plasma physics - department of astronomy, kyoto …asuzuki/pdf/plasma.pdf1 第2章 basic concepts...

Plasma Physics

iii

目次

第 2章 Basic concepts 1

2.1 Collective effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Charge neutrality and the Debye length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Debye shielding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 The plasma parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Plasma oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

第 3章 Orbit theory-uniform fields 9

3.1 Particle motion in a static, uniform, magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Particle motion in electric and magnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Particle motion in magnetic and gravitational fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Particle motion in a time-varying uniform magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

第 4章 Adiabatic invariants 15

4.1 General adiabatic invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 The first adiabatic invariant: magnetic moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Relativistic form of the first adiabatic invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 The second adiabatic invariant: the bounce invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 Magnetic traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6 The third adiabatic invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第 5章 Orbit theory 25

5.1 Particle motion in a static inhomogeneous magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Discussion of orbit theory for a static inhomogeneous magnetic field . . . . . . . . . . 275.3 Drifts in the Earth’s magnetosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Motion in a time-varying electric field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 Particle motion in a rapidly time-varying electromagnetic field . . . . . . . . . . . . . 31

第 6章 Electromagnetic waves in a cold electron plasma 33

6.1 The wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Waves in a cold electron plasma without a magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Effect of collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Electromagnetic waves in a cold magnetized electron plasma . . . . . . . . . . . . . . . 396.5 Wave propagation normal to the magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.6 Propagation parallel to the magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.7 Faraday rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8 Dispersin of radio waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.9 Whistlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iv

第 7章 Electromagnetic waves in an electron-ion plasma 49

7.1 The dispersion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2 Wave propagation in an electron plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

第 8章 Two-stream instability 55

8.1 Particle streams of zero temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2 Two-stream instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.3 Two identical opposing streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.4 Stream moving throught a stationary plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第 9章 Electrostatic oscillations in a plasma of nonzero temperature 63

9.1 Distribution function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.2 Linear perturbation analysis of the Vlasov equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.3 Dispersion relation for a warm plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.4 The Landau initial-value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.5 Gardner’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.6 Weakly damped waves -Landau damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.7 The Penrose criterion for stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

第 10章 Collision theory 79

10.1 Lagrange expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2 The Fokker-Plank equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.3 Coulomb collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.4 The Fokker-Plank equation for Coulomb collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.5 Relaxation times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

第 11章MHD equations 93

11.1 The moment equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.2 Fluid description of an electron-proton plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.3 The collision term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.4 Moment equations for each species . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.5 Fluid description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.6 Ohm’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9611.7 The ideal MHD equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.8 The conductivity tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

第 12章Magnetohydrodynamics 101

12.1 Evolution of the magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.2 Frozen magnetic field lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.3 Diffusion of magnetic field lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.4 The virial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.5 Extension of the virial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.6 Stability analysis using the virial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

第 13章 Force-free magnetic field configurations 111

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.2 Linear force-free field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.3 Examples of linear force-free fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.4 The generating-function method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

v

13.5 Calculation of magnetic-field onfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.6 Linear force-free fields of cylindrical symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.7 Uniformly twisted cylindrical force-free field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.8 Magnetic helicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.9 Woltjer’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.10Useful relations for semi-infinite force-free magnetic-field configurations . . . . . . . . 114

第 14章Waves in MHD systems 115

14.1 MHD waves in a uniform plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.2 Waves in a barometric medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1

第2章 Basic concepts

2.1 Collective effects

”plasma”:quasi-neutral assemblies of charged particle

• quantum physics→ particle-like→ wave-like

• plasma physics→ collection of particle→ fluid

Equations

• Maxwell Eqs.(in modified Gassian unit)

∇× E = −1c

∂B

∂t(2.1.1)

∇ · B = 0 (2.1.2)

∇ · E = 4πζ (2.1.3)

∇× B =1c

∂E

∂t+ 4πj (2.1.4)

ζ : charge densityj : current densityE : electric field strengthB : magnetic field strength

→ Eqs.(6.1.2),(2.1.2)が関係する

• conservation eq.1c

∂ζ

∂t+ ∇ · j = 0 (2.1.5)

→ Eqs.(2.1.3),(6.1.1)が関係する

• simple plasma:fully ionized H で構成されるとするelectron charge : −e ion charge : e

mass : me mass : mi

number density : ne number density : ni

• plasmaのmass densityρ = neme + nimi (2.1.6)

• charge densityζ = e(ni − ne) (2.1.7)

• current densityj =

e

c(nivi − neve) (2.1.8)

ve : e− の average velocityvi : pの average velocity

2 第 2章 Basic concepts

2.2 Charge neutrality and the Debye length

initial state:uniform density n0 (pも e−も)→ net charge densityは 0→ electric fieldは無い

p density を変化させる:

n0 → n0(1 − δ) in − L < x < L

→

Lが small : electric fieldは無視できる→ e−は影響を受けない

Lが large : e− distributionが変化

Eqs.(2.1.3)は potential E = −∇φを導入して

−∇2φ = 4πζ = 4πe[n0(1 − δ) − n0] = −4πδn0e

1-dimで書き下すとd2φ

dx2= 4πδn0e (2.2.1)

→ Solution : φ =

2πδn0e(x2 − L2) for |x| < L

0 for |x| > L(2.2.2)

特に

φ(0) = −2πδn0eL2 (2.2.3)

plasmaの温度を T とする

→ 各自由度に対して各 particleのmean kinetic energy= 1/2 · kT

φ(0)が large : e− は x = 0に簡単に辿り着く → ”quasi-neutral”φ(0)が small : e− は x = 0にほとんど辿り着けない

”quasi-neutral”の条件12kT > 2πδn0e

2L2 (2.2.4)

⇒ δ <kT

4πn0e2· 1L2

=(

λD

L

)2

(2.2.5)

where λ2D ≡ kT

4πn0e2: Debye length (2.2.6)

Numericalには

λD =1e

√k

4πn−1/2T 1/2 = 100.84n−1/2T 1/2 (2.2.7)

Example δ = 1 : [−L,L]から protonが消失

→

[L ¿ λD : quasi − neutralL À λD : vacuum

eq.(2.2.5): plasmaの neutralityの程度も表すExample Solar corona

• proton mass À e− mass→ gravitational fieldは主に protonに働く

• gravitational field → barometric structure : densityが exponentで下がる

scale height : H =kT

mavg(2.2.8)

mav : average particle mass' mp/2g : gravitational acceleration

2.3. Debye shielding 3

• parameters:T = 106[K], g = 104.44[cm s−2], n = 108[cm−3]

⇒ H = 103.78T = 109.8[cm] (2.2.9)

⇒ λD = 10−0.2[cm]

⇒ quasi − neutralityからのずれ : δ < 10−20

2.3 Debye shielding

今度は ionの responseを考える→ thermal uniform plasmaに point charge qを置く

→ steady stateに settle down

→ electric fieldが存在potential φ(r) : spherically symmetric (chargeに対して)

Maxwell-Boltzmann dis-

tributionから

ne =ne,0 exp(

eφ

kTe

)ns =ns,0 exp

(−Zseφ

kTs

): Tmperature Ts, charge Zseの ion

(2.3.1)

unperturbed state: charge density = 0

⇒ ne,0 =∑

Zsns,0 (2.3.2)

perturbationによる chargeの変化 [e− : −(ne − ne,0)eion :

∑Zs(ns − ns,0)e

Poisson eq. : ∇2φ = −4π[−(ne − ne,0)e +

∑Zs(ns − ns,0)e

](2.3.3)

φの線形項のみを残して

∇2φ '4π

[ne,0

eφ

kTe+

∑Zsns,0

Zseφ

kTs

]=4πe2

(ne,0

kTe+

∑ Zsns,0

kTs

)φ

=

(1

λ2D,e

+∑ 1

λ2D,s

)φ = λ−2

D φ

(2.3.4)

where λ−2D ≡ λ−2

D,e + λ−2D,s (2.3.5)

λ−2D,s ≡

kTs

4πZ2s nse2

:各 ionの Debye length (2.3.6)

ionが１種類&Z > 1&e− と ionが同じ温度→ Debye shieldingへの ionの寄与 > e− の寄与

→ λ−2D,s > λ−2

D,e eq.(2.3.4)の解: point chargeを考えて

∇2φ − λ−2D φ = 4πδ(r)

φを Fourier変換

φ(r) =1

(2π)3

∫φ(k)eik·rdk

で表して代入する。Delta関数の Fourier変換は 1なので

−(k2 + λ−2D )φ = 4πq ⇔ φ = − 4πq

k2 + λ−2D


よって、φは

φ = − 4πq

(2π)3

∫eikr cos θ

k2 + λ−2D

k2dkd cos θdϕ

= − q

iπr

∫ ∞

0

k

k2 + λ−2D

(eikr − e−ikr)dk

= − q

iπr

∫ ∞

−∞

keikr

k2 + λ−2D

dk

= − 2q

rRes

[keikr

k2 + λ−2D

, iλ−1D

]=

q

re−r/λD

r ¿ λD : test chargeの electric fieldは plasmaに影響されないr > λD : test chargeの electric fieldは指数関数的に減衰

→ plasmaに”shielded”

上の calculationは steady state

に関するもの

→ test chargeが動いていると disturbanceが生まれる

• high speed(>ion thermal velocity)→ spherically symmetricにならない ”Corenkov problem”

• slow speed(<e− thermal velocity)→ '上の calculation

2.4 The plasma parameter

plasmaと見なせる条件 : 空間的・時間的にほぼ neutral ⇔ systemの scale > λD

another requirementを考える

• test chargeを考えたとき: implicit assumption

→point e−の actual distribution同じ average charge densityのfictitious fluid

]を取り替える

→ Debye shieldingの analysisの妥当性⇔ radius λD sphere内に e− が十分に存在するかどうか

Λe = neλ3D,e, Λs = nsλ

3D,s (2.4.1)

を導入

i.e. Λe =(

k

4πe2

)3/2

n−1/2e T 3/2

e , Λs =(

k

4πe2

)3/2

Z−3s n−1/2

s T 3/2s (2.4.2)

Numerically, Λe = 102.52n−1/2e T 3/2

e , Λe = 102.52Z−3s n−1/2

s T 3/2s (2.4.3)

→ plasma parameter: λD cube内の particle数

• n ⇒ Λ

• Z が１に比べて大きい ⇒ Λs が大きいことが severe conditionになる

• Debye shieldingの analysis: plasma parameterが十分に大きいことを implicitに仮定1

charged particlesの集合が plasmaと見なせる ⇔ plasma parameterが 1に比べて大きい

1但し、この仮定は plasma でよくあること

2.4. The plasma parameter 5

collision 2つの e−(各 energyは 3kT/2以下)の head-on collisionenergy∼Coulomb potentialから

232kT =

e2

b(2.4.4)

となる bで stop

⇒ b =e2

3kT(2.4.5)

この bとmean interparticle distance n−1/3e との比:

R1 ≡ b

n−1/3e

(2.4.6)

=e2

3kT· kT

4πe2Λ−2/3

e =1

12πΛ−2/3

e (2.4.7)

plasma条件:Λe À 1 ⇔ R1 ¿ 1⇔ closest approach b ¿ mean interparticle distance

• large-angle collision: e− の周り ∼ b内にもう一つ e− がなければならない

large − angle collisionが起こる確率 : P2 = neb3 (2.4.8)

= R31 = (12π)−3Λ−2

e (2.4.9)

Λe À 1 → P2 ¿ 1: large-angle collisionはほとんど起きない

同時に 2つの e−と large − angle collisionする確率 : P3 = (neb3)2 = P 2

2 (2.4.10)

→ plasmaでは 3-body collisionの影響は 2-body collisionに比べて無視できる

Nearest neighbore− のmean separation : n

−1/3e

electric potential : ∼ en1/3e

interactionのmean potential energy : ∼ e2n1/3e

→ mean potential energyとmean kinetic energyとの比:

R2 =e2n

1/3e

3kTe/2(2.4.11)

=23

e2

kTe

kTe

4πe2Λ−3/2

e =16π

Λ−2/3e (2.4.12)

plasmaではR2 ¿ 1 → nearest neighbor e− の影響は小さい

→ small-angle deflection

Thermal excitation ”collective modes”を考える

• L cube中の collective behavior: wave number kr(r = 1, 2, 3)の normal modes

kr = nr2π

L(2.4.13)

• e− gasの collective modes: kr < λ−1D

⇒ modeの total noumber ∼(

L

2πλD,e

)3


• thermal equilibrium: mode　 1つに対して energy kT/2

collective modeの energy density : uc =12· kTe

(2πλD,e)3(2.4.14)

e−の kinetic energy density : uT =32nekTe (2.4.15)

ratio : R3 =uc

uT(2.4.16)

=12· kTe

(2πλD,e)3· 23nekTe

=1

24π3Λ−1

e (2.4.17)

plasmaでは Λe À 1 → collective modes energy¿kinetic energy

• collective modesの energyの 1/2 → wavelength∼ 2πλD,e の electric-field fluctuationse− densityの fluctuationの rms≡ ∆ne として

R4 =∆ne

ne(2.4.18)

=1

4π3/2Λ−1/2

e (2.4.19)

plasmaでは Λe À 1 → thermal fluctuationsは charge neutralityに影響しない

2.5 Plasma oscillations

collective behaviorの simple example

• fully ionized gas:

– infinite in extent

– uniform

– low temperature → ions,e− の thermal motionを無視

• magnetic fieldは無い

• ion massÀ e− mass → ionのmotionは無視

• x-axisの 1-dim motion: e− sheetに対する displacementdisplacement: x → x + ξ (但し、x = ±∞は undisturbed)

• initial density n: displacementで左側に excess positive charge per unit area = neξ

electric fieldが発生 : E = 4πneξ (2.5.1)

eq. of motion : med2ξ

dt2= −eE (2.5.2)

⇔ d2ξ

dt2= −eE

me= −4πne2

meξ ⇔ d2ξ

dt2+ ω2

p,eξ = 0 (2.5.3)

where ω2p,e =

4πne2

me(2.5.4)

→ waveの spatial formに依存しない

→ wave number kに依存しない

2.5. Plasma oscillations 7

→ group velocity

u =dω

dk= 0 (2.5.5)

plasma frequencyは ωp = 2πνp から

νp,e = 103.95n1/2e (2.5.6)

• plasma oscillation: ほとんど undamped例外は amoplitudeが e− sheetを飛び出るほど大きい場合

→ motionは simple harmonicで表せない

→ oscillationが wash out

particleの collision → damping

• undampedな理由: planar motionであるため→ cylindrical oscillationを考えてみる

cylindrical oscillation

• initial state: radius rの cylinder上に e−

→ displacement : r → r + ξ

• excess positive charge per unit area: π[(r + ξ)2 − r2]nee

電場は近似的に

E =2πnee

r + ξ[(r + ξ)2 − r2]

→ eq. of motion : med2ξ

dt2= −2πnee

2

r + ξ[(r + ξ)2 − r2] (2.5.7)

α = ξ/rと変換

⇒ d2α

dt2+

4πnee2

ne

α + 12α2

1 + α= 0 ⇒ d2α

dt2+ ω2

p

α + 12α2

1 + α= 0 (2.5.8)

→ nonlinear equation, simple harmonicではない

• oscillation period: amplitude αに依存

• equilibrium radiusが異なる particleは、initialに同じ αを持っていないと、異なる periodになる

plasma frequencyは非常に高いExample

• fusion device: ne ∼ 106[cm−3]→ νp,e ∼ 1012[Hz], λ ∼ 0.3[mm]

• solar corona: ne ∼ 108[cm−3]→ νp,e ∼ 108[Hz] = 100[MHz], λ ∼meter range実際に radio observationにかかっている (Fig)


図 2.1: Dynamic spectrum of a typical hamonic type III burst in the 40 to 240MHz range. (Figurereproduced with kind permission from Wild, Murray and Rowe 1954)

Fig.2.1 2つの component

• frequency ratio∼ 2 : 1

• 数秒の time scaleで減衰

→ ”type III” radio burst: high-energye− の streamが coronaに入って、interplanetary spaceへ出て行く

Sec.8.4での解析 → νp, 2νp の radiation”type II” radio burst:IIIに比べて time scaleが長い

9

第3章 Orbit theory-uniform fields

3.1 Particle motion in a static, uniform, magnetic field

electro magnetic field中の particleの運動

• energyの変化率dU

dt= v · F = v ·

[qE +

q

cv × B

]= qv · E (3.1.1)

→ energyを変えるのは electric fieldのみ

→ purely magnetic field: energy=const.

• relativistic eq. of motion:

d

dt(γmv) = qE +

q

cv × B (3.1.2)

where γ = (1 − β2)−1/2 (3.1.3)

β =v

c(3.1.4)

static magnetic fieldでは γ = const.なので

eq.(3.1.2) ⇔ dv

dt=

q

γmcv × B (3.1.5)

B = (0, 0, B)となる coordinates x1, x2, x2 をとって

dv1

dt=

qB

γmcv2 (3.1.6)

dv2

dt= − qB

γmcv1 (3.1.7)

dv3

dt= 0 (3.1.8)

→ Bに parallelな component: v|| = const.

gyrofrequency/cyclotron frequency : ωg =|q|Bγmc

(3.1.9)

sign of charge : ε =q

|q|(3.1.10)

• solution:

d

dt

(v1

v2

)=

(0 εωg

−εωg 0

) (v1

v2

)

=

(−i/

√2 1/

√2

1/√

2 −i/√

2

)(iεωg 0

0 −iεωg

)(i/√

2 1/√

21/√

2 i/√

2

)(v1

v2

)

⇒

(v1

v2

)=

(−i/

√2 1/

√2

1/√

2 −i/√

2

)(eiεωgt 0

0 e−iεωgt

)(i/√

2 1/√

21/√

2 i/√

2

) (v1(0)v2(0)

)

=

(cos(εωgt) sin(εωgt)− sin(εωgt) cos(εωgt)

)(v1(0)v2(0)

)

10 第 3章 Orbit theory-uniform fields

一方、eq.(3.1.6)×v1+eq.(3.1.7)×v2 より

v1dv1

dt+ v2

dv2

dt=

12

d

dt(v2

1 + v22) = 0 (3.1.11)

よって

[v1(t)]2 + [v2(t)]2 = v2⊥ = const.

つまり、initial stateとして(v1(0), v2(0) = (v⊥, 0)

ととることができる。

v1(t) = v⊥ cos(εωgt) = v⊥ cos(ωgt) (3.1.12)

v2(t) = −v⊥ sin(εωgt) = −εv⊥ sin(ωgt) (3.1.13)

initial positionを (x1, x2, x3) = (0, 0, 0)として

x1 = r⊥ sin(ωgt) (3.1.14)

x2 = εr⊥ cos(ωgt) (3.1.15)

x3 = v||t (3.1.16)

where r⊥ =v⊥ωg

: gyroradius (3.1.17)

x1−x2 への projection

[positive ion : left − hand circular motion

e− : right − hand circular motion

→ e− gyrofrequencyに近い frequencyの electromagnetic waveは right-hand polarized waveなら e− と強く interaction

particleの acceleration :dv

dt=

ds

dt

dv

ds= vt

dv

ds(3.1.18)

s : arc lengthvt : particleの total speed

⇒∣∣∣∣dv

dt

∣∣∣∣ =v2t

rcrc : radius of curvature (3.1.19)

rc =vt

|dv/ds|=

v2t

v⊥ωg(3.1.20)

volocity vectorとmagnetic fieldがなす角を θとして

v⊥ = vt sin θ, v|| = vt cos θ (3.1.21)

と分解

⇒ r⊥ =v⊥ωg

=vt

ωgsin θ = rg sin θ (3.1.22)

where rg =vt

ωg(3.1.23)

rc =vt

ωg sin θ= rgcosecθ (3.1.24)

θ → orbitの radiusrc

→ velocity vectorが isotropicに分布した e− からの radiationでは、ほとんどがB ⊥ v である

particleからの radiation

3.2. Particle motion in electric and magnetic fields 11

3.2 Particle motion in electric and magnetic fields

static uniform electric + magnetic fields中の charged particleの nonrelativistic motioneq.(3.1.2)から

dv||

dt=

q

mE|| (3.2.1)

dv⊥

dt=

q

m

(E⊥ +

1cv⊥ × B

)(3.2.2)

v⊥ : v⊥ ⊥ Bとなる velocity componentvelocity=constant component+time-varying componentと分解

v⊥(t) = vd + vg(t) (3.2.3)

vd : ”drift motion”に対応vg(t) : ”gyro motion”に対応

eq.(3.2.2) ⇒ dvg

dt=

q

m

(E⊥ +

1cvd × B +

1cvg × B

)(3.2.4)

time − independent : E⊥ +1cvd × B (3.2.5)

time − dependent :dvg

dt=

q

mcvg × B (3.2.6)

B × eq.(3.2.5) ⇒ B × E⊥ +1cB × (vd × B) = 0 (3.2.7)

ここで、

B × (vd × B) = εijkBjεklmvlBm = (δilδij − δimδjl)BjvlBm = B2vd

⇒ vd = cE × B

B2(3.2.8)

→ E < B なら nonrelativistic

relativistic case E|| = 0を仮定 → relativistic motionでも上の結果が得られる

• drift velocityで動く frameへ変換

• eq.(3.2.5)から electric fieldが消える

• eq.(3.2.6)でm → γmとした eq.が運動を決める

結局、relativistic case でも

motion →

[driftgyro

(3.2.9)

と分けられる。

current drift velocity : chargeにもmassにも依存しない→ plasmaでは ne = np なので、drift motionによって current density は発生しない


図 3.1: Schematic representation of the orbits of ions and electrons in crossed electric and magneticfields, showing that both species drift in the same direction, consistent with (3.2.8)

3.3 Particle motion in magnetic and gravitational fields

uniform magnetic + gravitational field中の charged particleの nonrelativistic motion

eq. of motion :dv

dt+ g +

q

mcv × B g : gravitational force per mass (3.3.1)

ここで、

”effective” electric field : Eeff =m

qg (3.3.2)

を考えると、eq.(3.1.2)と同じ。

eq.(3.2.8) ⇒ drift − component : vd =mc

q

g × B

B2(3.3.3)

g · B 6= 0 → freely accelerated motionが存在

crrent drift velocity : charge,massに依存→ e−,ionは逆方向へ drift → current発生

p, e− のみからなる uniform plasmaを考えると

j = −ne

cve,d +

ne

cvp,d (3.3.4)

ve,d : e− の drift velocityvp,d : pの drift velocity

j = meneg × B

B2+ mpnp

g × B

B2= ρ

g × B

B2(3.3.5)

この systemの currentは ionが担っている1

plasmaに働く net force density:

F = j × B + ρg = ρg × B

B2× B + ρg =

ρ

B2(g · B)B − ρg + ρg = 0 (3.3.6)

3.4 Particle motion in a time-varying uniform magnetic field

magnetic fieldは particleに仕事をしない→ static magnetic field中で particle energyは conserved

↔ time − dependent magnetic field : ∇× E = −1c

∂B

∂t(3.4.1)

1普通の plasma system は e− の velocity が大きく、current は e− が担っている

3.4. Particle motion in a time-varying uniform magnetic field 13

図 3.2: Schematic representation of the orbits of ions and electrons in crossed gravitational andmagnetic fields. In this case, ions and electrons drift in opposite directions, resulting in a net currentdensity.

→ E は空間的に uniformではなくなる→ particle energyが変化

magnetic fieldに垂直な nonrelativistic motionの energy:

U⊥ =12mv2

⊥ (3.4.2)

とすると、dU⊥

dt= vv⊥ · dv⊥

dt= qv⊥ · E (3.4.3)

v =dX

dtX : the trajectory of the particle (3.4.4)

を導入してdU⊥

dt= q

dX

dt· E (3.4.5)

orbitの 1cycleで積分 ⇒ ∆U⊥ =∮

dU⊥ =∫ P

0

dtqdX

dt· E

P : the period of the motion(3.4.6)

magnetic fieldの変化を考えると → gyroradius/gyroperiodの time variation→ orbitが閉じないそこで、1periodでのBの変化が相対的に小さいことを仮定

⇒ P

∣∣∣∣dB

dt

∣∣∣∣ =2π

ωg

∣∣∣∣dB

dt

∣∣∣∣ ¿ |B| (3.4.7)

eq.(3.4.6):time integral → line integral

∆U⊥ =∮

qdX · E (3.4.8)

= −q

∫dS · (∇× E) (stokes′ theorem) (3.4.9)

2行目の符号:x3-direction magnetic field中の positive particleが left-hand circular motionをするため

eq.(3.4.1) ⇒ ∆U⊥ =|q|c

∫dS · ∂B

∂t|q| : energyは qの±に依存しない (3.4.10)

uniform magneticfieldを仮定して

∆U⊥ = |q|πr2⊥

c

dB

dT(3.4.11)


energy変化率 :dU⊥

dt=

∆U⊥

P=

12|q|c

ωgr2⊥

dB

dt(3.4.12)

⇒ 1U⊥

dU⊥

dt=

1B

dB

dt(3.4.13)

magnetic moment : µ ≡ U⊥

B(3.4.14)

eq.(3.4.11) ⇒ dµ

dt=

1B

dU⊥

dt− U⊥

B2

dB

dt= 0 (3.4.15)

dU⊥

dt= µ

dB

dt(3.4.16)

但し、µは”approximately constant”

magnetic fieldの変化が gyromotionに比べて slowBの変化が frequencyの harmonic component 2ωgを含まない

)時に正しい (3.4.17)

eq.(3.4.13)&(3.4.16) ⇒ µ =12|q|c

ωgr2⊥ (3.4.18)

=12π

q2

mc2

πc

|q|mr2⊥ωg =

12π

q2

mc2Φ (3.4.19)

where Φ = πr2⊥B (3.4.20)

eq.(3.4.15) ⇒ dΦdt

= 0 Φ : magnetic flux (3.4.21)

µ or Φ:”adiabatic invariant”の例 → first adiabatic invariant

15

第4章 Adiabatic invariants

4.1 General adiabatic invariants

Poincare invariantqi : dynamical virables

L(qi, qi, t) : Lagrangian function

canonical momentum : pi =∂L

∂qi(4.1.1)

dynamical eqs. :dpi

dt=

∂L

∂qi(4.1.2)

variable κ ∈ [0, 2π]を変化 → closed family of solutions:

pi = Pi(κ, t), qi = Qi(κ, t) (4.1.3)

Poincare invariant : J =∮

dκPi∂Qi

∂κ(4.1.4)

⇒ dJ

dt=

∮dκ

[dPi

dt

∂Qi

∂κ+ Pi

∂

∂κ

(dQi

dt

)](4.1.5)

=∮

dκ

[∂L

∂qi

∂qi

∂κ+

∂L

∂qi

∂qi

∂κ

](4.1.6)

=∮

dκdL

dκ= 0 (4.1.7)

→ J:systemの厳密な保存量

parameter κ system:freqency ωの periodic motion

→ κ : phase factor qi = Qi(ωt + κ) (4.1.8)

但し、Lが time-independentなときのみmotionは periodic→ このとき J の constancyは特に重要でない↔ Lが time-dependent

t ' 0に対して qi ' Qi,0(ω0t + κ0) κ0 : initial phase (4.1.9)

Qi,0 の関数形と κ0 が与えられる → systemの dynamical evolutionこのとき、

J0 ≡∮

dκPi∂qi

∂κ0(4.1.10)

は Poincare invariantAssumption

• Lは slow.aperiodic variation:systemは各 oscilatory stateを移っていく

qi = Qi[ω(t)t + κ(t), t] (4.1.11)

• frequency ω(t),phase factor κ(t):slowly varying function of time

16 第 4章 Adiabatic invariants

→ qi の time-dependence: slow variation

J(t) =∮

dκpi∂qi

∂κ(4.1.12)

は Poincare invariantではない。しかし、通常は κ(t), κ0 は

κ(t) = κ0 + f(t) f(t) : a slowly varyingfunction of time (4.1.13)

と関係する。このときdJ

dt= 0 (4.1.14)

となり、invariant → ”adiabatic invariant”

Poincare/adiabatic invariant 自由度 1の system → phase space(q, p)

図 4.1: We consider a closed family of trajectories in p, q, t space: (a) shows the intersections of thosetrajectories with the plane t = 0, and (b) shows the intersections of the trajectories with a planerepresenting a later time.

図 4.2: We now consider a single trajectory. In (a), the system is in an almost steady state so thatthe representative point in phase space maps out a closed contour. In (b), the system has evolved toanother almost steady state; the representative point still maps out a closed contour, and the area ofthe closed contour in (b) is the same as that of the closed contour in (a)

Example弦の長さが変わる pendulum

4.2. The first adiabatic invariant: magnetic moment 17

• 上下に動く ringが弦の長さを決める

• ringが slow,aperiodicalに動く → 弦を介して ringに average upward force

• ringが上に動くのだけを許される場合:energyが失われていく

• oscillatory energyの fractionnal な変化率 =frequencyの fractionalな変化率

”action” : JA =U

ω(4.1.15)

U : oscillatory energyω : frequency

→ adiabatic invariant

• ringが速い運動 → invariantにはならない

図 4.3: Schematic representation of a pendulum, the length of which that varies slowly in time. Thestring passes through a ring, and the ring is moved up or down at rate that is slow in comparisonwith the oscillation frequency

4.2 The first adiabatic invariant: magnetic moment

magnetic field中の charged particleの nonrelativistic motion

Lagrangian : L =12mr2 +

12mr2φ2 +

q

crφAφ (4.2.1)

polar coordinate (z, r, φ): Bは z方向

uniform field ⇒ Aφ =12B(t)r B(t) : slow variation (4.2.2)

eq.(4.2.1), (4.2.2) ⇒ L =12mr2 +

12mr2φ2 +

12

q

cBr2φ (4.2.3)

canonical momentum : pr =∂L

∂r= mr, pφ =

∂L

∂φ= mr2φ +

12

q

cBr2 (4.2.4)


eq. of motion : md2r

dt2=

dpr

dt=

∂L

∂r= mrφ2 +

q

cBrφ (4.2.5)

dpφ

dt=

∂L

∂φ= 0 (4.2.6)

Bが slow variationとすると、eq.(4.2.5)で r ' const.として

φ = −qB

mc= −εΩ (4.2.7)

where Ω =|q|Bmc

(4.2.8)

→ initial state'circular motionφ(t) = −ε[ω(t)t + κ(t)] (4.2.9)

adiabatic invariantを

J =∮

dκ

(pr

∂r

∂κ+ pφ

∂φ

∂κ

)(4.2.10)

と構成する。circular motionに近い ⇔ pr ∼ 0

J =∮

dκpφ∂φ

∂κ= −2πεpφ (4.2.11)

eq.(4.2.7), (4.2.4) ⇒ J = −2πε

(mr2φ +

12

q

cBr2

)= −2πε

(−mr2εΩ +

12mεΩr2

)= πmr2Ω

(4.2.12)

thermal energy : U⊥ =12mr2Ω2 (4.2.13)

⇒ J = 2π · 12mr2Ω2 · 1

Ω= 2π

U⊥

Ω(4.2.14)

この量は Chap.3のmagnetic momentと

J = 2πmc

|q|µ (4.2.15)

と関係する

4.3 Relativistic form of the first adiabatic invariant

eq.(4.2.1)を

L = mc2

1 −

(−1

z2 + r2 + r2φ2

c2

)1/2 +

q

c

(zAzLrAr + rφAφ

)(4.3.1)

と置き換える

canonical momentum : pz =∂L

∂z= − mc2 · 1

2

(1 − z2 + r2 + r2φ2

c2

)−1/2 (−2z

c2

)+

q

cAz

=γmz +q

cAz

pr =∂L

∂r=γmr +

q

cAr

pφ =∂L

∂φ=γmr2φ +

q

crAφ

(4.3.2)

⇒ dpr

dt=

∂L

∂r= γmrφ2 +

q

cφrB

4.4. The second adiabatic invariant: the bounce invariant 19

circular motionに近い ⇔ r 'const.

φ = −εΩ ≡ −ε|q|Bγmc

(4.3.3)

⇒ φ(t) = −ε[Ω(t)t + κ(t)] (4.3.4)

⇒ J =∮

dκpφ∂φ

∂κ= pφ

∮dκ

dφ

dk= −2πε

(γmr2φ +

q

2cr2B

)= πγmr2Ω (4.3.5)

この J を

J = 2πH − |q|c

Φ (4.3.6)

where H = γmr2Ω : kinetic angular momentum (4.3.7)

Φ = πr2B (4.3.8)

⇒ πH =|q|c

Φ (4.3.9)

H, Φともに adiabatic invariantで

J = πH, J =|q|c

Φ (4.3.10)

B dependence nonrelativistic : traverse kinetic energy ∝ gyrofrequency ∝ B

relativistic :

β⊥ =rφ

c(4.3.11)

とおくと、eq.(4.3.5)から

J = πγmc2β2

⊥

φ2Ω = πγmc2β2

⊥γmc

|q|B⇒ γβ⊥ ∝ B1/2 (4.3.12)

nonrelativisticでは β2⊥ ∝ B で consistent

ultra-relativisticでは z方向の運動 ' 0で β⊥ ' 1 ⇒ energy∝ B1/2

4.4 The second adiabatic invariant: the bounce invariant

static magnetic field中の charged particleの relativistic motion→ slow spatial variation

static field中では γ =const.なので、eq.(4.3.12)から

β2⊥ = β2 B

BRB : initial conditionから決まる constant (4.4.1)

β2 = β2|| + β2

⊥ (4.4.2)

⇒ β2|| = β2

(1 − B

BR

)(4.4.3)

• B = BR ⇔ β|| = 0

• B > BR になることは無い

→ B > BR となろうとすると、particleは”reflected”


magnetic mirror eq.(4.4.3)を別解釈:

total energy : : Ut =12γmv2

|| + V (4.4.4)

where V =12γmv2

t

B

BR: potential energy (4.4.5)

vt : total velocity → fictitious particleのmotion

eq. of motion : γmdv||

dt= −∂V

∂s(4.4.6)

→ dB/dsが reflection pointで 0でないなら、その pointで反射

図 4.4: Example of magnetic field strength, as a function of position, that leads to a ”magnetic bottle”

Fig.4.4s = s0でmin Bm

s = s1, s2でmas BM,1, BM,2

]をとるmagnetic field

β⊥ = β sin θ, β|| = β cos θ (4.4.7)

とおいて、s = s0 で θ = θ0

この fieldに trapされる条件は

Ut =12γmc2(β2

|| + β2⊥) =

12γmc2β2 cos2 θ0 +

12γmc2β2 Bm

BM<

12γmc2β2

⇔ sin θ0 >

√Bm

BM≡ sin θL

⇔ θ0 > θLなら trapped θ0 = θL : ”losscone”

(4.4.8)

s = s0 で isotropic particle distribution

失われる particlesの割合 : FL =12π

∫ θL

0

2π sin θdθ = 1 − cos θL (4.4.9)

= 1 −(

1 − Bm

BM

)1/2

(4.4.10)

trapされた particlesは gyromotion+oscillatory motion

4.5. Magnetic traps 21

図 4.5: A magnetic field configuration that does not have cylyndrical symmetry but leads to thetrapping of charged particles.

2nd adiabatic invariant

J2 =∮

pidqi (4.4.11)

rectangular Cartesian coordinateでpr = γmvr +

q

cAr (4.4.12)

eq.(4.4.11) ⇒ J2 =∮ (

γmv|| +q

cA||

)ds (4.4.13)

v|| : vの arc length ds方向の component

A|| : Aの arc length ds方向の component

(4.4.14)

2nd term :q

c

∮A · dx =

q

cΦ Φ : contourを貫くflux (4.4.15)

→ bounce motionなので 0

1st term : [s1, s2]での bounce motionとして

J2 = 2γm

∫ s2

s1

v||ds (4.4.16)

= 2mcγβI (4.4.17)

where I =∫ s2

s1

[1 − B(s)

BR

]1/2

ds (4.4.18)

→ static : γ, β = const.magnetic fieldが ⇒ I は adiabatic invariant

→ slow variation in time : particleの energyが変化⇒ I は adiabatic invariantではない⇒ J2は adiabatic invariant

4.5 Magnetic traps

Fig4.5のmagnetic field → 特に対称性は無い

particleに velocity vectorを与えて運動させる→ first adiabatic invariantの initial valueは既知 'const.


図 4.6: A dipole-type magnetic field, such as that of the Earth

図 4.7: A magnetic flux tube in a solar active region also provides for particle trapping. A: positive-polarity sunspot; B: negative-polarity sunspot

• fieldが static → particleは B = BR で reflected

• fieldが inhomogeneous → particleが drift → 別のmagnetic field lineへ移動

そこで、

[B = BRとなる 2つの surfaceその間では B < BR

]となる空間に particleを trap

→ particleは I = I0 =const.となるように運動Example

• dipole-type magnetic field(Fig.4.6)

(a) gyromotion

(b) bounce motion

(c) drift motion- curvature drift- gradient drift

• Sun’s magnetic field(Fig.4.7) sunspotの pair:opposite polarities→ trapping shellを形成

gyrosynchrotron radiationによる stationary Type IV microwave radio bursts

4.6. The third adiabatic invariant 23

4.6 The third adiabatic invariant

magnetic field

Fig.4.5−4.7slowly varying in time → particleの energyが変化

reflection pointが変化

→ third periodicityが存在:periodic driftingeq.(4.1.12)を使って

J3 =∮ (

p +q

cA

)· ds : contourは driftingmotionに対応する phase contour (4.6.1)

近似的に

1st term :∮

p · ds ' 2πmvDR

2nd term :q

c

∮A · ds ' q

cπR2B

として

R =2πmvDR

q/c · πR2BvD : drift velocityの大きさ (4.6.2)

vD ' 12· mc

qB· v2

⊥R

(4.6.3)

を代入して

R = 2πmR · 12· mc

qB· v2

⊥R

· c

qπR2=

v2⊥

R2· m2c2

q2B2=

( v⊥ΩR

)2

(4.6.4)

さらに

v⊥ = Ωr⊥ (4.6.5)

を使って

R '(r⊥

R

)2

(4.6.6)

大抵の場合 r⊥ ¿ R ⇔ 1st term¿2nd term

⇒ J3 ' q

c

∮A · ds =

q

cΦ (4.6.7)

conditions それぞれの adiabatic invariantが invariantになる条件

1st : magnetic fieldの変化の time-scaleÀgyroperiodspatial gradientの characteristic lengthÀgyroradius

2nd : variationの time-scaleÀbounce period3rd : variationの time-scaleÀtrapping shell周りの drift motionの period

但し、実際の plasma machine/astrophysical situationでは particle energy/magnetic momentは範囲として与えられる

particleも 1speciesではない

25

第5章 Orbit theory

5.1 Particle motion in a static inhomogeneous magnetic field

static magnetic field中の relativistic particleの運動 → eq.(3.1.5)

vector : Ω =ΩB

B Ω : gyrofrequency (5.1.1)

⇒ eq. of motion :dv

dt= εv × Ω (5.1.2)

assumption

• magnetic-field vectorは 1gyroperiodで少ししか変化しない → gyroradiusは十分小さい

• 運動する空間: particleの gyromotionの scale

• coordinate system: magnetic fieldは原点で x3-axisに接する

gyroradiusが無限小 → particleはmagnetic-field lineに沿って運動

v1 =v2||Ω

−1Ω1,3t

v2 =v2||Ω

−1Ω2,3t

v3 =v||

(5.1.3)

where Ω1,2 =∂Ω1

∂x2, etc (5.1.4)

gyroradiusが小さい（6=無限小）として、gyromotionを補正

v1 =v2||Ω

−1Ω1,3t + v⊥ cos(Ωt) + ∆v1

v2 =v2||Ω

−1Ω2,3t − εv⊥ sin(Ωt) + ∆v2

v3 =v|| + ∆v3

(5.1.5)

x1 =12v2||Ω

−1Ω1,3t2 + r⊥ sin(Ωt) + ∆x1

x2 =12v2||Ω

−1Ω2,3t + εr⊥ cos(Ωt) + ∆x2

x3 =v||t + ∆x3

(5.1.6)

restrictions

• 考える空間は原点付近で small volume

• magnetic fieldの微分に linearな効果に限る→ magnetic fieldの spatial variationの scaleに対して、gyroradiusが小さいなら valid approxi-mation

• non-oscillatoryな component ∆v1,∆v2,∆x1,∆x2 のみを考える

26 第 5章 Orbit theory

• gyrofrequencyの harmonicsは平均をとることで考えない

〈∆v1〉 = vD,1, 〈∆v2〉 = vD,2 (5.1.7)

→ magnetic fieldに transverseな drift motion

⇒ 〈∆x1〉 = vD,1t, 〈∆x2〉 = vD,2t (5.1.8)

→ 原点付近に限定すれば無視できる

Equations

eq.(5.1.2) ⇒ dv1

dt=ε(v2Ω3 − v3Ω2)

dv2


dv3


(5.1.9)

Ωは (0, 0, 0)付近で展開して

Ω1(x) = Ω1(0) + r⊥ sin(Ωt)Ω1,1(0) + εr⊥ cos(Ωt)Ω1,2(0) (5.1.10)

eq.(5.1.9)は

v2||Ω

−1Ω1,3−Ωv⊥ sin(Ωt) + v⊥ cos(Ωt)

=ε[−εv⊥ sin(Ωt) + ∆v2][Ω + Ω3,1r⊥ sin(Ωt) + Ω3,2εr⊥ cos(Ωt)]

− εv||[Ω2,1r⊥ sin(Ωt) + Ω2,2εr⊥ cos(Ωt)]

(5.1.11)

v2||Ω

−1Ω2,3−εΩv⊥ cos(Ωt) − εv⊥ sin(Ωt)

=εv||[−Ω1,1r⊥ sin(Ωt) + Ω1,2εr⊥ cos(Ωt)]

− ε[v⊥ cos(Ωt) + ∆v1][Ω + Ω3,1r⊥ sin(Ωt) + Ω3,2εr⊥ cos(Ωt)]

(5.1.12)

v|| =ε[v⊥ cos(Ωt) + ∆v1][Ω2,1r⊥ sin(Ωt) + Ω2,2εr⊥ cos(Ωt)]

− ε[−εv⊥ sin(Ωt) + ∆v2][Ω1,1r⊥ sin(Ωt) + Ω1,2εr⊥ cos(Ωt)](5.1.13)

上の eqs.から non-oscillatory termを拾う

v2||Ω

−1Ω1,3 = εΩvD,2 −12v⊥r⊥Ω3,1 (5.1.14)

v2||Ω

−1Ω2,3 = −εΩvD,1 −12v⊥r⊥Ω3,2 (5.1.15)

v|| =12v⊥r⊥(Ω1,1 + Ω2,2) (5.1.16)

⇒ vD,1 = − εΩ−2v2||Ω2,3 −

12εΩ−2v2

⊥Ω3,2

vD,2 =εΩ−2v2||Ω1,3 +

12εΩ−2v2

⊥Ω3,1

(5.1.17)

⇒ vD,1 =γmc

qB

(−v2

||κ2 −12v2⊥B−1 ∂B3

∂x2

)vD,2 =

γmc

qB

(−v2

||κ1 −12v2⊥B−1 ∂B3

∂x1

)(5.1.18)

where κ1 = B−1 ∂B1

∂x3, κ2 = B−1 ∂B2

∂x3(5.1.19)

5.2. Discussion of orbit theory for a static inhomogeneous magnetic field 27

eq.(5.1.18)1st term : ”curvature-drift”2nd term : ”gradient-drift”

∇ · B = 0 ⇔ Ω1,1 + Ω2,2 + Ω3,3 = 0 (5.1.20)

なので、eq.(5.1.16)はdv||

dt= −1

2v⊥r⊥Ω3,3 (5.1.21)

static magnetic field :12

dv2

dt= v⊥

dv⊥dt

+ v||dv||

dt= 0 (5.1.22)

⇒ v⊥dv⊥dt

=12v⊥r⊥v||Ω3,3 (5.1.23)

⇒ 1v⊥

dv⊥dt

=1

2Ωv||

∂Ω3

∂x3=

12Ω

dΩdt

(5.1.24)

⇒ v⊥ ∝ Ω1/2 or v⊥ ∝ B1/2

eq.(4.3.12)と consistent→ magnetic fieldが slow variation in spaceだとしても 1st adiabatic invariantが構成できる

5.2 Discussion of orbit theory for a static inhomogeneous mag-

netic field

eq.(5.1.18)を vector形式にして

vD =γmc

qB

(v2||

BB × κ +

12

v2⊥

B2B ×∇B

)κ : curvature vector (κ1, κ2, 0) (5.2.1)

1st term : curvature-drift2nd term : gradient/∇B-drift

curvature − driftによる Lorentz force : F c =q

c

γmc

qB

v2||

B[(B × κ) × B] (5.2.2)

= γmv2||κ (5.2.3)

→ magnetic fieldの curvatureに従うように accelerationmagnetic field中の charged particleの運動は

potential energy : V = µB (5.2.4)

を持った field中の運動と同じ

→ particleに働く力 : F G = −∇V = −µ∇B (5.2.5)

eq.(3.3.3)からdrift velocity : vD,G = − cµ

qB2∇B × B (5.2.6)

magnetic momentの定義 eq.(3.4.14)を使うと

vD,G =c

qB2

U⊥

BB ×∇B =

mcv2⊥

2qB3B ×∇B (5.2.7)

→ eq.(5.2.1)と consistentcurvature/∇B driftの sign: charge qに依存 → currentが発生


図 5.1: Schematic representation of motion of electrons within a heat bath, in the presence of a non-uniform magnetic field. Electrons that do not intersect the upper or lower surfaces ass drift from rightto left. On the other hand, the current density is zero everywhere.

図 5.2: Schematic representation of motion of electrons within a cavity, when they are drawn from afinite cathode and flow to a finite anode. In this case there is a net current from one electrode to theother. This system is not in thermodynamic equilibrium.

Thought experiment temperatureT の black-body cavity: e−が thermodynamic equilibriumで詰まっている

e− distribution

[uniform densityMaxwellian form (velocity space)

→ current= 0non-uniform magnetic fieldを考える → e− が driftしかし、e− は thermodynamic equilibriumで current= 0特に

B1 = 0, B2 = 0, B3 = a + bx (5.2.8)

という fieldを考える→ a > 0, b > 0なら −x2 方向へ drift全ての e− が driftしているのに current= 0という状況が起こる

Fig.6.1.5:large cavity内の finite cathode→ ∇B driftで cathodeを離れると、current発生

5.3. Drifts in the Earth’s magnetosphere 29

5.3 Drifts in the Earth’s magnetosphere

Fig.4.6のようなmagnetic fieldmagnetosphere内には fully ionized plasma → e−,ion: bi-Maxwellian distributionmagnetic fieldに平行,垂直な運動それぞれに対して characteristic temperatureT||, T⊥ が存在1

12m〈v2

||〉 =12kT||,

12m〈v2

⊥〉 = kT⊥ (5.3.1)

eq.(5.2.1)から

average drift velocity : vD =c

q

kT||

B2B × κ +

c

q

kT||

B2B ×∇B (5.3.2)

となる。

e− : ve,D = − c

e

kTe,||

B2B × κ − c

e

kTe,||

B3B ×∇B

p : vp,D =c

e

kTe,||

B2B × κ +

c

e

kTp,||

B3B ×∇B

total ring current :∫

d2Se(npvp,D − neve,D)

ne = np = nとして

J =∫

d2Sn

[k(Tp,|| + Te,||)

B2B × κ +

k(Tp,|| + Te,||)B3

B ×∇B

](5.3.3)

drift velocityからは total currentは計算できるが、current densityは計算できない

5.4 Motion in a time-varying electric field

uniform magnetic field : x3 方向

time-varying uniform electric field : x2 方向

B = (0, 0, B), E = (0, E2(t), 0) (5.4.1)

electric fieldの変化率¿gyrofrequency

→ steady increase : E2(t) = E2,0t (5.4.2)

eq.(3.2.7) ⇒ vD,1 =c

B2(E × B)1 =

cE2,0

Bt (5.4.3)

この driftによる accelerationを gravitational fieldと解釈:

g1 =cE2,0

B(5.4.4)

eq.(3.3.3) ⇒ vP,2 =mc

qB2(g × B)2 = −mc2

qB2E2,0 (5.4.5)

→ ”polarization drift”

nonrelativistic eq. of motion :dv

dt=

q

mE0t +

q

mcv × B (5.4.6)

解の形として

v = vg(t) + aDt + vP vg(t) : gyromotion (5.4.7)

aD : acceleration term1transverse motion は自由度 2


を仮定dvg

dt+ aD =

q

mE0t +

q

mc[vg × B + (aDt) × B + vP × B]

⇔ aD =q

mE0t +

q

mc[(aDt) × B + vP × B]

(5.4.8)

tの linear term : E0 +1caD × B = 0 (5.4.9)

t − independent : aD =q

mcvP × B (5.4.10)

⇔ vP =mc

qB2B × aD (5.4.11)

eq.(5.4.9) ⇒ aD = −cB × E0

B2(5.4.12)

eq.(5.4.11)&(5.4.12) ⇒ vP = −mc2

qB4B × (B × E0) =

mc2

qB2E0 (5.4.13)

generalには

vP =mc2

qB2

∂E

∂t: ”polarization drift” (5.4.14)

Maxwell eq. :1c

∂E

∂t+ 4πj = ∇× B (5.4.15)

⇔ 1c

∂E

∂t+ 4π

eρ

mcv = ∇× B

⇔ 1c

∂E

∂t+

4πρc

B2

∂E

∂t= ∇× B (5.4.16)

⇔ 1c

∂D

∂t= ∇× B (5.4.17)

where D = E + 4πP (5.4.18)

≡ εE (5.4.19)

where ε = 1 +4πρc2

B2: dielectric coefficient (5.4.20)

P =ρc2

B2E : polarization vector (5.4.21)

magnetic fieldに沿って伝播する transverse electromagnetic waveの dispersion relation:

ω2 =c2k2

ε(5.4.22)

=c2k2

1 + c2/v2A

(5.4.23)

where v2A =

B2

4πρ: Alfven speed (5.4.24)

vA ¿ cとすると

ω2 = v2Ak2 : MHDにおける Alfven waveの dispersion relation (5.4.25)

electric fieldに関する energy density

uE =18π

D · E =18π

εE2 (5.4.26)

=18π

E2 +ρc2

2B2E2 (5.4.27)

=18π

E2 +12ρv2

D (5.4.28)

total energy density =electric fieldの energy densityE × Bdriftに関する kinetic energy density

5.5. Particle motion in a rapidly time-varying electromagnetic field 31

5.5 Particle motion in a rapidly time-varying electromagnetic

field

oscillatory electric field : E(x, t) = ωE0(x) sin(ωt) (5.5.1)

ω : small ordering parameter

magnetic field : B(x, t) = ωB0(x) cos(ωt) (5.5.2)

eq.(2.1.1) ⇒ ω

cωB0(x) sin(ωt) =ω∇× E0 sin(ωt)

⇒ B0 =c

ω∇× E0

(5.5.3)

eq. of motion : md2x

dt2= qE +

q

c

dx

dt× B (5.5.4)

→ approximate solutionを見つける

position : x(t) = x0 + ξ(x0, t) (5.5.5)

x0 : electric fieldが無いときの stationary position

ξ : displacement

ξを ωで展開して

ξ(x0, t) = ωξ1(x0, t) + ω2ξ2(x0, t) + · · · (5.5.6)

electric field : E(x, t) = E(x0, t) + (ξ · ∇)E(x0, t) + · · · (5.5.7)

= ωE0 sin(ωt) + ω2xi · ∇E0 sin(ωt) + · · · (5.5.8)

magnetic field : B(x, t) = ωB0 cos(ωt) + ω2xi · ∇B0 cos(ωt) + · · · (5.5.9)

eq. of motion

L.H.S =md2ξ1

dt2ω + m

d2ξ2

dt2ω2

R.H.S =qE0 sin(ωt)ω +[q(ξ1 · ∇)E0 sin(ωt) +

q

c

dξ1

dt× B0 cos(ωt)

]ω2

(5.5.10)

1st order :d2ξ1

dt2=

q

mE0 sin(ωt) (5.5.11)

⇒ ξ1 = − q

mω2E0 sin(ωt) (5.5.12)

→ simple harmonic motion

2nd order :d2ξ1

dt2=

q

m(ξ1 · ∇)E0 sin(ωt) +

q

mc

dξ1

dt× B0 cos(ωt) (5.5.13)

= − q2

m2ω2(E0 · ∇)E0 sin2(ωt) − q2

m2cωE0 × B0 cos2(ωt) (5.5.14)

平均をとって

〈d2ξ2

dt2〉 = − q2

2m2ω2(E0 · ∇)E0 −

q2

2m2cωE0 × B0 (5.5.15)

eq.(5.5.3)を使って

〈d2ξ2

dt2〉 = − q2

2m2ω2(E0 · ∇)E0 −

q2

2m2ω2E0 × (∇× E0)

= − q2

2m2ω2[(E0 · ∇)E0 + E0 × (∇× E0)]

= − q2

4m2ω2∇(E2

0) (5.5.16)

= − q2

2m2ω2∇(E2) (5.5.17)


図 5.3: Schematic representation of a ”cavity” in the solar wind. The ”internal” region contains onlya low density of plasma but a high density of plasma oscillations. The ”external” region contains ahigher density of plasma but a low density of plasma oscillations.

→ mean 2nd-order acceleration

→ mean 2nd − order force density : F = − nq2

2mω2∇(E2) (5.5.18)

n : perticle number density (5.5.19)

mean electric pressure : pE =18π

〈E2〉 (5.5.20)

を用いて

F = −(ωp

ω

)2

∇pE ωp : plasma frequency (5.5.21)

oscillatory electric fieldは particleを electric fieldが弱い方へ動かす→ 依存性は ωp/ωなので、low-frequencyで効果が大きい

Example Solar windhigh oscillatory electric field:Fig5.3total force density=electric field term+gas pressure term:

F = −(ωp

ω

)2

∇pE −∇pG (5.5.22)

interior pressure=exterior pressure

−(ωp,i

ω

)2

∇pE,i −∇pG,i = −(ωp,e

ω

)2

∇pE,e −∇pG,e i/e : interior/exterior (5.5.23)

• pG,i ' 0, pE,e ' 0

• electric fieldは plasma oscillationに由来 → ω = ωp

を仮定

⇒ pE,i = pG,e (5.5.24)

typical condition:ne = np ∼ 5[cm−3], Te ∼ 105[K], Tp は小さい

→ total gas pressure ∼ 10−10.2[dyne cm−2]→ electric field strength ∼ 10−4.4[esu] = 10−1.9[V cm−1]

33

第6章 Electromagnetic waves in a cold

electron plasma

6.1 The wave equation

electromagnetic waveに対する plasmaの response → dielectric tensor

Maxwell eqs. : ∇× B =1c

∂E

∂t+ 4πj (6.1.1)

∇× E = −1c

∂B

∂t(6.1.2)

→ curentに対する electromagnetic fieldの responseが決まるcurrentの fluctuation → eq.(2.1.5)から charge densityの fluctuationsystemを閉じるには electric field-current relationが必要

Ohm′s law : j = σ · E or jr = σrsEs σ : conductivity tensor (6.1.3)

eq.(6.1.1) ⇒ ∇× B =1c

∂D

∂t(6.1.4)

⇒ j =1

4πc

(∂D

∂t− ∂E

∂t

)(6.1.5)

physical valuesの time-dependenceを

E(x, t) = E(x, ω)e−iωt, etc (6.1.6)

とする。

eq.(6.1.5) ⇒ jr = − iω

4πc(Dr − Er) (6.1.7)

⇒ Dr = Er + i4πc

ωjr = Er + i

4πc

ωσrsEs (6.1.8)

= KrsEs (6.1.9)

where Ks = δrs + i4πc

ωσrs : dielectrictensor (6.1.10)

∇× eq.(6.1.2) : ∇× (∇× E) = −1c

∂

∂t(∇× B) = − 1

c2

∂2

∂t2K · E

time-dependence(6.1.6)から

wave eq. ∇× (∇× E) − ω2

c2K · E (6.1.11)

実際には Kは several contributionの和

6.2 Waves in a cold electron plasma without a magnetic field

Assumption

• cold,uniform plasma

34 第 6章 Electromagnetic waves in a cold electron plasma

• magnetic field無し

• collisionは無視できる

• waveは high frequency → ion motionが無視できる

e− eq. of motion : medv

dt= me

(∂v

∂t+ v · ∇v

)= −eE (6.2.1)

v · ∇vは linear approximationでは無視できる。time-dependence(6.1.6)から

−imeωv = −eE ⇔ v = − e

meωE (6.2.2)

e−の current density : j = −ne

cv (6.2.3)

= −ne

c

(−i

e

meω

)= i

ne2

mecωE (6.2.4)

→ cold,stationary,collision free e− gasでは

conductive tensor : σrs = ine2

mecωδrs (6.2.5)

dielectric tensor : Krs =(

1 − 4πne2

meω2

)δrs =

(1 −

ω2p

ω2

)δrs (6.2.6)

ωp: plasma frequency

wave eq. : ∇× (∇× E) −(

ω2 − ω2e

c2

)E = 0 (6.2.7)

unperturbed stateとして stationary+homogeneousを仮定

E(x, t) → E(k, ω)ei(k·x−ωt) (6.2.8)

eq.(6.1.11) : k × (k × E) +ω2

c2K · E = 0 (6.2.9)

eq.(6.1.11) : k × (k × E) +

(ω2 − ω2

p

c2

)E = 0 (6.2.10)

→ wave vectork,frequencyωの関係 ”dispersion relation”

eq.(6.2.9)のmatirx form : MrsEs = 0 (6.2.11)

を考えると

E 6= 0 ⇔ det(Mrs) = 0 (6.2.12)

electric fieldを分解してE = E|| + E⊥ (6.2.13)

→ vectorkに parallel,perpendicular

k × E|| = 0, k · E⊥ = 0 (6.2.14)

⇔ k × (k × E⊥) +

(ω2 − ω2

p

c2

)(E|| + E||) = 0

⇔ −c2E⊥ + (ω2 − ω2p)(E|| + E⊥) = 0 (6.2.15)

6.2. Waves in a cold electron plasma without a magnetic field 35

E|| : (ω2 − ω2p)E‖ = 0 (6.2.16)

E⊥ : (ω2 − ω2p − c2k2)E⊥ = 0 (6.2.17)

→ 2 modes

longitudinal mode(E ‖ k) : ω2 = ω2p (6.2.18)

transverse mode(E ⊥ k) : ω2 = ω2p + c2k2 (6.2.19)

transverse mode ω > ωp でしか伝播しない → ω = ωp で”cutoff”E,B,kが全て直交 → eletromagnetic wave

eq.(6.2.19) ⇒ if ω > ωp, k = ±(ω2 − ω2

p)1/2

c(6.2.20)

→ wave vectorが real

group velocity : ur =∂ω

∂kr(6.2.21)

= c

(1 −

ω2p

ω2

)1/2kr

k(6.2.22)

ω → ∞で ur → c

ω → ωp で ur → 0

if ω < ωp, k = ±(ω2

p − ω2)1/2

c(6.2.23)

wave vectorが imaginary → amplitudeが

[一方へ exponentialで instability反対へ exponentialで evanescent wave

kが real → ωは常に real : systemは stableexponentialで or in space : evanescent wave

また、

if ω ¿ ωp, k = ±iωp

c(6.2.24)

→ characteristic length : λs =c

ωpelectromagnetic skin depth (6.2.25)

で or in spaceempty spaceから dense plasmaへの入射 → ∼ λs の距離までしか入り込まない

slowly e− density change → spatial coordinate xの関数として n = n(x)で変化これに対する plasma frequencyの変化:Fig.6.2ω = ωp となる x = xc : k = 0→ waveは x = xc までしか伝播できない (reflected)

Assumption

• waveは e− density gradientの方向に平行ではない→ waveの進む方向がmedium中で変化

• mediumは y, z方向に uniform

よって、wave numberをk2 = k2

‖ + k2⊥ (6.2.26)


図 6.1: Dispersion relation for electromagnetic waves in a cold electron plasma free from magneticfield

図 6.2: Schematic representation of reflection of an electromagnetic wave in a plasma of slowly varyingdensity.

図 6.3: Schematic representation of reflection of a wave oblieuely incident on a gradient of refractiveindex n. The reflection occurs where k‖ = 0

6.3. Effect of collisions 37

図 6.4: Dispersion relation showing a resonance

と x-axisに parallel,normalな componentに分けると

k⊥ = const.

k2‖ =

ω2 − ω2p

c2k2⊥ ωp(x) : function of x (6.2.27)

k‖ となる xで reflected⇒ ω2

p = ω2 + c2k2 (6.2.28)

Fig.6.4の dispersion relation

limk→∞

ω = ωr となるmode

→ Ch.7で現れる

• ωが ωr に近づく → k⊥/k‖ が小さくなる

→ waveは gradientの方向へ折れ曲がる

• ω = ωr:”resonance” → group velocity= 0

• energyが ω = ωr となる locationに残される

6.3 Effect of collisions

e− と ions/neutral particlesとの collisionの効果を考える

eq. of motion : me

(∂v

∂t+ v · ∇v

)= −eE − νme (6.3.1)

ν : effective ”collision frequency”

time-dependence(6.1.6)と stream velocity= 0として

(meiω + νme)v = −eE

⇒ v = −ie

me(1 + iν/ω)ωE (6.3.2)

eq.(6.2.2)と比較すると e− massをme →

(1 + i

ν

ω

)me (6.3.3)

と変えればよいことが分かる

(stream velocity= 0なら ω → ω − v · k)


longitudinal wave

dispersion relation : ω2 = ω2p ≡ 4πne2

me(6.3.4)

=ω2

e

1 + iν/ω(6.3.5)

⇔ ω2 + iνω − ω2p = 0 ⇔ ω = −1

2iν ±

(ω2

p − 14ν2

)1/2

(6.3.6)

≡ ωr + iωi (6.3.7)

ν < 2ωp を仮定すると

ωr =(

ω2p − 1

4ν2

)1/2

(6.3.8)

ωi = −12ν (6.3.9)

⇒ E ∝ e−νt/2 (6.3.10)

→ energyは e−νt で decay

transverse wave

dispersion relation : ω2 =ω2

p

1 + iν/ω+ c2k2 (6.3.11)

→ waveは damped

ω2 + iνω = ω2p + c2k2 + i

ν

ωc2k2

ω3 + iνω2 − (ω2p + c2k2)ω − iνc2k2 = 0

ω = ωr + iωi を代入

Re : ω3r − 3ωrω

2i − 2νωrωi = (ω2

p + c2k2)ωr (6.3.12)

Im : 3ω2r ωi − ω3

i + ν(ω2r − ω2

i ) = (ω2p + c2k2)ωi + c2k2ν (6.3.13)

ν À ωのとき

ω2r = ω2

p + c2k2 (6.3.14)

ωi = −12

ω2pν

ω2r

(6.3.15)

→ electromagnetic waveの dampingは plasma oscillationの dampingより小さいωr → ∞ (⇔ damping = 0): mediumが free spaceとして振る舞う→ energyは plasmaでなく electromagnetic fieldに存在

別解釈 ωは realだとしてk = kr + iki (6.3.16)

と考える。dispersion relationは

ω2 + iνω = ω2p + c2(k2

r − k2i + 2ikrki)

(1 + i

ν

ω

)ν ¿ ωに対して

ω2 = ω2p + c2k2 (6.3.17)

6.4. Electromagnetic waves in a cold magnetized electron plasma 39

Re : ω2 = ω2p + c2k2

r − c2k2i − 2c2krki

ν

ω

⇔ c2(k2r − k2

i ) = ω2 − ω2p + 2krkiνc2/ω

Im : νω =νc2

ω(k2

r − k2i ) + 2krkic

2

2式を 3式に代入

νω =ν

ω(ω2 − ω2

p) + 2krkiν2

ω2+ 2krkic

2

ki =νω2

e

2ωkrc2=

νω2p

2cω(ω2 − ω2p)1/2

(6.3.18)

ω → ∞で damping → 0

physical meaning damping=”free-free absorption”

eq.(6.3.9) eq.(6.3.15)

mode plasma oscillation electromagnetic waveωp → 0 →finite → 0

→ energy density= 0に対応:electromagnetic waveは真空が support

eq.(6.3.15) eq.(6.3.18)

mode electromagnetic wave electromagnetic wave全ての ωに対して finite ω → ωp で発散

→ group velocity= 0

6.4 Electromagnetic waves in a cold magnetized electron plasma

• 再び collisionは無視

• static uniform magnetic field B0

•

wave →

[electroc field E

additionalcomponent δB

eq. of motion :dv

dt= − e

meE − e

mecv × B0 (6.4.1)

→ 2nd-order term:(v · ∇)v,v × δBを無視

rectangular coordinate system: B0 = (0, 0, B0)

⇒ dv1

dt= − e

meE1 −

e

mecv2B0 (6.4.2)

dv2

dt= − e

meE2 −

e

mecv1B0 (6.4.3)

dv3

dt= − e

meE3 (6.4.4)

Fourier componentを考えて

iωv1 =e

meE1 + ωgv2 (6.4.5)

iωv2 =e

meE2 − ωgv1 (6.4.6)

iωv3 =e

meE3 (6.4.7)

where ωg =eB

mec: gyrofrequency (6.4.8)


vについて解くと

v1 = − ie

me(ω2 − ω2g)

(ωE1 − iωgE2) (6.4.9)

v2 = − ie

me(ω2 − ω2g)

(iωGE1 + ωE2) (6.4.10)

v3 = − ie

meωE3 (6.4.11)

current density :

j1

j2

j3

= −ne

c

− ieω

me(ω2−ω2g) − eωg

me(ω2−ω2g) 0

eωgme(ω2−ω2

g) − ieωme(ω2−ω2

g) 0

0 0 iemeω

E1

E2

E3

(6.4.12)

conductivety tensor : σ =

ine2ω

mec(ω2−ω2g)

ne2ωgmec(ω2−ω2

g) 0

− ne2ωgmec(ω2−ω2

g)ine2ω

mec(ω2−ω2g) 0

0 0 ine2

mecω

(6.4.13)

dielectroc tensor : K =

1 − ω2

pω2−ω2

g

iω2pωg

ω(ω2−ω2g) 0

− iω2pωg

ω(ω2−ω2g) 1 − ω2

pω2−ω2

g0

0 0 1 − ω2p

ω2

(6.4.14)

wave eq. : k × (k × E) +ω2

c2K · E = 0 (6.4.15)

two special case

• e− density= 0( ⇔ ωp = 0):K = δrs

⇔ K · E = 0⇔ longitudinal modeが無い

• extremely strong magnetic field( ⇔ ωg → ∞):

⇔ K =

1 0 00 1 00 0 1 − ω2

p/ω2

⇔ longitudinal modeが存在 (B0 に parallelな electric field)→ eq.(6.3.4)の dispersion relation一方、k·eq.(6.4.15) ⇔ k · (K · E)→ dispersion relationは (6.2.19)の vacuum form(ωp = 0)

strong magnetic fieldは e− が fieldに transverseな方向へ動くのを妨げる

6.5 Wave propagation normal to the magnetic field

k = (k, 0, 0)k × (k × E) = (k · E)k − k2E (6.5.1)

を使うと、eq.(6:waveeq)は

−k2

0E2

E3

+ω2

c2K ·

E1

E2

E3

= 0 (6.5.2)

6.5. Wave propagation normal to the magnetic field 41

図 6.5: Diagram giving the propagation propaties of electromagnetic waves propagating transverse toa magnetic field

A =ω2

c2

ω2 − ω2p − ω2

g

ω2 − ω2g

=ω2

c2

(1 −

ω2p

ω2 − ω2g

)

B =ω2

c2

ω2pωg

ω(ω2 − ω2g)

(6.5.3)

として A iB 0

−iB −k2 + A 0

0 0 −k2 + ω2−ω2p

c

E1

E2

E3

= 0 (6.5.4)

→ B0 に perpendicular/parallelな componentに分かれているE3 E3 6= 0から

dispersion relation : ω2 = ω2p + c2k2 (6.5.5)

→ non-magnetized plasma中の electromagnetic waveと同じこのmodeでは electric field‖DC magnetic field← e− はmagnetic fieldに parallelには自由に動けるため、dispersion relationは変更されない

E1, E2 [A iB

−iB −k2 + A

][E1

E2

]= 0 (6.5.6)

(E1, E2) 6= 0より

A2 − k2A − B2 = 0 (6.5.7)

⇔ k2 =A2 − B2

A(6.5.8)

=ω4

c4(ω2−ω2

p−ω2g)2

(ω2−ωg2 )2 − ω2

c4ω4

pω2g

(ω2−ω2g)2

ω2

c2ω2−ω2

p−ω2g

ω2−ω2g

dispersion relation : c2k2 =(ω2 − ω2

p)2 − ω2gω2

ω2 − ω2p − ω2

g

(6.5.9)

→ Fig.6.5

c2k2 < 0 : evanescent wavec2k2 > 0 : propagating wave


図 6.6: Dispersion relation for electromagnetic waves propagating transverse to a magnetic field.

• k = 0 (numerator= 0): lower frequency limit (cutoff frequency)

⇔ ω2 − ω2p = ±ωgω

ω > 0となるものをとって

ωL = −12ωg +

(ω2

p +14ω2

g

)1/2

(6.5.10)

ωR =12ωg +

(ω2

p +14ω2

g

)1/2

(6.5.11)

• k = ∞ (denominator= 0): upper hybrid frequency (resonance frequency)

ωH = (ω2p + ω2

g)1/2 (6.5.12)

electromagnetic waveが伝播できる branch

[ωL < ω < ωH

ω > ωR

6.6 Propagation parallel to the magnetic field

k ‖ B0 となる waveを考える

B0 = (0, 0, B0), k = (0, 0, k)

と成分表示

wave eq. : −k2

E1

E2

0

+ω2

c2K ·

E1

E2

E3

= 0

⇒

−k2 + ω2

c2ω2−ω2

p−ω2g

ω2−ω2g

iω2

c2ω2

pωg

ω(ω2−ω2g) 0

−iω2

c2ω2

pωg

ω(ω2−ω2g) −k2 + ω2

c2ω2−ω2

p−ω2g

ω2−ω2g

0

0 0 ω2

c2ω2−ω2

pω2

E1

E2

E3

= 0 (6.6.1)

E3 6= 0 → longitudinal electromagnetic wave=plasma oscillation[A iB

−iB A

][E1

E2

]= 0 (6.6.2)

6.6. Propagation parallel to the magnetic field 43

where A = ω2 − c2k2 −ω2

pω2

ω2 − ω2g

B =ω2

pωgω

ω2 − ω2g

(6.6.3)

(E1, E2) 6= 0

⇔ A = ±B (6.6.4)

⇒ E2

E1= ±i (6.6.5)

→ phaseが π/2ずれて、同じ大きさ: circular polarization

E2

E1= +i : right − hand circular polarization

E2

E1= −i : left − hand circular polarization (6.6.6)

right-hand circular polatizationは e− の rotationと synchronism

eq.(6.6.4) ⇔ c2k2 = ω2 −ω2

pω2

ω2 − ω2g

∓ω2

pωgω

ω2 − ω2g

= ω2 −ω2

pω(ω ± ωg)ω2 − ω2

g

= ω2

[1 −

ω2p

ω(ω ∓ ωg)

](6.6.7)

”refractive index” : n =ck

ω(6.6.8)

を導入

n2 = 1 −ω2

p

ω(ω ∓ ωg)(6.6.9)

Example Case1: ωp > ωg

特に ωp = 2ωg → Fig.6.7,6.8

ω ⇒

[e−による current displacement current

ω → ∞ Rightarrow n → 1: free spaceになる各modeに対して cutoffが存在

ωR : R-mode(right-hand circular polarization)の cutoffωL : L-mode(left-hand circular polarization)の cutoff

ω → ωg ⇒ k → ∞: ”resonance”が存在→ electromagnetic waveと e−gyromotionとの synchronismCase2: ωg > ωp

特に ωg = 2ωp → Fig.6.9,6.10ω = ωg で right-hand circular polarized mode に対する resonance

Case1 : ωR, ωL 間に伝播不可能な領域

Case2 : どの領域でも 1つのmodeは伝播可能

L-modeの dispersion relationはmagnetic fieldがない plasmaでの electromagnetic modeの dispersionrelationと似ている→ ”ordinary mode” ↔ ”extraordinary mode”(R-mode)


図 6.7: Curve showing the refractive index of elec-tromagnetic waves propagating parallel to the mag-netic field for the case ωp = 2ωg.

図 6.8: Dispersion relation corresponding to therefractive index curve shown as Fig.6.6

図 6.9: Curve showing the refractive index of elec-tromagnetic waves propagating parallel to the mag-netic field for the case ωg = 2ωp.

図 6.10: Dispersion relation corresponding to therefractive index curve shown as Fig.6.8

6.7. Faraday rotation 45

6.7 Faraday rotation

magnetic fieldに沿って伝播する linearly polarized transverse wave2つの circularly polarized wave:

wave vector : k± =ω

c

[1 −

ω2p

ω(ω ∓ ωg)

]1/2

(6.7.1)

→ combined waveは linearly polarized 1

E1(x, t) = E0ek+z−ωt + E0e

k−z−ωt

⇒ E1 = E0[cos(k+z − ωt) + cos(k−z − ωt)]

E2(x, t) = −iE0ek+z−ωt + iE0e

k−z−ωt

⇒ E2 = E0[sin(k+z − ωt) − sin(k−z − ωt)] (6.7.2)

E1 = 2E0 cos(

k+ + k−2

z − ωt

)cos

(k+ − k−

2z

)E2 = 2E0 cos

(k+ + k−

2z − ωt

)sin

(k+ − k−

2z

) (6.7.3)

Φ:electric vectorが x-axisとなす角

E2

E1= tanΦ (6.7.4)

⇒ Φ =k+ − k−

2z (6.7.5)

⇒ dΦdz

=12(k+ − k−) (6.7.6)

積分する距離を長くとれば ωp, ωg は slowly varying

rotationの total angle : Φ =∫ d

0

dΦds

ds =∫ d

0

12(k+ − k−)ds (6.7.7)

interstellar spaceではmagnetic field strength∼ [µG]→ gyrofrequency∼ [Hz]→ plasma frequency∼ few [kHz]

k± =ω

c

[1 − 1

2ω2

p

ω(ω ∓ ωg)

]' ω

c

[1 −

ω2p

2ω2

(1 ± ωg

ω

)](6.7.8)

dΦds

= −ω2

p

2cω

(1 +

ωg

ω

)+

ω2p

2cω

(1 − ωg

ω

)= −

ω2pωg

2cω2(6.7.9)

= − 12cω2

· 4πne2

me· eB

mec= −2πnee

3B

m2ec

2ω2(6.7.10)

⇒ Φ = − e3

2πm2ec

2ν2

∫ d

0

neB‖ds (6.7.11)

上の計算はmagnetic fieldに parallelな伝播を仮定しかし、generalにも ωg, ωp ¿ ωとすれば上式で rotationが計算できる

eq.(??) → −RM

ν2RM : ”rotationmeasure” (6.7.12)

1但し、electric field vector の向きは位置によって変わる


Numerically RM = 104.37

∫ d

0

neB‖ds (6.7.13)

但し、polarizationの方向はmod πの不定性がある

→ いくつかの frequencyでのmeasurementが必要

注意 rotationは magnetic fieldに沿って決めたが、some application(ionospheric propagation/radioastronomy)では receiving waveから決める→ ”right-hand”,”left-hand”が逆転

6.8 Dispersin of radio waves

plasma中では different frequencyの electromagnetic wave: different group velocity→ signalの propagationがmediumの情報を持っている→ radio astronomyでは”relative” arrival timesが分かればいい

approximate relationship(6.7.8):ωp, ωg ¿ ωで valid

group velocity : u =dω

dk(6.8.1)

eq.(6.7.8)より

u−1 =dk

dω=

d

dω

ω

c

[1 −

ω2p

2ω

(1 ± ωg

ω

)]

=1c

[1 −

ω2p

2ω

(1 ± ωg

ω

)]+

ω

c

[ω2

p

ω3

(1 ± ωg

ω

)+

ω2p

2ω2

(±ωg

ω2

)]

=1c

[1 +

ω2p

2ω2

] (6.8.2)

ωp, ωg が slow variationになるような large distanceで積分

T =∫ d

0

u−1ds : total propagation time (6.8.3)

=d

c+

12cω2

∫ d

0

ω2pds (6.8.4)

=d

c+ Dν−2 (6.8.5)

where D =e2

2πmec

∫ d

0

neds : dispersion measure (6.8.6)

Numerically, D = 10−2.88

∫ d

0

neds (6.8.7)

[MHz]を単位として

D(MHz) = 103.61

∫ d

0

ne(cm−3)ds(pc) (6.8.8)

2つの different frequencyの pulseでの arrival timeの差は

∆T = T2 − T1 = D

(1ν22

− 1ν21

)(6.8.9)

21cm H atom absorption lineから distanceが分かる→ e− densityの estimate: 0.01 − 0.1[cm−3], average ∼ 0.03[cm−3]

6.9. Whistlers 47

6.9 Whistlers

Earth’s magnetosphereのmagnetic field lineに沿って伝播する very low frequency electromagneticwave→ lightning dischargeによって起こる:earth’s magnetic field linesに沿って earth’s surfaceの”conjugatepoiont”に travelしている waveの全ての frequencyを励起する

49

第7章 Electromagnetic waves in an

electron-ion plasma

7.1 The dispersion relation

Ch.6の内容 +more species of ion

formulation electric fieldのmagnetic fieldに normalな component:

E+ = E1 + iE2, E− = E1 − iE2 (7.1.1)

velocity : v+ = v1 + iv2, v− = v1 − iv2 (7.1.2)

B0 = (0, 0, B0)

species sの chargeの符号 : εs

chargeの大きさ Zse

mass ms

eq. of motion : msdvs

dt= εsZse

(E +

1cvs × B−

)(7.1.3)

wave vector k, frequency ωの waveを考える

−iωvs =εsZse

ωms

(E +

1cvs × B0

)(7.1.4)

component1, 2 : v1 = iεsZse

ωmsE1 + i

εsZse

ωmscB0v2

v2 = iεsZse

ωmsE2 − i

εsZse

ωmscB0v1 (7.1.5)

component3 : v3 = iεsZse

ωmsE3 (7.1.6)

gyrofrequency : ωg,s =ZseB0

msc(7.1.7)

A± 表示に変換

v± = iεsZse

ωmsE± ± εsωg,s

ωv± (7.1.8)

⇒ v± =i εsZse

ωmsE±

1 ∓ εsωg,sω

=iεscωg,s

ωB

1 ∓ εsωg,sω

(7.1.9)

total current density : j =e

c

∑s

εsZsnsvs (7.1.10)

50 第 7章 Electromagnetic waves in an electron-ion plasma

⇒ j± =e

c

∑s

εsZsnsciωg,sεs

(ω ∓ εsωg,s)B0E±

=i

4πc

∑s

4πZsens ·Zse

mec· cE±

ω ∓ cωg,s

=i

4πc

∑s

ω2p,s

ω ∓ εsωg,sE± (7.1.11)

where ω2p,s =

4πnsZ2s e2

ms(7.1.12)

component3 : j3 =e

c

∑s

εsZsnsv3 =e

c

∑s

εsZsnsiεsZse

ωmeE3 =

i

4πc

∑s

ω2p,s

ωE3 (7.1.13)

dielectric tensor : Dr = KrsEs = Er +4πic

ωjr (7.1.14)

4πic

ω(j1 ± ij2) = −

∑s

ω2p,s

ω(ω ∓ εsωg,s)(E1 ± iE2)

E1 +4πic

ωj1 =

12

[2 −

∑s

ω2p,s

ω(ω − εsωg,s)−

∑s

ω2p,s

ω(ω + εsωg,s)

]E1

+12

[−

∑s

ω2p,s

ω(ω − εsωg,s)+

∑s

ω2p,s

ω(ω + εsωg,s)

]iE2

E2 +4πic

ωj2 =

12

[∑s

ω2p,s


∑s

ω2p,s

ω(ω + εsωg,s)

]iE1

+12

[2 −

∑s

ω2p,s


∑s

ω2p,s

ω(ω + εsωg,s)

]E2

よって、dielectric tensorは

K =

S −iD 0iD S 00 0 P

(7.1.15)

where P = 1 −∑

s

ω2p,s

ω2(7.1.16)

S =12(R + L)

D =12(R − L) (7.1.17)

where R = 1 −∑

s

ω2p,s

ω(ω − εsωg,s)

L = 1 −∑

s

ω2p,s

ω(ω + εsωg,s)(7.1.18)

wave eq. : k × (k × E) +ω2

c2K · E = 0 (7.1.19)

waveの方向に parallelな vector

n =ck

ω(7.1.20)

を導入

n = |n| =ck

ω(7.1.21)

7.1. The dispersion relation 51

wave eq. : n × (n × E) + K · E = 0 (7.1.22)

n = n(sin θ, 0, cos θ) (7.1.23)

ととると、

n × (n × E) =n2

0 − cos θ 0cos θ 0 − sin θ

0 sin θ 0

2 E1

E2

E3

=n2

− cos2 θ 0 sin θ cos θ

0 −1 0sin θ cos θ 0 − sin2 θ

E1

E2

E3

(7.1.24)

wave eq. :

S − n2 − cos2 θ iD n2 sin θ cos θ

iD S − n2 0n2 sin θ cos θ 0 P − n2 sin2 θ

E1

E2

E3

= 0 (7.1.25)

dispersion relation det = 0より

det =n2 sin θ cos θ(n2 − S)n2 sin θ cos θ + (P − n2 sin2 θ)[(S − n2 cos2 θ)(S − n2) − D2]

= sin2 θ cos2 θn6 − S sin2 θ cos2 θn4 + (P − n2 sin2 θ)[cos2 θn4 − S(1 + cos2 θ)n2 + S2 − D2]

=(S sin2 θ + P cos2 θ)n4 − [(S2 − D2) sin2 θ + PS(1 + cos2 θ)]n2 + P (S2 − D2)

=An4 − Bn2 + C = 0(7.1.26)

A = S sin2 θ + P cos2 θ

B = RL sin2 θ + PS(1 + cos2 θ)

C = PRL (7.1.27)

S2 − D2 = RL (7.1.28)

Solution : n2 =B ±

√B2 − 4AC

2A≡ B ± F

2A(7.1.29)

F 2 =B2 − 4AC

=R2L2 sin4 θ + 2LPRS sin2 θ(1 + cos2 θ) + P 2S2(1 + cos2 θ)2 − 4LPRS sin2 θ − 4LP 2R cos2 θ

=R2L2 sin4 θ + 2LPRS sin2 θ + P 2S2 sin4 θ + 4P 2S2 − 4P 2S2 sin2 θ − 4LP 2R cos2 θ

=(RL − PS)2 sin4 θ + 4P 2D2 cos2 θ

(7.1.30)eq.(7.1.27)を

A = S sin2 θ + P cos2 θ

B = (RL + PS) sin2 θ + 2PS cos2 θ (7.1.31)

C = PRL sin2 θ + PRL cos2 θ (7.1.32)

と表すと、eq.(7.1.26)は

(S tan2 θ + P )n4 − [(RL + PS) tan2 θ + 2PS]n2 + PRL tan2 θ + PRS = 0

[Sn4 − (RL + PS)n2 + PRL] tan2 θ + Pn4 − 2PSn2 + PRL = 0

tan2 θ = − P [n4 − (R + L)n2 + RL]Sn4 − (RL + PS)n2 + PRL

= − P (n2 − R)(n2 − L)(Sn2 − RL)(n2 − P )

(7.1.33)


→ dispersion relationθ = 0

modes : P = 0, n2 = R, n2 = L (7.1.34)

P = 0は plasma oscillationに対応: ω2 =∑

ω2p,s

wave eq.(7.1.25)からE2

E1=

iD

n2 − S(7.1.35)

n2 = R ⇒ E2/E1 = i : right-hand circular polarizedn2 = L ⇒ E2/E1 = −i : left-hand circular polarized

θ = π/2

mode : n2 = P, n2 =RL

S(7.1.36)

n2 = P のときは

⇔ ω2 =∑

s

ω2p,s + c2k2 (7.1.37)

となり、eq.(6.5.5)と consistentn2 = RL/S のときは

c2k2

ω2=

[1 −

∑s

ω2p,s

ω(ω−εsωg,s)

] [1 −

∑s

ω2p,s

ω(ω+εsωg,s)

]1 − 1

2

∑s

ω2p,s

ω(ω−εsωg,s)− 1

2

∑s

ω2p,s

ω(ω+εsωg,s)

(7.1.38)

eq.(6.5.9)に対応するmode

7.2 Wave propagation in an electron plasma

e− の responseのみを考える

paremeters : α =ωp

ω, β =

ωg

ω(7.2.1)

を導入

⇒ S =1 − α2

1 − β2

P =1 − α2

D =α2β

1 − β2

(7.2.2)

cutoff: n = 0eq.(7.1.26)で C = 0が必要 (

1 − α2

1 − β

)(1 − α2

1 + β

)(1 − α2) = 0 (7.2.3)

⇔ (1 − β − α2)(1 + β − α2)(1 − α2) = 0

⇔ (1 − α2)2 − β2 = 0 : ”cyclotron cutoff”

1 − α2 = 0 : ”plasma cutoff” (7.2.4)

7.2. Wave propagation in an electron plasma 53

resonance: n = ∞A = 0が必要 (但し、Aは θ-depend)→ θ = θres で決まる critical coneが存在 ”resonance cone”

→あるmodesは coneの中しか伝播できない他のmodesは coneの外しか伝播できない

θ = 0: eq.(7.1.27)から A = 0 ⇒ P = 0しかし、eq.(7.1.26)では θ = 0とすれば P はくくれて

n4 − 2Sn2 + RL = 0 (7.2.5)

⇔ (n2 − R)(n2 − L) = 0 (7.2.6)

n2 = R ⇔ n2 = 1 − α2

1 − β(7.2.7)

→ β = 1で resonance ⇔ ω = ωg,e

一方、n2 = L ⇔ ω = −ωg,e:起こらない→ R-modeのみが resonance

θ = π/2:

A = 0 ⇒ S = 1 − α2

1 − β2= 0 (7.2.8)

⇔ α2 + β2 = 1 (7.2.9)

⇔ ω2 = ω2p + ω2

g (7.2.10)

→ resonanceは upper hubrid frequencyで起こる

Fig.(7.1)

a : plasma cutoff α2 = 1b : electron cyclotron resonance β = 1c : cyclotron cutoff (1 − α2)2 = β2

d : upper hybrid resonance α2 + β2 = 1


図 7.1: Division of the α2-β2 plane according to the cutoffs and resonances.

55

第8章 Two-stream instability

8.1 Particle streams of zero temperature

formulation cold interpenetrating plasma streanの collectionparticle:e(electrom),1, 2, ·

perturbation : ns = ns + δns

vs = vs + δvs (8.1.1)

assumption : ζ =∑

s

nsqs = 0 (8.1.2)

→ unperturbed stateでは electric fieldは無い

Maxsell eq. ⇒ δ · δE = 4π∑

s

qsδns : perturbed electric field (8.1.3)

nonrelativisticを仮定して

eq. of motion :∂vs

∂t+ vs · ∇vs =

qs

msE (8.1.4)

perturbationを考えて∂δvs

∂t+ vs · ∇δvs =

qs

msδE (8.1.5)

continuity eq. :∂ns

∂t+ ∇ · (nsvs) = 0 (8.1.6)

perturbationを考えて∂δns

∂t+ vs · ∇δns + ns∇ · δvs) = 0 (8.1.7)

wave vector k, frequency ωの waveを考えると

ik · E = 4π∑

s

qsδns (8.1.8)

−iωδvs + i(k · vs)δvs =qs

msE (8.1.9)

iωδns + i(k · vs)δns + insk · δvs = 0 (8.1.10)

となる。よって

δvs =qsms

E

−i(ω − k · vs)(8.1.11)

δns =nsk · δvs

ω − k · vs(8.1.12)

=ns

qsms

k · E−i(ω − k · vs)2

(8.1.13)

eq.(8.1.8)に代入して

ik · E = i

[∑s

4πq2s ns

ms

1(ω − k · vs)2

]k · E (8.1.14)

⇔

[∑s

ω2p,s

(ω − k · vs)2− 1

]k · E = 0 (8.1.15)

56 第 8章 Two-stream instability

図 8.1: Schematic representation of the function G(vφ) defined by (8.2.4)

longitudinal modeが存在 ⇔ k · E 6= 0なので

∑s

ω2p,s

(ω − k · vs)2= 1 (8.1.16)

example 全ての streamの velocityが 0とすると

ω2 =∑

s

ω2p,s (8.1.17)

e− streamのみだとすると(ω − k · ve)2 = ω2

p,e (8.1.18)

group velocity= ve = e− stream の unperturbed velocity→ simpe plasma oscillationが e− streamとともに伝播

8.2 Two-stream instability

formulation e− の two streamassumption

• e− streasmは high frequency→ back ground ionsは無視できる

• velocityが parallelになるmoving frameを用いる→ 1-dim

dispersion relation :ω2

p1

(ω − v1k)2+

ω2p2

(ω − v2k)2= 1 (8.2.1)

phase velocity : vφ =ω

k(8.2.2)

を導入すると


p1

k2(vφ − v1)2+

ω2p2

k2(vφ − v2)2= 1 (8.2.3)

⇔ G(vφ) ≡ω2

p1

(vφ − v1)2+

ω2p2

(vφ − v2)2= k2 (8.2.4)

→ root vφ は complex conjugete pairが 2つ

8.3. Two identical opposing streams 57

critical value dG/dvφ = 0となる kc を定義

k2 > k2c : 4 real roots → 4 waves

k2 < k2c : 2 real roots+2 complex → instability

dG

dvφ= −2

ω2p1

k2(vφ − v1)2− 2

ω2p2

k2(vφ − v2)2= 0

⇔ ω2/3p1 (vφ − v2) = −ω

2/3p2 (vφ − v1)

⇔ vφ,c =ω

2/3p1 v2 + ω

2/3p2 v1

ω2/3p1 + ω

2/3p2

(8.2.5)

k2c = ω2

p1

[ω

2/3p1 (v2 − v1)

ω2/3p1 + ω

2/3p2

]−2

+ ω2p2

[ω

2/3p2 (v1 − v2)

ω2/3p1 + ω

2/3p2

]−2

=(ω2/3

p1 + ω2/3p2 )3

(v2 − v1)2(8.2.6)

1-streamは stableだが、v1 − v2 → 0とすると kc → ∞→ paradox:T =finiteとすれば解決

relativistic form

”longitudinal” mass : mL = γ3m (8.2.7)

を導入

ω2p =

4πne2

γ3m(8.2.8)

8.3 Two identical opposing streams

assumption

• 2 streamの densityは同じ

• velocityは大きさが同じで、向きが反対

v1 = −v2 = v, ωp1 = ωp2 = ωp (8.3.1)


p

(ω − vk)2+

ω2p

(ω + vk)2(8.3.2)

⇔ ω2p[(ω + vk)2 + (ω − vk)2] = (ω2 − v2k2)2

⇔ 2ω2p(ω2 + v2k2) = (ω2 − v2k2)2 (8.3.3)

⇔ ω4 − 2(ω2p + v2k2)ω2 − 2ω2

pv2k2 + v4k4 = 0 (8.3.4)

ω2 =ω2p + v2k2 ± (ω4

p + 4ω2pv2k2)1/2

=ω2p + v2k2 ± ωp(ω2

p + 4v2k2)1/2(8.3.5)

→ Fig.(8.2)

critical value

k2 > k2c : ωは全て real

k2 < k2c : ωの内、2つは complex

eq.(8.3.5)で L.H.S = 0とおいて

ω4p + 4v2k2

cω2p = (ω2

p + v2k2c )

2 = ω4p + 2v2k2

cω2p + v4k4

c

kc =21/2ωp

v(8.3.6)

v → 0 ⇒ kc → ∞: unstable


図 8.2: Representation of relationship between ω2 and k2 given by (8.3.5)

most unstable mode eq.(8.3.5)を k2 で微分

dω2

dk2= v2 ∓ 2v2ωp(ω2

p + 4v2k2m)1/2 = 0

⇒ km =31/2

2ωp

v(8.3.7)

→ frequencyのmaximum imaginary:

ω2 =ω2p + v2k2

m − ωp(ω2p + 4v2k2)1/2

=ω2p +

34ω2

p − ωp

√4ω2

p = −14ω2

p

ωim =12

(8.3.8)

→ 最も unstableなmodeは plasma frepuencyの orderで amplitudeが増えていくまた、

ωc = 21/2ωp (8.3.9)

とすると

ω2 > ω2c : kは全て real

ω2 < ω2c : kの内、2つは real,2つは complex

type分け wave

• evanescent wave: cutoff以下の frequencyを持った wave → decay

• traveling-wave tube内の waveのような wave:amplificationを目的として使われる

instability

• convective: v1, v2 が同じ符号

• absolude: v1, v2 が違う符号

8.3. Two identical opposing streams 59

図 8.3: Dispersion relation for two identical but opposing streams.

図 8.4: Schematic representation of the form of the dispersion relation for two streams traveling inthe same direction


8.4 Stream moving throught a stationary plasma

plasma frequency ωp の stationary plasma+plasma frequency ωp1,velocity vで動く stream


p

ω2+

ω2p1

(ω − vk)2= 1 (8.4.1)

⇔ G(vφ) =ω2

p

v2φ

+ω2

p

(vφ − v)2= k2 (8.4.2)

kc =[ω2/3

p + ω2/3p1 ]3/2

v=

ωp

v

[1 +

(ωp1

ωp

)2/3]3/2

(8.4.3)

ωp1 ¿ ωp を仮定

kc 'ωp

v

[1 +

32

(ωp1

ωp

)2/3]

(8.4.4)

maximum growth rate

ω = ωp + ∆ω, k = v−1ωp + ∆k (8.4.5)

として、dispersion relationに代入(ωp

ωp + δω

)2

+(

ωp1

∆ω − v∆k

)2

=1

ω2p(∆ω − v∆k)2 + ω2

p1(ωp + ∆ω)2 =(ωp + ∆ω)2(∆ω − v∆k)2

ω2p1(ωp + ∆ω)2 =∆ω(2ωp + ∆ω)(∆ω − v∆k)2

⇔ ∆ω(∆ω − v∆k) =12ωpω2

p1 (8.4.6)

dimensionless parameters : ξ =(

12ωpω2

p1

)−1/3

∆ωr

η =(

12ωpω2

p1

)−1/3

∆ωi

κ =(

12ωpω2

p1

)−1/3

v∆k

(8.4.7)

⇒ (ξ + iη)(ξ + iη − κ)2 = 1 (8.4.8)

(ξ + iη)[(ξ − κ)2 − η2 + 2η(ξ − κ)i] = 1

Im : η(ξ2 − 2ξκ + κ2 − η2) + 2ξη(ξ − η) = 0

⇔ η2 = 3ξ2 − 4ξκ + κ2 (8.4.9)

Re : ξ(ξ2 − 2ξκ + κ2 − η2) − 2η2(ξ − κ) = 1

⇔ ξ(ξ2 − 2ξκ + κ2 − 3ξ2 + 4ξκ − κ2) − 2(3ξ2 − 4ξκ + κ2)(ξ − κ) = 1

⇔ −2ξ3 + 2ξ2κ − 6ξ3 + 14ξ2κ − 10ξκ2 + 2κ3 = 1

⇔ −8ξ3 + 16ξ2κ − 10ξκ2 + 2κ3 = 1 (8.4.10)

imaginary frequency ∆ωi のmaximumを見つける→ small perturbation δξ, δη(= 0), δκ

eq.(8.4.9),(8.4.10)の変分から[3ξ − 2κ −2ξ + κ

−12ξ2 + 16ξκ − 5κ2 8ξ2 − 10ξκ + 3κ2

][δξ

δκ

]= 0

8.4. Stream moving throught a stationary plasma 61

上式が任意の δξ, δκに対して成立

det =(3ξ − 2κ)(8ξ2 − 10ξκ + 3κ2) − (−2ξ + κ)(−12ξ2 + 16ξκ − 5κ2)

= − 2ξ2κ + 3ξκ2 − κ3

= − κ(2ξ2 − 3ξκ + κ2)

= − κ(2ξ − κ)(ξ − κ) = 0

よって、

(a) :ξ

κ=

12

(b) :ξ

κ= 1

(c) : κ = 0 (8.4.11)

となる。η2 の値を調べると

(a) : η2 = 3ξ2 − 3ξ2 + 4ξ2 = −ξ2 < 0

(b) : η2 = 0

(c) : η2 = 3ξ2 > 0

→ (c)を使う

ξ = −12, η =

√3

2, κ = 0 (8.4.12)

→ maximum growth rate : ω =ωp − 0.396ω1/3p ω

2/3p1 + iω1/3

p ω2/3p1

k =ωp

v

(8.4.13)

⇒ ωi,m

ωp= 0.687

(ωp1

ωp

)2/3

(8.4.14)

→ e− streamと ion streamに適用可能

ω2p = ω2

p,e =4πnee

2

me, ω2

p1 = ω2p,i =

4πniZie2

mi(8.4.15)

ion=protonとしてωp,p

ωp,e=

(me

mp

)1/2

= 10−1.63 (8.4.16)

⇒ ωi,m = 10−1.25ωp,e (8.4.17)

e−-ion plasmaの two-stream instability=”Buneman instability”

63

第9章 Electrostatic oscillations in a

plasma of nonzero temperature

9.1 Distribution function

volume element[x1, x1 + dx1] [v1, v1 + dv1][x2, x2 + dx2] [v2, v2 + dv2][x3, x3 + dx3] [v3, v3 + dv3]

内の particle数

d6N = f(x,v, t)dx1dx2dx3dv1dv2dv3 (9.1.1)

微妙なところ

d3x, d3vを小さくとる

[f → ∞ (particleの中心に volume element)f → 0 (ohterwise)

これを避けるには、spatial/velocity gradientが spatial/velocity dimension ∆x/∆v で特徴づけられる

として、

f(∆x)3(∆v)3 À 1 (9.1.2)

を課せばよい

又は、eq.(9.1.1)をその volume element内に粒子を発見できる確率と解釈して、f の概念を延長する

physical quantities

particle density : n(x, t) =∫

d3vf(x,v, t) (9.1.3)

particle flux : F =∫

d3vf(x,v, t) (9.1.4)

= n〈v〉 (9.1.5)

average velocity : 〈v〉 = n−1

∫d3vf(x,v, t)v (9.1.6)

higher moment : 〈v2〉 = n−1

∫d3vf(x,v, t)v2 (9.1.7)

charge density : ζ =∑

σ

qσ

∫d3vfσ(x,v, t) (9.1.8)

current density : j = sumσqσ

c

∫d3vfσ(x,v, t)v (9.1.9)

acceleration vector field : a(x,v, t) =dv

dt=

q

mE +

q

mcv × B (9.1.10)

time intrval dtに対して

x → x′ = x + vdt (9.1.11)

v → v′ = v + adt (9.1.12)

f → f ′ = f +∂f

∂tdt (9.1.13)

(9.1.14)

64 第 9章 Electrostatic oscillations in a plasma of nonzero temperature

d3xd3v, d3x′d3v′ それぞれに入っている particleは同数

f ′(x′,v′, t′)d3x′d3v′ = f(x,v, t)d3xd3v (9.1.15)

volume elementの関係は

d3x′d3v′ =∂(x′

1, x′2, x

′3, v

′1, v

′2, v

′3)

∂(x1, x2, x3, v1, v2, v3)d3xd3v (9.1.16)

Jacobianを O(dt1)の orderで計算して

J =det

1 0 0 dt 0 00 1 0 0 dt 00 0 1 0 0 dt

1 + ∂a1∂v1

dt ∂a1∂v2

dt ∂a1∂v3

dt

∗ ∂a2∂v1

dt 1 + ∂a2∂v2

dt ∂a2∂v3

dt∂a3∂v1

dt ∂a3∂v2

dt 1 + ∂a3∂v3

dt

'

(1 +

∂a1

∂v1dt

)det

[1 + ∂a2

∂v2dt ∂a2

∂v3dt

∂a3∂v2

dt 1 + ∂a3∂v3

dt

]

'1 +(

∂a1

∂v1+

∂a2

∂v2+

∂a3

∂v3

)dt

⇒ d3x′d3v′ =(

1 +∂ar

∂vrdt

)d3xd3v (9.1.17)

以上から [f + vrdt

∂f

∂xr+ ardt

∂f

∂vr+

∂f

∂t

] [1 +

∂as

∂vsdt

]= f +

(∂f

∂t

)c

dt (9.1.18)

c:”collision term”∂f

∂t+ vr

∂f

∂xr+

∂

∂vr(arf) =

(∂f

∂t

)c

(9.1.19)

eq.(9.1.10)から ∂ar/∂vr = 0

⇒ ∂f

∂t+ vr

∂f

∂xr+ ar

∂f

∂vr=

(∂f

∂t

)c

(9.1.20)

→ relativistic gasでは ∂ar/∂vr 6= 0

collision eq.(9.1.20)

2-body large-angle collision Boltzmann eq.small-angle collision Fokker-Plank eq.

neglect Vlasov eq.

∂f

∂t+ vr

∂f

∂xr+

( q

mEr +

q

mcεrstvsBt

) ∂f

∂vr= 0 (9.1.21)

”collision-less Boltzmann eq.”

9.2 Linear perturbation analysis of the Vlasov equation

assumption

• uniform plasma with fixed ions

• no magnetic field

• no electric field

• perturbationによるmagnetic fieldは無視

9.2. Linear perturbation analysis of the Vlasov equation 65

formulation

→ small perturbation : f = f0 + f1, E = E1 (9.2.1)

eq.(9.1.21) ⇒ ∂f

∂t+ vr

∂f1

∂xr− q

meE1r

∂f0

∂vr= 0 (9.2.2)

1-dimで書き下して∂f1

∂t+ v

∂f1

∂x− q

meE1

∂f0

∂v= 0 (9.2.3)

Maxwell eq. :∂E1

∂x= −4πe

∫dvf1 (9.2.4)

normalized distribution function : g(x, v, t) = n−10 f(x, v, t) (9.2.5)

⇒ ∂g1

∂t+ v

∂g1

∂x− q

meE1

dg0

dv= 0 (9.2.6)

∂E1

∂x= −4πn0e

∫dvg1 (9.2.7)

n0, g0 が時間・空間的に uniformと仮定Fourier変換を使って

g1(x, v, t) =∫ ∫

dkdωei(kx−ωt)g1(k, v, ω) (9.2.8)

g1(x, v, t) = (2π)−2

∫dxdte−i(kx−ωt)g1(x, v, t) (9.2.9)

⇒ −iωg1 + ivkg1 −e

mE1

dg0

dv= 0 (9.2.10)

ikE1 = −4πnee

∫dvg1 (9.2.11)

ω = vkとなる場合を除いて

g1 =i e

m E1dg0dv

ω − vk(9.2.12)

eq.(9.2.11)に代入 [1 − 4πn0e

ik

∫dv

i em

dg0dv

v − ωk

]E1 = 0

⇔

[1 −

ω2p

k2

∫dv

dg0dv

v − ωk

]E1 = 0 (9.2.13)

E1 6= 0より

dispersion relation : ε(k, ω) = 1 −ω2

p

k2

∫dv

dg0dv

v − ωk

= 0 (9.2.14)

部分積分して

ε(k, ω) ≡ 1 −ω2

p

k2

∫dv

g0dv(v − ω

k

)2 = 0 : dielectric function (9.2.15)

g0 = δ(v)とすると、cold plasmaの結果

1 −ω2

p

ω2= 0 (9.2.16)

→ plasma oscillationの一般化


図 9.1: The normalized distribution funcion g0(v) is zero for |v| > v0

9.3 Dispersion relation for a warm plasma

Fig.9.1の形の g0

g0 = 0 for |v| > v0 (9.3.1)

dispersion relationを |ω/k| À v0 に対して展開

1 −ω2

p

ω2

∫g0dv

[1 +

2vk

ω+

3v2k2

ω2+ · · ·

]= 0 (9.3.2)

g0 が vに関して symmetricと仮定

⇒ 1 −ω2

p

ω2

[1 +

3k2

ω2〈v2〉

]= 0 (9.3.3)

⇔ ω2 = ω2p + 3〈v2〉k2 (9.3.4)

→ ”warm” plasma中の Langmuir waveに対する dispersion relatione− distribution=Maxwellianとすると

12me〈v2〉 =

32kBT (9.3.5)

⇒ ω2 = ω2p + 3

kBT

mek2 (9.3.6)

→ phase velocityÀ e−の thermal velocityの electromagnetic waveでは、e−とwaveの resonanceは無い

9.4 The Landau initial-value problem

n stream = 2n modes→ e− velocity distribution: ∞ stream = ∞ modes ?

Case-Van-Kampen approach single value k の initial disturbance が範囲を持った frequency をexcite→ get out of phase→ original disturbanceの damping

Laudau approach plasma behaviorを initial value problemとして扱う→ frequencyが complex→ damping

9.4. The Landau initial-value problem 67

assumption

• 1-dim electrostatic oscillation of e−

• ionsは infinitely massive → fixed

• unperturbed stateは homogeneous+time-independent→ no electric/magnetic field

• collisionは無視

equation

Vlasov eq. :∂g1

∂t+ v

∂g1

∂x− e

meE1

dg0

dv(9.4.1)

initial condition : g1(x, v, 0) = g10(x, v) (9.4.2)

poisson′s eq. :∂E1

∂x= −4πn0e

∫dvg1 (9.4.3)

eq.(9.4.1) → ∂g1

∂t+ v

∂g1

∂x− e

meE1

dg0

dv= g10δ(t) (9.4.4)

with g1 = 0, E1 = 0, for t > 0 (9.4.5)

impulsive ”forcing term”を導入1したのと equivalent

formulation Fourier変換を使って

−iωg1 + ivkg1 −e

meE1

dg0

dv=

12π

g10 (9.4.6)

ikE1 = −4πn0e

∫dvg1 (9.4.7)

g0 は time-independentなので

g10(x, v) =∫

dkeikxg10(k, v), g10(k, v) = (2π)−1

∫dxe−ikxg10(x, v) (9.4.8)

eq.(9.2.9)から g1(k, v, ω), E1(k, ω)を定義する integralは、ωi > 0で well-defined→ g1, E1 は complex ω-planeの上半面で well-defined

g1 =1

i(vk − ω)

[e

meE1

dg0

dv+

12π

g10

]=

1i(vk − ω)

[e

meg′0

4πi

kn0e

∫dvg1 +

12π

g10

]=

ω2p

k2(v − ω

k

)g′0(v)∫

dv′g1(v′) +1

2πik

g10(v)v − ω

k

(9.4.9)

これを vで積分

1st term :∫

dvω2

p

k2(v − ω

k

)g′0(v)∫

dv′g1(v′) =ω2

p

k2

∫g′0(v)v − ω

k

dv

∫dv′g1(v′)

2nd term :1

2πik

∫dv

g10(v)v − ω

k

1plasma が t = 0 で initial state へ急に変化


図 9.2: Causality considerations indicate that the line denoted by Γω is an acceptable contour ofintegration in (9.4.11) and (9.4.12). This contour may be moved lower in the complex plane, providedit does not cross any singularities, for instance to yield the contour Γ′

ω. Singularities in the ωr-ωi

plane are denoted by ×

図 9.3: The contour Γω is here deformed into the contour ABCD, where the sections AB and CD aresupposed to be located at infinite distances left and right.

[1 −

ω2p

k2

∫g′0(v)v − ω

k

dv

]∫dvg1(v) = − i

2πk

∫Γv

dvg10(v)v − ω

k

⇔∫

dvg1(v) = − i

2πkε(k, ω)

∫Γv

dvg10(v)v − ω

k

(9.4.10)

Γv:complex v-planeでの contour→ この値が分かれば eq.(9.4.7)から E1 が分かる = eq.(9.4.9)から kg1 が分かる

time evolution : g1(k, v, t) =∫

Γω

dωe−iωtg1(k, v, ω) (9.4.11)

E1(k, t) =∫

Γω

dωe−iωtE1(k, ω) (9.4.12)

Γω:complex ω-planeでの contour→ 形は因果律 (9.4.5)から決まる

• contour Γω が全ての singularitiesより上にあれば、経路を変形して ω = +i∞とできる

• すると、eq.(9.4.11),(9.4.12)から因果律が満たされる

→ Fig.9.2この contourは Fig.9.3に変形できる。

g1(k, v, t) = lim

∫ B

A

+∫ C

B

+∫ D

C

dωe−iωtg1(k, v, ω) (9.4.13)

lim: rectangle ABCDを大きくとる→ segment AB,CDの contribution= 0:integrandが high frequencyで oscillate

9.4. The Landau initial-value problem 69

図 9.4: For t > 0, we may adopt the contour Γ′′ω, where the section AB and CD are supposed to

move to be located at infinite distances left and right, and the horizontal section BC is supposed tobe located at infinite negative values of ωi

図 9.5: The appropriate contour of integration in the vr-vi plane for case (a), that ωi > 0. The contourΓv runs along the vr-axis.

→ segment BCの contribution= 0:eωit が掛かるので t < 0, ωi → ∞で dampedt > 0: contourを Fig.9.4のように変形→ integrationの pathを Γω or Γ′

ω → Γ′′ω と変更

→ function εを lower half planeまで解析接続する必要がある

analytic continuation assumption

• kは realで k > 0

• g0(v)は v-axisに poleを持たない

eq.(9.2.14)の積分に関して 3つの casesが存在

(a) ωi > 0→ Fig.9.5の pathで積分

ε(k, ω) = 1 −ω2

p

k2

∫ ∞

−∞

g′0v − ω

k

for ωi > 0 (9.4.14)

(b) ωi = 0→ Fig.9.6の pathで積分

ε(k, ω) = 1 −ω2

p

k2P

∫ ∞

−∞

g′0v − ω

k

− iπω2

p

k2g′0

(ωk

)for ωi = 0 (9.4.15)


図 9.6: The appropriate contour of integration in the vr-vi plane for case (b), that ωi = 0. The contourΓ′

v runs along the vr-axis, except for a semicircular detour to run below the singularity at v = ω/k.

図 9.7: The appropriate contour of integration in the vr-vi plane for case (c), that ωi < 0. The contourΓ′′

v runs along the vr-axis, except for a detour to encircle the singularity at v = ω/k.

Cauchy principal value:

P∫

f(v)dv = limδ→0

[∫ v0−δ

−∞f(v)dv +

∫ ∞

v0+δ

f(v)dv

](9.4.16)

(c) ωi < 0:singularityは lower half v-planeに存在→ Fig.9.7の pathで積分

ε(k, ω) = 1 −ω2

p

k2P

∫ ∞

−∞

g′0v − ω

k

− 2iπω2

p

k2g′0

(ωk

)for ωi < 0 (9.4.17)

Dispersion relation:

for ωi > 0 ε(k, ω) ≡ 1 −ω2

p

k2

∫g′0dv

v − ω/k= 0 (9.4.18)

for ωi = 0 ε(k, ω) ≡ 1 −ω2

p

k2

∫g′0dv

v − ω/k− iπ

ω2p

k2g′0(ω/k) = 0 (9.4.19)

for ωi < 0 ε(k, ω) ≡ 1 −ω2

p

k2

∫g′0dv

v − ω/k− 2iπ

ω2p

k2g′0(ω/k) = 0 (9.4.20)

ωの位置

upper-half plane : modeは unstablereal ω-axis : steady amplitude/stable

lower-half plane : decay/unstable

9.5. Gardner’s theorem 71

図 9.8: The distribution function g0(v) has a single maximum at v = v0

9.5 Gardner’s theorem

”a single-humped distributionは growing wavesを支えられない (stableになる)”

背理法による証明 growing wave(ωi > 0)が存在したとする。→ dispersion relationは

1 −ω2

p

k2

∫dv

(v − ωr/k + iωi/k)g′0(v)(v − ωr/k)2 + (ωi/k)2

= 0 (9.5.1)

Re : εr = 1 −ω2

p

k2

∫dv

(v − ωr/k)g′0(v)(v − ωr/k)2 + (ωi/k)2

= 0 (9.5.2)

Im : εi = −ω2

p

k2

ωi

k

∫dv

g′0(v)(v − ωr/k)2 + (ωi/k)2

= 0 (9.5.3)

g0(v)が single-hampedとする:Fig.9.8

g′0(v) > 0 for v < v0

g′0(v) < 0 for v > v0 (9.5.4)

⇒ (v0 − v)g′(v) ≥ 0 for −∞ < v < ∞ (9.5.5)

εr = εi = 0より

εr −(

v0k − ωr

ωi

)εi = 0 (9.5.6)

⇔ 1 −ω2

p

k2

∫dv

(v − ωr/k)g′0(v)(v − ωr/k)2 + (ωi/k)2

+ω2

p

k2

∫dv

(v0 − ωr/k)g′0(v)(v − ωr/k)2 + (ωi/k)2

= 1 +ω2

p

k2

∫dv

(v0 − v)g′0(v)(v − ωr/k)2 + (ωi/k)2

= 0 (9.5.7)

→ 矛盾

g0(v)に対する condition constant amplitude(ωi = 0)を考える

εr ≡ 1 −ω2

p

k2P

∫g′0(v)dv

v − ω/k= 0 (9.5.8)

εi ≡ −πω2

p

k2g′0(ω/k) (9.5.9)

→ constant amplitude waveが存在するためには、phase velocityに対して g′0(v) = 0が必要


9.6 Weakly damped waves -Landau damping

ωi ¿ ωr の場合の dispersion relationを考える

ε(k, ω) = 1 −ω2

p

k2

∫Γv

dvg′0(v)

v − ωr+iωik

= 1 −ω2

p

k2

∫Γv

dvg′0(v)v − ωr

k

[1 − i

ωik

v − ωrk

]−1

= 0 (9.6.1)

' 1 −ω2

p

k2

∫Γv

dvg′0(v)v − ωr

k

[1 + i

ωik

v − ωrk

]= 0 (9.6.2)

= 1 −ω2

p

k2

∫Γv

dvg′0(v)v − ωr

k

− iω2

p

k2

ωi

k

∫Γv

dvg′0(v)(

v − ωrk

)2

= 1 −ω2

p

k2

∫Γv

dvg′0(v)v − ωr

k

− iω2

p

k2

ωi

k

∫Γv

dvg′′0 (v)v − ωr

k

= 0 (9.6.3)

→ real axis上に pole:Fig.9.6の Γ′v を使う

εr ≡ 1 −ω2

p

k2P

∫dv

g′0(v)v − ωr

k

+ πω2

p

k2

ωi

kg′′0 (ωr/k) = 0 (9.6.4)

εi ≡ −πω2

p

k2g′0(ωr/k) −

ω2p

k2

ωi

kP

∫dv

g′′0 (v)v − ωr

k

= 0 (9.6.5)

⇒ ωi ≡ − πkg′0(ωr/k)

P∫

dvg′′0 (v)

v−ωrk

(9.6.6)

分母の integralを評価する。eq.(9.6.4)を近似して

εr ' 1 −ω2

p

k2P

∫dv

g′0(v)v − ωr

k

= 0 (9.6.7)

この式を変分 → δk, δωr の関係式

2ω2p

k3δkP

∫dv

g′0(v)v − ωr

k

−ω2

p

k2P

∫dv

g′0(v)(v − ωr

k

)2

(δωr

k− ωrδk

k2

)(9.6.8)

group velocity :δωr

δk= u =

dωr

dk(9.6.9)

を用いて

2 −ω2

p

k2

(u − ωr

k

)P

∫dv

g′0(v)(v − ωr

k

)2 = 0 (9.6.10)

⇒ 2 −ω2

p

k2

(u − ωr

k

)P

∫dv

g′′0 (v)v − ωr

k

= 0 (9.6.11)

⇒ P∫

dvg′′0 (v)v − ωr

k

= − 2k2

ω2p(ωr − uk)

(9.6.12)

eq.(9.6.6)に代入して

ωi = πkg′0(ωr/k) ·ω2

p(ωr − uk)2k2

=π

2ω2

p

k2(ωr − uk)g′0(ωr/k) (9.6.13)

dispersion relation (9.6.7)を typical distributionsに適用すると、u < ωr/k

→ g′0(ωr/k) < 0なら ωi < 0:”Landau damping”

9.7. The Penrose criterion for stability 73

図 9.9: The case that there is a slight bump on the tail of the distribution function.

Maxwellian distribution eq.(9.3.4)より

u =dω

dk=

12ω

d

dk

(ω2

p + 3〈v2〉k2)

= 3〈v2〉kωr

(9.6.14)

⇒ ωr − uk = ωr −3〈v2〉k2

ωr= ωr −

ω2r − ω2

p

ωr=

ω2p

ωr(9.6.15)

⇒ ωi =π

2ω2

p

k2

ω2p

ωrg′0(ωr) =

3π

2ω4

p〈v2〉ωr(ω2

r − ω2p)

g′0(ωr/k) (9.6.16)

eq.(9.3.4)から、given kに対して、±の ωr

→ +の ωr を考えると、phase velocity > 0→ ωi ∝ g′0(ωr/k) < 0:(Landau) damping

bumpがある distribution :Fig.9.9

• ωr と kの関係はあまり影響されない

• g′0 > 0となる部分が存在

→ two-stream instability

9.7 The Penrose criterion for stability

Gardner’s theorem: two-stream instability が起こるには、少なくとも 2つの peakが必要→ もっと強い criterion

dispersion relation : ε(k, ω) = 1 −ω2

p

k2

∫dv

g′0(v)v − ω

k

= 0 (9.7.1)

→ given kに対して ω-plane上の zeroを求める

Nyquist’s theorem closed contour Γω 中の function εの zeroの数は

N =1

2πi

∫Γω

1ε

∂ε

∂ωdω Γω : conterclockwise (9.7.2)

但し、εは考えている領域で poleを持たない　と仮定例えば、zero ω = ω0 の周りの small contour

ε =(

∂ε

∂ω

)ω0

(ω − ω0) + · · · (9.7.3)

∂ε

∂ω=

(∂ε

∂ω

)ω0

+(

∂2ε

∂ω2

)ω0

(ω − ω0) + · · · (9.7.4)


図 9.10: A schematic representation of the contour Γω comprising the real axis and a semicircle ofinfinite radius in the upper half plane.

と展開すると

N =1

2πi

∫Γω

(∂ε∂ω

)ω0

+(

∂2ε∂ω2

)ω0

(ω − ω0) + · · ·(∂ε∂ω

)ω0

(ω − ω0) + · · ·dω =

12πi

∫Γω

dω

ω − ω0= 1 (9.7.5)

unstable mode ⇔ ωi > 0 ⇔ ω-planeの upper halfに rootsが存在→ Fig.9.10のように Γω をとれば、unstable modesの数Nu を数え上げられる

map ω-planeの contourΓω から ε-planeの contourΓε へのmapが可能

Γω Γε

Fig.9.11 (a) 中に rootが 1つ原点を一周

(b) 中に rootが 0 原点を 0周(c) 中に rootが 3つ原点を三周

contour Γω: real ω-axisを含む

⇒ ε(k, ω) ≡ 1 −ω2

p

k2P

∫g′0(v)dv

v − ωk

− iπω2

p

k2g′0(ω/k) (9.7.6)

ω = ∞を考えると2nd term= 03rd term= 0 if v → ∞に対して g′0(v) → 0

⇒ ε(k,∞) = 1

well bahaved distributionなら、v → +∞で g′0(v) < 0 ⇒ ε = 1へは upper-half planeから近づくv → −∞で g′0(v) > 0 ⇒ ε = 1へは lower-half planeから近づく

→ Fig.9.12

contour Γε

• Fig.9.3(a):simplest form → clockwiseに一周するだけ

N =1

2πi

∫Γε

dε

ε= −1 (9.7.7)

但し、N は positiveにならなければならない

• Fig.9.3(b):N = +1 → unstableなmodeが 1つ

contourが real axisを横切る回数がN に対する制限になっている


図 9.11: In case (a), there is one root of ε = 0 in the upper half plane; then Γε encircles the originonce. In case (b), there are no roots of ε = 0 in the upper half plane; then Γε will not encircle theorigin. In case (c), there are three roots of ε = 0 in the upper half plane; then Γε will encircle theorigin three times.

図 9.12: If, as we expect, g0 decreases to zero as v → ±∞, ε(k, ω) approaches the point ε = 1 fromabove as ω/k → ∞, and leaves the point ε = 1 in the downward direction as ω/k increases from −∞

図 9.13: The simplest contour compatile with Fig.9.12 that embraces the origin (a) is found tobe unacceptable since it circles the origin in the clockwise direction. The contour shown as (b) isacceptable since it is compatible with Fig.9.12 and empraces the origin in the anti-clockwise direction.


図 9.14: A two-peak velocity distribution.

図 9.15: Two possible Nyquist diagrams corresponding to the velocity distribution shown in Fig.9.14.The points [0], [1] and [2] correspond to the conditions ω/k = v0, ω/k = v1 and ω/k = v2, respectively.In (a) the contour does not emprace the origin, so the system is stable. En (b), the contour empracesthe origin, and the system is unstable.

Fig.9.3(a) : 1回 cross → stableFig.9.3(b) : 3回 cross → unstable

→ instabilityのためには少なくとも 3回は crossする必要があるreal axisとの cross ⇔ εi = 0 ⇔ g′0(ω/k) = 0→ Gardner’s theoremと consistent:g′0(v) = 0が 1 root → stable

必要十分性 εi = 0となる ωは instabilityの十分条件ではない→ Fig.9.14:two humped velocity distribution(v1, v2 でmax,v0 でmin,但し g0(v1) > g0(v2))→ contourを 2つ考える:Fig.9.15

(a) 原点を回らない → stable(b) 原点を回る → unstable

原点を回る/回らないは ε(k, v0k)の signによって分けられる

Im : g′0(v0) = 0 → εi(k, v0k) = 0

Re : εr(k, v0k) = 1 −ω2

p

k2P

∫g′0(v)dv

v − v0(9.7.8)

systemが unstableになる条件は εr(k, v0k) < 0

k2 < k2c ≡ ω2

pP∫

g′0(v)dv

v − v0(9.7.9)


図 9.16: The condition for instability of the two-peaked velocity distribution shown in Fig.9.14 is thatthe contribution to the integral (9.7.11) from regions A and C should outweigh that from region B.

R.H.Sは positiveにならなければならない

⇒ P∫

dvddv [g0(v) − g0(v0)]

v − v0> 0 (9.7.10)

⇒ P∫

dvg0(v) − g0(v0)

(v − v0)2> 0 (9.7.11)

→ ”Penrose criterion”: linear instability に対する必要十分条件

criterionの解釈 :Fig.9.16

region B : g0(v) − g0(v0) > 0region A,C : g0(v) − g0(v0) < 0

condition (9.7.11)は ”region B の contribution>region A,C の contribution”を要求するg0(v1) = g0(v2)に対して少しだけ小さい g0(v0) → conditionは満たされない”v = v0 での dipが深くなければ instabilityは起こらない”

79

第10章 Collision theory

10.1 Lagrange expansion

Fokker-Plank eq.: Lagrange expansionの一般化

formulation

• 3-dim spaceでの particleの distribution

• density distribution: n(x)

• displacement:x′(x, λ) = x + λξ(x) (10.1.1)

この disturbanceによって n0(x) → n′(x)Fourier変換から

n(x) =∫

d3keik·xn(k) (10.1.2)

n(k) = (2π)−3

∫d3xe−ik·xn(x) (10.1.3)

粒子数保存から

n′(x′)d3x′ = n(x)d3x (10.1.4)

n′(k) = (2π)−3

∫d3x′n′(x′) exp[−ik · x′]

= (2π)−3

∫d3xn(x) exp[−ik · (x + λξ(x))] (10.1.5)

n′(x) = (2π)−3

∫d3keik·x

∫d3x′n(x′) exp[−ik · (x′ + λξ(x′))] (10.1.6)

= (2π)−3

∫d3x′n(x′)

∫d3keik·(x−x′)

×

1 − iλk · ξ(x′) − 12λ2 [k · ξ(x′)]2 + · · ·

(10.1.7)

=∫

d3x′n(x′)

×

δ3(x − x′) − λξr∂

∂xrδ3(x − x′) +

12λ2ξrξs

∂2

∂xr∂xsδ3(x − x′) − · · ·

(10.1.8)

ここで、∂

∂xrδ3(x − x′) = − ∂

∂x′r

δ3(x − x′) (10.1.9)

を用いると

n′(x) =∫

d3x′δ3(x − x′)

n(x′) − λ∂

∂x′r

[n(x′)ξr] +12λ2 ∂2

∂x′r∂x′

s

[n(x′)ξrξs] − · · ·(10.1.10)

= n(x) − λ∂

∂xr[n(x)ξr(x)] +

12λ2 ∂2

∂xr∂xs[n(x)ξr(x)ξs(x)] − · · · (10.1.11)

→ generalized Lagrange expansion

80 第 10章 Collision theory

10.2 The Fokker-Plank equation

6-component vector (x1, x2, x3, v1, v2, v3)

formulation

t → t + ∆t, x → x + ∆x, v → v + ∆v (10.2.1)

という変化を考えると、Lagrange expansionから

f(x,v, t + ∆t) =f(x,v, t) − ∂

∂xr(f∆xr) −

∂

∂vr(f∆vr)

+12

∂2

∂xr∂xs(f∆xr∆xs) +

∂2

∂xr∂vs(f∆xr∆vs) +

12

∂2

∂vr∂vs(f∆vr∆vs)

(10.2.2)

R.H.Sは時刻 tでの値

各 displacementに対して

∆xr = vr∆t (10.2.3)

∆v = a∆t + (∆v)c (10.2.4)

a : macroscopic fieldに対する particle acceleration

(∆v)c : collisionの効果

collisionは random process → statisticalに扱う

(∆v)c の 1st,2nd moments : ∆t1 で scale(∆v)c の higher moments : ∆tの higher powerの scale

Av

[(∆vr)c

∆t

]=

⟨∆vr

∆t

⟩, Av

[(∆vr)c(∆vs)c

∆t

]=

⟨∆vr∆vs

∆t

⟩(10.2.5)

と表現する。Fokker-Plank eq.(10.2.2)は

f +∂f

∂t∆t =f − ∂

∂xr(fvr∆t) − ∂

∂vr(far∆t)

− ∂

∂vr

(f

⟨∆vr

∆t

⟩∆t

)+

12

∂2

∂vr∂vs

(f

⟨∆vr∆vs

∆t

⟩∆t

) (10.2.6)

xr, vr は independent variableなので

∂f

∂t+ vr

∂f

∂xr+

∂

∂vr(arf) = − ∂

∂vr

(⟨∆vr

∆t

⟩f

)+

12

∂2

∂vr∂vs

(⟨∆vr∆vs

∆t

⟩f

)(10.2.7)

→ ”Fokker-Plank equation”

electromagnetic field charged particlesの nonrelativistic motion

ar =q

m

(Er +

1cεrstvsBt

)(10.2.8)

→ ∂ar/∂vr = 0

∂f

∂t+vr

∂f

∂xr+

q

m

(Er +

1cεrstvsBt

)∂f

∂vr= − ∂

∂vr

(⟨∆vr

∆t

⟩f

)+

12

∂2

∂vr∂vs

(⟨∆vr∆vs

∆t

⟩f

)(10.2.9)

10.3. Coulomb collisions 81

図 10.1: Geometry of one-body equivalent of two paricle scattering

10.3 Coulomb collisions

two particlesの interactionmass:m position:xmass:m1 position:x1

→ mutual force F :d2x

dt2=

1m

F ,d2x1

dt2=

1m1

F (10.3.1)

重心+相対運動に分離 : x =mx + m1x1

m + m1(10.3.2)

ξ = x − x1 (10.3.3)

⇒ d2X

dt2= 0 (10.3.4)

d2ξ

dt2=

1µ

F (10.3.5)

where µ =mm1

m + m1: reduced mass (10.3.6)

Coulomb force‖ x − x1 なので

ξ × F = 0 (10.3.7)

d

dt

(ξ × ξ

)= ξ × ξ =

1µ

ξ × F = 0 (10.3.8)

⇒ h ≡ ξ × ξ = const. (10.3.9)

→ h · ξ(t) = 0より、軌道はある平面上に束縛される→ 2自由度の 1-body problem

mass : µ

initial velocity : v0

impact parameter : b

polar coordinate : (r, φ)final state : (∞, φf)

scatter angle : θ

θ = π − φf (10.3.10)


energy conservation :12µ(r2 + r2φ2) +

qq1

r=

12µv2

0 (10.3.11)

angular momentum conservation : r2φ = bv0 (10.3.12)

⇒ r2

φ2+ r2 =

v20 − 2

µqq1r

φ2(10.3.13)

⇒(

dr

dφ

)2

=

(v20 − 2qq1

µr

)r4

b2v20

− r2 (10.3.14)

⇔ 1r2

dr

dφ= ±

[1b2

− 2qq1

µb2v20r

− 1r2

]1/2

(10.3.15)

+のみを考える。u =

1r

(10.3.16)

と変換してdu

dφ= −

[1b2

− 2qq1

µb2v20

u − u2

](10.3.17)

さらに

η = bu =b

r(10.3.18)

Q =qq1

µbv20

(10.3.19)

を導入してdη

dφ= −[1 − 2Qη − η2]1/2 = −[1 + Q2 − (Q + η)2]1/2 (10.3.20)

trajectoryは r = rmin に関して対称なので

φf = 2∫ rmin

0

dη

[1 + Q2 − (Q + η)2]1/2(10.3.21)

sinΦ =Q + η

(1 + Q2)1/2(10.3.22)

cosΦdΦ =dη

(1 + Q2)1/2(10.3.23)

と変換して

φf = 2∫ Φm

Φ0

dΦ = 2(Φm − Φ0) (10.3.24)

where sinΦ0 =Q

(1 + Q2)1/2(10.3.25)

sinΦm =Q + ηm

(1 + Q2)1/2(10.3.26)

⇒ Q2 sin2 Φ0 + sin2 Φ0 = Q2

⇔ Q = tanΦ0

⇔ Φ0 = arctan Q (10.3.27)

η = ηm では dη/dφ = 0なので

(Q + ηm)2 = 1 + Q2 (10.3.28)

⇒ Φm =π

2(10.3.29)

⇒ Φf = π − 2 arctanQ (10.3.30)

⇒ θ = 2arctan Q (10.3.31)

= 2 arctan(

qq1

πbv20

)(10.3.32)

10.4. The Fokker-Plank equation for Coulomb collisions 83

differential scattering cross section

b → b + db, θ → θ + dθ (10.3.33)

を考えて

differential cross section :dσ

dΩdΩ = |2πbdb| (10.3.34)

solid angle : dΩ = |2π sin θdθ| (10.3.35)

⇒ dσ

dΩ=

bdb

sin θdθ(10.3.36)

eq.(10.3.32)より

qq1

µv20

1b

= tan(

12θ

)(10.3.37)

⇒ qq1

µv20

∣∣∣∣db

b

∣∣∣∣ =12sec2

(12θ

)|dθ| (10.3.38)

⇒ dσ

dΩ=

14

(qq1

µv20

)2

cosec4

(12θ

)(10.3.39)

→ ”Rutherford cross-section”

10.4 The Fokker-Plank equation for Coulomb collisions

Rutherford cross sectionから〈∆vr/∆t〉, 〈∆vr∆vs/∆t〉を求める

formulation

plasma

[plasma parameterΛ À 1small angle collisionが dominant

mass : m

charge : q

velocity : v

とmass : m1

charge : q1

velocity : v1

の particleの collision

center of mass : V =mv + m1v1

m + m1(10.4.1)

before collision : u = v − v1 (10.4.2)

after collision : u′ = v′ − v′1 (10.4.3)

relative velocityの変化 : δu = u′ − u (10.4.4)

⇒ v = V +µ

mu, v1 = V − µ

m1u (10.4.5)

⇒ δv =µ

mδu, δv1 = − µ

m1δu µ : reduced mass (10.4.6)

collision term :⟨

∆vr

∆t

⟩=

∫d3v1f1

µ

mδur (10.4.7)⟨

∆vr∆vs

∆t

⟩=

∫d3v1f1

µ2

m2δurδus (10.4.8)

initial impact parameterでの average

δur =∫

dΩdσ

dΩuδur (10.4.9)

δurδus =∫

dΩdσ

dΩuδurδus where u = |u| (10.4.10)


coordinateを

u = (0, 0, u) (10.4.11)

u′ = u(sin θ cos φ, sin θ sinφ, cos θ) (10.4.12)

ととると、

δu = u(sin θ cos φ, sin θ sinφ,−2 sin2 θ2 ) (10.4.13)

Coulomb scatteringでの differential cross sectionは

dσ

dΩ=

14

(qq1

µu2

)2

cosec2 θ

2(10.4.14)

⇒ δu =∫

dΩdσ

dΩu2(sin θ cos φ, sin θ sinφ,−2 sin2 θ

2 ) (10.4.15)

φ積分を実行すると

δu1 = 0, δu2 = 0, δu3 = −π

(qq1

µu

)2 ∫ π

0

dθ sin θcosec2 12θ (10.4.16)

δuδu =∫

dΩdσ

dΩu3

sin θ cos φ

sin θ sinφ

−2 sin2 θ2

sin θ cos φ

sin θ sinφ

−2 sin2 θ2

(10.4.17)

=

12

(δu⊥)2

0 0

0 12

(δu⊥)2

0

0 0(δu‖)2

(10.4.18)

where(δu⊥)2

= π

∫ π

0

sin θdθ14

(qq1

µu2

)2

cosec4 θ

2u3 sin2 θ

=πq2q2

1

2µ2u

∫ π

0

dθ sin3 cosec4 θ

2(10.4.19)

(δu‖)2

=

2πq2q21

µ2u

∫ π

0

dθ sin θ (10.4.20)

但し、θ → 0では被積分関数が発散してうまくいかなくなる ↔ Coulomb force∝(distance)−2 なので

ここで、Ch.2の結果を考えて、Coulomb forceが効くmaximum distanceを Debye lengthに設定

λD : impact parameterのmaxθm : scattering angleのmin

tanθm

2=

qq1

µu2λD(10.4.21)

Λ À 1の近似からθm =

2qq1

µu2λD(10.4.22)

e−-e− scattering reduced mass:µ = me/2mean relative velocity

〈u2〉 =14π

∫dΩ(ve − v′

e)2 = 〈v2

e 〉∫ 1

−1

d cos θ(1 − cos θ) = 2〈v2e 〉

mean square e− velocity :12me〈v2

e 〉 =32kTe (10.4.23)

10.4. The Fokker-Plank equation for Coulomb collisions 85

⇒ 〈u2〉 =6kTe

me(10.4.24)

よって

θm =4e2

me〈u2〉λD=

4e2

6kTeλD=

16πne

· 4πe2ne

kTe· 1λD

=16π

n−1e λ−1

D,e =16π

Λ−1e (10.4.25)

e−-p scattering reduced mass: µ = me

mean relative velocity: 〈u2〉 = 〈v2e 〉

θm =16π

Λ−1e (10.4.26)

積分の計算

〈δu3〉 = −πq2q2

1

µ2u2

∫ π

θe

2sin θ

2 cos θ2

sin2 θ2

dθ = −4πq2q2

1

µ2u2

[ln

(sin

θ

2

)]π

θm

(10.4.27)

〈(δu⊥)2〉 =4πq2q2

1

µ2u

∫ π

θm

sin3 θ2 cos3 θ

2

sin4 θ2

dθ

=4πq2q2

1

µ2u

∫ π

θm

(cos θ

2

sin θ2

− sinθ

2cos

θ

2

)dθ

=2πq2q2

1

µ2u

∫ π

θm

(2cos θ

2

sin θ2

− sin θ

)dθ =

2πq2q21

µ2u

4

[ln sin

θ

2

]π

θm

− [cos θ]πθm

(10.4.28)

〈(δu‖)2〉 =2πq2q2

1

µ2u[− cos θ]πθm

(10.4.29)

dominant term は θm → 0で発散する termなので

〈δu3〉 = −Γq21

q2

m2

µ2

1u2

(10.4.30)

〈(δu⊥)2〉 = 2Γq21

q2

m2

µ2

1u

(10.4.31)

〈(δu‖)2〉 = 0 (10.4.32)

where Γ =4πq4

m2ln

(2

θm

)(10.4.33)

general coordinateでは

〈δur〉 = −Γq21

q2

m2

µ2

ur

u3(10.4.34)

〈δurδus〉 = Γq21

q2

m2

µ2

(δrs

u− urus

u3

)(10.4.35)

すると、collision termは⟨∆vr

∆t

⟩=

∫d3v1f1

µ

m

(−Γ

q21

q2

m2

µ2

ur

u3

)= −Γ

q21

q2

m + m1

m1

∫d3v1f1

ur

u3(10.4.36)⟨

∆vr∆vs

∆t

⟩=

∫d3v1f1

µ2

m2

[Γ

q21

q2

m2

µ2

(δrs

u− urus

u3

)]= Γ

q21

q2

∫d3v1f1

(δrs

u− urus

u3

)(10.4.37)

ここで、

ur

u3=

1u2

∂u

∂vr= − ∂

∂vr

(1u

)(10.4.38)

δrs

u− urus

u3=

∂

∂vr

(us

u

)=

∂2u

∂vr∂vs(10.4.39)


Rosenbluth potential : G =q21

q2

∫d3v1f1u (10.4.40)

H =q21

q2

m + m1

m1

∫d3v1f1

1u

(10.4.41)

を定義して ⟨∆vr

∆t

⟩= Γ

∂H

∂vr(10.4.42)⟨

∆vr∆vs

∆t

⟩= = Γ

∂2G

∂vr∂vs(10.4.43)

→ Coulomb collisionに対する Fokker-Plank eq.

∂f

∂t+ vr

∂f

∂xr+

q

m

(Er +

1cεrstvsBt

)∂f

∂vr= −Γ

∂

∂vr

(f

∂H

∂vr

)+

12Γ

∂2

∂vr∂vs

(f

∂2G

∂vr∂vs

)(10.4.44)

10.5 Relaxation times

distribution functionが変化する characteristic time→ momentumが平均と異なる particleが平均値に落ち着くまでの time-scaleを考える

other time scales : distributionが isotropicになる scaledistributionがMaxwellianになる scalee−,ionsが同じ温度になる scale

distribution functionの dynamical eq. を積分して plasmaの time evolutionを得る

• analyticにはできない

• numerical integrationも specific situationにしか適用できない

→ 3rd approach

assumption field-free Maxwellian fully ionized hydrogen plasma

e− distribution : fe = n0ge = n0

(me

2πkTe

)3/2

e−α2ev2

p distribution : fp = n0gp = n0

(mp

2πkTp

)3/2

e−α2pv2

(10.5.1)

where α2e =

me

2kTe, α2

p =mp

2kTp(10.5.2)

test particle(mass:mt,charge:Zte)を考える

distribution : gt(v, t) = δ3(v − V ) at t = 0 (10.5.3)

test particlesの number density ¿ Maxwellian plasma の number density と仮定 → test particlesのback ground plasmaへの影響は無視できる→ test particles同士の interactionも無視できる

10.5. Relaxation times 87

formulation test particleは single stream→ eq.(10.4.44)の R.H.S 1st termによってmean velocity が変化→ eq.(10.4.44)の R.H.S 2nd termによって distributionが広がる

Γt =4πe4Z2

r

m2t

lnΛ (10.5.4)

を導入すると、Fokker-Plank eq.は

1n0Γt

∂gt

∂t= − ∂

∂vr

[gt

∂

∂vr

(mt + me

me

∫d3v1

ge

u+

mt + mp

mp

∫d3v1

gp

u

)]+

12

∂2

∂vr∂vs

[gt

∂2

∂vr∂vs

∫d3v1(ge + gp)u

] (10.5.5)

この eq.に vr を掛けて vで積分

L.H.S =∫

d3vvr∂gt

∂t→

∫d3vvr

∂

∂tδ3(v − V (t)) =

∂

∂t

∫d3vvrδ

3(v − V (t)) =dVr(t)

dt(10.5.6)

よって、mean velocity V の変化は

dVr

dt= − n0Γt

∫d3vvr

∂

∂vs

[δ3(v − V )

∂

∂vs

(mt + me

me

∫d3v1

ge

u+

mt + mp

mp

∫d3v1

gp

u

)]+

12n0Γt

∫d3vvr

∂2

∂vs∂vtδ3(v − V )

∂2

∂vs∂vr

∫d3v1(ge + gp)u

(10.5.7)

となる。

Qst = δ3(v − V )∂2

∂vs∂vt

∫d3v1(ge + gp)u (10.5.8)

を導入して、eq.(10.5.7)の R.H.S 2nd termを部分積分∫d3vvr

∂2Qst

∂vs∂vt = −

∫d3v

∂vr

∂vs

∂Qst

∂vt+

∫dSsvr

∂Qst

∂vt(10.5.9)

dSs:velocity spaceでの表面積分 → surfaceを無限遠にとれば消えるもう一度、部分積分をすると

−∫

d3vδrs∂Qst

∂vt=

∫d3v

∂δrs

∂vtQst = 0 (10.5.10)

→ diffusionは効かないeq.(10.5.7)の R.H.S 1st termを部分積分

dVr

dt= n0Γt

∫d3v

∂vr

∂vsδ3(v − V )

∂

∂vs

(mt + me

me

∫d3v1

ge

u+

mt + mp

mp

∫d3v1

gp

u

)(10.5.11)

= n0Γt∂

∂Vr

[mt + me

me

∫d3v

ge(v)|v − V |

+mt + mp

mp

∫d3v

gp(v)|v − V |

](10.5.12)

where u = v − V

error function : Φ(y) ≡ 2π−1/2

∫ y

0

dxe−x2(10.5.13)


を定義すると、∫d3v

e−α2v2

|v − V |=2π

∫ +1

−1

d cos θ

∫ ∞

0

dvv2e−α2v2

√v2 + V 2 − 2vV cos θ

=2π

∫ ∞

0

dv

(− 1

vV

)[(v2 + V 2 − 2vV cos θ)1/2

]+1

−1v2e−α2v2

= − 2π

V

∫ ∞

0

dv|v − V | − |v + V |

vv2e−α2v2

=4π

V

(∫ V

0

v2e−α2v2+ V

∫ ∞

V

dvve−α2v2

)

=4π

V

[− v

2α2e−α2v2

]V

0+

2π

α2V

∫ V

0

e−α2v2dv + 4π

[− 1

2α2e−α2v2

]∞

V

=2π

α3V

∫ αV

0

e−x2dx =

π3/2

α3VΦ(αV )

(10.5.14)

dVr

dt= n0Γt

[(1 +

mt

me

)∂

∂Vr

(1V

Φ(αeV ))

+(

1 +mt

mp

)∂

∂Vr

(1V

Φ(αpV ))]

(10.5.15)

distribution functionは velocityに関して isotropic→ eq.(10.5.15)の gradient ‖ V

→ dVr

dt= −Vr

τsτs : characteristic ”slowing down time” (10.5.16)

test particleが速い極限 Φ(∞) = 1より

if V À α−1e , α−1

p τs =[n0Γt

(2 +

mt

me+

mt

mp

)∂

∂Vr

(1V

)]−1

=V 3

n0Γt

(2 + mt

me+ mt

mp

)=

m2tV

3

4πe4n0 lnΛ(2 + mt

me+ mt

mp

) (10.5.17)

test particleが e−(mt = me, Zt = −1)とすると

τs,e =m2

eV3

12πe4n0 lnΛ(10.5.18)

test particleが p(mt = mp, Zt = 1)とすると

τs,p =mpmeV

3

4πe4n0 lnΛ(10.5.19)

test particleが遅い極限

Φ(y) = 2π−1/2

(y − 1

3y3 + · · ·

)(10.5.20)

と展開できるので

if V ¿ α−1e , α−1

p τs = −n0Γt

Vr

(1 +

mt

me

)∂

∂Vr2π−1/2

(αe −

α3e

3V 2 + · · ·

)−n0Γt

Vr

(1 +

mt

mp

)∂

∂Vr2π−1/2

(αp −

α3p

3V 2 + · · ·

)

=4π−1/2

3n0Γ

[(1 +

mt

me

)α3

e +(

1 +mt

mp

)α3

p

]=

16π1/2e4Z2t n0 lnΛ

3m2t

[(1 +

mt

me

)α3

e +(

1 +mt

mp

)α3

p

](10.5.21)


test particleが e−(mt = me, Zt = −1)とすると

τs,e =3m2

e

16π1/2e4n0 lnΛ· 1α3

p

=3m2

e

16π1/2e4n0 lnΛ

(2kTp

mp

)3/2

=3m2

em−3/2p (kTp)3/2

25/2π1/2e4n0 lnΛ(10.5.22)

test particleが e−(mt = mp, Zt = 1)とすると

τs,p =3m2

p

16π1/2e4n0 lnΛ· 12α3

p

=3m

1/2p (kTp)3/2

27/2π1/2e4n0 ln Λ(10.5.23)

→ low-speed test particleに対しては protonが dominanteq.(10.5.18),(10.5.19)を test particle の energyで表示

τs,e = 10−2.0n−10 T

3/2t,e (10.5.24)

τs,p = 10−3.0n−10 T

3/2t,p (10.5.25)

:typical value lnΛ = 20を用いた

other relaxation times

”deflection time” :dV 2

⊥dt

=V 2⊥

τD(10.5.26)

V 2⊥: original velocity vectorに normalな componentのmean-square→ perticleが π/2だけ deflectするのに必要な time-scale→ particleの distributionが isotropicになるまでの characteristic time

e−, pの kineticenergy : ue =12mev

2e , up =

12mpv2

p (10.5.27)

を導入 ∣∣∣∣du

dt

∣∣∣∣ =u

τE(10.5.28)

→ test particle,plasma間の energy交換に対する time-scale

fully ionized plasma:e−, p distributionは initialで anisotropic → non-Maxwelliane−, pで温度が少し異なる

tast particle = e− とすると

mt =me

αeV =(

me

2kTe

)1/2 (3kTe

me

)1/2

= (1.5)1/2

αpV =(

mp

2kTp

)1/2 (3kTe

me

)1/2

= (1.5mp/me)1/2

• e− が isotropicになる time-scale

τI,e =m

1/2e (3kT )3/2

8πe4 lnΛ[(1.5π)−1/2e−1.5 + 1 − 2/3 · Φ(√

1.5)](10.5.29)

• e− がMaxwellian distributionになる time-scale

τE,e =m

1/2e (3kT )3/2

8πe4 ln Λ[Φ(√

1.5) − 4(1.5/π)1/2e−1.5](10.5.30)


test particle = pとすると

mt =mp

αeV =(

me

2kTe

)1/2 (3kTp

mp

)1/2

= (1.5me/mp)1/2

αpV =(1.5)1/2

• pがMaxwellian distributionになる time-scale

τE,p =m

1/2p (3kT )3/2

8πe4 lnΛ[Φ(√

1.5) − 4(1.5/π)1/2e−1.5](10.5.31)

• e−, pが temperature equilibriumになる time-scale

mt =me

αeV =(1.5)1/2

αpV À1

として

τEQ =mpm

−1/2e (3kT )3/2

8πe4 lnΛ(10.5.32)

typical value: lnΛ = 20を用いて

τI,e = 10−1.70n−10 T 3/2 (10.5.33)

τE,e = 101.49n−10 T 3/2 (10.5.34)

τE,p = 100.14n−10 T 3/2 (10.5.35)

τEQ = 101.25n−10 T 3/2 (10.5.36)

であり、

τE,e : τE,p : τEQ =me

mp:(

me

mp

)1/2

: 1 (10.5.37)

e− は thermal velocity大 → collision frequency大 → すぐにMaxwellianに近づくionは thermal velocity小 → collision frequency小 → すぐにはMaxwellianにならないまた、collisionで交換する energyは小さいので temperature equilibriumにもなかなか達しない

electron run-away collisionの効果を

dv

dt= −v

τ= −F (v) (10.5.38)

と書く。electric fieldを加えてdv

dt= − e

meE − F (v) (10.5.39)

ここで、

F ∝

V for small values

V −2 for large values

なので、F の形状は Fig.10.2のようになる。electric fieldが大きすぎなければ

F (Va) = F (Vb) = − e

mE (10.5.40)

が存在


図 10.2: Schematic representation of the two ”points” of balance between the force due to the electricfield and the frictional force due to Coulomb collisions.

A: 少しずれると戻ろうとする → stable equilibriumB: 少しずれると離れていく → run-away

Prdt: [t, t + dt]中に e− run-awayが起こる確率

⇒ Pr =24eED

(2mekT )1/2e−(8ED/E)2 ' 1013.36T−1/2EEe−(8ED/E)2 (10.5.41)

と近似的に表せる

where : ED =2πZe3ne lnΛ

kT' 10−11.30ZneT

−1 lnΛ : ”Dreicer” value (10.5.42)

93

第11章 MHD equations

11.1 The moment equations

nonrelativistic form :∂f

∂t+ vr

∂f

∂xr+

q

m

(Er +

1cεrstvsBt

)∂f

∂vr=

(∂f

∂t

)c

(11.1.1)

velocityの関数 Φ(v)(= 1, vr, vrvs)を掛けて、moment eqs.を得るvelocity spaceでの average

〈φ(x,v, t)〉 =1

n(x, t)

∫d3vφ(x,v, t)f(x,v, t) (11.1.2)

where n(x, t) =∫

d3vf(x,v, t) (11.1.3)

formulation

1st term :∫

d3vΦ∂f

∂t=

∂

∂t

∫d3vΦf =

∂

∂t(n〈Φ〉) (11.1.4)

2nd term :∫

d3vΦvr∂f

∂xr=

∂

∂xr

∫d3vΦvrf =

∂

∂xr(n〈Φvr〉) (11.1.5)

3rd term :∫

d3vΦq

m

(Er +

1cεrstvsBt

)∂f

∂vr

=q

mEr

∫d3vΦ

∂f

∂vr+

q

mcεrstBt

∫d3vΦvs

∂f

∂vr

− q

mEr

∫d3v

∂Φ∂vr

f − q

mcεrstBt

∫d3v

∂Φ∂vr

vsf

= − q

mErn

⟨∂Φ∂vr

⟩− q

mcεrstBtn

⟨∂Φ∂vr

vs

⟩(11.1.6)

general moment eq.

∂

∂t(n〈Φ〉) +

∂

∂xr(n〈Φvr〉) −

qn

mEr

⟨∂Φ∂vr

⟩− qn

mcεrstBt

⟨∂Φ∂vr

vs

⟩=

(∂

∂t(n〈Φ〉)

)c

(11.1.7)

where(

∂

∂t(n〈Φ〉)

)c

=∫

d3vΦ(

∂f

∂t

)c

(11.1.8)

→ ”transfer equation”

11.2 Fluid description of an electron-proton plasma

• almost charge-neutral

• Maxwellian velocity distribution

mass density : ρ = npmp + neme (11.2.1)

charge density : ζ = e(np − ne) (11.2.2)

94 第 11章 MHD equations

1st moment:Φ = vr とすると、mean velocityは

up,r = 〈vp,r〉, ue,r = 〈ve,r〉 (11.2.3)

mass velocity : Ur =npmpup,r + nemeue,r

npmp + neme(11.2.4)

current density : jr =e

c(npup,r − neue,r) (11.2.5)

mass velocityに対する particleの velocity

wp,r = vp,r − Ur, we,r = ve,r − Ur (11.2.6)

〈wp,r〉 = up,r − Ur, 〈we,r〉 = ue,r − Ur (11.2.7)

pressure tensor : pp,rs = mp

∫d3vfpwp,rwp,s

pe,rs = me

∫d3vfewe,rwe,s

(11.2.8)

又は

pp,rs = npmp〈wp,rwp,s〉, pe,rs = neme〈we,rwe,s〉 (11.2.9)

→ symmetric tensor

heat flow vector : Qr =12npmp〈w2

pωp,r〉 +12neme〈w2

eωe,r〉 (11.2.10)

11.3 The collision term

fully-ionized hydrogen plasma → ionization, recombinationを無視(∂np

∂t

)c

= 0,

(∂ne

∂t

)c

= 0 (11.3.1)

e−, pの collisionは total momentum densityを変えない

Kr = mp

∫d3vvr

(∂fp

∂t

)c

= −me

∫d3vvr

(∂fe

∂t

)c

(11.3.2)

→ e−, p間の relative ”frictional” forcee−, pの collisionは total energy densityも変えない

H =12mp

∫d3vv2

(∂fp

∂t

)c

= −12me

∫d3vv2

(∂fe

∂t

)c

(11.3.3)

→ e− から pへ transfer される energyの rate

11.4 Moment equations for each species

• Φ = 1: eq.(11.3.1)から∂n

∂t+

∂

∂xr(nur) = 0 (11.4.1)

→ each particle speciesの conservation

• Φ = vr: eq.(11.3.2)から

∂

∂t(nmur) +

∂

∂xs(nm〈vrvs〉) − nqEr −

nq

cεrstusBt = ±Kr (11.4.2)

→ Kr の signは particle speciesに依存

11.5. Fluid description 95

• Φ = mv2/2: eq.(11.3.3)から

∂

∂t

(12nm〈v2〉

)+

∂

∂xr

(12nm〈v2vr〉

)− nqErur = ±H (11.4.3)

→ energy transfer eq.

11.5 Fluid description

2nd/3rd order momentを考える

〈vrvs〉 = 〈(Ur + wr)(Us + ws)〉 (11.5.1)

=1

nmprs + Urus + Usur − UrUs (11.5.2)

⇒ 〈v2〉 =1

nmprr + 2Urur − U2 (11.5.3)

〈v2vr〉 = 〈(Ur + wr)(U2 + 2Usws + w2)〉

= UrU2 + 2UrUs〈ws〉 + 〈w2〉Ur + U2〈wr〉 + 2Us〈wrws〉 + 〈wrw

2〉

ここで、

〈ws〉 = us − Us

〈wrws〉 = 〈(vr − Ur)(vs − Us)〉 = 〈vrvs〉 − urUs − usUr + UrUs =prs

nm

となるので

〈v2vr〉 = UrU2 + 2UrUsus − 2UrU

2 +pss

nmUr + U2ur − urU

2 +2

nmUsprs + 〈wrw

2〉

=1

nmpssUr +

2nm

Usprs + 2UrUsus + U2ur − 2UrU2 (11.5.4)

よって、eq.(11.4.2)は

∂

∂t(nmur) +

∂

∂xs[prs + nm(Urus + Usur − UrUs)] − nqEr −

nq

cεrstusBt = ±Kr (11.5.5)

eq.(11.4.3)は

∂

∂t

(12pss + nmUsus −

12nmU2

)+

∂

∂xr

[12nm〈w2wr〉 +

12pssUr + prsUr + nmu2Ur +

12nmU2ur − nmU2Ur

]− nqErur = ±H

(11.5.6)また、eq.(11.4.1)から

∂ρ

∂t+

∂

∂xr(ρUr) = 0 : mass conservation (11.5.7)

1c

∂ζ

∂t+

∂jr

∂xr= 0 : charge conservation (11.5.8)

e−, pに対する eq. of motionを足して

∂

∂t(ρUr) +

∂

∂xs(prs + ρUrUs) − ζEr − εrstjsBt = 0 (11.5.9)

where prs = pp,rs + pe,rs : total pressure (11.5.10)


∂ρ

∂tUr + ρ

∂Ur

∂t+ Ur

∂

∂xs(ρUs) + ρUs

∂Ur

∂xs= ρ

dUr

dt=

∂prs

∂xs+ ζEr + εrstjsBt (11.5.11)


wheredUr

dt=

∂Ur

∂t+ Us

∂Ur

∂xs(11.5.12)

e−, pに対する energy eq.を足して

∂

∂t

(12pss +

12ρU2

)+

∂

∂xr

(Qr +

12pssUr + prsUs +

12ρU2Ur

)− cjrEr = 0 (11.5.13)

ここで、

pss = 3NkT (11.5.14)

where N = ne + np ' 2ne : total particle density (11.5.15)

T : plasmaのmean temperature

とすると

∂

∂t

(32NkT +

12ρU2

)+

∂

∂xr

(32NkTUr +

12ρU2Ur + prsUs + Qr

)− cjrEr = 0 (11.5.16)


∂

∂t

(32NkT

)+ Ur

∂

∂t(ρUr) + Ur

∂

∂xr

(32NkT

)+

32NkT

∂Ur

∂xr

+∂

∂xr

(12ρUsUsUr

)+ Us

∂prs

∂xr+ prs

∂Us

∂xr+

∂Qr

∂xr− cjrEr = 0

d

dt

(32NkT

)+

32NkT

∂Ur

∂xr+ prs

∂Ur

∂xr+

∂Qr

∂xr

∂

∂xr

(12ρUsUsUr

)− Ur

∂

∂xs(ρUrUs) + ζUrEr − UrεrstjsBt − cjrEr = 0

d

dt

(32NkT

)+

32NkT

∂Ur

∂xr+ prs

∂Ur

∂xr+

∂Qr

∂xr+ (ζUr − cjr)

(Er +

1cεrstUsBt

)= 0

(11.5.17)

11.6 Ohm’s law

protonに対する eq.(??)×ce/mp

e∂

∂t(npur) + e

∂

∂xs(np〈vsvr〉) −

ne2

mpEr −

ne2

cmpεrstusBt =

ec

mpKr (11.6.1)

electronに対する eq.(??)×− ce/me

−e∂

∂t(neur) − e

∂

∂xs(ne〈vsvr〉) −

ne2

meEr −

ne2

cmeεrstusBt =

ec

meKr (11.6.2)

これらの式を足して

c∂jr

∂t= − e

mp

∂p,rs

∂xs+

e

me

∂e,rs

∂xs+ e2

(np

mp+

ne

me

)Er

+e2

cεrst

(npup,s

mp+

neue,s

me

)Bt + e

(1

mp+

1me

)Kr

(11.6.3)

me ¿ mp と近似して

ne ' np = m−1p ρ (11.6.4)

eq.(11.2.4) ⇒ up,r ' Ur, eq.(11.2.5) ⇒ ue,r ' Ur −cmp

cρjr (11.6.5)

よって

c∂jr

∂t=

e

me

∂pe,rs

∂xs+

e2ρ

mpmeEr +

e2ρ

cmpmeεrstUsBt −

e

meεrstjsBt +

e

meKr (11.6.6)

11.7. The ideal MHD equations 97

|up − ue|が小さいと近似して

η−1 = σ =ne2

mecνη : resistivity coefficient (11.6.7)

σ : conductive coefficient

ν : momentum collision frequency

⇒ Kr = − ρe

mpηjr (11.6.8)

mpmec

ρe2

∂jr

∂t= Er +

1cεrstUsBt −

mp

ρeεrstjsBt +

mp

ρe

∂pe,rs

∂xs− ηjr (11.6.9)

→ Ohm’s lawの generalized forme− momentum relaxation time (10.5.24)から

ν = 102.0nT−3/2 (11.6.10)

→ collision frequencyηの正確な表示には e−-e− encounterを考える必要がある

Ch.10の結果: e−-e− encounterによる isotropization(??)は e−-p encounter(10.5.24) より早い

→ resistivityは factor∼ 2.7だけ増加

σ = 10−3.7T 3/2, η = 103.7T−3/2 (11.6.11)

ここには plasma frequencyが現れない← carriar density∝ nに対して、collision frequency ∝ nなので cancel

11.7 The ideal MHD equations

Ohm’s law Ohm’s law (11.6.9) を近似する

R1 =

∣∣mpmeρe2

∂jr

∂t

∣∣|ηjr|

(11.7.1)

を定義

frequency ωの wave-like disturbanceを考えて、eq.(11.6.7)から

R1 =mpmec

ρe2ω

ne2

mecν=

nmp

ρ

ω

ν=

ω

ν(11.7.2)

→ ”low-frequency” disturbanceを考えればR1 ¿ 1

⇒ jr +mp

ρeσεrstjsBt = σ

[Er +

1cεrstUsBt

]+

σmp

ρe

∂pe,rs

∂xs(11.7.3)

R2 =

∣∣σmpρe

∂pe,rs∂xs

∣∣σc−1|εrstUsBt|

(11.7.4)

を定義 ∣∣∣∣∂pe, rs

∂xs

∣∣∣∣ ' L−1pe L : pressure gradientの length scale (11.7.5)

pe = nekTe =13nemev

2th,e (11.7.6)

と評価すると

R2 ' σmp

ρe

pe

L

c

σ

1UB

=nempvth,e

3ρULrg,e ∼

vth,erg,e

UL(11.7.7)


L/rg,e À vth,e/U ⇒ R2 ¿ 1となり

jr +mp

ρeσεrstjsBt = σ

[Er +

1cεrstUsBt

](11.7.8)

さらに

R3 =

∣∣mpρe σεrstjsBt

∣∣|jr|

(11.7.9)

=mp

ρe

ne2

mecνB =

nmp

ρ

ωg,e

ν∼ ωg,e

ν(11.7.10)

多くの場合では ωg,e > ν で、この termは無視できない。ωg,e ¿ ν では

jr = σ

[Er +

1cεrstUsBt

](11.7.11)

→ ”ideal MHD” systemsでの Ohm’s law

charge continuity eq.(11.5.8)は Poisson eq.を使って

∂

∂xr

(1

4πc

∂Er

∂t+ jr

)(11.7.12)

R4 =

∣∣ 14πc

∂Er

∂t

∣∣|jr|

(11.7.13)

を定義

high-conductivity limitでは |E| ∼ |c−1UB|

R4 =ω

4πc2

UB

j∼ ωU

c2k(11.7.14)

usual case:R4 ¿ 1

⇒ charge continuity :∂jr

∂xr= 0 (11.7.15)

→ displace current¿plasma current

eq. of motion

R5 =|ζE|

|j × B|(11.7.16)

と定義して、Poisson’s eq. から ζ ∼ (4π)−1kE と評価して

R5 =14π

kE2

jB=

14π

(U

c

)2

(11.7.17)

sub-relativisticとすれば、R5 ¿ 1

ρdUr

dt= −∂prs

∂xs+ εrstjsBt (11.7.18)

energy eq. eq.(11.5.17)

• high-conductivity limitでは eq.(11.7.11)から last term が無視できる

• dense plasmaを考えて heat-fluxを無視

• pressure tensorは isotropicとする

11.8. The conductivity tensor 99

d

dt

(32p

)+

52p∂Ur

∂xr= 0 (11.7.19)

continuity eq.を使って

dp

dt= −ρ

∂Ur

∂xr(11.7.20)

⇒ 1p

dp

dt=

53

1ρ

dρ

dt(11.7.21)

⇒ p ∝ ρ5/3 : adiabatic eq. of state (11.7.22)

equations

• conductivity= ∞

• pressure tensorが isotropic

∂ρ

∂t+ ∇(ρU) = 0 (11.7.23)

ρdU

dt= −∇p + j × B (11.7.24)

pρ−5/3 = const. (11.7.25)∂B

∂t= ∇× (U × B) (11.7.26)

∇× B = 4πj (11.7.27)

11.8 The conductivity tensor

j +σ

nej × B = σE (11.8.1)

を考える。

⇔ j +e

mecνj × B = σE (11.8.2)

unit vector : b =B

B(11.8.3)

を導入すると

j + ωg,eτj × b = σE ωg,e : e− gyrofrequency (11.8.4)

τ : mean collision time

ντ = 1 (11.8.5)

が成立

解の形を

j = αE + βb × E + γ(b · E)b (11.8.6)

と仮定して、代入

αE + βb × E + γ(b · E)b + ωg,eτ [αE × b + β(b × E) × b] = σE

ここで[(b × E) × b]i = εijkεjlmblEmbk

= −(δilδkm − δimδkl)blbkEm

= −(b · E)bi + b2Ei = [−(b · E)b + b2E]i

(11.8.7)


よってα + ωg,eτβ =σ

β − ωg,eτα =0

γ − ωg,eτβ =0

これを解いて

α =σ

1 + (ωg,eτ)2, β =

(ωg,eτ)σ1 + (ωg,eτ)2

, γ =(ωg,eτ)2σ

1 + (ωg,eτ)2(11.8.8)

⇒ j = σ⊥E + (σ‖ − σ⊥)(b · E)b + σHb × E (11.8.9)

where σ‖ = σ, σ⊥ =σ

1 + (ωg,eτ)2, σH =

(ωg,eτ)σ1 + (ωg,eτ)2

(11.8.10)

E ‖ b ⇒ j = σE

E ⊥ b ⇒ j = σ⊥E + σHb × E

また、

b = (0, 0, 1) (11.8.11)

として成分表示すると j1

j2

j3

=σ⊥

E1

E2

E3

+ (σ‖ − σ⊥)

00

E3

+ σH

−E2

E1

0

=

σ⊥ −σH 0σH σ⊥ 00 0 σ‖

E1

E2

E3

(11.8.12)

collision frequencyが大きい極限 (ωg,eτ → 0)では

σ‖ → σ, σ⊥ → σ, σH → 0

となり、tensorは isotropiccollision frequencyが小さい極限 (ωg,eτ → ∞)では

σ‖ → σ, σ⊥ → 0, σH → 0

となり、e− currentは b方向

101

第12章 Magnetohydrodynamics

12.1 Evolution of the magnetic field

Ohm’s law: magnetic fieldの time evolutionを記述

eq.(11.7.11) ⇒ E = ηj − 1cv × B v : fluid velocity (12.1.1)

induction eq.(6.1.2)から

∂B

∂t= −c∇× E = −∇× (cηj) + ∇× (v × B) (12.1.2)

eq.(11.7.27)から∂B

∂t= ∇× (v × B) − c

4π∇× (η∇× B) (12.1.3)

→ magnetic fieldの time evolutionを決める eq.∇ · B = 0から rectangular coordinateで

∂B

∂t= ∇× (v × B) − c

4π∇η × (∇× B) +

cη

4π∇2B (12.1.4)

2nd term: resistivityの spatial variation → ηが uniformとすれば消える

diffusion coefficient : D =cη

4π(12.1.5)

を導入して∂B

∂t= ∇× (v × B) + D∇2B (12.1.6)

1st term : convective term → fluid中にmagnetic fieldが”frozen”2nd term : diffusive term → resistive leakage

magnetic Reynolds number : RM =|convective term||diffusive term|

(12.1.7)

=L−1vB

DL−2B=

Lv

D(12.1.8)

L: magnetic field variation の characteristic length

RM ¿ 1 : diffusion dominant → laboratory experimentsRM À 1 : convection dominant → astrophysics

fully ionized hydrogen plasmaでは

D = 1013.1T−3/2 (12.1.9)

RM = 10−13.1T 3/2Lv (12.1.10)

102 第 12章 Magnetohydrodynamics

図 12.1: The contour Γ moves with the plasma to become the contour Γ′ after time dt. The area ofthe annular region between the two contours is Sa

example

• Earth’s magnetosphereT = 104[k]L ∼ 109[cm](earth’s radius)v ∼ 104[cm s

1](jet stream)

⇒ RM ∼ 106

• solar coronaの active regionT ∼ 106[k]L ∼ 109[cm]v ∼ 105[cm s

1](photosphereの typical motion)

⇒ RM ∼ 1010

→ astrophysics,geophysicsでは diffusive termが無視できる

12.2 Frozen magnetic field lines

conductivity σ = ∞ ⇔ RM = ∞ を考える

eq.(12.1.3) ⇒ ∂B

∂t= ∇× (v × B) (12.2.1)

Γ : closed contourS : surface

の中の time-varying, nonuniform magnetic field B(x, t)を考える

→ small distance v∆tの移動: Γ′, S′ に変化して、側面は Sa

magnetic flux : Φ(S, t) =∫

S

dSn · B(x, t) (12.2.2)

Φ(S′, t + ∆t) =∫

S′dSn · B(x, t + ∆t) (12.2.3)

n:surfaceに normalな unit vector

Φ(S′, t + ∆t) '∫

S′dSn · B(x, t) +

∫S

dSn · ∂B

∂t∆t (12.2.4)

surface Sa を貫くmagnetic fieldは

Φ(Sa, t) =∮

Γ

(ds × v∆t) · B(v, t) (12.2.5)

12.2. Frozen magnetic field lines 103

であり、また

Φ(S, t) = Φ(S′, t) + Φ(Sa, t) (12.2.6)

が成立しているので

Φ(S, t) = Φ(S′, t + ∆t) −∫

S

dSn · ∂B

∂t∆t +

∮Γ

(ds × v∆t) · B(v, t)

⇔ Φ(S′.t + ∆t) − Φ(S, t) =∫

S

dSn · ∂B

∂t∆t −

∮Γ

(ds × v∆t) · B(v, t) (12.2.7)

∆t → 0として

dΦdt

=∫

S

dSn · ∂B

∂t−

∮Γ

ds · (v × B) (12.2.8)

=∫

S

dSn∂B

∂t−

∫S

dSn · [∇× (v × B)]

=∫

S

dSn ·[∂B

∂t−∇× (v × B)

]= 0 (12.2.9)

→ surface S を貫いている fluxは不変”magnetic-field lines”は plasma中で”frozen”

another viewpoint

eq.(12.2.1) ⇒ ∂B

∂t= εijk∂jεklmvlBm = (δilδjm − δimδjl)∂jvlBm

= (B · ∇)v − (v · ∇)B − (∇ · v)B (12.2.10)

⇔ dB

dt= (B · ∇)v − (∇ · v)B (12.2.11)

continuity eq.から

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0

⇔ ∂ρ

∂t+ (v · ∇)ρ + (∇ · v)ρ = 0

⇔ dρ

dt= −(∇ · v)ρ (12.2.12)

よって

dB

dt= (B · ∇)v − B

ρ

dρ

dt(12.2.13)

⇔ d

dt

(B

ρ

)=

[(B

ρ

)· ∇

]v (12.2.14)

δx:fluid中の two neighboring pointをつなぐ vectorとして、この time evolutionを考える

δx → x + v(x)∆t

x + δx → x + δx + v(x + δx)∆t

' x + δx + v(x)∆ + (δx · ∇)v∆t

δx → δx + (δx · ∇)v∆t

と変化するのでd(δx)

dt= (δx · ∇)v (12.2.15)

eqs.(12.2.14),(12.2.15)からB/ρ, δxは同じ time evolution→ initial stateでの relation　 δx = ερ−1Bが常に成立

”initial stateで、ある field line上にあった particlesは、後でも field line上に存在”→ 但し、field lineを特定する方法が無い限り、同じ field line上とは限らない


magnetic velocity magnetic fieldの”velocity”を定義: electric field = 0 になる frameの velocity

E +1cvM × B = 0 (12.2.16)

→ E · B = 0→ Bに normalな componentのみが定義されるそこで

B · vM = 0 (12.2.17)

を要求すれば

B × E +1cB × (vM × B) = B × E +

1cB2vM = 0

⇔ vM = cE × B

B2(12.2.18)

一方、infinite-conductivity approximationから

E = −1cv × B (12.2.19)

なので

vM = − (v × B) × B

B2= v⊥ (12.2.20)

→ magnetic fieldは plasmaとともに動く

Clebsh variables ∇ · Bから

B = ∇α + ∇β α, β : Clebsh variables (12.2.21)

⇒ B · ∇α = 0, B · ∇β = 0 (12.2.22)

→ field lineに沿って const.→ field lineは α, β によって label付けされる

α, β の plasmaの運動に沿った微分を 0とおいて

dα

dt≡ ∂α

∂t+ v · ∇α = 0

dβ

dt≡ ∂β

∂t+ v · ∇β = 0 (12.2.23)

但し、上の条件は全ての function α, β に成り立つとは限らない α, β → α′, β′

α′(x, t) = α(x, t) + f(t) + F (β)

β′(x, t) = β(x, t) + g(t) + G(α)(12.2.24)

f(t), g(t) : tの arbitrary functionF (β) : β の arbitrary functionG(α) : αの arbitrary function

→ この場合、f, gの選び方によって、eqs.(12.2.23)は満たされなくなるeq.(12.2.1)の L.H.Sは

∂B

∂t= ∇α ×∇β + ∇α ×∇β

ここで、

∇× (α∇β) = εijk∂j(α∂kβ) = εijk(∂jα)(∂kβ) + εijkα∂j∂kβ = ∇α ×∇β

から、

∂B

∂t= ∇α ×∇β −∇β ×∇α

= ∇× (α∇β) −∇× (β∇α)

= ∇× (α∇β − β∇α) (12.2.25)

12.3. Diffusion of magnetic field lines 105

R.H.Sは

∇× (v × B) = ∇× [v × (∇α ×∇β)]

= ∇× [(v · ∇β)∇α − (v · ∇α)∇β] (12.2.26)

よって、

eq.(12.2.1) ⇔ ∇× [(α + v · ∇α)∇β − (β + v · ∇β)∇α] = 0 (12.2.27)

→ eqs.(12.2.23)が満たされれば成立但し、これは eq.(12.2.1)の必要条件

12.3 Diffusion of magnetic field lines

RM ¿ 1 ⇔ convective termが無視できる

∂B

∂t= D∇2B : diffusion equation (12.3.1)

initial distribution : B1 = 0, B2 = 0, B3(x, t) = δ(x1) at t = 0 (12.3.2)

の下で、eq.を解く

B =∫

B(k, t) exp(ik · x)d3k

とおくと∂B

∂t= −Dk2B ⇒ B(k, t) = B(k, 0) exp(−Dk2t)

ここで

B(k, 0) =1

(2π)3

∫B(x, 0) exp(−ik · x)d3x =

00

(2π)−1δ(x2)δ(x3)

よって、B1(x, t) = B2(x, t) = 0

B3(x, t) =12π

∫ ∞

−∞exp(−Dk2

1t + ik1x1)dk1

=12π

exp(− x2

1

4Dt

) ∫ ∞

−∞exp

[−Dt

(k1 −

ix1

2Dt

)2]

dk1

=12π

exp(− x2

1

4Dt

) √pi

Dt

=1

(4πDt)1/2exp

(− x2

1

4Dt

)以上から

B1 = 0, B2 = 0, B3(x, t) =1

(4πDt)1/2exp

(− x2

1

4Dt

)(12.3.3)

diffusionの time scaleを評価する

diffusion time :B

τD' DB

L2(12.3.4)

τD ' D−1L2 (12.3.5)

τD ' 10−9.4σL2 (12.3.6)

fully ionized hydrogen plasmaではτD ' 10−13.1τ3/2L2 (12.3.7)


図 12.2: Example of the diffusion of magnetic field, as given by (12.3.3)

example

• copper sphereradius= 10[cm]σ = 107.3

→ τD ∼ 1[s]

• Sunradius= 1010.8[cm]T = 107

→ τD ∼ 1019.0[s] = 1011.5[yr]

→ Sunは interstellar mediumから作られたときのmagnetic fieldの記憶を持っていると考えられるSunの outer layer(> 0.8R¯):convectionの状態→ 内部の radiative zoneに比べて slow velocity field→ 上の議論は不適当

12.4 The virial theorem

plasma cylinderが currentを運ぶ→ 周りにmagnetic fieldが発生→ magnetic pressureと gas pressureが釣り合う ”magnetic confinement”

”self-confinedなmagnetic fieldを構成できるか？”eq. of motionにおいて

force density : F = −∇p + j × B (12.4.1)

eq.(11.7.27)を用いて

F = −∇p +14π

(∇× B) × B

この式は stress tensorの divergenceとして表される

Fr =∂Trs

∂xs(12.4.2)

where Trs = −pδrs +14π

BrBs −18π

B2δrs (12.4.3)

12.5. Extension of the virial theorem 107

ここで、B × (∇× B) =εijkBjεklm∂lBm

=(δilδjm − δimδjl)Bj∂lBm

=(δilδjm − δimδjl)[∂l(BjBm) − Bm∂lBj ]

=∂l(B2δil − BlBi) − Bj∂iBj

=∂l(B2δil − BlBi) −12∂iB

2

=∂

∂xl

(12B2δil − BiBl

)を用いた。

magnetic fieldと gas pressureの効果が釣り合うためには ∂Trs/∂xs が 0になっていてほしいそこで、

V =∫

d3xxrFr (12.4.4)

という量を構成

eq.(12.4.2)を代入して部分積分

V =∫

dSnrxrTrs −∫

d3Trr (12.4.5)

→ surfaceを無限遠にとれば、dipole magnetic field∝ r−3 などから、表面積分は消える

eq.(12.4.3)から

V =∫

d3x

[3p +

B2

8π

](12.4.6)

どこでも F = 0なら V = 0一方、上の積分から V > 0 → self-confined magnetohydrostatic systemは構成できない

12.5 Extension of the virial theorem

eq. of motion (??)から

∂

∂t(ρvr) =

∂Trs

∂xsvr : plasma fluid velocity (12.5.1)

where Trs = −ρvrvs − pδrs +14BrBs −

18π

B2δrs (12.5.2)

symmetric tensor

Vrs = −∫

d3x

[xr

∂

∂t(ρvs) −

∂Tst

∂xt

+ xs

∂

∂t(ρvr) −

∂Trt

∂xt

](12.5.3)

を構成

eq. of motion(12.5.2)が成立していれば Vsr = 0

moment of inertia tensor : Irs =∫

d3xρxrxs (12.5.4)

⇒ d

dtIrs =

∫d3x

∂ρ

∂txrxs (12.5.5)

= −∫

d3x∂

∂xt(ρvt)xrxs (12.5.6)

=∫

d3x[ρxrxs + ρxsxr] (12.5.7)

⇒ d2

dt2Irs =

∫d3x

[xr

∂

∂t(ρvs) + xs

∂

∂t(ρvr)

](12.5.8)

=∫

d3x

[xr

∂Tst

∂t+ xs

∂Trt

∂xt

](12.5.9)


⇒ 12

d2

dt2Irs = −1

2

∫d3x(Tsr + Trs) = −

∫d3xTrs (12.5.10)

縮約して

I ≡ Irr =∫

d3xρx2 (12.5.11)

⇒ 12

d2I

dt2=

∫d3x

[ρv2 + 3p +

B2

8π

]> 0 (12.5.12)

→ plasma configurationは expand

perfect gasの total thermal energy : Θ =∫

d3x32NkT =

32

∫d3xp (12.5.13)

kinetic energy : K =∫

d3x12ρv2 (12.5.14)

magneticenergy : M =∫

d3xB2

8π(12.5.15)

⇒ 12

d2I

dt2= 2K + 2Θ + M (12.5.16)

重力を含む systemでは

gravitational force density : Fg,r = −ρ∂Φ∂xr

(12.5.17)

Φ : gravitational potentialが加わる。

Poisson′s eq. : ∇2Φ = 4πGρ (12.5.18)

⇒ Φ(x) = −G

∫d3x′ρ(x′)|x − x′|

(12.5.19)

これによって、eq.(12.4.4)には

Vg = −∫

d3xxrρ∂Φ∂xr

(12.5.20)

が加わる。

Vg = −G

∫d3xρ(x)xr

∫d3x′(xr − x′

r)ρ(x′)|x − x′|3

(12.5.21)

= −G

2

∫ ∫d3xd3x′ ρ(x)ρ(x′)

|x − x′|3[xr(xr − x′

r) + x′r(x

′r − xr)] (12.5.22)

= −G

2


|x − x′|(12.5.23)

gravitational potential energy : Ω = −12

∫d3xρ(x)Φ(x) (12.5.24)

=12G


|x − x′|(12.5.25)

を用いると

Vg = Ω (12.5.26)

よって、virial thoremは12

d2I

dt2= 2K + 2Θ + M − Ω (12.5.27)

12.6. Stability analysis using the virial theorem 109

12.6 Stability analysis using the virial theorem

equilibrium : 2K + 2Θ + M − Ω = 0 (12.6.1)

に対して factor1 + εの uniform expansionを考える

x → x∗ = (1 + ε)x (12.6.2)

ρ → ρ∗ = (1 + ε)−3ρ (12.6.3)

polytropic relation : p ∝ ργ (12.6.4)

を仮定すると

Θ =1

γ − 1

∫d3xp (12.6.5)

⇒ Θ → (1 + ε)−3(γ−1)Θ (12.6.6)

rotational fluid motion(oscillation/rotation)を考えて、

v → v∗ = (1 + ε)−1v (12.6.7)

K → K∗ = (1 + ε)−2K (12.6.8)

magnetic fieldの保存を考えて

B → B∗ = (1 + ε)−2B (12.6.9)

M → M∗ = (1 + ε)−1M (12.6.10)

Ω → Ω∗ = (1 + ε)−1Ω (12.6.11)

I → I∗ = (1 + ε)2I (12.6.12)

virial thoremに代入すると、1st-orderまでで

Iε = 2(1 − 2ε)K + 2[1 − 3(γ − 1)ε]Θ + (1 − ε)M − (1 − ε)Ω (12.6.13)

0-orderは cancel、1st-orderは

Iε = −[4K + 6(γ − 1)Θ + M − Ω]ε (12.6.14)

ε + [I−1K + 6(γ − 4/3)I−1Θ]ε = 0 (12.6.15)

γ ≤ 4/3 : unstableγ > 4/3 : oscillatory modes

111

第13章 Force-free magnetic field

configurations

13.1 Introduction

astrophysical situation → gravitational fieldが必要

eq. of motion : ρdv

dt+ j × B −∇p + ρg (13.1.1)

gravitational field : g = −∇Φ Φ : gravotational potential (13.1.2)

magnetic field confinementにはj × B −∇p + ρg = 0 (13.1.3)

が必要

dominant termは

[stellar interior : ∇p, ρg

stellar atmosphere : j × B

stellar atmosphereを考える

magnetostaticequilibrium : j × B = 0 (13.1.4)

→ ”force-free”(∇× B) × B = 0 (13.1.5)

→ non-linear:B(1),B(2) が解でも、B(1) + B(2) は解にならない

eq.(13.1.4)は実際には近似的に成立

sinχ =|j × B|

jB(13.1.6)

| sinχ| ' |∇p||jB|

+|ρg||jB|

(13.1.7)

と近似して、gravitational fieldを無視

sinχ ' 4πpLm

B2LP(13.1.8)

' 12β

Lm

Lp(13.1.9)

Lm : magnetic fieldの characteristic lengthLp : pressureの characteristic length

where β =p

pm=

8πp

B2(13.1.10)

→ force-free assumptionは”low-beta” plasmaに対して良い近似

112 第 13章 Force-free magnetic field configurations

図 13.1:

gravitational field

scaleheight : H =p

ρg=

kT

mavg(13.1.11)

gravitational fieldの影響は

sinχ ' ρg

p· p

jB=

1H

· 2βLm = 2βLm

H(13.1.12)

H ¿ Lm なら force-free assumptionは良い近似→ これは、astrophysicalでは有り得る状況

force-freeによる制限形状の可能な topological structureに制限がかかる→ field lineは共通の平面に存在するのが不可能field lineが closed contour Γに沿っているとする∮

Γ

ds · B =∫

dSn · (∇× B) (13.1.13)

= 4π∫

dSn · j (13.1.14)

但し、force-freeなので j ‖ B ⇒ n · j = 0よって、L.H.S= 0 ⇒ R.H.S= 0

13.2 Linear force-free field

linear eq.の解となる subclassが存在

eq.(13.1.5) ⇒ ∇× B = λ(x)B (13.2.1)

が解となる。両辺の divをとって

∇ · [λ(x)B] = B · ∇λ(x) + λ(x)(∇ · B) = B · ∇λ(x) = 0 (13.2.2)

13.3. Examples of linear force-free fields 113

→ λ(x)は field lineに沿って const.

two particular solutions :∇× B(1) = λ(1)(x)B(1)

∇× B(2) = λ(2)(x)B(2)(13.2.3)

⇒ [∇× (B(1) + B(2))] × (B(1) + B(2)) = [λ(1)(x)B(1) + λ(2)(x)B(2)] × (B(1) + B(2))

= [λ(1)(x) − λ(2)(x)](B(1) × B(2)) (13.2.4)

→ λ(1)(x) = λ(2)(x)が成立していれば、B(1) + B(2) も force-freeそこで、

λ(x) = const. (13.2.5)

となる force-free fieldを考える⇒ ∇× B = λB (13.2.6)

→ linear partial differential eq.この eq.の rotをとって

∇× (∇× B) = −∇2B = λ(∇× B) = λ2B

⇒ ∇2B + λ2B = 0 (13.2.7)

→ Helmholtz eq.λ の値を決めるには closed surface上のBの component/その derivativeが必要1

example dimension Dの sunspot: unipolar

13.3 Examples of linear force-free fields

formulation fieldはy方向に uniformx方向に sinusoidal: wave number k

eq.(13.2.7)から

λ2 < k2 : z方向には exponentialに変化

λ2 > k2 : z方向には sinusoidalに変化

solar active region のmodel化を考える→ z方向に減衰: λ < kが必要

solution : Bx = Bx,0 sin(kx)e−lz

By = By,0 sin(kx)e−lz

Bz = B0 cos(kx)e−lz (13.3.1)

∇× Bを計算

(∇× B)x = ∂yBz − ∂zBy = lBy,0 sin(kx)e−lz

(∇× B)y = ∂zBx − ∂xBz = (−lBx,0 + kB0) sin(kx)e−lz

(∇× B)z = ∂xBy − ∂yBx = kBy,0 cos(kx)e−lz (13.3.2)

eq.(13.2.6)からlBy,0 =λBx,0

−lBx,0 + kB0 =λBy,0

kBy,0 =λB0

(13.3.3)

1general/realistic にはもっと複雑

114 第 13章 Force-free magnetic field configurations

13.4 The generating-function method

13.5 Calculation of magnetic-field onfigurations

13.6 Linear force-free fields of cylindrical symmetry

13.7 Uniformly twisted cylindrical force-free field

13.8 Magnetic helicity

13.9 Woltjer’s theorem

13.10 Useful relations for semi-infinite force-free magnetic-

field configurations

115

第14章 Waves in MHD systems

14.1 MHD waves in a uniform plasma

ideal MHD eqs.

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 (14.1.1)

ρ

(∂

∂t+ v · ∇

)v = −∇p +

14π

(∇× B) × B (14.1.2)(∂

∂t+ v · ∇

)(pρ−γ) = 0 (14.1.3)

∂B

∂t= ∇× (∇× B) (14.1.4)

∇ · B = 0 (14.1.5)

→ gravitational fieldは Sec.14.2static homogeneous magneto plasma中の time-dependent disturbanceを考えるunperturbed velocityが uniform(6= 0)とすると、v = 0となる frameへ変換できる→ 最初から v = 0とおいてよい

perturbations : v → δv

B → B + δB

p → p + δp

ρ → ρ + δρ (14.1.6)

linearized eqs. :∂

∂tδρ = ρ∇ · (δv) = 0 (14.1.7)

ρ∂

∂tδv = −∇(δp) +

14π

(∇× δB) × B (14.1.8)

∂

∂tδB = ∇× (δv × B) (14.1.9)

δp

δρ= v2

s (14.1.10)

where v2s =

γp

ρ: sound speed (14.1.11)

Fourier変換の 1つの component

δv(x, t) = δvei(k·x−ωt), etc. (14.1.12)

を考えて

−iωδρ = iρk · δv = 0 (14.1.13)

−iωρδv = −ikδp +14π

i(k × δB) × B (14.1.14)

−iωδB = ik × (δv × B) (14.1.15)

116 第 14章 Waves in MHD systems

eqs.(14.1.10),(14.1.13)からδp = v2

s δρ = ω−1v2s ρk · δv (14.1.16)

これを eq.(14.1.14)に代入

−iωρδv = − ik

ωv2s ρk · δv +

14π

i(k × δB) × B

⇔ ω2δv = v2s (ρk · δv)k − ω

4πρ(k × δB) × B (14.1.17)

eq.(14.1.15)を代入して

ω2δv = v2s (ρk · δv)k − 1

4πρ[k × (δv × B)] × B (14.1.18)

eq.(14.1.17)·(k × δB)からδv · (k × δB) (14.1.19)

eq.(14.1.18)·(δv × B)からδB · (δv × B) (14.1.20)

→ δv ‖ δBでない限り、δv, δB,k,Bは同一平面上

dispersion relation

coordinate system : B = (0, 0, B) (14.1.21)

k = (k sin θ, 0, k cos θ) (14.1.22)

phase velocity : vφ =ω

k(14.1.23)

Alfven speed : v2A =

B2

4πρ(14.1.24)

eq.(14.1.5) ⇒

δB1

δB2

δB3

= −

v−1φ sin θ

0v−1

φ cos θ

×

Bδv2

−Bδv1

0

=

−Bv−1φ cos θδv1

−Bv−1φ cos θδv2

Bv−1φ sin θδv1

=

−Bv−1φ cos θ 0 00 −Bv−1

φ cos θ 0Bv−1

φ sin θ 0 0

δv1

δv2

δv3

(14.1.25)

14.1. MHD waves in a uniform plasma 117

→ δvの unperturbed magnetic field方向の componentは δBに影響しない

eq.(14.1.18)を成分表示

ω−2(k · δv)k =ω−2(k sin θδv1 + k cos θδv3)

k sin θ

0k cos θ

=v−2φ

sin2 θδv1 + sin θ cos θδv3

0sin θ cos θδv1 + cos2 θδv3

ω−2k × [k × (δv × B)] × B =

v−1

φ sin θ

0v−1

φ cos θ

× Bv−1φ

− cos θδv1

− cos θδv2

sin θδv1

×

00B

=B2v−2φ

cos2 θδv2

δv1

− cos θ sin θδv2

×

001

=B2v−2φ

δv1

− cos2 θδv2

0

= B2v−2φ

1 0 00 − cos2 θ 00 0 0

δv1

δv2

δv3

よって

v2φ

δv1

δv2

δv3

= v2s

sin2 θ 0 sin θ cos θ

0 0 0sin θ 0 cos2 θ

δv1

δv2

δv3

+ v2A

1 0 00 − cos2 θ 00 0 0

δv1

δv2

δv3

⇔

v2φ − v2

A − v2s sin2 θ 0 −v2

s sin θ cos θ

0 v2φ − v2

A cos2 θ 0−v2

s sin θ cos θ 0 v2φ − v2

s cos2 θ

δv1

δv2

δv3

= 0 (14.1.26)

⇔ (v2φ − v2

A cos2 θ)δv2 = 0 (14.1.27)[v2

φ − v2A − v2

s sin2 θ −v2s sin θ cos θ

−v2s sin θ cos θ v2

φ − v2s cos2 θ

][δv1

δv3

]= 0 (14.1.28)

eq.(14.1.27)からdispersion relation : ω2 = v2

Ak2 (14.1.29)

→ group velocity= (0, 0,±vA):magnetic fieldに parallelな Alfven modeこのmodeの eigen vectorは

δv =

010

, δB = −Bv−1φ

010

(14.1.30)

→ δv ‖ δB ⊥ B,k

eq.(14.1.28)で det= 0として

(v2φ − v2

A − v2s sin2 θ)(v2

φ − v2s cos2 θ) − v4

s sin2 θ cos2 θ

= v4φ − (v2

s + v2A)v2

φ + v2s v2

A cos2 θ = 0(14.1.31)

⇔ v2φ =

12(v2

s + v2A) ± 1

2[v2

s + v2A − 2v2

s v2A cos2 θ]1/2 (14.1.32)


このmodesの eigen vectorは

δv =

v2φ − v2

A cos2 θ

0v2s sin θ cos θ

δB =

−Bv−1φ cos θ 0 00 −Bv−1

φ 0Bv−1

φ sin θ 0

v2

φ − v2A cos2 θ

0v2s sin θ cos θ

=Bv−1φ (v2

φ − v2s cos2 θ)

− cos θ

0sin θ

(14.1.33)

→ magnetic fieldに normal

magnetic fieldの効果 no magnetic field ⇔ vA = 0とすると、vφ = ±vs

→ magnetic fieldが acoustic modeを変形させる

[fast magneto acoustic modeslow magneto acoustic mode

(vφ,fast)2 =

max(v2

s , v2A) for θ = 0

v2s + v2

A for θ = ±π/2(14.1.34)

(vφ,slow)2 =

min(v2

s , v2A) for θ = 0

0 for θ = ±π/2(14.1.35)

図 14.1: The square of the phase velocity of thefast and slow magnetoacoustic modes as a functionof angle between the propagation vector and themagnetic field vector. (Shown for the case thatvA > vs.)

図 14.2: Phase-velocity vector for fast mode andslow mode, as in Fig. 14.1 but shown in the formof a polar diagram.

Case1 Propagation along the magnetic field:θ = 0 ⇔ k = (0, 0, k)matrix eq.(14.1.26)

⇒

v2φ − v2

A 0 00 v2

φ − v2A 0

0 0 v2φ − v2

s

δv1

δv2

δv3

(14.1.36)

14.2. Waves in a barometric medium 119

relation (14.1.25)

⇒

δB1

δB2

δB3

=

−Bv−1φ 0 0

0 −Bv−1φ 0

0 0 0

δv1

δv2

δv3

(14.1.37)

→

[2 transverse modes : v2

φ = v2A

1 longitudinal mode : v2φ = v2

s

vs > vA : sound wave=fast magnetosonic modeAlfven wave=slow magnetosonic modes

vs > vA : sound wave=slow magnetosonic modeAlfven wave=fast magnetosonic modes

Case2 Propagation transverse to the magnetic field:θ = π/2 ⇔ k = (k, 0, 0)matrix eq.(14.1.26)

⇒

v2φ − v2

s − v2A 0 0

0 v2φ 0

0 0 v2φ

δv1

δv2

δv3

(14.1.38)

relation (14.1.25)

⇒

δB1

δB2

δB3

=

0 0 00 0 0

Bv−1φ 0 0

δv1

δv2

δv3

(14.1.39)

→ fast mode : v2φ = v2

s + v2A (14.1.40)

• velocity vector ‖ k

• magnetic fieldの B3 は v1 によって変化する

' sound wave: gas pressureの代わりにmagnetic pressure

v2φ = 0となる 2 modes

[δv2 6= 0δv3 6= 0

δv2 6= 0 : magnetic fieldの fluctuationは起きないpressureの fluctuationも起きないAlfven waveで k3 → 0とした limit

δv3 6= 0 : slow magneto-acoustic modeの limitting casemagnetic field, gas density, pressureに変化なし

14.2 Waves in a barometric medium

gravitational fieldを考える→ densityが surfaceからの距離によって薄くなるので、spatially uniformとはならない

• density scale height ¿ MHD waveの wavelength→ WKB approximationが使える

• density scale height ∼ MHD waveの wavelength→ numerical calculation但し、

• magnetic fieldが弱い


• gasは uniform temperature と仮定すると、analytical techniqueで扱える

continuity eq. :∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 (14.2.1)

eq. of motion : ρ

(∂

∂t+ v · ∇

)v = −∇p + ρg (14.2.2)

eq. of state :(

∂

∂t+ v · ∇

)(pρ−γ) = 0 (14.2.3)

pressure : p = nkT (14.2.4)

density : ρ = nmav (14.2.5)

mav = mean particle mass

eqs.(14.2.2),(14.2.4),(14.2.5)から

nmav

(∂

∂t+ v · ∇

)v = −kT∇n + nmavg

equilibriumを考えて

−kTdn

dz− nmavg = 0 (14.2.6)

⇔ dn

n= −mavg

kTdz

⇔ n = n0 exp(−mavg

kTz)

= n0e−z/H (14.2.7)

where H =kT

mavg: scale height (14.2.8)

= 108.22g−1T for fully ionized hydrogen (14.2.9)

• solar coronag = 104.44[cm s−1]T ∼ 106[K]

⇒ H ∼ 109.8[cm]

• solar coronag = 104[cm s−1]T ∼ 106[K]だとしても

⇒ H ∼ 1[cm]

⇒ p = p0e−z/H (14.2.10)

ρ = ρ0e−z/H (14.2.11)

where H =p0

ρ0g(14.2.12)

perturbations : p → p + δp

ρ → ρ + δρ

v → δv (14.2.13)

linearized eqs. :∂

∂tδρ + ∇ · (ρδv) = 0 (14.2.14)

ρ∂

∂tδv = −∇(δp) + δρg (14.2.15)

δv · ∇(pρ−γ) +∂

∂t(δpρ−γ − γpρ−γ−1δρ) = 0 (14.2.16)

14.2. Waves in a barometric medium 121

unperturbed systemは stationary+uniform in x, y

→ t, x, yについて Fourier変換で表す。但し、ky = 0としても一般性を失わない

δp → δpei(kxx−ωt), etc. (14.2.17)

eqs. : −iωδρ +∂

∂z[ρ0e

−z/Hδvz] − ikxρ0e−z/Hδvx = 0 (14.2.18)

−iωρ0e−z/Hδvx = ikxδp (14.2.19)

−iωρ0e−z/Hδvz = − ∂

∂zδp − gδρ (14.2.20)

δvz∂

∂z[p0ρ

−γ0 e(γ−1)z/H ] − iω[δpρ−γ

0 eγz/H − γp0ρ−γ−10 eγz/Hδρ] = 0 (14.2.21)

係数が zの関数 → z方向の Fourier変換は出来ないそこで

δw → δve−z/H (14.2.22)

を定義 → constant coefficientsになる→ Im[kz] = 1

2 iH−1 と分かる。よって、最初から

perturbations : δp = δp0 exp[− z

H+ i(kxx + kzz − ωt)

](14.2.23)

δρ = δρ0 exp[− z


](14.2.24)

δvx = δvx,0 exp[ z


](14.2.25)

δvz = δvz,0 exp[ z


](14.2.26)

としておけばよい。

z ⇔

[δp, δρ

δvx, δvz となる

これによって、eqs.は0 ikx −iωρ0 00 −iω ikxρ0 ρ0

(ikz − 1

2H

)ikz − 1

2H g 0 −iωp0

−iω −iωv2s 0 γ−1

H p0

δpo

δρ0

δvx,0

δvz,0

= 0 (14.2.27)

where v2s =

γp0

ρ0: sound speed (14.2.28)

plasma physics - department of astronomy, kyoto …asuzuki/pdf/plasma.pdf1 第2章 basic concepts...

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