phÉp tÍnh vi phÂn hÀm mỘt biẾn - nguyenvantien0405•cho u, v là hai hàm theo x. khi...
TRANSCRIPT
![Page 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/1.jpg)
9/10/2016
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
CHƯƠNG 2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm tại một điểm
• Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệuf’(a) là:
(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).
• Chú ý: đặt h=x-a, ta có:
' limx a
f x f af a
x a
0' lim
h
f a h f af a
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Tìm đạo hàm của hàm:
tại a=2 theo định nghĩa.
Ta xét giới hạn sau:
Vậy:
2 8 9f x x x
22
0 0
2 8 2 9 3 4lim lim 4h h
h h h h
h h
' 2 4f
0
2 2limh
f h f
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm phải – trái• Đạo hàm trái của f(x) tại a là:
• Đạo hàm phải của f(x) tại a là:
0' lim lim
x a h
f x f a f a h f af a
x a h
0' lim lim
x a h
f x f a f a h f af a
x a h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý
• Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi vàchỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a vàhai đạo hàm này bằng nhau.
• Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàmsố liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể khôngđúng.
' ' 'f a L f a f a L
' limx a
f a L f x f a
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ• Cho hàm số:
Tìm
Ta có:
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.
1/ , 0
0 , 0
xe xf x
x
' 0 ; ' 0f f
1/
1/
0 0
0 0
0 0 0' 0 lim lim lim 0
0 0 0' 0 lim lim
h
u
h
uh h
h h
f h f e uf
h h ef h f e
fh h
![Page 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/2.jpg)
9/10/2016
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số đạo hàm• Với a cố định ta có:
• Thay a bằng x ta có:
• Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếugiới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụthuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàmtheo x và gọi là đạo hàm của hàm f.
0' lim
h
f a h f af a
h
0' lim
h
f x h f xf x
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số đạo hàm• Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).
• Ký hiệu:
• Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao chof’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).
'; '; ; ;df dy d
f y f xdx dx dx
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
• Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2.
• Ta có:
• Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộcTXĐ.
• Vậy đạo hàm của hàm số:
2 2
0 0lim lim 2h h
f x h f x x h xx
h h
' 2y x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
• Tìm đạo hàm của hàm:
• Ta có:
• Vậy:
• Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )
0 0
1' lim lim
2h h
f x h f x x h xf x
h h x
1' . D : 0;
2f x TX
x
f x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Qui tắc tính đạo hàm 1• Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của
các hàm sau là:
• Đạo hàm dạng:uv
• Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:
2
. ' ' ' . ' . '
' . . '. . ' ' . . ' .
i u v u v ii ku k u
u u v u viii u v u v u v iv
v v
'' . ln .v v u
u u v u vu
vy u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Qui tắc tính đạo hàm 2• Đạo hàm của hàm hợp:
• Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:
Vậy:
0.
x g xy f g x y f g
ln cosy x
ln ; cosf x x g x x
1. . sin tan
cosx g xy f g x x
x
![Page 3: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/3.jpg)
9/10/2016
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức tính đạo hàm 1
1
2
2
1. 0 2. .
3.
14. ln
5. sin cos
6. cos sin
17. tan
cos1
8. cotsin
x x
C x x
e e
xx
x x
x x
xx
xx
Đạo hàm hàm hợp
2
2
3. . '
14. ln . '
5. sin ' .cos
6. cos sin
17. tan . '
cos1
8. cot . 's
' .
in
u ue e u
u uu
u u u
u u
u u
uu
u
u
u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức tính đạo hàm 2
2
2
2
2
9. . ln
110. log
. ln1
11. arcsin11
12. arccos11
13. arctan11
14. arc cot1
x x
a
a a a
xx a
xx
xx
xx
xx
Đạo hàm hàm hợp
9.
10. log
11. arcsin
12. arccos
13. arctan
14. arc cot
u
a
a
u
u
u
u
u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ• Tìm f’(x) biết:
• Ta có:
3ln1 cos
xef x
x
1ln 1 cos
31 sin 1 sin
' 1 13 1 cos 3 1 cos
y x x
x xy
x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ• Tìm f’(x) biết:
• Ta có:
• Vậy:
2
3 4 7
1
.sin
xf x y
x x
2
2
4ln ln 1 ln 7 ln sin
3' 2 4 7 cos
3 sin1
y x x x
y x x
y x xx
2
23 4 7
2 4 7 cos' .
1
.si sn 3 in1
x
x
xy
x xxx
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số cho bởi tham số• Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:
• Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trìnhtham số.
• Ví dụ: Cho hàm
Đặt: ta có dạng tham số sau:
x x t
y y t
lnxy
x
tx e
t
t
x e
tye
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức đạo hàm tham số
• Cho hàm y=f(x) dạng tham số:
• Khi đó:
• Ví dụ:
x x t
y y t
/
/t
xt
ydy dy dty
dx dx dt x
2 2
1
11 1 ln
tt
t t
t
x t t
x e
ty
et
t xeye e x
lnt
t
x ex
y tx ye
![Page 4: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/4.jpg)
9/10/2016
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm của hàm ngược• Hàm số có hàm ngược là:
• Khi đó:
• Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany
1x f y
1 1y x
x y
x yy x
2 2
1 1 1
1 tan 1xy
yx y x
y f x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm của hàm ngược• Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny
• Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy
2 2
1 1 1 1
cos 1 sin 1
2 2
xy
yx y y x
do y
2 2
1 1 1 1
sin 1 cos 1
0
xy
yx y y x
do y
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ẩn• Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương
trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳngthức đúng.
• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).
• Ví dụ: Phương trình:
xác định hai hàm ẩn:
2 2, 1F x y x y
2
11 , 1;1y x x
2
21 , 1;1y x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn• Cho phương trình: F(x;y)=0
• Để tính: y’x• B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x.
Chú ý y là hàm theo x.
• B2. Giải phương trình tìm y’.
• B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình.
Ví dụ: Cho phương trình:
Tính đạo hàm của y theo x.
3 2ln 0yx y x e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn• B1. Lấy đạo hàm theo x
• B2. Giải tìm y’
3 2ln 0y
xx y x e
2 2
2 2
2
2
* 3 2 . . 0
3 2 . 1 0
3 2 .
'
'
'
1
'y y
y y
y
y
x y xy e x ye
x y xy e x
y y
ye
x y xy ey
x ye
y
2 2'3 . . 0 *'2 .y yx x e x
yye
y
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn• B3. Tính y’(0).
• Ta có:
• Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:
3 2ln 0
0 ln 0 1 0
yx y x e
x y y y
2
2
3 2 .'
1
y
y
x y xy ey
x ye
1
1
1 10 03. . 2. . .' 0 0
. 10.1
ey
e
![Page 5: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/5.jpg)
9/10/2016
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao
• Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọilà đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x).
• Ký hiệu:
• Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạohàm cấp 2.
2
2
d df d ff f
dx dx dx
2 3
2 3
d d f d ff f
dx dx dx
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao
• Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạohàm cấp (n-1).
• Ví dụ: Cho hàm:
Tìm đạo hàm cấp n của hàm số.
Giải:
11
1
n nn n
n n
d d f d ff f
dx dx dx
. xf x x e
. . . 1x x x x xf x x e x e e x e x e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao• Ta có:
• Tương tự:
• Tổng quát:
1 1 2x x x xf x x e e x e x e
43 ; 4x xf x x e f x x e
n xf x x n e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao thường gặp
1
1
) 1 ... 1
1 1) 1 !
) .
1 !) ln 1
) sin .sin2
) cos .cos2
nn
nn
n
nax n ax
n n
n
n n
n n
i x a n x a
ii nx a x a
iii e a e
niv x
x
v ax a ax n
vi ax a ax n
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chú ý
1
) 1 ... 1 .
1 !) ln 1 .
) sin .sin2
) cos .cos2
nn
n
n n
n
nn
nn
n
i ax b n ax b
niv ax b
ax b
v ax b a ax b n
vi ax b a ax b n
a
a
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Tính đạo hàm cấp n của:
2
1 1) )
3 21a f x b g x
x xx x
![Page 6: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/6.jpg)
9/10/2016
6
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao hàm ẩn• Biết: . CM:
• Đạo hàm 2 vế theo x:
• Do đó:
• Thay y’ vào:
4 4 16x y2
7
48xy
y
33 3
34 4 . ' 0 '
xx y y y
y
23 2 3 3 2
3 6 4
3 '3 3 . ' x xy yx x y x y yy
y y y
32
2 4 4 2
4 7 7
33
3 48x x y
x x y x
y y
x
yy
y
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao tham số• Ta đã biết:
• Theo công thức đạo hàm hàm hợp:
• Do đó:
'
't
xt
x x t yy
y y t x
. .x t
x x t x t xt xt
yy y x y x y
x
3
. .t t t
x
t
y x y xy
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Tìm y’’ biết:
• Ta có:
• Vậy:
2
sinx t
y t
cos ; sin
2 ; 2t t
t t
x t x t
y t y
3 3
2;
cos2.cos 2 sin 2.cos 2 sin
coscos
x
x
ty
tt t t t t t
ytt
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức Leibnitz• Dễ thấy:
• Mở rộng:
. . .
. . . . 2 .
f g f g g f
f g f g g f f g f g f g
0
. .nn k n kk
nk
f g C f g
Gần giống khai triển nhị thức Newton
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Tính đạo hàm:
3 3 2 2 3
3 4 3 2 2 3 4
. 3 . 3 .
. 4 . 6 . 4 .
f g f g f g f g g f
f g f g f g f g f g g f
102 1 sin ???f x x x f x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
VI PHÂN
• Vi phân tại một điểm
• Vi phân trên một khoảng
• Ứng dụng vi phân tính gần đúng
![Page 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/7.jpg)
9/10/2016
7
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân tại một điểm
• Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu:
• Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu:
0 0. 0f x h f x Ah h
: haèng soá höõu haïn
VCBù baäc cao hôn
Ngöôøi ta coøn kyù hieäu laø .
0
00 : . lim 0
h
A
hh h
h
h x
0 0. 0f x x f x A x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân tại một điểm• Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó A.h gọi là vi phân
của hàm số f(x) tại x0.
Ký hiệu:
Định lý: Hàm y= f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồntại f’(x0).
Ta chứng minh được:
0
0
.
.
df x A h
hay df x A x
0'A f x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân tại một điểm• Vi phân của hàm số f(x) tại x0.
• Tính chất:
0 0
0 0
' .
' .
df x f x h
hay df x f x x
2
) 0
)
)
)
)
i d C
ii d f df
iii d f g df dg
iv d fg gdf fdg
f gdf fdgv dg g
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân của hàm hợp
• Cho hàm hợp:
• Vi phân:
• Hai công thức này có dạng giống nhau
• Vậy vi phân cấp 1 có tính bất biến.
0f u x hay f u x
. . ' ' .df f x dx f u u x dx f u du
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng vi phân
0
y
0x
0x x
0f x
0f x x
x
0 0f x x f x
f
0' .f x x
0' . 0f f x x khi x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
• Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có:
• Hay công thức:
0 0 0' .f x x f x f x x
0 0 0' .f x f x f x x x
![Page 8: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/8.jpg)
9/10/2016
8
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ• Cho hàm số:
a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1
b) Tính gần đúng:
Giải:
3f x x
4,03
1 1
2 3 2 3f x df x dx
x x
1 1 11 1
4 42 1 3df dx dx x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ• Cho hàm số:
a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1
b) Tính gần đúng:
Giải:
Nếu tính bằng máy tính:
3f x x
4,03
11 1
41 0, 03
4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 00754 4
f x f x
f f
4,03 2,00748599..
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân cấp cao• Vi phân cấp 1:
• Là một hàm theo x. Nếu hàm số này có vi phân thì viphân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x).
• Vậy:
• Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n-1).
df x f x dx
2
2
'
. ' . .
d f x d df d f x dx
dx d f x dx f x dx f x dx
1 .nn n nd f x d d f f x dx
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân cấp cao của hàm hợp• Cho hàm hợp: f(g(x)).
• Vi phân cấp 2:
2
2 2
'
' . ' .
d f d df d f u du
d f u du f u d d u
f u du f u d u
2 2d f x f x dx
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI
• Định lý về giá trị trung bình (tham khảo)
• Công thức Taylor
• Qui tắc L’ Hospitale
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý Fermat
• Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0.
• Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0
thì:
0' 0f x
![Page 9: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/9.jpg)
9/10/2016
9
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý Rolle
• Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) saocho f’(c)=0
• Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle cónghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhấtmột nghiệm của đạo hàm.
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý Lagrange
• Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thìtồn tại c thuộc (a,b) sao cho:
'f b f a
f cb a
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý Cauchy
• Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong(a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc(a,b) sao cho:
'
'
f b f a f c
g b g a g c
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức Taylor
• Khai triển một hàm số phức tạp thành dạngđơn giản
• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức.
• Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0
2 5 2 11 2
2 3
arctan ... 1 03 5 2 1
1 ... 02! 3! !
nn n
nx n
x x xx x x
nx x x
e x xn
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức TaylorCho hàm số f(x):
• Liên tục trên [a,b]
• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)
• Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:
20 0
0 0 0
110
0 0
' "
1! 2 !
...! 1 !
n nn n
f x f xf x f x x x x x
f x f cx x x x
n n
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Phần dư trong công thức Taylor
• Dạng Lagrange:
• Dạng Peano: (thường dùng hơn)
11
01 !
nn
n
f cR x x
n
0
lim 0nnx
R
x x0
0n
nR x x
![Page 10: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/10.jpg)
9/10/2016
10
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức MaclaurinCho hàm số f(x):
• Liên tục trên [a,b]
• Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)
• Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:
2' 0 " 0 0
0 ... 01! 2! !
n
n n
f x
f f ff x x x x
n
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức L’Hospital
• Áp dùng tìm giới hạn dạng:
Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng
Neáu thì
0lim ;
0
lim lim
x a
x a x a
f x
g x
f x f xL L
g x g x
0;0
lim limx a x a
f x f xL
g x g x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
• 1. Ý nghĩa của đạo hàm
• 2. Giá trị cận biên
• 3. Hệ số co dãn
• 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
1. Ý nghĩa của đạo hàm
• Cho hàm số y=f(x)
• Tại x0 khi x thay đổi một lượng Δx
• Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0)
• Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x0 chính làđạo hàm f’(x0)
0 0
0 0' lim
x
f x x f xf x
x
0'
yf x khi x rat nho
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
1. Ý nghĩa của đạo hàm
• Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa làp=50-Q2
• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi
• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
1. Ý nghĩa của đạo hàm
• Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là
𝑝 = 45 − 2 𝑄
• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi
• Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4
![Page 11: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/11.jpg)
9/10/2016
11
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
2. Giá trị cận biên
• Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x)
• Ta thường chọn xấp xỉ 𝑀𝑦(𝑥) ≈ ∆𝑦 tức làMy(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thayđổi một đơn vị ∆𝑥=1
'My x f x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giá trị cận biên của chi phí
• Cho hàm chi phí C=C(Q)
• Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)
• Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơnvị
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sảnphẩm là:
• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Qsản phẩm.
• B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ýnghĩa khi Q=50.
2 5000, 0001 0, 02 5C Q Q
Q
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giá trị cận biên của doanh thu
• Cho hàm doanh thu R=R(Q)
• Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)
• Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1đơn vị
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xebus được cho bởi công thức:
• A) Xác định hàm tổng doanh thu
• B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 vàp=32
10000 125Q p
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối
• Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượngΔx thì ta nói:
• Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x
• Tỷ số∆𝑥𝑥. 100% gọi là độ thay đổi tương đối
của x
![Page 12: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - nguyenvantien0405•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đóđạohàm theo x của các hàm sau là: •Đạohàm dạng:uv •Cách tính:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040502/5e28321aa7042d0e7a7a96f7/html5/thumbnails/12.jpg)
9/10/2016
12
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hệ số co dãn
• Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thayđổi tương đối của y và của x thay đổi một lượngΔx.
• Ký hiệu:
• Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.
'/. .
/yx
f xy y y xx
x x x y f x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khip=3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Lựa chọn tối ưu trong kinh tế
• Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau:
• + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa
• + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa
• + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)
• Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị củahàm một biến số đã học.
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
• Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3-19Q2+333Q+10
• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
• Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3-25Q2+184Q+15
• Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.