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PIANO
1. Calcolare la distanza tra i punti delle seguenti coppie:
Distanza tra due punti A( xA , y A) e B( xB , yB)
AB=√( x B−x A)2+( y B− y A)
2
a. A(1 , 2) B(2 , 1)
AB=√(1−2)2+(2−1)2=√1+1=√2
b. A(2 ,3) B(2 ,6)
AB=√(2−2)2+(3−6)
2=3
oppure:AB=|3−6|=3
c. A(5 ,11) B(3 ,7)
AB=√(5−3)2+(11−7)2
=√4+16=√20=2√5
d. A(5 ,0) B(3 ,7)
AB=√(5−3)2+(0−7)
2=√4+49=√53
e. A(5 ,7) B(0 ,7)
AB=√(5−0)2+(7−7)
2=5
oppure:AB=|5−0|=5
2. Calcolare le coordinate del punto medio del segmento determinato dalle seguenti coppiedi punti:
Coordinate del punto medio di un segmento di estremi A( xA , y A) e B( xB , yB)
M ( x A+x B
2,
yA+ y B
2 )a. A(1 , 2) B(2 ,1)
x M=1+2
2=
32
y M=2+1
2=
32 M (3
2,32 )
b. A(2 ,3) B(2 ,6)
x M=2+2
2=
42=2 y M=
3+62
=92 M (2 ,
92 )
c. A(5 ,11) B(3 ,7)
x M=5+3
2=
82=4 y M=
11+72
=182
=9 M (4 , 9)
d. A(5 ,0) B(3 ,7)
x M=5+3
2=
82=4 y M=
0+72
=72
M (4 ,72 )
3. Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante per il punto P eparallela al vettore u⃗ .
Equazione di una retta passante per un punto A( xA , y A) e parallela alla direzioner⃗=( l , m):
equazione cartesiana:la retta ha direzione ortogonale n⃗=(m ,−l ) :
r : m (x−x A)− l ( y− y A)=0
oppure:
r :|x−x A y− y A
l m |=0
oppure:
r :x−x A
l=
y− y A
mm≠0 l≠0
equazione parametrica:
r :{ x=x A+ l ty= y A+m t
a. P (1 , 2) u⃗(2 ,1)equazione cartesiana:la retta ha direzione ortogonale n⃗=(1 ,−2):
r : 1(x−1)−2 (y−2)=0 r : x−2 y+3=0
equazione parametrica:
r : {x=1+2 ty=2+t
b. P (−1 , 2) u⃗(2 ,−1)equazione cartesiana:
r :|x+1 y−22 −1 |=0
r :−1(x+1)−2( y−2)=0 x+2 y−3=0
equazione parametrica:
r :{x=−1+2 ty=2−t
c. P (2 ,−3) u⃗(−4 ,−3)equazione cartesiana:
x−2−4
=y+3−3
r : 3(x−2)=4 ( y+3) 3 x−4 y−18=0
equazione parametrica:
r :{ x=2−4 ty=−3−3 t
d. P (−4 ,−3) u⃗(1 ,1)equazione cartesiana:
|x+4 y+31 1 |=0
r :(x+4)−( y+3)=0 x− y+1=0
equazione parametrica:
r :{x=−4+ty=−3+ t
e. P (1 ,−3) u⃗ (0 ,3)equazione cartesiana:
|x−1 y+30 3 |=0
r : 3(x−1)−0 (y+3)=0 x=1equazione parametrica:
r :{ x=1y=−3+3 t
f. P (−3 ,−2) u⃗(4 , 0)equazione cartesiana:la retta ha direzione ortogonale n⃗=(0,1):
r : 0 (x+3)+1 ( y+2)=0 y=−2
equazione parametrica:
r :{x=−3+4 ty=−2
4. Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante per i punti A e B.
Equazione di una retta, passante per i punti A( xo , y A) e B( xo , yB) ( parallela all'asse y ) :
r : x=xo
equazione asse y: x=0
Equazione di una retta, passante per i punti A( xA , y o)e B(x B , yo) ( parallela all'asse x ) :
r : y= yo
equazione asse x: y=0
Equazione di una retta, non parallela ad alcun asse, passante per i punti A( xA , y A) eB( xB , yB):
r :x−xA
xB−xA
=y−y A
y B−y Adirezione r⃗= A⃗B=B−A=(x B−x A , y B− y A)
Equazione parametrica di una retta, passante per i punti A( xA , y A) e B( xB , yB):
r⃗= A⃗B=B− A=( x B−x A , y B−y A) r : {x=x A+( xB−x A) ty=y A+( y B− y A) t
a. A(1 ,2) B(1 ,3)equazione cartesiana:retta parallela all'asse y:
r : x=1r ha direzione j⃗ (0,1)
equazione parametrica:
r :{ x=1y=2+t
b. A(11 ,4) B(27 ,4)equazione cartesiana:retta parallela all'asse x:
r : y=4r ha direzione i⃗ (1,0)equazione parametrica:
r :{x=11+ ty=4
c. A(5 ,3) B(−1,5)
direzione della retta: r⃗= A⃗B=B−A=(−6,2)
equazione cartesiana:
r : x−5−1−5
=y−35−3
x−5−6
=y−3
2
r : x−5=−3( y−3)=0 x+3 y−14=0equazione parametrica:
r : {x=5−6 ty=3+2 t
d. A(0 ,0) B (3,7)
direzione della retta: r⃗= A⃗B=B−A=(3,7)
equazione cartesiana:
|x y3 7|=0 r : 7 x−3 y=0
equazione parametrica:
r :{x=0+3 ty=0+7 t
e. A(0 ,0) B (3,3)
direzione della retta: r⃗= A⃗B=B−A=(3,3)
equazione cartesiana:
|x y3 3|=0 r : x− y=0
equazione parametrica:
r :{x=0+3 ty=0+3 t
5. Trovare per ciascuna retta un vettore direzione e un vettore ortogonale.
Vettore direzione e vettore ortogonale a una rettaUna retta di equazione r : a x+b y+c=0, ha direzione ortogonale il vettore n⃗=(a ,b) e ha giacitura (direzione) il vettore r⃗=(b ,−a) .
a. r : x+2 y+3=0
vettore normale: n⃗=(1 , 2)
vettore direzione: r⃗=(2 ,−1).
b. r : x+3=0
vettore normale: n⃗=(1,0)
vettore direzione: r⃗=(0 ,1).
c. r :3 x+2 y+3=0
vettore normale: n⃗=(3,2)
vettore direzione: r⃗=(2 ,−3).
d. r : 2 y+3=0
vettore normale: n⃗=(0 ,1)
vettore direzione: r⃗=(1 ,0).
e. r :−22 x+31 y+3=0
vettore normale: n⃗=(−22 ,31)
vettore direzione: r⃗=(31 , 22) .
f. r :13 x−24 y+3=0
vettore normale: n⃗=(13 ,−24)
vettore direzione: r⃗=(24 ,13).
6. Trovare l'equazione cartesiana e parametrica della retta passante per il punto P eperpendicolare al vettore n⃗ .
Equazione di una retta passante per un punto A( xA , y A) e perpendicolare alladirezione n⃗=(a , b):
r : a( x− xA)+b ( y− y A)=0
Equazione parametrica di una retta, passante per il punto A( xA , y A) e perpendicolarealla direzione n⃗=(a , b):
direzione r⃗ (b ,−a) r : { x=x A+b ty=y A−a t
a. P (1 ,2) n⃗(2 ,1)equazione cartesiana:
r : 2 (x−1)+1 (y−2)=0 2 x+ y−4=0
equazione parametrica:
direzione r⃗ (1 ,−2) r :{ x=1+ ty=2−2 t
b. P (−1 , 2) n⃗(2 ,−1)equazione cartesiana:
r : 2 (x+1)−1 (y−2)=0 2 x− y+4=0
equazione parametrica:
direzione r⃗ (1 , 2) r :{x=−1+ ty=2+2 t
c. P (2 ,−3) n⃗(−4 ,−3)equazione cartesiana:
r :−4 (x−2)−3( y+3)=0 4 x+3 y+1=0
equazione parametrica:
direzione r⃗ (3 ,−4) r : { x=2+3 ty=−3−4 t
d. P (−4 ,−3) n⃗(1 ,1)equazione cartesiana:
r : 1(x+4)+1( y+3)=0 x+ y+7=0equazione parametrica:
direzione r⃗ (1 ,−1) r : {x=−4+ ty=−3−t
e. P (1 ,−3) n⃗(0 , 3)equazione cartesiana:
r : 0 (x−1)+3 (y+3)=0 y+3=0
equazione parametrica:
direzione r⃗ (1,0) r :{x=1+ ty=−3
f. P (−3 ,−2) n⃗(4 , 0)equazione cartesiana:
r : 4 (x+3)+0( y+2)=0 x+3=0
equazione parametrica:
direzione r⃗ (0 , 1) r :{ x=−3y=−2+ t
7. Determinare le coordinate del punto di intersezione delle rette r e s :
a. r : x+ y−2=0 s : x+2 y−3=0
Per determinare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il seguentesistema:
{ x+ y−2=0x+2 y−3=0
{x=1y=1
b. r : x− y+2=0 s :3 x−5 y=0
Per determinare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il seguentesistema:
{x− y+2=03 x−5 y=0
{x=−5y=−3
c. r : 2 x− y+3=0 s : x− y+2=0
Per determinare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il seguentesistema:
{2 x− y+3=0x− y+2=0
{x=−1y=1
d. r :{x=−4+2 ty=−2−3 t
s :{x=−4+7ky=−2−3k
Per determinare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il seguentesistema:
{x=−4+2 ty=−2−3 tx=−4+7ky=−2−3k
{−4+2 t=−4+7k−2−3 t=−2−3 k
{t=0k=0
{x=−4y=−2
e. r : 2 x− y+3=0 s :{x=−4+ ty=−2−t
Per determinare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il seguentesistema:
{x=−4+ ty=−2− t
2 x− y+3=0
{x=−4+ ty=−2−t
2(−4+ t )−(−2− t )+3=0
{x=−3y=−3t=1
8. Scrivere l'equazione della retta parallela alla retta di equazione data e passante per ilpunto indicato:Due rette di equazione r : a x+b y+c=0, s : a ' x+b ' y+c '=0 sono parallele quando s⃗∥r⃗
Equazione di una retta passante per un punto A( xA , y A) e perpendicolare alladirezione n⃗=(a , b):
r⃗= A⃗P=P−A=(x−x A , y− y A)
condizione di perpendicolaritàDue vettori u⃗ , v⃗ sono ortogonali sse u⃗⋅⃗v=0
n⃗⋅⃗AP=0 r : a (x− x A)+b( y− y A)=0
a. r :7 x+5 y+3=0 A(1 , 2)
retta parallela7( x−1)+5( y−2)=0 7 x+5 y−17=0
b. r : x+3=0 A(5 ,−1)
retta parallela1(x−5)+0( y+1)=0 x−5=0
c. r :3 x+2 y+201=0 A(0 ,2)
retta parallela3(x−0)+2( y−2)=0 3 x+2 y−4=0
d. r : 2 y+3=0 A(10 ,−2)
retta parallela0( x−10)+2 ( y+2)=0 y+2=0
e. r : x−5 y+3=0 A(−3 ,−2)
retta parallela1(x+3)−5 ( y+2)=0 x−5 y−7=0
f. r :9 x−2 y+3=0 A(1 ,−1)
retta parallela9( x−1)−2 ( y+1)=0 9 x−2 y−11=0
9. Scrivere l'equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione data e passante peril punto indicato:
Due rette di equazione r : a x+b y+c=0, s : a ' x+b ' y+c ' =0 sono perpendicolari quandor⃗⋅⃗s=0
Equazione di una retta passante per un punto A( xA , y A) e perpendicolare alladirezione n⃗=(a , b):
r⃗= A⃗P=P− A=( x− x A , y−y A)
condizione di perpendicolaritàDue vettori u⃗ , v⃗ sono ortogonali sse u⃗⋅⃗v=0
n⃗⋅⃗AP=0 r : a( x− xA)+b ( y− y A)=0
a. r :7 x+5 y+3=0 A(1 ,2) r⃗ (5 ,−7)
retta perpendicolare5(x−1)−7( y−2)=0 5 x−7 y+9=0
b. r : x+3=0 A(5 ,−1) r⃗ (0 ,1)
retta perpendicolare0( x−5)+1( y+1)=0 y+1=0
c. r :3 x+2 y+201=0 A(0 ,2) r⃗ (2 ,−3)
retta perpendicolare2( x−0)−3( y−2)=0 2 x−3 y+6=0
d. r : 2 y+3=0 A(10 ,−2) r⃗ (2 ,0)
retta perpendicolare2( x−10)+0( y+2)=0 x−10=0
e. r : x−5 y+3=0 A(−3 ,−2) r⃗ (5,1)
retta perpendicolare5(x+3)+1( y+2)=0 5 x+ y+17=0
f. r :9 x−2 y+3=0 A(1 ,−1) r⃗ (2 ,9)
retta perpendicolare2( x−1)+9( y+1)=0 2 x+9 y+7=0
10. Calcolare la distanza dei seguenti punti dalle rette a fianco indicate:
Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta r : a x+b y+c=0
d (P , r)=|a xo+b yo+c|
√a2+b2
a. A(1 ,2) dalla retta r :7 x+5 y+3=0
d (A , r)=|7+10+3|
√ 49+25=
20√74
b. A(3 ,3) dalla retta r : x+3=0
d (A , r)=|3+3|
√1=6
c. A(−1 , 2) dalla retta r :3 x−2 y−1=0
d (A , r)=|−3−4−1|
√9+4=
8√13
d. A(−3 ,2) dalla retta r : 2 y+3=0
d (A , r)=|4+3|
√4=
72
e. A(−5 ,2) dalla retta r : x−5 y+3=0
d (A , r)=|−5−10+3|
√1+25=
12√ 26
f. A(0 ,0) dalla retta r :9 x−2 y+3=0
d ( A , r )=|3|
√81+4=
3
√85
g. A(−1 , 2) dalla retta s :{ x=−4+ty=−2− t
Scriviamo la retta s in forma cartesiana:
s :{ x=−4+ty=−2− t
{ t=x+4y=−2−x−4
{ t= x+4x+ y+6=0
d ( A , r )=|−1+2+6|
√1+1=
7
√2
11. Calcolare l'area del triangolo ABC, sapendo che:
Area di un triangolo di vertici A( xA , y A) , B( xB , yB)eC (xC , yC )
Area=12|det( x B−x A yB− y A
xC−x A y C− y A)|
a. A(1 ,1) B (4 ,5) C (13 ,−4)
Area=12|det ( 3 4
12 −5)|=12|−15−48|=
632
.
b. A(1 ,1) B (4 ,2) C (2 ,3)
Area=12 |det (3 1
1 2)|= 12|6−1|=
52
.
c. AB : x+5 y−7=0 BC :7 x+ y+19=0 AC :3 x−2 y−4=0
Determiniamo i vertici A,B, C del triangolo:
A :{ x+5 y−7=03 x−2 y−4=0
{x=2y=1
B :{ x+5 y−7=07 x+ y+19=0
{x=−3y=2
C :{3 x−2 y−4=07 x+ y+19=0
{x=−2y=−5
d. A(2 ,1) B(−3 , 2) C (−2 ,−5)
Area=12 |det (−5 1
−4 −6)|=12|30+4|=17 .
12. Determinare l'angolo tra le due rette r ed s, nei seguenti casi:
Si definisce angolo tra due rette r :a x+b y+c=0, s : a ' x+b ' y+c '=0 l'angolo formato dai vettori direzione r⃗ , s⃗ ossia:
cos(ϑ)=|⃗r⋅⃗s|
‖⃗r‖‖s⃗‖, dove |cos (ϑ)|≤1 ; ϑ∈[0,π]
a. r : y=2 x+5 s :3 x+ y−3=0
r⃗ (1,2) s⃗ (1 ,−3)
cos(ϑ)=|1−6|
√5√10=
1
√2,
b. r :3 x−2 y−1=0 s :2 x+5 y−3=0
r⃗ (2 ,3) s⃗ (5 ,−2)
cos(ϑ)=|10−6|
√13 √29=
4
√13√29,
c. r :3 x−5 y+7=0 s :10 x+6 y−4=0
r⃗ (5,3) s⃗ (6 ,−10)
cos(ϑ)=|30−30|
√34 √136=0,
d. r :{ x=−4+ ty=−2−t
s :{x=−4+√3ky=−2+k
r⃗ (1 ,−1) s⃗ (√3,1)
cos(ϑ)=|√3−1|
2√2=
√3−12√2
,
e. r : x−√3 y+3=0 s :{ x=−4+ty=−2− t
r⃗ (√3 ,1) s⃗ (1 ,−1)
cos(ϑ)=|√3−1|
2√2=
√3−12√2
,
13. Scrivere l'equazione del fascio proprio di rette di centro C (3,5) .
Poiché le rette x−3=0 e y−5=0 sono due rette del fascio di centro C (3,5)possiamo scrivere:
F :a ( x−3)+b( y−5)=0che rappresenta il fascio richiesto.
14. Scrivere l'equazione del fascio improprio individuato dalla retta x+5 y−7=0.
Poiché tutte le rette del fascio hanno stessa direzione possiamo scrivere:
F : x+5 y+k=0che rappresenta il fascio richiesto.
15. Scrivere l'equazione del fascio improprio individuato dalla retta y=2 x+3.
Poiché tutte le rette del fascio hanno stessa direzione possiamo scrivere:
F :2 x− y+k=0che rappresenta il fascio richiesto.
16. Scrivere l'equazione della retta passante per A(2,−1) e per il punto comune alle rette :
r : 2 x+ y−1=0 s : x+3 y+2=0
La retta appartiene al fascio proprio generato da r e s:
F : a (2 x+ y−1)+b( x+3 y+2)=0
imponiamo il passaggio per il punto A:
a (4−1−1)+b(2−3+2)=0 2 a+b=0 b=−2a
per b=−2 a ricaviamo la retta:
a (2 x+ y−1)−2 a (x+3 y+2)=0 2 x+ y−1−2( x+3 y+2)=0
y+1=0
17. Determinare il centro del fascio proprio di rette :
(3 a+b) x−(a−b) y−5 a−3b=0
Il centro del fascio si può ottenere come intersezione di due rette qualsiasi del fascio, adesempio:
retta con a=b=1 4 x−8=0 retta con b=−3a −4 y+4=0
dalle quali si ricava il centro C (2,1)
18. Nel fascio individuato dalle rette
r : 2 x+ y−3=0 s : x+5 y−1=0determinare :
a. il centro del fascio.Il centro del fascio si può ottenere come intersezione di r e s
{2 x+ y−3=0x+5 y−1=0
{x=149
y=−19
C (149
,−19 )
b. la retta parallela all'asse x
y=−19
c. la retta parallela all'asse y
x= 149
d. la retta parallela alla retta r : 2 x+5 y−3=0
2 ( x−149 )+5( y+ 1
9 )=0 2 x+5 y−239
=0
e. la retta perpendicolare alla retta r : 2 x+5 y−3=0
5(x− 149 )−2( y+
19 )=0 5 x−2 y−8=0
f. la retta passante per il punto comune alle rette:
4 x+7 y−3=0 2 x+5 y−5=0
La retta cercata appartiene al fascio proprio generato dalle due rette:
F : a (4 x+7 y−3)+b(2 x+5 y−5)=0
affinché la retta passi per il centro C (149
,−19 ), si deve avere:
a (4 149
−7 19−3)+b(2 14
9−5 1
9−5)=0 a (4 14
9−7 1
9−3)+b(2 14
9−5 1
9−5)=0
229
a−229
b=0 b=a
si ottiene così la retta:3 x+6 y−4=0
19. Scrivere l'equazione della retta s appartenente al fascio improprio individuato dalla rettadi equazione 3 x+5 y−9=0 e passante per il punto A(2,2).
retta cercata:3(x−2)+5( y−2)=0 3 x+5 y−16=0
20. Determinare l'equazione della retta del fascio di equazione
a (2 x+ y−5)+b(3 x−2 y+1)=0e:a. passante per il punto A(3,−1)
affinché la retta passi per A(3,−1) si deve avere:
a (6−1−5)+b (9+2+1)=0 b=0
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
2 x+ y−5=0b. passante per l'origine
affinché la retta passi per O(0,0) si deve avere:
a (−5)+b(+1)=0 b=5a
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
17 x−9 y=0c. parallela all'asse y
a (2 x+ y−5)+b(3 x−2 y+1)=0 (2 a+3 b) x+(a−2 b) y−5 a+b=0
direzione del fascio u⃗(a−2b ,−2a−3 b)direzione dell'asse y j⃗ (0,1)
u⃗∥ j⃗ sse:
|a−2 b −2a−3b0 1 |=0 a−2 b=0 a=2 b
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
7 x−9=0d. perpendicolare all'asse y
direzione del fascio u⃗(a−2b ,−2a−3 b)direzione dell'asse y j⃗ (0,1)
u⃗⊥ j⃗ sse u⃗⋅⃗j=0
−2a−3b=0 a=−3 b2
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
7 y−17=0
e. parallela alla retta r : 4 x+3 y−5=0
direzione del fascio u⃗(a−2 b ,−2 a−3 b)direzione della retta r r⃗ (3,−4)
u⃗∥r⃗ sse:
|a−2 b −2 a−3 b3 −4 |=0 2a+17b=0 a=−
17 b2
sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
28 x+21 y−87=0
f. perpendicolare alla retta s :2 x+3 y+7=0
direzione del fascio u⃗(a−2b ,−2a−3 b)direzione della retta r r⃗ (3,−2)
u⃗⊥ r⃗ sse u⃗⋅⃗r=03a−6b+4 a+6 b=0 a=0
sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
3 x−2 y+1=0
21. Dato il fascio di equazione a (3 x−4 y−3)+b (2 x+3 y−1)=0 scrivere l'equazionedella retta del fascio che passa per il baricentro del triangolo di vertici
A(−1,2) , B(4,−4) e C (6,−1) .
Coordinate del baricentro di un triangolo di vertici A( xA , y A) , B( xB , yB)eC (xC , yC )
G ( x A+x B+ xC
3,
y A+ y B+ yC
3 ) G (3 ,−1 )
affinché la retta passi per A(3,−1) si deve avere:
a (9+4−3)+b(6−3−1)=0 b=−5a
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
7 x+19 y−2=0
22. Scrivere le equazioni delle rette passanti per il punto A(4,1) e formanti un angolo diπ4 con la retta di equazione 2 x+ y−4=0.
Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro A:
F :a ( x−4)+b( y−1)=0direzione del fascio u⃗(b ,−a)
2 x+ y−4=0 direzione della retta v⃗ (1,−2)
angolo formato da due rette:
cos (ϑ )=|⃗u⋅⃗v|
‖u⃗‖‖v⃗‖
1
√2=
|b+2 a|
√5√a2+b2
12=
(b+2a)2
5(a2+b2
)
12=
4a2+4a b+b2
5 (a2+b2
)
5 a2+5 b2
=8 a2+2 b2
+8 a b 3a2−3b2
+8ab=0 ⟨a=−3bb=3a
per a=−3b , otteniamo la retta 3 x− y−11=0
per b=3a , otteniamo la retta x+3 y−7=0
23. Dato il fascio di rette (2 a+b)x+(b−a) y+3 a+3 b=0
a. Determinare il sostegno del fascio.
Il fascio è generato dalle rette:
r : 2 x− y+3=0 s : x+ y+3=0
la loro intersezione ci fornisce il centro del fascio:
{2 x− y+3=0x+ y+3=0
{x=−2y=−1
C (−2,−1)
b. Trovare le rette del fascio parallele agli assi cartesiani.
direzione del fascio u⃗(b−a ,−2a−b)direzione dell'asse x i⃗ (1,0)
u⃗∥ i⃗ sse:
|b−a −2 a−b1 0 |=0 2a+b=0 b=−2a
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
y+1=0
direzione del fascio u⃗(b−a ,−2a−b)direzione dell'asse y j⃗ (0,1)
u⃗∥ j⃗ sse:
|b−a −2 a−b0 1 |=0 b−a=0 b=a
e quindi, sostituendo nell'equazione del fascio si ottiene la retta cercata:
x+2=0
c. Trovare le rette del fascio che formano con l'asse delle x un angolo di π4
.
Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro C:
F :a ( x+2)+b( y+1)=0direzione del fascio u⃗(b ,−a)
direzione asse x i⃗ (1,0)
angolo formato dalle due rette:
cos(ϑ)=|u⃗⋅⃗i|
‖⃗u‖‖ i⃗‖
1
√2=
|b|
√a2+b2
12=
b2
a2+b2
a2+b2
=2b2 a2=b2 a=±b
per a=−b , otteniamo la retta x+ y+3=0
per a=−b , otteniamo la retta x− y+1=0
d. Trovare la retta t del fascio parallela alla retta s passante per A(−2,4) e B(1,1) .
direzione della retta s: A⃗B=B−A=(3,−3)
quindi, la retta cercata avrà equazione:
3(x+2)+3( y+1)=0 x+ y+3=0
24. Nel fascio individuato dalle rette r :3 x−2 y−4=0, s : x+6 y−3=0 si determinino:
a. le rette parallele ai due assi coordinatiIl fascio è generato dalle rette:
r :3 x−2 y−4=0, s : x+6 y−3=0
la loro intersezione ci fornisce il centro del fascio:
{3 x−2 y−4=0x+6 y−3=0
{x= 32
y=14
C ( 32
,14 )
rette parallele ai due assi coordinati:
x=32
; y=14
b. la retta appartenente al fascio a (x− y−2)+b(2 y−1)=0
affinché la retta passi per il centro C ( 32
,14 ) si deve avere:
a ( 32−
14−2)+b(2
14−1)=0 3a+2b=0 b=−
32
a
si ottiene così la retta:2 x−8 y+1=0
25. Dato il punto C (−3,2) si determinino:
a. l'equazione del fascio F di centro C;
Equazione del fascio di rette di centro C:
F :a ( x+3)+b( y−2)=0
b. le rette del fascio F con distanza 2 dall'origine;
Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta s : a x+b y+c=0
d (P , s)=|a xo+b yo+c|
√a2+b2
d (F ,C )=|3a−2 b|
√a2+b2
|3a−2b|
√a2+b2
=2 9 a2+4 b2
−12 ab=4 a2+4 b2
5a2−12a b=0 a (5a−12 b)=0 ⟨
a=0
b=5
12a
per a=0, otteniamo la retta y−2=0
per b=5
12a , otteniamo la retta 12 x+5 y+26=0
c. le rette del fascio che formano un angolo di π4 con l'asse delle x.
direzione del fascio u⃗(b ,−a)
direzione dell'asse x i⃗ (1,0)
angolo formato dalle due rette:
cos(ϑ)=|u⃗⋅⃗i|
‖⃗u‖‖ i⃗‖
1
√2=
|b|
√ a2+b2
12=
b2
a2+b2 a2
+b2=2b2 a2
=b2 a=±b
per a=b , otteniamo la retta x+ y+1=0
per a=−b , otteniamo la retta x− y+5=0
26. Dato il punto C (1,2) si scrivano:
a. l'equazione del fascio F di centro CEquazione del fascio di rette di centro C:
F :a ( x−1)+b( y−2)=0 b. la retta del fascio F di direzione u⃗(3,2)
2( x−1)−3( y−2)=0 2 x−3 y+4=0
c. le rette del fascio F che formano un angolo di π4 con l'asse delle y.
direzione del fascio u⃗(b ,−a)
direzione dell'asse x j⃗ (0,1)
angolo formato dalle due rette:
cos (ϑ)=|⃗u⋅⃗ j|
‖u⃗‖‖⃗ j‖1
√2=
|−a|
√ a2+b2
12=
a2
a2+b2 a2
+b2=2 a2 b2
=a2 b=±a
per a=b , otteniamo la retta x+ y−3=0
per b=−a , otteniamo la retta x− y+1=0
d. le rette del fascio F con distanza 3 dall'origine.
Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta s :a x+b y+c=0
d (P , s)=|a xo+b yo+c|
√a2+b2
d (F ,C )=|−a−2 b|
√a2+b2
|−a−2b|
√a2+b2
=3 a2+4 b2
+4a b=9a2+9 b2
8 a2−4 a b+5 b2
=0 nessuna soluzione
e. la retta del fascio F ortogonale alla retta r :8 x−5 y−5=0
direzione della retta r r⃗ (5,8)
5(x−1)+8( y−2)=0 5 x+8 y−21=0
27. Date le rette r : k x− y−5=0, s :{ x=2+ ty=−3 k+t
, si determini la loro posizione al variare
di k∈ℝ .
Risolviamo il sistema:
{x=2+ t
y=−3 k+tk x− y−5=0
k (2+ t)−(−3 k+ t)−5=0.
2 k+k t+3 k−t−5=0 (k−1) t+5 k−5=0 (k−1) t=5−5 k
Studiamo l'equazione al variare di k:
k≠1, t=5−5kk−1
=−5 il sistema ammette una e una sola soluzione, le rette sono
incidenti.
k=1, L'equazione assume la forma 0=0, il sistema ammette ∞ soluzioni, le rettesono parallele e coincidenti.
28. Date le rette r : k x− y−5=0, s : x+k y−1=0 si determini la loro posizione alvariare di k∈ℝ .
Studiamo al variare di k il seguente sistema:
{k x− y=5x+k y=1
Un sistema di equazioni lineari Ax=b (m-equazioni in n-incognite) ammette soluzionisse il r (A)=r ( A∣b) .
A=(k −11 k ) (A∣b)=(k −1
1 k | 51)
det ( A)=|k −11 k |=k2+1≠0 ∀ k∈ℝ
det ( A)≠0, quindi r (A)=2=r (A∣b) , per il Teorema di Rouché Capelli il sistemaammette una e una sola soluzione, le due rette sono incidenti.
29. Tra le rette a distanza 2 dall'origine determinare quelle che contengono il puntoQ(1,−2) .
Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro Q:
F :a ( x−1)+b( y+2)=0
Formula della distanza tra un punto P ( xo , yo) e una retta s : a x+b y+c=0
d (P , s)=|a xo+b yo+c|
√a2+b2
d (F ,C )=|−a+2 b|
√a2+b2
|−a+2b|
√a2+b2
=2 a2+4 b2
−4a b=4 a2+4 b2
3a2+4a b=0 a (3a+4 b)=0 ⟨
a=0
b=−34
a
per a=0, otteniamo la retta y+2=0
per b=−34
a , otteniamo la retta 4 x−3 y−10=0
30. Dopo aver studiato il fascio F generato dalle rette r : 2 x+ y−3=0 ed s : x+3 y+1=0
(proprio o improprio, centro o direzione) trovare gli eventuali valori che devonoassumere i parametri a e b affinché la retta t :a x+b y+a+b=0 appartenga al fascio F.
Il fascio è generato dalle rette:
r : 2 x+ y−3=0, con direzione r⃗ (1,−2)s : x+3 y+1=0 con direzione s⃗ (3,−1)
r⃗ , s⃗ non sono paralleli, il fascio è un fascio proprio.
Determiniamo il centro del fascio:
{2 x+ y−3=0x+3 y+1=0
{ x=2y=−1
C (2 ,−1 )
affinché la retta t :a x+b y+a+b=0 appartenga al fascio F si deve avere :
2 a−b+a+b=0 3 a=0 a=0
31. Sia B la proiezione ortogonale del punto A(4,−2) sulla retta r : 2 x−3 y+12=0rappresentare graficamente il triangolo AOB e trovarne area e perimetro.
Scriviamo l'equazione della retta s passante per A e perpendicolare alla retta r:
{ x=4+2 ty=−2−3 t
B=s∩r
{x=4+2 t
y=−2−3 t2 x−3 y+12=0
{x=0y=4
B(0,4)
Area=12|det (4 2
0 4)|= 12|16|=8.
p=OA+ AB+BC =2√20+4
32. Determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti equidistanti dallerette di equazione :
2 x− y+1=0 e x−2 y+3=0.
Equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due retteSiano date le rette
r : a x+b y+c=0 e s : a1 x+b1 y+c1=0è noto che:
Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da due rette incidenti è costituito dalle rette chesono le bisettrici degli angoli da esse formati.Indicato con P ( x , y) un generico punto del piano equidistante dalle due rette, per la formuladella distanza tra un punto e una retta, otteniamo:
|a x+b y+c|
√a2+b2=
|a1 x+b1 y+c1|
√a12+b1
2
ossia:
a x+b y+c
√a2+b2=±
a1 x+b1 y+c 1
√a12+b1
2
che sono le equazioni delle bisettrici.
Nel nostro caso:|2 x−y+1|
√5=
|x−2 y+3|
√5 |2 x− y+1|=|x−2 y+3|
2 x− y+1=±(x−2 y+3)bisettrici:
1. 2 x− y+1=x−2 y+3 x+ y−2=0
2. 2 x− y+1=−(x−2 y+3) 3 x−3 y+4=0
33. Fissato un sistema di riferimento ortogonale, si considerino i due punti A(2,−1) eB(−3,2) . Trovare l’equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti equidistanti
da A e B.
L'asse del segmento AB è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagliestremi A e B.Determiniamo la direzione A⃗B e il punto medio M del segmento AB .
A⃗B=B−A=(−5, 3) direzione ortogonale all'asse del segmento AB .
y=6 retta passante per A e B
Punto medio M ( x A+ xB
2,
yA+ y B
2 ): M (−12
,12 )
L'asse del segmento AB è la retta che passa per M ed è ortogonale alla direzione A⃗B :
s :−5 ( x+12 )+3( y− 1
2 )=0 5 x−3 y+4=0
34. Dati i punti O(0,0) , A(3,0) e B(2,3) , determinare le coordinate del puntod'incontro delle altezze del triangolo OAB.
Le tre altezze di triangolo si incontrano in un unico punto detto ortocentro.Determiniamo le direzioni O⃗A ,O⃗B e A⃗B
O⃗A=A−O=(3,0) , O⃗B=B−O=(2,3) e A⃗B=B−A=(−1,3) .
altezza lato OA : 3(x−2)+0( y−3)=0 x−2=0
altezza lato OB : 2 ( x−3 )+3 ( y−0 )=0 2 x+3 y−6=0
altezza lato AB : −1 ( x−0 )+3( y−0)=0 x−3 y=0
L'intersezione tra due altezze ci fornisce l'ortocentro:
{ x−2=0x−3 y=0
{x=2
y=23
35. Dati i punti O(0,0) , A(4,0) e B(2,4) , determinare le coordinate del puntod'incontro degli assi del triangolo OAB.
Gli assi dei tre lati del triangolo si incontrano in un unico punto detto circocentro.Determiniamo le direzioni O⃗A ,O⃗B e A⃗B e i punti medi dei segmenti OA ,OB e AB .
O⃗A=A−O=(4,0) , O⃗B=B−O=(2,4) e A⃗B=B−A=(−2,4) .
M (2,0) punto medio del segmento OA .
N (1 , 2 ) punto medio del segmento OB .
R (3 , 2 ) punto medio del segmento AB .asse del segmento OA : 4 (x−2)+0( y−0)=0 x−2=0
asse del segmento OB : 2 ( x−1 )+4 ( y−2 )=0 x+2 y−5=0
asse del segmento AB : −2 ( x−3 )+4( y−2)=0 x−2 y+1=0
L'intersezione tra due degli assi ci fornisce il circoncentro
{ x−2=0x−2 y+1=0
{x=2
y=32
36. Date le rette r : x+ y+2=0 , s :{ x=5+3 ty=−1−t
dopo aver verificato che appartengono ad
uno stesso fascio proprio F , determinare le rette di F :
r ha direzione r⃗ (1,−2)s ha direzione s⃗ (3,−1)
r⃗ , s⃗ non sono paralleli, il fascio è un fascio proprio.
Determiniamo il centro del fascio:
{x=5+3 ty=−1−t
x+ y+2=0
(5+3 t )+(−1−t )+2=0.
2 t +6=0 t=−3 {x=−4y=2
C (−4 ,2 )
Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro C:
F :a ( x+4)+b ( y−2)=0
a. parallele alla retta x −3 y4=0 ;
1(x+4)−3( y−2)=0 x−3 y+10=0
b. perpendicolari alla retta 2 x3 y4=0 ;
3(x+4)−2 ( y−2)=0 3 x−2 y+16=0
c. formanti un angolo di 45° con la bisettrice del 2° Quadrante.
Bisettrice del 2° quadrante:x+ y=0 con direzione v⃗ (1,−1)
direzione del fascio u⃗(b ,−a)angolo formato dalle due rette:
cos(ϑ)=| u⃗⋅⃗v |
‖⃗u‖‖v⃗‖
1
√2=
|b+a|
√2√a2+b2 1=
|b+a|
√a2+b2 1=
a2+b2+2a b
a2+b2 a2
+b2=a2
+b2+2 ab
2 a b=0 ⟨a=0b=0
per a=0, otteniamo la retta y−2=0
per b=0, otteniamo la retta x+4=0
37. Trovare la direzione r della retta r : 2 x− y−1=0 e le coordinate del punto A ,centro del fascio di rette di equazione (3a+2b) x+(a− b) y+6a− b=0 . Determinare,inoltre, l’equazione della retta passante per A ed avente direzione normale parallela allaretta r .
Il centro del fascio si può ottenere come intersezione di due rette qualsiasi del fascio, adesempio:
retta con a=b=1, 5 x+5=0
retta con b=−32
a52
y+152
=0
dalle quali si ricava il centro C (−1,−3)
direzione della retta r: r⃗ (1,2)
retta cercata:1(x+1)+2( y+3)=0 x+2 y+7=0
38. Studiare, al variare del parametro t∈ℝ , il sistema {(4−t ) x+(t−1) y= tt x+ y=t e dare
un'interpretazione geometrica in ℝ2 dei risultanti ottenuti.
{(4−t ) x+(t−1) y= tt x+ y=t
Un sistema di equazioni lineari Ax=b (m-equazioni in n-incognite) ammette soluzionisse il r (A)=r ( A∣b) .
A=(4−t t−1t 1 ) (A∣b)=(4−t t−1
t 1 | tt )
det (A)=|4−t t−1t 1 |=4− t− t2
+ t=4−t 2
Studiamo i vari casi:
per t≠±2, det ( A)≠0, quindi r (A)=2=r (A∣b) , per il Teorema di Rouché Capelliil sistema ammette una e una sola soluzione, le due rette sono incidenti.
per t=−2, la matrice assume la seguente forma:
(A∣b)=( 6 −3−2 1 | −2
−2)si vede facilmente che r (A)≠r ( A∣b) , per il Teorema di Rouché Capelli il sistema nonammette soluzione, le due rette sono parallele e distinte.
per t=2, la matrice assume la seguente forma:
( A∣b)=(2 12 1 | 2
2)si vede facilmente che r (A)=r ( A∣b)=1, per il Teorema di Rouché Capelli il sistemaammette ∞
1 soluzioni, le due rette sono parallele e coincidenti.