pers. dif. orde satu
TRANSCRIPT
Persamaan Diferensial Orde Satu
BAB I
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
1. Pendahuluan
Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinanamik antara variabel bebas dan
variabel tak bebas, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah,
dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering muncul dalam persoalan
persoalan teknik.
Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat
dalam persamaan diferensial tersebut.
Contoh.
Orde satu : 3tdydt
−4y2=0
Orde dua : 5 tyd2 y
dt2 −6dydt
y sin t =0
Orde tiga : d 3 y
dt3 −5y2=0 dst.
Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu maka diharapkan dapat :
1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan bermacam macam
metode.
2. Dapat menyelesaikan keadaan transien rangkaian RL atau rangkaian RC.
1
Persamaan Diferensial Orde Satu
2 Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu
2.1. Metode Integrasi Langsung.
Jika persamaan dapat disusun dalam bentuk : dydt
= f t , maka persamaan dapat
diselesaikan dengan metode integrasi sederhana.
Contoh 1.
2tdydt
−2t2−8=0 … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … (1)
⇒dydt
=t4t
⇒∫ dy=∫t4t dt
⇒ y=12
t24 ln tC … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .(2)
Persamaan (2) disebut penyeselaian umum bagi persamaan diferensial (1). Jika harga y
diketahui pada harga t tertentu maka harga C dapat ditentukan dan penyeselaiannya
disebut penyelesaian khusus.
Contoh 2.
e t dydt
4 e2t−5=0 pada t = 0 , y = 0 … … … … … … … … … … … … … ... ...(3)
⇒dydt
=−4 et5e−t ⇒∫ dy=∫ −4 et
5e−t dt
⇒ y=−4 e t−5 e−t
C … … … … …. … … … … … … … … … … … … … … ... (4)
dengan memasukkan harga t dan y kedalam persamaan (4) maka Harga C diperoleh
⇒ y=−4 e t−5 e−t
9 … … … … … … …. … … … … … … … … … … … … ... (5)
Persamaan (5) adalah penyelesaian khusus dari persamaan diferensial (3).
Sebagai bahan latihan selesaikanlah :
1. e t dydt
−sin 3t 4t3 . e3t5=0
2. cos 2t dydt
5 sin 2t −5t 3=0
3. 5tdydt
−5t2 dydt
5=0
2
Persamaan Diferensial Orde Satu
2.2 Metode Pemisahan Variabel
Metode Integrasi langsung akan gagal jika diterapkan pada persamaan diferensial
yang berbentuk dydt
= f t , y , variabel y yang berada pada ruas kanan mengakibatkan
integrasi langsung tidak dapat diterapkan.
Penyelesaian persamaan diferensial berbentuk dydt
= f t , y adalah dengan
memisah kan variabel t dan variabel y sehingga persamaan dapat berbentuk
dydt
= f t . F y yaitu suatu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai
perkalian fungsi t dan fungsi y.
Contoh 3.
dydt
=1t2y2 yt .. … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … …(6)
⇒dydt
=1 t 12y ⇒dy
12y =1 t dt ⇒∫ 112y dy=∫ 1t dt
⇒12
ln 2y1 =t12
t2C … … … … … … … … … … … … … … … … … … (7)
Contoh 4.
dydt
=3t2
2y dengan t = 0, y = 4 … … … … … … … … … … … … … … … … … .(8)
⇒2y . dy=3t2 . dt ⇒∫ 2y. dy=∫ 3t2 dt
y2=t3
C dengan memasukkan harga t dan y diperoleh harga C
y2=t 3
16 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... .(9)
Contoh 5.
dydt
=1y2t
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(10)
⇒∫ 11y dy=∫ 1
2t dt ⇒ ln 1y = ln 2 t ln C
y=C 2t −1 … .. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... .(11)
3
Persamaan Diferensial Orde Satu
Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial dibawah ini
1. 2y2 tan t dydt
=42y2sec2 t
2.dydt
=1tsin 5t
3.dydt
=yty2t2
4.dydt
=1
t2 y−y
5.sin t 1 y
dydt
=2 cos t
2.3. Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt
Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan antara faktor y disebelah kiri dan
faktor t disebelah kanan maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt).
Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt adalah persamaan diferensial
tersebut haruslah homogen. Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan
pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku sama derajatnya.
Contoh 6.
dydt
=3ty
t … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...(12)
dengan menggunakan substitusi y = vt kedalam persamaan (12)
y = vt ⇒dydt
=tdvdt
vdtdt
dydt
=tdvdt
v … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..(13)
persamaan (12) dapat ditulis menjadi
⇒tdvdt
v=3tvt
t ⇒t
dvdt
=3v−v ⇒dvdt
=3t
v=3C ln t
v=C ln t 3 … … … … … … … …. …. … …. … … …. … … … … … … … … (14)
4
Persamaan Diferensial Orde Satu
karena v=yt
maka persamaan (14) menjadi
y=C . t ln t 3 … … … … … … … … … … …. … … … … … … … … … …(15)
Contoh 7.
Selesaikanlah persamaan diferensial derajat dua dibawah ini
dydt
=−yty2
t2 yt
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. … ..(16)
⇒ vtdvdt
=− v . t t v . t
2
t2v .t t
⇒ vtdvdt
=−v 1v
1v
⇒tdvdt
=−2v ⇒ ln v =C ln 1t2
v=C
t2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … ... (17)
dengan memasukkan harga v=yt
kepersamaan (17) maka penyelesaian pers. (16)
y = C/t … … … … … … … … … … … …. …. …. … … …. …. … …. … … …. (18)
Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial berikut :
1. y−t dydt
= t2y
2. 3t2 dydt
= t23y2
3. 2t2yt
dydt
= yt−y2
4. 4t3y3
dydt
=ty2
5
Persamaan Diferensial Orde Satu
2.4. Persamaan Diferensial Exact.
Suatu persamaan diferensial berbentuk :
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Exact jika memenuhi persyaratan : ∂M∂ y
=∂N∂ x
Dikatakan Exact karena ruas kiri merupakan total atau dierensial Exact :
du=∂ u∂ x
. dx∂ u∂ y
. dy
a .∂u∂ x
=M
b .∂ u∂ y
= N
Jika persamaan persamaan Exact, maka penyelesaiannya : u=∫M . dx k y . Harga
k(y) diperoleh dari ∂u∂ y
untuk memperoleh dkdy
, kemudian mengintegralkan, atau :
u=∫ N . dy l x .
Harga l(x) diperoleh dari ∂u∂ x
untuk memperoleh dldx
, kemudian mengintegralkan.
Contoh.
selesaikanlah :
2x.Sin(3y).dx + (3x2.Cos(3y) + 2y).dy = 0
Jawab.
M = 2x.Sin(3y) N = (3x2.Cos(3y) + 2y)
∂M∂ y
=6x . Cos3y ∂N∂ x
=6x .Cos 3y
∂M∂ y
=∂N∂ x
⇒ Exact
maka :
u=∫M . dx k y
u=∫ 2x . Sin 3y .dx k y
⇒ x 2 . Sin 3y k y
6
Persamaan Diferensial Orde Satu
∂u∂ y
=3x2 .Cos 3y ddy
. k y =3x2 . Cos 3y 2y
ddy
. k y =2y ⇒ k y =y2C
maka penyelesaiaannya :
u = x2 .Sin(3y) + y2 + C
Sebagai bahan latihan dirumah, jika persamaan diferensial berikut Exact, selesaikanlah :
1. 2.Sin(2x).Sinh(y).dx = Cos(2x).Cosh(y).dy.
2. 4x.dx + 9y.dy = 0 y(3) = 0.
3. (y + 3)dx + (x2)dy = 0 y(1) = 7
2.5. Metode Faktor Integral – Persamaan diferensial linear.
Persamaan diferensial yang berbentuk :
dydt
Py=Q … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... (19)
dengan P dan Q adalah fungsi dari t atau merupakan suatu konstanta.
Persamaan (19) disebut persamaan diferensial linear orde satu. Penyelesaian persamaan
(19) adalah dengan menggunakan faktor integral yaitu mengalikan kedua ruas persamaan
(19) dengan faktor integral. Faktor Integral persamaan (19) adalah berbentuk e∫ P . dx .
Contoh 8.
dydt
−2y=t … … … … … … …. …. … … …. … … … … … … … … … .. .. … (20)
dengan membandingkan persamaan (19) dan persamaan (20) maka didapat :
P = 2 dan Q = t
Faktor integral : e∫−2 dt =e−2t
Kedua ruas persamaan (20) dikalikan dengan faktor integral =e−2t
7
Persamaan Diferensial Orde Satu
⇒ e−2t dydt
−2y .e−2t=t . e−2t ⇒
ddt
y . e−2t =t . e−2t
y . e−2t=∫ t . e−2t dt … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. .(21)
ruas kanan persamaan (21) dihitung dengan menggunakan integral perbagian.
⇒ y . e−2t=−e−2t
2 t12 C
y=12 t
12 C . e2t … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … ...(22)
Penyederhanaan berikut akan sangat menolong dalam menyelesaikan persamaan
diferensial dengan metode faktor integral
Misal y=e ln T
ln y= lnT y=T
ini menunjukkan bahwa eln(fungsi) = fungsi
maka : eln(x) = x
eln(sin(x)) = sin(x)
e ln x2 =x2
e2 ln sin x =e ln sin2
x =sin2 x
Contoh 9.
2t2 dydt
2 yt=t3
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..(23)
⇒dydt
yt=
t2 … … … … … … … … … …. … … …. … … … … … … … ….. (24)
Faktor integral e∫
1t
dt ⇒ eln t t
Kedua ruas persamaan (24) dikalikan dengan faktor integral t
⇒tdydt
y=t2
2 ⇒
ddt
yt =t2
2 ⇒ yt=∫
t2
2dt
8
Persamaan Diferensial Orde Satu
y=16
t2
Ct
… … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … (25)
sebagai bahan latihan kerjakanlah persamaan diferensial berikut
1.dydt
3t2 y=3e5t
2. 5tdydt
5y=t2sin 5t
3. cos 2t dydt
sin 2t y=5 cos2t
4. 2t−3 dydt
− y=2t−3 3
2.5 Metode Persamaan Bernoulli.
Ide dasar metode persamaan Bernoulli diambil dari metode Faktor Integrasi. Bentuk
umum persamaan Bernoulli : dydt
Py=Qyn dengan P dan Q sama seperti pada metode
Faktor Integrasi yaitu dapat berupa konstanta atau fungsi t.
Penyelesaian persamaan Bernoulli adalah dengan mengubahnya menjadi bentuk
metode Faktor Integrasi yaitu dydt
Py=Q . Langkah langkah yang diambil untuk untuk
mengubah Persamaan Bernoulli menjadi bentuk Faktor Integrasi adalah :
1. Membagi kedua ruas persamaan Bernoulli dengan yn , sehingga menghasilkan :
y−n dydt
Py1−n=Q … … … … … … … … … … … … … … … .. (26)
2. Substitusi persamaan (26) dengan z = y1n sehingga dzdt
=1−n y−n dydt
.
3. Persamaan (26) dikalikan dengan (1 – n) sehingga persamaan (26) menjadi :
9
Persamaan Diferensial Orde Satu
1−n y−n dydt
1−n Py1−n=1−n Q … … … … … … … … (27)
Contoh 10.
t3 dydt
3t2 y=2t4 y2
dydt
3t
y=2 ty2
Membagi kedua ruas dengan yn dalam hal ini n = 2 ⇒ y2
y−2 dydt
3t
y−1=2t … … … … … … … … … … … … … … … … … . (28)
Substitusi z = y1 dan dzdt
=−y−2 dydt
Persamaan (28) dikalikan dengan (1 – n) = –1
−y−2 dydt
−3t
y−1=−2t
⇒dzdt
−3t
z=2t … … … … … … … … … … … … … … … … … …(29)
Faktor integral dari persamaan (29)
e∫−
3t
dt=e−3 ln t
=1t3
⇒1t3
dzdt
−z .3t−4=2t . t−3
⇒ddt
z . t−3 =2∫ t .−2dt
⇒ z .t−3=−2
tC
z=−2t2Ct 3 … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … ..(30)
karena z=1y
y=1
−2t2Ct 3
Kerjakanlah persamaan diferensial berikut sebagai bahan latihan.
10
Persamaan Diferensial Orde Satu
1. 2t2 y−t3 dydt
=4y3 sin2t
2.dydt
4y=y4 e3t
3. 2y−tdydt
=2t t4 y2
4.dydt
−2y sin t =2y3 sin2 t
5.dydt
y=y3
3. Orthogonal Trayektori
Jika suatu kurva (f) telah diketahui, maka terkadang diperlukan untuk mengetahui lintasan
kurva lain (y) yang memotong kurva f secara tegak lurus. Kurva f(x, y, c) = 0 disajikan
dalam bentuk persamaan diferensial y' = f(x, y).
Lintasan orthogonal kurva y pada kurva f :
y.=−
1f x , y
Contoh 11.
Tentukanlah trayektori orthogonal dari kurva y = cx2.
Jawab.
orthogonal trayektori :
y.=−
12y
x
=−x
2y
11
Persamaan Diferensial Orde Satu
⇒dydx
=−x
2y ⇒2y . dy=−x . dx
y2=
12
x2c
y2
12
x2c=0 ⇒ ellipse
Contoh 12.
Sebuah konduktor sepanjang sumbuy menghasilkan medan magnet x2 + y2 = c. Silinder
concentris yang terbentuk menunjukkan medan magnet dengan permukaan eqipotensial
yang sama. Tentukanlah gaya pada medan magnet (Gaya listrik merupakan trayektori
orthogonal).
Jawab.
Medan magnet x2 + y2 = c. ( merupakan linkaran concentris atau eqipotensial)
2x + 2yy' = 0
y' = x/y
orthogal trayektori atau gaya listrik pada medan magnet
y' = y/x.
dydx
=yx
⇒dyy=
dxx
y = kx
12
3 2 1 0 1 2 33
2
1
0
1
2
3
Persamaan Diferensial Orde Satu
Latihan
Tentukanlah orthigonal trayektori dari kurva berikut.
1. x22y2
=c
2. y = cex
4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu
4.1 Penerapan Dalam Teknik Elektro
4. Rangkaian RL
Contoh 11.
13
S R
LE
+
Gambar 1. Rangkaian RL dengan sumber DC
1 0.5 0 0.5 11
01
25
0
5
sumbu xsumbu y
sum
bu z
konduktor
medan magnet
gaya listrik
Persamaan Diferensial Orde Satu
Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat
switch menutup adalah nol. Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah
arus Vs waktu.
Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.
Penyelesaian
Persamaan tegagan pada rangkaian gambar 1.
E=RiLdidt
… … … … … … … … …. … … … … … … …. …. …. … … ….(31)
⇒didt
RL
i=EL
… … … … … … …. …. … … … … … … … … … … … … … (32)
Faktor Integral persamaan (32)
e∫
RL
dt ⇒ e
RL
t … …. … … … … … … … … …. …. … … … … … … … (33)
⇒ eRL
t didt
eRL
t RL
i=EL
eRL
t ⇒i . e
RL
t
=EL∫
eRL
t
dt
⇒i=ER1Ce
−RL
t … … … …. … … … … …. …. … … … … … … … … ... ... . (34)
pada saat t = 0 (switch terbuka) arus sama dengan nol, maka persamaan (34) menjadi
i=ER1−e
−RL
t … … … … … … … … … … … … … … …. …. … .. … ... ... ... (35)
dengan memasukkan harga untuk E, R dan L maka persamaan (35) menjadi
i=10 1−e−4,8t
14
0 0.5 1 1.50
2
4
6
8
10
12
det ik
Am
pe
re
Gambar 2. Grafik Arus Vs Waktu dari rangkaian gambar 1.
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 12.
Gambar 3 memperlihatkan rangkaian RL, pada saat t = 0 switch pada posisi 1 dengan
arus yang mengalir pada t = 0 adalah nol. Pada saat t = 0,25 detik switch dipindahkan ke
posisi 2. tentukanlah arus yang mengalir melalui induktor dan plotlah arus Vs Waktu dari
t = 0 detik sampai t = 1,2 detik.
Dik. E = 12 V, R1 = 1,2 ohm, R2 = 1,0 ohm, L = 250 mH.
Penyelesaian
a. Pada saat t = 0 detik sampai t = 0,25 detik (switch pada posisi 1)
Arus yang mengalir :
15
S
R 1
LE
+
R 2
1
2
Gambar 3. Rangkaian contoh 12.
Persamaan Diferensial Orde Satu
i t =E
R11−e
−R1L
t … … … … … …. … … … … … … … … … … … ... (36)
dengan memasukkan harga E, R1 dan L kedalam persamaan (36)
i t =10 1−e−4,8 t
b. Pada saat t = 0,25 detik sampai t = 1,2 detik.
0=LdidtRi dengan R = R1 + R2 ⇒
didt
=−RL
i
dii=−
RL
dt
i t =Ce−
RL
t … … … … … … … … … … …. … …. … … … … …. … … … ... (37)
Pada saat switch dipindahkan keposisi 2 arus yang mengalir pada induktor sebesar :
i t =10 1−e−4,8 . 0,25 =6, 99 A
6, 99=Ce−8,8 . 0,25 ⇒C=63 , 0848
dengan memasukkan R = R1 + R2 = 2,2 ohm, L = 250 mH dan konstanta C = 63,0848
i t =63 , 0848 e−8,8 t … … … … … …. … … … … … … … … …. … .. … … ... (38)
Grafik arus Vs waktu mulai t = 0 detik sampai t = 1, 2 detik diperlihatkan gambar 4.
16
0 0.2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1.20
1
2
3
4
5
6
7
8
Gambar 4. Grafik arus Vs waktu dari contoh soal 12
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 13.
Pada rangkaian Gambar 5 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat
switch menutup adalah nol. Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah
arus Vs waktu.
Dik. E(t) = 12 Sin(2.π.50.t), R = 1,2 ohm, L = 250mH.
Penyelesaian
E=RiLdidt
⇒didt
RL=
AL
Sin 2π ft … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. (39)
d i . eRL
t= AL
. eRL
t
. Sin 2π ft
i .eRL
t=
A. eRL
t
2π fL 2R2
RSin 2π ft −2π fLCos 2π ft C
i . t =A .
2π fL 2R2
RSin 2π ft −2π fLCos 2π ft C . e−R
Lt
… … … … … … ..(40)
17
S
R
LE (t)
Gambar 5. Rangkaian RL dengan sumber AC
Persamaan Diferensial Orde Satu
dengan memasukkan harga harga pada persamaan 40.
i t =0, 0023. Sin 2π50 t −0, 1528. Cos2π 50 t Ce−4,8 t … … … … … … … .(41)
Pada saat t = 0, arus yang mengalir nol ( I = 0).
i t =0, 0023. Sin 2π50 t −0, 1528. Cos2π 50 t 0, 1528 e−4,8 t … … … … … … (42)
5. Rangkaian RC.
Contoh 14.
Switch S pada gambar 7 menutup pada t = 0, keadaan awal kapasitor Vc = 0, tentukanlah
tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan terhadap waktu.
E = 12 volt, R = 2,2 ohm, C = 220µF .
18
0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5 0 .3 0 .3 5 0 .4 0 .4 5 0 .50 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
0 .0 5
0 .1
0 .1 5
0 .2
0 .2 5
0 .3
d e t ik
am
pe
re
Gambar 6. Grafik arus Vs waktu dari rangkaian gambar 5
S R
CE
+
Gambar 7. Rangkaian RC dengan sumber DC
Persamaan Diferensial Orde Satu
Penyelesaian.
Pada saat switch S menutup persamaan tegangan :
E=Ri1C∫
i . dt … … … … … … … … … … … … …. … … … … …. … …. (43)
karena i=dqdt
maka persamaan (43) menjadi
E=Rdqdt
qC
… … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … … ... (44)
⇒ER=
dqdt
q
R .C ⇒q . e
tRC
=ER∫
et
RC dt
⇒q=CEke−
tRC dengan k = konstanta
Karena pada keadaan awal muatan kapasitor adalah nol
q=CE 1−e−
tRC … … … … … … … … … … … … … … … .. … … … ... ... .(45)
arus yang mangalir pada kapasitor
i=dqdt
=ER
e−
tRC … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... ... ... (46)
tegangan pada kapasitor
vc=1C∫
i . dt=−E . e−
tRC
k dengan k = konstanta, karena keadaan awal Vc = 0
vc=E 1−e−
tRC … … … … … … … … … … … … …. … … … … ... ... ... ... ... (47)
190 0 .5 1 1 .5 2 2 .5
x 1 03
0
2
4
6
8
1 0
1 2
d e t ik
volt
Gambar 8. Grafik tagangan pada kapasitor dari rangkaian gambar 7
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 15.
Switch S berada pada posisi 1 ketika t = 0 (Gambar 9) dan dipindahkan keposisi 2 pada t
= 0,2 detik.
Jika muatan awal pada kapasitor nol dan R1 = 12 ohm, R2 = 12 ohm, C = 470 µF dan
catu daya DC sebesar 15 volt, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan
terhadap waktu
Penyelesaian.
Pada t = 0 sampai t = 0,2 detik
E=R1dqdt
qC
… … … …. … … … … … … … …. … … … … … … ... ... ... ... (48)
Persamaan (48) memberikan
q=CE 1−e−
tR1C … … … …. … … .. .. … …. … ….. …. … … … ... ... ... ... ...(49)
20
SR 1
CE
+
R 2
1
2
Gambar 9. S pada 1 saat t = 0 dan S pada 2 pada t = 0,2 detik
Persamaan Diferensial Orde Satu
vc=E 1−e−
tR1C … … … … … … … … .. … … … … …. …. … … ... ... ... ... ... (50)
Pada t = 0,2 detik Switch pada posisi 2
0=R2dqdt
qC
… … … … .. … …. …. … …. …. … …. … …. … …. ... ... ... ... ..(50)
persamaan (50) memberikan
q=−ke−
tR2C … … … … … … … … … … … … … …. … … …. …. … ... ... ... ... (51)
Pada saat S pada posisi 2 kapasitor telah terisi muatan yang diberikan oleh persamaan
(49) yang merupakan keadaan awal pada posisi 2
q=−1, 77 .1013e−
tR2C
i=dqdt
=1, 77. 1013
R2Ce−
tR2C
vc=1C∫ i . dt=−
1C
1, 77. 1013 .e−
tR2 C …. …. …. …. …. …. ….. ……. …. …….. ... (52)
21
0 0.05 0.1 0 .15 0.20
2
4
6
8
10
12
14
16
det ik
volt
Gambar 10. Tegangan pada kapasitor dari rangkaian gambar 9
Persamaan Diferensial Orde Satu
4.2 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu dalam Kehidupan
Contoh 16.
Uang sejumlah 250 Juta didepositokan dengan bunga 18% tiap tahun dan bertambah
secara kontinu. Berapa jumlah uang setelah setelah 22 tahun.
Penyelesaian.
Misaln y(t) adalah jumlah uang (modal + bunga) pada saat t. laju pertambahan uang
diberikan oleh :
dydt
=18100
y … … … …. … … … … … …. … … … … … … … … … … .(51)
⇒ y t =ke8
100t … … … .. … … … … … … … … … … … … … … … …. … ... .(52)
pada saat awal t = 0 jumlah uang adalah modal sebesar 250 juta, maka k = 2,5.108.
jumlah uang setelah 22 tahun
⇒ y 22 =2,5. 108 . e
8100
22 =1. 453 .100 . 000
22
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 17.
Bakteri jenis bacil bertambah dengan laju berbanding lurus dengan jumlah bakteri yang
ada. Jika jumlah bakteri dua kali lipat dari jumlah semula setiap 3 jam. Berapa waktu
yang diperlukan agar jumlah bakteri menjadi 10 kali lipat dari jumlah semula.
Penyelesaian.
dydt
=ky
⇒ y t =y 0 ekt
karena jumlah bakteri dua kali lipat setiap 3 jam
⇒2=ek 3 k = 0,231
Waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri 10 kali dari jumlah semula.
⇒10=e0,231 t t = 9,968 jam
23