Laszlo Kocsanyi und Patrik Gadoros:

PHYSIK I

Mechanik und Warmelehre fur die Studenten der Fakultaten fur

Elektrotechnik, Informatik und Maschinenbau

der Budapester Universitat fur Technologie und Wirtschaft kurz genanntBME

BUDAPEST, 2013

BME

Inhalt

1 Einfuhrung 81.1 Physikalische Groen und Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Einheiten und Normen physikalischer Grundgroen . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Langeneinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Zeiteinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Masseneinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Abgeleitete physikalische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Physikalische Gesetzte und das physikalische Experiment . . . . . . . . . 111.5 Axiome, Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Modellbildung, Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I MECHANIK 14

2 Kinematik eines Massenpunktes 162.1 Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Lineare Bewegungen, Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Die mittlere Geschwindigkeit fur lineare Bewegungen . . . . . . . 182.2.2 Die Geschwindigkeit als Ableitung (Momentangeschwindigkeit) fur

lineare Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Der Geschwindigkeitsvektor fur krummlinige Bewegungen . . . . . . . . 202.4 Die Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Die Bahnkomponenten der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . 232.4.2 Die Bestimmung der tangentialen und der normalen Komponenten

der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Bestimmung der Geschwindigkeit und der Position des Massenpunktes von

der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.1 Lineare Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2 Krummlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung von a0 . . 30

2.6 Kreisbewegungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung . . . . 32

1

2.6.1 Die vektorielle Definition der Winkelgeschwindigkeit und der Win-kelbeschleunigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.2 Die Bestimmung von v und a mit Hilfe von , und r . . . . . . 362.7 Kinematik der harmonischen Schwingbewegung . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Dynamik der Bewegung eines Massenpunktes 413.1 Die Newtonsche Axiome, Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Das Tragheitsgesetz (erstes Newtonsches Gesetz) . . . . . . . . . 413.1.2 Impuls, Prinzip der Erhaltung des Impulses . . . . . . . . . . . . 423.1.3 Das zweite und dritte Newtonsche Gesetz, Kraftkonzept . . . . . 443.1.4 Das Prinzip der Unabhangigkeit (Superposition) der Krafte . . . 453.1.5 Trage und schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Kraftearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.1 Schwerkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2 Die Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.3 Reibungskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Elastische Kraft (Federkraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Der Drehimpuls und das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.1 Definition des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.2 Drehmoment und Drehimpulsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.3 Drehimpuls in Zentralfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.1 Die Arbeit als Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.2 Beispiel: Arbeit gegen Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.3 Die Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.4 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5.5 Konservative Kraftfelder, potentielle Energie, Konservative Felder 633.5.6 Die Bestimmung der Kraft von der potentiellen Energie, der Gra-

dientenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.7 Energiesatz der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.8 Typische konservative Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6 Das allgemeine Gravitationsgesetz und die Bewegung der Planeten . . . 713.6.1 Die Keplerschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.2 Die Bedeutung des Flachengesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6.3 Die Bestimmung der Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7 Relativbewegungen. Tragheitskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7.1 Die Galileische Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7.2 Kinematik der Bewegung der Massenpunkte in beschleunigten, bzw.

rotierten Koordinatasystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7.3 Tragheitskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2

4 Dynamik der Teilchensysteme. 824.1 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.1 Schwerpunkt von diskreten Massenpunktsystemen. . . . . . . . . 824.1.2 Schwerpunkt von kontinuierlichen Massenverteilungen: . . . . . . 84

4.2 Schwerpunktgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3 Drehimpulsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4 Innerer Drehimpuls und Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5 Erhaltung der Energie in einen Teilchensystem . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.1 Die kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5.2 Erhaltung der Energie des Teilchensystems in konservativen Fel-

dern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6 Bewegungen von speziellen, diskreten Teilchensysteme . . . . . . . . . . . 92

4.6.1 Die Bewegung einer Rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.6.2 Stoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5 Bewegung vom starren Korper 985.1 Kinematik der Bewegung der starren Korper . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2 Schwerpunktgesetz fur starre Korper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3 Reine Rotationsbewegung der starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.1 Drehimpulssatz fur rein rotierte starre Korper . . . . . . . . . . . 1015.3.2 Beispiel: Feste Rolle mit Gewichten . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Rotationsenergie des rein rotierten starren Korpers. . . . . . . . . . . . . 1055.5 Die zusammengesetzte Bewegung von starren Korper. . . . . . . . . . . 106

5.5.1 Krafte und Kraftepaare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5.2 Die Gesamtenergie bei der zusammengesetzten Bewegung des star-

ren Korpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.5.3 Beispiele fur die allgemeinen Bewegungen der starren Korper. . . 110

5.6 Die Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.6.1 Experimenten mit einem Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.6.2 Die Bestimmung der Frequenz der Prazession des Kreisels der unter

der Wirkung der Schwerkraft liegt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.7 Berechnung vom Tragheitsmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.7.1 Tragheitsmoment eines homogenen dunnen Stabes, wobei die Ro-tationsachse durch den Mittelpunkt des Stabes senkrecht lauft. . 120

5.7.2 Tragheitsmoment eines homogenen dunnen Stabes, wobei die Ro-tationsachse durch den Endpunkt des Stabes senkrecht geht . . . 121

5.7.3 Tragheitsmoment eines Vollzylinders, der sich um die Symmetrie-Achse rotiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.7.4 Tragheitsmoment einer homogenen Kugel. . . . . . . . . . . . . . 1225.7.5 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3

6 Die Gesetze der Mechanik bei Geschwindigkeiten, die in der Nahe derLichtgeschwindigkeit liegen. 1266.1 Die Folgen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . 1266.2 Die Lorentz-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.3 Folgen der Lorentz-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.1 Langenkontraktion (LBEW < LRUHE). . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3.2 Zeitdilattation (TBEW > TRUHE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 Die Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . 1326.5 Grundlagen der speziellen Relativitatstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.5.1 Der relativistische Impuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5.2 Die Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5.3 Die relativistische Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7 Warmelehre (Thermodynamik) 1407.1 Klassische Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.1.1 Was sind Temperatur und Warme? . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.2 Die Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.2.1 Die Temperatur nach Celsius und Fahrenheit . . . . . . . . . . . . 1427.2.2 Die thermische Ausdehnung von Festkorper und Flussigkeiten . . 1437.2.3 Die thermische Ausdehnung der Gase. Die allgemeine Gasgleichung 148

7.3 Warme, Warmeenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.3.1 Warmemenge und spezifische Warme . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.3.2 Die Messung der spezifischen Warmekapazitaten von festen Korper

und von Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.3.3 Spezifische Warmekapazitaten von Gasen . . . . . . . . . . . . . . 160

7.4 Die Hauptgesetze der Warmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.4.1 Die Warmeaquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.4.2 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . 1657.4.3 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, Kreisprozesse . . . . 170

8 Kinetische Gastheorie 1778.1 Das Modell der idealen Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.1.1 Der Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2 Absolute Temperatur, Gleichverteilungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.2.1 Die absolute Temperatur und die mittlere kinetische Energie . . 1808.2.2 Freiheitsgrade und Gleichverteilungssatz (aquipartitionsgesetz) . . 1828.2.3 Molare Warmekapazitat der idealen Gasen. . . . . . . . . . . . . 182

8.3 Die Maxwell Boltzmannnsche Geschwindigkeitsverteilung. . . . . . . . 1848.3.1 Barometrische Hohenformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.3.2 Das Konzept der Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . 1878.3.3 Die Verteilung fur die Komponenten der Geschwindigkeit . . . . . 187

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8.3.4 Die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . 189

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Vorwort

Liebe zukunftige Ingenieurinnen und Ingenieure!Das Studium fur Physik an einer technischen Universitat ist immer ein aufregen-

des Abenteuer, das dauernd Herausforderungen an dem menschlichen Geist stellt. Sogeht es auch Ihnen, die mit Physik an den deutschsprachigen Physikkursen der BMEbegegnen. Die Vorlesungen und die vorgefuhrte Experimente dienen fur die Erlernungder Grundlagen der Physik und fur die Erfahrung ihrer wissenschaftlichen Forschungs-methode. Fur die Weiterentwicklung ihrer Fahigkeiten um technische und physikalischeProbleme losen zu konnen, sind Praktika zu absolvieren, wo einfache Aufgaben -teilweiseselbstandig- gelost werden sollen. Dieser Lehrstoff ist eine kurze und bundige Zusam-menfassung der Vorlesungen und der vorgefuhrten Experimente der Mechanik und derWarmelehre, welche die Klausur- und Prufungsvorbereitung erleichtert. Der Autor hattehier nicht die Absicht ein vollstandiges und ausfuhrliches Buch zu schreiben, dafur habensich schon mehrere Wissenschaftler erfolgreich entschlossen, und auch in der Bibliothekder BME stehen fur Sie mehrere Bucher, Lehrbucher [1-5] teilweise in Deutsch [1-4] -zur Verfugung. Dadurch, dass wahrend der Klausuren und der Prufung auch rechnerischeAufgaben zu losen sind, haben wir fur Sie auch eine Sammlung von physikalischen Proble-men zusammengestellt (Band IV: Problemen fur Physik I und II). Da die Formulierungder physikalischen Theorien uber mathematische Gleichungen oder Operationen folgt,mussen wir uns auf Ihre fundierten mathematischen Kenntnisse stutzen. Jedoch wennbestimmte, fur Sie in der Mathematik noch unberuhrte Begriffe und Themen auftauchen versuchen wir diese auf eine

physikalische Art zu erklaren (z.B. Linienintegral, Gra-

dientenbildung, usw.) oder eine Zusammenfassung im Anhang geben. Ich wunsche Ihnenviel Freude und hauptsachlich viel Erfolg bei Ihrem Studium an der BME! Budapest,April, 2013 Dr. Laszlo Kocsanyi

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Zu der Anwendung des Buches

Der Lehrstoff ist in vier Bander zusammengefasst worden. Sie bearbeiten die folgendenThemen: Band I - Physik 1: Physikalische Groen; klassische Mechanik und Einfuhrung indie spezifische Relativitatstheorie; Warmelehre. Band II - Physik 2: Elektrostatik; statio-nare elektrische Strome; Magnetismus; Gesetze der zeitabhangigen elektromagnetischenFelder. Band III - Physik 3: Allgemeine Schwingungslehre, mechanische und elektroma-gnetische Wellen, Ausbreitung von Licht, Interferenz und Beugung, Photonen, Materi-alwellen. Band IV Problemen fur Physik I und II Aufgaben und ihre Losungen, zurPhysik 1-2-3. Studenten der Fakultat fur Maschinenbau und Mechatronik mussen PhysikA2 (2 Kredite) im zweiten Semester ihres BSC Studium aufnehmen. Zu diesem Kurs istgrundsatzlich Band II. (Elektromagnetismus), erganzt mit den Kapiteln 1, (Einfuhrung) 2(Kinematik eines Massenpunktes) und 3 (Dynamik der Bewegung eines Massenpunktes)von Band I. als Hilfsmittel empfohlen. Die Studenten der Fakultat fur Maschinenbaunehmen im dritten Semester Physik A3 (2 Kredite) auch auf. Dazu konnen sie BandIII. (Allgemeine Schwingung und Wellenlehre, Photonen, Materialwellen) als Lehrstoffnehmen. Zukunftige Elektroningenieure und Informatiker studieren im zweiten Semes-ter Kurs Physik 1. (4 Kredite). Diese Vorlesung ist vollstandig abgedeckt mit Band I.(Mechanik und Warmelehre). Im dritten Semester mussen sie Kurs Physik 2 (4 kredi-te) aufnehmen. Dieser Kurs ist mit Band II. (Elektromagnetismus) und III (allgemeineSchwingung und Wellenlehre, Optik, Photonen, Materialwellen) vollstandig abgedeckt.Zu jedem Kurs konnen die Studenten Band IV. (Problemen fur Physik) zum Uben derLosungen physikalischer Problemen als Hilfsmittel anwenden.

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Kapitel 1

Einfuhrung

Physik, als Wurzel aller Naturwissenschaften forscht die grundlegende Prinzipien des un-lebendigen Universums von deren der Wechselwirkungen der Elementarteilchen bis zuderen der Sternerkundigung. Man konnte sagen, dass die Grundlagen der bis heute an-gewandten und erfolgreichen Forschungsmethode der Physik Galileo Galilei (1564-1642)und Isaac Newton (1642-1727) abgelegt haben, als sie die Grundprinzipien der Mechanikerforscht haben. Galilei war der erste Wissenschaftler, der zuerst in der Geschichte ver-sucht hat physikalische Hypothesen durch gezielte Experimente zu untermauern. Er hatdie wichtige Rolle der kontrollierten Bedingungen und der Messgenauigkeit bei den Versu-chen als erster erkannt, und hat damit das wissenschaftliche Experiment ins Zentrum derNaturforschung gestellt. Newton war der erste Theoretiker, der die Rolle der Mathema-tik bei der systematischen Beschreibung der Natur erkannt hat (Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica -1687). Damit konnte er die Kenntnisse seiner Zeit auf dem Ge-biet der Mechanik auf drei Grundprinzipien (Axiome) zuruckfuhren (siehe Abs. 3.1.).Die experimentellen Arbeiten von Galilei und der theoretische Werk von Newton habendie Leitprinzipien fur die Forschungen auf die anderen Fachgebiete der Physik vorgelegt.Mit der Zeit konnten die physikalischen Kenntnisse der Menschheit in mehrere Diszipli-nen unterteilt werden. Diese sogenannte klassische Zweige der Physik, wie Warmelehre,Elektromagnetismus, Akustik und Optik sind ahnlich wie die Mechanik geforscht worden.Zuerst die Sammlung von zahlreichen Gesetze durch einfallsreiche Experimente, spaterdie Suche nach den Axiomen haben ihre Geschichte charakterisiert. Gegen das Ende des19. Jahrhunderts standen schon die Axiome der klassischen Physik auf allen Gebietenfest (z.B.: Hauptgesetzte der Thermodynamik, Maxwellsche Gleichungen des Elektroma-gnetismus, elektromagnetische Lichttheorie, usw.) und die Hoffnung um bald zu einemgeschlossenen Weltbild zu gelangen, schien fur viele Physiker realistisch zu sein. Jedocheinige Beobachtungen lieen sich mit den gut bewahrten klassischen Methoden nichterklaren. Solch ein, merkwurdiges Ergebnis war die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit,deren Unabhangigkeit von der Richtung und von dem Bewegungszustand des Messge-rates durch Michelson und Morley in 1881 bewiesen wurde. Auf diesem Befund baute

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Albert Einstein im Jahre 1905 seine spezielle Relativitatstheorie auf, die als erste Ergeb-nis der modernen Physik betrachtet werden kann (Kap. 6). Ahnlich unerklarbar warendie Charakteristik des Spektrums der Strahlung vom absolut schwarzen Korper und dieAbhangigkeit der Austrittsarbeit der Elektronen von der Frequenz des Anregungslichtesbeim photoelektrischen Effekt. Die Losung dieser Probleme fuhrte zu der Entdeckung derDualitat von Teilchen und Wellen, deren exakte Erklarung den Physiker schlielich nurnach der Ausarbeitung der Quantentheorie gelang. Mit diesen Themen beschaftigen wiruns im Band III, wo wir auch zeigen werden, in wiefern die neue Forschungsmethodenvon den klassischen abweichen. In diesem ersten Kapitel wollen wir jetzt die wichtigstenallgemeinen Begriffe der klassischen Physikforschung zusammenfassen.

1.1 Physikalische Groen und Gesetze

Die physikalische Gesetzmaigkeiten sind meist mathematische Verknupfungen physika-lischer Groen. Unter diesen versteht man messbare Eigenschaften von physikalischenBegriffen (z.B. Objekte, Zustande). Messbarkeit bedeutet, dass man ein Mastab (Eta-lon) und eine Methode fur die Vergleichung der einzelnen Groen mit dem Mastabdefinieren kann. Die so definierte physikalische Groen sind als Grundgroen (auch Ba-sisgroen oder fundamentale Groen) genannt. Aus den Grundgroen lassen sich weitereGroenarten ableiten, entweder als zweckmaige Definition (z.B. Arbeit als Produkt vonKraft und Weg, Dichte als Quotient der Masse und des Volumens), oder als Aussage einesGesetzes (z.B. im Ohmschen Gesetz der Widerstand: R = U/I). Sie sind die abgeleitetephysikalische Groen. Es erhebt sich die Frage, wie viele Grundgroen uberhaupt furdie Beschreibung der Natur gebraucht werden. Es hat sich mittlerweile gezeigt, dass allephysikalischen Groen auf die drei Grundgroen, Lange, Zeit und Masse zuruckgefuhrtwerden konnen. Die Antwort lautet also, im Prinzip drei. Aus zweckmaigen Grundensind doch noch weitere vier physikalische Grundgroen eingefuhrt worden, namlich dieTemperatur, die Stoffmenge, die Stromstarke und die Lichtstarke. (siehe Tabelle 1.1).

1.2 Einheiten und Normen physikalischer Grundgro-

en

Wir sagten, dass die Messung eine Vergleichung mit dem Mastab (Etalon) bedeutet.In der Geschichte der Physik haben sich solche Mastabe als Einheiten etabliert, diezu unserem alltaglichen Leben angepasst wurden (z.B. Meterstab). Wichtig ist, dass dieMessungen mit der geforderten Genauigkeit wiederholbar sein sollen. Die Einheiten mus-sen mit solchen Normalen festgelegt werden, die einerseits fur jedermann zur Verfugungstehen sollen, anderseits immer wieder geeicht werden konnen. Fur diese Arbeiten sinddie Normungsamten (z.B. Orszagos Meresugyi Hivatal, National Buro of Standards USA,

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usw.) zustandig. Mit der Entwicklung der Messtechnik stiegen die Anforderungen fur dieGenauigkeit der Nachweisung, und die Normen der Einheiten sollten neu definiert wer-den. In der Tabelle 1.1 sind die sieben Basisgroen mit ihren ublichen Formalzeichen,Einheiten und mit dem Jahr der letzten Modifikation ihrer Normen angegeben.

Tabelle 1.1: Fundamentale Groen nach SI

Fundamentale Groe Symbol Massenheit Letzte Modifikation von dem Norm.Lange l, s Meter, m 1983.Masse m Kilogramm, kg 1889.Zeit t Sekunde, s 1969.Elektrische Stromstarke I, s Ampere, A 1948.Temperatur T Kelvin, K 1967.Substanzmenge n mol 1971.Lichtstarke Iv Candela, cd 1979.

Hier werden wir die Normen der mechanischen Grundgroen (Lange, Zeit, Masse)angeben, die weitere SI-Einheiten werden wir dort definieren, wo wir sie einfuhren (z.B.Temperatur in dem Kapitel fur Warmelehre).

1.2.1 Langeneinheit

Als Langeneinheit wurde in 1875 das Meter gewahlt. Der Internationale Prototyp desMeterstabes wurde in Paris aufbewahrt. Die jetzige Definition des Meters (seit 1983) ist:

Das Meter ist die Lange der Strecke, die das Licht im Vakuum wahrend eines Zeitin-

tervalls von 1/299792458s (= 3, 335640952 109 s) hinter sich lasst. Wir mussen hiererwahnen, dass der Groenbereich der Lange in der Physik etwa 43 Groenordnung (vondem Radius des Elektrons, der kleiner als 1018m ist, bis zu der Ausdehnung des Weltalls,das etwa 3 1025m betragt) ist.

1.2.2 Zeiteinheit

Die Maeinheit der Zeit ist die Sekunde. Ihre heute festgelegte Definition ist:Eine Se-

kunde ist das Zeitintervall wahrend dessen die Casium Uhr (Cs133) 9192631770 Schwing-perioden durchfuhrt.

1.2.3 Masseneinheit

Als Einheit der Masse wurde der Kilogramm gewahlt. Als Massennormal dient ein Platin-Iridium-Zylinder, der in Paris aufbewahrt wird. Ursprunglich sollte 1 dm3 Wasser bei 4C

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1 kg wiegen. Jedoch hat es sich gezeigt, dass der Normzylinder in Paris etwa 0,025 g mehrwiegt.

1.3 Abgeleitete physikalische Groen

Als wir erwahnt haben, hinter den abgeleiteten Groen versteckt sich ein zweckmaigesmathematisches Formel (z.B. Quotient, Produkt) oder eine Reihe von Naturgesetzen, diedann die abgeleitete physikalische Groen durch die Basisgroen ausdrucken lassen. Dieabgeleitete Groen werden - genauso wie die Basisgroen - mit einer Zahl und mit einerDimension ausgedruckt. Die Dimension ist dann immer ein Potenzprodukt der Dimensi-onszeichen der Basisgroenarten (z.B. Geschwindigkeit = Weg/Zeit). Oft wird hier aucheine eigene Einheit eingefuhrt, allerdings kann sie mit der Einheiten der Basisgroen aus-

gedruckt werden (z.B. Ohm, 1 = 1V/1A = 1kg m2/s3 A2). Abgeleitete physikalischeGroen konnen skalare oder vektorielle Groen sein. Skalare Groen sind durch Zah-lenwert und Einheit vollstandig charakterisiert. Bei den vektoriellen Groen auer demZahlenwert und der Einheit muss eine Richtung im Raum auch angegeben werden. Da dieVektoren in der Physik von besonderer Wichtigkeit sind, haben die Mathematiker eigeneDisziplinargebiete fur ihre Algebra und Analysis eingefuhrt. Eine Zusammenfassung derwichtigsten Regel der Vektoralgebra ist im Anhang 1. angegeben.

1.4 Physikalische Gesetzte und das physikalische Ex-

periment

In der klassischen Physik sind die Gesetze meist mathematische Gleichungen. Zu denGesetze kommt man durch Beobachtungen (z.B. Tycho de Brahe, Johannes Kepler, sie-he Abs. 3.6.) oder physikalischen Experimente. In einem Experiment stellen wir eineFrage an die Natur. Sie soll gut gezielt sein um eine eindeutige Antwort zu bekommen.Dazu mussen wir bestimmtem Veranderlichen konstant halten, oder sollen wir solche Be-dingungen erschaffen, dass manche Variablen vernachlassigt werden konnen. Deswegenhaben die beruhmte, meilensteinartige Experimente der Physik jahrelange Vorbereitun-gen benotigt und diese sollten sogar oft nach der Einfuhrung verbesserten Messtechnikwiederholt werden (z.B. Michelson Morley Experiment). Es kam auch oft vor, dass manzahlreiche Messungen wahrend der Ausfuhrung des Experimentes (Millikan Versuch)durchfuhren sollte oder jede menge Daten bei der Beobachtungen notieren (Tycho deBrahe) musste. Viele Gesetze existierten lange als Hypothesen (oder Arbeitshypothe-sen) nur mit der Zeit konnte man sie wirklich beweisen. (ZB. Torsionswaage von LorandEotvos fur den Beweis der Gleichheit der schweren und tragen Masse.)

Das Hauptziel der Theoretiker ist dann die wichtigste Zusammenhange, Prinzipienzu finden auf deren die viele verschiedene Gesetze zuruckgefuhrt werden konnen. Diese

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Wurzelgesetze bilden dann die Axiome einer Theorie.

1.5 Axiome, Theorie

In der klassischen Zweige der Physik gelang es den Wissenschaftler all die gefundene Ge-setze auf wenige Grundgesetze (Axiome) zuruckzuleiten. Die Axiome bilden die Grund-steine einer Theorie (siehe Abb. 1.1 Sie sind solche Gesetze oder Prinzipien, die einandererganzen und all die anderen Gesetze des physikalischen Gebiets herleiten lassen. In demSinne sind sie Hypothesen, deren Beweisbarkeit in der wahre Aussagen all der anderen,von den Axiomen ableitbaren Gesetze liegen. Zum Beispiel die Axiome der Mechaniksind die drei Prinzipien (Inertia, Actio, Reactio) von Newton und die von dem Elektro-magnetismus die vier Maxwellsche Gleichungen (Durchflutungsgesetz -1, FaradayschesInduktionsgesetz -2, die Hypothese, dass magnetische Monopolen nicht existieren -3,und das Gausche Gesetz -4).

Abb. 1.1: Der Aufbau der Theorie. Zwischen den physikalischen Groen (PG) wurdenGesetze entdeckt, von denen die Axiome so ausgewahlt worden sind, dass danach all dieanderen ausgebliebenen Gesetze ableitbar sind.

Nach der Festlegung der Axiome konnen weitere, bis dahin unbekannte Gesetze ab-geleitet werden, die dann in den Anwendungen z.B. in den technischen Wissenschaftensehr groe Bedeutung haben.

12

1.6 Modellbildung, Korrespondenzprinzip

Wenn wir einen Problemkreis in der Physik untersuchen wollen, bilden wir zuerst einphysikalisches Modell der physikalischen Objekten und stellen die Grenzungen des Mo-dells fest (z.B. Massenpunkt, starre Korper usw.). Das heit, wir mussen angeben, unterwelchen Bedingungen unsere Ergebnisse (die gefundene Gesetze) anwendbar sind. ZumBeispiel, wenn die schnelle Rotation eines Gummiballes mit der Gesetzen der Rotationvon starren Korper abgeschrieben werden soll, dann muss man einen Grenzwert fur dieDrehzahl angeben, woruber die elastische Eigenschaften der Gummi zu der Deformationdes Balles fuhren.

Eine Modellgrenze liegt auch zwischen den klassischen und den relativistischen Theo-rie der Mechanik. Bei groen Geschwindigkeiten (in der Nahe der Lichtgeschwindigkeit)muss man mit einer erweiterten Impulsdefinition die zweite Axiome von Newton anwen-den (Einstein: Spezielle Relativitatstheorie, siehe Kap. 6). Wenn wir in den Ausdruck

dieser sogenannten relativistischen Impuls(p = mv

1v2/c2

), die im Alltag ublichen klei-

nen Geschwindigkeitswerten (v c) einsetzen, erhalten wir die gewohnliche Impulsdefi-nition (p = mv). Dieses Prinzip ist das Korrespondenzprinzip, das durch Niels Bohr beider Ausarbeitung der Axiome der Quantenmechanik zuerst allgemein formuliert wurde.Wenn die Axiome einer existierenden Theorie die neue, bisher unbekannte Erscheinungennicht mehr richtig beschreiben konnen, und die Einfuhrung einer neuen Theorie unver-meidbar notig wird, dann sollen die Prinzipien der neuen Theorie fur die ubliche, schonbekannte Erscheinungen zu der Axiomen der etablierten Theorie fuhren.

13

Teil I

MECHANIK

14

Die wichtigsten Gesetze der Mechanik werden wir uber Modelle studieren. Zuerst be-trachten wir solche Korper, bei denen die Ausdehnung der Korper vernachlassigbar ist,und nur Ihre Massen sollen in Acht genommen werden. Die sind die Massenpunkte. Nachder kinematischen Beschreibung der Massenpunktbewegung suchen wir die Ursachen derBewegungsanderungen. Die Axiome der Mechanik hat Newton fur die Bewegung einesMassenpunktes formuliert. Von den Newtonschen Axiomen werden wir weitere Gesetzezwischen abgeleiteten dynamischen Groen (z.B. Drehimpuls, Energie) aufstellen. DieseFormeln erleichtern die Problemlosung in vielen Falle. Danach werden wir die Gesetzeder Bewegung von Punktsystemen zusammenfassen, die wir wieder von den NewtonschenAxiome ableiten werden. Letztendlich werden wir die so erhaltene Gesetze (Schwerpunkt-gesetz, Drehimpulsgesetz und die Erhaltung der Energie) fur die Beschreibung der Be-wegung der starren Korper, die als kontinuierliche Verteilungen von Massenpunkten, mitkonstanten relativen Position betrachtet werden konnen, anwenden.

15

Kapitel 2

Kinematik eines Massenpunktes

In diesem Absatz wollen wir die physikalische Groen, die fur die Beschreibung derBewegung (griechisch: kinema) der Punkten relevant sind, definieren und einige spezielleBewegungsvorgange analysieren.

2.1 Ortsvektor

Der Ortsvektor ist der Vektor, der von dem Ursprung eines Bezugssystems zu der Positiondes Massenpunktes gezogen wird (siehe Abb. 2.1.). Die Spitzen der Ortsvektoren liegenalso auf der Bahnkurve.

Abb. 2.1: Ortsvektor und Verschiebung im Kartesischen Koordinatensystem

Die zeitabhangige Funktion des Ortsvektors gibt zu jeder Zeitpunkt die genaue Po-sition des Massenpunktes an. Aufgrund des Vektorzerlegungsgesetzes (siehe Anhang 1)

16

benotigt diese Beschreibung die Angabe von 3 skalaren Funktionen:

r (t) = x (t) ex + y (t) ey + z (t) ez.

Nach t ist der Ortsvektor:

r (t+ t) = x (t+ t) ex + y (t+ t) ey + z (t+ t) ez.

Die Verschiebung ist auch ein Vektor, und kann als Differenz von den zwei obigen Orts-vektorn definiert werden:

r (t) = r (t+ t) r (t)

2.2 Lineare Bewegungen, Geschwindigkeit

Lineare Bewegungen konnen mit einer skalaren Funktion abgeschrieben werden. Zweck-maig wahlen wir fur die Richtung der Bewegung die X-Achse. Der Einheitsvektor ist:i = ex.

Der Ortsvektor ist dann: r (t) = x (t) exBeispiele:

gleichformige Bewegungv=konstant x = v t

gleichformig beschleunigte Bewegung(Freier Fall)x = a2 t2 v = a t(x = g2 t2 v = g t

)

Abb. 2.2: Gleichformige und gleichformig beschleunigte Bewegung

17

2.2.1 Die mittlere Geschwindigkeit fur lineare Bewegungen

Abb. 2.3: Die mittlere Geschwindigkeit ist der Quotient von x und t.

Die mittlere Geschwindigkeit ist die hinterlassene Strecke bezogen auf das dazu gehorendeZeitintervall, unabhangig von dem Charakter der Bewegung:

vM =xt .

Die mittlere Geschwindigkeit ist ein Vektor:

vM =ex x(t2) ex x(t1)

t2 t1 = ex x(t2) x(t1)

t2 t1 =r(t2) r(t1)t2 t1 .

Die mittlere Geschwindigkeit hangt also von dem Zeitintervall (t) und auch von demZeitpunkt (t) ab. Je ofter und fur je kleinere Intervallen wir die mittlere Geschwindigkeitfur eine Bewegung angeben, desto besser konnen wir die Schnelligkeit der Bewegunguberall charakterisieren.

2.2.2 Die Geschwindigkeit als Ableitung (Momentangeschwin-digkeit) fur lineare Bewegungen

Wenn man fur ein Zeitpunkt t0 und fur immer kurzere Zeitintervalle (ti) die mittlereGeschwindigkeiten bildet, und bei der Bedingung von tto0 deren Grenzwert bestimmt,erhalt man die Momentangeschwindigkeit (siehe Abb. 2.4). Das ist eigentlich die Diffe-rentialquotient der Kurve x (t) im t0:

18

Abb. 2.4: Zu der Definition der Geschwindigkeit als Ableitung

t 0x 0

}xiti

= tani dxdt

= tanTANGENTE = v

Wie von der Abbildung offenbar scheint, fur stetige, nicht knickende x (t) Funktio-nen ist die Momentangeschwindigkeit gleich der Richtungstangente der Kurve in t0. DieFunktion v (t) ist also die Ableitung von x (t):

v(t) = dx(t)dt

= x (t) .

Der Wert in t0 ist der Differentialquotient:

v(t0) = limt0x(t0 + t) x(t0)

t =dx(t)dt

t0

.

Unter der Annahme: t2 = t1 + t, und r (t) = x (t) ex kann man sehen, dass dieMomentangeschwindigkeit auch als Vektor betrachtet werden kann:

v(t1) = ex limt2t1

x(t2) x(t1)t2 t1 = limt2t1

ex x(t2) ex x(t1)t2 t1 =

= limt2t1

r(t2) r(t1)t2 t1 = limt2t1

rt =

dr(t)dt

= r (t1) .

19

2.3 Der Geschwindigkeitsvektor fur krummlinige Be-

wegungen

Abb. 2.5: Der Geschwindigkeitsvektor fur eine krummlinige Bewegung ist der Grenzwertder Verschiebung bezogen auf das Zeitintervall. Der Vektor der Momentangeschwindigkeitzeigt immer in Richtung der Tangente der Bahnkurve.

Fur eine krummlinige Bewegung kann die Momentangeschwindigkeit genauso definiertwerden, wie fur die linearen Bewegungen. Das heit, wir nehmen die Verschiebungen furimmer kleinere Zeitintervalle (ti) in der Umgebung eines t Zeitpunktes (siehe Abb. 2.5):

ri = r(t+ ti) r(t),

dann bilden wir die mittleren Geschwindigkeiten:

vM.i =riti

,

letztendlich suchen wir den Grenzwert bei ti 0, und erhalten wir den Geschwindig-keitsvektor:

v = limt0

vM = limt0rt =

drdt .

Die Richtung der Geschwindigkeit ist die Tangente der Bahnkurve (siehe Abb. 2.5).Deswegen kann die Geschwindigkeit auch so angegeben werden, dass man die Ableitungder Wegfunktion bildet und dann multipliziert mit dem Einheitsvektor, der in Richtungder Tangente zeigt:

v = drdt = eT ds(t)

dt .

20

Mit Hilfe der kartesischen Koordinaten konnen wir die Zeitabhangigkeit des Geschwindig-keitsvektors durch drei Skalarfunktionen abschreiben. Dazu nehmen wir die Koordinatendes Ortsvektors und bilden ihre Ableitungen:

r(t) = ex x(t) + ey y(t) + ez z(t),

r(t+ t) = ex x(t+ t) + ey y(t+ t) + ez z(t+ t),r = ex [x(t+ t) x(t)] + ey [y(t+ t) y(t)] + ez [z(t+ t) z(t)] ,

v(t) = limt0

r(t)t = limt0

r(t+ t) r(t)t =

= ex limt0[x(t+ t) x(t)]

t + ey limt0[y(t+ t) y(t)]

t + ez limt0[z(t+ t) z(t)]

t

v (t) = ex dx (t)dt + ey dy (t)

dt + ez dz (t)

dt .

Offenbar die skalare Komponenten der Geschwindigkeit in einem kartesischen Koordina-tensystem sind die Ableitungen der Koordinatenfunktionen des Ortsvektors.

Die Groe der Geschwindigkeit ist:

v(t) =v2x + v2y + v2z =

(dx(t)dt

)2+(dy(t)dt

)2+(dz(t)dt

)2.

2.4 Die Beschleunigung

Im allgemeinen Fall wie zum Beispiel beim Radfahren - ist die Geschwindigkeit nichtkonstant, sondern eine bestimmte Funktion der Zeit. Gema unserer Beobachtungen undder physikalischen Experimenten, bei der Anderung der Geschwindigkeit von Gegenstan-den treten immer zusatzliche Ereignisse auf. Zum Beispiel wenn wir beim Fahrradfahrenbleiben- um unseren Fahrrad zur schnelleren Fortbewegung zu bringen, mussen wir dasPedal

kraftiger treten. Beim Bremsen, um von dem Fahrrad nicht nach vorne zu flie-

gen, mussen wir am Lenkrad dagegen halten, wobei erhoht sich sogar die Temperatur desBremsklotzes. Diese Erscheinungen deuten uns die Wichtigkeit der Geschwindigkeitsan-derungen an. Deswegen wollen wir die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit des Mas-senpunktes quantitativ anfassen, wobei wir die Methode, die wir bei der Einfuhrung derGeschwindigkeit angewendet haben, folgen. Also betrachten wir einen Massenpunkt, derin einem Punkt (P) der Bahnkurve die Geschwindigkeit von v (t) hat. Wir konnen furdie nachste ti Zeitintervalle die Geschwindigkeitsanderungen definieren. Die Anderungder Geschwindigkeit ist:

vi = v(t+ ti) v(t).

21

Damit die mittlere Beschleunigung betragt:

aM.i =viti

.

Abb. 2.6: Zu der Definition der Beschleunigung

Gema der Abbildung 2.6, kann die ti Reihe der Zeitintervalle so aufgenommenwerden, dass die Groe der Glieder mit der Erhohung von i verschwindet. Dadurch wirddie Reihe der mittleren Beschleunigungen an einem Grenzwert nahern, die dann als dieDefinition fur die momentane Beschleunigung dient:

a = limt0

aM = limt0vt =

dvdt.

Die Beschleunigung ist gleich die 1. Ableitung der Geschwindigkeit und gleich die 2.Ableitung der Ortsvektor-Funktion:

a (t) = dv (t)dt

=d(dr(t)dt

)dt

= d2r (t)dt2

.

Die Maeinheit der Beschleunigung ist: 1ms2 . Die Beschleunigung kann mit den kartesi-

schen Koordinaten aufgeschrieben werden. Dazu schreiben wir die Geschwindigkeit in tund t+ t mit der Hilfe der Koordinaten auf:

v(t) = ex vx(t) + ey vy(t) + ez vz(t),v(t+ t) = ex vx(t+ t) + ey vy(t+ t) + ez vz(t+ t).

Die Anderung der Geschwindigkeit erhalten wir durch Subtraktion der Koordinaten:

v(t) = v(t+ t) v(t) =

22

= ex [vx(t+ t) vx(t)] + ey [vy(t+ t) vy(t)] + ez [vz(t+ t) vz(t)] .Bilden wir die momentane Beschleunigung und merken wir, dass die Bestimmung desGrenzwertes unabhangig von den Einheitsvektoren, jeweils auf die Skalarkomponentendurchgefuhrt werden kann:

a(t) = limt0

v(t)t = limt0

v(t+ t) v(t)t =

= ex limt0[vx(t+ t) vx(t)]

t +ey limt0[vy(t+ t) vy(t)]

t +ez limt0[vz(t+ t) vz(t)]

t

a(t) = ex dvx(t)dt

+ ey dvy(t)dt

+ ez dvz(t)dt

.

Die kartesischen Koordinaten der Beschleunigung sind die 1. Ableitung der kartesischenKoordinaten der Geschwindigkeit:

a(t) = ex d(dxdt

)dt

+ ey d(dydt

)dt

+ ez d(dzdt

)dt

,

oder

a = ex d2x

dt2+ ey d

2y

dt2+ ez d

2z

dt2.

Wir haben erhalten, dass die Koordinaten der Geschwindigkeit die zweite Ableitungender Koordinaten der Ortsvektor-Funktion sind. Die Groe der Beschleunigung kann danndurch das Pythagorasschen Gesetz bestimmt werden:

a(t) =a2x (t) + a2y (t) + a2z (t) =

(dvx(t)dt

)2+(dvy(t)dt

)2+(dvz(t)dt

)2

=

(d2x(t)dt2

)2+(d2y(t)dt2

)2+(d2z(t)dt2

)2.

Bei der Einfuhrung der Momentangeschwindigkeit fur krummlinigen Bewegungen habenwir festgestellt, dass ihre Wirkungslinie genau an der Tangente der Bahnkurve liegt. Sogenau konnen wir die Richtung der Beschleunigung nicht angeben. Eins ist sicher, dasich die Geschwindigkeit in Richtung der Krummung andert, zeigt die Beschleunigungimmer zur konkaven Seite der Kurve.

2.4.1 Die Bahnkomponenten der Beschleunigung

Wir konnen die Beschleunigung in eine tangentiale Komponente aT und in eine normaleKomponente aN zerlegen (siehe Abb. 2.7).

23

Abb. 2.7: Die Definition und die Groen der Tangentialbeschleunigung und der Normal-(Zentripetal-)Beschleunigung

Die tangentiale Komponente, die parallel zu der Tangente der Bahnkurve liegt, istTangentialbeschleunigung genannt. Die parallel zu der Normalen der Tangente verlau-fende Komponente ist die Normal oder Zentripetalbeschleunigung. Die Anderung imBetrag der Geschwindigkeit steht in Beziehung mit der Tangentialbeschleunigung. DieRichtungsanderungen manifestieren sich in der Normalbeschleunigung. Ihre Groen sind:

aT =dv

dtund aN =

v2

R,

wobei R der Radius der Bahnkrummung ist. In den folgenden werden wir diese Zu-sammenhange beweisen.

2.4.2 Die Bestimmung der tangentialen und der normalen Kom-ponenten der Beschleunigung

Gema der Abbildung 2.8, nehmen wir die Tangente (T) der Bahnkurve bei der PositionP des Massenpunktes an. Nehmen wir an, dass diese Position durch den Massenpunktim Zeitpunkt t angenommen worden ist. Der Ortsvektor von P ist also r (t), wobei dieGeschwindigkeit v (t) dann auf der Tangente liegt und die Beschleunigung zur konkavenSeite der Bahnkurve zeigt. Nach einem t Zeitintervall wird die Position von dem Mas-senpunkt r (t+ t) sein, wobei ihre Geschwindigkeit sich auf v (t+ t) geandert hat.Der Winkel zwischen v (t+ t) und v (t) ist .

24

Abb. 2.8: Die Bestimmung von v. Dazu soll v (t+ t) in Punkt P verschoben werden.

Die Anderung der Geschwindigkeit v konnen wir nach Verschiebung von v (t+ t)in P und durch Subtraktion der Vektoren erhalten:

v = v (t+ t) v (t) .Durch die Verkurzungen v = v (t+ t) und v = v (t) erhalten wir fur die Groen dieserVektoren:

|v (t+ t)| = v, |v (t)| = v.Gema der Abbildung 2.9 konnen wir die Bahnkomponenten von v mit Hilfe von v, vund ausdrucken:

vT = v cos () v vN = v sin () .

Abb. 2.9: Zu der Bestimmung der Bahnkomponenten der Beschleunigung

Nach Division mit t, erhalten wir die mittlere Werte der tangentialen und dernormalen Komponenten der Beschleunigung:

vTt =

v cos vt

vNt =

v sin t

25

Durch Bestimmung des Grenzwertes bei der Annahme, dass t zu Null strebt, erhaltenwir die Tangentialbeschleunigung und die Normalbeschleunigung:

aT = limt0vtt = limt0

v cos vt , aN = v limt0

t .

Von der Annahme t 0 konnen wir die nachsten Folgen abziehen:

tto0

sin to0vtov

cos to1

Damit ist die Tangentialbeschleunigung:

aT =dv

dt.

Durch Anwendung der obigen Folgen erhalten wir fur die Normalbeschleunigung:

aN = v limt0t .

Abb. 2.10: Durch die Bildung des Grenzwertes mit t 0 wird der Beruhrungskreisvon der Bahnkurve immer weniger abweichen und damit der Winkel zwischen KP undKQ wird immer genauer sein.

Gema der Abbildung 2.10 fuhren die Bedingungen t 0 und 0 dazu, dassdie Ebene, die durch v und v aufgespannt ist, sich immer mehr zu der Ebene des Beruh-rungskreises nahert und die Spitze von r (t+ t), die Gleichzeitig der Wirkungspunkt

26

des Geschwindigkeitsvektors v (t+ t) ist, sich immer mehr an die Linie des Beruhrungs-kreises anpasst.Das heit aber auch, dass der Winkel zwischen den Linien, die wir vondem Mittelpunkt des Kreises zu den Wirkungspunkten von v und v ziehen konnen (KPund KQ), sich immer besser an ernahert. Letztendlich bei sehr kleinen t Werte(sehr kleine Werte) laufen die Bahnkurve und die Kreisbahn sehr nahe. Der Weg,der in t hinterlassen wurde (die Strecke auf der Bahnkurve zwischen den Spitzen vonr (t) und r (t+ t), kann durch den Bogen, der unter von dem Kreismittelpunkt zusehen ist, ersetzt werden:

s = R .

Daher erhalten wir: = sR.

Durch das Einsetzen dieser Gleichung in den vorigen Ausdruck fur die Normalbe-schleunigung, erhalten wir:

aN = v limt01R st = v

(1R dsdt

)= v

(v

R

)= v

2

R.

2.5 Bestimmung der Geschwindigkeit und der Posi-

tion des Massenpunktes von der Beschleunigung

Dadurch, dass wir die Geschwindigkeit und die Beschleunigung als 1. und 2. Ableitungender Ortsvektor-Funktion definiert haben, lasst sich die Frage auch umgekehrt stellen:Wie bestimmt man die Geschwindigkeit und den Ortsvektor, wenn die Beschleuni-gungsfunktion bekannt ist. Gelernte Mathematiker konnen sofort sagen:

durch Inte-

gralrechnung. Jedoch in der Physik mussen wir einige Fragen, zum Beispiel die Rolleder Anfangsbedingungen klarstellen. Deswegen werden wir diese Frage fur einige spezielleBewegungsvorgange auch konkret beantworten.

2.5.1 Lineare Bewegungen

Wir werden in den Folgenden die wichtigste Spezialfalle der linearen Bewegungen zusam-menfassen, namlich

gleichformige Bewegung;

gleichformig beschleunigte, lineare Bewegung;

lineare Bewegung mit zeitlich andernden Beschleunigung.

Eine weitere wichtige lineare Bewegung ist die harmonische Schwingung, die wir spa-ter im Abs. 2.7. ausfuhrlich behandeln werden.

27

2.5.1.1 Gleichformige Bewegung

In diesem Fall ist die Beschleunigung 0. Die Geschwindigkeit ist konstant (v0).

Abb. 2.11: Die Zeitabhangigkeit der Geschwindigkeit fur die gleichformige Bewegung

Die Strecke, die nach t = t1 t0 hinterlassen wurde ist: s = v0 t = v0 (t1 t0).Das ist die Flache unterhalb der Kurve zwischen t0 und t1 = t0+t. Daher ist es klar, dasswir durch die Bildung der Stammfunktion nur die Positionsanderung (s) auf der Linieerhalten konnen. Um die genaue Position nach t = t1 t0 zu bestimmen, brauchen wireine Position, wohin wir die s Strecke auf der Linie legen sollen. Am einfachsten ist es,die Position des Massenpunktes am Anfang der Strecke anzugeben (Anfangsbedingung):

s (t0) = s0.

Damit kann die Position des Massenpunktes eindeutig festgestellt werden:

s (t) = s0 + v0 t.In den Weiteren werden wir diesen Ausdruck als magebender Regel anwenden.

2.5.1.2 Lineare Bewegung mit konstanter Beschleunigung

In diesem Fall ist die Beschleunigung: a0. Die Geschwindigkeit in t0 ist v0 und die Positionin t0 ist x0. Also mussen wir zwei Anfangsbedingungen angeben:

a0, v0 = v (t0) , x0 = x (t0) .

Die Geschwindigkeit ist dann durch das Riemannsche Integral der Beschleunigung unterder Beachtung der ersten Anfangsbedingung (v0) zu erhalten:

v (t) = v0 +t

t0

a0 dt = v0 + [a0 t]tt0 = v0 + a0 t a0 t0 = v0 + a0 (t t0) .

28

Die Position erhalten wir durch Integration des, fur die Geschwindigkeit erhaltenen Aus-drucks:

x(t) = x0 +t

t0

v (t) dt = x0 +t

t0

[v0 + a0 (t t0)] dt =

= x0 +t

t0

v0 dt+t

t0

a0 (t t0) dt =

= x0 + [v0 t]tt0 +t

t0

a0 t dtt

t0

a0 t0 dt =

= x0 + [v0 t]tt0 +[12 a0t

2]tt0 [a0 t0 t]tt0 =

= x0 + v0 t v0 t0 + 12 a0 t2 12 a0 t

20 a0 t0 t+ a0 t20 =

= x0 + v0 t v0 t0 + 12 a0 t2 a0 t0 t+ 12 a0 t

20.

Nach kleiner Umformung:

x (t) = x0 + v0 (t t0) + 12 a0 (t t0)2 .

2.5.1.3 Lineare Bewegung mit einer zeitabhangigen Beschleunigung

Schreiben wir noch die Formeln auf, die wir fur eine lineare Bewegung mit einer allge-meinen a (t) Funktion erhalten konnen! Gegeben sind also:

a (t) , v0 = v (t0) , x0 = x (t0), gefragt ist x (t).Fur die Geschwindigkeit: v (t) = v0 +

tt0a (t) dt.

Fur die Position: x(t) = x0 +tt0v (t) dt.

Schreiben wir den vorigen Ausdruck fur die Geschwindigkeit ein:

x(t) = x0 +t

t0

v0 + tt0

a (t) dt dt.

Fuhren wir die Integration fur die konstante v0 durch:

x(t) = x0 + v0 (t t0) +t

t0

tt0

a (t) dt dt.

Um das genauen Endergebnis erhalten zu konnen, brauchen wir die konkrete Funktionvon a (t).

29

2.5.2 Krummlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigungvon a0

Hier mussen wir die Anfangsbedingungen als Vektoren angeben: v0 = v (t0) und r0 =r (t0). Die Ableitung der Formel ist vollkommen gleich mit der vorigen Ableitung, die wirfur die lineare Bewegung mit konstanter Beschleunigung erhalten haben, nur statt a a0, statt v v0 und statt x0 r0 soll geschrieben werden. Also fur die Geschwindigkeiterhalten wir:

v (t) = v0 +t

t0

a0 dt = v0 + [a0 t]tt0 = v0 + a0 t a0 t0 = v0 + a0 (t t0) ,

und fur die Position:

r(t) = r0 +t

t0

v (t) dt = r0 +t

t0

[v0 + a0 (t t0)] dt =

= r0 +t

t0

v0 dt+t

t0

a0 (t t0) dt =

= r0 + [v0 t]tt0 +t

t0

a0 t dtt

t0

a0 t0 dt =

= r0 + [v0 t]tt0 +[12 a0 t

2]tt0 [a0 t0 t]tt0 =

= r0 + v0 t v0 t0 + 12 a0 t2 12 a0 t

20 a0 t0 t+ a0 t20 =

= r0 + v0 t v0 t0 + 12 a0 t2 a0 t0 t+ 12 a0 t

20.

Die Ortvektorfunktion ist also:

r (t) = r0 + v0 (t t0) + 12 a0 (t t0)2 .

Diese Bahnkurve ist ein Parabel (siehe Abb. 2.12).

Abb. 2.12: Die Bewegung ist in der Ebene, die durch die Vektoren v0 und a0 aufgespaltetist. Die Kurve ist ein Parabel.

30

Bei konkreten Fallen muss man durch Komponentenzerlegung arbeiten. Dafur ist einBeispiel der Schragwurf.

Beispiel: Schragwurf im Schwerkraftfeld

Nehmen wir an, dass ein Korper (Massenpunkt) unter dem Neigungswinkel von relativzu der Horizontalebene mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v0 weggeworfen wurde(siehe Abb. 2.13). Bestimmen wir die Hohe (H) und die Reichweite (R)!

Abb. 2.13: Zum Schragwurf

Setzen wir den Ursprung des Koordinatensystems zu dem Punkt, wo der Korperweggeworfen wurde. Die Bewegung wird in der senkrechten Ebene, die durch g und v0bestimmt ist, ablaufen. Waagerecht bewegt sich der Massenpunkt gleichformig, senkrechtbefindet sich im Schwerefeld mit der konstanten Beschleunigung von g .

Zerlegen wir die Anfangsgeschwindigkeit (v0) in waagerechten (x) und senkrechten(y) Komponente! Damit:

v0,x = v0 cosundv0,y = v0 sin.

Senkrecht wird sich der Massenpunkt solange heben, bis die Anfangsgeschwindigkeitdurch das freies Fallen kompensiert wird: v0,y gt = 0. Daher:

t = v0 sing

.

Die Hohe ist der Weg, der senkrecht in diesem t Zeitintervall hinterlassen wurde:

H = v0,y t 12g t2.

Setzen wir t und v0,y ein:

H = v0 sin v0 sing

12g v20 sin2

g2= v

20 sin2

2g .

31

In diesem t Zeitintervall bewegt sich der Massenpunkt waagerecht mit der konstantenGeschwindigkeit von v0,x, und erreicht die Halfte der Reichweite, weil die Bewegungspiegelsymmetrisch auf die Achse ist, die uber den Hohepunkt senkrecht zu dem Bodenaufgenommen werden kann.

Also R2 = v0,x t.Setzen wir v0,x und t ein:

R = 2 v0 cos v0 sing

=

R = v0 sin 2g

.

Der Horizontalwurf ist der Spezialfall von dem Schragwurf mit v0,y = 0. Also in diesemFall die Anfangsposition ist gleichzeitig der Hohepunkt.

2.6 Kreisbewegungen, Winkelgeschwindigkeit, Win-

kelbeschleunigung

Falls das Koordinatensystem - gema der Abbildung 2.14 - aufgenommen wurde, kanndie Bahnkurve einer Kreisbewegung wie folgt aufgeschrieben werden:

r(t) = R [ex cos (t) + ey sin (t)]

Abb. 2.14: Die Kreisbewegung kann mit dem konstanten Radius und mit der zeitabhan-gigen Winkelposition eindeutig charakterisiert werden

32

Das heit, dass wir nur eine zeitabhangige physikalische Groe (Winkelposition) furdie Beschreibung brauchen. Bilden wir die mittlere Geschwindigkeiten gema der Defi-nition: vM = rt =

r(t+t)r(t)t .

Bei der Bildung des Grenzwertes v (t) konnen wir feststellen, dass |r| = |r (t+ t) r (t)| s = R immer mehr erfullt wird. Das heit, dass wir den Absolutenwert der Ver-schiebung immer besser durch die Bogen(Weg-)lange ernahern konnen. Deswegen kanndie Groe der Momentangeschwindigkeit als:

|v (t)| = limt0

st == limt0R

t = R

t = R .

aufgeschrieben werden. Die ist die Winkelgeschwindigkeit, ihre Einheit ist [] = rads

.Die Geschwindigkeit ist dann:

v (t) = R eT ,

wobei der eT Einheitsvektor in Richtung der Kreisbewegung an der Tangente zeigt. Wennwir bei der Bildung der Beschleunigung auch die Konstanz des Radius in Acht nehmen,erhalten wir:

|a| = R ddt

= R .Die Groe ist die Winkelbeschleunigung.

a = eT R

Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist[

1s2

]2.6.1 Die vektorielle Definition der Winkelgeschwindigkeit und

der Winkelbeschleunigung.

Die Winkelgeschwindigkeit kann als Vektorgroe definiert werden, deren Richtung gemader Rechten Hand Regel, senkrecht zu der Ebene der Kreisbewegung zeigt.

33

Abb. 2.15: Zu einer Kreisbewegung kann ein Winkelgeschwindigkeitsvektor, der senkrechtzu der Ebene aufwarts (wenn gegen dem Uhrzeigersinn lauft) zeigt, zugeordnet werden(Rechte Hand Regel).

Das heit, wenn unser rechter Daumen in die Richtung der Winkelgeschwindigkeitzeigt, dann bewegt sich der Massenpunkt gegen dem Uhrzeigersinn, parallel mit derRichtung der anderen Fingerspitzen unserer rechten Hand (siehe Abb. 2.15).

Wir konnen eine andere Definition (siehe Abb. 2.16)fur den Vektor der Winkelge-schwindigkeit angeben mit Hilfe des radialen Einheitsvektors. Auf dem Einheitskreiskonnen wir zu dem Ortsvektor r (t) den Einheitsvektor er (t) dazuordnen. ahnlich zumr (t+ t) konnen wir den Einheitsvektor er (t+ t) aufschreiben. Der Winkel zwischener (t) und er (t+ t) ist dann . Betrachten wir den Vektor, der sich bei der Berech-nung des folgenden Grenzwertes bildet: er = limt0

ert .

Von der Abbildung ist es klar zu sehen, dass mit t 0 der er immer mehr an dieTangente sich nahern wird, daher ist erer. Anderseits fur die Groe des er konnen wirfolgendes sagen:

|er| = limt0|er|

t = limt0st = 1 limt0

t = || .

34

Abb. 2.16: Zu der Definition von = er er

Bilden wir jetzt er er. Da die Vektoren senkrecht sind, ist fur den absoluten Wertgultig:

|er er| = 1 sin 90 = ,und fur die Richtung ergibt sich die aufwarts zu der Ebene zeigende senkrechte, also, dievon . Daher ist die vektorielle Definition der Winkelgeschwindigkeit:

= er er.

Durch diese Definition konnen wir auch eine vektorielle Darstellung fur die Winkel-beschleunigung angeben:

= = er er + er er = er er.

35

2.6.2 Die Bestimmung von v und a mit Hilfe von , und r

Abb. 2.17: Fur den Beweis von v = r

Falls man den Ursprung auf der Wirkungslinie von aufnimmt, ist die Geschwindigkeitder Kreisbewegung eines Massenpunktes um der Achse immer

v = r,weil die Groe |v| = || |r| sin = R ist, wobei die Richtung die Tangente ist. (RechteHand Regel)

Spezialfall: gleichformige Kreisbewegung

In diesem Fall ist = 0 konstant, und ist 0. Durch den vorigen Zusammenhang(v = r), erhalten wir fur die Groe der Geschwindigkeit: |v| = |0 r| = |0| R =v0, welche auch konstant ist:

v0 = 0 R.Jedoch andert sich die Richtung der Geschwindigkeit dauernd.

Fur die Beschleunigung erhalten wir:

a = d (0 r)dt

= 0 drdt

= 0 v,a = 0 (0 r)

Bei der gleichformigen Kreisbewegung zeigt die Beschleunigung radial nach innen, immersenkrecht zu der Geschwindigkeit. Daher ergeben sich fur die tangentielle und die normaleKomponenten der Beschleunigung:

aT = 0 und aN =v20R

= 20R.

36

Im Fall von einer gleichformigen Kreisbewegung sind die Umlaufzeiten (T) gleich. DiePosition und die Winkelposition des Massenpunktes ist also mit T periodisch.

r (t+ T ) = r (t) und (t+ T ) = (T ) .

Deswegen kann die Umlaufzeit auch als Periode (P) genannt werden.

Mit der Einfuhrung der Drehzahl n (Umdrehungen in der Sekunde,[

1s

]) bekommen

wir:

n = 1T

= 1P

Die Beziehungen zwischen , T und n sind:

= 2piT

= 2pi n,

weil in der Umlaufzeit T genau 2pi Winkel hinterlassen wird. Die Winkelposition desMassenpunktes ist durch eine Anfangsbedingung bestimmt: (t) = 0 t+ 0.

Spezialfall: Kreisbewegung mit gleichformigen Winkelbeschleunigung

In diesem Fall ist = 0. Die Groe der Winkelgeschwindigkeit ist eine lineare Funk-tion der Zeit mit einer Anfangsbedingung 0 = (t = 0):

(t) = t+ 0.

Um die genaue Bestimmung der Position zu bekommen, brauchen wir noch eine An-fangsbedingung [0 = (t = 0)]:

(t) = 12t2 + 0 t+ 0

Die Drehzahl ist mit der Zeit linear proportional:

n (t) = 12pi (t) =1

2pi t,

und die Umlaufzeit ist auch Zeitabhangig: T (t) = 2pi(t) =

2pit .

Allgemeine Kreisbewegung

37

In diesem Fall ist die Winkelbeschleunigung eine Funktion der Zeit: (t). Fur dieWinkelgeschwindigkeit und Winkelposition erhalten wir

(t) =t

t0

(t) dt+ (t0)

und

(t) =t

t0

(t

t0

(t) dt)dt+ (t0) [t t0] + (t0) .

Die Geschwindigkeit ist: v (t) = (t) RDie Normalkomponente der Beschleunigung ist:

aN (t) = 2 (t) R,und die Tangentialkomponente der Beschleunigung ist:

aT (t) = (t) R.

2.7 Kinematik der harmonischen Schwingbewegung

Harmonisch ist eine lineare Bewegung, wenn die Funktion x (t) harmonisch ist, also z.B.:

x(t) = A cos ( t+ 0)wobei A - die Amplitude; - die Kreisfrequenz;0 - die Anfangsphase;x - der Ausschlag ist.Betrachten wir Abb. 2.18! Da ist eine gleichformige Kreisbewegung mit dem Radius

von R A dargestellt. Man kann sehen, dass die obige Definition der harmonischenSchwingung eigentlich die waagerechte Komponente der gleichformigen Kreisbewegungbeschreibt.

Sicherlich ist auch die andere Komponente harmonisch[y = R sin (t+ 0)], und imPrinzip ware es egal, welche Komponente wir als Definition wahlen.

Bilden wir die 1. und 2. Abbildung von x (t) und erhalten wir fur die Geschwindigkeit:

v(t) = dx (t)dt

= A sin ( t+ 0) ,

und fur die Beschleunigung:

a(t) = dv (t)dt

= A 2 cos ( t+ 0) .

38

In diesem Ausdruck konnen wir x (t) wiedererkennen, und damit erhalten wir die kine-matische Grundgleichung der harmonischen Bewegung:

a(t) = 2 x (t) .

39

Abb. 2.18: Die Projektion auf die X-Achse einer gleichformigen Kreisbewegung, die inder X-Y Ebene, um den Ursprung mit R A ablauft, ist eine Cosinus-Funktion, alsoeine harmonische Schwingbewegung. Die Beziehungen der harmonischen Schwingung zu

der gleichformigen Kreisbewegung sind: R A; vK = A ; azp = v2K

R= 2 A

40

Kapitel 3

Dynamik der Bewegung einesMassenpunktes

Wir haben bis jetzt die Bewegung eines Korpers (als Massenpunkt) beschrieben. Die ein-geleitete physikalische Groen (v, a, , usw.) dienen fur die eindeutige Charakterisierungder Bewegung des Teilchens. In den Weiteren werden wir die Ursachen der anderung desBewegungszustandes suchen. Zum Beispiel, warum ein frei fallende Korper auf der Erdedem quadratischen Weggesetz

(s = 12gt

2)

gehorcht, und warum die Groe der Gravi-

tationsbeschleunigung (g) mit dem Breitengrad sich andert, usw. Das Studium, das dieUrsachen des konkreten Ablaufes einer Bewegung sucht, ist die Dynamik.

3.1 Die Newtonsche Axiome, Krafte

Aus unserer Erfahrung wissen wir, dass die Bewegung eines Korpers die Folge einerWechselwirkung mit seiner Umgebung ist. Wechselwirkungen in der Physik sind mitden quantitativen Groen, die Krafte genannt sind, charakterisiert. Die Kraft ist zuerstdurch Newton definiert und eingeleitet worden. Newton hat diese Gesetze fur die Be-wegung eines Massenpunktes in einer Umgebung formuliert. In diesem Kapitel wollenwir diese Axiome kennenlernen. Dieses Modell (Massenpunkt und Umgebung), kann beider Beschreibung der Bewegungen in zusammengesetzten Teilchensystemen (z.B. starrerKorper, Gasmolekulen in einer Flasche) sehr effektiv angewendet werden und die New-tonsche Axiome dienen als Basis fur die Beschreibung aller Bewegungen in der Mechanikund in der Warmelehre.

3.1.1 Das Tragheitsgesetz (erstes Newtonsches Gesetz)

Ein Teilchen, das uberhaupt keine Wechselwirkung mit seiner Umgebung erfahrt, wirdfrei genannt. Ein freies Teilchen bewegt sich immer gleichformig, also mit konstanter

41

Geschwindigkeit. Das ist das Tragheitsgesetz, das eigentlich zuerst durch Galilei formu-liert wurde. Unmittelbar stellen sich zwei Fragen. Die erste Frage ware, ob ein solchesfreies Teilchen uberhaupt existiert oder nicht. Streng genommen existiert es nicht, dajedes Teilchen der Wechselwirkung mit anderen auf der Welt unterliegt. In vielen Fallenist diese Wechselwirkung so klein, dass sie vernachlassigbar ist. Zum Beispiel auf einerwaagerechten Luftkissenbahn bewegt sich das Schlitten gleichformig. Die zweite Fragebezieht sich auf das Beobachtungssystem, in dem die Geschwindigkeit des Teilchens kon-stant gemessen wurde. Dadurch dass die Geschwindigkeit relativ ist, und sich selbst derBeobachter bewegen kann (siehe Abs. 3.6.), mussen wir annehmen, dass der (und seinBezugssystem) selbst frei ist, sonst wurde er bei seinen Beobachtungen falsche Schluss-folgerungen ziehen. Zum Beispiel wenn wir in einem beschleunigten System die Ruhelageeines Teilchens wahrnehmen, dann muss es auch - genau wie unseres Beobachtungssys-tem - beschleunigt worden sein, also er ist ja auch nicht frei. Die freien Bezugssystemesind Inertialsysteme genannt.

In Inertialsysteme sind die Naturgesetze, so die Newtonsche Axiome, gultig. Wie wirdas in Abs. 3.7. zeigen werden, in Systemen die sich nicht gleichformig bewegen (also nichtfrei sind) treten zusatzliche,

scheinbare Krafte auf, die die sogenannte Tragheitskrafte

sind. Da die Erde sich rotiert und auf einer elliptischen Bahn bewegt konnen wir aufder Erdoberflache streng genommen gar keine Inertialsysteme definieren. In vielen Fallenkann der Effekt der Erdbewegung vernachlassigt werden, und die Bezugssysteme, die mitunseren irdischen Laboratorien verbunden sind, konnen als Inertialsysteme betrachtetwerden.

3.1.2 Impuls, Prinzip der Erhaltung des Impulses

Als Ma fur den Bewegungszustand eines Massenpunktes fuhren wir den Impuls ein:

p = m v

wobei

- m die Masse des Teilchens;

- v seine Geschwindigkeit ist.

Der Impuls ist also ein Vektor, mit der Maeinheit[p] = 1 kg m s1. Fur einfreies Teilchen ist p konstant (Formulierung des Tragheitsgesetzes mit dem Impuls). DasPrinzip der Erhaltung des Impulses hat zuerst Huygens ausgesagt, als er die elastischeStoe der Teilchen studiert hat (siehe Abb. 3.1).

42

Abb. 3.1: Impulserhaltung bei dem elastischen Sto zweier Teilchen. Die Summe derImpulsen vor dem Sto (a.) und nach dem Sto (b.) sind gleich.

Es hat sich spater doch gezeigt, dass das Prinzip der Erhaltung des Impulses eines dergrundlegenden und allgemeinen gultigen Prinzipien der Physik ist. In seiner allgemeinenForm lautet: Fur ein isoliertes Teilchensystem (die Teilchen erfahren nur gegenseitigeWechselwirkungen und keine von der Umgebung) ist der Gesamtimpuls konstant (sieheAbb. 3.2). Das Gesetz ist auch gultig, wenn die Zahl der mitwirkenden Teilchen sichvermehrt (z.B. Sprengung der Granate), oder sich reduziert (vollig unelastischer Sto).Das Impulserhaltungsgesetz ist fur mehrere Teilchen formuliert worden. Newton hat dasGesetz nicht in dieser Form in die Axiome der Mechanik aufgenommen, sondern hat dieAxiome fur ein Teilchen und die Umgebung aufgeschrieben.

43

Abb. 3.2: Prinzip der Erhaltung des Impulses.

3.1.3 Das zweite und dritte Newtonsche Gesetz, Kraftkonzept

Betrachten wir ein bewegendes Teilchen. Falls sein Impuls sich andert, dann konnenwir sicher sein, dass sich das Teilchen (siehe Abb. 3.3a.) unter der Wirkung einer Kraftbefindet. Newton hat die Kraft im zweiten Gesetz als die anderung des Impulses desTeilchens definiert:

F = dpdp.

Die Herkunft der Kraft ist egal. Die Ursachen der Kraft konnen Kontakte mit einemoder mehreren Teilchen oder auch Kraftfelder sein (siehe Abs. 3.2.). Das Gesetz ist oftAktionsprinzip (actio) genannt.

Bilden wir die Ableitung des Impulses:

F = dpdp

= d (mv)dt

= dmdt

v +mdvdt.

Fur den Fall, wenn m konstant ist, erhalten wir also

F = m a.Eine Bewegung mit veranderlicher Masse wird in Abs. 4.6.1. (Raketenbewegung) analy-siert. Die Maeinheit der Kraft ist: [F ] = 1 N = 1 kg m

s2 .Das dritte Newtonsche Gesetz beschrankt sich auf die Wechselwirkung von zwei Teil-

chen, und sagt das folgende aus:F1 = F2

ist. Das Gesetz ist das Reaktionsprinzip (reactio).Wir werden jetzt einsehen, dass das zweite und dritte Newtonsche Gesetz gemein-

sam die unmittelbare Folge der Erhaltung des Impulses fur zwei Teilchen sind. Andersformuliert sie sind gleichwertig damit. Nehmen wir namlich die zwei Teilchen in derAbbildung 3.3b.

44

Abb. 3.3: a.) Zu dem Aktionsprinzip (Newton II); b.) Zu dem Reaktionsprinzip (NewtonIII)

Die Erhaltung des Impulses fur die zwei Teilchen ist:

p1 (t) + p2 (t) = p1 (t+ t) + p2 (t+ t)

Nach Umsetzung der Impulsen der einzelnen Teilchen auf gleichen Seite der Gleichung :

[p2 (t+ t) p2 (t)] = p1 (t+ t) p1 (t)Dividieren wir mit t und dann bilden wir den Grenzwert bei t 0:

p2 (t+ t) p2 (t)t =p1 (t+ t) p1 (t)

t ,

limt0

p2 (t+ t) p2 (t)t = limt0

p1 (t+ t) p1 (t)t ,

und erhalten wir:

dp2 (t)dt

= dp1 (t)dt

.

Durch Anwendung von Newton I und II. erhalten wir

F1 = F2.

3.1.4 Das Prinzip der Unabhangigkeit (Superposition) der Kraf-te

Wie von dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt, die Kraft ist ein Vektor. Es kann abersein, dass in der Umgebung mehrere Teilchen oder Kraftfelder existieren, die zu der

45

anderung des Impulses beitragen konnen. Sicher ist es nur, dass ihre resultierende (FR)Wirkung die Ursache der Bewegungsanderung: dp

dt= FR ist.

Dass sich die Teilkrafte dann tatsachlich als Vektoren addieren lassen, ist eine Er-fahrungstatsache. Dieses Prinzip kann dann als zusatzliches Axiom neben die drei New-tonschen Axiome zugefuhrt werden. Mathematisch konnen wir das zweite NewtonscheGesetz zusammen mit dem Prinzip der Unabhangigkeit der Krafte durch die folgendeGleichung aufschreiben:

dpdt

= F1 + F2 + ...+ Fi =

Fi = FR

Nehmen wir ein Teilchen mit einer konstanten Masse und zwei Krafte (F1 und F2), vondenen immer nur eine auf das Teilchen wirkt! Die Beschleunigungen sind dann -gemaNII -

a1 =F1m

unda2 =F2m.

Dass die Beschleunigung:

a = F1m

+ F2m

= a1 + a2,

wenn die zwei Krafte gleichzeitig auf das Teilchen wirken, fur den Fall gultig ist, ist nichtdie direkte Folge der Addition der Gleichungen a1 = F1m und a2 =

F2m

, sondern die Folgedieses Superpositionsprinzips.

3.1.5 Trage und schwere Masse

Wir haben gesehen, dass die Korper (Massenpunkte) verharren in ihrem Bewegungszu-stand. Diese Eigenschaft ist genannt Tragheit. Die Ursache der anderung des Bewegungs-zustandes ist die Kraft. Im Fall von einem Korper, der konstante Masse besitzt, ist dieKraft mit der Masse proportional. Diese Masse kann also als der Grund der Tragheit an-gesehen werden. Von dem Gesichtspunkt des Impulses und von dem zweiten NewtonschenGesetz ist diese Masse eine trage Masse.

Auf der anderen Seite, als wir die Masse definiert haben (Kap. 1.), ein andererAspekt der Masse war der Grund der Messung. Es war das Gewicht in Folge der Gra-vitationsanziehung durch die Erde, deren Groe FG = m g ist. Man fand experi-mentell, dass g = 9, 81 m

s2 , also das Gewicht eines Korpers mit der Masse von 1 kgFG = 1 kg 9, 81 ms2 = 9, 81 N ist. Die Masse im Gewicht steht also nicht mit der Bewe-gungszustandsanderung des Korpers, sondern mit der Gravitationskraft (Abschnitt 3.6)im Zusammenhang. Daher ist diese Masse eigentlich eine

schwere Masse. Der Beweis

von der aquivalenz der trager und der schwerer Masse hat die Phantasie der Physiker jahr-hunderten lang bewegt. Durch die Experimente von Lorand Eotvos (1848-1919) konntegezeigt werden, dass die schwere und trage Masse eines Korpers innerhalb der relativen

46

Messgenauigkeit von 1010 ubereinstimmen. Einstein hat diese ubereinstimmung alsAusgangspunkt der allgemeinen Relativitatstheorie gewahlt. Da das aquivalenzprinzipsowohl experimental als auch theoretisch untermauert ist, unterscheidet man die schwereund trage Masse nicht mehr.

3.2 Kraftearten

Die Krafte der Natur konnen nur in Integralsystemen rein wahrgenommen werden. Iner-tialsysteme bewegen sich mit konstanten Geschwindigkeiten zueinander. In rotierten undbeschleunigten Koordinatensystemen treten scheinbare, sogenannte Tragheitskrafte auf,die wir in Abs. 3.7 untersuchen werden. Die Krafte konnen verschiedene Herkunft haben.Zum Beispiel mechanische, elektrische, atomare usw. Wir werden jetzt die mechanischenKrafte zusammenfassen.

3.2.1 Schwerkraft

Auf die frei fallende und die weggeworfene Korper auf der Erdoberflache wirkt uberall dieKraft: F = m g. Sie ist grundsatzlich der lokale Wert der allgemeinen Gravitationskraft(siehe Abs. 3.6.) in der Nahe der Erdoberflache. Dieser Wert ist durch die Erdrotationentstehende Zentrifugalkraft modifiziert, und hangt deswegen leicht von dem Breitengradab (siehe Abs 3.7.3). In Mitteluropa ist g etwa 9, 81 m

s2 gro.

Beispiel: Die Bewegung von zwei Korper, die zueinander durch ein Seil festgebunden sind. Betrachten wir 3.4, wo ein Gewicht (m1) uber eine Rolle ein andereKorper (m2) auf der waagerechte Ebene zieht. Bestimmen wir die Beschleunigung wenndie Reibung und die Masse der Rolle vernachlassigbar klein sind!

47

Abb. 3.4: Die Bewegung von Zwei Korper die durch ein Seil fest zueinander gebundensind.

In solchen Fallen lost man die Probleme so, dass man die Bewegungsgleichungen(N II.) der einzelnen Korper aufschreibt. Dabei soll man darauf achten, dass alle derwirkenden Krafte korrekt gefunden werden sollen. In diesem Fall ist wichtig, dass mandie Seilkraft(K), die durch das Seil von Korper 1 auf Korper 2 ubertragen wird, in beidenBewegungsgleichungen korrekt in Acht nimmt. Also auf Korper 1 wirken die Schwerkraftund die Seilkraft. Die Bewegungsgleichung ist also:

m1a1 = GK = m1g K

wobei a1 in Richtung von g (abwarts) zeigt. Auf den zweiten Korper wirkt einerseitssenkrecht die Schwerkraft, die aufgrund des Reaktionsprinzips (N III.) durch das Bodenmit einer N Gegenkraft kompensiert wird. Anderseits wirkt waagerecht die Seilkraft (K),die uber die freilaufende Rolle im Seil ubertragen wird. Daher bewegt sich der zweiteKorper mit einer a2 Beschleunigung waagerecht. Angenommen, dass das Seil sich nichtausdehnen kann, sind die Beschleunigungen gleich:

a1 = a2 = a.

Die Bewegungsgleichung von Korper 2 ist also:

m2a2 = K.

48

Durch die Anwendung der Gleichheit der Beschleunigungen erhalten wir ein Gleichungs-system bestehend aus 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten (a, K):

m1a = m1g K,m2a = K.

Das ist losbar, und erhalten wir:

a = m1gm1 +m2

undK = m1m2g

m1 +m2.

Diese Losungsmethode ist mit der Bewegungsgleichungen immer effektiv, wenn die Be-wegungen der Korper von einander separierbar betrachtet werden konnen. So soll diesesProblem gelost werden, wenn die Reibung (siehe Abs. 3.2.3.) nicht vernachlassigbar ist.Allerdings steigt dann die Zahl der auf den zweiten Korper wirkenden Krafte auf zwei,namlich bremst die Reibung von Korper 2 zusatzlich. ahnlich gehen wir fort, wenn dieMasse der Rolle nicht vernachlassigbar ist. In diesem Fall steigt die Zahl der Bewegungs-gleichungen, man muss namlich die Rotationsbewegung der Rolle durch ein Drehimpuls-gesetz (siehe Kap. 5) auch aufschreiben.

3.2.2 Die Gravitationskraft

Das allgemeine Gravitationsgesetz von Newton (1687) formuliert die Kraft aus, die durchdie Massenanziehung entsteht:

F21 = m1m2r212r12|r12| ,

wobei

- F21 - die Kraft, die durch Korper 1 auf Korper zwei wirkt, ist;

- r12 = r2r1 der Vektor ist, der von Korper 1, zum Korper 2 gezogen werden kann,daher ist |r12| die Entfernung der Korper;

- m1 und m2 die Massen der wechselwirkenden Korper sind;

- r12|r12| der Einheitsvektor ist, der von Korper 1 in Richtung Korper 2 zeigt, undgemeinsam mit dem Minus Vorzeichen druckt die Tatsache aus, dass die Gravita-tionskraft immer anziehend ist;

- die Gravitationskonstante: = 6, 67 1011 [N m2 kg2] ist. Bis heute laufenin mehreren Laboratorien der Welt solche Forschungsarbeiten, die diese Naturkon-stante besser bestimmen zu konnen.

49

Wegen der besonderen Wichtigkeit der Gravitation in der Physik, werden wir einganzes Kapitel (3.6.) fur sie widmen.

3.2.3 Reibungskrafte

Gleitreibung und HaftreibungLassen wir eine Streichholzschachtel oder ein Buch auf einer Tischoberflache losrut-

schen. Sie werden immer langsamer und schlielich bleiben sie stehen. Der Impulsverlustzeigt, dass eine Kraft die Bewegung bremst. Diese, gegen die Bewegung wirkende Kraftist die Gleitreibung. Sie liegt vor, wenn zwei Korper relativ zueinander in Bewegungsind, und dabei zwischen den Korper ein mechanischer Kontakt auch vorhanden ist. Eshat sich gezeigt, dass die Gleitreibung gema Abb. 3.5a. in den meisten praktischenFallen mit der Druckkraft, die auf die Kontaktflache normal auftretet(N), proportionalist.

Abb. 3.5: a: Die Gleitreibung (S) wirkt entgegen der relativen Bewegung der Korper,und ist mit der Normalkraft proportional: |F | = K |N |b: Haftreibung: solange, bis die Ziehkraft (F) kleiner ist als SN , der Korper bleibtstehen und die Haftreibung (H) kompensiert die Ziehkraft: H=-F.

In Gleichung:|S| = K |N | ,

wobei

- S - die Reibungskraft ist;

- N - die Normalkraft auf der Rutschflache ist;

- K - der Gleitreibungskoeffizient oder kinetische (K im Index) Reibungskoeffizientist.

50

Da sich die Erscheinung der Reibung korrekt nur mit den molekularen Kraften erkla-ren lasst, beschreibt dieser makroskopische Koeffizient nur grob die Reibung. Sie hangtursprunglich von den kontaktierenden Materialien, von der Oberflachenrauhigkeit, undvon dem Zustand der Oberflache (nass, trocken) ab.

Nehmen wir gema Abb. 3.5a. an, dass eine F Kraft auf den Korper der Masse mwirkt, wobei der kinetische Reibungskoeffizient ist K . In diesem Fall ist: N = m g.Daher konnen wir fur die Reibung: |S| = K m g schreiben. Dadurch, dass diese immergegen der Bewegungsrichtung zeigt, ist die Bewegungsgleichung: ma = F K m g.Fur eine mit a gleichmaig beschleunigte Bewegung auf eine waagerechte Oberflache,brauchen wir also die Kraft von:

F = m (a+ K g) .

Falls man einen stehenden Korper (siehe 3.5.b), der sich mit einem anderen Korper aneiner Flache im Kontakt befindet, relativ zu diesem Korper entlang der Kontaktflache inBewegung bringt, muss man mit einer Kraft (F) entlang der Flache wirken, deren Groemindestens:

|F| > |Hmax| = S |N|ist, wobei

- Hmax die Haftreibung ist;

- N die Kraft ist, die auf die Kontaktoberflache normal wirkt;

- S der statische (S im Index) Reibungskoeffizient ist.

Solange die |F| kleiner oder gleich als |Fmax| ist, bleibt der Korper stehen und dieHaftreibung betragt (siehe 3.5b).

mathbfH = F.

Man fand fur die bisher getesteten Materialpaaren, dass S allgemein groer als K ist.(siehe Tab. 3.1.). Die Experimente zeigen, dass die Reibung von der Groe der kontak-tierenden Oberflachen nicht abhangt.

Die Zahlen in der Tabelle sind Mittelwerte und konnen nur orientierend betrachtetwerden.

Beispiel : Messung der Koeffizienten der Reibung mit Hilfe einer Neigungsebene mitverstellbaren Neigungswinkel

Setzen wir einen Steinblock auf die verstellbare Neigungsebene und erhohen wir denNeigungswinkel. Beweisen wir, dass

a.) bei dem Winkel von S, wenn der Korper anfangt zu rutschen S = tgS gultigist;

51

Tabelle 3.1: Die kinetische und die statische Reibungskoeffizienten fur manche Material-paaren (trockene Oberflache):

Material K SAluminium/Stahl 0,47 0,61Stahl/ Stahl (weich) 0,57 0,74Blei/ Stahl 0,95 0,95Kupfer/ Stahl 0,36 0,53Nickel/ Nickel 0,53 1,1Glass/Glass 0,94 0,4Teflon/Teflon 0,04 0,04

b.) bei dem Winkel von K, wenn der Korper sich mit konstanten Geschwindigkeit aufder Ebene bewegt, K = tgK wahr ist.

Abb. 3.6: a. Solange < S, bewegt sich der Korper nicht, und |H| = GT = mg sin .b. Wenn der Korper sich mit konstanten Geschwindigkeit auf der Ebene abwarts bewegt,ist die Summe der Krafte 0, also |S| = GT = mg sin K .

Um das Problem zu losen, zerlegen wir das Gewicht in tangentiellen und normalenKomponenten (siehe Abb. 3.6):

GT = mg sin , GN = mg cos

52

GT zeigt abwarts, entlang der geneigten Ebene, und zwingt den Korper zum Rutschen.GN ist durch die Druckkraft N von der Ebene (N III) kompensiert. Durch die Erhohungder Neigung wird GT immer groer. Durch die Erhohung von wird GN und damit Nimmer kleiner.

Fall a.) Solange bis der Korper steht (mg sin Smg cos ), die Groe von H istgleich mg sin , und zeigt nach oben. Als die Kraft den kritischen Wert der Haftreibungvon:|H| = S mg cos erreicht, fangt der Korper an abwarts zu rutschen. Die Bedingung

fur diesen Schwellenwert von = S ist also : mg sin S Smg cos S = 0Daher:

S =sin Scos S

= tgS,

wie in der Fragestellung war (QED).Fall b.) Nehmen wir an, dass der Korper schon sich bewegt, gema der Abb. 3.6b, mit

konstanter Geschwindigkeit. GT beschleunigt die Bewegung nach unten, S halt dagegen.Die entsprechende Bewegungsgleichung ist:

m a = mg sin K mg cos .

Bei K ist a = 0, daher:

0 = mg sin K K mg cos K .

Schlielich erhalten wir:

K =sin Kcos K

= tgK ,

wie in der Frage gestellt war (QED).Bemerkung:Um das Experiment

b richtig durchzufuhren, braucht man eine relativ lange Ebene.

Zuerst wird namlich S erreicht, nur dann konnen wir den Winkel der Neigung reduzierenund letztendlich die konstante Geschwindigkeit einstellen.

Reibung in FlussigkeitenFalls ein Korper sich mit relativ kleiner Geschwindigkeit durch eine Flussigkeit be-

wegt, kann man annehmen, dass die auftretende Reibungskraft ist proportional mit derGeschwindigkeit:

FS = K v,wobei

- die Viskositat ist, ihre Einheit ist: [] = Pa s = kgms .

- K von der Gestalt des Korpers abhangt, fur Kugel K = 6 pi r betragt;

53

- und v die Geschwindigkeit ist.

Dieses Gesetz ist das Stokesche Gesetz.Beispiel: Bestimmen wir die Grenzgeschwindigkeit einer Stahlkugel

(STAHL = 7, 9 103 kgm3

)mit einem Radius von 2mm, die durch Glycerin (Glycerin = 1, 3 103 kgm3 , Glycerin =8.33 101 Pas) fallt!

Abb. 3.7: Auf die fallende Kugel im Flussigkeit wirken drei Krafte: der Gewicht, dieAuftriebskraft und die Reibungskraft. Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Summe derKrafte: 0

Auf den fallenden Korper wirken die folgende Krafte (siehe Abb. 3.7):

- Schwerkraft - abwarts: Fg = mKg, wobei: mK = V = 4/3 pi r3 K , und Kdie Dichte der Kugel ist;

- Auftriebskraft (aufwarts): FA = mF g, wobei: mF = F V = 4/3 pi r3 F , undF die Dichte der Flussigkeit ist;

- Reibungskraft (aufwarts): FS = 6pirv wobei r der Radius der Kugel ist;

- die Viskositat von der Flussigkeit (Glycerin) ist;

- v die unbekannte Geschwindigkeit ist.

Gema Abb. 3.7 ist bei der konstanten Grenzgeschwindigkeit die Summe der wirken-den Krafte 0, und daher:

FG FA FS = 0.Setzen wir die Krafte in die Gleichung ein, damit:

43pi r

3 (K F ) g 6pirv = 0.

54

Die Kugel ist aus Stahl, deswegen K = STAHL, die Flussigkeit ist Glycerin, daherF = Glycerin = G und = G = 1.8x101 Pas,und damit: v = 2(STAHLG)9G r

2 g.Mit Zahlen: v=7 cm/s.

3.3 Elastische Kraft (Federkraft)

Innerhalb der Elastizitatsgrenze des Materials sind Kraft und Deformierung proportional(Hooksches Gesetz). In diesem Gultigkeitsbereich tretet in einer waagerecht liegendenSpiralfeder, die aus der Ruhelage um x ausgelenkt wurde, eine Ruckziehkraft auf, derenGroe:

F = Dx exist. Das ist die elastische Kraft oder Federkraft, wobei -D ist die Feder -oder Ruckstell-konstante der Feder, deren Einheit [D] = N m ist.

Betrachten wir das Problem, wenn ein Korper der Masse m auf der waagerecht lie-genden Feder angebunden ist. Bestimmen wir die Bewegung des Korpers nach der Aus-lenkung!

Nehmen wir an, dass die waagerechte Richtung ist X-Achse die und die Ruhepositionder Feder im Ursprung liegt. Die Auslenkung in einer t Zeitpunkt ist x (t) ex. Schreibenwir das Bewegungsgesetz (N II) auf:

m d2x (t)dt2

ex = Dx (t) ex.

Die Bewegung ist linear und kann durch die x(t) skalare Funktion abgeschrieben werden:

m d2x (t)dt2

= Dx (t) ,

d2x (t)dt2

= Dmx (t) .

Vergleichen wir dieses Gesetz mit dem Ausdruck, den wir fur die Beschleunigung vonder harmonischen Schwingung erhalten haben (siehe Abs. 2.7.). Mit 2 = D

msind die

Gleichungen vollkommen identisch. Die Bewegung des Massenpunktes auf der Feder ist

mit einer Kreisfrequenz von: =

Dm

harmonisch.Fur die Frequenz und fur die Periode erhalten wir:

f = 1T

= 12 pi D

mund T = 2 pi

= 2 pi

m

D.

55

Die Bewegung ist also eine harmonische Schwingbewegung:

x (t) = A cos ( t+ 0) = A cosD

m t+ 0

.Es stellt sich die Frage, wie wir A und 0 bestimmen konnen. Dazu brauchen wir zweiAnfangsbedingungen x (t = 0) und v (t = 0) . Mit Worten: von welcher Auslenkungspo-sition und mit welcher Geschwindigkeit wurde der Korper losgelassen. Nehmen wir an,dass die Anfangsbedingungen:

x (t = 0) = x0, v (t = 0) = v0 sind,

und bestimmen wir die Amplitude und die Anfangsphase!Der Ausschlag und die Geschwindigkeit konnen gema Abs. 2.7. aufgeschrieben wer-

den:

x = A cos ( t+ 0) , v = dxdt

= A sin ( t+ 0) .Setzen wir die obige Anfangsbedingungen x0 und v0 ein:

x0 = A cos0, v0 = A sin0.Dividieren wir die Gleichung fur v0 durch :

v0

= A sin0.Bilden wir jetzt den Quadrat der Gleichungen fur x0 und v0 und addieren wir sie:

x20 +v202

= A2 (sin2 0 + cos2 0

)= A2.

Daher erhalten wir fur die Amplitude:

A =x20 +

v202.

Fur die Bestimmung der Anfangsphase dividieren wir die Gleichungen fur v0 und x0:

v0x0

= sin0cos0 = tg0

Fur die Anfangsphase ist:

tg0 = v0x0 .

Die komplette Schwingung mit einer Gleichung:

x (t) =x20 +

v20Dm cos

Dmt+ arc tg

[v0

m

x0 D

] .56

3.4 Der Drehimpuls und das Drehmoment

3.4.1 Definition des Drehimpulses

Ein Teilchen bewegt sich mit dem Impuls p = mv. Sein Ortsvektor in der Zeit r (t)beschreibt die Bahnkurve. Der Drehimpuls ist der Vektorprodukt von r und p:

L = r p = rmv.

Abb. 3.8: Zu der Definition des Drehimpulses

Die Einheit des Drehimpulses ist kg m2 s1. Wenn sich der Massenpunkt in einerEbene bewegt und der Koordinatenursprung auch in dieser Ebene liegt, dann bleibt dieRichtung des Drehimpulses immer senkrecht zu der Ebene. Im Fall einer gleichformigenKreisbewegung wenn U ist im Mittelpunkt des Kreises ist, betragt die Groe des Dre-himpulses: L = m r v , weil r immer zu v ist. Bekannt ist, dass: v = r , und daherdie Groe des Drehimpulses der gleichformigen Kreisbewegung L = m r2 ist, und derL Vektor parallel mit ist.

3.4.2 Drehmoment und Drehimpulsgesetz

Bilden wir die erste zeitliche Ableitung des Drehimpulses:

dLdt

= ddt

rm v + rmdvdt

=

= vmv + rmdpdt.

Der erste Glied ist 0. Nach Newton II: F = dpdt

, und damit :

dLdt

= r F.

57

Das Produkt von dem Ortsvektor und der Kraft ist das Drehmoment: M=r F. DieMaeinheit des Drehmoments ist [M ] = N m = kg m2 s2.

Die zeitliche Veranderung des Drehimpulses eines Teilchens ist dem Drehmoment derKraft die auf den Massenpunkt wirkt gleich:

dLdt

= M.

Das ist das Drehimpulsgesetz fur ein Teilchen. Wichtig ist es hier zu bemerken, dassDrehimpuls und Drehmoment immer in Bezug auf einen festgelegten Punkt (wie z.B.dem Ursprung) definiert sind.

3.4.3 Drehimpuls in Zentralfelder

Falls die Kraft in einem Raumteil nur von dem Ortsvektor abhangt, konnen wir voneinem Kraftfeld sprechen:

F (r)Das Kraftfeld ist mathematisch eine Vektor-Vektor Funktion. Wenn ein Kraftfeld sogeartet ist, dass

F r,und

F = f (r) rewo

- f eine Funktion ist;

- re der radiale Einheitsvektor ist;

- r die Entfernung von dem Zentrum des Feldes (gleichzeitig des Ursprungs) ist.

Daher ist in diesem Feld das Drehmoment 0. Das Drehimpulsgesetz lautet also:

dLdt

= 0 L = konst.

Das bedeutet, dass in Zentralfelder der Drehimpuls bezogen auf das Kraftzentrum furalle Bewegungen konstant ist.

58

3.5 Arbeit und Energie

3.5.1 Die Arbeit als Linienintegral

Abb. 3.9: Die Arbeit ist das Linienintegral der Kraft

Betrachten wir ein Massenpunkt, der sich unter der Wirkung einer F Kraft (die kann- von dem Ort abhangig - verschieden sein) auf der Bahnkurve von A bis B bewegt.Gema der Abbildung 3.9 wirkt auf einem kleinen Wegelement si der Bahnkurve aufdas Teilchen gerade Fi Kraft. si ist so klein, dass darauf die Kraft annaherungsweiseuberall Fi ist. Wir sagen si ist infinitesimal klein, also alle si 0. Die Arbeit, Widie wahrend dieser Verschiebung geleistet wird ist das Skalarprodukt von Fi und si:

Wi = Fi si = Fi si cosi.Anders formuliert: Falls eine konstante Kraft auf eine s Wegelement wirkt, ist dieArbeit das Skalarprodukt: W = F s.

Die Maeinheit der Arbeit ist Joule (J), 1 J = 1 N m = 1 kg m2s2. Betrachten wir gema der Abb. 3.9 die Bewegung des Teilchens von A bis B. Die ganze Arbeit wahrendder ganzen Bewegung ist dann die Summe der Teilarbeiten die auf den elementarenStrecken geleistet wurden:

WAB F1 s1 + ...+ Fi si + ...+ FN sN ,

59

WAB F1 s1 cos1 + ...+ Fi si cosi + ...+ FN sN cosN .Der Grenzwert der Summe der Einzelbetrage der Arbeit, die auf den unendlich vieleninfinitesimal kleinen Strecken (si 0) geleistet wurde, ist das Wegintegral:

WAB =i=1

Fi si =BA

F ds =BA

F cos ds.

Wichtig ist es hier zu erwahnen, dass die mathematische Aufteilung der AB Strecke sodurchgefuhrt werden soll, dass si uberall bei der Grenzwertrechnung verschwindet. DasLinienintegral fur die Arbeit kann wegen

F ds = Fxdx+ Fydy + Fzdzauf die Summe von einfachen Integralen zuruckgefuhrt werden:

P1P2

F ds =x2x1

Fxdx+y2y1

Fydy +z2z1

Fzdz.

3.5.2 Beispiel: Arbeit gegen Federkraft

Abb. 3.10: Zu der Berechnung der Arbeit gegen der elastischen Kraft

Die Arbeit, die wir gegen der Federkraft leisten ist: F = D x. Angenommen, dassdie Dehnung der Feder entlang der X-Achse ist, und die Ruheposition der Felder der

60

Ursprung ist, sind die Kraft und das Wegelement:

F = D x i, s = x i, ds = dx i.

Damit kann die Arbeit auf einen einfachen Integralausdruck zuruckgefuhrt werden:

Wx1x2 =x2x1

D x dx.

Durch Bildung der Stammfunktion:

Wx1x2 = D x2x1

x dx = D [x2

2

]x2x1

= 12 D (x22 x21

),

Falls die Arbeit von der Ruheposition aus geleistet wird:

W = 12Dx2

Merken wir, dass eine so aufgezogene Feder wenn man sie loslasst genau dieseArbeit leisten kann. Sie ist also in der Lage Arbeit zu leisten. Wir sagen, die aufgezogeneFeder diese potentielle Energie besitzt (siehe Abs.3.5.7).

3.5.3 Die Leistung

Die zeitliche Ableitung der Arbeit ist die Leistung.

P = dWdt

= limt0

(F s)t = F v

Die Maeinheit der Leistung ist der Watt.

[P ] = 1 W = 1Js

= 1N ms

= 1 kg m2 s3.

Beispiel: Die Leistung eines Autos, das mit konstanten Geschwindigkeit auf der Stei-gung hinauffahrt.

61

Abb. 3.11: Auto auf der Steigung

Nehmen wir an, dass die Steigung , die Geschwindigkeit ist v, die Masse m und dieReibungskoeffizient ist. Die Motorkraft ist der Summe der wirkenden Ruckziehkraftegleich, also: F = mg sin + mg cos. Die Leistung ist:

P = v mg (sin + cos) .

3.5.4 Kinetische Energie

Abb. 3.12: Unabhangig von der Natur der Kraft ist die Arbeit von A bis B gleich12mv

2 (B) 12mv2 (A).

Nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit eines Teilchens- gema der Abbildung 3.12 aufeine Bahnkurve zwischen A und B von v (A) auf v (B) sich geandert hat. Das bedeutet,dass wahrend dieser Bewegung eine Kraft auf das Teichen gewirkt hat. Unabhangig von

62

der Natur der Kraft konnen wir die Arbeit auf diese A B Strecke bestimmen.

WAB =BA

F ds =BA

m a ds =m BA

aT ds

wo wir N II fur den Ausdruck der Kraft (F = ma) verwendet haben und aT die tan-gentielle Komponente der Beschleunigung bedeutet. Durch Substitution aT = dvdt undds = vdt erhalten wir

BA

aT ds =t2t1

dv

dt vdt =

v(B)v(A)

v dv.

Damit: WAB = m v(B)v(A)

v dv =m [v2

2

]v(B)v(A)

= 12 m v2 (B) 12 m v2 (A).Die Arbeit, die unabhangig von der Natur der Kraft den Bewegungszustand des

Teilchens geandert hat, manifestiert sich in der Zunahme der Groe m2 v2 des Teilchens.

Diese Groe ist die Bewegungsenergie oder kinetische Energie:

Ekin=12mv

2 = p2

2m.

Damit: W(v=0)(v) = Ekin = 12 m v2Der Satz der kinetischen Energie kann also in der Form:

WAB = Ekin (B) Ekin (A)

ausgedruckt werden. In Worten: Die Arbeit die an einem Massenpunkt geleistet wird, istder anderung seiner kinetischen Energie gleich. Die kinetische Energie ist der Beschleu-nigungsarbeit gleich, die in die Bewegung des Teilchens insgesamt eingesteckt wurde.Die kinetische Energie ist unabhangig davon, welche Kraft diese Beschleunigungsarbeitgeleistet hat.

3.5.5 Konservative Kraftfelder, potentielle Energie, Konserva-ti