Introduction aux mathématiques

Pierre Magal, Université de Bordeaux 2

E-mail: pierre.magal@u-bordeaux2.fr

Tel. 05 57 57 31 24

Pageweb : http://www.sm.u-bordeaux2.fr/~magal/

Plan

1. Motivations

2. ,ombres complexes

3. Fonctions d’une variable

4. Fonctions Usuelles

5. Intégration

6. Équations différentielles scalaires

1. Motivations

1.1 Loi de Thomas Malthus 1766-1834

Forme discrète : Malthus considère que s'il n'y a pas de pression du milieu (si le milieu n'est pas limitant) la population grandira de façon exponentielle. Par exemple, la population, en s'affranchissant de facteur limitant (guerre, famine, …) observe une croissance qui suit une loi géométrique, illimitée et donc exponentielle :

avec t l'effectif de la population étudiée à l'instant t.

tt

t

tt R R

)1(1

1 +=⇔=−

++

Forme continue : La population (t) est associée à l'équation différentielle

avec r est une constante, représente le taux intrinsèque d'accroissement naturel. Il s'en suit :

.0pour tout ,)exp()( 0 ≥= t rtt

00 avec ,0pour ),()(

) (ttr dt

td =≥=

Simulations du modèle discret

Cela conduit à la comparaison des données réellesavec le modèle ���� Méthodes statistiques

Simulations du modèle continu

C’est une idéalisation du cas précédent!

Spatial organization of growing MCF-7 Human Breast cancer cells

J. Pasquier and F. Le Foll LEMA, University of Le HavreDay 1 Day 2 Day 3

Day 4 Day 5 Day 6

Spatial organization of sensitive and resistant cells in cocultures.

Phase contrast micrographs of growing MCF-7 in co-cultures. The

culture dish was seeded with a 50:50 mixture of MCF-7:MCF-7/doxo

at day 0. Morphological differences permit an immediate identification

of each cell subpopulation. MCF-7 are sightly round whereas MCF-

7/doxo are more flat and spreaded. ote that sensitive and resitant

cells get organized in well-delimited islets.

8

Experimental growth for MCF-7 cellsJ. Pasquier and F. Le Foll LEMA, University of Le Havre

Sensitive Resistant

Growth of MCF-7 in culture. Proliferation rates of sensitive MCF-7 (left) and

resistant MCF-7/doxo (right) over 5.5 days, in the absence or presence of

doxorubicin (0.1 to 10 µM).

1.2 Modèle de Lotka-Volterra

Introduit par Lotka en 1925, et Volterra en 1926, ce système a été utilisé pour décrire la dynamique des populations de lynx et de lièvre en amérique du nord.

où

x(t) nombre de lièvre à l’instant t;

y(t) nombre de lynx à l’instant t;

t est le temps;

+=

−=

))()(()(

))()(()(

txtydt

tdy

tytxdt

tdx

δγ

βα

Le système précédent est une idéalisation du système

+=∆−∆+

−=∆−∆+

))()(()()(

))()(()()(

txtyt

tytty

tytxt

txttx

δγ

βα

lorsque ∆t est « petit »!

On dit que dx(t)/dt et dy(t)/dt représentent les taux de croissance

des populations au cours du temps;

Le paramètres α, β, γ et δ caractérisent les interactions entre les

deux espèces.

Simulation pour α=0.5, β=0.0005, γ=1, δ=0.001

Oscillations=nombres complexes

Pour décrire des phénomènes oscillants les nombres

complexes au 16ème siècle par des mathématicien italien.

L’étude du système de Lotka-Volterra se ramène à du système

d’équations:

−=

=

)()(

)()(

txdt

tdy

tydt

tdx

βαδδβγ

On cherche des solutions non nulles sous la forme:

Et on obtient l’équation du second degré:

−=

=⇔

=

=

xy

yx

yety

xetx

t

t

βαδ

λ

δβγ

λ

λ

λ

)(

)(

.02 <−= αγλ

2. Les ,ombres Complexes

2.0 Historique

XIVeme siècle : invention des nombres complexes pour

représenter les racines carrées de réels négatifs.

Ces nombres ont permis de résoudre toutes les équations du

2nd et 3eme degré

Idée :i un nombre tel que i2=-1

Alors x2=-4 a pour solution 2i ou -2i

2.1 Définition algébrique et opérations dans C

Definition: on appelle nombre complexe z tout couple ordonne

de réels

z=(a,b)

a est la partie réelle de z

b est la partie imaginaire de z

On a

z=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1)

On note

1=(1,0) et i=(0,1).

,otation:

z=a+ib est appelé la forme algébrique de z

Opérations dans C

Soient z=a+ib=(a,b) et z’=a’+ib’=(a’,b’)

• Additionz+z’=a+a’+i(b+b’)=(a+a’,b+b’)

• Multiplication

zz’= (a+ib)(a’+ib’)=aa’-bb’+i(ab’+a’b)

zz’=(aa’-bb’, ab’+a’b)

a’z=a’a+ia’b=(a’a,a’b)

i2=-1=(-1,0)

iz=ia+i2b=ia-b=(-b,a)

Propriété : Deux nombres sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire

a+ib=a’+ib’ a=a’ et b=b’

Vocabulaire:On appelle nombre complexe conjugué de z=a+ib,

note , le nombre complexe

⇔

Z

ibaz −=

2.2 Représentation géométrique des nombres complexes

Soit le point M d’affixe z=a+ib

Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul z=r(cosθ+isinθ)

où

r est le module c’est-à-dire distance (positive) OM

Θ est l’argument c’est-à-dire la mesure de l’angle (Ox,OM) à 2kπ

près

Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique (ou exponentielle)

a+ib=r(cos(θ)+i sin(θ))=r eiθ

=

=

+=

rb

ra

bar

/)sin(

/)cos(

22

θθ

Rappel: theoreme de Pythagore et cosinus, sinus dans le triangle rectangle

Théorème de Pythagore:

a2+b2=r2

cos(θ) = (longueur de coté adjacent) /( longueur de l'hypoténuse)

= a/r.

sin(θ) = (longueur du cote oppose) / (longueur de l'hypoténuse)

= b/r.

Sinus et cosinus : valeursremarquables

Formule de Moivre• Multiplication (Bis)

Soient z=r eiθ, et z’=r’eiθ’ alors

zz’=rr’ ei(θ+θ’).

Mais on a z=r (cosθ+i sinθ)=r eiθ

Alors

zn=(r eiθ)n

d’où

zn =rneinθ= rn(cos(nθ)+i sin(nθ))

Formule d’Euler

cos(θ)=( eiθ + e-iθ )/2

sinθ=( eiθ - e-iθ)/2i

2.3 Racines nièmes d’un complexe

On cherche z tel que zn=Z. Posons z=r eiθ et Z=ρeiφ

∈+

=

=⇔=

∈+=

=⇔=

Zkn

k

r

Zz

Zkkn

rZz

n

n

n

n

pour tout ,2

pour tout ,2

πϕθ

ρ

πϕθρ

2.4 Résolution des équations du second degré

Théorème: Soit (E) l’équation du second degré

ax2+bx+c=0

(a, b et c complexes donnés avec a non nul).

Soit ∆:=b2-4ac le discriminant de l’équation

• Si ∆=0 alors (E) admet une racine double

z=-b/(2a).

• Si ∆≠0 alors (E) admet deux racines distinctes

z1=(-b+δ)/(2a) et z2=(-b-δ)/(2a)

où

δ2= ∆.

En effet

ax2+bx+c=0

est équivalente à

x2+2(b/2a)x+(b/2a) 2- (b/2a) 2+c/a=0

soit

(x+b/2a) 2=1/(2a )2 ∆ou

∆:= b 2 - 4ac (discriminant)

0 si

0 si

2

≥=∆±=∆

<−=∆±=∆

∆+−=

δδ

δδi

avec

a

bx

Solution: