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1.- Un comprador est tratando de seleccionar la combinacin ms barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamnicos son por lo menos 40 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina B y 49 unidades de vitamina C. Cada onza del alimento x proporciona 4 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B y 7 unidades de vitamina C; cada onza del alimento y proporciona 10 unidades de A, 5 unidades de B y 7 unidades de C. El alimento x cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento y cuesta 8 pesos/kilogramo.

Solucin.1.- Formulacin del problema.La meta en este problema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamnicas. Las dos alternativas disponibles son los alimentos x y y. Matemticamente la funcin objetivo es:Z min = 5x + 8yLas restricciones son los requerimientos mnimos de las tres vitaminas. stas se muestran enseguida: Restricciones: 4x + 10y 40 vitamina A10x + 5y 50 vitamina B 7x + 7y 49 vitamina CA 0, B 0 no negatividad2.- Grfica de las restricciones. Graficar cada ecuacin de restriccin Graficar el rea apropiadaPara la primera restriccin la ecuacin es 4x + 10y = 40. Las dos intersecciones con los ejes son (0,4) y (10,0). Esta lnea se muestra en la siguiente figura:Cuando , tenemos;

4x + 10y = 40Cuando , tenemos;

La restriccin pide 40 unidades o ms de la vitamina A. Cualquier punto que est arriba de la lnea de restriccin ser factible y todos los puntos que quedan abajo de esa lnea sern aceptables. En la siguiente figura se muestra la regin factible:

Despus se grafica la restriccin para la vitamina B. La ecuacin 10x + 5y = 50 tiene intersecciones con los ejes en (0,10) y (5,0). En la siguiente figura se ilustran las restricciones para las vitaminas A y B. Ntese que las soluciones que quedan en las reas a o b no son factibles, ya que quedaran abajo de las lneas de restriccin.Cuando , tenemos;


Al agregar la tercera restriccin, este segundo paso queda terminado, como se muestra en la siguiente figura:Cuando , tenemos;


3.- localizacin de la solucin ptima.Si se usa el mtodo de prueba y error para localizar la solucin ptima, se deben encontrar las coordenadas de los puntos m, n, o, y p. Se debe calcular despus el valor de la funcin objetivo para cada punto. A continuacin se muestran los resultados de este procedimiento:

PuntoCoordenadasZ min = 5x + 8y

mx = 10, y = 050

nx = 5, y = 241 - menor

ox =3, y = 447

px = 0, y = 1080

Conclusin:La solucin menos costosa es 5 kilogramos de alimento x y 2 kilogramos de alimento y. El costo total de esta combinacin es:Z = 5x + 8y = 5(5) + 8(2) = 25 + 16 = 41 pesos

2.- Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditoras de empresas pequeas. Tienen inters en saber cuntas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de 100 dls. El mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.Solucin.1.- Formulacin del problema.Definimos las variables originales como: x Cantidad de auditoras y Cantidad de liquidacionesFuncin objetivo: Maximizar el ingreso total.Z 300x 100yLas restricciones del problema se formulan como:

40x 8y 800 (Tiempo disponible de trabajo directo)10x 5y 320 (Tiempo disponible de revisin) y 60 (Nmero mximo de liquidaciones)

2.- Grfica de las restricciones. Graficar cada ecuacin de restriccin Graficar el rea apropiada3ra. Restriccin Cuando

Paralela a x2da. Restriccin Cuando

2da. Restriccin Cuando

1ra. Restriccin Cuando


PuntoCoordenadasZ =300x + 100y

ax = 0, y = 00

bx = 20, y = 06000

Cx =12, y = 407600- maximo

Dx = 2, y = 606600

ex = 0, y = 646400

Conclusin:Se necesita 12 auditoras y 40 liquidaciones, para obtener un ingreso mximo de 7600.

3.- Un pequeo fabricante de productos fotogrficos prepara cada da dos tipos de reveladores de pelcula FINO y EXTRAFINO. Para ello utiliza las soluciones A y B. Un cuarto de revelador FINO contiene 20 onzas de solucin A y 10 onzas de solucin B y el revelador EXTRAFINO contiene 10 onzas de A y 20 onzas de B. Las ganancias por cada cuarto de FINO es de 800 u.m. y la de un cuarto de EXTRAFINO es de 1000 u.m. Si la empresa dispone a diario de 500 onzas de solucin A y 700 de solucin B, se pide hallar el nmero total de cuartos de FINOS y EXTRAFINOS que debe producir para maximizar su ganancia. (Suponga que el productor puede vender todo lo que se fabrica)Solucin.1.- Formulacin del problema.Definicin de variables x = Nmero de cuartos de revelador FINO a producir y = Nmero de cuartos de revelador EXTRAFINO a producir Z = GananciasFormulacin del Modelo La Funcin Objetivo corresponde a la maximizacin de las utilidades a partir del aporte que hace cada revelador. Es decir: Utilidad por un cuarto de FINO: 800 u.m; Utilidad total: 800xUtilidad por un cuarto de EXTRAFINO: 1000 u.m; Utilidad total: 1000yDe esta forma la funcin Objetivo, ser:

Maximizar Z = 800x + 1000yRestricciones: Existen algunas restricciones de produccin a causa de las unidades limitadas de materia prima: Onzas de solucin A para la produccin de un cuarto de FINO: 20; as las onzas totales de solucin A para la produccin de este revelador son: 20x. Onzas de solucin A para la produccin de un cuarto de EXTRAFINO: 10; as las onzas totales de solucin A para la produccin de este revelador son: 10y. Considerando que solo se dispone de 500 onzas de solucin A, entonces: 20x + 10y 500

De otra lado, Onzas de solucin B para la produccin de un cuarto de FINO: 10; as las onzas totales de solucin B para la produccin de este revelador son: 10x. Onzas de solucin B para la produccin de un cuarto de EXTRAFINO: 20; as las onzas totales de solucin B para la produccin de este revelador son: 20y. Considerando que solo se dispone de 700 onzas de solucin B, entonces: 10x + 20y 700Considerando que adems no pueden existir producciones negativas: x, y 0 De esta manera el modelo que permite representar el problema es:Maximizar Z = 800x + 1000y (Funcin Objetivo) Sujeto a: 20x + 10y 50010x + 20y 700 x, y 0 2.- Grfica de las restricciones. Graficar cada ecuacin de restriccin Graficar el rea apropiada2da. Restriccin Cuando




PuntoCoordenadasZ = 800x + 1000y

ax = 0, y = 00

bx = 25, y = 020000

Cx =10, y = 3038000- Mximo

dx = 0, y = 3535000

Conclusin:el nmero total de cuartos de FINOS es de 10 y EXTRAFINOS de 30 que debe producir para maximizar una ganancia de 38000.

4.- Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180 refrescos de cola sin cafena. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos:TIPO A, con 3 refrescos con cafena y 3 sin cafena.TIPO B, con 2 refrescos con cafena y 4 sin cafena.El vendedor gana 6 por cada paquete que vende de tipo A y 5 por cada paquete de tipo B. Calcula de forma razonada cuntos paquetes ha de vender de cada tipo para que el beneficio sea mximo. Cul es ese beneficio? Solucin.1.- Formulacin del problema.Definicin de variables

x al nmero de paquetes de tipo A y al nmero de paquetes de tipo B. Resumimos la informacin en una tabla:ABRef. Disponibles

Con cafena32120

Sin cafena34180

Ganancia65

Las restricciones del problema son: 3x + 2y 1203x + 4y 180 x 0, y 0De esta forma la funcin Objetivo, ser:

Maximizar Z = 6x + 5ySujeto a3x + 2y 1203x + 4y 180 x 0, y 0

2.- Grfica de las restricciones. Graficar cada ecuacin de restriccin Graficar el rea apropiada2da. Restriccin Cuando




PuntoCoordenadasZ = 6x + 5y

Ax = 0, y = 00

Bx = 40, y = 0240

Cx =20, y = 30270- Mximo

Dx = 0, y = 40200

Conclusin:El mximo beneficio es de 270 , y se alcanza vendiendo 20 paquetes de tipo A y 30 paquetes de tipo B.5.- Una pea de aficionados de un equipo de ftbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1 200 socios a ver un partido de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobs es de 1 260, y el de cada microbs, de 900. La empresa solo dispone, ese da, de 28 conductores.Qu nmero de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mnimo coste posible? Cul es ese coste?Solucin.1.- Formulacin del problema.

Definicin de variables

x al nmero al nmero de autobusesy al nmero al nmero de microbuses. Las restricciones del problema son: x + y 2850x + 30y 1200 x 0, y 0La funcin que nos da el coste, funcin objetivo, es MinimizarZ = 1260x + 900y.Sujeto a: x + y 2850x + 30y 1200 x 0, y 0

2.- Grfica de las restricciones. Graficar cada ecuacin de restriccin Graficar el rea apropiada





PuntoCoordenadasZ = 1260x + 900y.

Ax = 24, y = 06048.- Minimo

Bx = 28, y = 07056

Cx =18, y = 106336

Conclusion:El mnimo se alcanza en el punto A(24, 0). Es decir, deben contratarse 24 autobuses y ningn microbs.El valor del coste mnimo es 6048 .

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