pertemuan minggu ke-10 1. keterdiferensialan 2. derivatif...
TRANSCRIPT
Pertemuan Minggu ke-10
1. Keterdiferensialan
2. Derivatif berarah dan gradien
3. Aturan rantai
1. Keterdiferensialan
▪ Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x
berarti keujudan derivatif f ’(x).
▪ Ini setara dengan grafik f yang mempunyai garis
singgung tak-tegak di x.
Apa konsep yang benar dari keterdiferensialan untuk suatu
fungsi dua peubah ?
1. Keterdiferensialan
▪ Untuk memahami konsep dari keterdiferensialan suatu
fungsi dua peubah, perhatikan
Perhatikan:
- Nilai f identik dengan 0 sepanjang
dua sumbu.
- Pada sumbu y = x kecuali di (0,0)
nilainya ½ .
- fx(0,0) = fy(0,0) = 0
artinya, grafik ini tidak
mempunyai garis singgung di titik
asal.
1. Keterdiferensialan
Apa peranan derivatif untuk suatu fungsi dua peubah ?
▪ Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mulai dengan
menghilangkan perbedaan antara titik (x,y) dan x,y.
▪ Jadi, kita tuliskan p = (x,y) = x,y dan f (p) = f (x,y).
1. Keterdiferensialan
▪ Ingat kembali bahwa
(1)
▪ Analogi kelihatannya berupa
namun, pembagian oleh vektor h tidak masuk akal.
1. Keterdiferensialan
(1)
▪ Kemudian, Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk
sebagai berikut:
(2)
dengan (h) 0 pada h 0.
▪ Dari Persamaam 2, definisi f ’(p) dapat dijabarkan
(lihat slide selanjutnya).
1. Keterdiferensialan
Definisi
Kita katakan bahwa f dapat didiferensialkan di p
(terdiferensialkan di p) jika terdapat suatu vektor q
sedemikian sehingga
dengan (h) 0 pada h 0.
• Jika vektor q ada, vektor q adalah unik.
• Vektor q disebut gradien f di p, yang dilambangkan
dengan .
1. Keterdiferensialan
dengan (h) 0 pada h 0.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dari definisi di atas:
1. Derivatif f ’(x) adalah bilangan, sedangkan gradien
adalah vektor.
2. Titik dalam menunjukkan hasil kali titik dari dua
vektor.
3. Definisi mempunyai arti pada sebarang dimensi.
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Teorema A
Jika f fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di p = (x,y), maka
derivatif parsial pertama dari f ada ada di p dan
Dengan cara yang sama, jika g fungsi tiga peubah dan
terdiferensialkan di p = (x, y, z), maka
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Untuk menggunakan Teorema A, kita masih perlu mengetahui f dan
g dapat didiferensialkan.
Bagaimana cara mengetahui f dan g dapat didiferensialkan di p ?
Teorema B
Jika f mempunyai derivatif parsial pertama di suatu lingkungan dari
p dan jika derivatif parsial p ini kontinu di p, maka ia dapat
didiferensialkan di p.
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Contoh 1:
Perlihatkan bahwa f(x,y) = x ey + x2 y terdiferensialkan di mana-
mana dan hitung gradiennya.
Penyelesaian:
Kedua fungsi ini kontinu di mana-mana, sehingga menurut Teorema
B, f terdiferensialkan di mana-mana.
Lebih lanjut, menurut Teorema A:
1. Keterdiferensialan
PERHITUNGAN GRADIEN
Contoh 2:
Untuk f(x, y, z) = x sin z + x2 y, cari
Penyelesaian:
Karena derivatif parsial semua kontinu, maka gradien ada.
Selanjutnya, derivatif parsial ini masing-masing adalah:
Jadi
1. Keterdiferensialan
ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN
▪ Dalam banyak hal, gradien berperilaku seperti derivatif.
▪ Ingat kembali bahwa D yang dipandang sebagai suatu operator
adalah linear.
▪ Demikian juga halnya operator , yang seringkali disebut
operator del.
1. Keterdiferensialan
ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN
Teorema C
adalah operator linear; yakni
(i)
(ii)
Juga, kita mempunyai aturan hasil kali
(iii)
Buktikan !
1. Keterdiferensialan
ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN
Bukti
Kita buktikan tanpa
menuliskan titik p agar lebih singkat.
1. Keterdiferensialan
KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN
Teorema D
Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p.
Bukti
Karena f terdiferensialkan di p.
Ingat kembali
1. Keterdiferensialan
KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN
Bukti
Karena f terdiferensialkan di p.
Ingat kembali
Jadi
1. Keterdiferensialan
KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN
Bukti (lanjutan)
Kedua suku yang belakangan mendekati 0 bila h 0, sehingga
Kesamaan yang terakhir ini adalah satu cara formulasi kekontinuan f
di p.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
• Perhatikan lagi fungsi dua peubah f(x,y).
• Derivatif fx(x,y) dan fy(x,y) mengukur laju perubahan dan
kemiringan garis singgung pada arah sejajar sumbu x dan y.
• Sasaran kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada
sebarang arah.
• Ini menuju derivatif berarah, yang kemudian dihubungkan
dengan gradien.
• Akan sangat menguntungkan untuk menggunakan cara penulisan
vektor.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
• Andaikan p = (x,y) dan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada
arah x dan y positif.
• Maka dua derivatif berarah di p dapat dituliskan sebagai berikut:
• Untuk memperoleh konsep yang kita tuju, yang kita kerjakan
hanyalah menggantikan i dan j dengan suatu vektor satuan
sebarang u.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
Definisi
Untuk tiap vektor satuan u, andaikan
Limit ini, jika ia ada, disebut derivatif berarah f di p pada arah u.
Jadi, Di f(p) = fx(p) dan Dj f(p) = fy(p).
Karena p = (x,y), kita gunakan juga cara penulisan Du f(x,y).
2. Derivatif Berarah dan Gradien
Gambar di samping memberikan
taksiran geometrik dari Du f(x0,y0).
Vektor u menentukan suatu garis L di
bidang xy yang melalui (x0,y0).
Bidang yang melalui L tegak lurus
bidang xy memotong permukaan
z = f(x,y) menurut suatu kurva C.
Garis singgungnya di titik
(x0, y0, f(x0,y0)) mempunyai
Kemiringan Du f(x0,y0).
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Ingat kembali pengertian gradien bahwa f(p) diberikan oleh
Teorema A
Andaikan f mempunyai derivatif parsial kontinu di p. Maka f
mempunyai derivatif berarah di p pada arah vektor satuan
u = u1i + u2j dan
yakni
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 1:
Jika f(x,y) = 4x2 – xy + 3y2, tentukan derivatif berarah f di (2,-1) pada
arah vektor a = 4i + 3j.
Penyelesaian:
Vektor satuan u pada arah a adalah
Kemudian,
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 2:
Cari derivatif berarah dari
fungsi f(x, y, z) = xy sin z
di titik (1, 2, Π/2)
pada arah vektor a = i + 2j + 2k.
Penyelesaian:
Vektor satuan u pada arah a adalah
Kemudian,
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KAITAN DENGAN GRADIEN
Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Pertanyaan:
Untuk suatu fungsi yang diberikan f di suatu titik yang diberikan p,
pada arah mana fungsi berubah paling cepat ?
Jawab:
Pada arah dimana Duf(p) yang terbesar
dengan θ sudut antara u dan f(p).
Jadi, Du f(p) dimaksimumkan pada waktu θ = 0 dan diminimumkan
pada waktu θ = Π.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Teorema B
Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien
(dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah
berlawanan dengan laju .
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Contoh 3:
Misalkan seekor binatang kecil diketemukan pada parabolik
hiperbol z = y2 – x2 di titik (1,1,0), seperti pada di bawah. Pada arah
mana ia sebaiknya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan
berapa kemiringan pada waktu ia memulai ?
2. Derivatif Berarah dan Gradien
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM
Penyelesaian:
Jadi binatang kecil itu seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah
-2i + 2j dengan kemiringan sebesar
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
▪ Kurva ketinggian dari permukaan z = f(x,y) adalah proyeksi ke
bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan
bidang z = k yang sejajar bidang xy.
▪ Nilai fungsi di semua titik pada kurva ketinggian yang sama
adalah konstan (Gambar di bawah).
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
▪ Nyatakan L, kurva ketinggian
dari f(x,y) yang melalui titik
pilihan sebarang P(x0, y0) di
wilayah daerah asal f.
▪ Tetapkan vektor satuan u adalah
tegak lurus terhadap L di P.
▪ Karena nilai f sama di semua titik
pada kurva ketinggian L,
derivatif berarahnya Du f(x0,y0),
yang berupa laju perubahan f(x,y)
pada arah u, adalah nol pada
waktu u menyinggung L.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
▪ Akibatnya,
sehingga
dan juga (sudut antara u dan )
harus berupa sudut siku-siku.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Teorema C
Gradien f di titik P adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian f
yang melalui P.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4:
Untuk paraboloid
Tentukan persamaan kurva ketinggiannya yang melalui titik P (2,1)
dan berikan sketsanya.
Tentukan vektor gradien dari paraboloid di P dan gambar gradien
dengan titik awalnya di P.
Penyelesaian:
▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan
bidang z = k, mempunyai persamaan
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
▪ Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan
bidang z = k, mempunyai persamaan
Nilai k ?
▪ Untuk mencari nilai k, kita substitusikan (2,1) untuk (x,y)
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
▪ Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1) adalah
ellips
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
Persamaan kurva
ketinggian yang melalui
titik P(2,1):
Sketsa
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
▪ Vektor gradiennya ?
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
Sehingga gradien di
P (2,1) adalah
Kurva ketinggian dan
gradien di P
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
• Konsep ketinggian dua peubah digeneralisasikan ke permukaan
ketinggian untuk fungsi tiga peubah.
• Jika f suatu fungsi tiga peubah, permukaan f(x, y, z) = k
dengan k konstanta
k disebut permukaan ketinggian di f.
• Di semua titik pada suatu permukaan ketinggian:
1. Nilai fungsi adalah sama
2. Vektor gradien untuk f (x, y, z) di suatu titik P(x, y, z) dalam
wilayahnya akan normal terhadap permukaan ketinggian dari
f melalui P.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
• Dalam masalah hantaran kalor dalam benda homogen dengan
w = f(x, y, z) menyatakan suhu pada titik (x, y, z), permukaan
ketinggian f(x, y, z) = k dinamakan permukaan isoterm.
• Permukaan isoterm: permukaan yang semua titik padanya
memiliki suhu sama k.
• Pada tiap titik benda tersebut, kalor mengalir:
1. dalam arah yang berlawanan dengan gradiennya (yakni,
dalam arah penurunan terbesar pada suhu)
2. tegak lurus terhadap permukaan isoterm melalui titik itu.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
• Jika w = f(x, y, z) memberikan potensial elektrostatik (voltase)
pada suatu titik sebarang dalam suatu medan potensial listrik,
permukaan ketinggiannya dinamakan permukaan ekuipotensial.
• Semua titik pada suatu permukaan ekuipotensial memiliki
potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah
searah dengan negatif gradiennya, yaitu dalam arah penurunan
terbesar pada potensial.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 5:
Jika suhu pada sebarang titik dalam suatu benda homogen diberikan
sebagai
Kemana arah yang memberikan penurunan suhu terbesar di titik
(1,-1,2) ?
Penyelesaian:
Penurunan terbesar pada suhu di (1,-1,2) adalah dalam arah negatif
gradien di titik tersebut.
2. Derivatif Berarah dan Gradien
KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN
Contoh 5 (lanjutan penyelesaian):
di titik (1, -1, 2) adalah
Jadi pada titik (1, -1, 2) adalah
3. Aturan Rantai
• Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu peubah adalah
Jika y = f (x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang
terdiferensialkan, maka
3. Aturan Rantai
Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal
menanyakan dz/dt.
VERSI PERTAMA
Teorema A
(Aturan Rantai).
Andaikan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t dan andaikan
z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)).
Maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan
3. Aturan Rantai
Bukti
Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1 Teorema B (Buku
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale
Varberg).
Untuk penyederhanaan cara penulisan, andaikan
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Maka, karena f dapat didiferensialkan,
Dengan jika .
Bila kita membagi kedua ruas dengan , kita peroleh
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Sekarang
Dan yang belakang mendekati
jika
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Pada waktu , dan keduanya mendekati 0
(ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, terdiferensialkan).
Ini menyimpulkan .
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Bukti (lanjutan)
Sebagai konsekuensi, pada waktu , kita peroleh
Teorema A
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Contoh 1:
Misalkan dengan dan .
Tentukan .
Penyelesaian:
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Contoh 2:
Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi,
radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm/jam dan tingginya bertambah
pada laju 0,5 cm/jam.
Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat
radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm.
Penyelesaian:
Rumus total luas permukaan sebuah tabung
adalah
Jadi,
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
Pada r = 10 dan h = 100,
cm2/jam
VERSI PERTAMA
Bagaimana Teorema A diaplikaiskan untuk fungsi tiga peubah ?
3. Aturan Rantai
Contoh 3:
Andaikan , dengan , ,
dan .
Tentukan dan hitung nilainya di .
Penyelesaian:
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):
Pada ,
VERSI PERTAMA
3. Aturan Rantai
Teorema B
(Aturan Rantai). Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai
derivatif pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) terdiferensialkan di
(x(s,t), y(s,t)).
Maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai derivatif parsial pertama yang
diberikan oleh
(i)
(ii)
VERSI KEDUA
3. Aturan Rantai
Contoh 4:
Jika z = 3x2 – y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st,
Tentukan z/t, dan ungkapkan ia dalam bentuk s dan t.
Penyelesaian:
Bagaimana pada fungsi tiga peubah ?
VERSI KEDUA
3. Aturan Rantai
Contoh 5:
Jika w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st
y = s – t
z = s + 2t
Tentukan w/t.
Penyelesaian:
VERSI KEDUA
3. Aturan Rantai
▪ Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan secara implisit y
sebagai suatu fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g sukar
atau tidak mungkin ditentukan.
▪ Kita masih tetap dapat mencari dy/dx.
▪ Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit
(dibahas di Pasal 3.8).
▪ Metode lain dengan menggunakan Aturan Rantai.
FUNGSI IMPLISIT
(Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg)
3. Aturan Rantai
▪ Derivatif kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan
Aturan Rantai, dijelaskan sebagai berikut:
Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumus:
FUNGSI IMPLISIT
3. Aturan Rantai
Contoh 6:
Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0.
Penyelesaian:
Andaikan F(x,y) = x3 + x2y -10y4.
Maka
FUNGSI IMPLISIT
Bandingkan dengan Contoh 3 dari Pasal 3.8
Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin
J.Purcell Dale Varberg
Aplikasi pada fungsi implisit 3 variabel ?
3. Aturan Rantai
Jika z suatu fungsi implisit dai x dan y yang didefinisikan oleh
persamaan F(x, y, z) = 0, maka diferensial kedua ruas terhadap x
dengan mempertahankan y tetap, menghasilkan
Jika kita selesaikan untuk z/x
dan dengan mencatat bahwa y/x = 0, maka kita peroleh rumus
Perhitungan yang serupa dengan
mempertahankan x tetap dan mendiferensialkan
terhadap y, di dapat
FUNGSI IMPLISIT
3. Aturan Rantai
Contoh 7:
Jika mendefinisikan z
secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/x.
Penyelesain:
FUNGSI IMPLISIT
TERIMAKASIH