€¦ · página 1/ 26 ficha de ejercicios curso 4o eso ejercicio 1 resuelve las siguientes...

/ 26 Ficha de Ejercicios Curso 4o ESO

Ejercicio 1

Resuelve las siguientes ecuaciones :

−8 x − 10 + 5 x + 10 = 4 x − 8 9 x + 1 + x + 3 = −7 x − 10

Solución del ejercicio 1

x =8

7x =

− 14

17

Corrección

Ejercicio 2


−7 x + 1 − (−10 x + 9) = −6 x − 9 −x + 6 − 2 x − 8 = 3 x + 7


x =− 1

9x =

− 3

2

Corrección

Ejercicio 3


7 x − 7 − (−4 x + 4) = 7 x − 1 9 x − 10 + 7 x − 4 = −3 x + 5


x =5

2x = 1

Corrección

Ejercicio 4


5 x + 8 + x − 2 = −5 x + 9 −10 x − 4 − (10 x + 8) = 2 x + 6


x =3

11x =

− 9

11

Corrección

Ejercicio 5


Año 2014/2015 http://www.pyromaths.org


−3 x − 9 − (5 x + 1) = −9 x + 8 −8 x − 9 − (−2 x + 4) = 8 x − 7


x = 18 x =− 3

7

Corrección

Ejercicio 6


6 x − 7 − (−5 x + 3) = −2 x − 2 −5 x − 2 − (10 x + 9) = x − 1


x =8

13x =

− 5

8

Corrección

Ejercicio 7


−2 x + 5 − (−7 x − 3) = −10 x + 10 −4 x − 4 − (−4 x − 7) = 5 x − 9


x =2

15x =

12

5

Corrección

Ejercicio 8


−10 x + 5 − 9 x + 4 = −8 x − 7 7 x − 5 − 9 x − 10 = −8 x − 8


x =16

11x =

7

6

Corrección

Ejercicio 9




6 x + 1 + 10 x + 9 = 10 x − 6 x + 3 − (8 x − 4) = −3 x − 7


x =− 8

3x =

7

2

Corrección

Ejercicio 10


4 x − 1 − (−8 x − 1) = 3 x − 9 −8 x − 10 − (−5 x + 5) = −x − 7


x = −1 x = −4

Corrección

Ejercicio 11


5 x + 9 + 10 x + 1 = 6 x − 3 5 x − 1 − (3 x − 1) = −3 x − 8


x =− 13

9x =

− 8

5

Corrección

Ejercicio 12


−8 x + 5 − (5 x − 4) = −9 x − 10 −10 x − 10 − (9 x − 8) = 4 x + 3


x =19

4x =

− 5

23

Corrección

Ejercicio 13




9 x + 9 + 3 x − 6 = −10 x + 1 −10 x − 5 − (−2 x − 8) = 4 x + 5


x =− 1

11x =

− 1

6

Corrección

Ejercicio 14


10 x + 7 − (5 x − 9) = −9 x − 7 7 x + 5 − x − 10 = −9 x − 3


x =− 23

14x =

2

15

Corrección

Ejercicio 15


x + 9 − (7 x − 6) = −4 x − 8 7 x + 8 − (4 x + 9) = 6 x − 6


x =23

2x =

5

3

Corrección

Ejercicio 16


2 x − 10 − (9 x + 8) = 9 x − 7 8 x + 2 + 4 x − 8 = −4 x − 7


x =− 11

16x =

− 1

16

Corrección

Ejercicio 17




8 x + 1 − 9 x + 3 = −10 x − 2 4 x + 6 − 3 x + 8 = 9 x + 9


x =− 2

3x =

5

8

Corrección

Ejercicio 18


−4 x − 10 − (4 x − 9) = −4 x + 3 −6 x + 4 − (8 x − 1) = 3 x − 8


x = −1 x =13

17

Corrección

Ejercicio 19


2 x + 8 − (4 x + 3) = 9 x + 10 −10 x + 10 − (−10 x + 6) = 4 x + 4


x =− 5

11x = 0

Corrección

Ejercicio 20


−6 x − 8 − 2 x + 2 = 5 x + 5 8 x − 2 + 6 x + 7 = 4 x + 9


x =− 11

13x =

2

5

Corrección

Ejercicio 21




9 x + 2 − (−3 x − 4) = −9 x + 6 10 x + 1 + 4 x + 9 = −5 x + 6


x = 0 x =− 4

19

Corrección

Ejercicio 22


−x + 9 − (4 x − 10) = 2 x + 6 −2 x + 7 − (−8 x + 3) = 2 x + 10


x =13

7x =

3

2

Corrección

Ejercicio 23


x − 9 + x − 8 = −2 x + 1 x + 10 + 2 x − 1 = −7 x + 5


x =9

2x =

− 2

5

Corrección

Ejercicio 24


−10 x − 1 − 5 x + 10 = 7 x + 8 2 x − 1 + 6 x + 1 = −4 x − 5


x =1

22x =

− 5

12

Corrección

Ejercicio 25




−x + 7 − 8 x + 8 = −7 x − 7 −5 x + 1 − 4 x − 4 = 5 x − 4


x = 11 x =1

14

Corrección

Ejercicio 26


− 3 x + 9

2−

3 x + 4

6=

5 x + 8

3

x − 2

2+

− 5 x + 8

3=

4 x + 10

4


x =7

22x =

− 5

13

Corrección

Ejercicio 27


− 2 x − 1

6−

3 x − 6

2=

x + 8

3

− 9 x + 1

3+

− x + 6

2=

− 8 x + 4

4


x =1

13x =

14

9

Corrección

Ejercicio 28


− 4 x + 5

2+

− 8 x + 6

3=

− x − 9

9

− 10 x + 4

2+

10 x − 2

6=

6 x − 1

9


x =99

82x =

4

9

Corrección

Ejercicio 29




− 2 x + 2

3−

9 x + 1

6=

7 x − 10

8

− 3 x + 5

2+

10 x − 6

3=

− 7 x − 8

9


x =42

73x =

− 25

47

Corrección

Ejercicio 30


5 x − 8

3+

− 9 x − 6

8=

6 x − 1

6

5 x − 8

2+

3 x − 5

6=

x − 2

4


x =− 78

11x =

52

33

Corrección

Ejercicio 31


2 x + 3

3−

− 6 x + 6

9=

− 4 x + 2

2

10 x + 6

8−

8 x − 7

3=

x + 9

6


x =1

5x = 1

Corrección

Ejercicio 32


x − 3

4+

4 x + 9

8=

8 x + 8

6

8 x + 4

4+

8 x − 5

3=

7 x + 2

6


x =− 23

14x =

2

7

Corrección

Ejercicio 33




10 x + 8

2+

− 4 x + 1

4=

9 x − 2

8

− 5 x − 2

3−

− x − 3

4=

3 x − 10

2


x =− 36

23x =

61

35

Corrección

Ejercicio 34


− 8 x − 2

4−

2 x − 8

3=

− 3 x + 1

8

8 x − 6

8−

5 x − 5

6=

− x + 1

3


x =49

55x =

1

2

Corrección

Ejercicio 35


10 x − 8

8−

10 x − 1

3=

− x + 5

6

− 10 x + 5

2−

− 6 x − 4

4=

− 10 x − 1

8


x =− 18

23x =

29

18

Corrección

Ejercicio 36


− 9 x + 8

4−

− 8 x − 10

2=

− 5 x − 2

8

6 x − 4

8+

− 10 x + 8

4=

3 x − 5

6


x =− 58

19x =

28

27

Corrección

Ejercicio 37




2 x + 10

3+

− x + 4

4=

− 6 x + 6

6

2 x + 10

9+

− 9 x − 5

6=

− 8 x − 2

2


x =− 40

17x =

− 23

49

Corrección

Ejercicio 38


x + 8

8+

x + 8

4=

− 10 x − 1

3

6 x + 7

6+

4 x + 9

3=

3 x + 1

8


x =− 80

89x =

− 97

47

Corrección

Ejercicio 39


− 6 x + 6

3−

10 x − 6

4=

− 4 x − 2

8

− 10 x − 6

2−

− 4 x + 4

8=

6 x − 2

4


x =15

16x =

− 1

2

Corrección

Ejercicio 40


− 3 x − 5

9+

10 x + 5

3=

3 x − 4

2

4 x − 6

9+

− 10 x − 2

6=

− 6 x − 6

2


x =− 56

27x =

− 9

8

Corrección

Ejercicio 41




− 2 x − 5

4−

x + 4

6=

− 10 x − 5

2

5 x + 10

4+

− 2 x − 3

8=

8 x + 2

6


x =− 7

52x =

43

8

Corrección

Ejercicio 42


9 x + 8

9+

− 4 x + 8

3=

x + 9

6

2 x + 2

4+

− 4 x + 4

8=

3 x − 7

2


x =37

9x = 3

Corrección

Ejercicio 43


− 10 x + 4

4+

− x + 1

8=

5 x − 1

3

8 x − 1

3+

− 2 x + 10

2=

− 7 x − 9

9


x =35

103x =

− 51

22

Corrección

Ejercicio 44


− 2 x − 6

4+

− 10 x − 6

6=

− 10 x + 2

2

− 2 x + 9

4+

2 x + 1

2=

x − 3

6


x =21

17x =

− 39

4

Corrección

Ejercicio 45




− x − 5

4−

− 9 x + 9

6=

− 10 x − 3

8

− 2 x + 4

8−

− 7 x + 6

4=

− 2 x + 6

6


x =19

20x =

12

11

Corrección

Ejercicio 46


− 6 x + 7

6−

− 2 x − 10

2=

6 x + 9

4

− 6 x − 8

8−

2 x + 4

6=

− 3 x + 4

3


x =47

18x = −36

Corrección

Ejercicio 47


7 x + 4

4+

9 x + 7

6=

7 x + 6

2

− 8 x − 6

3+

6 x − 9

6=

− 6 x + 3

2


x =− 10

3x =

15

4

Corrección

Ejercicio 48


− 4 x + 10

2+

x + 2

3=

− 10 x + 5

9

5 x − 2

6+

2 x − 3

4=

10 x + 8

8


x =46

5x = 25

Corrección

Ejercicio 49




− 9 x − 4

2+

7 x + 10

3=

− 6 x − 5

6

− 4 x + 6

9−

− 9 x − 5

2=

6 x + 7

6


x =13

7x =

− 36

55

Corrección

Ejercicio 50


6 x + 8

3−

− 7 x + 4

6=

− 7 x − 4

4

7 x + 2

4+

2 x + 6

2=

5 x + 9

8


x =− 36

59x =

− 19

17

Corrección

Ejercicio 51


◮1) x2 + 4x − 45 = 0

◮2) −x2 + 9x − 20 = 0

◮3) t2 + 3t − 1 = 0


◮1) x1 = −9 ; x2 = 5 ◮2) x1 = 4 ; x2 = 5 ◮3) t1 =−3 −

√

13

2; t2 =

−3 +√

13

2

Corrección

Ejercicio 52


◮1) t2− 2t − 63 = 0

◮2) 21x2 + 17x − 8 = 0

◮3) t2 + 5t − 4 = 0


◮1) t1 = −7 ; t2 = 9 ◮2) x1 =−8

7; x2 =

1

3◮3) t1 =

−5 −

√

41

2; t2 =

−5 +√

41

2

Corrección

Ejercicio 53


◮1) x2 + 9x + 20 = 0

◮2) 110t2 + 57t − 14 = 0

◮3) −z2 + 5z − 4 = 0




◮1) x1 = −5 ; x2 = −4 ◮2) t1 =−7

10; t2 =

2

11◮3) z1 = 1 ; z2 = 4

Corrección

Ejercicio 54


◮1) t2 + 7t − 8 = 0

◮2) −7z2− 9z − 2 = 0

◮3) −y2 + 5 = 0


◮1) t1 = −8 ; t2 = 1 ◮2) z1 = −1 ; z2 =−2

7◮3) y1 = −

√

5 ; y2 =√

5

Corrección

Ejercicio 55


◮1) x2− 15x + 54 = 0

◮2) 9t2− 13t + 4 = 0

◮3) −t2 + 9t + 8 = 0


◮1) x1 = 6 ; x2 = 9 ◮2) t1 =4

9; t2 = 1 ◮3) t1 =

9 −

√

113

2; t2 =

9 +√

113

2

Corrección

Ejercicio 56


◮1) x2 + 5x − 24 = 0

◮2) −10x2− x + 9 = 0

◮3) t2 + t + 8 = 0


◮1) x1 = −8 ; x2 = 3 ◮2) x1 = −1 ; x2 =9

10◮3) No tiene solución

Corrección

Ejercicio 57


◮1) x2− 2x − 15 = 0

◮2) −55y2− 2y + 21 = 0

◮3) −t2 + 4t + 1 = 0




◮1) x1 = −3 ; x2 = 5 ◮2) y1 =−7

11; y2 =

3

5◮3) t1 = 2 −

√

5 ; t2 = 2 +√

5

Corrección

Ejercicio 58


◮1) y2 + 6y − 27 = 0

◮2) −8t2 + 37t + 15 = 0

◮3) z2 + 5z − 5 = 0


◮1) y1 = −9 ; y2 = 3 ◮2) t1 =−3

8; t2 = 5 ◮3) z1 =

−5 − 3√

5

2; z2 =

−5 + 3√

5

2

Corrección

Ejercicio 59


◮1) z2 + 7z = 0

◮2) 5y2 + 7y + 2 = 0

◮3) t2− 9 = 0


◮1) z1 = −7 ; z2 = 0 ◮2) y1 = −1 ; y2 =−2

5◮3) t1 = −3 ; t2 = 3

Corrección

Ejercicio 60


◮1) z2 + 8z = 0

◮2) 6x2 + 41x + 30 = 0

◮3) −y2 + 8y − 8 = 0


◮1) z1 = −8 ; z2 = 0 ◮2) x1 = −6 ; x2 =−5

6◮3) y1 = 4 − 2

√

2 ; y2 = 4 + 2√

2

Corrección

Ejercicio 61


◮1) x2 + x − 90 = 0

◮2) −2z2− 13z + 7 = 0

◮3) x2 + 9x − 3 = 0




◮1) x1 = −10 ; x2 = 9 ◮2) z1 = −7 ; z2 =1

2◮3) x1 =

−9 −

√

93

2; x2 =

−9 +√

93

2

Corrección

Ejercicio 62


◮1) y2− y − 2 = 0

◮2) −9y2 + y + 10 = 0

◮3) z2 + 6z − 4 = 0


◮1) y1 = −1 ; y2 = 2 ◮2) y1 = −1 ; y2 =10

9◮3) z1 = −3 −

√

13 ; z2 = −3 +√

13

Corrección

Ejercicio 63


◮1) x2 + 12x + 35 = 0

◮2) 18t2− 45t − 50 = 0

◮3) −x2 + 4 = 0


◮1) x1 = −7 ; x2 = −5 ◮2) t1 =−5

6; t2 =

10

3◮3) x1 = −2 ; x2 = 2

Corrección

Ejercicio 64


◮1) y2− 12y + 36 = 0

◮2) −3z2 + 10z − 8 = 0

◮3) t2 + 5 = 0


◮1) y1 = 6 ; y2 = 6 ◮2) z1 =4

3; z2 = 2 ◮3) No tiene solución

Corrección

Ejercicio 65


◮1) y2− 8y = 0

◮2) 12y2− 17y − 40 = 0

◮3) x2 + 8 = 0




◮1) y1 = 0 ; y2 = 8 ◮2) y1 =−5

4; y2 =

8


Corrección

Ejercicio 66


◮1) x2 + 9x + 14 = 0

◮2) −27y2 + 93y − 56 = 0

◮3) −y2 + 2y − 9 = 0


◮1) x1 = −7 ; x2 = −2 ◮2) y1 =7

9; y2 =

8


Corrección

Ejercicio 67


◮1) t2 + 7t + 12 = 0

◮2) 36z2− 99z + 35 = 0

◮3) x2 + 4 = 0


◮1) t1 = −4 ; t2 = −3 ◮2) z1 =5

12; z2 =

7


Corrección

Ejercicio 68


◮1) z2 + 5z − 6 = 0

◮2) −6x2− 29x − 9 = 0

◮3) z2 + 9z + 9 = 0


◮1) z1 = −6 ; z2 = 1 ◮2) x1 =−9

2; x2 =

−1

3◮3) z1 =

−9 − 3√

5

2; z2 =

−9 + 3√

5

2

Corrección

Ejercicio 69


◮1) y2− 8y + 7 = 0

◮2) −3y2− 4y + 7 = 0

◮3) y2− 9 = 0




◮1) y1 = 1 ; y2 = 7 ◮2) y1 =−7

3; y2 = 1 ◮3) y1 = −3 ; y2 = 3

Corrección

Ejercicio 70


◮1) z2− 8z − 9 = 0

◮2) 6t2− 31t + 5 = 0

◮3) t2 + 3t + 3 = 0


◮1) z1 = −1 ; z2 = 9 ◮2) t1 =1

6; t2 = 5 ◮3) No tiene solución

Corrección

Ejercicio 71


◮1) z2 + 9z + 14 = 0

◮2) 3y2− 28y + 32 = 0

◮3) −z2 + 5z + 1 = 0


◮1) z1 = −7 ; z2 = −2 ◮2) y1 =4

3; y2 = 8 ◮3) z1 =

5 −

√

29

2; z2 =

5 +√

29

2

Corrección

Ejercicio 72


◮1) t2− 16t + 64 = 0

◮2) −11z2− 21z + 2 = 0

◮3) −t2 + 6t − 9 = 0


◮1) t1 = 8 ; t2 = 8 ◮2) z1 = −2 ; z2 =1

11◮3) t1 = 3 ; t2 = 3

Corrección

Ejercicio 73


◮1) t2 + 3t − 18 = 0

◮2) −63t2 + 29t + 24 = 0

◮3) −x2 + x + 7 = 0




◮1) t1 = −6 ; t2 = 3 ◮2) t1 =−3

7; t2 =

8

9◮3) x1 =

1 −

√

29

2; x2 =

1 +√

29

2

Corrección

Ejercicio 74


◮1) x2 + 4x − 21 = 0

◮2) 32y2 + 4y − 45 = 0

◮3) y2 + y + 1 = 0


◮1) x1 = −7 ; x2 = 3 ◮2) y1 =−5

4; y2 =

9


Corrección

Ejercicio 75


◮1) y2 + 15y + 50 = 0

◮2) 3x2 + 5x + 2 = 0

◮3) t2 + 8t = 0


◮1) y1 = −10 ; y2 = −5 ◮2) x1 = −1 ; x2 =−2

3◮3) t1 = −8 ; t2 = 0

Corrección

Ejercicio 76

◮1) Sea E = x3 + 2x2− 56x − 192

a) Comprueba que −6 es una raíz de E.

b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −36x3 + 45x2− 2x − 7

a) Encuentra una raíz entera de F .

b) Factoriza F .


◮1) a) E(−6) = 0

b) E = (x + 6) (x + 4) (x − 8)

◮2) a) F (1) = 0

b) F = −36 (x − 1)

(

x +1

3

)(

x −7

12

)

Corrección



Ejercicio 77

◮1) Sea E = x3 + 11x2 + 10x


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −35x3− 34x2 + 104x + 64


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−10) = 0

b) E = (x + 10) (x + 1) (x)

◮2) a) F (−2) = 0

b) F = −35 (x + 2)

(

x +4

7

)(

x −8

5

)

Corrección

Ejercicio 78

◮1) Sea E = x3 + 8x2


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −55x3 + 18x2 + 97x + 24


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−8) = 0

b) E = (x + 8) · (x − 0)2

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = −55 (x + 1)

(

x +3

11

) (

x −8

5

)

Corrección

Ejercicio 79

◮1) Sea E = x3 + 6x2− x − 30


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = x3− 3x − 2


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−5) = 0

b) E = (x + 5) (x + 3) (x − 2)

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = (x + 1) (x + 1) (x − 2)

Corrección



Ejercicio 80

◮1) Sea E = x3 + 4x2− 60x


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −9x3− 3x2 + 86x + 80


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−10) = 0

b) E = (x + 10) (x − 0) (x − 6)

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = −9 (x + 1)

(

x +8

3

)(

x −10

3

)

Corrección

Ejercicio 81

◮1) Sea E = x3− 28x − 48


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −44x3− 69x2

− 19x + 6


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−4) = 0

b) E = (x + 4) (x + 2) (x − 6)

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = −44 (x + 1)

(

x +3

4

)(

x −2

11

)

Corrección

Ejercicio 82

◮1) Sea E = x3 + 7x2− 84x − 540


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = 99x3− 245x2 + 98x − 8


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−10) = 0

b) E = (x + 10) (x + 6) (x − 9)

◮2) a) F (2) = 0

b) F = 99 (x − 2)

(

x −1

9

) (

x −4

11

)

Corrección



Ejercicio 83

◮1) Sea E = x3 + x2− 44x + 96


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −11x3− 7x2 + 11x + 7


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−8) = 0

b) E = (x + 8) (x − 3) (x − 4)

◮2) a) F (1) = 0

b) F = −11 (x − 1) (x + 1)

(

x +7

11

)

Corrección

Ejercicio 84

◮1) Sea E = x3− x2

− 90x


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −40x3 + 46x2 + 21x − 27


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−9) = 0

b) E = (x + 9) (x − 0) (x − 10)

◮2) a) F (1) = 0

b) F = −40 (x − 1)

(

x +3

4

)(

x −9

10

)

Corrección

Ejercicio 85

◮1) Sea E = x3 + 7x2− 10x − 16


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −5x3 + 12x2 + 12x − 32


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−8) = 0

b) E = (x + 8) (x + 1) (x − 2)

◮2) a) F (2) = 0

b) F = −5 (x − 2)

(

x +8

5

)

(x − 2)

Corrección



Ejercicio 86

◮1) Sea E = x3− 11x2 + 6x + 144


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = 42x3 + 5x2− 32x + 5


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−3) = 0

b) E = (x + 3) (x − 6) (x − 8)

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = 42 (x + 1)

(

x −1

6

) (

x −5

7

)

Corrección

Ejercicio 87

◮1) Sea E = x3− 4x2

− 35x + 150


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −3x3 + 2x2 + 7x + 2


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−6) = 0

b) E = (x + 6) · (x − 5)2

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = −3 (x + 1)

(

x +1

3

)

(x − 2)

Corrección

Ejercicio 88

◮1) Sea E = x3− 2x2

− 89x + 90


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −18x3 + 9x2 + 2x


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−9) = 0

b) E = (x + 9) (x − 1) (x − 10)

◮2) a) F (0) = 0

b) F = −18x

(

x +1

6

)(

x −2

3

)

Corrección



Ejercicio 89

◮1) Sea E = x3 + 5x2− 86x − 360


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −6x3 + 7x2 + 23x − 30


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−10) = 0

b) E = (x + 10) (x + 4) (x − 9)

◮2) a) F (−2) = 0

b) F = −6 (x + 2)

(

x −3

2

)(

x −5

3

)

Corrección

Ejercicio 90

◮1) Sea E = x3 + 12x2− 256


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = 44x3− 49x2 + 12x


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−8) = 0

b) E = (x + 8) (x + 8) (x − 4)

◮2) a) F (0) = 0

b) F = 44x

(

x −4

11

) (

x −3

4

)

Corrección

Ejercicio 91

◮1) Sea E = x3− 15x2 + 47x + 63

a) Encuentra una raíz entera de E.

b) Factoriza E.

◮2) Sea F = 9x3 + 21x2 + 10x


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−1) = 0

b) E = (x + 1) (x − 7) (x − 9)

◮2) a) F (0) = 0

b) F = 9x

(

x +5

3

)(

x +2

3

)

Corrección



Ejercicio 92

◮1) Sea E = x3 + 4x2− 64x − 256


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = 63x3− 4x2

− 85x − 18


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−8) = 0

b) E = (x + 8) (x + 4) (x − 8)

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = 63 (x + 1)

(

x +2

9

) (

x −9

7

)

Corrección

Ejercicio 93

◮1) Sea E = x3 + 2x2− 64x + 160


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −3x3 + 37x2− 98x + 72


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−10) = 0

b) E = (x + 10) · (x − 4)2

◮2) a) F (2) = 0

b) F = −3 (x − 2)

(

x −4

3

)

(x − 9)

Corrección

Ejercicio 94

◮1) Sea E = x3− 6x2

− 37x + 90


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = −10x3− 13x2 + x + 4


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−5) = 0

b) E = (x + 5) (x − 2) (x − 9)

◮2) a) F (−1) = 0

b) F = −10 (x + 1)

(

x +4

5

)(

x −1

2

)

Corrección



Ejercicio 95

◮1) Sea E = x3 + 4x2− 7x − 10


b) Factoriza E.

◮2) Sea F = 99x3− 65x2 + 6x


b) Factoriza F .


◮1) a) E(−5) = 0

b) E = (x + 5) (x + 1) (x − 2)

◮2) a) F (0) = 0

b) F = 99x

(

x −1

9

)(

x −6

11

)

Corrección



Corrección del ejercicio 1


−8 x − 10 + 5 x + 10 = 4 x − 8

−3 x = 4 x − 8

−3 x − 4 x = −8

−7 x = −8

x =− 8

−7=

8

7

La solución de esta ecuación es8

7

9 x + 1 + x + 3 = −7 x − 10

10 x + 4 = −7 x − 10

10 x + 7 x = −10 − 4

17 x = −14

x =− 14

17

La solución de esta ecuación es− 14

17

Volver al enunciado



−7 x + 1 − (−10 x + 9) = −6 x − 9

−7 x + 1 + 10 x − 9 = −6 x − 9

3 x − 8 = −6 x − 9

3 x + 6 x = −9 + 8

9 x = −1

x =− 1

9


9

−x + 6 − 2 x − 8 = 3 x + 7

−3 x − 2 = 3 x + 7

−3 x − 3 x = 7 + 2

−6 x = 9

x =9

−6=

− 3

2


2

Volver al enunciado



7 x − 7 − (−4 x + 4) = 7 x − 1

7 x − 7 + 4 x − 4 = 7 x − 1

11 x − 11 = 7 x − 1

11 x − 7 x = −1 + 11

4 x = 10

x =10

4=

5

2


2

9 x − 10 + 7 x − 4 = −3 x + 5

16 x − 14 = −3 x + 5

16 x + 3 x = 5 + 14

19 x = 19

x =19

19= 1

La solución de esta ecuación es 1



Volver al enunciado



5 x + 8 + x − 2 = −5 x + 9

6 x + 6 = −5 x + 9

6 x + 5 x = 9 − 6

11 x = 3

x =3

11


11

−10 x − 4 − (10 x + 8) = 2 x + 6

−10 x − 4 − 10 x − 8 = 2 x + 6

−20 x − 12 = 2 x + 6

−20 x − 2 x = 6 + 12

−22 x = 18

x =18

−22=

− 9

11


11

Volver al enunciado



−3 x − 9 − (5 x + 1) = −9 x + 8

−3 x − 9 − 5 x − 1 = −9 x + 8

−8 x − 10 = −9 x + 8

−8 x + 9 x = 8 + 10

x = 18


−8 x − 9 − (−2 x + 4) = 8 x − 7

−8 x − 9 + 2 x − 4 = 8 x − 7

−6 x − 13 = 8 x − 7

−6 x − 8 x = −7 + 13

−14 x = 6

x =6

−14=

− 3

7


7

Volver al enunciado



6 x − 7 − (−5 x + 3) = −2 x − 2

6 x − 7 + 5 x − 3 = −2 x − 2

11 x − 10 = −2 x − 2

11 x + 2 x = −2 + 10

13 x = 8

x =8

13


13



−5 x − 2 − (10 x + 9) = x − 1

−5 x − 2 − 10 x − 9 = x − 1

−15 x − 11 = x − 1

−15 x − x = −1 + 11

−16 x = 10

x =10

−16=

− 5

8


8

Volver al enunciado



−2 x + 5 − (−7 x − 3) = −10 x + 10

−2 x + 5 + 7 x + 3 = −10 x + 10

5 x + 8 = −10 x + 10

5 x + 10 x = 10 − 8

15 x = 2

x =2

15


15

−4 x − 4 − (−4 x − 7) = 5 x − 9

−4 x − 4 + 4 x + 7 = 5 x − 9

3 = 5 x − 9

−5 x = −9 − 3

−5 x = −12

x =− 12

−5=

12

5


5

Volver al enunciado



−10 x + 5 − 9 x + 4 = −8 x − 7

−19 x + 9 = −8 x − 7

−19 x + 8 x = −7 − 9

−11 x = −16

x =− 16

−11=

16

11


11

7 x − 5 − 9 x − 10 = −8 x − 8

−2 x − 15 = −8 x − 8

−2 x + 8 x = −8 + 15

6 x = 7

x =7

6


6

Volver al enunciado





6 x + 1 + 10 x + 9 = 10 x − 6

16 x + 10 = 10 x − 6

16 x − 10 x = −6 − 10

6 x = −16

x =− 16

6=

− 8

3


3

x + 3 − (8 x − 4) = −3 x − 7

x + 3 − 8 x + 4 = −3 x − 7

−7 x + 7 = −3 x − 7

−7 x + 3 x = −7 − 7

−4 x = −14

x =− 14

−4=

7

2


2

Volver al enunciado



4 x − 1 − (−8 x − 1) = 3 x − 9

4 x − 1 + 8 x + 1 = 3 x − 9

12 x = 3 x − 9

12 x − 3 x = −9

9 x = −9

x =− 9

9= −1

La solución de esta ecuación es −1

−8 x − 10 − (−5 x + 5) = −x − 7

−8 x − 10 + 5 x − 5 = −x − 7

−3 x − 15 = −x − 7

−3 x + x = −7 + 15

−2 x = 8

x =8

−2= −4


Volver al enunciado



5 x + 9 + 10 x + 1 = 6 x − 3

15 x + 10 = 6 x − 3

15 x − 6 x = −3 − 10

9 x = −13

x =− 13

9


9

5 x − 1 − (3 x − 1) = −3 x − 8

5 x − 1 − 3 x + 1 = −3 x − 8

2 x = −3 x − 8

2 x + 3 x = −8

5 x = −8

x =− 8

5


5

Volver al enunciado





−8 x + 5 − (5 x − 4) = −9 x − 10

−8 x + 5 − 5 x + 4 = −9 x − 10

−13 x + 9 = −9 x − 10

−13 x + 9 x = −10 − 9

−4 x = −19

x =− 19

−4=

19

4


4

−10 x − 10 − (9 x − 8) = 4 x + 3

−10 x − 10 − 9 x + 8 = 4 x + 3

−19 x − 2 = 4 x + 3

−19 x − 4 x = 3 + 2

−23 x = 5

x =5

−23=

− 5

23


23

Volver al enunciado



9 x + 9 + 3 x − 6 = −10 x + 1

12 x + 3 = −10 x + 1

12 x + 10 x = 1 − 3

22 x = −2

x =− 2

22=

− 1

11


11

−10 x − 5 − (−2 x − 8) = 4 x + 5

−10 x − 5 + 2 x + 8 = 4 x + 5

−8 x + 3 = 4 x + 5

−8 x − 4 x = 5 − 3

−12 x = 2

x =2

−12=

− 1

6


6

Volver al enunciado



10 x + 7 − (5 x − 9) = −9 x − 7

10 x + 7 − 5 x + 9 = −9 x − 7

5 x + 16 = −9 x − 7

5 x + 9 x = −7 − 16

14 x = −23

x =− 23

14


14

7 x + 5 − x − 10 = −9 x − 3

6 x − 5 = −9 x − 3

6 x + 9 x = −3 + 5

15 x = 2

x =2

15


15



Volver al enunciado



x + 9 − (7 x − 6) = −4 x − 8

x + 9 − 7 x + 6 = −4 x − 8

−6 x + 15 = −4 x − 8

−6 x + 4 x = −8 − 15

−2 x = −23

x =− 23

−2=

23

2


2

7 x + 8 − (4 x + 9) = 6 x − 6

7 x + 8 − 4 x − 9 = 6 x − 6

3 x − 1 = 6 x − 6

3 x − 6 x = −6 + 1

−3 x = −5

x =− 5

−3=

5

3


3

Volver al enunciado



2 x − 10 − (9 x + 8) = 9 x − 7

2 x − 10 − 9 x − 8 = 9 x − 7

−7 x − 18 = 9 x − 7

−7 x − 9 x = −7 + 18

−16 x = 11

x =11

−16=

− 11

16


16

8 x + 2 + 4 x − 8 = −4 x − 7

12 x − 6 = −4 x − 7

12 x + 4 x = −7 + 6

16 x = −1

x =− 1

16


16

Volver al enunciado



8 x + 1 − 9 x + 3 = −10 x − 2

−x + 4 = −10 x − 2

−x + 10 x = −2 − 4

9 x = −6

x =− 6

9=

− 2

3


3



4 x + 6 − 3 x + 8 = 9 x + 9

x + 14 = 9 x + 9

x − 9 x = 9 − 14

−8 x = −5

x =− 5

−8=

5

8


8

Volver al enunciado



−4 x − 10 − (4 x − 9) = −4 x + 3

−4 x − 10 − 4 x + 9 = −4 x + 3

−8 x − 1 = −4 x + 3

−8 x + 4 x = 3 + 1

−4 x = 4

x =4

−4= −1


−6 x + 4 − (8 x − 1) = 3 x − 8

−6 x + 4 − 8 x + 1 = 3 x − 8

−14 x + 5 = 3 x − 8

−14 x − 3 x = −8 − 5

−17 x = −13

x =− 13

−17=

13

17


17

Volver al enunciado



2 x + 8 − (4 x + 3) = 9 x + 10

2 x + 8 − 4 x − 3 = 9 x + 10

−2 x + 5 = 9 x + 10

−2 x − 9 x = 10 − 5

−11 x = 5

x =5

−11=

− 5

11


11

−10 x + 10 − (−10 x + 6) = 4 x + 4

−10 x + 10 + 10 x − 6 = 4 x + 4

4 = 4 x + 4

−4 x = 4 − 4

−4 x = 0

x =0

−4= 0


Volver al enunciado





−6 x − 8 − 2 x + 2 = 5 x + 5

−8 x − 6 = 5 x + 5

−8 x − 5 x = 5 + 6

−13 x = 11

x =11

−13=

− 11

13


13

8 x − 2 + 6 x + 7 = 4 x + 9

14 x + 5 = 4 x + 9

14 x − 4 x = 9 − 5

10 x = 4

x =4

10=

2

5


5

Volver al enunciado



9 x + 2 − (−3 x − 4) = −9 x + 6

9 x + 2 + 3 x + 4 = −9 x + 6

12 x + 6 = −9 x + 6

12 x + 9 x = 6 − 6

21 x = 0

x =0

21= 0


10 x + 1 + 4 x + 9 = −5 x + 6

14 x + 10 = −5 x + 6

14 x + 5 x = 6 − 10

19 x = −4

x =− 4

19


19

Volver al enunciado



−x + 9 − (4 x − 10) = 2 x + 6

−x + 9 − 4 x + 10 = 2 x + 6

−5 x + 19 = 2 x + 6

−5 x − 2 x = 6 − 19

−7 x = −13

x =− 13

−7=

13

7


7

−2 x + 7 − (−8 x + 3) = 2 x + 10

−2 x + 7 + 8 x − 3 = 2 x + 10

6 x + 4 = 2 x + 10

6 x − 2 x = 10 − 4

4 x = 6

x =6

4=

3

2


2

Volver al enunciado





x − 9 + x − 8 = −2 x + 1

2 x − 17 = −2 x + 1

2 x + 2 x = 1 + 17

4 x = 18

x =18

4=

9

2


2

x + 10 + 2 x − 1 = −7 x + 5

3 x + 9 = −7 x + 5

3 x + 7 x = 5 − 9

10 x = −4

x =− 4

10=

− 2

5


5

Volver al enunciado



−10 x − 1 − 5 x + 10 = 7 x + 8

−15 x + 9 = 7 x + 8

−15 x − 7 x = 8 − 9

−22 x = −1

x =− 1

−22=

1

22


22

2 x − 1 + 6 x + 1 = −4 x − 5

8 x = −4 x − 5

8 x + 4 x = −5

12 x = −5

x =− 5

12


12

Volver al enunciado



−x + 7 − 8 x + 8 = −7 x − 7

−9 x + 15 = −7 x − 7

−9 x + 7 x = −7 − 15

−2 x = −22

x =− 22

−2= 11


−5 x + 1 − 4 x − 4 = 5 x − 4

−9 x − 3 = 5 x − 4

−9 x − 5 x = −4 + 3

−14 x = −1

x =− 1

−14=

1

14


14

Volver al enunciado





− 3 x + 9

2−

3 x + 4

6=

5 x + 8

3

(−3 x + 9)·3

2·3−

3 x + 4

6=

(5 x + 8)·2

3·2

− 9 x + 27 − (3 x + 4)

✁6=

10 x + 16

✁6−9 x + 27 − 3 x − 4 = 10 x + 16

−12 x + 23 = 10 x + 16

−12 x − 10 x = 16 − 23

−22 x = −7

x =− 7

−22=

7

22


22

x − 2

2+

− 5 x + 8

3=

4 x + 10

4

(x − 2)·6

2·6+

(−5 x + 8)·4

3·4=

(4 x + 10)·3

4·3

6 x − 12 − 20 x + 32

✚✚12=

12 x + 30

✚✚12

−14 x + 20 = 12 x + 30

−14 x − 12 x = 30 − 20

−26 x = 10

x =10

−26=

− 5

13


13

Volver al enunciado



− 2 x − 1

6−

3 x − 6

2=

x + 8

3

− 2 x − 1

6−

(3 x − 6)·3

2·3=

(x + 8)·2

3·2

− 2 x − 1 − (9 x − 18)

✁6=

2 x + 16

✁6−2 x − 1 − 9 x + 18 = 2 x + 16

−11 x + 17 = 2 x + 16

−11 x − 2 x = 16 − 17

−13 x = −1

x =− 1

−13=

1

13


13

− 9 x + 1

3+

− x + 6

2=

− 8 x + 4

4

(−9 x + 1)·4

3·4+

(−x + 6)·6

2·6=

(−8 x + 4)·3

4·3

− 36 x + 4 − 6 x + 36

✚✚12=

− 24 x + 12

✚✚12

−42 x + 40 = −24 x + 12

−42 x + 24 x = 12 − 40

−18 x = −28

x =− 28

−18=

14

9


9

Volver al enunciado



− 4 x + 5

2+

− 8 x + 6

3=

− x − 9

9

(−4 x + 5)·9

2·9+

(−8 x + 6)·6

3·6=

(−x − 9)·2

9·2

− 36 x + 45 − 48 x + 36

✚✚18=

− 2 x − 18

✚✚18

−84 x + 81 = −2 x − 18

−84 x + 2 x = −18 − 81



−82 x = −99

x =− 99

−82=

99

82


82

− 10 x + 4

2+

10 x − 2

6=

6 x − 1

9

(−10 x + 4)·9

2·9+

(10 x − 2)·3

6·3=

(6 x − 1)·2

9·2

− 90 x + 36 + 30 x − 6

✚✚18=

12 x − 2

✚✚18

−60 x + 30 = 12 x − 2

−60 x − 12 x = −2 − 30

−72 x = −32

x =− 32

−72=

4

9


9

Volver al enunciado



− 2 x + 2

3−

9 x + 1

6=

7 x − 10

8

(−2 x + 2)·8

3·8−

(9 x + 1)·4

6·4=

(7 x − 10)·3

8·3

− 16 x + 16 − (36 x + 4)

✚✚24=

21 x − 30

✚✚24−16 x + 16 − 36 x − 4 = 21 x − 30

−52 x + 12 = 21 x − 30

−52 x − 21 x = −30 − 12

−73 x = −42

x =− 42

−73=

42

73


73

− 3 x + 5

2+

10 x − 6

3=

− 7 x − 8

9

(−3 x + 5)·9

2·9+

(10 x − 6)·6

3·6=

(−7 x − 8)·2

9·2

− 27 x + 45 + 60 x − 36

✚✚18=

− 14 x − 16

✚✚18

33 x + 9 = −14 x − 16

33 x + 14 x = −16 − 9

47 x = −25

x =− 25

47


47

Volver al enunciado



5 x − 8

3+

− 9 x − 6

8=

6 x − 1

6

(5 x − 8)·8

3·8+

(−9 x − 6)·3

8·3=

(6 x − 1)·4

6·4

40 x − 64 − 27 x − 18

✚✚24=

24 x − 4

✚✚24

13 x − 82 = 24 x − 4

13 x − 24 x = −4 + 82



−11 x = 78

x =78

−11=

− 78

11


11

5 x − 8

2+

3 x − 5

6=

x − 2

4

(5 x − 8)·6

2·6+

(3 x − 5)·2

6·2=

(x − 2)·3

4·3

30 x − 48 + 6 x − 10

✚✚12=

3 x − 6

✚✚12

36 x − 58 = 3 x − 6

36 x − 3 x = −6 + 58

33 x = 52

x =52

33


33

Volver al enunciado



2 x + 3

3−

− 6 x + 6

9=

− 4 x + 2

2

(2 x + 3)·6

3·6−

(−6 x + 6)·2

9·2=

(−4 x + 2)·9

2·9

12 x + 18 − (−12 x + 12)

✚✚18=

− 36 x + 18

✚✚1812 x + 18 + 12 x − 12 = −36 x + 18

24 x + 6 = −36 x + 18

24 x + 36 x = 18 − 6

60 x = 12

x =12

60=

1

5


5

10 x + 6

8−

8 x − 7

3=

x + 9

6

(10 x + 6)·3

8·3−

(8 x − 7)·8

3·8=

(x + 9)·4

6·4

30 x + 18 − (64 x − 56)

✚✚24=

4 x + 36

✚✚24

30 x + 18 − 64 x + 56 = 4 x + 36

−34 x + 74 = 4 x + 36

−34 x − 4 x = 36 − 74

−38 x = −38

x =− 38

−38= 1


Volver al enunciado



x − 3

4+

4 x + 9

8=

8 x + 8

6

(x − 3)·6

4·6+

(4 x + 9)·3

8·3=

(8 x + 8)·4

6·4

6 x − 18 + 12 x + 27

✚✚24=

32 x + 32

✚✚2418 x + 9 = 32 x + 32

18 x − 32 x = 32 − 9

−14 x = 23



x =23

−14=

− 23

14


14

8 x + 4

4+

8 x − 5

3=

7 x + 2

6

(8 x + 4)·3

4·3+

(8 x − 5)·4

3·4=

(7 x + 2)·2

6·2

24 x + 12 + 32 x − 20

✚✚12=

14 x + 4

✚✚12

56 x − 8 = 14 x + 4

56 x − 14 x = 4 + 8

42 x = 12

x =12

42=

2

7


7

Volver al enunciado



10 x + 8

2+

− 4 x + 1

4=

9 x − 2

8

(10 x + 8)·4

2·4+

(−4 x + 1)·2

4·2=

9 x − 2

8

40 x + 32 − 8 x + 2

✁8=

9 x − 2

✁8

32 x + 34 = 9 x − 2

32 x − 9 x = −2 − 34

23 x = −36

x =− 36

23


23

− 5 x − 2

3−

− x − 3

4=

3 x − 10

2

(−5 x − 2)·4

3·4−

(−x − 3)·3

4·3=

(3 x − 10)·6

2·6

− 20 x − 8 − (−3 x − 9)

✚✚12=

18 x − 60

✚✚12

−20 x − 8 + 3 x + 9 = 18 x − 60

−17 x + 1 = 18 x − 60

−17 x − 18 x = −60 − 1

−35 x = −61

x =− 61

−35=

61

35


35

Volver al enunciado



− 8 x − 2

4−

2 x − 8

3=

− 3 x + 1

8

(−8 x − 2)·6

4·6−

(2 x − 8)·8

3·8=

(−3 x + 1)·3

8·3

− 48 x − 12 − (16 x − 64)

✚✚24=

− 9 x + 3

✚✚24

−48 x − 12 − 16 x + 64 = −9 x + 3

−64 x + 52 = −9 x + 3



−64 x + 9 x = 3 − 52

−55 x = −49

x =− 49

−55=

49

55


55

8 x − 6

8−

5 x − 5

6=

− x + 1

3

(8 x − 6)·3

8·3−

(5 x − 5)·4

6·4=

(−x + 1)·8

3·8

24 x − 18 − (20 x − 20)

✚✚24=

− 8 x + 8

✚✚24

24 x − 18 − 20 x + 20 = −8 x + 8

4 x + 2 = −8 x + 8

4 x + 8 x = 8 − 2

12 x = 6

x =6

12=

1

2


2

Volver al enunciado



10 x − 8

8−

10 x − 1

3=

− x + 5

6

(10 x − 8)·3

8·3−

(10 x − 1)·8

3·8=

(−x + 5)·4

6·4

30 x − 24 − (80 x − 8)

✚✚24=

− 4 x + 20

✚✚24

30 x − 24 − 80 x + 8 = −4 x + 20

−50 x − 16 = −4 x + 20

−50 x + 4 x = 20 + 16

−46 x = 36

x =36

−46=

− 18

23


23

− 10 x + 5

2−

− 6 x − 4

4=

− 10 x − 1

8

(−10 x + 5)·4

2·4−

(−6 x − 4)·2

4·2=

− 10 x − 1

8

− 40 x + 20 − (−12 x − 8)

✁8=

− 10 x − 1

✁8

−40 x + 20 + 12 x + 8 = −10 x − 1

−28 x + 28 = −10 x − 1

−28 x + 10 x = −1 − 28

−18 x = −29

x =− 29

−18=

29

18


18

Volver al enunciado



− 9 x + 8

4−

− 8 x − 10

2=

− 5 x − 2

8

(−9 x + 8)·2

4·2−

(−8 x − 10)·4

2·4=

− 5 x − 2

8



− 18 x + 16 − (−32 x − 40)

✁8=

− 5 x − 2

✁8

−18 x + 16 + 32 x + 40 = −5 x − 2

14 x + 56 = −5 x − 2

14 x + 5 x = −2 − 56

19 x = −58

x =− 58

19


19

6 x − 4

8+

− 10 x + 8

4=

3 x − 5

6

(6 x − 4)·3

8·3+

(−10 x + 8)·6

4·6=

(3 x − 5)·4

6·4

18 x − 12 − 60 x + 48

✚✚24=

12 x − 20

✚✚24

−42 x + 36 = 12 x − 20

−42 x − 12 x = −20 − 36

−54 x = −56

x =− 56

−54=

28

27


27

Volver al enunciado



2 x + 10

3+

− x + 4

4=

− 6 x + 6

6

(2 x + 10)·4

3·4+

(−x + 4)·3

4·3=

(−6 x + 6)·2

6·2

8 x + 40 − 3 x + 12

✚✚12=

− 12 x + 12

✚✚12

5 x + 52 = −12 x + 12

5 x + 12 x = 12 − 52

17 x = −40

x =− 40

17


17

2 x + 10

9+

− 9 x − 5

6=

− 8 x − 2

2

(2 x + 10)·2

9·2+

(−9 x − 5)·3

6·3=

(−8 x − 2)·9

2·9

4 x + 20 − 27 x − 15

✚✚18=

− 72 x − 18

✚✚18

−23 x + 5 = −72 x − 18

−23 x + 72 x = −18 − 5

49 x = −23

x =− 23

49


49

Volver al enunciado



x + 8

8+

x + 8

4=

− 10 x − 1

3

(x + 8)·3

8·3+

(x + 8)·6

4·6=

(−10 x − 1)·8

3·8

3 x + 24 + 6 x + 48

✚✚24=

− 80 x − 8

✚✚24

9 x + 72 = −80 x − 8

9 x + 80 x = −8 − 72

89 x = −80



x =− 80

89


89

6 x + 7

6+

4 x + 9

3=

3 x + 1

8

(6 x + 7)·4

6·4+

(4 x + 9)·8

3·8=

(3 x + 1)·3

8·3

24 x + 28 + 32 x + 72

✚✚24=

9 x + 3

✚✚24

56 x + 100 = 9 x + 3

56 x − 9 x = 3 − 100

47 x = −97

x =− 97

47


47

Volver al enunciado



− 6 x + 6

3−

10 x − 6

4=

− 4 x − 2

8

(−6 x + 6)·8

3·8−

(10 x − 6)·6

4·6=

(−4 x − 2)·3

8·3

− 48 x + 48 − (60 x − 36)

✚✚24=

− 12 x − 6

✚✚24

−48 x + 48 − 60 x + 36 = −12 x − 6

−108 x + 84 = −12 x − 6

−108 x + 12 x = −6 − 84

−96 x = −90

x =− 90

−96=

15

16


16

− 10 x − 6

2−

− 4 x + 4

8=

6 x − 2

4

(−10 x − 6)·4

2·4−

− 4 x + 4

8=

(6 x − 2)·2

4·2

− 40 x − 24 − (−4 x + 4)

✁8=

12 x − 4

✁8

−40 x − 24 + 4 x − 4 = 12 x − 4

−36 x − 28 = 12 x − 4

−36 x − 12 x = −4 + 28

−48 x = 24

x =24

−48=

− 1

2


2

Volver al enunciado



− 3 x − 5

9+

10 x + 5

3=

3 x − 4

2

(−3 x − 5)·2

9·2+

(10 x + 5)·6

3·6=

(3 x − 4)·9

2·9

− 6 x − 10 + 60 x + 30

✚✚18=

27 x − 36

✚✚18

54 x + 20 = 27 x − 36

54 x − 27 x = −36 − 20



27 x = −56

x =− 56

27


27

4 x − 6

9+

− 10 x − 2

6=

− 6 x − 6

2

(4 x − 6)·2

9·2+

(−10 x − 2)·3

6·3=

(−6 x − 6)·9

2·9

8 x − 12 − 30 x − 6

✚✚18=

− 54 x − 54

✚✚18

−22 x − 18 = −54 x − 54

−22 x + 54 x = −54 + 18

32 x = −36

x =− 36

32=

− 9

8


8

Volver al enunciado



− 2 x − 5

4−

x + 4

6=

− 10 x − 5

2

(−2 x − 5)·3

4·3−

(x + 4)·2

6·2=

(−10 x − 5)·6

2·6

− 6 x − 15 − (2 x + 8)

✚✚12=

− 60 x − 30

✚✚12−6 x − 15 − 2 x − 8 = −60 x − 30

−8 x − 23 = −60 x − 30

−8 x + 60 x = −30 + 23

52 x = −7

x =− 7

52


52

5 x + 10

4+

− 2 x − 3

8=

8 x + 2

6

(5 x + 10)·6

4·6+

(−2 x − 3)·3

8·3=

(8 x + 2)·4

6·4

30 x + 60 − 6 x − 9

✚✚24=

32 x + 8

✚✚24

24 x + 51 = 32 x + 8

24 x − 32 x = 8 − 51

−8 x = −43

x =− 43

−8=

43

8


8

Volver al enunciado



9 x + 8

9+

− 4 x + 8

3=

x + 9

6

(9 x + 8)·2

9·2+

(−4 x + 8)·6

3·6=

(x + 9)·3

6·3

18 x + 16 − 24 x + 48

✚✚18=

3 x + 27

✚✚18

−6 x + 64 = 3 x + 27

−6 x − 3 x = 27 − 64



−9 x = −37

x =− 37

−9=

37

9


9

2 x + 2

4+

− 4 x + 4

8=

3 x − 7

2

(2 x + 2)·2

4·2+

− 4 x + 4

8=

(3 x − 7)·4

2·4

4 x + 4 − 4 x + 4

✁8=

12 x − 28

✁8

8 = 12 x − 28

−12 x = −28 − 8

−12 x = −36

x =− 36

−12= 3


Volver al enunciado



− 10 x + 4

4+

− x + 1

8=

5 x − 1

3

(−10 x + 4)·6

4·6+

(−x + 1)·3

8·3=

(5 x − 1)·8

3·8

− 60 x + 24 − 3 x + 3

✚✚24=

40 x − 8

✚✚24

−63 x + 27 = 40 x − 8

−63 x − 40 x = −8 − 27

−103 x = −35

x =− 35

−103=

35

103


103

8 x − 1

3+

− 2 x + 10

2=

− 7 x − 9

9

(8 x − 1)·6

3·6+

(−2 x + 10)·9

2·9=

(−7 x − 9)·2

9·2

48 x − 6 − 18 x + 90

✚✚18=

− 14 x − 18

✚✚18

30 x + 84 = −14 x − 18

30 x + 14 x = −18 − 84

44 x = −102

x =− 102

44=

− 51

22


22

Volver al enunciado



− 2 x − 6

4+

− 10 x − 6

6=

− 10 x + 2

2

(−2 x − 6)·3

4·3+

(−10 x − 6)·2

6·2=

(−10 x + 2)·6

2·6

− 6 x − 18 − 20 x − 12

✚✚12=

− 60 x + 12

✚✚12

−26 x − 30 = −60 x + 12

−26 x + 60 x = 12 + 30

34 x = 42

x =42

34=

21

17




17

− 2 x + 9

4+

2 x + 1

2=

x − 3

6

(−2 x + 9)·3

4·3+

(2 x + 1)·6

2·6=

(x − 3)·2

6·2

− 6 x + 27 + 12 x + 6

✚✚12=

2 x − 6

✚✚12

6 x + 33 = 2 x − 6

6 x − 2 x = −6 − 33

4 x = −39

x =− 39

4


4

Volver al enunciado



− x − 5

4−

− 9 x + 9

6=

− 10 x − 3

8

(−x − 5)·6

4·6−

(−9 x + 9)·4

6·4=

(−10 x − 3)·3

8·3

− 6 x − 30 − (−36 x + 36)

✚✚24=

− 30 x − 9

✚✚24

−6 x − 30 + 36 x − 36 = −30 x − 9

30 x − 66 = −30 x − 9

30 x + 30 x = −9 + 66

60 x = 57

x =57

60=

19

20


20

− 2 x + 4

8−

− 7 x + 6

4=

− 2 x + 6

6

(−2 x + 4)·3

8·3−

(−7 x + 6)·6

4·6=

(−2 x + 6)·4

6·4

− 6 x + 12 − (−42 x + 36)

✚✚24=

− 8 x + 24

✚✚24

−6 x + 12 + 42 x − 36 = −8 x + 24

36 x − 24 = −8 x + 24

36 x + 8 x = 24 + 24

44 x = 48

x =48

44=

12

11


11

Volver al enunciado



− 6 x + 7

6−

− 2 x − 10

2=

6 x + 9

4

(−6 x + 7)·2

6·2−

(−2 x − 10)·6

2·6=

(6 x + 9)·3

4·3

− 12 x + 14 − (−12 x − 60)

✚✚12=

18 x + 27

✚✚12

−12 x + 14 + 12 x + 60 = 18 x + 27

74 = 18 x + 27



−18 x = 27 − 74

−18 x = −47

x =− 47

−18=

47

18


18

− 6 x − 8

8−

2 x + 4

6=

− 3 x + 4

3

(−6 x − 8)·3

8·3−

(2 x + 4)·4

6·4=

(−3 x + 4)·8

3·8

− 18 x − 24 − (8 x + 16)

✚✚24=

− 24 x + 32

✚✚24

−18 x − 24 − 8 x − 16 = −24 x + 32

−26 x − 40 = −24 x + 32

−26 x + 24 x = 32 + 40

−2 x = 72

x =72

−2= −36


Volver al enunciado



7 x + 4

4+

9 x + 7

6=

7 x + 6

2

(7 x + 4)·3

4·3+

(9 x + 7)·2

6·2=

(7 x + 6)·6

2·6

21 x + 12 + 18 x + 14

✚✚12=

42 x + 36

✚✚12

39 x + 26 = 42 x + 36

39 x − 42 x = 36 − 26

−3 x = 10

x =10

−3=

− 10

3


3

− 8 x − 6

3+

6 x − 9

6=

− 6 x + 3

2

(−8 x − 6)·2

3·2+

6 x − 9

6=

(−6 x + 3)·3

2·3

− 16 x − 12 + 6 x − 9

✁6=

− 18 x + 9

✁6

−10 x − 21 = −18 x + 9

−10 x + 18 x = 9 + 21

8 x = 30

x =30

8=

15

4


4

Volver al enunciado



− 4 x + 10

2+

x + 2

3=

− 10 x + 5

9

(−4 x + 10)·9

2·9+

(x + 2)·6

3·6=

(−10 x + 5)·2

9·2

− 36 x + 90 + 6 x + 12

✚✚18=

− 20 x + 10

✚✚18−30 x + 102 = −20 x + 10

−30 x + 20 x = 10 − 102

−10 x = −92



x =− 92

−10=

46

5


5

5 x − 2

6+

2 x − 3

4=

10 x + 8

8

(5 x − 2)·4

6·4+

(2 x − 3)·6

4·6=

(10 x + 8)·3

8·3

20 x − 8 + 12 x − 18

✚✚24=

30 x + 24

✚✚24

32 x − 26 = 30 x + 24

32 x − 30 x = 24 + 26

2 x = 50

x =50

2= 25


Volver al enunciado



− 9 x − 4

2+

7 x + 10

3=

− 6 x − 5

6

(−9 x − 4)·3

2·3+

(7 x + 10)·2

3·2=

− 6 x − 5

6

− 27 x − 12 + 14 x + 20

✁6=

− 6 x − 5

✁6

−13 x + 8 = −6 x − 5

−13 x + 6 x = −5 − 8

−7 x = −13

x =− 13

−7=

13

7


7

− 4 x + 6

9−

− 9 x − 5

2=

6 x + 7

6

(−4 x + 6)·2

9·2−

(−9 x − 5)·9

2·9=

(6 x + 7)·3

6·3

− 8 x + 12 − (−81 x − 45)

✚✚18=

18 x + 21

✚✚18

−8 x + 12 + 81 x + 45 = 18 x + 21

73 x + 57 = 18 x + 21

73 x − 18 x = 21 − 57

55 x = −36

x =− 36

55


55

Volver al enunciado



6 x + 8

3−

− 7 x + 4

6=

− 7 x − 4

4

(6 x + 8)·4

3·4−

(−7 x + 4)·2

6·2=

(−7 x − 4)·3

4·3

24 x + 32 − (−14 x + 8)

✚✚12=

− 21 x − 12

✚✚1224 x + 32 + 14 x − 8 = −21 x − 12

38 x + 24 = −21 x − 12

38 x + 21 x = −12 − 24



59 x = −36

x =− 36

59


59

7 x + 2

4+

2 x + 6

2=

5 x + 9

8

(7 x + 2)·2

4·2+

(2 x + 6)·4

2·4=

5 x + 9

8

14 x + 4 + 8 x + 24

✁8=

5 x + 9

✁8

22 x + 28 = 5 x + 9

22 x − 5 x = 9 − 28

17 x = −19

x =− 19

17


17

Volver al enunciado



◮1) x2 + 4x − 45 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 42− 4 · 1 · (−45) = 196 y

√

196 = 14.

Como ∆ > 0, P (x) tiene dos raíces :

−4 −

√

196

2 · 1=

−4 −

√

196

2

−4 +√

196

2 · 1=

−4 +√

196

2

=−4 − 14

2=

−4 + 14

2

=−18

2=

10

2= − 9 =5

Las raíces de P son x1 = −9 y x2 = 5.

◮2) −x2 + 9x − 20 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 92− 4 · (−1) · (−20) = 1.


−9 +√

1

2 · (−1)=

−9 +√

1

−2

−9 −

√

1

2 · (−1)=

−9 −

√

1

−2

=−9 + 1

−2=

−9 − 1

−2

=−8

−2=

−10

−2

=4 =5

Las raíces de P son x1 = 4 y x2 = 5.

◮3) t2 + 3t − 1 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 32− 4 · 1 · (−1) = 13.

Como ∆ > 0, P (t) tiene dos raíces :

−3 −

√

13

2 · 1=

−3 −

√

13

2

−3 +√

13

2 · 1=

−3 +√

13

2



Las raíces de P son t1 =−3 −

√

13

2y t2 =

−3 +√

13

2.

Volver al enunciado



◮1) t2− 2t − 63 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−2)2− 4 · 1 · (−63) = 256 y

√

256 = 16.


− (−2) −

√

256

2 · 1=

2 −

√

256

2

− (−2) +√

256

2 · 1=

2 +√

256

2

=2 − 16

2=

2 + 16

2

=−14

2=

18

2= − 7 =9

Las raíces de P son t1 = −7 y t2 = 9.

◮2) 21x2 + 17x − 8 = 0


√

961 = 31.


−17 −

√

961

2 · 21=

−17 −

√

961

42

−17 +√

961

2 · 21=

−17 +√

961

42

=−17 − 31

42=

−17 + 31

42

=−48

42=

14

42

=−8

·✁67

·✁6=

1·✚✚14

3·✚✚14

=−8

7=

1

3

Las raíces de P son x1 =−8

7y x2 =

1

3.

◮3) t2 + 5t − 4 = 0



−5 −

√

41

2 · 1=

−5 −

√

41

2

−5 +√

41

2 · 1=

−5 +√

41

2

Las raíces de P son t1 =−5 −

√

41

2y t2 =

−5 +√

41

2.

Volver al enunciado





◮1) x2 + 9x + 20 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 92− 4 · 1 · 20 = 1.


−9 −

√

1

2 · 1=

−9 −

√

1

2

−9 +√

1

2 · 1=

−9 +√

1

2

=−9 − 1

2=

−9 + 1

2

=−10

2=

−8

2= − 5 = − 4

Las raíces de P son x1 = −5 y x2 = −4.

◮2) 110t2 + 57t − 14 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 572− 4 · 110 · (−14) = 9 409 y

√

9 409 = 97.


−57 −

√

9 409

2 · 110=

−57 −

√

9 409

220

−57 +√

9 409

2 · 110=

−57 +√

9 409

220

=−57 − 97

220=

−57 + 97

220

=−154

220=

40

220

=−7

·✚✚22

10·✚✚22

=2

·✚✚20

11·✚✚20

=−7

10=

2

11

Las raíces de P son t1 =−7

10y t2 =

2

11.

◮3) −z2 + 5z − 4 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 52− 4 · (−1) · (−4) = 9 y

√

9 = 3.

Como ∆ > 0, P (z) tiene dos raíces :

−5 +√

9

2 · (−1)=

−5 +√

9

−2

−5 −

√

9

2 · (−1)=

−5 −

√

9

−2

=−5 + 3

−2=

−5 − 3

−2

=−2

−2=

−8

−2

=1 =4

Las raíces de P son z1 = 1 y z2 = 4.

Volver al enunciado



◮1) t2 + 7t − 8 = 0


√

81 = 9.




−7 −

√

81

2 · 1=

−7 −

√

81

2

−7 +√

81

2 · 1=

−7 +√

81

2

=−7 − 9

2=

−7 + 9

2

=−16

2=

2

2= − 8 =1


◮2) −7z2− 9z − 2 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−9)2− 4 · (−7) · (−2) = 25 y

√

25 = 5.


− (−9) +√

25

2 · (−7)=

9 +√

25

−14

− (−9) −

√

25

2 · (−7)=

9 −

√

25

−14

=9 + 5

−14=

9 − 5

−14

=14

−14=

4

−14

= − 1 =−2

·✟✟(−2)

7·✟✟(−2)

=−2

7

Las raíces de P son z1 = −1 y z2 =−2

7.

◮3) −y2 + 5 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 02− 4 · (−1) · 5 = 20 y

√

20 = 2√

5.

Como ∆ > 0, P (y) tiene dos raíces :

−0 +√

20

2 · (−1)=

+√

20

−2

−0 −

√

20

2 · (−1)=

−

√

20

−2

=+2

√

5

−2=

−2√

5

−2

=0

·✟✟(−2) − 1·✟✟(−2)

√

5

1·✟✟(−2)

=0

·✟✟(−2) + 1·✟✟(−2)

√

5

1·✟✟(−2)

= −

√

5 =√

5

Las raíces de P son y1 = −

√

5 y y2 =√

5.

Volver al enunciado



◮1) x2− 15x + 54 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−15)2− 4 · 1 · 54 = 9 y

√

9 = 3.


− (−15) −

√

9

2 · 1=

15 −

√

9

2

− (−15) +√

9

2 · 1=

15 +√

9

2

=15 − 3

2=

15 + 3

2

=12

2=

18

2=6 =9



Las raíces de P son x1 = 6 y x2 = 9.

◮2) 9t2− 13t + 4 = 0


√

25 = 5.


− (−13) −

√

25

2 · 9=

13 −

√

25

18

− (−13) +√

25

2 · 9=

13 +√

25

18

=13 − 5

18=

13 + 5

18

=8

18=

18

18

=4

·✁29

·✁2=1

=4

9

Las raíces de P son t1 =4

9y t2 = 1.

◮3) −t2 + 9t + 8 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 92− 4 · (−1) · 8 = 113.


−9 +√

113

2 · (−1)=

−9 +√

113

−2

−9 −

√

113

2 · (−1)=

−9 −

√

113

−2

=9

·✟✟(−1) − 1·✟✟(−1)

√

113

2·✟✟(−1)

=9

·✟✟(−1) + 1·✟✟(−1)

√

113

2·✟✟(−1)

=9 −

√

113

2=

9 +√

113

2

Las raíces de P son t1 =9 −

√

113

2y t2 =

9 +√

113

2.

Volver al enunciado



◮1) x2 + 5x − 24 = 0


√

121 = 11.


−5 −

√

121

2 · 1=

−5 −

√

121

2

−5 +√

121

2 · 1=

−5 +√

121

2

=−5 − 11

2=

−5 + 11

2

=−16

2=

6

2= − 8 =3


◮2) −10x2− x + 9 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−1)2− 4 · (−10) · 9 = 361 y

√

361 = 19.




− (−1) +√

361

2 · (−10)=

1 +√

361

−20

− (−1) −

√

361

2 · (−10)=

1 −

√

361

−20

=1 + 19

−20=

1 − 19

−20

=20

−20=

−18

−20

= − 1 =9

·✟✟(−2)

10·✟✟(−2)

=9

10

Las raíces de P son x1 = −1 y x2 =9

10.

◮3) t2 + t + 8 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 12− 4 · 1 · 8 = −31.

Como ∆ < 0, P (t) no tiene raíces.

Volver al enunciado



◮1) x2− 2x − 15 = 0


√

64 = 8.


− (−2) −

√

64

2 · 1=

2 −

√

64

2

− (−2) +√

64

2 · 1=

2 +√

64

2

=2 − 8

2=

2 + 8

2

=−6

2=

10

2= − 3 =5


◮2) −55y2− 2y + 21 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−2)2− 4 · (−55) · 21 = 4 624 y

√

4 624 = 68.


− (−2) +√

4 624

2 · (−55)=

2 +√

4 624

−110

− (−2) −

√

4 624

2 · (−55)=

2 −

√

4 624

−110

=2 + 68

−110=

2 − 68

−110

=70

−110=

−66

−110

=−7·✘✘✘(−10)

11·✘✘✘(−10)=

3·✘✘✘(−22)

5·✘✘✘(−22)

=−7

11=

3

5

Las raíces de P son y1 =−7

11y y2 =

3

5.



◮3) −t2 + 4t + 1 = 0


√

20 = 2√

5.


−4 +√

20

2 · (−1)=

−4 +√

20

−2

−4 −

√

20

2 · (−1)=

−4 −

√

20

−2

=−4 + 2

√

5

−2=

−4 − 2√

5

−2

=2

·✟✟(−2) − 1·✟✟(−2)

√

5

1·✟✟(−2)

=2

·✟✟(−2) + 1·✟✟(−2)

√

5

1·✟✟(−2)

=2 −

√

5 =2 +√

5

Las raíces de P son t1 = 2 −

√

5 y t2 = 2 +√

5.

Volver al enunciado



◮1) y2 + 6y − 27 = 0


√

144 = 12.


−6 −

√

144

2 · 1=

−6 −

√

144

2

−6 +√

144

2 · 1=

−6 +√

144

2

=−6 − 12

2=

−6 + 12

2

=−18

2=

6

2= − 9 =3

Las raíces de P son y1 = −9 y y2 = 3.

◮2) −8t2 + 37t + 15 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 372− 4 · (−8) · 15 = 1 849 y

√

1 849 = 43.


−37 +√

1 849

2 · (−8)=

−37 +√

1 849

−16

−37 −

√

1 849

2 · (−8)=

−37 −

√

1 849

−16

=−37 + 43

−16=

−37 − 43

−16

=6

−16=

−80

−16

=−3

·✟✟(−2)

8·✟✟(−2)

=5

=−3

8


8y t2 = 5.

◮3) z2 + 5z − 5 = 0


√

45 = 3√

5.




−5 −

√

45

2 · 1=

−5 −

√

45

2

−5 +√

45

2 · 1=

−5 +√

45

2

=−5 − 3

√

5

2=

−5 + 3√

5

2

Las raíces de P son z1 =−5 − 3

√

5

2y z2 =

−5 + 3√

5

2.

Volver al enunciado



◮1) z2 + 7z = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 72− 4 · 1 · 0 = 49 y

√

49 = 7.


−7 −

√

49

2 · 1=

−7 −

√

49

2

−7 +√

49

2 · 1=

−7 +√

49

2

=−7 − 7

2=

−7 + 7

2

=−14

2=

0

2= − 7 =0

Las raíces de P son z1 = −7 y z2 = 0.

◮2) 5y2 + 7y + 2 = 0


√

9 = 3.


−7 −

√

9

2 · 5=

−7 −

√

9

10

−7 +√

9

2 · 5=

−7 +√

9

10

=−7 − 3

10=

−7 + 3

10

=−10

10=

−4

10

= − 1 =−2

·✁25

·✁2

=−2

5

Las raíces de P son y1 = −1 y y2 =−2

5.

◮3) t2− 9 = 0


√

36 = 6.


−0 −

√

36

2 · 1=

−

√

36

2

−0 +√

36

2 · 1=

+√

36

2

=0 − 6

2=

0 + 6

2

=−6

2=

6

2= − 3 =3


Volver al enunciado





◮1) z2 + 8z = 0


√

64 = 8.


−8 −

√

64

2 · 1=

−8 −

√

64

2

−8 +√

64

2 · 1=

−8 +√

64

2

=−8 − 8

2=

−8 + 8

2

=−16

2=

0

2= − 8 =0


◮2) 6x2 + 41x + 30 = 0


√

961 = 31.


−41 −

√

961

2 · 6=

−41 −

√

961

12

−41 +√

961

2 · 6=

−41 +√

961

12

=−41 − 31

12=

−41 + 31

12

=−72

12=

−10

12

= − 6 =−5

·✁26

·✁2

=−5

6

Las raíces de P son x1 = −6 y x2 =−5

6.

◮3) −y2 + 8y − 8 = 0


√

32 = 4√

2.


−8 +√

32

2 · (−1)=

−8 +√

32

−2

−8 −

√

32

2 · (−1)=

−8 −

√

32

−2

=−8 + 4

√

2

−2=

−8 − 4√

2

−2

=4

·✟✟(−2) − 2·✟✟(−2)

√

2

1·✟✟(−2)

=4

·✟✟(−2) + 2·✟✟(−2)

√

2

1·✟✟(−2)

=4 − 2√

2 =4 + 2√

2

Las raíces de P son y1 = 4 − 2√

2 y y2 = 4 + 2√

2.

Volver al enunciado





◮1) x2 + x − 90 = 0


√

361 = 19.


−1 −

√

361

2 · 1=

−1 −

√

361

2

−1 +√

361

2 · 1=

−1 +√

361

2

=−1 − 19

2=

−1 + 19

2

=−20

2=

18

2= − 10 =9


◮2) −2z2− 13z + 7 = 0


√

225 = 15.


− (−13) +√

225

2 · (−2)=

13 +√

225

−4

− (−13) −

√

225

2 · (−2)=

13 −

√

225

−4

=13 + 15

−4=

13 − 15

−4

=28

−4=

−2

−4

= − 7 =1

·✟✟(−2)

2·✟✟(−2)

=1

2

Las raíces de P son z1 = −7 y z2 =1

2.

◮3) x2 + 9x − 3 = 0



−9 −

√

93

2 · 1=

−9 −

√

93

2

−9 +√

93

2 · 1=

−9 +√

93

2

Las raíces de P son x1 =−9 −

√

93

2y x2 =

−9 +√

93

2.

Volver al enunciado



◮1) y2− y − 2 = 0


√

9 = 3.


− (−1) −

√

9

2 · 1=

1 −

√

9

2

− (−1) +√

9

2 · 1=

1 +√

9

2

=1 − 3

2=

1 + 3

2

=−2

2=

4

2= − 1 =2




◮2) −9y2 + y + 10 = 0


√

361 = 19.


−1 +√

361

2 · (−9)=

−1 +√

361

−18

−1 −

√

361

2 · (−9)=

−1 −

√

361

−18

=−1 + 19

−18=

−1 − 19

−18

=18

−18=

−20

−18

= − 1 =10

·✟✟(−2)

9·✟✟(−2)

=10

9

Las raíces de P son y1 = −1 y y2 =10

9.

◮3) z2 + 6z − 4 = 0


√

52 = 2√

13.


−6 −

√

52

2 · 1=

−6 −

√

52

2

−6 +√

52

2 · 1=

−6 +√

52

2

=−6 − 2

√

13

2=

−6 + 2√

13

2

=−3

·✁2− 1

·✁2√

13

1·✁2

=−3

·✁2+ 1

·✁2√

13

1·✁2

= − 3 −

√

13 = − 3 +√

13

Las raíces de P son z1 = −3 −

√

13 y z2 = −3 +√

13.

Volver al enunciado



◮1) x2 + 12x + 35 = 0


√

4 = 2.


−12 −

√

4

2 · 1=

−12 −

√

4

2

−12 +√

4

2 · 1=

−12 +√

4

2

=−12 − 2

2=

−12 + 2

2

=−14

2=

−10

2= − 7 = − 5


◮2) 18t2− 45t − 50 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−45)2− 4 · 18 · (−50) = 5 625 y

√

5 625 = 75.




− (−45) −

√

5 625

2 · 18=

45 −

√

5 625

36

− (−45) +√

5 625

2 · 18=

45 +√

5 625

36

=45 − 75

36=

45 + 75

36

=−30

36=

120

36

=−5

·✁66

·✁6=

10·✚✚12

3·✚✚12

=−5

6=

10

3


6y t2 =

10

3.

◮3) −x2 + 4 = 0


√

16 = 4.


−0 +√

16

2 · (−1)=

+√

16

−2

−0 −

√

16

2 · (−1)=

−

√

16

−2

=0 + 4

−2=

0 − 4

−2

=4

−2=

−4

−2

= − 2 =2


Volver al enunciado



◮1) y2− 12y + 36 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−12)2− 4 · 1 · 36 = 0.

Como ∆ = 0, P (y) tiene una sola raíz doble y0 =− (−12)

2 · 1= 6.

◮2) −3z2 + 10z − 8 = 0


√

4 = 2.


−10 +√

4

2 · (−3)=

−10 +√

4

−6

−10 −

√

4

2 · (−3)=

−10 −

√

4

−6

=−10 + 2

−6=

−10 − 2

−6

=−8

−6=

−12

−6

=4

·✟✟(−2)

3·✟✟(−2)

=2

=4

3

Las raíces de P son z1 =4

3y z2 = 2.



◮3) t2 + 5 = 0



Volver al enunciado



◮1) y2− 8y = 0


√

64 = 8.


− (−8) −

√

64

2 · 1=

8 −

√

64

2

− (−8) +√

64

2 · 1=

8 +√

64

2

=8 − 8

2=

8 + 8

2

=0

2=

16

2=0 =8

Las raíces de P son y1 = 0 y y2 = 8.

◮2) 12y2− 17y − 40 = 0


√

2 209 = 47.


− (−17) −

√

2 209

2 · 12=

17 −

√

2 209

24

− (−17) +√

2 209

2 · 12=

17 +√

2 209

24

=17 − 47

24=

17 + 47

24

=−30

24=

64

24

=−5

·✁64

·✁6=

8·✁8

3·✁8

=−5

4=

8

3


4y y2 =

8

3.

◮3) x2 + 8 = 0


Como ∆ < 0, P (x) no tiene raíces.

Volver al enunciado



◮1) x2 + 9x + 14 = 0


√

25 = 5.


−9 −

√

25

2 · 1=

−9 −

√

25

2

−9 +√

25

2 · 1=

−9 +√

25

2

=−9 − 5

2=

−9 + 5

2

=−14

2=

−4

2= − 7 = − 2




◮2) −27y2 + 93y − 56 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 932− 4 · (−27) · (−56) = 2 601 y

√

2 601 = 51.


−93 +√

2 601

2 · (−27)=

−93 +√

2 601

−54

−93 −

√

2 601

2 · (−27)=

−93 −

√

2 601

−54

=−93 + 51

−54=

−93 − 51

−54

=−42

−54=

−144

−54

=7

·✟✟(−6)

9·✟✟(−6)

=8·✘✘✘(−18)

3·✘✘✘(−18)

=7

9=

8

3

Las raíces de P son y1 =7

9y y2 =

8

3.

◮3) −y2 + 2y − 9 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 22− 4 · (−1) · (−9) = −32.

Como ∆ < 0, P (y) no tiene raíces.

Volver al enunciado



◮1) t2 + 7t + 12 = 0



−7 −

√

1

2 · 1=

−7 −

√

1

2

−7 +√

1

2 · 1=

−7 +√

1

2

=−7 − 1

2=

−7 + 1

2

=−8

2=

−6

2= − 4 = − 3

Las raíces de P son t1 = −4 y t2 = −3.

◮2) 36z2− 99z + 35 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = (−99)2− 4 · 36 · 35 = 4 761 y

√

4 761 = 69.


− (−99) −

√

4 761

2 · 36=

99 −

√

4 761

72

− (−99) +√

4 761

2 · 36=

99 +√

4 761

72

=99 − 69

72=

99 + 69

72

=30

72=

168

72

=5

·✁612

·✁6=

7·✚✚24

3·✚✚24

=5

12=

7

3

Las raíces de P son z1 =5

12y z2 =

7

3.



◮3) x2 + 4 = 0


Como ∆ < 0, P (x) no tiene raíces.

Volver al enunciado



◮1) z2 + 5z − 6 = 0


√

49 = 7.


−5 −

√

49

2 · 1=

−5 −

√

49

2

−5 +√

49

2 · 1=

−5 +√

49

2

=−5 − 7

2=

−5 + 7

2

=−12

2=

2

2= − 6 =1


◮2) −6x2− 29x − 9 = 0


√

625 = 25.


− (−29) +√

625

2 · (−6)=

29 +√

625

−12

− (−29) −

√

625

2 · (−6)=

29 −

√

625

−12

=29 + 25

−12=

29 − 25

−12

=54

−12=

4

−12

=−9

·✟✟(−6)

2·✟✟(−6)

=−1

·✟✟(−4)

3·✟✟(−4)

=−9

2=

−1

3

Las raíces de P son x1 =−9

2y x2 =

−1

3.

◮3) z2 + 9z + 9 = 0


√

45 = 3√

5.


−9 −

√

45

2 · 1=

−9 −

√

45

2

−9 +√

45

2 · 1=

−9 +√

45

2

=−9 − 3

√

5

2=

−9 + 3√

5

2

Las raíces de P son z1 =−9 − 3

√

5

2y z2 =

−9 + 3√

5

2.

Volver al enunciado





◮1) y2− 8y + 7 = 0


√

36 = 6.


− (−8) −

√

36

2 · 1=

8 −

√

36

2

− (−8) +√

36

2 · 1=

8 +√

36

2

=8 − 6

2=

8 + 6

2

=2

2=

14

2=1 =7

Las raíces de P son y1 = 1 y y2 = 7.

◮2) −3y2− 4y + 7 = 0


√

100 = 10.


− (−4) +√

100

2 · (−3)=

4 +√

100

−6

− (−4) −

√

100

2 · (−3)=

4 −

√

100

−6

=4 + 10

−6=

4 − 10

−6

=14

−6=

−6

−6

=−7

·✟✟(−2)

3·✟✟(−2)

=1

=−7

3


3y y2 = 1.

◮3) y2− 9 = 0


√

36 = 6.


−0 −

√

36

2 · 1=

−

√

36

2

−0 +√

36

2 · 1=

+√

36

2

=0 − 6

2=

0 + 6

2

=−6

2=

6

2= − 3 =3


Volver al enunciado



◮1) z2− 8z − 9 = 0


√

100 = 10.




− (−8) −

√

100

2 · 1=

8 −

√

100

2

− (−8) +√

100

2 · 1=

8 +√

100

2

=8 − 10

2=

8 + 10

2

=−2

2=

18

2= − 1 =9


◮2) 6t2− 31t + 5 = 0


√

841 = 29.


− (−31) −

√

841

2 · 6=

31 −

√

841

12

− (−31) +√

841

2 · 6=

31 +√

841

12

=31 − 29

12=

31 + 29

12

=2

12=

60

12

=1

·✁26

·✁2=5

=1

6

Las raíces de P son t1 =1

6y t2 = 5.

◮3) t2 + 3t + 3 = 0



Volver al enunciado



◮1) z2 + 9z + 14 = 0


√

25 = 5.


−9 −

√

25

2 · 1=

−9 −

√

25

2

−9 +√

25

2 · 1=

−9 +√

25

2

=−9 − 5

2=

−9 + 5

2

=−14

2=

−4

2= − 7 = − 2

Las raíces de P son z1 = −7 y z2 = −2.

◮2) 3y2− 28y + 32 = 0


√

400 = 20.




− (−28) −

√

400

2 · 3=

28 −

√

400

6

− (−28) +√

400

2 · 3=

28 +√

400

6

=28 − 20

6=

28 + 20

6

=8

6=

48

6

=4

·✁23

·✁2=8

=4

3

Las raíces de P son y1 =4

3y y2 = 8.

◮3) −z2 + 5z + 1 = 0



−5 +√

29

2 · (−1)=

−5 +√

29

−2

−5 −

√

29

2 · (−1)=

−5 −

√

29

−2

=5

·✟✟(−1) − 1·✟✟(−1)

√

29

2·✟✟(−1)

=5

·✟✟(−1) + 1·✟✟(−1)

√

29

2·✟✟(−1)

=5 −

√

29

2=

5 +√

29

2

Las raíces de P son z1 =5 −

√

29

2y z2 =

5 +√

29

2.

Volver al enunciado



◮1) t2− 16t + 64 = 0


Como ∆ = 0, P (t) tiene una sola raíz doble t0 =− (−16)

2 · 1= 8.

◮2) −11z2− 21z + 2 = 0


√

529 = 23.


− (−21) +√

529

2 · (−11)=

21 +√

529

−22

− (−21) −

√

529

2 · (−11)=

21 −

√

529

−22

=21 + 23

−22=

21 − 23

−22

=44

−22=

−2

−22

= − 2 =1

·✟✟(−2)

11·✟✟(−2)

=1

11

Las raíces de P son z1 = −2 y z2 =1

11.



◮3) −t2 + 6t − 9 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 62− 4 · (−1) · (−9) = 0.

Como ∆ = 0, P (t) tiene una sola raíz doble t0 =−6

2 · (−1)= 3.

Volver al enunciado



◮1) t2 + 3t − 18 = 0


√

81 = 9.


−3 −

√

81

2 · 1=

−3 −

√

81

2

−3 +√

81

2 · 1=

−3 +√

81

2

=−3 − 9

2=

−3 + 9

2

=−12

2=

6

2= − 6 =3


◮2) −63t2 + 29t + 24 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 292− 4 · (−63) · 24 = 6 889 y

√

6 889 = 83.


−29 +√

6 889

2 · (−63)=

−29 +√

6 889

−126

−29 −

√

6 889

2 · (−63)=

−29 −

√

6 889

−126

=−29 + 83

−126=

−29 − 83

−126

=54

−126=

−112

−126

=−3·✘✘✘(−18)

7·✘✘✘(−18)=

8·✘✘✘(−14)

9·✘✘✘(−14)

=−3

7=

8

9


7y t2 =

8

9.

◮3) −x2 + x + 7 = 0



−1 +√

29

2 · (−1)=

−1 +√

29

−2

−1 −

√

29

2 · (−1)=

−1 −

√

29

−2

=1

·✟✟(−1) − 1·✟✟(−1)

√

29

2·✟✟(−1)

=1

·✟✟(−1) + 1·✟✟(−1)

√

29

2·✟✟(−1)

=1 −

√

29

2=

1 +√

29

2

Las raíces de P son x1 =1 −

√

29

2y x2 =

1 +√

29

2.

Volver al enunciado





◮1) x2 + 4x − 21 = 0


√

100 = 10.


−4 −

√

100

2 · 1=

−4 −

√

100

2

−4 +√

100

2 · 1=

−4 +√

100

2

=−4 − 10

2=

−4 + 10

2

=−14

2=

6

2= − 7 =3


◮2) 32y2 + 4y − 45 = 0

Se calcula el discriminante ∆ = 42− 4 · 32 · (−45) = 5 776 y

√

5 776 = 76.


−4 −

√

5 776

2 · 32=

−4 −

√

5 776

64

−4 +√

5 776

2 · 32=

−4 +√

5 776

64

=−4 − 76

64=

−4 + 76

64

=−80

64=

72

64

=−5

·✚✚16

4·✚✚16

=9

·✁88

·✁8

=−5

4=

9

8


4y y2 =

9

8.

◮3) y2 + y + 1 = 0


Como ∆ < 0, P (y) no tiene raíces.

Volver al enunciado



◮1) y2 + 15y + 50 = 0


√

25 = 5.


−15 −

√

25

2 · 1=

−15 −

√

25

2

−15 +√

25

2 · 1=

−15 +√

25

2

=−15 − 5

2=

−15 + 5

2

=−20

2=

−10

2= − 10 = − 5

Las raíces de P son y1 = −10 y y2 = −5.



◮2) 3x2 + 5x + 2 = 0



−5 −

√

1

2 · 3=

−5 −

√

1

6

−5 +√

1

2 · 3=

−5 +√

1

6

=−5 − 1

6=

−5 + 1

6

=−6

6=

−4

6

= − 1 =−2

·✁23

·✁2

=−2

3

Las raíces de P son x1 = −1 y x2 =−2

3.

◮3) t2 + 8t = 0


√

64 = 8.


−8 −

√

64

2 · 1=

−8 −

√

64

2

−8 +√

64

2 · 1=

−8 +√

64

2

=−8 − 8

2=

−8 + 8

2

=−16

2=

0

2= − 8 =0


Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 2x2− 56x − 192

a) Como E(−6) = 0, se puede dividir E entre x + 6

+1x3 +2x2−56x −192 x + 6

−(+1x3 +6x2) x2− 4x − 32

+0x3−4x2

−56x

−(−4x2−24x)

+0x2−32x −192

−(−32x−192)+0

Entoncesx3 + 2x2

− 56x − 192 =(

x2− 4x − 32

)

· (x + 6)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2− 4x − 32


√

144 = 12.

Como ∆ > 0, E2(x) tiene dos raíces :

− (−4) −

√

144

2 · 1=

4 −

√

144

2

− (−4) +√

144

2 · 1=

4 +√

144

2

=4 − 12

2=

4 + 12

2

=−8

2=

16

2= − 4 =8



Las raíces de E2 son x1 = −4 y x2 = 8.

Entonces la factorización es :

E2(x) = (x − (−4)) (x − 8) = (x + 4) (x − 8)

Así que finalmente E = (x + 6) (x + 4) (x − 8)

◮2) Sea F = −36x3 + 45x2− 2x − 7

a) Como F (1) = 0, se puede dividir F entre x − 1

−36x3 +45x2−2x −7 x − 1

−(−36x3 +36x2) −36x2 + 9x + 7+0x3 +9x2

−2x

−(+9x2−9x)

+0x2 +7x −7−(+7x−7)

+0

Entonces−36x3 + 45x2

− 2x − 7 =(

−36x2 + 9x + 7)

· (x − 1)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = −36x2 + 9x + 7Se calcula el discriminante ∆ = 92

− 4 · (−36) · 7 = 1 089 y√

1 089 = 33.

Como ∆ > 0, F2(x) tiene dos raíces :

−9 +√

1 089

2 · (−36)=

−9 +√

1 089

−72

−9 −

√

1 089

2 · (−36)=

−9 −

√

1 089

−72

=−9 + 33

−72=

−9 − 33

−72

=24

−72=

−42

−72

=−1·✘✘✘(−24)

3·✘✘✘(−24)=

7·✟✟(−6)

12·✟✟(−6)

=−1

3=

7

12

Las raíces de F2 son x1 =−1

3y x2 =

7

12.


F2(x) = −36 ·

(

x −

(

−1

3

)) (

x −7

12

)

= −36 ·

(

x +1

3

) (

x −7

12

)

Así que finalmente F = −36 (x − 1)

(

x +1

3

) (

x −7

12

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 11x2 + 10x


+1x3 +11x2 +10x +0x + 10−(+1x3 +10x2) x2 + x

+0x3 +1x2 +10x

−(+1x2+10x)+0

Entoncesx3 + 11x2 + 10x =

(

x2 + x)

· (x + 10)



b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2 + x



−1 −

√

1

2 · 1=

−1 −

√

1

2

−1 +√

1

2 · 1=

−1 +√

1

2

=−1 − 1

2=

−1 + 1

2

=−2

2=

0

2= − 1 =0



E2(x) = (x − (−1)) (x − 0) = (x + 1) (x)

Así que finalmente E = (x + 10) (x + 1) (x)

◮2) Sea F = −35x3− 34x2 + 104x + 64

a) Como F (−2) = 0, se puede dividir F entre x + 2

−35x3−34x2 +104x +64 x + 2

−(−35x3−70x2) −35x2 + 36x + 32

+0x3 +36x2 +104x

−(+36x2 +72x)+0x2 +32x +64

−(+32x+64)+0

Entonces−35x3

− 34x2 + 104x + 64 =(

−35x2 + 36x + 32)

· (x + 2)


− 4 · (−35) · 32 = 5 776 y√

5 776 = 76.


−36 +√

5 776

2 · (−35)=

−36 +√

5 776

−70

−36 −

√

5 776

2 · (−35)=

−36 −

√

5 776

−70

=−36 + 76

−70=

−36 − 76

−70

=40

−70=

−112

−70

=−4·✘✘✘(−10)

7·✘✘✘(−10)=

8·✘✘✘(−14)

5·✘✘✘(−14)

=−4

7=

8

5


7y x2 =

8

5.


F2(x) = −35 ·

(

x −

(

−4

7

)) (

x −8

5

)

= −35 ·

(

x +4

7

) (

x −8

5

)

Así que finalmente F = −35 (x + 2)

(

x +4

7

) (

x −8

5

)

Volver al enunciado




◮1) Sea E = x3 + 8x2


+1x3 +8x2 +0x+0x + 8−(+1x3+8x2) x2

+0

Entoncesx3 + 8x2 =

(

x2)

· (x + 8)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2


Como ∆ = 0, E2(x) tiene una sola raíz doble x0 =−0

2 · 1= 0.

Entonces la factorización es :E2(x) = (x − 0)2

Así que finalmente E = (x + 8) · (x − 0)2

◮2) Sea F = −55x3 + 18x2 + 97x + 24


−55x3 +18x2 +97x +24 x + 1−(−55x3

−55x2) −55x2 + 73x + 24+0x3 +73x2 +97x

−(+73x2 +73x)+0x2 +24x +24

−(+24x+24)+0

Entonces−55x3 + 18x2 + 97x + 24 =

(

−55x2 + 73x + 24)

· (x + 1)


− 4 · (−55) · 24 = 10 609 y√

10 609 = 103.


−73 +√

10 609

2 · (−55)=

−73 +√

10 609

−110

−73 −

√

10 609

2 · (−55)=

−73 −

√

10 609

−110

=−73 + 103

−110=

−73 − 103

−110

=30

−110=

−176

−110

=−3·✘✘✘(−10)

11·✘✘✘(−10)=

8·✘✘✘(−22)

5·✘✘✘(−22)

=−3

11=

8

5


11y x2 =

8

5.


F2(x) = −55 ·

(

x −

(

−3

11

)) (

x −8

5

)

= −55 ·

(

x +3

11

) (

x −8

5

)


(

x +3

11

) (

x −8

5

)

Volver al enunciado




◮1) Sea E = x3 + 6x2− x − 30


+1x3 +6x2−1x −30 x + 5

−(+1x3 +5x2) x2 + x − 6+0x3 +1x2

−1x

−(+1x2 +5x)+0x2

−6x −30−(−6x−30)

+0

Entoncesx3 + 6x2

− x − 30 =(

x2 + x − 6)

· (x + 5)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2 + x − 6Se calcula el discriminante ∆ = 12

− 4 · 1 · (−6) = 25 y√

25 = 5.


−1 −

√

25

2 · 1=

−1 −

√

25

2

−1 +√

25

2 · 1=

−1 +√

25

2

=−1 − 5

2=

−1 + 5

2

=−6

2=

4

2= − 3 =2



E2(x) = (x − (−3)) (x − 2) = (x + 3) (x − 2)


◮2) Sea F = x3− 3x − 2


+1x3 +0x2−3x −2 x + 1

−(+1x3 +1x2) x2− x − 2

+0x3−1x2

−3x

−(−1x2−1x)

+0x2−2x −2

−(−2x−2)+0

Entoncesx3

− 3x − 2 =(

x2− x − 2

)

· (x + 1)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = x2− x − 2


√

9 = 3.


− (−1) −

√

9

2 · 1=

1 −

√

9

2

− (−1) +√

9

2 · 1=

1 +√

9

2

=1 − 3

2=

1 + 3

2

=−2

2=

4

2= − 1 =2



Las raíces de F2 son x1 = −1 y x2 = 2.


F2(x) = (x − (−1)) (x − 2) = (x + 1) (x − 2)

Así que finalmente F = (x + 1) (x + 1) (x − 2)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 4x2− 60x


+1x3 +4x2−60x +0 x + 10

−(+1x3 +10x2) x2− 6x

+0x3−6x2

−60x

−(−6x2−60x)

+0

Entoncesx3 + 4x2

− 60x =(

x2− 6x

)

· (x + 10)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2− 6x


√

36 = 6.


− (−6) −

√

36

2 · 1=

6 −

√

36

2

− (−6) +√

36

2 · 1=

6 +√

36

2

=6 − 6

2=

6 + 6

2

=0

2=

12

2=0 =6

Las raíces de E2 son x1 = 0 y x2 = 6.

Entonces la factorización es :E2(x) = (x − 0) (x − 6)

Así que finalmente E = (x + 10) (x − 0) (x − 6)

◮2) Sea F = −9x3− 3x2 + 86x + 80


−9x3−3x2 +86x +80 x + 1

−(−9x3−9x2) −9x2 + 6x + 80

+0x3 +6x2 +86x

−(+6x2 +6x)+0x2 +80x +80

−(+80x+80)+0

Entonces−9x3

− 3x2 + 86x + 80 =(

−9x2 + 6x + 80)

· (x + 1)




− 4 · (−9) · 80 = 2 916 y√

2 916 = 54.


−6 +√

2 916

2 · (−9)=

−6 +√

2 916

−18

−6 −

√

2 916

2 · (−9)=

−6 −

√

2 916

−18

=−6 + 54

−18=

−6 − 54

−18

=48

−18=

−60

−18

=−8

·✟✟(−6)

3·✟✟(−6)

=10

·✟✟(−6)

3·✟✟(−6)

=−8

3=

10

3


3y x2 =

10

3.


F2(x) = −9 ·

(

x −

(

−8

3

)) (

x −10

3

)

= −9 ·

(

x +8

3

) (

x −10

3

)


(

x +8

3

) (

x −10

3

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3− 28x − 48


+1x3 +0x2−28x −48 x + 4

−(+1x3 +4x2) x2− 4x − 12

+0x3−4x2

−28x

−(−4x2−16x)

+0x2−12x −48

−(−12x−48)+0

Entoncesx3

− 28x − 48 =(

x2− 4x − 12

)

· (x + 4)



√

64 = 8.


− (−4) −

√

64

2 · 1=

4 −

√

64

2

− (−4) +√

64

2 · 1=

4 +√

64

2

=4 − 8

2=

4 + 8

2

=−4

2=

12

2= − 2 =6



E2(x) = (x − (−2)) (x − 6) = (x + 2) (x − 6)




◮2) Sea F = −44x3− 69x2

− 19x + 6


−44x3−69x2

−19x +6 x + 1−(−44x3

−44x2) −44x2− 25x + 6

+0x3−25x2

−19x

−(−25x2−25x)

+0x2 +6x +6−(+6x+6)

+0

Entonces−44x3

− 69x2− 19x + 6 =

(

−44x2− 25x + 6

)

· (x + 1)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = −44x2− 25x + 6

Se calcula el discriminante ∆ = (−25)2− 4 · (−44) · 6 = 1 681 y

√

1 681 = 41.


− (−25) +√

1 681

2 · (−44)=

25 +√

1 681

−88

− (−25) −

√

1 681

2 · (−44)=

25 −

√

1 681

−88

=25 + 41

−88=

25 − 41

−88

=66

−88=

−16

−88

=−3·✘✘✘(−22)

4·✘✘✘(−22)=

2·✟✟(−8)

11·✟✟(−8)

=−3

4=

2

11


4y x2 =

2

11.


F2(x) = −44 ·

(

x −

(

−3

4

)) (

x −2

11

)

= −44 ·

(

x +3

4

) (

x −2

11

)


(

x +3

4

) (

x −2

11

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 7x2− 84x − 540


+1x3 +7x2−84x −540 x + 10

−(+1x3 +10x2) x2− 3x − 54

+0x3−3x2

−84x

−(−3x2−30x)

+0x2−54x −540

−(−54x−540)+0

Entoncesx3 + 7x2

− 84x − 540 =(

x2− 3x − 54

)

· (x + 10)





√

225 = 15.


− (−3) −

√

225

2 · 1=

3 −

√

225

2

− (−3) +√

225

2 · 1=

3 +√

225

2

=3 − 15

2=

3 + 15

2

=−12

2=

18

2= − 6 =9



E2(x) = (x − (−6)) (x − 9) = (x + 6) (x − 9)


◮2) Sea F = 99x3− 245x2 + 98x − 8


+99x3−245x2 +98x −8 x − 2

−(+99x3−198x2) 99x2

− 47x + 4+0x3

−47x2 +98x

−(−47x2 +94x)+0x2 +4x −8

−(+4x−8)+0

Entonces99x3

− 245x2 + 98x − 8 =(

99x2− 47x + 4

)

· (x − 2)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = 99x2− 47x + 4


√

625 = 25.


− (−47) −

√

625

2 · 99=

47 −

√

625

198

− (−47) +√

625

2 · 99=

47 +√

625

198

=47 − 25

198=

47 + 25

198

=22

198=

72

198

=1

·✚✚22

9·✚✚22

=4

·✚✚18

11·✚✚18

=1

9=

4

11

Las raíces de F2 son x1 =1

9y x2 =

4

11.


F2(x) = 99 ·

(

x −1

9

) (

x −4

11

)

Así que finalmente F = 99 (x − 2)

(

x −1

9

) (

x −4

11

)

Volver al enunciado




◮1) Sea E = x3 + x2− 44x + 96


+1x3 +1x2−44x +96 x + 8

−(+1x3 +8x2) x2− 7x + 12

+0x3−7x2

−44x

−(−7x2−56x)

+0x2 +12x +96−(+12x+96)

+0

Entoncesx3 + x2

− 44x + 96 =(

x2− 7x + 12

)

· (x + 8)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2− 7x + 12



− (−7) −

√

1

2 · 1=

7 −

√

1

2

− (−7) +√

1

2 · 1=

7 +√

1

2

=7 − 1

2=

7 + 1

2

=6

2=

8

2=3 =4




◮2) Sea F = −11x3− 7x2 + 11x + 7


−11x3−7x2 +11x +7 x − 1

−(−11x3 +11x2) −11x2− 18x − 7

+0x3−18x2 +11x

−(−18x2 +18x)+0x2

−7x +7−(−7x+7)

+0

Entonces−11x3

− 7x2 + 11x + 7 =(

−11x2− 18x − 7

)

· (x − 1)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = −11x2− 18x − 7


√

16 = 4.




− (−18) +√

16

2 · (−11)=

18 +√

16

−22

− (−18) −

√

16

2 · (−11)=

18 −

√

16

−22

=18 + 4

−22=

18 − 4

−22

=22

−22=

14

−22

= − 1 =−7

·✟✟(−2)

11·✟✟(−2)

=−7

11

Las raíces de F2 son x1 = −1 y x2 =−7

11.


F2(x) = −11 · (x − (−1))

(

x −

(

−7

11

))

= −11 · (x + 1)

(

x +7

11

)

Así que finalmente F = −11 (x − 1) (x + 1)

(

x +7

11

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3− x2

− 90x


+1x3−1x2

−90x +0 x + 9−(+1x3 +9x2) x2

− 10x

+0x3−10x2

−90x

−(−10x2−90x)

+0

Entoncesx3

− x2− 90x =

(

x2− 10x

)

· (x + 9)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2− 10x


√

100 = 10.


− (−10) −

√

100

2 · 1=

10 −

√

100

2

− (−10) +√

100

2 · 1=

10 +√

100

2

=10 − 10

2=

10 + 10

2

=0

2=

20

2=0 =10




◮2) Sea F = −40x3 + 46x2 + 21x − 27




−40x3 +46x2 +21x −27 x − 1−(−40x3 +40x2) −40x2 + 6x + 27

+0x3 +6x2 +21x

−(+6x2−6x)

+0x2 +27x −27−(+27x−27)

+0

Entonces−40x3 + 46x2 + 21x − 27 =

(

−40x2 + 6x + 27)

· (x − 1)


− 4 · (−40) · 27 = 4 356 y√

4 356 = 66.


−6 +√

4 356

2 · (−40)=

−6 +√

4 356

−80

−6 −

√

4 356

2 · (−40)=

−6 −

√

4 356

−80

=−6 + 66

−80=

−6 − 66

−80

=60

−80=

−72

−80

=−3·✘✘✘(−20)

4·✘✘✘(−20)=

9·✟✟(−8)

10·✟✟(−8)

=−3

4=

9

10


4y x2 =

9

10.


F2(x) = −40 ·

(

x −

(

−3

4

)) (

x −9

10

)

= −40 ·

(

x +3

4

) (

x −9

10

)


(

x +3

4

) (

x −9

10

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 7x2− 10x − 16


+1x3 +7x2−10x −16 x + 8

−(+1x3 +8x2) x2− x − 2

+0x3−1x2

−10x

−(−1x2−8x)

+0x2−2x −16

−(−2x−16)+0

Entoncesx3 + 7x2

− 10x − 16 =(

x2− x − 2

)

· (x + 8)



b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2− x − 2


√

9 = 3.


− (−1) −

√

9

2 · 1=

1 −

√

9

2

− (−1) +√

9

2 · 1=

1 +√

9

2

=1 − 3

2=

1 + 3

2

=−2

2=

4

2= − 1 =2



E2(x) = (x − (−1)) (x − 2) = (x + 1) (x − 2)


◮2) Sea F = −5x3 + 12x2 + 12x − 32


−5x3 +12x2 +12x −32 x − 2−(−5x3 +10x2) −5x2 + 2x + 16

+0x3 +2x2 +12x

−(+2x2−4x)

+0x2 +16x −32−(+16x−32)

+0

Entonces−5x3 + 12x2 + 12x − 32 =

(

−5x2 + 2x + 16)

· (x − 2)


− 4 · (−5) · 16 = 324 y√

324 = 18.


−2 +√

324

2 · (−5)=

−2 +√

324

−10

−2 −

√

324

2 · (−5)=

−2 −

√

324

−10

=−2 + 18

−10=

−2 − 18

−10

=16

−10=

−20

−10

=−8

·✟✟(−2)

5·✟✟(−2)

=2

=−8

5


5y x2 = 2.


F2(x) = −5 ·

(

x −

(

−8

5

))

(x − 2) = −5 ·

(

x +8

5

)

(x − 2)


(

x +8

5

)

(x − 2)

Volver al enunciado




◮1) Sea E = x3− 11x2 + 6x + 144


+1x3−11x2 +6x +144 x + 3

−(+1x3 +3x2) x2− 14x + 48

+0x3−14x2 +6x

−(−14x2−42x)

+0x2 +48x +144−(+48x+144)

+0

Entoncesx3

− 11x2 + 6x + 144 =(

x2− 14x + 48

)

· (x + 3)



√

4 = 2.


− (−14) −

√

4

2 · 1=

14 −

√

4

2

− (−14) +√

4

2 · 1=

14 +√

4

2

=14 − 2

2=

14 + 2

2

=12

2=

16

2=6 =8




◮2) Sea F = 42x3 + 5x2− 32x + 5


+42x3 +5x2−32x +5 x + 1

−(+42x3 +42x2) 42x2− 37x + 5

+0x3−37x2

−32x

−(−37x2−37x)

+0x2 +5x +5−(+5x+5)

+0

Entonces42x3 + 5x2

− 32x + 5 =(

42x2− 37x + 5

)

· (x + 1)



√

529 = 23.




− (−37) −

√

529

2 · 42=

37 −

√

529

84

− (−37) +√

529

2 · 42=

37 +√

529

84

=37 − 23

84=

37 + 23

84

=14

84=

60

84

=1

·✚✚14

6·✚✚14

=5

·✚✚12

7·✚✚12

=1

6=

5

7


6y x2 =

5

7.


F2(x) = 42 ·

(

x −1

6

) (

x −5

7

)

Así que finalmente F = 42 (x + 1)

(

x −1

6

) (

x −5

7

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3− 4x2

− 35x + 150


+1x3−4x2

−35x +150 x + 6−(+1x3 +6x2) x2

− 10x + 25+0x3

−10x2−35x

−(−10x2−60x)

+0x2 +25x +150−(+25x+150)

+0

Entoncesx3

− 4x2− 35x + 150 =

(

x2− 10x + 25

)

· (x + 6)



Como ∆ = 0, E2(x) tiene una sola raíz doble x0 =− (−10)

2 · 1= 5.



◮2) Sea F = −3x3 + 2x2 + 7x + 2


−3x3 +2x2 +7x +2 x + 1−(−3x3

−3x2) −3x2 + 5x + 2+0x3 +5x2 +7x

−(+5x2 +5x)+0x2 +2x +2

−(+2x+2)+0

Entonces−3x3 + 2x2 + 7x + 2 =

(

−3x2 + 5x + 2)

· (x + 1)




− 4 · (−3) · 2 = 49 y√

49 = 7.


−5 +√

49

2 · (−3)=

−5 +√

49

−6

−5 −

√

49

2 · (−3)=

−5 −

√

49

−6

=−5 + 7

−6=

−5 − 7

−6

=2

−6=

−12

−6

=−1

·✟✟(−2)

3·✟✟(−2)

=2

=−1

3


3y x2 = 2.


F2(x) = −3 ·

(

x −

(

−1

3

))

(x − 2) = −3 ·

(

x +1

3

)

(x − 2)


(

x +1

3

)

(x − 2)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3− 2x2

− 89x + 90


+1x3−2x2

−89x +90 x + 9−(+1x3 +9x2) x2

− 11x + 10+0x3

−11x2−89x

−(−11x2−99x)

+0x2 +10x +90−(+10x+90)

+0

Entoncesx3

− 2x2− 89x + 90 =

(

x2− 11x + 10

)

· (x + 9)



√

81 = 9.


− (−11) −

√

81

2 · 1=

11 −

√

81

2

− (−11) +√

81

2 · 1=

11 +√

81

2

=11 − 9

2=

11 + 9

2

=2

2=

20

2=1 =10






◮2) Sea F = −18x3 + 9x2 + 2x

a) Observa que F puede ser factorizado entre x y entonces F = x(

−18x2 + 9x + 2)


− 4 · (−18) · 2 = 225 y√

225 = 15.


−9 +√

225

2 · (−18)=

−9 +√

225

−36

−9 −

√

225

2 · (−18)=

−9 −

√

225

−36

=−9 + 15

−36=

−9 − 15

−36

=6

−36=

−24

−36

=−1

·✟✟(−6)

6·✟✟(−6)

=2·✘✘✘(−12)

3·✘✘✘(−12)

=−1

6=

2

3


6y x2 =

2

3.


F2(x) = −18 ·

(

x −

(

−1

6

)) (

x −2

3

)

= −18 ·

(

x +1

6

) (

x −2

3

)

Así que finalmente F = −18x

(

x +1

6

) (

x −2

3

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 5x2− 86x − 360


+1x3 +5x2−86x −360 x + 10

−(+1x3 +10x2) x2− 5x − 36

+0x3−5x2

−86x

−(−5x2−50x)

+0x2−36x −360

−(−36x−360)+0

Entoncesx3 + 5x2

− 86x − 360 =(

x2− 5x − 36

)

· (x + 10)



√

169 = 13.


− (−5) −

√

169

2 · 1=

5 −

√

169

2

− (−5) +√

169

2 · 1=

5 +√

169

2

=5 − 13

2=

5 + 13

2

=−8

2=

18

2= − 4 =9





E2(x) = (x − (−4)) (x − 9) = (x + 4) (x − 9)


◮2) Sea F = −6x3 + 7x2 + 23x − 30


−6x3 +7x2 +23x −30 x + 2−(−6x3

−12x2) −6x2 + 19x − 15+0x3 +19x2 +23x

−(+19x2 +38x)+0x2

−15x −30−(−15x−30)

+0

Entonces−6x3 + 7x2 + 23x − 30 =

(

−6x2 + 19x − 15)

· (x + 2)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = −6x2 + 19x − 15Se calcula el discriminante ∆ = 192

− 4 · (−6) · (−15) = 1.


−19 +√

1

2 · (−6)=

−19 +√

1

−12

−19 −

√

1

2 · (−6)=

−19 −

√

1

−12

=−19 + 1

−12=

−19 − 1

−12

=−18

−12=

−20

−12

=3

·✟✟(−6)

2·✟✟(−6)

=5

·✟✟(−4)

3·✟✟(−4)

=3

2=

5

3


2y x2 =

5

3.


F2(x) = −6 ·

(

x −3

2

) (

x −5

3

)


(

x −3

2

) (

x −5

3

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 12x2− 256


+1x3 +12x2 +0x −256 x + 8−(+1x3 +8x2) x2 + 4x − 32

+0x3 +4x2 +0x

−(+4x2 +32x)+0x2

−32x −256−(−32x−256)

+0



Entoncesx3 + 12x2

− 256 =(

x2 + 4x − 32)

· (x + 8)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2 + 4x − 32Se calcula el discriminante ∆ = 42

− 4 · 1 · (−32) = 144 y√

144 = 12.


−4 −

√

144

2 · 1=

−4 −

√

144

2

−4 +√

144

2 · 1=

−4 +√

144

2

=−4 − 12

2=

−4 + 12

2

=−16

2=

8

2= − 8 =4



E2(x) = (x − (−8)) (x − 4) = (x + 8) (x − 4)


◮2) Sea F = 44x3− 49x2 + 12x


44x2− 49x + 12

)



√

289 = 17.


− (−49) −

√

289

2 · 44=

49 −

√

289

88

− (−49) +√

289

2 · 44=

49 +√

289

88

=49 − 17

88=

49 + 17

88

=32

88=

66

88

=4

·✁811

·✁8=

3·✚✚22

4·✚✚22

=4

11=

3

4


11y x2 =

3

4.


F2(x) = 44 ·

(

x −4

11

) (

x −3

4

)

Así que finalmente F = 44x

(

x −4

11

) (

x −3

4

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3− 15x2 + 47x + 63




+1x3−15x2 +47x +63 x + 1

−(+1x3 +1x2) x2− 16x + 63

+0x3−16x2 +47x

−(−16x2−16x)

+0x2 +63x +63−(+63x+63)

+0

Entoncesx3

− 15x2 + 47x + 63 =(

x2− 16x + 63

)

· (x + 1)



√

4 = 2.


− (−16) −

√

4

2 · 1=

16 −

√

4

2

− (−16) +√

4

2 · 1=

16 +√

4

2

=16 − 2

2=

16 + 2

2

=14

2=

18

2=7 =9




◮2) Sea F = 9x3 + 21x2 + 10x


9x2 + 21x + 10)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = 9x2 + 21x + 10Se calcula el discriminante ∆ = 212

− 4 · 9 · 10 = 81 y√

81 = 9.


−21 −

√

81

2 · 9=

−21 −

√

81

18

−21 +√

81

2 · 9=

−21 +√

81

18

=−21 − 9

18=

−21 + 9

18

=−30

18=

−12

18

=−5

·✁63

·✁6=

−2·✁6

3·✁6

=−5

3=

−2

3


3y x2 =

−2

3.


F2(x) = 9 ·

(

x −

(

−5

3

)) (

x −

(

−2

3

))

= 9 ·

(

x +5

3

) (

x +2

3

)


(

x +5

3

) (

x +2

3

)

Volver al enunciado




◮1) Sea E = x3 + 4x2− 64x − 256


+1x3 +4x2−64x −256 x + 8

−(+1x3 +8x2) x2− 4x − 32

+0x3−4x2

−64x

−(−4x2−32x)

+0x2−32x −256

−(−32x−256)+0

Entoncesx3 + 4x2

− 64x − 256 =(

x2− 4x − 32

)

· (x + 8)



√

144 = 12.


− (−4) −

√

144

2 · 1=

4 −

√

144

2

− (−4) +√

144

2 · 1=

4 +√

144

2

=4 − 12

2=

4 + 12

2

=−8

2=

16

2= − 4 =8



E2(x) = (x − (−4)) (x − 8) = (x + 4) (x − 8)


◮2) Sea F = 63x3− 4x2

− 85x − 18


+63x3−4x2

−85x −18 x + 1−(+63x3 +63x2) 63x2

− 67x − 18+0x3

−67x2−85x

−(−67x2−67x)

+0x2−18x −18

−(−18x−18)+0

Entonces63x3

− 4x2− 85x − 18 =

(

63x2− 67x − 18

)

· (x + 1)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = 63x2− 67x − 18


√

9 025 = 95.




− (−67) −

√

9 025

2 · 63=

67 −

√

9 025

126

− (−67) +√

9 025

2 · 63=

67 +√

9 025

126

=67 − 95

126=

67 + 95

126

=−28

126=

162

126

=−2

·✚✚14

9·✚✚14

=9

·✚✚18

7·✚✚18

=−2

9=

9

7


9y x2 =

9

7.


F2(x) = 63 ·

(

x −

(

−2

9

)) (

x −9

7

)

= 63 ·

(

x +2

9

) (

x −9

7

)

Así que finalmente F = 63 (x + 1)

(

x +2

9

) (

x −9

7

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 2x2− 64x + 160


+1x3 +2x2−64x +160 x + 10

−(+1x3 +10x2) x2− 8x + 16

+0x3−8x2

−64x

−(−8x2−80x)

+0x2 +16x +160−(+16x+160)

+0

Entoncesx3 + 2x2

− 64x + 160 =(

x2− 8x + 16

)

· (x + 10)



Como ∆ = 0, E2(x) tiene una sola raíz doble x0 =− (−8)

2 · 1= 4.



◮2) Sea F = −3x3 + 37x2− 98x + 72


−3x3 +37x2−98x +72 x − 2

−(−3x3 +6x2) −3x2 + 31x − 36+0x3 +31x2

−98x

−(+31x2−62x)

+0x2−36x +72

−(−36x+72)+0

Entonces−3x3 + 37x2

− 98x + 72 =(

−3x2 + 31x − 36)

· (x − 2)



b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = −3x2 + 31x − 36Se calcula el discriminante ∆ = 312

− 4 · (−3) · (−36) = 529 y√

529 = 23.


−31 +√

529

2 · (−3)=

−31 +√

529

−6

−31 −

√

529

2 · (−3)=

−31 −

√

529

−6

=−31 + 23

−6=

−31 − 23

−6

=−8

−6=

−54

−6

=4

·✟✟(−2)

3·✟✟(−2)

=9

=4

3


3y x2 = 9.


F2(x) = −3 ·

(

x −4

3

)

(x − 9)


(

x −4

3

)

(x − 9)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3− 6x2

− 37x + 90


+1x3−6x2

−37x +90 x + 5−(+1x3 +5x2) x2

− 11x + 18+0x3

−11x2−37x

−(−11x2−55x)

+0x2 +18x +90−(+18x+90)

+0

Entoncesx3

− 6x2− 37x + 90 =

(

x2− 11x + 18

)

· (x + 5)



√

49 = 7.


− (−11) −

√

49

2 · 1=

11 −

√

49

2

− (−11) +√

49

2 · 1=

11 +√

49

2

=11 − 7

2=

11 + 7

2

=4

2=

18

2=2 =9






◮2) Sea F = −10x3− 13x2 + x + 4


−10x3−13x2 +1x +4 x + 1

−(−10x3−10x2) −10x2

− 3x + 4+0x3

−3x2 +1x

−(−3x2−3x)

+0x2 +4x +4−(+4x+4)

+0

Entonces−10x3

− 13x2 + x + 4 =(

−10x2− 3x + 4

)

· (x + 1)

b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente F2 = −10x2− 3x + 4


√

169 = 13.


− (−3) +√

169

2 · (−10)=

3 +√

169

−20

− (−3) −

√

169

2 · (−10)=

3 −

√

169

−20

=3 + 13

−20=

3 − 13

−20

=16

−20=

−10

−20

=−4

·✟✟(−4)

5·✟✟(−4)

=1·✘✘✘(−10)

2·✘✘✘(−10)

=−4

5=

1

2


5y x2 =

1

2.


F2(x) = −10 ·

(

x −

(

−4

5

)) (

x −1

2

)

= −10 ·

(

x +4

5

) (

x −1

2

)


(

x +4

5

) (

x −1

2

)

Volver al enunciado


◮1) Sea E = x3 + 4x2− 7x − 10


+1x3 +4x2−7x −10 x + 5

−(+1x3 +5x2) x2− x − 2

+0x3−1x2

−7x

−(−1x2−5x)

+0x2−2x −10

−(−2x−10)+0

Entoncesx3 + 4x2

− 7x − 10 =(

x2− x − 2

)

· (x + 5)



b) Se debe factorizar ahora el polinomio del cociente E2 = x2− x − 2


√

9 = 3.


− (−1) −

√

9

2 · 1=

1 −

√

9

2

− (−1) +√

9

2 · 1=

1 +√

9

2

=1 − 3

2=

1 + 3

2

=−2

2=

4

2= − 1 =2



E2(x) = (x − (−1)) (x − 2) = (x + 1) (x − 2)


◮2) Sea F = 99x3− 65x2 + 6x


99x2− 65x + 6

)


Se calcula el discriminante ∆ = (−65)2− 4 · 99 · 6 = 1 849 y

√

1 849 = 43.


− (−65) −

√

1 849

2 · 99=

65 −

√

1 849

198

− (−65) +√

1 849

2 · 99=

65 +√

1 849

198

=65 − 43

198=

65 + 43

198

=22

198=

108

198

=1

·✚✚22

9·✚✚22

=6

·✚✚18

11·✚✚18

=1

9=

6

11


9y x2 =

6

11.


F2(x) = 99 ·

(

x −1

9

) (

x −6

11

)


(

x −1

9

) (

x −6

11

)

Volver al enunciado


€¦ · página 1/ 26 ficha de ejercicios curso 4o eso ejercicio 1 resuelve las siguientes...

Documents