1. 平面简谐波 Plane Harmonic Waves

为了定量地描述波在空间的传播，可将处在任意位置的

质元在任意时刻的振动状态表示为

)( tryy ，r

=

)( try ，r多元函数 称为波函数

返回 退出

x ty

x

vr

O P

时刻

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ϕωvxtAt,xy cos)(

)cos()0( ϕω += tAt,yvx

vxt −

xty

x

vr

O P

时刻

πωλ2

=v)cos()0( ϕω += tAt,y

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ϕω

vxtAt,xy cos)( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

vxtA ωϕω )(cos

λπ2

=k角波数 angular wave number k

kr波矢( )ϕω +−= kxtAt,xy cos)(

退出返回

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ϕωvxtAt,xy cos)(

( )ϕω +−= kxtAt,xy cos)(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ϕω

vxtAt,xy cos)(

( )ϕω ++= kxtAt,xy cos)(

退出返回

( )ϕω +−= kxtAt,xy cos)(

x∆ t tt ∆+y

x

vr

O P

( ) ( ) ϕ∆∆ω ++−+= xxkttϕω +− kxt

kω

= λ

λππ ffv ==

22

txv

∆∆

=xkt ∆∆ω =

v Phase velocity相速度退出返回

2. 平面波的波动方程tension

弦上的横波，设线密度为μ，张力T（不变）

A tiny segment of the string dx dldx →

T Tdl

T

T2α

1α

dxx +x x退出返回

T T

T

T2α

1α

dxx +x x

dxdm µ=

( )1212 tgtgsinsin αααα −≈− TTT

dxx

yTxy

xyT

xdxx2

2

∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+2

2

tydx

∂∂µ=

2

2

2

2

xyT

ty

∂∂

µ∂∂

=退出返回

2

2

2

2

xyT

ty

∂∂

µ∂∂

=

µTv = 弦上横波的波速

2

22

2

2

xyv

ty

∂∂

∂∂

=Wave equation波动方程

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ϕω

vxtAt,xy cos)(

叠加原理线性偏微分方程superposition principle

退出返回

机械波的速度决定于介质的弹性和惯性

(1) 绳或弦上的横波波速

µTv = T 张力，µ 线密度

(2) 细棒中的纵波波速

ρYv = Y 杨氏模量，ρ 密度

(3) 固体中横波波速

ρGv = G 切变模量，ρ固体密度

退出返回

(4) 液体和气体中的纵波波速

ρKv = K 体积模量，ρ密度

(5) 稀薄气体中的声速

MRTv γ

=

M 气体摩尔质量，γ 气体摩尔热容比

R 摩尔气体常数退出返回

3. 波的衍射 Diffraction CAI

（2）a ~ λ

阴影区

阴影区

a

（1）a << λ

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Huygens principle惠更斯原理 CAI

波动传到的各点都可以看作是发射球面子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波阵面的包迹就决定新的波阵面。

子波源

子波

子波

t+∆t 时刻波阵面

t 时刻波阵面

子波源

退出返回

已知：向右， ( )αω += tAy,v a cos

如图建立坐标，求波动式及b点振动式y

xO

v

a b

ax l

[ ]akxtAy ++= αωcos0

[ ]kxkxtAy a −++= αωcos

[ ] [ ]kltAkxkxtAy bab −+=−++= αωαω coscos退出返回

已知：向右， ( )αω += tAy,v a cos

如图建立坐标，求波动式及b点振动式

x

y

O

va b

ax

l

[ ]akxtAy −+= αωcos0

[ ]kxkxtAy a +−+= αωcos

[ ] [ ]kltAkxkxtAy bab −+=+−+= αωαω coscos退出返回

[例3] 已知 t = 0 时的波形曲线为Ⅰ，波沿 ox 方向传播，经t=1/2 s 后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期 T >1s，试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求 A点的振动式。

m010.A =y(cm)

x(cm)1 2 3 4 5 6

Ⅰ Ⅱ

A1

-1

0m040.=λ

101 sm02021

010 −⋅==−

= ..t

xxv

s2020040

===..

vT λ 1sππ2 −==

Tω

返回 退出

y(cm)

x(cm)1 2 3 4 5 6

Ⅰ Ⅱ

A1

-1

0

原点振动： )cos(0 ϕω += tAy

ϕcos0 A=初始条件：

0sin <−= ϕω Av2π

±=→ ϕ

2π

=→ ϕ0sin >ϕ

)2ππcos(01.00 += ty

返回 退出

)2ππcos(01.00 += ty

]2π)

02.0(πcos[01.0 +−=

xty

y(cm)

x(cm)1 2 3 4 5 6

Ⅰ Ⅱ

A1

-1

0

波动式：

]2π)

02.001.0(πcos[01.0 +−= tyAA点振动式：

tyA πcos01.0=退出返回

y′

)20

(π4cos3 xty +=

y

B点振动式：

波动式： ]π)20

(π4cos[3 −+=xty

[例4] 一平面简谐波在介质中以速度 ，沿 x轴的负向传播。已知A点的振动式为 ，则

（1）以A点为坐标原点求波动式；（2）以距A点5m处的B为坐标原点求波动式。

m/s20=vty π4cos3=

返回 退出

π)π4cos(3 −= t]20)5([π4cos3 −

+= tyB

A xB

v

x

入射波波动式：

)(cosvxtAy −= ω

)(cosvLtAyB −= ω

v

反射波波动式：

)2(cosvLtAy −= ω

)2(cosvx

vLtAy +−= ω

O B x

L

v

y

[例5] 有一平面简谐波沿 x 轴方向传播，在距反射面 B 为L处的振动规律为 ，设波速为v，反射时无半波损失，求入射波和反射波的波动式。

tAy ωcos=

反射波在原点的振动式：

返回 退出

§13.3 波的能量和能流

1.平面简谐波的能量密度 µ线密度为弦上的横波

2)(21

tydxdK

∂∂µ=

( ) ( )[ ] 21

2

21

22 1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+→

xydxdydxdx

∂∂

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= dx

xydxTdU

21

2

1∂∂

a b

dx

dyvO x

x考虑弦上距原点O 为 处的原长为 的线元xd ab

x

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= dx

xydxT L

2

211

∂∂

返回 退出

在 t 时刻，线元 ab偏离平衡位置到 y 处，其振动速度为

ty

∂∂

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

xyTdxdU

∂∂

22

21)(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

xyTdx

tydxdUdKdE

∂∂

∂∂µ

)cos( kxtAy −= ω平面简谐波

( )kxtAdxdK −= ωωµ 222 sin21

( )kxtATdxkdU −= ω222 sin21

µω Tk

v == dUdK =

( )kxtAdxdE −= ωµω 222 sin退出返回

( )kxtAdxdE −= ωµω 222 sin

S

1设弦的横截面积为 S

Sρµ =

dxSdEw = ( )kxtA

S−= ωωµ 222 sin

( )kxtA −= ωρω 222 sin

22

0 211 Awdt

Tw

T

ρω=>=< ∫退出返回

snapshot

The oscillating string element thus has both its maximum kineticenergy and its maximum elastic potential energy at y = 0

When the string element is at its y = ym position, its length has its normal undisturbed value dx, so its elastic potential energy is zero. However, when the element is rushing through its y = 0 position, it is stretched to its maximum extent, and its elasticpotential energy then is a maximum.

退出返回

snapshot

The regions of the string at maximum displacement have no energy, and the regions at zero displacement have maximum energy.

As the wave travels along the string, forces due to the tension in the string continuously do work to transfer energy from regions with energy to regions with no energy.

退出返回

2. 机械波的能流密度

单位时间内通过垂直于波的传播方向上的

单位截面的机械波的能量

能量密度 w

vwS rr=

ΣwvddE =

wvddES ==

Σ

vr

v

Σd

⟩⟨===⟩⟨= ∫∫ wvwdtTvSdt

TSI

TT

00

1

Sr

机械波的强度

22

21 vAI ρω=平面简谐波

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