pesquisa e ordenação de vectores pedro barahona di/fct/unl introdução aos computadores e à...
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Pesquisa e Ordenação de Vectores
Pedro BarahonaDI/FCT/UNL
Introdução aos Computadores e à Programação2º Semestre 2008/2009
22 Maio 2009 1Vectores (e Listas): Pesquisa e Ordenação
22 Maio 2009 Vectores (e Listas): Pesquisa e Ordenação 2
• Como vimos anteriormente a função seguinte lê um ficheiro de empregados e retorna
um vector de estruturas com a informação aindicada abaixo:
Leitura de Vectores de Estruturas
function Emps = ler_emps(filename); [f_in, msg] = fopen(filename, "r"); i = 0; [e.cod, e.nome, e.venc, e.data, count] = ler_linha(f_in); while count> 0 i = i+1; Emps(i) = e; [e.cod, e.nome, e.venc, e.data, count] = ler_linha(f_in); endwhile; fclose(f_in);endfunction;
i nd cod nome venci ment o dat a1 610 Paul o Fer nandes Lopes 2341. 36 15/ 04/ 19962 825 Pedr o Vi ei r a 989. 24 25/ 06/ 19993 316 Mar t a Cost a Mar t i ns 1389. 17 05/ 01/ 19924 34 Rui Vasco Per ei r a 5310. 32 15/ 04/ 19965 723 J or ge Bar at a 767. 26 03/ 09/ 2002
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Processamento de Vectores de Estruturas
• A partir deste momento, todo o processamento da informação sobre os empregados
pode ser feito sem leitura do ficheiro, mas apenas por acesso ao vector vec_emps,
que pode ser criado com a chamada da função ler_emps
vec_emps = ler_emps(filename);
• Vamos ilustrar esta situação em 3 problemas:
– Cálculo da média dos vencimentos dos empregados.
– Selecção dos empregados com o nome Paulo
– Ordenação dos empregados por ordem crescente de antiguidade
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Cálculo de Médias em Vectores de Estruturas
• Uma vez lida a informação dos empregados para o vector vec_emps, ela pode ser
acedida directamente e passada como parâmetros de entrada em funções.
• Assim o cálculo do total e da média dos vencimentos é feito pela chamada da função
vencimentos, definida abaixo e chamada com o parâmetro vec_emps. Por exemplo,
na instrução
[m,t] = vencimentos(vec_emps)
function [media, total] = vencimentos(vec_x); total = 0; n = length(vec_x) for i = 1:n total = total + vec_x(i).venc; endfor; media = total / n; % printf("o total de vencimentos é %7.2f \n“, total); % printf(“ e a sua média é %7.2f \n", total/n);endfunction;
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Selecção de Elementos em Vectores de Estruturas
• Igualmente se podem seleccionar os elementos de um vector de estruturas que
satisfazem um certo critério.
• No exemplo abaixo os empregados cujo vencimento é superior a um dado valor
são seleccionados e organizados num vector, emps, que é o resultado da função
vencimento_maior.
• Estes empregados podem ser obtidos pela chamada da função
emps_mais_de_1000 = vencimento_maior(vec_emps, 1000)
function emps = vencimento_maior(vec_x, valor); k = 0; for i = 1:length(vec_x) emp = vec_x(i); if emp.venc > valor k = k + 1; emps(k) = emp; endif; endfor;endfunction;
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Selecção de Elementos em Listas
• O critério utilizado para seleccionar os elementos de um vector de estruturas é
arbitrário, podendo ser naturalmente outro.
• No exemplo abaixo são seleccionados, e retornados como resultado da função
emps_com_nome, os empregados que têm uma dada palavra no seu nome. Por
exemplo, os empregados cujo nome inclui a palavra “Paulo” são retornados pela
chamada da função
paulos = emps_com_nome(vec_emps, ‘Paulo’)
function emps = emps_com_nome(vec_x, nome); k = 0; for i = 1:length(vec_x) if index(toupper(vec_x(i).nome),toupper(nome))> 0 k = k + 1; emps(k) = vec_x(i); endif; endfor;endfunction;
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Ordenação de Listas e Vectores
• As estruturas de dados lineares (nomeadamente listas e vectores) são
frequentemente armazenadas de uma forma ordenada.
• A ordenação facilita, a pesquisa de informação.
• Como veremos, numa lista ordenada com n elementos a procura de um elemento
pode ser feito com log2(n) acessos em vez de n/2 operações (em média).
• Por exemplo, se uma lista tiver 107 = 10 000 000 elementos (por exemplo, o
número de portugueses na base de dados do BI), em vez de 5 000 000 de
acessos à lista (para encontrar um #BI), são necessários apenas cerca de
log2(107) ≈ 23.25, em média.
• Evidentemente a ordenação tem custos. Mas, como é frequentemente o caso, a
ordenação é feita 1 vez, e os acessos muitas vezes, compensa manter as
estruturas de dados ordenadas.
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Ordenação de Listas e Vectores
• Analisemos primeiro a ordenação de vectores (ou listas), para o que existem
vários algoritmos (de ordenação) com vantagens e desvantagens em diferentes
contextos.
• Uma característica importante dos algoritmos é o espaço de memória utilizado,
que não consideraremos neste caso, já que apenas se utiliza o espaço ocupado
pelo vector.
• Outra característica importante é a sua complexidade, medida em número de
acessos ao vector. Este número depende naturalmente do número n de
elementos da estrutura de dados utilizada.
• Embora existam algoritmos (quicksort) mais rápidos (necessitam de cerca de
nlog2n acessos), o que apresentamos (bubblesort) é mais simples de descrever
(e implementar?).
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Ordenação por Bubble Sort
• A ideia do algoritmo é comparar dois elementos consecutivos do vector, e trocá-
los se estiverem na ordem “errada”. A comparação é feita entre os n-1 pares do
vector, por uma determinada ordem, por exemplo (1,2), (2,3), ..., (n-1,n).
• No final deste processo, o último elemento já está bem posicionado. Sem qualquer
optimização, pode fazer-se outro varrimento, em que ficará bem colocado o
penúltimo elemento.
• Desta forma, e no pior caso, bastará fazer n-1 varrimentos para garantir que o
vector ficou ordenado.
• No total, e para o pior caso, são feitas (n-1)comparações em cada um dos (n-1)
varrimentos, em que algumas comparações resultam em trocas.
• Desta forma serão feitas (n-1)2 comparações, pelo que a complexidade será
quadrática no número de elementos do vector, isto é lim (n-1)2 n2 (para valores
de n “grandes”).
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Ordenação por Bubble Sort
• Podemos observar o comportamento deste algoritmo no (pior) caso abaixo, com
um vector de 4 elementos, em ordem decrescente que se pretende ordenar de
forma crescente!
9 7 4 1 compara 9 com 7 troca
7 9 4 1 compara 9 com 4 troca
7 4 9 1 compara 9 com 1 troca
7 4 1 9
7 4 1 9 compara 7 com 4 troca
4 7 1 9 compara 7 com 1 troca4 1 7 9 compara 7 com 94 1 7 9
4 1 7 9 compara 4 com 1 troca1 4 7 9 compara 4 com 71 4 7 9 compara 7 com 91 4 7 9
3ª iteração
o 2º valor está arrumado!
1ª iteração
o 4º valor está arrumado!
2ª iteração
o 3º valor está arrumado!
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Bubble Sort (Não Optimizado)
• A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort com dois ciclos para
encadeados. No final destes ciclos o vector está ordenado por ordem decrescente.
function V = bubble_1(V); % bubble sort n = length(V); for k = 1:n-1 % n-1 varrimentos for i = 1:n-1 if V(i) < V(i+1) x=V(i); V(i)=V(i+1); %troca V(i) com V(i+1) V(i+1)=x; endif; endfor; endfor;endfunction;
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Optimização do Bubble Sort
• O algoritmo pode ser optimizado de duas formas complementares.
Diminuição dos ciclos
• Por um lado, em cada iteração o último valor a ser considerado vai decrescendo de
n para n-1, para n-2, ....
• Desta forma o ciclo interno pode ser parametrizado por um valor k que vai
decrescendo em cada ciclo externo.
Interrupção dos varrimentos
• Se um varrimento termina sem trocas, o vector já está ordenado, e não é necessário
fazer mais varrimentos.
• Assim há que identificar numa variável, troca, se houve trocas durante um
varrimento. Caso contrário, terminar imediatamente a ordenação.
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Bubble Sort (Optimizado)
• As duas optimizações descritas estão implementadas no algoritmo abaixo. Se ao
fim de um varrimento não tiver havido trocas, o vector já está ordenado (por ordem
crescente) e e a função termina sem iniciar mais varrimentos!.
function V = bubble_2(V); % bubble sort n = length(V); for k = n-1:-1:1 % k = n-1, n-2, n-3, ... troca = 0; for i = 1:k if V(i) > V(i+1) troca = 1; x=V(i); V(i)=V(i+1); %troca V(i) com V(i+1) V(i+1)=x; endif; endfor; if troca == 0 return endif; endfor;endfunction;
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Bubble Sort (Optimizado)
• Como a unica operação a fazer sobre vectores é trocar dois elementos, o mesmo
algoritmo pode servir para ordenar vectores de estruturas. Por exemplo, a função
abaixo ordena o vector Vec, por ordem crescente do campo venc.
function Vec = bubble_3(Vec); % bubble sort n = length(Vec)-1; for k = n-1:-1:1 troca = 0; for i = 1:k if Vec(i).venc > Vec(i+1).venc troca = 1; x = Vec(i); %troca V(i) com V(i+1) Vec(i) = Vec(i+1); Vec(i+1) =x; endif; endfor; if !troca return endif; endfor;endfunction;
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Pesquisa Linear em Vectores
• Consideremos um vector V, numérico e não ordenado, onde queremos encontrar
o número x. O algoritmo abaixo determina se o número x está ou não incluído no
vector, comparando x com todos os valores da lista.
• A função retorna o (primeiro) índice i onde se encontra x (ou seja, V(i) = x), ou
retorna 0 se x não estiver incluído no vector
• A função pode ser facilmente adaptada para uma vector e um campo substituindo-
se a comparação para
if V(i).campo == x
function i = procura_linear_1(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; endif endfor; i = 0;endfunction;
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Pesquisa em Vectores
• A complexidade do algoritmo, em termos do número de acessos ao vector, pode
ser analisado da seguinte forma:
– Se x não pertence ao vector, então terão de ser feitas n leituras.
– Se x pertencer ao vector, o número de leituras é variável. Assumindo que x
pode estar em qualquer posição, deverão ser lidos, em média, n/2 valores.
• Assumindo que x pode estar em V com uma probabilidade p (e, portanto, não
estar no vector com uma probabilidade q = 1-p), o número médio de acessos será
de aproximadamente
p n/2 + q n
• Se p = q = ½ teremos uma complexidade média de
½ ½ n + ½ n = ¾ n
o que indica uma complexidade assintótica linear, O(n).
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Pesquisa Linear em Vectores (Optimizada)
• A pesquisa pode ser mais rápida se o vector estiver ordenado.
• Assumindo uma ordenação crescente, a pesquisa pode terminar se o valor V(i) já
exceder o valor de x, porque nesse caso, os valores de V(j) com j > i serão ainda
maiores!
function i = procura_linear_2(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; elseif V(i) > x i = 0; return; endif endfor;endfunction;
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Pesquisa Linear em Vectores (Optimizada)
• A complexidade, em termos do número de acessos ao vector, pode ser analisado
de uma forma semelhante à anterior :
– Se x pertencer ao vector V, o número de leituras é variável, sendo em média
lidos n/2 valores.
– Se x não pertencer ao vector V, esse facto será descoberto mais cedo ou
mais tarde consoante o valor de x (e os valores em V). Em média, podemos
assumir igualmente que apenas metade dos valores são testados
• Como x está em V com uma probabilidade p, e não está com probabilidade 1-p, o
número médio de acessos será de
p n/2 + (1-p) n/2 = n/2
• O número de acessos baixa assim de ¾ n para ½ n, mas mantém a mesma
complexidade assintótica linear, O(n).
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Pesquisa Bipartida
• Se o vector V estiver ordenado, podemos sempre determinar se x, a existir no
vector V, está à frente ou atrás de um elemento testado.
• Assim, em vez de testar sequencialmente os valores de V, podemos testá-los “em
saltos”, delimitando em cada teste a zona do vector onde valerá a pena pesquisar.
• Esquemáticamente, podemos considerar um esquema de bipartição
• O algoritmo pode pois considerar um intervalo de pesquisa cada vez menor, como
exemplificado de seguida.
x > V(i)x < V(i)
i
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Pesquisa Bipartida
• Consideremos um vector V, ordenado por ordem crescente, com 31 números,
onde queremos encontrar o número x. Inicialmente os índices onde se faz a
pesquisa estão no intervalo (1,31).
• Podemos comparar x com o número intermédio entre 1 e 31 = 16 = (1+31)/2).
– Se V(16) = x, este está encontrado.
– Se V(16) < x, este deverá ser procurado no intervalo (17,31).
– Se V(16) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,15).
• Neste último caso, podemos comparar x com o número intermédio 8 = (1+15)/2
– Se V(8) = x, este está encontrado.
– Se V(8) < x, este deverá ser procurado no intervalo (9,15).
– Se V(8) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,7).
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Pesquisa Bipartida
• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 12 = 9+15/2.
– Se V(12) = x, este está encontrado.
– Se V(12) < x, este deverá ser procurado no intervalo (13,15).
– Se V(12) > x, este deverá ser procurado no intervalo (9,11).
• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 14 = (13+15)/2.
– Se V(14) = x, este está encontrado.
– Se V(14) < x, este deverá ser procurado no intervalo (15,15).
– Se V(14) > x, este deverá ser procurado no intervalo (13,13).
• Nestes últimos casos, são feitas comparações com um só elemento, V(13) ou
V(15), que garantem a verificação sobre se x está ou não no vector V .
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Pesquisa Bipartida• No máximo, são feitas 5 comparações, com V(16), V(8), V(12), V(14) e V(15), o
que confirma que o número máximo de acessos é da ordem de log2(n), já que
log2(31) = 4.95 ≈ 5.
• Em geral, o intervalo inicial, de largura n, é reduzido para metade em cada um de
p passos, sendo feita uma comparação em cada passo, e terminando o processo
quando o intervalo tiver largura 1. Assim, temos
n ½ ½ ... ½ = 1, donde n / 2p = 1
e portanto n = 2p ou p = log2(n).
• Como p é o número de comparações, a pesquisa bipartida tem, como visto atrás,
complexidade assintótica logaritmica O( log2(n)).
• Assim para vectores (ou listas) com 109 valores, uma pesquisa requer em média
log2(109) ≈ 29.9, e não 500*106 acessos.
• Se cada acesso demorar 1 s, a pesquisa bipartida demora cerac de 30 s, em
comparação com 500 seg = 10 min!
22 Maio 2009 Vectores (e Listas): Pesquisa e Ordenação 23
Pesquisa Bipartida• Dadas as vantagens, vale a pena utilizar a pesquisa bipartida. Eis uma possível
implementação, recursiva, em que se pretende determinar se o número x está no
vector V, entre as posições i e j.
• Naturalmente, a função será chamada como
k = procura_bipartida(x,V,1,length(V)).
function k = procura_bipartida(x,V,i,j); m = round((i+j)/2); if x == V(m) k = m; return; elseif x > V(m) i = m+1; % o j mantem-se else j = m-1; % o i mantem-se endif; if j >= i k = procura_bipartida(x,V,i,j); else k = 0; endifendfunction;