phƢƠng phÁp giẢi vÀ sÁng tẠo cÁc bÀi toÁn tÌm giỚi...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HOÀNG THỊ DIỆU HIỀN

PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ

SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN

TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MÐ ��U

1. Lþ do chån �· t i

Giîi h¤n l mët �èi t÷ñng nghi¶n cùu trång t¥m cõa h m sè

v l kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc. Nâ l cì sð �º x¥y

düng kh¡i ni»m h m sè li¶n töc, �¤o h m, t½ch ph¥n,...Tâm l¤i,

giîi h¤n h m sè l vi¶n g¤ch �º x¥y düng n¶n chuy¶n ng nh to¡n

Gi£i t½ch.

Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n THPT, Gi£i t½ch chi¸m thíi l÷ñng

t÷ìng �èi nhi·u, trong �â ph¦n giîi h¤n cõa h m sè chõ y¸u n¬m

ð Håc ký 2 cõa lîp 11 v mët v i d¤ng to¡n li¶n quan ð lîp 12.

Tuy nhi¶n, h¦u h¸t håc sinh �·u lóng tóng khi gi£i c¡c d¤ng to¡n

li¶n quan �¸n giîi h¤n cõa h m sè nh÷ c¡ch khû c¡c d¤ng væ �ành,

c¡ch x²t t½nh li¶n töc cõa h m sè ho°c khi t½nh �¤o h m cõa h m

sè b¬ng �ành ngh¾a,... C¡c b i to¡n v· giîi h¤n công �÷ñc xem

l mët trong nhúng d¤ng to¡n khâ ð bªc THPT. Trong ph¤m vi

gi£ng d¤y công nh÷ bçi d÷ïng håc sinh giäi c§p th nh phè, tæi

nhªn th§y h¦u h¸t håc sinh �·u th§y khâ kh«n trong vi»c nhªn

d¤ng v khû c¡c d¤ng væ �ành khi gi£i c¡c b i to¡n v· giîi h¤n cõa

h m sè. B£n th¥n gi¡o vi¶n công h¤n ch¸ trong vi»c tü ra mët sè

b i to¡n li¶n quan.

Hi»n nay, t i li»u v· giîi h¤n cõa h m sè d nh cho håc sinh

v gi¡o vi¶n THPT th¼ r§t nhi·u , tuy nhi¶n r§t ½t t¡c gi£, t i li»u,

gi¡o tr¼nh ti¸ng vi»t nghi¶n cùu v �· cªp �¸n c¡c ph÷ìng ph¡p

chuy¶n s¥u công nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o c¡c b i to¡n v·

giîi h¤n cõa h m sè. L mët gi¡o vi¶n �ang gi£ng d¤y mæn to¡n

THPT, b£n th¥n tü nhªn th§y vai trá quan trång cõa giîi h¤n

h m sè trong gi£i t½ch, vîi mong muèn �÷ñc t¼m hiºu s¥u sc hìn

2

v· c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i v s¡ng t¤o c¡c b i to¡n v· giîi h¤n cõa

h m sè, tæi quy¸t �ành chån �· t i: �PH×ÌNG PH�P GI�IV� S�NG T�O C�C B�I TO�N T�M GIÎI H�N CÕAH�M SÈ� cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh.

2. Möc �½ch v nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p �º gi£i c¡c b i to¡n t¼m giîi h¤n

cõa h m sè. �°c bi»t, nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o ra

c¡c b i to¡n v· giîi h¤n h m sè.

3. �èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu

* �èi t÷ñng nghi¶n cùu: C¡c ph÷ìng ph¡p khû c¡c d¤ng

væ �ành th÷íng g°p.

* Ph¤m vi nghi¶n cùu: C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n giîi

h¤n h m sè THPT v bçi d÷ïng håc sinh giäi.

4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Vîi �· t i: �PH×ÌNG PH�P GI�I V� S�NG T�OC�C B�I TO�N T�M GIÎI H�N CÕA H�M SÈ� tæi �¢sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu sau :

+ Thu thªp, têng hñp, ph¥n t½ch, so s¡nh, �¡nh gi¡.

+ Sû döng, ph¡t triºn v ùng döng c¡c ph÷ìng ph¡p �¢ câ

trong lþ thuy¸t v· giîi h¤n h m sè .

+ Tham kh£o þ ki¸n �çng nghi»p v ng÷íi h÷îng d¨n

5. Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n cõa �· t i

�· t i câ gi¡ trà v· m°t lþ thuy¸t v ùng döng. Câ thº sû döng

luªn v«n nh÷ l t i li»u tham kh£o d nh cho håc sinh giäi chuy¶n

3

to¡n v c¡c �èi t÷ñng quan t¥m �¸n c¡c ph÷ìng ph¡p t¼m v s¡ng

t¤o ra c¡c b i to¡n v· giîi h¤n cõa h m sè.

6. C§u tróc cõa luªn v«n

Ngo i ph¦n mð �¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, luªn v«n

�÷ñc chia th nh 3 ch÷ìng, trong �â:

Ch÷ìng 1 . Ki¸n thùc cì b£n

Ch÷ìng 2 . Ph÷ìng ph¡p t¼m giîi h¤n h m sè

Ch÷ìng 3 . Ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o c¡c b i to¡n t¼m giîi h¤n h m

sè

Còng vîi sü h÷îng d¨n cõa Th¦y gi¡o TS. Ph¤m Quþ M÷íi, tæi

�¢ chån �· t i "PH×ÌNG PH�P GI�I V� S�NG T�OC�C B�I TO�N T�M GIÎI H�N CÕA H�M SÈ" cho

luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh.

4

CH×ÌNG 1

KI�N THÙC CÌ B�N

1.1. H�M SÈ. H�M SÈ �ÌN �I�U. H�M SÈ BÀCH�N

1.2. C�C PH�P T�NH ��I SÈ TR�N C�C H�M

1.3. GIÎI H�N H�M SÈ V�MËT SÈ T�NH CH�TCÌ B�N

Cho I l mët kho£ng cõa R, khæng réng v công khæng thu

v· mët �iºm. K½ hi»u I ch¿ kho£ng �âng còng câ mót vîi I v oI

ch¿ kho£ng mð câ còng mót vîi I

A. C¡c �ành ngh¾a.

�ành ngh¾a 1.1. (�ành ngh¾a giîi h¤n húu h¤n)

�ành ngh¾a 1.2. (�ành ngh¾a giîi h¤n væ còng)

�ành ngh¾a 1.3. (�ành ngh¾a giîi h¤n mët b¶n)B. Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa giîi h¤n h m sè

M»nh �· 1.1. (T½nh duy nh§t cõa giîi h¤n, n¸u tçn t¤i)

N¸u f nhªn l v l′ l m giîi h¤n t¤i a, th¼ l = l′.

M»nh �· 1.2. N¸u f : I → R câ giîi h¤n húu h¤n t¤i a ∈ Ith¼ f bà ch°n trong mët l¥n cªn cõa a.

M»nh �· 1.3. (Sû döng d¢y �º thº hi»n giîi h¤n h m sè)

�º f : X → R câ giîi h¤n l l t¤i a ∈ I, �i·u ki»n c¦n v �õ l :

vîi måi d¢y (un)n∈N trong I sao cho un → a khi n → ∞, ta câ

f(un)→ l khi n→∞.

5

M»nh �· 1.4. Cho a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f : I → R, l ∈R, (c, d) ∈ R2. Gi£ sû f câ giîi h¤n l l t¤i a.

1. N¸u c < l, th¼ trong l¥n cªn cõa a : c < f(x).

2. N¸u l < d, th¼ trong l¥n cªn cõa a : f(x) < d.

3. N¸u c < l < d, th¼ trong l¥n cªn cõa a : c < f(x) < d.

M»nh �· 1.5. (Chuyºn qua giîi h¤n trong c¡c b§t �¯ng thùc)

Cho a ∈ I ∪ { −∞; +∞}, f : I → R, l ∈ R, (c, d) ∈ R2.

Gi£ sû f câ giîi h¤n l l t¤i a.

1. N¸u c ≤ f(x) trong l¥n cªn cõa a, th¼ c ≤ l.

2. N¸u f(x) ≤ d trong l¥n cªn cõa a, th¼ l ≤ d.

3. N¸u c ≤ f(x) ≤ d trong l¥n cªn cõa a, th¼ c ≤ l ≤ d.

M»nh �· 1.6. (�ành lþ kµp)

Cho f, g, h : I → R, a ∈ I ∪ {−∞; +∞} , l ∈ R.

N¸u

{f(x)→ l khi x→ ah(x) → l khi x→ af(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

∣∣∣∣∣, th¼ g câ giîi h¤n l l t¤i a.

M»nh �· 1.7. Cho f, g : I → R, a ∈ I ∪ {−∞,+∞}.

N¸u

{f(x)→ +∞ khi x→ aTrong l¥n cªn cõa a : f(x) ≤ g(x)

∣∣∣∣ , th¼ g(x)→ +∞ khi x→ a.

�ành lþ 1.1. Gi£ sû limx→a

f(x) = L, limx→a

g(x) = M (L, M ∈R). Khi �â:

1. limx→a

[f(x)± g(x)] = L±M ;

6

2. limx→a

[f(x).g(x)] = L.M ;

�°c bi»t, n¸u C l h¬ng sè th¼ limx→a

[C.f(x)] = C.L;

3. N¸u M 6= 0 th¼ limx→a

f(x)

g(x)=

L

M.

�ành lþ 1.2. Gi£ sû limx→a

f(x) = L ∈ R. Khi �â:

1. limx→a|f(x)| = |L|;

2. limx→a

3√f(x) = 3

√L;

3. N¸u f(x) ≥ 0 th¼ L ≥ 0 v limx→a

√f(x) =

√L.

4. N¸u L = 0 v g(x) bà ch°n trong l¥n cªn cõa a th¼

limx→a

f(x).g(x) = 0.

Chó þ: C¡c �ành lþ 1, 2 v¨n �óng khi thay x→ a bði x→ ±∞.

M»nh �· 1.8. Cho a ∈ I ∪ {−∞; +∞} , f, g : I → R.

1. N¸u limx→a

f(x) = +∞ v n¸u g bà ch°n d÷îi trong l¥n cªn

cõa a, th¼:

limx→a

(f(x) + g(x)) = +∞

Tr÷íng hñp ri¶ng:

*

{limx→a

f(x) = +∞limx→a

g(x) = +∞

∣∣∣∣∣⇒ limx→a

(f(x) + g(x)) = +∞.

*

{limx→a

f(x) = +∞limx→a

g(x) = l′ ∈ R∗+

∣∣∣∣∣⇒ limx→a

(f(x) + g(x)) = +∞.

2. N¸u limx→a

f(x) = +∞ v n¸u g bà ch°n d÷îi trong l¥n cªn cõa

a bði mët h¬ng sè thüc sü d÷ìng, th¼: limx→a

(f(x).g(x)) = +∞Tr÷íng hñp ri¶ng:

7

*

{limx→a

f(x) = +∞limx→a

g(x) = +∞

∣∣∣∣∣⇒ limx→a

(f(x).g(x)) = +∞.

*

{limx→a

f(x) = +∞limx→a

g(x) = l′ ∈ R∗+

∣∣∣∣∣⇒ limx→a

(f(x).g(x)) = +∞.

�ành lþ 1.3. Cho (a, b) ∈ (R ∪ {−∞; +∞})2 sao cho:

a < b, f : (a; b)→ R l mët ¡nh x¤ t«ng.

1. N¸u f bà ch°n tr¶n, th¼ f câ giîi h¤n húu h¤n t¤i b v :

limbf = sup

x∈(a;b)f(x).

2. N¸u f khæng bà ch°n tr¶n, th¼ f câ giîi h¤n l +∞ t¤i b.

M»nh �· 1.9. N¸u f : I → R l mët ¡nh x¤ t«ng, th¼ f câ

mët giîi h¤n tr¡i v mët giîi h¤n ph£i húu h¤n t¤i måi �iºm a

thuëcoI, v :

limx→a−

f ≤ f(a) ≤ limx→a+

f.

1.4. ��I L×ÑNG VÆ CÒNG B� (VCB) V� ��IL×ÑNG VÆ CÒNG LÎN (VCL)

1.4.1. �¤i l÷ñng VCB

�ành ngh¾a 1.4. Cho I l tªp khæng réng cõa R.H m sè α : I → R gåi l �¤i l÷ñng VCB t¤i a ∈ I n¸u nh÷

α(x) → 0x→a

, a câ thº l +∞ ho°c −∞.

H» qu£ 1.1. �º tçn t¤i limx→a

f(x) = l, �i·u ki»n c¦n v �õ l

h m sè α(x) = f(x)− l l VCB t¤i a.

8

�ành lþ 1.4. (T½nh ch§t �¤i sè cõa VCB)

�ành lþ 1.5. (So s¡nh c¡c VCB)

H» qu£ 1.2. N¸u α ∼ α1, β ∼ β1 t¤i a th¼ limx→a

α

β= lim

x→a

α1

β1.

H» qu£ 1.3. N¸u α = o(β) t¤i a th¼ α+ β ∼ β t¤i a.

H» qu£ 1.4. (Quy tc ngt bä VCB c§p cao)

N¸u α∗ l VCB c§p th§p nh§t trong sè c¡c VCB αi, (i = 1,m)

v β∗ l VCB c§p th§p nh§t trong sè c¡c VCB βj , (j = 1, n) t¤i

a. Khi �â:

limx→a

m∑i=1

αi

n∑j=1

βj

= limx→a

α∗

β∗.

Chó þ 1.1. Ta câ c¡c chó þ sau:

A. C¡c VCB �¡ng nhî:

B. C¡c VCB t÷ìng �÷ìng:

1.4.2. �¤i l÷ñng VCL

1.5. T�NH LI�N TÖC CÕA H�M SÈ

�ành ngh¾a 1.5. Gi£ sû X l mët tªp hñp sè thüc, f l mët

h m sè x¡c �ành tr¶n X. Ta nâi r¬ng

1. f li¶n töc t¤i �iºm x0 ∈ X n¸u vîi måi sè d÷ìng ε b§t k¼,

çn t¤i mët sè δ > 0 sao cho

∀x ∈ X, |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0| < ε.

2. f li¶n töc tr¶n tªp hñp X n¸u f li¶n töc t¤i måi �iºm x ∈ X.

9

H m sè f khæng li¶n töc t¤i �iºm x0 gåi l gi¡n �o¤n t¤i �iºm

n y.

Hiºn nhi¶n n¸u f l mët h m x¡c �ành tr¶n tªp hñp sè thüc X v

x0 ∈ X l mët �iºm cæ lªp cõa X th¼ f li¶n töc t¤i �iºm x0.

* T½nh li¶n töc cõa c¡c h m sè sì c§p.

10

CH×ÌNG 2

MËT SÈ PH×ÌNG PH�P T�M GIÎIH�N CÕA H�M SÈ

2.1. TÊNGQUANV� B�I TO�N T�NHGIÎI H�NH�M SÈ V� C�C D�NG VÆ �ÀNH

2.2. C�C PH×ÌNG PH�P KHÛ D�NG VÆ �ÀNH0

0

2.2.1. Ph÷ìng ph¡p dòng c¡c giîi h¤n cì b£n

V½ dö 2.1. T½nh giîi h¤n L = limx→0

1− cosaxx2

.


eax − ebx

x.


3√1 + x2 − e−2x2

ln(1 + x2).

2.2.2. Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch th nh nh¥n tû,th¶m, bît, nh¥n l÷ñng li¶n hñp

V½ dö 2.4. T½nh giîi h¤n

L = limx→1

x+ x2 + x3 + ...+ xn − nx+ x2 + x3 + ...+ xm −m

(m,n ∈ N∗).

Nhªn x²t: Ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n lo¤i n y l ph¥n t½ch th nh

nh¥n tû vîi nh¥n tû chung l x− x0.


n√x− 1

m√x− 1

(m,n ∈ N∗).

Nhªn x²t: Ph÷ìng ph¡p gi£i lo¤i to¡n n y l nh¥n c£ tû v m¨u

11

vîi biºu thùc li¶n hñp t÷ìng ùng cõa biºu thùc chùa c«n thùc �º

tröc c¡c nh¥n tû x− x0 ra khäi c¡c c«n thùc.


√1 + 2x− 3

√1 + 3x

x2.

Nhªn x²t: Ph÷ìng ph¡p chung �º t½nh c¡c giîi h¤n cõa biºu thùc

chùa c¡c c«n thùc khæng còng bªc l th¶m, bît mët l÷ñng n o �â,

t¡ch th nh nhi·u giîi h¤n rçi nh¥n li¶n hñp.

2.2.3. Ph÷ìng ph¡p thay th¸ VCB t÷ìng �÷ìng


(1 +mx)n − (1 + nx)m

x2.


xm − 1

xn − 1.

V½ dö 2.9. Gi£ sû P (x) = a1x+ a2x2 + ...+ anx

n v m l sè

nguy¶n. Chùng minh r¬ng:

limx→0

m√

1 + P (x)− 1

x=a1m.

2.3. C�C PH×ÌNG PH�P KHÛ D�NG VÆ �ÀNH∞∞

V½ dö 2.10. T½nh giîi h¤n L = limx→∞

√9x2 + 1− 3

√x2 + 4

4√16x4 + 3− 5

√x4 + 7

.

2.4. C�C PH×ÌNG PH�PKHÛD�NGVÆ�ÀNH1∞


(1 + sin 2x)

1

x .

V½ dö 2.12. T½nh giîi h¤n L = limx→+∞

(x+ 1

x+ 2

)4−3x.

12

2.5. C�C PH×ÌNG PH�P KHÛ C�C D�NG VÆ�ÀNH KH�C

V½ dö 2.13. T½nh giîi h¤n L = limx→∞

[√x2 − x+ 3 + x].


[3√x3 + 3x2 −

√x2 − 2x

].

V½ dö 2.15. T½nh giîi h¤n

L = limx→1

[m

1− xm− n

1− xn

], (m, n ∈ N∗).


(1− x) tan πx2.

2.6. MËT SÈ PH×ÌNG PH�P ��C BI�T

2.6.1. Ph÷ìng ph¡p sû döng quy tc L'Hospital

A. Quy tc L'Hospital

1. Quy tc L'Hospital 1 (khû d¤ng 0

0)

2. Quy tc L'Hospital 2 (khû d¤ng ∞∞)

B. Ph÷ìng ph¡p sû döng quy tc L'Hospital

C. Mët sè v½ dö


x4

x2 + 2cosx− 2.


xα

ax(a > 1).


(x

x− 1− 1

lnx

).

V½ dö 2.20. T½nh giîi h¤n L = lim

x→π

2

(x− π

2

)tanx.

13


x

1

1− x .


(s inx

x

) 1

x2 .

2.6.2. Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n

A. Thüc tr¤ng v§n �·

Trong qu¡ tr¼nh t½nh giîi h¤n cõa h m sè m ph£i khû d¤ng

væ �ành0

0�èi vîi nhúng giîi h¤n d¤ng:

limx→x0

m√f(x)− n

√g(x)

(x− x0)k(m,n, k tü nhi¶n, 2 ≤ k ≤ min{m,n}),

ta th÷íng dòng ph÷ìng ph¡p th¶m bît mët l÷ñng m chóng ta

v¨n gåi l ph÷ìng ph¡p gåi sè h¤ng vng, khi §y ta th÷íng g°p

v§n �· l khû �÷ñc d¤ng væ �ành0

0nh÷ng l¤i g°p ph£i d¤ng væ

�ành ∞−∞ n¸u nh÷ sè h¤ng vng l h¬ng sè. Nguy¶n nh¥n l

d¤ng væ �ành0

0m ta khû sau khi th¶m bît h¬ng sè vng, khæng

ph£i l hai �¤i l÷ñng væ còng b² còng c§p.

V§n �· �°t ra l sè h¤ng vng �â t¼m nh÷ th¸ n o �º thu

�÷ñc d¤ng væ �ành0

0m væ còng b² ð tû v væ còng b² ð m¨u l

còng c§p �º câ thº khû d¤ng væ �ành tr¶n m khæng ph£i g°p t¼nh

huèng khû �÷ñc d¤ng væ �ành n y l¤i g°p d¤ng væ �ành kh¡c.

Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n s³ gióp chóng ta gi£i quy¸t �÷ñc v§n

�· n y.

B. C¡c b÷îc thüc hi»n

Gi£ sû h m sè y = f(x) câ �¤o h m t¤i x0. Ta �¢ bi¸t ti¸p

tuy¸n cõa �ç thà (C) : y = f(x) t¤i M0 ∈ (C) l giîi h¤n cõa

14

c¡t tuy¸n M0M cõa �ç thà (C) khi M d¦n tîi M0 (M,M0 thuëc

�ç thà (C)). V v¼ vªy câ thº th§y r¬ng khi x → x0 th¼ f(x) v

f ′(x0)(x−x0)+ f(x0) l hai �¤i l÷ñng �væ còng b² t÷ìng �÷ìng�.

Gi£ sû giîi h¤n limx→x0

m√f(x)− n

√g(x)

(x− x0)k�÷ñc vi¸t l¤i l :

limx→x0

k(x)− h(x)(x− x0)k

(y = k(x) v y = h(x) câ �¤o h m t¤i x0).

Khi �â ta thüc hi»n theo c¡c b÷îc sau:

1. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa h m sè y = k(x) ho°c

y = h(x) t¤i x0, gi£ sû ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n l y = t(x).

2. T½nh limx→x0

m√f(x)− n

√g(x)

(x− x0)k

= limx→x0

[m√f(x)− t(x)

(x− x0)k

+t(x)− n

√g(x)

(x− x0)k

].

C. C¡c v½ dö l m rã ph÷ìng ph¡p

V½ dö 2.23. T½nh giîi h¤n sau:

L = limx→0

√8x3 + x2 + 6x+ 9− 3

√9x2 + 27x+ 27

x3.

V½ dö 2.24. T½nh giîi h¤n sau:

L = limx→0

√cos2x− 2x− 4

√√1 + 2x2 − 4x

x2.

2.6.3. Ph÷ìng ph¡p sû döng cæng thùc khai triºnTaylor

A. Ph¦n ch½nh cõa h m sè

B. Cæng thùc Taylor

Gi£ sû h m sè f câ �¤o h m �¸n c§p n li¶n töc tr¶n �o¤n

I = [α;β] v câ �¤o h m c§p n+1 tr¶n kho£ng (α;β). N¸u a, b ∈ I

15

th¼ tçn t¤i mët sè thüc c giúa a v b (c ∈ (a; b) n¸u a, b, c ∈ (b; a)

n¸u a > b) sao cho

f(b) = f(a) +f ′(a)

1!(b− a) + f ′′(a)

2!(b− a)2 + ...+

f (n)(a)

n!(b− a)n + f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1.

(2.1)

Cæng thùc (2.1) gåi l cæng thùc Taylor, biºu thùc

Rn =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1

�÷ñc gåi l ph¦n d÷ d¤ng Lagrang.

N¸u a = 0 th¼ (2.1) �÷ñc gåi l cæng thùc Maclaurin.

Tø cæng thùc Maclaurin, ta nhªn �÷ñc 5 khai triºn quan trång:

1. ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+ o(xn).

2. sinx = x− x3

3!+ ...+ (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+ o(x2n).

3. cosx = 1− x2

2!+ ...+ (−1)n x2n

(2n)!+ o(x2n+1).

4. (1 + x)m = 1 +mx+m(m− 1)

2!x2 + ...

+m(m− 1)...(m− n+ 1)

n!xn + o(xn).

5. ln(1 + x) = x− x2

2+ ...+ (−1)n−1x

n

n+ o(xn).

C. Mët sè v½ dö


sin(sinx)− x 3√1− x2

x5.


ex − e−x − 2x

x− sinx.

16

CH×ÌNG 3

MËT SÈ PH×ÌNG PH�P S�NG T�OC�C B�I TO�N T�M GIÎI H�N CÕA

H�M SÈ

3.1. T�O RA C�C B�I TO�N �� DÒNG T�NHCH�TGIÎI H�N CÕA TÊNG, HI�U, T�CH, TH×ÌNG

B i to¡n 3.1. T½nh giîi h¤n:

L = limx→1

(2x2 + lnx− ex

3

)= 2− e

3.

3.2. S�NG T�O C�C B�I TO�N D�NG 0

0

3.2.1. Sû döng c¡c giîi h¤n cì b£n v giîi h¤ncõa h m hñp

* Þ t÷ðngDüa v o c¡c giîi h¤n cì b£n �¢ tr¼nh b y ð ph¦n 2 cõa ch÷ìng

2, ta câ thº t¤o ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n cõa h m sè câ

d¤ng væ �ành0

0.

* Mët sè b i to¡n

B i to¡n 3.2. Tø limx→0

s inx

x= 1, ta l§y h m f(u) v chån u0

sao cho u→ u0 th¼ f(u)→ 0. Khi �â: limu→u0

sinf(u)

f(u)= 1.

Nh÷ vªy, ta câ thº t¤o ra c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L1 = limx→1

sin(x− 1)

x2 − 1= lim

x→1

sin(x− 1)

x− 1.

1

x+ 1=

1

2.

17

L2 = limx→1

x− 1

sin 2(x− 1)= lim

x→1

1− x2 sin(x− 1).cos(x− 1)

= −1

2limx→1

x− 1

sin(x− 1).

1

cos(x− 1)= −1

2.

L3 = limx→0

cos2x− 1

4x2= lim

x→0

−sin2x2x2

= −1

2limx→1

sin2x

x2= −1

2.

L4 = lim

x→π

2

cosx

x− π

2

= −1.

L5 = limx→0

sin 3x

sin 5x=

3

5limx→0

sin 3x

3x.

5x

sin 5x=

3

5.

B i to¡n 3.3. Tø giîi h¤n cì b£n limx→0

ex − 1

x= 1, ta câ thº

t¤o ra c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L1 = limx→0

e2x − 1

x= 2 lim

x→0

e2x − 1

2x= 2.

L2 = limx→1

e2x2 − e2

x2 − 1= lim

x→1

e2.e2x2−2 − e2

x2 − 1= lim

x→1

e2(e2(x

2−1) − 1)

x2 − 1

= 2 limx→1

e2(e2(x

2−1) − 1)

2(x2 − 1)= 2e2.

L3 = limx→∞

e

2

x − 13

x

=2

3limx→∞

e

2

x − 12

x

=2

3.

B i to¡n 3.4. Tø giîi h¤n cì b£n limx→0

ax − 1

x= ln a, ta câ

thº t¤o ra mët sè b i to¡n t½nh c¡c giîi h¤n sau:

L1 = limx→0

a2x2 − 1

3x2=

2

3limx→0

a2x2 − 1

2x2=

2

3ln a.

L2 = limx→2

ax2−x − a2

x− 2= lim

x→2

a2(ax

2−x−2 − 1)

x− 2

= limx→2

a2.(x+ 1)[a(x+1)(x−2) − 1

](x+ 1)(x− 2)

= 3a2 ln a.

18

3.2.2. Sû döng c¡c VCB t÷ìng �÷ìng

* Þ t÷ðngSû döng c¡c VCB t÷ìng �÷ìng cõa mët sè h m, ta câ thº t¤o

ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n b¬ng c¡ch lªp t½ch ho°c th÷ìng

cõa c¡c h m �â.


B i to¡n 3.5. Ta câ sinx ∼ x, ex − 1 ∼ x. Ta suy ra �÷ñc

c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L1 = limx→0

sinx

ex − 1= lim

x→0

x

x= 1.

L2 = limx→0

1− cosx

sinx

4

= limx→0

2sin2x

2

sinx

4

= limx→0

2.x2

4x

4

= limx→0

2x = 0.

B i to¡n 3.6. Ta câ1

4x4 − 3

5x5 ∼ 1

4x4, x4 + x6 ∼ x4, mët

c¡ch �ìn gi£n, ta suy ra �÷ñc b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L = limx→0

1

4x4 − 3

5x5

x4 + x6= lim

x→0

1

4x4

x4=

1

4.

B i to¡n 3.7. Ta câ (1 + x)α−1 ∼ αx+α(α− 1)

2x2. Ta suy

ra �÷ñc c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L1 = limx→0

(1 + x)5 − 1

x+ 2x2= lim

x→0

5x+ 10x2

x+ 2x2= lim

x→05 = 5.

L2 = limx→1

x2015 − 1

x2016 − 1.

L3 = limx→0

5√1 + 2x+ 3x2 − x3 − 1

x.

3.2.3. Sû döng ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n

* Þ t÷ðngSû döng ph÷ìng ph¡p n y �º t¤o ra c¡c b i to¡n t¼m giîi h¤n

19

cõa h m sè d¤ng væ �ành0

0chùa c¡c c«n thùc khæng còng bªc.



L = limx→1

3√3x2 − x+ 6−

√4x3 + 2x2 − x− 1

x− 1.


L = limx→0

√sin 2x+ 4− 3

√7 +√1 + 3x2

x.

3.2.4. Sû döng cæng thùc khai triºn Taylor

B i to¡n 3.10. Tø c¡c khai triºn:

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ o(x3),

sinx = x− x3

6+ o(x3).

Ta câ b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L = limx→0

ln(1 + x)− sinx

2x2

= limx→0

x− x2

2+

x3

3− x +

x3

6+ o(x3)

2x2

= limx→0

x3

2− x2

2+ o(x3)

2x2= lim

x→0

x

2− 1

22

= −1

4.

B i to¡n 3.11. Tø c¡c khai triºn:

sinx = x− x3

6+

x5

120+ o(x5),

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24+

x5

120+ o(x5),

e−x = 1− x+x2

2− x3

6+x4

24− x5

120+ o(x5).

Ta suy ra b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L = limx→0

2 sinx− ex + e−x

x3= lim

x→0

−2

3x3 + o(x5)

x3= −2

3.

20

B i to¡n 3.12. Tø khai triºn tanx = x+x3

3+ o(x3) v c¡c

khai triºn tr¶n, ta suy ra c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L1 = limx→0

sinx− tanx

5x3= lim

x→0

−x3

2+ o(x3)

5x3= − 1

10.

L2 = limx→0

sinx− tanx

2 sinx− ex + e−x= lim

x→0

−x3

2+ o(x3)

−2

3x3 + o(x3)

=3

4.

B i to¡n 3.13. Ta câ e2x = 1 + 2x+ 2x2 +4

3x3 + o(x3). Ta

suy ra b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L = limx→0

e2x − ex − 7

6x3 + o(x3)

2x+ 3x2= lim

x→0

x+3

2x2 + o(x3)

2x+ 3x2

= limx→0

1 +3

2x+ o(x2)

2 + 3x=

1

2.

B i to¡n 3.14. Ta câ

s inx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ o(x8),

tanx = x+x3

3+

2

15x5 +

17

315x7 + o(x8).

Ta suy ra b i to¡n t½nh giîi h¤n:

L = limx→0

tan(sinx)− sin(tanx)

x7.

3.2.5. Sû döng quy tc L'Hospital

* Þ t÷ðngSû döng cæng thùc [f(x)]g(x) = eg(x). ln f(x) (f(x) > 0) v ¡p

döng quy tc L'Hospital, ta câ thº t¤o ra b i to¡n t¼m giîi h¤n

cõa h m sè câ d¤ng væ �ành n y.

21

B i to¡n 3.15. T½nh giîi h¤n L = limx→0

(1 + 2x)

1

2x − e2x

.

Gi£i:

Ta câ limx→0

(1 + 2x)

1

2x = e n¶n

L = limx→0

(1 + 2x)

1

2x − e2x

= limx→0

e

1

2xln(1+2x)

− e2x

= limx→0

e

1

2xln(1+2x)

.

(− ln(1 + 2x)

2x2+

2

2x(1 + 2x)

)2

= e limx→0

2x− (1 + 2x) ln(1 + 2x)

4x2(1 + 2x)

= e limx→0

2− [2 ln(1 + 2x) + 2]

8x+ 24x2= e lim

x→0

−2 ln(1 + 2x)

8x+ 24x2

= e limx→0

− 4

1 + 2x8 + 48x

= −1

2e.

3.3. S�NG T�O C�C B�I TO�N D�NG ∞∞

B i to¡n 3.16. T½nh giîi h¤n L = limx→∞

(4− x)40(2x+ 5)10

(3x− 1)50.

B i to¡n 3.17. T½nh giîi h¤n L = limx→−∞

5x2 + 2 +√9x4 − 1

3x− 3√x6 − 5

.


L = limx→∞

√4x2 + x+ 3 +

√x2 + 4x+ 5

2x+√x2 + 4

.

3.4. S�NG T�O C�C B�I TO�N D�NG 1∞

* Þ t÷ðng: Tø c¡c giîi h¤n cì b£n v giîi h¤n cõa h m hñp,

ta câ thº t¤o ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n cõa h m sè câ d¤ng

22

væ �ành 1∞.

C¡c giîi h¤n cì b£n th÷íng g°p:

limx→0

(1 + x)

1

x = e, limx→∞

(1 +

1

x

)x= e.


B i to¡n 3.19. T½nh c¡c giîi h¤n sau:

L1 = limx→2

(3− x)1

4− x2 = e

1

4 .

L2 = limx→∞

(2x2 + x− 1

2x2 − x+ 3

)2x2 − x+ 3

x

= limx→∞

(1 +

2x− 4

2x2 − x + 3

)2x2 − x + 3

x

= limx→∞

(1 +

2x− 4

2x2 − x + 3

)2x2 − x + 3

2x− 4.2x− 4

x = e2.

L3 = limx→−2

(3 + x)

x2 + x + 1

x + 2

= limx→−2

[1 + (2 + x)]

1

2 + x.(x2+x+1)

= e3.

B i to¡n 3.20. Chùng minh r¬ng: limx→+∞

(1 +

a

x

)bx+c= eab.

Ngo i ra, ta công câ thº sû döng ph÷ìng ph¡p L'Hospital �º t¤o

ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n d¤ng væ �ành n y. Ch¯ng h¤n,

b¬ng c¡ch sû döng cæng thùc [f(x)]g(x) = eg(x). ln f(x) (f(x) > 0)

v ¡p döng quy tc L'Hospital, ta t½nh �÷ñc c¡c giîi h¤n sau:

23

B i to¡n 3.21.

L1 = limx→0

(1 + x)

2

tanx = elimx→0

2

tanx. ln(1+x)

= elimx→0

2

1 + x.

1

1 + tan2x = e2.

L2 = limx→2

(x− 1)

1

2− x = elimx→2

1

2− x. ln(x−1)

= elimx→2

(−

1

x− 1

)= e−1.

L3 = limx→−3

(4 + x)tan

πx

2 = elim

x→−3tan

πx

2. ln(4+x)

= e

limx→−3

1

cotπx

2

.ln(4+x)

= e

limx→−3

−14 + x

.

sin2πx

2π

2 = e−2

π .

3.5. S�NG T�O C�C B�I TO�N D�NG VÆ �ÀNHKH�C


(cotx− 1

x

).


(1

x− 1

ex − 1

).

B i to¡n 3.24. T½nh giîi h¤n

L = lim

x→π

2

tan x− 1π

2− x

.


[ln(2x+ 1).cotx].

B i to¡n 3.26. T½nh giîi h¤n

L = limx→+∞

[(x+ 2)

√x+ 5

8x3 − 3x2 + 7

].

24

K�T LU�N

Sau mët thíi gian t¼m hiºu, håc häi tø nhúng t i li»u �÷ñc

Th¦y gi¡o TS. Ph¤m Quþ M÷íi cung c§p, tæi �¢ ho n th nh �·

t i cõa m¼nh. Luªn v«n Ph÷ìng ph¡p gi£i v s¡ng t¤o c¡c b i to¡n

t¼m giîi h¤n cõa h m sè �¢ gi£i quy¸t �÷ñc nhúng v§n �· sau:

1. H» thèng �÷ñc c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m sè, giîi h¤n

cõa h m sè.

2. �÷a ra c¡c ph÷ìng ph¡p t¼m giîi h¤n cõa h m sè.

3. Tr¶n cì sð �â �¢ s¡ng t¤o �÷ñc mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n

cõa h m sè câ d¤ng væ �ành th÷íng g°p.

Vîi nhúng g¼ �¢ t¼m hiºu �÷ñc, tæi hy vång luªn v«n s³ l mët

t i li»u tham kh£o húu ½ch cho b£n th¥n trong cæng t¡c gi£ng d¤y

sau n y v hy vång luªn v«n công l nguçn t÷ li»u tèt cho håc

sinh phê thæng công nh÷ nhúng ai quan t¥m �¸n lîp c¡c b i to¡n

v· giîi h¤n cõa h m sè.

M°c dò �¢ h¸t sùc cè gng, nh÷ng do thíi gian v kh£ n«ng

câ h¤n n¶n chc chn luªn v«n cán câ nhúng thi¸u sât. V¼ th¸, tæi

r§t mong nhªn �÷ñc nhi·u þ ki¸n �âng gâp cõa quþ th¦y cæ, b¤n

b±, �çng nghi»p �º luªn v«n �÷ñc ho n thi»n hìn.

phƢƠng phÁp giẢi vÀ sÁng tẠo cÁc bÀi toÁn tÌm giỚi...

Documents