Physics of

OP10111(110NI(iMichael A. Parker

Taylor &FrancisTaylor&Francis Group

BocaRaton London NewYork 51ngapore

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Contents

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Chapter 7.

Introduction to Semiconductor Lasers1.1

Basic Components and the Role of Feedback .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

21.2

Basic Properties of Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 .2.1

Wavelength and Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

51.2.2 Directionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 61 .2.3

Monochromaticity and Brightness .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61.2.4

Coherence Time and Coherence Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

71.3

Introduction to Emitter Construction .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 .3.1

In-Plane and Edge-Emitting Lasers .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71.3.2

VCSEL . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

81.3.3

Buried Waveguide Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91.3.4

Lateral Injection Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

91 .3.5

The Light Emitting Diode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

91.3.6

Semiconductor Laser Amplifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

91 .3.7

Gas Laser . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

91.3.8

The Solid State Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

101.4

Introduction to Matter and Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

101 .4.1

Classification of Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . .. ... . . ., . . . . . . . . . . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

101.4.2

Bonding and the Periodic Table .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121.5

Introduction to Bands and Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

141.5.1

Intuitive Origin of Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 .5.2

Indirect Bands, Light and Heavy Hole Bands. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

171.5.3

Introduction to Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .

171.5.4

Introduction to Band Edge Diagrams . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

181 .5.5

Bandgap States and Defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

201.5.6

Recombination Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .

211.6

Introduction to the pn function for the Laser Diode. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

241.6.1

function Technology. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241 .6.2

Band-Edge Diagrams and the pn function . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

251 .6.3

Nonequilibrium Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261.7

Introduction to Light and Optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

287. .7 .1

Particle-Wave Nature of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281.7.2

Classical Method of Controlling Light . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291 .7.3

TheRidge Waveguide .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . .

311.7.4

TheConfinement Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331 .8

Introduction to Noise in Optoelectronic Components . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341 .8.1

Brief Essay on Noise for Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341.8.2

Johnson Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351 .8.3

LowFrequency Noise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381.8.4

The Origin of Shot Noise. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381 .8.5

TheMagnitude of the Shot Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

vi Contents

1.8.6

Introduction to Noise in Optics .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

421.9

Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

431.10 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Chapter 2

Introduction to Laser Dynamics2.1

Introduction to the Rate Equations . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .

472.1.1

The Simplest Rate Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

482.1.2

Optical Confinement Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

492.1 .3

Total Carrier and Photon Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

502.1 .4

The Pump Term and the Internal Quantum Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

502.1 .5

Recombination Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

512.1.6

Spontaneous Emission Term . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

532.1 .7

The Optical Loss Term .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

542.2

Stimulated Emission--Absorption and Gain ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

562.2.1

Temporal Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

562.2.2

Single Pass Gain . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

572.2.3

Material Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

582.2.4

Material Transparency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

602.2.5

Introduction to the Energy Dependence of Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

602.2.6

The Phenomenological Rate Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

612.3

The Power-Current Curves. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

642.3 .1

Photon Density versus Pump-Current Number Density.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

642.3 .2

Comment on the Threshold Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

672.3 .3

Power versus Current. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

682.3 .4

Power versus Voltage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

692.3.5

Some Comments on Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

702.4

Relations for Cavity Lifetime, Reflectance and Internal Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

702.4.1

Internal Relations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

702.4.2

External Relations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

732.5

Modulation Bandwidth .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

742.5 .1

Introduction to the Response Function and Bandwidth.. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

742.5 .2

Small Signal Analysis .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

762.6

Introduction to RIM and the Weiner-Khintchine Theorem .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .

792.6.1

Basic Definition of Relative Noise Intensity.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

802..6.2

Basic Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

802.6.3

The Fluctuation-Dissipation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

822.6.4

Definition of Relative Intensity Noise as a Correlation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

842.6.5

The Weiner-Khintchine Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

862.6.6

Alternate Derivations of the WeinerKhintchine Formula . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

872.6.7

Langevin Noise Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

892.6.8

Alternate Definitions for RIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

892.7

Relative Intensity Noise for the Semiconductor Laser . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .��� . ���

902.7.1

Rate Equations with Langevin Noise Sourcesand the Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

912.7.2

Langevin--Noise Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

942.7.3

The Relative Intensity Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

972.8

Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

992.9

Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Contents

vii

Chapter 3

Classical Electromagnetics and Lasers3.1

A Brief Review of Maxwell's Equations and the Constituent Relations . . . . . . . . . . . . . . 1083.1 .1

Discussion of Maxwell's Equations and Related Quantities . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1083.1 .2

Relation between Electric and Magnetic Fields in Vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1113.1 .3

Relation between Electric and Magnetic Fields in Dielectrics . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1123.1 .4

General Form of the Complex Traveling Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1133.2

The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1143.2.1

Derivation of the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2.2

The Complex Wave Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1153.2.3

Definitions for Complex Index, Permittivity and Wave Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2.4

TheMeaning of k� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2 .5

Approximate Expression for the Wave Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2 .6

Approximate Expressions for the RefractiveIndex and Permittivity .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1193.2.7

The Susceptibility and the Pump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.3

Boundary Conditions for the Electric and Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.3 .1

Electric Field Perpendicular to an Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.3.2

Electric Fields Parallel to the Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1243.3.3

The Boundary Conditions for the General Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.4

TheTangential Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 .3 .5

Magnetic Field Perpendicular to the Interface(without Magnetization) ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3.6

Arbitrary Magnetic Field .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.3.7

General Relations and Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.4

Law of Reflection, Snell's Law and the Reflectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.4 .1

The Boundary Conditions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.4.2

The Law of Reflection .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4.3

Fresnel Reflectivity and Transmissivity for TE Fields . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.4 .4

The TM fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.4 .5

Graph of the Reflectivity Versus Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.5

The Poynting Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.5 .1

Introduction to Power Transport for Real Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.5 .2

Power Transport and Energy Storage Mechanisms .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.5 .3

Poynting Vector for Complex Fields .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.5 .4

Power Flow Across a Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1413 .6

Electromagnetic Scattering and Transfer Matrix Theory . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.6 .1

Introduction to Scattering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1443.6 .2

The Power-Amplitudes . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1463.6 .3

Reflection and Transmission Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.6 .4

Scattering Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1513.6 .5

The Transfer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1543.6 .6

Examples Using Scattering and Transfer Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . 1563 .7

The Fabry-Perot Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1603.7 .1

Implications of the Transfer Matrix for the Fabry-Perot Laser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.7.2

Longitudinal Modes and the Threshold Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1643.7 .3

Line Narrowing . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

1683.8

Introduction to Waveguides . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1703.8 .1

Basic Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1713.8.2

Introduction to EM Waves for Waveguiding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 171

viii

Contents

3.8.3

The Triangle Relation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.8.4

The Cut-off Condition from Geometric Optics .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.8.5

The Waveguide Refractive Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.9

Physical Optics Approach to Waveguiding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1763.9 .1

The Wave Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

1763.9.2

The General Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.9.3

Review the Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . .

1793.9.4

The Solutions.. .. . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . 1793.9.5

An Expression for Cut-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.10 Dispersion in Waveguides .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.10,1

The Dispersion Diagram .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.10.2

AFormula for Dispersion . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1853.10.3

Bandwidth Limitations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . 1863.11 The Displacement Current and Photoconduction . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.11 .1

Displacement Current. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1873.11.2

ThePower Relation .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . 1893.11 .3

Voltage Induced by Moving Charge . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1893.12 Review Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1903.13 Further Reading . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . 196

Chapter 4

Mathematical Foundations4.1

Vector and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . .. . . . . . 7.974.1 .1

Definition of Vector Space .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1984.1 .2

Inner Product, Norm, and Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1984.1 .3

Hilbert Space., . . . . . . . . . . . . . .. ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1994.2

Dirac Notation and Euclidean Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . 1994.2.1

Kets, Bras, and Brackets for Euclidean Space .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . .. . . . . . 2004.2.2

Basis, Completeness, and Closure for Euclidean Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2014.2.3

The Euclidean Dual Vector Space . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2024.2.4

Inner Product and Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.3

Hilbert Space .. . . . . . . . . . . . . ., . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2034.3.1

Hilbert Space of Functions with Discrete Basis Vectors. . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.3.2

The Continuous Basis Set of Functions.. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.3.3

Projecting Functions into Coordinate Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064.3.4

The Sine Basis Set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27.04.3.5

The Cosine Basis Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.3.6

The Fourier Series Basis Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 217.4.3 .7

The Fourier Transform . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2124.4

The Grahm-Schmidt Orthonormalization Procedure.., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.5

Linear Operators and Matrix Representations.. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.5.1

Definition of a Linear Operator and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., ., . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2154.5.2

AMatrix Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2164.5.3

Composition of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2174.5.4

Introduction to the Inverse of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2174.5.5 Determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2184.5.6 Trace. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.5.7

The Transpose and Hermitian Conjugate of a Matrix . . . . . . . . . ., . . . . . . . ., .. . . . . . . . . . . . . 2194.5.8

Basis Vector Expansion of a Linear Operator .., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194.5.9

The Hilbert Space of Linear Operators . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . ..�. . . . . . . . . . � .�� 220

4.5.10 A Note on Matrices .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.6

An Algebra of Operators and Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.7

Operators and Matrices in Tensor Product Space.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.7.1

Tensor Product Spaces . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .. .. . .. . . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2244.7.2

Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.7.3

Matrices of Direct Product Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264.7.4

The Matrix Representation of Basis Vectors for DirectProduct Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.8

Unitary Operators and Similarity Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.8.1

Orthogonal Rotation Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.8.2

Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2304.8.3

Visualizing Unitary Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2314.8.4

Similarity Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.8.5

Trace and Determinant... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.9

Hermitian Operators and the Eigenvector Equation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.9.1

Adjoint, Self-Adjoint and Hermitian Operators .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2344.9.2

Adjoint and Self-Adjoint Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.9.3

Eigenvectors and Eigenvalues for Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.9 .4

The Heisenberg Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2394.10 A Relation Between Unitary and Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2414.11 Translation Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.11.1

The Exponential Form of the Translation Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424.11.2

Translation of the Position Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2444.11.3

Translation of the Position-Coordinate Ket . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2444.11.4

Example Using the Dirac Delta Function . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.12 Functions in Rotated Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

4.12.1

Rotating Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2454.12.2

The Rotation Operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.13 Dyadic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2484.14 Minkowski Space . . . .. . .. .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.15 Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2524.16

Further Reading .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

Chapter S Fundamentals of Dynamics5.1

Introduction to Generalized Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.1 .1 Constraints.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2585.1 .2

Generalized Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2585.1 .3

Phase Space Coordinates . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605.2

Introduction to the Lagrangian and the Hamiltonian . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.2.1

Lagrange's Equation from a Variational Principle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.2.2

The Hamiltonian. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.2.3

Hamilton's Canonical Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26453

Classical Commutation Relations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665.4

Classical Field Theory... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2685.4 .1

Concepts for the Lagrangian and Hamiltonian Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2685.4.2

TheLagrange Density for 1-D Wave Motion.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.5

Schrodinger Equation from a Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . 2735.6

Linear Algebra and the Quantum Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755.6 .1

Observables and Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5.6.2

The Eigenstates .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2775.6.3

The Meaning of Superposition of Basis States and the ProbabilityInterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

5.6.4

Probability Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2795.6.5

The Average and Variance . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2815.6.6

Motion of the Wave function .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2835.6.7

Collapse of the Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845.6.8

Noncommuting Operators and the HeisenbergUncertainty Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5.6.9

Complete Sets of Observables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2885.7

Basic Operators of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2895.7 .1

Summary of Elementary Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2895.7.2

Operators, Eigenvectors and Eigenvalues .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2905.7.3

The Momentum Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2905.7.4

Developing the Hamiltonian Operator and the SchrodingerWave Equation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.7.5

Infinitely Deep Quantum Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.8

The Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955.8.1

Introduction to the Classical and Quantum HarmonicOscillators .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 295

5.8.2

The Hamiltonian for the Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.8.3

Introduction to the Operator Solution of the Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . 2995 .8 .4

Ladder Operators in the Hamiltonian. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3005 .8 .5

Properties of the Raising and Lowering Operators . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3025.8.6

The Energy Eigenvalues. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3045.8.7

The Energy Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3045.9

Quantum Mechanical Representations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3065 .9 .1

Discussion of the Schrodinger, Heisenberg and InteractionRepresentations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

5 .9 .2

TheSchrodinger Representation . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3085.9.3

Rate of Change of the Average of an Operator in theSchrodinger Picture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 310

5.9.4

Ehrenfest's Theorem for the Schrodinger Representation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3115.9.5

The Heisenberg Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3125.9.6

The Heisenberg Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3135.9.7

Newton's Second Law from the Heisenberg Representation .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3155.9.8

The Interaction Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3155.10 Time Dependent Perturbation Theory.. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.10.1

Physical Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3175.10.2

Time Dependent Perturbation Theory Formalism in theSchrodinger Picture.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

5.10.3

Time Dependent Perturbation Theory in theInteraction Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . 324

5.10.4

An Evolution Operator in the Interaction Representation . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.11 Density Operator . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3265.11.1

Introduction to the Density Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . 3275.11.2

TheDensity Operator and the Basis Expansion. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . 3315.11 .3

Ensemble and Quantum Mechanical Averages .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . ., . ; . .� . . . . . . . 3355.11.4

Loss of Coherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3385.11.5

Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . .. 3405.12 Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 341

5.13

Further Reading . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351

Chapter 6

Light6.1

ABrief Overview of the Quantum Theory of Electromagnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3536.2

The Classical Vector Potential and Gauges ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3566.2 .1

Relation between the Electromagnetic Fields and the PotentialFunctions. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 357

6.2 .2

The Fields in a Source-Free Region of Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3606.2 .3

Gauge Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3616 .2 .4

Coulomb Gauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3626 .2 .5

Lorentz Gauge. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3646.3

The Plane Wave Expansion of the Vector Potential and the Fields ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3646 .3 .1

Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3656 .3 .2

The Plane Wave Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3676.3 .3

The Fields . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3706 .3 .4

Spatial-Temporal Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3706.4

The Quantum Fields .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3726.4 .1

The Quantized Vector Potential . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3746 .4 .2

Quantizing the Electric and Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3756 .4 .3

Other Basis Sets . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

3766.4.4

EM Fields with Quadrature Operators . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776 .4 .5

An Alternate Set of Quadrature Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3786 .4 .6

Phase Rotation Operator for the Quantized Electric Field.. . . . . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . 3796.4.7

Trouble with Amplitude and Phase Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3816.4.8

The Operator for the Poynting Vector . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3826.5

The Quantum Free-Field Hamilton and EM Fields .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3836.5 .1

The Classical Free-Field Hamiltonian. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3836.5.2

The Quantum Mechanical Free-Field Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866.5.3

The EM Hamiltonian in Terms of the Quadrature Operators . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . 3886.5.4

The Schrodinger Equation for the EM field . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3896.6

Introduction to Fock States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3916.6 .1

Introduction to Fock States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3926.6.2

The Fabry-Perot Resonator as an Example. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.6.3

Creation and Annihilation Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3956.6.4

Comparison Between Creation--Annihilation andLadder Operators . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 396

6.6.5

Introduction to the Fermion Fock States . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3976.7

Fock States as Eigenstates of the EM Hamiltonian. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3986.7 .1

Coordinate Representation of Boson Wavefunctions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3996.7.2

Fock States as Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4026.7.3

Schrodinger and Interaction Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046.8

Interpretation of Fock States .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046.8.1

The Electric Field for the Fock State. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4056.8.2

Interpretation of the Coordinate Representation ofFock States . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

6.8.3

Comparison between the Electron and EMHarmonic Oscillator . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

6.8.4

An Uncertainty Relation between the Quadratures . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4076.8.5

Fluctuations of the Electric and Magnetic Fields inFock States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

xii

Contents

6.9

Introduction to EM Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4106.9 .1

The Electric Field in the Coherent State . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4106.9 .2

Average Electric Field in the Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4136.9 .3

Normalized Quadrature Operators and the Wigner Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4136.9.4

Introduction to the Coherent State as a DisplacedVacuum in Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

6.9.5

Introduction to the Nature of Quantum Noise inthe Coherent State .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4176.9.6

Comments on the Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4186.10 Definition and Statistics of Coherent States .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

6.10.1

The Coherent State in the Fock Basis Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4196.10.2

The Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4216.10.3

The Average and Variance of the Photon Number.. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4226.10.4

Signal-to-Noise Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4236.10.5

Poisson Distribution from a Binomial Distribution . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4246.10.6

The Schrodinger Representation of the Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4256.11

Coherent States as Displaced Vacuum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4256.11 .1

The Displacement Operator... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4266.11 .2

Properties of the Displacement Operator . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4276.11.3

The Coordinate Representation of a Coherent State.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4296.12 Quasi-Orthonormality, Closure and Trace for Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 433

6.12.1

The Set of Coherent-State Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4346.12.2

Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4346.12.3

Quasi-Orthogonality .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4356.12.4

Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4366.12.5

Coherent State Expansion of a Fock State . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4376.12.6

Over-Completeness of Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4386.12.7

Trace of an Operator Using Coherent States .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .�. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4386.13 Field Fluctuations in the Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 439

6.13.1

The Quadrature Uncertainty Relation for Coherent States . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4406.13.2

Comparison of Variance for Coherent and Fock States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.14 Introduction to Squeezed States... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4426.15 The Squeezing Operator and Squeezed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

6.15.1

Definition of the Squeezing Operator . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4466.15.2

Definition of the Squeezed State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4466.15.3

The Squeezed Creation and Annihilation Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4466.15.4

The Squeezed EM Quadrature Operators . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4486.15.5

Variance of the EM Quadrature . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4496.15.6

Coordinate Representation of Squeezed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.16 Some Statistics for Squeezed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

6.16 .1

The Average Electric Field in a Squeezed Coherent State. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4536.16 .2

The Variance of the Electric Field in a SqueezedCoherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

6.16.3

The Average of the Hamiltonian in a SqueezedCoherent State . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 455

6.16.4

Photon Statistics for the Squeezed State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . ., ., . . . . . . . . . � . . . . 4576.17 The Wigner Distribution.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . 458

6.17.1

TheWigner Formula and an Example.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4596.17.2

Derivation of the Wigner Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . ., . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . ., . . . 4616.17.3

Example of the Wigner Function . . .. . .. .. . . . .�� . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4666.18 Measuring the Noise in Squeezed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�. . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

Contents

xiii

6.19 Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4746.20

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

476

Chapter 7

Matter-Light Interaction7.1

Introduction to the Quantum Mechanical Dipole Moment.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4807.1 .1

Comparison of the Classical and Quantum Mechanical Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . 4807.1 .2

TheQuantum Mechanical Dipole Moment. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827.1 .3

AComment on Visualizing an Oscillating Electron in aHarmonic Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

7.2

Introduction to Optical Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4867.2.1

The EM Interaction Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4867.2.2

The Integral for the Probability Amplitude .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4877.2.3

Rotating Wave Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4897.2.4 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4907.2.5 Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . .. .. . . . . . . .. . . . .. . .. . ., . . . . . ., . . . . . . . . . . .., . . . . . . . . .. . 4917.2.6

Discussion of the Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

4937.3

Fermi's Golden Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4947.3.1

Definition of the Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4957.3.2

Equations for Fermi's Golden Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4977.3.3

Introduction to Laser Gain .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

5007.4

Introduction to the Electromagnetic Lagrangian and Field Equations . . . . . . . . . . . . . .. . . 5017.4 .1

ASummary of Results and Notation . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. .. . . 5017.4.2

The EM Lagrangian and Hamiltonian . . . . . . . . .. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5027.4.3

4-Vector Form of Maxwell's Equations from the Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . .-. . 5037.4.4

3-Vector Form of Maxwell's Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5057.5

The Classical Hamiltonian for Fields, Particles and Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5077.5.1

TheEM Hamiltonian Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5087.5.2

The Canonical Field Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5097.5.3

Evaluating the Hamiltonian Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5107.5.4

The Field and Interaction Hamiltonian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5107.5.5

TheHamiltonian for Fields, Particles and their Interactions .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5127.5.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4

7.6

The Quantum Hamiltonian for the Matter-Light Interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5167.6.1

Discussion of the Classical Interaction Energy. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5167.6.2

Schrodinger's Equation with the Matter-Light Interaction . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57.87.6.3

The Origin of the Dipole Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5197.6.4

The Semiclassical Form of the Interaction Hamiltonian .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5227.7

Stimulated and Spontaneous Emission Using Fock States . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5227.7.1

Restatement of Fermi's Golden Rule.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. .. . .. .. . .. . . . . . . . . . . . . 5237.7.2

The Dipole Approximation .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5247.7.3

Calculate Matrix Elements . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5257.7.4

Stimulated and Spontaneous Emission . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5267.8

Introduction to Matter and Light as Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5277.8.1

The Complete System... . .. . . . . . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . 5287.8.2

Introduction to Homogeneous Broadening. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5307.9

Liouville Equation for the Density Operator .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5317.9.1

The Liouville Equation Using the Full Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5327.9.2

The Liouville Equation Using a Phenomenological Relaxation Term . . . . . . . 5367.10 The Liouville Equation for the Density Matrix with Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

7.10.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . 538

xiv

Contents

7.10.2 Assumptions for the Density Matrix .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5397.10.3 Liouville's Equation for the Density Matrix without

Thermal Equilibrium .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5417.10.4 The Liouville Equation for the Density Matrix with

Thermal Equilibrium . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5437.10.5 The Dephasing Time. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5447.10 .6

The Carrier Relaxation Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5447.11 A Solution to the Liouville Equation for the Density Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

7.11 .1 Evaluating the Commutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5457.11 .2 Two Independent Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5487.11 .3

The Optical Bloch Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5497.11 .4 The Solutions. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

7.12 Gain, Absorption and Index for Independent Two Level Atoms . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5547.12.1 The Quantum Polarization and the Polarization

Envelope Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5557.12.2 The Quantum Polarization and Macroscopic Quantities . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . 5567.12.3 Comparing the Classical and Quantum Mechanical Polarization .. . . . . . . . . . . . 5577.12.4 The Natural Line Shape Function ... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5587.12.5 Quantum Mechanical Gain.. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5587.12.6 Discussion of Results . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5607.12.7 Comments on Saturation Power and Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

7.13 Broadening Mechanisms . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5627.13.1 Homogeneous Broadening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5637.13.2 Inhomogeneous Broadening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5647.13.3 Hole Burning. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

7.14 Introduction to Jaynes-Cummings' Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5667.14.1 The Pauli Operators. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5677.14.2 The Atomic Hamiltonian . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5687.14.3 The Free-Field Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5697.14.4 The Interaction Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5707.14.5 Atomic and Interaction Hamiltonians Using Fermion Operators . . . . . . . . . . . . . . 5737.14.6 The Full Hamiltonian .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

7.15 The Interaction Representation for the Jaynes-Cummings' Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5747.15.1 Atomic Creation and Annihilation Operators .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5757.15.2 The Boson Creation and Annihilation Operators . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5767.15.3 Interaction Representation of the Subsystem Density Operators. . . . . . . . . .. . . . . 5777.15.4 The Interaction Representation of the Direct-Product

Density Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5787.15.5 Rate Equation for the Density Operator in the

Interaction Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

5807.16 The Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

7.16.1 The System .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5827.16.2 Multiple Reservoirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5837.16.3 Dynamics and the Perturbation Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5847.16.4 The Langevin Displacement Term .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . .. .. . . . . .� . . . . 5877.16.5 Reservoir Correlation Time and the Course Grain

Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5877.16.6 The Relaxation Term. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5897.16.7 The Pauli Master Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

7.17 Quantum Mechanical Fluctuation-Dissipation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .� . . . . . .���. 5947.17.1 Some Introductory Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

7.17.2 Quantum Mechanical Fluctuation Dissipation Theorem . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5957.17.3 The Average of the Langevin Noise Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5997.17.4 Damping of the Small System . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

7.18 Review Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6017.19 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

Chapter 8

Semiconductor Emitters and Detectors8.1

Effective Mass, Density of States and the Fermi Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6118.1 .1

Effective Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6128.1 .2

Introduction to Boundary Conditions .. . .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6148.1 .3

The Fixed Endpoint Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6148.1 .4

The Periodic Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6168.1 .5

The Density of k-States . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6188.1 .6

The Electron Density of Energy States for a 2-D Crystal . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6198.1 .7

Overlapping Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6218.1 .8

Density of States from Fixed-Endpoint Boundary Conditions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6228.1 .9

Changing Summations to Integrals .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . 6238.1 .10 A Brief Review of the Fermi-Dirac Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6248.1 .11 The Quasi-Fermi Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

8.2

The Bloch Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6278.2 .1

Free Electron Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6278.2.2

The Nearly Free Electron Model . . . . . . . . . .. . . . . .. .. . . . . . . . .