photonic wannier functions: generation and...
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Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
photonics.tfp.uni-karlsruhe.de
Photonic Wannier Functions: Generation and Usage
Kurt Busch
Institut für Theoretische Festkörperphysik and
DFG-Center for Functional Nanostructures, KIT, Germany
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Dr. Sabine Essig
Dr. Regine Frank
Dr. Patrick Mack
Dr. Jens Niegemann
Richard Diehl
Jens Küchenmeister
Michael König
Paolo Longo
Christian Wolff
Thomas Zebrowski
Ferdinand Kaplan
Martin Köhl*
Timo Köllner
Benjamin Lutz
Christoph Martens
Matthias Moeferdt
Petru Tighineanu
Michael Walz
Acknowledgments
Prof. Dr. Ralf Wehrspohn (Fraunhofer Institute &
University Halle)
Prof. Dr. Martin Wegener (KIT)
Prof. Dr. Georg von Freymann (University of Kaiserslautern)
Prof. Dr. Stefan Linden (University of Bonn)
Prof. Dr. Wolfram Hergert (University of Halle)
Dr. Antonio Garcia-Martin (now @ IMM-CSIC, Madrid)
Dr. Matthias Schillinger (now @ D-Fine)
Dr. Daniel Hermann (now @ 1&1)
Christian Blum (now @ HU Berlin)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Motivation
Wannier Functions: Generation
Wannier Functions: Usage
Conclusions
Outline
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Motivation
Wannier Functions: Generation
Wannier Functions: Usage
Conclusions
Outline
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Motivation: Photonic Crystals
I. Staude et al., Opt. Lett. 35, 1094 (2010)
M. Deubel et al., Nature Materials 3, 444 (2004)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
I. Staude et al., Opt. Lett. 36, 67 (2011)
Motivation: Photonic Crystals
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Aequous HF
Wa
fer
cro
ss s
ectio
n
IlluminationDonator ion (e.g., P)
Hole
SCR
A. Birner et al., Adv. Mater. 13, 377 (2001)
Motivation: Photonic Crystals
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
P. W. Nolte et al., Adv. Mater. 22, 4731 (2010)
Motivation: Photonic Crystals
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Motivation: Photonic Crystals
Numerically Large Systems even for Simple Constituent Materials
Complex Materials: Multi-Component Systems, Optical Anistropy ….
Design / Optimization of Photonic-Crystal-based Circuitry
Novel Functionalities
Disorder
Photonic Wannier Function Approach
K. Busch et al., J. Phys.: Cond. Mater. 15, R1233 (2003)
K. Busch et al., J. Mod. Opt. 58, 365 (2011)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Motivation
Wannier Functions: Generation
Wannier Functions: Usage
Conclusions
Outline
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
·@x
1
²(r)@x + @y
1
²(r)@y ¡
!2
c2
¸H(r; !) = 0
Hnk(r+R) = exp(ikR)Hnk(r)
WnR(r) =
r1
VBZ
Z
BZ
d2k exp(¡ikR)Hnk(r)
Photonic Wannier Functions
²(r) = ²(r+R) 8R 2R
2D H-Polarization: Wave Equation
Ideal Photonic Crystal: Bloch Functions
Localized Basis: Wannier Functions
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Integration? Alright, but Where‘s the Band?
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Band 26
Wannier Functions: Naive Integration
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Band 26
Wannier Functions: “Correct“ Processing
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
WnR(r) =
r1
VBZ
Z
BZ
d2k exp(¡ikR)X
n0
Un0n(k)Hn0k(r)
Generalized Wannier Functions
Free Parameters (“Gauge Transformation“)
Un0n(k)
Minimize Spread Functional
[fUnn0(k)g] =X
n
Zd2rW¤
nR(r)¡r ¡ hri2n
¢2W¤
nR(r)
hrin =X
n
Zd2rW¤
nR(r)rW¤nR(r)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
r = 0.45 a
Macroporous Silicon: Triangular Lattice
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Souza-Marzari-Vanderbilt Algorithm
N. Marzari, D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 56, 12847 (1997)
I. Souza et al., Phys. Rev. B 65, 035109 (2001)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Possible Wannier Function Symmetries for Various Wannier Centers
Wannier Function Symmetry from Bloch Function Symmetry („Band Symmetry“)
Grouping of Bands for Souza-Marzari-Vanderbilt: Selection Rules
E. Krüger, phys. stat. sol. (b) 52, 215 (1972)
E. Krüger, phys. stat. sol. (b) 52, 519 (1972)
Extended to Photonic Wannier Functions:
P. Mack, K. Busch, in preparation
Group-Theoretical Preprocessing
P. Mack, K. Busch, in preparation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Selection Rules: 2D Triangular Lattice, H-Polarization
P. Mack, K. Busch, in preparation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
3D Photonic Wannier Functions: Woodpile
Band 1
Band 3
Band 15
Band 25
K. Busch et al., J. Mod. Opt. 58, 365 (2011)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Band Structure Reconstruction from Wannier Functions
K. Busch et al., J. Mod. Opt. 58, 365 (2011)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Motivation
Wannier Functions: Generation
Wannier Functions: Usage
Conclusions
Outline
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
·@x
1
²(r)@x + @y
1
²(r)@y ¡
!2
c2
¸H(r; !) = 0
2D H-Polarization: Wave Equation
H(r; !) =X
n
X
R
CnRWnR(r)
The Master Equation
²(r) = ²per(r) + ±²(r)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
The Master Equation
µCnn0;RR0 +Dnn0;RR0 ¡ !2
c2Ann0;RR0
¶cn0R0 = snR
Ann0;RR0 = hWnRjWn0R0i
Cnn0;RR0 = hWnRj @x1
²per(R)@x + @y
1
²per(R)@y jWn0R0i
Dnn0;RR0 = hWnRj @x¡±²(r)
²(r)²per(r)@x + @y
¡±²(r)²(r)²per(r)
@yjWn0R0i
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Types of Defects and Reusability of Matrices
Dnn0;RR0 =X
Rdef
Bnn0;(R¡Rdef) (R0¡Rdef)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Types of Defects and Reusability of Matrices
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Convergence
P. Mack, K. Busch, in preparation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Convergence: Auxiliary Wannier Functions
P. Mack, K. Busch, in preparation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Convergence
Wannier Functions Auxiliary Wannier Functions
P. Mack, K. Busch, in preparation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Convergence
P. Mack, K. Busch, in preparation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Tunable Waveguides
K. Busch et al., J. Mod. Opt. 58, 365 (2011)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Tunable Splitter
K. Busch et al., J. Mod. Opt. 58, 365 (2011)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
D. Hermann et al., J. Opt. Soc. Am. B. 25, 202 (2008)
Photonic-Crystal Circuit Theory
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Photonic-Crystal Circuit Theory
D. Hermann et al., J. Opt. Soc. Am. B. 25, 202 (2008)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Green‘s Function in Wannier Representation
·@2x + @2y +
!2
c2²(r)
¸E(r; !) = 0
r = 0.18 a
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
G(r;rs;!) = ²per(rs)X
®;¯
W¤®(rs)G®¯(!)W¯(r)!)
G®¯(!) =X
m
Z
BZ
d2kUnm(k)U¤
n0m(k)
!2 ¡ !2mkexp (ik ¢ (R0 ¡R))
Green‘s Function in Wannier Representation
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Density of States and Local Density of States
K. Busch et al., J. Mod. Opt. 58, 365 (2011)
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Disorder: Cluster CPA
M. Köhl, C. Wolff, K. Busch, submitted
5% Silicon Rods in Square Array of ZnO rods
Institut für Theoretische Festkörperphysik – Photonics Group
Photonic Wannier Functions: Powerful Tool for Photonic Crystals
“Atomic Orbitals for Light”
Generation
Usage
Functional Elements
Photonic Crystal Circuit Theory
Disorder: Cluster CPA
Time-Domain Version
Conclusions
C. Blum, C. Wolff, K. Busch, Opt. Lett. 36, 307 (2011)