ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Σημειώσεις για το μάθημα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Θεοδόσης Δημητράκος

E-mail: dimitheo @ aegean . gr

Σάμος2010

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι έννοιες του «τυχαίου» και του «πιθανού» είναι, σήμερα, λίγο-πολύ γνωστές και εξηγούνται με τη διαίσθηση

και την κοινή λογική. Ο μεγάλος Γάλλος Mαθηματικός Laplace έγραψε ότι: «Οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτε

άλλο παρά η μετατροπή της κοινής λογικής σε μαθηματικές εκφράσεις». Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ο

κλάδος των Μαθηματικών που μελετά τα τυχαία (ή στοχαστικά) φαινόμενα, δηλαδή εκείνα τα φαινόμενα που

εξελίσσονται σε συνθήκες αβεβαιότητας. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τυχαίου φαινομένου είναι η ρίψη ενός

νομίσματος. Αν ρίξουμε ένα νόμισμα 1000 φορές οι εμφανίσεις γραμμάτων και κεφαλών εναλλάσσονται με

έναν ακανόνιστο και απρόβλεπτο τρόπο.

Οι Πιθανότητες χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστήμες και σε πολλές δραστηριότητες της καθημερινής μας

ζωής. Αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων χρησιμοποιούνται στη Στατιστική, στην Επιχειρησιακή

Έρευνα, στην Αναλογιστική Επιστήμη, στην Οικονομετρία, στη Φυσική, στη Βιολογία, στην Ιατρική και

αλλού. Τα στοιχήματα στηρίζονται στη λογική των Πιθανοτήτων. Το ίδιο συμβαίνει και με τους μηχανισμούς

που προσπαθούν να αξιολογήσουν την ικανότητα των μαθητών μέσω tests.

Ιστορικά, η αυστηρή εφαρμογή της Θεωρίας των Πιθανοτήτων έγινε αρχικά σε παιχνίδια τύχης. Οι Αιγύπτιοι

από το 3000 π.Χ. χρησιμοποιούσαν τον «αστράγαλο», ένα κόκκαλο ζώου με τέσσερις πλευρές, για να παίζουν

παιχνίδια τύχης. Ο «αστράγαλος» αποτέλεσε τον πρόγονο του γνωστού ζαριού το οποίο εμφανίστηκε για πρώτη

φορά γύρω στα 1600 π.Χ. Στην Κίνα μεταξύ του 7ου και του 10ου αιώνα μ.Χ. εμφανίστηκαν τυχερά παιχνίδια

που βασίζονταν σε κάρτες (τραπουλόχαρτα). Μέσα από τα τυχερά παιχνίδια άρχισε να αναπτύσσεται η ιδέα της

συχνότητας εμφάνισης ορισμένων αποτελεσμάτων και επομένως της πιθανότητας. Η ουσιαστική ανάπτυξη της

Θεωρίας Πιθανοτήτων ξεκίνησε από τις επιστολές των Pascal (1623-1662) και Fermat (1601-1665) γύρω στα

1650 μ.Χ. οι οποίες περιείχαν τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε αρκετά παραδείγματα από τυχερά παιγνίδια.

Ένα από τα προβλήματα που απασχόλησαν τους Pascal και Fermat ήταν το περίφημο πρόβλημα του Chevalier

de Mere. Ένα ζάρι ρίχνεται τέσσερις φορές και δύο ζάρια ρίχνονται είκοσι τέσσερις φορές. Το ερώτημα είναι

αν η πιθανότητα εμφάνισης ενός άσσου τουλάχιστον μία φορά στις τέσσερις ρίψεις του ενός ζαριού ισούται με

την πιθανότητα εμφάνισης ενός ζεύγους άσσων τουλάχιστον μία φορά στις είκοσι τέσσερις ρίψεις των δύο

ζαριών. Η απάντηση στο ερώτημα είναι αρνητική. Το πρώτο βιβλίο Πιθανοτήτων με τίτλο On calculations in

2

Games of Chance γράφτηκε από τον Γερμανό Christian Huyghens (1629-1695). Εξέχουσα θέση στη ραγδαία

ανάπτυξη και στην εξέλιξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων στη πορεία του χρόνου κατέχουν πολλοί διάσημοι

Μαθηματικοί αλλά και άλλοι επιστήμονες όπως, μεταξύ άλλων, οι James Bernoulli (1654-1705), Abraham de

Moivre (1667-1754), Pierre Simon Laplace (1749-1827), Simeon Denis Poisson (1781-1840) και Karl Friedrich

Gauss (1777-1855). Μεταγενέστεροι είναι οι Pafnuty Chebyshev (1821-1894), Andrei Markov (1856-1922),

Richard Von Mises (1883-1953) και Andrei Kolmogorov (1903-1987).

Στις σημειώσεις αυτές θα αναλύσουμε τις σημαντικότερες έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στο πρώτο

κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικότερα στοιχεία της Συνδυαστικής Ανάλυσης τα οποία είναι απαραίτητα για

την κατανόηση των εννοιών του επόμενου κεφαλαίου. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνονται οι διάφοροι ορισμοί της

πιθανότητας μαζί με βασικές έννοιες και σχετικά θεωρήματα. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την έννοια

της τυχαίας μεταβλητής και μελετάμε τις σημαντικότερες ιδιότητές της. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετούμε τις

πιθανογεννήτριες, τις ροπογεννήτριες και τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις. Στο πέμπτο κεφάλαιο

παρουσιάζουμε τον Ισχυρό Νόμο των Μεγάλων Αριθμών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Στο έκτο

κεφάλαιο κάνουμε μία εισαγωγή στις διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές. Η εισαγωγή κάθε καινούργιας έννοιας

διανθίζεται με κατάλληλα σχετικά παραδείγματα.

Εκτός των παρόντων σημειώσεων, ως βιβλία για παραιτέρω μελέτη προτείνουμε, μεταξύ άλλων, τα

ακόλουθα:

[1]. Γ. Ρούσσα, Θεωρία Πιθανοτήτων, Μετάφραση: Δημήτριος Ιωαννίδης, Εκδόσεις Ζήτη, 1994.

[2]. S. M. Ross, A First Course in Probability, Second Edition, Macmillan Publishing Company, 1984.

[3]. P. Hoel, S. Port, C. Stone, Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων, Μετάφραση: Aπόστολος Γιαννόπουλος,

Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2002.

[4]. Μ. Κούτρα, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Θεωρία και Εφαρμογές, Δεύτερη Έκδοση, Εκδόσεις Αθ.

Σταμούλη, Μέρος Ι, 2004, Μέρος ΙΙ, 2005.

[5]. G. Roussas, A Course in Mathematical Statistics, Second Edition, Academic Press, 1997.

[6]. Σ. Κουνιά & Χ. Μωυσιάδη, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι: Κλασσική πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές,

Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονική, 1999.

[7]. R. M. Spiegel, Πιθανότητες και Στατιστική, Μετάφραση: Σωτήριος Κ. Περσίδης, McGraw-Hill, New York,

ΕΣΠΙ, Αθήνα, 1977.

[8]. Ε. Ξεκαλάκη & Ι. Πανάρετου, Πιθανότητες και Στοιχεία Στοχαστικών Ανελίξεων, 3η Έκδοση, Αθήνα,

1993.

[9]. Α. Χ. Χαραλαμπίδη, Θεωρία Πιθανοτήτων και εφαρμογές, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα, 1990.

[10]. Τ. Παπαϊωάννου, Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Εκδόσεις Σταμούλη, Αθήνα, 2000.

3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

1.0 Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουμε με συντομία τα βασικά εργαλεία της Συνδυαστικής Ανάλυσης ή απλά

Συνδυαστικής. Η Συνδυαστική είναι μία ιδιαίτερη περιοχή των Μαθηματικών. Είναι εξαιρετικά χρήσιμη διότι

προσφέρει τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων (πληθικού αριθμού ή πληθαρίθμου)

πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνόλων τους με συγκεκριμένες ιδιότητες, χωρίς να καταφεύγουμε κάθε φορά σε

πλήρη καταγραφή. Αυτές οι τεχνικές αναφέρονται συνήθως ως μέθοδοι απαρίθμησης. Το υλικό από το πεδίο

της Συνδυαστικής που θα παρουσιάσουμε σ’ αυτό το κεφάλαιο είναι εκείνο που κρίνεται απολύτως απαραίτητο

για να αντιμετωπισθούν ικανοποιητικά αντίστοιχα προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων των επόμενων

κεφαλαίων.

1.1 Βασική αρχή απαρίθμησης

Έστω ότι κατά την απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου ισχύουν οι εξής δύο υποθέσεις:

(α) η διαδικασία της απαρίθμησης μπορεί να χωριστεί σε διαφορετικές φάσεις οι οποίες μπορούν να

εκτελεστούν διαδοχικά η μία μετά την άλλη.

(β) το πλήθος των δυνατών επιλογών σε κάθε φάση είναι πλήρως καθορισμένο όταν είναι γνωστά τα

αποτελέσματα όλων των προηγούμενων φάσεων. Τότε η απαρίθμηση μπορεί να γίνει με τη χρήση μίας βασικής

αρχής της Συνδυαστικής που είναι γνωστή με την ονομασία Βασική Αρχή Απαρίθμησης ή Πολλαπλασιαστική

Αρχή.

Βασική Αρχή Απαρίθμησης ή Πολλαπλασιαστική Αρχή. Αν το στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με

διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή του το στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με διαφορετικούς

τρόπους, ..., και για κάθε επιλογή των στοιχείων το στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με

διαφορετικούς τρόπους, τότε όλα τα στοιχεία μπορούν να επιλεγούν διαδοχικά και με αυτή τη

συγκεκριμένη σειρά, κατά τρόπους.

4

Εφαρμογή 1 (Ρίψη τριών νομισμάτων). Χωρίζουμε το πείραμα σε τρεις φάσεις, και όπου η φάση

είναι η ρίψη του οστού νομίσματος. Για το 1ο νόμισμα έχουμε δύο δυνατά αποτελέσματα. Για

το 2ο νόμισμα έχουμε δύο δυνατά αποτελέσματα. Για το 3ο νόμισμα ομοίως έχουμε δύο δυνατά αποτελέσματα.

Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης για τη ρίψη των τριών νομισμάτων έχουμε 2 δυνατά

αποτελέσματα. Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσμα για τη ρίψη νομισμάτων τα δυνατά αποτελέσματα

είναι

Εφαρμογή 2 (Ρίψη δύο ζαριών). Χωρίζουμε το πείραμα σε δύο φάσεις όπου η φάση

είναι η ρίψη του οστού ζαριού. Για τη ρίψη του 1ου ζαριού έχουμε έξι δυνατά αποτελέσματα και για τη ρίψη

του 2ου ζαριού έχουμε ομοίως έξι δυνατά αποτελέσματα. Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης για τη ρίψη

των δύο ζαριών έχουμε δυνατά αποτελέσματα. Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσμα για τη ρίψη

ζαριών τα δυνατά αποτελέσματα είναι

Εφαρμογή 3 Έστω ότι κάποιος διαθέτει πέντε κοστούμια, τρία ζευγάρια παπούτσια και δύο καπέλα. Κατά

πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να ντυθεί;

Απάντηση. Εφαρμόζουμε τη βασική αρχή απαρίθμησης. Μπορεί να ντυθεί με τρόπους.

Εφαρμογή 4 Έστω το σύνολο Πόσα διαφορετικά υποσύνολα του συνόλου μπορούμε να

κατασκευάσουμε;

Απάντηση. Θεωρούμε το στοιχείο Το στοιχείο αυτό μπορεί να συμπεριληφθεί ή όχι στο υποσύνολο του

συνόλου που κατασκευάζουμε. Ομοίως για τα στοιχεία Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης

ο ζητούμενος αριθμός των υποσυνόλων που μπορούμε να κατασκευάσουμε είναι

Παράδειγμα 1 Σε ένα χορό υπάρχουν δεκαπέντε άνδρες και δέκα γυναίκες. Πόσα είναι τα δυνατά ζευγάρια

ανδρών-γυναικών;

Απάντηση. Από τη βασική αρχή απαρίθμησης τα δυνατά ζευγάρια είναι

Παράδειγμα 2 Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί αυτοκινήτου είναι δυνατοί εάν το κάθε πλαίσιο έχει επτά θέσεις

από τις οποίες οι τρεις πρώτες μπορούν να συμπληρωθούν με γράμματα και οι υπόλοιπες τέσσερις μπορούν να

συμπληρωθούν με αριθμούς; Το ίδιο πρόβλημα με τον περιορισμό ότι δεν μπορεί να επαναληφθεί ο ίδιος

αριθμός ή το ίδιο γράμμα στο πλαίσιο.

Απάντηση.

5

1.2 Δειγματοληψία

Έστω ότι έχουμε αντικείμενα. Ασχολούμαστε με τρόπους επιλογής αντικειμένων από τα (δείγμα

μεγέθους Έστω ότι έχουμε μία κάλπη με σφαιρίδια. Η λήψη σφαιριδίων από τον πληθυσμό των

σφαιριδίων ονομάζεται δειγματοληψία (sampling). Οι τρόποι δειγματοληψίας είναι:

(α) Χωρίς επανατοποθέτηση. Όταν τα σφαιρίδια λαμβάνονται διαδοχικά χωρίς να τοποθετούνται πάλι στην

κάλπη.

(β) Με επανατοποθέτηση. Όταν η λήψη ενός σφαιριδίου γίνεται αφού προηγουμένως τοποθετούνται πάλι στην

κάλπη όλα τα σφαιρίδια που ήδη λήφθηκαν. Τα δείγματα που λαμβάνονται μπορεί να είναι:

(α) Διατεταγμένα. Όταν σημειώνεται η σειρά με την οποία λαμβάνονται τα σφαιρίδια.

(β) Μη-διατεταγμένα. Όταν η σειρά αυτή δεν σημειώνεται.

Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο

καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή τους ή συνδυασμοί αν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά

καταγραφής τους. Αρχικά θα μελετήσουμε τις διατάξεις με το Θεώρημα 1.1 και στη συνέχεια τους

συνδυασμούς με το Θεώρημα 1.2.

Θεώρημα 1.1 (Διατεταγμένα δείγματα-Διατάξεις). Ο αριθμός των διατεταγμένων δειγμάτων μεγέθους

(i) σε δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση (διατάξεις χωρίς επαναλήψεις) είναι

για

(ii) σε δειγματοληψία με επανατοποθέτηση (διατάξεις με επαναλήψεις) είναι

Απόδειξη. (i) Η 1η σφαίρα μπορεί να ληφθεί με τρόπους, η 2η σφαίρα μπορεί να ληφθεί με τρόπους, ...,

η οστή σφαίρα μπορεί να ληφθεί με τρόπους.

Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης ο αριθμός των δειγμάτων μεγέθους (χωρίς επανατοποθέτηση)

είναι

(ii) Η 1η σφαίρα μπορεί να επιλεγεί με τρόπους, η 2η σφαίρα μπορεί να επιλεγεί με τρόπους, ..., η οστή

σφαίρα μπορεί να επιλεγεί με τρόπους. Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης ο αριθμός των δειγμάτων

μεγέθους (με επανατοποθέτηση) είναι ■

6

Θεώρημα 1.2 (Μη-διατεταγμένα δείγματα-Συνδυασμοί). Ο αριθμός των μη-διατεταγμένων δειγμάτων

μεγέθους

(i) σε δειγματοληψία χωρίς επανατοποθέτηση (συνδυασμοί χωρίς επαναλήψεις) συμβολίζεται με και

είναι

(ii) σε δειγματοληψία με επανατοποθέτηση (συνδυασμοί με επαναλήψεις) συμβολίζεται με και είναι

Απόδειξη. (i) Έστω ο ζητούμενος αριθμός. Ο αριθμός των διατεταγμένων δειγμάτων μεγέθους είναι

Από ένα συγκεκριμένο δείγμα μεγέθους μπορούμε να σχηματίσουμε διατεταγμένα δείγματα μεγέθους

Άρα ο αριθμός των μη-διατεταγμένων δειγμάτων είναι Αυτό προκύπτει διότι η διαδικασία της επιλογής

των μη-διατεταγμένων δειγμάτων μπορεί να γίνει σε δύο βήματα. Στο πρώτο βήμα γίνεται η επιλογή των

στοιχείων του δείγματος από τα Στο δεύτερο βήμα γίνεται η τοποθέτηση των στοιχείων με όλες τις

δυνατές διαφορετικές μεταθέσεις. Το πρώτο βήμα πραγματοποιείται με τρόπους και για κάθε

αποτέλεσμα του πρώτου βήματος υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι πραγματοποίησης του δεύτερου

βήματος. Σύμφωνα με τη Βασική αρχή απαρίθμησης η ολοκλήρωση του πρώτου και του δεύτερου βήματος

γίνεται με τρόπους. Όμως, Συνεπώς,

(ii) Βλέπε βιβλίο Γ. Γρ. Ρούσσα, Θεωρία Πιθανοτήτων, σελ. 48-49. ■

Ισχύει ότι Μία προσεγγιστική τιμή του για μεγάλο δίνεται από τον τύπο του

Stirling σύμφωνα με τον οποίον: όπου είναι η σταθερά του Euler,

Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει οκτώ αριθμημένα σφαιρίδια. Ανασύρουμε τέσσερα σφαιρίδια τυχαία χωρίς

επανατοποθέτηση. Πόσοι τρόποι υπάρχουν ώστε ο μικρότερος αριθμός να είναι ο τρία; Πόσοι είναι αυτοί οι

τρόποι αν η δειγματοληψία γίνεται με επανατοποθέτηση;

7

Λύση. Χωρίζουμε το πείραμα σε δύο φάσεις. είναι η φάση της επιλογής του τρία. Τον αριθμό τρία μπορώ να

το επιλέξω με έναν τρόπο. είναι η φάση της επιλογής τριών σφαιριδίων από πέντε. Αυτό γίνεται με

τρόπους. Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης οι τρόποι είναι Αν η δειγματοληψία γίνεται με

επανατοποθέτηση τότε με παρομοίους συλλογισμούς, σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης, προκύπτει ότι

οι τρόποι είναι

Παράδειγμα 4 Δέκα χαρτιά επιλέγονται από πενήντα δύο παιγνιόχαρτα. Σε πόσες περιπτώσεις περιλαμβάνεται

(i) τουλάχιστον ένας άσσος; (ii) ακριβώς ένας άσσος; (iii) τουλάχιστον δύο άσσοι;

Λύση. (i) Από πενήντα δύο χαρτιά επιλέγουμε δέκα με τρόπους. Από τα πενήντα δύο χαρτιά η

περίπτωση να μην υπάρχει άσσος επιτυγχάνεται με τρόπους. Άρα, με τρόπους υπάρχει

τουλάχιστον ένας άσσος.

(ii)Χωρίζουμε το πείραμα σε δύο φάσεις. Καταρχήν από τέσσερις άσσους πρέπει να τραβήξουμε έναν με

τρόπους (φάση Έστω η φάση της επιλογής των άλλων εννέα χαρτιών. Η επιλογή αυτών των

χαρτιών μπορεί να γίνει με τρόπους. Άρα από τη βασική αρχή απαρίθμησης οι περιπτώσεις να

εμφανιστεί ακριβώς ένας άσσος είναι

(iii) Αν από τους τρόπους επιλογής δέκα χαρτιών από πενήντα δύο αφαιρέσουμε τους τρόπους για ένα ακριβώς

άσσο και τις περιπτώσεις για τις οποίες δεν υπάρχει άσσος, λαμβάνουμε τους τρόπους για την επιλογή δύο

τουλάχιστον άσσων. Οι περιπτώσεις είναι

1.3 Κατανομή σφαιριδίων σε κληρωτίδες

Έστω ότι έχουμε διακεκριμένες κληρωτίδες και σφαιρίδια. Μας ενδιαφέρει ο αριθμός των τρόπων με τους

οποίους τα σφαιρίδια μπορούν να κατανεμηθούν στις κληρωτίδες.

Θεώρημα 1.3 (Κατανομή σφαιριδίων σε κληρωτίδες). Ο αριθμός των τρόπων που διακεκριμένα σφαιρίδια

μπορούν να κατανεμηθούν σε κληρωτίδες είναι

(i) όταν δεν επιβάλλεται κανένας περιορισμός.

8

(ii) όταν η υπ’ αριθμόν κληρωτίδα επιβάλλεται να περιέχει ακριβώς

σφαιρίδια, όπου και

Απόδειξη. (i) Προφανής από τη Βασική αρχή απαρίθμησης με διότι για το κάθε ένα από τα

σφαιρίδια υπάρχουν επιλογές.

(ii) Υπάρχουν τρόποι που μπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια, τρόποι που μπορούν να

ληφθούν τα σφαιρίδια, ..., τρόποι που μπορούν να ληφθούν τα σφαιρίδια.

Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης ο αριθμός των τρόπων είναι

■

Παράδειγμα 5 Οκτώ δάσκαλοι πρόκειται να διορισθούν σε τέσσερα σχολεία. Πόσοι είναι οι δυνατοί τρόποι

κατανομής τους αν σε κάθε σχολείο πρέπει να διορισθούν δύο δάσκαλοι;

Λύση. Εφαρμογή του Θεωρήματος 1.3(ii) για δασκάλους και σχολεία με τον περιορισμό

σε κάθε σχολείο. Οι δυνατοί τρόποι κατανομής τους είναι

Παράδειγμα 6 Πενήντα δύο χαρτιά μοιράζονται σε τέσσερα άτομα. (α) Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η

κατανομή έτσι ώστε το κάθε άτομο να πάρει δέκα τρία χαρτιά; (β) Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η

κατανομή έτσι ώστε το κάθε άτομο να πάρει δέκα τρία χαρτιά μέσα στα οποία να υπάρχει ένας άσσος;

Λύση. (α) Εφαρμογή του Θεωρήματος 1.3(ii) για χαρτιά σε άτομα με τον περιορισμό

χαρτιά. Οι δυνατοί τρόποι κατανομής είναι

(β) Χωρίζουμε το πείραμα σε δύο φάσεις. Έστω η φάση της κατανομής των χαρτιών ώστε να σταλούν

τέσσερις άσσοι στα τέσσερα άτομα. Αυτό μπορεί να γίνει με τρόπους. είναι η φάση της

κατανομής των υπόλοιπων σαράντα οκτώ χαρτιών στα τέσσερα άτομα (από δώδεκα στο καθένα). Οι τρόποι

κατανομής για αυτή τη φάση είναι

9

Σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης οι δυνατοί τρόποι κατανομής είναι

1.4 Ασκήσεις

Άσκηση 1. Σε ένα χέρι του πόκερ επιλέγουμε τυχαία πέντε χαρτιά από πενήντα δύο παιγνιόχαρτα. Σε πόσες

περιπτώσεις ένα χέρι του πόκερ (α) περιέχει μόνο «Σπαθιά»; (β) περιέχει μόνο ενός χρώματος χαρτιά; (γ)

περιέχει χαρτιά μόνο δύο χρωμάτων; (δ) περιέχει χαρτιά όλων των χρωμάτων;

Λύση. (α) Τα «Σπαθιά» είναι δέκα τρία. Μπορούμε να επιλέξουμε πέντε παιγνιόχαρτα από τα οποία και τα

πέντε να είναι «Σπαθιά» με τρόπους.

(β) Τα χρώματα είναι τέσσερα. Μπορούμε να επιλέξουμε ένα χρώμα με τρόπους. Από τα παιγνιόχαρτα

του ενός χρώματος μπορούμε να επιλέξουμε πέντε χαρτιά με τρόπους. Συνεπώς, σύμφωνα με τη

βασική αρχή απαρίθμησης ένα χέρι του πόκερ περιέχει μόνο ενός χρώματος χαρτιά σε περιπτώσεις.

(γ) Τα χρώματα είναι τέσσερα. Μπορούμε να επιλέξουμε δύο από τα τέσσερα χρώματα με τρόπους.

Από τα πέντε χαρτιά που θα επιλέξουμε για να είναι χαρτιά μόνο δύο χρωμάτων θα πρέπει να είναι π.χ. δύο του

ενός χρώματος και τρία του άλλου χρώματος ή ένα του ενός χρώματος και τέσσερα του άλλου χρώματος κλπ.

Άρα, όλες οι περιπτώσεις στις οποίες μπορούμε να έχουμε χαρτιά μόνο δύο χρωμάτων από τα πέντε χαρτιά που

θα επιλέξουμε είναι Συνεπώς, από τη βασική αρχή απαρίθμησης σε ένα χέρι του πόκερ

μπορούμε να επιλέξουμε χαρτιά μόνο δύο χρωμάτων με τρόπους.

(δ) Χωρίζουμε το πείραμα της επιλογής των πέντε χαρτιών σε πέντε φάσεις. Έστω η φάση της επιλογής ενός

χρώματος. Το ένα από τα τέσσερα χρώματα μπορεί να επιλεγεί με τρόπους. Έστω η φάση της

επιλογής δύο χαρτιών από τα δέκα τρία του ενός χρώματος. Η φάση μπορεί να πραγματοποιηθεί με

τρόπους. Έστω και οι φάσεις της επιλογής ενός χαρτιού από κάθε ένα από τα υπόλοιπα

τρία χρώματα. Κάθε μία από τις φάσεις και μπορεί να πραγματοποιηθεί με τρόπους.

Σύμφωνα με την βασική αρχή απαρίθμησης σε ένα χέρι του πόκερ μπορούμε να επιλέξουμε χαρτιά όλων των

χρωμάτων σε περιπτώσεις.

10

Άσκηση 2. Αποδείξτε την γνωστή σχέση όπου και φυσικός αριθμός (α) με

επαγωγή (β) με κάποιο συνδυαστικό επιχείρημα.

Λύση. (α) Με επαγωγή. Για ισχύει διότι Έστω ότι ισχύει για δηλαδή

Θα δείξουμε ότι ο τύπος ισχύει επίσης για δηλαδή

Κάνοντας χρήση της υπόθεσης ότι ο τύπος ισχύει για μπορούμε να γράψουμε διαδοχικά

Η σχέση ισχύει διότι

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση και τις ισότητες παίρνουμε

Η τελευταία ισότητα μπορεί να γραφεί σε συνεπτυγμένη μορφή ως εξής:

Αποδείχτηκε το ζητούμενο για συνεπώς σύμφωνα με την αρχή της επαγωγής, ο τύπος ισχύει για όλες

τις μη-αρνητικές τιμές του

(β) Με συνδυαστικό επιχείρημα. Αφού το πλήθος φορές, για να βρούμε το

ανάπτυγμα ως άθροισμα δυνάμεων των θα πρέπει από κάθε παράγοντα να διαλέξουμε είτε

το είτε το και να τα πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους. Αν το επιλεγεί από παράγοντες,

τότε το θα επιλεγεί από τους υπόλοιπους παράγοντες και εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό θα προκύψει

το μονώνυμο Όμως η επιλογή του μπορεί να γίνει με διαφορετικούς

11

τρόπους, όσοι και οι τρόποι επιλογής παραγόντων από τις διαθέσιμες. Επομένως, το μονώνυμο

εμφανίζεται συνολικά φορές, δηλαδή ο γενικός όρος του αθροίσματος θα είναι της μορφής

Συνεπώς,

Άσκηση 3. Έστω το σύνολο των διατεταγμένων δεκάδων με στοιχεία 0 ή 1. Για παράδειγμα

(α) Πόσα στοιχεία του έχουν 1 στην 3η θέση; (β) Πόσα στοιχεία του

έχουν 1 στην 1η και 10η θέση; (γ) Πόσα στοιχεία του έχουν τουλάχιστον δύο θέσεις με 1 εκεί; (δ) Πόσα

στοιχεία του έχουν ακριβώς πέντε 1, κάπου στη 10-άδα τους; (ε) Τι ποσοστό των στοιχείων του έχουν

ακριβώς πέντε 1, κάπου στη 10-άδα τους;

Λύση. (α) Τα στοιχεία του με 1 στην 3η θέση είναι

(β) Τα στοιχεία του με 1 στην 1η και 10η θέση είναι

(γ) Τα στοιχεία του που έχουν τουλάχιστον δύο θέσεις με 1 εκεί είναι

διότι μία 10-άδα είναι αυτή που δεν περιέχει 1 και 10 είναι αυτές που περιέχουν το 1 σε μία

από τις δέκα θέσεις.

(δ) Τα στοιχεία του που έχουν ακριβώς πέντε 1 κάπου στην δεκάδα τους είναι διότι μπορούμε να

έχουμε ακριβώς πέντε 1 σε δέκα θέσεις με τρόπους.

(ε) Το ποσοστό των στοιχείων του που έχουν ακριβώς πέντε 1 κάπου στη 10-άδα τους είναι

Άσκηση 4. Έστω ότι έχετε δέκα αντίγραφα του ίδιου βιβλίου καθώς και δέκα διαφορετικά μεταξύ τους βιβλία.

(α) Πόσες διαφορετικές και μη διατεταγμένες δεκάδες βιβλίων εξ αυτών των είκοσι υπάρχουν;

(β) Πόσες διαφορετικές μη διατεταγμένες δεκάδες βιβλίων εξ αυτών των είκοσι υπάρχουν με τουλάχιστον τρία

διαφορετικά μεταξύ τους βιβλία;

Λύση. (α) Για να φτιάξουμε τις διαφορετικές μη διατεταγμένες δεκάδες βιβλίων από τα είκοσι βιβλία που

διαθέτουμε μπορούμε να επιλέξουμε βιβλία από τα δέκα που είναι διαφορετικά μεταξύ τους και από τα

υπόλοιπα δέκα βιβλία που είναι όμοια. Η επιλογή βιβλίων από τα δέκα μπορεί να γίνει με τρόπους,

όπου Συνεπώς, ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών μη διατεταγμένων δεκάδων βιβλίων είναι

ίσος με

(β) Για να φτιάξουμε τις διαφορετικές μη διατεταγμένες δεκάδες βιβλίων από τα είκοσι βιβλία που διαθέτουμε,

έτσι ώστε η κάθε δεκάδα να έχει τρία τουλάχιστον διαφορετικά μεταξύ τους βιβλία, έχουμε δύο τρόπους.

12

Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο, μπορούμε να επιλέξουμε βιβλία από τα δέκα που είναι διαφορετικά μεταξύ

τους και από τα υπόλοιπα δέκα βιβλία που είναι όμοια, όπου Ο συνολικός αριθμός των

διαφορετικών μη διατεταγμένων δεκάδων βιβλίων με τουλάχιστον τρία διαφορετικά μεταξύ τους βιβλία, που

επιλέγουμε με αυτόν τον πρώτο τρόπο είναι Επιπλέον, σύμφωνα με το δεύτερο τρόπο,

διαφορετικές μη διατεταγμένες δεκάδες βιβλίων με τρία τουλάχιστον διαφορετικά μεταξύ τους βιβλία

προκύπτουν, αν από τη δεκάδα των όμοιων βιβλίων επιλέξουμε ένα ή δύο βιβλία και τα υπόλοιπα βιβλία της

δεκάδας είναι διαφορετικά, αφού θα τα επιλέξουμε από τη δεκάδα των διαφορετικών μεταξύ τους βιβλίων. Ο

συνολικός αριθμός αυτών των διαφορετικών μη διατεταγμένων δεκάδων βιβλίων που επιλέγουμε με αυτόν το

δεύτερο τρόπο είναι Τελικά, ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών μη διατεταγμένων δεκάδων

βιβλίων με τρία τουλάχιστον διαφορετικά μεταξύ τους βιβλία, όπως προκύπτει και από τους δύο τρόπους, είναι

ίσος με

Άσκηση 5. Έστω ότι ένα σύνολο έχει στοιχεία. Βρείτε πόσα υποσύνολα του με ή λιγότερα στοιχεία

υπάρχουν όταν:

(α)

(β) Απαντήστε στα (α), (β) όταν

Λύση. (α) Τα υποσύνολα του με ή λιγότερα στοιχεία είναι

Για

Για την τέταρτη ισότητα χρησιμοποιούμε τις σχέσεις Επιπλέον από την Άσκηση

2, έχουμε ότι

(β) Με παρόμοιο τρόπο όπως στο ερώτημα (α), τα υποσύνολα του με ή λιγότερα στοιχεία είναι

13

Για

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

2.0 Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο αυτό ορίζονται βασικές έννοιες όπως πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος και ενδεχόμενο ή

γεγονός. Παρουσιάζονται οι διάφοροι ορισμοί της πιθανότητας, διατυπώνονται και αποδεικνύονται τα

κλασσικότερα θεωρήματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων όπως το Προσθετικό Θεώρημα, το Πολλαπλασιαστικό

Θεώρημα, το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και το Θεώρημα του Bayes. Παρουσιάζονται επίσης το Θεώρημα

Συνέχειας και οι έννοιες της δεσμευμένης πιθανότητας και των ανεξάρτητων ενδεχομένων.

2.1 Πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος και στοιχεία θεωρίας συνόλων

Πείραμα είναι μία ενέργεια που εκτελείται κάτω από ορισμένες συνθήκες και μπορεί να επαναληφθεί

οσεσδήποτε φορές κάτω από τις ίδιες πάντοτε συνθήκες και μετά την συμπλήρωση της παρατηρούνται κάποια

αποτελέσματα. Διακρίνουμε δύο είδη πειραμάτων, τα αιτιοκρατικά (deterministic) και τα τυχαία (random).

Αιτιοκρατικά είναι τα πειράματα εκείνα όπου η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται

καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα. Πείραμα τύχης (random experiment) είναι ένα πείραμα το αποτέλεσμα του

οποίου επηρεάζεται από την τύχη. Το χαρακτηριστικό ενός πειράματος τύχης είναι ότι, σε μία εκτέλεσή του,

δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα που θα εμφανιστεί. Απλά παραδείγματα

πειραμάτων τύχης είναι η ρίψη ενός νομίσματος, το πέταγμα ενός ζαριού, το τράβηγμα ενός παιγνιόχαρτου από

τα πενήντα δύο παιγνιόχαρτα μιας τράπουλας και η καταγραφή των τηλεφωνημάτων που εξυπηρετούνται από

ένα τηλεφωνικό κέντρο εντός δοθέντος χρονικού διαστήματος.

Ένα σύνολο (set) είναι μία καλώς ορισμένη συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων. Το σύνολο των δυνατών

αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν σε μία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός

χώρος (sample space) και συνήθως συμβολίζεται με Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού ο δειγματικός

χώρος είναι και στη ρίψη ενός νομίσματος ο δειγματικός χώρος είναι όπου

με Κ συμβολίζουμε την ένδειξη «κεφαλή» και με Γ συμβολίζουμε την ένδειξη «γράμματα».

Τα αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος μπορούν να περιγραφούν με πολλούς και διάφορους τρόπους.

Έτσι σε ένα πείραμα τύχης αντιστοιχούν περισσότεροι του ενός δειγματικοί χώροι.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε μία έκθεση κινητών τηλεφώνων στην οποία εργάζονται δύο πωλητές Α και Β.

Έστω ότι στην έκθεση υπάρχουν προς πώληση δύο μόνο κινητά τηλέφωνα. Αν μας ενδιαφέρει ο αριθμός των

κινητών τηλεφώνων που θα πουληθούν από καθένα από τους δύο πωλητές σε ένα συγκεκριμένο χρονικό

14

διάστημα (π.χ. μέσα στην επόμενη εβδομάδα) τότε ένας κατάλληλος δειγματικός χώρος είναι ο

Το ζεύγος δηλώνει ότι ο πωλητής Α θα πουλήσει κινητά τηλέφωνα, ενώ ο πωλητής Β θα

πουλήσει κινητά τηλέφωνα. Αν όμως μας ενδιαφέρει μόνο ο συνολικός αριθμός κινητών τηλεφώνων που θα

πουληθούν στο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, τότε θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως δειγματικός χώρος το

σύνολο Το στοιχείο δηλώνει το συνολικό αριθμό κινητών τηλεφώνων που πουλήθηκαν.

Τα στοιχεία ενός δειγματικού χώρου καλούνται δειγματικά σημεία ή δειγματοσημεία (sample points).

Το γεγονός ότι το στοιχείο ανήκει στο σύνολο συμβολίζεται με Η άρνηση αυτού του γεγονότος

συμβολίζεται με Λέμε ότι ένα σύνολο είναι υποσύνολο (subset) ενός συνόλου και γράφουμε

αν για κάθε ισχύει ότι Λέμε ότι ένα σύνολο είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου

και γράφουμε αν και αν υπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε Οι διάφορες έννοιες της

θεωρίας συνόλων επεξηγούνται γραφικά με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του Venn.

Θεωρούμε το σύνολο ως βασικό σύνολο (ή σύνολο αναφοράς). Το σύνολο αυτό θα είναι διαφορετικό

ανάλογα με το πρόβλημα που θα μας απασχολεί. Όλα τα υπόλοιπα σύνολα θα είναι υποσύνολα του

Έστω Το συμπλήρωμα (complement) του συνόλου (αναφορικά με το συμβολίζεται με

και είναι Έστω ένα οποιοδήποτε σύνολο δεικτών και τα σύνολα Η

ένωση (union) των συνόλων συμβολίζεται με και είναι για ένα τουλάχιστον

Η τομή (intersection) των συνόλων συμβολίζεται με και είναι

για όλα τα Η διαφορά (difference) των συνόλων συμβολίζεται με και είναι και

Ισχύει ότι: και (Αντιμεταθετικός νόμος).

και (Προσεταιριστικός νόμος).

και (Επιμεριστικοί νόμοι).

και (Νόμοι De Morgan).

Έστω μία οικογένεια υποσυνόλων του δειγματικού χώρου Τα στοιχεία (σύνολα) του καλούνται

ενδεχόμενα (ή γεγονότα) (events) και το καλείται πεδίο (ή άλγεβρα ή σώμα) ενδεχομένων (ή

γεγονότων) ( field) αν ισχύει ο ακόλουθος ορισμός.

Ορισμός ( -σώμα). Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Το σύνολο καλείται -πεδίο

ενδεχομένων (ή γεγονότων) αν (i) (ii) αν τότε και (iii) αν , τότε

(δηλαδή η οικογένεια των υποσυνόλων του είναι κλειστή για την πράξη της ένωσης αριθμήσιμου πλήθους

συνόλων).15

Παράδειγμα 1 Θεωρούμε το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι

Ως σύνολο μπορούμε να θεωρήσουμε είτε το δυναμοσύνολο (power set) του δηλαδή το σύνολο

όλα τα υποσύνολα του είτε το σύνολο Παρατηρούμε ότι και τα δύο σύνολα ικανοποιούν τον

ορισμό του σώματος.

Αν για ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο και πεδίο ενδεχομένων ισχύει ότι το δειγματικό

σημείο είναι τέτοιο ώστε τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο συνέβη (occurs). Δηλαδή, λέμε ότι το

ενδεχόμενο συνέβη αν το αποτέλεσμα του πειράματος τύχης ανήκει στην οικογένεια υποσυνόλων . Στο

παράδειγμα της ρίψης ενός ζαριού θεωρούμε ως πεδίο ενδεχομένων το δυναμοσύνολο του Τότε λέμε ότι

το ενδεχόμενο άρτιο αποτέλεσμα συνέβη αν εμφανιστεί το αποτέλεσμα (outcome) 2 ή το

αποτέλεσμα 4 ή το αποτέλεσμα 6, διότι τότε, για παράδειγμα, το δειγματικό σημείο 2 είναι τέτοιο ώστε

. Το ίδιο συμβαίνει για τα δειγματικά σημεία 4 και 6.

Τα ενδεχόμενα της μορφής καλούνται απλά ενδεχόμενα ενώ εκείνα που περιέχουν τουλάχιστον δύο

δειγματικά σημεία καλούνται σύνθετα ενδεχόμενα. Τα ενδεχόμενα και καλούνται το βέβαιο και το

αδύνατο ενδεχόμενο (null event), αντίστοιχα, για προφανείς λόγους.

Έστω τα ενδεχόμενα Παρακάτω θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο κάποιες καθημερινές

εκφράσεις μπορούν να γραφούν ως σχέσεις συνόλων.

(1) Μόνο το ενδεχόμενο συμβαίνει,

(2) Τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα συμβαίνει,

(3) Τουλάχιστον δύο ενδεχόμενα συμβαίνουν,

(4) Και τα τρία ενδεχόμενα συμβαίνουν,

(5) Το πολύ ένα ενδεχόμενο συμβαίνει,

(6) Τα ενδεχόμενα συμβαίνουν αλλά όχι το

(7) Κανένα από τα τρία ενδεχόμενα δεν συμβαίνει,

(8) Το πολύ δύο ενδεχόμενα συμβαίνουν,

(9) Ακριβώς δύο ενδεχόμενα συμβαίνουν,

(10) Το πολύ τρία ενδεχόμενα συμβαίνουν,

Παράδειγμα 2 Ένας πωλητής θέλει να επισκεφτεί τέσσερις πόλεις προκειμένου να πάρει

παραγγελίες από τους προμηθευτές της εταιρείας. Αφού δοθεί κατάλληλος δειγματικός χώρος για την

16

περιγραφή της σειράς επίσκεψης των τεσσάρων πόλεων από τον πωλητή, να γραφούν αναλυτικά τα επόμενα

ενδεχόμενα:

ο πωλητής επισκέπτεται πρώτη την πόλη

ο πωλητής ξεκινάει από την πόλη α και τελειώνει με την πόλη

ο πωλητής επισκέπτεται διαδοχικά τις πόλεις και

ο πωλητής επισκέπτεται διαδοχικά τις πόλεις και

Λύση. Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ακολουθίες της μορφής όπου

συμβολίζει την οστή κατά σειρά πόλη που επισκέφθηκε ο πωλητής. Επομένως

για και

Για τα ενδεχόμενα και έχουμε

2.2 Ο κλασσικός, ο στατιστικός και ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας

Έστω ένα πείραμα τύχης με πεπερασμένο δειγματικό χώρο και έστω ότι όλα τα απλά

ενδεχόμενα έχουν την ίδια «δυνατότητα» (πιθανότητα) να συμβούν η οποία είναι ίση με

Ως πεδίο ενδεχομένων θεωρούμε το δυναμοσύνολο του

Ισχύει ότι Άρα,

Έστω ένα ενδεχόμενο με πλήθος στοιχείων δηλαδή

Τότε με

όπου είναι το πλήθος στοιχείων του Άρα,

Δίνουμε τον ακόλουθο κλασσικό ορισμό της πιθανότητας.

Ορισμός (Κλασσικός ορισμός της πιθανότητας). Έστω ένα πείραμα τύχης με πεπερασμένο δειγματικό χώρο

και έστω ότι όλα τα απλά ενδεχόμενα έχουν την ίδια ακριβώς «δυνατότητα» να

συμβούν. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου ορίζεται ως εξής: όπου με και

συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων των συνόλων και αντίστοιχα.

17

Παράδειγμα 3 Ένα δοχείο περιέχει έξι λευκούς και πέντε μαύρους βόλους. Εάν τραβήξουμε τυχαία δύο βόλους

από το δοχείο ποια είναι η πιθανότητα (α) να είναι και οι δύο λευκοί; (β) να είναι ο ένας λευκός και ο άλλος

μαύρος;

Λύση. Χρησιμοποιούμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας.

(α) Έστω η ζητούμενη πιθανότητα. Δύο βόλοι, από τους έντεκα που υπάρχουν στο δοχείο, μπορούν να

επιλεγούν με τρόπους. Δύο λευκοί βόλοι, από τους έξι που υπάρχουν στο δοχείο, μπορούν να

επιλεγούν με τρόπους. Άρα,

(β) Από τη βασική αρχή απαρίθμησης, αν είναι η ζητούμενη πιθανότητα, με παρόμοιους συλλογισμούς,

έχουμε

Παράδειγμα 4 Μία εταιρεία διαθέτει 25 φορτηγά, από τα οποία τα 10 είναι ρυπογόνα (εκπέμπουν καυσαέρια

έξω από τα φυσιολογικά όρια). Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη 6 από τα 25 φορτηγά και τους

κάνει έλεγχο καυσαερίων. Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει

(α) ακριβώς 3 ρυπογόνα φορτηγά;

(β) το πολύ 2 ρυπογόνα φορτηγά;

(γ) τουλάχιστον 1 ρυπογόνο και 1 μη ρυπογόνο φορτηγό;

Λύση. Συμβολίζουμε με τα 10 ρυπογόνα φορτηγά που διαθέτει η εταιρεία και με

τα 15 μη ρυπογόνα φορτηγά της. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από

όλες τις δυνατές επιλογές 6 στοιχείων (φορτηγών) από το σύνολο των 25 φορτηγών της εταιρείας.

Επομένως Τα ευνοϊκά αποτελέσματα για το ενδεχόμενο εντοπίζονται ακριβώς τρία

ρυπογόνα φορτηγά, προκύπτουν αν επιλέξουμε τρία ρυπογόνα φορτηγά (από το σύνολο και τρία μη

ρυπογόνα (από το σύνολο Οι τρόποι επιλογής των ρυπογόνων φορτηγών από τα που

υπάρχουν είναι Αντίστοιχα, οι τρόποι επιλογής των μη ρυπογόνων φορτηγών από τα

που υπάρχουν είναι .3

15

2

2

k

v Σύμφωνα με τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης, θα έχουμε

Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με

(β) Ορίζουμε τα ξένα ανά δύο μεταξύ τους ενδεχόμενα

18

εντοπίζονται ακριβώς ρυπογόνα και μη ρυπογόνα φορτηγά, για Η ζητούμενη πιθανότητα

είναι

Όμως, και

Άρα,

(γ) Το ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει εκφράζεται ως Η αντίστοιχη

πιθανότητα θα είναι ίση με

Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να οριστεί εναλλακτικά ως η οριακή σχετική συχνότητα

(limiting relative frequency) εμφάνισης του ενδεχομένου Έστω ότι σε επαναλήψεις ενός πειράματος τύχης

εμφανίζονται φορές αποτελέσματα που περιέχονται στο ενδεχόμενο Ο λόγος συνήθως

συμβολίζεται με και καλείται σχετική συχνότητα εμφάνισης του ενδεχομένου στις επαναλήψεις ενός

πειράματος τύχης κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Η σχετική συχνότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα

ποσοτικό μέτρο έκφρασης του βαθμού βεβαιότητας για την εμφάνιση του ενδεχομένου Όταν ένα πείραμα

τύχης επαναλαμβάνεται μεγάλο αριθμό φορών, η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου

σταθεροποιείται γύρω από κάποια τιμή που καλείται οριακή σχετική συχνότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί

ως ένα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας για την εμφάνιση του ενδεχομένου. Ο ακόλουθος ορισμός της

πιθανότητας αποδίδεται στον Von Mises και είναι γνωστός ως ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας.

Ορισμός (Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας). Έστω ένας δειγματικός χώρος και ένα ενδεχόμενο

του Αν είναι ο αριθμός εμφανίσεων του ενδεχομένου σε επαναλήψεις του πειράματος,

τότε ορίζουμε ως πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου το όριο

Η έννοια του ορίου στον παραπάνω ορισμό δεν είναι αυστηρή αλλά αποδίδει συμβολικά το γεγονός της

σταθεροποίησης της σχετικής συχνότητας όταν αυξάνεται σημαντικά ο αριθμός των επαναλήψεων του

πειράματος.

Όπως είναι φανερό η προσέγγιση του Von Mises για τον ορισμό της πιθανότητας δεν μπορούσε να αποτελέσει

τη βάση για μία αυστηρή μαθηματική ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Δεν είναι δυνατή, σε αρκετές

περιπτώσεις, ενδεχομένως λόγω κόστους ή και χρόνου, η επανάληψη ενός πειράματος πολλές φορές. Σε

19

κάποιες περιπτώσεις ίσως να μην είναι δυνατόν να εντοπιστεί το όριο του λόγου Ο διαπρεπής Ρώσος

Μαθηματικός Kolmogorov εξέλαβε τρεις ιδιότητες της πιθανότητας ως αξιώματα. Ολόκληρη η Θεωρία

Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε αυστηρά με λογικούς μαθηματικούς συλλογισμούς οι οποίοι ξεκινούν από τα

αξιώματα αυτά. Ο Kolmogorov αντιστοίχισε σε κάθε ενδεχόμενο μία αριθμητική ποσότητα η οποία

καλείται πιθανότητα του ενδεχομένου Όρισε μία πραγματική συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού το

πεδίο γεγονότων και πεδίο τιμών κάθε φορά ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών

αριθμών Ο ορισμός που ακολουθεί είναι ο καθιερωμένος ορισμός της πιθανότητας, οφείλεται στον

Kolmogorov και καλείται αξιωματικός ορισμός.

Ορισμός (Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας κατά Kolmogorov). Μία πιθανότητα είναι μία

συνολοσυνάρτηση που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

(P1) Είναι μη-αρνητική, δηλαδή για κάθε ενδεχόμενο . (Μη-αρνητικότητα της πιθανότητας).

(P2) Ισχύει ότι (Η πιθανότητα να συμβεί το βέβαιο ενδεχόμενο είναι ίση με τη μονάδα).

(P3) Είναι προσθετική, δηλαδή για οποιαδήποτε ανά δύο ξένα μεταξύ τους (ασυμβίβαστα) ενδεχόμενα

(mutually exclusive events) (δηλαδή τέτοια ώστε για κάθε με ) ισχύει ότι

(Αξίωμα της προσθετικότητας).

Σύμφωνα με τον Kolmogorov η πιθανότητα είναι μία πραγματική συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού μία

οικογένεια συνόλων (το σύνολο όλων των ενδεχομένων του πειράματος) και πεδίο τιμών ένα οποιοδήποτε

υποσύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ορισμός (Πιθανοθεωρητικός χώρος). Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο πεδίο γεγονότων

και έστω μία πιθανότητα επί του . Η τριάδα , καλείται πιθανοθεωρητικός χώρος (probability

space).

2.3 Συνέπειες του ορισμού της πιθανότητας

Μερικές συνέπειες του αξιωματικού ορισμού της πιθανότητας είναι:

(1) δηλαδή το αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα ίση με μηδέν.

. Άρα +

(2) (Πεπερασμένη προσθετικότητα). Αν είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα, τότε ισχύει

ότι Θέτουμε για , άρα

20

Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της ιδιότητας (P3) του Ορισμού της

πιθανότητας και ο δεύτερος προσθετέος του αθροίσματος της τρίτης ισότητας είναι προφανώς μηδενικός.

(3) Το συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου έχει πιθανότητα

(4) Μία πιθανότητα είναι μία μη φθίνουσα συνάρτηση, δηλαδή αν τότε

Ισχύει ότι:

(5) Για οποιοδήποτε ενδεχόμενο ισχύει ότι:

Προφανώς, Από το (4) έχουμε ότι

(6) Μία οποιαδήποτε πιθανότητα είναι υπό-προσθετική, δηλαδή Η τελευταία

ανισότητα είναι γνωστή ως ανισότητα του Boole (Boole’s inequality).

Έχουμε ότι: Από την προσθετικότητα της ισχύει ότι:

Η ανισότητα είναι συνέπεια της Ιδιότητας (4).

(7) Έστω δύο ενδεχόμενα Ισχύει ότι (Προσθετικός νόμος,

Additive law).

Είναι Άρα (2.1)

Όμως, Επομένως,

(2.2).

Η σχέση (2.1) προκύπτει με χρήση της (2.2). ■

Για τρία ενδεχόμενα ισχύει ότι

Στις σελίδες 36-38 του βιβλίου του Ρούσσα παρατίθεται η γενίκευση και η (επαγωγική) απόδειξη του

Προσθετικού Νόμου (7).

Παράδειγμα 5 Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο και πεδίο ενδεχομένων . Έστω δύο

ενδεχόμενα τέτοια ώστε και Βρείτε τις ακόλουθες πιθανότητες:

(α) Tουλάχιστον ένα ενδεχόμενο συμβαίνει.21

(β) Mόνο το ενδεχόμενο συμβαίνει.

(γ) Oύτε το ενδεχόμενο ούτε το ενδεχόμενο συμβαίνει.

(δ) Tο πολύ ένα από τα δύο ενδεχόμενα συμβαίνει.

Λύση. (α)

(β)

(γ)

(δ)

Παράδειγμα 6 Έστω δύο ενδεχόμενα και Δείξτε ότι η πιθανότητα να συμβεί ακριβώς ένα από τα δύο

ενδεχόμενα είναι ίση με

Λύση. Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Όμως,

Άρα, ισχύει ότι

Όμως,

Όμοια, αφού

.

Επομένως,

Παράδειγμα 7 Σκοπεύουμε να μετρήσουμε τον αριθμό των φορών που θα βρέξει στο Καρλόβασι τον επόμενο

Ιανουάριο και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης (σε χιλιοστά). (α) Να δοθεί κατάλληλος δειγματικός χώρος

για την περιγραφή των μετρήσεων. (β) Να περιγραφούν τα επόμενα ενδεχόμενα:

Θα βρέξει 3 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι τουλάχιστον 5 χιλιοστά.

Θα βρέξει το πολύ 10 φορές.

Θα βρέξει 6 έως 8 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι 15 έως 20 χιλιοστά.

Θα βρέξει τουλάχιστον 7 φορές και το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι 10 έως 25 χιλιοστά.

Το συνολικό ποσό της βροχόπτωσης θα είναι το πολύ 18 χιλιοστά.

(γ) Να περιγραφούν τα επόμενα ενδεχόμενα

Λύση. (α) Ας συμβολίσουμε με τον αριθμό των φορών που θα βρέξει και με το συνολικό ποσό της

βροχόπτωσης (σε χιλιοστά). Τότε

22

(β) Οι περιγραφές των ενδεχομένων είναι:

(γ) Από το (β) προκύπτει

Παράδειγμα 8 Από τον έλεγχο που έγινε σε μία ημέρα σε ένα μεγάλο αριθμό οδηγών βρέθηκε ότι το 70% των

οδηγών δε φορούσε ζώνη ασφαλείας, το 40% των οδηγών δεν είχε πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητο, ενώ στο

30% των οδηγών διαπιστώθηκαν και οι δύο παραβάσεις. Την επόμενη μέρα ελέγχεται ένας οδηγός και

θεωρούμε τα ενδεχόμενα ο οδηγός δεν φοράει ζώνη ασφαλείας και ο οδηγός δεν έχει πυροσβεστήρα στο

αυτοκίνητό του. Να υπολογιστεί η πιθανότητα των ενδεχομένων

Λύση. Επειδή το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, από το στατιστικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει

προσεγγιστικά ότι στον πληθυσμό των οδηγών οι πιθανότητες των ενδεχομένων και είναι ίσες με

Επομένως,

2.4 Το θεώρημα Συνέχειας

Μία πραγματική συνάρτηση , είναι συνεχής αν και μόνο αν για οποιαδήποτε συγκλίνουσα ακολουθία

πραγματικών αριθμών ισχύει Η συνάρτηση πιθανότητας είναι μία συνεχής

συνάρτηση. Πριν παρουσιάσουμε το Θεώρημα Συνέχειας χρειαζόμαστε την έννοια της μονότονης (monotone)

(αύξουσας ή φθίνουσας) ακολουθίας ενδεχομένων (increasing or decreasing sequence of events).

Ορισμός Μία ακολουθία ενδεχομένων λέγεται αύξουσα (φθίνουσα) και γράφουμε

αν (αντίστοιχα, αν . Γράφουμε

αν και αν

Αν θεωρήσουμε ως δειγματικό χώρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και ορίσουμε τις ακολουθίες

ενδεχομένων και είναι φανερό ότι η ακολουθία

είναι αύξουσα ενώ η ακολουθία είναι φθίνουσα. Επιπλέον ισχύει ότι και

23

Θεώρημα 2.3 (Θεώρημα Συνέχειας). Αν η ακολουθία ενδεχομένων είναι μονότονη (δηλαδή είτε

αύξουσα, είτε φθίνουσα), τότε

Απόδειξη. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

1η περίπτωση. Έστω ότι η ακολουθία είναι αύξουσα. Θέτουμε ,

Τα σύνολα είναι ξένα ανά δύο μεταξύ τους. Τότε και

Άρα,

2η περίπτωση. Έστω ότι η ακολουθία είναι φθίνουσα. Τότε η ακολουθία είναι αύξουσα.

Εφαρμόζοντας την πρώτη περίπτωση, έχουμε διαδοχικά

και

Επομένως,

Συνεπώς, ■

Παράδειγμα 9 Θεωρούμε έναν πληθυσμό ατόμων που μπορούν να αναπαράγουν απογόνους. Ο αριθμός των

ατόμων που αρχικά υπάρχουν στον πληθυσμό συμβολίζεται με και καλείται μέγεθος της μηδενικής γενιάς.

Όλοι οι απόγονοι της μηδενικής γενιάς συνιστούν την πρώτη γενιά και το μέγεθος της πρώτης γενιάς

συμβολίζεται με Γενικά, έστω ότι με συμβολίζουμε το μέγεθος της οστής γενιάς. Αν για κάποιο

ισχύει ότι τότε Συνεπώς, στην περίπτωση αυτή, η ακολουθία είναι μία αύξουσα ακολουθία

ενδεχομένων και επομένως το όριο υπάρχει. Από το Θεώρημα Συνέχειας, ισχύει ότι:

ο πληθυσμός κάποτε θα αφανιστεί

Οι τελευταίες ισότητες μας λένε ότι, για κάποιο (αρκετά μεγάλο) η «οριακή» πιθανότητα ότι η οστή

γενιά δεν θα έχει κανένα άτομο ισούται με την πιθανότητα του «τελικού» αφανισμού του πληθυσμού.

Παράδειγμα 10 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αρχικό πληθυσμό του οποίου τα άτομα είναι δυνατόν πριν

πεθάνουν να γεννήσουν απογόνους σχηματίζοντας έτσι τις επόμενες γενιές. Αν η πιθανότητα να εξαφανιστεί ο

24

πληθυσμός στην οστή γενιά λόγω θανάτου όλων των ατόμων του πληθυσμού πριν προλάβουν να παράγουν

απογόνους είναι ίση με ποια είναι η πιθανότητα να ζήσει ο πληθυσμός για πάντα;

Λύση. Αν συμβολίσουμε με τα ενδεχόμενα ο πληθυσμός εξαφανίζεται κατά την οστή

γενιά είναι προφανές ότι η ακολουθία ενδεχομένων είναι αύξουσα, δηλαδή Το

ενδεχόμενο εξαφάνισης του πληθυσμού σε κάποια γενιά περιγράφεται από την ένωση και έχει

πιθανότητα εμφάνισης

Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Παράδειγμα 11 Έστω ότι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης περιγράφεται από το σύνολο των

πραγματικών αριθμών και ότι οι πιθανότητες των ενδεχομένων όπου

δίνονται από τον τύπο Να υπολογιστεί η πιθανότητα του απλού ενδεχομένου

Λύση. Η ακολουθία των ενδεχομένων είναι μία φθίνουσα ακολουθία ενδεχομένων επειδή

Επιπλέον ισχύει ότι Εφαρμόζουμε το Θεώρημα της Συνέχειας της συνάρτησης πιθανότητας

και έχουμε

2.5 Δεσμευμένη πιθανότητα

Θεωρούμε το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού. Ισχύει ότι Αν είναι γνωστό ότι το αποτέλεσμα

της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο, τότε Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός (Δεσμευμένη πιθανότητα). Έστω ένας δειγματικός χώρος και ένα ενδεχόμενο του τέτοιο

ώστε Για κάθε ενδεχόμενο του η δεσμευμένη πιθανότητα (conditional probability) του

δοθέντος του (given ορίζεται ως εξής:

25

Γνωρίζουμε λοιπόν ότι το αποτέλεσμα της ρίψης του ζαριού θα είναι άρτιο και ζητάμε την πιθανότητα να

εμφανιστεί το αποτέλεσμα 2. Θεωρούμε το ενδεχόμενο και το ενδεχόμενο Τότε

Παράδειγμα 12 Θεωρούμε τις οικογένειες με δύο παιδιά. Έστω ότι με συμβολίζουμε το αγόρι και με το

κορίτσι. Ο δειγματικός χώρος είναι Θεωρούμε ότι το «πρώτο» σύμβολο της δυάδας

που αναπαριστά το δειγματικό σημείο του δηλώνει το μεγαλύτερο σε ηλικία παιδί. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα

παιδιά ίδιου φύλου και τουλάχιστον ένα αγόρι Ποια είναι η πιθανότητα

τα παιδιά να είναι του ίδιου φύλου αν γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα είναι αγόρι;

Λύση. Ζητάμε την πιθανότητα Έχουμε ενώ

Παράδειγμα 13 Έστω ότι ένα δοχείο περιέχει δεκαπέντε λευκούς, δέκα κίτρινους και πέντε μαύρους βώλους.

Διαλέγουμε τυχαία ένα βώλο από το δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κίτρινος αν γνωρίζουμε ότι δεν

είναι μαύρος;

Λύση. Έστω και τα ενδεχόμενα επιλογής κίτρινου και μαύρου βώλου, αντίστοιχα. Ζητάμε την

πιθανότητα Έχουμε

Παράδειγμα 14 Ένας φίλος μας ρίχνει ένα ζάρι 10 φορές και μας δίνει την πληροφορία ότι εμφανίστηκε

τουλάχιστον ένα 6. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν εμφανιστεί δύο ή περισσότερα 6;

Λύση. Στο δειγματικό χώρο του πειράματος, ας ορίσουμε τα ενδεχόμενα:

εμφανίστηκαν δύο ή περισσότερα 6, εμφανίστηκε τουλάχιστον ένα 6, δεν εμφανίστηκε κανένα 6,

εμφανίστηκε ακριβώς ένα 6. Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα για την οποία μπορούμε να

γράψουμε διότι Για τον υπολογισμό της πιθανότητας έχουμε

Για τον υπολογισμό της πιθανότητας παρατηρούμε ότι

26

διότι τα ενδεχόμενα και είναι ξένα ανά δύο

μεταξύ τους. Ισχύει ότι Επομένως,

Συνεπώς,

Θεώρημα 2.4 (Πολλαπλασιαστικό θεώρημα). Αν είναι ενδεχόμενα τέτοια ώστε

τότε

(*)

Απόδειξη. (Με επαγωγή). Για η αποδεικτέα σχέση (*) ισχύει. Έστω ότι

η (*) ισχύει για Θα δείξουμε ότι ισχύει για

Το θεώρημα ισχύει. ■

Παράδειγμα 15 Έστω ότι μία κάλπη περιέχει δέκα σφαιρίδια εκ των οποίων τα πέντε είναι μαύρα τα τρία είναι

κόκκινα και τα δύο είναι άσπρα. Επιλέγουμε χωρίς επανατοποθέτηση τέσσερα σφαιρίδια. Θεωρούμε τα

ενδεχόμενα το πρώτο σφαιρίδιο είναι μαύρο, το δεύτερο σφαιρίδιο είναι κόκκινο, το τρίτο

σφαιρίδιο είναι άσπρο και το τέταρτο σφαιρίδιο είναι μαύρο. Να βρεθεί η πιθανότητα να

πραγματοποιηθούν και τα τέσσερα ενδεχόμενα.

Λύση. Ζητάμε την πιθανότητα Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα 2.4 και έχουμε ότι

Όμως,

Συνεπώς, ■

27

2.6 Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Θεώρημα Bayes

Ας θεωρήσουμε το εξής πρόβλημα. Σε ένα πείραμα τύχης έχουμε ορίσει δύο ενδεχόμενα και υπάρχει η

δυνατότητα να υπολογίσουμε τις δεσμευμένες πιθανότητες καθώς επίσης και την

πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου Χρησιμοποιώντας αυτά τα στοιχεία, θα μπορούσαμε να

υπολογίσουμε τη μη-δεσμευμένη πιθανότητα του ενδεχομένου Η απάντηση είναι καταφατική, δίνεται από

το παρακάτω θεώρημα, το οποίο παρουσιάζουμε στη γενική του μορφή και είναι γνωστό ως Θεώρημα Ολικής

Πιθανότητας (Total Probability Theorem).

Θεώρημα 2.5 (Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας). Αν ξένα ανά δύο μεταξύ τους ενδεχόμενα, τότε

για οποιοδήποτε ενδεχόμενο ισχύει ότι

Τα ενδεχόμενα αποτελούν διαμέριση του δηλαδή είναι τέτοια ώστε

Απόδειξη. Είναι Άρα,

Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από τη συνέπεια (2)

του αξιωματικού ορισμού της πιθανότητας κατά Kolmogorov (πεπερασμένη προσθετικότητα), διότι για κάθε

ισχύει ότι . ■

Παράδειγμα 16 Ένα αεροπλάνο έχει συντριβεί σε μία περιοχή που διαιρείται σε δάσος, βουνό και θάλασσα. Οι

πιθανότητες το αεροπλάνο να έπεσε σε δάσος, βουνό και θάλασσα είναι αντίστοιχα και

Οι πιθανότητες ευρέσεως του αεροπλάνου είναι (α) αν έπεσε σε δάσος, (β) αν έπεσε

σε θάλασσα, και (γ) αν έπεσε σε βουνό, Να βρεθεί η πιθανότητα ευρέσεως του

αεροπλάνου.

Λύση. Ο δειγματικός χώρος είναι όπου και είναι ξένα ανά δύο μεταξύ τους ενδεχόμενα

και είναι τέτοια ώστε Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα 2.5 για να υπολογίσουμε την πιθανότητα

ευρέσεως του αεροπλάνου, Έχουμε

28

Παράδειγμα 17 Περίπου 14% των ανδρών και 2% των γυναικών πάσχουν από αχρωματοψία. Ποια είναι η

πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται στην τύχη από το ακροατήριο μιας διάλεξης να πάσχει από αχρωματοψία,

αν στην αίθουσα υπάρχουν 40 άνδρες και 70 γυναίκες;

Λύση. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα το άτομο που επιλέχθηκε πάσχει από αχρωματοψία, το άτομο που

επιλέχθηκε είναι άνδρας, το άτομο που επιλέχθηκε είναι γυναίκα. Τα ενδεχόμενα αποτελούν

διαμέριση του δειγματικού χώρου του πειράματος τύχης της επιλογής ενός ατόμου από το ακροατήριο της

διάλεξης. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και έχουμε

Όμως, Συνεπώς,

Παράδειγμα 18 Έστω ότι μία κάλπη περιέχει επτά κόκκινα και τρία μαύρα σφαιρίδια. Επιλέγουμε τυχαία δύο

σφαιρίδια. Έστω αντίστοιχα, το ενδεχόμενο το οστό σφαιρίδιο να είναι κόκκινο (μαύρο).

Να βρεθεί η πιθανότητα αν η εξαγωγή των σφαιριδίων πραγματοποιείται και με τους δύο τρόπους,

δηλαδή με επανατοποθέτηση και χωρίς επανατοποθέτηση.

Λύση. Έστω ότι η εξαγωγή γίνεται με επανατοποθέτηση.

Τότε και

Έστω ότι η εξαγωγή γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση. Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και

έχουμε

Σε αυτή την περίπτωση

Ένα πολύ συνηθισμένο και βασικό πρόβλημα της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι ο υπολογισμός των εκ των

υστέρων πιθανοτήτων από τις εκ των προτέρων μη δεσμευμένες πιθανότητες και τις

δεσμευμένες πιθανότητες όπου είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο δεικτών. Η γενική έκφραση

υπολογισμού είναι μία εφαρμογή του Θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας και αποδίδεται στον Thomas Bayes

(Bayes Theorem), ο οποίος έζησε τον 18ο αιώνα.

29

Θεώρημα 2.6 (Θεώρημα του Bayes). Αν ξένα ανά δύο μεταξύ τους ενδεχόμενα τέτοια ώστε

και κάποιο ενδεχόμενο, τότε για κάθε

Απόδειξη. Είναι ■

Παράδειγμα 19 Έστω μία ασφαλιστική εταιρεία που διαθέτει κάποιους οδηγούς εκ των οποίων κάποιοι είναι

ασφαλείς οδηγοί κάποιοι είναι μέτριοι οδηγοί και κάποιοι είναι κακοί οδηγοί Η πιθανότητα να είναι

κάποιος οδηγός ασφαλής, μέτριος και κακός είναι αντίστοιχα και Αν

είναι το ενδεχόμενο να έχουμε κάποιο ατύχημα κατά τη διάρκεια ενός έτους τότε

και Να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κάποιος ασφαλής οδηγός

αν δεν έχει κανένα ατύχημα κατά τη διάρκεια ενός έτους.

Λύση. Ζητάμε την πιθανότητα

Παράδειγμα 20 Είναι γνωστό ότι το 0.005 ενός πληθυσμού έχει μία ασθένεια δηλαδή Για

τη διάγνωση της ασθένειας έχει επινοηθεί ένα ιατρικό τεστ το οποίο είναι θετικό και είναι σωστό με πιθανότητα

0.95 ενώ βγαίνει θετικό και είναι λανθασμένο με πιθανότητα 0.01, δηλαδή και

Δοθέντος ότι το τεστ βγαίνει θετικό ποια είναι η πιθανότητα να είναι ένα άτομο του

πληθυσμού ασθενή;

Λύση. Ζητάμε την πιθανότητα Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bayes. Ο δειγματικός χώρος είναι

Ισχύει ότι και Τότε

30

Παράδειγμα 21 Η μητέρα της Πόπης τη ρωτάει πόσα χρήματα έχει στο πορτοφόλι της. Εκείνη της απαντάει ότι

έχει ένα χαρτονόμισμα των 10 ευρώ ή ένα των 20 ευρώ χωρίς να θυμάται τι από τα δύο. Η μητέρα τοποθετεί

στο πορτοφόλι της ένα χαρτονόμισμα των 20 ευρώ χωρίς να το γνωρίζει η Πόπη. Όταν αργότερα η Πόπη βγάζει

από το πορτοφόλι της ένα χαρτονόμισμα, παρατηρεί ότι είναι των 20 ευρώ. Ποια είναι η πιθανότητα το

χαρτονόμισμα που έμεινε στο πορτοφόλι να είναι των 20 ευρώ;

Λύση. Πριν από την εξαγωγή του χαρτονομίσματος των 20 ευρώ, το πορτοφόλι της Πόπης περιείχε είτε ένα

χαρτονόμισμα των 10 ευρώ και ένα χαρτονόμισμα των 20 ευρώ, ενδεχόμενο είτε δύο χαρτονομίσματα των

20 ευρώ, ενδεχόμενο με αντίστοιχες πιθανότητες

Ορίζουμε το ενδεχόμενο η Πόπη έβγαλε ένα χαρτονόμισμα των 20 ευρώ από το πορτοφόλι της. Ζητάμε την

πιθανότητα Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Bayes και έχουμε

2.7 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η γνώση ότι συνέβη ή δεν συνέβη ένα ενδεχόμενο δε δίνει καμία

πληροφορία για την εμφάνιση ή μη ενός ενδεχομένου Για να είναι δύο ενδεχόμενα με

ανεξάρτητα μεταξύ τους θα πρέπει

Λέμε ότι το ενδεχόμενο είναι ανεξάρτητο από το ενδεχόμενο και από την τελευταία ισότητα έπεται ότι και

το ενδεχόμενο είναι ανεξάρτητο από το ενδεχόμενο Δίνουμε τους ακόλουθους ορισμούς.

Ορισμός (Ανεξάρτητα ενδεχόμενα). Δύο ενδεχόμενα είναι στοχαστικά (ή στατιστικά) ανεξάρτητα

(stochastically or statistically independent) αν και μόνο αν Στην αντίθετη περίπτωση

αν δηλαδή ισχύει ότι τα ενδεχόμενα καλούνται εξαρτημένα (dependent).

Ορισμός (Πλήρως ανεξάρτητα ενδεχόμενα). Τα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού

χώρου καλούνται πλήρως ανεξάρτητα αν για κάθε επιλογή διαφορετικών δεικτών από το σύνολο

και για κάθε ισχύουν οι ισότητες:

31

Παρατήρηση. Για τον έλεγχο της πλήρους ανεξαρτησίας των ενδεχομένων ο αριθμός των

σχέσεων που πρέπει να ελεγχθούν είναι Για να ελεγχθεί η ανεξαρτησία δύο ενδεχομένων από τα

χρειάζεται να ελεγχθούν σχέσεις, για την ανεξαρτησία τριών ενδεχομένων από τα χρειάζεται να

ελεγχθούν σχέσεις, ..., για την ανεξαρτησία ενδεχομένων από τα χρειάζεται να ελεγχθούν

σχέσεις, δηλαδή μία σχέση. Όμως, Για παράδειγμα, για ενδεχόμενα του ίδιου

δειγματικού χώρου και για τον έλεγχο της πλήρους ανεξαρτησία τους χρειάζεται να ελέγξουμε αν ισχύουν οι

ακόλουθες τέσσερις ισότητες:

και

Προφανώς όταν το αυξάνει, ο αριθμός θα γίνεται υπερβολικά μεγάλος με αποτέλεσμα να είναι

αρκετά δύσκολος ο έλεγχος όλων των ισοτήτων που απαιτούνται για την εξασφάλιση της πλήρους

ανεξαρτησίας ενδεχομένων. Στην πράξη από τη φύση του πειράματος και την περιγραφή των ενδεχομένων

είμαστε σε θέση να πούμε κατά πόσο δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα ή εξαρτημένα. Για

παράδειγμα, στο τυχαίο πείραμα της ρίψης δύο ζαριών οποιοδήποτε ενδεχόμενο σχετίζεται μόνο με το

αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης του ζαριού είναι λογικό να θεωρηθεί ανεξάρτητο με κάθε ενδεχόμενο που

σχετίζεται μόνο με το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης του ζαριού. Γενικότερα, ισχύει ότι, αν

είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα και αντικαταστήσουμε ορισμένα από αυτά ή και όλα με τα συμπληρωματικά

τους, προκύπτουν πάλι ανεξάρτητα ενδεχόμενα.

Παράδειγμα 22 Στο Παράδειγμα 12 ορίζουμε τα ενδεχόμενα παιδιά και των δύο φύλων και το

μεγαλύτερο παιδί είναι αγόρι.

Έχουμε και Για να είναι τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα πρέπει

Όμως, και Επιπλέον έχουμε ότι και

Συνεπώς τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα.

Παράδειγμα 23 Αν είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα τότε και τα και είναι επίσης

ανεξάρτητα ενδεχόμενα, διότι

32

Παράδειγμα 24 Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα το άθροισμα των δύο ζαριών

είναι επτά και το πρώτο ζάρι είναι άσσος. Είναι τα ανεξάρτητα;

Ο δειγματικός χώρος είναι Τα ενδεχόμενα και είναι

και Είναι

και αφού Άρα τα ενδεχόμενα είναι

ανεξάρτητα.

Παράδειγμα 25 Από μία τράπουλα επιλέγουμε τυχαία ένα χαρτί. Έστω και τα ενδεχόμενα το χαρτί

είναι άσσος και το χαρτί είναι καρρό. Είναι τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα;

Έχουμε και Η τομή των ενδεχομένων είναι το χαρτί είναι άσσος-καρρό

και Άρα τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα.

Παράδειγμα 26 Θεωρούμε ανεξάρτητα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με

Να υπολογιστούν, συναρτήσει των οι πιθανότητες των επόμενων ενδεχομένων: (α) Δεν

εμφανίζεται κανένα από τα ενδεχόμενα (β) Εμφανίζεται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα

Λύση. (α) Ενδιαφερόμαστε για το ενδεχόμενο Χρησιμοποιούμε την ανεξαρτησία των

ενδεχομένων και έχουμε Για τη

δεύτερη ισότητα χρησιμοποιούμε την προηγούμενη παρατήρηση.

(β) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου

Είναι διότι και συνεπώς

33

Ορισμός (Ανεξάρτητα υπό-πειράματα τύχης). Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο και σώμα

γεγονότων , δηλαδή . Τα υπό-πειράματα 1), 2),... λέγονται ανεξάρτητα αν και μόνο αν τα

ενδεχόμενα των υπό-πειραμάτων είναι ανεξάρτητα.

Ορισμός (Δοκιμές Bernoulli). Αν 1), 2),... είναι ανεξάρτητα υπό-πειράματα τύχης και

1 2 = και τα υπό-πειράματα έχουν την ίδια συνάρτηση πιθανότητας τότε

ονομάζονται δοκιμές. Αν επιπλέον οι δόκιμες καλούνται δοκιμές Bernoulli.

Παράδειγμα 27 Έστω μία ακολουθία δοκιμών Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας ίση με Ποια είναι η

πιθανότητα (α) τουλάχιστον μιας επιτυχίας στις πρώτες δοκιμές; (β) ακριβώς επιτυχιών στις πρώτες

δοκιμές; (γ) όλες οι δοκιμές να καταλήγουν σε επιτυχία;

Λύση. (α) Θέτουμε η οστή δοκιμή καταλήγει σε επιτυχία . Ζητάμε την πιθανότητα

Στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιούμε το νόμο De Morgan και στη δεύτερη

ισότητα χρησιμοποιούμε την προηγούμενη παρατήρηση.

(β) Ζητάμε την πιθανότητα

(γ) Ζητάμε την πιθανότητα

. Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια του Θεωρήματος Συνέχειας διότι η ακολουθία

είναι φθίνουσα.

2.8 Δύο δημοφιλή προβλήματα πιθανοτήτων

Πρόβλημα 1 (Το πρόβλημα του ιππότη De Mere). Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι τέσσερις ανεξάρτητες

φορές. Έστω τα ενδεχόμενα τέτοια ώστε το οστό ζάρι είναι άσσος Ρίχνουμε δύο

αμερόληπτα ζάρια είκοσι τέσσερις ανεξάρτητες φορές. Έστω τα ενδεχόμενα τέτοια ώστε η οστή

ζαριά έφερε διπλό άσσο Να ελεγχθεί αν όπου και

34

Λύση. Έχουμε

Άρα,

Πρόβλημα 2 (Το πρόβλημα των γενεθλίων). Έστω ότι υπάρχουν άνθρωποι σε ένα δωμάτιο. Ποια είναι η

πιθανότητα και οι άνθρωποι να έχουν διαφορετική ημερομηνία γενεθλίων; Θεωρείστε ότι το έτος έχει 365

ημέρες.

Λύση. Χρησιμοποιούμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας. Η επιλογή της ημέρας γενεθλίων του πρώτου

ατόμου μπορεί να γίνει κατά 365 τρόπους και για κάθε τέτοια επιλογή, η ημέρα γενεθλίων του δεύτερου ατόμου

μπορεί να επιλεγεί κατά 364 τρόπους κ.ο.κ. Ζητάμε την πιθανότητα οι άνθρωποι να γιορτάζουν σε

διαφορετικές μέρες. Έχουμε Για παράδειγμα, αν , η

παραπάνω πιθανότητα γίνεται μικρότερη από

2.9 Ασκήσεις

Άσκηση 1. Ένα εστιατόριο έχει δύο μαγείρους και Έστω ότι ο μάγειρας εμφανίζεται για δουλειά

με πιθανότητα με και Έστω επίσης ότι η πιθανότητα να εμφανιστεί για δουλειά

τουλάχιστον ένας των δύο μαγείρων, είναι Βρείτε την πιθανότητα, μία δεδομένη μέρα, το εστιατόριο

να έχει στη διάθεσή του: (α) και τους δύο μαγείρους. (β) μόνο έναν από τους δύο μαγείρους. (γ) μόνο το

μάγειρο (δ) κανέναν από τους δύο του μαγείρους.

Λύση. Έχουμε και

(α)

(β) Ζητάμε την πιθανότητα

διότι .

35

(γ) Έχουμε

(δ) Έχουμε

Άσκηση 2. Το παιχνίδι πόκερ με ζάρια παίζεται με το να ρίχνονται συγχρόνως πέντε ζάρια. Να βρεθούν οι

πιθανότητες: (α) και στα πέντε ζάρια εμφανίζεται το ίδιο νούμερο, (β) στα πέντε ζάρια εμφανίζονται

διαφορετικά νούμερα, (γ) μόνο στα δύο ζάρια εμφανίζεται το ίδιο νούμερο, (δ) τουλάχιστον σε δύο ζάρια

εμφανίζεται το ίδιο νούμερο.

Λύση. Όλες οι διαφορετικές διατεταγμένες πεντάδες από τους αριθμούς είναι

Άρα,

(α) Οι πεντάδες ζαριών με το ίδιο νούμερο είναι έξι. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι

(β) Οι διαφορετικές διατεταγμένες πεντάδες ζαριών στις οποίες εμφανίζονται σε όλα τα ζάρια διαφορετικά

μεταξύ τους νούμερα είναι Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

(γ) Επιλέγουμε δύο ζάρια από τα πέντε που θέλουμε να εμφανίζουν το ίδιο νούμερο με τρόπους. Για να

εμφανίζεται στα δύο ζάρια το ίδιο νούμερο θα πρέπει στα υπόλοιπα τρία ζάρια να έχουμε διαφορετικά νούμερα.

Οι διαφορετικές διατεταγμένες πεντάδες ζαριών στις οποίες εμφανίζονται διαφορετικά νούμερα στα τρία από

τα πέντε ζάρια είναι Μπορούμε να έχουμε μόνο σε δύο ζάρια το ίδιο νούμερο σε περιπτώσεις.

Επομένως ο συνολικός αριθμός των διατεταγμένων πεντάδων ζαριών στις οποίες εμφανίζεται το ίδιο νούμερο

σε δύο μόνο ζάρια είναι διότι οι διαφορετικές ενδείξεις με το ίδιο νούμερο σε ένα ζάρι είναι έξι. Η

ζητούμενη πιθανότητα είναι

(δ) Οι περιπτώσεις στις οποίες σε τουλάχιστον δύο ζάρια από τα πέντε μπορούμε να έχουμε το ίδιο νούμερο

είναι Στα υπόλοιπα ζάρια μπορούμε να έχουμε διαφορετικά νούμερα. Το σύνολο των περιπτώσεων

στις οποίες μπορούμε να έχουμε πεντάδες ζαριών όπου σε δύο τουλάχιστον ζάρια θα έχουμε το ίδιο νούμερο

είναι: Επειδή οι διαφορετικές ενδείξεις με το ίδιο νούμερο σε ένα ζάρι είναι έξι, η ζητούμενη

πιθανότητα είναι

Άσκηση 3. Αν είναι ενδεχόμενα δείξτε ότι

36

Λύση. Είναι

Η πρώτη σχέση είναι συνέπεια της υπό-προσθετικότητας της πιθανότητας. Η δεύτερη σχέση προκύπτει από τον

κανόνα του De Morgan. Η ανισότητα που αποδείξαμε είναι γνωστή ως ανισότητα Bonferroni.

Άσκηση 4. Μία ομάδα αποτελούμενη από μαθητές και μαθήτριες διαιρείται σε δύο ίσα τμήματα. Ποια

είναι η πιθανότητα κάθε τμήμα να έχει τον ίδιο αριθμό μαθητών και μαθητριών;

Λύση. Χρησιμοποιούμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας. Οι δυνατές περιπτώσεις είναι διότι

όλοι οι μαθητές είναι και θέλουμε να επιλέξουμε ίδιο αριθμό μαθητών και μαθητριών για κάθε τμήμα.

Επομένως οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε μαθητές και μαθήτριες για κάθε τμήμα από

το σύνολο των μαθητών και μαθητριών είναι Από τους μαθητές και τις μαθήτριες

μπορούμε να επιλέξουμε μαθητές και μαθήτριες με τρόπους. Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα θα

είναι:

Άσκηση 5. Αρτοποιείο κατασκευάζει 80 άρτους ημερησίως. Από αυτούς 10 έχουν βάρος μικρότερο του

κανονικού. Σε έναν έλεγχο ο ελεγκτής ζυγίζει 5 άρτους. Ποια είναι η πιθανότητα να ανακαλυφθεί τουλάχιστον

ένας ελλειποβαρής άρτος;

Λύση. Έχουμε να ανακαλυφθεί ένας τουλάχιστον ελλειποβαρής άρτος)

να μην ανακαλυφθεί κανένας ελλειποβαρής άρτος)

Ο παρονομαστής του κλάσματος δίνει τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να

επιλέξουμε 5 άρτους από τους 80 που υπάρχουν συνολικά. Η επιλογή μπορεί να γίνει με τρόπους. Για

να μην επιλέξει ο ελεγκτής κανέναν ελλειποβαρή άρτο θα πρέπει από τους δέκα που έχουν βάρους μικρότερο

του κανονικού να μην επιλέξει κανέναν και επιπλέον να επιλέξει και τους 5 άρτους από τους υπόλοιπους 70 που

απομένουν. Επομένως, η επιλογή κανενός ελλειποβαρούς άρτου μπορεί να γίνει με τρόπους.

Άσκηση 6. Υποθέτουμε ότι 5 άνδρες στους 100 και 25 γυναίκες στις 10000 έχουν δυσχρωματοψία. Διαλέγουμε

τυχαία έναν άνθρωπο που έχει δυσχρωματοψία. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι άνδρας; Υποθέτουμε ότι ο

συνολικός αριθμός των ανδρών είναι ίσος με το συνολικό αριθμό των γυναικών.

37

Λύση. Έστω το σύνολο των ανθρώπων. Ορίζουμε το σύνολο των ανδρών και το σύνολο των

γυναικών. Έστω επίσης το σύνολο των ανθρώπων με δυσχρωματοψία. Προφανώς: και

. Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Bayes και έχουμε

Άσκηση 7. Οι Έλληνες αποτελούν τα 75% του πληθυσμού της Λευκωσίας και οι Τούρκοι τα υπόλοιπα 25%.

20% από τους Έλληνες μιλούν Αγγλικά και 10% από τους Τούρκους μιλούν Αγγλικά. Ένας επισκέπτης της

πόλης συναντά κάποιον ο οποίος ομιλεί Αγγλικά. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι αυτό το άτομο Έλληνας;

Λύση. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Έλληνας, Τούρκος και ομιλεί Αγγλικά. Για τον πληθυσμό της

Λευκωσίας ισχύει ότι και . Από το Θεώρημα του Bayes έχουμε

Άσκηση 8. Αν τα ενδεχόμενα είναι πλήρως ανεξάρτητα τότε τα και είναι ανεξάρτητα.

Λύση. Έχουμε

Η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον νόμο του De Morgan. Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από τον προσθετικό

νόμο. Η τρίτη ισότητα είναι συνέπεια της υπόθεσης και η τελευταία ισότητα προκύπτει πάλι από τον

προσθετικό νόμο.

Άσκηση 9. Ένα αμερόληπτο ζάρι ρίχνεται μέχρις ότου εμφανιστεί είτε ένας άσσος είτε ένα έξι. Υποθέτουμε ότι

οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες. Δεδομένου ότι δεν εμφανίστηκε άσσος κατά τις πρώτες δύο ρίψεις, ποια είναι η

πιθανότητα να χρειαστούν τουλάχιστον τρεις ρίψεις;

Λύση. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα το οστό ζάρι είναι άσσος και το οστό ζάρι είναι έξι, Η

ζητούμενη πιθανότητα είναι

38

Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από την ανεξαρτησία της πρώτης και δεύτερης ρίψης. Η τρίτη ισότητα είναι

συνέπεια του Νόμου De Morgan.

Άσκηση 10. Δείξτε ότι στο παρακάτω παράδειγμα παρόλο ότι ισχύει

τα ενδεχόμενα δεν είναι ανεξάρτητα.

Είναι

Επιπλέον ισχύει ότι για και

Λύση. Έχουμε

Άρα,

Συνεπώς τα ενδεχόμενα δεν είναι ανεξάρτητα.

Άσκηση 11. Σε μία εξέταση πολλαπλής επιλογής, ένας φοιτητής γνωρίζει ή μαντεύει την απάντηση. Έστω η

πιθανότητα να γνωρίζει την απάντηση και η πιθανότητα να την μαντεύει. Υποθέτουμε ότι ο φοιτητής, ο

οποίος μαντεύει την απάντηση, απαντά σωστά με πιθανότητα όπου είναι ο αριθμός των διαφορετικών

απαντήσεων μιας ερώτησης. Ποια είναι η δεσμευμένη πιθανότητα να γνώριζε ο φοιτητής την απάντηση μιας

ερώτησης, δεδομένου ότι απάντησε σωστά;

Λύση. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα ο φοιτητής δίνει σωστή απάντηση και ο φοιτητής γνωρίζει τη σωστή

απάντηση. Από το Θεώρημα του Bayes έχουμε

Άσκηση 12. Ένα αρχικό μόριο μπορεί να χωριστεί σε 0, 1 ή 2 μόρια με πιθανότητες και αντίστοιχα.

Μόλις χωριστεί το μόριο, εξαφανίζεται. Τα μόρια χωρίζονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Αρχίζοντας με

ένα μόριο, τον προγεννήτορα, ας συμβολίσουμε με τον αριθμό των μορίων κατά την οστή γενεά. Βρείτε:

(α) (β) την πιθανότητα του ενδεχομένου δεδομένου ότι

Λύση. (α) Είναι Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και έχουμε:

39

Είναι

Μετά από πράξεις βρίσκουμε:

(β) Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Bayes και έχουμε:

Είναι

Μετά από πράξεις βρίσκουμε:

Άσκηση 13. Κάποιος έχει κλειδιά από τα οποία μόνο ένα ταιριάζει στην πόρτα. Δοκιμάζει το ένα μετά το

άλλο, χωρίς επανατοποθέτηση, μέχρις ότου ανοίξει την πόρτα. Δείξατε ότι πιθανότητα να ανοίξει την πόρτα

κατά τη οστή δοκιμή είναι η ίδια για κάθε

Λύση. Χρησιμοποιούμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας. Είναι

να ανοίξει την πόρτα κατά τη οστή δοκιμή)

αριθμός τρόπων εκλογής κλειδιών από τα έτσι ώστε να ανοίξει η πόρτα στην οστή δοκιμή / αριθμός

τρόπων εκλογής κλειδιών από τα

Άσκηση 14. Στο παιχνίδι του μπριτζ μία συνηθισμένη τράπουλα με πενήντα δύο χαρτιά μοιράζεται σε τέσσερις

παίκτες. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει ένας παίκτης και τα δέκα τρία μπαστούνια της τράπουλας;

Λύση. Χρησιμοποιούμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας. Υπάρχουν δυνατές διαιρέσεις των

χαρτιών στους τέσσερις παίκτες. Στην περίπτωση όπου ένας συγκεκριμένος παίκτης παίρνει και τα δέκα τρία

40

μπαστούνια, υπάρχουν δυνατές διαιρέσεις των χαρτιών. Συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι

Άσκηση 15. Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια συνεχώς και ανεξάρτητα σημειώνοντας το άθροισμα τους. Ποια

είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου το άθροισμα 5 εμφανίζεται πριν εμφανιστεί το άθροισμα 7;

Λύση. Η λύση θα δοθεί με δύο τρόπους.

1ος τρόπος. Θεωρούμε το ενδεχόμενο κατά τις πρώτες ρίψεις των ζαριών δεν εμφανίζεται ούτε το

άθροισμα 5 ούτε το άθροισμα 7 και στην οστή ρίψη εμφανίζεται το άθροισμα 5,

Τότε και τα ενδεχόμενα είναι ξένα ανά δύο μεταξύ τους. Έχουμε

Όμως,

άρα

2ος τρόπος. Έστω τα ενδεχόμενα στη 1η ρίψη έχουμε άθροισμα 5, στη 1η ρίψη έχουμε άθροισμα 7 και

στη 1η ρίψη έχουμε άθροισμα διαφορετικό του 5 και του 7.

Είναι και . Από το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας θα έχουμε ότι

Ισχύει ότι διότι τα ενδεχόμενα και

είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα.

Άσκηση 16. Κατά τη διάρκεια ενός έτους ένας άνδρας οδηγός παθαίνει κάποιο ατύχημα που δηλώνεται στην

ασφαλιστική εταιρεία με πιθανότητα ίση με Στην περίπτωση της γυναίκας οδηγού αυτή η πιθανότητα είναι

ίση με Υποθέτουμε ότι ο αριθμός των ασφαλισμένων ανδρών οδηγών είναι ίσος με τον αριθμό των

ασφαλισμένων γυναικών οδηγών. Έστω ότι επιλέγουμε κατά τυχαίο τρόπο έναν ασφαλισμένο οδηγό.

(α) Ποια είναι η πιθανότητα να κάνει δήλωση αυτός ο οδηγός κατά την τρέχουσα χρονιά;

(β) Ποια είναι η πιθανότητα να κάνει δήλωση σε δύο διαδοχικές χρονιές;

(γ) Αν επιλεγεί κατά τυχαίο τρόπο ένας οδηγός που έκανε δήλωση αυτή τη στιγμή, ποια είναι η πιθανότητα να

κάνει δήλωση και την επόμενη χρονιά;

41

Λύση. (α) Έστω τα ενδεχόμενα ο οδηγός κάνει δήλωση αυτήν την χρονιά και ο οδηγός κάνει δήλωση

την επόμενη χρονιά. Από το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας, έχουμε ότι

άνδρας άνδρας) γυναίκα γυναίκα)

(β) Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και έχουμε ότι

άνδρας) άνδρας γυναίκα) γυναίκα)

(γ) Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε ότι

Άσκηση 17. Ένα αμερόληπτο νόμισμα ρίχνεται συνεχώς. Δείξατε ότι είναι βέβαιο πως θα εμφανιστεί κάποτε η

ένδειξη «κορώνα».

Λύση. Έστω το ενδεχόμενο καμία κορώνα δεν εμφανίζεται κατά τις πρώτες ρίψεις του νομίσματος. Η

ακολουθία των ενδεχομένων είναι φθίνουσα. Από το Θεώρημα Συνέχειας, έχουμε ότι

δεν εμφανίζεται ποτέ κορώνα)

Άρα, κάποτε εμφανίζεται κορώνα) δεν εμφανίζεται ποτέ κορώνα)

42