaji “nemaju kuda” nego ka

uklještenju. Osim ovih ploča (koje fizički nose u jednom pravcu), u ovu grupu ploča ubrajamo (tj.

uprošdeno ih, po dogovoru, posmatramo kao nosive samo u jednom pravcu), i sve ploče koje imaju

odnos raspona u dva upravna pravca vedi od dva, bez obzira kako su oslonjene, i da li su oslonjene na

tri ili na četiri strane. Zašto baš vedi od 2, zašto granica nije 1.5, 3, ili 33? Odgovor na ovo pitanje je

ujedno i odgovor na prvo pitanje, “u kom iznosu de se javiti uticaju u drugom, nenosedem pravcu?”.

Karakteristika ploča je da deformacija u jednom pravcu, izaziva deformaciju i u drugom pravcu. Za to

je zaslužan poasonov koeficijent. On je neka vrsta odnosa deformacija u dva nezavisna pravca.

Uobičajeno je da se u betonskim konstrukcijama usvaja njegova vrijednost od 0.2. Dakle, kod ploča

koje fizički prenose optredenje u jednom pravcu (prve od ona spomenuta dva tipa ovih ploča),i

deformišu se prvenstveno u jednoj ravni, za očekivati je pojavu uticaja i u drugom pravcu oko pet

puta manju.

Dobro, sada je jasno koliki su uticaji u drugom pravcu, ali još uvjek nije jasno zašto je kod drugog tipa

ovih ploča granica postavljana na 2? Sa dijagrama ispod može se uočiti da, što je ploča izduženija, to

Aleksa Čavid

uticaji u kraćem pravcu postaju dominantniji i bliski uticajima u odgovarajudim linijskim elementima,

a da odnos uticaja teži asimptotski vrijednosti poasonovog koeficijenta. Na osnovu ovoga je usvojeno

da se za odnose dužina baš preko dva, ovaj odnos može smatrati konstantnim, sa vrijednošdu od pet.

Dakle stvar je konvencije, da se usvoji granica od dva, a sad je jasno i zbog cega.

Takođe, jasno je i da se svaka ploča koja ima bar dvije oslonjene strane može dimenzionisati kao

ploča koja prenosi opteredenje u oba pravca, to nije zabranjeno (mada su i tabele koje sadrže

koeficijente za proračun krstasto armiranih ploča izrađene samo za odnose dužina manje od dva), ali

je glupo u slučaju izduženih ploča, jer rezultat mora biti jako sličan onom koji se dobije po ovom

pojednostavljenom postupku, tj. uticaji u dužem pravcu moraju biti jako blizu petine onih u kradem.

Dimenzionisanje Vrlo jednostavno, dimenzionišeš ploču kao gredu. Izdvojiš traku širine 100cm i dobiješ gredu

dimenzija b/d = 100/dp. Treba paziti na sledede stvari:

Analiza opteredenja je prvi i jako bitan korak. Sva sreda pa na ispitu taj dio nije naročito

zahtijevan, obično je sve ved zadato kao ulazni podatak. Samo da ne zaboraviš sopstvenu

težinu ploče na primer, jer nije mala. Ploča od 20cm debljine ima težinu od 5 kN/m2, što je

vede tri puta od uobičajenog korisnog opteredenja u zgradarstvu. Primjer: da bi ploča

debljine 20 cm, raspona 5m, statičkog sistema proste grede, nosila samo sopstvenu težinu,

potrebno je oko 4.0 cm2/m rebraste armature, tj potrebno je usvojiti, kao glavnu armaturu,

R∅10/20, što i nije baš malo.

Opteredenje koje je površinsko trebalo bi svesti na linijsko jer se ploča, rekoh, dimenzioniše

kao greda, ali kako je “greda” široka jedan metar, tako i linijsko opteredenje ostaje po

vrijednosti isto onom površinskom p[kN/m2] x1.0 [m]=p[kN/m].

Uvjek sve tipove opteredenja “voditi“ odvojeno (u smislu određivanja reakcija ploče za svaki

slučaj ponaosob), jer se oni prenose dalje na grede ili zidove, pa je ovo bitno da bi se mogla

utvrditi mjerodavna kombinacija opteredenja u njima.

Za statički sistem ploče se usvaja, dakle, linijski nosač. Na mjestima greda ili zidova,

uprošdeno se usvaja nepokretni oslonac (mnogo bliže istini u slučaju kada se ploča oslanja na

zid, greda ima značajniju lokalnu deformaciju pa i nije idealan “nepokretan oslonac”, no to

nema značajniji uticaj na rezultate). Oslonci se osvajaju o osama greda (zidova). Ukoliko

ploča treba da stoji oslonjena samo na jednoj ivici, jasno je da ona mora biti uklještena, to se

postiže (dobrim sidrenjem armature) teško, pogotovo na spoju sa gredom (mala torziona

krutost same grede).

Aleksa Čavid

Za određivanje statičkog sistema koristiti ili tabele iz PBAB-a ili ručno za jednostavnije

sisteme. Nema potrebe za računarom. Ploču koja se ponavlja na više polje, recimo više od 4

ili 5, sasvim je opravdano dimenzionisati na izdvojenom samo jednom polju, nekom

srednjem, sa usvojenim uklještenjima na obje strane (statički sistem obostrano uklještene

grede).

Obavezno glavnu aramturu postaviti kao spoljašnju (u polju donju, nad osloncima gornju),

kako bi presjek ima vedu statičku visinu, što rezultira nešto manjom potrebom za

armaturom.

Nakon usvojenog prečnika šipke, zaštitnog sloja, i određene statičke visine h = dp- (ao + R∅/2),

dimenzinisanje ploče se može sprovesti prema k=ℎ

𝑀𝑢

𝑏𝑓𝑏

, Aa= 𝜇 *𝑏ℎ

100∗𝑓𝑏

𝜎. Tabela sa “k”

koeficijentima je data u nastavku. Ono što je zanimljivo sa ovom tabelom je to što daje uvid

u vrstu loma (po betonu ili armaturi, te odgovarajuče dilatacije), ali dimenzionisanje se svodi

na pronalazenje kraka unutrašnjih sila, koji je jako blizak vrijednosti od 0.9h. Ako se pogleda

u spomenutu tabelu, može se primjetiti da je za lom po amraturi (kome težimo) ovaj krak

skoro uvjek i vedi (sa izuzetkom od prvih par slučajeva), tako da se zadržavamo na strani

sigurnosti, a pri tome i ne griješimo previše ukoliko za ovaj krak usvojimo vrijednost od 0.9h i

presjeke dimenzionišemo prema pojednostavnoj formuli, s ciljem uštede vremena. Savjet bi

bio, da se prvo presjek sa najvedim uticajima dimenzioniše prema tabeli sa “k”

koeficijentima, i očitavanjem dilatacija dokaže da je zadovoljen lom po armaturi u ploči, a

potom da se koristi kradi izraz.

Koncentrisane sile zahtjevaju malo više pažnje. Pravilnik dozvoljama da se opteredenja koje

je koncentrisano, (bilo tačkasto, bilo linijsko), raspodjeli na nešto vedoj površini u pravcu

podione armature, od one na koju djeluje: b3= b2+ Aay

Aax∗ Lx. Ovo znači da na području dejstva

nekog koncentrisanog dejstva treba usvojiti nešto vedu količinu podione armature koja de

smanjiti lokalno dejstvo i raspodjeliti ga na nešto veču površinu (s tim da je ograničena

količina podione armature na 65 % glavne).

Aleksa Čavid

Pravila armiranja Prije svega:

Uobičajeno je da se armatura preko srednjih osnonaca usvaja dodavanjem takozvanih

“jahača”, tj. da se polovina armature (donje) iz polja povije u gornju zonu, pa da se zatim

ostatak armature obezbjedi dodavanjem jahača. Zašto? Da li je mogude voditi armaturu dvije

zone potpuno odvojeno, bez povijanja donje armature polja u gornju blizu oslonaca?

Naravno da je mogude, na taj način se može pokriti sva potreba za armaturom, to je

očigledno. Stvar je u tome, da je anvelopa uticaja koja se pokriva takvog oblika, da nije

potrebno u zoni oslonca sa donje strane zadržavati svu armaturu, pa je logično polovinu

prevesti u gornju zonu, te dodati samo ostatak potrebne u gornjoj zoni, i na taj način biti

ekonomičan.

Kod krajnih slobodnih oslonaca polovinu donje armature takođe povijamo u gornju. Zašto

kad ovde nema uklještenja? Članovi 168. i 209. Pravilnika zahtjevaju da se preko krajnjeg

slobodnog oslonca prevede polovina armature iz polja u gornju zonu, zbog mogudnosti da se

tu ipak pojavi (zanemareno) zatezanje sa gornje strane.

Aleksa Čavid

Ploče oslonjene na sve četiri strane, a koje su proračunate kao da nose samo u jednom

pravcu treba nad osloncima u pravcu dužeg raspona (Ly), konstruktivno armirati. Ova

armatura treba da iznosi, nad krajnjim slobodnim osloncima od 0.3 do 0.5 podione iz polja,

a nad srednjim osloncima od 0.6 do 1.0 glavne armature iz polja.

Zašto je ovo potrebno? Primjetiti kako izgleda dijagram momenta u pravcu podione

armature! Nad osloncem može imati vrijednost od gl2/8,

Slobodne krajeve ploče potrebno je konstruktivno armirati bar po jednom šipkom u obje

zone, a ako je ploča deblja i šipkama po visini, potrebno je formirati i neku poprečnu

armaturu (ili od posebne pozicije, tj. uzengije, ili oblikovati šipke upravne na ivicu tako da

obuhvate ove konstuktivne šipke)

Aleksa Čavid

PLOČE KOJE PRENOSE OPTEREĆENJE U DVA PRAVCA

Informativno U prethodnom poglavlju je objašnjena suštinska razlika ovih ploča od onih koje nose u jednom

pravcu. Dimenzionisanje ovih ploča je nešto duži proces, jer semora sprovesti tačno određivanje

potrebne količine armature u oba pravca. Za dimenzionisanje se koriste ved propremljene tabele

pomodu kojih se dolazi do potrebnih uticaja za dimenzionisanje (momenata savijanja), i onih za

proračun njihovih oslonaca (transverzalnih sila). Opšti slučaj ovih ploča su kontinualne ploče u oba

pravca, dakle one koje se oslanjanju na sistem ortogonalnih greda (čest slučaj u zgradarstvu). Na

ispitu može biti zahtjevano da se razmatra najnepovoljiniji položaj korisnog opteredenja, ili pak, da se

ono tretira kao jednako raspodjeljeno preko cijele površine. Ovaj drugi slučaj je, jasno, jednostavniji

za proračun. Često se u zgradarstvu zanemaruje činjenica se ovo korisno opteredenje može nadi u

proizvoljnom položaju, te se ono usvoji preko cijele ploče. Ovo je opravdano kada je ono značajno

manje od stalnog, (npr. korisno opteredenje propisano u stambenim objektima iznosi 1.50 kN/m2, a

samo težina ploče od 20 cm iznosi 5.00 kN/m2, a ako se zna da je težina slojeva iznad betonske ploče

teška jos dodatnih 1.5-2.0 kN/m2, te da u stalno spada i težina nenosedih zidova itd., jasno je da je

ovo zanemarivanje opravdano), ali to njie uvjek slučaj (industrijski, sportski objekti, biblioteke…).

Dimenzionisanje Dakle, osnovna razlika u odnosu na prethodne je u tome što se prilikom određivanja statičkih uticaja

ne možemo koristiti analogijom sa linijskim elemetima i što je potrebno određivati količinu armature

za svaki pravac posebno.

Statičke uticaje odrediti upotrebom tabela (PBAB 87 ili AB3, priložene su tabele iz AB3).

Postoji još jedan, interesantan, način pribliznog određivanja uticaja pomodu tzv. Markusovih

traka, no neka to ostane po strani. Ukoliko je naglašeno da je potrebno razmatrati

najnepovoljnije slučajeve korisnog opteredenja, onda je potrebno postavljati isto u

konfiguracijama koje de izazvati najvede uticaje. Ti položaji su određeni uticajnim

površinama, dovoljno precizno je koristiti analogiju sa uticajnim linijama, te im dati prostorni

karakter (tzv. “šahovski raspored”)

o Najvedi (po apsolutnim vrijednostima) uticaji i poljima, u oba pravca, se dobijaju

kada se sva polja opterete stalnim, a korisnim poteredenjem samo polje koje se

razmatra i naizmjenično svako drugo polje.

Aleksa Čavid

Ovo se u praksi radi malo drugačije, sa istim ishodom. Naime, tabele koje su

izrađene kao pomagalo za određivanje ovih uticaja, razmatraju sve kombinacije

oslanjanja po ivicama, koje obuhvataju potpuno uklještene i slodobno oslonjene

ivice. Kako nije bas jasno kakvi su konturni uslovi polja koja su ovako opteredena

(ploča se deformiše nesimetrično, vede je njeno krivljenje u polju koje je

opteredenije (g+p)), to se ova šema dobija sabiranjem dvije šeme, kod koje je

situacija jasnija. U prvom slučaju po svim unutrašnjim konturama je uklještenje, a u

drugom je u pitanju linijski zglob, tj slobodno je oslonjeno svako polje (pogledati

način na koje se deformišu ploče na spoju). Momenti u poljima se dobijaju

sabiranjem pojedinačnih za ova dva slučaja.

o Potpuno ista analogija (sa uticajnim linijama, s ciljem određivanja nepovoljnog

položaja; i sa razdvajanjem opteredenja na dva slučaja, s ciljem poznavanja načina

oslanjanja) je sprovedena prilikom traženja maksimalnih momenata nad osloncima.

=

Kako se može desiti da su polja nejednakih dimenzija, u tom slučaju de momenti nad

istim osloncem imati različite vrijednosti, u zavisnosti za koje je polje očitana

vrijednost iz tabele.

Srednja vrijednost je ona koja se usvaja kao približno tačna. Napomena: poprilično je

nepotrebno “tjerati mak na konac” i voditi racuna o razlici od desetak cm koja ne

pravi bitnu razliku, na ispitu de se vjerovatno više cijeniti logičniji pristup koji

podrazumjeva inženjersko razmišljanje i usvajanje svih razumnih pojednostavljenja.

Aleksa Čavid

Transverzalne sile koje se određuju pomodu tabela predstavljaju ukupnu reakciju koja se

prenosi na oslonac (zid ili gredu) [kN], potrebno ju je raspodjeliti radi dimenzionisanja

oslonca, na ispitu je dovoljno tačno usvojiti ravnomjernu raspodjelu cijelom dužinom iako to

ne odgovara stvarnosti.

Pravila armiranja Svi detalji su potpuno analogni onim kod ploča jednog pravca.

Odakle podiona armatura kod ploča koje smo armirali proračunskom armaturom u oba pravca? Da,

postoji i ovde, iznad oslonaca i to u gornjoj zoni, jer de se tu javljati proračunska armatura samo u

jednom pravcu, te je potrebno usvojiti i podionu u drugom.

Član 216. Pravilnika dozvoljava slededu raspodjelu aramture, s ciljem njene uštede (potrebnu

aramturu iz polja u oba pravca je mogude prepoloviti do oslonca na širini jednakoj četvrtini kraće

strane).

Još jedna stvar koju treba imati na umu: armatura dva pravca mora biti postavljena u dva sloja, te

treba imati na umu prilikom dimenzinisanja različite statiče visine u dva pravca. Logično bi bilo kao

bližu ivici betona postaviti onu u kradem, Lx pravcu, jer de on imati nešto vede uticaje.