plagiat merupakan tindakan tidak terpuji metode … · buat oncu, dan oncu tidak akan ... gambar...

METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah

Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Maria Martini Leto Kurniawan

NIM : 013114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI


Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah

Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :


NIM : 013114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

i


EXTERIOR PENALTY FUNCTIONS METHOD

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathematics

By :


Student Number : 013114019

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008

ii


iii


iv


TUHAN, PERISAIKU

(Mzm 28 : 1-9)

Orang-orang yang menabur dengan mencucurkan air

mata, akan menuai dengan bersorak sorai, (Mzm 126:5)

Segala sesuatu indah pada waktunya. (Pengkotbah 3:11)

Bila selama ini aku masih bertahan ...

Semua ini aku persembahkan hanya karena cintaku untuk :

Tuhan Yesus dan Bunda Maria, Teman dan Bunda tersayang yang

dengan setia mendengarkan semua kepedihan hatiku…

Bapa dan Mama tercinta.... Ini janji Rita....walaupun perjalanan ini

masih panjang, tapi aku senang bisa membuat bapa dan mama tersenyum kembali…

No Ovik tercinta ...Kamu adalah pemberian terindah yang Tuhan berikan

buat oncu, dan oncu tidak akan pernah menyerah berjuang dalam hidup ini karena

“KAMU”…

Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce & No

Faldi....Aku sangat-sangat bersyukur dan bangga menjadi bagian dari kalian

semua…I love u all....

Isto yang sudah hadir dan mewarnai hidupku... Aku

mau kamu tahu bahwa semenjak ada dirimu semua terasa indah....Thanks for your love…

v


vi


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan

perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini

berjudul : “ METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR “, yang diajukan

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program

Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan

terima kasih kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh

perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik

kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing akademik.

3. Bapak Herry Pribawanto.S, S.Si, M.Si yang telah memberikan pinjaman

buku-buku matematika yang sangat membantu penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

4. Bapak St. Eko Hari Parmadi, S.Si.,M.Kom sebagai dosen panguji.

5. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.

6. Segenap dosen dan karyawan sekretariat FST yang telah mendidik dan

meyediakan fasilitas yang sangat bermanfaat bagi penulis.

ix


7. Bapa, Mama, No Ovik, Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce, No Faldi dan

seluruh keluarga besarku tercinta atas kasih sayang, doa, semangat, dukungan

serta kesabarannya selama ini.

8. No Ie, atas segala bantuan, doa dan dorongan buat saya. Terima kasih untuk

semuanya.

9. Isto untuk segala kasih dan kesabaran yang begitu tulus. Saya sangat

bersyukur mengenal kamu dan menjadi bagian dari hidupmu karena kau telah

mengajarkan saya begitu banyak hal

10. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Agnes, Alam, Fanya, Daniel,

Teddi, Deta, Vrysca, Upik, Yuli, Dani, Tabita, Andre, Indah, Ariel, Erika,

Wiwit, Maria, Very, Ray, dan April.

11. Mas Nadi yang selalu setia membantu dan menyemangati saya. Ma kasih mas.

12. Meggy atas segala bantuan dan dorongan semangat yang begitu tulus. Ma

kasih Gy.

13. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak

langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh

karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat

membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan

menjadi referensi bagi pembaca.

Yogyakarta, 26 Mei 2008

Penulis

x


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 26 Mei 2008

Penulis,


xi


DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... v

HALAMAN HAK CIPTA ........................................................................... vi

ABSTRAK .................................................................................................... vii

ABSTRACT .................................................................................................. viii

KATA PENGANTAR ................................................................................... ix

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ xi

DAFTAR ISI .................................................................................................. xii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah .................................................................... 1

B. Perumusan Masalah ........................................................................... 3

C. Batasan Masalah ................................................................................ 4

D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 4

E. Manfaat Penulisan ............................................................................. 4

F. Metode Penulisan ............................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan ........................................................................ 5

xii


BAB II TOPOLOGI DI nR DAN TEORI OPTIMISASI ............................. 7

A. Ruang Euclid dan Matriks ...................................................................... 7

B. Topologi di nR ........................................................................................ 8

C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial ................................................. 11

D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks………………………………. 15

E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala…………………………. 21

F. Teori Optimisasi………………………………………………………… 25

G. Metode Newton……………………………………………………….. 27

BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR ................................. 30

A. Konsep Fungsi Penalti ............................................................................ 30

B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti .................................................... 37

C. Metode Fungsi Penalti Eksterior ............................................................. 41

1. Bentuk Fungsi Penalti Eksterior…………………………………… 41

2. Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior………………………. 43

D. Konvergensi Metode fungsi Penalti Eksterior………………………… 56

BAB IV PENUTUP ...................................................................................... 63

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 65

LAMPIRAN .................................................................................................. …. 66

xiii


DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1.1 Minimum sama dengan maksimum .................... 1

Gambar 2.4.1 Ilustrasi dari himpunan konveks dan tidak konveks................ 15

Gambar 2.4.2 Lingkaran .......................................................... 16

Gambar 2.4.3 Parabola ...................................................................... 16

Gambar 2.7.1 Diagram Alir Algoritma Metode Newton..................................... 29

Gambar 3.1.1 Grafik Penalti............................................................................ 35

Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan........................................................... 35

Gambar 3.2.1 Geometri Fungsi Penalti............................................................. 39

Gambar 3.3.1 Diagram Alir Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior.............. 44

xiv


DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.2................................................... 50



xv


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Secara umum optimisasi merupakan tindakan untuk mendapatkan hasil

yang terbaik terhadap situasi yang diberikan (sebagai suatu masalah). Sebagai

contoh perusahaan sepatu yang ingin memberikan harga yang terbaik supaya

perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang terbanyak. Dalam berbagai macam

situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa ke dalam perumusan matematika

sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel keputusan tertentu, sehingga optimisasi

dapat didefinisikan sebagai proses mencari atau menemukan situasi yang

memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.

Perhatikan gambar 1.1.1 di bawah ini :

( )xf ( )xf

*x pembuat minimum dari ( )xf

Gambar 1.1.1 Minimum ( )xf sama dengan maksimum dari ( )xf−

*x x

0

*x pembuat maksimum dari ( )xf−

( )xf−


2

Dalam gambar 1.1.1 ( dalam hal ini sebagai contoh fungsi dengan

satu variabel ) dapat dilihat bahwa jika suatu titik menunjukkan nilai pembuat

minimum dari fungsi , titik yang sama itu juga menunjukkan nilai pembuat

maksimum dari negatif fungsi tersebut yakni

( )xf

*x

( )xf

( )xf− . Berarti optimisasi dapat

ditentukan dengan cara meminimalkan suatu fungsi karena maksimum dari fungsi

tersebut dapat ditemukan dengan mencari minimum dari negatif dari fungsi yang

sama.

Secara matematis optimisasi merupakan proses menemukan nilai

maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan cara meminimalkan fungsi

tersebut.

Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni,

optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala. Optimisasi berkendala

adalah optimisasi suatu fungsi yang disebut sebagai fungsi obyektif dengan

kendala-kendala berupa pertidaksamaan atau persamaan, sedangkan optimisasi

tidak berkendala adalah optimisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala. Pada

optimisasi berkendala jika fungsi obyektif atau fungsi kendala adalah nonlinear

maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau biasa disebut

sebagai masalah optimisasi berkendala nonlinear.

Ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu

masalah program optimisasi berkendala nonlinear. Semua metode ini dapat

diklasifikasikan ke dalam dua kategori yakni, metode langsung (direct method)

dan metode tidak langsung (indirect method). Metode langsung meliputi metode

Pencarian Heuristik, metode Pendekatan Kendala, dan metode Arah Layak.


3

Metode Arah Layak sendiri terbagi lagi menjadi dua metode yaitu metode

Zoutendijk dan metode Proyeksi Gradien. Sedangkan metode tidak langsung

meliputi Transformasi Variabel dan metode Fungsi Penalti, dimana metode

Fungsi Penalti dibagi lagi menjadi dua metode yakni metode Fungsi Penalti

Eksterior dan metode Fungsi Penalti Interior.

Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu metode numerik yang

digunakan untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah

optimisasi tanpa kendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter

penalti pada fungsi obyektif.

Dalam skripsi ini hanya membahas metode Fungsi Penalti Eksterior.

Metode Fungsi Penalti Eksterior digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimisasi nonlinear berkendala, dimana pendekatan yang digunakan adalah

dengan mengubah masalah optimisasi dengan kendala tersebut menjadi masalah

optimisasi tanpa kendala yang ekuivalen. Pada metode Fungsi Penalti Eksterior,

pencarian solusi optimal dimulai dari daerah tidak layak dan menghasilkan titik–

titik tidak layak yang limitnya merupakan penyelesaian optimal dari masalah asli.

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok

permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Apa itu metode Fungsi Penalti khususnya metode Fungsi Penalti

Eksterior?

2. Bagaimana bentuk umum dan algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior?


4

3. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala

dengan metode Fungsi Penalti Eksterior dan implementasinya dengan

program Matlab.

C. Batasan Masalah

1. Dalam skripsi ini metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah

tidak berkendala adalah metode Newton, akan tetapi dalam skripsi ini

hanya membahas kegunaan dan algoritma metode Newton.

2. Program yang digunakan untuk perhitungan numeris adalah program

Matlab.

D. Tujuan Penulisan

Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk membahas metode Fungsi Penalti

Eksterior dan bagaimana algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior dalam

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala serta konvergensi metode

Fungsi Penalti Eksterior .

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah dapat mengetahui dan

memahami bagaimana bentuk metode Fungsi Penalti khususnya metode Fungsi

Penalti Eksterior dan mengetahui bagaimana metode Fungsi Penalti Eksterior

digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala.


5

F. Metode Penulisan

Dalam penulisan skripsi ini penulis menggunakan metode studi pustaka

yakni, mempelajari referensi-referensi yang berkaitan dengan masalah optimisasi

nonlinear, khususnya mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior dan referensi-

referensi mengenai dasar teori pendukung.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan

sebagai berikut :

BAB I : PENDAHULUAN

Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,

metode penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II : TOPOLOGI DI DAN TEORI OPTIMISASI nR

Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks,

topologi di , fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan

konveks dan fungsi konveks, syarat optimalitas untuk masalah

berkendala, teori optimisasi serta metode Newton yang nantinya

akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Eksterior.

nR


6

BAB III : METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR

Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,

interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi

Penalti Eksterior, bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan

algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior disertai beberapa contoh

masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan

metode Fungsi Penalti Eksterior. Terakhir dibicarakan juga

implementasinya dengan program matlab serta konvergensi metode

Fungsi Penalti Eksterior.

BAB IV : PENUTUP

Bab IV berisi kesimpulan dan saran.


BAB II

TOPOLOGI DI DAN TEORI OPTIMISASI nR

Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks, topologi di

, fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi

konveks, syarat optimalitas untuk masalah berkendala, teori optimisasi serta

metode Newton yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Fungsi

Penalti Eksterior.

nR

A. Ruang Euclid dan Matriks

Berikut akan didefinisikan mengenai hasilkali dalam Euclidean, ruang

Euclid, transpose matriks, dan matriks semidefinit positif.

Definisi 2.1.1

Jika dan ( )nuuu ,,, 21 K=u ( )nvvv K,, 21=v adalah vektor-vektor sebarang pada

, maka hasilkali dalam Euclid (Euclidean inner product) didefinisikan

sebagai

nR vu.

nnvuvuvu +++= K2211.vu .

Definisi 2.1.2

Ruang dengan operasi-operasi penjumlahan, perkalian skalar dan hasilkali

dalam Euclidean disebut ruang Euclid berdimensi n (n-dimensional Euclidean

space) atau Ruang Euclid yang diberi notasi

nR

nΕ .


8

Definisi 2.1.3

Jika adalah matriks , maka transpose dari dinyatakan dengan ,

didefinisikan sebagai matriks

A nm× A tA

mn× yang didapatkan dengan mempertukarkan

baris-baris dan kolom-kolom dari A ; sehingga kolom pertama dari adalah

baris pertama dari , kolom kedua dari adalah baris kedua dari , dan

seterusnya.

tA

A tA A

Definisi 2.1.4

Jika adalah matriks simetris A nn× , maka dikatakan semidefinit positif

( positive semidefinite ) jika untuk setiap

A

0≥Axx t nΕ∈x dan ditulis . 0A ≥

B. Topologi di nR

Definisi 2.2.1

Diberikan titik dan nR∈x ( ) { }εε ε <−∈=> xyyx : ,0 nRN disebut suatu

persekitaran ε− dari x .

Definisi 2.2.2

Misalkan nRK ⊂ dan K∈x . Titik disebut titik dalam atau titik interior

dari

x

K jika terdapat suatu persekitaran ε− dari x yang termuat di dalam K , yaitu

jika ada 0>ε sedemikian sehingga ε<− xy berakibat . Himpunan K∈y


9

semua titik interior dari K disebut interior K dan dinotasikan dengan .

Selanjutnya,

Kint

K disebut terbuka jika KK int = .

Definisi 2.2.3

Misalkan nRK ⊂ , disebut titik limit dari x K jika untuk setiap 0>ε

( ) φε ≠∩ xNK . Himpunan semua anggota K beserta titik limitnya disebut

closure dari K dan dinotasikan dengan . Selanjutnya, K Cl K disebut tertutup

jika . KK Cl=

Definisi 2.2.4

Suatu barisan vektor dikatakan konvergen ke titik limit K,,, 321 xxx x jika

0→− xxk untuk , yaitu jika untuk sembarang ∞→k 0>ε terdapat bilangan

bulat positif sedemikian sehingga N ε<− xxk untuk semua . Barisan

biasanya dinotasikan dengan

Nk ≥

{ }kx dan x titik limit { }kx disajikan dengan

xx →k untuk atau dengan ∞→k xx =∞→ kklim .

Catat bahwa barisan konvergen mempunyai titik limit yang tunggal.


10

Definisi 2.2.5

Dengan menghapus elemen-elemen tertentu dari barisan{ , diperoleh

subbarisan, yang biasanya dinotasikan dengan

}kx

{ }κkx , dengan κ adalah subset

dari semua bilangan bulat positif.

Semesta pembicaraan sekarang adalah bilangan real

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari ke dalam . Jadi, fungsi

atau dengan

Ν R

Rf →Ν: ( )nf Ν∈n adalah barisan bilangan real. Biasanya

dinyatakan dengan . Barisan dengan sebagai suku ke-n akan ditulis ( )nf ns ns

ns atau { . }ns

Definisi 2.2.6

Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi di dalam himpunan bilangan real f

R ; dikatakan mempunyai limit f L di , dan ditulis , jika

diberikan sebuah bilangan

0x ( ) Lxfxx =→ 0lim

0>ε , maka ada sebuah 0>δ sedemikian sehingga

( ) ε<− Lxf bila dan Xx∈ δ<−< 00 xx .

Definisi 2.2.7

Barisan dikatakan konvergen jika terdapat { }ns Rs∈ dengan sifat, untuk

sebarang 0>ε yang diberikan, terdapat Ν∈N sehingga untuk semua

dengan berlaku Ν∈n Nn ≥ ε<− nss . Bilangan dinamakan limit { untuk s }ns


11

∞→n dan ditulis atau disingkat nn s∞→lim ssn = lim . Suatu barisan yang tidak

mempunyai limit disebut divergen.

Definisi 2.2.8

Barisan dikatakan naik jika { }ns 1+≤ nn ss dan turun jika untuk semua

. Barisan naik dan barisan turun dinamakan barisan monoton.

1+≥ nn ss

Ν∈n

Contoh 2.2.8

1. Barisan adalah barisan naik. K,3,3,2,2,1,1

2. Barisan K,31,

31,

21,

21,1,1 adalah barisan turun.

Ke dua contoh di atas adalah barisan monoton.

C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial

Definisi 2.3.1

Misalkan , dimana TKf →: nRK ⊂ dan l

RT ⊂ . Fungsi dikatakan kontinu

di

f

K∈x jika untuk setiap 0>ε , terdapat 0>δ sedemikian sehingga untuk

dan K∈y δ<− xy berlaku ( ) ( ) ε<− xy ff .

Selanjutnya fungsi dikatakan kontinu padaf K jika kontinu di setiap titik

anggota

f

K .


12

Definisi 2.3.2

Diberikan fungsi . Fungsi dikatakan : RKRKf ⊂→ ,: f

1. Naik pada K jika untuk setiap Kxx ∈21, , dengan , maka 21 xx <

( ) ( )21 xfxf < .

2. Turun pada K jika untuk setiap Kxx ∈21, , dengan , maka

.

21 xx >

( ) ( )21 xfxf >

3. Monoton pada K jika naik pada f K atau turun pada K .

Definisi 2.3.3

Misal . Turunan orde satu dari , dinotasikan dengan ,

didefinisikan sebagai berikut:

RRf n →: f Df

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=nx

fxf

xfDf ,,,

21

L

Definisi 2.3.4

Misal gradien dari fungsi di ditulis ,: RRf n → f x ( )xf∇ , adalah transpose

dari , yaitu : Df

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

==∇

n

t

n

t

xf

xfx

f

xf

xf

xfDff

x

x

x

xxxxM

L2

1

21

,,,


13

Definisi 2.3.5

Misalkan K himpunan tidak kosong di nE , Kint ∈x dan . Matriks

Hessian dari fungsi pada

EKf →:

f x , yang biasa dinotasikan dengan ( )xH adalah

matriks yang elemen-elemennya terdiri dari turunan-turunan parsial ke dua dari

fungsi yaitu : f

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

nnn

n

n

xf

xxf

xxf

xxf

xf

xxf

xxf

xxf

xf

xxx

xxx

xxx

xH

MMM

Definisi 2.3.6

Misalkan K himpunan tidak kosong di nE , dan terdiferensial dua

kali. Teorema Taylor orde dua adalah : untuk setiap , haruslah

memenuhi :

EKf →:

1x K∈2x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12122112 21 xxxHxxxxxxx 1 −−+−∇+= ttfff

dimana ( )xH adalah matriks Hessian dari fungsi pada f x dan

( ) 21 1 xxx λλ −+= untuk ( )1,0∈λ .


14

Definisi 2.3.7

Misalkan K himpunan tidak kosong di nΕ , Kint ∈x dan . Maka

dikatakan terdiferensial di

ΕKf →:

f x jika ada vektor ( )xf∇ yang disebut vektor

gradien, dan ada fungsi sedemikian sehingga : 1: EE →α

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxx −−+−∇+= ; αt

fff

untuk setiap K∈x , dimana ( ) 0; lim =−→

xxxxx α .

Fungsi dikatakan terdiferensial pada himpunan terbuka jika

terdiferensial pada setiap titik .

f KL ⊆

f L

Definisi 2.3.8

Misalkan K himpunan tidak kosong di nE , Kint ∈x dan . Maka

cdikatakan terdiferensial dua kali di

ΕKf →:

x jika terdapat suatu vektor ( )xf∇ , dan

matriks simetris nn× ( )xH yang disebut sebagai matriks Hessian, dan suatu

fungsi sedemikian sehingga : 1: EE →α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xxxxxxxxHxxxxxxx −−+−−+−∇+= ; 21 2

αtt

fff

untuk setiap K∈x , dimana ( ) 0; lim =−→

xxxxx α .

Fungsi dikatakan terdiferensial dua kali pada himpunan terbuka jika

terdiferensial dua kali pada setiap titik .

f KL ⊆

f L


15

Contoh 2.3.8

Misalkan . Diketahui ( ) 212

2212121 43262, xxxxxxxxf +−−+= ( )t0,0=x . Maka

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+−

=∇12

21

466442

xxxxf x dan ( ) .

6444⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=xH

Sehingga :

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

121

2

121 64

44,

216,2,

xx

xxxx

xxf .

D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

Berikut akan diberikan definisi dari himpunan konveks dan fungsi konveks

serta teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi konveks.

Definisi 2.4.1

Himpunan K di nR dikatakan konveks jika setiap garis penghubung antara kedua

titik yang ada di himpunan berada juga pada himpunan tersebut. Dengan kata lain,

jika dan ada di 1x 2x K , maka ( ) 21 1 xx λλ −+ harus ada di K untuk setiap

[ ]1,0∈λ .

Gambar 2.4.1 . Ilustrasi dari himpunan konveks dan tidak konveks


16

Contoh 2.4.1

Beberapa contoh himpunan konveks.

1. ( ){ } 222

2121 4:, RxxxxK ⊂≤+=

Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan

pusat dan radius 2 seperti pada gambar 2.4.2 ( 0,0 )

422 =+ yx

Gambar 2.4.2 Lingkaran 422

21 =+ xx

2. ( ){ } 22:, RxyyxK ⊂≥=

Himpunan ini mempresentasikan semua titik yang berada di atas kurva

seperti pada gambar 2.4.3 2xy =

Gambar 2.4.3 Parabola 2xy =


17

Definisi 2.4.2

Misalkan , dimana RKf →: K adalah himpunan konveks tidak kosong di R .

Fungsi dikatakan konveks pada f K jika

( )( ) ( ) ( ) ( ),11 2121 xxxx fff λλλλ −+≤−+

untuk setiap dan K∈21, xx 10 ≤≤ λ .

Contoh 2.4.2

Buktikan bahwa adalah fungsi konveks ( ) Rxexf x ∈= ,

Penyelesaian :

Ambil R∈21, xx maka dan ( ) 11

xef =x ( ) 22

xef =x , dan

( )( ) ( )( )21 121 1 xxef λλλλ −+=−+ xx

( ) 21 1 xx ee λλ −•= .

Sedangkan,

( ) ( ) ( ) ( ) 21 11 21xx eeff λλλλ −+=−+ xx .

Jadi untuk setiap dan R∈21, xx 10 ≤≤ λ diperoleh :

( )( ) ( ) ( ) ( )2121 11 xxxx fff λλλλ −+≤−+ .

Maka terbukti adalah fungsi konveks. ( ) xexf =


18

Teorema 2.4.3

Jika suatu fungsi adalah konveks maka, untuk setiap dua titik dan

memenuhi

RKf →: 1x

2x

( ) ( ) ( )( )12112 xxxxx −∇+≥ tfff

Bukti :

Misalkan adalah konveks, maka berdasarkan definisi (2.4.2) ( )xf

( )( ) ( ) ( ) ( )1212 11 xxxx fff λλλλ −+≤−+

atau dapat ditulis sebagai :

( )( ) ( ) ( )( )121121 xxxxxx ffff −+≤−+ λλ (2.4.1)

Pertidaksamaan (2.4.1) dapat dibentuk menjadi :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )121121 xxxxxx −+≥−+ λλ ffff

( ) ( )( ) ( )( ) ( )112112 xxxxxx ffff −−+≥−⇔ λλ

( ) ( ) ( )( ) ( )λ

λ 112112

xxxxxx ffff −−+≥−

Pada ruas kanan penyebutnya dikalikan dengan 12 xx − sehingga menjadi :

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( 12

12

112112 xx

xxxxxxxx −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−+

≥−λλ ffff ) (2.4.2)

Karena definisi , maka pertidaksamaan (2.4.2) menjadi :


19

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1211

12 xxx

xxxxx −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ−Δ+

≥−ffff ) (2.4.3)

Dengan pengambilan limit untuk ∞→Δx , sehingga pertidaksamaan (2.4.3)

menjadi :

( ) ( ) ( )( )12112 xxxxx −∇+≥ tfff

Teorema 2.4.4

Suatu fungsi adalah konveks jika matriks Hessian RKf →: ( )xH adalah

semidefinit positif.

Bukti :

Dari Teorema Taylor bahwa :

( ) ( ) ( ) hxxxxhx θ !2

1 *2

1 1

*

1

** +=∂∂

∂+

∂∂

+=+ ∑∑∑= == ji

n

i

n

jji

i

n

ii xx

fhhxfhff (2.4.4)

dimana 1θ0 << .

Misalkan , , dan 1* xx = 2

* xhx =+ 12 xxh −= , sehingga pertidaksamaan (2.4.4)

menjadi :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }( 121211212112 θ21 xxxxxHxxxxxxx −−+−+−∇+= ttfff ) (2.4.5)

Dapat dilihat bahwa untuk memenuhi Teorema 2.4.3 dan karena konveks,

maka pertidaksamaan (2.4.5) harus memberikan

( )xf

( )xH semidefinit positif.


20

Contoh 2.4.3

Misalkan fungsi dan 2: RKf → ( ) 222

2121 43, Rxxxxf ∈+= . Buktikan bahwa

adalah fungsi konveks untuk setiap nilai ( ) 22

2121 43, xxxxf += .

Penyelesaian :

Berdasarkan Teorema 2.4.4 maka cukup menunjukkan bahwa ( )xH semidefinit

positif,

( ) 0488006

22

2

12

221

2

21

2

>=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

xf

xxf

xxf

xf

xH

Jadi terbukti adalah fungsi konveks untuk setiap nilai ( ) 22

2121 43, xxxxf += x .

Definisi 2.4.5

Misalkan K adalah himpunan terbuka tidak kosong di nE , dan misalkan

terdiferensial pada EKf →: K . Fungsi dikatakan pseudokonveks jika

untuk setiap dengan

f

K∈21, xx ( ) ( ) 0121 ≥−∇ xxx tf , maka atau

ekuivalen dengan pernyataan bahwa jika

( ) ( )12 xx ff ≥

( ) ( 12 xx ff < ) , maka

. ( ) ( ) 0121 <−∇ xxx tf

Definisi 2.4.6

Pseudokonveksitas di x adalah : fungsi dikatakan pseudokonveks pada f

K∈x jika ( ) ( ) 0121 ≥−∇ xxx tf untuk K∈x maka ( ) ( )xx ff > .


21

E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala

Berikut akan didefinisikan syarat perlu dan syarat cukup tingkat pertama

sebagai syarat optimalitas untuk suatu masalah tidak berkendala.

Definisi 2.5.1

Perhatikan masalah meminimalkan ( )xf pada nE , dan misalkan nE∈x .

a. Jika ( ) ( )xx ff ≤ untuk semua nE∈x , maka x dinamakan suatu peminimum

global.

b. Jika ada suatu persekitaran ε− ( )xεN sekitar x sedemikian hingga

( ) ( )xx ff ≤ untuk semua ( )xx εN∈ , maka x dinamakan suatu peminimum

lokal.

c. jika untuk semua ( )xx εN∈ , xx ≠ , untuk 0>ε , maka x dinamakan

suatu peminimum lokal tegas.

Suatu peminimum global juga merupakan peminimum lokal.

Teorema 2.5.2

Misalkan bahwa terdiferensial di EEf n →: x . Jika ada sebuah vektor

sedemikian hingga nE∈d ( ) 0<∇ dxt

f maka terdapat 0>δ sedemikian sehingga

( ) ( )xdx ff <+ λ untuk setiap ( )δλ ,0∈ . Maka merupakan suatu arah turun

(descent direction) dari di

d

f x .


22

Bukti :

Dari Definisi 2.3.7 maka diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )dxdxxdx λαλλλ ;+∇+=+t

fff (2.5.1)

dengan ( ) 0; →dx λα untuk 0→λ .

Selanjutnya persamaan (2.5.1) dibagi dengan λ dimana 0≠λ , diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )dxdxxdx λαλλ ;+∇=

−+ tfff

Karena ( ) 0<∇ dxt

f dan ( ) 0; →dx λα untuk 0→λ maka terdapat suatu 0>δ

sedemikian sehingga ( ) ( ) 0; <+∇ dxdx λαt

f untuk setiap ( )δλ ,0∈ . Sehingga

terbukti ( ) ( )xdx ff <+ λ .

Akibat 2.5.3

Misalkan bahwa terdiferensial di EEf n →: x . Jika x peminimum lokal fungsi

maka f ( ) 0x =∇f .

Bukti :

Dibuktikan dengan kontradiksi . Andaikan bahwa ( ) 0x ≠∇f .

Misalkan ( )xd f−∇= , didapatkan ( ) ( ) 02<∇=∇ xdx ff

t. Dari Teorema 2.5.2,

terdapat suatu 0>δ sedemikian sehingga ( ) ( )xdx ff <+ λ untuk ( )δλ ,0∈ . Hal

ini kontradiksi dengan asumsi bahwa x merupakan suatu peminimum lokal.

Karena itu pengandaian salah, dan haruslah ( ) 0x =∇f .


23

Syarat perlu di atas menggunakan vektor gradien yang komponen-komponennya

merupakan turunan parsial pertama dari , sehingga disebut sebagai syarat perlu

tingkat pertama.

f

Teorema 2.5.4

Misalkan bahwa terdiferensial dua kali di EEf n →: x . Jika x adalah

peminimum lokal, maka ( ) 0x =∇f dan ( )xH semidefinit positif. Teorema ini

disebut sebagai Teorema syarat perlu tingkat kedua.

Bukti :

Dari Definisi 2.3.8, maka diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxddxHddxxdx 2 λαλλλλ ;21 22 ++∇+=+ tt

fff (2.5.2)

dimana ( ) 0; →dx λα untuk 0→λ . Karena x peminimum lokal, maka dari

Akibat 2.5.3 bahwa ( ) 0x =∇f . Selanjutnya pertidaksamaan (2.5.2) dibagi

dengan menghasilkan : 02 >λ

( ) ( ) ( ) ( dxddxHdxdx λαλλ ;

21 2

2 +=−+ tff ) (2.5.3)

Karena x peminimum lokal, ( ) ( )xdx ff ≥+ λ untuk λ cukup besar. Maka pada

pertidaksamaan (2.5.3) jelas bahwa ( ) ( ) 0;21 2 ≥+ dxddxHd λαt untuk λ cukup

besar. Dengan pengambilan limit untuk 0→λ maka ( ) 0≥dxHd t . Karena itu

maka adalah semidefinit positif.


24

Teorema 2.5.5

Misalkan merupakan pseudokonveks di EEf n →: x . Titik x merupakan suatu

peminimum global jika dan hanya jika ( ) 0x =∇f . Teorema ini adalah Teorema

syarat cukup tingkat pertama.

Bukti :

Misalkan x adalah suatu peminimum global.

Akan ditunjukkan bahwa ( ) 0x =∇f .

Berdasarkan Akibat 2.5.3 bahwa jika x adalah peminimum lokal, maka ( ) 0x =∇f

dan oleh karena suatu peminimum lokal sama dengan peminimum global maka

terbukti bahwa ( ) 0x =∇f .

Misalkan bahwa ( ) 0x =∇f

Akan ditunjukkan bahwa x merupakan suatu peminimum global.

Karena ( ) 0x =∇f maka ( ) ( )xxx −∇t

f untuk setiap nE∈x . Dengan

pseudokonveksitas dari di f x maka diperoleh ( ) ( )xx ff ≥ untuk setiap nE∈x .

Sehingga terbukti x merupakan suatu peminimum global.


25

F. Teori Optimisasi

Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni,

optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala :

1. Bentuk umum masalah optimisasi berkendala

Minimalkan ( )xf

dengan kendala ( ) migi ,,2,1 ,0 L=≤x

( ) ljh j ,,2,1 ,0 L==x

dengan :

x = Vektor di nE

= Fungsi obyektif ( )xf

( )xig = Kendala berupa pertidaksamaan sebanyak m

= Kendala berupa persamaan sebanyak ( )xjh l

(2.6.1)

2. Bentuk umum masalah optimisasi tidak berkendala

Minimalkan ( )xf

Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dalam persamaan (2.6.1) adalah

nonlinear maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau

biasa disebut sebagai masalah optimisasi nonlinear berkendala.


26

Definisi 2.6.1

Bentuk umum masalah optimisasi nonlinear berkendala adalah :

Minimalkan ( )xf

dengan kendala ( ) migi ,,2,1untuk ,0 L=≤x

( ) ljh j ,,2,1untuk ,0 L==x

Dengan adalah fungsi-fungsi kontinu pada lm hhggf ,,,,, 11 KK nE , X adalah

subhimpunan dari nE dan nE∈x .

Definisi 2.6.2

Suatu vektor X∈x disebut penyelesaian layak masalah optimisasi nonlinear

berkendala jika memenuhi semua kendala.

Definisi 2.6.3

Himpunan dari semua penyelesaian layak disebut daerah layak.

Definisi 2.6.4

Titik layak adalah titik yang menjadi anggota daerah layak.

Definisi 2.6.5

Titik layak x disebut penyelesaian optimal jika ( ) ( )xx ff ≥ untuk setiap titik

layak . x


27

G. Metode Newton

Metode Newton merupakan salah satu metode yang paling terkenal dan

sering digunakan dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Metode

ini merupakan perkembangan dari metode Newton-Raphson dan metode Titik-

Tetap yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Syarat dalam

menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton adalah

sebagai berikut :

a. Sistem persamaan nonlinear yang dimaksud adalah sistem persamaan non-

linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel.

b. Semua fungsi yang terlibat dalam sistem persamaan nonlinear harus

terdiferensial.

Metode Newton adalah suatu algoritma iterasi fungsional yang

membangkitkan ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1111 FJ −−−− −= kkkk xxxx dengan dan adalah

matriks Jacobi dari sistem persamaan nonlinear. Metode Newton memiliki

konvergensi yang bersifat q-kuadratik dengan relasi kesalahan

1≥k ( )xJ

( ) ( )kk ee ≤+1

Metode Newton sangat populer karena bentuk iterasinya yang sederhana.

Metode Newton dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimisasi nonlinear tidak berkendala karena syarat dari optimisasi nonlinear

adalah gradien dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang berarti bahwa, ada n

turunan dari setiap n variabel dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang

merupakan sistem persamaan nonlinear.

Misalkan ada masalah optimisasi nonlinear tidak berkendala yakni :


28

Minimalkan ( )nxxxf ,,, 21 K

Selesaikan masalah optimisasi ini dengan menggunakan metode Newton.

Penyelesaian :

Dengan menggunakan syarat perlu bahwa, jika fungsi fungsi terdiferensial

maka syarat perlu tingkat pertama adalah

f

( ) 0x =∇f .

Sehingga dengan mencari gradien dari ( )nxxxf ,,, 21 K menghasilkan :

0

0

0

2

1

=∂∂

=∂∂

=∂∂

nxf

xfxf

M

(2.7.1)

Kumpulan semua persamaan yang ada di (2.7.1) berbentuk sistem persamaan

nonlinear. Kemudian setelah membentuk sistem persamaan nonlinear maka

masalah optimisasi tersebut dapat diselesaikan dengan metode Newton.


29

Diagram alir dari algoritma Metode Newton dalam menyelesaikan sistem

persamaan nonlinear.

start

Nilai awal (x)Tol.error (error)

Iterasi maksimum (N)k=1

while k<=N

y=-inv(jx)*fx

if norm(y)<tol x

x=x+y'k=k+1

end ya

tidak

fx=fungsi(x) jx=jacobian(x)

Gambar 2.7.1 Diagram alir algoritma metode newton


BAB III


Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior

dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala. Tetapi dalam

pembahasan ini penulis akan menjelaskan terlebih dahulu tentang konsep fungsi

penalti dan interpretasi geometris fungsi penalti. Kemudian dilanjutkan mengenai

bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan algoritma Metode Fungsi Penalti

Eksterior serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti

Eksterior dan diimplementasikan dengan bahasa pemrograman Matlab. Dan yang

terakhir adalah konvergensi metode Fungsi Penalti Eksterior.

A. Konsep Fungsi Penalti

Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala

menjadi masalah optimisasi tanpa kendala adalah dengan menambahkan fungsi

penalti pada fungsi obyektif yang pada beberapa metode, bergantung pada nilai

kendala-kendalanya. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah penalti

terjadi karena adanya pelanggaran. Demikian juga dalam masalah optimisasi ini

fungsi penalti terjadi karena ada pelanggaran terhadap fungsi obyektif, yaitu

dengan menghilangkan kendala pada permasalahan itu. Fungsi penalti dapat juga

dipandang sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan

parameter penalti.


31

Metode dengan menggunakan fungsi penalti mentransformasikan masalah

dengan kendala ke dalam masalah tanpa kendala tunggal atau ke dalam barisan

masalah tanpa kendala. Kendala-kendala dibentuk ke dalam fungsi obyektif

melalui parameter penalti sedemikian hingga menghilangkan setiap hambatan-

hambatan dari kendala tersebut. Untuk membangun fungsi penalti perhatikan

masalah-masalah dibawah ini.

Contoh 3.1.1

Perhatikan masalah dengan kendala tunggal ( ) 0=xh , yaitu :

Minimalkan ( )xf

Dengan kendala ( ) 0=xh .

Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :

Minimalkan ( ) ( )xx 2μhf +

Dengan nE∈x

0μ > suatu bilangan besar .

Secara intuitif dapat dilihat bahwa penyelesaian optimal dari masalah tersebut

haruslah mendekati nol, karena jika tidak maka suatu penalti besar

akan terjadi.

( )x2h

( )x2μh


32

Contoh 3.1.2

Perhatikan masalah dengan kendala pertidaksamaan tunggal ( ) 0≤xg yakni :

Minimalkan ( )xf

Dengan kendala ( ) 0≤xg .

Andaikan masalah di atas diubah menjadi masalah tanpa kendala seperti berikut :

Minimalkan ( ) ( )xx 2μgf +

Dengan nE∈x

0μ > suatu bilangan besar.

Maka dapat dilihat bahwa dengan bentuk ( ) ( )xx 2μgf + mengakibatkan terjadinya

penalti baik untuk ( ) ( ) 0atau 0 >< xx gg . Dalam masalah di atas suatu penalti

akan terjadi hanya jika titik adalah tidak layak, yaitu . Dengan

demikian pengandaian di atas salah dan masalah tanpa kendala yang sesuai adalah

x ( ) 0>xg

Minimalkan ( ) ( ){ }xx g0, maksμ +f

Dengan nE∈x


Jika , maka maksimum ( ) 0≤xg ( ){ } 0,0 =xg , dan tidak ada penalti yang terjadi,

dan jika , maka maksimum ( ) 0>xg ( ){ } 0,0 >xg , dan bentuk penalti terjadi. ( )xgμ

Secara umum, fungsi penalti yang sesuai harus memiliki suatu penalti

positif untuk titik-titik tidak layak dan tidak ada penalti untuk titik layak. Jika


33

kendala-kendala tersebut dalam bentuk ( ) 0≤xig untuk mi ,,1K= dan ( ) 0=xih

untuk maka fungsi penalti yang sesuai diberikan oleh : li ,,1K= α

( ) ( )[ ] ( )[∑∑==

Ψ+Φ=l

ii

m

ii hg

11α xxx ] (3.1.1)

dengan Φ dan adalah fungsi-fungsi kontinu yang memenuhi : Ψ

( ) ( )( ) ( ) 0 jika 0dan 0 jika 0

0 jika 0dan 0 jika 0≠>Ψ==Ψ>>Φ≤=Φ

yyyyyyyy

(3.1.2)

Secara khusus, dan Ψ berbentuk : Φ

( ) { }[ ]pyy ,0 maks =Φ

( ) pyy =Ψ

dengan p adalah bilangan bulat positif. Jadi fungsi penalti yang biasa

digunakan berbentuk

α

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

ii

pm

ii hg ∑∑

==

+=11

,0 maks α xxx

Fungsi dinamakan fungsi tambahan. ( ) ( )xx μα+f

Contoh 3.1.3

Selesaikan masalah optimisasi berikut :

Minimalkan x

Dengan kendala 02 ≤+− x .

Misalkan ( ) ( ){[ ]2 ,0 maks α xgx i= } , maka :

( ) ( )⎩⎨⎧

<+−≥

=2 jika 22 jika 0

α 2 xxx

x .


34

Penyelesaian :

Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :

Minimalkan ( )22μ +−+ xx (3.1.3)

Dengan Ex∈


Selanjutnya penyelesaian optimal persamaan (3.1.3) dapat dicari dengan cara

mencari turunannya. Titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan

nol. Maka persamaan (3.1.3) setelah dicari turunannya menjadi:

( )( )12μ21 −+−+ x

( )( ) 112μ2 −=−+−⇔ x

( ) 12μ2 −=−⇔ x

μ212 −

=−⇔ x

μ212−=⇔ x

Nilai optimal x dapat dicari dengan cara mencari limitnya untuk μ yang

mendekati , yaitu ∞

2μ212 lim

μ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∞→.

Selanjutnya penyelesaian masalah (3.1.3) dapat ditunjukkan dengan grafik di

bawah ini :


35

αμ 2 5.0μ1 =

5.1μ 2 = α

αμ1

Gambar 3.1.1 Grafik Penalti

αμ 2+f

αμ1+f

Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan

Contoh 3.1.4

Selesaikan masalah optimisasi berikut:

Minimalkan 22

21 xx +

Dengan kendala 0121 =−+ xx .


36

Penyelesaian :

Perhatikan masalah penalti berikut, dengan suatu bilangan besar 0μ >

Minimalkan ( )2212

22

1 1μ −+++ xxxx

Dengan kendala ( ) 221, Exx ∈ .

Perhatikan bahwa untuk sembarang , fungsi obyektif konveks. Jadi syarat

perlu dan cukup untuk optimalitas adalah gradien dari

sama dengan nol yang menghasilkan :

0μ ≥

( 221

22

21 1μ −+++ xxxx )

( ) 01μ 211 =−++ xxx

0μμμ 211 =−++⇔ xxx (3.1.4)

dan

( )212 μ xxx ++

(3.1.5)

Persamaan (3.1.4) dan (3.1.5) diselesaikan dengan menggunakan metode Gauss

Jordan menjadi :

2

121

Bμ21μ1

μBBB

μ11

μ1μ

μ1μ210

μ1μ

μ1μ1

μμ1μμ1

μμ1

μ1μμ1μμμμ1

++

−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

+−

μ21μ10

μ21μ01

μ21μ10

μ1μ

μ1μ1

21 Bμ1μB

Ditulis ke dalam bentuk persamaan menjadi :


37

μ21μ

1 +=x

μ21μ

2 +=x

Jadi diperoleh :

μ21μ

21 +== xx .

Selanjutnya nilai dari dan dapat dicari dengan cara mencari nilai limitnya

untuk , yaitu

1x 2x

∞→μ

μ21μ

lim μ +∞→

sehingga diperoleh

21

21 == xx .

Jadi penyelesaian optimal dari masalah penalti dapat dibuat sedekat-dekatnya

dengan penyelesaian dari masalah asli dengan menentukan cukup besar. μ

B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti

Untuk menggambarkan fungsi penalti secara geometri, digunakan contoh

3.1.4. Misalkan bahwa kendala ( ) 0=xh dipertubasi sedemikian sehingga

( ) ε=xh yaitu ε=−+ 121 xx . Misalkan ( )εv merupakan fungsi objektif maka akan

diperoleh masalah berikut :

( ) ≡εv Minimalkan 22

21 xx +

Dengan kendala ε=−+ 121 xx


38

Perhatikan kendala ε=−+ 121 xx , dapat diganti menjadi 12 1 xx −+= ε .

Selanjutnya subsitusikan ke dalam fungsi obyektif sehingga menjadi : 2x

( )212

1 1 xx −++ ε (3.2.1)

Nilai optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol, maka fungsi pada

(3.2.1) setelah dicari turunannya dapat ditulis sebagai :

( )( ) 01122 11 =−−++ xx ε

( ) 0122 11 =−+−⇔ xx ε

02222 11 =+−−⇔ xx ε

0224 1 =−− εx .

Masing-masing ruas dibagi dengan 2 menjadi :

012 1 =−− εx

ε+=⇔ 12 1x

21

1ε+

=⇔ x .

Subsitusikan ke dalam persamaan kendala sehingga menjadi : 1x

εε=−+

+ 12

12x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+=⇔2

112εεx

2122

2εε −−+

=⇔ x

21

2ε+

=⇔x .

Jadi diperoleh nilai optimal yaitu :


39

21

21ε+

== xx

dan mempunyai nilai obyektif :

( )2

1 2ε+ .

Oleh karena itu, untuk sembarang ε yang diberikan, supremum dari

dengan kendala

22

21 xx +

ε=−+ 121 xx sama dengan ∞ . Oleh karena itu, jika diberikan

sembarang titik ( ) di 21, xx 2E dengan ε=−+ 121 xx , nilai obyektifnya berada

pada interval ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∞

+ ,2

1 2ε . Dengan kata lain, nilai obyektif dari semua x di 2E

yang memenuhi ( ) ε=xh , terletak diantara ( )2

1 2ε+ dan ∞ .

Titik layak untuk masalah primal ( )xf2E

Pemetaan ( )fh,x ( ) ( )[ ]xx fh .

Batas bawah terbesar parabola ( )εv

Penyelesaian optimal untuk masalah penalti dengan parameter μμ ' >

Penyelesaian optimal untuk masalah primal

( ) ε=xh με

Penyelesaian optimal untuk

masalah penalti dengan parameter μ

( ) ( )[ ]μμ . xx fh

2μhf +

2'μ hf +

Gambar 3.2.1 Geometri fungsi penalti pada ruang (h,f)


40

Secara khusus, himpunan ( ) ( )[ ]{ }2:, Efh ∈xxx ditunjukkan pada gambar

3.2.1 Batas bawah dari himpunan ini dinyatakan oleh parabola

( ) ( ) ( )εε vh≡

+=

+2

12

1 22

. Untuk suatu nilai tertentu , masalah penalti adalah

meminimalkan

0μ >

( ) ( )xx 2μhf + dengan 2E∈x . Kontur dari

diilustrasikan dalam ruang khf =+ 2μ ( )fh, yang ditunjukkan dalam gambar

3.2.1 dengan parabola putus-putus. Irisan dari parabola tersebut dengan sumbu

sama dengan . Jadi jika diminimalkan, maka parabola tersebut harus

digeser mengarah ke bawah sebanyak mungkin, sedemikian sehingga parabola

tersebut masih mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang sama dengan

himpunan yang diarsir. Proses ini dilanjutkan sampai parabola tersebut

menyinggung himpunan yang diarsir, seperti ditunjukkan pada gambar 3.2.1. Hal

ini berarti bahwa untuk nilai yang diberikan, nilai optimum dari masalah

penalti merupakan perpotongan parabola pada sumbu . Perhatikan bahwa

penyelesaian optimal masalah penalti sedikit tidak layak dari masalah asli, karena

di titik singgung. Selanjutnya, nilai obyektif optimal dari masalah penalti

adalah sedikit lebih kecil dari nilai obyektif optimal primal. Dan perhatikan juga

bahwa jika nilai μ bertambah, parabola menjadi makin curam, dan titik

singgung mendekati penyelesaian optimal sebenarnya dari masalah asli.

f k 2μhf +

μ

f

0≠h

2μhf +


41

C. Metode Fungsi Penalti Eksterior

Metode Fungsi Penalti Eksterior adalah metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala menjadi masalah tidak

berkendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada

fungsi obyektifnya. Proses pencarian penyelesaian optimal dimulai dari luar

daerah layak, oleh karena itu disebut metode Fungsi Penalti Eksterior. Kendala-

kendala akan ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti.

1. Bentuk Umum Fungsi Penalti Eksterior

Fungsi Penalti Eksterior merupakan bentuk fungsi tambahan yakni, fungsi

obyektif ditambah fungsi penalti. Misalkan fungsi merupakan fungsi tambahan,

dan merupakan fungsi obyektif, maka dengan mengambil : ( )xf

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

ii

pm

ii hg ∑∑

==

+=11

,0 maks α xxx

didapatkan fungsi tambahan

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

iik

pm

iik hgfz ∑∑

==

++=11

μ ,0 maks μ xxx

yang disebut sebagai Fungsi Penalti Eksterior.

Jadi bentuk umum masalah Fungsi Penalti Eksterior adalah :

Minimalkan

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

iik

pm

iik hgfz ∑∑

==

++=11

μ ,0 maks μ xxx .


42

Contoh 3.3.1

Ubalah masalah berikut menjadi masalah Fungsi Penalti Eksterior :

Minimalkan ( ) ( ) 23

121 131, xxxxf ++= (3.3.1)

Dengan kendala 01 1 ≤− x

02 ≤− x .

Penyelesaian :

Pertama akan dibentuk fungsi penalti dari masalah (3.3.1) yaitu

( ) ( )[ ] ( )[ ]222

1 ,0 maks1 ,0 maksα xx −+−=x

kemudian di bentuk fungsi ( ) ( )xx αμ kfz += , menjadi

( ) ( )[ ] ( )[ ]222

123

1 ,0 maksμ1 ,0 maksμ131 xxxxz kk −+−+++=

Maka masalah (3.3.1) dapat dibentuk menjadi masalah Fungsi Penalti Eksterior

yakni

Minimalkan ( ) ( )[ ] ( )[ ]222

123

1 ,0 maksμ1 ,0 maksμ131 xxxxz kk −+−+++= .


43

2. Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior

Berikut akan diberikan algoritma dari metode Fungsi Penalti Eksterior

untuk menyelesaikan masalah

Minimalkan ( )xf

Dengan kendala ( ) 0g ≤x

( ) 0h =x

dan X∈x

1. Tentukan titik awal , parameter penalti , skalar penalti , 1x 0μ1 > 1β >

0>ε dan . 1=k

2. Bentuk fungsi obyektif untuk masalah optimisasi tidak berkendala

( ) ( )xx αμ kfz += , dengan

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

ii

pm

ii hg ∑∑

==

+=11

,0 maks α xxx

3. Tentukan penyelesaian dari masalah minimalkan , yakni . z k*x

4. Jika ( ) ε<xαμ k langkah dihentikan dan diperoleh . Jika tidak,

lanjutkan ke langkah 2 dengan

k*x

kk βμμ 1 =+ .

Perhatikan langkah 3, bahwa ketika masalah optimisasi nonlinear

berkendala setelah diubah menjadi masalah optimisasi nonlinear tidak berkendala

dengan metode Fungsi Penalti Eksterior maka penyelesaian dari masalah

minimalkan , yakni dapat diselesaikan dengan metode Newton. z k*x


44

Diagram alir dari algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior dalam

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala

Mulai

Tentukan titik awal , 1x0>ε parameter penalti

0μ1 > , skalar β dan 1> 1=k

Gambar 3.3.1 Diagram alir algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior

Bentuk fungsi ( ) ( )xx αμ kfz +=

dengan

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

ii

pm

ii hg ∑∑

==

+=11

,0 maks xxxα

Tentukan penyelesaian dari masalah minimalkan

yakni x

z

k*

kk βμμ 1 =+

YASelesai

TIDAK

( ) ε<xαμ k


45

Dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan

metode Fungsi Penalti Eksterior ditemukan dua kasus yakni, kasus umum dan

kasus khusus. Kasus umum adalah masalah yang dalam penyelesaiannya

memerlukan titik awal, sedangkan kasus khusus adalah masalah yang dalam

penyelesaiannya tidak memerlukan titik awal.

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh kasus umum dan kasus khusus

masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode Fungsi

Penalti Eksterior.

Contoh 3.3.2

Selesaikan masalah berikut :

Minimalkan ( ) ( ) 23

121 131, xxxxf ++= (3.3.2)

Dengan kendala 01 1 ≤− x (3.3.3)

02 ≤− x (3.3.4)

Penyelesaian :

ITERASI 1

Langkah 1

Menentukan , skalar 001.0μ1 = 10β = , 00001.0=ε dan 1=k .

Langkah 2

Bentuk fungsi ( ) ( )xx α 001.0+= fz

dimana ( ) ( )[ ] ( )[ ]222

1 ,0 maks1 ,0 maksα xx −+−=x .


46

Langkah 3

Menentukan penyelesaian dari masalah

Minimalkan

( ) ( )[ ] ([ 22

212

31 ,0 maksμ1 ,0 maksμ1

31 xxxxz kk −+−+++= )] (3.3.5)

Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap dan yaitu : 1x 2x

( ) ([ 12

11

1 ,0 maks21 xxxz

k −−+=∂∂ μ )] (3.3.6)

dan

([ 22

,0 maksμ21 xxz

k −−=∂∂ )] (3.3.7)

Perhatikan persamaan (3.3.6) :

i.) Jika maka ( ) 01 ,0 maks 1 =− x ( )211

1+=∂∂ xxz

ii.) Jika ( ) 11 11 ,0 maks xx −=− maka ( ) ( 12

11

1μ21 xxxz

k −−+=∂

)∂

Sehingga persamaan (3.3.6) dapat ditulis sebagai :

( ) ( ) ( )[ ]12

12

1 1μ21,1min xxx k −−++ (3.3.8)

Jika , maka didapatkan 0min = ( ) 01 21 =+x , sehingga diperoleh . Kondisi

ini tidak mungkin karena tidak memenuhi kendala pada persamaan (3.3.4).

Selanjutnya jika

11 −=x

( ) ( )12

1 1μ21min xx k −−+= , maka

( ) ( )12

1 1μ21 xx k −−+

0μ2μ212 112

1 =+−++⇔ xxx kk


47

( ) 01μ2μ2212

1 =+−++⇔ kkxx

21

k1 μ41μ μ1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−=⇔

kkx .

Jadi 21

1*

μ41μμ1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−=

kkkx (3.3.9)

Dari persamaan (3.3.7) :

i). Jika maka ( ) 0 ,0 maks 2 =− x 12

=∂∂xz

ii). Jika maka ( ) 22 ,0 maks xx −=− 22

μ21 xxz

k+=∂∂

Sehingga persamaan (3.3.7) dapat ditulis sebagai :

([ 2μ21,1min xk+ )] (3.3.10)

persamaan (3.3.10) hanya mempunyai satu kemungkinan yaitu : ,

maka

0μ21 2 =+ xk

k

xμ21

2−

= .

Jad k

xμ21

2* −= (3.3.11)

Langkah 4

Berdasarkan persamaan (3.3.9), (3.3.11), (3.3.5) dan (3.3.2) diperoleh :

93775.01* −=x

5002* −=x

99616.249−=z

500−=f


48

Karena ( ) ε>1*

1αμ x maka tetapkan 01.0βμμ 12 == dan lanjutkan ke iterasi

berikutnya.

ITERASI 2

Langkah 2

Bentuk fungsi dengan z 12 βμμ = , yakni ( ) ( )xx α 01.0+= fz .

Langkah 3

Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan seperti pada langkah 3,

iterasi pertama.

z

Langkah 4


80975.01* −=x

502* −=x

96495.24−=z

99770.49−=f

( ) 03275.25αμ 2*

2 =x .

Karena ( )2*

2μ xα maka tetapkan 1.0βμμ 23 == dan lanjutkan ke iterasi

berikutnya.


49

ITERASI 3

Langkah 2

Bentuk fungsi dengan z 23 βμμ = , yaitu ( ) ( )xx α 1.0+= fz

Langkah 3


iterasi pertama.

z

Langkah 4


45969.01* −=x

52* −=x

23435.2−=z

94742.4−=f

Karena ( ) 71307.2αμ 3*

3 =x maka tetapkan 1βμμ 34 == dan lanjutkan ke iterasi

berikutnya.

Dan seterusnya dilakukan iterasi sampai pada ( ) ε<kk*αμ x , maka iterasi

dihentikan dan penyelesaian optimal diperoleh. Berikut akan diberikan tabel

penyelesaian contoh 3.3.2 dengan program Matlab :


50

Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.2 dengan Matlab

====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 -0.93775 -500.00000 -499.99992 -249.99616 250000.00375 2 0.010 -0.80975 -50.00000 -49.99770 -24.96495 2500.03275 3 0.100 -0.45969 -5.00000 -4.94742 -2.23435 25.21307 4 1.000 0.23607 -0.50000 0.12951 0.96311 0.83359 5 10.000 0.83216 -0.05000 2.00007 2.30677 0.28420 6 100.000 0.98039 -0.00500 2.58399 2.62495 0.03848 7 1000.000 0.99800 -0.00050 2.65819 2.66242 0.00398 8 10000.000 0.99980 -0.00005 2.66582 2.66624 0.00040 9 100000.000 0.99998 -0.00001 2.66658 2.66662 0.00004 10 1000000.000 1.00000 -0.00000 2.66666 2.66666 0.00000

Jadi penyelesaian optimal masalah 3.3.2 adalah 11 =x dan , yang

menyebabkan nilai minimum pada .

02 =x

f 66666.2

Contoh 3.3.3


Minimalkan ( ) 844, 212

22

121 +−−+= xxxxxxf (3.3.12)

Dengan kendala 042 21 =−+ xx (3.3.13)

Penyelesaian :

ITERASI 1

Langkah 1

Menentukan , skalar 001.0μ1 = 10β = , 00001.0=ε dan 1=k .

Langkah 2

Bentuk fungsi ( ) ( )xx α 001.0+= fz

dimana . ( ) ( )221 42α −+= xxx


51

Langkah 3

Menentukan penyelesaian dari masalah

Minimalkan ( )221212

22

1 42μ844 −+++−−+= xxxxxxz k (3.3.14)

Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap dan yaitu : 1x 2x

( 42μ242 2111

−++−=∂∂ xxxxz

k ) (3.3.15)

dan

( 42μ442 2122

−++−=∂∂ xxxxz

k ) . (3.3.16)

Persamaan (3.3.15) dan persamaan (3.3.16) dapat ditulis ke dalam bentuk :

( ) 04μ8μ4μ22 21 =−−++ kkk xx (3.3.17)

dan

( ) 04μ16μ82μ4 21 =−−++ kkk xx (3.3.18)

Sehingga persamaan (3.3.17) dan (3.3.18) diselesaikan dengan metode Gauss

Jordan menjadi :

12 Bμ4B

μ221

4μ16μ82μ4μ22

4μ8μ22

μ414μ16μ82μ44μ8μ4μ22

k

k

kkk

k

k

k

k

kkk

kkk

−

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

kμ22

μ4BB4μ20

μ2222

4μ208μ2410

μ224μ8

μ22μ41

μ228μ24

μ224μ200

μ224μ8

μ22μ41

+−

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

4μ208μ2410

4μ208μ3201

k

k

k

k


52

Ditulis ke dalam persamaan menjadi :

4μ208μ32

1 ++

=k

kx

4μ208μ24

2 ++

=k

kx

Maka :

4μ208μ32

1*

++

=k

kx

4μ208μ24

2*

++

=k

kx

Langkah 4


99801.11* =x

99602.12* =x

00398.0=z

00002.0=f

( ) 00396.0α μ 1*

1 =x

Karena ( ) ε>1*

1 α μ x maka tetapkan 01.0βμμ 12 == dan lanjutkan ke iterasi

berikutnya.

ITERASI 2

Langkah 2

Bentuk fungsi dengan z 12 βμμ = , yakni ( ) ( )xx α 01.0+= fz


53

Langkah 3


iterasi pertama.

z

Langkah 4


98095.11* =x

96190.12* =x

03810.0=z

00181.0=f

( ) 00396.0αμ 2*

2 =x .

Karena ( )3*

2 α μ x maka tetapkan 1.0βμμ 23 == dan lanjutkan ke iterasi

berikutnya.

ITERASI 3

Langkah 2

Bentuk fungsi dengan z 23 βμμ = , yaitu ( ) ( )xx α 1.0+= fz

Langkah 3


iterasi pertama.

z

Langkah 4


86667.11* =x


54

73333.12* =x

26667.0=z

08889.0=f

( ) 17778.0α μ 3*

3 =x

Karena ( ) ε>3*

3 α μ x maka tetapkan 1βμμ 34 == dan lanjutkan ke iterasi

berikutnya.

Dan seterusnya dilakukan iterasi sampai pada ( ) ε<kk*αμ x , maka iterasi

dihentikan dan penyelesaian optimal diperoleh. Berikut akan diberikan tabel

penyelesaian contoh 3.3.3 dengan menggunakan program Matlab :


====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 1.99801 1.99602 0.00002 0.00398 0.00396 2 0.010 1.98095 1.96190 0.00181 0.03810 0.03628 3 0.100 1.86667 1.73333 0.08889 0.26667 0.17778 4 1.000 1.66667 1.33333 0.55556 0.66667 0.11111 5 10.000 1.60784 1.21569 0.76894 0.78431 0.01538 6 100.000 1.60080 1.20160 0.79681 0.79840 0.00159 7 1000.000 1.60008 1.20016 0.79968 0.79984 0.00016 8 10000.000 1.60001 1.20002 0.79997 0.79998 0.00002 9 100000.000 1.60000 1.20000 0.80000 0.80000 0.00000

Maka penyelesaian optimal masalah 3.3.3 adalah 6.11 =x dan , yang

menyebabkan nilai minimum pada .

2.12 =x

f 8.0


55

Contoh 3.3.4


Minimalkan ( ) 22

2121, xxxxf +=

Dengan kendala 022 21 ≤−+ xx

012 =+− x

Penyelesaian :

Tahap awal adalah menentukan titik awal yakni ( )6,21 =x , , ,

dan . Kemudian dilanjutkan dengan membentuk masalah berkendala

dari contoh 3.3.4 menjadi masalah tidak berkendala dengan menggunakan metode

Fungsi Penalti Eksterior yakni,

1μ1 = 10β =

810−=ε 1=k

( ) ( )( )[ ] ( )222

212

22

1 1μ22,0 maksμ +−+−+++= xxxxxz kk .

Tahap selanjutnya adalah mencari penyelesaian dari masalah minimalkan ,

yakni dengan menggunakan metode Newton. Penyelesaian dari contoh 3.3.4

dengan menggunakan program Matlab dapat diperlihatkan sebagai berikut :

z

k*x


====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 1 2.000000 6.000000 40.000000 129.000000 89.000000 2 10 0.545455 0.636364 0.702479 2.024793 1.322314 3 100 0.390456 0.926839 1.011486 1.546741 0.535255 4 1000 0.357049 0.991867 1.111283 1.177436 0.066153 5 10000 0.353305 0.999177 1.123180 1.129946 0.006765 6 100000 0.352926 0.999918 1.124392 1.125070 0.000678 7 1000000 0.352888 0.999992 1.124514 1.124582 0.000068 8 10000000 0.352885 0.999999 1.124526 1.124533 0.000007 9 100000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124528 0.000001 10 1000000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124527 0.000000 ======================================================================


56

Maka penyelesaian optimal masalah 3.3.4 adalah 352884.01 =x dan , yang

membuat nilai minimum pada .

12 =x

f 124527.1

Masalah optimisasi pada contoh 3.3.4 adalah kasus umum yakni yang

memerlukan titik awal. Dalam tabel penyelesaiannya dapat dilihat bahwa metode

Fungsi penalti Eksterior konvergen ke penyelesaian yang sebenarnya. Akan tetapi

dalam kasus umum masalah optimisasi yang diselesaikan dengan metode Fungsi

Penalti Eksterior tidak selalu mudah menentukan nilai awal , apabila nilai awal

dipilih sangat besar maka akan mengakibatkan penyelesaian tidak optimal.

Sebagai perbandingannya akan diberikan contoh nilai awal yang sangat besar

yang tidak menghasilkan penyelesaian yang optimal yakni

μ

μ

μ

100000μ1 = .

Hasil penyelesaian dengan Metode Fungsi penalti Eksterior :

======================================================================

Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua

======================================================================

1 100000 2.000000 6.000000 40.000000 8900040.000000 8900000.000000

2 1000000 0.500002 0.999993 1.249988 1.250044 0.000056

3 10000000 0.499999 0.999999 1.249997 1.250003 0.000006

4 100000000 0.499999 1.000000 1.249998 1.249999 0.000001

5 1000000000 0.499999 1.000000 1.249999 1 .249999 0.000000

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa dengan suatu nilai awal μ yang sangat besar

proses optimisasi dapat terhenti pada waktu yang seharusnya belum terhenti,

karena sekalipun penyelesaiannya konvergen tetapi titik layak yang dihasilkan

bukanlah titik optimal, sehingga penyelesaiannya bukanlah penyelesaian optimal.


57

Metode Fungsi Penalti Eksterior memiliki kelebihan dan kekurangan.

Kelebihan dari metode Fungsi Penalti Eksterior adalah masalah optimisasi

berkendala menjadi mudah diselesaikan karena metode Fungsi Penalti Eksterior

mengubah masalah optimisasi berkendala tersebut menjadi masalah optimisasi

tidak berkendala. Sedangkan kekurangan dari metode Fungsi Penalti Eksterior

adalah pada kasus umum masalah optimisasi nonlinear yakni masalah yang

memerlukan titik awal, dalam pemilihan yang sangat besar akan mengakibatkan

kesulitan perhitungan artinya bahwa proses optimisasi dapat terhenti pada waktu

yang seharusnya belum berhenti. Dengan suatu nilai yang sangat besar pada

umumnya prosedur optimisasi tidak berkendala akan bergerak cepat menuju titik

layak sekalipun titik ini mungkin jauh dari titik optimal.

D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Eksterior

Untuk membuktikan konvergensi dari algoritma metode Fungsi Penalti

Eksterior, terlebih dahulu dibentuk fungsi tambahan sama yakni :

( ) ( ) ( ){ }[ ]pm

iikk gfz ∑

=

+==1

,0 maks μμ, xxxφ

( ) ( )[ ]xx gμ Gf k+=

dengan p bilangan bulat positif dan parameter penalti. kμ


58

Lemma 3.4.1

Jika ( ) ( ) ( )[ xxx gμμ, Gf kk + ]=φ (3.4.1)

Maka relasi-relasi berikut akan benar untuk setiap 1μμ0 +<< kk :

(i) ( ) ( )11** μ,μ, ++≤ kkkk xx φφ

(ii) ( )[ ] ( )[ ]1** gg +≥ kk GG xx

(iii) ( ) ( )1**

+≤ kk ff xx

(iv) ( ) ( ) ( )kk ff *** μ, xxx ≥≥φ .

Bukti :

(i) Karena dan 1μμ +≤ kk ( )[ ] 0g ≥xG maka

( )[ ] ( )[ ]1*

11* gμgμ +++ ≤ kkkk GG xx

Sehingga

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1*

11*

1*

1* gμgμ +++++ +≤+ kkkkkk GfGf xxxx

( )1,1* μ ++= kkxφ

Selanjutnya, karena meminimalkan k*x ( )kμ,xφ , maka :

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1*

1**** gμgμμ, ++ +≤+= kkkkkkkk GfGf xxxxxφ

( )1,1* μ ++≤ kkxφ (3.4.2)

Jadi terbukti bahwa ( ) ( )11** μ,μ, ++≤ kkkk xx φφ .

(ii) Karena dan masing-masing meminimalkan k*x 1

*+kx ( )kμ,xφ dan ( )1μ, +kxφ

maka dapat ditulis :


59

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1*

1*** gμgμ ++ +≤+ kkkkkk GfGf xxxx (3.4.3)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]kkkkkk GfGf *1

*1

*11 gμgμ xxxx ++++ +≤+ (3.4.4)

Dengan menjumlahkan persamaan (3.4.3) dan (3.4.4) akan diperoleh :

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kkkkkkkk GGGG *11

*1

*1

* gμgμgμgμ xxxx ++++ +≤+

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1*

1*

11** gμgμgμgμ ++++ −≤−⇔ kkkkkkkk GGGG xxxx

( )[ ] ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]{ }1**

11** ggμggμ +++ −≤−⇔ kkkkkk GGGG xxxx (3.4.5)

Tetapi karena , maka pertidaksamaan (3.4.5) akan berlaku jika : 1μμ +≤ kk

( )[ ] ( )[ ] 0gg 1** ≥− +kk GG xx atau ( )[ ] ( )[ ]1

** gg +≥ kk GG xx .

Jadi terbukti bahwa ( )[ ] ( )[ ]1** gg +≥ kk GG xx .

(iii) Dari pertidaksamaan (3.4.2) diperoleh :

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }kkkkk gGgGff *1

*1

** μ xxxx −≤− ++ (3.4.6)

Karena ( )[ ] ( )[ ]kk GG *1

* gg xx ≤+ dan , maka pertidaksamaan (3.4.6)

memberikan

0μ >k

( ) ( )1**

+≤ kk ff xx .

(iv) Karena meminimalkan k*x ( )kμ,xφ , maka :

( ) ( )[ ] ( )kkkGf μ,gμ *** xxx φ≥+ (3.4.7)

Sedangkan ( ) ( ) ( )[ ]kkkkk Gf *** gμμ, xxx +=φ maka pertidaksamaan (3.4.7)

dapat dibentuk menjadi :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]kkkkk GfGf **** gμgμ xxxx +≥+

Karena adalah minimum untuk masalah optimisasi berkendala, maka *x

( )[ ] 0g * =xG . Sehingga :


60

( ) ( ) ( )[ ]kkk Gff *** gμ xxx +≥

Karena ( )[ ] 0* ≥kgG x dan mengakibatkan : 0μ ≥k

( ) ( ) ( )kkk ff *** μ, xxx ≥≥φ .

Teorema 3.4.2

Jika barisan naik dari nilai-nilai meminimalkan fungsi kμ ( )kμ,xφ yang diberikan

pada persamaan (3.4.1), maka , yakni pembuat minimum fungsi obyektif pada

masalah berkendala akan konvergen ke penyelesaian optimal

k*x

( )*x masalah

berkendala untuk . ∞→kμ

Bukti :

Misalkan penyelesaian optimal masalah berkendala, maka akan ditunjukkan

bahwa :

*x

( ){ } ( ) ( )**

μμ,min lim

k

xxx fkk ==∞→

φφ

Karena kontinu dan ( )xf ( ) ( )xx ff ≤* untuk setiap titik layak , maka dapat

dipilih titik layak

x

x sedemikian sehingga :

( ) ( )2

* ε+< xx ff , (3.4.8)

untuk sembarang nilai 0>ε .

Selanjutnya, pilih k yang sesuai yang disebut 1+k , sedemikian sehingga :

( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<xg

2μGk

ε

. (3.4.9)


61

Dari Lemma 3.4.1 bagian (iv) diketahui bahwa

( ) ( ) ( )*** μ, xxx ff kkk ≤≤φ , (3.4.10)

sedangkan berdasarkan Lemma 3.4.1 bagian (i) diperoleh

( ) ( )11** μ,μ, ++≤ kkkk xx φφ . (3.4.11)

Tetapi karena meminimalkan 1*

+kx ( )1μ, +kxφ maka :

( ) ( )1* μ,μ, +≤ kkk xx φφ (3.4.12)

Sehingga dengan mengkombinasikan pertidaksamaan (3.4.10), (3.4.11) dan

(3.4.12) diperoleh

( ) ( ) ( )1** μ,μ, +≤≤ kkkkf xxx φφ (3.4.13)

Karena

( ) ( ) ( )[ ]xxx gμμ, 11 Gf kk ++ +=φ

maka pertidaksamaan (3.4.13) menjadi

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xxxx gμμ, 1** Gff kkkk ++≤≤φ

Pertidaksamaan (3.4.9) memberikan

( )[ ]2

gμ 1ε

<+ xGk (3.4.15)

Berdasarkan pertidaksamaan (3.4.8) dan (3.4.15) maka pertidaksamaan (3.4.14)

menjadi :

( ) ( ) ( ) ( ) εεεφ +=++<≤ ****

22μ, xxxx fff kkk

atau

( ) ( ) εφ <− ** μ, xx fkk . (3.4.16)


62

Untuk setiap 0>ε dapat dipilih suatu nilai k untuk memenuhi pertidaksamaan

(3.4.16) sedemikian sehingga untuk ( )∞→∞→ μ kk , diperoleh :

( ) ( )**

μμ, lim

k

xx fkk =∞→φ .

Dari Teorema 3.4.2 di atas, dinyatakan bahwa penyelesaian optimal

dari masalah berkendala dapat dibuat sedekat-dekatnya dengan daerah layak

dengan memilih μ cukup besar. Titik-titik optimal

*x

{ }*x umumnya tidak layak.

Tetapi sebagaimana ditunjukan oleh bukti Teorema 3.4.2, jika parameter penalti

dibuat besar, titik-titik tersebut akan mendekati penyelesaian optimal dari arah

luar daerah layak.

μ


BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan uraian dari bab-bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan

beberapa hal berikut ini :

Metode fungsi penalti adalah metode yang digunakan untuk

mentransformasikan masalah optimisasi nonlinear berkendala menjadi masalah

tidak berkendala. Metode fungsi penalti sendiri terdiri atas dua metode yaitu

metode fungsi penalti eksterior dan interior. Bentuk umum dari masalah fungsi

penalti eksterior adalah :

Minimalkan ( ) ( )xx α μ kfz +=

dengan

( ) ( ){ }[ ] ( )pl

ii

pm

ii h∑∑

==

+=11

g,0 maks α xxx

merupakan parameter penalti, kμ ( ) ( ) dan xx ii hg adalah fungsi-fungsi kendala.

Titik optimal tercapai bila nilai fungsi konvergen ke fungsi dengan

mendekati tak hingga dan

z ( )xf kμ

( )xα mendekati nol. Proses pencarian penyelesaian

optimal dengan metode fungsi penalti eksterior dimulai dari daerah tidak layak.

Untuk meminimalkan fungsi dalam penulisan ini digunakan metode Newton.

Dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan

metode Fungsi Penalti Eksterior ditemukan dua kasus yakni, kasus umum dan

kasus khusus. Kasus umum adalah masalah yang dalam penyelesaiannya


64

memerlukan titik awal, sedangkan kasus khusus adalah masalah yang dalam

penyelesaiannya tidak memerlukan titik awal.

Metode Fungsi Penalti Eksterior memiliki kelebihan dan kekurangan.

Kelebihan dari metode Fungsi Penalti Eksterior adalah masalah optimisasi

berkendala menjadi mudah diselesaikan karena metode Fungsi Penalti Eksterior

mengubah masalah optimisasi berkendala tersebut menjadi masalah optimisasi

tidak berkendala. Sedangkan kekurangan dari metode Fungsi Penalti Eksterior

adalah pada kasus umum masalah optimisasi nonlinear yakni masalah yang

memerlukan titik awal, dalam pemilihan yang sangat besar akan mengakibatkan

kesulitan perhitungan artinya bahwa proses optimisasi dapat terhenti pada waktu

yang seharusnya belum berhenti. Dengan suatu nilai yang sangat besar pada

umumnya prosedur optimisasi tidak berkendala akan bergerak cepat menuju titik

layak sekalipun titik ini mungkin jauh dari titik optimal.

B. Saran

Metode newton bukan satu-satunya metode yang dapat digunakan dalam

menyelesaikan masalah meminimalkan , tetapi masih ada metode-metode tidak

berkendala lainnya seperti metode Turun-tercuram, metode Davidon dan beberapa

metode lainnya.

z

Metode Fungsi Penalti tidak hanya metode Fungsi Penalti Eksterior akan

tetapi masih ada metode Fungsi Penalti Interior yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala.


65

DAFTAR PUSTAKA

Anggi, M. N. (2007). Penyelesaian Sistem Persamaan Non-linear dengan Metode Newton dan Terapannya. Skripsi. Yogyakarta : FST USD.

Anton, H and Rorres, C (2004). Aljabar Linear Elementer, Versi Aplikasi (Terjemahan). Edisi kedelapan-jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Bazaraa M, Sherali H, Shetty C. (1993). Nonlinear Programming, theory and

algorithms, second edition, New York : John Wiley & Sons, Inc. Chong, P. E, and Zak, H. Stanislaw. (1996). An Introduction to Optimization.

New York : John Wiley & Sons, Inc.

Luenberger, D (1989). Linear and Nonlinear Programing, second edition, Canada : Addison-Wesley Publishing.

Linfield, G, and Penny, J. (2000). Numerical Methods Using Matlab. Upper

Saddle River: Prentice Hall.

Purcell, J, E and Varberg D. Kalkulus dan Geometri Analitik. (Terjemahan). Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Rao S S. (1984). Optimization Theory and Applications, second edition.

India : Wiley Eastern Limited.

Soemantri, R, dkk. (2006). Diktat Pengantar Analisis Real. Yogyakarta : FMIPA USD.

Sundaram, K. R (1996). A First Course in Optimization Theory. New York : Cambridge University Press.


66

LAMPIRAN 1

Program Menu Utama :

function utama pilih=0; while pilih~=4 fprintf('\n\n\n\n'); disp('Program Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior'); disp('oleh Maria Martini Leto Kurniawan (013114019)'); disp('sebagai syarat memperoleh gelar S.Si'); fprintf('\n\n\n\n'); disp('------------------------------------------------------------------------------------------------------'); disp(' Menu Utama'); disp(' Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior'); disp('-------------------------------------------------------------------------------------------------------'); disp(' 1. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan'); disp(' 2. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Persamaan'); disp(' 3. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan dan Persamaan'); disp(' 4. Keluar'); fprintf('\n\n'); pilih=input('Masukkan menu pilihan anda='); switch pilih case 1 contoh; case 2 contoh2; case 3 gabung ; case 4 disp('Keluar'); otherwise disp('Masukkan anda salah'); end end disp('Terimakasih anda telah menggunakan program ini.'); Output Program Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior oleh Maria Martini Leto Kurniawan (013114019) sebagai syarat memperoleh gelar S.Si ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Menu Utama Penyelesaian Masalah Optimisasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan 2. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Persamaan


67

3. Masalah Optimisasi Nonlinear Dengan Kendala Pertidaksamaan dan Persamaan 4. Keluar Masukkan menu pilihan anda= LAMPIRAN 2 PROGRAM UNTUK MASALAH DENGAN KENDALA PERTIDAKSAMAAN Listing program : function contoh clear; clc; mu=input('Masukkan nilai parameter penalti :'); err=input('Masukkan nilai toleransi :'); b=input('Masukkan nilai beta : '); n=input('Masukkan iterasi maksimum : '); k=1; clc; fprintf('Program untuk meminimumkan f=(1/3*(x1+1)^3)+x2\n'); fprintf('Dengan kendala 1-x1<=0 dan -x2=0\n'); fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua\n'); fprintf('==============================================================\n'); while k<=n x3=-1-mu+mu*(sqrt(1+(4/mu))); x4=(-1/(2*mu)); x1=x3; x2=x4; z=(1/3*(x1+1)^3)+x2+mu*(max(0,(1-x1)))^2+mu*(max(0,(-x2)))^2; f=(1/3*(x1+1)^3)+x2; mua=mu*((max(0,(1-x1))))^2+(max(0,(-x2)))^2; fprintf(' %3d %.3f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f\n',k,mu,x1,x2,f,z,mua); if mua < err break end k=k+1; mu=b*mu; end fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Pada saat iterasi ke - %d, mua < %5.5f.\n',k,err); fprintf(' Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = %7.5f dan x2 = %7.5f.\n',x1,x2); end


68

Output >> contoh

Masukkan nilai parameter penalti :0.001 Masukkan nilai toleransi :0.00001 Masukkan nilai beta : 10 Masukkan iterasi maksimum : 15 Tampilan hasil : Program untuk meminimumkan f=(1/3*(x1+1)^3)+x2 Dengan kendala 1-x1<=0 dan -x2=0 ====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 -0.93775 -500.00000 -499.99992 -249.99616 250000.00375 2 0.010 -0.80975 -50.00000 -49.99770 -24.96495 2500.03275 3 0.100 -0.45969 -5.00000 -4.94742 -2.23435 25.21307 4 1.000 0.23607 -0.50000 0.12951 0.96311 0.83359 5 10.000 0.83216 -0.05000 2.00007 2.30677 0.28420 6 100.000 0.98039 -0.00500 2.58399 2.62495 0.03848 7 1000.000 0.99800 -0.00050 2.65819 2.66242 0.00398 8 10000.000 0.99980 -0.00005 2.66582 2.66624 0.00040 9 100000.000 0.99998 -0.00001 2.66658 2.66662 0.00004 10 1000000.000 1.00000 -0.00000 2.66666 2.66666 0.00000 ====================================================================== Pada saat iterasi ke - 10, mua < 0.00001. Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = 1.00000 dan x2 = -0.000000 LAMPIRAN 3

PROGRAM DENGAN KENDALA PERSAMAAN

Listing Program : function contoh2 clear; clc; mu=input('Masukkan nilai parameter penalti :'); err=input('Masukkan nilai toleransi :'); b=input('Masukkan nilai beta : '); n=input('Masukkan iterasi maksimum : '); k=1; clc; fprintf('Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8\n'); fprintf('Dengan kendala x1+2*x2-4=0\n'); fprintf('============================================================= \n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua\n'); fprintf('==============================================================\n');


69

while k<=n x3=(32*mu+8)/(20*mu+4); x4=(24*mu+8)/(20*mu+4); x1=x3; x2=x4; z=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8+mu*((x1+2*x2-4).^2); f=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8; mua=mu*((x1+2*x2-4).^2); fprintf(' %3d %.3f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f\n',k,mu,x1,x2,f,z,mua); if mua < err break end k=k+1; mu=b*mu; end fprintf('============================================================= \n'); fprintf(' Pada saat iterasi ke - %d, mua < %5.5f.\n',k,err); fprintf(' Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = %7.5f dan x2 = %7.5f.\n',x1,x2); end Output >> contoh2

Masukkan nilai parameter penalti :0.001 Masukkan nilai toleransi :0.00001 Masukkan nilai beta : 10 Masukkan iterasi maksimum : 15 Tampilan hasil : Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2-4*x1-4*x2+8 Dengan kendala x1+2*x2-4=0 ====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 0.001 1.99801 1.99602 0.00002 0.00398 0.00396 2 0.010 1.98095 1.96190 0.00181 0.03810 0.03628 3 0.100 1.86667 1.73333 0.08889 0.26667 0.17778 4 1.000 1.66667 1.33333 0.55556 0.66667 0.11111 5 10.000 1.60784 1.21569 0.76894 0.78431 0.01538 6 100.000 1.60080 1.20160 0.79681 0.79840 0.00159 7 1000.000 1.60008 1.20016 0.79968 0.79984 0.00016 8 10000.000 1.60001 1.20002 0.79997 0.79998 0.00002 9 100000.000 1.60000 1.20000 0.80000 0.80000 0.00000 ====================================================================== Pada saat iterasi ke - 9, mua < 0.00001. Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = 1.60000 dan x2 = 1.20000


70

LAMPIRAN 4

PROGRAM UNTUK KENDALA PERTIDAKSAMAAN DAN PERSAMAAN

Listing Program :

function gabung clear; clc; fprintf('Metode Eksterior dan Metode Newton\n\n'); fprintf('Masukkan data yang dibutuhkan\n\n'); x=input('x0 = '); mu=input('Masukkan nilai parameter penalti :'); tol=input('Masukkan nilai toleransi :'); b=input('Masukkan nilai beta : '); N=input('Max.iterasi = '); k=1; fprintf('Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2\n'); fprintf('Dengan kendala 2*x1+x2-2<=0 dan -x2+1=0\n'); fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua\n'); fprintf('==============================================================\n'); while k <= N x1=x(1);x2=x(2); f1=2*x1+4*mu*(max(0,(2*x1+x2-2))); f2=2*x2-2*mu*(-x2+1)+2*mu*(max(0,(2*x1+x2-2))); fx=[f1;f2]; j11=2+8*mu; j12=4*mu; j21=4*mu; j22=2+4*mu; jx=[j11 j12;j21 j22]; %j(ik)=turunan fungsi ke-i terhadap variabel ke-k y=-inv(jx)*fx; f=x1.^2+x2.^2; z=(x1.^2+x2.^2)+mu*(-x2+1).^2+mu*(max(0,(2*x1+x2-2))).^2; mua=mu*(-x2+1).^2+mu*(max(0,(2*x1+x2-2))).^2; fprintf(' %4.0d %11.0d %12f %12f %12f %12f %12f\n',k,mu,x,f,z,mua); if mua<tol break end mu=b*mu; if norm(y)<tol break end x=x+y'; k=k+1; %iterasi akan dilanjutkan kembali.


71

end fprintf('==============================================================\n'); fprintf(' Pada saat iterasi ke - %4.0d, mua < %8.8f.\n',k,tol); fprintf(' Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = %12f dan x2 = %12f\n',x1,x2); end Output

>> gabung Metode Eksterior dan Metode Newton Masukkan data yang dibutuhkan x0 = [2 6] Masukkan nilai parameter penalti :1 Masukkan nilai toleransi :0.00000001 Masukkan nilai beta : 10 Max.iterasi = 100 Tampilan Hasil Program untuk meminimumkan f=x1.^2+x2.^2 Dengan kendala 2*x1+x2-2<=0 dan -x2+1=0 ====================================================================== Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mua ====================================================================== 1 1 2.000000 6.000000 40.000000 129.000000 89.000000 2 10 0.545455 0.636364 0.702479 2.024793 1.322314 3 100 0.390456 0.926839 1.011486 1.546741 0.535255 4 1000 0.357049 0.991867 1.111283 1.177436 0.066153 5 10000 0.353305 0.999177 1.123180 1.129946 0.006765 6 100000 0.352926 0.999918 1.124392 1.125070 0.000678 7 1000000 0.352888 0.999992 1.124514 1.124582 0.000068 8 10000000 0.352885 0.999999 1.124526 1.124533 0.000007 9 100000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124528 0.000001 10 1000000000 0.352884 1.000000 1.124527 1.124527 0.000000 ====================================================================== Pada saat iterasi ke - 10, mua < 0.00000001. Jadi nilai x yang meminimalkan z adalah : x1 = 0.352884 dan x2 = 1.000000


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji metode … · buat oncu, dan oncu tidak akan ... gambar...

Documents