plan - wordpress.com · müəyyən etmək mümkün deyil.(nöqtəvi ehtimal). odur ki, kəsilməz...
TRANSCRIPT
Mövzu 5 : Ekonometrik modelləşdirmənin baza anlayışları
Plan
1.Ehtimallı eksperiment, hadisə, ehtimal
2.Təsadüfi kəmiyyət
3.Təsadüfi kəmiyyətlərin ədədi xarakteristikaları
4.Təsadüfi kəmiyyətlərin paylanması qanunları
5.Statistikanın baza anlayışları
6.Statistik nəticələr, hipotezlərin yoxlanması
İqtisadi sistemlər səviyyəsində gedən proseslərin heç biri ciddi şəkildə
determinik proses deyil. Bu o deməkdir ki, bu və ya başqa iqtisadi fəaliyyəti həyata
keçirən mütəxəssis son nəticəyə arxayın ola bilməz, çünki bu proseslər təbiətcə
təsadüfi xarakter daşıyırlar. Bunun əsas səbəbini iki faktorla bağlamaq olar:
1.Qərar qəbul edən şəxsin-insanın özünün davranışını əvvəlcədən
proqnozlaşdırmaq mümkün deyil.
2.İqtisadi prosesə çoxsaylı faktorlar təsir göstərir və onlardan bəzilərini insan
nəzarətdə saxlaya bilmir.
Deməli, iqtisadi proseslərdə təsadüfililiyin rolu böyükdür və onları tədqiq
etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsi anlayışlarından istifadə edilməlidir.
Ehtimallı eksperiment dedikdə nəticələrini əvvəlcədən söyləmək mümkün
olmayan eksperiment başa düşülür. İqtisadiyyatda hər bir fəaliyyət məhz ehtimallı
eksperimentdir.
Hadisə dedikdə hər hansı bir ehtimallı eksperimnetin istənilən nəticəsi və
nəticələri məcmuyu başa düşülür.
Verilmiş eksperiment çərçivəsində baş verə və ya baş verməyə bilən hadisəyə
təsadüfi hadisə deyilir.
Daha sadə hadisələrə ayrılışı mümkün olmayan hadisəyə elementar hadisə
deyilir. Bir neçə elementar hadisə şəklində təsvir oluna bilən hadisəyə isə
mürəkkəb hadisə deyəcəyik.
2
Hadisənin ehtimalı –hadisələrin baş verməsi imkanlarına görə onların
müqayisəsi üçün istifadə olunan kəmiyyət ölçüsüdür.
Ehtimalın klassik tərifi aşağıdakı kimidir:
A hadisəsinin P(A) ehtimalı dedikdə - bu hadisənin baş verməsinə şərait yaradan
elementar hadisələrin m sayının həmin ehtimallı eksperiment çərçivəsində baş
verə biləcək bütün n elemantar hadisələrin sayına nisbəti başa düşülür:
n
mAP )(
Bu ifadədən ehtimalı aşağıdakı xassələri doğur:
1. 1)(0 AP
2. Yəqin hadisənin ehtimalı 1-ə bərabərdir: P(A)=1
3. Qeyri mümkün hadisənin ehtimalı sıfıra bərabərdir: P(A)=0
Təsadüfi hadisə anlayışı kəmiyyətcə ifadə oluna bilən müəyyən
kəmiyyətlərin müşahidələrinin təsviri üçün kifayət deyil. Odur ki, təsadüfi hadisə
anlayışı təsadüfi kəmiyyət anlayışı ilə tamamlanmalıdır.
Təsadüfi kəmiyyət dedikdə (TK) müşahidələr nəticəsində əvvəlcədən
məlum olmayan və təsadüfi vəziyyətdən asılı olan və bu və ya digər qiymət alan
kəmiyyət başa düşülür.Təsadüfi kəmiyyətlər diskret və kəsilməz TK-rə bölünür.
Diskret TK-i təsvir etmək üçün TK-in bütün mümkün qiymətləri və
onların ehtimalları arasında uyğunluq yaratmaq lazımdır. Belə uyğunluq diskret
TK-in paylanma qanunu adlanır. Bu qanunu cədvəl şəklində, analitik şəkildə və ya
qrafik şəkildə vermək olar.
X diskret TK-in cədvəl formada verilişində cədvəlin birinci sətirində onun
mümkün qiymətləri (x1, x2..., xn ), ikinci sətirdə isə onların ehtimalları (P1, P2..., Pn)əks
olunur.
X X1 X2 .... Xn
Pi P1 P2 .... Pn
Əsasən nxxx ...21 hesab edilir. 1....21 nPPP olması isə zəruridir.
3
Analitik şəkildə TK ya paylanma funksiyası ilə, ya da ehtimalların sıxlığı ilə
verilir.
X təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası dedikdə elə bir F(x) funksiyası
başa düşülür ki, bu funksiya X TK-in X–dən kiçik qiymət almasını n ehtimalını
müəyyən edir, yəni:
)()( XXPxF
Bu funksiyanın aşağıdakı xassələri vardır:
1. 1)(0 xF
2. )(xF azalmayan funksiyadır , yəni 21 xx olduqda )()( 21 xFxF
3. )(lim xFx
=0 )(lim xFx
=1
4. )()()( aFbFbxaP
5. )(1)( xFxXP
6. Əgər X TK-in mümkün qiymətləri ba; parçasına aiddirsə,
onda
1
0)(xF əgər
bx
ax
Kəsilməz TK –lər üçün onun müəyyən konkret qiymət almasının ehtimalını
müəyyən etmək mümkün deyil.(nöqtəvi ehtimal). Odur ki, kəsilməz TK-i cədvəl
şəklində vermək olmur və əsasən paylanma funksiyasından istifadə olunur.
Praktikada TK-ri məcmu şəkildə təsvir edən ədədlərdən istifadə etmək daha
əlverişli olur. Belə ədədlər TK-in ədədi xarakteristikaları adlanır.Bu
xarakteristikalar içərisində səpələnmə xarakteristikaları (dispersiya, orta kvadratik
uzaqlaşma və riyazi gözləmə)xüsusi yer tutur.
Riyazi gözləmə TK-in orta gözlənilən qiymətini xarakterizə edir, yəni təqribən
onun orta qiymətinə bərabərdir. Bir çox məsələləri həll edən zaman bu kəmiyyəti
bilmək kifayətdir.
M(x) riyazi gözləmə aşağıdakı kimi hesablanır:
4
i
R
i
i XPxM
1
)(
Burada R-X təsadüfi kəmiyyətin bütün mümkün qiymətlərinin sayıdır. Riyazi
gözləməni o hallarda hesablayırlar ki, tədqiq olunan kəmiyyətin mümkün orta
qiymətini hesablamaq lazım gəlsin.
Riyazi gözləmənin xassələri:
CCM )(.1 burada C-sabitdir.
)()()(.3
)()(.2
YMXMYXM
XMCCXM
bxaMbaxM )()(.4
burada a və b sabitlərdir
5.Asılı olmayan TK-lər üçün )()()( YMXMXYM
TK-in davranışını hərtərəfli tədqiq etmək üçün yalnız orta qiymətdən
istifadə kifayət deyil və TK-in mümkün qiymətlərinin onun orta qiymətlərinə
(riyazi gözləməsinə) nəzərən səpələnməsini xarakterizə edəcək ədədi
xarakteristika lazımdır. Belə ədədi xarakteristika olaraq dispersiya çıxış edir.
X TK-in D(X) dispersiyası dedikdə TK-ın onun riyazi gözləməsindən
kənarlaşmasının kvadratının riyazi gözləməsi başa düşülür. Dispersiya aşağıdakı
formula üzrə hesablanır:
)()())(()( 222 XMXMXMXMXD
Diskret TK üçün dispersiya formulası aşağıdakı kimi alınır:
)())(()( 2
1
2
1
2 XMPxPxMxXDR
i
iii
R
i
i
Dispersiyanın xassələri:
1. D(C)=0, burada C sabitdir.
2. D(CX)=C2D(X)
3. )()()( YDXDYXD burada X və Y –asılı olmayan TK-dır.
4. )()( 2 xDabaxD burada a və b –sabitlərdir.
X TK-in (x) orta kvadrat kənarlaşması dedikdə D(x)
dispersiyasının kvadrat kökü başa düşülür
5
)()( xDx
X və Y təsadüfi kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni təsvir etmək üçün
kovariasiyadan ( iki təsadüfi kəmiyyətin xətti asılılığının ölçüsü) və ya
korrelyasiya əmsalından istifadə olunur.
Kovariasiya aşağıdakı formula üzrə hesablanır:
)()()())())((()cov( 1 YMXMXYMYMYXMXMYX
X və Y təsadüfi kəmiyyətlərin korrelyasiya əmsalı dedikdə aşağıdakı
kəmiyyət başa düşülür:
)()( yDxD
xy
yx
xy
xy
X və Y arasında korrelyasiya əmsalı ilə xarakterizə olunan asılılıq
korrelyasiya adlanır. Əgər xy 0 olarsa, onda X və Y korrelyasiya olunmamış
hesab edilirlər. 0xyP olduqda isə X və Y korrelyasiya olunmuş hesab edilir.
Korrelyasiya əmsalının xassələri:
yxxy PP
Pxx
.2
1.1
11.3 xyP
4.Əgər X və Y asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdisə, onda 0xy
5. 1xy şərti yalnız və yalnız o halda ödənir ki, X və Y arasında xətti
funksional asılılıq mövcud olsun.
Əgər X və Y TK-lər asılı kəmiyyətlərdirsə və bir biri ilə korrelyasiya olunurlarsa,
onda onların cəmi və ya fərqinin dispersiyasının hesablanması formulası aşağıdakı
kimi alınacaqdır:
),cov(2)()()( yxyDxDyxD
yxxyyDxDyxD 2)()()(
İndi isə TK-in paylanma qanunlarını nəzərdən keçirək:
TK-lər əsasən müəyyən paylanma qanununa tabe olurlar və ya bu qanunu
kifayət qədər dolğun approksivasiya edirlər. Əgər paylanma qanunu
məlumdursa,onda TK-in bu və ya digər intervala düşməsinin ehtimalını kifayət
qədər dəqiq söyləmək mümkün olur. Ekonometrikada TK-ri təhlil etmək üçün
6
əsasən normal paylanma qanunundan , eləcə də Styudent paylanmasından , )(xiX
kimi oxunur ) kvadrat paylanmasından və Fişer paylanmasından istifadə edilir.
X təsadüfi kəmiyyətin normal paylanması iki parametrlə müəyyən edilir:
m riyazi gözləmə ilə
orta kvadratik uzaqlaşma ilə
Bu paylanma aşağıdakı formula üzrə ifadə edilir:
2
2
2
)(
)(2
1
mx
x ff
Normal paylanma simvolik olaraq X~N(m, ) kimi göstərilir.
Əgər bu ifadədə 1;0 m olarsa, onda U~N(0,1) standartlaşdırılmış normal
paylanma hesab olunur. Bu paylanma üçün
)0()( uUPu
Laplas funsiyasının qiymətləri cədvəli qurulmuşdur. Bu cədvələ
standartlaşdırılmış normal paylanma cədvəli deyilir.
Qeyd edək ki, u>0 olduqda 5,0)()( uuUP olur. U<0 olduqda isə
)(5,0)( uuUP alınır.
Əgər X~N (m, )-dırsa, onda
)()()(
mamb
bxaP
Styudent paylanması (t-paylanma), ıx -kvadrat ( 2x paylanması ) və Fiser
paylanması (F-paylanma ) bir qisim normal təsadüfi kəmiyyətin cəbri
kombinasiyası nəticəsində alınır. Müəyyən şəraitdə real olaraq nəzərdən keçirilən
təsadüfi kəmiyyət və ya onların müəyyən kombinasiyası bu paylanma
qanunlarından birinə tabe ola bilər.
Styudentin və 2x paylanmasının kritik nöqtələri sərbəstlik dərəcələrinin
sayına görə (bu ədəd məsələnin qoyuluşundan məlumdur), və tədqiqatçı tərəfindən
verilən -ehtimalın əhəmiyyətlilik səviyyəsinə görə müəyyən edilir. Fiser
paylanmasının kritik nöqtələri isə 1 və
2 sərbəstlik dərəcələrinin sayına
(məsələnin şərtindən məlumdur) və əhəmiyyətlilik səviyyəsinə görə tapılır.
7
Beləliklə, baxdığımız iki 1 və 2 sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik C
TK-in kritik nöqtədən böyük olmasının ehtimalı -ya bərabərdir.
Bir çox iqtisadi göstəricilər mahiyyətcə çoxölçülü təsadüfi kəmiyyətlər olan bir
neçə ədədlə müəyyən edilir. Məsələn əhalinin həyat səviyyəsinin müəyyən
edilməsində adambaşına düşən ÜDM , gəlirlərin bölüşdürülməsi, malların və
xidmətlərin mövcudluluğu , ömürün uzunluğu və s. kimi göstəricilərdən istifadə
edilir.
Bir sıra iqtisadi göstəricilərin qiymətləri digər göstəricilərin qiymətlərini
müəyyən edir. Odur ki, iqtisadi təhlilin əsas vəzifələrindən biri müxtəlif iqtisadi
göstəricilər (faktiki olaraq TK-lər) arasındakı qarşılıqlı əlaqələrin mövcudluğunu
və onun gücünü müəyyən etməkdir.
Buna görə də ekonometrik təhlil aparılan zaman əsas vəzifələrdən biri TK
qarşılıqlı əlaqələrinin tədqiqidir.
n sayda nxxx ,...,, 21 TK-lər yığımının təsviri üçün aşağıdakı anlayışlardan istifadə
edilir.
Birgə ehtimal
),..,.(),( 22,11,...21...21nnnxxx
xxxxxxPxxxPn
Birgə paylanma funksiyası
),...(),( 22,11,...,21 nnn xxxxxxPxxxF
Ehtimalların birgə sıxlığı
n
n
n
nXXX
xxxFxxxf
...,
),(),(
21
,...,21
,...,21
Riyazi statistikanın metodlarını bilmək və onlardan istifadə etmək bacarığı
səmərəli ekonometrik təhlilin zəruri şərtlərindən biri hesab edilir.
Tutaq ki, müəyyən kəmiyyət xarakteristikasına nəzərən bircins
obyektlərin yığımı nəzərdən keçirilir.
Tədqiq olunan X TK –in bütün mümkün qiymətləri çoxluğu baş
məcmu adlanır.Yığımın tədqiqini asanlaşdırmaq üçün onları
formalaşdıran məlumatları müxtəlif formada nizamlayırlar. Bu formalara
misal olaraq artıma görə nizamlamanı, üst-üstə düşən qiymətlərə görə
8
nizamlamanı , intervallara görə nizamlamanı və s. göstərmək olar. Əsasən
bu qiymətləti azalmamaq əlamətinə görə nizamlayırlar: nxxx ...21 . X
TK-in maksimal və minimal qiymətləri arasındakı fərqə yığımın əhatəsi
deyilir.
Tutaq ki, yığımda müxtəlif qiymətlərin sayı )( nRR -ə bərabərdir. Eləcə
də fərz edək ki, nxxx ...21 -dir. ix Rı ,....,2,1 qiymətləri variantlar
adlanır.
İstənilən X TK- üçün aşağıdakı ədədi xarakteristikalar məlum olmalıdır;
riyazi gözləmə
dispersiya
orta kvadratik uzaqlaşma
Tutaq ki, baş məcmumun həcmi N-ə bərabərdir. Onda X TK-in riyazi
gözləməsi baş orta olacaqdır.
N
ı
ir xN
X1
1
X TK-in dispersiyasi olaraq baş dispersiya çıxış edəcəkdir.
2
1
)(1
N
ı
rir xxN
D
Baş dispersiyanın kvadrat kökü baş orta kvadratik uzaqlaşma hesab
ediləcəkdir.
rr D
Beləliklə, baş ədədi xarakteristikaları hesablamaq üçün bütün məcmu tədqiq
edilməlidir. Real şəraitdə əsasən yığımlarla işlənildiyi üçün yuxarıda göstərdiyiniz
baş xarakteristikaların yığım ədədi xarakteristikalarını –yığım ortasını, yığım
dispersiyasını və yığım orta kvadratik kənarlaşmanı müəyyən etmək lazım gəlir.
Yığım ortası dedikdə yığımın müşahidə qiymətlərinin hesabi ortası başa
düşülür.
n
ı
ixn
X1
1 (1)
9
Əgər yığım statistik şəklində verilmişdirsə, onda yığımın ortası aşağıdakı
formula üzrə hesablanır:
R
ı
ii xnn
X1
1 (2)
Baş dispersiyanın qiyməti olaraq yığım dispersiyası çıxış edir.
2
1
)(1
n
ı
Bi xxn
D (3)
(Biz gələcəkdə yazılışı sadələşdirmək üçün Bx -nı x ilə işarə edəcəyik )
Çox zaman D -ni hesablamaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edilir:
222
1
2 )(21
xxxxxxn
D BBi
n
ı
i
(4)
Yığım statistik sıra şəklində verildikdə alırıq:
)(1 2
1
Bi
R
ı
i xxnn
D
(5)
Yığım dispersiyasından alınmış kvadrat kök yığımın orta kvadratik
kənarlaşması adlanır.
222
1
)(1
xxxxnn
D Bi
R
ı
iBB
(6)
Yığımın variasiya əmsalı (V) yığımın orta kvadratik kənarlaşmasının
yığımın ortasına nisbətinin %-lə ifadəsi kimi hesablanır:
%100x
V B (7)
Variasiya əmsalı ölçüsüz kəmiyyət olub, müxtəlif ölçülü iki yığımın
səpələnməsi kəmiyyətini müqayisə etməyə imkan verir.
İki təsadüfi kəmiyyətin əlaqəsinin daha çox istifadə olunan
xarakteristikası olaraq onların xətti asılılığının ölçüsü –kovariasiya və korelyasiya
əmsalı çıxış edir. Onların qiymətləri olaraq Sxy yığım kovarvasiyası və Rxy
yığımın korrelyasiya əmsalı çıxış edir.
yxyxyyxxn
S ii
n
ı
xy
))((1
1
(8)
10
2222)()( yyxx
yxyx
yX
Sr
BB
xy
xy
(9)
Burada ii yxn
yx 1 -dir.
İndi isə statistik qiymətləndirmə və hipotezlərin yoxlanmasına keçək.
Tutaq ki, baş məcmunun müşahidə olunan X TK-in müəyyən bir parametri
qiymətləndirilir. Tutaq ki, baş məcmudan n həcmli nxxx ,...,2,1 yığım ayrılmışdır və
bu yığıma görə parametrinin * qiyməti tapıla bilər.
parametrinin * nöqtəvi qiyməti dedikdə, bu parametrin n həcmli yığıma
görə tapılmış ədədi qiyməti başa düşülür.
Məsələn m riyazi gözləmənin və )(x orta kvadratik uzaqlaşmanın qiymətləri
üçün alırıq:
;1
1
n
i
ixn
xm 2* )(1
xxn
iB
Əgər parametrinin riyazi gözləməsi qiymətləndirilən bu parametrin
özünə bərabərdirsə, yəni M( *)= , onda * qiyməti parametrinin
sürüşdürülməmiş qiyməti adlanır.
İsbat olunub ki,
n
i
ixn
x1
1
Yığım ortası baş məcmunun M(x) riyazi gözləməsinin sürüşdürülməmiş və
əhəmiyyətli qiymətidir.
İsbat edilib ki,
2
1
)(1
B
n
i
iB xxn
D
Yığım dispersiyası üçün
n
nDB
12
olduğundan, bu dispersiya baş dispersiyası kəsirlə (azlıqla) ifadə edir. Odur ki,
D(x) dispersiyasını qiymətləndirmək üçün düzəldilmiş dispersiyadan istifadə
edilir:
11
2
1
2
1
2 )(1
1)(
1
1
1Bii
R
i
B
n
i
iB xxnn
xxn
Dn
nS
S2 düzəldilmiş dispersiya X TK-in D (x) dispersiyasının sürüşdürülməmiş
və əhəmiyyətli qiymətidir.
* nöqtəvi qiymət alındıqdan sonra onun ehtibarlılığı haqqında məlumatlara
malik olmaq lazımdır. Əgər yığımın ölçüsü böyük deyilsə, bu daha vacibdir. Odur
ki, nöqtəvi qiymət interval qiyməti ilə qiymətləndirilən - parametrinin dəqiq
qiymətinin əvvəlcədən verilmiş ehtimalı ilə yerləşdiyi )( 21 intervalı ilə
tamamlanmalıdır. Bu intervalın tapılması interval qiymətləndirilməsi, intervalın
özü isə ehtibarlılıq intervalı adlanır. Bu halda qiymətləndirilən parametrinin
)( 21 intervalına düşməsinin ehtibarlılıq ehtimalı adlanır.
1)( 21P
Ehtibarlılıq intervalının qurulmasının ümumi sxemi aşağıdakı kimidir:
1. ),( xf məlum paylanmalı X TK-in baş məcmundan n həcmli yığım ayrılır və
bu yığıma görə parametrinin * qiyməti tapılır.
2. parametrlə əlaqəli və f (y, ) məlum ehtimal sıxlığına malik olan (y, ) TK
qurulur.
3. əhəmiyyətlilik səviyyəsi verilir.
4. TK-in Y ehtimal sıxlığından istifadə edilərək elə C1 və C2 ədədləri seçilir ki,
1),())((2
121 dyyfCyCP C
c
şərti ödənsin.
C1 və C2 -nin qiymətləri aşağıdakı şərtlərdən seçilir.
2/))(( 1 CyP ; 2/))(( 2 CyP
5. 1C
2)( Cy bərabərsizliyi sətri metodlarla üçün eynigüclü aşağıdakı
bərabərsizliyə transformasiya edilir:
21
(21 , ) məhz üçün ehtibarlılıq intervalıdır.
Ekonometrik modellərin əksəriyyəti çoxsaylı yaxşılaşdırma və dəqiqləşdirmə
tələb edir. Bu məqsədlə bu və ya digər müddəanın ödənib-ödənməməsinin
12
yoxlanması, tapılmış qiymətlərin keyfiyyətinin təhlili, alınmış nəticələrin
həqiqiliyi ilə bağlı müvafiq hesablamalar aparılmalıdır. Bu hesablamalar bir qayda
olaraq hipotezlərin statistik yoxlanması sxemi üzrə aparılır.
Paylanma qanunu və ya məlum paylanmanın parametrləri haqqındakı
hipotezə statistik hipotez deyilir. Birinci halda hipotez qeyri- parametrik, ikinci
halda isə parametrik adlanır.
Yolanmalı olan 0 hipotezi sıfır (əsas) hipotez adlanır. Sıfır hipotenizi ilə
yanaşı həm də 0 hipotezi qəbul olunmadığı halda qəbul ediləcək 1 hipotenizi
yoxlanılır. Bu hipotezə alternativ (rəqabət aparan) hipotez deyilir.
Statistik hipotezanın yoxlanması yığımın məlumatları əsasında aparılır. Bunun
üçün dəqiq və ya təqribi qiyməti məlum olan xüsusi olaraq seçilmiş TK-dən
(statistikadan, kriteriyadan) istifadə edilir. Bu kəmiyyəti aşağıdakı kimi işarə
edirlər:
U (və ya Z) - əgər TK, standartlaşmış normal paylanmaya malikdirsə;
T- əgər TK Styudent qanunu üzrə paylanmışdırsa;
2x - əgər TK 2x qanunu üzrə paylanmışdırsa;
F- əgər TK Fiser paylanmasına malikdirsə.
Beləliklə, sıfır hipotezini yoxlamaq üçün istifadə edilən K təsadüfi kəmiyyət
statistik kriteriya adlanır. Müəyyən bir kriteriya seçildikdən sonra onun bütün
mümkün qiymətləri iki kəsişməyən alt çoxluğu ayrılır: onlardan birinə kriteriyanın
sıfır hipotezinin qəbul edilmədiyi qiymətləri daxil edilir, ikincisinə isə onun qəbul
edildiyi qiymətlər daxil edilir. Birinci alt çoxluğu kritik oblast , ikincisinə isə
hipotezin qəbul edilməsi oblastı deyilir.
Statistik hipotezlərin yoxlanmasının əsas prinsipini aşağıdakı kimi formalaşdırmaq
olar:
Əgər K kriteriyasının yığıma görə hesablanmış müşahidə qiyməti kritik oblasta
daxildirsə, onda 0 hipotezi qəbul olunmur. Əgər K kriteriyasının müşahidə qiyməti
hipotezin qəbul edilməsi oblastına düşürsə, onda 0 hipotezi qəbul edilir.
Kritik oblastla hipotezin qəbulu oblastın bir-birindən ayıran nöqtələrə kritik
nöqtələr deyilir:
13
Hipotezin yoxlanmasının ümumi sxemini tərtib edək:
1. Yoxlanacaq (sıfır–H0) və alternativ (H1) hipotezlərin formalaşdırılması
2. Uyğun əhəmiyyətlilik səviyyəsinin seçilməsi
3. Yığımın n həcminin müəyyən edilməsi
4. H0-i yoxlamaq üçün K kriteriyasının seçilməsi
5. Kritik oblastın və hipotezin qəbulu oblastının müəyyən edilməsi
6. Kriteriyanın Kmüş müşahidə qiymətinin hesablanması
7. Statistik qərarın qəbul edilməsi
Bu sxemi korrelyasiya əmsalının əhəmiyyətliliyi haqqında hipotezin
yoxlanması misalında aydınlaşdıraq.
Ekonometrik təhlilin mühüm elementlərindən biri müxtəlif göstəricilər
arasında əlaqənin olmasının müəyyən edilməsidir. Əsasən təhlili ən sadə- xətti
asılılıqdan başlayırlar. X və Y iki TK arasında əhəmiyyətli xətti asılılığın
mövcudluğunu təyin etmək üçün korrelyasiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyi
haqqında hipotez yoxlanmalıdır. Bu halda aşağıdakı hipotez yoxlanılır:
0:
0:
)1(
1
0
xy
xy
0 -ı yoxlamaq üçün n həcmli (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn) yığımı üzrə
21
2
xy
xy
r
nrT
statistikası qurulur. Burada rxy – yığım üzrə korrelyasiya əmsalı olub,
2222 yyxx
yxyxrxy
formulası üzrə hesablanır.
0 hipotezinin doğru olması halında T statistikası sərbəstlik dərəcələrinin
sayı 2 nv olan Styudent paylanmasına malik olur. Styudent paylanmasının kritik
nöqtələri cədvəlinə əsasən verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsi və (n-2) sərbəstlik
dərəcələrinin sayına görə t /2, n-2 kritik nöqtəni tapırıq.
Əgər
14
2,2/2
1
2
n
xy
xy
müş trv
nrT
olarsa, onda 0 -ı qəbul etməməyə heç bir əsas yoxdur. Əgər
müşT > 2,2/. nt olarsa, 0 hipotezi doğru deyil və alternativ )1(
1 hipotezi qəbul
edilməlidir.
Əgər 0 qəbul edilmirsə, deməli korrelyasiya əmsalı statistik
əhəmiyyətlidir (sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir). Deməli, X və Y
korrelyasiya olunublar, yəni onlar arasında xətti asılılıq vardır.
Mövzu 6. Cüt xətti regressiya.
Plan:
1. İqtisadi dəyişənlərin qarşılıqlı əlaqələri.
2. Regressiya təhlilinin mahiyyəti.
3. Cüt xətti regressiya.
4. Ən kiçik kvadratlar metodu.
15
1. Bütün dövrlərdə iqtisad elminin əsas vəzifələrindən biri iqtisadi inkişafın
mümkün yolları haqqında təsəvvür formalaşdırmaq, bu və ya digər situasiyanı
proqnozlaşdırmaq, iqtisadi göstəricilərin gələcək vəziyyətlərini öncədən görmək,
iqtisadi situasiyanı arzu olunan istiqamətdə dəyişdirməyin mexanizmlərini
müəyyən etmək olmuşdur. Lakin bir çox hallarda müxtəlif iqtisadçılar bu və ya
digər problemi həll etmək üçün fərqli, çox zaman da bir-birinə zidd olan
mexanizmlər təklif edirlər. Qərar qəbul edən şəxs istehsalı idarə etmək üçün bu
mümkün idarəetmə strategiyalarından hər hansı birini seçir və müəyyən nəticələr
əldə edir. Bu nəticənin yaxşı və ya pis nəticə olduğunu, bundan daha yaxşını əldə
etməyiin mümkün olub-olmadığını qiymətləndirmək isə çox çətindir. Belə ki,
iqtisadi situasiya tam dəqiqliklə praktik olaraq heç vaxt təkrarlanmır və eyni şərtlər
daxilində iki fərqli idarəetmə strategiyasını tətbiq etmək və alınan nəticələri
müqayisə etmək mümkün olmur. Odur ki, iqtisadi təhlilin əsas vəzifələrindən biri
bu və ya digər şəraitin yaradılması zamanı müəyyən bir iqtisadi sistemin inkişafını
proqnozlaşdırmaqdır. Yalnız bir yolla tədqiq olunan prosesin daxili hərəkətverici
qüvvələrini dərk etməklə onun inkişafını səmərəli idarə etmək vərdişləri qazanmaq
mümkündür.
İqtisadi sistemin hər bir iqtisadi göstəricisinin davranışı və qiyməti sonsuz
sayda faktorlardan asılıdır və təbii ki, onların hamısını nəzərə almaq
mümkünsüzdür. Buna heç ehtiyac da yoxdur. Çünki, tədqiq olunan iqtisadi
göstəriciyə təsir edən faktorlar içərisində yalnız məhdud bir qisim faktorların təsiri
həqiqətən də əhəmiyyətlidir. Qalan faktorların təsiri o qədər əhəmiyyətsizdir ki,
onların nəzərə alınmaması iqtisadi sistemin davranışında əhəmiyyətli
kənarlaşmalar yaratmayacaqdır. Odur ki, yalnız real olaraq üstünlük təşkil edən
faktorların aşkar edilməsi və onların iqtisadi sistemin modelində əks etdirilməsi
situasiyanın keyfiyyətli təhlili, proqnozlaşdırılması və idarə olunmasının mühüm
şərti hesab edilir.
İqtisadi nəzəriyyə müxtəlif iqtisadi göstəricilər arasında çoxsaylı
qərarlaşmış və stabil əlaqələr aşkar etmiş və tədqiq etmişdir. Məsələn, tələbin və
ya istehlakın məhsullara olan qiymətlərdən və gəlirlərdən asılılığı, işsizliyin
16
səviyyəsi ilə inflyasiya arasındakı asılılıq, istehsalın həcminin istehsal
faktorlarından asılılığı, əmək məhsuldarlığı ilə mexanikləşmə səviyyəsi
arasındakı asılılıq və s. kifayət qədər yaxşı öyrənilmişdir.
Hər bir iqtisadi siyasətin əsasını iqtisadi dəyişənlərin tənzimlənməsi təşkil
edir. Bu siyasət həmin dəyişənlərin bir-birilə necə əlaqəli olduğu haqqında
biliklərə arxalanmalıdır. Qeyd edək ki, bu biliklər qərar qəbul edən siyasətçi və ya
sahibkar üçün həlledici əhəmiyyət kəsb edir. Məsələn, bazar iqtisadiyyatında
inflyasiyanın tempini bilavasitə tənzimləmək mümkün deyil, lakin bu tempə
fiskal (büdcə-vergi) və monetar (kredit-pul) siyasətlərlə təsir göstərmək
mümkündür. Odur ki, həm də pul təklifi və qiymətin səviyyəsi arasındakı asılılıq
tədqiq edilməlidir.
İqtisadi sistemlərə ətraf mühitin qeyri-müəyyənliklərinin təsiri güclü
olduğundan, qərarlaşmış asılılıqlar da müxtəlif şəkildə təzahür edə bilərlər. Az
öyrənilmiş və stabil olmayan asılılıqların təhlili və modellərinin qurulması isə
daha mürəkkəb məsələdir. Lakin bu tip asılılıqların modellərinin qurulması
ekonometrikanın vacib vəzifələrindən biri hesab edilir. Qeyd edək ki, belə iqtisadi
modelləri onlara daxil edilən dəyişənlərin real statistik məlumatlardan istifadə
etməklə statistik təhlilini aparmadan qurmaq, yoxlamaq və təkmilləşdirmək qeyri-
mümkündür. Belə təhlilin instrumentarisi olaraq ekonometrik metodlar, o
cümlədən regressiya və korrelyasiya təhlili çıxış edir. Asılılıqların statistik təhlili
öz-özlüyündə hadisələr arasındakı səbəbiyyət əlaqələrinin mahiyyətini açıqlamır,
daha doğrusu bu təhlil bir dəyişənin digər dəyişənə hansı səbəbdən təsir etdiyini
müəyyən edə bilmir. Bu məsələlərin həlli başqa müstəvidə yerləşir və əlaqələrin
keyfiyyət təhlilini tələb edir. Bu təhlil ya statistik təhlili qabaqlamalı, ya da
onunla paralel aparılmalıdır.
Təbiət elmlərində rast gəlinən asılılıqlar ciddi (funksional) asılılıqlardır,
yəni dəyişənlərdən birinin hər bir qiymətinə digər dəyişənin yeganə qiyməti
uyğun gəlir.
İqtisadi sistemləri xarakterizə edən iqtisadi dəyişənlər arasında isə bu tip
asılılıqlara əsasən rast gəlinmir. Məsələn, gəlirlə istehlak arasında, qiymətlə tələb
17
arasında, əmək məhsuldarlığı ilə əmək stajı arasında ciddi asılılıq mövcud deyil.
Bunun səbəblərini aşağıdakı kimi izah etmək olar:
1) Bir dəyişənin digər dəyişənə təsiri təhlil edilən zaman bu faktora təsir
edən çoxsaylı digər faktorlar nəzərə alınmır;
2) Bu təsir birbaşa xarakterli olmayıb, digər faktorlar vasitəsilə də
dəyişənə təsir edə bilər;
3) Təsirlərin bir çoxu təsadüfi təbiətli olur və s.
Odur ki, iqtisadi sitemlərdə dəyişənlər arasındakı asılılıqlar funksional
deyil, korrelyasiya (və ya statistik) tipli asılılıqlara aid edilir.
Belə asılılıqların aşkar edilməsi, qiymətləndirilməsi və təhlili
asılılıqların riyazi ifadələrinin qurulması və onların parametrlərin
qiymətləndirilməsi ekonometrikanın mühüm bölmələrindən biri hesab
edilir.
Əgər kəmiyyətlərdən birinin dəyişməsi digərinin paylanmasının
dəyişməsinə gətirib çıxardırsa, onda belə asılılığa statistik asılılıq deyəcəyik.
Məsələn, statistik asılılıq özünü dəyişənlərdən birinin dəyişməsi zamanı digər
kəmiyyətin orta qiymətinin dəyişməsinda göstərir. Bu tip statistik asılılığa
korrelyasiya asılılığı deyilir.
2. İqtisadi sistemlərin X və Y iki dəyişəni arasındakı qarşılıqlı əlaqələri
iki variantda nəzərdən keçirmək olar:
1. X və Y dəyişənlərinin hər ikisi bərabərqiymətli hesab edilir, yəni onlar
birinci və ikinci (asılı olmayan və asılı) dəyişənlərə bölünməyiblər.
2. X və Y dəyişənləri arasındakı qarşılıqlı əlaqələr öyrənilən zaman
dəyişənlərdən biri asılı olmayan (izah edici), digəri isə asılı (izah olunan) dəyişən
kimi qəbul edir.
Birinci variantda tədqiqatın əsas məqsədi X və Y dəyişənləri arasında
qarşılıqlı əlaqələrin mövcudluluğunun və gücünün aşkar edilməsidir. Məsələn,
məhsulun qiyməti və ona olan tələbin həcmi arasında, kartof məhsulu ilə buğda
məhsulu arasında, nəqliyyatla hərəkətin intensivliyi ilə qəzaların sayı arasında
qarşılıqlı əlaqənin tədqiqi buna misal ola bilər. Belə dəyişənlər arasındakı xətti
18
asılılığın gücünün tədqiqi bizi əsas ölçüsü korrelyasiya əmsalı olan korelyasiya
təhlili oblastına gətirib çıxardır. Çox ehtimal ki, bu halda əlaqə ümumiyyətlə
istiqamətlənmiş xarakterdə olmayacaqdır. Məsələn kartofun və buğdanın
məhsuldarlığı eyni bir istiqamətdə dəyişsə də aydındır ki, onlardan heç birinə
müəyyənedici dəyişən kimi baxmaq olmaz.
İkinci variantda birinci dəyişən digərinin dəyişməsində səbəb rolunu oynaya
bilər. Məsələn gəlirin artması istehlakın artmasına gətirib çıxardır. Qiymətin
artması isə tələbi azaldır. Faiz dərəcəsinin azalması investisiyaları artırır.
Valyutanın mübadilə kursunun artması xalis ixracın həcmini azaldır və s. Lakin,
izahedici dəyişənin (izahedici dəyişənlər yığımının) hər bir konkret qiymətinə
digər dəyişənin bir deyil, çoxsaylı qiymətlərinin uyğun gəlməsi baxımından belə
asılılıq birqiyməti olmur. Başqa sözlə desək, izahedici dəyişənin (izahedici
dəyişənlər yığımının) hər bir konkret qiymətinə asılı dəyişənin müəyyən ehtimalı
paylanması uyğun gəlir (bu paylanmaya təsadüfi kəmiyyət kimi (TK) baxılır).
Odur ki, asılı olmayan dəyişənin (dəyişənlərin) asılı dəyişənə “orta hesabla” neçə
təsir etdiyi öyrənilir. Bu tip asılılıq
)()/( xfxyM (1)
kimi ifadə edilir və Y in X -ə görə reqressiya funksiyası adlanır. Bu halda X-i
asılı olmayan (izahedici) dəyişən və ya reqressor, Y - isə asılı (izah olunan)
dəyişən adlandırırlar. İki TK-in asılılığı öyrənilən zaman tədqiqat cüt reqressiya
adlanır. Bir neçə dəyişənin
1/( xyM ,2x ,..., nx ) f (
1(x ,2x ,..., nx ) (2)
şəklində funksiya ilə göstərilən asılılığı isə çox reqressiya adlandırılır.
Reqressiya (geriyə hərəkət, əvvəlki vəziyyətə qayıdış) terminini tədqiqat
prosesində ilk dəfə XIX əsrin sonlarında Frensis Qalton gətirmişdir və bu
termindən valideynlərin boyu ilə uşaqların boyu arasındakı asılılığın
öyrənilməsində istifadə etmişdir. Qalton müəyyən etmişdir ki, çox ucaboy
19
valideynlərin uşaqlarının boyu orta hesabla valideynlərin orta boyundan aşağıdır.
Boyu çox balaca olan valideynlərin uşaqlarının orta boyu isə, əksinə yüksək olur.
Həm birici , həm də ikinci halda uşaqların orta boyu həmin regionda adamların
orta boyuna qayıtmağa meylli olur. Regressiya terminin seçilməsi də məhz bu
asılılıqla bağlıdır.
Müasir dövrdə reqressiya dedikdə, izahedici dəyişənlərlə asılı dəyişənin
şərti riyazi gözləməsi (orta qiyməti) arasında mövcud olan və birincilərin qeyd
edilmiş qiymətlərində bu orta qiymətin proqnozlaşdırılması məqsədi ilə
qurulan funksional asılılıq başa düşülür.
Beləliklə, asılı dəyişənin real qiymətləri bütün hallarda onun şərti riyazi
göözləmələri ilə üst-üstə düşmür və izahedici dəyişənin (izahedici dəyişənlər
yığımının) eyni qiymətlərində müxtəlif qiymətlərə malik ola bilərlər. Odur ki,
faktiki asılılıq mahiyyətcə təsadüfi kəmiyyət olan və asılılığın stoxastik təbiətini
əks etdirən 𝜀 toplananı ilə tamamlanmamalıdır. Onda aydındır ki, asılı və
izahedici dəyişən (dəyişənlər) arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi ifadə olunacaqdır:
)/( xyMy (3)
),...,/( 21 mxxxyMy (4)
(3) və (4) ifadələrinə regressiya modelləri (regressiya tənlikləri) deyilir.
Regressiya modellərində 𝜀 təsadüfi kəmiyyətin (kənarlaşmanın) iştirakının
zəruriliyini müxtəlif şəkildə əsaslandırmaq olar. Bu səbəblərdən daha vacibləri
aşağıdakılardır:
1. Reqressiya modelinə bütün izahedici dəyişənlərin daxil edilməməsi
2. Modelin funksional formasının düzgün seçilməməsi
3. Dəyişənlərin agregasiyası
4. Ölçmələrin səhvləri
5. Statistik məlumatların məhdudluğu
6. İnsan faktorunun təsirinin qeyri-müəyyənliyi
Bu səbəbləri daha ətraflı nəzərdən keçirək.
20
Modelə bütün izahedici dəyişənlərin daxil edilməməsinin 𝜀 təsadüfi
faktorun qarşıya çıxmasına səbəb olmasını onunla izah etmək olar ki, hər bir
reqressiya modeli real iqtisadi sistemin sadələşdirilmiş formal riyazi
təsviridir. Real şərait isə bir çox faktorların mürəkkəb qarşılıqlı
əlaqələrindən ibarətdir və onların bir çoxu modeldə öz əksini tapmır.
Nəticədə asılı dəyişənin real qiymətləri model qiymətlərindən fərqlənir.
Msələn, məhsula olan tələb (Q) onun qiyməti (P) əvəzedici məhsulların
qiymətləri ilə (PS), tamamlayıcı məhsulların qiymətləri ilə (PC)
istehlakçıların gəlirləri ilə (S), onların sayı ilə (N), zövqləri ilə (T), istəkləri
ilə (W) və s. ilə müəyyən edilir. Təbii ki, bunlar Q tələbi müəyyən edən
bütün izahedici dəyişənlər deyil və onların hamısını sadalamaq praktik
cəhətdən mümkünsüzdür. Məsələn, biz ənənələri, milli və dini
xüsusiyyətləri, ərzainin coğrafi vəziyyətini, hava şəraitini və bir çox başqa
faktorları nəzərə almadıq. Onların təsiri real müşahidələrin model
müşahidələrindən kənarlaşmasına gətirib çıxaracaqdır. Əgər bu
kənarlaşmaları 𝜀 ilə işarə etsək, onda tələb modeli aşağıdakı şəkil alacaqdır:
),,,,,,,( WTNSPPPfQSCS (5)
Bu halda başqa bir problem də onunla bağlıdır ki, formalaşmış şərtlər
daxilində hansı faktorların həqiqətən də vacib faktorlar olduğunu, hansıları
iş nəzərə almamağın mümkünlüyünü əvvəlcədən müəyyən etmək çətin olur.
Bəzən də müəyyən bir faktoru nəzərə almaq ona görə mümkün olmur ki, bu
faktor üzrə statistik məlumatlar əldə etmək imkanı olmur. Məsələn, ev
təssərrüfatlarının əmanətlərinin kəmiyyəti yalnız onun üzvlərinin gəlirləri
əsasında deyil, həm də onların sağlamlığı əsasında müəyyən edilir. Lakin
fərdlərin sağlamlığı haqqında informasiya sivil ölkələrdə həkim sirri hesab
olunur və açıqlanmır. Bundan başqa bir sıra faktorlar prinsipial olaraq
təsadüfi xarakter daşıyır (məsələn hava şəraiti) və nəticədə modellərin
birqiymətli olmaması daha da artır (məsələn, kənd təsərrüfatı məhsulunun
yığımını əks etdirən model).
21
Modelin funksional formasının düzgün seçilməməsi tədqiq olunan
prosesin zəif öyrənilməsi və ya bu prosesin dəyişkən təbiətli olması ilə
bağlıdır.
Odur ki, bu səbəblər üzündən həmin prosesi modelləşdirən funksiya
səhv seçilə bilər. Bu səhv modelin real şəraitə adekvatlığını aşağı salacaq
və təbii ki, təsadüfi kəmiyyətin qiymətinə təsir edəcəkdir. Məsələn, bir
faktorlu ( x ) istehsal funksiyası ( ) = bxa funksiyası ilə
modelləşdirilə bilər, həqiqətdə isə azalan səmərələlik qanunu nəzərə alan
)10( bxaY b
modeli seçilməli idi. Bundan başqa, izahedici dəyişənlər
də düz seçilməyə bilər.
Dəyişənlərin aqreqasiyasına gəldikdə, qeyd edək ki, bir çox modellərdə
elə faktorlar arasındakı asılılıqlar nəzərdən keçirilir ki, bu faktorların özləri
başqa, daha sadə dəyişənlərin mürəkkəb kombinasiyasından ibarətdir.
Məsələn, əgər asılı dəyişən olaraq məcmu tələb çıxış edirsə, onda elə bir
asılılığın təhlili aparılacaq ki, bu təhlildə izahedici dəyişən olaraq fərdi
tələblərin mürəkkəb kombinasiyası çıxış edəcəkdir. Nəticədə real qiymətlər
model qiymətlərindən fərqlənəcəkdir.
İqtisadi sistemin modeli nə qədər keyfiyyətli olsa da, dəyişənlərin
ölçmələrinin səhvləri hökmən model qiymətlərinin emprik qiymətlərdən
kənarlaşmasında əks olunacaq və bu da təsadüfi kəmiyyətin qiymətinə təsir
göstərəcəkdir.
Statistik məlumatların məhdudluğu modellərin kəsilməz funksiyalarla
ifadə olunması, istifadə olunan informasiya bazasının isə diskret struktura
malik olması ilə bağlıdır. Yəni, bir çox hallarda iqtisadi sistemlərin
modelləri kəsilməz funksiyalarla ifadə edilir. Lakin bu modellərin qurulması
prosesində istifadə olunan məlumatlar toplusu diskret struktura malik olur.
Bu uyğunsuzluq təsadüfi kənarlaşmada öz əksini tapır.
İnsan faktorunun qeyri-müəyyənliyi, daha doğrusu insanın davranışının
nəticəsinin əvvəlcədən birqiymətli müəyyən edilməsinin mümkünsüzlüyü
22
ən keyfiyyətli modeli də “xarab” edə bilər. Doğurdan da modelin formasının
düzgün seçilməsi, izahedici dəyişənlərin diqqətcə seçimi halında da hər bir
fərdin davranışını proqnozlaşdırmaq qeyri-mümkündür.
Beləliklə, təsadüfi kəmiyyət yuxarıda sadaladığımız faktorların və
eyni zamanda bir çox başqa faktorların təsirinin inikasıdır.
Mövcud emprik məlumatlara və tədqiqatın məqsədlərininə cavab
verən keyfiyyətli reqressiya tənliyinin qurulması kifayət qədər mürəkkəb və
çox pilləli prosesdir. Bu prosesi 3 mərhələy ayırmaq olar:
1) Reqressiya tənliyinin formulasının seçilməsi;
2) Seçilmiş tənliyin parametrlərinin müəyyən edilməsi;
3) Tənliyin keyfiyyətinin təhlili və tənliyin emprik məlumatlara
adekvatlığının yoxlanması, tənliyin təkmilləşdirilməsi.
Dəyişənlərin əlaqə formulasının seçilməsi rreqressiya tənliyinin
spesifikasiyası adlanır. Cüt reqressiya halında əlaqə formulasının seçilməsi
korrelyasiya sahəsinə (səpələnmə diaqramı) görə aparlır. Korrelyasiya sahəsi
dedikdə, real statistik məlumatların dekart koordinat sistemində nöqtələr
şəklində qrafiki təsviri başa düşülür. Bu halda hər bir nöqtənin absisi x
izahedici dəyişənin qiymətinə, ordinatı isə y asılı dəyişənin qiymətinə uyğun
gəlir. Aşağıdakı şəkildə bu səpələnmənin 3 situasiyası göstərilmişdir:
23
Şəkil 1. a-da iqtisadi iqtisadi sistemin X və Y dəyişənləri arasındakı
əlaqə xətti əlaqəyə yaxındır və 1 düz xətti emprik nöqtələrə kifayət qədər
yaxşı uyğun gəlir. Odur ki, bu halda X və Y arasındakı asılılıq olaraq
= b0+b1 X xətti funksiyanı seçmək məqsədəuyğundur.
Şəkil 1-6 –də X və Y arasındakı qarşılıqlı əlaqənin qrafiki təsviri
cbXaXy 2 kvadratik funksiyaya (2 xətti) daha yaxındır və bu real asılılığı
əks etdirmək üçün istifadə edəcəyimiz istənilən düz xəttdən (1 xətti) real nöqtələrin
sapmaları daha əhəmiyyətli və qeyri-təsadüfi olacaqdır.
Şəkil 4.C –də isə X və Y arasında aşkar qarşılıqlı əlaqə mövcud deyil.
Hansı əlaqə formasını seçsək də onun spesifikasiyası və parametrizasiyası
(tənliyin əmsallarının müəyyən edilməsi) uğurlu olmayacaqdır.
Məsələn müşahidələr “buludunun” mərkəzindən keçirilmiş və bir-birinə
əks meylə malik 1 və 2 düz xətlərindən heç biri X dəyişəninin qiymətlərinə
görə dəyişənin gözlənilən qiymətləri haqqında nəticəyə gəlmək üçün yararlı
deyil.
Çoxreqressiya halında isə, asılılığın yararlı növü haqqında qərarın
çıxarılması daha mürəkkəb tədqiqatlar aparılmasını tələb edir.
3. Cüt xətti reqressiya.
Əgər reqressiya tənliyi xəttidirsə, onda tədqiqat xətti reqressiya adlanır. Xətti
reqressiya modeli iqtisadi göstəricilər arasındakı asılılıqların çox yayılmış və sadə
tənliyi hesab edilir. Bundan başqa, qurulmuş xətti tənlik ekonometrik təhlilin
başlanğıc nöqtəsi hesab oluna bilər.
Məsələn Keynsin C fərdi istehlakla i mövcud gəlir arasındakı asılılığı
modelləşdimək üçün təklif etdiyi ibCC 0 formulasını bu tip tənlik hesab
etmək olar. Burada 0C - avtonom istehlakın miqdarı )10( bb istehlaka hüdud
meylidir. Lakin konkret məlumatların təhlilində bu modelən istifadə zamanı biz
həmişə müəyyən xəta ilə qarşılaşacağıq. Çünki bu göstəricilər arasında ciddi
funksional asılılıq mövcud deyil. Digər tərəfdən, danılmaz həqiqətdir ki, böyük
24
gəlirə malik insanlar (ev təsərrüfatları) orta hesabla daha böyük istehlaka malik
olurlar.
Yuxarıdakı mülahizələrə əsaslanaraq belə bir qənaətə gəlmək olar ki, xətti
reqressiya (nəzəri xətti reqressiya tənliyi) dedikdə, y asılı dəyişənin )/( ixxyM
şərti riyazi gözləməsi ilə bir izahedici dəyişən- X arasındakı xətti funksiya başa
düşülür.
ii xxxyM 10)/( (5)
Qeyd edək ki, bu halda tənliyin 0 və 1 parametrlərinə görə xəttiliyi
prinsipial hesab edilir.
y -in hər bir iy fərdi qiymətinin müvafiq şərti riyazi gözləmədən kənarlaşması
faktını əks etdirmək üçün (5) ifadəsinə i təsadüfi toplanana daxil edilməlidir:
iiiii xxxyMy 10)/( (6)
(6) ifadəsi nəzəri xətti reqressiya modeli adlanır; 10 , - reqressiyanın nəzəri
parametrləri (nəzəri əmsalları), i - təsadüfi kənarlaşmadır.
Deməli, iy fərdi qiymətlər iki komponentin- ( ix10 ) sistematik
komponentin və i -təsadüfi komponentin cəmi kimi müəyyən edilir. Nəzəri xətti
reqressiya modeli ümumi şəkildə aşağıdakı kimi ifadə edilir.
xy 10 (7)
Reqressiyanın nəzəri əmsallarının qiymətlərini müəyyən etmək üçün baş
yığımın X və Y dəyişənlərinin bütün qiymətlərini bilmək və istifadə etmək
zəruridir. Bunu etmək isə praktik baxımdan mümkünsüzdür.
Beləliklə, xətti reqressiya təhlilin əsas vəzifəsi X və Y dəyişənlərinin mövcud
);( ii yx ni ,...2,1 statistik məlumatlarına görə aşağıdakılara nail olmaqdır:
a) 0 və 1 məchul parametrlərin ən yaxşı qiymətlərini əldə etmək;
b) modelin parametrləri haqqında statistik fərziyələri yoxlamaq;
c) modelin statistik məlumatlarla kifayət qədər yaxşı uzlaşıb-
uzlaşmadığını (modelin müşahidə məlumatlarına adekvatlığını)
yoxlamaq.
25
Deməli, məhdud həcmli seçimə görə biz empirik reqressiya tənliyi
adlandırılan aşağıdakı tənliyi qura bilərik:
ixbby 10 (8)
burada )/( ixxyMy şərti riyazi gözləmənin qiyməti və 0b və 1b - 0 və
1
naməlum parametrlərin qiymətləridir (bu qiymətləri emprik reqressiya əmsalları
deyilir) Deməli, konkret halda (8) ifadəsini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
ii exbby 10 (9)
burada ie - i nəzəri təsadüfi kənarlaşmanın qiymətidir.
Baş yığım və seçmə üçün statistik bazanın üst-üstə düşməməsi ilə əlaqədar
olaraq 0b və 1b qiymətləri praktik olaraq həmişə 0 və
1 əmsallarının həqiqi
qiymətlərindən fərqlənir. Nəticədə reqressiyanın emprik və nəzəri xətləri üst-üstə
düşmür. Eyni bir baş yığımdan götürülmüş müxtəlif seçmələr üçün bir-birindən
fərqlənən qiymətlər alınır. Nəzəri və emprik reqressiya tənliklərinin arasında
mümkün nisbət aşağıdakı şəkildə əks olunmuşdur:
Qarşıya konkret );( ii yx , ni ,...2,1 seçməyə ğörə 0 və 1 məchul
parametrlər üçün elə 0b və 1b qiymətlərinin tapılması məsələsi çıxır ki, qurulmuş
reqressiya xətti müəyyən mənada bütün digər düz xətlər içərisində ən yaxşısı
olsun. Başqa sözlə desək, qurulmuş xbby 10 düz xətti müşahidə nöqtələri
0 𝑥1 𝑥𝑛 X
Y
𝑒1
𝜀1
𝜀𝑖𝑒𝑛
𝑒𝑖
𝜀𝑛
𝑀(𝑌𝑋⁄ ) = 𝛽0 + 𝛽1𝑋
𝑌
= ��0 + 𝑏1𝑋
𝑥𝑖
26
çoxluğuna nəzərən “ən yaxın” xətt olmalıdır. Tapılmış qiymətlərin keyfiyyət
ölçüsü olaraq
e i, ni ,...2,1 kənarlaşmalarının müəyyən komprozisiyaları çıxış edir. Məsələn,
emprik tənliyinin 0b və 1b əmsallarının qiymətlərini aşağıdakı cəmlərdən bizim
minimumlaşdırmaqla tapmaq olar:
1)
n
i
n
i
n
i
iiiii xbbyyye1 1 1
10 )()ˆ(
2)
n
i
n
i
n
i
iiiii xbbyyye1 1 1
10ˆ
3)
n
i
n
i
n
i
iiiii xbbyyye1 1 1
2
10
22)()ˆ(
Birinci cəm tapılmış qiymətlərin keyfiyyət ölçüsü ola biməz, çünki
n
i
ie1
0 şərtini ödəyən sonsuz sayda düz xətt(o cümlədən yy ) mövcuddur.
Əmsalların qiymətlərinin hesablanması üçün tətbiq edilən ikinci metod ən kiçik
modullar metodu adlanır.
Reqressiya tənliyinin əmsallarını qiymətləndirmək üçün ən çox tətbiq edilən
və nəzəri cəhətdən əsaslandırılmış metod üçüncü cəmin minimumlaşdırılması
metodudur. Bu metod ən kiçik kvadratlar metodu adlanır. ƏKKM hesablanma
mexanizmi baxımından ən sadə metod olmaqla bərabər, həm də bu metodla
tapılmış əmsalların qiymətləri bir sıra optimal xassələrə malik olurlar.
4. Tutaq ki, nıyx ii ,...,2,1),( seçimi üzrə (8) empirik reqressiya tənliyinin a və
b qiymətlərini tapmaq tələb olunur. (şəkil 4)
27
Şəkil 4.
Bu halda ƏKKM –dan istifadə etsək, aşağıdakı funksiya
minimumlaşdırılır:
Q (b0, b1)= 2
10
1
2
1
2)()ˆ( ii
n
i
ii
n
i
i xbbyyye
(10)
Asanlıqla görmək olar ki, Q funksiyası iki parametrin - 0b və 1b
parametrlərinin kvadratik funksiyasıdır (Q=Q 10 ,bb ), çünki ii yx , müşahidələrin
məlum verilənləridir. Q funksiyası kəsilməz, qabarıq və aşağıdan məhdud olduğu
üçün (Q0) onun minimumu mövcuddur.
İki dəyişənin Q 10 ,bb
n
i
ii xbby1
2
10 funksiyasının minimumunun mövcud
olması üçün zəruri şərt onun 0b və 1b məchul parametrər üzrə məxsusi törəmələrinin
sifira bərabər olmasıdır. Sonrakı formulalarda i 1-dən n-ə qədər dəyişdiyini qəbul
edərək -ri indekssiz yazacağıq.
02
02
10
1
10
0
ii
ii
xbbyb
Q
xbbyb
Q
(11)
2
10
10
iiii
ii
xbxbyx
xbnby (12)
𝑥1 𝑥2𝑥3 𝑥4 𝑥5 … 𝑥𝑛 𝑋
Y
0
𝑒1
𝑒3
𝑒2
𝑒4
𝑒5
…
.
𝑒𝑛
𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋
28
(12) sisteminin hər iki tənliyini n-ə bölərək, alırıq:
xbyb
xx
yxyxb
yxxbxb
yxbb
10
221
2
10
10 (13)
Burada ixn
x1
, 22 1
ixn
x , iyn
y1
, ii yxn
yx 1
.
Beləliklə , ƏKKM-u ilə b0 və b1 parametrlərinin qiymətləri (13) ifadəsinə
görə hesablanır.
Qeyd edək ki, 1b -in qiymətini aşağıdakı kimi də hesablamaq olar:
221
x
xy
i
ii
S
S
xx
yyxxb
(14)
Onda :
x
y
xy
x
y
yx
xy
x
xy
S
Sr
S
S
SS
S
S
Sb
21 (15)
Burada xyr -seçmə korrelyasiya əmsalıdır. yx SS , -standart kənarlaşmalardır.
Beləliklə, reqressiya əmsalı kovariasiyaya və korrelyasiya əmsalına
proporsionaldır.
Beləliklə, xyr - korrelyasiya əmsalı artıq hesablanmışdırsa, onda ifadəsinə görə
cüt reqressiyanın , 1b əmsalını tapmaq mümkündür.
Əgər y-in x-ə görə reqressiya tənliyindən başqa ( xbby x 0ˆ ), eyni empirik
məlumatlar üçün həm də x-in y-ə görə reqressiya tənliyi ( ybcx y 0ˆ )
tapılmışdırsa, onda xb və yb əmsallarının hasili 2
xyr -nı verəcəkdir.
22 yy
yxyxby
(17)
ybxc y0
Yuxarıdakı mülahizələrə əsasən aşağıdakı nəticələrə gəlmək olar:
1. ƏKKM-un qiymətləri seçimin funksiyaları olduğundan, onları asan
hesablamaq olur;
2. ƏKKM-un qiymətləri nəzəri reqressiya əmsallarının nöqtəvi qiymətləridir.
29
3. (12) münasibətinin ikinci formulasına görə empirik düz xətti yx,
nöqtəsindən keçir.
4. Empirik reqressiya tənliyi elə qurulub ki, ie kənarlaşmaların cəmi, eləcə
də kənarlaşmanın e orta qiyməti sıfıra bərabər olur.
Doğrudan da, 11 ifadəsində 02 10 ii xbby formulasından
001
002 een
ee iii alınır.
5. ie təsadüfi kənarlaşmalar Y asılı dəyişənin müşahidə edilən iy qiymətləri
ilə korrelyasiya olunmayıb.
Bu fərziyəni təsdiq etmək üçün y və e arasındakı kovariasiyanın
sıfıra bərabər olduğunu göstərək. Doğrudan da:
iiiiiyx eyyn
eeyyn
S )(1
)()(1
0 ii eyy olduğunu göstərək . (9) istifadənin bütün asılılıqlarını
)1( uii üzrə cəmləsək alarıq:
iiii xbnbexbnby 1010 0( ie
olduğundan)
Axırıncı asılılığı n-ə bölsək alaraq:
xbby 10
Bu asılılıqı (9) ifadəsindən çıxsaq aşağıdakı formulanı alarıq:
iii exxbyy )(1 (18)
Onda:
0)()(
))(()()(
22
1
22
1
22
11
111
xxbxxbxxbyyxxb
xxbyyxxbexxbeyy
iiiiii
iiiiiii
Deməli, 0yes
6. ie təsadüfi kənarlaşmalar X sərbəst dəyişənin ix müşahidə qiymətləri ilə
korrelyasiya olunmayıb.
30
Doğrudan da, (11) sisteminin ikinci formulasına görə 0yes alınır.
Reqressiya tənliyinin qurulması istənilən halda müəyyən
interpretasiyanın və təhlilin aparılmasını tələb edir. İnterpretasiya ona görə
zəruridir ki, alınmış nəticələri əmsaların izahı ilə təsvir etmək və bununla da
qurulmuş asılılığı ekonometrika üzrə mütəxəssis olmayan şəxsə başa salmaq
mümkün olsun. Fərz edək ki, istehlakın həcmi ilə ailənin gəliri arasındakı
əlaqə öyrənilir və xy 9339,0699,3ˆ reqressiya tənliyi qurulmuşdur. Onda 1b
əmsalı istehlaka hüdud meyli kimi izah ediləcəkdir. Bu əmsal onu göstərir
ki, əgər ailənin gəliri bir vahid artarsa, onda istehlakın həcmi 0,9339 şərti
vahid artacaqdır. Qrafikdə 1b əmsalı reqressiya düz xəttinin absis oxunun
müsbət istiqamətinə meyl bucağının tangensinin müəyyən etdiyindən, bu
əmsala bəzən bucaq əmsalı da deyilir.
Reqressiya tənliyinin 0b sərbəst həddi ailənin malik olduğu X gəlirin
0-a bərabər olması halında Y-in proqnozlaşdırılan qiymətini əks etdirir
(daha doğrusu avtonom istehlakı). Lakin burada müəyyən ehtiyatlılıq
lazımdır. Bu halda izahedici dəyişənin müşahidə qiymətlərinin ordinat
oxundan (asılı dəyişən) nə qədər aralı qalması çox vacidir. Çunki, yığım
üçün reqressiya tənliyinin uğurlu seçilməsiu halında da heç kim təminat verə
bilməz ki, uzaqda da bu seçim uğurlu olaraq qalacaqdır. Bizim misalda
699,30 b -dur. Deməli, reqressiya tənliyinə görə gəlir 0-a bərabər olduqda
istehlaka məsrəflər orta hesabla 3,699 şərti vahid təşkil edəcəkdir. Ayrıca
götürülmüş bir ailə üçün bunu izah etmək olar (ailə öz ehtiyatlarından və ya
aldığı borcdan istifadə edə bilər), lakin ailələr yığımı üçün bunun mənası
olmayacaqdır. Lakin istənilən halda 0b əmsalı reqressiya düz xəttinin ordinat
oxu ilə kəsişməsi nöqtəsini göstərir və reqressiya xəttinin y oxu boyunca
sürüşməsini əks etdirir.
0b və 1b empirik reqressiya əmsalları 0 və
1 nəzəri əmsalların
yalnız qiymətləridir, tənliyin özü isə baxılan dəyişənlərin davranışındakı
ümumi meyli əks etdirir. Dəyişənlərin fərdi qiymətləri bir çox səbəbdən
31
onların model qiymətlərində fərqlənə bilər. Bu kənarlaşmaları biz ie ilə işarə
etmişik. Bu kənarlaşmalar baş yığım üçün i kənarlaşmaların qiymətləri
rolunu oynayır.
Bununla belə, müəyyən şəraitdə reqressiya tənliyi iqtisadi sistemlərin
təhlili və proqnozlaşdırılmasının əvəzolunmaz və keyfiyyətli vasitəsi kimi
çıxış edir.
Odur ki, nəticələrin müvafiq interpretasiyasından sonra qiymətlərin və
bütövlükdə reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin təhlili mühüm əhəmiyyət
kəsb edir.
32
Mövzu 7. Reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin yoxlanması
Plan
1. Ən kiçik kvadratlar metodunun şərtləri. Qaus-Markov teoremi
2. Reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətlərinin təyin edilməsinin
dəqiqliyinin təhlili
3.Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarına aid hipotezaların yoxlanması
4.Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətləri
5.Asılı dəyişən üçün ehtibarlılıq intervalları
6.Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması .R2 determinasiya əmsalı.
1. Reqressiya təhlili reqressiya əmsallarının qiymətlərini müəyyən etməyə imkan
verir. Lakin onlar yalnız qiymətlərdir və təbii ki, empirik reqressiya tənliyinin
bütün baş məcmu üçün tənliyə nə dərəcədə uyğun gəldiyini, 0b və 1b əmsallarının
özlərinin, 0 və 1 nəzəri prototiplərinə nə dərəcədə yaxın olduğunu , iy
qiymətininin )/( ixxyM şərti riyazi gözləməyə nə dərəcədə yaxın olduğunu ,
tapılmış qiymətlərin nə qədər ehtibarlı olduğunu qiymətləndirməyə imkan vermir.
Bu suallara cavab vermək üçün əlavə tədqiqatlar aparılmalıdır. Nəzəri xətti
reqressiyasının ifadəsinə görə yi –nin qiyməti xi –nin qiymətindən və i təsadüfi
kənarlaşmadan asılıdır. Deməli, y dəyişəni i ilə bir başa əlaqəli olan təsadüfi
kəmiyyətdir. Bu isə o deməkdir ki, i -nin ehtimallı davranışında yəqinlik
olmadan , biz qiymətlərin keyfiyyətində əminlik hiss edə bilmərik. Doğrudan da,
isbat edilir ki, reqressiya əmsallarının qiymətləri reqressiya tənliyində təsadüfi
həddən asılı olan təsadüfi kəmiyyətdir.
Tutaq ki, cüt xətti reqressiyanın aşağıdakı modeli verilmişdir:
y= 0 +1 x+ (1)
Fərz edək ki, n sayda müşahidədən ibarət yığıma görə
xbby 10ˆ (2)
33
reqressiyası qiymətləndirilir.
Məlumdur ki, 1b əmsalı
21
x
xy
S
Sb (3)
kimi təyin edilir və təbii ki, təsadüfi kəmiyyətdir. Doğrudan da, Sxy seçmə
kovariasiyanın qiyməti x və y –in hansı qiymətlər alacağından asılıldır.
Əgər iX qiyməti məlum olan ekzogen parametr kimi qəbul etsək , onda y-
in qiyməti i təsadüfi həddən asılı olacaqdır. Onda alırıq:
21
x
xy
S
Sb =
21
x
x
s
s (4)
burada 1 -sabit kəmiyyət olub, reqressiya əmsalının həqiqi qiymətini əks
etdirir. 2
x
xe
s
S- isə təsadüfi komponentdir. 0b əmsalı üçün də analoji nəticəni
əldə etmək olar.
Beləliklə, göstərdik ki, reqressiya əmsallarının xassələri və deməli,
qurulmuş reqressiyanın keyfiyyəti təsadüfi həddin xassələrindən əhəmiyyətli
dərəcədə asılıdır. İsbat edilir ki, ƏKKM –n ilə ən yaxşı nəticələrin alınması
üçün təsadüfi kənarlaşmalar üzrə bir sıra şərtlər ödənməlidir. ƏKKM-nun
şərtləri olan bu şərtlərə bəzən Qaus –Morkov şərtləri də deyilir.
10 . i təsadüfi kənarlaşmanın riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir.
Yəni bütün müşahidələr üçün M( i )=0 dır.
Bu şərt onu göstərir ki, təsadüfi kənarlaşmalar orta hesabla asılı
dəyişənə təsir göstərmirlər. Hər bir konkret halda təsadüfi kəmiyyət ya
müsbət, ya da mənfi ola bilər, lakin bu təsadüfi kəmiyyət sistematik
sürüşməyə malik olmamalıdır.
20 . i təsadüfi kənarlaşmaların dispresiyası sabitdir:
Yəni i və j –un istənilən müşahidələri üçün D( i )=D( j )= 2
34
Bu şərt onu göstərir ki, hər bir konkret müşahidə zamanı təsadüfi
kənarlaşmalar ya böyük , ya da kiçik ola bilər. Yəni, böyük səhvi
(kənarlaşmanı) yaradan aprior səbəb olmamalıdır.
Bu şərtin ödənməsi heteroskedastiklik (kənarlaşmaların
dispressiyasının sabitliyi), onun ödənməməsi isə heteroskedastiklik
adlanır.(Kənarlaşmaların dispresiyasının qeyri-sabitliyi).
)()(M )D( 22
iiii eMM olduğundan, bu şərti aşağıdakı kimi də
ifadə etmək olar:
)( 2
ieM = 2
30 . Bütün ji üçün i və j təsadüfi kənarlaşmalar bir-birindən
asılı deyillər.
Bu şərtin ödənməsi o deməkdir ki, istənilən təsadüfi kənarlaşmalar arasında
sistematik əlaqə mövcud deyil. Başqa sözlə desək, istənilən təsadüfi kənarlaşmanın
kəmiyyəti və işarəsi hər hansı bir başqa kənarlaşmanın kəmiyyəti və işarəsinin
səbəbi ola bilməz.
Əgər bu şərt ödənirsə, onda belə hesab edilir ki, avtokorrelyasiya mövcud
deyil, 10 şərtinin ödənməsi şərti ilə bu şərti aşağıdakı kimi göstərmək olar:
0)( jiM ( ji )
40 .Təsadüfi kənarlaşmalar izah edici dəyişənlərdən asılı olmamalıdırlar.
Modeldə izah edici dəyişənlər təsadüfi kəmiyyətlər olmadığı halda, bu şərt
əsasən avtomatik ödənir.
50 . Model parametrlərinə nəzərən xətti modeldir.
Qaus-Morkov teoremi: Əgər 10-50 şərtləri ödənirsə, onda ƏKKM ilə alınan
qiymətlər aşağıdakı xassələrə malik olurlar:
1. Qiymətlər sürüşdürülməmiş olurlar, yəni ;00 bM 11 bM . Bu xassə
0ieM -dan doğur və reqressiya xəttinin müəyyən edilməsində
sistematik səhvin olmasından xəbər verir.
2. Qiymətlər əsaslıdırlar, yəni müşahidələrin n sayının artması zamanı
parametrlərin qiymətlərinin dispersiyası sıfıra yaxınlaşır:
35
0)(,0 10 nn
bDbD. Başqa sözlə, yığımın həcmi artdıqda,
qiymətlərin ehtibarlılığı artır ( 0b əmsalı 0 ,1b əmsalı isə
1 -ə yaxın olur )
3. Qiymətlər effektivdir, yəni onlar iy kəmiyyətinə görə xətti olan bu
parametrlərin istənilən başqa qiymətləri ilə müqayisədə ən kiçik
dispersiyaya malikdirlər.
İngilis dilli ədəbiyyatlardan tərcümədə bu əmsallar - ən yaxşı xətti
sürüşdürülməmiş qiymətlər adını almışdır (BLUE).
Əgər 20 və 30 şərtləri pozulmuşdursa, yəni kənaraşmaların dispersiyası
sabit deyil və (və ya) ji ee , qiymətləri bir biri ilə bağlıdırsa, onda
sürüşdürülməmişlik və əsaslılıq xassələri saxlanılır, effektivlik xassəsi isə
itir.
Qaus-Markov teoremi ilə müəyyən edilən şərtlərin ödənilməsi ilə yanaşı ,
klassik xətti reqressiya modellərinin qurulması zamanı bəzi əlavə şərtlər də
qoyulur. Məsələn:
İzahedici dəyişənlər təsadüfi kəmiyyətlər deyil;
Təsadüfi kənarlaşmalar normal paylanmaya malikdirlər;
Müşahidələrin sayı izahedici dəyişənlərin sayından əhəmiyyətli
dərəcədə çoxdur;
Spesifikasiyanın səhvləri mövcud deyil;
Kamil multikolenarlıq mövcud deyil.
2. Reqressiya əmsallarının qiymətlərinin təyin edilməsinin dəqiqliyinin
təhlili.
Yığıma elementlərin təsadüfi seçilməsi ilə əlaqədar olaraq nəzəri reqressiya
tənliyinin 0 və 1 əmsallarının 0b və
1b qiymətləri də təsadüfi kəmiyyətər olurlar.
Onların riyazi gözəməlri i kənarlaşmalrı haqqında şərtlər ödəndikdə uyğun olaraq
00 bbM və 11 bbM olur. Bu halda həmin qiymətlərin 0 və 1 ətrafında
səpələnəsi nə qədər az olarsa, daha doğrusu qiymətlərin 0bD və 1bD
dispersiyaları nə qədər az olarsa, onlar bir o qədər ehtibarlı olur. Alınan
36
qiymətlərin ehtibarlılığı i təsadüfi kənarlaşmaların dispersiyası ilə sıx bağlıdır.
Faktiki olaraq, )( iD y dəyişənin reqressiya xəttinə nəzərən )/( ixxyD
dispersiyası dır (y-in x-in təsirindən təmizlənmiş dispersiyası). Əgər ölçmələri
bərabər dəqiqli götürsək, onda belə hesab edə bilərik ki, bütün bu dispersiyalar bir-
birinə bərabərdir (20 şərti):
22)( yD i
Reqressiya tənliyinin əmsallarının 0bD və 1bD dispersiyalarının i təsadüfi
kənarlaşmaların 2 dispersiyası ilə əlaqəsi formulalarını tərtib edək. Bunun üçün
0b və 1b əmsallarının hesablanması formulalarını y-in qiymətinə nəzərən xətti
funksiyalar şəklində təsvir edək:
22221xx
yxx
xx
yxx
xx
yxx
xx
yyxxb
i
ii
i
i
i
ii
i
ii ; çünki 0 xxi -
dır.
Əgər
2xx
xxc
i
ii əvəzləməsi qəbul etsək, alarıq:
ii ycb1 (5)
0b üçün analoji olaraq alırıq:
iiii
iyxc
nxyc
n
yxbyb
110
xcn
d ii 1
əvəzləməsi daxil etsək, alarıq:
Fərz edirik ki, ii ydb0 (6)
Onda aydındır ki, ic və id -yə müəyyən sabit kəmiyyətlər kimi baxmaq olar.
Deməli:
2
2
1 )(xx
bDi
(7)
2
22
0 )(xxn
xbD
i
i (8)
(7) və (8) ifadəsinə görə aşağıdakı nəticələr gəlmək olar:
37
0b və 1b dispersiyaları 2 təsadüfi kənarlaşmanın dispersiyasına düz
mütənasibdir. Deməli, təsadüfilik faktoru nə qədər böyük olarsa,
qiymətlər bir o qədər az dəqiq olacaqdır.
Müşahidələrin n sayı nə qədər böyük olarsa, qiymətlərin dispersiyası
bir o qədər az olacaqdır. Bu tamailə məntiqidir, çünki müşahidələrin
sayı çox olduqca, daha dəqiq qiymətlərin alınması ehtimalı artır.
İzahedici dəyişənin dispersiyası 2
xxi nə qədər böyük olarsa,
əmsalların qiymətlərinin dispersiyası bir o qədər az olacaqdır. Başqa
sözlə, izahedici dəyişənin dəyişməsi oblastı nə qədər əhatəli olarsa,
qiymətlər bir o qədər dəqiq olaacq (onların təyin edilməsində
təsadüfiliyin payı bir o qədər az olacaq) .
Yığıma görə i təsadüfi kənarlaşmaları təyin etmək mümkün olmadığından,
reqressiya əmsallarının qiymətlərinin ehtibarlılığının təhlilində onlar y dəyişənin
yi qiymətlərinin reqressiyanın qiymətləndirmə xəttindən iiii xbbye 0
kənarlaşmalrı ilə əvəz edilir. Təsadüfi kənarlaşnmaların 2 iD dispersiyası
onun
22
12
2
0
2
n
exbby
nS
i
iii (9)
Sürüşdürülməmiş qiyməti ilə əvəz olunur.
Onda alırıq:
2
2
1
2
1xx
SbSbD
i
(10)
2
1
2
2
22
0
2
0 b
i
iSx
xxn
xSbSbD
(11)
2
2
2
n
eS
i izah edilməmiş dispersiyadır (asılı dəyişənin reqressiya xətti boyunca
səpələnməsinin ölçüsü). Qeyd eək ki, izah edilməmiş dispersiyanın
2
22
n
eS i (12)
38
Kvadrat kökü qiymətləndirmənin standart səhvi adlanır (reqressiyanın standart
səhvi).
2
0
2
0 bb SS və 2
1
2
1 bb SS isə 0b və 1b təsadüfi kəmiyyətlərin standart
kənarlaşmaları olub, reqressiya əmsallarının standart səhvləri adlanır.
3.Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətlərinin tapılmasına aid
hipotezaların yoxlanması.
Empirik reqressiya tənliyi sonlu sayda statistik məlumatların bazasında
müəyyən edilir. Odur ki, bu tənliyin əmsalları bir yığımdan digər yığıma dəyişən
təsadüfi kəmiyyətlər olur. Statistik təhlil zamanı tədqiqatçının qarşısına çıxan
zərurətlərdən biri də reqressiyanın 0b və 1b empirik əmsallarını bu əmsalların
nəzəri cəhətdən gözlənilən müəyyən 0 və 1 qiymətləri ilə müqayisə etməkdir.
Bu təhlil hipotezaların ststistik yoxlanması sxemi üzrə aparılır.
110 bH
111 bH
hipotezalarını yoxlamaq üçün (13)
1
11
bS
Bbt
statistikasından istifadə edilir. H0 hipotezası həqiqi olduqda bu statistika
2 nv (burada n – yığımın həcmidir) sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik
Styudent paylanmasına malikdir. Deməli,
2;21
11
ntS
bTmüş
b
(14)
şərti ödənirsə, bu kriteriyaya görə H0:b1 = 1 hipoterası rədd edilir.
Burada - tələb edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsidir.(13) şərti ödənmədikdə
isə belə hesab edilir ki, H0 hipotezasını rədd etmək üçün əsas yoxdur.
Qurulmuş reqressiya modelinin statistik təhlilinin başlanğıc mərhələsində
Y və X arasında xətti asılılığın mövcudluluğunun aşkar edilməsi mühüm
vəzifə hesab edilir. Bu problemi də həmin sxem üzrə həll etmək olar:
H0:b1 =0
39
H1:b1 0
Hipotezanın bu şəkildə qoyuluşuna çox zaman reqressiya tənliyinin
əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyi haqqında hipoteza deyilir. Əgər
bu halda H0 qəbul edilirsə, onda Y kəmiyyətinin X-dan asılı olmadığını qəbul
etməyə əlimizdə əsas olacaqdır. Onda deyirlər ki, b1 əmsalı statistik
əhəmiyyətsizdir (sıfıra çox yaxındır). H0 rədd edildikdə b1 əmsalı
əhəmiyyətli hesab edilir və bu, Y və X arasında müəyyən xətti asılılığın
olmasına işarədir. Bu halda ikitərəfli kritik oblast nəzərdən keçirilir, çünki
doğrusu əsası odur ki, reqressiya əmsalı sıfırdan fərqli olsun və o həm müsbət,
həm də mənfi ola bilər.
Bu halda 1 =0 qəbul edildiyindən, b1 qiymətləndirici əmsalın
əhəmiyyətliliyi formal olaraq onun kəmiyyətinin bu əmsalın 2
1bbi SS
Standart səhvinə nisbəti kimi yoxlanılır. Modelin itkin şərtləri ödənikdə bu
kəsr 2 nv , harada ki n-in müşahidələrin sayıdır, sərbəstlik dərəcələrinin
sayına malik Stydent paylanmasına malik olacaqdır. Bu nisbət–statistika
adlanır:
2
1
1
1
1
bb S
b
S
bt (15)
t-statistika üçün onun sıfıra bərabər olması haqqında sıfır hipotezası
yoxlanılır. Aydındır ki, t=0 olması 01 b olması deməkdir, çünki t 1b -ə
proporsionaldır. Faktiki olaraq bu, X və Y arasında xətti asılılığın olmaması
deməkdir.
Analoji sxem əsasında t-statistikaya görə 0b əmsalının statistik
əhəmiyyətliliyi haqqında hipotez yoxlanılır:
2
0
0
0
0bb S
b
S
bt (16)
Cüt reqressiya üçün 1b əmsalının statistik əhəmiyyətliliyinin təhlili daha
vacib hesab edilir, çünki izahedici X dəyişənin sərbəst Y dəyişəninə təsiri
məhz bu əmsalda cəmləşib.
40
İlk mərhələdə xətti reqressiya əmsalının əhəmiyyətliliyinin
qiymətləndirilməsində cədvəldən istifadə etmədən “kobud qayda” adlandırılan
aşağıdakı qaydadan istifadə edilir.
Əgər əmsalın standart səhvi onun modulundan böyükdürsə ( 1bSib və ya
1t ) onda əmsalı əhəmiyyətli hesab etmək olmaz, çünki ikitərəfli alternativ
hipotez şəraitində ehtibarılılıq ehtimalı 0,7-dən kiçikdir.
Əgər 21 t olarsa, onda nəzərdən keçirilən əmsal nisbi (zəif)
əhəmiyyətli hesab edilir. Bu halda ehtibarlılıq ehtimalı 0,7 iə 0,95 arasında
yerləşir.
Əgər 32 t olarsa, onda deməli, X və Y arasında əsaslı xətti asılılıq
mövcuddur. Bu halda etibarlılıq intervalı 0,95 ilə 0,99 arasındadır.
Nəhayət, əgər 3t olarsa, onda yəginliklə demək olar ki, göstəricilər
arasında xətti asılılıq mövcuddur.
Təbii ki, hər bir konkret halda müşahidələrin sayı rol oynayır. Onların sayı
nə qədər çox olarsa, bütün digər şərtlər dəyişməz qaldıqda əmsalların
əhəmiyyətliliyi haqqında verilmiş qərar bir o qədər etibarlı olur. Lakin 10n
olduqda “kobud qayda” prinsipi bir qayda olaraq həmişə işləyir.
4. Xətti reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətləri.
Məlum olduğu kim, ƏKKM-un baza şərtləri i kənarlaşmasının sıfır riyazi
gözləməli və sabit dispersiyalı, yəni normal paylanması haqqında
mülahizədir, yəni 2,0 yNei . Bu müddəanın təbiiliyi ehtimal
nəzəriyyəsindən yaxşı məlum olan mərkəzi hüdud teoremi ilə bağlıdır. Bu
teorem aşağıdakı kimidir:
Əgər TK çoxsayı təsadüfi kəmiyyətlərin cəmindən ibarətdirsə və onların
hər birinin bütün cəmə təsiri əhəmiyyətsiz dərəcədə azdırsa, onda baxılan TK
normala yaxın paylanmaya malik olur.
Lakin i təsadüfi kəmiyyətlər məhz modelə daxil edilməmiş dəyişənlərin
sərbəst dəyişənə təsirini əks etdirir. Belə dəyişənlərin sayı bir qayda olaraq
çox olur və onların fərdi təsirləri kifayət qədər kiçikdir (əks halda onları
41
modelə daxil etmək lazım gələrdi). Deməli, təsadüfi kənarlaşmaları
öyrənərkən biz praktik olaraq MHT-nin şərtləri daxilinə düşürük. Deməli,
i ( ni ,1 ) normal paylanmaya malikdir . .)(,0)( 22 dııM ii
Bu, nəinki xətti reqressiya tənliyinin 0 və 1 əmsallarının ən yaxşı 0b və
1b
sürüşdürülməmiş qiymətlərini tapmağa imkan verir, həm də onlar üçün
interval qiymətləri tapmağa imkan verir. Bu qiymətlər isə bizə müəyyən
dəqiqlik təminatı verəcəkdir.
Yuxarıda verdiyimiz şərtlər belə bir qənaətə gəlməyə əsas verir ki, 0b və
1b təsadüfi kəmiyyətlər normal paylanmağa malikdirlər. Doğrudan da,
məlumdur ki, normal paylanmış TK-in xətti kombinasiyası normal paylanmış
təsadüfi kəmiyyətdir. Lakin, ii yeb 1 və ii ydb 0 olduğu üçün 0b və
1b yi –nin xətti kombinasiyalarıdır . Digər tərəfdən, iii xy 10
formulasına görə iy i -nin xətti kombinasiyasıdır. (Fərz edirik ki, 0 , 1 və
x konstentlar və ya təsadüfi olmayan kəmiyyətlərdir.) Onda1b və 0b i -nin
normal paylanmaya malik xətti funksiyalarıdır. Deməli, 1b və 0b da normal
paylanmışdır.
Məlumdur ki, M( 0b )= 0 , M(1b )=
1 -dir.
D(1b )
2
22
)(1 xx
SS
i
b
2
22
2
0)(
)(0 xxn
xSSbD
i
i
b , burada S2=2
2
n
ei -dir
Digər tərəfdən,
)( 0
00
0bS
btb
;
)(1
11
1bS
btb
statistikaları v=n-2 sərbəstlik dərəcələri saylı Styudent paylanmasına
malikdirlər. Sonra, 00)1(100 -li ehtibarlılıq intervallarını müəyyən etmək
üçün Stydent paylanması cədvəlindən 1 ehtibarlılıq intervalı və v
sərbəstlik dərəcələrinin sayı üçün
42
1)(2;
2n
ttP
2;
2n
t şərtini ödəyən kritik qiymət tapılır. 0bt və
1bt -in qiymətlərini bu
ifadədə yerinə qoysaq və mötərizədəki ifadələri çevirsək, onda 0 və 1
parametrlərini ( 1 ) etibarlılıqla əhatə edən aşağıdakı etibarlılıq
intervallarını alarıq:
)();( 0
2,2
002,
2
0 bStbbStbnn
)();( 1
2,2
112,
2
1 bStbbStbnn
Bu intervallar 0 və 1 nəzəri reqressiya əmsallarının axtarılan qiymətlərini
( 1 ) etibarlılıqla əhatə edir.
5.Asılı dəyişən üçün etibarlılıq intervalları.
Ekonometrik modelləşdirmənin həll etdiyi məsələlər içərisində izahedici
dəyişənlərin müəyyən qiymətlərində asılı dəyişənin qiymətlərinin
müəyyən edilməsi (proqnozlaşdırılması) xüsusi yer tutur. Bu məsələyə iki
mövqedən yanaşmaq olar:
1. İzahedici dəyişənlərinin müəyyən qiymətlərində asılı dəyişənin şərti
riyazi gözləməsini müəyyən etmək (orta qiymətin tapılması)
2. Asılı dəyişənin müəyyən bir konkret qiymətini proqnozlaşdırmaq
(konkret qiymətin müəyyən edilməsi)
1-ci yanaşma. Fərz edək ki, xbby 10ˆ cüt reqressiya tənliyi
qurulmuşdur və bu tənliyə görə y asılı dəyişənin pxx üçün
)/( pxxyM şərti riyazi gözləməsini müəyyən etmək lazımdır. Onda
qarşıya belə bir sual çıxır: Empirik reqressiya tənliyinə görə
hesablanmış py model üzrə orta qiymət müvafiq riyazi gözləmədən nə
qədər kənarlaşa bilər? Bu suala cavab vermək üçün izahedici dəyişənin
istənilən px konkret qiyməti üçün verilmiş 1 dayanıqlı interval
43
qiymətləri müəyyən edilməlidir. Bu halda biz belə hesab edəcəyik ki,
py təsadüfi kəmiyyət konkret parametrli normal paylanmaya malikdir.
pp xxXYM 10)/( üçün etibarlılıq intervalları aşağıdakı kimi
müəyyən edilir:
2
2
2,2
102
2
2,2
10
1;
1
xx
xx
nStxbb
xx
xx
nStxbb
i
p
np
i
p
np
pp yxxyMH )/(:0
pp yxxyMH )/(:1
hipotezalarını yoxlamaq üçün Stydent paylanmasına və 2 nv
sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik aşağıdakı statistikadan istifadə
edilir:
2
2
1
)/(
xx
xx
nS
yxxyMT
i
p
pp
Əgər 2,
2
n
müş tT olarsa, onda 0H hipotezası rədd edilir.
2-ci yanaşma.Praktik həyatda y-in orta qiyməti və ya şərti riyazi
gözləmə üçün etibarlılıq intervallarını bilməkdənsə, onun dispersiyasını
bilmək daha vacib olur. Çünki, bu halda y-in konkret qiyməti üçün
mümkün sərhədləri müəyyən etmək olur.
Tutaq ki, bizi x izahedici dəyişənin müəyyən px qiymətində, y
dəyişənin müəyyən mümkün 0y qiyməti maraqlandırır. pxx üçün
reqressiya tənliyinə görə y-in gözlənilən qiyməti py -dir. Onda
2
2
2,2
10
11
xx
xx
nStxbb
i
p
np
44
İntervalı pxx olduqda 100 %-dən çox olmayan nöqtələrin kənara
çıxdığı sərhədləri müəyyən edəcəkdir. Qeyd edək ki, bu interval şərti riyazı
gözləmə üçün etibarlılıq intervalından daha genişdir.
Qurulmuş intervalların təhlili göstərir ki, xx p olduqda bu
intervallar daha ensizdir. px -nin orta qiymətdən uzaqlaşması ilə etibarlılıq
intervalları genişlənir. Odur ki, alınmış nəticələri proqnoz oblastına kifayət
qədər ehtiyatla ekstropolyasiya etmək lazımdır. Digər tərəfdən, müşahidələrin
n sayı artıqda bu intervallar reqressiya xəttinə tərəf daralır.
6.Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması. R2 determinasiya
əmsalı.
Reqressiyanın hər bir əmsalının əhəmiyyətliliyi yoxlandıqdan sonra
reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyəti yoxlanılır. Daha doğrusu empirik
reqressiya tənliyinin statistik məlumatlarla nə dərəcədə yaxşı uzlaşdığı
aşkar edilir. Nəticə etibarı ilə bu müşahidə nöqtələrinin reqressiya xəttinə
nəzərən nə dərəcədə geniş səpələndiyini aşkar etmək deməkdir. Təbii ki,
əgər bütün nöqtələr qurulmuş reqressiya xəttinin üstündədirsə, onda y-in
x-ə görə reqressiyası asılı dəyişənin davranışını “ideal” şəkildə izah edir.
Real həyatda bu vəziyyətə praktik olaraq rast gəlinmir. Real həyatda y-in
davranışı yanız qismən x dəyişəninin təsiri ilə izah edilir. Dəyişənlər
arasında mümkün münasibətərin qrafiki interpretasiyası Venn diaqramı
adlanır.
a -ya görə x y-ə heç bir təsir göstərmir. Hər sonrakı şəkildə x-in y-ə
təsiri artır. Sonuncu şəkildə isə y-in qiyməti bütünlüklə x-in qiymətinə
görə təyin edilir.
Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin məcmu ölçüsü (reqressiya
tənliyinin statistik məlumatlara uyğun gəlməsi) olaraq R2 determinasiya
əmsal çıxış edir. Cüt reqressiya üçün determinasiya əmsalı korrelyasiya
əmsalının kvadratı ilə üst-üstə düşür. Ümumi halda isə, determinasiya
əmsalı aşağıdakı kimi hesablanır:
45
(17)
Determinasiya əmsalının mahiyyətini izah edək:
Tutaq ki, empirik reqressiya tənliyi aşağıdakı şəkildədir:
xbby 10ˆ
Onda, yi-nin ni ,...,2,1 müşahidə olunan (real) qiymətləri iy model
qiymətlərindən ie kəmiyyəti qədər fərqlənəcəkdir:
iii eyy ˆ
Bu ifadəni aşağıdakı kimi yazaq:
iiii yyyyyy ˆˆ (18)
və ya
iii ekyy
Burada )( yyi - i-ci nöqtənin Y asılı dəyişənin y orta qiymətindən
kənarlaşmasıdır; ik - i-ci nöqtənin reqressiya xəttində y -dan
kənarlaşmasıdır; ie - i ci nöqtənin iy model qiymətindən kənarlaşmasıdır.
Bütün kənarlaşmalar asılı dəyişənin oxu üzrə hesablanır.
(1) Ifadəsinin hər iki mtərəfini kvadrata yüksəldək və alınmış nəticələri yığımın
həcminə görə cəmləyək:
222))ˆ((2)ˆ( iiiii eeyyyyyy
Asanlıqla göstərmək olar ki, ))ˆ(( 2
ii eyy =0 –dır. Onda alırıq:
22222)ˆ( iiiii ekeyyyy
(19)
Burada 2
yyi -kvadratların ümumi (tam) cəmi olub, Y asılı
dəyişənin y -a nəzərən ümumi səpələnməsinin ölçüsü kimi izah oluna
bilər.
2
ik - kvadratların izah olunmuş cəmi olub, reqressiya vasitəsi
ilə izah olunan səpələnməsinin ölçüsü kimi izah olunur.
2
2
2 1yy
eR
i
i
46
)ˆ(2
iii yye - kvadratların qalıq (izah olunmamış) cəmi olub,
səpələnmənin reqressiya tənliyi vasitəsi ilə izah olunmayan qalıq
hissəsinin ölçüsüdür.
(19) ifadəsini onun sol tərəfinə bölsək, alarıq:
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
yy
e
yy
k
yy
e
yy
k
i
i
i
i
i
i
i
i
Əgər
2
2
2
Ryy
k
i
i
əvəzləməsi daxil etsək alarıq:
2
2
2 1yy
eR
i
i
Deməli, R2 determinasiya əmsalı asılı dəyişənin y-in x-ə görə
dispersiyası ilə izah olunan çəpələnməsinin payını əks etdirir.
2
2
yy
e
i
isə asılı dəyişənin y-in x-ə görə dispersiyası ilə izah
olunmamış səpələnməsinin payını müəyyən edir.
Yuxarıdakı izahlardan belə bir qənaətə gəlmək olar ki, ümumi
halda determinasiya əmsalı üçün 10 2 R şərti ödənir.
Əgər X və Y kəmiyyətləri arasında əhəmiyyətli xətti asılılıq
varsa, onda 2
ie 2
yyi -dan əhəmiyyətli dərəcədə azdır.
Doğrudan da, ƏKKM-u elə bir düz xətti tapmağa imkan verir ki, həmin
xətt üçün min2 ie olur, yY düz xətti isə xbby 10 şərtinin
ödəndiyi mümkün xətlərdən biridir. Odur ki, (19) ifadəsində 1-dən
çıxılan kəsrin surətinin qiyməti onun məxrəcinin qiymətindən
əhəmiyyətli dərəcədə azdır (əks halda ƏKKM-u ilə seçilən reqressiya
xətti yY düz xətti olardı). Deməli, bu halda R2 determinasiya
əmsalının qiyməti 1-ə yaxındır. Beləliklə, R2 determinasiya əmsalı y
47
asılı dəyişənin davranışını izah etmək üçün tapılmış reqressiya düz
xəttinin yY üfüqi xəttlərə nəzərən hansı səviyyədə daha yaxşı nəticə
verdiyini müəyyən etməyin ölçüsü kimi çıxış edir.
Deməli, X və Y arasındakı xətti asılılıq nə qədər sıx olarsa, R2-ın
qiyməti 1-ə bir o qədər yaxın olur. Əlaqə nə qədər zəif olarsa, R2 bir o
qədər sıfıra yaxın olacaqdır.
Lakin R2-ın böyük qiymətini mütəqləşdirmək olmaz. Çünki,
tədqiq edilən hər iki x və y kəmiyyətləri onların səbəb-əlaqə asılılığı ilə
bağlı olmayan zamana görə trendə malik olmaları üznüdən də
determinasiya əmsalı 1-ə yaxın ola bilər. İqtisadiyyatda həcmlə bağlı
göstəricilərdə (ÜMM, ÜDM, gəlir, istehlak) əsasən belə trendlərə rast
gəlinir. Templə bağlı və nisbi göstəricilərdə isə (artım tempi,
məhsuldarlıq, faiz dərəcəsi) heç də həmişə trend olmur. Odur ki, zaman
sıralarına görə reqressiya əsasında həcm göstəricilərinin (məsələn,
istehlakın gəlirdən və ya tələbin qiymətindən asılılığı) qiymətləndirən
zaman R2 kəmiyyəti 1-ə çox yaxın ola bilər. Lakin bu, heç də həmişə
tədqiq olunan göstəricilər arasında əhəmiyyətli xətti asılılığın
olmasından xəbər vermir və asılı dəyişənin davranışının yy tənliyi
ilə ifadə olunmanın mümkünsüzlüyündən də xəbər verə bilər.
Əgər reqressiya tənliyi zamanı sıralarına görə deyil, kəsişən
məlumatlara görə qurulursa, onda bu halda R2 –ın qiyməti 0,6-0,7-ni
aşmır. Zaman sıralarında aşkar trend olmadıqda da bu sıralara görə
tapılmış reqressiya üçün də R2 –ın qiyməti analoji alınır (işsizliyə görə
inflyasiyanın tempi, resurs məsrəfinin artım tempinə görə məhsul
buraxılışının artım tempi və s.).
Qarşıya belə bir sual çıxır: R2 hansı qiymətini kafi hesab etmək
olar?
Bütün hallar üçün R2 kafiliyi (statistik əhəmiyyətliliyi) sərhədlərini
dəqiq göstərmək mümkün deyil. Yığımın həcminə, izahedici
dəyişənlərin sayına, trendlərin mövcudluğuna və məzmun
48
interpretasiyasına diqqət yetirmək lazımdır. R2 mənfi də ola bilər. Bu
hal əsasən sərbəst həddi olmayan jj xby xətti reqressiya tənlikləri
üçün rast gəlirik ƏKKM-u əsasında belə tənliyi qiymətləndirən zaman
biz yalnız koordinat başlanğıcından keçən düz xətləri (hipermüstəviləri)
nəzərdən keçirməliyik. R2 –nın qiyməti yalnız o halda mənfi alınır ki,
asılı dəyişənin qiymətinin yy xətti boyunca səpələnməsi koordinat
başlanğıcından keçən istənilən düz xəttlə müqayisədə azdır. R2 <0
olması onu göstərir ki, ii Xby tənliyinə sərbəst hədd əlavə
olunmalıdır ( xbbYi 10 ).
49
Mövzu 8. Çox xətti reqressiya
Plan
1. Reqressiya tənliyinin parametrlərinin müəyyən edilməsi.
2. Çox xətti reqressiyanın əmsallarının hesablanması.
3. Əmsalların dispersiyaları və standart səhvləri.
4. Nəzəri reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətləri.
5. Çox xətti reqressiyanın empirik tənliyinin keyfiyyətinin təhlili.
6. Reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyinin
qiymətləndirilməsi.
7. Reqressiya tənlyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması.
8. ƏKKM-u şərtərinin ödənməsinin yoxlanması. Darbin-Uatson statistikası.
İqtisadi sistemin istənilən göstəricisinə bir deyil, bir neçə amil təsir göstərir.
Məsələn, müəyyən bir nemətə olan tələb yalnız bu nemətin qiyməti ilə deyil, həm
də əvəzedici, tamamlayıcı nemətlərin qiymətləri ilə, istehlakçıların gəlirləri ilə və
bir çox başqa amillərə müəyyən edilir. Bu halda xfxyM )/( cüt reqressiyadan
fərqli olaraq
),...,,(),...,,/( 2121 mm xxxfxxxyM
çox reqressiya nəzərdən keçirilir.
y və mxxx ,...,, 21 dəyişənlərinin qarşılıqlı əlaqəliyinin qiymətləndirilməsi
məsələsi cüt reqressiya halında olduğu kimi qoyulur. Çox reqressiyanın tənliyi
aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər.
),( XfY
burada, ),...,,( 21 mxxxX -asılı olmayan (izahedici) dəyişənlər vektorudur.
-parametrlər vektorudur (onlar təyin edilməlidir)
-təsadüfi səhvdir (kənarlaşma)
y -asılı (izaholunan) dəyişəndir.
50
Fərz edilir ki, baxılan baş yığım üçün məhz f funksiyası tədqiq edilən y
dəyişənini x sərbəst dəyişənlər vektoru ilə bağlayır.
Çox reqressiya modelləri içərisində ən sadə və daha çox tətbiq olunan model
xətti çox reqressiya modelidir.
Nəzəri xətti çox reqressiya modeli aşağıdakı kimi yazılır:
mm xxxy ....22110 (1)
i -nin fərdi müşahidələri üçün ),...,2,1( mi (1) modeli aşağıdakı şəkil alır:
immiiii xxxy ....22110 (2)
burada , ),...,,( 10 m - məchul parametrlərin )1( m ölçülü vektorudur.
j , ),...,2,1( mj reqressiyanın j -ci nəzəri əmsalı adlanır (hissəli reqressiya
əmsalı). Bu əmsal y kəmiyyətinin jx -in dəyişməsinə həssaslığını əks etdirir.
Başqa sözlə bu əmsal modelin bütün digər izahedici dəyişənləri dəyişməz qaldıqda
jx -izahedici dəyişənin y asılı dəyişənin ),...,,/( 21 nxxxyM şərti riyazi gözləməsinə
təsirini əks etdirir. 0 sərbəst hədd olub, bütün jx -izahedici dəyişənlərin qiymətləri
0-a bərabər olduqda y -in qiymətini müəyyən edir.
Model olaraq xətti funksiya seçildikdən sonra reqressiyanın parametrlərini
qiymətləndirmək lazımdır. Fərz edək ki, ),...,,( 21 mxxxx -izahedici faktorlar
vektorunun və y asılı dəyişəninin müşahidəsi vardır:
),,...,,( 21 iimii yxxx , ),...,2,1( ni
m ,...,, 22 parametrlərinin tapılması məsələsini (daha doğrusu ən yaxşı
vektorunun tapılması məsələsini) birqiymətli həll etmək üçün 1mn
bərabərsizliyi ödənməlidir. Əgər bu bərabərsizlik ödənmirsə, onda sonsuz sayda
müxtəlif parametrlər vektorları üçün x və y arasındakı xətti əlaqə formulası
mövcud müşahidələrə tam dəqiqliklə uyğun gələcəkdir. Əgər 1mn olarsa, onda
vektorunun əmsallarının qiymətləri yalnız bir yolla - 1m xətti tənlikdən ibarət
immiii xxxy ....22110 )1,...,2,1( ni
tənliklər sistemini həll etməklə tapılır.
51
Məsələn, 22110 xxy reqressiya tənliyinin parametrlərinin
qiymətlərini birqiymətli şəkildə müəyyən etmək üçün 3 müşahidədən ibarət
),,,( 321 iiii yxxx 3,2,1i yığımına malik olmaq kifayətdir. Lakin bu halda 321 ,,
parametrlərinin tapılmış qiymətləri üçölçülü fəzada elə bir 22110 xxy
müstəvisini müəyyən edəcəkdir ki, bu müstəvi mövcud üç nöqtədən keçsin. Digər
tərəfdən, yığımda olan üç müşahidəyə bir müşahidənin əlavə edilməsi elə bir hala
gətirib çıxaracaqdır ki, ),,,( 4434214 yxxx dördüncü nöqtə qurulmuş müstəvidən
kənarda (ola bilər ki, kifayət qədər uzaqda) yerləşəcəkdir. Odur ki, parametrləri
yenidən qiymətləndirmək lazım gələcəkdir. Beləliklə, normal məntiqə görə
aşağıdakı nəticə alınır:
Əgər müşahidələrin sayı minimal zəruri səviyyədən azdırsa, yəni
1mn şərti ödənmirsə, onda bütün müşahidələri ödəyən xətti forma seçmək
artıq mümkün deyil və optimallaşdırmaya zərurət yaranır. Yəni m ,...,, 21,0
parametrləri üçün elə qiymətlər tapılmalıdır ki, bu qiymətlərdə reqressiya tənliyi
mövcud müşahidələr üçün ən yaxşı yaxınlaşmanı təmin etsin.
Bu halda 1 mnv ədədi sərbəstlik dərəcələrinin sayı adlanır.Əgər
sərbəstlik dərəcələrinin sayı böyük deyilsə, onda qiymətləndirilən formulanın
statistik etibarlılığı yüksək deyil. Məsələn üç müşahidə üzrə dəqiq nəticənin
alınması ehtimalı 30 müşahidə ilə müqayisədə əhəmiyyətli dərəcədə azdır. Belə
hesab edilir ki, çox xətti reqressiyanın qiymətləndirilməsi zamanı statistik
etibarlılığı təmin etmək üçün müşahidələrin sayı qiymətləndirilən parametrlərin
sayından ən azı 3 dəfə çox olmalıdır.
Xətti çoxreqressiya modelinin parametrlərini qiymətləndirmək üçün ən çox
tətbiq olunan metod ƏKKM-dur. Əvvəl qeyd etdiyimiz kimi, bu metodun əsasını
y asılı dəyişəninin müşahidə qiymətlərinin onların reqressiya tənliyinə görə alınan
y dəyişənindən kənarlaşmalarının kvadratları cəminin minimumlaşdırılması
təşkil edir.
52
Reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətlərinin tapılması alqoritminin
təsvirinə keçməzdən əvvəl ƏKKM –u üçün məqsədəuyğun olan şərtləri yada
salaq.
10. i təsadüfi kənarlaşmanın riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir: 0)( iM
(bütün müşahidələr üçün)
20. Homoskedostiklik (kənarlaşmaların dispersiyalarının sabitliyi);
2)()( ji DD , bütün i və j müşahidələri üçün
30. Avtokorrelyasiya mövcud deyil .
i və j təsadüfi kənarlaşmalar bütün jı üçün bir-birindən asılı
deyil.
ji
jieeY jieiej
,
,0),cov(
2
40. Təsadüfi kənarlaşmalar izahedici dəyişənlərdən asılı olmamalıdır.
0ixi
50. Model parametrlərinə nəzərən xəttidir.
Xətti çox reqressiya halı üçün daha iki şərtin ödənməsi vacibdir:
60. Multikollenarlığın olmaması.
İzahedici amillər arasında ciddi (güclü) xətti asılılıq mövcud deyil.
70. i səhvləri normal paylanmaya malikdirlər )),0(~( Ni
Bu şərtin ödənməsi statistik hipotezaların yoxlanması və interval
qiymətlərinin hesablanması üçün vacibdir.
Cüt reqressiyada olduğu kimi, çox reqressiyada da yığıma görə j
parametrlərinin həqiqi qiymətlərini almaq mümkün deyil. Bu halda (1) nəzəri
reqressiya tənliyi əvəzinə empirik reqressiya tənliyi qiymətləndirilir. Bu tənliyi
aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:
exbxbxbby mm ...22110 (2)
53
burada b0,b1,b2...., bm – reqressiya əmsallarının 0 ,1 ,..., m nəzəri
kəmiyyətlərinin qiymətləridir, daha doğrusu, empirik reqressiya əmsallarıdır.
e kənarlaşmasının qiymətidir.Fərdi müşahidələr üçün yaza bilərik:
iimmii exbxbby ...110 (3)
Qiymətləndirmə tənliyi ilk növbədə Y asılı dəyişənin qiymətinin
dəyişməsinin ümumi trendini (istiqamətini) təsvir etməlidir. Bu zaman bu
trenddən kənarlaşmaları hesablamaq imkanı mövcud olmalıdır.
n həcmli nixxx inii ,...,2,1),,...,,( 21 yığımdan məlumatlarına əsasən
vektorunun j parametrlərinin qiymətlərini tapmaq, daha doğrusu seçilmiş
modelin parametrləşdirilməsini aparmaq lazımdır (burada imjxji ,...2,1, -ci
müşahidədə jx dəyişənin qiymətidir).
ƏKKM-nin i səhvlərinə nəzərən şərtləri ödəndikdə çox xətti reqressiyanın
m ,...,, 21 parametrlərinin ƏKKM-u ilə tapılmış mbbb ,....,, 21 qiymətləri
sürüşdürülməmiş, səmərəli və əsaslı hesab edilir (BLUE qiymətləri).
(3) ifadəsinə görə y -asılı dəyişənin iy qiymətinin iy model qiymətindən ie
kənarlaşması aşağıdakı kimi hesablanır:
immiii xbxbbye ...110 (4)
Onda ƏKKM-u ilə mbbb ,....,, 21 əmsallarının qiymətlərini tapmaq üçün
aşağıdakı funksiya minimumlaşdırılır.
2
1 1
0
1
2
n
i
m
j
ijji
n
i
i xbbyeQ (5)
(5) funksiyası mjb j ,...1,0, məchul kəmiyyətlərə nəzərən kvadratik
funksiyadır. Q aşağıdan məhduddur, deməli minimumu vardır. Q funksiyasının
minimumunun zəruri şərti onun jb üzrə bütün məxsusi törəmələrinin sıfıra bərabər
olmasıdır. (5) kvadratik funksiyası məxsusi törəmələri aşağıdakı xətti
funksiyalardır:
54
mjxxbbyb
Q
xbbyb
Q
ij
n
i
m
j
ijji
n
i
m
j
ijji
,...2,1,2
2
1 1
0
0
1 1
0
0
(6)
Əgər bu tənlikəri sıfıra bərabər etsək, onda (m+1) məchulu (m+1) xətti
tənlikdən ibarət sistem alarıq:
n
i
ij
m
j
ijji
n
i
m
j
ijji
mjxxbby
xbby
1 1
0
1 1
0
,...2,1,0
0
(7)
Belə sistemin əsasən yeganə həlli olur. Bu sistemə normal tənliklər sistemi
deyilir. Onun həllini vektor-matris qoyuluşunda daha aşkar izləmək mümkündür.
1. Çox xətti reqressiyanın əmsallarının hesablanması.
İqtisadi sistemin dəyişənlərinin müşahidə qiymətlərini və əmsalları matris
formasında təsvir edək:
ny
y
y
y...
2
1
,
nmnn
m
m
xxx
xxx
xxx
x
....1
..................
....1
....1
21
22221
11211
,
mb
b
b
B...
1
0
,
ne
e
e
e...
2
1
Burada y - asılı dəyişənin müşahidələrinin n ölçülü vektor-sütundur;
)1( mnx ölçülü matris olub, i -ci sətiri ( ni ,...2,1 ) mxxx ,...., 21
sərbəst dəyişənlərin qiymətləri vektorunun müşahidələrini əks etdirir.
Vahid 0b sərbəst həddin dəyişəninə uyğun gəlir. B- (m+1) ölçülü
vektor-sütun olub, (2) reqressiya tənliyinin parametrlərini əks etdirir.
ne ölçülü vektor-sütun olub, y asılı dəyişənin iy real qiymətlərinin
immiii xbxbxbby ...ˆ22110
reqressiya tənliyinə görə alınmış iy -qiymətlərinin kənarlaşmalarını əks etdirir.
55
Asanlıqla yəgin etmək olar ki,
n
i
ieQ1
2 funksiyasını matris formasında
),....,( 21 n
T eeee sətir vektorunun e sütun vektoruna hasili kimi yazmaq olar. e
sütun vektorunu həm də aşağıdakı kimi yaza bilərik:
XBYe (8)
Buradan alırıq:
XBXBYXBYYXBXBXBYYXBYYXBYXBYeeQ TTTTTTTTTTTTT 2
(9)
Burada, TTTT YXBe ,,, müvafiq vektor və matrislərə görə transpanirə
edilmiş vektor və matrislərdir. (9) ifadəsini almaq üçün xətti cəbrin aşağıdakı
məlum formulaları tətbiq edilib:
;TTT
XBYXBY TTTXBXB ; XBYYXB TTT
Q funksiyasının ekstremumunun zəruri şərti onun bütün jb parametrləri üzrə
məxsusi törəmələrinin sıfıra bərabər olmalısıdır.
Asanlıqla müəyyən etmək olur ki, B
Q
məxsusi törəmələrin vektor-sütununu
matris formasında
BXXYXB
Q TT )(22
şəklində ifadə etmək olar.
Əgər B
Q
-ni sıfıra bərabər etsək, onda çox xətti reqressiyanın əmsallarını
hesablamaq üçün aşağıdakı formulanı alarıq:
YXXXB
BXXYX
BXXYX
TT
TT
TT
1
022
(10)
Burada XXXX TT 1
matrisinin tərs matrisidir .
(10) ifadəsi istənilən m sayda izahedici dəyişənə malik reqressiya tənliyi
üçün doğrudur.
Məsələn, analoji yanaşmaya əsasən, m=2 olduqda (10) ifadəsi aşağıdakı üç
dəyişənli üç xətti tənliklər sistemi şəklinə düşəcəkdir:
56
2
222110
212
2
11101
22110
iiiiriir
iiiiii
iii
xbxxbxbyx
xxbxbxbyx
xbxbnby
2. Əmsalların dispersiyaları və standart səhvləri.
Dispersiyaların və standart səhvlərin məlum olması tədqiqatçıya qiymətlərin
dəqiqliyini təhlil etməyə, nəzəri əmsallar üçün etibarlılıq intervalları qurmağa,
müvafiq hipotezaları yoxlamağa imkan verir.
Bu xarakteristikaların hesablanması formulalarını matris formasında vermək
daha sərfəli hesab edilir. Əvvəlcədən qeyd edək ki, matris formasında ƏKKM-
un ilk üç şərti aşağıdakı kimi ifadə ediləcəkdir:
1. 0M
2. ID 2)(
3. EMK T 2)()(
burada
ne
e
e
...
2
1
,
1
...
1
1
1 1nI ,
1000
............
0010
0001
nnEE
)(...
............
...)(
...)(
)(
21
.2212
1121
1
1
nnn
n
n
D
D
D
K
(10) ifadəsinə görə çox xətti reqressiyanın empirik əmsalları
YXXXB TT 1)(
formulasına görə hesablanır.
Y-in XY nəzəri qiymətini bu ifadədə nəzərə alsaq, alarıq:
TTTTTTTT XXXXXXXXXXXXXXB1111
Dispersiya-kovariasiya matrisi quraq:
57
1111
XXXXXXMXXXXXXMBBMK TTTT
TTTTTT
jx təsadüfi kəmiyyət olmadığı üçün alırıq:
jji
TTTTTTTT
ZD
XXXXEXXXXXXXMXXXK
2
1212111)()(
Burada 11 XXZZ T
jj matrisinin j-ci diaqanal elementidir.
Yığıma görə 2 dispersiyasının həqiqi qiymətini təyin etmək mümkün
olmadığından, onu aşağıdakı sürüşdürülməmiş qiymətlə əvəz edirik:
1
2
2
mn
eS
i (11)
Burada m - modelin izahedici dəyişənlərinin sayıdır. Qeyd edək ki, bəzən 11
ifadəsində məxrəci knmn 1 kimi ifadə edirlər və k -ya modelin
parametrinin sayı (təyin ediləcək reqressiya əmsalları kimi) kimi baxırlar.
Deməli, yığıma görə biz reqressiyanın empirik əmsallarının yalnız
seçmə dispersiyalarını təyin edə bilərik:
),...2,1(,1
2
22 mjZmn
eZSS jj
i
jjb j
Cüt reqressiyada olduğu kimi, burada da 2SS kəmiyyəti
reqressiyanın standart səhvi adlanır. 22
jj bb SS reqressiya əmsalının standart
səhvi adlanır.
İki izahedici dəyişənə malik 22110ˆ xbxbby tənliyi üçün əmsalların
dispersiyaları və standart səhvləri aşağıdakı formulalar üzrə hesablanır:
2
2
2211
2
22
2
11
221121
2
122
2
22
2
1221
0S
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
nS
iiii
iiii
b
2
12
2
11
22
2
2211
2
22
2
11
2
222
11
xx
SS
xxxxxxxx
xxS
iiiii
i
b
2
12
2
22
22
2
2211
2
22
2
11
2
112
12
xx
SS
xxxxxxxx
xxS
iiiii
i
b
58
2
00 jbb SS ; 2
11 bb SS ; 2
22 bb SS
Burada 12 - 1x və
2x dəyişənləri arasındakı seçmə korrellyasiya əmsalıdır.
Əmsallar arasındakı kovariasiya isə aşağıdakı formula üzrə hesablanır:
2
22
2
11
2
12
2
1221
1
,cov
xxxx
Sbb
ii
(12)
4. Nəzəri reqressiya tənliyinin əmsallarının interval qiymətəri.
Cüt reqressiyada olduğu kimi, çox reqressiyada da j əmsallarının jb
nöqtəvi qiymətləri tapıldıqdan sonra bu əmsalların interval qiymətləri
hesablana bilər. j əmsallarının interval qiymətlərini qurmaq üçün
bj
jj
S
bt
(12)
t-statistikası hesablanır. Fərz edilir ki, bu t- statistika 1 mnv sərbəstlik
dərəcələrinin sayına malik Stydent paylanmalıdır. (burada n-yığımın
ölçüsü, m-izahedici dəyişənlərin sayıdır.) Tutaq ki, j əmsalı üçün
li )%1(100 ehtibarlılıq intervalı müəyyən edilməlidir. Onda -nın tələb
edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsində və v sərbəstlik dərəcələrinin sayında
Styudent paylanmasının kritik nöqtələri cədvəlindən elə bir 1,2
mnt
kritik nöqtə tapılır ki, bu nöqtə üçün
1)(,(1,
21,
2
)1
2mnmn
mn tttPttP (13)
şərtini ödəsin.
(13)-ü (12)-də yerinə yazsaq, alarıq:
1)1,
2)1,
2( mn
j
jj
mntt
Sb
bP
Bu ifadəni çevirsək, aşağıdakı ifadə alınacaqdır:
1)(1,
21,
2
jmn
jjjmn
j SbtbSbtbP
Məlum olduğu kimi, jSb aşağıdakı formula üzrə hesablanır:
59
jj
i
jjj zmn
ezSSb
1
2
Beləliklə, j parametrinin naməlum qiymətini 1 etibarlılıqla əhatələyən
etibarlılıq intervalı aşağıdakı bərabərsizliklə müəyyən edilir:
jmn
jjjmn
j SbtbSbtb 1,
21,
2
5. Çox xətti reqressiyanın empirik tənliyinin keyfiyyətinin təhlili.
Empirik reqressiya tənliyinin qurulması ekonometrik təhlilin başlanğıc
mərhələsi hesab edilir. Yığıma görə qurulmuş ilk reqressiya tənliyi çox az
hallarda bu və ya digər xarakteristikalara görə kafi hesab edilir. Odur ki,
ekonometrik təhlilin növbəti mühüm vəzifəsi reqressiya tənliyinin
keyfiyyətinin yoxlanmasıdır. Ekonometrikada belə yoxlanışın artıq
formalaşmış sxemi tətbiq edilir. Bütün müasir ekonometrik paketlər məhz bu
sxem üzrə işləyir.
Qiymətləndirilmiş reqressiya tənliyinin statistik keyfiyyəti aşağıdakı
sxem üzrə yoxlanır:
reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyinin
yoxlanması;
reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması;
məlumatların tənliyin qiymətəndirilməsi zamanı ödəndiyi fərz edilən
xassələrinin yoxlanması (ƏKKM–nın şərtlərinin ödənməsinin
yoxlanması )
6. Reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyinin
qiymətləndirilməsi.
Cüt reqressiyada olduğu kimi, m izahedici dəyişənə malik çox xətti
reqressiyanın əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyi də
bj
j
S
bt
t-statistikaya əsasında yoxlanılır. Fərz edilir ki, bu halda t-statistika
60
1 mnv sərbəstlik dərəcələrinin sayına malik Styudent paylanmalıdır.
(n-yığımın həcmidir) . t-statistikanın müşahidə edilən qiyməti tələb edilən
əhəmiyyətlilik səviyyəsində Styudent paylanmasının 1,
2mn
t kritik nöqtəsi
ilə müqayisə edilir.
Əgər t 1,
2
mn
t olarsa, onda jb əmsalı statistik əhəmiyyətli sayılır.
Əks halda, yəni t1,
2
mn
t olduqda jb əmsalı statistik əhəmiyyətsiz hesab
edilir (statistik sıfıra yaxın). Bu o deməkdir ki, jx faktoru Y asılı dəyişənlə
xətti asılı deyil. Bu dəyişənin izahedici dəyişənlər arasında olması statistik
nöqteyi-nəzərdən özünü doğrultmur. Asılı dəyişənə ciddi təsir göstərməyən
bu dəyişmin qarşılıqlı əlaqələrin mənzərəsini təhrif etməkdən başqa heç bir
rolu yoxdur.Odur ki, jb əmsalının statistik əhəmiyyətsiz olması faktını
aşkar etdikdən sonra reqressiya tənliyindən jx dəyişəninin kənarlaşdırmaq
məsləhət görülür. Bu kənarlaşdırma modelin keyfiyyətinin əhəmiyyətli
dərəcədə pisləşməsinə səbəb olmayacaq , əksinə, onu daha konkret və
mobil edəcək.
Bəzi hallarda əmsalların əhəmiyyətliiyinin ciddi yoxlanması sadə
müqayisəli təhlillə əvəz olunur.
Əgər 1t )(jbj Sb olarsa, onda əmsal statistik əhəmiyyətsizdir.
Əgər 21 t )2(jbj Sb olarsa, onda əmsal nisbətən əhəmiyyətlidir.
Bu halda Styudent paylanmasının kritik nöqtələr cədvəlindən istifadə
etmək məsləhət görülür.
Əgər 32 t olarsa, onda əmsal əhəmiyyətlidir. Bu qərar 20v və
05,0 halları üçün təminatlıdır.
Əgər 3t olarsa, onda əmsal yüksək dərəcədə əhəmiyyətli sayılır.
Əgər müşahidələrin sayı kifayət qədərdirsə, onda bu halda səhvin ehtimalı
0, 001-dən çox olmur.
7. Reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması.
61
Hər bir reqressiya əmsalının əhəmiyyətliliyi yoxlandıqdan sonra
reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyəti yoxlanılır. Bunun üçün cüt
reqressiyada olduğu kimi, aşağıdakı formula üzrə hesablanan 2R
determinasiya əmsalından istifadə edilir:
2
2
2 1yy
eR
i
i (14)
Bu əmsalın mahiyyəti cüt korrelyasiyada ətraflı nəzərdən keçirildiyi üçün
burada sadəcə qeyd edəcəyik ki, ümumi halda onun qiyməti 10 2 R
oblastında dəyişir. Əmsalın qiyməti vahidə nə qədər yaxın olsa, reqressiya
tənliyi y asılı dəyişənin davranışını bir o qədər çox izah edəcəkdir. Odur ki,
tədqiqatçı həmişə daha yüksək 2R -na malik reqressiya qurmağa çalışır. Çox
reqressiya üçün determinasiya əmsalı izahedici dəyişənlərin sayının
azalmayan funksiyasıdır. Yeni izahedici dəyişənin əlavə edilməsi heç vaxt
2R -ın qiymətini azaltmır. Doğrudan da, hər sonrakı izahedici dəyişən asılı
dəyişənin davranışını izah edən informasiyanı yalnız tamamlaya bilər, lakin
heç bir halda onu azaltmır. Bu isə y asılı dəyişənin davranışındakı qeyri-
müəyyənlik oblastını azaldır (ən pis halda artırmır).
Bəzən determinasiya əmsalı hesablanan zaman sürüşdürülməmiş
qiymətlər almaq üçün vahiddən çıxılan kəsrin sürətində və məxrəcində
sərbəstlik dərəcələrinin sayına görə düzəliş edilir. Yəni, korrektirovka
edilmiş (düzəldilmiş) determinasiya əmsalı qurulur:
1/
1/1
2
2
2
nyy
mneR
i
i (15)
Asanlıqla görmək olar ki, 1/2
nyyi -ümumi dispersiyanın- y
dəyişənin qiymətlərinin y -dan kənarlaşmasının dispersiyanın sürüşdürülmüş
qiymətidir. Bu zaman onun sərbəstlik dərəcələrinin sayı 1n -ə bərabərdir.
Bir sərbəstlik dərəcəsi y hesablanarkən itir.
62
1/2 mnei isə qalıq dispersiyanın, yəni təsadüfi kənarlaşmaların
(müşahidə nöqtələrinin reqressiya xəttindən kənarlaşması) sürüşdürülməmiş
qiymətidir. Onun sərbəstlik dərəcələrinin sayı 1mn -ə bərabərdir. ( 1m )
sayda sərbəstlik dəyişənin itirilməsi empirik reqressiya tənliyinin əmsalları
hesablanan zaman ( 1m ) sayda xətti tənlikdən ibarət tənliklər sisteminni
həlli ilə bağlıdır. Qeyd edək ki, izah olunmuş dispersiyanın sürüşdürülməmiş
qiymətinin sərbəstlik dərəcələrinin sayı ümumi dispersiya ilə qalıq
dispersiyanın sərbəstlik dərəcələrinin sayı arasındakı fərqə bərabərdir:
mmnn 11 (16)
(14) ifadəsindən məlum olur ki, bütün 1m üçün 22 RR şərti
ödənir. m -in qiyməti artdıqca korrektə edilmiş 2R determinasiya əmsalının
qiyməti 2R adi determinasiya əmsalının qiymətinə nəzərən daha ləng artır.
Yəni, izahedici dəyişənlər artdıqca, bu əmsal azalma istiqamətinə korrektə
edilir. Yalnız 12 R olduqda 22 RR alınır. 2R mənfi qiymət ala bilər
(məsələn, 02 R olduqda).
İsbat edilir ki, yeni izahedici dəyişən daxil edildikdə, yalnız və yalnız
bu izahedici dəyişən üçün t -statistika modulca vahiddən böyük olduqda 2R
artır. Odur ki, modelə izahedici dəyişənlər o vaxta qədər əlavə edilməlidir ki,
korrektə edilmiş determinasiya əmsalının artması davam etsin.
Ekonometrik paketlərdə reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin
məcmu ölçüsü olan 2R və 2R -ın hər ikisi haqqında məlumatlar öz əksini
tapır. Lakin determinasiya əmsalının əhəmiyyətinin mütləqləşdirmək olmaz.
Düzgün qurulmamış lakin yüksək determinasiya əmsalına malik modellər
haqqında çoxsaylı misallar göstərmək olar. Odur ki, determinasiya əmsalına
qurulan modelin təhlilinə xidmət edən göstəricilərdən biri kimi yanaşmaq
lazımdır.
7.1 . Determinasiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyinin
qiymətləndirilməsi.
63
Reqressiya əmsallarından hər birinin fərdi statistik əhəmiyyətliliyini
qiymətləndirdikdən sonra bu əmsalların məcmu əhəmiyyətliliyi təhlil edilir.
Bu tip təhlil ümumi əhəmiyyətlilik haqqında hipotezanın-reqressiyanın
izahedici dəyişənlərdə olan bütün əmsalların eyni zamanda sıfıra bərabər
olması haqqında hipotezanın yoxlanması əsasında aparılır:
0...: 210 mH
Əgər bu hipoteza qəbul edilirsə, onda belə hesab edilir ki, bütün m
sayda mxxx ,...,, 21 izahedici dəyişənlərin y asılı dəyişənə məcmu təsiri
statistik əhəmiyyətsizdir və deməli, reqressiya tənliyinin keyfiyyəti yüksək
deyil.
Bu hipotezanın yoxlanması dispersiya təhlili əsasında aparılır.
Dispersiya təhlili dedikdə- izah edilmiş və qalıq dispersiyaların müqayisəsi
başa düşülür. Müqayisə aşağıdakı halları əhatə edir:
0H : (izah edilmiş dispersiya)=(qalıq dispersiya)
1H : (izah edilmiş dispersiya)>(qalıq dispersiya).
Müqayisə üçün aşağıdakı F –statistika qurulur:
1/ˆ
/ˆ
1/
/2
2
2
2
mnyy
myy
mne
mkF
ii
i
i
i (17)
burada mki /2 - izah edilmiş dispersiyadır;
1/2 mnei -qalıq dispersiyadır.
ƏKKM-un şərtləri ödəndikdə, qurulmuş F –statistika mv 1 ;
12 mnv sərbəstlik dərəclərinin sayına malik Fişer paylanmasına malik
olur. Odur ki, əgər tələb edilən əhəmiyyəlilik səviyyəsində
1,,,kr mnnmmüş FFF olarsa, onda 0H hipotezası 1H hipotezasının xeyrinə
qəbul edilmir (burada 1,,, mnnmF -Fişer paylanmasının kritik nöqtəsidir). Bu o
deməkdir ki, izah edilmiş dispersiya qalıq dispersiyadan əhəmiyyətli
dərəcədə çoxdur. Deməli, reqressiya tənliyi y asılı dəyişənin dəyişməsi
dinamikasını kifayət qədər keyfiyyətli şəkildə əks etdirir. Əgər
64
1,,, mnnmmüş FF olarsa, onda 0H hipotezasını qəbul etməməyə heç bir əsas
yoxdur. Bu isə o deməkdir ki, izah edilmiş dispersiya təsadüfi faktorların
doğurduğu dispersiya ilə müqayisəyə gələndir, yəni modelin izahedici
dəyişənlərinni birgə təsiri əhəmiyyətsizdir və modelin ümumi keyfiyyəti
aşağıdır.
Real iqtisadi həyatda bu hipotezanın əvəzində çox zaman bu hipoteza
ilə sıx əlaqəli olan 2R determinasiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyi
haqqında hipoteza yoxlanılır:
0:
0:
2
0
2
0
RH
RH
Bu hipotezanı yoxlamaq üçün aşağıdakı F-statistikadan istifadə edilir:
m
mn
R
RF
1
1 2
2
(18)
ƏKKM-un Qaus-Markov teoremi liə müəyyən edilən şərtləri
ödəndikdə və 0H hipotezası doğru olduqda F kəmiyyəti (17) F-statistikaya
analoji olan Fişer paylanmasına malik olur. Doğrudan da, (17)-nin surət və
məxrəcini kənarlaşmaların kvadratlarının ümumi cəmi olan 2
yyi -na
bölsək, (18) ifadəsini alarıq:
m
mn
R
R
m
mn
yye
yyRF
ii
ii 1
1
1
/
/2
2
22
22
(18) ifadəsinə görə, F və 2R göstəriciləri eyni zamanda ya sıfıra
bərabərdirlər, ya da bərabər deyillər. Əgər 0F olarsa, onda 02 R və yy
reqressiya xətti ƏKKM na görə ən yaxşı hesab edilir. Deməli, y kəmiyyəti
mxxx ,...,, 21 -dən xətti asılı deyil. 0:0 FH sıfır hipotezasını verilmiş
əhəmiyyətlilik səviyyəsində yoxlamaq üçün Fişerin paylanmasının kritik
nöqtələri cədvəlinə görə 1,,,kr mnnmFF tapılır. Əgər krFF olarsa, sıfır
hipotezası qəbul edilmir. Deməli, 02 R -dır, yəni 2R statistik əhəmiyyətlidir.
65
F statistikasının təhlili belə bir qənaətə gəlməyə imkan verir ki, xətti
reqressiyanın bütün əmsallarının eyni zamanda sıfıra bərabər olması
haqqında hipotezanı qəbul etmək üçün 2R determinasiya əmsalı sıfırdan
əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənməli deyil. Müşahidələrin sayı artdıqca, onun
kritik qiyməti azalır və istənilən qədər kiçik ola bilər.
Qeyd edək ki, cüt reqressiya halında F-statistika üçün sıfır
hipotezasının yoxlanması korrelyasiya əmsalı üçün
21
2
xy
xy
r
nrt
t-statistika üzrə sıfır hipotezasının yoxlanması ilə eyni qüvvəyə
malikdir. Bu halda F-statistika t-statistikanın kvadratına bərabərdir. 2R
əmsalı yalnız çox xətti reqressiyada müstəqil əhəmiyyət kəsb etməyə
başlayır.
7.2. İki determinasiya əmsalının bərabərliyinin yoxlanması.
F-statistikadan istifadənin digər mühüm istiqaməti bütün reqressiya
əmsallarının eyni zamanda sıfıra bərabər olması hipotezasının yoxlanması
deyil, onlardan bir qisminin sıfıra bərabər olması hipotezasının yoxlanmasıdır.
F-statistikadan belə istifadə reqressiya tənliyinə izahedici dəyişənlərin
müəyyən yığımlarının əlavə olunması və ya çıxarılmasının nə dərəcədə əsaslı
olmasını qiymətləndirməyə imkan verir. Qeyd edək ki, reqressiya tənliyində
edilən bu dəyişikliklər xətti reqressiya modelinin təkmilləşdirilməsində çox
vacib addım hesab edilir.
Tutaq ki, n müşahidə üzrə əvvəlcədən tərtib edilmiş reqressiya tənliyi
aşağıdakı şəkildədir:
mmkmkm Xbxbxbxbby ...... .22110 (19)
və bu model üçün determinasiya əmsalı 2
1R -a bərabərdir. K kiçik
yarım sayda izahedici dəyişəni tədqiqatdan kənarlaşdıraq (fərz edək ki,
axırıncı K dəyişəni). Başlanğıc n sayda müşahidə üzrə qalan faktorlar üçün
digər reqressiya tənliyi quraq:
66
KXcxcxccy mkm
...22110 (20)
Bu reqressiya tənliyi üçün determinasiya əmsalı 2
2R -a bərabər olsun.
Təbii ki, 2
1
2
2 RR olacaqdır, çünki hər bir əlavə dəyişən asılı dəyişənin
qiymətinin səpələnməsinin bir hissəsini izah edəcəkdir. Qarşıya belə bir sual
çıxır: y asılı dəyişənin davranışının təviri əhəmiyyətli dərəcədəmi pisləşdi?
Bu suala cavab 0:2
10 RH hipotezasını yoxlamaqla və
R
mn
R
RRF
1
12
1
2
2
2
1
(21)
statistikasından istifadə etməklə vermək olar.
Əgər 0H həqiqi olarsa, onda (20) F-statistikası Kv 1 ; 12 mnv
sərbəstlik dərəclərinə malik Fişer paylanmasına malik olacaqdır. Doğrudan
da, (20) ifadəsini aşağıdakı kimi göstərmək olar:
)1/()1(
/)(2
1
22
2
2
1
mnR
KRRF (22)
Burada KRR )(2
2
2
1 sayda izahedici dəyişənin tədqiqatdan çıxarılması
nəticəsində tənliyin keyfiyyətinni pisləşməsidir; R -əlavə olaraq ortaya çıxmış
sərbəstlik dərəcələridir. )1/()1(2
1 mnR -ilkin tənliyin izah edilməmiş
dispersiyasıdır. Deməli, bu vəziyyət (17) ifadəsinə analojidir.
Fişer paylanmasının kritik nöqtələri cədvəlinə əsasən 1,,kr mnkFF
tapılır ( -tələb edilən əhəmiyyətlilik səviyyəsidir). Əgər müşF -nin (20)
ifadəsinə görə hesablanmış qiyməti krF -dən çox olarsa, onda determinasiya
əmsallarının bərabərliyi haqqında sıfır hipotezası (reqressiyanın tədqiqatdan
çıxarılmış K əmsalının eyni zamanda sıfıra bərabər olması haqqında
hipoteza) qəbul edilməməlidir. Bu halda K sayda izahedici dəyişənin eyni
zamanda tədqiqatdan kənarlaşdırılması korrekt hesab edilmir, çünki 2
1R 2
2R -ı
əhəmiyyətli dərəcədə üstələyir. Bu o deməkdir ki, ilkin reqressiya tənliyinin
keyfiyyəti tədqiatdan çıxarılmış dəyişənləri reqressiya tənliyinə nəzərən daha
yüksəkdir, çünki o asılı dəyişənin səpələnməsinin daha böyük payını izah
67
edir. Əgər müşahidə edilən F-statistika böyük deyilsə (yəni Fkrit-dən azdırsa),
onda )(2
2
2
1 RR əhəmiyyətsiz olur. Deməli, bu halda R sayda izahedici
dəyişənin eyni zamanda atılması reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin
pisləşməsinə səbəb olmamışdır və onu məqbul qəbul etmək olar.
Reqressiyaya R sayda yeni izahedici dəyişənlərin daxil edilməsinin
əsaslandırılması üçün də analoji mülahizələrdən istifadə etmək olar. Bu halda
aşağıdakı F-statistika hesablanır:
R
mn
R
RRF
1
12
1
2
1
2
2
Əgər bu F-statistika krF -dən çoxdursa, onda yeni dəyişənlərin daxil
edilməsi asılı dəyişənin əvvəl izah edilməmiş dispersiyasının əhəmiyyətli
hissəsini izah edir. Odur ki, bu şəkildə əlavəni məqsədəuyğun hesab etmək
olar. Lakin qeyd edək ki, dəyişənləri bir-bir əlavə etmək məqsədəuyğundur.
Bundan əlavə, izahedici dəyişənlər əlavə etdikdə korrektə edilmiş
determinasiya əmsalından istifadə etmək məntiqi baxımdan daha düzgündür.
Çünki adi 2R əlavə dəyişənin hesabına həmişə artır, 2
R korrektə edilmiş
determinasiya əmsalında isə bu əlavə dəyişən onu azaldan m-in artmasına
səbəb olur.
Əgər yeni dəyişən daxil etdikdə izahedilmiş dispersiyanın payını artımı
əhəmiyyətsizdirsə, onda 2
R azala bilər. Onda bu dəyişənin daxil edilməsi
məqsədə uyğun sayılmır.
Qeyd edək ki, 2
R determinasiya əmsalına görə iki reqressiya tənliyinin
keyfiyyətini yoxlamaq üçün aşağıdakı iki tələbin ödənilməsi zəruridir:
1.Asılı dəyişən eyni formada təsvir edilməlidir.
2.Hər iki model üçün müşahidələrin n sayı eyni olmalıdır.
Məsələn, tutaq ki, eyni bir y göstəricisi aşağıdakı iki tənliklə
modelləşdirilir:
22110
22110
xxlux
xxy -xətti
68
-loq xətti
Onda bu tənliklərin 2
1R və 2
2R determinasiya əmsalları aşağıdakı formulalar
üzrə hesablanacaqdır:
2
2
2
22
2
2
1)(
;) yeye
eR
yy
eR
nin
i
i
i
Bu ifadələrin məxrəcləri fərqli olduğundan , determinasiya əmsallarının
birbaşa müqayisəsini korrekt yanaşma hesab etmək olmaz.
7.3. İki yığım üçün reqressiya tənliklərinin üst-üstə düşməsi haqqında
hipotezanın yoxlanması . Çou testi.
F-statistikadan istifadənin başqa bir istiqaməti ayrı-ayrı müşahidə qrupları
üçün reqressiya tənliklərinin üst-üstə düşməsi haqqında hipoterin yoxlanmasıdır.
Bu hipoterin yoxlanmasının ən çox yayılmış testi Çou testi adlanır. Çou testinin
mahiyyəti aşağıdakı kimidir:
Fərz edək ki, həcmləri n1 və n2 olan iki yığım vardır. Bu yığımlardan hər
biri üçün repressiya tənliyi aşağıdakı kimi qiymətləndirilmişdir.
2,1,...22110 Kexbxbxbby kmmkkkk (23)
Reqressiyanın müvafiq əmsallarının bir-birinə bərabər olması haqqında
mjbbH jj ,...,2,1,: 20 1
Sıfır hipoteri yoxlanılır. Başqa sözlə, hər iki yığım üçün eyni bir reqressiya
tənliyi alınacaq ya yox?
Tutaq ki, Yi qiymətlərinin reqressiya xətlərindən kənarlaşmalarının
kvadratları cəmi )2,1(2
Kle
ik birinci və ikinci reqressiya tənlikləri üçün müvafiq
olaraq 1S və S2 -yə bərabərdir.
(n1+n2) həcmli birləşdirilmiş yığım üçün daha bir reqressiya tənliyinin
qiymətləndirildiyini şərtləsək və bu tənlik üçün Yi -nin reqressiya tənliyindən
kənarlaşmaların kvadratları cəminin S0 olduğunu qəbul edək.
69
Bu halda Ho-ı yoxlamaq ücün aşağıdakı F-statistika qurulur:
)24(1
2221
21
210
m
mnn
SS
SSSF
Əgər Ho doğrudursa, qurulmuş F statistika sərbəstlik dərəcələrinin sayı 1=m+1;
2=n1+n2-2m-2 olan Fiser paylanmasına malik olur.Təbii ki,əgər 210 SSS
olarsa , onda F statistika sıfıra yaxın olur. Bu isə o deməkdir ki, hər iki yığım
ücün reqressiya tənliyi praktik olaraq eynidir. Bu halda 21;; vvFFF kr . Əgər
F>F olarsa, onda hipoter doğru hesab edilmir.
Çou testi baxılan vaxt müddəti üçün yeganə reqresiya tənliyi qurmağın
mümkünlüyü haqda qərar cıxartmağa imkan verir. Əks halda zaman intervalı
parcalara ayrılmalı və hər parça üçün fərdi reqressiya tənliyi qurulmalıdır.
7.8. Darbin- Uatson statistikası
Reqressiya tənliyinin əmsallarının statistik əhəmiyyətliliyi və R2
determinasiya əmsalının qiymətinin 1-ə yaxın olması hələ reqressiya tənliyinin
yüksək keyfiyyətinə təminat vermir. Bu hər şeydən əvvəl özünü reqressiya
tənliyinin tipinin düzgün secilməməsində büruzə verir. Bu isə ƏKKM-un
müşahidə nöqtələrinin reqressiya xəttindən i kənarlaşmaları haqqında şərtinin
ödənilməməsinə gətirib cıxardır. Bu kənarlaşmalar daimi (sabit) dispersiyaya
malik deyillər və qarşılıqlı asılı olmayan deyillər. Onda reqressiyanın əmsallarının
alınmış qiymətləri də qeyri-dəqiq olur və onların standart səhvləri artır. Deməli,
tənliyin özü düzgün spesifikasiya olunmamışdır. Odur ki reqresiya tənliyinin
keyfiyyətinin yoxlanmasının növbəti mərhələsi ƏKKM-u haqqında şərtlərin
ödənilməsinin yoxlanmasıdır.
Biz xətti reqressiya tənliyini qiymətləndirən zaman belə fərz edirdik ki,
dəyişənlərin real qarşılıqlı əlaqələri xəttidir, reqressiya düz xəttindən kənarlaşmalar
isə bir-birindən asılı olmayan sıfır riyazi gözləməli və sabit dispersiyalı təsadüfi
kəmiyyətlərdir.
Əgər bu şərtlər ödənmirsə, onda reqressiyanın əmsallarının qiymətləri
sürüşdürülməmişlik, səmərəlilik və əsaslılıq xassələrinə malik deyillər və onların
əhəmiyyətliliyin təhlili dəqiq olmayacaqdır.
70
Kənarlaşmaların yuxarıda sadaladığımız xassələrə malik olmamasının səbəbləri
ya baxılan dəyişənlər arasındakı asılılığın qeyri-xətti xarakterdə olması, ya da
tənlikdə nəzərə alınmamış mühüm faktorun mövcud olmasıdır. Bu halda ƏKKM-
un şərtlərinin ödənilməsi üçün ya hər hansı bir qeyri xətti funksiya
qiymətləndirilməli, ya da reqressiya tənliyinə yeni, izahedici dəyişən daxil
edilməlidir.
Reqressiya tənliyinin statistik təhlili zamanı ilkin mərhələdə məhz bir şərtin,
yəni kənarlaşmaların öz aralarında statistik qeyri-asılılığın ödənilməsi həyata
keçirilir. xy 10 nəzəri reqressiya tənliyinin i qiymətlərinin məchul
qalması ilə bağlı (çünki reqressiya əmsallarının həqiqi qiymətləri qeyri-
müəyyəndir) onların qiymətlərinin - niei ,...,2,1 kənarlaşmalarının statistik qeyri-
asılılığı yoxlanılır. Bu zaman bir qayda olaraq onların sərbəst olmaları üçün
zəruri, lakin qeyri-kafi sərt hesab edilən korrelyasiya olmamaları yoxlanılır. Həm
də bütün ie -in deyil, qonşu ie -in qeyri-korrelyasiya asılılığı yoxlanılır. Bu zaman
qonşu dedikdə zaman sırasına görə qonşu, ya da X izahedici dəyişənin artımına
görə qonşu hədlər başa düşülür.Bu kəmiyyətlər üçün korrelyasiya əmsalı və ya bu
halda birinci tərtib avtokorrelyasiya əmsalı adlanan əmsal hesablanır:
2
1
2
1
1,
ii
ii
eiei
ee
eer
Praktikada kənarlaşmaların korrelyasiyalılığının təhlili üçün
korrelyasiya əmsalının əvəzinə Darbin-Uatson statistikasından istifadə edilir.
2
2
1)(
i
ii
e
eeDW
Sadə çevirmələr vasitəsilə ilə göstərmək olar ki, )(
1ii ee 2
)2(2 1
2
iii eee -dir.
Onda alırıq :
)1(2)(2
12
1
2
re
eeeDW
i
iii
71
Bu ifadəyə görə əgər 1 ii ee olarsa , onda 11
eieir və DW=0 olur.
Əgər 1 ii ee olarsa onda 11 eieir , DW=4 alınır. Bütün qalan hallarda 0< DW<
4 olur.
Kənarlaşmaların təsadüfi davranışı zamanı belə hesab edə bilərik ki, halların
bir yarısında ardıcıl kənarlaşmaların işarələri üst-üstə düşür, digər yarıda isə
işarələr bir-birinə əksdir. Kənarlaşmaların mütləq kəmiyyətlərini orta hesabla eyni
qəbul etdiyimizdən, belə hesab edə bilərik ki, halların bir yarısında 1 ii ee , digər
yarısında isə 1 ii ee Onda alırıq:
245.0
)2(2
1
2
2
2
2
i
i
i
i
e
e
e
e
DW
Beləliklə, təsadüfi kənarlaşmaların asılı olmamasının zəruri şərti Darbin-
Uotson statistikasının qiymətinin 2-yə yaxın olmasıdır. Onda əgər DW=2 olarsa,
reqressiyadan kənarlaşmaları təsadüfi hesab edəcəyik (həqiqətdə belə olmaya da
bilər). Bu o deməkdir ki, qurulmuş xətti reqressiya ehtimal ki, real asılılığı əks
etdirir. Yəqin ki, asılı dəyişənə təsir göstərən əhəmiyyətli amillərdən hec biri
tədqiqatdan kənarda qalmamışdır. Başqa bir qeyri-xətti funksiya statistik
xarakteristikalarına görə təklif edilən xətti modeli üstələmir. Bu halda hətta R2 –ın
qiyməti kicik olduqda belə, reqressiya tənliyini etibarlı hesab etmək olar.
Qarşıya belə bir sual çıxır. DW-nin hansı qiymətlərini statistik olaraq 2-yə
yaxın hesab etmək olar?
Bu suala cavab vermək üçün Darbin-Uotson statistikasının kritik
nöqtələrinin xüsusi cədvəllərindən istifadə edilir. Bu cədvəl n sayda müsahidə, m
sayda izahedici dəysən və verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsində DW
statistikasının məqbulluğu hüdudlarını (kritik nöqtələrini) müəyyən etməyə imkan
verir. Verilmiş , n, m üçün cədvəldə iki ədəd d1-aşağı sərhəd və du-yuxarı sərhəd
göstərilir. Avtokorrelyasiyanın olamaması haqqında hipoteri yoxlamaq üçün
aşağıdakı parçadan istifadə olunur.
---------------------------------------------------------------------
72
Nəticələr aşağıdakı sxem üzrə qəbul edilir:
Əgər DW< d1, onda bu, qalıqların müsbət avtokorreliyasiyanın mövcud
olması deməkdir.
Əgər DW>4-d1, onda bu, qalıqların mənfi avtokorreliyasiyasının mövcud
olması deməkdir.
Əgər du< DW<4-du, onda qalıqların avtokorreliyasiyasının mövcud olmaması
haqqında hipoter qəbul edilir.
Əgər d1< DW< du və ya 4-du< DW<4-dı olarsa, onda avtokorrelyasiyasının
olmaması haqqında hipotez nə qəbul oluna, nə də rədd oluna bilməz.
Darbin-Uotsonun kritik nöqtələr cədvəlinə müraciət etmədən də “kobud
qayda” adlanan yanaşma əsasında qalıqların avtokorreliyasiyasının olub-
olmadığını qiymətləndirmək olar. Belə ki, əgər 1,5< DW< 2,5 olarsa onda
avtokorreliyasiyasının olmaması qərarı qəbul edilir.
Əgər avtokorrelyasiya varsa, onda alınmış reqressiya tənliyi qeyri
qənaətbəxş hesab edilir.
73
74