8/12/2019 Physics Letters B Volume 174 Issue 4 1986 [Doi 10.1016%2F0370-2693%2886%2991028-2] Samir K. Paul; Avinas

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V o l u m e 1 7 4 , n u m b e r 4 P H Y S I C S L E T T E R S B 1 7 J u l y 1 9 8 6

C H A R G E D V O R T I C E S I N A N A B E L I A N H I G G S M O D E L

W I T H C H E R N S I M O N S T E R M

S a m i r K . P A U L a n d A v i n a s h K H A R E

Institute of Physics Sachivalaya Marg Bhubaneswar 751005 India

R e c e i v e d 1 4 A p r i l 1 9 8 6

T h e e x i s t e n c e i s s h o w n o f charged v o r t ic e s o f fi n i te e n e r g y i n a (2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l a b e l i a n H i g g s m o d e l w i t h C h e r n - S i m o n s

( C - S ) t e rm . F u r t h e r , l o w e r b o u n d s o n t h e e n e r g y a n d a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e s e v o rt ic e s a r e o b t ai n e d . F i n a l ly i t is s h o w n

t h a t th e g l u e b a l l s a r e a b s e n t in ( 2 + 1 )- d i m e n s i o n a l Q E D o r Q C D w i t h C - S t e r m f o r a n y c o m p a c t g a u g e g r o u p.

I t is k n o w n f o r a l o n g ti m e t h a t t h e G i n z b u r g -

L a n d a u e q u a t i o n s o f s u p e r c o n d u c t i v i t y [1 ] a s w e l l

a s t h e i r r e l a t i v i s t ic g e n e r a l i z a t i o n , i .e . t h e a b e l i a n

H i g gs m o d e l [ 2 ] i n (2 + 1 ) d i m e n s i o n s , a d m i t v o r t e x

s o l u t io n s o f f in i te e n e r g y . T h e s e v o r t i c e s w h i c h c a n

b e i d e n t if i e d w i t h t h e N a m b u s t ri n g [ 3 ] a r e e l ec -

t ri c aU y n e u t r a l . I n f a c t , a s h a s b e e n s h o w n b y J u l i a

a n d Z e e [ 4 ] , t h e a b e l i a n H i gg s m o d e l d o e s n o t a d m i t

c h a r g e d v o r t i c e s o f f i n it e e n e r g y . T h e p u r p o s e o f t h is

l e t t e r is t o s h o w t h e e x i s t e n c e o f

c h a r g e d v o r t i c e s o f

f i n i t e e n e r g y

i n t h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l a b e l i a n H i g gs

m o d e l w i t h C - S t e r m [ 5 ] w h o s e r o l e i n ( 2 + 1 ) ga u g e

t h e o r i e s h a s b e e n d i s cu s s e d b y D e s e r e t a l. [ 6 ] . F u r -

f la e r, w e d i s c u s s t h e p r o p e r t i e s o f th e s e s o l u t i o n s i n

s o m e d e t a i l . I n p a r t i c u l a r , w e o b t a i n l o w e r b o u n d s

o n t h e e n e r g y a n d a n gu l a r m o m e n t u m o f t h e se v o r -

t i c e s . F i n a l l y w e p r o v e t h a t t h e g l u e b a l l s d o n o t e x i s t

i n (2 + 1 ) Q E D o r Q C D , e v e n i n t h e p r e s e n c e o f a C - S

t e r m f o r a n y c o m p a c t g a ug e gr o u p .

T h e a b e li a n H ig gs m o d e / w i t h C - S t e r m i n (2 + 1 )

d i m e n s i o n s i s g i v e n b y [ 5 ]

1

= - F 4 ~ F U r + ~ ( a u - i e A u ) d ~ * ( a u + i e A " ) ( ~

_ c4(1~b[2 _

ez /2 e4 )2 + 1 i .t eUV C~ Fu A ~ ,

( 1 )

w h e r e p i s t h e t o p o l o g i c a l m a s s o f th e g a u g e f ie l d . F o r

t h e n - v o r t e x w e t a k e t h e a n s a t z

A ( p ) = - d o A ( p ) / O , A O ( P )

= A 0 ( P ) , ( 2 a , b )

4) (p ) = e inO (p ) , ( 2 c )

4 2 0

w h i c h i s a g e n e r a l i z a ti o n o f th e N i e l s e n - O l e s e n a n -

s a t z i n t h e c a s e A 0 4 : 0 [ 7 ] . T h e a p p r o p r i a t e b o u n d -

a r y c o n d i t i o n s f o r f i n it e e n e r g y v o r t e x s o l u t io n s a r e

l ir a f ( p ) =

+ ( c 2 / 2 c 4 ) 1 / 2 ,

l ir a A ( p ) = - n / e , l im A 0 ( P ) = 0 , ( 3 )

l i m A 0 (,o ) = l i m A ( p ) = l ir a f ( p ) = 0 . ( 4 )

p ~ 0 p ~ 0 p ~ 0

A f t e r a l e n g t h y b u t s t r a i g h t fo r w a r d c a l c u l a ti o n , i t c a n

b e s h o w n t h a t f o r t h e a n s a tz ( 2 ) t h e e q u a t i o n s o f m o -

t i o n a r e

d 2 A ] d p 2 -

( l / p )

d A / d p - e f 2 ( n + e A ) = la p d A o / d P ,

( 5 a )

d 2 A o [ d P 2 + ( I / p ) d A 0 / d P - e 2 A o f 2 = & / p ) d A / d p ,

( 5 b )

d 2 f / d o 2 +

( I / p ) d r / d O

-

( f / p 2 ) ( n

+ e A ) 2 + e 2 A 2 f

+ 2 % 2 - 4 c J 3 = o . ( 5c )

F r o m n o w o n w a r d s w e s h a ll t a k e / ~ > 0 . A s e x p e c t e d ,

i n t h e l i m i t A 0 = 0 , / a = 0 t h e s e e q u a t i o n s r e d u c e t o

t h o s e o f t h e a b e l ia n H i gg s m o d e l [ 7 ] . F r o m e q . ( 5 b )

i t i s a l s o c l e a r t h a t f o r

la 4 : O , A 0 m u s t

b e n o n z e r o . I n

o u r m o d e l t h e m a g n e t i c f l u x is a g a in q u a n t i z e d i n

u n i t s o f 2 r t / e i . e . ,

8/12/2019 Physics Letters B Volume 174 Issue 4 1986 [Doi 10.1016%2F0370-2693%2886%2991028-2] Samir K. Paul; Avinas

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V o l u m e 1 7 4 , n u m b e r 4 P H Y S I C S L E T T E R S B 1 7 July 1986

= f d 2 x j J A Z = - f d 2 x 6 )

F u r t h e r t h e r e i s a n in t e r e s t in g r e l a ti o n b e t w e e n t h e

f l u x a n d t h e t o t a l e l e c t r ic c h a r g e Q g iv e n b y

Q =

f d 2 x e 2 A o f 2 ,

( 7 )

w h i c h f o l lo w s b y i n t e g ra t i n g b o t h s id e s o f e q . ( 5 b ) .

W e o b t a i n

O = la '~ = p ( 2 r r / e ) n .

( 8 )

T h u s Q / l a i s a l so q u a n t i z e d i n u n i ts o f 2rr[e .

W e h a v e n o t b e e n a b l e to f i n d a n a n a l y t i c s o l u t i o n

t o e q s. ( 5 a ) - ( 5 c ) . H o w e v e r , w e c a n s h o w t h a t t h e

a s y m p t o t i c v a l u e s o f t h e g a u g e p o t e n t i a l a n d H i g gs

f ie l d a re a p p r o a c h e d e x p o n e n t i a l l y . I n p a r t i c u la r , f o r

0 ~ o o i t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w t h a t t h e r e a r e t w o

s o l u t i o n s t o th e f i el d e q u a t i o n s ( 5 a ) - ( 5 c ) w h i c h a r e

g i v en b y

A ( p ) ) - n / e + a x / p e - u ~ t ) + . . . . ( 9 a )

, O - + e m

A 0 ( P ) , 0 + ( 1 / X / ~ ) % e - u ; p + .... ( 9 b )

/ : ) - - + 0 0

f O a ) ) + ( e 2 / 2 c 4 ) 1 / 2 + e j 3 ,

e - m s p + . . . . ( 9 c )

,O - - + ~o

H e r e a _ + ,/ 3 a r e d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t s , m s = - 1 /~ =

x / ~ 2 i s t h e s c a l a r p a r t i c l e m a s s in th e H i g gs m e c h a -

n i s m ( ~ b e i n g t h e c o h e r e n c e l e n g t h ) w h i l e

/a - l /X = ~ 2 / 4 + e 2 c 2 / 2 c 4 ) 1 / 2 + g [ 2 ( 1 0 )

a r e t h e t w o d i s t i n c t v e c t o r m e s o n m a s s e s (X +_ b e i n g

t h e c o r r e s p o n d i n g t w o p e n e t r a t i o n l e n g th s ) . A s e x -

p e c t e d , i n t h e l i m i t / ~ ~ 0 ( a n d A 0 = 0 ) w e r e c o v e r t h e

r e s u l ts o f t h e a b e l i a n H i g gs m o d e l . T h e f a c t t h a t i n

t h e a b e l i a n H ig gs m o d e l w i t h C - S t e r m t h e r e a r e tw o

d i s t in c t v e c t o r m e s o n m a s s e s g i v en b y e q . ( 1 0 ) h a s a l-

r e a d y b e e n s h o w n i n r e f . [ 5 ] . F o l l o w i n g t h e w o r k s o f

J a c o b s a n d R e b b i [ 8 ] a s w e l l a s t h a t o f r e f . [ 7 ] i t i s

e a s y t o s e e t h a t a s p ~ 0 t h e s o l u t i o n t o t h e f i e ld e q u a -

t io n s ( 5 a ) - ( 5 c ) i s

A ( p ) ~ ~ ,p 2 + 0 ( / 9 4 ) , ( 1 l a )

p ~ 0

A 0 ( P ) ~ ( / *3 , / 2 ) p 2 + O(p4) , (1 l b )

f 6o , op l n l + O ~ 1 1 + 2 ) , ( 1 l c )

p - + 0

w h e r e 3 ' a n d a a r e c o n s t a n t s .

W e h a v e t h u s o b t a i n e d t w o n - v e r t e x s o l u t i o n s g iv e n

b y e q s . ( 9 ) - ( 1 1 ) . I f w e c o n s i d e r t h e v a l u e o f G i n z -

b u r g - L a n d a u t y p e p a r a m e t e r ( = r n s / V ~ # ) f o r

t h e s e s o l u t i o n s t h e n w e f i n d t h a t t h e s o l u t i o n w i t h

/1 _ c a n b e i d e n t i f ie d w i t h t h a t o f t y p e I I s u p e r c o n -

d u c t i v i t y ( K _ > 1 / x / ~ ) i f

la > V ~ 2 ( e 2 / 8 c 4 - 1 ) , ( 1 2 )

w h i l e t h e s o l u t i o n w i t h / 1 + c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h a t

o f t y p e I I s u p e r c o n d u c t i v i t y (K + > 1 / x, 2 ) o n l y i f

0 < ~ / < X / r '~ 2 ( 1 - - e 2 / 8 c 4 ) . ( 1 3 )

W e t h u s se e t h a t th e s o l u t io n w i t h / 1 t e n d s t o f a v o u r

t h e f o r m a t i o n o f v o r t i ce s a s c o m p a r e d t o t h e s o l u t i o n

w i t h ~ t+ a n d h e n c e w e e x p e c t t h a t f o r a gi v e n n t h e

s o l u ti o n w i t h / ~ w o u l d b e m o r e s t a bl e an d h a v e l es s

e n e r g y c o m p a r e d t o t h a t o f t h e s o l u t i o n w i th / ~ + . T h e

f a c t th a t t h e a d d i t i o n O f t h e C - S t e r m f a v o u r s t h e

f o r m a t i o n o f v o r ti c e s i s u n d e r s t a n d a b l e s in c e t h e

C - S t e r m i n th e l a g r a n g ia n ( 1 ) h a s a p i e ce p r o p o r -

t i o n a l t o t h e m a g n e t i c f i e l d .

F o r o u r s o l u t i o n s t h e m a g n e t i c f i e ld B ( = - ( l / p )

d A / d p ) i s f in i te a n d m a x i m u m a t p = 0 w h il e E p

= - d A o / d P ( E o

= 0 ) v a n i s h e s a t p = 0 . T h e c h a r g e

d e n s i t y g i v e n b y e q . ( 7 ) a l so v a n i s h e s a t P = 0 , re a c h e s

i t s m a x i m u m f o r s o m e f i n i t e p a n d v a n i s h e s e x p o n e n -

t i a ll y f a s t a s p ~ o o. I t w o u l d b e v e r y i n t e r e s t i n g i n -

d e e d i f s u c h c h a r g e d v o r t ic e s c o u l d b e e x p e r i m e n t a l -

l y d e t e c t e d i n s o m e c o n d e n s e d - m a t t e r s y s t e m . I n t h i s

c o n t e x t i t m a y b e w o r t h w h i le t o s t u d y G i n z b u r g -

L a n d a u e q u a t i o n s w i t h C - S t e r m a l o n g th e l in e s o f

t h e w o r k b y A b r i k o s o v [ 9 ] . T h i s i s n o w i n p r o g r es s

a n d w i l l b e r e p o r t e d l a t e r o n .

T h i s w o r k r a i s e s s e v e r a l i n t e r e s t i n g q u e s t i o n s . S o m e

o f t h e s e a r e :

0 ) A l a r e f . [ 7 ] , i s i t p o s s i b l e t o o b t a i n a n e x a c t

s o l u ti o n o f t h e f ie ld e q u a t io n s ( 5 a ) - ( 5 c ) ? B y d e m a n d -

i n g

T o o = T o o

= 0 ( a s i n r e f . [ 7 ] ) w e a r e u n a b l e t o

f i n d i t .

( ii ) I s i t a t l e a s t p o s s i b l e t o o b t a i n a l o w e r b o u n d o n

e n e r g y (R ) ? O n g e n e ra l iz i ng t h e w o r k o f B o g o m o l ' n y i

[ 1 0 ] a n d J a c o b s a n d R e b b i [ 8 ] i t i s e a s y t o s h o w t h a t

f o r t h e n - v o r t e x s o l u t i o n

~ ( r r c 2 / 2 c 4 ) l n [ i f 8 c 4 / e 2 / > 1 , ( 1 4 a )

> ~ ( 8 c 4 / e 2 ) ( r r c 2 / 2 c 4 ) l n [

i f

8 c 4 / e 2

< 1 . ( 1 4 b )

4 2 1

8/12/2019 Physics Letters B Volume 174 Issue 4 1986 [Doi 10.1016%2F0370-2693%2886%2991028-2] Samir K. Paul; Avinas

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V o l u m e 1 7 4 , n u m b e r 4

( i ii ) W h a t is t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f o u r f i n i t e

e n e r g y c h a r g e d v o r t i c e s ? I t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w

t h a t th e a n g u l a r m o m e n t u m J d e f in e d b y

J = 2 f d 2 x e i / x i T ]

P HY S I CS L E T T E RS B 1 7 J u ly 1 9 8 6

f d x T [

n I a 2 1 a 2

= -- d x [ ( 4 ) ~ ( F i j )

+ ( 2

- n ) ~ F o ] ) ] = O .

15) 17 )

S i n c e i n th i s c a se n = 2 h e n c e w e c o n c l u d e t h a t

F . . = 0 . ( 1 8 )

t/

L e t u s n o w c o n s i d e r th e f i el d e q u a t i o n

D u Fa u v + 211a Ve~3Fa~ = 0 , ( 1 9 )

w h i c h f o r v = 0 a n d b e c a u s e o f e q . ( 1 8 ) r e d u c e s t o

D i F a i 0 = 0 . ( 2 0 )

F r o m h e r e o n h l a D e s e r [ 1 2 ] o n e c a n s h o w t h a t f o r

a s t a ti c s o l u t i o n

F a i 0 = 0 , ( 2 1 )

a n d h e n c e g l u e b a l ls d o n o t e x i s t i n ( 2 + I ) Q E D o r

Q C D w i t h C - S t e r m f o r a n y c o m p a c t g au g e g r o u p .

r e d u c e s t o

j = _ n Q ~ J d 2 x A ( ~ ( p ) , ( I 6 )

4 e 2

0

w h e r e Q i s a s g i v e n b y e q . ( 7 ) .

( i v ) A r e t h e s e c h a r g e d v o r t i c e s s t a b l e f o r n / > 2 ?

N o t e t h a t t h e u s u a l v o r t i c e s a r e u n s t a b l e f o r n ~ 2

i f 8 c 4 / e 2 ) 1 . A n o t h e r q u e s t i o n i s i f t w o c h a r g e d v o r -

t i c e s r e p e l o r a t t r a c t . T h i s i s b e i n g i n v e s t i g a t e d .

( v ) W h a t h a p p e n s w h e n t h e s e c h a r g e d v o r t i ce s a r e

c o u p l e d t o f e r m i o n s ? S i n c e th e s e a r e t o p o l o g i c a l o b -

j e c t s w e s h o u l d e x p e c t z e r o m o d e s . S i n c e A 0 4= 0 w e

f i n d t h a t W e i n b e r g ' s i n d e x t h e o r e m [ 1 1 ] i s i n a p p l i c-

a b l e . It w o u l d b e v e r y i n t e r e s t i n g t o g e n e r a l i z e h i s

t h e o r e m f o r t h i s c a se a n d o b t a i n t h e f e r m i o n i c n u m -

b e r o f t h e c h a r g e d v o r t ic e s . C u r r e n t l y w e a r e l o o k i n g

i n t o t h i s p r o b l e m .

( v i) T h e u s u a l v o r t e x s o l u t i o n c a n b e i d e n t i f i e d [ 2]

w i t h t h e N a m b u s t ri n g [ 3 ] . S i n c e in r e c e n t d a y s s tr i n g

t h e o r i e s h a v e a t t r a c te d s o m u c h a t t e n t i o n , i t m a y b e

w o r t h w h i l e t o - i n q u i r e i f t h e c h a r g e d v o r t e x s o l u t i o n

c a n b e i d e n t i f i e d w i t h s o m e s t r i n g t h e o r y .

B e f o r e f in i s h i n g th i s n o t e w e w o u l d l i k e t o p o i n t

o u t t h a t g l u e b a l ls d o n o t e x i s t i n ( 2 + I ) Q E D o r Q C D

w i t h C - S t e r m f o r a n y c o m p a c t g a u ge . I n t h e a b s e n c e

o f a C - S t e r m t h i s h a s a l r e a d y b e e n s h o w n b y D e s e r

[ 1 2 ] i n n s p a c e d i m e n s i o n s ( n :~ 4 ) . I n th e p r e s e n c e

o f t h is t e r m , h i s p r o o f h a s t o b e m o d i f i e d s l i g h t l y .

S i n c e e v e n in t h e p r e s e n ce o f t h e C - S t e r m t h e e n e r -

g y - m o m e n t u m t e n s o r TuV i s u n a l t e r e d , h e n c e a l a

D e s e r [ 1 2 ] w e h a v e i n t h i s c a s e ( f o r s t a t i c s o l u t i o n s )

I t is a p l e a s u r e to t h a n k S . N . B e h e r a f o r s t i m u l a t i n g

d i s c u s s i o n s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] S e e e . g .P . G . De Ge n n e s, S u pe r c o n d u c t iv i ty o f me ta l s

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[ 8 ] L . J a c o b s a n d C . Re b b i , P h y s . Re v . B1 9 (1 9 7 9 ) 4 4 8 6 .

[ 9 ] A . A . Ab r ik o s o v , S o y . P h y s . J E T P 5 (1 9 5 7 ) 1 1 7 4 .

[ 1 0 ] E . B . Bo go m o l ' n y i , S o y . J . Nu c l . P h y s . 24 (1 9 7 6 ) 4 4 9 .

[11] E. J . W einberg, Phys . Rev. D24 (1981) 266 9.

[12] S . Deser , Phys . Le t t . B 64 (1976) 46 4.

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