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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
** Programação Linear – Parte 2b **
Profa. Vitória Pureza2º Semestre
Última Aula• Construção de modelos de programação linear
Hoje verificaremos a modelagem dos exercícios pendentes da lista e utilizaremos uma linguagem de programação matemática para resolvê-los.
Nas aulas seguintes veremos a fundo o método de resolução que esta linguagem utiliza
Roteiro
• Construção passo a passo de modelos de Programação Linear
• Uso da linguagem de programação LINDO para resolução dos modelos
Passos para Modelagem de Programação Matemática
Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados
Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados
Elabore uma representação informal do problema
Elabore um modelo de programação matemática do problema
Um Problema de Transporte
Powerco tem 3 usinas de energia elétrica que suprem a necessidade de 4 cidades. Cada usina pode suprir a seguinte quantidade de milhões de kilowatts-hora de eletricidade: U1 = 35; U2 = 50; U3 = 40. As demandas de pico nas 4 cidades ocorrem na mesma hora e são (em milhões de KWh): C1 = 45; C2 = 20; C3 = 30; C4 = 30.
Os custos de se enviar 1 milhão de kwh de eletricidade de uma usina para uma cidade depende da distância que a eletricidade deve percorrer (tabela a seguir). Formule um PL para minimizar o custo de atender pelo menos a demanda de pico das cidades.
CUSTO (x106 KWh) CIDADE
USINA C1 C2 C3 C4
U1 8 6 10 9
U2 9 12 13 7
U3 14 9 16 5
Objetivo do Problema
Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades
CUSTO (x106 KWh) CIDADE
USINA C1 C2 C3 C4U1 8 6 10 9
U2 9 12 13 7
U3 14 9 16 5
Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo
• Limitações de capacidade produtiva das usinas
• Demanda mínima das cidades
USINAPRODUÇÃO MÁXIMA
(x106 KWh )U1 35U2 50U3 40
CIDADE DEMANDA MÁXIMA MENSALC1 45C2 20C3 30C4 30
Representação Informal do Problema
Deseja-se
Minimizar custo total de suprimento da demanda de pico das cidades, sujeito às seguintes restrições:
1. a quantidade de energia elétrica enviada pelas usinas não pode exceder a produção horária das usinas
2. a quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior às suas demandas de pico
Formulação do Modelo de Programação Matemática
xi j = 106 KWh produzidos na usina i e enviados à cidade j
b) Função Objetivo (FO)
Min 8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 (custo de transporte da usina 1)
+ 9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 (custo de transporte da usina 2)
+ 14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 (custo de transporte da usina 3)
a) Variáveis de Decisão• O custo total de transporte é determinado pela quantidade de
eletricidade enviada de cada usina p/ cada cidade
Formulação do Modelo de Programação Matemática
c) Restrições1. A quantidade de energia elétrica enviada das usinas não pode exceder suas
produções horárias
Restrições de suprimentox11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (suprimento de U1)x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 (suprimento de U2)x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 (suprimento de U3)
1. A quantidade de energia elétrica recebida pelas cidades não pode ser inferior a suas demandas de pico
Restrições de demandax11 + x21 + x31 ≥ 45 (demanda de C1)x12 + x22 + x32 ≥ 20 (demanda de C2)x13 + x23 + x33 ≥ 30 (demanda de C3)x14 + x24 + x34 ≥ 30 (demanda de C4)
Formulação do Modelo de Programação Matemática
xij ≥ 0 (i=1..3, j=1..4) (106 KWh )
d) Restrições de sinal
Modelo de Programação Linear
Min 8x11+6x12+10x13+9x14+9x21+12x22+13x23+7x24+ 14x31 +9x32 +16x33 +5x34
sujeito a:
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 (restrições de suprimento)
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40
x11 + x21 + x31 ≥ 45 (restrições de demanda)
x12 + x22 + x32 ≥ 20
x13 + x23 + x33 ≥ 30
x14 + x24 + x34 ≥ 30
xij ≥ 0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4) (restrições de sinal)
Representação Gráfica
U1
U2
U3
C1
C2
C3
C4
X11
X12
Um Problema de Planejamento da Produção
Uma companhia possui 2 fábricas, A e B. Cada fábrica faz 2 produtos, padrão e deluxe. Uma unidade de padrão resulta em lucro de $10 e uma unidade de deluxe em um lucro de $15.
Cada fábrica utiliza 2 processos (lixamento e polimento) para produzir esses produtos. A fábrica A tem uma capacidade semanal de lixamento de 80 horas e de polimento de 60 horas. Para a fábrica B, essas capacidades são 60 e 75 horas semanais. Os tempos de lixamento e polimento em horas para uma unidade de cada produto em cada fábrica são dados na Tabela 2.
Cada unidade de produto usa 4 kgs de matéria-prima e dos 120 kgs disponíveis, 75 kgs foram alocados à fábrica A e 45 kgs à fábrica B. Formule um PL para cada fábrica que maximize o lucro.
Objetivo do Problema
Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe
PRODUTOLUCRO
($)
Padrão 15
Deluxe 20
Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo
• Limitações de capacidade produtiva das fábricas
PROCESSOFÁBRICA A FÁBRICA B
Padrão Deluxe Padrão Deluxe
LIXAMENTO 4 2 5 3
POLIMENTO 2 5 5 6
MATÉRIA PRIMA 4 4 4 4
QUANTIDADE MÁXIMA DO
RECURSOLIXAMENTO POLIMENTO
MATÉRIA PRIMA
FÁBRICA A 80 60 75
FÁBRICA B 60 75 45
Representação Informal do Problema
Deseja-se (para cada uma das fábricas!)
Maximizar o lucro com a venda dos produtos padrão e deluxe, sujeito às seguintes restrições:
1. as horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal
2. as horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal
3. a quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal
Formulação do Modelo de Programação Matemática (para a Fábrica A)
a) Variáveis de Decisão• O lucro é determinado pela quantidade de produto padrão e
deluxe produzidos na fábrica
x1 = quantidade de produtos padrão produzidos na fábrica A /semana
x2 = quantidade de produtos deluxe produzidos na fábrica A /semana
b) Função Objetivo (FO)
Max { 10x1 + 15x2 } ($/semana) (para a fábrica A)
Formulação do Modelo de Programação Matemática
c) Restrições1. As horas semanais de lixamento para fabricação dos produtos não
podem exceder a disponibilidade semanal 4x1 + 2x2 ≤ 80 (hrs/semana)
2. As horas semanais de polimento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal
2x1 + 5x2 ≤ 60 (hrs/semana)
3. A quantidade de matéria-prima para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal
4x1 + 4x2 ≤ 75 (kgs/semana)
d) Restrições de sinalxi ≥ 0 (i=1..2) (unidades de produto/semana)
Modelo da Fábrica AMax 15x1 + 20x2 (lucro da fábrica)sujeito a:
4x1 + 2x2 ≤ 80 (lixamento) 2x1 + 5x2 ≤ 60 (polimento) 4x1 + 4x2 ≤ 75 (matéria-prima) x1 ≥ 0 (sinal) x2 ≥ 0
Modelo da Fábrica BMax 15x3 + 20x4 (lucro da fábrica)sujeito a:
5x3 + 3x4 ≤ 60 (lixamento) 5x3 + 6x4 ≤ 75 (polimento) 4x3 + 4x4 ≤ 45 (matéria-prima) x3 ≥ 0 (sinal) x4 ≥ 0
Um Problema da DietaMinha dieta requer que toda a comida que eu coma venha dos 4 grupos alimentares básicos (chocolate, sorvete, refrigerante e torta). No momento, os 4 alimentos seguintes estão disponíveis para consumo: brownies, sorvete de chocolate, coca-cola e torta de abacaxi. Cada brownie custa 0,50, cada bola de sorvete de chocolate custa 0,20, cada garrafa de coca-cola custa 0,30 e cada pedaço de torta de abacaxi custa 0,80.
A cada dia, preciso ingerir pelo menos 500 calorias, 6 onças de chocolate, 10 onças de açúcar e 8 onças de gordura. O conteúdo nutricional por unidade de cada alimento é mostrado abaixo. Formule um PL que possa ser usado para satisfazer meus requerimentos nutricionais diários a um custo mínimo.
ALIMENTO CALORIAS CHOCOLATE (on) AÇÚCAR (on) GORDURA (on)BROWNIE 400 3 2 2
BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 200 2 2 4
GARRAFA DE COCA COLA 150 0 4 1
PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 500 0 4 5
Objetivo do Problema
Minimizar o custo com a compra dos alimentos
ALIMENTOCUSTO
($/UNIDADE)BROWNIE 0,50
BOLA DE SORVETE DE CHOCOLATE 0,20
GARRAFA DE COCA COLA 0,30
PEDAÇO DE TORTA DE ABACAXI 0,80
Fatores que Afetam o Alcance do Objetivo
• Requerimentos nutricionais diários
NUTRIENTEREQUERIMENTO
DIÁRIO
CALORIAS 500
CHOCOLATE (on) 6
AÇÚCAR (on) 10
GORDURA (on) 8
Representação Informal do Problema
Deseja-se
Minimizar o custo com a compra dos alimentos de minha dieta, sujeito às seguintes restrições:
1. a quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores ao requerimento diário
2. a quantidade de chocolate ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário
3. a quantidade de açúcar ingerido diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário
4. a quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário
Formulação do Modelo de Programação Matemática
a) Variáveis de Decisão• O custo total de minha dieta é determinado pela quantidade de
alimentos de cada tipo comprados.
x1 = quantidade de brownies comprados /dia
x2 = bolas de sorvete de chocolate compradas /dia
x3 = garrafas de coca-cola compradas /dia
x4 = pedaços de torta de abacaxi compradas /dia
b) Função Objetivo (FO)
Min 0,50x1+ 0,20x2+ 0,30x3+ 0,80x4 ($/dia)
Formulação do Modelo de Programação Matemática
c) Restrições1. A quantidade de calorias ingeridas diariamente não podem ser inferiores
ao requerimento diário 400x1+200x2+150x3+500x4 ≥ 500 (cal/dia)
2. A quantidade de chocolate ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário
3x1 + 2x2 ≥ 6 (on/dia)
3. A quantidade de açúcar ingerida diariamente não pode ser inferior ao requerimento diário
2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (on/dia)
4. A quantidade de gordura ingerida diariamente não pode ser inferior ao seu requerimento diário
2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (on/dia)
Formulação do Modelo de Programação Matemática
d) Restrições de sinal
xi ≥ 0 (i=1..4) (unidades de alimento/dia)
Modelo de Programação Linear
Min 0,50x1+ 0,20x2+ 0,30x3+ 0,80x4
sujeito a:
400x1+200x2+150x3+500x4 ≥ 500 (requerimento de calorias)
3x1 + 2x2 ≥ 6 (requerimento de chocolate)
2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (requerimento de açúcar)
2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (requerimento de gordura)
xi ≥ 0 (i=1..4) (restrições de sinal)