INSTITUTO TEBAIDA CENTRO EDUCATIVO LA IRLANDA

Aprobado por la Gobernación del Quindío

Según Resolución Nº 0278 de Octubre 27 de 2000

Decreto Nº 000472 de Septiembre 30- 2002

LA TEBAIDA Q. Telefax: 7542183

PARA EL PROGRESO

DE LA TEBAIDA

2012

INSTITUTO TEBAIDA Institución Educativa Instituto Tebaida

La Tebaida 2012

PLAN ÁREA

MATEMÁTICAS

LA TEBAIDA 2012

DOCENTES:

Ángel Molina Álvaro

Duque Marín Edwin Fernando

Rojas Arroyave Norberto

Montoya Franco Nelly

Sanabria Sánchez Carlos Ferney

Guzmán Castaño Fabio

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1. IDENTIFICACIÓN Centro Docente: Centro Educativo Instituto Tebaida Área: Matemáticas 5 horas clase Año: 2012

2. INTENSIDAD HORARIA SEMANAL

Grado Sexto: Matemáticas 5 horas clase. Grado Séptimo: Matemáticas 5 horas clase. Grado Octavo: Matemáticas 5 horas clase. Grado Noveno: Matemáticas 5 horas clase. Grado Décimo Media Técnica: Matemáticas 4 horas clase. Grado Décimo Académico: Matemáticas 4 horas clase. Grado Undécimo Media Técnica: Matemáticas 4 horas clase. Grado Undécimo Académico: Matemáticas 4 horas clase. Para los informes académicos, se tendrán en cuenta 4 períodos y un informe final. 3. DIAGNÓSTICO

Entre las FORTALEZAS se cuenta con:

Docentes capacitados en el área, con gran experiencia y con título profesional, además tienen una o varias especializaciones en educación.

Docentes y personal administrativo con grandes valores humanos y comprometidos con el mejoramiento de la calidad de la educación.

Una biblioteca con textos de matemáticas constantemente actualizados.

Una biblioteca con acceso a todos los estudiantes del municipio.

Una excelente planta física.

Sala de informática e internet, donde el estudiante puede consultar aspectos de la matemática de diversa índole.

Los planes de área y asignatura son elaborados teniendo en cuenta los lineamientos curriculares y los estándares para la excelencia en la educación.

Apoyo incondicional de la administración del colegio.

Participación activa en diversidad de eventos matemáticos a nivel municipal y departamental.

Incorporación de las TIC’s (Tecnologías de la Información y la Comunicación). Respecto a las DEBILIDADES tenemos:

Falta de un espacio para los docentes, donde se puedan realizar trabajos extra clase y desarrollar los proyectos pedagógicos.

El educando aun no es consciente de la importancia de las matemáticas en su entorno.

Falta de interés del estudiante hacia el área.

Falta de compromiso de los padres en el proceso de formación de los educandos.

El desconocimiento por parte de los educandos de los objetivos reales de la educación.

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Falta de uso práctico de las matemáticas en relación con el quehacer diario del estudiante.

Falta de espacio y acceso de los estudiantes de grados 6º, 7º, 8º y 9º a la sala de informática e internet.

Respecto a las AMENAZAS tenemos:

Situación económica de los estudiantes.

Falta de apoyo en la formación integral de los estudiantes por parte de los padres de familia.

La crisis familiar en que vive gran parte de la comunidad educativa.

La problemática social que se presenta en el municipio, como el alcoholismo, drogadicción, prostitución, pandillas juveniles y desarraigo.

Las actitudes de injusticia política, económica y social.

Con relación a las OPORTUNIDADES:

Libertad curricular para trabajar en el área.

El apoyo que pueden brindar algunas instituciones municipales y departamentales.

La participación de los estudiantes en los diferentes eventos matemáticos a nivel municipal y departamental.

Lograr vincular a otros docentes y a los padres de familia en el desarrollo pedagógico del área.

4. MARCO CONCEPTUAL DEL MODELO.

Durante varios años, la institución educativa trato de implementar un modelo pedagógico que

satisficiera, las expectativas pedagógicas de los profesores y las necesidades educativas de

los estudiantes, luego de analizar varios modelos y teniendo en cuenta las opiniones de

profesores y alumnos opto por el modelo pedagógico de la enseñanza para la comprensión.

Este modelo surge de varios esfuerzos que realizaron profesores universitarios, profesores de

primaria e investigadores, que durante varios años se dedicaron a diseñar un proyecto de

investigación que diera respuesta a preguntas como las siguientes: “¿Qué significa

comprender algo? ¿De qué manera desarrollan la comprensión los alumnos?. ¿Cómo

podemos apoyar de manera coherente el desarrollo de la comprensión?. ¿Cómo desentrañar

las cuestiones más complejas de la evaluación diagnostica continua?.

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De la suma de todos estos esfuerzos surge este modelo pedagógico, como una herramienta

cuyo propósito es diseñar y dirigir las prácticas del aula, que promueven la comprensión y

reflexión sobre ella. Además proporcionar herramientas y ejemplos para que los educadores

examinen sus propias respuestas a preguntas como: ¿Qué quiero que mis alumnos

comprendan mejor? ¿De qué manera mi práctica actual los ayuda a desarrollar esas

comprensiones? ¿Qué otra cosa podría ensayar? ¿Cómo averiguar si mis alumnos

comprenden cabalmente lo que les enseño? ¿Cómo ayudarlos a desarrollar esas

comprensiones y de qué forma evaluar sus progresos y proporcionarles realimentación?-

La enseñanza para la comprensión incluye cuatro ideas clave: tópicos generativos, metas de

comprensión, desempeños de comprensión y evaluación diagnostica continua. En cuanto a

los tópicos generativos, que son conceptos, temas, teorías, ideas etc. no todos se presenta en

igual medida a la enseñanza para la comprensión, por ejemplo, es más sencillo enseñar

cálculo de probabilidad y estadística que ecuaciones de segundo grado, porque el primero se

relaciona más fácilmente con otras materias y con contextos que no son familiares, los tópicos

generativos tienen las siguientes características claves: son centrales para una o más

disciplinas o dominios. Resaltan atractivos para los alumnos. Son accesibles, por la gran

cantidad de recursos que permiten al alumno investigar el tópico. Existen múltiples conexiones

entre los tópicos y las experiencias de los alumnos tanto por dentro como fuera de la escuela.

Y lo más importante de todo, despiertan el interés del maestro. Pero es necesario reconocer

que algunos tópicos a diferencia de otros, son más centrales para una disciplina o dominio,

más interesantes para el docente, más accesible para los alumnos y más fáciles de vincular

con sus experiencias. Estos tópicos deben formar el núcleo del currículo.

Las metas de comprensión son otro elemento de la enseñanza para la comprensión. Estas

surgen al tratar de centralizar las múltiples comprensiones que generan los tópicos

generativos, son formulados en forma de pregunta y de enunciado, por ejemplo “¿Qué es la

lógica y cuáles son sus elementos?”.

El enunciado seria: “¿los estudiantes definirán la lógica y analizaran sus elementos, para

distinguir un enunciado correcto de uno incorrecto?

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También existen metas de comprensión abarcadoras que pueden tener un año de duración,

llamadas también “hilos conductores” estos hilos conductores permiten que el alumno se

centre en el desarrollo de las comprensiones más importantes.

El tercer elemento, de la enseñanza para la comprensión, son los desempeños de

comprensión, estos son el núcleo del desarrollo de la comprensión. Estos desempeños que

demuestre el estudiante deben desarrollar la comprensión desde el principio hasta el final de

la unidad.

Finalmente tenemos la evaluación diagnóstica continua, que se constituye en el cuarto

elemento fundamental de este modelo pedagógico, su objetivo primordial es que el estudiante

aprenda con vista a comprender, para esto el alumno no solamente se debe centrar en la

calificación y en la responsabilidad, que aunque son elementos importantes no son útiles para

el verdadero aprendizaje del alumno. El aprendizaje comprensivo necesita criterios,

retroalimentación, y oportunidades para reflexionar durante todo el proceso de enseñanza. La

evaluación diagnostica continua implica realimentación por parte del docente, de los llamados

pares y del propio alumno a través de la auto evaluación.

5. MARCO LEGAL La enseñanza en Colombia es un derecho fundamental constitucional (art. 44 constitución política /91): “son derechos fundamentales de los niños…. su nombre, nacionalidad…el cuidado y el amor, la educación y la cultura…“. De igual forma: “la educación para el pueblo colombiano será gratuita en las instituciones del estado y corresponde al estado velar por la buena educación de los colombianos preocupándose por una enseñanza a cargo de personas de reconocida idoneidad ética y pedagógica” (art. 67 const. /91). La ley 115 o ley general de Educación, plantea la obligatoriedad de la enseñanza de la matemática como área fundamental en todos los grados de la educación básica y media de todos los establecimientos educativos colombianos (art. 23 y 31). De esta manera se organiza un nivel de complejidad a medida que se avanza en los grados de enseñanza. Dentro de las normas reglamentarias de la ley general de educación (ley 115/94) aparece la resolución 2343 de junio 5/96, emanada por el MEN y que adopta, especifica y profundiza sobre los lineamientos generales de currículo e indicadores de logro de las diferentes áreas obligatorias y fundamentales de la enseñanza académica. Esta norma establece en las diferentes secciones los indicadores de logro por conjuntos de grados de la enseñanza básica (primero a noveno). En ellos plantea los elementos conceptuales para construir el núcleo

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común del currículo a desarrollar en las instituciones educativas para que puedan avanzar y generar cambios culturales y sociales. la revolución educativa pretende, en el campo del mejoramiento de la calidad, formular normas que lleven a desarrollar estrategias con este fin. En estas condiciones los lineamientos curriculares aparecidos en la década del noventa busca establecer orientaciones para que las instituciones educativas realicen un trabajo permanente en torno a ciertas condiciones dadas por el MEN para lograr una calidad óptima en matemáticas y otras áreas del conocimiento básico. Posteriormente, año 2003, el MEN promulga los estándares de calidad, definidos como criterios claros y públicos que permiten conocer cuál es la enseñanza matemática y otras áreas, que deben recibir los estudiantes del país. Los estándares organizan las temáticas y orientan la forma como debemos manejar el currículo para obtener los logros propuestos. Por último aparece el concepto de competencia extendido a toda la enseñanza y que el MEN para simplificar recalca en tres principalmente para matemáticas como son: la interpretativa, la argumentativa y la propositiva. Lo cierto es que debemos formar en competencias, de acuerdo a la propuesta del MEN, pero su significado aún no es muy claro, brevemente podemos decir que es un saber-hacer flexible que puede actualizarse en los diferentes contextos. Las competencias además de ser un saber hacer, es un hacer sabiendo. es la utilización inteligente de los conocimientos; pero nos demuestra en lo profundo que la persona estandarizada no goza de una libertad plena de pensamiento, pues se entiende que el producto debe cumplir con unas expectativas de calidad generales que en últimas uniforma el pensamiento convirtiéndose en un obstáculo epistemológico (Gastón Bacherlard en su obra “la formación del espíritu científico”), que no deja libre el pensamiento para ensanchar y desarrollar la ciencia, pues lo encasilla y sumerge en un hábitat seleccionado. Cabe aclarar que en lo concerniente al proceso de evaluación, nos regiremos según el nuevo decreto 1290/09. 6. ESTRUCTURA

En el transcurso de los últimos años, la enseñanza de las matemáticas se ha constituido en un gran reto social, puesto que se hace necesario educar a los estudiantes en el desarrollo del pensamiento matemático y su relación con la cotidianidad. Los avances investigativos en la enseñanza de las matemáticas muestran resultados que constituyen referentes útiles para el estudio y solución de los diversos problemas en este campo del saber. Los profesores del área están en la obligación de estudiar y contribuir a este proceso, por lo tanto deben apropiarse de teorías y metodologías que contribuyen a la consolidación de la didáctica de las matemáticas como un campo científico que contribuya a la solución de problemas como: la comunicación de los conocimientos matemáticos, el papel de la psicología

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en el desarrollo del pensamiento matemático, matemática y experiencia, pedagogías alternativas, etc. Las matemáticas lo mismo que otras áreas del saber, están presentes en el proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes con la perspectiva de que pueden asumir los retos del siglo XXI. Se propone pues una educación matemática que propicie aprendizajes de mayor alcance y más duraderos que los tradicionales, que no sólo haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y procedimientos sino en procesos de pensamiento ampliamente aplicables y útiles para aprender como aprender. El aprendizaje de las matemáticas debe posibilitar al alumno la aplicación de sus conocimientos fuera del ámbito escolar, donde debe tomar decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones y ser receptivo a las de los demás. De acuerdo con la anterior se han propuesto tres grandes aspectos para organizar la estructura del área de las matemáticas:

Procesos Generales: Tienen que ver con el aprendizaje, tales como el razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos y aplicación de las nuevas tecnologías.

Conocimientos Básicos: Tienen que ver con procesos específicos del pensamiento

numérico, el espacial, el aleatorio y el variacional entre otros. Los sistemas se proponen desde la renovación curricular: sistemas numéricos, sistemas geométricos, sistemas de medida, sistemas de datos y sistemas algebraicos analíticos.

El Contexto: Tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que le dan

sentido a las matemáticas que aprende.

Sobre la noción de competencia matemática Sin utilizar todavía la conceptualización y la terminología actual de las competencias, la visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas1 preparaba ya la transición hacia el dominio de las competencias al incorporar una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático, en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas como herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y matemático dentro y fuera de la institución educativa.

También pueden reinterpretarse como potentes precursores del discurso actual sobre las competencias la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel2, Novak y Gowin, y la de la enseñanza para la comprensión de Perkins, Gardner, Wiske y otros. En la primera, la significatividad del aprendizaje no se reduce a un sentido personal de lo aprendido, sino que se extiende a su inserción en prácticas sociales con sentido, utilidad y eficacia. En la segunda, la comprensión se entiende explícitamente como relacionada con los desempeños de comprensión, que son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en los cuales se muestra la comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. En las

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dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesional o científico-técnica en que se despliegue dicha comprensión. Todas estas dimensiones se articulan claramente con una noción amplia de competencia como conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase. Por lo dicho anteriormente, se puede hablar del aprendizaje por competencias como un aprendizaje significativo y comprensivo. En la enseñanza enfocada a lograr este tipo de aprendizaje no se puede valorar apropiadamente el progreso en los niveles de una competencia si se piensa en ella en un sentido dicotómico (se tiene o no se tiene), sino que tal valoración debe entenderse como la posibilidad de determinar el nivel de desarrollo de cada competencia, en progresivo crecimiento y en forma relativa a los contextos institucionales en donde se desarrolla. Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema signifi cativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos. La noción general de competencia ha venido siendo objeto de interés en muchas de las investigaciones y reflexiones que adelanta la comunidad de investigadores en educación matemática. Una síntesis apretada de los resultados de éstas permite precisar que –además de los aspectos que se acaban de mencionar– el sentido de la expresión ser matemáticamente competente está íntimamente relacionado con los fines de la educación matemática de todos los niveles educativos (lo cual ha sido tratado en el apartado anterior) y con la adopción de un modelo epistemológico sobre las propias matemáticas. La adopción de un modelo epistemológico coherente para dar sentido a la expresión ser matemáticamente competente requiere que los docentes, con base en las nuevas tendencias de la filosofía de las matemáticas, reflexionen, exploren y se apropien de supuestos sobre las matemáticas tales como: • Las matemáticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia, en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemáticas mismas. En la búsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progresivamente técnicas, reglas y sus respectivas justificaciones, las cuales son socialmente decantadas y compartidas. • Las matemáticas son también el resultado acumulado y sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades profesionales, resultado que se configura como un cuerpo de conocimientos (definiciones, axiomas, teoremas) que están lógicamente estructurados y justificados.

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Con base en estos supuestos se pueden distinguir dos facetas básicas del conocimiento matemático: • La práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como ciudadano. • La formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en sus diversos registros de representación.

Los cinco procesos generales de la actividad matemática En la enumeración anterior se pueden ver con claridad –aunque en distinto orden– los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos.

En todas las áreas curriculares pueden considerarse procesos semejantes y en cada una de esas áreas estos procesos tienen peculiaridades distintas y deben superar obstáculos diferentes que dependen de la naturaleza de los saberes propios de la respectiva disciplina. En los apartados siguientes se hará mención de cada uno de esos procesos generales desde las particularidades presentes en la actividad matemática que ocurre en su enseñanza y en su aprendizaje. Debe aclararse, además, que esta clasificación en cinco procesos generales de la actividad matemática no pretende ser exhaustiva, es decir, que pueden darse otros procesos además de los enumerados, ni tampoco pretende ser disyunta, es decir, que existen traslapes y relaciones e interacciones múltiples entre ellos; en particular, como se verá a continuación, el proceso de formular y resolver problemas involucra todos los demás con distinta intensidad en sus diferentes momentos. La formulación, tratamiento y resolución de problemas Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica; más aún, podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las situaciones que se aborden estén mundo cotidiano cercano o lejano, pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas, convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. La formulación, el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva, desplegar una serie de estrategias para resolverlos, encontrar resultados, verificar e interpretar lo razonable de ellos, modificar condiciones y originar otros problemas. Es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones o tal vez ninguna. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o les falte información, o con enunciados narrativos o incompletos, para los que los estudiantes mismos tengan que formular las preguntas. Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los

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textos escolares, que suelen ser sólo ejercicios de rutina, el estudio y análisis de situaciones problema suficientemente complejas y atractivas, en las que los estudiantes mismos inventen, formulen y resuelvan problemas matemáticos, es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas. La modelación Un modelo puede entenderse como un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. Es una construcción o artefacto material o mental, un sistema –a veces se dice también “una estructura”– que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender; una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados, sin necesidad de manipularlos o dañarlos, para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostraciones. En ese sentido, todo modelo es una representación, pero no toda representación es necesariamente un modelo, como sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos, aunque pueden estarse interpretando en un modelo. Análogamente, todo modelo es un sistema, pero no todo sistema es un modelo, aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo, pues esa es la manera de producir nuevas metáforas, analogías, símiles o alegorías.

La modelación puede hacerse de formas diferentes, que simplifican la situación y seleccionan una manera de representarla mentalmente, gestualmente, gráficamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos, para poder formular y resolver los problemas relacionados con ella. Un buen modelo mental o gráfico permite al estudiante buscar distintos caminos de solución, estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y significativa, o si es imposible o no tiene sentido. En una situación problema, la modelación permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes, lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad, a partir de los cuales se pueden hacer predicciones, utilizar procedimientos numéricos, obtener resultados y verificar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales. Con respecto a la modelación, en la didáctica de las matemáticas se ha hablado también con frecuencia desde 1977 de “la matematización” de una situación problema, con un término introducido por Hans Freudenthal5. Esta expresión se suele tomar como sinónimo de “la modelación” y ambas pueden entenderse en formas más y más complejas, que van desde una forma muy elemental, como simplificación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida, de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar, cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación, hasta una forma muy avanzada, como creación de nuevos modelos y teorías

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matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real en el tiempo. La segunda forma de entender la matematización y la modelación es más propia de los cursos avanzados de física, ingeniería, economía, demografía y similares, pero la primera puede comenzarse desde el preescolar e irse complejizando en los sucesivos grados escolares; esta primera manera de entender la matematización y la modelación es la que se utiliza en los Lineamientos Curriculares y en el presente documento de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Este primer sentido de la matematización o modelación puede pues entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas, científicas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. Al respecto, Lynn Arthur Steen propuso en 19886 una definición de las matemáticas que va más allá de la descripción usual de ellas como la ciencia del espacio y el número: considera que las matemáticas parten de una base empírica, pero para detectar en ella esquemas que se repiten, que podemos llamar “modelos” o “patrones” (“patterns”), y en la multitud de esos modelos o patrones detectar de nuevo otros más y teorizar sobre sus relaciones para producir nuevas estructuras matemáticas, sin poner límites a la producción de nuevos modelos mentales, nuevas teorías y nuevas estructuras. Por lo tanto, las matemáticas serían la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). Steen continúa así: “El matemático busca modelos o patrones en el número, en el espacio, en la ciencia, en los ordenadores y en la imaginación. Las teorías matemáticas explican las relaciones entre modelos o patrones; las funciones y los mapas, los operadores y los morfismos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables”. La comunicación A pesar de que suele repetirse lo contrario, las matemáticas no son un lenguaje, pero ellas pueden construirse, refinarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se expresan y representan, se leen y se escriben, se hablan y se escuchan. La adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones, sentidos, conceptos y simbolizaciones, para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo, en el que los estudiantes compartan el significado de las palabras, frases, gráficos y símbolos, aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y valoren la eficiencia, eficacia y economía de los lenguajes matemáticos. Las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas, problemas, conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental, sino que la configuran intrínseca y radicalmente, de tal manera que la dimensión de las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas8. Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático, formas que él llama “registros de representación” o “registros semióticos”, no parece posible aprender y comprender dicho contenido. El razonamiento

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El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones; hacer predicciones y conjeturas; justificar o refutar esas conjeturas; dar explicaciones coherentes; proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que tienen sentido, son lógicas, potencian la capacidad de pensar y son divertidas. En los grados superiores, el razonamiento se va independizando de estos modelos y materiales, y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías, cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones, pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos, materiales, dibujos y otros artefactos. Es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales, métricos y geométricos, el razonamiento numérico y, en particular, el razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráficas. En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico inductivo y abductivo, al formular hipótesis o conjeturas, como el deductivo, al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como teoremas, axiomas, postulados o principios, o al intentar refutarla por su contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos.

Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina, también llamados “algoritmos”, procurando que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que, por lo tanto, pueden modificarse, ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas, o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras. Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos. Uno de estos mecanismos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental, lo cual requiere atención, control, planeación, ejecución, verificación e interpretación intermitente de resultados parciales. Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización, que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida, segura y efectiva ejecución de los procedimientos; esta automatización no contribuye directamente al desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento, pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas. Estas destrezas dan seguridad al alumno y pueden afianzar y profundizar el dominio de dichos conocimientos, pero también pueden perder utilidad en la medida en que se disponga de ayudas tecnológicas que ejecuten dichas tareas más rápida y confiablemente. Otro mecanismo cognitivo involucrado es la reflexión sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema

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simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización. Esta reflexión exige al estudiante poder explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya, seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera fiable y eficaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado. Por ello, así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales, es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas, compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. Esta comparación permite distinguir claramente la operación conceptual de las distintas formas algorítmicas de ejecutarla y el resultado de dicha operación conceptual del símbolo producido al final de la ejecución de uno u otro algoritmo. Todo ello estimula a los estudiantes a inventar otros procedimientos para obtener resultados en casos particulares. Esto los prepara también para el manejo de calculadoras, el uso de hojas de cálculo, la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores.

Los cinco tipos de pensamiento matemático Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. Estos procesos están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba, y aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”, pues ser matemáticamente competente requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo de cada uno de esos procesos generales, en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de competencia. Además de relacionarse con esos cinco procesos, ser matemáticamente competente se concreta de manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional. El pensamiento lógico y el pensamiento matemático A mediados del Siglo XX, Jean Piaget estudió la transición de la manera de razonar de los adolescentes de lo que él llamó “el pensamiento operatorio concreto” al “operatorio formal” y propuso un conjunto de operaciones lógico-matemáticas que podrían explicar ese paso10. En sus estudios previos sobre la lógica y la epistemología había propuesto que el pensamiento lógico actúa por medio de operaciones sobre las proposiciones y que el pensamiento matemático se distingue del lógico porque versa sobre el número y sobre el espacio11, dando lugar a la aritmética y a la geometría. Tanto el pensamiento lógico como el matemático se distinguirían del pensamiento físico, que utiliza los dos anteriores pero tiene una relación diferente con la realidad y la experiencia. En la primera sección se enunciaron algunos argumentos clásicos y actuales con respecto a la contribución de la educación matemática a la formación integral de los estudiantes: el desarrollo del pensamiento lógico, de la racionalidad y de la argumentación. Igualmente, en la sección siguiente, al analizar el proceso general de razonamiento, se mencionó el desarrollo de las competencias argumentativas que implican saber dar y pedir razones, probar y refutar,

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y ojalá avanzar hacia a demostración formal. No hay duda pues de que hay una estrecha relación entre el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. Pero no puede pretenderse que las matemáticas son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico en los estudiantes. En el aprendizaje del castellano y de las lenguas extranjeras, en la lectura de textos literarios extensos y profundos, en la filosofía, en las ciencias naturales y sociales, en fi n, en cualquiera de las áreas curriculares o de los ejes transversales del trabajo escolar se puede y se debe desarrollar el pensamiento lógico. Tal vez en los deportes, cuando hay dificultades en la interpretación y la aplicación de los reglamentos de cada uno de ellos, es en donde muchos de los niños y las niñas empiezan a desarrollar competencias argumentativas y deductivas más complejas con el fi n de defender a su equipo o a su jugador favorito contra las acusaciones de fuera de lugar, falta, mano voluntaria u otra violación del reglamento. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensamiento matemático, sino que el pensamiento lógico apoya y perfecciona el pensamiento matemático, y con éste –en cualquiera de sus tipos– se puede y se debe desarrollar también el pensamiento lógico.

Eso no quiere decir que las matemáticas no sean el lugar privilegiado para desarrollar algunos aspectos del pensamiento lógico, sobre todo en lo que concierna a las argumentaciones y deducciones informales que preparan la demostración rigurosa de teoremas matemáticos a partir de axiomas, definiciones y teoremas previos. La práctica de la definición cuidadosa de términos técnicos, la de la argumentación a partir de premisas de las que no se sabe si son verdaderas o no y la de la deducción formal basada en axiomas más o menos arbitrarios y aun contrarios a la intuición espacial o numérica se desarrollan más naturalmente con el aprendizaje de la geometría euclidiana y de las no euclidianas, del álgebra abstracta y de otras ramas ya axiomatizadas de las matemáticas. En especial, la geometría euclidiana es un campo muy fértil para el cultivo de la abstracción, la generalización, la definición, la axiomatización y, ante todo, de la deducción formal a partir de axiomas, por tener una articulación óptima entre lo intuitivo y lo formal, lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano y lo académico. La subdivisión del pensamiento matemático Para los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias podría haber bastado la división entre pensamiento lógico y pensamiento matemático, sin subdividir este último. Pero en toda la tradición griega y medieval ya se había distinguido entre la manera de hacer matemáticas con respecto al número: la aritmética, y la manera de hacerlas con respecto al espacio: la geometría. Para la aritmética se pensó durante siglos únicamente en los números de contar, con las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división. Para la geometría se pensó también durante siglos únicamente en la geometría euclidiana, sistematizada en el Siglo IV antes de nuestra era. Estas dos maneras de hacer matemáticas sugieren pues una primera subdivisión del pensamiento matemático al menos en dos tipos: el pensamiento numérico y el espacial. Con el desarrollo de las matemáticas y luego de la física, se notó también que había aspectos espaciales más intuitivos y cualitativos que los de la geometría, de los que se desarrolló una ciencia abstracta del espacio (llamada “topología” por la palabra griega para el espacio o el

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lugar, “topos”), los cuales no necesitaban de las nociones métricas. Se notó también que las nociones métricas no se aplicaban sólo a lo espacial (como en el caso de longitud, área y volumen) sino también a lo temporal (duración y frecuencia) y a otras muchas disciplinas, especialmente la física y la química (fuerza, peso, masa, densidad, temperatura, presión, velocidad, aceleración, etc.). Era pues conveniente distinguir también el pensamiento métrico del pensamiento numérico y del espacial. Al desarrollarse desde el Siglo XVII la teoría de la probabilidad y el cálculo diferencial e integral, se empezó a notar también que entre los estudiantes de matemáticas había algunos que sobresalían en los aspectos aritméticos y geométricos, pero que tenían dificultad en pensar en los conceptos de la probabilidad o en las variaciones continuas de los procesos físicos. Pareció pues conveniente distinguir también el pensamiento probabilístico o aleatorio y el pensamiento analítico o variacional como tipos de pensamiento matemático diferentes del numérico, el espacial y el métrico, aunque muyrelacionados con ellos. El matemático habría de enfrentarse con: • La complejidad del símbolo (álgebra) • La complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo) • La complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística) • La complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)”. Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética, el pensamiento numérico; en la geometría, el pensamiento espacial y el métrico; en el álgebra y el cálculo, el pensamiento métrico y el variacional, y en la probabilidad y estadística, el pensamiento aleatorio; finalmente, puede verse la alusión al pensamiento lógico, llamado también hipotético-deductivo o pensamiento formal. Por todo ello, en los Lineamientos Curriculares se prefirió hablar de los cinco tipos de pensamiento matemático ya mencionados (el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional), sin incluir en ellos el lógico, pues –como se indicó arriba– en todos esos cinco tipos es necesario atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y, a su vez, el progreso en el pensamiento lógico potencia y refina los cinco tipos de pensamiento matemático. Se describen a continuación uno por uno estos cinco tipos de pensamiento, mencionando simultáneamente los sistemas conceptuales y simbólicos con cuyo dominio se ejercita y refina el tipo de pensamiento respectivo, a la vez que ellos se desarrollan y perfeccionan con los avances en dichos tipos de pensamiento. • El pensamiento numérico y los sistemas numéricos Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración; la comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de

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cálculo y estimación. Dichos planteamientos se enriquecen si, además, se propone trabajar con las magnitudes, las cantidades y sus medidas como base para dar significado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. Por ejemplo, para el estudio de los números naturales, se trabaja con el conteo de cantidades discretas y, para el de los números racionales y reales, de la medida de magnitudes y cantidades continuas.

En el caso de los números naturales, las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición, sustracción, multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión, la separación, la repetición y la repartición de cantidades discretas. En cierto sentido, la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple, o con la pareja, la decena o la docena como unidades complejas, y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones, separaciones, agrupaciones o reparticiones de estas cantidades, aunque de hecho se refi eren más bien a los números que resultan de esas mediciones. Históricamente, las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano, y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. Entre los Siglos XIV y XIX, la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media; en particular, además de los naturales, se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros, los racionales, los reales y los complejos, y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario, el octal, el hexadecimal, el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales), así como las notaciones algebraicas para los números irracionales, los reales y los complejos. Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de dificultades didácticas para estos últimos. Es conveniente recordar, por ejemplo, que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. Hoy día se aceptan como una nueva clase de números, llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”, que significa “razón”). El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del concepto de número. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes. Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales), representado usualmente por una fracción

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como “¾”, o por un decimal como “0,75”, o por un porcentaje como “el 75%”. Las otras situaciones llevan al número racional como razón, expresado a veces por frases como “3 de 4”, o “3 por cada 4”, o “la relación de 3 a 4”, o por la abreviatura “3:4”.

Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general, que puede ser positivo, cero o negativo, y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general, que también puede ser positivo, cero, o negativo. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años, en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. El concepto de número negativo es el resultado de la cuantificación de ciertos cambios en las medidas de una magnitud, o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia, identificado con el cero. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número, sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos, configurando así sistemas numéricos diferentes. El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional, que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema unificado de números racionales e irracionales llamados “reales”, con sus operaciones y relaciones apropiadamente extendidas a los nuevos números. Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos infinitos, y por ende, la construcción de las nociones de inconmensurabilidad, irracionalidad, completitud y continuidad. Igualmente, este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas, sobre todo, las relativas a los números irracionales, tanto por medio de decimales infinitos como de símbolos algebraicos. El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número, llamado “imaginario”, que complementó el de número real y llevó a pensar en un sistema unificado de números llamados “complejos”. Éstos, a su vez, requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos. Se fueron configurando así sistemas numéricos llamados “naturales”, “racionales positivos” (o “fraccionarios”), “enteros”, “racionales”, “reales” y “complejos”, cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su significado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas de numeración, y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales, mucho menos los demás. Así pues, el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos, conceptos, proposiciones, modelos y teorías en diversos contextos, los cuales

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permiten configurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eficaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados específicos del ciclo escolar, sino que todos ellos se van construyendo y utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad. • El pensamiento espacial y los sistemas geométricos El pensamiento espacial, entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales”13 contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y, a través de la coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades el espacio geométrico en relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos. Desde esta perspectiva se rescatan, de un lado, las relaciones topológicas, en tanto reflexión sistemática de las propiedades de los cuerpos en virtud de su posición y su relación con los demás y, de otro lado, el reconocimiento y ubicación del estudiante en el espacio que lo rodea, en lo que Grecia Gálvez ha llamado el meso-espacio y el macro-espacio, refi riéndose no sólo al tamaño de los espacios en los que se desarrolla la vida del individuo, sino también a su relación con esos espacios14. En este primer momento del pensamiento espacial no son importantes las mediciones ni los resultados numéricos de las medidas, sino las relaciones entre los objetos involucrados en el espacio, y la ubicación y relaciones del individuo con respecto a estos objetos y a este espacio. Posteriormente, y a medida que se complejizan los sistemas de representación del espacio, en un segundo momento se hace necesaria la metrización, pues ya no es suficiente con decir que algo está cerca o lejos de algo, sino que es necesario determinar qué tan cerca o qué tan lejos está. Esto significa un salto de lo cualitativo a lo cuantitativo, lo cual hace aparecer nuevas propiedades y relaciones entre los objetos. De esta manera, la percepción geométrica se complejiza y ahora las propiedades de los objetos se deben no sólo a sus relaciones con los demás, sino también a sus medidas y a las relaciones entre ellas. El estudio de estas propiedades espaciales que involucran la métrica son las que, en un tercer momento, se convertirán en conocimientos formales de la geometría, en particular, en teoremas de la geometría euclidiana.

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Lo anterior implica relacionar el estudio de la geometría con el arte y la decoración; con el diseño y construcción de objetos artesanales y tecnológicos; con la educación física, los deportes y la danza; con la observación y reproducción de patrones (por ejemplo en las plantas, animales u otros fenómenos de la naturaleza) y con otras formas de lectura y comprensión del espacio (elaboración e interpretación de mapas, representaciones a escala de sitios o regiones en dibujos y maquetas, etc.), entre otras muchas situaciones posibles muy enriquecedoras y motivadoras para el desarrollo del pensamiento especial.

Así pues, la apropiación por parte de los estudiantes del espacio físico y geométrico requiere del estudio de distintas relaciones espaciales de los cuerpos sólidos y huecos entre sí y con respecto a los mismos estudiantes; de cada cuerpo sólido o hueco con sus formas y con sus caras, bordes y vértices; de las superficies, regiones y figuras planas con sus fronteras, lados y vértices, en donde se destacan los procesos de localización en relación con sistemas de referencia, y del estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas transformaciones. El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen, área y perímetro, lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría, semejanza y congruencia, entre otras. Así, la geometría activa se presenta como una alternativa para refinar el pensamiento espacial, en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio15. El trabajo con la geometría activa puede complementarse con distintos programas de computación que permiten representaciones y manipulaciones que eran imposibles con el dibujo tradicional. Los puntos, líneas rectas y curvas, regiones planas o curvas limitadas o ilimitadas y los cuerpos sólidos o huecos limitados o ilimitados pueden considerarse como los elementos de complicados sistemas de figuras, transformaciones y relaciones espaciales: los sistemas geométricos. Como todos los sistemas, los geométricos tienen tres aspectos: los elementos de que constan, las operaciones y transformaciones con las que se combinan, y las relaciones o nexos entre ellos. Estos sistemas se expresan por dibujos, gestos, letras y palabras que se utilizan como registros de representación diferentes que se articulan en sistemas notacionales o sistemas simbólicos para expresar y comunicar los sistemas geométricos y posibilitar su tratamiento, para razonar sobre ellos y con ellos y, a su vez, para producir nuevos refinamientos en los sistemas geométricos. El pensamiento espacial opera mentalmente sobre modelos internos del espacio en interacción con los movimientos corporales y los desplazamientos de los objetos y con los distintos registros de representación y sus sistemas notacionales o simbólicos. Sin estos últimos, tampoco se hubiera podido perfeccionar el trabajo con los sistemas geométricos y, en consecuencia, refinar el pensamiento espacial que los construye, maneja, transforma y utiliza. Los sistemas geométricos pueden modelarse mentalmente o con trazos sobre el papel o el tablero y describirse cada vez más finamente por medio del lenguaje ordinario y los lenguajes técnicos y matemáticos, con los cuales se pueden precisar los distintos modelos del espacio y formular teorías más y más rigurosas. Estos modelos con sus teorías se suelen llamar “geometrías”.

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La geometría euclidiana fue la primera rama de las matemáticas en ser organizada de manera lógica. Por ello, entre los propósitos principales de su estudio está definir, justificar, deducir y comprender algunas demostraciones. La geometría euclidiana puede considerarse como un punto de encuentro entre las matemáticas como una práctica social y como una teoría formal y entre el pensamiento espacial y el pensamiento métrico. Por ello, como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico, el pensamiento espacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado –aunque no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste, a su vez, potencia y refina los dos primeros. • El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. En los Lineamientos Curriculares se especifican conceptos y procedimientos relacionados con este tipo de pensamiento, como:

• La construcción de los conceptos de cada magnitud. • La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes. • La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspectos del

proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”. • La apreciación del rango de las magnitudes. • La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos y procesos de

medición. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición. • La asignación numérica. • El papel del trasfondo social de la medición.

En relación con los anteriores conceptos y procedimientos, es importante destacar que la estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entre los cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamente numérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de relaciones entre las matemáticas, las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana, en contextos en los que no se requiere establecer una medida numérica exacta. Otros aspectos importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con los procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo, el tratamiento del error, la valoración de las cifras significativas y el uso de técnicas de encuadramiento, así como la expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación científica. Históricamente, el pensamiento métrico se perfeccionó con el refinamiento de las unidades de medida de longitud, tomadas al comienzo de partes del cuerpo y por tanto muy diversas en cada región y cultura, que fueron luego estandarizadas para el comercio y la industria. Se configuraron en distintas regiones y países muchos sistemas de unidades y medidas o sistemas métricos, como el francés, el español, el ruso, el inglés y su variante norteamericana y, después de la Revolución Francesa, se empezó a diseñar un sistema decimal de pesos y

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medidas que tuvo varias etapas y configuraciones, como el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo) y el MKS (metro-kilogramo-segundo) y, más recientemente, el SI (Sistema Internacional de unidades y medidas), que es el más extendido actualmente. Sin embargo, el inglés y el norteamericano siguen siendo muy utilizados en todo el mundo y muchos de los antiguos sistemas locales subsisten más o menos adaptados a las unidades internacionales. Así pues, el pensamiento métrico no puede trabajar sin sistemas de medidas o métricos, ni éstos refinarse sin las notaciones, registros, tablas, abreviaturas y otros sistemas notacionales o simbólicos, en una interacción dialéctica constante y cambiante. En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y, en particular del SI, es importante el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las diferentes magnitudes (la velocidad, la densidad, la temperatura, etc., y no sólo de las magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud, el área, el volumen y la amplitud angular). El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se limita a las matemáticas, sino que se extiende también a las ciencias naturales y sociales. En cada conjunto de unidades del SI para cada magnitud hay una unidad que sirve de base a las otras, que son mayores (múltiplos) o menores (submúltiplos) de dicha unidad básica. Así se construyen herramientas conceptuales para el análisis y la ejercitación de la equivalencia entre medidas expresadas en distintas unidades y la explicitación de las relaciones pertinentes del SI con el sistema de numeración decimal en sus diversas formas escriturales: con coma, con punto y en notación científica. Esas relaciones entre el sistema de numeración decimal y cada sistema de unidades del SI para una determinada magnitud (por ejemplo la longitud) se indican por los prefi jos que expresan los múltiplos (deca-, hecto-, kilo-, etc.) y submúltipos (deci-, centi-, mili-, etc.) de la unidad básica (en este caso, del metro) y su correspondencia con las unidades superiores del sistema métrico decimal (decena, centena, unidad de mil, etc.) y con las unidades inferiores (décima, centésima, conceptuales entre procedimientos e instrumentos de medición, entre unidades y patrones de medida, y entre la precisión y la exactitud de una medición. De especial importancia son aquellas magnitudes que tienen estrecha relación con aspectos claves de la vida social, como por ejemplo, todo lo relacionado con los servicios públicos, sus procesos de medición y facturación y las unidades respectivas (litro, metro cúbico, voltio, amperio, vatio, kilovatio, kilovatio-hora), algunas de las cuales, como ya se indicó arriba, desbordan el campo de las matemáticas y requieren del desarrollo del pensamiento científico y del aprendizaje de algunos contenidos de la física. De esta manera, el pensamiento métrico está estrechamente relacionado con las disciplinas científicas naturales y sociales y con las competencias ciudadanas, en particular, con lo que al cuidado del medio ambiente se refiere, en tanto conviene tener elementos conceptuales claros para hacer un uso racional de los servicios públicos, identificar cuándo se está haciendo un gasto innecesario de ellos, explicar las razones por las cuales pudo haberse incrementado el gasto y proponer medidas eficaces para el ahorro del agua, el gas y la energía eléctrica. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos Este tipo de pensamiento, llamado también probabilístico o estocástico, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de

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información confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial, e indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura, abordándolos con un espíritu de exploración y de investigación mediante la construcción de modelos de fenómenos físicos, sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos, la simulación de experimentos y la realización de conteos. El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas específicos en las repeticiones de eventos o sucesos, y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones, si acaso existen, como es el caso de los estados del tiempo; de la ocurrencia de los terremotos, huracanes u otros fenómenos de la naturaleza; de los accidentes, fallas mecánicas, epidemias y enfermedades; de las elecciones por votación; de los resultados de dispositivos como los que se usan para extraer esferas numeradas para las loterías y de las técnicas para efectuar los lanzamientos de dados o monedas o para el reparto de cartas o fi chas en los juegos que por esto mismo se llaman “de azar”. En las experiencias cotidianas que los estudiantes ya tienen sobre estos sucesos y estos juegos, empiezan a tomar conciencia de que su ocurrencia y sus resultados son impredecibles e intentan realizar estimaciones intuitivas acerca de la posibilidad de que ocurran unos u otros. Estas estimaciones conforman una intuición inicial del azar y permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o sucesos, así sean inicialmente un poco arbitrarias, que comienzan con asignar probabilidad 0 a la imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia; asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se consideran igualmente probables, y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia. Las situaciones y procesos que permiten hacer un conteo sistemático del número de combinaciones posibles que se puedan asumir como igualmente probables, junto con el registro de diferentes resultados de un mismo juego, así como los intentos de interpretación y predicción de los mismos a partir de la exploración de sistemas de datos, desarrollan en los estudiantes la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o azarosas y permiten refinar las mediciones de la probabilidad con números entre 0 y 1. Más tarde, esas situaciones y procesos pueden modelarse por medio de sistemas matemáticos relacionados con la teoría de probabilidades y la estadística. El empleo cada vez más generalizado de las tablas de datos y de las recopilaciones de información codificada llevó al desarrollo de la estadística descriptiva, y el estudio de los sistemas de datos por medio del pensamiento aleatorio llevó a la estadística inferencial y a la teoría de probabilidades. El manejo y análisis de los sistemas de datos se volvió inseparable del pensamiento aleatorio. Los sistemas analíticos probabilísticos y los métodos estadísticos desarrollados durante los siglos XIX y XX se han refinado y potenciado en los últimos decenios con los avances de la computación electrónica y, por ello, hoy día ya no es tan importante para los estudiantes el

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recuerdo de las fórmulas y la habilidad para calcular sus valores, como sí lo es el desarrollo del pensamiento aleatorio, que les permitirá interpretar, analizar y utilizar los resultados que se publiquen en periódicos y revistas, que se presenten en la televisión o que aparezcan en pantalla o en hojas impresas como productos de los distintos programas de análisis de datos.

Por ello, no es ya necesario aprender las fórmulas y procedimientos matemáticos para calcular la media o la mediana, la varianza o la desviación estándar, sino avanzar gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias para encontrar todas las situaciones posibles dentro de ciertas condiciones, estimar si son o no igualmente probables y asignarles probabilidades numéricas, así como en dominar los conceptos y procedimientos necesarios para recoger, estudiar, resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y tratar de extraer de ellos toda la información posible con la ayuda de calculadoras, hojas de cálculo y otros programas de análisis de datos, con el fin de intentar predecir dentro de ciertos rangos el curso de los acontecimientos respectivos y de tomar decisiones lo más razonables posibles ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Como su nombre lo indica, este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico, el espacial, el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias, en especial a través del proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos matemáticos. En particular la relación con otros pensamientos aparece con mucha frecuencia, porque la variación y el cambio, aunque se representan usualmente por medio de sistemas algebraicos y analíticos, requieren de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas numéricos (en particular, del sistema de los números reales, fundamentales en la construcción de las funciones de variable real), geométricos, de medidas y de datos y porque todos estos sistemas, a su vez, pueden presentarse en forma estática o en forma dinámica y variacional. El desarrollo de este pensamiento se inicia con el estudio de regularidades y la detección de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para identificar el patrón que se repite periódicamente. Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se

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encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos, sucesos, formas o sonidos, uno detrás de otro en un orden fijado o de acuerdo a un patrón. De esta manera, la unidad que se repite con regularidad da lugar a un patrón. Al identificar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias, se desarrolla la capacidad para identificar en qué consiste la repetición de mismo patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento, algoritmo o fórmula. Para desarrollar este pensamiento desde los primeros niveles de la Educación Básica Primaria son muy apropiadas, entre otras, las siguientes actividades: analizar de qué forma cambia, aumenta o disminuye la forma o el valor en una secuencia o sucesión de figuras, números o letras; hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente término de la secuencia; procurar expresar ese término, o mejor los dos o tres términos siguientes, oralmente o por escrito, o por medio de dibujos y otras representaciones, e intentar formular un procedimiento, algoritmo o fórmula que permita reproducir el mismo patrón, calcular los siguientes términos, confirmar o refutar las conjeturas iniciales e intentar generalizarlas. Las actividades de generalización de patrones numéricos, geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las fi guras involucran la visualización, exploración y manipulación de los números y las figuras en los cuales se basa el proceso de generalización. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje significativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al séptimo y octavo grado. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. El estudio del cambio también se puede iniciar en la Educación Básica Primaria a través del análisis de fenómenos de variación (por ejemplo, el crecimiento de una planta durante un mes o el cambio de la temperatura durante el día o el flujo de vehículos frente a la institución durante una mañana) representados en gráficas y tablas. Esta manera de acercarse al pensamiento variacional está muy relacionada con el manejo de los sistemas de datos y sus representaciones. Por el análisis cuidadoso de esas representaciones se puede identificar la variación que ocurre y, en algunos casos, llegar a precisar la magnitud de los cambios y aun la tasa de cambio en relación con el tiempo. En la Educación Básica Secundaria, el sistema de representación más directamente ligado con las variaciones es el sistema algebraico, pero éstas también se expresan por medio de otros tipos de representaciones como las gestuales, las del lenguaje ordinario o técnico, las numéricas (tablas), las gráficas (diagramas) y las icónicas, que actúan como intermediarias en la construcción general de los procedimientos, algoritmos o fórmulas que definen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo. El estudio de los patrones está relacionado con nociones y conceptos propios del pensamiento variacional, como constante, variable, función, razón o tasa de cambio, dependencia e independencia de una variable con respecto a otra, y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones, como las lineales y las afines

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(o de gráfica lineal), las polinómicas y las exponenciales, así como con las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones. El estudio de las relaciones funcionales que pueden detectarse en la vida cotidiana, como las relaciones entre edad y altura de un niño (o entre edad y masa o peso corporal), entre la temperatura a lo largo de un día y la hora que marca un reloj, etc., permite coordinar cambios de una magnitud Y con cambios de una magnitud X. Esta primera aproximación a la noción la función es la de dependencia funcional entre magnitudes variables.

Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana, sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. El desarrollo del pensamiento variacional, dadas sus características, es lento y complejo, pero indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que permanece constante, las variables que intervienen, el campo de variación de cada variable y las posibles relaciones entre esas variables. Además, en las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento, también se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas, la puesta a prueba de las mismas, su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización, todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y el pensamiento científico. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas representaciones matemáticas – gráficas, tablas, ecuaciones, inecuaciones o desigualdades, etc.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas. Los objetos algebraicos, como por ejemplo los términos algebraicos, se reconstruyen como representaciones de funciones y las ecuaciones e inecuaciones se reinterpretan como igualdades o desigualdades entre funciones. De aquí que las múltiples relaciones entre la producción de patrones de variación y el proceso de modelación –y particularmente el estudio de las nociones de variable y de función– sean las perspectivas más adecuadas para relacionar el pensamiento variacional con el cálculo algebraico en la Educación Básica Secundaria y con la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral en la Educación Media. El desarrollo del álgebra en los Siglos XVI y XVII y el del cálculo diferencial e integral en los Siglos XVII y XVIII mostraron también que el pensamiento variacional no se podía refinar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos muestra que el álgebra es un sistema potente de representación y de descripción de fenómenos de variación y cambio y no solamente un juego formal de símbolos no interpretados, por útiles, ingeniosos e interesantes que sean dichos juegos. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables, constantes, parámetros, términos, fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones, los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones, por ejemplo), para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos

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(como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición, o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter antisimétrico y transitivo de la desigualdad). De esta manera, el cálculo algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas funcionalmente. Es necesario señalar que el desarrollo de este pensamiento debe también atender al estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos infinitos, pues son éstos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático, en el cual se sitúa el cálculo diferencial e integral que se suele introducir en el grado 11. Por tal razón es necesario incorporar tempranamente a los estudiantes en el estudio de los conceptos fundamentales de ese campo y de las técnicas y métodos de estimación y de aproximación, lo cual se logra articulando la búsqueda de soluciones no exactas, de intervalos de valores aceptables, de problemas de estimación de posibles valores en el contexto de medidas de longitudes, áreas y volúmenes y de modelos matemáticos de procesos biológicos, químicos y físicos que utilicen expresiones algebraicas. Se refuerza así a la estimación como núcleo conceptual importante en el desarrollo del pensamiento numérico. Ya desde el comienzo de la Básica Secundaria cobra especial importancia el estudio de los números decimales como sistemas de representación de valores aproximados y como expresiones infinitas para números racionales e irracionales, así como el cálculo del área del círculo, de los volúmenes de cilindros, conos y esferas y de las áreas exteriores de los mismos, todo lo cual prepara a los estudiantes para conceptualizar el límite, la continuidad, la derivada como tasa de cambio instantánea y la integral definida como límite de una suma.

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ESTÁNDARES BÁSICOS DE MATEMÁTICAS

Primero a tercero Al terminar tercer grado… PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo,

comparación, codificación, localización entre otros). • Describo, comparo y cuantifico situaciones con números, en diferentes contextos y con

diversas representaciones. • Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas. • Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas–para explicar el valor de

posición en el sistema de numeración decimal. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar

equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal. • Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar, etc.) y relaciones entre ellos

(ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos.

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación.

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional. • Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para

resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. • Identifico, si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no

razonables. • Identifico regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos

de cálculo (calculadoras, ábacos, bloques multibase, etc.). PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimensionales. • Dibujo y describo cuerpos o fi guras tridimensionales en distintas posiciones y tamaños. • Reconozco nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en

distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia.

• Represento el espacio circundante para establecer relaciones espaciales. • Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una fi gura. • Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño. • Reconozco congruencia y semejanza entre fi guras (ampliar, reducir). • Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y figuras geométricas

tridimensionales y dibujos o figuras geométricas bidimensionales. • Desarrollo habilidades para relacionar dirección, distancia y posición en el espacio.

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PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud, área,

volumen, capacidad, peso y masa) y, en los eventos, su duración. • Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles. • Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos

estandarizados, de acuerdo al contexto. • Analizo y explico sobre la pertinencia de patrones e instrumentos en procesos de

medición. • Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos

particularmente a la vida social, económica y de las ciencias. • Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y

multiplicativas. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Clasifico y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas. • Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar. • Describo situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos. • Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos, pictogramas y

diagramas de barras. • Identifico regularidades y tendencias en un conjunto de datos. • Explico –desde mi experiencia– la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos

cotidianos. • Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. • Resuelvo y formulo preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar

datos del entorno próximo. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico,

geométrico, musical, entre otros). • Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje

natural, dibujos y gráficas. • Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo cómo

cambian los símbolos aunque el valor siga igual. • Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y

de las figuras geométricas. Cuarto a quinto

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Al terminar quinto grado… • Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones

parte todo, cociente, razones y proporciones. • Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos. • Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono

estas dos notaciones con la de los porcentajes. • Justifico el valor de posición en el sistema de numeración decimal en relación con el

conteo recurrente de unidades. • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y

propiedades de los números naturales y sus operaciones. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición, transformación,

comparación e igualación. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y

producto de medidas. • Identifico la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos. • Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. • Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en

situaciones aditivas y multiplicativas. • Identifico, en el contexto de una situación, la necesidad de un cálculo exacto o

aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos. • Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras, lados)

y propiedades. • Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos,

vértices) y características. • Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas y

esquinas en situaciones estáticas y dinámicas. • Utilizo sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones

espaciales. • Identifico y justifico relaciones de congruencia y semejanza entre figuras. • Construyo y descompongo fi guras y sólidos a partir de condiciones dadas. • Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para

construir diseños. • Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y puedo

realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura. PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Diferencio y ordeno, en objetos y eventos, propiedades o atributos que se puedan medir

(longitudes, distancias, áreas de superficies, volúmenes de cuerpos sólidos, volúmenes

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de líquidos y capacidades de recipientes; pesos y masa de cuerpos sólidos; duración de eventos o procesos; amplitud de ángulos).

• Selecciono unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para diferentes mediciones.

• Utilizo y justifico el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social, económica y de las ciencias, utilizando rangos de variación.

• Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superficie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos.

• Justifico relaciones de dependencia del área y volumen, respecto a las dimensiones de figuras y sólidos.

• Reconozco el uso de algunas magnitudes (longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa, duración, rapidez, temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas.

• Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de figuras diferentes, cuando se fija una de estas medidas.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Represento datos usando tablas y gráficas (pictogramas, gráficas de barras, diagramas

de líneas, diagramas circulares). • Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. • Interpreto información presentada en tablas y gráficas. (pictogramas, gráficas de barras,

diagramas de líneas, diagramas circulares). • Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de

eventos. • Describo la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos

y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos. • Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de

observaciones, consultas o experimentos. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Describo e interpreto variaciones representadas en gráficos. • Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica. • Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales. • Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo

con cierta regularidad en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales. • Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones

entre distintos datos. Sexto a séptimo Al terminar séptimo grado…

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las

medidas. • Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales

o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. • Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números

naturales a la representación decimal usual de los números racionales, utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal.

• Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica, transitiva, etc.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa, etc.) en diferentes contextos.

• Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

• Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

• Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

• Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. • Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad

directa e inversa. • Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema

y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando

calculadoras o computadores. • Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de

situaciones diversas de conteo. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. • Identifico y describo fi guras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de

objetos tridimensionales. • Clasifico polígonos en relación con sus propiedades. • Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones,

rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

• Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.

• Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. • Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación

cartesiana y geográfica.

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PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de fi guras planas y cuerpos con

medidas dadas. • Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas,

mapas). • Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y

cuerpos. • Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la

misma magnitud. • Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas,

televisión, experimentos, consultas, entrevistas). • Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. • Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentar

diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares.) • Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar

comportamiento de un conjunto de datos. • Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de

ocurrencia de un evento. • Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y

nociones básicas de probabilidad. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas,

diagramas de barras, diagramas circulares. • Predigo y justifico razonamientos y conclusiones usando información estadística.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones

(diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas). • Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre

sí en situaciones concretas de cambio (variación). • Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación

lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.

• Utilizo métodos informales (ensayo y error, complementación) en la solución de ecuaciones.

• Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan.

Octavo a noveno Al terminar grado noveno…

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PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. • Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los

números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. • Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes

magnitudes. • Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar

situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras

bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración

de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). • Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y

formulación de problemas. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las

matemáticas y en otras disciplinas. PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas

y el volumen de sólidos. • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies,

volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados. • Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones

tomadas de distintas ciencias. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar

distintas interpretaciones. • Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas

fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas. • Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en

distribuciones de distinta dispersión y asimetría. • Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de

información y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico.

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• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas. (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas. • Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas

de árbol, técnicas de conteo). • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones

algebraicas. • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba

conjeturas. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. • Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. • Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales. • Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que

representa en el plano cartesiano situaciones de variación. • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica

de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. • Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de

funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Décimo a undécimo Al terminar undécimo grado... PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre

racionales e irracionales. • Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos

numéricos, geométricos y algebraicos. • Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y

reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

• Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.

• Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

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• Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transversales en un cilindro y en un cono.

• Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas.

• Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de fi guras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras.

• Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

• Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

• Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos. PENSAMIENTO MÉTRICO YSISTEMAS DE MEDIDAS • Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de

precisión específicos. • Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se

suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media.

• Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

PENSAMIENTO ALEATORIOY SISTEMAS DE DATOS • Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de

medios de comunicación. • Justifico o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de

resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. • Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para

estudiar un problema o pregunta. • Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. • Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población,

muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos). • Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y

correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad).

• Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. • Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad

(combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazo).

• Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

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SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infi nitos numéricos. • Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de

la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos.

• Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

• Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

7. OBJETIVOS GENERALES Generar en los estudiantes una actitud favorable hacia las matemáticas. Desarrollar en los estudiantes la habilidad para conocer la presencia de las

matemáticas en el entorno y en diversas situaciones de la vida real. Suministrar a los estudiantes el lenguaje apropiado que les permita comunicar de

manera eficaz sus ideas y experiencias matemáticas. Desarrollar en el alumno sus competencias básicas (interpretativa, argumentativa,

propositiva). Desarrollar en los estudiantes una sólida comprensión de los conceptos, procesos y

estrategias básicas de las matemáticas igualmente, la capacidad de utilizar todo ello en la solución de problemas.

Desarrollar el pensamiento matemático de los estudiantes mediante procesos

específicos, a través de los conocimientos básicos, los sistemas propios del área y propiciando los ambientes adecuados.

Estimular en los estudiantes el uso creativo de las matemáticas para expresar nuevas

ideas y descubrimientos, así como para conocer los elementos matemáticos presentes en otras actividades creativas.

Retar a los estudiantes a lograr un nivel de excelencia que corresponda a su etapa de

desarrollo. Implementar una pedagogía matemática donde se dé especial importancia al

aprendizaje significativo. 8. LOGROS

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8.1 LOGROS GRADO SEXTO

Recolectar, ordenar, analizar y tomar decisiones acerca de una serie de datos que ha sido recolectadas organizados a través de distribuciones de frecuencia.

Identificar los principios básicos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos

mediante análisis de situaciones reales, tanto escolares como de su vida cotidiana para formarlo en el pensamiento y comportamiento razonable, que contribuya al mejoramiento de su nivel de vida.

Manejar correctamente las propiedades y operaciones entre N, a través de situaciones

creadas o reales que le permitan agilizar su cálculo mental para desenvolverse de manera óptima en su entorno.

Identificar y comprender los conceptos básicos de la geometría (punto, línea, ángulo,

polígonos, poliedros y cilindros), los representa a través de gráficas y construcciones realizadas dentro y fuera del aula, las cuales permitan interpretar los elementos de su entorno y sus características.

Comprender la importancia de la estadística y valerse de ella para estudiar fenómenos

a través de la interpretación, recolección, organización, presentación e interpretación de datos estadísticos.

Comprender el concepto de medición. Captar los diferentes patrones de medidas y asumir el sistema métrico decimal como

patrón, utilizándolo en sus actividades escolares para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

Deducir y aplicar algoritmos matemáticos, para calcular el área de las figuras. Conocer, usar y aplicar los conceptos de capacidad y maneja las unidades métricas

correspondientes.

Formular y solucionar problemas que involucren situaciones de medición utilizados en nuestro entorno, haciendo uso tanto de la estimulación, como de instrumentos que permitirá al estudiante valorar los avances tecnológicos aplicando en la vida cotidiana.

8.2 LOGROS GRADO SÉPTIMO

Recolectar, ordenar, analizar y tomar decisiones acerca de una serie de datos que ha sido recolectadas organizados a través de distribuciones de frecuencia, interpretar medidas de tendencia central y representar gráficamente.

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Reconocer el sistema de números enteros y los racionales e irracionales, estableciendo relaciones entre ellos para su aplicación en la ciencia y la tecnología.

Aplicar conceptos básicos de los algoritmos básicos para los Z y los Q dando solución

a problemas propuestos. Desarrollar y aplicar los conceptos fundamentales de razones y proporciones para

solucionar problemas que se refieren a situaciones reales del medio. Desarrollar en el estudiante las habilidades y destrezas necesarias en la solución de

problemas del enfrentamiento de este a situaciones reales del medio. Diferenciar los conceptos de área, perímetro, mediante la observación y solución de

problemas creados, para enfrentar luego problemas reales. Identificar las características de localización de objetos y representación cartesiana y

geográfica.

8.3 LOGROS GRADO OCTAVO

Recolectar, ordenar, analizar y tomar decisiones acerca de una serie de datos que ha sido recolectadas organizados a través de distribuciones de frecuencia, interpretar medidas de tendencia central de dispersión y representar gráficamente.

La identificación y utilización del conjunto de los reales en diferentes contextos así

como su representación en diversas formas le permitirán establecer una relación entre ellos, fortaleciendo los conceptos básicos vistos anteriormente.

Realizar operaciones con expresiones algebraicas mediante la aplicación correcta de

las reglas a algoritmos necesarios para al fin, de tal forma que el alumno este en condiciones de hacer uso de ellas para resolver problemas del entorno y su aplicación en la ciencia y la tecnología.

Realizar operaciones con expresiones algebraicas mediante la aplicación correcta de

reglas y algoritmos necesarios para tal fin, de tal forma que el alumno este en condiciones de hacer uso de ellas, para resolver problemas del entorno o de la matemática misma y su aplicación en la ciencia y al tecnología.

Reconocer y demostrar las propiedades geométricas de los ángulos, triángulos y

polígonos en diversas situaciones, haciendo uso de material concreto o construcciones con regla y compás, contribuyendo con ello a solucionar problemas de la cotidianidad.

Hallar procedimientos para estimar y calcular medidas de tendencia central e

interpretar analítica y críticamente los resultados obtenidos.

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Realizar traslaciones, rotaciones y simetrías mediante el uso de herramientas

didácticas apropiadas para que el estudiante adquiera dominio del espacio que lo rodea y pueda hacer uso de él de forma responsable e inteligente.

8.4 LOGROS GRADO NOVENO

Recolectar, ordenar, analizar y tomar decisiones acerca de una serie de datos que ha sido recolectadas organizados a través de distribuciones de frecuencia, interpretar medidas de tendencia central de dispersión y representar gráficamente.

Hacer un recorrido histórico, sobre el origen de los números reales, su estructura,

representaciones y su aplicación en la solución de problemas. Identificar, graficar y construir modelos matemáticos para las funciones lineales,

cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Identificar y resolver ecuaciones cuadráticas, por diversos métodos analíticos o

gráficos, igualmente resolver problemas de aplicación e interpretar modelos que involucren ecuaciones de segundo grado.

Adquirir los conceptos de razón y proporción identificando sus propiedades, para

aplicarlos posteriormente en el teorema de tales y los casos de semejanza de triángulos.

Calcular el área y volumen de algunos sólidos, haciendo uso de material concreto o de

elementos de la cotidianidad (agua, arena, etc.) y aplicando sus fórmulas respectivas. 8.5 LOGROS GRADO DÉCIMO

Recolectar, ordenar, analizar y tomar decisiones acerca de una serie de datos que ha sido recolectados, organizados a través de distribuciones de frecuencia, interpretar medidas de tendencia central y representar gráficamente los datos haciendo uso del método de estadística descriptiva.

Definir las funciones trigonométricas fundamentales y las funciones circulares, a

través de conocimientos geométricos básicos, que le permitan interpretar y modelar problemas que involucren tanto triángulos rectángulos como no rectángulos y situaciones físicas. Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas

Deducir identidades trigonométricas fundamentales para utilizarlas en la demostración

de otras más complejas.

41

Identificar los conceptos básicos de la geometría analítica a través de construcciones geométricas elementales, para elaborar las características especiales y las ecuaciones generales de las mismas aplicándolas a la interpretación de fenómenos físicos.

8.6 LOGROS GRADO UNDÉCIMO Recolectar, ordenar, analizar y tomar decisiones acerca de una serie de datos que ha

sido recolectados, organizados a través de distribuciones de frecuencia, interpretar medidas de tendencia central y representar gráficamente los datos haciendo uso del método de estadística descriptiva.

Interpretar nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable, estadígrafo y parámetro.

Usar comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuarteles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad.

Interpretar conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.

Resolver y plantear problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad.

(Combinaciones, permutaciones, espacio maestral, muestreo aleatorio, muestreo con reemplazamiento).

Solucionar problemas que involucren números reales en todas sus formas, para manejar los temas posteriores que necesitan unas bases firmes acerca de los mismos.

Resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, factorizables y con valor absoluto, aplicando sus propiedades.

Identifica las características básicas de las diferentes funciones a través de tablas y

gráficas que le permiten representar situaciones de su vida cotidiana. Identificar características de localización de objetos geométricos en sistemas de

representación cartesianas. Construir el concepto de límite de una función y deducir sus propiedades, a través de la

interpretación geométrica y resolver límites de funciones a través de gráficas reales para adquirir las bases necesarias que contribuyan y faciliten su formación académica.

Justificar resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rasgos de

variación y límites en situaciones de medición.

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Interpreta el concepto de derivada por medio del análisis geométrico, para aplicarlo en problemas reales interdisciplinarios que le permitan globalizar su conocimiento.

Interpretar la noción de derivada como razón de cambio instantánea en contextos

matemáticos y no matemáticos. Interpretar la noción de derivada como razón de cambio instantánea en contextos

matemáticos y no matemáticos. 9. METODOLOGÍA Fundamentada en el modelo de la “enseñanza para la comprensión, que se ha convertido en

una herramienta que me permite refinar la enseñanza y reflexionar sobre ella, a través del

desarrollo de tópicos generativos que me permiten el desarrollo de comprensiones profundas

por parte del estudiante.

La enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos, mediante los

cuales el docente planea, gestiona, y propone situaciones de aprendizaje matemático

significativo y comprensivo, y en particular situaciones problema para sus estudiantes,

permitiendo así que ellos desarrollen su actividad matemática, e interactúen con sus

compañeros, profesores y materiales para reconstruir y validar personal y colectivamente el

saber matemático.

10. EVALUACIÓN Tradicionalmente la evaluación se lleva a cabo al final de la clase o unidad y se centra en la

calificación y en la responsabilidad, ambas funciones sirven a importantes propósitos pero no

son útiles para el verdadero aprendizaje de alumno. Cuando el alumno aprende con vista a

comprender necesita criterios, realimentación y oportunidades para reflexionar a la largo de la

secuencia total de la enseñanza. En el marco conceptual de la enseñanza para la

comprensión este proceso se denomina evaluación diagnóstica continua.

En la evaluación diagnostica continua hay retroalimentación por parte del docente, de los

pares o del propio alumno (auto – evaluación). En otras ocasiones el docente suministra los

43

criterios de evaluación logrando que los alumnos los desarrollen, teniendo presente que estos

criterios deben ser públicamente explícitos, la realimentación regular y la reflexión debe darse

durante todo el proceso de aprendizaje.

11. ESTRATEGIAS Teniendo presente el modelo de “la enseñanza para la comprensión” y la evaluación de

competencias básicas, los profesores del área han acordado aplicar las siguientes estrategias,

para lograr que el estudiante sepa que hacer frente a una tarea específica.

1. Acompañar al estudiante en el proceso de enseñanza aprendizaje, estableciendo

empatía entre el estudiante y el profesor.

2. Realizar la realimentación continua de contenidos durante todo el proceso de

enseñanza.

3. Aplicaciones de la evaluación diagnóstica continúa para tomar las decisiones

pertinentes y optimizar la enseñanza y el aprendizaje del alumno.

4. Aplicar frecuentemente el método de Braistorm o “torbellino de Ideas” para determinar

el camino a seguir y los contenidos a impartir.

5. Enunciar constantemente, preguntas de carácter reflexivo que lleven al estudiante a

replantear sus conocimientos y redefinir conceptos.

6. Fomentar la auto reflexión, en distintas situaciones que así lo ameriten

7. Plantea situaciones problema que el alumno resolverá dentro y fuera de la institución

8. Construcción de talleres, grupales e individuales

9. Elaboración de mapas conceptuales, mapas mentales, mente factos, flujo gramas, y

diferentes esquemas, que le permitan al estudiante, jerarquizar y comprender la

información.

10. Concurso de habilidades matemáticas

11. Realización de proyectos que tengan como fin aplicar lo aprendido en resolver un tarea

especifica

12. Exposiciones orales de los temas vistos y de las consultas extraclase.

44

11.1 CRITERIOS DE EVALUACIÓN

La evaluación es diagnóstica y continua. Se aplicara regularmente y se elaborará de tal forma

que siempre promueva la comprensión, permitiendo que el alumno se realimente

periódicamente de los contenidos, así el docente y el alumno podrán determinar el grado de

desarrollo de la comprensión. Entre los desempeños a tener en cuenta tenemos:

a. Aptitudes, habilidades y valores demostrados por el alumno en el desarrollo de las

clases dentro y fuera del aula.

b. La solución a las situaciones problemáticas planteadas por el docente.

c. La solución de talleres y trabajos que se resolverán dentro y fuera de la institución

d. El desarrollo de test con modelos de preguntas interpretativas argumentativa y

propositiva tipo ICFES, para la presentación de las pruebas de estado y pruebas saber.

e. El interés y compromiso del estudiante por el saber matemático.

f. Aplicación de destrezas y habilidades del estudiante en la solución y planteamiento de

problemas.

12. RECURSOS

12.1. HUMANOS Docentes que orientan el área de matemáticas: Ángel Molina Álvaro Duque Marín Edwin Fernando Montoya Duque Nelly Rojas Arroyave Norberto Sanabria Sánchez Carlos Ferney 12.2. FÍSICOS

Biblioteca. Excelente planta física Textos de matemáticas. Sala de informática

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46

INSTITUCIÓN EDUCATIVA “INSTITUTO TEBAIDA”

PLAN DE ÁREA AREA: MATEMATICAS GRADO: 6: A B C D DOCENTE: NELLY MONTOYA FRANCO. ESTÁNDAR: Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. TÓPICO GENERATIVO: LÓGICA Y CONJUNTOS META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es la lógica?

Los estudiantes comprenderán la lógica matemática para entender su aplicabilidad tanto en el estudio como en su diario convivir.

SUBTEMAS:

Proposiciones

Proposiciones simples

Proposiciones compuestas

Conjuntos

Relaciones entre conjuntos

Operaciones entre conjuntos

Talleres propuestos META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Qué son proposiciones?

Los estudiantes formularán proposiciones para realizar procesos en forma lógica y coherente.

b ¿Qué son proposiciones simples y compuestas?

Los estudiantes identificarán las clases de proposiciones y sus características para interpretar y manejar procesos lógicos adecuadamente.

c ¿Qué son conjuntos? Los estudiantes seleccionarán la idea de grupo para realizar asociaciones y resolver problemas fácilmente.

d ¿Cuáles son las relaciones entre conjuntos?

Los estudiantes identificaran las relaciones entre conjuntos para establecer características de grupo.

e ¿Qué operaciones se realizan entre

Los educandos identificarán y realizaran operaciones entre conjuntos para encontrar soluciones a diferentes problemas

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conjuntos? más surgidos en la cotidianidad.

f ¿Cómo se realizan los talleres propuestos?

Los estudiantes realizarán los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

Reconoce las expresiones del lenguaje que pueden ser proporciones y las clasifica de acuerdo a lo explicado en clase.

Identifica y utiliza los conectivos lógicos para formar proporciones compuestas.

Reconoce las características de los conjuntos y determina su clasificación de acuerdo a las explicaciones dadas.

Realiza operaciones entre conjuntos teniendo en cuenta el texto.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Identifique las expresiones dadas si son o no proporciones de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Diga cuando una proporción es simple o compuesta de acuerdo a los talleres realizados.

Identifique cada uno de los conectivos lógicos y forme proposiciones compuestas de acuerdo a lo explicado en clase.

Clasifique los conjuntos dados de acuerdo al número de elementos que posee teniendo en cuenta las explicaciones dadas.

Escriba conjuntos por compresión, por extensión y represéntelos en diagramas de Venn de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Realice operaciones entre conjuntos de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Escriba las operaciones entre conjuntos por comprensión y por extensión de acuerdo a lo explicado en clase.

Halle el complemento de un conjunto por comprensión por comprensión, por extensión y represéntelo en diagramas de Venn de acuerdo a lo explicado.

ESTÁNDAR: Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal de los números racionales, utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal.

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TÓPICO GENERATIVO: SISTEMAS DE NUMERACIÓN META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cómo eran los sistemas de numeración de nuestros antepasados?

Los estudiantes identificarán los diferentes sistemas de numeración de nuestros antepasados para comprender el proceso evolutivo que a través de la historia sufre la matemática.

SUBTEMAS:

Sistema de numeración romano.

Sistema de numeración egipcio.

Sistema de numeración binario.

Sistema de numeración decimal.

Conjunto de los números naturales.

Operaciones en el conjunto de los números naturales.

Ecuaciones.

Inecuaciones.

Talleres propuestos

META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Cuáles son los distintos sistemas de numeración?

Los estudiantes conocerán los distintos sistemas de numeración para construir procesos inherente que lleven a realizar cálculos, matemáticos y cotidianos.

b ¿En qué consiste el sistema de numeración binario?

Los estudiantes identificarán el sistema de numeración binario para expresar cantidades en este sistema.

c ¿Cómo se representa un número en el sistema decimal?

Los estudiantes representarán un número en el sistema decimal para cuantificar magnitudes físicas o de la cotidianidad.

d ¿Cuál es el conjunto de los números naturales?

Los estudiantes identificarán el conjunto de lo números naturales para realizar cálculos matemáticos.

e ¿Qué operaciones se realizan en el conjunto de los números naturales?

Los estudiantes realizarán las diferentes operaciones con los números naturales para encontrar soluciones a diversidad de problemas matemáticos y de la cotidianidad.

f ¿Para qué sirven las ecuaciones?

Los estudiantes identificarán y resolverán problemas que involucran ecuaciones para dar respuesta a diversidad de inquietudes de carácter natural.

g ¿Para qué sirven las Los estudiantes identificaran y resolverán inecuaciones para

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inecuaciones? encontrar respuesta a inquietudes matemáticas y físicas.

h ¿Cómo se realizan los talleres propuestos?

Los estudiantes realizarán los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Utilice las relaciones y las conversiones que se presentan en los sistemas de numeración de acuerdo a consultas realizadas.

Realiza operaciones aditivas y multiplicativas con los números naturales, utilizando las propiedades correspondientes de acuerdo a las explicaciones dadas.

Establece relaciones entre potencias, raíces y logaritmos por medio de la aplicación de las leyes y propiedades de los números naturales.

Resuelve problemas mediante las aplicaciones de relaciones y operaciones básicas entre números naturales y sus propiedades.

Encuentra patrones de variación según el contexto de acuerdo a las explicaciones dadas.

Resuelve situaciones problemas de cambio o variación teniendo en cuenta el texto.

Resuelve problemas que requieren el planteamiento y solución de ecuaciones e inecuaciones con los números naturales de acuerdo a las explicaciones dadas.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Reconoce los distintos sistemas de numeración de acuerdo a las consultas realizadas.

Escribe números naturales en base dos, en numeración romana y en forma polinomial y viceversa de acuerdo a las explicaciones resididas.

Resuelve operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre números naturales de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Resuelve polinomios aritméticos respetando el orden en las operaciones de acuerdo a las explicaciones resididas.

Aplica las propiedades de la adición y la multiplicación para resolver operaciones con polinomios de acuerdo a las explicaciones dadas.

Identifica los términos de la potenciación, radicación y logaritmación de acuerdo a las explicaciones dadas y talleres realizados.

Resuelve polinomios que involucran potencias, raíces y logaritmos de acuerdo a los talleres realizados.

Identifica las operaciones que se deben realizar para resolver un problema de acuerdo a las explicaciones dadas.

Resuelve y propone problemas que involucran distintas operaciones: aditivas, multiplicativas, potencias y raíces de acuerdo a las explicaciones recibidas.

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Resuelve problemas que requieren de la búsqueda de patrones de variación de acuerdo a las explicaciones dadas.

Identifica los datos y la variable en un problema de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Plantea y resuelve problemas que involucran ecuaciones e inecuaciones con los números naturales de acuerdo a las explicaciones recibidas.

ESTÁNDAR: Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. TÓPICO GENERATIVO: TEORÍA DE NÚMEROS META ABARCADORA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es la teoría de números?

Los estudiantes identificarán la teoría de números para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

SUBTEMAS:

Múltiplos de un número

Divisores de un número

Números primos

Números compuestos

Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Talleres propuestos META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Cuáles son los

múltiplos de un

número?

Los estudiantes identificarán cuales son los múltiplos de un número para averiguar cuantas veces un número está contenido en otro.

b ¿Cuáles son los divisores de un número?

Los estudiantes identificarán cuales son los divisores de un numero para.

c ¿Cuáles son los números primos?

Los estudiantes identificarán cuales son los números primos para expresar los números compuestos como factores de estos.

d ¿Cuáles son los Los estudiantes identificarán cuales son los números

51

números compuestos?

compuestos para expresarlos como el producto de dos enteros positivos.

e ¿Cómo hallar el mínimo común múltiplo?

Los estudiantes hallarán el mínimo común múltiplo para realizar problemas y sumar o restar fracciones.

f ¿Cómo hallar el máximo común divisor?

Los estudiantes hallarán el máximo común divisor para solucionar problemas.

g ¿Cómo se realizan los talleres propuestos?

Los estudiantes realizarán los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Reconoce y aplica los conceptos de múltiplo y divisor en los números naturales mediante consultas realizadas.

Aplica los conceptos de la teoría de números para expresar un número como producto de factores primos de acuerdo a las explicaciones dadas.

Resuelve problemas de aplicación del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor de acuerdo a las explicaciones dadas.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Encuentra los múltiplos de un numero de acuerdo a las consultas echas.

Encuentra los divisores de un número de acuerdo a las consultas hechas.

Identifica y aplica los criterios de divisibilidad en el conjunto de los números naturales de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Identifica números primos y compuestos mediante ejercicios realizados.

Descompone números como el producto de factores primos de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Resuelve y plantea problemas donde es necesario determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de acuerdo a las explicaciones recibidas.

ESTÁNDAR: Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (sistemática, transitiva…) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa…) en diferentes contextos. TÓPICO GENERATIVO: FRACCIONES Y DECIMALES

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META ABARCADORA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Para qué sirven las fracciones?

Los estudiantes sabrán utilizar las fracciones para el desarrollo posterior de problemas concretos.

SUBTEMAS:

Fracciones

Operaciones entre fracciones

Números decimales

Operaciones con los números decimales

porcentaje

Talleres propuestos

META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Qué son fracciones

Los estudiantes identificarán que son fracciones para representar una relación entre dos cantidades

b ¿Cómo se realizan las operaciones entre fracciones?

Los estudiantes realizarán operaciones entre fracciones para diversas situaciones problemáticas que requieren, para su resolución, el manejo de algunas operaciones como la adición la sustracción, la multiplicación y la división.

c ¿Qué son números decimales?

Los estudiantes identificarán que son números decimales para denotar con mayor exactitud la aproximación de una cifra.

d ¿Cómo se realizan las operaciones entre decimales

Los estudiantes realizarán operaciones entre decimales para diversas situaciones problemáticas que requieren, para su resolución, el manejo de algunas operaciones como la adición la sustracción, la multiplicación y la división.

e ¿Cómo se halla el porcentaje?

Los estudiantes hallarán el porcentaje para distribuir uniformemente una unidad determinada.

f ¿Cómo se realizan los talleres propuestos?

Los estudiantes realizarán los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Reconoce una fracción como parte de un conjunto de acuerdo a las explicaciones dadas.

Clasifica fracciones de acuerdo a las consultas realizadas.

Establece relaciones de orden entre fracciones de acuerdo a las explicaciones dadas.

Resuelve operaciones aditivas y multiplicativas con los números fraccionarios de acuerdo a las explicaciones dadas.

53

Reconoce las relaciones entre los números fraccionarios y los números decimales de acuerdo a los talleres realizados.

Efectúa operaciones aditivas y multiplicativas entre números decimales de acuerdo a los talleres desarrollados.

Resuelve problemas mediante la aplicación de relaciones y operaciones entre números fraccionarios y números decimales de acuerdo a las explicaciones dadas.

Aplica el proceso de porcentaje en la resolución de problemas de acuerdo a las explicaciones dadas.

Resuelve problemas que requieren el planteamiento y solución de ecuaciones e inecuaciones con fraccionarios de acuerdo a las explicaciones dadas.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Identifica los términos de una fracción de acuerdo con las explicaciones recibidas.

Escribe y lee fracciones de acuerdo con los ejemplos desarrollados

Representa gráficamente las fracciones en la recta numérica de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Clasifica fracciones en propias, impropias e iguales a la unidad de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Identifica números mixtos de acuerdo a las explicaciones dadas.

Convierte un número mixto en fracción impropia y viceversa de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Aplica la simplificación y amplificación de fracciones para encontrar fracciones equivalentes de acuerdo a los talleres realizados.

Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de fracciones homogéneas y heterogéneas de acuerdo a los talleres realizados.

Convierte fracciones decimales en números decimales y viceversa de acuerdo a las explicaciones dadas.

Convierte fracciones no decimales a números decimales y viceversa de acuerdo a las explicaciones dadas.

Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de decimales de acuerdo a los talleres realizados.

Resuelve polinomios aritméticos con números fraccionarios y decimales de acuerdo a las explicaciones dadas.

Identifica las operaciones necesarias para resolver un problema de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Plantea y resuelve problemas que involucran números decimales y fraccionarios de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Identifica el porcentaje en su forma fraccionaria y decimal de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Resuelve situaciones relacionadas con el cálculo de porcentajes de acuerdo a las explicaciones recibidas.

54

ESTÁNDAR: Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos. TÓPICO GENERATIVO: NUMEROS ENTEROS META ABARCADORA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cuáles son los números enteros?

Los estudiantes identificarán cuales son los números enteros para poder contar, sumar y restar cantidades enteras (es decir, para sumar o restar de una cantidad concreta, elementos que se pueden contar de 1 en 1).

SUBTEMAS:

Conjunto de los números enteros

Operaciones con los números enteros

Ecuaciones

Talleres propuestos META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Para qué sirve el conjunto de los números enteros?

Los estudiantes utilizarán el conjunto de los números enteros para realizar operaciones y resolver problemas comunes.

b ¿Cuáles son las operaciones con los números enteros?

Los estudiantes realizarán operaciones con los números enteros para realizar problemas donde se utilizan estas operaciones.

c ¿Para qué sirven las ecuaciones?

Los estudiantes identificarán y resolverán problemas que involucran ecuaciones para dar respuesta a diversidad de inquietudes de carácter natural.

d ¿Cómo se realizan los talleres propuestos?

Los estudiantes realizarán los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Reconoce el conjunto de los números enteros mediante consultas realizadas.

Efectúa operaciones básicas con los números enteros de acuerdo a talleres propuestos.

55

Aplica las operaciones básicas con los números enteros para resolver situaciones problemáticas mediante las explicaciones dadas.

Resuelve problemas que requieren el planteamiento y solución de ecuaciones con los números enteros mediante talleres propuestos.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Explica cómo se compone el conjunto de los números enteros de acuerdo a las consultas realizadas.

Representa situaciones reales mediante números enteros de acuerdo a las explicaciones dadas.

Clasifica los números enteros de acuerdo a las explicaciones dadas.

Representa números enteros en la recta numérica de acuerdo a las explicaciones recibidas

Efectúa operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación con los números enteros de acuerdo a los talleres propuestos.

Reconoce el orden en las operaciones y lo aplica en la solución de polinomios con números mediante talleres propuestos.

Plantea y resuelve problemas que involucran ecuaciones con los números enteros de acuerdo a las explicaciones dadas

Identifica las operaciones necesarias para resolver un problema de acuerdo a las explicaciones recibidas.

ESTÁNDAR: Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. TÓPICO GENERATIVO: GEOMETRIA META ABARCADORA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es la geometría?

Los estudiantes sabrán que es la geometría para aprender a

razonar de forma coherente y verdadera.

SUBTEMAS:

Conceptos básicos de la geometría

Ángulos

Polígonos

Transformaciones en el plano cartesiano

longitud

56

Talleres propuestos META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Cuáles son los conceptos básicos en la geometría?

Los estudiantes identificarán cuales son los conceptos básicos de la geometría para estudiar y representar de una forma gráfica los elementos de la Geometría en dos dimensiones.

b ¿Qué son los ángulos?

Los estudiantes sabrán que los ángulos sirven para establecer la forma y tamaño de las figuras.

c ¿Que son los polígonos?

Los estudiantes identificarán los polígonos para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio.

d ¿Cómo se realizan las transformaciones en el plano cartesiano?

Los estudiantes realizarán las transformaciones en el plano cartesiano con el fin de crear nuevas figuras a partir de una previamente dada, la nueva figura se llamará "homólogo" de la original.

e ¿Cuáles son las unidades de medida de la longitud?

Los estudiantes identificarán cuales son las unidades de la medida de la longitud para medir la distancia entre dos puntos. Además para saber cuán largo es un objeto.

f Como se realizan los talleres propuestos

Los estudiantes realizarán los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Reconoce los conceptos básicos de loa geometría de acuerdo a las consultas realizadas.

Reconoce y establece relaciones de paralelismo y perpendicularidad mediante talleres propuestos.

Construye y clasifica ángulos de acuerdo a las explicaciones dadas.

Reconoce y clasifica polígonos de acuerdo a las explicaciones dadas.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Identifica los conceptos básicos de la geometría por medio de las consultas realizadas.

Identifica y traza rectas paralelas y perpendiculares de acuerdo a los talleres propuestos.

57

Reconoce los elementos y características de los ángulos de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Nombra, mide y construye ángulos correctamente de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Clasifica ángulos según su suma, en complementarios y suplementarios de acuerdo con las explicaciones recibidas.

Clasifica ángulos según su posición en consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice de acuerdo a las explicaciones dadas.

Identifica los elementos y características de los polígonos de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Clasifica los polígonos según el número de lados, según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos interiores de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Realiza traslaciones, rotaciones y reflexiones de figuras planas.

Identifica el tipo de transformación aplicando una figura plana de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Identifica las unidades der medida de longitud de acuerdo a las explicaciones dadas.

Realiza conversión de unidades de medida de acuerdo a las explicaciones dadas.

Calcula el perímetro de una figura de acuerdo a las explicaciones dadas.

Propone y resuelve situaciones relacionadas con el perímetro de una figura de acuerdo con los talleres propuestos.

Realiza los movimientos en los polígonos en los cuales el área no varía de acuerdo a las explicaciones dadas.

ESTÁNDAR: Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para la interpretación de situaciones diversas de conteo. TÓPICO GENERATIVO: ESTADISTICA Y PROBABILIDAD META ABARCADORA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es la estadística? Los estudiantes sabrán que es la estadística para dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea. Ya que la tarea fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad y transformarla, predecir su futuro o simplemente conocerla.

SUBTEMAS:

Conceptos básicos de la estadística

58

Variables cualitativas

Probabilidad

Talleres propuestos META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Cuáles son los conceptos básicos de la estadística?

Los estudiantes identificaran cuales son los conceptos básicos de la estadística para presentar datos y expresar ideas que se desean destacar.

b ¿Qué son variables cualitativas?

Los estudiantes sabrán que son variables cualitativas para facilitar el estudio de los valores estadísticos.

c ¿Cómo realiza el conteo de los elementos de un espacio muestral?

Los estudiantes realizaran el conteo de los elementos de un espacio muestral para conocer el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

d ¿Cómo halla la probabilidad de ocurrencia de un evento?

Los estudiantes aprenderán como hallar la probabilidad de

ocurrencia de un evento para que tengan en cuenta todos los

casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas

formas puede ocurrir determinada situación.

e ¿Cómo realizar los talleres propuestos?

Los estudiantes realizaran los talleres propuestos para resolver situaciones problemáticas cotidianas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Reconoce los conceptos básicos de la estadística mediante talleres de consulta

Caracteriza variables cualitativas de acuerdo a los talleres de consulta

Realiza el conteo de los elementos de un espacio muestral de acuerdo a las explicaciones dadas.

Halla la probabilidad de ocurrencia de un evento.

Desarrolla los talleres realizados en la unidad de acuerdo a las explicaciones dadas en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Identifica los conceptos básicos de la estadística por medio de las consultas realizadas.

Reconoce variables cualitativas en un conjunto de datos de acuerdo a los talleres realizados.

Registra información en tablas de datos de acuerdo a lo explicado en clase

Representa datos en un diagrama de barras, en un pictograma o en un grafico circular de acuerdo a lo consultado.

Interpreta la información obtenida de un grupo de datos de acuerdo a las explicaciones recibidas.

59

Determina que técnica de conteo se debe usar para determinar un espacio muestral de acuerdo a lo consultado.

Aplica el principio de la multiplicación de acuerdo a las explicaciones recibidas.

Determina en qué casos se usan las permutaciones y la combinatoria de acuerdo a las consultas realizadas.

Determina si un experimento es o no aleatorio de acuerdo a lo explicado en clase.

Aplica la formula de probabilidad para determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento dado.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y WEB GRAFICAS: BIBLIOGRAFIA: Hipertexto de Santillana. Matemática de la prentice hall. Matemática grafos grado 6. Matemática 2000 WEBGRAFIA: www.youtube.com. www.wikipedia.org. www.aprendes.com. www.ciencias. www.fiee.uni.edu.pe/fractales.

www.matematicas.net www.matecreativa. www.euler.us.es.

60

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: SÉPTIMO PERÍODO: 1 DE 2012

DOCENTES: FABIO GUZMÁN CASTAÑO (7A, 7B), ÁLVARO ÁNGEL MOLINA (7C)

TÓPICO GENERATIVO: LOS NÚMEROS ENTEROS Y SU APLICACIÓN EN LA VIDA

COTIDIANA

HILO CONDUCTOR: ¿Porque son tan importantes los números enteros en nuestro diario

vivir?

META DE COMPRENSIÓN: Los estudiantes reconocerán el conjunto de los números enteros,

efectuando operaciones que conllevan a la solución de problemas de la vida cotidiana,

también utilizará el plano ubicando los pares ordenados.

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

Pensamiento

numérico

Los números

enteros

Concepto y repaso

de temas

anteriores.

Los números

relativos.

De los números

relativos a los

números enteros.

Valor absoluto de

un número entero.

Orden en los

números enteros.

El plano cartesiano.

Identifica, lee y

escribe los

números

naturales y

enteros.

Ubica en la recta

numérica los

números enteros.

Establece

relaciones de

orden entre

números enteros.

Enuncia las

definiciones de la

geometría y las

comprende.

Trabajos en grupo.

Socialización de los

trabajos en grupo

Juegos matemáticos

Desarrollo de talleres

Desarrollo de pruebas

Construcciones

geométricas

EXPLORATORIA

Por medio de una

mesa redonda, se

conocerá los saberes

previos con que

cuenta el estudiante.

INVESTIGACION

GUIADA

En compañía de sus

padres los

estudiantes lograrán

establecer las

situaciones donde

son aplicables los

números enteros y

traerán ejemplos a

61

Recta numérica.

Algunas

aplicaciones con

operaciones.

Pensamiento

geométrico

Los cimientos de la

geometría

Definiciones.

Pensamiento

aleatorio.

Estadística

conocimientos

generales

(población,

variable, muestra,

frecuencia, moda,

media, mediana).

Lecturas de consulta

Prácticas en el

computador de temas

específicos utilizando el

programa clic

clase.

PROYECTO DE

SÍNTESIS

Los estudiantes

elaborarán afiches

donde se logre

plasmar situaciones

de la vida cotidiana

donde aplicando los

números enteros.

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: SÉPTIMO PERÍODO: 2 DE 2012

DOCENTES: FABIO GUZMÁN CASTAÑO (7A, 7B), ÁLVARO ÁNGEL MOLINA (7C)

TÓPICO GENERATIVO: OPERACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS

HILO CONDUCTOR: ¿En que radica la importancia de saber operar entre enteros?

META DE COMPRENSIÓN: Los estudiantes relacionarán la potenciación y la radicación de

números enteros, despertará interés por la construcción de gráficas con datos estadísticos y

utilizará los conocimientos geométricos en la solución de polígonos y círculos.

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

62

Pensamiento

Numérico

Operaciones con

números enteros

Adición de

números enteros

del mismo signo y

signos diferentes.

Sustracción de

números enteros.

Propiedades.

Notación

simplificada para

operar con

enteros.

Ecuaciones.

Multiplicación de

enteros.

División exacta de

números enteros.

Propiedades de la

potenciación,

radicación de

números enteros.

Pensamiento

Aleatorio.

Graficas de datos

estadísticos

(diagrama de

barras, diagrama

circular,

histograma)

Realiza adiciones y

sustracciones con

los números enteros.

Aplica las

propiedades de la

suma en la

resolución de

ejercicios.

Efectúa

multiplicaciones y

divisiones con los

números enteros.

Aplica propiedades

de la multiplicación

en la solución de

ejercicios.

Resuelve problemas

donde intervienen

las operaciones de

suma, resta

,multiplicación y

división de números

enteros

Ejecuta potenciación

y radicación de

números enteros

Calcula la potencia

de números enteros

Calcula la raíz

enésima exacta de

un número entero.

Resuelve problemas

donde se aplica la

potenciación o

radicación.

Reconoce la longitud

de la circunferencia,

reconoce el número

Pi = 3,1416.

Halla la longitud de

Ejercicios de

mecanización.

Mapas conceptuales

alusivos a la temática.

Trabajo en grupo.

Elaboración de

gráficos de barras e

histogramas.

Talleres individuales.

Explicación del

profesor.

EXPLORATORIA.

A través de una mesa

redonda lograremos

establecer los

presaberes con que

cuenta el estudiante.

INVESTIGACIÓN

GUIADA.

Con la ayuda de

familiares se logrará

establecer donde y

porque se debe operar

números enteros.

PROYECTO DE

SÍNTESIS.

Se realizarán mapas

conceptuales donde

se evidencie la

estrecha relación que

existe entre cada una

de las operaciones

entre números

enteros.

63

una circunferencia.

Diferencia el

concepto de

circunferencia y

círculo.

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: SÉPTIMO PERÍODO: 3 DE 2012

DOCENTES: FABIO GUZMÁN CASTAÑO (7A, 7B), ÁLVARO ÁNGEL MOLINA (7C)

TÓPICO GENERATIVO:LOS NÚMEROS RACIONALES, VIVIMOS RODEADOS DE ELLOS

HILO CONDUCTOR: ¿Realmente es importante saber repartir, los números racionales

otorgan una herramienta?

META DE COMPRENSIÓN: Los estudiantes identificarán los números racionales y realizará

sus operaciones. Tomará conciencia de la importancia en la vida cotidiana de la conversión de

unidades, hallará perímetro y área de figuras geométricas.

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

Pensamiento

Numérico

Numero racional.

Adición,

sustracción,

multiplicación y

división de

números

racionales.

Potenciación y

raíces de números

racionales.

Reconoce el

metro como

unidad básica de

longitud.

Establece

relaciones entre el

metro , sus

múltiplos y

submúltiplos

Enuncia y

reconoce

unidades de

longitud del

sistema métrico

decimal y del

sistema inglés.

Trabajos en grupo

Socialización de los

trabajos en grupo

Juegos matemáticos

Desarrollo de talleres

Desarrollo de pruebas

EXPLORATORIA.

A través de lluvias de

ideas y de resolución

de cuestionamientos

se logrará establecer

los presaberes con

que cuenta el

estudiante.

INVESTIGACIÓN

GUIADA

Los estudiantes

investigarán con sus

64

Pensamiento

Geométrico

Circunferencia.

Pensamiento

Métrico.

Longitud,

Perímetro y área

Sistema métrico

decimal

Conceptos

Conversión de

unidades.

Aplicabilidad.

Transforma

unidades de

longitud del

sistema métrico

decimal y / o en

otros sistemas.

Efectúa medición

de longitudes

.Alto, largo, ancho,

etc.

Halla el perímetro

de diferentes

figuras

geométricas.

Reconoce el

metro cuadrado

como unidad

básica de medidas

de superficie.

Establece

relaciones entre el

metro cuadrado

sus múltiplos y

submúltiplos.

Enuncia y

reconoce

unidades de

superficie del

sistema métrico

decimal y

unidades agrarias.

Transforma

unidades de

superficie del

sistema métrico

decimal y

unidades agrarias.

Construcciones

geométricas

Lecturas de consulta

Prácticas en el

computador de temas

específicos utilizando

el programa clic

padres las medidas de

longitud utilizadas en

la antigüedad y cómo

estaban elaboradas

para socializarlo en

clase.

PROYECTO DE

SÍNTESIS

Por medio de

conversiones sencillas

el estudiante elaborará

las diferentes

unidades de medida

del sistema métrico

decimal.

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: SÉPTIMO PERÍODO: 4 DE 2012

65

DOCENTES: FABIO GUZMÁN CASTAÑO (7A, 7B), ÁLVARO ÁNGEL MOLINA (7C)

TÓPICO GENERATIVO: RAZONES Y PROPORCIONES ESTADÍSTICA Y ENTORNO.

HILO CONDUCTOR: Gran parte de la información presentada a nosotros es manejada a

través de la Estadística

META DE COMPRENSIÓN: Los estudiantes organizarán, interpretarán, aplicarán y

analizarán datos estadísticos, empleará los conceptos básicos de la geometría en la

construcción de figuras.

Los estudiantes formularán y resolverán problemas de la vida diaria, usando los conceptos

de razón y proporción, para aplicarlos en situaciones reales de su entorno.

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

Pensamiento

Numérico

Razón

Serie de razones

iguales

Proporción.

Propiedad

fundamental

Cálculo de un

elemento en una

proporción.

Otras propiedades.

Magnitudes

directamente

proporcionales.

Magnitudes

inversamente

proporcionales

Regla de tres simple

directa e inversa

Utiliza los

diferentes

instrumentos

para construcción

de figuras

geométricas.

Construye los

diferentes

polígonos

triángulos,

cuadrados,

rectángulos,

trapecios ,

rombos

pentágonos

hexágonos

Comprende y

usar el

Trabajos en grupo.

Socialización de los

trabajos en grupo

Juegos matemáticos

Desarrollo de talleres

Desarrollo de pruebas

Construcciones

geométricas

EXPLORATORIA

Por medio de una

lluvia de ideas se

conocerá los

conocimientos

previos de los

estudiantes.

INVESTIGACIÓN

GUIADA

Con ayuda de

padres, familiares y

medios de

comunicación

reconocerá y aplicará

las proporciones e

identificará los

66

Regla de tres

compuesta, directa e

inversa.

Pensamiento

Aleatorio

Repartos

proporcionales.

Porcentaje o tanto

por ciento .Interés.

Pensamiento

Geométrico.

Rectas paralelas y

perpendiculares.

Ángulos y clases.

Triángulos-

cuadriláteros.

significado de la

proporcionalidad

directa e inversa

de magnitudes en

distintos

contextos de la

vida cotidiana.

Conoce las regla

de tres simple y

compuesta para

utilizarlas en

resolución de

situaciones

problema.

Lecturas de consulta

Prácticas en el

computador de temas

específicos utilizando el

programa clic

diferentes diagramas

estadísticos.

PROYECTO DE

SÍNTESIS

El estudiante

elaborará

pictogramas y otros

gráficos estadísticos

para afianzar

temáticas propias de

la estadística.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y WEB GRAFICAS: BIBLIOGRAFIA: Hipertexto de Santillana. Matemática de la prentice hall. Matemática grafos grado 7. Matemática 2000 WEBGRAFIA: www.youtube.com. www.wikipedia.org. www.aprendes.com. www.ciencias. www.fiee.uni.edu.pe/fractales.

www.matematicas.net www.matecreativa. www.euler.us.es.

67

INSTITUCIÓN EDUCATIVA “INSTITUTO TEBAIDA”

PLAN DE ÁREA AREA: MATEMATICAS GRADO: 8 A, B, C, D AÑO: 2012 MODELO: ENSEÑANZA PARA LA COMPRENSION (E.P.S.) DOCENTE: NORBERTO ROJAS ARROYAVE

1. ESTÁNDAR:

Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las operaciones entre ellos

TÓPICO GENERATIVO: CONJUNTOS NUMERICOS META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cuáles son los los conjuntos numéricos y las operaciones que se pueden realizar dentro de cada uno de ellos?

Los estudiantes identificaran los conjuntos numéricos para realizar problemas usando operaciones, propiedades y razonamientos lógico matemáticos cotidianos.

SUBTEMAS:

Números naturales y sus operaciones

Números enteros

Números racionales

Números irracionales

Números reales

Aplicaciones generales

Teorema de Pitágoras

Talleres propuestos META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a ¿Cuáles son los números naturales y sus operaciones internas?

Los estudiantes identificarán los números naturales para realizar operaciones y problemas diversos de aplicación relacionados con su cotidianidad.

b ¿Cuáles son los Los estudiantes identificarán los números enteros

68

números enteros y sus operaciones internas?

para utilizarlos en problemas y situaciones practicas

c ¿Cuáles son los números racionales y sus operaciones internas?

Los estudiantes identificarán las formas de escribir los números racionales para hacer problemas usando operaciones y propiedades.

d ¿Cuáles son los números reales y sus operaciones internas?

Los estudiantes identificarán los números reales para ubicarlos en el plano numérico y hacer problemas utilizando operaciones

e ¿Cuáles son los números irracionales y sus operaciones internas?

Los educandos identificarán los números irracionales para diferenciarlos de los números reales.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

Identifica las características de un número dado, usando conceptos explicados o analizados en clase o ejercicios dados.

Representa los números en la recta numérica, con explicaciones y el desarrollo orientado de ejemplos.

Identifica las relaciones de contenencia entre conjuntos numéricos, usando los conceptos establecidos y el desarrollo de talleres propuestos

Realiza operaciones entre distintos conjuntos numéricos, mediante el proceso hecho en la solución de problemas.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Identifica la pertenencia de un número a un conjunto numérico.

Reconoce las diferencias entre los números que pertenecen a uno u otro conjunto numérico.

Establece relaciones de orden a un grupo de números dado.

Reconoce cuando un conjunto numérico está contenido en otro.

Reconoce a que conjunto numérico pertenece un número dado.

Reconoce las propiedades que poseen las diferentes operaciones que se aplican a un conjunto numérico.

2. ESTANDARES

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas

TÓPICO GENERATIVO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS META ABARCADORA:

69

PREGUNTA ENUNCIADO

Como expresar en forma genérica y resumida los contenidos numéricos ?

Los estudiantes identificaran la forma de expresar contenidos numéricos en forma general, para expresar escritos literarios en lenguaje matemático y posteriormente reconocer componentes y operarlos.

SUBTEMAS:

Lenguaje algebraico y su estructura

Términos, lenguaje algebraico, y sus partes

Los monomios algebraicos

Las características de los monomios

Los polinomios

Características de los polinomios

Operaciones entre expresiones algebraicas(+,-,×,÷,()n )

META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a Como construir una expresión algebraica a partir de una expresión literaria con contenido matemático.

Los estudiantes trasladan contenidos literarios en expresiones o lenguaje algebraico establecido para identificar sus partes y establecer conexión entre la expresión aritmética particular y la algebraica general.

b Que es un monomio algebraico, como identificarlo y expresarlo verbalmente.

Los estudiantes elaboran monomios con características especiales para relacionar el mundo común con el lenguaje matemático.

c Que es un polinomio algebraico

Los estudiantes reconocen las características establecidas para los polinomios algebraicos para luego usarlos en diferentes circunstancias matemáticas aplicando operaciones entre ellos.

d Como realizar operaciones con polinomios algebraicos

Los estudiantes analizan cada una de las operaciones polinómicas para ser utilizadas en los diferentes procesos usados en la solución de problemas matematicos y de situaciones comunes.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Interpreta un escrito en forma literaria con contenido matematico para expresarlo en forma algebraica.

Construye monomios con ciertas características y reconoce sus partes o elementos.

Utiliza los monomios para realizar operaciones indicadas

70

Construye polinomios con ciertas características e identifica las partes o elementos característicos.

Realiza problemas matemáticos usando las operaciones polinomicas conocidas e interpreta los resultados para dar una respuesta acertada.

Dando valores a las variables, encuentra el valor numérico o aritmético polinomio realizando las operaciones indicadas de un polinomio

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Halla una expresión algebraica partiendo de un enunciado literario con contenido matemático. Construye un monomio o un polinomio con ciertas características especificas y menciona sus elementos característicos.

Resuelve operaciones entre polinomios que tienen coeficientes reales

Encuentra aéreas y volúmenes de figuras geométricas que tienen sus elementos con expresiones algebraicas.

. realiza la división sintética de un polinomio algebraico.

Resuelve problemas matemáticos y de aplicación a otras ciencias utilizando operaciones entre polinomios algebraicos.

3. ESTANDARES

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas

TOPICO GENERATIVO: PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cuáles son los productos y los cocientes Notables?

Los estudiantes identificaran los productos y los cocientes más usados en los procesos del algebra para encontrar formas de agilizar su construcción las formas de utilizarlos.

SUBTEMAS:

Cuadrado de la suma o la diferencia de dos términos

Producto de la suma por la diferencia de dos términos

Cubo de un binomio

Binomio de newton y Triángulo de Pascal

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

71

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

A Como expresar el cuadrado de la suma o diferencia de dos términos

Los estudiantes observaran en forma aritmética y algebraica expresiones idénticas que permiten reemplazar cuadrados binomiales para luego utilizar estos conceptos en procesos útiles.

B Como efectuar en forma simplificada el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Los estudiantes efectuaran productos de dos cantidades expresadas como la suma por la diferencia para encontrar formas cortas de expresar estos productos.

C Como desarrollar en forma simplificada el cubo de un binomio

Los estudiantes .efectuaran el triple producto de un cubo binomial para encontrar una regla que le permita realizar este producto en forma simplificada.

D Como desarrollar en forma simplificada binomios elevados a un exponente natural.

Los estudiantes analizaran la regla de pascal para encontrar el desarrollo de un binomio de newton.

E Como desarrollar un cociente notable en forma simplificada

Los estudiantes desarrollaran cocientes notables para encontrar soluciones simplificadas que lleven a desarrollar procesos rápidos y acordes con los principios algebraicos.

F Como encontrar formulas para desarrollar cocientes de la suma o la diferencia de potencias iguales entra la suma o la diferencia de las cantidades.

Los estudiantes consultaran la forma simplificada de desarrollar estos cocientes notables para utilizarlos en procesos matemáticos diversos.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Identifica la forma de una expresión a la cual se le aplica una suma por diferencia

Identifica la forma de una expresión a la cual se le pueden aplicar las formulas deducidas al desarrollar un binomio cuadrado.

Utiliza la formula deducida para desarrollar binomios cúbicos

72

Resuelve por simple inspección usando el triangulo de Pascal para encontrar el desarrollo de la expresión: ( a + b )n o ( a - b )n

Analiza las formas regulares que se deben usar en exponentes y coeficientes al desarrollar un cociente notable.

Identifica las características de los exponentes para determinar el cociente notable que se puede aplicar.

Resuelve por simple inspección un cociente notable. EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Dados ciertos binomios identifica cuales son cuadrados o cúbicos.

Dado un binomio cuadrado desarrollarlo por simple inspección.

Dado un binomio cubico desarrollarlo por simple inspección.

Dado un binomio elevado a un numero natural desarrollarlo usando el triangulo de pascal para los coeficientes y la regla de los exponentes para las variables.

Dada una suma por diferencia de dos cantidades expresarla por simple inspección como la diferencia de sus cuadrados.

Dado un cociente notable usar las características que posee para utilizar las reglas establecidas previamente para desarrollarlo por simple inspección.

4. ESTÁNDARES

Construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las operaciones entre ellos

Identifico y utilizo la potenciación, la radicación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas o en la resolución de problemas.

TÓPICO GENERATIVO: FACTORIZACION META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cómo expresar un polinomio algebraico como el producto de dos o mas factores ?

Los estudiantes identificaran las características de los polinomios algebraicos para expresarlos de acuerdo a reglas algebraicas en productos de dos o mas factores.

73

SUBTEMAS:

Noción y concepto de factorización.

Factorización de monomios por factor común

Factor común por agrupación de términos

Diferencia de cuadrados

Factorización de la suma o la diferencia de cubos

Factorización de la suma o la diferencia de potencias de igual exponente

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Factorización de un trinomio de la forma: ax2n + bXn + C Factorización de un polinomio con división sintética META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a Como identificar un polinomio para ser factorizado por un método conocido

Los estudiantes identifican las características que debe tener un polinomio para ser factorizado por una de las normas matemáticas conocidas

b Como factorizar un polinomio que tenga factor común en todos sus términos.

Los estudiantes observan un polinomio y reconocen en el uno o varios factores que aparecen en todos los termino para luego proceder a factorarlo aplicando el proceso de multiplicación o de división.

c Como factorizar una diferencia de cuadrados o una diferencia o suma de cubos.

Los estudiantes reconocerán una diferencia de cuadrados, una suma o diferencia de cubos para proceder a aplicar el proceso analizado con anterioridad que le permite expresarlos como el producto de dos factores.

d Como utilizar el triangulo de pascal para expandir un binomio elevado a un exponente natural.

Los estudiantes analizaran ejemplos donde utilizan el triangulo de Pascal para expandir binomios elevados a un exponente natural.

e Que características debe tener un trinomio cuadrado perfecto o un trinomio ax2n + bXn + C para ser factorizado

Los estudiantes identifican las características que debe tener un trinomio cuadrado perfecto o un trinomio ax2n + bXn + C para ser factorizado en dos factores de acuerdo a las normas matemáticas expuestas con anterioridad

f Como utilizar la división sintética en la factorización de polinomios.

Los estudiantes analizan ejemplos de factorización mediante el uso de la división sintética para realizar ejercicios propuestos.

74

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Reconoce los polinomios y sus características para utilizar un método adecuado de factorizarlo.

Realiza factorización de polinomios factorizables por factor común.

Realiza factorización de diferencia de cuadrados, de suma o diferencia de cubos en forma directa aplicando los conceptos consultados o explicados con anterioridad.

En ejercicios propuestos expande binomios con exponente natural

Realiza ejercicios diversos donde tenga necesidad de identificar el tipo de polinomio y la forma de factorizarlo.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Dado un polinomio identifica sus características y procede a factorizarlo de acuerdo a las condiciones consultadas o analizadas en clase.

Escribe un polinomio con ciertas características y procede a factorizarlo

Dado un polinomio en forma de diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos procede a factorizarlo adecuadamente

Dado un binomio con exponente natural procede a expandirlo

Dado un trinomio cuadrado perfecto o un trinomio de la forma: ax2n + bXn + C factorizarlo de acuerdo al las reglas estudiadas.

5. ESTÁNDARES

Conjeturo y verifico propiedades de congruencia y semejanza entre figuras

bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución

y formulación de problemas.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las

matemáticas y en las otras disciplinas.

Generalizo procedimientos de cálculo validos para encontrar el área de regiones planas

y el volumen de sólidos

TÓPICO GENERATIVO:

ANGULOS Y TRIANGULOS

META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué leyes, principios y

Los estudiantes analizaran las leyes y características que presentan los ángulos y los

75

características rigen los ángulos y triángulos

triángulos usando sus figuras para sacar conclusiones y usar estas en procesos matemáticos diversos.

SUBTEMAS:

Clasificación de los de los ángulos

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante

Ángulos comparables

Congruencias

Líneas y puntos notables de los triangulos

Congruencias en triangulo

Propiedades de los triángulos

Unidades de medida

META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a Que es un Angulo como se clasifican y como se miden?

Los estudiantes identificaran los ángulos, establecen clasificación Y los medirán con el propósito de establecer relaciones y comparaciones comunes o matemáticas.

b Que es la congruencia de figuras y como establecemos e identificamos congruencia de triángulos?

Los estudiantes observaran y conoceran criterios de congruencia en los triángulos para procesar información y realizar problemas matemáticos.

c Cuáles son los puntos notables en los triángulos y como se hallan geométricamente?

Los estudiantes encontraran geométricamente los puntos notables de los triángulos para establecer relaciones o comparaciones geométricas

d Como se realizan las Los estudiantes identifican las magnitudes básicas de

76

mediciones de los cuerpos físicos y que se mide?

medida, sus patrones y realizaran mediciones para obtener respuesta a problemas planteados del mundo que nos rodea.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Clasifica los ángulos según la medida

Reconoce los pares de ángulos congruentes encontrados entre dos rectas paralelas cortadas por

una secante.

Clasifica los triángulos según la medida de lados y sus ángulos.

Determina si es posible construir un triangulo dados algunos elementos

Reconoce rectas notables y puntos notables en los triángulos

Realiza conversión de unidades

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Dado un ángulo medirlo con el graduador y clasificarlo

Dado el valor de un ángulo dibujarlo y clasificarlo

Dadas dos rectas y una transversal que la corta y algunos ángulos hallar la medida de los demás.

Construye triángulos semejantes

Dados algunos triángulos los clasifica según sus ángulos y sus lados

Dado un triángulo halla uno de los puntos notables

Dada una medición física hacer la conversión de ella a otra unidad

Conjeturo y verifico propiedades de congruencia y semejanza entre figuras

bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza entre triangulos en la resolución

y formulación de problemas.

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las

matemáticas y en las otras disciplinas.

6. ESTÁNDARES

77

Reconozco cómo diferentes maneras de representación de información, pueden originar distintas interpretaciones.

Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión experimentos, consultas, entrevistas).

Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

TÓPICO GENERATIVO:

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

META ABARCADORA:

PREGUNTA ENUNCIADO

Para que se usa la estadística y la probabilidad?

Los estudiantes analizaran variables estadísticas, los datos agrupados y no agrupados y la ocurrencia de un evento para dar respuesta a problemas estadísticos planteados.

SUBTEMAS:

Nociones iníciales

Caracterización de variables cualitativas y cuantitativas

Datos agrupados y no agrupados

Diagramas de tallo y hojas, histogramas y polígonos de frecuencia

Espacio muestral

Técnicas de conteo

Probabilidad de un evento

78

META DE COMPRENSIÓN (SUBTEMAS)

PREGUNTAS ENUNCIADO

a Cuáles son las nociones iníciales de la estadística?

Los estudiantes recordaran aspectos de estadística descriptiva, inductiva y conceptos de población, muestra, variable para realizar procesos lógico estadísticos en problemas planteados.

b Cuáles son los datos de tendencia central?

Los estudiantes identifican los datos de tendencia central para resolver problemas estadísticos planteados.

c Cuáles son los diagramas más comunes de la estadística para representar datos?

Los estudiantes encontraran formas de graficar diagramas de tallo y hojas, histogramas y polígonos de frecuencia para representar datos y poderlos analizar en forma simplificada.

d Cuales son los elementos más comunes en la probabilidad elemental?

Los estudiantes identifican el espacio muestral, el concepto de evento y las técnicas de conteo para encontrar la probabilidad de eventos comunes.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN.

Elabora tablas de frecuencia

Elabora histogramas correspondientes a una tabla de frecuencias

Representa información en diagramas circulares

Elabora diagramas de tallo y hojas, histogramas y de polígono

Calcula e interpreta medidas de tendencia central

Aplica correctamente las técnicas de conteo

Identifica y diferencia los elementos de una muestra y los elementos de una

población.

Aplica la formula de la probabilidad para determinar las posibilidades de

ocurrencia de un evento y determina el grado de posibilidad del evento.

79

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA Y CONTINÚA

Dado un conjunto de datos identificarlos para construir una tabla de

frecuencias y elaborar un diagrama que los represente en forma

simplificada.

Dada una situación real encontrar los elementos del espacio muestral.

Dada una situación real encontrar la probabilidad de ocurrencia de un

evento.

Dados los datos de un experimento aleatorio utilizar una técnica de conteo

adecuada para hallar el número de veces la ocurrencia de una situación.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y WEB GRAFICAS: BIBLIOGRAFIA: Hipertexto de Santillana. Matemática de la prentice hall. Matemática grafos grado 8. Matemática 2000 WEBGRAFIA: www.youtube.com. www.wikipedia.org. www.aprendes.com. www.ciencias. www.fiee.uni.edu.pe/fractales.

www.matematicas.net www.matecreativa. www.euler.us.es.

80

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

INSTITUTO TEBAIDA

PLAN DE AREA

ÁREA: Matemáticas

GRADO: Noveno

DOCENTE: Edwin Fernando Duque Marín

ESTÁNDAR: Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y

relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

TÓPICO GENERATIVO: Conjuntos numéricos y Expresiones Algebraicas

UNIDAD I

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cuáles son los conjuntos numéricos? Los estudiantes identificarán los diferentes conjuntos numéricos para aplicarlos en el planteamiento y solución de situaciones problema.

¿Qué son expresiones algebraicas? Los estudiantes conocerán las expresiones algebraicas para utilizarlas en el desarrollo de diferentes disciplinas que requieran de la generalización de los números.

SUBTEMAS

• Conjuntos numéricos y operaciones entre ellos.

• Potenciación y Radicación.

• Expresiones Algebraicas y operaciones entre ellas.

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué son conjuntos numéricos? Los estudiantes identificarán los conjuntos numéricos como desarrollo y solución de problemas del contexto histórico, para que los pueda utilizar y clasificar de acuerdo a la situación planteada.

¿Cuáles son las operaciones definidas en los distintos conjuntos numéricos?

Se reconocerán las operaciones básicas definidas en los diferentes conjuntos numéricos como estructuras principales que caracterizan a los cuerpos para que los estudiantes

81

apliquen y desarrollen problemas que requieran para su solución la utilización de las mismas.

¿Qué es potenciación y radicación? Los estudiantes identificarán la potenciación y radicación como operaciones definidas en los conjuntos numéricos para que puedan posteriormente explicar fenómenos de las ciencias en las cuales aparecen comportamientos exponenciales.

¿Qué es una expresión algebraica? Se reconocerán las expresiones algebraicas como una representación de operaciones y generalización de números, para que el estudiante adquiera bases fundamentales que le permitan desenvolverse de manera adecuada en niveles superiores de algunas disciplinas.

¿Qué operaciones se definen entre expresiones algebraicas?

Se identificaran y utilizaran las operaciones definidas en las expresiones algebraicas como estructura de solución de problemas generales del área para que el estudiante reconozca otros elementos de representación y solución de problemas.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

Identifica la relación de contenencia que tienen los diferentes conjuntos de acuerdo a lo

explicado en clase.

Clasifica un número dado en el conjunto numérico que le corresponde teniendo en

cuenta la contenencia entre los diferentes conjuntos.

Formula y resuelve problemas que involucren las operaciones básicas de los conjuntos

numéricos desarrollados en clase.

Reconoce problemas de las ciencias que involucran desarrollos exponenciales y

explica estos fenómenos basando sus argumentos en los contenidos vistos en clase.

Reconoce las expresiones algebraicas y realiza operaciones entre ellas apoyándose

en las operaciones definidas entre ellas.

82

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Los estudiantes serán evaluados de manera continua teniendo en cuenta para la misma los

desempeños planteados, su desarrollo en el aula y el trabajo en grupo que realice.

UNIDAD II

ESTÁNDAR:

Modelo situaciones de variación de funciones polinómicas.

Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que

representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

TÓPICO GENERATIVO: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué son funciones? Los estudiantes reconocerán el concepto de función como una relación entre conjuntos para aplicarlos en la descripción geométrica de una ecuación

¿Qué es una función lineal? Los estudiantes identificarán la función lineal como una representación geométrica de la ecuación lineal para aplicarlo posteriormente en comportamientos que involucren magnitudes inversas y directas.

SUBTEMAS

• Funciones y elementos de una función.

• Representación de una función.

• Función lineal.

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es una función? Los estudiantes reconocerán el conceptos de función para que lo identifiquen en las relaciones existentes en diferentes conjuntos.

¿Cuáles son los elementos de una función?

Los estudiantes identificaran los diferentes elementos de una función para que los reconozcan en las diferentes funciones que propongan.

¿Cómo se representa una función? Los estudiantes reconocerán las

83

diferentes formas de representación de una función para que determinen según la situación la manera más practica de establecer una función

¿Qué es una función lineal? Los estudiantes identificaran la función lineal para que posteriormente plantee y resuelva problemas de crecimiento lineal.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

• Identifica el concepto de función como relación entre conjuntos.

• identifica cuando una relación entre dos conjuntos es función.

• Reconoce los elementos de una función.

• identifica las diferentes formas de representación de una función.

• Formula y resuelve problemas que involucren la función lineal.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Los estudiantes serán evaluados de manera continua teniendo en cuenta para la misma los

desempeños planteados, su desarrollo en el aula y el trabajo en grupo que realice.

UNIDAD III

ESTÁNDAR:

• Identifico diferentes métodos para la solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

TÓPICO GENERATIVO: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cuáles son los métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales?

Los estudiantes identificaran los diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones 2x2 para aplicarlos en la solución de diferentes problemas del contexto.

84

SUBTEMAS

• Método de igualación.

• Método de sustitución.

• Método de reducción.

PREGUNTA ENUNCIADO

¿En qué consiste el método de igualación?

Los estudiantes aplicaran el método de igualación para resolver problemas de ecuaciones de 2x2

¿Cuál es el método de sustitución?

Los estudiantes identificaran el método de sustitución para que lo apliquen en la solución de puntos de equilibrio de un sistema

¿Cuál es el método de reducción? Los estudiantes aplicaran el método de reducción para resolver problemas de ecuaciones de 2x2

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

• Identifica el método de igualación en la solución de sistemas de ecuaciones 2x2.

• Aplica el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

• Aplica el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2.

• Formula y resuelve problemas lineales usando los alguno de los métodos de solución

para sistemas de 2x2 vistos en clase.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Los estudiantes serán evaluados de manera continua teniendo en cuenta para la misma los

desempeños planteados, su desarrollo en el aula y el trabajo en grupo que realice.

UNIDAD IV

ESTÁNDAR:

Modelo situaciones de variación de funciones polinómicas.

85

TÓPICO GENERATIVO: FUNCION CUADRATICA, EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué son funciones cuadráticas? Los estudiantes identificaran las funciones cuadráticas para aplicarlas en problemas que involucren la solución de ecuaciones cuadráticas.

¿Cuál es la función exponencial y logarítmica?

Los estudiantes identificarán la función exponencial y logarítmica para aplicarlas en problemas biológicos que involucren este comportamiento.

SUBTEMAS

Función Cuadrática

Función exponencial

Función Logarítmica

Problemas de aplicación

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es una función cuadrática? Los estudiantes identificarán las funciones cuadráticas de un grupo de funciones para que utilice en la aplicación de problemas de física y otras ciencias.

¿Cuáles son los elementos de una función cuadrática?

Los estudiantes identificaran los elementos de una función cuadrática para que la represente de manera sencilla en un plano cartesiano

¿Qué es una función exponencial? Los estudiantes reconocerán la función exponencial para que la apliquen en comportamientos de la naturaleza.

¿Qué es una función logarítmica? Los estudiantes reconocerán la función logarítmica para que la apliquen en comportamientos de la naturaleza.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

• Construye la tabla de valores para una función cuadrática.

• Identifica los elementos de una función cuadrática.

86

• Encuentra el máximo o mínimo de una función cuadrática.

• Grafica la función exponencial y determina sus elementos.

• Grafica la función logarítmica utilizando una tabla de valores.

• Formula y resuelve problemas usando la función cuadrática, exponencial y

logarítmica.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Los estudiantes serán evaluados de manera continua teniendo en cuenta para la misma los

desempeños planteados, su desarrollo en el aula y el trabajo en grupo que realice.

UNIDAD V

ESTÁNDAR:

Modelo situaciones de variación de funciones polinómicas.

TÓPICO GENERATIVO: ESTADISTICA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es estadística?

Los estudiantes reconocerán el concepto de estadística para aplicarlos en diferentes áreas del conocimiento.

SUBTEMAS

• Conceptos Básicos.

• Tabla de Frecuencias.

• Representación gráfica de datos.

• Medidas de Tendencia Central

87

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Cuáles son los conceptos básicos de de la estadística?

Los estudiantes identificarán los conceptos de población, muestra, variable para utilizarlos en la interpretación de diferentes informaciones.

¿Cómo se representa gráficamente un conjunto de datos?

Los estudiantes reconocerán los diferentes tipos de gráficos existentes para representar un conjunto de datos y los aplicara en la representación de información obtenida en procesos de investigación.

¿Cuáles son las medidas de tendencia central?

Los estudiantes reconocerán las diferentes medidas de tendencia central y las utilizaran para la interpretación de datos obtenidos en procesos de investigación.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

• Construye diferentes diagramas para representar un conjunto de datos.

• Identifica en un conjunto de datos si las variables son cualitativas o cuantitativos.

• Representa un conjunto de datos en una tabla de distribución de frecuencia.

• Calcula la media, mediana y moda de un conjunto de datos.

• interpreta las medidas de tendencia central.

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Los estudiantes serán evaluados de manera continua teniendo en cuenta para la misma los

desempeños planteados, su desarrollo en el aula y el trabajo en grupo que realice.

UNIDAD VI

ESTÁNDAR:

Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en

demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

88

Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las

matemáticas y en otras disciplinas.

TÓPICO GENERATIVO: GEOMETRIA

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué son razones y proporciones?

Los estudiantes reconocerán el conceptos de razón y proporción para aplicarlos la demostración de teoremas de geometría.

SUBTEMAS

Razón

Proporción

Polígonos semejantes

PREGUNTA ENUNCIADO

¿Qué es razón? Los estudiantes identificarán los conceptos de razón para utilizarlos en la interpretación de diferentes teoremas de geometría.

¿Qué es proporción?

Los estudiantes reconocerán la diferencia entre razón y proporción para representarlo en situaciones de contexto.

¿Qué son semejanzas? Los estudiantes reconocerán el concepto de semejanza para la construcción de figuras congruentes.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

• Identifica el concepto de razón.

• Identifica el concepto de proporción.

• Utiliza criterios para mostrar cuando dos figuras son semejantes.

89

EVALUACIÓN DIAGNOSTICA CONTINUA

Los estudiantes serán evaluados de manera continua teniendo en cuenta para la misma los

desempeños planteados, su desarrollo en el aula y el trabajo en grupo que realice.

BIBLIOGRAFIA: Hipertexto de Santillana. Matemática de la prentice hall. Matemática grafos grado 9. Matemática 2000 WEBGRAFIA: www.youtube.com. www.wikipedia.org. www.aprendes.com. www.ciencias. www.fiee.uni.edu.pe/fractales.

www.matematicas.net www.matecreativa. www.euler.us.es.

90

INSTITUCION EDUCATIVA INSTITUTO TEBAIDA

PLAN DE AREA

AREA: Matemáticas GRADO: Decimo DOCENTE: Carlos Ferney Sanabria Sánchez. ESTADAR 1: Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones reales. TOPICO GENERATIVO: 1. Relaciones. META DE COMPRENSION ABARCADORA. (Tema) PREGUTA: ¿Que es una relación y cuáles son sus elementos? ENUNCIADO: Los estudiantes determinaran cuales son los elementos de una relación para poder modelar fenómenos periódicos del mundo real. SUBTEMAS (tópicos):

1. El producto cartesiano. 2. Las relaciones. 3. Los elementos de una relación. 4. Las representaciones de una relación.

METAS DE COMPRENSION (subtemas): PREGUNTA 1: Que es el producto cartesiano? ENUNCIADO: Los estudiantes identificaran el producto cartesiano para poder representar gráficamente una relación. PREGUNTA 2: Que es una relación? ENUNCIADO: Los estudiantes determinaran diferentes relaciones para describir y modelar diferentes fenómenos. PREGUNTA 3: Cuales son los elementos de una relación?

91

ENUNCIADO: Los estudiantes conocerán los elementos de una relación para poder estudiar sus aplicaciones en el mundo real. PREGUTA 4: Cuales son las representaciones de una relación? ENUNCIADO: Los estudiantes conocerán las diferentes representaciones de una relación para determinar su utilidad y aplicaciones. DESEMPEÑOS DE COMPRENSION:

1. Ubicar correctamente diferentes puntos en el plano cartesiano a través de la solución del taller propuesto.

2. Determinar diferentes relaciones y elaborar su representación grafica mediante la solución de ejercicios propuestos.

3. Resolver el taller de la página 35 de Santillana y analizar las diferentes situaciones donde se utilizan relaciones y sus representaciones para mostrar diferentes fenómenos y situaciones reales.

EVALUACION DIAGNOSTICA CONTINUA:

1. Resolviendo cada actividad propuesta podrá desarrollar las siguientes competencias: Cognitiva –procedimental-valorativa-socializadora. Actividad (paginas: 11-12).

2. Resuelve la evaluación propuesta teniendo en cuenta las actividades desarrolladas.

AMBIENTES DE APRENDIZAJE, MEDIOS Y RECURSOS DIDADTICOS: Textos – Fotocopias- Talleres – Bibliotecas- Internet. ESTANDAR 2: Describe y modela fenómenos periódicos del mundo real usando funciones reales. TOPICO GENERATIVO: 2. Las funciones reales. MATA DE COMPRENSION ABARCADORA (TEMA).

92

PREGUNTA: Que es una función, cuáles son sus elementos y aplicaciones reales? ENUNCIADO: Los estudiantes determinaran cuales son los elementos y representaciones de algunas funciones para poder modelar y analizar fenómenos periódicos del mundo real. SUB TEMAS (TOPICOS):

1. El concepto de función. 2. Los elementos de una función. 3. Clases de funciones.

METAS DE COMPRENSION (sub temas): PREG8UNTA 1: Que es una función? ENUCIADO: Los estudiantes analizaran las diferencias entre relaciones y funciones para poder representar gráficamente una función. PREGUNTA 2: Cuales son los elementos de una función? ENUNCIADO: Los estudiantes identificaran los elementos de una función para poder representar y analizar sus aplicaciones reales. PREGUNTA 3. Cuáles son los diferentes tipos de funciones? ENUNCIADO: Los estudiantes conocerán y analizaran algunas funciones y sus representaciones graficas para determinar su utilidad en el mundo real. DESEMPEÑOS DE COMPRESION:

1. Establece correctamente la diferencia entre una función y una relación a través de la solución de los ejercicios propuestos en el taller.

2. Grafica y analiza correctamente diferentes funciones mediante la solución de actividades propuestas.

3. Resuelve el taller propuesto y analiza diferentes situaciones donde se utilizan funciones, graficas y características para estudiar fenómenos del mundo real.

EVALUACION DIAGNOSTICA CONTINUA.

1. Desarrollando las actividades propuestas podrá desarrollar las siguientes competencias: Cognitiva-procedimental-valorativa-socializadora. ACTIVIDAD (paginas 18-19-24-30-33).

93

2. Resuelve talleres y evaluaciones teniendo en cuenta las actividades

desarrolladas y lo estudiado por él. AMBIENTES DE APRENDIZAJE, MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS. Textos-biblioteca- internet- talleres y fotocopias. ESTANDAR: 3.Modelar situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas. TOPICO GENERATIVO: 3.Las funciones trigonométricas. META DE COMPRESION ABARCADORA (TEMA): PREGUNTA: Cuales son las funciones trigonométricas, sus elementos y aplicaciones. ENUNCIADO: Los estudiantes determinaran las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal para poder modelar y analizar fenómenos del mundo real. SUB TEMAS (TOPICOS):

1. La construcción de ángulos y su medición. 2. Sistemas para medir ángulos. 3. Las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal. 4. Las funciones trigonométricas en el triangulo rectángulo. 5. El valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30, 45 y 60 grados

METAS DE COMPRENSION (SUB TEMAS): PREGUNTA 1: Como se construyen y se miden ángulos? ENUCIADO: Los estudiantes construirán y medirán ángulos en posición normal para poder representar gráficamente situaciones reales. PREGUNTA 2: Cuales son los sistemas para medir ángulos? ENUNCIADO: Los estudiantes utilizan los sistemas para medir ángulos para poder expresar una medición en cualquiera de los dos sistemas. PREGUNTA 3 : Cuales son las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal?. ENUNCIADO: Los estudiantes identificaran las funciones trigonométricas para un ángulo en posición normal para determinar cada uno de sus valores y como se utilizaran en la solución de un problema. PREGUNTA 4 : Como son las funciones trigonométricas en el triangulo rectángulo?.

94

ENUNCIADO: Los estudiantes reconocerán la funciones trigonométricas en un triangulo rectángulo para poder determinar sus valores y aplicaciones en la solución de situaciones problemáticas del mundo real. PREGUNTA 5 : Cual es el valor d las funciones trigonométricas para ángulos de 30,45 y 60 grados?. ENUNCIADO: Los estudiantes determinaran el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30, 45 y 60 grados para utilizar estos valores en la solución de situaciones del mundo real. DESEMPEÑOS DE COMPRENSION:

1. Construye y mide ángulos cuya medida ha sido determinada en los talleres propuestos.

2. Identifica y utiliza los diferentes sistemas para medir ángulos mediante la solución de actividades propuestas.

3. Determina el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo en posición normal mediante las coordenadas de su lado terminal.

4. Resuelve triángulos rectángulos y problemas que los involucran mediante la solución de los talleres propuestos.

5. Utiliza los valores de las relaciones trigonométricas para ángulos de 30,45 y 60 grados en la solución de situaciones problemáticas planteadas por el profesor.

EVALUACION DIAGNOSTICA CONTINUA.

1. Desarrollando las actividades propuestas podrá desarrollar las siguientes competencias: Cognitiva-procedimental-valorativa-socializadora. ACTIVIDAD (paginas 43-44-47-50-57).

2. Resuelve talleres y evaluaciones teniendo en cuenta las actividades desarrolladas y lo estudiado por él.

AMBIENTES DE APRENDIZAJE, MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS. Textos-biblioteca- internet- talleres y fotocopias. ESTADAR: 4. Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. TOPICO GENERATIVO: 4.La geometría analítica y sus aplicaciones básicas.

95

META DE COMPRENSION ABARCADORA (TEMA): PREGUTA : Cuales son los elementos y conocimientos básicos de la geometría analítica?. ENUNCIADO: Los estudiantes analizaran los conocimientos básicos de la geometría analítica para poder resolver situaciones problemáticas que los involucren. SUB TEMAS (TOPICOS):

1. La distancia entre dos puntos. 2. El punto medio de una recta. 3. La pendiente de una recta. 4. Determinación de la ecuación general de una recta. 5. Rectas coincidentes, secantes, perpendiculares y paralelas.

METAS DE COMPRENSION (SUB TEMAS): PREGUNTA 1: Como determinar la distancia entre dos puntos?. ENUNCIADO: Los estudiantes hallaran la distancia entre dos puntos para poder resolver una situación problemática. PREGUNTA 2: Como calcular el punto medio de un segmento?. ENUNCIADO: Los estudiantes determinaran el punto medio de un segmento para dar solución a una situación específica que involucra la solución de un problema. PREGUTA 3 : Como hallar la pendiente de una recta?. ENUNCIADO: Los estudiantes hallaran la pendiente de una recta para poder determinar la ecuación de la recta que pasa por dicho punto y que puede dar solución a un determinado problema. PREGUTA 4: Cual es la ecuación de la recta que pasa por un determinado punto y que tiene una pendiente m? ENUNCIADO: Los estudiantes construirán la ecuación de la recta que cumple una determinada condición para poder dar solución a una situación planteada. PREGUNTA 5: Que son rectas paralelas, secantes, perpendiculares y coincidentes? ENUNCIADO: Los estudiantes construirán y hallaran las ecuaciones de rectas que cumplen unos determinados requisitos para así dar solución a situaciones problemáticas. DESEMPEÑOS DE COMPREMSION:

1. Determina correctamente la distancia entre dos puntos para poder dar solución a situaciones planteadas en los talleres.

2. Calcula el punto medio de una recta a través de las ecuaciones explicadas.

96

3. Determina la pendiente de una recta para poder hallar la ecuación de la recta que pasa por un determinado punto y que da solución a una situación problemática planteada en los talleres.

4. Halla la ecuación de la recta que cumple con determinadas especificaciones para poder dar solución a un problema que se platea en los trabajos extra clase.

5. Determina la ecuación de rectas paralelas y perpendiculares para dar solución a una situación planteada.

EVALUACION DIAGNOSTICA CONTINUA.

1. Desarrollando las actividades propuestas podrá desarrollar las siguientes competencias: Cognitiva-procedimental-valorativa-socializadora. ACTIVIDAD (paginas 191-194-196).

2. Resuelve talleres y evaluaciones teniendo en cuenta las actividades desarrolladas y lo estudiado por él.

AMBIENTES DE APRENDIZAJE, MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS. Textos-biblioteca- internet- talleres y fotocopias. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y WEB GRAFICAS: BIBLIOGRAFIA: Hipertexto de Santillana. Matemática de la prentice hall. Matemática grafos grado 10. Matemática 2000 WEBGRAFIA: www.youtube.com. www.wikipedia.org. www.aprendes.com. www.ciencias. www.fiee.uni.edu.pe/fractales.

www.matematicas.net www.matecreativa. www.euler.us.es.

97

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: UNDÉCIMO A, B, C y D

DOCENTES: ÁLVARO ÁNGEL MOLINA PERÍODO: 1 DE 2012

TÓPICO GENERATIVO: Los números reales, características y propiedades de las funciones

de variable real

HILO CONDUCTOR: Interpreta graficas de funciones de variable real

META DE COMPRENSIÓN: Resolver desigualdades representando su solución en forma

de conjunto por comprensión en la recta numérica mediante el uso de las desigualdades e

intervalos, para resolver problemas en áreas de la economía y la administración.

Construir diferentes las diferentes clases de funciones mediante el uso de herramientas

tecnológicas, para encontrar sus características

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

1. Números Reales:

Propiedades de

los IR

Orden de los IR

(recta real)

2. Intervalos:

Clasificación y

operaciones con

intervalos

3. Desigualdades:

Desigualdades

absolutas y

condicionales

4. Relaciones y

funciones

Funciones

Interpreta

desigualdades en

el sistema de los

números reales y

su representación

grafica por medio

de intervalos

sobre la recta

real. Para

aplicarla en el

mundo de los

negocios. .

Usa

desigualdades

para resolver

ecuaciones e

inecuaciones

lineales

representándolas

Discusiones de

conceptos a partir de

las experiencias del

alumno.

Identificación del

lenguaje empleado en

cada tema expuesto.

Formulación de

modelos matemáticos

y ejercicios aplicados a

los conceptos vistos.

Planteamiento y

solución de ejercicios

por parte del alumno

para detectar

creatividad y

EXPLORATORIO:

modelar y resolver

problemas que

requieran del

planteamiento de

inecuaciones, como

estrategia de solución.

INVESTIGACIÓN

GUIADA:

Deducir y aplicar las

propiedades de las

desigualdades y las

operaciones con

intervalos en la

solución de

inecuaciones

98

Polinómicas,

logarítmicas,

exponenciales,

radicales y

trigonométricas

Dominio, rango y

grafica de funciones

en el plano

Propone el uso del

computador

utilizando el

programa

graphmatica como

una herramienta

para analizar y

construir diferentes

tipos de funciones

aplicaciones.

Revisión del cuaderno

y demás material que

compruebe la actividad

hecha por el estudiante

Aclaración de

conceptos

Solución de pruebas

tipo saber ICFES

PROYECTO DE

SÍNTESIS:

Simbolizar

adecuadamente

conjuntos numéricos

por medio de

intervalos y en forma

grafica.

99

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: UNDÉCIMO A, B, C y D

DOCENTES: ÁLVARO ÁNGEL MOLINA PERÍODO: 2 DE 2012

TÓPICO GENERATIVO:LAS SUCESIONES Y LIMITES DE FUNCIONES

HILO CONDUCTOR: calculo de sucesiones y limites usando propiedades

META DE COMPRENSIÓN: Determinar el límite de una sucesión mediante el uso de

propiedades, para calcular la velocidad y aceleración de un móvil en un instante dado., la

velocidad de crecimiento de un capital según las condiciones del mercado de valores, la

productividad de una empresa, el desarrollo de una epidemia.

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

1. Sucesiones

Finitas e

infinitas

Decrecientes y

decrecientes

Acotadas.

2. Limites de

funciones.

Limite de una

sucesión de

números reales

Limites finitos e

infinitos

Argumenta cuando

una sucesión es

finita e infinita para

introducirse al

estudio de los

límites y sus

propiedades.

Interpreta límites de

diferentes modelos

de funciones para

encontrar la

velocidad y

aceleración de un

móvil en un

instante dado.

Propone el estudio de

los limites y sus

propiedades para

Análisis y sustentación

de situaciones

matemáticas. Trabajo

grupal donde se

observe la cooperación,

trabajo solidario y

aplicación de conceptos

particulares. Solución

de talleres, después de

realizada la orientación

respectiva. Lectura de

textos. Exposición de

contenidos. Aclaración

de conceptos.

Proposición y

aclaración de modelos.

Revisión del cuaderno y

demás material que

EXPLORATORIO

Caracterizar los

distintos tipos de

función.

INVESTIGACIÓN

GUIADA

Utilizar diferentes

teoremas y

estrategias para

determinar el valor de

un limite

PROYECTO DE

SÍNTESIS

Proponer diferentes

estrategias en la

100

Limites de

funciones

analizar el crecimiento

de un capital según

las condiciones del

mercado de valores,

la productividad de

una empresa, el

desarrollo de una

epidemia, etc.

compruebe la actividad

hecha por el estudiante

Solución de pruebas

tipo saber

solución de

problemas que

involucren límites de

funciones.

101

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: UNDÉCIMO A, B, C y D

DOCENTES: ÁLVARO ÁNGEL MOLINA PERÍODO: 3 DE 2012

TÓPICO GENERATIVO: LAS DERIVADAS

HILO CONDUCTOR: Interpretar la noción de derivada

META DE COMPRENSIÓN. Interpretar y determinar la derivada de funciones mediante el

uso de propiedades, para hallar la solución de problemas de velocidad instantánea de una

partícula en movimiento.

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

1. Calculo

diferencial

Concepto de

derivadas

Algebra de

derivadas

Derivada de

una función.

Derivada y sus

propiedades

Derivada de una

función polinómica,

Racional, regla

de la cadena,

derivada de

funciones

trigonométricas,

Propone el uso de

la derivada y sus

propiedades para

resolver derivadas

de funciones

polinómicas,

racionales y

trigonométricas y

exponenciales.

Interpreta

geométricamente la

derivada para hallar

la solución del

problema de la

recta tangente a

una curva en

cualquier punto.

Argumenta el uso de

las derivadas para

resolver problemas de

velocidad instantánea

Desarrollo de talleres

individuales

Desarrollo de guías

Desarrollo de trabajos

en grupo dentro del

aula

Asesoría permanente y

motivación para la

obtención de logros

trazados

Trabajos de consulta

Sustentación de talleres

Revisión del cuaderno y

demás material que

compruebe la actividad

hecha por el estudiante

Aclaración de

EXPLORATORIO

Comprender el

concepto de derivada

a partir de su

definición geométrica

INVESTIGACIÓN

GUIADA

Aplica los

conocimientos

apropiados para

derivar diferentes

clases de funciones.

PROYECTO DE

SÍNTESIS

Resuelve problemas

que requieran de la

aplicación del

concepto de

102

exponenciales de una partícula en

movimiento

conceptos

Solución de pruebas

tipo saber

derivada.

103

ÁREA: MATEMÁTICAS GRADO: UNDÉCIMO A, B, C y D

DOCENTES: ÁLVARO ÁNGEL MOLINA PERÍODO: 4 DE 2012

TÓPICO GENERATIVO: APLICACIÓN DE LA DERIVADAS Y PROBABILIDAD

HILO CONDUCTOR: Interpretación de la derivada como razón de cambio

META DE COMPRENSIÓN: Resolver problemas de razón de cambio mediante el uso de la

derivada utilizando la interpretación de máximos y mínimos. Para desenvolverse en

diferentes áreas del conocimiento como la física, la economía, la geología, la biología, la

ecología, etc.

Analizar la probabilidad como el estudio de fenómenos puramente aleatorios mediante

espacios muéstrales y la teoría de las probabilidades para solucionar problemas relacionados

con el entorno

SUBTÓPICOS

DESEMPEÑOS DE

COMPRENSIÓN

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

VALORACIÓN

CONTINUA

1. Aplicaciones a

la derivada:

Razón de

cambio

Aplicaciones de

la razón de

cambio

Valores

extremos

máximos y

mínimos.

2. Probabilidad

Introducción a la

probabilidad

Experimentos

Argumenta el uso

de la derivada

como una razón de

cambio para

aplicarla en

diferentes campos

de la ciencia como

para determinar

cual es la renta

mensual que debe

cobrar una

compañía para

obtener un mayor

ingreso bruto

mediante una serie

de datos

conocidos.

Interpreta criterios

Desarrollo de talleres

individuales

Desarrollo de guías

Desarrollo de trabajos

en grupo dentro del

aula

Revisión del cuaderno

y demás material que

compruebe la actividad

hecha por el estudiante

Aclaración de

conceptos

Solución de pruebas

EXPLORATORIO

Aplica diferentes

teoremas para

determinar la

derivada de una

función

INVESTIGACIÓN

GUIADA

. Resuelve problemas

que requieran de la

aplicación del

concepto de derivada

104

aleatorios

Definiciones de

probabilidad

Propiedades de la

probabilidad

de la primera

derivada para

hallar valores

extremos de una

función en un

intervalo dado.

Propone el estudio de

la probabilidad para

analizar fenómenos

puramente aleatorios.

tipo saber

PROYECTO DE

SÍNTESIS

Utiliza el concepto de

derivada para

modelar problemas

de economía,

finanzas y ciencias

naturales

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y WEB GRAFICAS: BIBLIOGRAFIA: Hipertexto de Santillana. Matemática de la prentice hall. Matemática grafos grado 11. Matemática 2000 WEBGRAFIA: www.youtube.com. www.wikipedia.org. www.aprendes.com. www.ciencias. www.fiee.uni.edu.pe/fractales.

www.matematicas.net www.matecreativa. www.euler.us.es.