persamaan linear atas aljabar supertropical
TRANSCRIPT
TESIS â SM 142501
KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR
SUPERTROPICAL
Dian Yuliati
NRP. 1214 201 002
DOSEN PEMBIMBING
Dr. Subiono, M.S.
PROGRAM MAGISTER
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2016
THESIS â SM 142501
CHARACTERIZATION OF THE SOLUTIONS OF
SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS OVER
SUPERTROPICAL ALGEBRA
Dian Yuliati
NRP. 1214 201 002
SUPERVISOR
Dr. Subiono, M.S.
MASTERâS DEGREE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES
SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY
SURABAYA
2016
ix
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. i
ABSTRAK ......................................................................................................... iii
ABSTRACT ....................................................................................................... v
KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... ix
DAFTAR NOTASI............................................................................................ xi
BAB 1 PENDAHULUAN .............................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ......................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................... 3
1.3 Batasan Masalah ....................................................................... 3
1.4 Tujuan Penelitian ...................................................................... 4
1.5 Manfaat Penelitian .................................................................... 4
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI ..................................... 5
2.1 Penelitian Terdahulu ................................................................. 5
2.2 Semiring ................................................................................... 6
2.3 Aljabar Max-Plus...................................................................... 8
2.3.1 Matriks atas Aljabar Max-Plus ................................................ 10
2.3.2 Penjumlahan Matriks .............................................................. 10
2.3.3 Perkalian Matriks.................................................................... 11
2.3.4 Perpangkatan Matriks ............................................................. 12
2.3.5 Transpose Matriks .................................................................. 13
2.3.6 Matriks Identitas ..................................................................... 13
2.4 Aljabar Tropical ..................................................................... 13
2.5 Perluasan Aljabar Tropical ..................................................... 14
2.6 Aljabar Supertropical ............................................................. 16
2.6.1 Semiring dengan Ghost ........................................................... 16
2.6.2 Semiring Supertropical ........................................................... 16
2.6.3 Relasi Ghost Surpass .............................................................. 17
2.7 Matriks atas semiring Supertropical........................................ 18
2.7.1 Penjumlahan Matriks .............................................................. 18
2.7.2 Perkalian Matriks.................................................................... 19
x
2.7.3 Perpangkatan Matriks ............................................................. 20
2.7.4 Transpose Matriks .................................................................. 21
2.7.5 Determinan ............................................................................. 22
2.7.6 Minor dan Adjoint .................................................................. 22
2.7.7 Matriks Non Singular dan Singular ......................................... 23
2.7.8 Matriks Pseudo-Zero .............................................................. 24
2.7.9 Matriks Identitas ..................................................................... 25
2.7.10 Pseudo-Invers Matriks ............................................................ 25
2.7.11 Matriks Invertibel ................................................................... 28
2.8 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus..................... 29
2.8.1 Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus............................ 29
2.8.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas
Aljabar Max-Plus.................................................................... 34
2.9 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Supertropical .............. 43
BAB 3 METODE PENELITIAN ................................................................ 45
BAB 4 PEMBAHASAN ............................................................................... 47
4.1 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tak
Homogen atas Aljabar Supertropical ...................................... 47
4.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Homogen
atas Aljabar Supertropical ...................................................... 71
BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 81
5.1 Simpulan ................................................................................ 81
5.2 Saran ...................................................................................... 81
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 83
xi
DAFTAR NOTASI
ð ððð¥ : Aljabar Max-plus
â : Akhir Contoh
â¡ : Akhir Definisi
â : Akhir Teorema dan Lemma
â : Anggota
1R : Elemen identitas pada semiring ð
0R : Elemen nol pada semiring ð
⪠: Gabungan
â : Himpunan bilangan real
ðð(ð ) : Himpunan matriks ukuran ð Ã ð dengan entri matriks anggota ð
âð£ : Himpunan dengan anggotanya elemen ghost pada extended
semiring tropical
ð¯ : Himpunan dengan anggotanya elemen tangible pada aljabar
supertropical
ð¢ : Himpunan dengan anggotanya elemen ghost pada aljabar
supertropical
ð¢0 : Ideal ghost
ðð£ : Nilai a pada pemetaan ghost
ð£ : Pemetaan ghost
âš : Relasi ghost surpass pada ð
ð : Semiring supertropical
âš : Operasi max
â : Operasi plus
â : Untuk setiap
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang
telah melimpahkan Rahmat, Taufiq, dan Hidayah-Nya, serta junjungan Beliau
Rasulullah SAW atas suri teladan yang dibawanya sehingga penulis dapat
menyelesaikan Tesis yang berjudul âKarakterisasi Penyelesaian Sistem
Persamaan Linear Atas Aljabar Supertropicalâ ini tepat pada waktunya. Tesis
ini merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam memperoleh gelar Magister
di Program Studi Magister Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh
Nopember.
Penyusunan Tesis ini tidak lepas dari bimbingan, bantuan, dan dukungan
moral maupun spiritual dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Ibu, Bapak, beserta keluarga tercinta yang selalu memberikan dukungan,
doa, dan motivasi agar penulis dapat menyelesaikan Tesis ini.
2. Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc.ES., Ph.D. selaku Rektor Institut Teknologi
Sepuluh Nopember Surabaya.
3. Prof. Ir. Djauhar Manfaat, M.Sc., Ph.D. selaku Direktur Program
Pascasarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
4. Dr. Imam Mukhlash, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Institut
Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
5. Dr. Subiono, M.S., selaku Koordinator Program Studi Pascasarjana
Matematika dan juga dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu
untuk membimbing, memberikan masukan dan mendorong penulis dalam
menyelesaikan Tesis ini.
6. Dr. Haryanto, M.Si., selaku dosen wali yang telah memberikan motivasi,
arahan, dan bimbingan selama penulis menempuh kuliah.
7. Bapak / Ibu Dosen penguji yang telah memberikan masukan dan juga
motivasi bagi penulis sehingga Tesis ini dapat selesai tepat waktu.
viii
8. Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal dan ilmu
pengetahuan serta staf administrasi Program Studi Magister Matematika
atas segala bantuannya.
9. Sahabat penulis lainnya atas semua bantuan, semangat, dan dukungannya
selama proses penulisan Tesis ini.
10. Keluarga besar Pascasarjana Matematika ITS 2014, dan semua pihak yang
telah membantu proses penulisan Tesis ini yang tidak dapat penulis
sebutkan satu persatu. Terima kasih.
Semoga Allah SWT memberikan anugerah dan karunia-Nya kepada semua pihak
yang telah membantu menyelesaikan Tesis ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tesis ini masih banyak
kekurangan, sehingga kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk
perbaikan kedepannya. Kritik dan saran bisa dikirim melalui email penulis
[email protected]. Akhirnya semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi
pembaca, khususnya mahasiswa Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Surabaya, Januari 2016
Penulis
iii
KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL
Nama Mahasiswa : Dian Yuliati
NRP : 1214 201 002
Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S.
ABSTRAK
Aljabar tropical adalah semiring idempotent sekaligus semifield. Salah
satu contoh dari aljabar tropical yang memiliki struktur semiring idempoten
sekaligus semifield yaitu aljabar max-plus. Aljabar max-plus didefinisikan sebagai
âmax = (âð ,â,â), dimana âð = â ⪠{ââ} dengan â adalah semua bilangan
real, ð â ââ , ðâšð â max{ð, ð} dan ð â ð â ð + ð untuk setiap ð, ð â âð.
Berbeda dengan aljabar linear biasa, aljabar max-plus tidak mempunyai elemen
invers terhadap operasi â. Hal ini yang menyulitkan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear ðŽ â ð = ð di âmax. Oleh karena itu dikonstruksikan struktur
baru yang merupakan perluasan dari âmax yang disebut extended semiring tropical
yang dinotasikan sebagai ð = â ⪠{ââ} ⪠âð£ dimana âââð£ = âð£ ⪠{ââ} disebut
ideal dari ð, ð£ ⶠð â âââð£ disebut pemetaan ghost yang memenuhi ð£(ð) = ð, âð â
âââð£ dan ð£(ð) = ðð£,âð â â . Secara lebih umum perluasan dari aljabar tropical
dinamakan aljabar supertropical. Oleh karena itu dapat digeneralisasikan
penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan relasi ghost surpass âš. Dengan
relasi ghost surpass penyelesaian sistem persamaan ðŽ â ð = ð akan diperlemah
menjadi ðŽ â ð âš ð. Dari hasil penelitian didapatkan bahwa sistem persamaan
linear tak homogen ðŽ â ð âš ð atas aljabar supertropical mempunyai solusi
tangible yang tunggal jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¯ dan (adj(A) â ð) â ð¯0ð
, serta
mempunyai penyelesaian tidak tunggal jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¢0 â ð atau (adj(A) â ð) â ð¯0
ð . Sedangkan sistem persamaan linear homogen ðŽ â ð âš ðº
atas aljabar supertropical mempunyai penyelesaian trivial jika dan hanya jika |ðŽ| âð¯ dan mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¢0 â ð.
Kata kunci : aljabar tropical, aljabar supertropical, sistem persamaan linear.
v
CHARACTERIZATION OF THE SOLUTION OF SYSTEM OF
LINEAR EQUATIONS OVER SUPERTROPICAL ALGEBRA
Name : Dian Yuliati
Student Identity Number : 1214 201 002
Supervisor : Dr. Subiono, M.S.
ABSTRACT
Tropical algebra is idempotent semirings and semifields. Max-plus algebra
is one of many idempotent semirings and semifields. Max-plus algebra is defined
as âmax = (âð ,â,â), where âð = â ⪠{ââ} with â is the set of real numbers,
ð â ââ , ðâšð â max{ð, ð} and ð â ð â ð + ð for every ð, ð â âð. In contrast
to conventional linear algebra, there are no inverse elements with respect to â in
âmax. It also causes difficulty when solving linear systems of equations ðŽ â ð =ð. Therefore a new structure that generalizes max-plus algebra is constructed and it
is called extended tropical semiring, denoted as ð = â ⪠{ââ} ⪠âð£ where
âââð£ = âð£ ⪠{ââ} is called ideal of ð, ð£ ⶠð â âââ
ð£ is called the ghost map
satisfying ð£(ð) = ð, âð â âð£ and ð£2(ð) = ð£(ð),âð â ð. Generally, the extension
of tropical algebra is called supertropical algebra. Therefore we can generalize the
method to solve system of linear equations using ghost surpass relation, then system
of linear equations ðŽ â ð = ð will be weakened ðŽ â ð âš ð. Based on the results
of the study showed that characterization of the solution of ð Ã ð non-homogeneous
system of linear equations ðŽ â ð¥ âš ð over supertropical algebra has a unique
solution if only if |ðŽ| â ð¯ and (adj(A) â ð) â ð¯0ð
. Moreover, it has an infinite
numbers of solutions if only if |ðŽ| â ð¢0 â ð or (adj(A) â ð) â ð¯0ð
. While for
characterization of the solution of ð Ã ð system homogeneous of linear equations
ðŽ â ð¥ âš ð over supertropical algebra has a trivial solution if and only if |ðŽ| âð¯ and a non-trivial solution if and only if |ðŽ| â ð¢0 â ð.
Keywords : tropical algebra, supertropical algebra, system of linear equations.
1
BAB I
PENDAHULUAN
END
1.1 Latar Belakang
Aljabar tropical merupakan salah satu bidang dalam matematika yang telah
berkembang selama satu dekade terakhir. Aljabar tropical dipelopori oleh ahli
matematika dan komputer Imre Simon, seorang peneliti dari Brazil pada tahun
1980an [1]. Aljabar tropical adalah semiring idempotent sekaligus semifield. Salah
satu contoh dari aljabar tropical yang memiliki struktur semiring idempoten
sekaligus semifield yaitu aljabar max-plus [2].
Dalam papernya, Izhakian (2009) memperkenalkan struktur baru yang
merupakan perluasan dari aljabar max-plus yang disebut extended semiring tropical
[3]. Perluasan tersebut muncul untuk mengatasi kesulitan dalam mempelajari
polinomial atas aljabar max-plus sehingga dibutuhkan struktur baru yang lebih luas
yang mencakup aljabar max-plus. Secara lebih umum perluasan dari aljabar tropical
dinamakan aljabar supertropical. Karena aljabar supertropical merupakan kajian
yang relatif baru, maka berbagai penelitian mengenai aljabar supertropical terus
dilakukan.
Pada tahun 2010, Izhakian dan Rowen dalam penelitian yang berjudul
âSupertropical Algebraâ membahas tentang faktorisasi polinomial atas aljabar
supertropical, penelitian ini menjelaskan bahwa setiap polinomial dapat difaktorkan
dalam bentuk linier maupun kuadrat [4]. Pada tahun yang sama, Izhakian dkk dalam
penelitian berjudul âSupertropical Linear Algebraâ membahas tentang dasar teori
atas aljabar supertropical yang sifat-sifatnya didapatkan dari aljabar linier dengan
memanfaatkan relasi ghost surpasses [5]. Masih pada tahun yang sama, Izhakian
dan Rowen dalam penelitian âSupertropical Polynomial and Resultantâ membahas
mengenai polinomial relatif prima atas aljabar supertropical [6].
Pada tahun 2011, Izhakian dan Rowen melakukan penelitian yang berjudul
âSupertropical Matrix Algebraâ, penelitian tersebut membahas tentang teori
matriks atas semiring supertropical yaitu jika |ðŽ| dan |ðµ| keduanya tangible maka
2
|ðŽ â ðµ| = |ðŽ| â |ðµ| [7]. Kemudian penelitian berlanjut pada âSupertropical
Matrix Algebra IIâ yang membahas eksistensi adj ðŽ dari matriks non singular
sehingga didapatkan pseudo-invers kanan dan pseudo-invers kiri yang tunggal
sehubungan dengan matriks pseudo-identitas yang bersesuaian dengan ðŽ, selain itu
juga dibahas sifat adjoint dan penerapannya untuk menghitung vektor eigen atas
aljabar supertropical [8]. Pada tahun yang sama, penelitian berlanjut pada
âSupertropical Matrix Algebra III: Powers of Matrices and Their Supertropical
Eigenvaluesâ yang membahas mengenai teori matriks atas aljabar supertropical,
polinomial karakteristik serta dekomposisi Jordan dan nilai eigen dari matriks atas
aljabar supertropical [9]. Masih pada tahun yang sama, Izhakian dkk
mengembangkan penelitian pada teori valuasi atas aljabar supertropical diantaranya
berjudul âSupertropical Semirings and Supervaluationsâ, âDominance and
Transmissions in Supertropical Valuation Theoryâ, Monoid Valuations and Value
Ordered Supervaluationsâ dan âA Glimpse on Supertropical Valuation Theoryâ.
Pada tahun 2012, Izhakian dkk dalam penelitian yang berjudul âDual
Spaces and Bilinear Forms in Supertropical Linear Algebraâ membahas tentang
ruang dual dan bentuk bilinear atas aljabar supertropical [10]. Pada tahun yang
sama, Adi Niv melakukan penelitian berjudul âFactorization of Supertropical
Matricesâ yang membahas mengenai faktorisasi matriks atas aljabar supertropical,
didapatkan bahwa tidak semua matriks non singular atas aljabar supertropical bisa
difaktorkan menjadi matriks-matriks elementer [11]. Pada tahun 2013, Izhakian
dkk melakukan penelitian yang berjudul âSupertropical Monoids : Basics and
Canonical Factorizationâ membahas mengenai monoid supertropical dan valuasi
yang digunakan dalam teori matriks dan geometri tropical [12]. Selanjutnya, pada
tahun 2014 Adi Niv dalam penelitian berjudul âCharacteristic Polynomial of
Supertropical Matricesâ membahas mengenai polinomial karakteristik serta nilai
eigen atas aljabar supertropical [13].
Pada tahun 2015, Izhakian dkk melakukan penelitian âSupertropical
Quadratic Forms Iâ yang menjelaskan mengenai bentuk kuadratik pada modul atas
semiring supertropical [14], kemudian penelitian tersebut berlanjut pada
âSupertropical Quadratic Forms IIâ [15]. Pada tahun yang sama, Adi Niv dalam
3
salah satu bagian disertasinya yang berjudul âOn Pseudo-Inverses of Matrices and
Their Characteristic Polynomials in Supertropical Algebraâ membahas mengenai
matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical, polinomial karakteristik dan nilai
eigen dari matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical [16], akan tetapi dalam
penelitian tersebut belum dibahas pengembangannya pada sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linear merupakan salah satu permasalahan penting dalam
matematika karena sebagian besar masalah matematika yang dijumpai dalam
aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem persamaan linear.
Dalam aljabar linear telah diketahui bahwa sistem persamaan linear terbagi
menjadi sistem persamaan linear homogen dan tak homogen. Suatu sistem
persamaan linear dalam keterkaitannya dengan solusi, mempunyai tiga
kemungkinan diantaranya mempunyai solusi tunggal, solusi banyak dan tidak
mempunyai solusi. Keberadaan solusi ini sangat tergantung dari sistem persamaan
linear itu sendiri. Sebagai pengembangan dari teori matriks aljabar supertropical
maka pada penelitian ini akan dilakukan pembahasan mengenai karakterisasi
penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen dan sistem persamaan linear
homogen atas aljabar supertropical.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, pokok permasalahan
yang dikaji dalam penelitian ini sebagai berikut.
1. Bagaimana karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen
atas aljabar supertropical ?
2. Bagaimana karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas
aljabar supertropical ?
1.3 Batasan Masalah
Agar permasalahan dalam penelitian ini dapat terfokus dan sesuai dengan
waktu yang direncanakan, maka perlu dilakukan pembatasan masalah. Batasan yang
diberikan dalam penelitian ini adalah matriks yang dibahas adalah matriks persegi.
4
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah
sebagai berikut.
1. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen
atas aljabar supertropical.
2. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen
atas aljabar supertropical.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti yang berminat mengembangkan
penelitian khususnya mengenai sistem persamaan linear atas aljabar
supertropical.
2. Sebagai pengembangan ilmu aljabar khususnya aljabar supertropical.
5
BAB II
KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI
Pada bab ini dijelaskan mengenai kajian pustaka dan landasan teori yang
berkaitan dengan penelitian. Kajian pustaka dan landasan teori tersebut meliputi
definisi yang menjadi dasar dalam pembahasan pada bab selanjutnya. Pada definisi-
definisi tersebut akan diberikan contoh untuk mempertegas maksud dari definisi
tersebut. Bagian pertama pada bab ini akan dibahas mengenai penelitian terdahulu,
selanjutnya akan dibahas mengenai semiring, aljabar max-plus, aljabar tropical,
aljabar supertropical, matriks atas semiring supertropical dan sistem persamaan
linear atas aljabar supertropical.
1.1 Penelitian Terdahulu
Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar (âðâ,â ) yang tidak
mempunyai elemen invers terhadap operasi â. Dengan kata lain jika ð â âð maka
tidak ada ð â âð sehingga ð â ð = ðâ ð = ð , kecuali jika ð = ð dengan ð adalah
elemen nol. Selanjutnya, Izhakian (2009) dalam jurnal Communications in Algebra
melakukan penelitian yang berjudul âTropical Arithmetic and Matrix Algebraâ,
penelitian tersebut secara khusus memperkenalkan struktur baru yang merupakan
perluasan dari aljabar max-plus yang disebut extended semiring tropical [3].
Selanjutnya, perluasan dari aljabar tropical secara umum dinamakan aljabar
supertropical. Aljabar supertropical merupakan teori yang relatif baru. Sampai saat
ini penelitian mengenai aljabar supertropical telah mengalami perkembangan.
Berikut beberapa penelitian mengenai aljabar supertropical diantaranya Izhakian
dan Rowen (2010) dalam Advances in Mathematics meneliti tentang âSupertropical
Algebraâ. Jurnal tersebut menjelaskan dasar-dasar teori atas aljabar supertropical
serta faktorisasi polinomial atas aljabar supertropical yaitu setiap polinomial atas
aljabar supertropical dapat difaktorkan baik dalam bentuk linier maupun kuadrat
[4].
6
Selanjutnya Izhakian dan Rowen (2011) dalam Israel Journal
Mathematics melakukan penelitian yang berjudul âSupertropical Matrix Algebra.
Jurnal tersebut membahas mengenai teori matriks atas aljabar supertropical yaitu
jika |ðŽ| dan |ðµ| keduanya tangible maka |ðŽ âðµ| = |ðŽ|â |ðµ|, selain itu |ðŽ|
adalah elemen ghost jika baris atau kolom dari ðŽ bergantung linier [7]. Masih pada
tahun 2011, Izhakian dan Rowen dalam âSupertropical Matrix Algebra IIâ, Israel
Journal Mathematics secara khusus membahas mengenai eksistensi adj ðŽ dari
matriks non singular sehingga didapatkan pseudo-invers kanan dan pseudo-invers
kiri yang tunggal sehubungan dengan matriks pseudo-identitas yang bersesuaian
dengan ðŽ. Selain itu juga dibahas sifat adjoint dan penerapannya untuk menghitung
vektor eigen atas aljabar supertropical [8]. Selanjutnya peneliti lain yaitu Adi Niv
(2015) dalam Journal Linear Algebra and Its Applications melakukan penelitian
yang berjudul âOn Pseudo-Inverses of Matrices and Their Characteristic
Polynomials in Supertropical Algebra. Jurnal tersebut membahas mengenai
matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical, selain itu juga membahas
polinomial karakteristik dan nilai eigen dari matriks pseudo-invers atas aljabar
supertropical [16].
1.2 Semiring
Definisi 2.1. [17]. Semiring (ð, +, Ã) adalah suatu himpunan tak kosong ð
disertai dengan dua operasi biner + yang mempunyai makna penjumlahan dan Ã
yang mempunyai makna perkalian yang memenuhi aksioma berikut :
1. (ð, +) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu â ð, ð, ð â ð
memenuhi :
ð + ð = ð + ð
(ð + ð) + ð = ð + (ð + ð)
ð + 0 = 0 + ð = ð
2. (ð, Ã) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu â ð, ð, ð â ð memenuhi:
(ð Ã ð) Ã ð = ð Ã (ð Ã ð)
ð Ã 1 = 1 Ã ð = ð
3. Sifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi Ã, yaitu â ð â ð memenuhi :
7
ð Ã 0 = 0 Ã ð = 0
4. Operasi distributif à terhadap +, yaitu â ð, ð, ð â ð berlaku :
(ð + ð) Ã ð = (ð Ã ð) + (ð Ã ð)
ð Ã (ð + ð) = (ð Ã ð) + (ð Ã ð) â¡
Definisi 2.2. [17]. Suatu semiring (ð, +, Ã) disebut semiring komutatif jika
terhadap operasi à bersifat komutatif, yaitu â ð, ð â ð maka ð à ð = ð à ð.
â¡
Definisi 2.3. [17]. Semiring idempoten adalah suatu semiring (ð, +, Ã) dimana
pada operasi penjumlahannya berlaku ð + ð = ð, â ð â ð.
â¡
Definisi 2.4. [17]. Suatu semiring (ð, +, Ã) dikatakan semifield jika setiap
elemen ð di ð â {0} mempunyai invers terhadap operasi Ã, yaitu untuk setiap ð
di ð â {0} terdapat ðâ1 sedemikian hingga ð Ã ðâ1 = ðâ1 Ã ð = 1.
â¡
Contoh 2.1. Diberikan himpunan âð = â ⪠{ð} dengan â adalah himpunan semua
bilangan real dan ð â ââ beserta operasi biner â dan â yang didefinisikan
sebagai berikut :
ð â ð = max {ð, ð} dan ð â ð = ð + ð, â ð, ð â âð.
Dapat ditunjukkan bahwa (âð , â, â) merupakan semiring idempoten sekaligus
semifield dengan elemen netral ð = ââ dan elemen satuan e = 0. Maka untuk
â ð, ð, ð â âð berlaku :
i. (âð , â) adalah semigrup komutatif
ð âš ð = ð âš ð
(ð âš ð) âš ð = ð âš (ð âš ð)
ð âš ð = ð âš ð = ð
ii. (âð , â) adalah semigrup komutatif
ð â ð = ðâ ð
(ð â ð)â ð = ð â (ð â ð)
ð â ð = ð â ð = ð
8
iii. Elemen netral ð merupakan elemen penyerap terhadap operasi perkalian
ð â ð = ð â ð = ð
iv. Distributif operasi perkalian terhadap penjumlahan
(ð âš ð) â ð = (ð â ð) âš (ð â ð)
ð â (ð âš ð) = (ð â ð) âš (ð â ð)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (âð , â, â) merupakan semiring
komutatif dan idempoten. Untuk setiap ð, ð â âð maka berlaku ð â ð = ðâ ð
dan ð âš ð = max {ð, ð} = ð. Selain itu aljabar (âð , â, â) juga merupakan
semifield, sebab untuk setiap ð â â terdapat â ð sehingga ð â (âð) = ð +
(âð) = 0.
â
Selanjutnya, untuk lebih ringkasnya maka penulisan semiring (ð, +, Ã) dituliskan
sebagai ð.
Definisi 2.5. Diberikan semiring ð dan ð. Pemetaan ð ⶠð â ð dikatakan
homomorfisma jika â ð, ð â ð berlaku :
ð(ð + ð) = ð(ð) + ð(ð)
ð(ð Ã ð) = ð(ð) Ã ð(ð)
Perlu diperhatikan bahwa operasi biner + pada ð + ð pada umumnya tidak sama
pada ð(ð) + ð(ð) begitu juga operasi biner à pada ð à ð pada umumnya tidak
sama pada ð(ð) Ã ð(ð). Homomorfisma ð dinamakan idempoten bila ð2 = ð.
â¡
1.3 Aljabar Max-Plus
Pada bagian ini akan dibahas beberapa definisi dasar dari aljabar max-plus.
Definisi 2.6. [18]. Aljabar max-plus adalah suatu himpunan tidak kosong âð =
â ⪠{ð} dengan â adalah himpunan semua bilangan real dan ð â ââ disertai dua
operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut :
ð â ð â max {ð, ð} dan ð â ð â ð + ð, â ð, ð â âð
â¡
9
Selanjutnya, aljabar max-plus (âð , âš, â) cukup dituliskan dengan âmax .
Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku dalam aljabar max-plus. Untuk â ð, ð, ð â
âmax berlaku :
1. Assosiatif
(ð âš ð) âš ð = ð âš (ð âš ð)
(ð â ð)â ð = ð â (ð â ð)
2. Komutatif
ð âš ð = ð âš ð dan ð â ð = ð â ð
3. Distributif â terhadap âš
ð â (ð âš ð) = (ð â ð) âš (ð â ð)
4. Eksistensi elemen nol, yaitu ð
ð âš ð = ð âš ð = ð
5. Eksistensi elemen satuan, yaitu ð
ð â ð = ð â ð = ð
6. Idempoten terhadap âš
ð âš ð = ð
7. Sifat penyerapan elemen nol ð terhadap operasi â
ð â ð = ð â ð = ð.
Aljabar max-plus âmax merupakan semiring komutatif dan idempotent, sebab
untuk setiap ð, ð â âð maka berlaku ð â ð = ð â ð dan ð âš ð = max {ð, ð} =
ð. Selain itu aljabar max-plus âmax juga merupakan semifield, sebab untuk setiap
ð â â terdapat â ð sehingga ð â (âð) = ð + (âð) = 0.
Untuk bilangan bulat tak negatif ð, pangkat dari ð¥ â âmax dalam aljabar max-plus
dinyatakan sebagai berikut :
ð¥âð = {ð , untuk ð = 0ð¥ â ð¥ ââŠâ ð¥â
ð
, untuk ð > 0
sehingga dapat dituliskan
ð¥âð = ð¥ â ð¥ââŠâ ð¥â ð
= ð à ð¥
10
Contoh 2.2. Berikut ini diberikan contoh operasi âš dan â dalam aljabar max-plus.
Misal diambil ð = 9, ð = 8, ð = 1
3 dengan ð, ð, ð â âmax , maka
1. ð â ð = 9â 8 = max {9,8} = 9.
2. ð â ð = 9â 8 = 9 + 8 = 17.
3. ðâð = 9â8 = 8 Ã 9 = 72.
4. ðâð = 9â1
3 =1
3Ã 9 = 3. â
1.3.1 Matriks atas Aljabar Max-Plus
Himpunan semua matriks berukuran ð Ã ð atas aljabar max-plus
dinotasikan sebagai âmaxðÃð yaitu suatu matriks berukuran ð à ð dengan entri-entri
matriks merupakan anggota âmax . Untuk ð, ð â â dengan ð â 0 dan ð â 0.
Operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks âmaxðÃð merupakan perluasan
operasi biner â dan â pada âmax .
1.3.2 Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks ðŽ, ðµ â âmaxðÃð dinotasikan sebagai ðŽ â ðµ didefinisikan oleh :
[ðŽ â ðµ]ð,ð = [ðð,ðâðð,ð]
= max {ðð,ð, ðð,ð}
untuk ð â ð dan ð â ð, dengan ð = {1, 2,⊠,ð} dan ð = {1, 2, ⊠, ð}.
Contoh 2.3.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 58 3 84 7 2
] dan ðµ = [5 2 76 1 32 4 1
] dimana ðŽ,ðµ â âmaxðÃð
maka
[ðŽ â ðµ]1,1 = 1â 5 = 5
[ðŽ â ðµ]1,2 = 2â 2 = 2
[ðŽ â ðµ]1,3 = 5â 7 = 7
[ðŽ âðµ]2,1 = 8â 6 = 8
[ðŽ âðµ]2,2 = 3â 1 = 3
11
[ðŽ âðµ]2,3 = 8â 3 = 8
[ðŽ âðµ]3,1 = 4â 2 = 4
[ðŽ âðµ]3,2 = 7â 4 = 7
[ðŽ âðµ]3,3 = 2â 1 = 2
dengan menggunakan notasi matriks didapat
ðŽâ ðµ = [5 2 78 3 84 7 2
]
â
1.3.3 Perkalian Matriks
Untuk sebarang matriks ðŽ â âmaxðÃð dan skalar ð â âmax maka perkalian ð âðŽ
didefinisikan sebagai
[ð â ðŽ]ð,ð = ðâ ðð,ð
untuk ð â ð dan ð â ð, dengan ð = {1, 2,⊠,ð} dan ð = {1, 2, ⊠, ð}.
Untuk sebarang matriks ðŽ â âmaxðÃð dan ðµ â âmax
ðÃð perkalian matriks ðŽâ ðµ
didefinisikan sebagai :
[ðŽâ ðµ]ð,ð =âšðð,ðâðð,ð
ð
ð=1
untuk ð â ð dan ð â ð, dengan ð = {1, 2,⊠,ð} dan ð = {1, 2, ⊠, ð}.
Contoh 2.4.
Diberikan matriks ðŽ = [5 3 78 4 35 8 9
] dan skalar ð = 5 dimana â âmaxðÃð , ð â âmax
maka
ð â ð1,1 = 5 â 5 = 10
ð â ð1,2 = 5â 3 = 8
ð â ð1,3 = 5 â 7 = 12
ð â ð2,1 = 5 â 8 = 13
ð â ð2,2 = 5 â 4 = 9
12
ð â ð2,3 = 5 â 3 = 8
ð â ð3,1 = 5 â 5 = 10
ð â ð3,2 = 5 â 8 = 13
ð â ð3,3 = 5 â 9 = 14
dengan menggunakan notasi matriks didapat
ð âðŽ = [10 8 1213 9 810 13 14
]
â
1.3.4 Perpangkatan Matriks
Untuk sebarang matriks persegi ðŽ â âmaxðÃð dan ð bilangan bulat positif, pangkat ke-
ð dari ðŽ dinotasikan sebagai :
ðŽâð = ðŽâ ðŽâðŽââŠâðŽ â ð
untuk ð â â dengan ð â 0 dan ðŽâ0 = ðŒð.
Contoh 2.5.
Diberikan matriks ðŽ = [1 9 57 4 25 8 9
] dimana ðŽ â âmaxðÃð
maka
ðŽâ2 = ðŽâ ðŽ = [1 9 57 4 25 8 9
] â [1 9 57 4 25 8 9
]
[ðŽ â ðŽ]1,1 = (1â 1)â (9â 7)â (5â 5) = 2â 16â 10 = 16
[ðŽ â ðŽ]1,2 = (1â 9)â (9â 4)â (5â 8) = 10â 13â 13 = 13
[ðŽ â ðŽ]1,3 = (1â 5)â (9â 2)â (5â 9) = 6â 11â 14 = 14
[ðŽ â ðŽ]2,1 = (7â 1)â (4â 7)â (2â 5) = 8â 11â 7 = 11
[ðŽ â ðŽ]2,2 = (7â 9)â (4â 4)â (2â 8) = 16â 8â10 = 16
[ðŽ â ðŽ]2,3 = (7â 5)â (4â 2)â (2â 9) = 12â 6â11 = 12
[ðŽ â ðŽ]3,1 = (5â 1)â (8â 7)â (9â 5) = 6â 15â 14 = 15
[ðŽ â ðŽ]3,2 = (5â 9)â (8â 4)â (9â 8) = 14â 12â 17 = 17
[ðŽ â ðŽ]3,3 = (5â 5)â (8â 2)â (9â 9) = 10â 10â 18 = 18
dengan menggunakan notasi matriks didapat
13
ðŽâ2 = [16 13 1411 16 1215 17 18
]
â
1.3.5 Transpose Matriks
Transpose dari matriks ðŽ â âmaxðÃð dinotasikan dengan ðŽð, didefinisikan sebagai
[ðŽð]ð,ð = [ðð,ð]
untuk ð â ð dan ð â ð, dengan ð = {1, 2,⊠,ð} dan ð = {1, 2, ⊠, ð}.
Contoh 2.6.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 82 4 25 6 1
] dimana ðŽ â âmaxðÃð
maka transpose dari matriks ðŽ :
ðŽð = [1 2 52 4 68 2 1
].
â
1.3.6 Matriks Identitas
Matriks identitas ðŒ merupakan matriks persegi ð à ð yang didefinisikan sebagai
berikut :
[ðŒ]ð,ð = {ð, untuk ð = ðð , lainnya
untuk ð â ð dan ð â ð , dengan ð = {1, 2,⊠, ð}.
1.4 Aljabar Tropical
Definisi 2.7. [2]. Aljabar tropical adalah suatu semiring idempotent sekaligus
semifield. â¡
Contoh 2.3. Diberikan aljabar max-plus âmax = (âð, â, â) dimana âð = â âª
{ð} dengan â adalah himpunan semua bilangan real dan ð â ââ beserta operasi
biner â dan â yang didefinisikan sebagai berikut :
ð â ð = max {ð, ð}
ð â ð = ð + ð, â ð, ð â âð.
14
Berdasarkan Definisi 2.6 aljabar max-plus âmax merupakan semiring idempoten
sekaligus semifield. Dengan demikian aljabar max-plus âmax adalah aljabar
tropical.
1.5 Perluasan Aljabar Tropical
Berikut ini akan dijelaskan perluasan dari aljabar tropical dengan mengambil kasus
khusus dari aljabar tropical yaitu aljabar maxplus.
Aljabar max-plus âmax merupakan struktur aljabar yang tidak mempunyai elemen
invers terhadap operasi â. Dengan kata lain jika ð â âð maka tidak ada ð â âð
sehingga âð = ðâ ð = ð , kecuali jika ð = ð dengan ð adalah elemen nol.
Teorema 2.1. [17]. Diberikan semiring âmax = (âð, â, â). Idempoten dari â
berakibat bahwa elemen invers terhadap operasi â tidak ada.
Bukti : Misalkan bahwa ð â ð mempunyai suatu invers terhadap â yaitu ð,
didapat
ð â ð = ð
tambahkan ð pada kedua ruas persamaan, didapat
ð â (ð â ð) = ð â ð
(ð â ð)â ð = ð â ð
dengan sifat idempoten, persamaan menjadi
ð â ð = ð
hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa ð â ð = ð dan ð â ð. â
Selanjutnya, aljabar max-plus dikembangkan menjadi struktur semiring yang lebih
luas yang disebut extended semiring tropical dengan memunculkan elemen baru
yaitu elemen ghost.
Definisi 2.8. [4]. Extended semiring tropical dinotasikan sebagai (ð, â,
â) dengan ð = â ⪠{ââ} ⪠âð£, dimana â adalah himpunan semua bilangan real
dan âð£ = {ðð£: ð â â}. Elemen netral pada ð adalah ð â ââ dan elemen satuan
ð â 0. â¡
15
Dalam hal ini âââð£ = âð£ ⪠{ââ} merupakan ideal dari ð disebut ideal ghost.
Sedangkan pemetaan ð£ ⶠð â âââð£ disebut pemetaan ghost. Untuk setiap ð¥ â âââð£
maka ð£(ð¥) = ð¥ merupakan pemetaan identitas dan untuk setiap ð â â maka
ð£(ð) = ðð£.
Definisi 2.9. [3]. Diberikan Extended semiring tropical ð. Didefinisikan relasi
urutan parsial ⺠pada ð sebagai berikut :
Untuk â ð, ð â â , â ðð£ , ðð£ â âð£ dan â ð¥, ðŠ â ð berlaku :
1. ââ ⺠ð¥,â ð¥ â ð \ {ââ}.
2. Untuk setiap bilangan real ð ⺠ð maka ð ⺠ð, ð ⺠ðð£ , ðð£ ⺠ð, dan ðð£ ⺠ðð£ .
3. ð ⺠ðð£ untuk setiap ð â â. â¡
Aksioma 2.1. [3]. Diberikan Extended semiring tropical ð. Notasi ððð¥âº adalah
maksimum pada urutan âº. Operasi biner â dan â pada ð memenuhi aksioma
sebagai berikut.
Untuk â ð, ð â â , â ðð£ , ðð£ â âð£ dan â ð¥, ðŠ â ð maka
1. âââ ð¥ = ð¥ âââ = ð¥ untuk setiap ð¥ â ð.
2. ð¥ â ðŠ = max ⺠{ð¥, ðŠ} kecuali ð¥ = ðŠ.
3. ð â ð = ðð£ âðð£ = ðâ ðð£ = ðð£âð = ðð£.
4. âââ ð¥ = ð¥ âââ = ââ untuk setiap ð¥ â ð.
5. ð â ð = ð + ð untuk semua ð, ð â â.
6. ðð£âð = ð â ðð£ = ðð£âðð£ = (ð + ð)ð£. â¡
Contoh 2.7. Berikut ini diberikan contoh operasi biner âš dan â yang berlaku
dalam extended semiring tropical ð.
1. âââ 5 = 5âââ = 5
2. 2â 5 = max ⺠{2,5} = 5
3. 2â 2 = 2ð£â2ð£ = 2â 2ð£ = 2ð£â2 = 2ð£
4. âââ 5 = 5âââ = ââ
5. 8â 6 = 8+ 6 = 14
6. 5ð£â4 = 5â 4ð£ = 5ð£â4ð£ = (5 + 4)ð£ = 9ð£ â
1.6 Aljabar Supertropical
16
Perluasan dari aljabar tropical secara umum dinamakan aljabar
supertropical. Struktur dari semiring supertropical merupakan perumuman dari ð.
Diberikan semiring ð â ð¯ ⪠{ââ} ⪠ð¢ dan suatu ideal ð¢0 â ð¢ ⪠{ââ} disebut
ideal ghost yang merupakan ideal dari semiring ð . Pemetaan ð£ ⶠð â ð¢0 disebut
pemetaan ghost, pemetaan ð£ merupakan pemetaan homomorfisma idempoten yang
memenuhi ð£(ð¥) = ð¥ â ð¥, â ð¥ â ð dan ð£2(ð¥) = ð£(ð¥).
Dalam hal ini ð¯ = ð â ð¢0 adalah himpunan yang anggotanya elemen tangible.
Sedangkan ð¢ adalah himpunan yang anggotanya merupakan elemen ghost.
1.6.1 Semiring dengan Ghost
Definisi 2.10. [19]. Semiring dengan ghost (ð , ð¢0, ð£) adalah semiring ð (dengan
elemen netral 0ð dan elemen satuan 1ð ), ð¢0 = ð¢ ⪠0ð disebut ideal ghost,
sedangkan ð£ ⶠð â ð¢0 disebut pemetaan ghost yang memenuhi :
ð£(ð¥) = ð¥ â ð¥, â ð¥ â ð â¡
Untuk â ð¥ â ð¢0, pemetaan ghost merupakan pemetaan identitas yang memenuhi
ð£(ð¥) = ð¥ , â ð¥ â ð¢0
Pemetaan ghost merupakan pemetaan homomorfisma idempoten yang memenuhi
ð£2(ð¥) = ð£(ð¥), â ð¥ â ð
1.6.2 Semiring Supertropical
Definisi 2.11. [19]. Semiring supertropical merupakan semiring dengan ghost
(ð , ð¢0, ð£) yang memenuhi beberapa sifat tambahan yaitu â ð, ð â ð berlaku :
jika ðð£ = ðð£ maka ð â ð = ðð£
dan
jika ð â ð maka ð â ð â {ð, ð} â¡
Contoh 2.8 Diberikan Extended semiring tropical dinotasikan (ð, â, â ) dengan
ð = â ⪠{ââ} ⪠âð£ , dimana â adalah himpunan semua bilangan real dan âð£ =
{ðð£: ð â â}. Elemen netral pada ð adalah ð â ââ dan elemen satuan ð â 0.
Dalam hal ini âââð£ = âð£ ⪠{ââ} merupakan ideal dari ð disebut ideal ghost.
17
Sedangkan ð£ ⶠð â âââð£ disebut pemetaan ghost, untuk setiap ð¥ â âââð£ maka
ð£(ð¥) = ð¥ merupakan pemetaan identitas dan untuk setiap ð â â maka ð£(ð) = ðð£.
Dalam hal ini himpunan â diidentifikasi sebagai ð¯ yaitu himpunan yang
anggotanya merupakan elemen tangible, âð£ diidentifikasi sebagai ð¢ yaitu
himpunan yang anggotanya merupakan elemen ghost dan extended semiring
tropical ð diidentifikasi sebagai ð . Dengan demikian extended semiring tropical ð
adalah kasus khusus dari semiring supertropical ð . â
Kasus khusus dari semiring supertropical yang akan digunakan untuk pembahasan
pada Bab IV adalah extended semiring tropical ð yang akan dituliskan sebagai ð .
1.6.3 Relasi Ghost Surpass
Pada semiring supertropical ð , untuk setiap ð â ð maka ð â ð = ââ
hanya berlaku untuk ð = ââ sedangkan untuk setiap ð â ð¯ maka ð â ð = ðð£ dan
untuk setiap ð â ð¢ maka ð â ð = ð. Selanjutnya akan diperkenalkan suatu relasi
ghost surpass pada ð berikut ini.
Definisi 2.12. [8]. Diberikan semiring supertropical ð . Relasi âš merupakan relasi
ghost surpass pada ð yang didefinisikan sebagai berikut :
ð âš ð jika ð = ð â ð untuk beberapa ð â ð¢0 â¡
Berikut diberikan beberapa sifat relasi ghost surpass pada ð .
Untuk setiap ð, ð, ð â ð berlaku :
1. Sifat antisimetri
jika ð âš ð dan ð âš ð, maka ð = ð.
2. Sifat transitif
jika ð âš ð dan ð âš ð, maka ð â ð âš ð âð dan ð â ð âš ð â ð
3. Sifat tidak simetri
untuk setiap ð â ð¯, ðð£ âš ð akan tetapi ð â ðð£.
Contoh 2.9. Berikut ini diberikan contoh sifat relasi ghost surpass pada ð .
18
Untuk setiap ð, ð, ð â ð berlaku :
1. Untuk ð = ð = 8 maka ð âš ð dan ð âš ð berlaku sifat antisimetri.
2. Untuk 6ð£ âš 5ð£ dan 9 âš 9 berlaku sifat transitif karena
6ð£â9 âš 5ð£â9⺠9 âš 9 dan 6ð£â9 âš 5ð£â9⺠15ð£ âš 14ð£.
3. Untuk 4 â ð¯ maka 4ð£ âš 4 akan tetapi 4 â 4ð£ berlaku sifat tidak simetri. â
Selanjutnya, pada himpunan ð akan digunakan relasi ghost surpass âš sebagai
pengganti dari relasi " =â.
1.7 Matriks atas Semiring Supertropical
Matriks persegi atas semiring supertropical dinotasikan sebagai ðð(ð )
yaitu suatu matriks berukuran ð Ã ð dengan entri-entri matriks merupakan anggota
ð . Operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks ðð(ð ) merupakan perluasan
operasi biner â dan â pada ð . Selanjutnya, relasi ghost surpass pada ð juga dapat
diperluas pada matriks ðð(ð ). Jika ðŽ âš ðµ maka ðð,ð âš ðð,ð untuk setiap ð dan ð.
1.7.1 Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks ðŽ, ðµ â ððÃð(ð ) dinotasikan sebagai ðŽâ ðµ
didefinisikan oleh :
[ðŽ â ðµ]ð,ð = [ðð,ðâðð,ð]
untuk ð â ð dan ð â ð.
Contoh 2.10.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 57 4 25 8 9
] dan ðµ = [5 3 68 2 36 4 1
] dimana ðŽ,ðµ â ðð(ð )
maka
[ðŽ â ðµ]1,1 = 1â 5 = 5
[ðŽ â ðµ]1,2 = 2â 3 = 3
[ðŽ â ðµ]1,3 = 5â 6 = 6
[ðŽ âðµ]2,1 = 7â 8 = 8
[ðŽ âðµ]2,2 = 4â 2 = 4
19
[ðŽ âðµ]2,3 = 2â 3 = 3
[ðŽ âðµ]3,1 = 5â 6 = 6
[ðŽ âðµ]3,2 = 8â 4 = 8
[ðŽ âðµ]3,3 = 9â 1 = 9
dengan menggunakan notasi matriks didapat
ðŽâ ðµ = [5 3 68 4 36 8 9
]
â
1.7.2 Perkalian Matriks
Untuk sebarang matriks ðŽ â ððÃð(ð ) dan skalar ð â ð maka perkalian ð â ðŽ
didefinisikan sebagai :
[ð â ðŽ]ð,ð = ðâ ðð,ð
untuk ð â ð dan ð â ð.
Untuk sebarang matriks ðŽ â ððÃð(ð ) dan ðµ â ððÃð(ð ) perkalian matriks ðŽâ ðµ
didefinisikan sebagai :
[ðŽâ ðµ]ð,ð =âšðð,ðâðð,ð
ð
ð=1
untuk ð â ð dan ð â ð.
Contoh 2.11.
Diberikan matriks ðŽ = [5 3 78 4 35 8 9
] dan skalar ð = 2 dimana ðŽ â ðð(ð ) , ð â ð
maka
ð â ð1,1 = 2â 5 = 7
ð â ð1,2 = 2â 3 = 5
ð â ð1,3 = 2â 7 = 9
ð â ð2,1 = 2 â 8 = 10
ð â ð2,2 = 2 â 4 = 6
ð â ð2,3 = 2 â 3 = 5
ð â ð3,1 = 2 â 5 = 7
20
ð â ð3,2 = 2 â 8 = 10
ð â ð3,3 = 2 â 9 = 11
dengan menggunakan notasi matriks didapat
ð âðŽ = [7 5 910 6 57 10 11
]
â
Contoh 2.12.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 57 4 25 8 9
] dan ðµ = [3 2 57 4 25 8 9
] dimana ðŽ, ðµ â ðð(ð )
maka
[ðŽâ ðµ]1,1 = (1â 3)â (2â 7)â (5â 5) = 4â 9â 10 = 10
[ðŽâ ðµ]1,2 = (1â 2)â (2â 4)â (5â 8) = 3â 6â 13 = 13
[ðŽâ ðµ]1,3 = (1â 5)â (2â 2)â (5â 9) = 6â 4â 14 = 14
[ðŽ â ðµ]2,1 = (7â 3)â (4â 7)â (2â 5) = 10â 11â 7 = 11
[ðŽ â ðµ]2,2 = (7â 2)â (4â 4)â (2â 8) = 9â 8â 10 = 10
[ðŽ â ðµ]2,3 = (7â 5)â (4â 2)â (2â 9) = 12â 6â 11 = 12
[ðŽ â ðµ]3,1 = (5â 3)â (8â 7)â (9â 5) = 8â 15â 14 = 15
[ðŽ â ðµ]3,2 = (5â 2)â (8â 4)â (9â 8) = 7â 12â 17 = 17
[ðŽ â ðµ]3,3 = (5â 5)â (8â 2)â (9â 9) = 10â 10â 18 = 18
dengan menggunakan notasi matriks didapat
ðŽâ ðµ = [10 13 1411 10 1215 17 18
]
â
1.7.3 Perpangkatan Matriks
Untuk sebarang matriks persegi ðŽ â ðð(ð ) dan ð bilangan bulat positif, pangkat
ke-ð dari ðŽ dinotasikan sebagai :
ðŽâð = ðŽâ ðŽâðŽââŠâðŽ â ð
untuk ð â â dengan ð â 0 dan ðŽâ0 = ðŒð.
21
Contoh 2.13.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 57 4 25 8 9
] dimana ðŽ â ðð(ð )
maka
ðŽâ2 = ðŽâ ðŽ = [1 2 57 4 25 8 9
] â [1 2 57 4 25 8 9
]
[ðŽâ ðŽ]1,1 = (1â 1)â (2â 7)â (5â 5) = 2â 9â 10 = 10
[ðŽâ ðŽ]1,2 = (1â 2)â (2â 4)â (5â 8) = 3â 6â 13 = 13
[ðŽâ ðŽ]1,3 = (1â 5)â (2â 2)â (5â 9) = 6â 4â 14 = 14
[ðŽ â ðŽ]2,1 = (7â 1)â (4â 7)â (2â 5) = 8â 11â 7 = 11
[ðŽ â ðŽ]2,2 = (7â 2)â (4â 4)â (2â 8) = 9â 8â 10 = 10
[ðŽ â ðŽ]2,3 = (7â 5)â (4â 2)â (2â 9) = 12â 6â 11 = 12
[ðŽ â ðŽ]3,1 = (5â 1)â (8â 7)â (9â 5) = 6â 15â 14 = 15
[ðŽ â ðŽ]3,2 = (5â 2)â (8â 4)â (9â 8) = 7â 12â 17 = 17
[ðŽ â ðŽ]3,3 = (5â 5)â (8â 2)â (9â 9) = 10â 10â 18 = 18
dengan menggunakan notasi matriks didapat
ðŽâ2 = [10 13 1411 10 1215 17 18
]
â
1.7.4 Transpose Matriks
Transpose dari matriks ðŽ â ðð(ð ) dinotasikan dengan ðŽð, didefinisikan
sebagai [ðŽð]ð,ð = [ðð,ð] untuk ð â ð dan ð â ð.
Contoh 2.14.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 3ð£
2 4 25 6 1
] dimana ðŽ â ðð(ð )
maka transpose dari matriks ðŽ :
ðŽð = [1 2 52 4 63ð£ 2 1
].
â
22
1.7.5 Determinan
Definisi 2.13. [8]. Determinan supertropical dari matriks ðŽ â ðð(ð ) didefinisikan
sebagai :
|ðŽ| =âšð1,ð(1)âð2,ð(2)ââŠâ ðð,ð(ð)ðâðð
dimana ð â ðð dengan ðð adalah himpunan semua permutasi {1,2, ⊠, ð}. Dalam hal
ini determinan supertropical disebut juga dengan permanen. â¡
Contoh 2.15.
Diberikan matriks ðŽ = [1 2 3ð£
2 4 25 6 1
] dimana ðŽ â ðð(ð ).
Banyaknya permutasi dari {1, 2, 3} adalah 3! = 6
permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
maka
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 4â 1)â (1â 2â 6)â (2â 2â 1)â (2â 2â5)â
(3ð£â2â 6)â (3ð£â4â 5)
|ðŽ| = 6â 9â 5â 9â 11ð£â12ð£ = 12ð£. â
1.7.6 Minor dan Adjoint
Definisi 2.14. Diberikan matriks ðŽ â ðð(ð ), minor entri ðð,ð dinyatakan dengan
ðð,ð dan didefinisikan sebagai determinan dari matriks setelah baris ke-ð dan kolom
ke-ð dihilangkan dari ðŽ. Sedangkan kofaktor dari ðð,ð dituliskan sebagai ðððð,ð =
ðð,ð. Matriks kofaktor dari ðŽ ditulis sebagai Cof(ðŽ) = [cof11 ⯠cof1ðâ® â± â®
cofð1 ⯠cofðð
].
Sedangkan adjoin ðŽ dinyatakan sebagai adj(ðŽ) = (Cof(ðŽ))ð â¡
23
Determinan dari ðŽ dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris
keâð atau sepanjang kolom keâð sebagai berikut :
1. Ekspansi baris keâð
|ðŽ| =âšðððâ cofð,ð(ðŽ)
ð
ð=1
2. Ekspansi kolom keâð
|ðŽ| =âšððð â cofð,ð(ðŽ)
ð
ð=1
Contoh 2.16.
Diberikan matriks ðŽ = [2 3 14 1 32 5 1
] dimana ðŽ â ðð(ð )
Cof(ðŽ) = [8 5ð£ 96 3ð£ 76 5ð£ 7
]
determinan ðŽ dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
|ðŽ| =âšððð â cofð,ð(ðŽ)
ð
ð=1
|ðŽ| = ð11â cof11â ð12â cof12â ð13â cof13
|ðŽ| = (2â 8)â (3â 5ð£) â (1â 9)
|ðŽ| = 10â 8ð£â10 = 10ð£.
determinan ðŽ dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua
|ðŽ| =âšðððâ cofð,ð(ðŽ)
ð
ð=1
|ðŽ| = ð12â cof12â ð22â cof22â ð32â cof32
|ðŽ| = (3â 5ð£) â (1â 5ð£) â (5â 5ð£)
|ðŽ| = 8ð£â6ð£â10ð£ = 10ð£. â
1.7.7 Matriks Non Singular dan Singular
Definisi 2.15. [19]. Suatu matriks persegi ðŽ â ðð(ð ) atas aljabar supertropical
disebut non singular jika |ðŽ| â ð¯ dan singular jika |ðŽ| â ð¢0. â¡
24
Contoh 2.17.
Diberikan matriks ðŽ = [1 5 21 1 23 1 3
] dimana ðŽ â ðð(ð )
permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
maka
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 1â 3)â (1â 2â 1)â (5â 1â 3)â (5â 2â3)â
(2 â 1â 1)â (2â 1â 3)
|ðŽ| = 5â 4â 9â 10â 4â 6 = 10 â ð¯.
Karena |ðŽ| â ð¯ sehingga matriks ðŽ non singular. â
Contoh 2.18.
Diberikan matriks ðŽ = [1 5 21 1 20 2 1
] dimana ðŽ â ðð(ð
permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
Maka
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 1â 1)â (1â 2â 2)â (5â 1â 1)â (5â 2â0)â
(2 â 2)â (2â 1â 0)
|ðŽ| = 3â 5â 7â 7â 5â 3 = 7ð£ â ð¢0.
Karena |ðŽ| â ð¢0 sehingga matriks ðŽ singular. â
1.7.8 Matriks Pseudo-Zero
Definisi 2.16. [16]. Matriks pseudo-zero ððº atas aljabar supertropical merupakan
matriks persegi ð Ã ð yang didefinisikan sebagai berikut :
25
[ððº]ð,ð = {ð , untuk ð = ð
ð atau ðð£ â ð¢0 , lainnya
untuk ð â ð dan ð â ð, dengan ð â {1, 2,⊠, ð}. â¡
1.7.9 Matriks Identitas
Definisi 2.17. [16]. Matriks identitas ðŒ merupakan matriks persegi ð à ð yang
didefinisikan sebagai berikut :
[ðŒ]ð,ð = {ð, untuk ð = ðð, lainnya
untuk ð â ð dan ð â ð, dengan ð â {1, 2,⊠, ð}. â¡
Definisi 2.18. [16]. Matriks pseudo-identitas ðŒð¢ atas aljabar supertropical
merupakan matriks persegi ð Ã ð yang didefinisikan sebagai berikut :
[ðŒð¢]ð,ð ={ð , untuk ð = ð
ð atau ðð£ â ð¢0 , lainnya
untuk ð â ð dan ð â ð. Dalam hal ini ðŒð¢ sama dengan ðŒ â ððº. â¡
Definisi 2.19. [16]. Matriks pseudo-identitas ghost ðŒï¿œÌ ï¿œ atas aljabar supertropical
merupakan matriks persegi ð Ã ð yang didefinisikan sebagai berikut
[ ï¿œÌ ï¿œð¢ ]ð,ð ={ðð£ , untuk ð = ð
ð atau ðð£ â ð¢0 , lainnya
untuk ð â ð dan ð â ð. Dalam hal ini ðŒï¿œÌ ï¿œ sama dengan ðŒð£âððº. â¡
1.7.10 Pseudo-Invers Matriks
Definisi 2.20. [16]. Diberikan matriks ðŽ â ðð(ð ), pseudo-invers ðŽâ dari ðŽ atas
aljabar supertropical didefinisikan sebagai :
ðŽâ =1ð
|ðŽ|â adj(A)
jika |ðŽ| â ð¯
ðŽâ = (1ð
|ðŽ|)ð£
â adj(A)
jika |ðŽ| â ð¢0 dengan |ðŽ| â ð. â¡
26
Contoh 2.19.
Diberikan matriks ðŽ = [1 5 21 1 23 1 3
] dimana ðŽ â ðð(ð )
permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
maka
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 1â 3)â (1â 2â 1)â (5â 1â 3)â (5â 2â3)â
(2 â 1â 1)â (2â 1â 3)
|ðŽ| = 5â 4â 9â 10â 4â 6 = 10.
karena |ðŽ| = 10 â ð¯ matriks ðŽ non singular.
Cof(ðŽ) = [4 5 48 5 87 3ð£ 6
]
adj(ðŽ) = [4 8 75 5 3ð£
4 8 6]
maka pseudo-invers dari ðŽ
ðŽâ =1ð
|ðŽ|â adj(A)
ðŽâ =1ð 10â [
4 8 75 5 3ð£
4 8 6]
ðŽâ = â10â [4 8 75 5 3ð£
4 8 6]
ðŽâ = [â6 â2 â3â5 â5 â7ð£
â6 â2 â4]
dan
ðŽâ ðŽâ = [1 5 21 1 23 1 3
]â [â6 â2 â3â5 â5 â7ð£
â6 â2 â4] = [
0 0ð£ â2ð£
â4ð£ 0 â2ð£
â3ð£ 1ð£ 0
] = ðŒð¢
Berdasarkan Contoh 2.19 didapatkan perkalian ðŽ â ðŽâ = ðŒð¢ menghasilkan
pseudo-identitas. â
27
Contoh 2.20.
Diberikan matriks ðŽ = [1 5 21 1 20 2 1
] dimana ðŽ â ðð(ð
grup permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
maka
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 1â 1)â (1â 2â 2)â (5â 1â 1)â (5â 2â0)â
(2 â 1â 2)â (2â 1â 0)
|ðŽ| = 3â 5â 7â 7â 5â 3 = 7ð£.
karena |ðŽ| = 7ð£ â ð¢0 matriks ðŽ singular.
Cof(ðŽ) = [4 2ð£ 36 2ð£ 57 3ð£ 6
]
adj(ðŽ) = [4 6 72ð£ 2ð£ 3ð£
3 5 6]
maka pseudo-invers dari ðŽ
ðŽâ = (1ð
|ðŽ|)ð£
â adj(A)
ðŽâ = (1ð
7)ð£
â [4 6 72ð£ 2ð£ 3ð£
3 5 6]
ðŽâ = (â7)ð£â [4 6 72ð£ 2ð£ 3ð£
3 5 6]
ðŽâ = [â3ð£ â1ð£ 0ð£
â5ð£ â5ð£ â4ð£
â4ð£ â2ð£ â1ð£]
dan
ðŽ âðŽâ = [1 5 21 1 20 2 1
] â [â3ð£ â1ð£ 0ð£
â5ð£ â5ð£ â4ð£
â4ð£ â2ð£ â1ð£] = [
0ð£ 0ð£ 1ð£
â2ð£ 0ð£ 1ð£
â3ð£ â1ð£ 0ð£] = ðŒï¿œÌ ï¿œ
Berdasarkan Contoh 2.20 didapatkan perkalian ðŽ â ðŽâ = ï¿œÌ ï¿œð¢ menghasilkan
pseudo-identitas ghost. â
28
1.7.11 Matriks Invertibel
Definisi 2.21. [16]. Suatu matriks ðŽ â ðð(ð ) invertibel jika terdapat matriks ðµ â
ðð(ð ) sedemikian hingga berlaku ðŽâ ðµ = ðµâ ðŽ = ðŒ. â¡
Definisi 2.22. [7]. Suatu matriks persegi ðŽ â ðð(ð ) pseudo-invertibel atas aljabar
supertropical jika terdapat matriks persegi ðµ â ðð(ð ) sedemikian hingga ðŽâ ðµ
dan ðµâ ðŽ adalah pseudo-identitas. Jika ðŽ pseudo-invertibel maka ðµ adalah
pseudo-invers dari ðŽ. â¡
Contoh 2.21.
Diberikan matriks ðŽ = [1 5 21 1 23 1 3
] dan ðµ = [â6 â2 â3â5 â5 â7ð£
â6 â2 â4], dimana
ðŽ,ðµ â ðð(ð )
maka
ðŽ â ðµ = [1 5 21 1 23 1 3
] â [â6 â2 â3â5 â5 â7ð£
â6 â2 â4] = [
0 0ð£ â2ð£
â4ð£ 0 â2ð£
â3ð£ 1ð£ 0
] = ðŒð¢
dalam hal ini matriks ðµ disebut pseudo-invers kanan dari ðŽ, sedangkan
ðŒð¢ merupakan pseudo-identitas kanan dari ðŽ
ðµâ ðŽ = [â6 â2 â3â5 â5 â7ð£
â6 â2 â4]â [
1 5 21 1 23 1 3
] = [0 â1ð£ 0ð£
â4ð£ 0 â3ð£
â1ð£ â1ð£ 0
] = ðŒð¢
dalam hal ini matriks ðµ disebut pseudo-invers kiri dari ðŽ, sedangkan ðŒð¢ merupakan
pseudo-identitas kiri dari ðŽ. â
Contoh 2.22.
Diberikan matriks ðŽ = [1 5 21 1 20 2 1
] dan ðµ = [â3ð£ â1ð£ 0ð£
â5ð£ â5ð£ â4ð£
â4ð£ â2ð£ â1ð£], dimana ðŽ, ðµ â
ðð(ð )
maka
ðŽ â ðµ = [1 5 21 1 20 2 1
] â [â3ð£ â1ð£ 0ð£
â5ð£ â5ð£ â4ð£
â4ð£ â2ð£ â1ð£] = [
0ð£ 0ð£ 1ð£
â2ð£ 0ð£ 1ð£
â3ð£ â1ð£ 0ð£] = ðŒï¿œÌ ï¿œ
29
dalam hal ini matriks ðµ disebut pseudo-invers kanan dari ðŽ, sedangkan
ðŒï¿œÌ ï¿œ merupakan pseudo-identitas ghost kanan dari ðŽ
ðµ â ðŽ = [â3ð£ â1ð£ 0ð£
â5ð£ â5ð£ â4ð£
â4ð£ â2ð£ â1ð£] â [
1 5 21 1 20 2 1
] = [0ð£ 2ð£ 1ð£
â4ð£ 0ð£ â3ð£
â1ð£ 1ð£ 0ð£] = ðŒï¿œÌ ï¿œ
dalam hal ini matriks ðµ disebut pseudo-invers kiri dari ðŽ, sedangkan ðŒï¿œÌ ï¿œ merupakan
pseudo-identitas ghost kiri dari ðŽ. â
1.8 Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Max-Plus
Berikut diberikan penjelasan mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus
dan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear atas aljabar max-plus.
1.8.1 Sistem persamaan Linear Aljabar Max-Plus
Sistem persamaan linear max-plus ðŽâ ð = ð tidak selalu mempunyai
penyelesaian. Sebagai contoh :
Contoh 2.23.
Selesaikan ðŽ âð = ð di âmax , jika
ðŽ = [0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
262]
dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai :
[0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
262]
sistem diatas ekuivalen dengan
(0 â ð¥1)â (10â ð¥2) â (âââ ð¥3) = 2
(âââ ð¥1)â (4â ð¥2) â (3â ð¥3) = 6
(âââ ð¥1)â (âââð¥2) â (0â ð¥3) = 2
sistem persamaan ðŽâ ð = ð tersebut tidak punya penyelesaian, sebab bila punya
penyelesaian berarti ada ð = [ð¥1ð¥2ð¥3] sehingga
[0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
262]
didapat
30
(âââ ð¥1)â (âââ ð¥2)â (0â ð¥3) = 2 â (0â ð¥3) = 2 â ð¥3 = 2
(âââ ð¥1)â (4â ð¥2) â (3â ð¥3) = 6 â (4â ð¥2) â 5 = 6 â ð¥2 = 2
(0 â ð¥1) â (10â ð¥2)â (âââ ð¥3) = 2 â ð¥1â12 = 2
terlihat bahwa tidak akan ada ð¥1 â âððð¥ sehingga
ð¥1â12 = 2 â ððð¥{ð¥1, 12} = 2.
Jadi ðŽâ ð = ð tidak punya penyelesaian.
Contoh tersebut menjelaskan bahwa ðŽâ ð = ð di âmax belum tentu mempunyai
penyelesaian. Sedangkan ðŽâ ð †ð selalu punya penyelesaian. Untuk itulah
masalah penyelesaian ðŽâ ð = ð diperlemah dengan mendefinisikan konsep sub-
penyelesaian berikut ini.
Definisi 2.23. [20]. Diberikan ðŽ â âmaxðÃð dan ð â âmaxð . Vektor ðâ² â âmaxð disebut
suatu sub-penyelesaian sistem persamaan linear ðŽâ ð = ð jika vektor ðâ² tersebut
memenuhi ðŽâ ðⲠ†ð.
Sub-penyelesaian sistem persamaan ðŽâ ð = ð selalu ada karena untuk ð = ðº
didapat ðŽâ ð = 𺠆ð. â¡
Definisi 2.24. [20]. Suatu subpenyelesaian ï¿œÌï¿œ dari sistem sistem ðŽâ ð = ð disebut
sub-penyelesaian terbesar sistem ðŽâ ð = ð jika ðⲠ†ᅵÌï¿œ untuk setiap sub-
penyelesaian ðâ² dari sistem ðŽâ ð = ð. â¡
Teorema 2.2. [20]. Diberikan ðŽ â âmaxðÃð dengan unsur-unsur setiap kolomnya
tidak semuanya sama dengan ð dan ð â âmaxð . Sub-penyelesaian terbesar ðŽâ ð =
ð ada dan diberikan oleh ï¿œÌï¿œ dengan
âï¿œÌï¿œð = maxð(âðð + ðŽðð)
untuk setiap ð = 1, 2, 3,⊠,ð dan ð = 1, 2, 3,⊠, ð.
Bukti :
ðŽâ ð †ð â {
ðŽ11âð¥1âðŽ12âð¥2ââŠâðŽ1ðâð¥ð †ð1ðŽ21âð¥1âðŽ22âð¥2ââŠâðŽ2ðâð¥ð †ð2
â®ðŽð1âð¥1âðŽð2âð¥2ââŠâðŽððâð¥ð †ðð
31
â (âš(ðŽðð âð¥ð)
ð
ð=1
†ðð , âð)
â (ðŽðð âð¥ð) †ðð , âð, ð
â (ðŽðð + ð¥ð) †ðð , âð, ð
karena unsur setiap kolom dari matriks ðŽ tidak semuanya sama dengan ð, maka
untuk setiap ð selalu ada ð sehingga ðŽðð â ð yang berarti âðŽðð ada. Mengingat
untuk setiap ð â âmax berlaku ð â ð = ð dan ð â ð = ð maka koefisien-koefisien
ðŽðð = ð tidak akan berpengaruh pada nilai ðŽâ ð, sehingga berlaku :
(ðŽðð + ð¥ð) †ðð , âð, ð â (ðŽðð + ð¥ð †ðð , âð, ð dengan ðŽðð â ð)
â (ð¥ð †ðð â ðŽðð , âð, ð dengan ðŽðð â ð)
â (ð¥ð †minð (ðð â ðŽðð ) , â ð dengan ðŽðð â ð)
â (âð¥ð â maxð (âðð + ðŽðð ) , âð)
Jadi sub-penyelesaian sistem ðŽâ ð = ð di atas adalah setiap vektor ðâ² yang setiap
komponen-komponennya memenuhi âð¥ðâ² = maxð (âðð + ðŽðð ) , âð.
Jika vektor ï¿œÌï¿œ = [ï¿œÌï¿œ1, ï¿œÌï¿œ2, ⊠, ï¿œÌï¿œð]ð didefinisikan dengan âï¿œÌï¿œð = maxð (âðð + ðŽðð )
untuk setiap ð = 1, 2,⊠, ð, maka diperoleh :
(âï¿œÌï¿œð = maxð (âðð + ðŽðð ) âð) â (ï¿œÌï¿œð = min
ð (ðð â ðŽðð ) , âð dengan ðŽðð â ð)
â (ï¿œÌï¿œð †(ðð â ðŽðð ), âð, ð dengan ðŽðð â ð)
â (âš(ðŽðð â ï¿œÌï¿œð)
ð
ð=1
†ðð , âð)
â (ðŽðð â ï¿œÌï¿œð †ð)
Jadi vektor ï¿œÌï¿œ tersebut merupakan sub-penyelesaian sistem ðŽ â ð = ð. Karena
âð¥ðⲠ⥠max
ð (âðð + ðŽðð ) = âï¿œÌï¿œð, âð maka ð¥ðⲠ†ᅵÌï¿œð, âð. Akibatnya ðⲠ†ᅵÌï¿œ. Jadi
vektor ï¿œÌï¿œ tersebut merupakan sub-penyelesaian terbesar sistem ðŽâ ð = ð.
â
32
Dengan demikian, maka diketahui cara untuk menyelesaikan sistem
persamaan ðŽ âð = ð. Langkah pertama terlebih dahulu dihitung sub-penyelesaian
terbesarnya, kemudian diperiksa sub-penyelesaian terbesar tersebut memenuhi
sistem persamaan atau tidak. Untuk menghitung sub-penyelesaian terbesar sistem
persamaan ðŽ âð = ð, dapat diperhatikan bahwa :
âï¿œÌï¿œ = [
âï¿œÌï¿œ1âï¿œÌï¿œ2â®âï¿œÌï¿œð
] =
[ maxð (âðð + ðŽð1 )
maxð (âðð + ðŽð2 )
â®maxð (âðð + ðŽðð )]
=
[ maxð(ðŽð1 â ðð)
maxð(ðŽð2 â ðð)
â®maxð(ðŽðð â ðð) ]
= [
ðŽ11â (âð1) â ðŽ21â (âð2) ââŠâ ðŽð1â (âðð)
ðŽ12â (âð1) â ðŽ22â (âð2) ââŠâ ðŽð2â (âðð)â®
ðŽ1ðâ (âð1) â ðŽ2ðâ (âð2) â âŠâ ðŽððâ (âðð)
] = ðŽð â (âð)
Sub-penyelesaian terbesar ðŽâ ð = ð dapat ditentukan dengan langkah pertama
menghitung âï¿œÌï¿œ = ðŽðâ (âð) atau ï¿œÌï¿œ = â(ðŽðâ (âð)).
Contoh 2.24.
Selesaikan ðŽ âð = ð di âmax , jika
ðŽ = [1 2 62 3 14 1 â2
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] , ð = [
543
]
dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai
[1 2 62 3 14 1 â2
]âš[
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
543
]
akan ditentukan penyelesaian terbesar sistem persamaan tersebut dengan terlebih
dahulu menentukan sub-penyelesaian terbesarnya.
Pertama dihitung âï¿œÌï¿œ = ðŽðâ (âð)
âï¿œÌï¿œ = ðŽðâ (âð) = [1 2 4
2 3 1
6 1 â2
]âš [â5
â4
â3
] = [1
â1
1
]
33
ï¿œÌï¿œ = [â1
1
â1
]
karena [1 2 62 3 14 1 â2
]â [â11â1] = [
543], maka [
â11â1] merupakan penyelesaian sistem.
Selanjutnya akan diberikan contoh sistem persamaan linear aljabar max-plus yang
mempunyai sub-penyelesaian terbesar akan tetapi tidak mempunyai penyelesaian
sebagai berikut.
Contoh 2.25.
Selesaikan ðŽ âð = ð di âmax , jika
ðŽ = [2 2 12 1 33 2 5
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] , ð = [
264]
dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai
[2 2 12 1 33 2 5
]âš [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
264]
akan ditentukan penyelesaian terbesar sistem persamaan tersebut dengan terlebih
dahulu menentukan sub-penyelesaian terbesarnya.
âï¿œÌï¿œ = ðŽðâ (âð) = [2 2 3
2 1 2
1 3 5
]âš [â2
â6
â4
] = [0
0
1
]
ï¿œÌï¿œ = [0
0
â1
]
Karena [2 2 12 1 33 2 5
]âš [00â1] = [
224] †[
264], maka [
00â1] bukan merupakan penyelesaian
sistem. Akan tetapi persamaan linear tersebut memiliki sub-penyelesaian terbesar
yang bukan merupakan penyelesaian.
1.8.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas
Aljabar Max-Plus
34
Berdasarkan [17] telah dijelaskan mengenai karakterisasi penyelesaian
sistem persamaan linear atas aljabar max-plus sebagai berikut :
Diberikan sistem persamaan ðŽ âð = ð dengan ðŽ â âmaxðÃð, ð â
âmaxð dan ð â âmaxð . Sistem persamaan ðŽ âð = ð yang terdiri dari ð persamaan
dan ð peubah dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut
ðŽâ ð = ð
[
ð11 ð12 ⊠ð1ðð21 ð22 ⊠ð2ðâ® â® â± â®ðð1 ðð2 ⊠ððð
]â [
ð¥1ð¥2â®ð¥ð
] = [
ð1ð2â®ðð
]
atau
(ð11âð¥1)â (ð12âð¥2) â âŠâ (ð1ðâð¥ð) = ð1
(ð21âð¥1) â (ð22âð¥2) â âŠâ (ð2ðâð¥ð) = ð2
â® â® â® â®
(ðð1âð¥1)â (ðð2âð¥2) ââŠâ (ðððâð¥ð) = ðð
Kasus yang pertama dibahas ada suatu penyelesaian dan beberapa elemen dari ð
adalah ð. Tanpa menghilangkan keumumannya, persamaan dapat disusun ulang
sehingga elemen-elemen yang berhingga disusun dengan urutan yang pertama,
didapat :
[
ð1,1 ð1,2 ⊠ð1,ðð2,1 ð2,2 ⊠ð2,ðâ® â® â± â®ðð,1 ðð,2 ⊠ðð,ð
] â [
ð¥1ð¥2â®ð¥ð
] =
[ ð1â®ððâââ®ââ]
dapat dituliskan sebagai :
(ð1,1âð¥1) â (ð1,2âð¥2)â âŠâ (ð1,ðâð¥ð) = ð1
â®
(ðð,1âð¥1) â (ðð,2âð¥2)â âŠâ (ðð,ðâð¥ð) = ðð
(ðð+1,1âð¥1)â (ðð+1,2âð¥2)â âŠâ (ðð+1,ðâð¥ð) = ââ
â®
(ðð,1âð¥1)â (ðð,2âð¥2)â âŠâ (ðð,ðâð¥ð) = ââ
Lakukan penomoran ulang pada peubah untuk ð sehingga
ðð+1,ð , ⊠, ðð,ð = ð
35
terjadi pertama, didapatkan
[
ðŽ1 ðŽ2ââ ⯠âââ® â± â®ââ ⯠ââ
ðŽ3] â
[ ð¥1â®ð¥ðð¥ð+1â®ð¥ð ]
=
[ ð1â®ððâââ®ââ]
dengan matriks ðŽ1 berukuran ð à ð. Misalkan :
ï¿œÌ ï¿œ = [ð1â®ðð
] dan ï¿œÌ ï¿œ = [ð¥1â®ð¥ð]
Catatan bahwa : ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian, maka ð¥ð+1, ⊠, ð¥ð =
ââ dan ðŽ1â ï¿œÌ ï¿œ = ï¿œÌ ï¿œ. Jadi ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian bila dan hanya
bila ï¿œÌ ï¿œ adalah penyelesaian dari ðŽ1â ï¿œÌ ï¿œ = ï¿œÌ ï¿œ dan penyelesaian dari ðŽ âð = ð
adalah
ð = [
ï¿œÌ ï¿œâââ®ââ
]
Oleh karena itu, penyelesaian dari ðŽâ ð = ð dengan beberapa elemen ð takhingga
dapat direduksi ke bentuk ðŽ1â ï¿œÌ ï¿œ = ï¿œÌ ï¿œ dengan semua elemen dari ï¿œÌ ï¿œ berhingga. Jadi
pembahasan persamaan ðŽâ ð = ð dapat ditekankan pada semua elemen ð
berhingga. Bila ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian, maka :
ððð âð¥ð †ðð , âð â ð , ð â ð
jika dituliskan secara terpisah untuk setiap ð didapat
ðð1 + ð¥1 †ð1 atau ð¥1 †ð1 â ðð1
didapat
ð¥1 †ð1 â ð11
ð¥1 †ð2 â ð21
â®
ð¥1 †ðð â ðð1
atau
ð¥1 †min{(ð1 â ð11), (ð2 â ð21),⊠, (ðð â ðð1) }
Jadi, jika sistem mempunyai penyelesaian maka harus memenuhi
ð¥1 †min{(ð1 â ð11), (ð2 â ð21),⊠, (ðð â ðð1) }
36
dengan demikian penyelesaian ð¥ yang mungkin memenuhi
ð¥1 †min{(ð1 â ð11), (ð2 â ð21),⊠, (ðð â ðð1) }
ð¥2 †min{(ð1 â ð12), (ð2 â ð22), ⊠, (ðð â ðð2) }
â®
ð¥ð †min{(ð1 â ð1ð), (ð2 â ð2ð), ⊠, (ðð â ððð) }
Jadi calon penyelesaian dari ðŽ âð = ð yang dinotasikan dengan ï¿œÌ ï¿œ adalah
ï¿œÌ ï¿œ = [
ï¿œÌ ï¿œ1ï¿œÌ ï¿œ2â®ï¿œÌ ï¿œð
],
dengan
ð¥1 = min{(ð1 â ð11), (ð2 â ð21),⊠, (ðð â ðð1) }
ð¥2 = min{(ð1 â ð12), (ð2 â ð22), ⊠, (ðð â ðð2) }
â®
ð¥ð = min{(ð1 â ð1ð), (ð2 â ð2ð), ⊠, (ðð â ððð) }
Selanjutnya didefinisikan matriks âdiscrepancyâ (ketidaksesuaian) dinotasikan
ð·ðŽ,ð dengan
ð·ðŽ,ð = [
ð1 â ð11 ð1 â ð12 ⊠ð1 â ð1ðð2 â ð21 ð2 â ð22 â® ð2 â ð2ð
â® â® â® â®ðð â ðð1 ðð â ðð2 ⊠ðð â ððð
]
minimum dari setiap kolom ð·ðŽ,ð adalah elemen dari ï¿œÌ ï¿œ.
Selanjutnya didefinisikan matriks tereduksi ketaksesuaian ð ðŽ,ð sebagai berikut :
ð ðŽ,ð = [ðð,ð]
dengan
ðð,ð = {1, jika ðð,ð = minimum dari kolom ke â j
0 , yang lainnya
Dalam hal ini matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð dapat digunakan untuk menentukan perilaku
penyelesaian dari sistem persamaan ðŽ â ð = ð. Dengan demikian dapat diketahui
kekonsistenan dan ketunggalan dari penyelesaian ðŽ âð = ð.
Berikut diberikan contoh kasus penyelesaian sistem persamaan ðŽ âð = ð.
Contoh 2.26 Kasus ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian tunggal
37
Selesaikan ðŽâ ð = ð, jika
ðŽ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
1â6â3]
didapatkan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð sebagai berikut :
ð·ðŽ,ð = [0 10 â3â2 â24 2â5 â4 1
] dan ð ðŽ,ð = [0 0 10 1 01 0 0
]
terlihat bahwa setiap kolom matriks ð ðŽ,ð hanya terdapat tepat satu elemen bernilai
1. Hal ini menandakan bahwa ðŽâ ð = ð hanya mempunyai tepat satu
penyelesaian ï¿œÌ ï¿œ dengan elemen-elemennya adalah minimum dari setiap kolom
matriks ð·ðŽ,ð yaitu
ï¿œÌ ï¿œ = [â5â24â3
]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ï¿œÌ ï¿œ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
]â [â5â24â3
] = [ððð¥(â4,â33,1)
ððð¥(â9, â6,â11)
ððð¥(â3, â23,â7)] = [
1â6â3] = ð.
Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :
Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian
persamaan baris pertama menetapkan elemen ð¥3 = â3.
Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian
persamaan baris kedua menetapkan elemen ð¥2 = â24.
Pada baris ketiga didapatkan nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan
demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen ð¥1 = â5.
Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih ini tidak bisa diubah, bila diubah
yang lain maka akan membentuk pertaksamaan. Karena pada keseluruhan baris
nilai maksimum hanya dicapai satu kali, maka hanya terdapat satu cara untuk
mencapai persamaan pada semua baris yaitu dengan menetapkan elemen ð¥1 = â5,
ð¥2 = â24, ð¥3 = â3. Dengan demikian persamaan ðŽâ ð = ð memiliki
penyelesaian tunggal.
Contoh 2.27 Kasus ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian tak hingga banyak
38
Selesaikan ðŽ âð = ð, jika
ðŽ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
213]
didapatkan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð sebagai berikut :
ð·ðŽ,ð = [1 11 â25 â17 91 2 7
] dan ð ðŽ,ð = [1 0 10 1 01 0 0
]
terlihat bahwa setiap kolom matriks ð ðŽ,ð terdapat setidaknya satu elemen bernilai
1, sedangkan pada baris ke-1 terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal tersebut
menandakan bahwa ðŽâ ð = ð mempunyai banyak penyelesaian ï¿œÌ ï¿œ. Elemen-
elemen minimum dari setiap kolom matriks ð·ðŽ,ð yaitu
ï¿œÌ ï¿œ = [1â17â2
]
Hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ï¿œÌ ï¿œ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
]â [1â17â2
] = [ððð¥(2,â26, 2)
ððð¥(â3, 1,â10)
ððð¥(3,â16,â6)] = [
213] = ð.
dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :
Pada baris pertama nilai maksimum dicapai dua kali yaitu pada saat elemen
ð¥1 = 1 dan elemen ð¥3 = â2.
Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian
persamaan baris kedua menetapkan elemen ð¥2 = â17.
Pada baris ketiga nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian
persamaan baris ketiga menetapkan elemen ð¥1 = 1.
Elemen-elemen yang sudah dipilih yaitu ð¥2 = â17 dan ð¥1 = 1 tidak bisa diubah,
bila diubah yang lain maka baris kedua dan ketiga akan membentuk pertaksamaan.
Karena persamaan baris ketiga telah menetapkan ð¥1 = 1, maka dengan menetapkan
elemen ð¥3 < â2 pada baris pertama tetap membentuk persamaan dan tidak akan
mengubah persamaan pada baris lain. Sehingga persamaan pada semua baris akan
tercapai dengan menetapkan elemen ð¥1 = 1, ð¥2 = â17, ð¥3 < â2. Dengan
demikian ðŽâ ð = ð memiliki penyelesaian tak hingga banyak yaitu
39
ï¿œÌ ï¿œ = [1â17ð3
] untuk setiap ð3 < â2
Contoh 2.28. Kasus ðŽ â ð = ð tidak mempunyai penyelesaian
Selesaikan ðŽ âð = ð, jika
ðŽ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
123]
didapatkan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð sebagai berikut :
ð·ðŽ,ð = [0 10 â36 â16 101 2 7
] dan ð ðŽ,ð = [1 0 10 1 00 0 0
]
Terlihat bahwa tidak semua kolom matriks ð ðŽ,ð setidaknya memuat satu elemen
bernilai 1, yaitu pada baris ke-3 semua elemennya bernilai 0. Hal tersebut
menandakan bahwa ðŽâ ð = ð tidak mempunyai penyelesaian.
Elemen-elemen minimum dari setiap kolom matriks ð·ðŽ,ð yaitu
ï¿œÌ ï¿œ = [0â16â3
]
Selanjutnya bisa di cek bahwa :
ðŽâ ï¿œÌ ï¿œ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
]â [0â16â3
] = [ððð¥(1,â25, 1)
ððð¥(â4, 2,â11)
ððð¥(2,â15,â7)] = [
122] < [
123] = ð.
Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :
Pada baris pertama nilai maksimum dicapai dua kali yaitu pada saat elemen
ð¥1 = 0 dan elemen ð¥3 = â3.
Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian
persamaan baris kedua menetapkan elemen ð¥2 = â17.
Pada baris ketiga tidak terdapat elemen yang dapat mencapai nilai maksimum
yang bisa membentuk persamaan, sehingga baris ketiga membentuk
pertaksamaan. Oleh karena itu persamaan pada baris ketiga tidak tercapai.
Dengan demikian ðŽâ ð = ð tidak mempunyai penyelesaian.
40
Berdasarkan Contoh 2.26 sampai 2.28 didapatkan matriks ð ðŽ,ð untuk penyelesaian
tunggal, tak hingga banyak dan tidak mempunyai penyelesaian sebagai berikut :
Solusi tunggal
Solusi tak hingga
banyak
Tidak mempunyai
penyelesaian
ð·ðŽ,ð = [0 10 â3â2 â24 2â5 â4 1
] ð·ðŽ,ð = [1 11 â25 â17 91 2 7
] ð·ðŽ,ð = [0 10 â36 â16 101 2 7
]
ð ðŽ,ð = [0 0 10 1 01 0 0
] ð ðŽ,ð = [1 0 10 1 01 0 0
] ð ðŽ,ð = [0 1 01 0 10 0 0
]
Berikut diberikan Teorema mengenai beberapa hal yang telah dibahas.
Teorema 2.3 [17]. Diberikan persamaan ðŽ â ð = ð dengan ðŽ â âmaxðÃð, ð â
âmaxð dan ð â âmaxð . Bila suatu baris dari matriks ð ðŽ,ð semua elemennya bernilai
0, maka persamaan ðŽâ ð = ð tidak punya penyelesaian. Bila setidaknya pada
setiap baris matriks ð ðŽ,ð paling sedikit memuat sebuah elemen bernilai 1, maka
ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian.
Bukti.
Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan baris ke-ð dari ð ðŽ,ð semua elemennya
bernilai 0 dan andaikan bahwa ï¿œÌ ï¿œ adalah suatu penyelesian dari persamaan ðŽâ ð =
ð, maka :
ï¿œÌ ï¿œð †ððð{ðð â ðð,ð} < (ðð â ðð,ð), âð â ð.
Jadi ï¿œÌ ï¿œð + ðð,ð < ðð untuk semua ð. Dengan demikian ï¿œÌ ï¿œ tidak memenuhi
persamaan ke- ð. Hal ini bertentangan dengan ï¿œÌ ï¿œ adalah suatu penyelesaian dari
ðŽâ ð = ð. Jadi ï¿œÌ ï¿œ bukan penyelesaian dari ðŽ â ð = ð sehingga ðŽâ ð = ð tidak
punya penyelesaian. Berikutnya, andaikan ï¿œÌ ï¿œ bukan penyelesaian dari ðŽâ ð = ð
maka ï¿œÌ ï¿œð < ðð â ðð,ð untuk semua ð, ð. Jadi :
ððð¥{ðð,ð + ï¿œÌ ï¿œð} †ðð , âð â ð
dan bila ï¿œÌ ï¿œ bukan penyelesaian dari ðŽâ ð = ð, maka ada suatu ð dengan
ððð¥{ðð,ð + ï¿œÌ ï¿œð} < ðð , âð â ð
karena
ï¿œÌ ï¿œð = ððð{ðð â ðð,ð} untuk beberapa ð
41
maka tidak ada elemen di baris ke- ð pada matriks ð ðŽ,ð yang bernilai 1. Hal ini
bertentangan bahwa setiap baris dari matriks ð ðŽ,ð setidaknya memuat elemen yang
bernilai 1. Jadi haruslah ï¿œÌ ï¿œ adalah suatu penyelesaian dari ðŽ â ð = ð. â
Teorema 2.3 tersebut menjelaskan eksistensi dari penyelesaian ðŽâ ð = ð.
Eksistensi tersebut belum menjelaskan bilamana ðŽâ ð = ð memiliki
penyelesaiaan tunggal dan tidak tunggal. Untuk hal tersebut diperlukan definisi
sebagai berikut :
Definisi 2.25 [17]. Elemen bernilai 1 pada suatu baris ð ðŽ,ð dinamakan elemen
peubah tetap bila nilai 1 hanya muncul sekali pada baris tersebut atau bila nilai 1
berada pada kolom yang sama seperti halnya nilai 1 hanya satu-satunya pada baris
tersebut. Sedangkan sisa nilai 1 lainnya dinamakan elemen slack.
Berikut ini diberikan matriks ð ðŽ,ð yang didapat dari Contoh 2.26 dan 2.27 untuk
mempertegas Definisi 2.25 mengenai elemen peubah tetap dan elemen slack.
Solusi tunggal
Solusi tak hingga banyak
ð ðŽ,ð = [
0 0 ð
0 ð 0
ð 0 0] ð ðŽ,ð = [
ð 0 1
0 ð 0
ð 0 0]
Dari tabel tersebut dapat dijelaskan beberapa hal sebagai berikut :
Berdasarkan Contoh 2.26 didapat matriks
ð·ðŽ,ð = [0 10 â3â2 â24 2â5 â4 1
] dan ð ðŽ,ð = [0 0 ð
0 ð 0
ð 0 0]
semua elemen ð adalah peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen
ð¥3 = â3, Persamaan baris kedua menetapkan elemen ð¥2 = â24, dan Persamaan
baris ketiga menetapkan elemen ð¥1 = â5. Setiap elemen-elemen yang sudah
dipilih tidak bisa diubah, bila diubah maka tidak akan memenuhi ðŽ â ð = ð.
Berdasarkan Contoh 2.27 didapat matriks
42
ð·ðŽ,ð = [1 11 â25 â17 91 2 7
] dan ð ðŽ,ð = [ð 0 1
0 ð 0
ð 0 0]
semua elemen ð adalah peubah tetap. Sedangkan sisa nilai 1 lainnya dinamakan
elemen slack. Pada Contoh 2.26 terdapat satu elemen slack. Pada baris pertama
terdapat dua kemungkinan yaitu menetapkan elemen ð¥1 atau ð¥3. Persamaan baris
kedua menetapkan elemen ð¥2, dan persamaan baris ketiga telah menetapkan elemen
ð¥1. Karena elemen ð¥1 tidak bisa dirubah, maka pada baris pertama dengan
menetapkan elemen ð¥3 < â2 akan membentuk persamaan karena maksimum
hanya dicapai satu kali dan tidak akan mengubah persamaan lain. Dengan demikian,
dengan menetapkan ð¥1 = 1, ð¥2 = â17 dan ð¥3 <ð£â 2 persamaan semua baris
selalu benar.
Berikut ini diberikan penjelasan mengenai hal yang telah dibahas.
Teorema 2.4 [17]. Diberikan persamaan ðŽ â ð = ð dengan ðŽ â âmaxðÃð, ð â
âmaxð dan ð â âmaxð dan diasumsikan ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian. Bila
setiap baris dari matriks ð ðŽ,ð hanya ada satu anggota yang bernilai 1, maka
persamaan ðŽ âð = ð mempunyai penyelesaian tunggal. Bila ada elemen slack
pada matriks ð ðŽ,ð maka ðŽâ ð = ð mempunyai penyelesaian tidak tunggal.
Bukti.
Bila disetiap baris ð ðŽ,ð hanya ada satu elemen bernilai 1, maka disetiap baris ð ðŽ,ð
ada suatu elemen peubah tetap dan tidak ada elemen slack. Dengan demikian semua
elemen ð tetap, jadi penyelesaian tunggal. Selanjutnya, misalkan ðð,ð adalah satu
elemen slack pada ð ðŽ,ð dan ð adalah penyelesaian dari ðŽ âð = ð. Karena ðð,ð
bukan elemen peubah tetap, maka tidak ada elemen peubah tetap pada kolom ke- ð
dari matriks ð ðŽ,ð . Jadi persamaan bisa dicapai tanpa menggunakan elemen ï¿œÌ ï¿œð.
Dengan demikian walaupun ï¿œÌ ï¿œð menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk
elemen ini, akan tetapi untuk setiap nilai yang lebih kecil atau samadengan ï¿œÌ ï¿œð tidak
akan mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan. â
1.9 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Supertropical
43
Sebagaimana dalam aljabar linear biasa, sistem persamaan linear atas
aljabar supertropical terbagi menjadi sistem persamaan tak homogen dan sistem
persamaan homogen. Dalam aljabar supertropical, akan digunakan relasi ghost
surpass âš pada ð sebagai pengganti dari relasi â=â.
Sistem persamaan tak homogen atas aljabar supertropical dinyatakan
sebagai ðŽ â ð âš ð. Sedangkan bila semua entri dari ð = ðº â ââ, maka sistem
persamaan ðŽ âð âš ðº disebut sistem persamaan homogen atas aljabar
supertropical.
45
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada bagian ini diuraikan beberapa metode penelitian yang digunakan
untuk mencapai tujuan penelitian.
1. Studi Literatur.
Pada tahap ini, dikaji dan diuraikan teori-teori yang mendukung proses
penelitian. Diantaranya penelitian terdahulu, semiring, aljabar max-plus,
aljabar tropical, perluasan aljabar tropical, aljabar supertropical dan sistem
persamaan linear atas aljabar max-plus dan aljabar supertropical.
2. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen
atas aljabar supertropical.
Berdasarkan kajian teori dan pengamatan pada beberapa definisi, teorema dan
contoh pada kasus-kasus tertentu, maka pada tahap ini dilakukan karakterisasi
terhadap penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar
supertropical . Karakterisasi terhadap penyelesaian sistem persamaan linear
tak homogen adalah memiliki penyelesaian tunggal atau tidak tunggal.
3. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen
atas aljabar supertropical.
Berdasarkan kajian teori dan pengamatan pada beberapa definisi, teorema dan
contoh pada kasus-kasus tertentu, maka pada tahap ini dilakukan karakterisasi
terhadap penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar
supertropical . Karakterisasi terhadap penyelesaian sistem persamaan linear
homogen adalah memiliki penyelesaian trivial atau tak trivial.
4. Membuat Simpulan
Berdasarkan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen
maupun homogen atas aljabar supertropical, dilakukan proses pembuatan
simpulan. Simpulan dibuat untuk menjawab rumusan masalah.
47
BAB IV
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dipaparkan pembahasan mengenai karakterisasi
penyelesaian sistem persamaan linear atas aljabar supertropical. Pembahasan
diawali dengan menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak
homogen yang kemudian dilanjutkan pada sistem persamaan linear homogen.
Adapun karakterisasi penyelesaian yang dibahas pada sistem persamaan linear tak
homogen adalah mempunyai penyelesaian tunggal atau tidak tunggal. Sedangkan
karakterisasi penyelesaian yang dibahas pada sistem persamaan linear homogen
adalah mempunyai penyelesaian trivial atau tak trivial.
4.1 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tak
Homogen atas Aljabar Supertropical
Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa aljabar max-plus
merupakan suatu struktur aljabar (âð ,â,â) yang tidak mempunyai elemen invers
terhadap operasi â. Dengan kata lain, jika ð â âð maka tidak ada ð â âð sehingga
ð â ð = ð, kecuali jika ð = ð dengan ð â ââ adalah elemen nol. Hal ini yang
menyulitkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ðŽ âð = ð di âmax .
Sebagai motivasi dari pembahasan sistem persamaan linear tak homogen, akan
diberikan sistem persamaan tak homogen di âmax sebagai berikut.
Selesaikan ðŽ âð = ð di âmax , jika
ðŽ = [0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
262]
dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai :
[0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
262]
sistem diatas ekuivalen dengan
(0 â ð¥1)â (10â ð¥2) â (âââ ð¥3) = 2
48
(âââ ð¥1)â (4â ð¥2) â (3â ð¥3) = 6
(âââ ð¥1)â (âââð¥2) â (0â ð¥3) = 2
sistem persamaan ðŽâ ð = ð tersebut tidak punya penyelesaian, sebab bila punya
penyelesaian berarti ada ð = [
ð¥1ð¥2ð¥3] sehingga
[0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
262]
didapat
(âââ ð¥1)â (âââ ð¥2)â (0â ð¥3) = 2 â (0â ð¥3) = 2 â ð¥3 = 2
(âââ ð¥1)â (4â ð¥2) â (3â ð¥3) = 6 â (4â ð¥2) â 5 = 6 â ð¥2 = 2
(0 â ð¥1) â (10â ð¥2)â (âââ ð¥3) = 2 â ð¥1â12 = 2
terlihat bahwa tidak akan ada ð¥1 â âððð¥ sehingga
ð¥1â12 = 2 â max{ð¥1, 12} = 2. (4.1)
Jadi ðŽâ ð = ð tidak punya penyelesaian.
Oleh karena itu dikonstruksikan suatu semiring khusus yang merupakan perluasan
dari âmax sedemikian hingga semua persamaan yang berbentuk persamaan (4.1)
mempunyai penyelesaian. Semiring yang merupakan perluasan dari âmax disebut
extended semiring tropical yang merupakan kasus khusus dari aljabar
supertropical. Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan mengenai
pengkonstruksian ð yang merupakan perluasan dari âmax . Dengan struktur
semiring yang baru ini maka dapat digeneralisasikan suatu penyelesaian sistem
persamaan linear menggunakan relasi ghost surpass âš pada ð .
Pada pembahasan selanjutnya akan digunakan relasi ghost surpass âš
sebagai pengganti relasi =. Dengan relasi ghost surpass penyelesaian sistem
persamaan ðŽ âð = ð akan diperlemah menjadi ðŽâ ð âš ð. Diantara
kemungkinan penyelesaian ðŽ â ð âš ð yang ada, dapat diklasifikasikan ke dalam
penyelesaian tangible, ghost dan nol (ð â ââ). Selanjutnya, pembahasan akan
difokuskan pada penyelesaian tangible dan nol (ð â ð¯0ð ) dari sistem persamaan
ðŽâ ð âš ð. Sistem persamaan ðŽâ ð âš ð mempunyai penyelesaian tunggal yang
dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Cramer.
49
Berikut diberikan penjelasan mengenai relasi ghost surpass pada ð .
Definisi 4.1. [8]. Diberikan ð, ð â ð , maka
ð âš ð ⺠ð = ðâ ð untuk beberapa ð â ð¢0
â¡
Definisi 4.2. [8]. Diberikan ð â ð , ð â ð¯ maka
ð âš ð ⺠ð â ð â ð¢0
dan
ð âš ð ⺠ð â ð¢0
â¡
Definisi 4.3. [5]. Diberikan ð, ð â ð¯ maka
ð âš ð ⺠ð = ð
â¡
Definisi 4.4. [8]. Diberikan ð â ð¢0, dan ð â ð maka
ð âš ð ⺠ð âœð ð â¡
Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai himpunan penyelesaian dari suatu
persamaan dengan menggunakan relasi ghost surpass pada ð .
Diberikan ð â ð¯ dan ð¥ â ð . Jika diasumsikan persamaan dalam relasi ghost
surpass dinyatakan sebagai :
1. ð¥ âš ð
maka himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{ð} ⪠{ðð£|ð â ð¯ dan ð âœð£ ð }
2. ð¥ âš ðð£
maka himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{ðð£|ð â ð¯ ððð ð âœð£ ð }
3. ð¥ âš ð
maka himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{ð} ⪠{ðð£|ð â ð¯ }
50
Contoh 4.1. Diberikan persamaan dalam relasi ghost surpass sebagai berikut :
1. ð¥ âš 2
himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{2} ⪠{ðð£|ð â ð¯ dan ð âœð£ 2 }
2. ð¥ âš 8ð£
himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{ðð£|ð â ð¯ dan ð âœð£ 8 }
3. ð¥ â 4 âš 3
himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{4} ⪠{ðð£|ð â ð¯ dan ð âœð£ 4 }
4. ð¥ â 2ð£ âš 5
himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{5} ⪠{ðð£|ð â ð¯ dan ð âœð£ 5 }
5. ð¥ â 6ð£ âš 3
himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{ð|ð â ð¯ ððð ð âŒð£ 6 } ⪠{ðð£|ð â ð¯ }
â
Lemma 4.1. Diberikan ð â ð¯ dan ð â ð . Untuk setiap ð¥ â ð berlaku
ð â ð¥ âš ð jika dan hanya jika ð¥ âš ðââ1âð.
Bukti :
i. Kasus yang pertama : akan ditinjau untuk ð â ð¯ dan ð â ð¯
untuk setiap ð â ð¯ terdapat ðââ1 = âð â ð¯ sehingga ðââ1âð â ð¯
jika ð¥ âš ðââ1âð akan dibuktikan ð â ð¥ âš ð
⺠ðâ ð¥ âš ð
⺠(ðâ (ðââ1âð)) âš ð
⺠(ðâ ðââ1âð) âš ð
⺠(ðâ ðââ1)â ð âš ð
⺠ðâ ð âš ð
⺠ð âš ð
untuk setiap ð â ð¯ dan ð â ð¯ terbukti jika ð¥ âš ðââ1âð maka ð â ð¥ âš ð.
51
ii. Kasus yang kedua : akan ditinjau untuk ð â ð¯ dan ð â ð¢.
untuk setiap ð â ð¯ terdapat ðââ1 = âð â ð¯ sehingga ðââ1âð â ð¢
jika ð¥ âš ðââ1âð akan dibuktikan ð â ð¥ âš ð
⺠ðâ ð¥ âš ð
⺠(ðâ (ðââ1âð)) âš ð
⺠(ðâ ðââ1âð) âš ð
⺠(ðâ ðââ1)â ð âš ð
⺠ðâ ð âš ð
⺠ð âš ð
untuk setiap ð â ð¯ dan ð â ð¢ terbukti jika ð¥ âš ðââ1âð maka ð â ð¥ âš ð . â
Teorema 4.1. [21]. Jika ð â ð¯ dan ð â ð¯. Untuk ð¥ â ð¯ maka ð¥ = ðââ1âð
adalah penyelesaian tunggal dari persamaan ð â ð¥ âš ð.
Bukti : Berdasarkan lemma 4.1 diketahui bahwa :
ð â ð¥ âš ð ⺠ð¥ âš ðââ1âð. Untuk ð â ð¯ dan ð â ð¯ berlaku ðââ1âð â ð¯.
Berdasarkan Definisi 4.3, maka diperoleh
jika ð¥ âš ðââ1âð dengan ð¥ â ð¯ dan ðââ1âð â ð¯ maka ð¥ = ðââ1âð.
Akan dibuktikan bahwa ð¥ = ðââ1âð merupakan penyelesaian tunggal dari
persamaan ð â ð¥ âš ð.
Misalkan ðŠ â ð¯ juga merupakan penyelesaian dari ð â ð¥ âš ð, maka
ð â ðŠ âš ð ⺠ðŠ âš ðââ1âð
diketahui bahwa ð¥ âš ðââ1âð merupakan penyelesaian dari ð â ð¥ âš ð
sehingga didapat
{ð¥ âš ðââ1âð
ðŠ âš ðââ1âð
karena ð¥ â ð¯, ðŠ â ð¯ maka berdasarkan Definisi 4.3 didapat bahwa
ð¥ âš ðŠ ⺠ð¥ = ðŠ.
Jadi terbukti bahwa jika ðŠ merupakan penyelesaian yang lain dari ð â ð¥ âš ð maka
pastilah ðŠ = ð¥ = ðââ1âð. Dengan kata lain, penyelesaian dari persamaan
ð â ð¥ âš ð adalah tunggal yaitu ð¥ = ðââ1âð. â
52
Teorema 4.2. [21]. Diberikan ð â ð¯ dan ð â ð¯. Solusi dari persamaan dengan
relasi ghost surpass ð â ð¥ âš ð secara umum dapat ditulis sebagai :
ð¥ð¡ = ð¥ â ð¡ð£ dengan beberapa ð¡ð£ â ð¢0.
Bukti : Berdasarkan Definisi 4.2 diketahui bahwa :
ð â ð¥ âš ð ⺠ð âð¥ â ð âš ð ⺠ð âð¥ â ð â ð¢0
Berdasarkan Teorema 4.1 diperoleh ð¥ = ðââ1âð adalah solusi tunggal dari
persamaan ð â ð¥ âš ð. Untuk semua ð¡ â ð¯ dengan jelas dapat diperoleh
ð â ð¡ð£ âš ð karena ð â ð¡ð£ â ð¢0
dengan menambahkan persamaan ð â ð¡ð£ âš ð pada ð â ð¥ â ð âš ð didapat
⺠(ðâ ð¡ð£)â (ð â ð¥)â ð âš ð
⺠ðâ (ð¥ â ð¡ð£)â ð âš ð
sehingga diperoleh penyelesaiannya
⺠(ðâ ð¥)â (ðâ ð¡ð£) â ð âš ð
⺠(ðâ ð¥)â (ðâ ð¡ð£) âš ð
⺠ðâ (ð¥ â ð¡ð£) âš ð
kalikan kedua ruas dengan ðââ1 dari sebelah kiri diperoleh
⺠ðââ1 â ð â (ð¥ â ð¡ð£) âš ðââ1âð
⺠ðâ (ð¥ â ð¡ð£) âš ðââ1âð
⺠(ðâ ð¥)â (ð â ð¡ð£) âš ðââ1âð
⺠ð¥â ð¡ð£ âš ðââ1âð
jika diasumsikan ð¥ð¡ = ð¥ â ð¡ð£, maka diperoleh
ð¥ð¡ âš ð¥
berdasarkan Definisi 4.1 diperoleh
ð¥ð¡ âš ð¥ ⺠ð¥ð¡ = ð¥ â ð¡ð£ dengan beberapa ð¡ð£ â ð¢0.
Jika ð¡ âœð£ ð¥ maka ð¥ð¡ = ð¡ð£. Oleh karena itu secara umum penyelesaian dari relasi
ghost surpass ð â ð¥ âš ð dapat dituliskan sebagai
ð¥ð¡ = ð¥ â ð¡ð£ dengan beberapa ð¡ð£ â ð¢0. â
Persamaan ð â ð¥ âš ð dalam aljabar supertropical menggunakan relasi ghost
surpass selalu mempunyai penyelesaian di ð . Oleh karena itu ð dikatakan sebagai
penutup dari âmax .
53
Relasi ghost surpass pada ð dapat diperluas untuk kasus vektor. Selanjutnya akan
diberikan beberapa definisi terkait hal tersebut.
Definisi 4.5. [8]. Diberikan ð â ð ð dan ð â ð¯0ð
, maka
ð âš ð⺠ðâð â ð¢0(ð)
ekuivalen dengan
ð¢ð âš ð€ð ⺠ð¢ðâð€ð â ð¢0 untuk setiap ð â ð
â¡
Berdasarkan Definisi 4.5 dapat ditunjukkan bahwa :
1. Jika ð â ð¯0ð
maka ð¢ð âš ð€ð âºð¢ð = ð€ð untuk setiap ð â ð.
2. Jika ð â ð¢0(ð)
maka ð¢ð âš ð€ð ⺠ð¢ð âœð ð€ð untuk setiap ð â ð.
Definisi 4.6. Diberikan ðŽ â ðð(ð ), ð â ð ð dan ð â ð¯0
ð , maka sistem persamaan
ðŽâ ð âš ð ⺠ðŽâ ðâ ð â ð¢0(ð)
.
Jika diasumsikan ðŽ = [ððð ], maka
ðð =âšððð âð¥ð
ð
ð=1
diperoleh
ðð âš ðð ⺠ððâðð â ð¢0 untuk setiap ð â ð
â¡
Berdasarkan Definisi 4.6 dapat ditunjukkan bahwa :
1. Jika ð â ð¯0ð
maka ðð âš ðð ⺠ðð = ðð untuk setiap ð â ð.
2. Jika ð â ð¢0(ð)
maka ðð âš ðð ⺠ðð âœð ðð untuk setiap ð â ð.
Selanjutnya akan dibahas mengenai penyelesaian sistem persamaan ðŽâ ð âš ð
dalam aljabar supertropical dengan menggunakan aturan Cramer. Sebelumnya
akan diberikan beberapa Lemma terkait aturan Cramer.
Lemma 4.2. [8]. Diberikan ðŽ â ðð(ð ), maka berlaku :
ðŽâ adj(A) âš |ðŽ| â ðŒðŽ
Bukti : Akan dibuktikan ðŽ â adj(A) âš |ðŽ| â ðŒðŽ.
54
Berdasarkan Definisi 4.2 mengenai relasi ghost surpass, maka untuk membuktikan
ðŽâ adj(A) âš |ðŽ| â ðŒðŽ
sama juga dengan membuktikan bahwa :
(ðŽâ adj(A))â (|ðŽ|â ðŒðŽ) â ð¢0(ð)
didapat
(ðŽ â adj(A))â (|ðŽ| â ðŒðŽ) = [ðŽð,ð] â [ð¶ððð,ð(ðŽ)]â |ðŽ| â ðŒðŽ
= (|ðŽ| â ðŒðŽ) â (|ðŽ| â ðŒðŽ) â ð¢0(ð)
dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ðŽâ adj(A) = |ðŽ| â ðŒðŽ. â
Lemma 4.3. Diberikan ðŽ â ðð(ð ) dengan partisi dari matriks ðŽ yaitu
ð¹ adalah matriks berukuran (ð â 1) à (ð â 1) dari ðŽ
ð» adalah matriks berukuran 1 à (ð â 1) dari ðŽ
ðº adalah matriks berukuran (ð â 1) à 1 dari ðŽ
dan ðð,ð adalah elemen tangible dari matriks ðŽ
sehingga
ðŽ = [ð¹ ðºð» ðð,ð
]
maka berlaku :
|ðŽ| = |ð¹ ðºð» ðð,ð
| = (|ð¹| â ðð,ð) â (ð» â adj(F) â ðº)
â
Berikut diberikan formula Cramer dalam aljabar supertropical.
Teorema 4.3. [8]. Diberikan ðŽ â ðð(ð ) dan ð â ð¯0ð
.
Untuk setiap penyelesaian ð â ð ð dari sistem persamaan
ðŽâ ð âš ð (4.2)
memenuhi :
|ðŽ| â ð âš adj(A) â ð (4.3)
maka penyelesaian ð = |ðŽ|ââ1â (adj(A) â ð).
Bukti : Akan ditunjukkan bahwa ð = |ðŽ|ââ1â adj(A) â ð merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan ðŽ â ð âš ð.
Berdasarkan Lemma 4.2 didapat :
55
ðŽâ adj(A) âš |ðŽ| â ðŒðŽ (4.4)
Asumsikan |ðŽ| â ð¯, kalikan kedua ruas dari persamaan (4.4) dengan |ðŽ|ââ1âð
dari sebelah kanan didapat
(ðŽ â adj(A))â (|ðŽ|ââ1âð ) âš (|ðŽ|â ðŒðŽ)â (|ðŽ|ââ1âð )
⺠ðŽâ (adj(A) â |ðŽ|ââðâð) âš (|ðŽ| â |ðŽ|ââ1)â (ðŒðŽâð )
⺠ðŽâ (|ðŽ|ââ1â adj(A) â ð) âš (ðŒðŽâð )
⺠ðŽâð âš ð.
dapat dilihat bahwa ð = |ðŽ|ââ1â adj(A) â ð merupakan penyelesaian dari
sistem persamaan ðŽâ ð âš ð. â
Teorema 4.4. [8]. Diberikan ðŽ â ðð(ð ) dan ð â ð¯0ð
.
Jika diasumsikan (adj(A)â ð) â ð¯0ð dan |ðŽ| â ð¯, maka
ð = |ðŽ|ââðâ (adj(A) â ð)
adalah solusi tunggal dari ðŽâ ð âš ð.
Bukti : Akan ditunjukkan bahwa ð = |ðŽ|ââ1â (adj(A) â ð) merupakan solusi
tunggal dari ðŽâ ð âš ð.
ketunggalan solusi dari persamaan ðŽâ ð âš ð akan dibuktikan dengan
menggunakan induksi matematika.
untuk ð = 1 jelas, sebab berdasarkan Teorema 4.1 diperoleh
ð â ð¥ âš ð
ð¥ = ðââ1âð
diasumsikan benar untuk ð = ð â 1
akan dibuktikan benar untuk ð = ð
Jika diasumsikan partisi dari ðŽ â ðð(ð ), ð â ð¯0ð
dan ð â ð¯0ð
sebagai berikut :
ðŽ = [ð» ð1,ðð¹ ðº
] , ð = [ð1ðµ] , ð = [
ðð¥ð]
dengan
ð» matriks berukuran 1 à (ð â 1) dari ðŽ
ð¹ matriks berukuran (ð â 1) à (ð â 1) dari ðŽ
ðº matriks berukuran (ð â 1) à 1 dari ðŽ
ðµ matriks berukuran (ð â 1) Ã 1 dari ð
56
ð matriks berukuran (ð â 1) Ã 1 dari ð
ð1,ð adalah elemen tangible dari matriks ðŽ
ð1 adalah elemen tangible dari vektor ð
dan ð¥ð adalah elemen tangible dari vektor ð
sehingga persamaan
ðŽâ ð âš ð
dapat ditulis sebagai
[ð» ð1,ðð¹ ðº
]â [ðð¥ð] âš [
ð1ðµ]
ðŽ âð âš ð ⺠{(ð» â ð)â (ð1,ðâð¥ð) âš ð1 (4.5)
(ð¹ â ð)â (ðº â ð¥ð) âš ðµ (4.6)
dari Lemma 4.2 diketahui bahwa :
ðŽ â adj(A) = |ðŽ| â ðŒðŽ
sehingga
ðŽ = (adj(A))ââ1
â |ðŽ| â ðŒðŽ
⺠ðŽ = |ðŽ| â (adj(A))ââ1
â ðŒðŽ
⺠ðŽââ1 = (|ðŽ|â (adj(A))ââ1
â ðŒðŽ)ââ1
⺠ðŽââ1 = |ðŽ|ââ1â adj(A)â (ðŒðŽ)ââ1
⺠ðŽââ1 = |ðŽ|ââ1â adj(A)
berdasakan Definisi 2.20, maka didapat
ðŽâ = |ðŽ|ââ1â adj(A)
dari persamaan (4.6) diperoleh
(ð¹ â ð) âš ðµâ (ðº â ð¥ð)
kalikan kedua ruas dengan ð¹â dari sebelah kiri, diperoleh
ð¹ââ (ð¹ â ð) âš ð¹ââ (ðµâ (ðº â ð¥ð))
(ð¹ââð¹âð) âš (ð¹ââðµ)â (ð¹ââðºâ ð¥ð)
ð âš (ð¹ââðµ)â (ð¹ââðºâ ð¥ð)
ð âš ð¹ââ (ðµ â (ðº â ð¥ð))
ð âš (|ð¹|ââ1âadj(F))â (ðµ â (ðº â ð¥ð)) (4.7)
substitusikan persamaan (4.7) pada persamaan (4.5), diperoleh
57
(ð»â ð) â (ð1,ðâð¥ð) âš ð1
âºð»â (|ð¹|ââ1â adj(F))â (ðµ â (ðº â ð¥ð))â (ð1,ðâð¥ð) âš ð1
⺠(|ð¹|ââ1âð»â adj(F))â (ðµ â (ðº â ð¥ð))â (ð1,ðâð¥ð) âš ð1
⺠(|ð¹|ââ1âð»â adj(F) â ðµ)â (|ð¹|ââ1âð»â adj(F)â (ðº â ð¥ð))
â (ð1,ðâð¥ð) âš ð1 (4.8)
kalikan persamaan (4.8) dengan |ð¹| dari sebelah kiri, diperoleh
⺠(ð»âadj(F)â ðµ)â (ð» â adj(F)â (ðº â ð¥ð))â |ð¹|â (ð1,ðâð¥ð)
âš |ð¹|â ð1
⺠|ð¹|â (ð1,ðâð¥ð)â (ð» â adj(F)â (ðº â ð¥ð)) âš (|ð¹|â ð1) â
(ð» â adj(F) âðµ)
⺠ð¥ðâ ((|ð¹|â ð1,ð)â (ð» â adj(F) â ðº)) âš (|ð¹|â ð1) â
(ð» â adj(F) âðµ)
⺠ð¥ð âš(|ð¹|â ð1) â (ð» â adj(F)â ðµ)
((|ð¹| â ð1,ð)â (ð» â adj(F) â ðº))
dari Lemma 4.3, diperoleh
|ðŽ| = ((|ð¹|â ð1,ð) â (ð» â adj(F) â ðº))
dan
(adj(A) â ð)ð = (|ð¹|â ð1) â (ð»â adj(F)â ðµ)
sehingga diperoleh
ð¥ð âš(adj(A) â ð)ð
|ðŽ|
⺠ð¥ð âš |ðŽ|ââ1â(adj(A)â ð)ð
karena (adj(A) â ð) â ð¯0ð dan |ðŽ| â ð¯ didapat ð¥ð â ð¯0
ð untuk setiap ð.
Jadi terbukti bahwa :
ð = |ðŽ|ââðâ (adj(A) â ð)
merupakan solusi tunggal. â
58
Dengan kata lain, jika diasumsikan ð·ð¥ð adalah determinan dari matriks yang
diperoleh dengan cara mengganti kolom ke-ð dari matriks ðŽ dengan ð sehingga
(adj(A) â ð)ð = ð·ð¥ð dan diasumsikan ð· = |ðŽ| maka persamaan 4.2 :
|ðŽ| â ð âš adj(A) â ð
menjadi
⺠ð·âð âš adj(A) â ð
⺠ð âš adj(A) â ðâð·ââð
⺠ð¥ð âš (adj(A) â ð)ðâð·ââð
⺠ð¥ð âš ð·ð¥ðâð·ââð
⺠ð¥ð = ð·ââ1âð·ð¥ð
jika ð·ð¥ð â ð¯ dan ð· â ð¯ maka dihasilkan ð¥ð â ð¯0ð
untuk setiap ð â ð, sehingga
dengan menggunakan sifat relasi ghost surpass diperoleh
ð¥ð = ð·ââ1âð·ð¥ð
Hal ini sesuai dengan formula Cramer pada aljabar klasik. â
Berdasarkan Teorema yang telah dibahas, didapatkan syarat perlu dan
syarat cukup sistem persamaan ðŽâ ð âš ð atas aljabar supertropical mempunyai
penyelesaian tunggal yang tangible yaitu jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¯ dan
(adj(A) â ð) â ð¯0ð
. Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi maka sistem persamaan
ðŽâ ð âš ð mempunyai penyelesaian tidak tunggal.
Berikut ini diberikan contoh kasus sistem persamaan ðŽâ ð âš ð mempunyai
penyelesaian tunggal dan tidak tunggal.
4.1.1 Penyelesaian ðŽâ ð âš ð dimana |ðš| â ð£ dalam Aljabar Supertropical
Contoh 4.2. Kasus ðŽâ ð âš ð mempunyai penyelesaian tunggal
Selesaikan ðŽ âð âš ð, jika
ðŽ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
1â6â3]
penyelesaian ðŽâ ð âš ð dengan menggunakan aturan Cramer
ð· = (ð11âð22âð33)â (ð11âð23âð32)â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
59
⺠ð· = (1â 18ââ4)â (1ââ8â 1)â (â9ââ4ââ4)â
(â9ââ8â 2)â (4ââ4â 1)â (4â 18â 2)
⺠ð· = 15ââ6ââ17ââ15â 1â 24 = 24 â ð¯.
ð·1 = |1 â9 4â6 18 â8â3 1 â4
|
⺠ð·1 = (1â 18ââ4)â (1ââ8â 1)â (â9ââ6ââ4)â
(â9ââ8ââ3)â (4ââ6â 1)â (4â 18ââ3)
⺠ð·1 = 15ââ6ââ19ââ20ââ1â 19 = 19 â ð¯.
ð·2 = |1 1 4â4 â6 â82 â3 â4
|
⺠ð·2 = (1ââ6ââ4)â (1ââ8ââ3)â (1ââ4ââ4)â
(1 â â8â 2)â (4ââ4ââ3)â (4ââ6â 2)
⺠ð·2 = â9ââ10ââ9ââ5ââ3â 0 = 0 â ð¯.
ð·3 = |1 â9 1â4 18 â62 1 â3
|
⺠ð·3 = (1â 18ââ3)â (1ââ6â 1)â (â9ââ4ââ3)â
(â9ââ6â 2)â (1ââ4â 1)â (1â 18â 2)
⺠ð·3 = 16ââ4ââ16ââ13ââ2â 21 = 21 â ð¯.
sehingga diperoleh
adj(A)â ð = [ð·1ð·2ð·3
] = [1901] â ð¯0
ð
penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
ð¥1 =ð·1ð·=19
24= â24â 19 = â5
ð¥2 =ð·2ð·=0
24= â24â 0 = â24
ð¥3 =ð·1ð·=21
24= â24â 21 = â3
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
]â [â5â24â3
] = [ððð¥(â4,â33,1)
ððð¥(â9, â6,â11)
ððð¥(â3, â23,â7)] = [
1â6â3] = ð.
60
karena ð· â ð¯ dan ð·ð¥ð â ð¯ untuk setiap ð, maka persamaan ðŽâ ð âš ð dalam
aljabar supertropical ð mempunyai penyelesaian tunggal. Dengan demikian
penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian tunggal di âmax . â
Contoh 4.3. Kasus ðŽâ ð âš ð mempunyai penyelesaian tidak tunggal
Selesaikan ðŽ âð âš ð, jika
ðŽ = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
213]
penyelesaian ðŽâ ð âš ð dengan menggunakan aturan Cramer
ð· = (ð11âð22âð33)â (ð11âð23âð32)â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
⺠ð· = (1â 18ââ4)â (1ââ8â 1)â (â9ââ4ââ4)â
(â9ââ8â 2)â (4ââ4â 1)â (4â 18â 2)
⺠ð· = 15ââ6ââ17ââ15â 1â 24 = 24 â ð¯.
ð·1 = |2 â9 41 18 â83 1 â4
|
⺠ð·1 = (2â 18ââ4)â (2ââ8â 1)â (â9â 1ââ4)â
(â9ââ8â 3)â (4â 1â1)â (4â 18â 3)
⺠ð·1 = 16ââ5ââ12ââ14â 6â 25 = 25 â ð¯.
ð·2 = |1 2 4â4 1 â82 3 â4
|
⺠ð·2 = (1â 1ââ4)â (1ââ8â 3)â (2ââ4ââ4)â
(2 â â8â 2)â (4ââ4â3)â (4â 1â 2)
⺠ð·2 = â2ââ4ââ6ââ4â 3â 7 = 7 â ð¯.
ð·3 = |1 â9 2â4 18 12 1 3
|
⺠ð·3 = (1â 18â 3)â (1â 1â1)â (â9ââ4â 3)â
(â9â 1â 2)â (2ââ4â1)â (2â 18â 2)
⺠ð·3 = 22â 3ââ10ââ6ââ1â 22 = 22ð£ â ð¢0.
sehingga diperoleh
61
adj(A)â ð = [ð·1ð·2ð·3
] = [25722ð£
] â ð¯0ð
penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
ð¥1 =ð·1ð·=25
24= â24â 25 = 1
ð¥2 =ð·2ð·=7
24= â24â 7 = â17
ð¥3 =ð·1ð·=22ð£
24= â24â 22ð£ = â2ð£
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [1 â9 4â4 18 â82 1 â4
]â [1â17â2ð£
] = [ððð¥(2, â26,2)
ððð¥(â3,1,â10)
ððð¥(3,â16,â6ð£)] = [
2ð£
13
] âš [213] = ð.
karena ð· â ð¯ dan terdapat ð·ð¥ð â ð¢ untuk beberapa ð, maka persamaan ðŽâ ð âš ð
dalam aljabar supertropical ð mempunyai penyelesaian tidak tunggal.
penyelesaian tangible dengan ð3 â ð¯ adalah
ð = [1â17ð3
] untuk setiap ð3 âŒð£â 2. â
Proposisi 4.1. [8] Diberikan ðŽ â ðð(ð ) dimana |ðŽ| â ð¢0 â ð, ð â ð¯0ð dan ð â
ð¯0ð
maka sistem persamaan ðŽâ ð âš ð mempunyai penyelesaian ðâ ð â
ð ð dengan ð adalah kolom ke-ð yang tangible dari adj(ðŽ) untuk beberapa ð â ð
dan ð â ð¯. â
4.2.1 Penyelesaian ðŽâ ð âš ð dimana |ðš| â ðð â ðº dalam Aljabar
Supertropical
Contoh 4.4. Kasus ðŽâ ð âš ð mempunyai penyelesaian tidak tunggal
Selesaikan ðŽ âð âš ð, jika
ðŽ = [1 2 34 1 52 2 2
] , ð = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan ð = [
114]
62
|ðŽ| = (ð11âð22âð33)â (ð
11âð23âð32)â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
⺠|ðŽ| = (1â 1â 2)â (1â 5â 2)â (2â 4â 2)â (2â 5â 2)â
(3 â 4â 2)â (3â 1â 2)
⺠|ðŽ| = 4â 8â 8â 9â 9â 6 = 9ð£ â ð¢0.
Penyelesaian dari ðŽâ ð âš ð adalah
adj(A) = [7 5 77 5 76 4 6
]
penyelesaian ð merupakan kolom ke-ð yang tangible dari adj(ðŽ) yaitu kolom ke-1,
kolom ke-2 dan kolom ke- 3.
jika ð adalah kolom ke-1 dan kolom ke-3 dari Adj (ðŽ), maka
ð = [776]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [1 2 34 1 52 2 2
]â [776] = [
9ð£
11ð£
9ð£] âš [
114]
jika ð adalah kolom ke-2 dari Adj (ðŽ), maka
ð = [554
]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [1 2 34 1 52 2 2
] â [554
] = [7ð£
9ð£
7ð£] âš [
114]
penyelesaian lain dari ðŽ â ð âš ð adalah
ð = ð â [
ð1ð2ð3]
dengan ð1 = 7, ð2 = 7, ð3 = 6 atau ð1 = 5, ð2 = 5, ð3 = 4. Untuk setiap ð â ð¯
yang besar sedemikian hingga memenuhi ðŽâ ð âš ð. â
63
Dalam hal ini |ðŽ| â ð bukan merupakan syarat perlu dari sistem ðŽ âð âš ð dalam
aljabar supertropical ð agar memiliki solusi untuk semua nilai ð.
Contoh 4.5.
Diberikan
ðŽ = [ð ð ðð ð ðð ð ð
]
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
⺠|ðŽ| = (ð â ð â ð)â (ð â ð â ð)â (ð â ðâ ð)â (ðâ ð â ð)â
(ð â ð â ð)â (ð â ð â ð)
⺠ð· = ð â ð â ð â ð â ð â ð = ð.
Ambil ð¡ â ð¯ dan ðð âŒð£ ð¡ untuk semua nilai ð, dan ð¥ = [ð¡ ð¡ ð]ð
maka diperoleh
ðŽâ ð = [ð ð ðð ð ðð ð ð
] â [ð¡ð¡ð] = [
ððð¥(ð¡, ð¡, ð)
ððð¥(ð¡, ð¡, ð)
ððð¥(ð¡, ð¡, ð)] = [
ð¡ð£
ð¡ð£
ð¡ð£].
Dari yang diketahui bahwa ðð âŒð£ ð¡ untuk semua nilai ð berarti ðð âŒð£ [ð¡ð¡ð¡]
berdasarkan perhitungan, maka didapatkan bahwa :
meskipun |ðŽ| = ð dapat ditemukan nilai ð sehingga memenuhi ðŽâ ð âš ð dengan
ð¥ = [ð¡ ð¡ ð]ð.
Berikut diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linear ðŽâ ð = ð dalam
aljabar supertropical.
Contoh 4.6.
Selesaikan ðŽ âð = ð, jika
ðŽ = [4 0 â2â1 â2 â5â1 â2 â2
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] dan , ð = [
512
]
Penyelesaian ðŽâ ð = ð dengan menggunakan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð
didapatkan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð sebagai berikut :
64
ð·ðŽ,ð = [1 5 72 3 63 4 4
] dan ð ðŽ,ð = [1 0 00 1 00 0 1
]
terlihat bahwa setiap kolom matriks ð ðŽ,ð hanya terdapat tepat satu elemen bernilai
1. Hal ini menandakan bahwa ðŽâ ð = ð hanya mempunyai tepat satu
penyelesaian ð dengan elemen-elemennya adalah minimum dari setiap kolom
matriks ð·ðŽ,ð yaitu
ð = [134]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [4 0 â2â1 â2 â5â1 â2 â2
]â [134] = [
ððð¥(5,3,2)
ððð¥(0,1,â1)
ððð¥(0,1,2)] = [
512
] = ð.
Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :
Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian
persamaan baris pertama menetapkan elemen ð¥1 = 1.
Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian
persamaan baris kedua menetapkan elemen ð¥2 = 3.
Pada baris ketiga didapatkan nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan
demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen ð¥3 = 4.
Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih ini tidak bisa diubah, bila diubah
yang lain maka akan membentuk pertaksamaan. Karena pada keseluruhan baris,
nilai maksimum hanya dicapai satu kali, maka hanya terdapat satu cara untuk
mencapai persamaan pada semua baris yaitu dengan menetapkan elemen ð¥1 = 1,
ð¥2 = 3, ð¥3 = 4. Dengan demikian persamaan ðŽ â ð = ð memiliki penyelesaian
tunggal.
Selanjutnya, persamaan ðŽâ ð = ð akan diselesaikan dengan
menggunakan aturan Cramer dalam aljabar supertropical sebagai berikut
ð· = (ð11âð22âð33)â (ð11âð23âð32)â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
⺠ð· = (4ââ2ââ2)â (4ââ5ââ2)â (0ââ1ââ2)â
65
(0 â â5ââ1)â (â2ââ1ââ2)â (â2ââ2ââ1)
⺠ð· = 0ââ3ââ3ââ6ââ5ââ5 = 0 â ð¯.
ð·1 = [5 0 â21 â2 â52 â2 â2
]
⺠ð·1 = (5ââ2ââ2)â (5ââ5ââ2)â (0â 1ââ2)â
(0 â â5â 2)â (â2â 1ââ2)â (â2ââ2â 2)
⺠ð·1 = 1ââ2ââ1ââ3ââ3ââ2 = 1 â ð¯.
ð·2 = [4 5 â2â1 1 â5â1 2 â2
]
⺠ð·2 = (4â 1ââ2)â (4ââ5â 2)â (5ââ1ââ2)â
(5 â â5ââ1)â (â2ââ1â 2)â (â2â 1ââ1)
⺠ð·2 = 3â 1â 2ââ1ââ1ââ2 = 3 â ð¯.
ð·3 = [4 0 5â1 â2 1â1 â2 2
]
⺠ð·3 = (4ââ2â 2)â (4â 1ââ2)â (0ââ1â2)â
(0 â 1ââ1)â (5ââ1ââ2)â (5ââ2ââ1)
⺠ð·3 = 4â 3â 1â 0â 2â 2 = 4 â ð¯.
sehingga diperoleh
adj(A) â ð = [ð·1ð·2ð·3
] = [134] â ð¯0
ð
penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
ð¥1 =ð·1ð·=1
0= â0â 1 = 1
ð¥2 =ð·2ð·=3
0= â0â 3 = 3
ð¥3 =ð·1ð·=4
0= â0â4 = 4
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [4 0 â2â1 â2 â5â1 â2 â2
]â [134] = [
ððð¥(5,3,2)
ððð¥(0,1,â1)
ððð¥(0,1,2)] = [
512
] = ð
66
karena ð· â ð¯ dan ð·ð¥ð â ð¯ untuk setiap ð, maka penyelesaian tersebut merupakan
penyelesaian tunggal di âmax . â
Selanjutnya, akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaaan linear
ðŽâ ð = ð dengan ðŽðÃð(ð ) adalah matriks berukuran ð à ð dengan entri matriks
anggota ð . ð â ð ð adalah vektor tangible, dan ð â ð ð.
Contoh 4.7. (Banyak persamaan kurang dari banyak peubah)
Selesaikan ðŽ âð = ð, jika ðŽ = [2 5 13 8 2
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3] , ð = [
710]
ðŽð âðŽâ ð = ðŽðâð
[2 35 81 2
]â [2 5 13 8 2
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
2 35 81 2
] â [710]
[6 11 511 16 105 10 4
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
131812]
Penyelesaian ðŽâ ð = ð dengan menggunakan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð
didapatkan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð sebagai berikut :
ð·ðŽ,ð = [7 2 87 2 87 2 8
] dan ð ðŽ,ð = [1 1 11 1 11 1 1
]
terlihat bahwa setiap kolom matriks ð ðŽ,ð terdapat setidaknya satu elemen bernilai
1, sedangkan pada setiap baris terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal tersebut
menandakan bahwa ðŽâ ð = ð mempunyai banyak penyelesaian ð. Elemen-
elemen minimum dari setiap kolom matriks ð·ðŽ,ð yaitu
ð = [728]
Hal ini bisa di cek sebagai berikut :
[6 11 511 16 105 10 4
] â [728] = [
13ð£
18ð£
12ð£].
dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :
67
Pada setiap baris nilai maksimum dicapai lebih dari satu kali. Sehingga persamaan
pada semua baris akan tercapai dengan menetapkan ð¥1 = 7 , ð¥2 < 2 , ð¥3 < 8 atau
ð¥1 < 7 , ð¥2 = 2 , ð¥3 < 8 atau ð¥1 < 7 , ð¥2 < 2 , ð¥3 = 8. Dengan demikian
persamaan ðŽ âð = ð memiliki penyelesaian tak hingga banyak yaitu
ð = [7ð2ð3
] untuk setiap ð2 < 2 dan ð3 < 8
ð = [ð12ð3
] untuk setiap ð1 < 7 dan ð3 < 8
ð = [ð1ð28
] untuk setiap ð1 < 7 dan ð2 < 2
Selanjutnya, persamaan ðŽâ ð = ð akan diselesaikan dengan
menggunakan aturan Cramer dalam aljabar supertropical sebagai berikut.
ð· = (ð11âð22âð33)â (ð11âð23âð32)â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
⺠ð· = (6â 16â 4)â (6â 10â 10)â (11â 11â 4)â
(11â 10â 5)â (5â 11â 10)â (5â 16â 5)
⺠ð· = 26â 26â 26â 26â 26â 26 = 26ð£ â ð¢0.
ð·1 = [13 11 518 16 1012 10 4
]
⺠ð·1 = (13â 16â 4)â (13â 10â 10)â (11â 18â 4)â
(11â 10â 12)â (5â 18â 10) â (5â 16â 12)
⺠ð·1 = 33â 33â 33â 33â 33â 33 = 33ð£ â ð¢0.
ð·2 = [6 13 511 18 105 12 4
]
⺠ð·2 = (6â 18â 4)â (6â 10â 12)â (13â 11â 4)â
(13â 10â 5)â (5â 11â 12)â (5â 18â 5)
⺠ð·2 = 28â 28â 28â 28â 28â 28 = 28ð£ â ð¢0.
ð·3 = [6 11 1311 16 185 10 12
]
68
⺠ð·3 = (6â 16â 12)â (6â 18â 10)â (11â 11â 12) â
(11â 18â 5)â (13â 11â 10) â (13â 11â 10)
⺠ð·3 = 34â 34â 34â 34â 34â 34 = 34ð£ â ð¢0.
sehingga diperoleh
adj(A)â ð = [ð·1ð·2ð·3
] = [33ð£
28ð£
34ð£] â ð¯0
ð
penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
ð¥1 =ð·1ð·=33ð£
26ð£= â26ð£â33ð£ = 7ð£
ð¥2 =ð·2ð·=28ð£
26ð£= â26ð£â28ð£ = 2ð£
ð¥3 =ð·1ð·=34ð£
26ð£= â26ð£â34ð£ = 8ð£
hal ini bisa di cek sebagai berikut
[6 11 511 16 105 10 4
]â [728] = [
13ð£
18ð£
12ð£]
penyelesaian tangible lain dengan ð â ð¯ adalah
ð = [7ð2ð3
] untuk setiap ð2 < 2 dan ð3 < 8
ð = [ð12ð3
] untuk setiap ð1 < 7 dan ð3 < 8
ð = [ð1ð28
] untuk setiap ð1 < 7 dan ð2 < 2
karena ð· â ð¢0 dan ð·ð¥ð â ð¢0 untuk setiap ð, maka persamaan ðŽ âð = ð
mempunyai penyelesaian tidak tunggal. â
Contoh 4.8. (Banyak persamaan lebih dari banyak peubah)
Selesaikan ðŽ âð = ð, jika ðŽ = [1 23 49 2
] , ð¥ = [ð¥1ð¥2] , ð = [
367]
ðŽð âðŽâ ð = ðŽðâð
69
[1 3 92 4 2
]â [1 23 49 2
] â [ð¥1ð¥2] = [
1 3 92 4 2
]â [367]
[18 1111 8
]â [ð¥1ð¥2] = [
169]
Penyelesaian ðŽâ ð = ð dengan menggunakan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð
didapatkan matriks ð·ðŽ,ð dan ð ðŽ,ð sebagai berikut :
ð·ðŽ,ð = [â2 5â2 1
] dan ð ðŽ,ð = [1 01 1
]
terlihat bahwa setiap kolom matriks ð ðŽ,ð terdapat setidaknya satu elemen bernilai
1. Sedangkan setiap baris ke-2 matriks ð ðŽ,ð terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal
tersebut menandakan bahwa ðŽâ ð = ð mempunyai banyak penyelesaian ð.
Elemen-elemen minimum dari setiap kolom matriks ð·ðŽ,ð yaitu
ð = [â21]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
[18 1111 8
]â [â21] = [
ððð¥(16,12)
ððð¥(9, 9)] = [
169ð£] âš ð.
Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :
Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian
persamaan baris pertama menetapkan elemen ð¥1 = â2.
Pada baris kedua nilai maksimum dicapai lebih dari satu kali yaitu pada saat
elemen ð¥1 = â2 dan ð¥2 = 1.
Elemen-elemen yang sudah dipilih yaitu ð¥1 = â2 tidak bisa diubah, bila diubah
yang lain maka baris pertama akan membentuk pertaksamaan. Karena persamaan
baris pertama telah menetapkan ð¥1 = â2, maka dengan menetapkan ð¥2 < 1 pada
baris pertama tetap membentuk persamaan dan tidak akan mengubah persamaan
pada baris lain. Sehingga persamaan pada semua baris akan tercapai dengan
menetapkan elemen ð¥1 = â2, ð¥2 < 1 . Dengan demikian ðŽâ ð = ð memiliki
penyelesaian tak hingga banyak yaitu
ð = [â2ð2] untuk setiap ð2 < 1
70
Selanjutnya, persamaan ðŽâ ð = ð akan diselesaikan dengan
menggunakan aturan Cramer dalam aljabar supertropical sebagai berikut.
ð· = (ð11âð22) â (ð12âð21)
⺠ð· = (18â 8)â (11â 11)
⺠ð· = 26â 22 = 26 â ð¯.
ð·1 = [16 119 8
]
⺠ð·1 = (16â 8)â (11â 9)
⺠ð·1 = 24â 20 = 24 â ð¯.
ð·2 = [18 1611 9
]
⺠ð·2 = (18â 9)â (16â 11)
⺠ð·2 = 27â 27 = 27ð£ â ð¢0.
sehingga diperoleh
[ð·1ð·2] = [
2427ð£
] â ð¯0ð
penyelesaian dari persamaan tersebut adalah
ð¥1 =ð·1ð·=24
26= â26â 24 = â2
ð¥2 =ð·2ð·=27ð£
26= â26â 27ð£ = 1ð£
hal ini dapat dicek sebagai berikut
[18 1111 8
]â [â21] = [
ððð¥(16,12)
ððð¥(9, 9)] = [
169ð£]
penyelesaian tangible lain dengan ð â ð¯ adalah
ð = [â2ð2] untuk setiap ð2 < 1
karena ð· â ð¯ dan ð·ð¥ð â ð¢0 untuk beberapa ð, maka persamaan ðŽ âð = ð
mempunyai penyelesaian tidak tunggal. â
71
4.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Homogen atas Aljabar Supertropical
Pada bagian ini akan dibahas mengenai sistem persamaan linear homogen.
Sebagai motivasi dari pembahasan sistem persamaan linear homogen, akan
diberikan sistem persamaan homogen di âmax sebagai berikut.
Selesaikan ðŽ âð = ðº di âmax , jika
ðŽ = [0 5 ââ2 7 8ââ ââ 0
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3]
dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai :
[0 5 ââ2 7 8ââ ââ 0
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
ââââââ
]
sistem diatas ekuivalen dengan
(0 â ð¥1) â (5â ð¥2) â (âââ ð¥3) = ââ
(2 â ð¥1) â (7â ð¥2) â (8â ð¥3) = ââ
(âââð¥1) â (âââð¥2) â (0â ð¥3) = ââ
sistem persamaan ðŽâ ð = ðº diatas tidak mempunyai penyelesaian tak trivial,
sebab bila punya penyelesaian tak trivial berarti ada ð = [
ð¥1ð¥2ð¥3] tidak semuanya sama
dengan ð sehingga
[0 5 ââ2 7 8ââ ââ 0
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
ââââââ
]
didapat
(âââ ð¥1)â (âââ ð¥2)â (0â ð¥3) = ââ â ð¥3 = ââ
(0 â ð¥1) â (5â ð¥2) â (âââ ð¥3) = ââ â ð¥1â (5â ð¥2) = ââ
terlihat bahwa tidak akan ada ð¥1, ð¥2 â âððð¥ sehingga ð¥1â (5â ð¥2) = ââ,
maka satu-satunya penyelesaian dari sistem tersebut adalah
[
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
ââââââ
]
jadi persamaan ðŽâ ð = ðº hanya mempunyai penyelesaian trivial dan tidak
mempunyai penyelesaian tak trivial.
72
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa dapat
dikonstruksikan suatu semiring khusus yang merupakan perluasan dari âmax.
Sedemikian hingga penyelesaian sistem persamaan linear dapat digeneralisasikan
dengan menggunakan relasi ghost surpass di ð . Sejalan dengan pembahasan pada
bagian sebelumnya, maka dengan menggunakan relasi ghost surpass penyelesaian
sistem persamaan ðŽâ ð = ðº akan diperlemah menjadi ðŽâ ð âš ðº.
Berikut diberikan penjelasan mengenai relasi ghost surpass dalam aljabar
supertropical pada persamaan homogen.
Definisi 4.7. [5]. Diberikan ð â ð , maka
ð âš ð ⺠ð = ð â ð untuk beberapa ð â ð¢0
â¡
Definisi 4.8. [5]. Diberikan ð â ð , maka
ð âš ð ⺠ð â ð¢0 â¡
Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai himpunan penyelesaian dari suatu
persamaan homogen dengan menggunakan relasi ghost surpass pada ð .
ð¥ âš ð
himpunan penyelesaian dari ð¥ adalah
{ð} ⪠{ðð£|ð â ð¯ }
â¡
Lemma 4.4. [8]. Jika ð â ð¯ dan ð¥ â ð¯0 maka persamaan ð â ð¥ â ð¢0 hanya
mempunyai penyelesaian trivial ð¥ = ð.
Bukti : Berdasarkan Definisi 4.8 diketahui bahwa :
ð âš ð ⺠ð â ð¢0
diperoleh
ð â ð¥ âš ð ⺠ðâ ð¥ â ð¢0
jika ð â ð¯ maka untuk setiap ð¥ â ð¯0 hanya terdapat penyelesaian trivial ð¥ = ð
sehingga memenuhi ð â ð¥ â ð¢0. â
Selanjutnya, relasi ghost surpass dari persamaan linear homogen atas aljabar
supertropical akan diperluas untuk kasus vektor.
73
Definisi 4.9. Diberikan ð â ð ð , maka
ð âš ðº ⺠ð â ð¢0(ð)
ekuivalen dengan
ð¢ð âš ðº ⺠ð¢ð â ð¢0 untuk setiap ð â ð
â¡
Definisi 4.10. Diberikan ðŽ â ðð(ð ), ð â ð ð , maka sistem persamaan
ðŽâ ð âš ðº ⺠ðŽâð â ð¢0(ð)
â¡
Berikut ini diberikan beberapa definisi terkait penyelesaian ðŽ â ð â ð¢0(ð)
.
Definisi 4.11. [19]. Suatu himpunan vektor ð = {ðð, ðð, . . , ðð} â ð (ð) dikatakan
bebas supertropical, jika
âšðŒðâðð â ð¢0(ð)
ð
ð=1
mengakibatkan ðŒð = ð â ââ untuk setiap ð â ð. â¡
Definisi 4.12. [19]. Suatu himpunan vektor ð = {ðð, ðð, . . , ðð} â ð (ð) dikatakan
bergantung supertropical, jika terdapat skalar ðŒ1, ⊠, ðŒð â ð¯0 dimana tidak semua
ðŒð = ð sehingga
âšðŒðâð£ð â ð¢0(ð)
ð
ð=1
dengan ð¯0 â ð¯ ⪠{ââ} dan ð â ð. â¡
Contoh-contoh berikut menjelaskan hal-hal yang berkaitan dengan Definisi 4.11
dan 4.12.
Contoh 4.9.
Diberikan ð = {ðð, ðð, ðð} di ð 3, dengan ðð = [0ââââ
], ðð = [104ââ
], ðð = [ââ30]
vektor ðð , ðð dan ðð adalah bebas supertropical. Untuk membuktikan hal tersebut
maka harus ditunjukkan bahwa satu-satunya cara agar
74
ðŒ1 â [0ââââ
]â ðŒ2â [104ââ
]â ðŒ3â [ââ30] â ð¢0
(3)
yaitu jika semua skalar ðŒ1, ðŒ2, ðŒ3 adalah ââ. Persamaan di atas dapat ditulis
sebagai suatu sistem linear dengan peubah-peubah ðŒ1, ðŒ2, ðŒ3 sebagai berikut :
(0 â ðŒ1) â (10â ðŒ2) â (âââ ðŒ3) â ð¢0
(âââ ðŒ1) â (4â ðŒ2) â (3â ðŒ3) â ð¢0
(âââ ðŒ1) â (âââ ðŒ2) â (0â ðŒ3) â ð¢0
dalam bentuk perkalian matriks dituliskan sebagai
[0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
]â [
ðŒ1ðŒ2ðŒ3] â ð¢0
(3)
Pada baris ketiga didapat
(âââ ðŒ1) â (âââðŒ2) â (0â ðŒ3) â ð¢0 âºðŒ3 â ð¢0 ⺠ðŒ3 = ââ.
Pada baris kedua didapat
(âââ ðŒ1) â (4â ðŒ2) â (3âââ) â ð¢0 ⺠(ðŒ2â4) â ð¢0 ⺠ðŒ2 = ââ.
Pada baris pertama didapat
(0 â ðŒ1) â (10âââ)â (âââ ðŒ3) ⺠ðŒ1 = ââ.
dengan demikian satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah
ðŒ1 = ââ , ðŒ2 = ââ dan ðŒ3 = ââ.
Dari contoh tersebut terlihat bahwa matriks koefisien dari sistem ini adalah non
singular. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ð = [0 10 ââââ 4 3ââ ââ 0
]
akan dicari determinan dari ð
|ð| = (ð£11âð£22âð£33)â (ð£11âð£23âð£32) â (ð£12âð£21âð£33)
â (ð£12âð£23âð£31) â (ð£13âð£21âð£32) â (ð£13âð£22âð£31)
|ð| = (0â 4â 0)â (0â 3âââ)â (10ââââ 0)â (10â 3âââ)
â (ââââââââ)â (âââ 4âââ)
|ð| = 4âââââââââââââââ = 4 â ð¯
karena |ð| = 4 â ð¯, maka ð matriks non singular. â
75
Contoh 4.10.
Diberikan ð = {ðð, ðð, ðð} di ð 3 , dengan ðð = [0ââ0] , ðð = [
24ââ
], ðð = [ââ20]
vektor ðð , ðð dan ðð adalah bergantung supertropical. Untuk membuktikan hal
tersebut maka harus ditunjukkan bahwa terdapat skalar ðŒ1, ðŒ2, ðŒ3 â ð¯0 dimana tidak
semua ðŒð = ð dengan ð = 1,2,3 sehingga
ðŒ1 â [0ââ0]â ðŒ2â [
24ââ
]â ðŒ3â [ââ20] â ð¢0
(3)
persamaan di atas dapat ditulis sebagai suatu sistem linear dengan peubah-peubah
ðŒ1, ðŒ2, ðŒ3 sebagai berikut :
(0 â ðŒ1) â (2â ðŒ2)â (âââ ðŒ3) â ð¢0
(âââ ðŒ1) â (4â ðŒ2) â (2â ðŒ3) â ð¢0
(0 â ðŒ1) â (âââ ðŒ2) â (0â ðŒ3) â ð¢0
dalam bentuk perkalian matriks dituliskan sebagai
[0 2 ââââ 4 20 ââ 0
]â [
ðŒ1ðŒ2ðŒ3] â ð¢0
(3)
pada baris ketiga didapat
(0 â ðŒ1) â (âââ ðŒ2) â (0â ðŒ3) ⺠ðŒ1âðŒ3 â ð¢0 ⺠ðŒ1 = ðŒ3.
terlihat bahwa dapat ditemukan skalar ðŒ1 = ðŒ3, sehingga untuk setiap skalar
ðŒ1, ðŒ3 â ð¯0 dimana ðŒ1 = ðŒ3 akan memenuhi persamaan tersebut, dengan demikian
sistem ini mempunyai penyelesaian tak trivial.
Dari contoh tersebut terlihat bahwa matriks koefisien dari sistem ini adalah
singular. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ð = [0 2 ââââ 4 20 ââ 0
]
akan dicari determinan dari ð
|ð| = (ð£11âð£22âð£33)â (ð£11âð£23âð£32) â (ð£12âð£21âð£33)
â (ð£12âð£23âð£31) â (ð£13âð£21âð£32) â (ð£13âð£22âð£31)
|ð| = (0â 4â 0)â (0â 2âââ)â (2ââââ 0)â (2â 2â 0)â
(âââ 2â 0)â (âââ 4â 0)
|ð| = 4âââââââ 4ââââââ = 4ð£ â ð¢0
76
karena |ð| = 4ð£ â ð¢0, maka ð matriks singular. â
Berikut diberikan penjelasan mengenai beberapa hal yang telah dibahas.
Vektor-vektor ðð dengan ð = 1,2,⊠, ð dalam ruang vektor ð bebas supertropical,
ekuivalen dengan
ð¥1 â ððâð¥2â ððââŠâ ð¥ðâðð â ð¢0(ð)
dipenuhi hanya untuk ð¥1 = ð¥2 = ⯠= ð¥ð = ð â ââ.
Bila ð = ð ð maka vektor-vektor ðð dengan ð = 1,2,⊠, ð dalam ruang vektor ð atas
ð bebas supertropical memiliki arti bahwa sistem persamaan linear homogen
ð¥1 â ððâð¥2â ððââŠâ ð¥ðâðð â ð¢0(ð)
mempunyai penyelesaian trivial yaitu ð¥ð = ð â ââ dengan ð = 1,2, ⊠, ð.
Bila persamaan homogen ini mempunyai penyelesaian tak trivial, yaitu ðð â ðº
untuk beberapa ð dengan ðð â ð¯0. Hal ini berarti bahwa vektor-vektor ðð tersebut
tidak bebas supertropical atau bergantung supertropical.
Berikut diberikan Teorema mengenai eksistensi dan ketunggalan dari penyelesaian
ðŽâ ð âš ðº atas aljabar supertropical.
Teorema 4.5. Diberikan ðŽ â ðð(ð ) maka sistem persamaan ðŽâ ð âš ðº
mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¢0 â ð. â
Teorema 4.6. Diberikan ðŽ â ðð(ð ) maka sistem persamaan ðŽâ ð âš ðº
mempunyai penyelesaian trivial jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¯. â
Selanjutnya, diberikan penjelasan terkait penyelesaian tak trivial dari persamaan
ðŽâ ð âš ðº dalam aljabar supertropical.
Proposisi 4.2. [8]. Diberikan ðŽ â ðð(ð ) dimana |ðŽ| â ð¢0 â ð dan ð â ð¯0ð
maka
sistem persamaan ðŽâ ð âš ðº mempunyai penyelesaian ð â ð â ð ð dengan ð
adalah kolom ke-ð dari adj(ðŽ) untuk beberapa ð â ð dan ð â ð¯. â
77
4.4.1 Penyelesaian ðŽâ ð âš ðº dimana |ðš| â ð£ dalam Aljabar Supertropical
Contoh 4.13.
Selesaikan ðŽ âð âš ðº, jika ðŽ = [1 4 â11 0 63 1 3
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3]
sistem persamaan ðŽâ ð âš ðº ⺠ðŽâ ð â ð¢0(3)
[1 4 â11 0 63 1 3
] â [
ð¥1ð¥2ð¥3] â ð¢0
(3)
ekuivalen dengan
(1 â ð¥1)â (4â ð¥2) â (â1â ð¥3) â ð¢0
(1â ð¥1) â (0â ð¥2) â (6â ð¥3) â ð¢0
(3â ð¥1) â (1â ð¥2) â (3â ð¥3) â ð¢0
determinan dari ðŽ
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 0â 3)â (1â 6â 1)â (4â 1â 3)â (4â 6â3)â
(â1â 1â 1)â (â1â 0â 3)
|ðŽ| = 4â 8â 8â 13â 1â 2 = 13 â ð¯.
|ðŽ| = 13 â ð¯, maka penyelesaian dari ðŽ â ð â ð¢0(3)
adalah
[
ð¥1ð¥2ð¥3] = [
ððð]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
[1 4 â11 0 63 1 3
] â [ððð] = [
ððð] â ð¢0
(3)
karena |ðŽ| â ð¯ maka persamaan ðŽ â ð âš ðº dalam aljabar supertropical ð
mempunyai penyelesaian trivial. Dengan demikian penyelesaian tersebut
merupakan penyelesaian trivial di âmax . â
78
4.4.2 Penyelesaian ðŽâ ð âš ðº dimana |ðš| â ðð â ðº dalam Aljabar
Supertropical
Contoh 4.14.
Selesaikan ðŽ âð âš ðº, jika ðŽ = [1 2 34 1 52 2 2
] , ð¥ = [
ð¥1ð¥2ð¥3]
sistem persamaan ðŽâ ð âš ðº ⺠ðŽâ ð â ð¢0(3)
[1 2 34 1 52 2 2
]â [
ð¥1ð¥2ð¥3] â ð¢0
(3)
ekuivalen dengan
(1â ð¥1) â (2â ð¥2) â (3â ð¥3) â ð¢0
(4â ð¥1) â (1â ð¥2) â (5â ð¥3) â ð¢0
(2â ð¥1) â (2â ð¥2) â (2â ð¥3) â ð¢0
determinan dari ðŽ
|ðŽ| = (ð11âð22âð33) â (ð11âð23âð32) â (ð12âð21âð33)
â (ð12âð23âð31) â (ð13âð21âð32) â (ð13âð22âð31)
|ðŽ| = (1â 1â 2)â (1â 5â 2)â (2â 4â 2)â (2â 5â2)â
(3â 4â 2)â (3â 1â 2)
|ðŽ| = 4â 8â 8â 9â 9â 6 = 9ð£ â ð¢0.
|ðŽ| = 9ð£ â ð¢0, maka penyelesaian dari ðŽâ ð â ð¢0(3)
adalah
adj(A) = [7 5 77 5 76 4 6
]
penyelesaian ð merupakan kolom ke-ð dari adj(ðŽ) yaitu kolom ke-1, 2 dan 3.
jika ð adalah kolom ke-1 dan kolom ke-3 dari Adj (ðŽ), maka
ð = [776]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [1 2 34 1 52 2 2
]â [776] = [
9ð£
11ð£
9ð£] â ð¢0
(3)
79
jika ð adalah kolom ke-2 dari Adj (ðŽ), maka
ð = [554
]
hal ini bisa di cek sebagai berikut :
ðŽâ ð = [1 2 34 1 52 2 2
] â [554
] = [7ð£
9ð£
7ð£] â ð¢0
(3)
penyelesaian lain dari ðŽâ ð â ð¢0(3)
adalah
ð = ð â [
ð1ð2ð3]
untuk setiap ð â ð¯ dengan ð1 = 7, ð2 = 7, ð3 = 6 atau ð1 = 5, ð2 = 5, ð3 = 4.
â
81
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah diberikan, dapat
dibuat simpulan serta saran untuk pengembangan dan perbaikan penelitian
selanjutnya.
5.1 Simpulan
Simpulan yang dapat diambil dari hasil penelitian dan pembahasan yang
telah diberikan adalah sebagai berikut :
1. Penyelesaian sistem persamaan ðŽ â ð âš ð atas aljabar supertropical
dengan ðŽ â ðð(ð ), ð â ð¯0ð dan ð â ð ð terbagi menjadi penyelesaian
tangible, ghost, dan nol.
2. Sistem persamaan tak homogen ðŽ â ð âš ð atas aljabar supertropical
dengan ðŽ â ðð(ð ), ð â ð¯0ð dan ð â ð ð mempunyai penyelesaian
tangible yang tunggal jika dan hanya jika |ðŽ| â ð¯ dan (adj(A) â ð) â
ð¯0ð
. Serta mempunyai penyelesaian tangible yang tidak tunggal jika dan
hanya jika |ðŽ| â ð¢0 â ð atau (adj(A) â ð) â ð¯0ð
.
3. Sistem persamaan homogen ðŽ â ð âš ðº atas aljabar supertropical
dengan ðŽ â ðð(ð ), dan ð â ð ð mempunyai penyelesaian trivial jika
dan hanya jika |ðŽ| â ð¯. Serta mempunyai penyelesaian tak trivial jika
dan hanya jika |ðŽ| â ð¢0 â ð.
5.2 Saran
Saran untuk penelitian selanjutnya adalah
a. Metode yang digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem
persamaan linear ðŽ â ð âš ð atas aljabar supertropical bisa digunakan
metode lain selain aturan Cramer dan matriks ðŽ tidak persegi.
b. Untuk sistem persamaan ðŽ â ð âš ð dengan ðŽ â ðð(ð ) dapat dibuat
program untuk menghitung nilai determinan pada aturan Cramer,
sehingga dapat mempermudah penyelesaiannya.
83
DAFTAR PUSTAKA
[1] History of Tropical Algebra, (tanggal akses : 1 Mei 2015), (http:\\
en.m.wikipedia.org/wiki/tropical_geometry).
[2] Litvinov, G. L., (2005), âThe Maslov Dequantization, Idempotent and
Tropical Mathematics : a Very Brief Introductionâ, arXiv :
0507014v1.
[3] Izhakian, Z., (2009), âTropical Arithmetic and Matrix Algebraâ,
Communications in Algebra, 37 : 4, hal. 1445-1468.
[4] Izhakian, Z., dan Rowen, L., (2010a), âSupertropical Algebraâ, Advances in
Mathematics, 225, hal. 2222-2286.
[5] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2010b), Supertropical Linear
Algebra, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, ISSN
1864-7596.
[6] Izhakian, Z., dan Rowen, L., (2010c), âSupertropical Polynomials and
Resultantsâ, Journal of Algebra, 324, hal. 1860-1886.
[7] Izhakian, Z., dan Rowen, L.,(2011a), âSupertropical Matrix Algebraâ,
Israel Journal Mathematics, 182, hal. 383-424.
[8] Izhakian, Z., dan Rowen, L.,(2011b), âSupertropical Matrix Algebra II :
Solving Tropical Equationsâ, Israel Journal Mathematics, 186, hal.
69-97.
[9] Izhakian, Z., dan Rowen, L.,(2011c), âSupertropical Matrix Algebra III :
Power of Matrices and Their Supertropical Eigenvaluesâ, Journal of
Algebra, 341, hal. 25-149.
[10] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2012), âDual Space and
Bilinear Forms in Supertropical Linear Algebraâ, Journal Linear and
Multilinear Algebra, 60 : 7, hal. 865-883.
[11] Niv, Adi., (2012), âFactorization of Supertropical Matricesâ, arXiv :
1202.3615v1.
84
[12] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2013), âSupertropical Monoids
: Basics and Canonical Factorizationâ, Journal of Pure and Applied
Algebra, 217, hal. 2135-2162.
[13] Niv, Adi., (2014), âCharacteristic Polynomials of Supertropical Matricesâ,
Communications in Algebra, 42, hal. 528-539.
[14] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2015a), âSupertropical
Quadratic Forms Iâ, Journal of Pure and Applied Algebra, article in
press.
[15] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2015b), âSupertropical
Quadratic Forms IIâ, arXiv : 1506.03404v1.
[16] Niv, Adi., (2015), âOn Pseudo-Inverses of Matrices and Their Characteristic
Polynomials in Supertropical Algebraâ, Linear Algebra and Its
Applications, 471, hal. 264-290.
[17] Subiono, (2015), âAljabar Min-Max Plus dan Terapannya Versi 3.0.0â,
Jurusan Matematika, ITS, Surabaya.
[18] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., dan Quadrat, J.P., (2001),
âSynchronization and Linearityâ, John Wiley & Sons, New York.
[19] Izhakian, Z., Rhodes, J., dan Rowen, L., (2011), âSupertropical Algebra and
Representationâ, Join work.
[20] Rudhito, Andy., (2003), âSistem Linear Max-Plus Waktu Invariantâ, Tesis :
Pascasarjana Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
[21] Gaubert, S., (1992), âTheorie des Systemes Lineaires dans les Dioidesâ,
Ph.D Theses, Ecole des Mines de Paris, Perancis.
85
BIODATA PENULIS
Penulis yang memiliki nama lengkap Dian Yuliati lahir di
Madiun, 14 Juli 1987. Penulis telah menempuh
pendidikan formal mulai dari SD Negeri 1 Sebayi, SMP
Negeri 1 Saradan, dan SMA Negeri 1 Mejayan Madiun.
Setelah lulus dari SMA, penulis melanjutkan studi S1 di
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri
Surabaya. Penulis lulus sarjana dengan tujuh semester
dengan mendapat gelar Sarjana Pendidikan. Penulis
melanjutkan studi S2 di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh
Nopember Surabaya pada tahun 2014 dengan NRP. 1214 201 002. Untuk
membentuk jaringan atau membutuhkan informasi yang berhubungan dengan
Tesis ini, penulis dapat dihubungi melalui email : [email protected].