planaritätsalgorithmus nach demoucron, malgrange und pertuiset
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Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung SS 2008, Universität Bayreuth Vortrag am 23.06.2008 Martin KlinkeTRANSCRIPT
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Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset
Seminar Fortgeschrittene Konzepte der ProgrammierungSS 2008, Universität Bayreuth
Vortrag am 23.06.2008Martin Klinke
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Inhalt
1.Was bedeutet Planarität anschaulich?
2.Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?
3.Kriterien für Planarität
4.Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von planaren Graphen
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Was bedeutet Planarität anschaulich?
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Ein planarer Graph...
... lässt sich in der Ebene zeichnen, ohne dass sich Kanten überschneiden.
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[2]
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Nicht-planare Graphen...
... lassen sich dagegen nicht ohne Überschneidungen in der Ebene zeichnen.
51 2 3 4
[2]
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Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?
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Anwendungen von Planarität
71 2 3 4
[3]
[4]
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Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer Schaltkreise
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[3]
[4]
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Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer Schaltkreise
71 2 3 4
[3]
[4]
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Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer Schaltkreise
•Übersichtliche Darstellung von Abläufen, z.B. Programmen, Projektaufgaben
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[3]
[4]
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Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer Schaltkreise
•Übersichtliche Darstellung von Abläufen, z.B. Programmen, Projektaufgaben
71 2 3 4
[3]
[4]
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Anwendungen von Planarität
81 2 3 4
Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
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Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
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Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
81 2 3 4
Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
81 2 3 4
Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
81 2 3 4
Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
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Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
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Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
81 2 3 4
Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
81 2 3 4
Häuser
Gas Wasser Strom
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Anwendungen von Planarität
•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...
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Häuser
Gas Wasser Strom
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Kriterien für Planarität
1 2 3 4
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Definition: Graph
•Ein Graph G wird durch zwei Mengen beschrieben [5]:
•Knotenmenge V = {v1, v2, ..., vn}
•Kantenmenge E ⊆ V2
•Hier nur Betrachtung von
•schlichten ungerichteten und
•zweifach zusammenhängenden Graphen
101 2 3 4
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Definition: Inzidenz, Adjazenz
•Ein Knoten v und eine Kante e = (u, v) sind zueinander inzident.
•Zwei Kanten e = (u, v) und f = (v, w) sind zueinander adjazent.
•Zwei Knoten u, v sind zueinander adjazent, wenn die Kante (u,v) existiert.
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Definition: Einbettung
•Nach [1]: Ein Graph G ist einbettbar in einen Raum L, wenn eine Abbildung der Knoten und Kanten von G auf Punkte und Jordan-Kurven von L existiert, so dass gilt:• verschiedene Knoten werden auf verschiedene Punkte
abgebildet;•wenn ein Knoten inzident zu einer Kante ist, dann ist das
Abbild des Knotens ein Endpunkt des Abbildes der Kante;
•nicht-adjazente Kanten von G werden auf Kurven abgebildet, die sich nicht schneiden;
•adjazente Kanten werden auf Kurven abgebildet, die sich nur in einem Punkt schneiden; dieser Punkt entspricht dem Knoten, der Teil beider Kanten ist.
121 2 3 4
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Stereographische Projektion
•Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine Kugeloberfläche eingebettet werden kann.
131 2 3 4
[1]
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Stereographische Projektion
•Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine Kugeloberfläche eingebettet werden kann.
131 2 3 4
N
v
v‘
[1]
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Euler-Formel - 1
•Nach Eulers Theorem (1758) [1] gilt für jeden zusammenhängenden planaren Graphen die Formeln - m + f = 2.
•n: Anzahl Knoten
•m: Anzahl Kanten
•f: Anzahl Flächen
141 2 3 4
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Euler-Formel - 2
•Für jeden zusammenhängenden planaren (n,m)-Graphen G mit n ≥ 3 gilt die Ungleichungm ≤ 3n - 6.
151 2 3 4
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K5
161 2 3 4
K5
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K5
•K5 ist nicht planar
161 2 3 4
K5
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K5
•K5 ist nicht planar
•n=5, m=10m ≤ 3n - 610 ≤ 9 ✘
161 2 3 4
K5
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K3,3
171 2 3 4
K3,3
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K3,3
•K3,3 ist nicht planar
171 2 3 4
K3,3
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K3,3
•K3,3 ist nicht planar•n=6, m=9
m ≤ 3n - 6 bzw. 9 ≤ 12 ✔⇒ f = 5
171 2 3 4
K3,3
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K3,3
•K3,3 ist nicht planar•n=6, m=9
m ≤ 3n - 6 bzw. 9 ≤ 12 ✔⇒ f = 5
•Bipartit ⇒ jede
Fläche muss von mind. 4 Kanten berandet sein ⇒ 2m ≥ 4f
bzw. 18 ≥ 20 ✘
171 2 3 4
K3,3
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Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von planaren Graphen
1 2 3 4
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BegrifflichkeitenEin Graph G und seine Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
191 2 3 4
[1]
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BegrifflichkeitenEin Graph G und seine Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
321 54
9 10 11
678
G
191 2 3 4
[1]
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BegrifflichkeitenEin Graph G und seine Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
321 54
678
F2
F1
G‘321 54
9 10 11
678
G
191 2 3 4
[1]
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BegrifflichkeitenEin Graph G und seine Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
321 54
678
F2
F1
G‘321 54
9 10 11
678
G
321 4
9 10
S1
11
3S2
5 6
2
S3
8
1
S4
7
2
S5
6
4
S6
6
191 2 3 4
[1]
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Definition: Fragment
•Nach [1]: Als Fragment S bzgl. G‘ bezeichnet man einen Subgraphen von G, bei dem es sich um einen der beiden folgenden Typen handelt:
•Eine Kante e = (u, v) ∈ E(G), so dass e ∉ E(G‘) und u, v ∈ V(G‘).
•Eine Zusammenhangskomponente von G - G‘ die durch alle Kanten (und ihre Enden) von G, die die Komponente mit G verbinden, erweitert wird.
201 2 3 4
![Page 44: Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060202/559b5f941a28ab025f8b457a/html5/thumbnails/44.jpg)
Definition: Kontaktknoten
•Nach [1]: Ein Knoten v eines Fragments S bzgl. G‘ wird als Kontaktknoten bezeichnet, wenn v ∈ V(G‘).
321 54
678
G‘
211 2 3 4
321 4
9 10
S
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Definition: Kontaktknoten
•Nach [1]: Ein Knoten v eines Fragments S bzgl. G‘ wird als Kontaktknoten bezeichnet, wenn v ∈ V(G‘).
321 54
678
G‘
211 2 3 4
321 4
9 10
S
![Page 46: Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060202/559b5f941a28ab025f8b457a/html5/thumbnails/46.jpg)
Definition: α-Pfad
•Nach [1]: Einfacher Pfad L des Fragments S,
•der zwei verschiedene Kontaktknoten verbindet und
•keine weiteren Kontaktknoten enthält.
221 2 3 4
321 4
9 10
S
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Definition: Zulässige Fläche
•Nach [1]: Eine zulässige Fläche für ein Fragment S bzgl. G‘ ist eine Fläche von G‘, die alle Kontaktknoten von S enthält.
•F(S): Menge aller zulässigen Flächen für S
231 2 3 4
321 54
678
F2
F1
G‘
11
321 4
9 10
S
F3
F4
![Page 48: Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060202/559b5f941a28ab025f8b457a/html5/thumbnails/48.jpg)
Definition: Zulässige Fläche
•Nach [1]: Eine zulässige Fläche für ein Fragment S bzgl. G‘ ist eine Fläche von G‘, die alle Kontaktknoten von S enthält.
•F(S): Menge aller zulässigen Flächen für S
231 2 3 4
321 54
678
F2
F1
G‘
11
321 4
9 10
S
F3
F4
![Page 49: Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060202/559b5f941a28ab025f8b457a/html5/thumbnails/49.jpg)
Konkurrierende Fragmente
•Nach [1]: Zwei Fragmente S1 und S2 werden als konkurrierend bezeichnet, wenn
•θ = F(S1) ∩ F(S2) ≠ ∅ und
•zwei α-Pfade L1 ∈ S1, L2 ∈ S2 existieren, die nicht gleichzeitig in jede Fläche aus θ eingebettet werden können.
241 2 3 4
![Page 50: Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060202/559b5f941a28ab025f8b457a/html5/thumbnails/50.jpg)
Der Algorithmus...
•basiert auf den Ideen von Demoucron, Malgrange und Pertuiset von 1964
•kann nicht nur auf Planarität testen, sondern liefert eine planare Einbettung, falls möglich
•arbeitet inkrementell
251 2 3 4
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Algorithmus nach Demoucron [1]
261 2 3 4
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1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
Algorithmus nach Demoucron [1]
261 2 3 4
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1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
2.Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet ⇒ Ende
Algorithmus nach Demoucron [1]
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1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
2.Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet ⇒ Ende
3.Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-planar ⇒ Ende
Algorithmus nach Demoucron [1]
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1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
2.Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet ⇒ Ende
3.Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-planar ⇒ Ende
4.Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
Algorithmus nach Demoucron [1]
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1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
2.Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet ⇒ Ende
3.Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-planar ⇒ Ende
4.Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
5.Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige zulässige Fläche F
Algorithmus nach Demoucron [1]
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1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
2.Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet ⇒ Ende
3.Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-planar ⇒ Ende
4.Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
5.Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige zulässige Fläche F
6.Bette einen beliebigen α-Pfad L von S in F ein und ersetze G‘ durch G‘ ∪ L; gehe zu Schritt 2
Algorithmus nach Demoucron [1]
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Beispiel
271 2 3 4
4
65
1 2
3
•Durchlauf des Algorithmus anhand des dargestellten Ausgangsgraphen G
•Das Format für die Darstellung der Zwischenschritte stammt aus [6].
G
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281 2 3 4
G‘ Flächen Fragmentezulässige Flächen
F1={∞, 456}F2={456}
F(S1)={F1, F2}F(S2)={F1, F2}
F1={∞, 456}F2={1456}F3={164}
F(S1)={F1, F2}
4
65 4
61
5
32
6
4
651
5
32
6
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291 2 3 4
G‘ Flächen Fragmentezulässige Flächen
F1={∞, 2654}F2={265}F3={1465}F4={164}
F(S1)={F1, F2}
5
32
4
651
2
4
651
23
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Aufwand
•Der Algorithmus nach Demoucron kann bestenfalls mit quadratischer Zeitkomplexität (O(n2)) implementiert werden. [5]
•Es existieren andere Algorithmen, die das Problem mit linearem Aufwand lösen.
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Quellen
1.Lectures on Graph Theory, O. Melnikov, BI Wissenschaftsverlag 1994
2.http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2004/Andrew-King/507planar.html, letzter Abruf: 08.06.2008
3.http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/, letzter Abruf: 08.06.2008
4.http://blog.keelit.com/2007/04/12/, letzter Abruf: 08.06.2008
5.http://www.user.fh-stralsund.de/~pscheff/KonflikteVermeiden.pdf, letzter Abruf: 22.06.2008
6.http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf, letzter Abruf: 22.06.2008
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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Seminar Fortgeschrittene Konzepte der ProgrammierungSS 2008, Universität Bayreuth
Vortrag am 23.06.2008Martin Klinke
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