perieqìmena - university of creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef4.pdf · 2013-02-21 · 4...

Perieqìmena

4 Dunamik anixwdikoÔ reustoÔ 14.1 Eisagwg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Diat rhsh orm c: ExÐswsh Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Je¸rhma Bernoulli kai diat rhsh enèrgeiac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3.1 GenÐkeush thc arq c diat rhshc enèrgeiac. . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 Exis¸seic Euler se kulindrikèc suntetagmènec . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4.1 Exis¸seic Euler se sfairikèc suntetagmènec . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 Fusik anlush m omogenoÔc ro c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5.1 To prìblhma thc s riggac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5.2 Efaptomenik epitqunsh se kampulh gramm ro c . . . . . . . . . . . . 144.5.3 Egkrsia bajmÐda pÐeshc kai kentromìloc epitqunsh se mìnimh kuklik

ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.6 Arijmìc Froude kai suntelest c pÐeshc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.7 Jermodunamik idanikoÔ ugroÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.8 Je¸rhma kukloforÐac Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.8.1 Je¸rhma kai sunj kec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.8.2 Apìdeixh jewr matoc Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.8.3 ApoklÐseic kai diafug strobilismoÔ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.9 Diat rhsh stroform c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.10 MakroskopikoÐ nìmoi diat rhshc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.10.1 Nìmoi diat rhshc gia ulikì ìgko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.10.2 Metatrop se ìgko elègqou kai je¸rhma metaforc Reynolds . . . . . 314.10.3 Swmatidiakì ìrio tou ulikoÔ ìgkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.10.4 Nìmoi diat rhshc se epilegmèno ìgko elègqou . . . . . . . . . . . . . . 35

4.11 Diat rhsh orm c se mh adraneiak sust mata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.11.1 Fugìkentroc dÔnamh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.11.2 Coriolis DÔnamh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.11.3 ExÐswsh Bernoulli se peristrefìmeno sÔsthma. . . . . . . . . . . . . . 404.11.4 Gewstrofik ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.11.5 Ro bajmÐdac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

ii PERIEQ'OMENA

Keflaio 4

Dunamik anixwdikoÔ reustoÔ

4.1 Eisagwg

Sto prohgoÔmeno keflaio periorist kame sthn kinhtik perigraf thc ro c. Autì eÐqe sanpro "upìjesh th gn¸sh (se analutik h arijmhtik morf ) tou pedÐou thc taqÔthtac se kjeshmeÐo tou q¸rou. All den anaferj kame akìmh stÐc dunmeic pou mazÐ me tic oriakèc sun-j kec epirrezoun thn kÐnhsh tou reustoÔ. Gia anixwdikì reustì den èqoume dunmeic trib call mìno dunmeic lìgw pÐeshc kai barÔthtac. H exÐswsh diat rhshc thc orm c eÐnai o sun-detikìc krÐkoc, kai brÐsketai exis¸nontac an monda ìgkou tic exwterikèc dunmeic me ticadraneiakèc dunmeic (puknìthta epi ulik epitqunsh). Gia to skopì autì qreiazìmaste sqè-seic oi opoÐec eÐnai topikèc kai dÐnontai apì diaforikèc exis¸seic. Ed¸ ja qrhsimopoi soume todianusmatikì diaforikì logismì ¸ste oi antÐstoiqec majhmatikèc ekfrseic na eÐnai sÔntomec.Den sumbaÐnei to Ðdio p.q an anaptÔxoume thn exÐswsh diat rhshc thc orm c se sunist¸sec.Tìte èqoume polÔplokec kai meglec ekfrseic, idiaÐtera ìtan qrhsimopoioÔme kampulìgram-mec suntetagmènec. Apì thn llh pleur to xetÔligma se sunist¸sec èqei kai èna kèrdoc giaton anagn¸sth, kai gi autì sunisttai h diereÔnhsh. Mac faner¸nei thn polÔplokh sumper-ifor sth dunamik twn reust¸n, en¸ tautìqrona upodeiknÔei poioÐ eÐnai oi shmantikoÐ ìroigia th ro upì tic sugkekrimènec oriakèc sunj kec. Se arket pragmatik probl mata macendiafèrei h katanom thc taqÔthtac tou reustoÔ kaj¸c kineÐtai sto q¸ro ston opoÐo eÐnaidunatìn na parembllontai kai empìdia. To teleutaÐo èqei endiafèron gia th ro gÔrw apìploÐa, aeroplna, kt ria dia mèsw kanali¸n, agwg¸n, elÐkwn ktl.

En gènei prèpei na gnwrÐzoume tic treÐc sunist¸sec thc taqÔthtac tou reustoÔ, all kaillec paramètrouc ìpwc h pÐesh h puknìthta, h jermokrasÐa tou reustoÔ, oi opoÐec mporeÐ naeÐnai sunart seic tou q¸rou kai tou qrìnou. Gia ton prosdiorismì touc qreiazìmaste sqèseicoi opoÐec perigrfoun thn topik metabol touc. Autèc eÐnai

• H exÐswsh sunèqeiac pou eÐnai isodÔnamh me thn arq diat rhshc thc mzac (ìpwc eÐdamesto prohgoÔmeno keflaio).

• Th dianusmatik exÐswsh gia th diat rhsh thc orm c enìc stoiqeÐou reustoÔ.

• Thn exÐswsh diat rhshc thc enèrgeiac tou reustoÔ swmatidÐou.

• Thn katastatik exÐswsh pou sundèei thn puknìthta me thn pÐesh kai th jermokrasÐa.

H teleutaÐa exÐswsh en gènei den eÐnai diaforik . Sto keflaio 3 eÐdame thn exÐswsh sunèqeiackai sto parìn keflaio ja doÔme touc llouc dÔo nìmouc diat rhshc sthn perigraf Euler.Sto Kef. 3 eÐdame epÐshc pwc mporoÔme na perigryoume to rujmì metabol c thc orm c an

1

2 KEF'ALAIO 4. DUNAMIK'H ANIXWDIKO'U REUSTO'U

monda mzac (dhl. thn epitqunsh) enìc reustoÔ swmatidÐou kat thn kÐnhs tou sunart seitou pedÐou taqÔthtac. Gia thn exÐswsh diat rhshc thc orm c autì pou apomènei na broÔme eÐnaitic dunmeic pou askoÔntai se èna swmatÐdio, kai pwc perigrfontai sunart sei twn fusik¸nparamètrwn. Ed¸ ja perioristoÔme se anixwdik ro ìpou stic dunmeic den eisèrqetai topedÐo taqÔthtac. Ja doÔme ìmwc sto tèloc tou kefalaÐou, ìti an jèloume na perigryoumethn ro se peristrefìmena sust mata prèpei na eisgoume yeudodunmeic pou exart¸ntai apìthn taqÔthta, ìpwc eÐnai h dÔnamh Coriolis.

Ja exetsoume epÐshc th diat rhsh enèrgeiac gia anixwdik ro kai ja doÔme ìti upìorismènec pro "upojèseic eÐnai isodÔnamh me thn arq Bernoulli. Sthn perÐptwsh aut toèrgo pou gÐnetai apì th bajmÐda thc pÐeshc phgaÐnei sthn aÔxhsh thc dunamik c kai kinhtik cenèrgeiac tou kèntrou mzac tou reustoÔ swmatidÐou. Se mÐa ro ìmwc to reustì èqei kaistrobilismì kai prèpei na sunupologÐsoume to èrgo tou strobilismoÔ, to opoÐo exarttai apìth diadrom tou reustoÔ. Prèpei loipìn na genikeÔsoume thn exÐswsh Bernoulli lìgw thcÔparxhc strobilismoÔ.

Sthn idanik ro , pou ja melet soume sto parìn keflaio, ja paraleÐyoume to ix¸dec. Hprosèggish aut eÐnai arket ikanopoihtik ìtan to reustì eÐnai nerì se sunhjismènec sunj kecro c. EÐdame ìti to krit rio gia na paraleÐyoume tic dunmeic ix¸douc, eÐnai o arijmìc Reynolds

Re =u0L

ν

na eÐnai megloc. P.q. gia ro taqÔthtac u0 = 1m/sec gÔrw apì sfaÐra diamètrou L = 1mme to kinhtikì ix¸dec tou neroÔ ν = 10−6m2/sec èqoume Re = 106 1. Etsi h ro maceÐnai idanik efìson eÐmaste makri apì epifneiec, toulqiston gia kpoio qronikì disthma.Sthn epifneia thc sfaÐrac uprqei èna leptì str¸ma sto opoÐo h epÐdrash tou ix¸douc eÐnaishmantik . To pqoc tou str¸matoc autoÔ, ìpwc ja doÔme sto Kef. 8, elatt¸netai me thnaÔxhsh tou arijmoÔ Reynolds. Sto idanikì reustì jewroÔme epÐshc mhdenik agwgimìthtajermìthtac.

4.2 Diat rhsh orm c: ExÐswsh Euler

JewroÔme ènan ìgko V pou perikleÐetai apì mÐa kleist epifneia S. H olik dÔnamh pouaskeÐtai ston ìgko autì mèsw thc epifneiac apì to geitonikì reustì (dec Sq. 4.1) eÐnai:

−∮SPd~S, (4.1)

ìpou P (~r) eÐnai h pÐesh sto shmeÐo ~r sthn epifneia dS. H pÐesh exarttai mìno apì to shmeÐo ~rkai ìqi apì ton prosanatolismì thc epifneiac pou pern apì to shmeÐo autì. H dÔnamh lìgwthc pÐeshc gia èna anixwdikì reustì eÐnai kjeth sthn epifneia1 d~S kai epomènwc allzeiprosanatolismì2 se diaforetik shmeÐa pnw sthn epifneia S. An jewr soume èna stoiqeÐoepifneiac d~S h dÔnamh pou askeÐtai s' autì apì to exwterikì ugrì eÐnai −Pd~S, ìpou to "-prìshmo mpaÐnei giatÐ h kateÔjunsh tou d~S eÐnai proc to exwterikì mèroc tou ìgkou en¸ hdÔnamh thc pÐeshc proc to eswterikì. To dianusmatikì jroisma twn dunmewn se ìlh thnepifneia gÐnetai to olokl rwma sthn (4.1).

1Ena stoiqeÐo epifneiac orÐzetai apì èna dinusma d~S me mètro dS kai kateÔjunsh thn kjeto sthn

epifneia kai prìc ta èxw.2GÐnetai loipìn fanerì ìti h sumbolik sqèsh gia thn olik dÔnamh upokrÔptei th duskolÐa ston analu-

tikì upologismì thc. 'Ontwc, mìno gia summetrikèc peript¸seic mporoÔme na metatrèyoume to epifaneiakì

olokl rwma se apl morf . Autì ja sumbeÐ gia summetrik sq mata ìpwc p.q. kÔbo, kÔlindro, sfaÐra k.t.l..

4.2. DIAT'HRHSH ORM'HS: EX'ISWSH EULER 3

Sq ma 4.1: Sq. 4.1. Dunmeic pÐeshc mèsw thc epifneiac S pou perikleÐei ton ìgko V .

Sq ma 4.2: Sq. 4.2. DiaÐresh tou ìgkou V se stoiqei¸deic ìgkouc dV .


Epeid h orm orÐzetai gia th mza se kpoio ìgko sust matoc eÐnai qr simo na meta-trèyoume kai to epifaneiakì olokl rwma stic dunmeic se olokl rwma ston ìgko V , pouperikleÐetai apì thn epifneia S. Autì epitugqnetai qwrÐzontac ton ìgko V se stoiqei¸deickÔbouc (dec Sq. 4.2) ìgkou dV . Gia kje stoiqei¸dh kÔbo èqoume deÐ ìti to jroismatwn epifaneiak¸n dunmewn pÐeshc sta toiq¸mata eÐnai Ðso me −~∇P dV . Prosjètontacgia ìlouc touc kÔbouc, oi epifaneiakèc dunmeic pou askoÔntai sthn exwterik epifneia Smac dÐnoun to epifaneiakì olokl rwma thc (4.1), en¸ oi dunmeic stic eswterikèc geitonikècendoepifneiec allhloanairoÔntai. IsodÔnama mporoÔme na prosjèsoume gia kje ìgko tastoiqei¸dh oloklhr¸mata kai na proume to olokl rwma ston ìgko thc bajmÐdac pÐeshc. Kaito jroisma autì eÐnai dianusmatikì kaj¸c h bajmÐda metablletai apì kÔbo se kÔbo se mètroh prosanatolismì, en¸ thn jewroÔme stajer ston ìgko dV . 'Etsi èqoume apì to je¸rhmaGauss:

−∮SPd~S = −

∫~∇PdV, (4.2)

gia thn olik dÔnamh se èna sÔsthma oioud pote ìgkou. Autì ja to ekmetaleutoÔme sthnpargrafo 4.10 ìpou ja melet soume th diat rhsh orm c gia makroskopikoÔc ìgkouc. Ed¸ìmwc ja perioristoÔme na gryoume thn exÐswsh diat rhshc orm c gia stoiqei¸dh ìgko.

Autì mac dÐnei th dunatìthta na d¸soume mÐa llh perigraf thc olik c dÔnamhc. Enèqoume èna stoiqeÐo ìgkou dV tìte to peribllon ugrì askeÐ sto stoiqei¸dh ìgko dÔnamh Ðshme −dV ~∇P . Me lla lìgia h dÔnamh −~∇P dra an monda ìgkou sto ugrì. 'Etsi h Ðdia dÔnamhmporeÐ na perigrafeÐ eÐte ìti askeÐtai mèsw thc epifneiac, san pÐesh (dÔnamh epifneiac) eÐtewc ~∇P san dÔnamh an monda ìgkou. Sthn deÔterh perÐptwsh prèpei na oloklhr¸soume stonìgko. H deÔterh morf ìmwc eÐnai apl an anaferìmaste se stoiqei¸dh ìgko.

H deÔterh perigraf mac dÐnei thn dunatìthta na gryoume tic antÐstoiqec exis¸seic tounìmou tou NeÔtwna m~a = ~F . H mza pou perièqetai ston ìgko dV eÐnai dm = ρdV , en¸h antÐstoiqh epitqunsh eÐnai h ulik pargwgoc thc taqÔthtac D~u

Dt . Grfontac thn exÐswsh

kÐnhshc gia th mza dm upì thn epÐdrash thc dÔnamhc −dV ~∇P èqoume:

ρD~u

Dt= −~∇P. (4.3)

puknìthta · epitqunsh = dÔnamh an monda ìgkou

H epitqunsh tou swmatidÐou prèpei na upologisteÐ apì to pedÐo taqÔthtac sthn perigraf Euler kai ìpwc eÐdame èqei dÔo suneisforèc: (a) thn topik metabol tou pedÐou taqÔthtackai (b) th metabol thc taqÔthtac lìgw thc metaforc swmatidÐwn me diaforetik taqÔthtakaj¸c kineÐtai to reustì "swmatÐdio". Autì faÐnetai pio kajar an antikatast soume gia thnulik pargwgo, opìte èqoume:

∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u = −

~∇Pρ. (4.4)

H exÐswsh aut onomzetai exÐswsh Euler(diatupwjhke to 1755) kai eÐnai mÐa apì tic basikècexis¸seic thc udrodunamik c. H (4.4) mac lèei ìti h dÔnamh an monda mzac eÐnai Ðsh me thnepitqunsh, kai isqÔei akìmh kai gia sumpiest reust, opìte èqoume metabol thc puknìthtacsto q¸ro sto qrìno. Tìte h metabol thc puknìthtac mzac perigrfetai apì thn exÐswshsunèqeiac kai fusik exarttai apì to pedÐo taqÔthtac. Se aut thn perÐptwsh prèpei nalÔsoume mazÐ tic treic exis¸seic tou Euler (h (4.4) eÐnai dianusmatik sqèsh) me thn exÐswshsunèqeiac (3.2). Epiplèon, apaiteÐtai kai mÐa katastatik exÐswsh h opoÐa na sundèei thn pÐeshse kpoio shmeÐo me thn puknìthta sto Ðdio shmeÐo. H sqèsh aut mporeÐ na perilambnei kai

4.2. DIAT'HRHSH ORM'HS: EX'ISWSH EULER 5

llec fusikèc paramètrouc ìpwc h jermokrasÐa ktl. Antilambanìmaste ìti èqoume sta qèriamac èna dÔskolo prìblhma pou ja exetsoume sto Kef. 7. EÐnai loipìn meglh aplopoÐhshgia thn perÐptwsh toÔ asumpÐestou reustoÔ ìti h exÐswsh sunèqeiac eÐnai apl (~∇ · ~u = 0),en¸ h katastatik exÐswsh gÐnetai: ρ = stajer. EÐdame de, ìti gia na isqÔei o periorismìcautìc prèpei o arijmìc Mach na eÐnai polÔ mikrìc.

En to ugrì brÐsketai ktw apì thn epÐdrash barutikoÔ pedÐou ( llhc ex apostsewcdÔnamhc) tìte h antÐstoiqh dÔnamh ρ~g prèpei na prostejeÐ sto dexiì merìc thc (4.4), ìpou ~geÐnai h epitqunsh lìgw thc barÔthtac3. H dÔnamh tou barutikoÔ pedÐou dra san dÔnamh ìgkou,diìti eÐnai anlogh thc mzac. H exÐswsh loipìn kÐnhshc paÐrnei thn morf :

∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u = −

~∇Pρ

+ ~g. (4.5)

topik adrneia + metaforik adrneia = DÔnamh pÐeshc + DÔnamh barÔthtac

epitqunsh (dÔnamh adrneiac) = Exwterikèc dunmeic

Grfontac th barutik dÔnamh an monda mzac san th stajer epitqunsh ~g paraleÐpoumeth metabol tou me to Ôyoc apì thn epifneia thc g c sÔmfwna me ton nìmo thc barÔth-tac. Autì eÐnai mÐa kal prossèggish gia tic perissìterec peript¸seic ro c ìpou o ìroc thcdunamik c pÐeshc uperisqÔei thc barÔthtac kai oi diastseic tou q¸rou mèsa ston opoÐo èqoumero den eÐnai polÔ meglec. 'Etsi an to Ôyoc tou reustoÔ h eÐnai polÔ mikrìtero apì thn aktÐnathc Ghc R0 tìte g = stajer eÐnai kal prosèggish. 'Otan ìmwc meletoÔme thn kÐnhsh aerÐwnmaz¸n se eÔroc qilidwn qiliomètrwn tìte h metabol prèpei na upologisteÐ kai eÐnai shman-tik . En eÐnai aparaÐthto na perilboume thn exrthsh tou g apì to Ôyoc autì gÐnetai eÔkolaantikajist¸ntac to ~g me −~∇U(~r), ìpou U(~r) eÐnai to barutikì h llo diathrhtikì pedÐo. 'Etsièqoume

∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u = −

~∇Pρ− ~∇U(~r). (4.6)

Ed¸ prèpei na parathr soume ìti knoume mÐa shmantik upìjesh ìti oi dunmeic pou askoÔntaista swmatÐdia tou ugroÔ eÐnai topikèc dhlad askoÔntai mèsw thc peribllousac epifneiac.Autì den ja sunèbaine ìmwc p.q en to ugrì apoteloÔntan apì fortismèna swmatÐdia ìpouèqoume metaxÔ twn swmatidÐwn dunmeic meglhc embèleiac kai h diaforik exÐswsh ja eÐnaioloklhrwtik .

Mia llh shmantik upìjesh gia thn exÐswsh Euler eÐnai ìti den èqoume dunmeic trib cpou dhmiourgoÔn ap¸leia enèrgeiac kai paragwg jermìthtac. Autì shmaÐnei ìti meletme ènatèleio ugrì ìpou paraleÐpoume to ix¸dec kai th jermik agwgimìthta. Apì thn llh pleurprèpei na tonÐsoume ìti h exÐswsh Euler gia th diat rhsh orm c sth morf thc (4.5) isqÔeikai an akìmh h ro eÐnai sumpiest . Apl¸c sthn perÐptwsh aut prèpei na qrhsimopoi soumemazÐ me thn exÐswsh sunèqeiac kai thn antÐstoiqh katastatik sqèsh. Sth sunèqeia ìmwcja qrhsimopoi soume thn upìjesh tou asumpÐestou reustoÔ, ektìc an dhlwjeÐ alloi¸c. HaplopoÐhsh aut eÐnai ikanopoihtik gia qamhl c taqÔthtac ro , all pio shmantikì ja macd¸sei th dunatìthta na d¸soume mia eÔkolh fusik eikìna.

3H kateÔjunsh thc epitqunshc thc barÔthtac eÐnai ston arnhtikì z−xona (dhl. ~g = −gz), ¸ste h

antÐstoiqh dunamik enèrgeia an monda mzac eÐnai U = gz me shmeÐo anaforc to z = 0. Suqn gia

asumpÐesth ro eÐnai qr simo na orÐsoume thn energì pÐesh P ? = P + ρgz pou eÐnai h diafor thc pÐeshc apì

thn udrostatik pÐesh sto antÐstoiqo shmeÐo. Etsi h P ? èqei na knei me to mèroc thc pÐeshc lìgw thc ro c

tou reustoÔ kai eÐnai aut pou mac dÐnei thn epitqunsh.


4.3 Je¸rhma Bernoulli kai diat rhsh enèrgeiac

Ac analÔsoume peraitèrw thn exÐswsh Euler upologÐzontac ton rujmì me ton opoÐo knounèrgo oi antÐstoiqec dunmeic. Autì ja mac d¸sei mÐa èkfrash gia ton rujmì metabol c thcmhqanik c enèrgeiac. Qrhsimopoi¸ntac thn sqèsh (3. ) gia thn epitqunsh lìgw metaforc,(~u · ~∇)~u, mporoÔme na xanagryoume thn exÐswsh diat rhshc orm c wc:

∂~u

∂t+ ~∇(

12u2)− ~u× ~ζ = ~f − 1

ρ~∇P, (4.7)

ìpou ~ζ eÐnai o strobilismìc tou pedÐou taqÔthtac, ~f eÐnai mÐa exwterik dÔnamh an monda mzacpou proèrqetai apì èna diathrhtikì pedÐo U (dunamik enèrgeia an monda mzac), dhlad ~f = −~∇U me ~∇× ~f = 0. En epiplèon upojèsoume ìti h ro eÐnai astrìbilh (~ζ = ~∇× ~u = 0)tìte èqoume ~u = −~∇Φ kai h (4.7) gÐnetai:

−~∇(∂Φ∂t

) + ~∇(12u2) = −~∇U − 1

ρ~∇P. (4.8)

H sunrthsh dunamikoÔ tou pedÐou taqÔthtac Φ(~r, t) eÐnai mÐa bohjhtik sunrthsh pou qarak-thrÐzei èna astrìbilo pedÐo (p.q. mac lèei kti gia thn kukloforÐa tou pedÐou) kai den eÐnai mÐafusik metr simh posìthta. Den prèpei de na sugqèetai me th dunamik enèrgeia an mondacmzac U(~r). En epi plèon h ro eÐnai stsimh ∂Φ

∂t = 0 kai den uprqei exwterik dÔnamh

(~∇U = 0), tìte gia èna asumpÐesto ugrì me omogen puknìthta, h (4.8) èqei th morf :

~∇(12u2 +

P

ρ) = 0. (4.9)

En t¸ra jewr soume mÐa stigmiaÐa noht metatìpish tou swmatidÐou ugroÔ kat d~r apì thjèsh ~r sthn ~r + d~r, kai proume to eswterikì ginìmeno thc (4.9) me d~r èqoume apì th sqèshtou diaforikoÔ

dB =∂B∂x

dx+∂B∂y

dy +∂B∂zdz ≡ d~r · ~∇B,

kai gia thn perÐptwsh pou èqoume ~∇B = 0, ìti

dB(~r) ≡ d(

12u2 +

P

ρ

)= 0 (4.10)

B(~r) ≡ 12u2 +

P

ρ= C, (4.11)

ìpou h stajer C èqei thn Ðdia tim se ìlo ton ìgko tou ugroÔ. Autì sumbaÐnei diìti apì thn(4.9) kai thn (4.11) èqoume ~∇C = 0 gia kje ~r. AparaÐthth proupìjesh gi' autì eÐnai h ro naeÐnai astrìbilh. H (4.11) eÐnai h exÐswsh Bernoulli gia èna asumpÐesto, astrìbilo, omogenècidanikì ugrì qwrÐc exwterikèc dunmeic, se mìnimh ro .

En t¸ra to ugrì brÐsketai upì thn epÐdrash thc barÔthtac me dunamikì U h (4.11) gÐnetai:

12u2 + U(~r) +

P

ρ= C. (4.12)

H exÐswsh aut dèn eÐnai tÐpote llo par h arq thc diat rhshc thc enèrgeiac, dhlad h metabol thc olik c enèrgeiac (kinhtik + dunamik ) tou ugroÔ swmatidÐou isoÔtai me to

4.3. JE'WRHMA BERNOULLI KAI DIAT'HRHSH EN'ERGEIAS 7

Sq ma 4.3: Sq. 4.3 Digramma gia ton nìmo Bernoulli se astrìbilh ro .

èrgo pou gÐnetai gia na upernikhjoÔn oi dunmeic tou peribllontoc ugroÔ sthn epifnei tou.'Etsi, to èrgo thc pÐeshc apojhkeÔetai san kinhtik dunamik enèrgeia. Ac jewr soume thro sto Sq. 4.3 kai ton ìgko sust matoc (diakekomènec grammèc) o opoÐoc kineÐtai mazÐ meto reustì pou perikleÐei. Kat th metatìpish kat dx èqoume th metatìpish mzac ρdV poubrÐsketai ston ìgko dV = Adx, ìpou A h diatom sto aristerì kro. H pÐesh sto aristerìkro, PA, knei èrgo an monda metatopizìmenhc mzac

PAAdx

ρAdx=PAρ

Stì llo kro tou swl na h pÐesh askeÐ dÔnamh antÐjeth proc thn kÐnhsh thc antÐstoiqhcmzac sto dexiì mèroc kai epomènwc èqoume arnhtikì èrgo Ðso me −PB

ρ . To sunolikì èrgo pougÐnetai eÐnai

PAρ− PB

ρ

kai isoÔtai me th metabol thc enèrgeiac (kinhtik c kai dunamik c) kat th metakÐnhsh touìgkou elègqou, dhl. (

12u2B + UB

)−(

12u2A + UA

)=PAρ− PB

ρ

kai me anakattaxh twn ìrwn èqoume to je¸rhma Bernoulli.SunoyÐzontac, h exÐswsh Bernoulli sth morf (4.12) basÐzetai stic paraktw upojèseic:

1. 'Eqoume mìnimh ro , mia sun jhc upìjesh sto megalÔtero mèroc autoÔ tou biblÐou.

2. AsumpÐesth ro , dhl. qamhlì arijmì Mach (Ma < 0.3).

3. Astrìbilh ro , kajìson paraleÐyame thn kinhtik enèrgeia peristrof c tou "swmatidÐou".

4. Mh ixwdik ro - polÔ perioristikì kont se epifneiec pou eisgoun trib .


5. Den èqoume èrgo apì èmbola lla mhqan mata kat m koc thc diadrom c.

6. Den èqoume paragwg aporìfhsh jermìthtac anmesa se dÔo shmeÐa thc diadrom c.

An ikanopoioÔntai oi parapnw upojèseic, h exÐswsh Bernoulli eÐnai isodÔnamh me thn arq diat rhshc thc mhqanik c enèrgeiac. Kai autì diìti h exÐswsh Bernoulli bg ke apì thn arq diat rhshc thc orm c kai epomènwc den perièqei touc dÔo teleutaÐouc ìrouc. AutoÐ, ìtan up-rqoun, ja prèpei na perilhfjoÔn sthn antÐstoiqh exÐswsh diat rhshc enèrgeiac. En gènei, anden ikanopoieÐtai kpoia apì tic parapnw pro "upojèseic tìte prèpei na diorj¸soume katllhlathn exÐswsh Bernoulli.

4.3.1 GenÐkeush thc arq c diat rhshc enèrgeiac.

Gia èna sumpiestì ugrì h metatrèyimh eswterik enèrgeia (dhl. to èrgo pou ègine apì thnpÐesh) sundèetai me th jermodunamik diadikasÐa. 'Etsi p.q., gia isojermik diadikasÐa seidanikì aèrio, h pÐesh sundèetai me thn puknìthta wc P = stajer · ρ en¸ gia isentropik èqoume P = stajer · ργ ìpou γ eÐnai jermodunamik stajer pou sundèetai me to lìgo thceidik c jermìthtac me stajer pÐesh ìgko. Kai gia tic dÔo peript¸seic ρ = ρ(P ) kai ètsi oìroc 1

ρ~∇P sthn exÐswsh Euler grfetai wc

1ρ~∇P → ~∇

∫ P 1ρ(P ′)

dP ′ → ~∇∫ ρ 1

ρ′dP (ρ′)dρ′

dρ′,

kai sthn perÐptwsh aut h exÐswsh Bernoulli gÐnetai

12u2 + U(~r) +

∫ P 1ρ(P ′)

dP ′ = C. (4.13)

ìpou pli to C eÐnai stajerì se ìlo to q¸ro.En h ro eÐnai asumpÐesth kai astrìbilh, all den eÐnai mìnimh tìte prèpei na proume

upìyh ton ìro ∂~u∂t o opoÐoc sthn exÐswsh Bernoulli suneisfèrei san pl rec diaforikì, dhl.

∂~u

∂t· d~r =

∂~∇Φ∂t· d~r = d

(∂Φ∂t

),

kai h (4.12) grfetai

∂Φ∂t

+12|~∇Φ|2 + U(~r) +

P

ρ= C(t), (4.14)

ìpou pli h stajer olokl rwshc C(t) eÐnai stajer sto q¸ro all mporeÐ na metablletaime to qrìno.

To prohgoÔmeno apotèlesma mporeÐ isodÔnama na bgeÐ an upologÐsoume to èrgo pou gÐnetaiapì mÐa noht metakÐnhsh4 pnw se se mÐa kampÔlh D pou en¸nei dÔo tuqaÐa shmeÐa. O pr¸tocìroc mac dÐnei gia th diafor anmesa se dÔo shmeÐa∫ 2

1

∂~u

∂t· d~r

4Anaferìmaste se noht metakÐnhsh qwrÐc exèlixh sto qrìno, diìti h kampÔlh D den eÐnai h troqi kpoiou

reustoÔ swmatidÐou. EpÐshc antistoiqoÔme sthn epitqunsh thn dÔnamh adraneÐac an monda mzac kai

mporoÔme na milme gia to antÐstoiqo èrgo. Gia thn perÐptwsh pou h ro eÐnai astrìbilh, to èrgo autì

eÐnai anexrthto thc diadrom c kai exarttai mìno apì t kra. EÐnai profanèc ìmwc ìti to eikonikì autì èrgo

metablletai me thn qronik stigm thc noht c metatìpishc.

4.3. JE'WRHMA BERNOULLI KAI DIAT'HRHSH EN'ERGEIAS 9

Sq ma 4.4: Sq. 4.4 (a) Digramma gia to mhdenismì tou èrgou strobilismoÔ. Ta dianÔsmata

d~r, ~u, ~ζ eÐnai stì Ðdio epÐpedo. (b) Efarmog tou genikeumènou jewr matoc Bernoulli se ro

peristrof c.

kai eÐnai to èrgo an monda mzac lìgw thc topik c epitqunshc apì antÐstoiqec qronoexarth-mènec dunmeic.

En h ro eÐnai mìnimh all ìqi aparaÐthta astrìbilh tìte apì thn (4.7) kai akoloujìntacta Ðdia b mata ìpwc ìtan katal xame sthn (4.11), gia thn perÐptwsh thc astrìbilhc ro c,èqoume antÐ thc (4.11):

d(12u2 + U +

P

ρ) = d~r · (~u× ~ζ), (4.15)

ìpou h dexi pleur thc (4.15) èqei thn morf epÐ plèon èrgou pou prèpei na upologÐsoumelìgw strobilismoÔ. Upì orismènec sunj kec ìmwc to dexiì mèroc mhdenÐzetai:

• I) An ~u× ~ζ = 0. Sthn perÐptwsh aut h stajer sthn exÐswsh Bernoulli eÐnai h Ðdia seìlo ton q¸ro. Autì sumbaÐnei ìtan:

1. ~ζ = 0 pou eÐnai h perÐptwsh thc dunamik c ro c pou exetsame, kai

2. ~u kai ~ζ eÐnai parllhla, ¸ste oi grammèc ro c kai strobilismoÔ sumpÐptoun. Kaigia tic dÔo peript¸seic h (4.12) isqÔei.

• II) An ~u × ~ζ 6= 0 all d~r eÐnai sto epÐpedo twn ~u kai ~ζ (amfìtera kjeta sto ~u × ~ζ).Dhlad dialègoume th metatìpish d~r, apì to shmeÐo P na eÐnai sthn epifneia, mèsw touP pou perièqei tic grammèc reÔmatoc kai tic grammèc strobilismoÔ.

Sthn perÐptwsh (II) (dèc Sq. 4.4a) me thn metatìpish pnw s' aut n thn epifneia denèqoume kat th metatìpish èrgo lìgw strobilismoÔ kai isqÔei pli h (4.12). Uprqei ìmwcmÐa diafor ed¸. H stajer sto dexiì mèroc thc (4.12) èqei diaforetik tim gia kje tètoiaepifneia kai den èqei thn Ðdia tim se ìlo ton ìgko tou ugroÔ ìpwc prohgoumènwc. Mia eidik perÐptwsh diadrom c kat thn opoÐa den èqoume èrgo lìgw strobilismoÔ, eÐnai akoloujìntactic grammèc ro c, pou eÐnai kai pio katanohtì.

Se perÐptwsh pou h ro den eÐnai mìnimh me strobilismì h exÐswsh Bernoulli gÐnetai:


~∇(

12u2 + U +

P

ρ

)= −∂~u

∂t− (~∇× ~u)× ~u. (4.16)

En de, oloklhr¸soume pnw se mÐa kampÔlh D metaxÔ twn shmeÐwn ~r1 kai ~r2, èqoume gia thnmetabol

∆(

12u2 + U +

P

ρ

)≡(

12u2 + U +

P

ρ

)|21 = − ∂

∂t

∫ 2

1~u · d~r +

∫ 2

1d~r · (~u× ~ζ). (4.17)

En h kampÔlh D eÐnai sumpÐptei me mia gramm ro c th qronik stigm t, tìte to epikam-pÔlio olokl rwma tou ìrou thc stroform c mac dÐnei mhdenik suneisfor se kje shmeÐo touepikampÔliou oloklhr¸matoc.

AxÐzei na jewr soume pli to pardeigma 2 (Kef. 2.6) mìnimhc ro c tou strobÐlou mestajerì strobilismì se ìlo to q¸ro. Ac jewr soume thn metatìpish kat m koc thc aktÐnacR apì to R1 sto R2 (dèc Sq. 4.4b). Tìte gia uφ = ΩR, èqoume apì thn exÐswsh Euler meolokl rwsh5

P =12ρΩ2R2

kai

∆(

12u2 +

P

ρ

)= ∆

(Ω2R2

)En¸ to epikampÔlio olokl rwma tou ìrou stroform c me ~ζ = 2Ωez mac dÐnei∫ 2

1d~r · (~u)× ~ζ =

∫ 2

1dR(2Ω2R) = ∆

(Ω2R2

)kai ikanopoieÐtai h genikeumènh morf tou jewr matoc Bernoulli.

4.4 Exis¸seic Euler se kulindrikèc suntetagmènec

Gia thn perÐptwsh anixwdik c kai asumpÐesthc ro c oi exis¸seic orm c kai sunèqeiac mac dÐnounthn katanom thc taqÔthtac ~u(~r, t) kai thc pÐeshc P (~r, t) sto q¸ro kai th metabol toucsto qrìno. Gia probl mata ro c me kulindrik summetrÐa eÐnai skìpimo na qrhsimopoi soumekulindrikèc suntetagmènec ~r → (R,φ, z) kai me sunist¸sec thc taqÔthtac ~u ≡ (uR, uφ, uz), oiexis¸seic diat rhshc orm c kai sunèqeiac thc puknìthtac, paÐrnontac upìyh mìno th bajmÐdapÐeshc, gÐnontai

∂uR∂t

+ (~u · ~∇)uR −u2φ

R= −1

ρ

∂P

∂R. (4.18)

∂uφ∂t

+ (~u · ~∇)uφ +uRuφR

= − 1ρR

∂P

∂φ. (4.19)

∂uz∂t

+ (~u · ~∇)uz = −1ρ

∂P

∂z. (4.20)

kai

1R

∂

∂R(RuR) +

1R

∂uφ∂φ

+∂uz∂z

= 0. (4.21)

5Na parathr soume ìti to apotèlema gia thn pÐesh mac lèei ìti h pÐesh auxnei ekeÐ pou auxnei kai h

kinhtik enèrgeia. Autì ja mac fainìtan ljoc an eÐqame upìyh thn apl morf gia astrìbilh ro .

4.4. EXIS'WSEIS EULER SE KULINDRIK'ES SUNTETAGM'ENES 11

ìpou se kulindrikèc suntetagmènec

~u · ~∇ = uR∂

∂R+uφR

∂

∂φ+ uz

∂

∂z. (4.22)

Oi ìroi sto aristerì mèroc pou den èqoun parag¸gish proèrqontai apì thn parag¸gish wcproc φ twn monadiaÐwn dianusmtwn eR kai eφ. 'Etsi p.q.

(~u · ~∇)(uReR) =[(~u · ~∇)uR

]eR +

uRuφR

eφ,

pou mac dÐnei suneisfor kai sthn efaptomenik epitqunsh.En t¸ra h taqÔthta èqei thn morf

~u = uφ(R, t)eφ, (4.23)

oi grammèc ro c eÐnai kuklikèc kai ìpwc eÐdame sto Kef. 3, lìgw thc anexarthsÐac thc uφ apì

thn gwnÐa φ, h sqèsh asumpiestìthtac (~∇ · ~u) ikanopoieÐtai autìmata. Gia thn perÐptwsh aut

~u · ~∇ =uφR

∂

∂φ[uφ(R, t)eφ] =

u2φ

R

∂

∂φeφ = −

u2φ

ReR. (4.24)

Oi exis¸seic Euler gÐnontai

−u2φ

R= −1

ρ

∂P

∂R. (4.25)

∂uφ∂t

= − 1ρR

∂P

∂φ. (4.26)

0 = −1ρ

∂P

∂z= 0. (4.27)

Apì tic exis¸seic (4.26, 4.27) sumperaÐnoume ìti

P (R,φ, t) = g(R, t)φ+ f(R, t),

kai epeid h pÐesh eÐnai monos manth, dhl. P (R,φ + 2π) = P (R,φ), èqoume g(R, t) = 0, kaiepomènwc h pÐesh exarttai mìno apì thn aktÐna R kai to qrìno t. Autì shmaÐnei ìti den èqoume

bajmÐda pÐeshc sthn eφ (efaptomenik ) kateÔjunsh kai epomènwc∂uφ∂t = 0, dhl. den èqoume

efaptomenik epitqunsh. 'Etsi, h taqÔthta eÐnai kai anexrthth tou qrìnou6.

4.4.1 Exis¸seic Euler se sfairikèc suntetagmènec

Metafèrontac tic sunist¸sec thc epitqunshc se sfairikèc suntetagmènec kaj¸c kai th ba-jmÐda thc pÐeshc eÔkola brÐskoume

∂ur∂t

+ (~u · ~∇)ur −u2θ

r−u2φ

r= −1

ρ

∂P

∂r. (4.28)

6To teleutaÐo den isqÔei an proume upìyh kai tic dunmeic trib c lìgw tou ix¸douc, ìpwc ja doÔme sto

Kef. 6.


∂uθ∂t

+ (~u · ~∇)uθ +uruθr−u2φ cot θr

= − 1ρr

∂P

∂θ. (4.29)

∂uφ∂t

+ (~u · ~∇)uφ +uruφr

+uθuφ cot θ

r= − 1

ρr sin θ∂P

∂φ. (4.30)

kai

1r2

∂

∂r(r2ur) +

1r sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1r sin θ

∂uφ∂φ

= 0. (4.31)

ìpou se sfairikèc suntetagmènec

~u · ~∇ = ur∂

∂r+uθr

∂

∂θ+

uφr sin θ

∂

∂φ. (4.32)

4.5 Fusik anlush m omogenoÔc ro c

4.5.1 To prìblhma thc s riggac

San èna sugkekrimèno pardeigma gia thn anlush tou nìmou Bernoulli kai thc exÐswshcEuler, qrhsimopoioÔme th ro mèsa apì mÐa sÔrigga. KÔrioc stìqoc eÐnai h mejodologÐa giath melèth enìc probl matoc udrodunamik c kai h anagn¸rish twn aplousteÔsewn qwrÐc naqrhsimopoioÔme polÔploka oloklhr¸mata. Tautìqrona ìmwc ja deÐxoume ìti ta apotelèsmatathc exÐswshc Euler eÐnai sÔmfwna me autì pou ja perimèname apì thn klassik mhqanik .Ja mac dwjeÐ epÐshc h eukairÐa na "diabzoume èna digramma tou pedÐou taqÔthtac ¸ste nabgzoume plhroforÐec gia thn epitqunsh all kai th bajmÐda pÐeshc.

Katrq n upojètoume ìti èqoume ftsei se sunj kec omal c ro c upì thn pÐesh tou em-bìlou pou kineÐtai me stajer taqÔthta up. Sto Sq. 4.5 deÐqnoume tic grammèc ro c. PolÔmakri sto aristerì kro oi grammèc eÐnai parllhlec kai kjetec sto èmbolo. 'Oso ìmwcplhsizoume sth dexi op oi grammèc prèpei na sugklÐnoun.

Efìson h ro eÐnai mìnimh ja qrhsimopoi soume thn ènnoia tou swl na ro c. JewroÔmedhlad ènan eikonikì swl na tou opoÐou h exwterik epifneia eÐnai kat m koc gramm¸n ro ctic opoÐec akoloujeÐ. Autì shmaÐnei ìti to ugrì pou eisèrqetai apì to aristerì kro den mporeÐna diapersei ta pla"in toiq¸mata tou swl na, all ja bgei mìno apì to llo kro, qwrÐcna susswreÔetai se kpoio shmeÐo. An autì sunèbaine, (dhlad h suss¸reush) tìte den jaeÐqame mìnimh ro . Autì shmaÐnei ìti h taqÔthta tou ugroÔ eÐnai diaforetik sta dÔo kra(kai se kje shmeÐo) kai mlista kat tètoio trìpo ¸ste h olik mza pou dièrqetai gia kpoioqronikì disthma dt apì dÔo diaforetikèc tomèc me embadìn ∆A kai ∆A′ eÐnai Ðsec, dhlad toginìmeno

ρu∆A = stajer

eÐnai stajerì kat m koc tou swl na. En upojèsoume epiplèon ìti oi metabolèc sthnpuknìthta ρ eÐnai amelhtèec (asumpÐesto ugrì) tìte to ginìmeno u∆A eÐnai stajerì. `Opouloipìn èqoume suss¸reush gramm¸n ro c autì shmaÐnei mikrìterh diatom kai epomènwc megalÔterhtaqÔthta tou ugroÔ. Kai eÐnai profanèc apì to Sq ma 4.5a kai 4.5b ìti h metabol thc orm ctou swmatidÐou ugroÔ gÐnetai kurÐwc kont sthn op . Ed¸ prèpei na parathr soume ìti heikìna kont sta toiq¸mata eÐnai exidanikeumènh. Upojètoume dhlad ìti h stajer eswterik epifneia thc sÔriggac eÐnai mÐa gramm ro c. Sthn pragmatikìthta ìmwc ja uprqei ènastr¸ma kont sthn epifneia to opoÐo ja sumperifèretai diaforetik lìgw twn dunmewntrib¸n pou askoÔntai. Dhlad ìqi mìno paraleÐpoume to ix¸dec mèsa sto ugrì, all kai tic

4.5. FUSIK'H AN'ALUSH M'H OMOGENO'US RO'HS 13

Sq ma 4.5: Sq. 4.5 (a) Grammèc Ro c se sÔrigga upì stajer pÐesh. (b) Swl nac ro c se

megènjush apì to (a).

tribèc sthn epifneia se epaf me thn sÔrigga. H perigraf ìmwc pou d¸same eÐnai arketikanopoihtik ìtan o swl nac ro c eÐnai pio kont sto kèntro thc sÔriggac ìpou den perimè-noume fainìmena tou epifaneiakoÔ str¸matoc fainìmena strobilismoÔ, en¸ sto stìmio lìgwthc meglhc taqÔthtac to ix¸dec den èqei shmantik epÐdrash. Se èna pragmatikì ugrì kaiidiaÐtera stic gwnÐec ja perimèname th dhmiourgÐa topik¸n strobÐlwn.

Ac doÔme t¸ra me megalÔterh leptomèreia th dunamik sumperifor enìc swmatidÐou ugroÔto opoÐo gia eukolÐa to dialègoume me th morf kÔbou me kèntro ston xona summetrÐac thcsÔriggac kai dÔo pleurèc tou kjetec sutìn (Sq. 4.6). H pleur tou kÔbou eÐnai a. Hsummetrik aut topojèthsh mac dÐnei th dunatìthta na melet soume pia èna monodistatoprìblhma. To gegonìc ìti h gramm ro c ston xona summetrÐac eÐnai eujeÐa shmaÐnei ìti denuprqei diafor pÐeshc stic apènanti pleurèc par mìno sth x- kateÔjunsh.

Sto qronikì disthma ∆t to swmatÐdio metatopÐzetai apì th jèsh O me arqik taqÔthtauo (sthn x-kateÔjunsh) sth jèsh O' se apìstash ∆x = uo∆t me telik taqÔthta uo′ . Hepitqunsh tou swmatidÐou eÐnai:

a ≡ du

dt= lim

∆t→0

uo′ − u0

∆t. (4.33)

Sthn perÐptwsh thc mìnimhc ro c h taqÔthta den exarttai mesa apì to qrìno all mìno apìth jèsh x. Etsi anaptÔssontac se anptugma Taylor gia mikrì ∆x, èqoume

uo′ = uo +(∂u

∂x

)o

∆x = uo +(∂u

∂x

)ouo∆t, (4.34)

ìpou qrhsimopoi same ìti h apìstash ∆x twn duo shmeÐwn sto q¸ro eÐnai kai h metatìpishtou reustoÔ swmatidÐou se qrìno ∆t me taqÔthta uo,pou mporeÐ na jewrhjeÐ stajer, dhl.∆x = uo∆t. LÔnontac apì thn (4.34) gia u′o − uo kai antikajist¸ntac sthn (4.33) èqoume giathn epitqunsh tou swmatidÐou :

du

dt=(∂u

∂x

)ouo =

∂

∂x

(12u2)o. (4.35)


Sq ma 4.6: Sq. 4.6 Dunmeic se èna swmatÐdio reustoÔ kinoÔmeno sthn kentrik gramm ro c

thc s raggac.

H sqèsh aut moizei polÔ me thn antÐstoiqh enìc swmatidÐou sth mhqanik kaj¸c:

v =dv

dt=dv

dx

dx

dt=dv

dxv =

d

dx(12v2). (4.36)

'Etsi gia mÐa mìnimh ro , qrhsimopoi¸ntac thn ènnoia tou pedÐou taqÔthtac kai ton orismì thcepitqunshc (4.33) ìpwc aut orÐzetai gia èna swmatÐdio sthn exÐswsh tou NeÔtwna (ulik pargwgoc taqÔthtac), katal goume sthn Ðdia sqèsh me aut thc klassik c mhqanik c ìpouorÐzoume tic troqièc swmatidÐwn sÔmfwna me th mèjodo Lagrange. Autì den prèpei na macekpl ssei diìti, ìpwc eÐpame kai sto Kef. 2, oi grammèc ro c sumpÐptoun me tic troqièc twnswmatidÐwn gia mìnimh ro . H sumfwnÐa aut eÐnai entupwsiak diìti arqÐsame apo entel¸c di-aforetikèc perigrafèc me diaforetikèc posìthtec na perigrfoun thn kinhtik . Sthn klassik mhqanik èqoume thn taqÔthta kai jèsh tou swmatidÐou v(t) kai x(t), en¸ sthn udrodunamik orÐzoume to pedÐo taqÔthtac u(x, t), kai gi autì kai èqoume merik parag¸gish. Prèpei napoÔme ìti h arister exÐswsh sthn (4.35) eÐnai sÔmfwnh me ton orismì thc ulik c epitqunshc(3. ) kajìson gia th mìnimh ro ∂u/∂t = 0 kai apomènei mìno o ìroc (~u · ~∇)~u, pou èqei mìnox−sunist¸sa kai Ðsh me u∂u∂x . Blèpoume ìti parìlo pou sthn perigraf Euler tou pedÐoutaqÔthtac eÐqame ∂u/∂t = 0 to swmatÐdio ugroÔ èqei epitqunsh.

4.5.2 Efaptomenik epitqunsh se kampulh gramm ro c

H prohgoÔmenh sqèsh gia thn epitqunsh eÔkola genikeÔetai an to swmatÐdio brÐsketai pnwse gramm ro c h opoÐa eÐnai kampÔlh. H epitqunsh gia mìnimh ro eÐnai (~u · ~∇)~u pou en gèneièqei sunist¸sec stouc treic xonec. Autì eÐnai anlogo me thn epitqunsh enìc swmatidÐousth mhqanik se kampulìgrammh troqi. EkeÐ èqoume thn efaptomenik epitqunsh kai thnkentromìlo. Ed¸ ja endiaferjoÔme proc to parìn gia thn efaptomenik epitqunsh. Epeid h(~u · ~∇)~u eÐnai anexrthth tou sust matoc anaforc knoume mia peristrof twn axìnwn ¸ste onèoc x-xonac na eÐnai efaptìmenoc thc gramm c ro c. Tìte oi dÔo sunist¸sec thc taqÔthtac


mhdenÐzontai en¸ h trÐth eÐnai Ðsh me to mètro thc taqÔthtac. 'Etsi h efaptomenik sunist¸sathc epitqunshc eÐnai:

efaptomenik epitqunsh =∂

∂s(12u2), (4.37)

ìpou s eÐnai kat m koc thc gramm c ro c. Sto mègejoc thc kentromìlou epitqunshc jaepanèljoume sthn epìmenh pargrafo.

Sth sunèqeia upojètoume ìti to ugrì den èqei diatmhtikèc tseic lìgw thc èlleiyhc ix¸douc.Sthn perÐptwsh aut h dÔnamh pÐeshc eÐnai pantoÔ isotropik an kai h tim thc diafèrei apìshmeÐo se shmeÐo, ìpwc prèpei ¸ste h diafor pÐeshc na dra san dÔnamh epitqunshc. Epeid sto swl na h taqÔthta auxnetai kat to m koc tou, perimènoume h pÐesh na eÐnai megalÔterhsto aristerì mèrouc tou kÔbou. H pÐesh stic apènanti epifneiec dÐnetai apì thn pÐesh stokèntro O gia mikrì m koc a, anaptÔssontac se seir Taylor, kai eÐnai antÐstoiqa

(P − 12a∂P

∂x)o kai (P +

12a∂P

∂x)o

gia thn arister kai dexi pleur. H diafor metaxÔ touc ja mac d¸sei thn olik efaptomenik dÔnamh pou askeÐtai ston kÔbo

olik efaptomenik dÔnamh = −a3(∂P

∂x)o,

ìpou pollaplasisame me to embadìn a2 thc epifneiac sthn opoÐa askeÐtai h pÐesh. To "-prìshmo eÐnai epeid h pÐesh sto dexiì mèroc askeÐ dÔnamh ston kÔbo sthn x−kateÔjunsh.Exis¸nontac th dÔnamh me th mza epÐ epitqunsh èqoume:

−a3∂P

∂x= (ρa3)

∂

∂x(12u2). (4.38)

Epeid perimènoume jetik epitqunsh autì shmaÐnei ìti ∂P/∂x < 0 kat m koc thc sÔriggac.Autì ja brei mia pio akrib èkfrash sto nìmo tou Bernoulli gia thn perÐptwsh aut . H (4.38)eÔkola genikeÔetai wc:

−∂P∂s

= ρ∂

∂s(12u2) (4.39)

an oi grammèc ro c eÐnai kampulìgrammec sÔmfwna me thn (4.9). Oloklhr¸nontac se kjeperÐptwsh kat m koc thc gramm c ro c èqoume:

P

ρ+

12u2 = C

ìpou h stajer eÐnai en gènei diaforetik gia kje gramm ro c, an kai gia to prìblhm maceÐnai h Ðdia pantoÔ giatÐ ìlec oi grammèc ro c sto èna kro èqoun thn Ðdia pÐesh (tou embìlou) methn Ðdia taqÔthta tou ugroÔ uP . Ed¸ èqoume thn epal jeush ìti se stenwpì ro c h pÐesh eÐnaiqamhlìterh, parìlo pou ek pr¸thc ìyewc akoÔgetai perÐerga. En den eÐqame ìmwc qamhlìterhpÐesh den ja eÐqame mÐa olik dÔnamh gia na epitaqÔnei to ugrì. Kai fusik h epitqunsh eÐnaiaparaÐthth diìti apì thn arq thc diat rhshc thc mzac xèroume ìti h taqÔthta ro c eÐnaimegalÔterh se stenwpoÔc.

En t¸ra proume upìyh tic dunmeic barÔthtac (pou askoÔntai se ìlh th mza) aut

èqei efaptomenik sunist¸sa Ðsh me −∂(gz)∂s (h olik dÔnamh eÐnai −~∇(gz)) ìpou s eÐnai kat


Sq ma 4.7: Sq. 4.7 Egkrsiec dunmeic se èna swmatÐdio reustoÔ kinoÔmeno se kuklik troqi.

m koc thc troqic. Apì thn exÐswsh tou NeÔtwna gia stsimh ro (∂~u/∂t = 0) èqoume gia thsunist¸sa efaptomenik thc troqic:

−1ρ

∂P

∂s− ∂(gz)

∂s=

∂

∂s(12u2),

ìpou to dexiì mèroc eÐnai h epitqunsh. Kai oloklhr¸nontac èqoume:

P

ρ+ gz +

12u2 = C

pou ekfrzei thn diat rhsh thc enèrgeiac gia èna ugrì Euler ìpou lìgw thc èlleiyhc di-atmhtik¸n tsewn èqoume mìno mhqanik enèrgeia kai ìqi paragwg jermìthtac. H sqèshaut ja mporoÔse na exaqjeÐ kai apì to energeiakì isozÔgio.

4.5.3 Egkrsia bajmÐda pÐeshc kai kentromìloc epitqunsh se mìn-

imh kuklik ro

Se mÐa mìnimh ro jewroÔme èna swmatÐdio pou diagrfei thn kuklik troqi aktÐnac b tou sq -matoc 4.7. Sto shmeÐo P h u2 sunist¸sa thc taqÔthtac mhdenÐzetai. JewroÔme thn taqÔthtau2(Q) sto geitonikì shmeÐo sthn troqi Q pou apèqei apì to P kat thn metatìpish

d~r = dx1ı+ dx2 = b sin θı+ b(1− cos θ).

AnaptÔssoume to u2(Q) se seir Taylor gÔrw apì to shmeÐo P kai krat¸ntac mìno touc dÔoìrouc 1hc txhc stic metabolèc dx1 kai dx2,

u2(Q) =∂u2

∂x1

∣∣∣∣Pb sin θ +

∂u2

∂x2

∣∣∣∣Pb(1− cos θ) ≈ ∂u2

∂x1

∣∣∣∣Pbθ (4.40)


Sq ma 4.8: Sq. 4.8 Stajer peristrefìmeno doqeÐo me reustì.

ìpou gia mikrèc gwnÐec θ krat same ìrouc mèqri pr¸thc txhc wc proc θ. Sthn (4.40) o deÐkthcP ( Q) dhl¸nei ìti h sunrthsh upologÐzetai stic suntetagmènec twn shmeÐwn P ( Q). All

u2(Q) = |u(Q)| sin θ ≈ uP θ,

pli krat¸ntac ton qamhlìtero ìro wc proc θ. Exis¸nontac tic dÔo sqèseic èqoume:

∂u2

∂x1

∣∣∣∣P

=(u

R

)P. (4.41)

Me thn epilog twn axìnwn tou sq matoc h aktinik epitqunsh sto shmeÐo P eÐnai

aktinik epitqunsh aR(P ) = (~u · ~∇)u2 =(u1∂u2

∂x1

)P

antikajist¸ntac apì thn (4.41) kai qrhsimopoi¸ntac ìti u1(P ) = u, èqoume:

aR =(u1∂u2

∂x1

)P

=

(u2

R

)P

(4.42)

to gnwstì apotèlesma thc kentromìlou epitqunshc.Epomènwc ìpou oi grammèc ro c eÐnai kampÔlec me aktÐna kampulìthtac R = b èqoume

kentromìlo epitqunsh kai kat sunèpeia aktinik bajmÐda pÐeshc. P.q. gia èna omal peri-strefìmeno doqeÐo mazÐ me to perieqìmeno ugrì (Sq. 4.8), èqoume mìno kentromìlo epitqunshproc ton xona peristrof c. Se mìnimh katstash h epifneia tou ugroÔ ja prei thn morf paraboloeidoÔc ek peristrof c.


Ac jewr soume èna shmeÐo sto reustì se apìstash R apì ton xona peristrof c. En P0

eÐnai h atmosfairik pÐesh tìte h pÐesh se kje shmeÐo pou apèqei apìstash R apì ton xonaperistrof c kai se bjoc [zo + ζ(R)] apì thn epifneia tou ugroÔ eÐnai:

P = P0 + ρg[zo + ζ(R)], (4.43)

oloklhr¸nontac thn dÔnamh sthn z-kateÔjunsh. Ed¸ h zo eÐnai to bjoc apì to qamhlìteroshmeÐo thc eleÔjerhc epifneiac kai ζ(R) eÐnai h sunrthsh pou perigrfei thn eleÔjerhepifneia kai to sq ma thc exarttai apì thn gwniak taqÔthta peristrof c. En parag-wgÐsoume thn pÐesh wc proc P , apì thn aktinik sunist¸sa thc diat rhshc orm c èqoume:

∂P

∂R= ρg

dζ

dR= ρ

u2

R(4.44)

kajìson h aktinik sunist¸sa thc bajmÐdac pÐeshc eÐnai aut pou dÐnei thn kentromìlo epitqunsh.En h stajer gwniak taqÔthta tou ugroÔ eÐnai ω tìte èqoume:

gdζ

dR= ω2R (4.45)

oloklhrìnontac wc proc R, èqoume gia thn aktinik metabol thc epifneiac

ζ(R) =ω2R2

2g(4.46)

4.6 Arijmìc Froude kai suntelest c pÐeshc

Gia thn arijmhtik lÔsh twn diaforik¸n exis¸sewn thc udrodunamik c eÐnai suqn qr simo natic ekfrsoume se adistath morf . Autì mac dÐnei thn dunatìthta na ektim soume thn shmasÐakje ìrou apì to mègejoc tou suntelest pou prokÔptei me thn metbash se adistatecmetablhtèc. H basik idèa eÐnai na epilèxoume tic qarakthristikèc klÐmakec tou probl matocp.q. m kouc, qrìnou ktl. P.q. en èqoume èna empìdio megèjouc L sthn eleÔjerh ro enìcreustoÔ tìte perimènoume ìti aut eÐnai h qarakthristik klÐmaka m kouc, kai opoiesd poteallagèc sumbaÐnoun ston q¸ro p.q. sto pedÐo taqÔthtac, autèc sumbaÐnoun sthn klÐmaka L.En de h asumptwtik taqÔthta tou reustoÔ eÐnai u0, tìte èqoume kai ton qarakthristikìqrìno τ = L

u0. Me to skeptikì autì mporoÔme na knoume tic paraktw allagèc metablht¸n:

~r = L~r′

~u = u0~u′

t = Lu0t′

(4.47)

ìpou oi tonismènec posìthtec eÐnai adistatec. H exÐswsh Euler grfetai wc(ρu2

0

L

)∂~u′

∂t′+

(ρu2

0

L

)(~u′ · ~∇′)~u′ = −

(∆PL

)~∇′P ′ − (ρg) ~∇′h′. (4.48)

ìpou ~∇′ shmaÐnei parag¸gish wc proc ~r′, kai qrhsimopoi same gia to dunamikì thc barÔthtacan monda ìgkou

U = gLh′(~r′),

kai gia th bajmÐda pÐeshc

~∇P =∆PL

~∇′P ′,

4.6. ARIJM'OS FROUDE KAI SUNTELEST'HS P'IESHS 19

me ∆PL mÐa qarakthristik bajmÐda pÐeshc. Sthn (4.48) oi ìroi mèsa sthn parènjesh mac

dÐnoun thn txh megèjouc tou kje ìrou, perimènontac ìti an h epilog twn qarakthristik¸nposot twn eÐnai h katllhlh oi adistatec posìthtec (ektìc parènjeshc) eÐnai thc txhc thc

mondac. Ean t¸ra diairèsoume thn (4.48) meρu2

0L tìte èqoume thn adistath morf

∂~u′

∂t′+ (~u′ · ~∇′)~u′ = −

(∆Pρu2

0

)~∇′P ′ −

(1Fr2

)~∇′h′, (4.49)

ìpou h posìthta Fr onomzetai arijmìc Froude kai dÐnetai apì thn sqèsh

arijmìc Froude Fr =u0√gL

. (4.50)

Etsi to tetrgwno tou arijmoÔ Froude mac dÐnei ton lìgo thc dÔnamhc adrneiac7 proc thnbarutik dÔnamh. Ean o arijmìc Froude eÐnai megloc, autì shmaÐnei ìti mporoÔme na par-aleÐyoume thn barutik dÔnamh se sqèsh me thn adraneiak dÔnamh. Autì ja sumbeÐ an

u20

L g,

dhl. den eÐnai mìno h taqÔthta all kai to qarakthristikì m koc pou paÐzoun rìlo. AutìeÐnai apìluta anamenìmeno an jumhjoÔme ìti mporoÔme na sugkrÐnoume mìno posìthtec meÐdiec diastseic, kai o arijmìc Froude eÐnai h adistath posìthta pou perièqei kai to g.Sta parapnw upojèsame ìti ta qarakthristik m kh kai taqÔthtec eÐnai Ðdia kai steic treÐckateujÔnseic. Se antÐjeth perÐptwsh nèec adistatec posìthtec, p.q. lìgoc mhk¸n ja paÐxounrìlo.

Apì ton ìro thc pÐeshc mporoÔme na orÐsoume èna llo adistato arijmì, o opoÐoc onomze-tai suntelest c pÐeshc kai dÐnetai apì thn sqèsh

suntelest c pÐeshc Cp =∆P12ρu

20

, (4.51)

pou metr ton lìgo thc bajmÐdac pÐeshc proc ton adraneiakì ìro. Suqn antÐ tou Cp qrhsi-mopoieÐtai o arijmìc Euler pou orÐzetai wc

arijmìc Euler E =2Cp.

An de jèloume na sugkrÐnoume ton ìro thc barÔthtac proc autìn thc pÐeshc, orÐzoume tonlìgo

E

Fr2=ρgL

∆P,

ìpou o arijmht c èqei epÐshc mondec pÐeshc kai eÐnai h diafor udrostatik c pÐeshc gia tom koc L. Argìtera ja doÔme ìti oi adistatoi autoÐ arijmoÐ qarakthrÐzoun thn morf thc ro ckai eÐnai idiaÐtera qr simoi gia thn anptuxh montèllwn thc ro c se mikrìterec klÐmakec stoergast rio.

Me thn eisagwg twn adistatwn stajer¸n, èqoume èna eÔkolo krit rio gia thn sÔgkrishdÔo ìrwn sthn exÐswsh diat rhshc thc orm c. Sthn perÐptws mac, upojèsame ìti to prìblhmro c exarttai apì merikèc qarakthristikèc posìthtec. Lìgw thc shmasÐac twn posot twnaut¸n ston qarakthrismì thc ro c ja afier¸soume argìtera èna olìklhro keflaio (Kef. 9)

7Adraneiak dÔnamh eÐnai o ìroc thc ulik c epitqunshc ρ~a.


H parapnw anlush epÐshc upojètei ìti oi ìroi pou eÐnai ekfrasmènoi se adistatecposìthtec eÐnai thc Ðdiac txhc megèjouc8, dhl.

O

(∂~u′

∂t′

)≈ O

((~u′ · ~∇′)~u′

)≈ O

(~∇′P ′

)≈ O

(~∇′h′

), (4.52)

ìpou to sÔmbolo O shmaÐnei txh megèjouc thc antÐstoiqhc posìthtac. En p.q. h qronik klÐmaka metabol c den eÐnai thc txhc L

u0, all polÔ megalÔterh, tìte mporoÔme na paraleÐy-

oume ton ìro ∂~u′

∂t′ kai na jewr soume ìti h ro mac eÐnai mìnimh. Etsi apì thn parapnwsuz thsh èqoume kai èna posotikì krit rio gia na jewr soume mÐa ro wc mìnimh.

Autì mporeÐ na gÐnei kai posotik eisgontac ton antÐstoiqo arijmì. Etsi, n jewr soumeìti h topik metabol kajorÐzetai apì diaforetik qronik klÐmaka, T , tìte orÐzoume ton qrìnowc t = Tt′ kai mporoÔme na orÐsoume ton arijmì Strouhal wc

arijmìc Strouhal ≡ S =L

UT, (4.53)

pou eÐnai o lìgoc

S =∂~u/∂t

(~u · ~∇)~u∼ ìroc topik c adrneiac

ìroc adrneiac metaforc.

O arijmìc Strouhal mac dÐnei mia ektÐmhsh thc qronik c metabol c topik. Etsi, n S 1 T L

U mporoÔme na jewr soume mìnimh ro kai na paraleÐyoume ton ìro ∂~u∂t sthn exÐswsh

Euler.

4.7 Jermodunamik idanikoÔ ugroÔ

En o suntelest c tou ix¸douc µ kai h stajer jermik c agwgimìthtac κ eÐnai amelhtèec, tìteden èqoume oÔte paragwg all oÔte kai didosh jermìthtac apì èna ìgko enìc ugroÔ se llo.En de epiplèon den èqoume kai paragwg jermìthtac diktinobolÐac qhmik¸n antidrsewntìte èqoume to idanikì ugrì Euler tou prohgoumènou kefalaÐou. Sthn perÐptwsh aut hexÐswsh diat rhshc enèrgeiac den apoteleÐ epiplèon exÐswsh all bgaÐnei apèujeÐac apì thnexÐswsh Euler qwrÐc llec upojèseic. H èlleiyh antallag c jermìthtac metaxÔ tmhmtwntou ugroÔ tou ugroÔ kai peribalous¸n epifanei¸n, shmaÐnei ìti h ro eÐnai adiabatik se ìloton ìgko tou ugroÔ. H ro idanikoÔ ugroÔ loipìn eÐnai adiabatik kai epomènwc h entropÐaprèpei na paramènei stajer kaj¸c to swmatÐdio tou ugroÔ kineÐtai ston q¸ro.

`Etsi loipìn se metablhtèc Euler o pr¸toc nìmoc thc jermodunamik c grfetai qrhsi-mopoi¸ntac thn ulik pargwgo

DE

Dt=dQ

dt− dW

dt, (4.54)

Rujmìc metabol c Rujmìc didoshc Rujmìc pouthc enèrgeiac = jermìthtac − gÐnetai èrgo

tou sust matoc sto sÔsthma sto sÔsthma(4.55)

8Uprqoun kai peript¸seic pou autì den isqÔei se ìlo to q¸ro ro c. Autì sumbaÐnei gÔrw apì shmeÐa

hremÐac. Otan eisgoume èstw kai elqisto ix¸dec, h ro kont sta shmeÐa aut allzei shmantik, all

qwrÐc shmantikèc allagèc sth ro makri apì ta shmeÐa aut. Etsi gia thn ro konta sta shmeÐa hremÐac

prèpei na proume upìyh kai to ix¸dec, parìlo pou o arijmìc Reynolds eÐnai megloc. En toÔtoic h parleiyh

tou ix¸douc den ephrezei makroskopikèc idiìthtec thc ro c, efìson meÐnoume sto ìrio Re 1, ektìc apì

lÐgec exairèseic (Dèc Kef. 6.15).

4.7. JERMODUNAMIK'H IDANIKO'U UGRO'U 21

ìpou E h olik enèrgeia pou perilambnei kinhtik , dunamik kai eswterik enèrgeia, dQdt o

rujmìc paragwg c jermìthtac9 (o opoÐoc mhdenÐzetai gia thn idanik perÐptwsh) kai dWdt o

rujmìc paragwg c èrgou apì to ulikì sÔsthma (p.q. to swmatÐdio). Gia thn olik enèrgeiaèqoume

E = K + U + E0 -olik enèrgeia

K = 12

∫V ρu

2dV − kinhtik enèrgeia

U =∫V ρgzdV − dunamik enèrgeia

E0 =∫V ρε0dV − eswterik enèrgeia

(4.56)

ìpou to shmeÐo anaforc gia thn dunamik enèrgeia10 eÐnai to z = 0 kai ε0 eÐnai h puknìthtaeswterik c enèrgeiac an monda mzac. O rujmìc paragwg c èrgou11 apì to swmatÐdio ìgkouV sto peribllon mèsw thc epifneic tou eÐnai

dW

dt= −

∫SP~u · d~S =

∫V

[~∇ · (P~u)]dV =∫V

[~∇P ] · ~udV, (4.58)

ìpou h teleutaÐa isìthta isqÔei mìno gia asumpÐesth ro .Epeid h ro eÐnai adiabatik èqoume gia thn entropÐa an monda mzac enìc swmatidÐou

Ds

Dt= 0

∂s

∂t+ ~u · ~∇s = 0, (4.59)

ìpou s eÐnai h entropÐa an monda mzac kai qrhsimopoi same thn ulik pargwgo kajìsonparakoloujoÔme to swmatÐdio sthn kÐnhs tou me stajer mza. Qrhsimopoi¸ntac de kai thnexÐswsh sunèqeiac, h (4.59) mporeÐ na grafeÐ wc

∂

∂t(ρs) + ~∇ · (ρs~u) = 0, (4.60)

ìpou to Js = ρs~u eÐnai h puknìthta ro c entropÐac. H (4.60) èqei thn Ðdia morf ìpwc hgenik exÐswsh sunèqeiac12 kai mac lèei ìti o rujmìc metabol c ston qrìno thc entropÐac an

9H olik enèrgeia exarttai apì thn jèsh, thn taqÔthta, kai jermodunamik katstash tou swmatidÐou. Den

isqÔei to Ðdio gia to dexiì mèroc ìpou kai oi dÔo ìroi den exart¸ntai mìno apì thn katstash tou swmatidÐou

all kai apì thn prohgoÔmenh diadrom pou akoloÔjhse to swmatÐdio gia na ftsei s' aut thn katstash.

Gi' autì kai qrhsimopoioÔme to sÔmbolo d gia thn metabol touc, kajìson den eÐnai tèleio diaforikì.10En h ro gÐnetai sthn epifneia thc g c se opoiad pote llh kampÔlh barutik epifneia, h opoÐa

mlista metablletai kai me to qrìno, tìte antÐ tou z, ja qrhsimopoi soume to Ôyoc hg(~r, t) apì mÐa iso-

dunamik epifneia.11Sthn genik perÐptwsh èqoume kai dÔnamh ìgkou (ektìc barÔthtac) an monda mzac, ~f . Gia mh ixwdik

ro h antÐstoiqh dÔnamh eÐnai lìgw thc pÐeshc pou eÐnai pnta kjeth sthn epifneia. Gia ixwdik ro èqoume

kai diatmhtikèc dunmeic lìgw ix¸douc (dèc Kef. 6) kai prèpei na qrhsimopoi soume tanustèc kai o rujmìc

paragwg c èrgou apì to swmatÐdio sto peribllon eÐnai

dW

dt=

∫V

ρ~f · ~udV +

∫S

~u · σ · d~S, (4.57)

ìpou o deÔteroc ìroc eÐnai o rujmìc èrgou lìgw twn epifaneiak¸n dunmewn. Sto ìrio mh ixwdik c ro c

èqoume ~u · σ · d~S → −P~u · d~S.12H (4.60) mporeÐ epÐshc na grafeÐ kai wc

D

Dt(ρs) = −ρs(~∇ · ~u),


monda ìgkou eÐnai Ðsh me meÐon thn apìklish tou reÔmatoc entropÐac. Etsi an peribloumeto swmatÐdio me mÐa noht epifneia kai oloklhr¸soume ston ìgko tìte o rujmìc topik cmetabol c eÐnai Ðsoc kai antÐjetoc me to reÔma entropÐac mèsw thc epifneiac. Sthn adiabatik loipìn ro h exÐswsh Euler aplopoieÐtai an h entropÐa eÐnai stajer se ìlo to q¸ro. Autìja sumbeÐ an se opoiad pote qronik stigm h S eÐnai stajer se ìlo ton ìgko, ja suneqÐseiètsi kai gia argìterouc qrìnouc. Tìte h ro mac eÐnai iso-entropik .

En qrhsimopoi soume antÐ thc pÐeshc thn enjalpÐa an monda mzac èqoume apì thnjermodunamik

dh = Tds+ vdP dh = vdP, (4.61)

ìpou v = 1/ρ. Gia iso-entropik ro (s =stajer ), èqoume

~∇Pρ

= ~∇h, (4.62)

kai h exÐswsh Euler gÐnetai

∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u = −~∇h. (4.63)

H sqèsh aut isqÔei kai an akìmh h ro mac den eÐnai asumpÐesth. Sthn perÐptwsh aut jewroÔme ìti h puknìthta ρ eÐnai sunrthsh thc pÐeshc se kje shmeÐo. Eqoume dhl. ρ(P ) kaiapì to diaforikì thc enjalpÐac an monda mzac gia isentropik ro dh = dP

ρ èqoume

h =∫ P

Pa

dP

ρ(P ), (4.64)

ìpou Pa eÐnai h pÐesh anaforc. H sqèsh eÐnai sÔmfwnh me thn (4.62), ìpwc faÐnetai an proumethn bajmÐda thc (4.64), dhl.

~∇h =dh

dP~∇P =

1ρ~∇P. (4.65)

En sthn exÐswsh Euler diaqwrÐsoume thn metaforik epitqunsh ìpwc sthn pargrafo3.12 kai qrhsimopoi soume ton strobilismì ~ζ = ~∇× ~u, tìte grfetai wc

∂~u

∂t+ ~ζ × ~u = −~∇

[12u2 + U +

∫ P

Pa

dP

ρ(P )

], (4.66)

En to aristerì mèroc sthn (4.66) mhdenÐzetai, èqoume thn genÐkeush tou nìmou Bernoulli giasumpiest ro ,

12u2 + U +

∫ P

Pa

dP

ρ(P )= stajer. (4.67)

Autì sumbaÐnei gia mìnimh ro kai efìson ikanopoieÐtai epiplèon èna apì ta paraktw. Hζ = 0 (opìte h stajer eÐnai h Ðdia pantoÔ), h metakinoÔmaste kat m koc mic roik c gramm c,ìpou den èqei sunist¸sa o ìroc ζ × ~u kai ètsi o strobilismìc den knei èrgo. Sthn deÔterhperÐptwsh h stajer eÐnai h Ðdia kat m koc thc gramm c ro c, en¸ sthn pr¸th perÐptwsh toèrgo strobilismoÔ eÐnai mhdèn se opoiad pote kateÔjunsh.

kai blèpoume ìti kai h entropÐa an monda ìgkou diathreÐtai kat thn kÐnhsh, en ìmwc den èqoume metabol

tou ìgkou (~∇ · ~u = 0), lìgw mh metabol c thc puknìthtac kat thn kÐnhsh, dhl. DρDt

= 0.

4.8. JE'WRHMA KUKLOFOR'IAS KELV IN 23

Gia thn isoentropik ro enoc sumpiestoÔ aerÐou èqoume thn katastatik sqèsh

P = P0

(ρ

ρ0

)γ, (4.68)

ìpou P0 kai ρ0 eÐnai gnwstèc stajerèc kai γ = cpcv, eÐnai o lìgoc thc eidik c jermìthtac se

stajer pÐesh proc thn eidik jermìthta se stajerì ìgko. Gia ton aèra γ = 1.405.H de enjalpÐa an monda mzac eÐnai

h =∫ P

Pa

dP

ρ(P )=∫ P

Pa

dP

ρ0(P/P0)1/γ=

γ

γ − 1P

ρ(P )+ ha, (4.69)

4.8 Je¸rhma kukloforÐac Kelvin

4.8.1 Je¸rhma kai sunj kec

H anixwdik kai astrìbilh ro (ro dunamikoÔ) den ja tan tìso endiafèrousa an den up- rqe to je¸rhma tou Kelvin pou lèei ìti o strobilismìc gia èna asumpÐesto kai anixwdikìugrì diathreÐtai ston qrìno. Otan ja melet soume thn ro ixwdik¸n reust¸n ja doÔme ìti sestereèc epifneiec èqoume kai mhdenismì thc efaptomenik c taqÔthtac pou dra san phg stro-bilismoÔ. Se pollèc peript¸seic o strobilismìc autìc diafeÔgei ston ìgko tou reustoÔ me thmorf memonomènwn strobÐlwn, oi opoÐoi metafèrontai apì thn ro . Makri apì thn epifneiamporoÔme na jewr soume thn ro qwrÐc ix¸dec. Ja deÐxoume ìti oi grammèc autèc strobilis-moÔ kinoÔntai san entopismèna s¸mata. H apìdeixh aut c thc basik c idiìthtac basÐzetai stoje¸rhma touKelvin gia thn diat rhsh thc kukloforÐac enìc reustoÔ swmatidÐou kat thn ro .H kukloforÐa ìpwc eÐdame sundèetai me th mèsh tim tou strobilismoÔ mèsw miac epifneiackai dÐnei thn isqÔ enìc strobÐlou. Gia na doÔme tic sunèpeiec thc dunamik c stouc strobÐlouc,ja upologÐsoume pwc h kukloforÐa tou strobÐlou K(t) metablletai me ton qrìno, dhl. ja

upologÐsoume thn ulik pargwgo thc kukloforÐac, DK(t)Dt .

Je¸rhma Kelvin: H kukloforÐa gia mia kleist diadrom C

KC(t) =∮C~u(~r, t) · d~l (4.70)

diathreÐtai me ton qrìno, dhlad

DK(t)Dt

= 0 (4.71)

me thn ènnoia thc ulik c parag¸gou. Me lla lìgia an parakolouj soume ta swmatÐdia13 touugroÔ pou sqhmatÐzoun thn kleist diadrom C(t), tìte h kukloforÐa gÔrw st n C(t) eÐnaipnta h Ðdia. Autì isqÔei parìlo pou an psa qronik stigm ta swmatÐdia tou ugroÔ poubrÐskontai kat m koc thc kleist c diadrom c C(t) ja keÐntai se kampÔlh14 me diaforetikìsq ma. En gènei h kukloforÐa ja èqei diaforetik tim apì thn arqik thc tim . All oKelvin èdeixe ìti h kukloforÐa paramènei stajer ìtan h ro ikanopoieÐ tic paraktw treicsunj kec:

13H qr sh thc ulik c parag¸gou proupojètei ìti dr se mia ulik posìthta. Sthn perÐptws mac eÐnai h

kukloforÐa se mia diadrom pou kineÐtai me to reustì kai thc opoÐac thn qronik exèlixh parathroÔme, dhl

C(t).14Sthn suz thsh upojètoume ìti den èqoume fainìmena apofusalopoÐhshc, h opoÐa dhmiourgeÐ asunèqeiec

sthn ro .


1. to ugrì eÐnai anixwdikì

2. h puknìthta eÐnai stajer mìno sunrthsh thc pÐeshc

3. oi exwterikèc dunmeic ìgkou pou pijanìn uprqoun proèrqontai apì èna dunamikì

Stic parapnw proupojèseic den eÐnai aparaÐthto h ro na eÐnai astrìbilh. Se mia tètoiaperÐptwsh h kukloforÐa ja tan pantoÔ mhdèn kai ja eÐqame mìno phgèc apìklishc. To je¸rhmaapl¸c mac lèei ìti n se kpoio ìgko sust matoc èqoume strobilismì autìc kineÐtai mazÐ me tosÔsthma. En ìmwc mÐa apì tic proupojèseic den ikanopoieÐtai tìte uprqei h dunatìthta nametablletai h kukloforÐa. Sthn perÐptwsh tou ix¸douc p.q. èqoume diqush tou strobilismoÔèxw apì ton ìgko tou sust matoc.

4.8.2 Apìdeixh jewr matoc Kelvin

H apìdeixh eÐnai eÔkolh an antileifjoÔme ti shmaÐnei h drsh thc olik c parag¸gou sto olok-l rwma thc (4.70). Sthn ro , kje shmeÐo thc C diadrom c kineÐtai mazÐ me to ugrì kai epomènwch olik metabol thc kukloforÐac ofeÐletai sthn olik metabol thc taqÔthtac, all kai thcdiadrom c, dhlad

DK

Dt=∮C

D~u

Dt· d~l + ~u · D(d~l)

Dt

. (4.72)

O pr¸toc ìroc sto olokl rwma mporeÐ na upologisteÐ apì thn exÐswsh thc orm c (4.4), en¸o deÔteroc ìroc jèlei lÐgh prosoq . H posìthta D(d~l)/Dt eÐnai o rujmìc metabol c kaj¸ckineÐtai to ugrì tou dianÔsmatoc pou en¸nei dÔo shmeÐa pou apèqoun kat d~l. Autì shmaÐneiìti eÐnai h stigmiaÐa sqetik taqÔthta twn dÔo aut¸n shmeÐwn. Autì faÐnetai apì to sq ma (4.9 ) ìpou to ugrì pou tan sto shmeÐo ~r, se qrìno δt metatopÐzetai sto

~r1 + ~u(~r1)δt

en¸ apì to ~r2 se qrìno δt sto~r2 + ~u(~r2)δt

Epomènwc to dinusma d~l = ~r2 − ~r1 metablletai sto

~r2 + u(~r2)δt− ~r1 − ~u(~r1)δt = d~l + [~u(~r2)− u(~r1)]δt (4.73)

En t¸ra bloume ~r2 = ~r1 + d~l kai anaptÔxoume to ~u(~r2) se seir Taylor, èqoume

u(~r2) = u(~r1) + (d~l · ~∇)~u

kai epomènwc h metabol tou d~l eÐnai

[~u(~r2)− ~u(~r1)]δt = (d~l · ~∇)~u = dl∂~u

∂l(4.74)

ìpou ∂~u/∂l eÐnai h pargwgoc sthn kateÔjunsh tou d~l. `Etsi

~u · D(d~l)Dt

= ~u · ∂~u∂ldl =

∂(12~u · ~u)∂l

dl = d(12u2) (4.75)

kai epomènwc to olokl rwm tou gia mia kleist diadrom isoÔtai me mhdèn. To upìloipo mèrocepÐshc mhdenÐzetai gia astrìbilh ro , dhlad ∮

C

D~u

Dt· d~l = −

∮C

~∇P

ρ+ U − 1

2u2· d~l = 0 (4.76)

4.8. JE'WRHMA KUKLOFOR'IAS KELV IN 25

Sq ma 4.9: Sq. 4.9 Digramma gia ton upologismì thc sqetik c taqÔthtac dÔo shmeÐwn sthn

diadrom C.

diìti sto olokl rwma èqoume to olikì diaforikì

d

[P

ρ+ U − 1

2u2]

kai h olokl rws tou se mia kleist diadrom ja mac d¸sei pli mhdèn.Apì thn apìdeixh, axÐzei na sugkrat soume dÔo qr sima apotelèsmata Gia èna omogenèc

reustì oi dunmeic thc pÐeshc dèn pargoun strobilismì se èna stoiqeÐo reustoÔ. Autì exhgeÐtaidiìti oi dunmeic pÐeshc eÐnai pnta kjetec sthn epifneia kai epomènwc den askoÔntai ropècsto stoiqeÐo. EpÐshc, mÐa diathrhtik dÔnamh ìgkou, ìpwc eÐnai h barÔthta, den dhmiourgeÐstrobilismì.

To je¸rhma Kelvin apodeÐqjhke gia astrìbilh kai anixwdik ro (sumpiest all mìnogia ρ(P )) kai èqei shmantikèc epipt¸seic. Èstw ìti èqoume mia ro h opoÐa ikanopoieÐ ticsunj kec pou jèsame prohgoumènwc kai sto ugrì uprqei ènac mìno swl nac strobilismoÔmegèjouc K. Autì shmaÐnei ìti an proume mia kleist diadrom sthn epifneia (kai gÔrw apìton swl na) h kukloforÐa eÐnai K, kai sÔmfwna me to je¸rhma tou Kelvin paramènei stajer kaj¸c to ugrì rèei. En ìmwc proume opoiad pote llh diadrom pou den perikleÐei tonswl na strobilismoÔ, h kukloforÐa paramènei ètsi gia kje qronik stigm . Ed¸ prèpei naxanajum soume ìti akoloujoÔme ta swmatÐdia thc kleist c diadrom c kat th ro . Ètsi loipìnoi strìbiloi kinoÔntai me to ugrì kai diathroÔn to mègejìc touc. Ètsi loipìn o strìbilocapoteleÐtai pnta apì ta Ðdia swmatÐdia ugroÔ kai apoteleÐ mÐa autotel kinoÔmenh monda kaiìtan akìmh èqoume allhlepidrseic metaxÔ twn strobÐlwn.

En t¸ra h kÐnhsh tou ugroÔ se mÐa perioq kai se kpoia qronik stigm eÐnai astrìbilh,tìte sut th qronik stigm h kukloforÐa gia opoiad pote kleist diadrom (entìc thc as-trìbilhc perioq c) eÐnai mhdenik . Ja eÐnai de mhdenik kai gia metèpeita qrìno kai h ro jasuneqÐsei na eÐnai astrìbilh. Èstw p.q. ìti èqoume ugrì se hremÐa kai autì tÐjetai se kÐnhshme metakÐnhsh twn orÐwn tou, tìte h ro tou ja eÐnai astrìbilh. Òloi ìmwc èqoume parathr -sei ìti an èqoume èna xÔlo se èna pot ri me ugrì kai to peristrèyoume ja dhmiourghjeÐ ènac


strìbiloc o opoÐoc ja auxnei se aktÐna mèqric ìtou kalÔyei sqedìn ìlo to pot ri me stajerìstrobilismì se ìlh thc epifneia. To Ðdio epitugqnetai an peristrèyoume gr gora to pot ri.Autèc oi dÔo parathr seic faÐnetai na antitÐjentai sto je¸rhma Kelvin. Sthn pragmatikìthtaìmwc ìqi diìti oi dÔo autèc peript¸seic den ikanopoioÔn mÐa apì tic upojèseic tou jewr matockajìson ta pragmatik ugr eÐnai ixwdik.

4.8.3 ApoklÐseic kai diafug strobilismoÔ.

Ac doÔme loipìn se kje perÐptwsh pwc mporoÔme na eisgoume strobÐlouc.

a) Ixwdik ro . `Otan peristrèfoume to pot ri me to stsimo ugrì oi diatmhtikèctseic lìgw tou ix¸douc pou anaptÔssontai sthn endoepifneia pothrioÔ-ugroÔ dhmiourgoÔnropèc sto str¸ma tou ugroÔ pou geitoneÔei me thn perifèreia tou pothrioÔ kai epitaqÔnetaimazÐ tou. H rop aut diadÐdetai stadiak sta eswterik str¸mata tou ugroÔ. Me autìnton trìpo strobilismìc diaqèetai apì thn epifneia proc to eswterikì ìpwc ja deÐxoume piosugkekrimèna se lÐgo. Arqik o strobilismìc eÐnai entopismènoc se èna oriakì str¸ma (deckef. ) tou opoÐou to pqoc δ auxnei me ton qrìno wc δ '

√2µt/ρ, en¸ se eÔlogo qrìno

kalÔptei ìlo to ugrì. To Ðdio sumbaÐnei an èqoume akÐnhto ugrì se kanli kai mÐa epÐpedh plkabujismènh sto ugrì kai arqik akÐnhth. Sthn epifneia thc plkac to geitonikì ugrì apoktthn taqÔtht thc. To ugrì polÔ makri apì aut paramènei stsimo kai mìno stadiak metapì shmantikì qrìno apokt mia mikr taqÔthta. En t¸ra proume mÐa diadrom ja doÔme ìtièqoume kukloforÐa kai autì shmaÐnei ìti uprqoun strìbiloi sto ugrì oi opoÐoi anaptÔssontaisthn epifneia kai met diaqèontai. Sthn perÐptwsh ix¸douc ro c eÐdame ìti stic exis¸seicEuler prèpei na prosjèsoume ton ìro µ∇2~u kai paÐrnoume thn exÐswsh Navier − Stokes giastajer puknìthta. Tìte to je¸rhma Kelvin den isqÔei kai sto dexiì mèroc thc (5.2) prèpeina prosjèsoume

µ

∮C∇2~u · d~l. (4.77)

O ìroc autìc qrhsimopoi¸ntac to je¸rhma Stokes, metatrèpetai se epifaneiakì olokl rwma¸ste na grfetai

µ

∫S∇2~ζ · d~S (4.78)

ìpou qrhsimopoi same ~ζ = ~∇×~u. `Etsi loipìn to je¸rhma Kelvin ja isqÔei arket ikanopoi-htik se roèc me uyhlì arijmì Reynolds gia arket meglouc qrìnouc, idiaÐtera an h diadrom C ston upologismì thc kukloforÐac eÐnai makri apì perioqèc ìpou to ix¸dec eÐnai uyhlì. ToÐdio isqÔei kai gia perioqèc ìpou uprqei meglh ro jermìthtac.

b)Barotropikì ugrì. En h puknìthta den eÐnai stajer tìte o ìroc ~∇P/ρ sthnexÐswsh Euler jèlei idiaÐterh prosoq . Ed¸ xeqwrÐzoume dÔo peript¸seic:

(i) H puknìthta eÐnai sunrthsh thc pÐeshc, dhlad ρ = f(P ). Sthn perÐptwsh aut toje¸rhma Kelvin suneqÐzei na isqÔei. Autì eÐnai ètsi kajìson∮

~∇(P

ρ

)· d~l = ~∇

∫ 1f(P )

dP (4.79)

pou dÐnei mhdèn pli gia mia kleist diadrom .

4.9. DIAT'HRHSH STROFORM'HS 27

(ii) En h sqèsh puknìthtac kai pÐeshc den eÐnai tìso apl (ìpwc an p.q. h ro den eÐnaiisentropik ) tìte o ìroc ∮ 1

ρ~∇P · d~l

den mhdenÐzetai. Qrhsimopoi¸ntac ìmwc to je¸rhma Stokes metatrèpetai sthn morf

−∫S

1ρ2

(~∇ρ× ~∇P ) · ~S (4.80)

pou mac lèei ìti èqoume metabol thc kukloforÐac me ton qrìno an oi epifneiec P = stajerden eÐnai tautìqrona kai epifneiec me stajer puknìthta. Ac jewr soume sth sunèqeia dÔoparadeÐgmata ro c me mh stajer puknìthta kai tic sunèpeièc thc.

Èstw ìti èqoume èna aèrio reustì se hremÐa se èna omogenèc barutikì pedÐo, en¸ toaèrio jermaÐnetai topik lìgw kpoiac qhmik c drshc. H aÔxhsh tou ìgkou tou jermainì-menou aerÐou dhmiourgeÐ mÐa dÔnamh nwshc apì to peribllon puknìtero aèrio pou upernikto broc tou jermainìmenou aerÐou. Ètsi dhmiourgoÔntai reÔmata metaforc pou metafèrounton strobilismì pou dhmiourg jhke sto pr¸to stdio thc epitqunshc thc mzac lìgw thcanuywtik c dÔnamhc. Oi parapnw strìbiloi èqoun dhmiourghjeÐ mèsa ston ìgko tou ugroÔkai epomènwc sqhmatÐzoun daktulÐdia.

Èna llo pardeigma eÐnai dÔo ugr qwrÐc ix¸dec pou den anameignÔontai kai èqoun diafore-tikèc puknìthtac mèsa se èna orizìntio orjog¸nio doqeÐo. Òtan to sÔsthma eÐnai se hremÐaupì thn epÐdrash tou barutikoÔ pedÐou to puknìtero ugrì brÐsketai ktw en¸ h diaqwristik epifneia eÐnai orizìntia. To sÔsthma twn dÔo reust¸n den eÐnai barotropikì kaj¸c h pÐeshstic dÔo pleurèc thc endoepifneiac eÐnai h Ðdia, all ìqi h puknìthta. En t¸ra d¸soumemÐa klÐsh sto doqeÐo, to puknìtero ugrì rèei proc ta ktw en¸ to elafrìtero proc ta pnw.Ètsi sthn endoepifneia èqoume thn dhmiourgÐa strobilismoÔ, o opoÐoc pargetai pli stoeswterikì tou ugroÔ.

g) Dunmeic ìgkou pou den proèrqontai apì dunamikì: En p.q. efarmì-soume dÔnamh sto èna kro enìc ÔgroÔ kai ìqi sto llo, tìte to ugrì sto èna kro ja kinhjeÐen¸ sto llo ja marameÐnei akÐnhto arqik. Ètsi anaptÔssetai strobilismìc sto q¸ro pouarqik den eÐqame.

4.9 Diat rhsh stroform c

O parathrhtikìc anagn¸sthc ja prìsexe ìti mèqri t¸ra den anaferj kame sthn arq di-at rhshc stroform c, an kai sthn prohgoÔmenh pargrafo melet same thn kukloforÐa, miamakroskopik posìthta pou sundèetai me thn peristrof tou reustoÔ stoiqeÐou gÔrw apì x-on tou. Fusik h ènnoia thc stroform c orÐzetai sthn mhqanik gia èna swmatÐdio gÔrw apìopoiod pote xona. Dustuq¸c gia mac h perÐptwsh thc stroform c tou swmatidÐou den mporeÐna ekfrasteÐ sthn perigraf Euler, dhl. qrhsimopoiìntac to pedÐo taqÔthtac. ApaiteÐtai anpsa qronik stigm kai h gn¸sh thc jèshc tou swmatidÐou, posìthta pou sundèetai me thnperigraf Lagrange. EÐdame ìmwc, ìti h metbash apo thn mÐa perigraf sthn llh, dhl. oupologismìc twn troqi¸n twn swmatidÐwn apì to pedÐo taqÔthtac, eÐnai polÔplokh diadikasÐa.AntÐjeta h orm enìc swmatidÐou dÐnetai mesa apì thn gn¸sh tou pedÐou taqÔthtac, ìpwc kaio rujmìc metabol c thc.

Ac jewr soume thn pio apl perÐptwsh, pou to stoiqeÐo reustoÔ, ρδV , kineÐtai gÔrw apìton xona tou kèntrou mzac tou. Sthn mhqanik tou stereoÔ s¸matoc, br kame polÔ qr simhthn ènnoia thc rop c adraneÐac. IdiaÐtera gia thn peristrof enìc s¸matoc gÔrw apì èna xona


kef4-10.jpg

Sq ma 4.10: Sq. 4.10. Anixwdik ro se didistato swl na me kuklik kamp . Sto sq ma

faÐnontai oi dunmeic kai antÐstoiqec ropèc pou askoÔntai se èna stoiqeÐo reustoÔ.

summetrÐac pou to diapern, èqoume ~L = I~ω. Gia m summetrikì s¸ma èqoume th sqèsh gia ticsunist¸sec thc stroform c Li = Iijωj , ìpou Iij eÐnai oi sunist¸sec tou tanust thc rop cadraneÐac kaÐ ~ω to dinusma gwniak c taqÔthtac. Gia to reustì ìmwc, h ènnoia thc rop c deneÐnai qr simh, diìti ta stoiqeÐa reustoÔ eÐnai paramorf¸sima kai epomènwc h idiìthta adraneÐacden eÐnai mÐa idiìthta pou qarakthrÐzei to stoiqeÐo reustoÔ, kajìson metablletai me to qrìno,en¸ kai h gwniak taqÔthtac peristrof c den eÐnai Ðdia gia ìlo to stoiqeÐo. EÐdame ìmwc ìtigia to reustì, h ènnoia tou strobilismou mac dÐnei thn plhroforÐa gia thn topik peristrof .EÐnai eÔkolo na upologisteÐ apì to pedÐo taqÔthtac kai gi' autì eÐnai piì qrhsim apì thnènnoia thc stroform c. Etsi argìtera ja doÔme ìti o rujmìc metabol c tou strobilismoÔ jamac dìsei qr sima apotelèsmata. H stroform gia makroskopikoÔc ìgkouc mporeÐ na dìseipraktik apotelèsmata15.

Ac jewr soume thn mìnimh, strwt kai anixwdik didistath ro sto Sq. 4.10 pou apoteleÐ-tai apì dÔo eujÔgramma tm mata pou en¸nontai me èna tètarto kuklikoÔ swl na kai naparakolouj soume thn kÐnhsh tou tetragwnikoÔ stoiqeÐou apì thn arister eÐsodo. Acproume ton xona pou dièrqetai apì to kèntro tou kuklikoÔ swl na. Otan exèrqetai apìto llo kro èqei thn Ðdia stroform ìpwc kai sthn eÐsodo. Kai sta dÔo shmeÐa h olik exwterik rop eÐnai mhdèn16 kajìson oi dunmeic apì ta toiq¸mata h to peribllon reustìeÐnai kjetec sthn epifneia tou tetrag¸nou. Kat m koc thc kamp c, èqoume paramìrfwshkai diaforetik pÐesh sta dÔo toiq¸mata. Autì dÐnei kajar rop h opoÐa allzei for stomèso thc kamp c, ètsi ¸ste na èqei thn Ðdia stroform kat thn èxodo, parìlo pou kat m kocthc kamp c h stroform metablletai me to qrìno.

4.10 MakroskopikoÐ nìmoi diat rhshc

Mèqri t¸ra d¸same touc topikouc nìmouc diat rhshc oi opoÐoi ekfrzontai me thn morf di-aforik¸n exis¸sewn, akoloujìntac thn sumperifor swmatidÐwn ìpwc sthn klassik mhqanik .MÐa shmantik duskolÐa eÐnai ìti ta swmatÐdia èqoun ìgko kai eÐnai paramorf¸sima. To mìnokoinì pou èqoun me ta swmatÐdia thc klassik c mhqanik c eÐnai ìti èqoun stajer mza. Hpoluplokìthta thc morfologÐac twn reust¸n swmatidÐwn mporeÐ na apofeuqjeÐ an mporoÔmena epilèxoume aploÔc ìgkouc pou paramènoun stajeroÐ se ìgko all fusik den mporoÔn nadiathroÔn stajer th mza touc. Autì lÔnei mÐa poluplokìthta, all dhmiourgeÐ mÐa llh. Oinìmoi tou NeÔtwna èqoun diatupwjeÐ gia swmatÐdia me stajer mza. To er¸thma genntai an

15Gia thn perÐptwsh ìmwc pou èqoume èna makroskopikì ìgko tìte mporoÔme na upologÐsoume thn stro-

form tou reustoÔ se kpoia qronik stigm . Ja doÔme argìtera pwc mporoÔme na upologÐsoume ton rujmì

metabol c tou, me to je¸rhma Reynolds, ¸ste na efarmìsoume thn arq diat rhshc tou, upojètontac ìti

gnwrÐzoume kai tic exwterikèc ropèc pou askoÔntai ston ìgko.16St dÔo kra h taqÔthta eÐnai stajer sthn epifneia thc diatom c. Gia na epiteuqjeÐ autì, Ðswc apaitoÔn-

tai sta dÔo kra dÔo èmbola.

4.10. MAKROSKOPIKO'I N'OMOI DIAT'HRHSHS 29

Sq ma 4.11: Sq. 4.11. Paramìrfwsh ulikoÔ ìgkou kat thn ro kat m koc miac roik c

gramm c.

mporoÔme na gryoume touc nìmouc tou NeÔtwna gia swmatÐdia metablht c mzac. Autì jadiereun soume sth sunèqeia kai af noume thn apnthsh gia argìtera. Tautìqrona se pollècefarmogèc qreizetai na upologÐsoume makroskopikèc posìthtec. Kai gia touc dÔo parapnwlìgouc eÐnai qr simo na diatup¸soume touc basikoÔc nìmouc diat rhshc gia makroskopikoÔcìgkouc. Fusik sto ìrio pou o ìgkoc mhdenÐzetai prèpei na mac dÐnoun tic topikèc sqèseic.

4.10.1 Nìmoi diat rhshc gia ulikì ìgko

Opwc eÐdame suqn qreizetai na upologÐsoume to rujmì metabol c mic fusik c posìthtacenìc reustoÔ swmatidÐou se kÐnhsh. Na jumhjoÔme ìti sthn ènnoia tou swmatidÐou èqoumestajer mza all ìqi ìgko. All uprqoun kai llec posìthtec (p.q. orm , enèrgeia ktl.)pou mac endiafèroun gia to pwc metabllontai kat thn kÐnhsh tou reustoÔ swmatidÐou. Toprìblhma ìmwc eÐnai ìti kaj¸c to swmatÐdio kineÐtai af' enìc metafèrei mazÐ tou thn antÐstoiqhfusik posìthta, af' etèrou metakineÐtai se perioqèc me diaforetikèc timèc. H duskolÐa ìmwceÐnai ìti parllhla kai o ìgkoc tou metablletai. Epeid ìmwc o ìgkoc metablletai me toqrìno, ja tan dÔskolo kje for na prèpei na upologÐsoume to nèo ìgko kai thn antÐstoiqhposìthta, gia na upologÐsoume telik to rujmì metabol c thc fusik c posìthtac.

Gia na gÐnei orat h majhmatik duskolÐa ac jewr soume èna swmatÐdio pou kineÐtai katm koc thc troqic tou sq matoc 4.11 en¸ perikleÐetai apì mÐa qronik metaballìmenh ulik epifneia Sm(t), pou perikleÐei ton ulikì ìgko Vm(t) tou swmatÐdÐou mac17. H mza tou

17Ed¸ qrhsimopoioÔme thn ènnoia tou swmatidÐou diìti mac endiafèroun oi topikoÐ nìmoi diat rhshc. Se

efarmogèc ìmwc thc udrodunamik c mac endiafèrei h ro makroskopik¸n posot twn reustoÔ kai gi' autì

orÐzoume ton ulikì ìgko, o opoÐoc ìpwc kai to swmatÐdio èqei thn idiìthta ìti diathreÐ stajer mza kat

th ro . En gènei o ulikìc ìgkoc eÐnai ènac tuqaÐa epilegmènoc ìgkoc se kpoia qronik stigm , me ton ex c

periorismì. Ta shmeÐa sthn epifneia kinoÔntai me thn taqÔthta ro c sto shmeÐo h opoÐa metablletai me ton

qrìno. Autì ikanopoieÐ kai thn ènnoia tou swmatidÐou, diìti den èqoume metafor mzac mèsw thc epifneiac

kai o ulikìc ìgkoc èqei stajer mza.


swmatidÐou mporeÐ na grafeÐ wc

M =∫Vm(t)

ρdV, (4.81)

kai o rujmìc metabol c kaj¸c to swmatÐdio kineÐtai eÐnai mhdèn ex orismoÔ

DM

Dt=

D

Dt

∫Vm(t)

ρdV = 0. (4.82)

Me ton Ðdio trìpo mporoÔme na to genikeÔsoume gia opoiad pote fusik ektatik posìthtaB(t) oloklhr¸nontac sthn antÐstoiqh entatik b(~r, t) pou eÐnai h puknìthta thc B(t) anmonda mzac. Eqoume dhl.

B(t) =∫Vm(t)

ρb(~r, t)dV, (4.83)

ìpou gia b(~r, t) = 1 èqoume to olokl rwma gia th mza tou swmatidÐou. Oi posìthtec Bkai b mporeÐ na eÐnai kai dianusmatikèc. Etsi gia thn orm ston ulikì ìgko ~P, h antÐstoiqhpuknìthta an monda mzac eÐnai h taqÔthta ~u, kai èqoume

~P(t) =∫Vm(t)

ρ~u(~r, t)dV, (4.84)

ìpou ρ~u(~r, t) eÐnai h puknìthta orm c an monda ìgkou. AntÐstoiqa gia thn enèrgeia èqoumethn puknìthta enèrgeiac ε(~r, t), kai

E(t) =∫Vm(t)

ρε(~r, t)dV. (4.85)

O rujmìc metabol c thc ektatik c posìthtac B(t) dÐnetai apì thn sqèsh

DB(t)Dt

=D

Dt

∫Vm(t)

ρb(~r, t)dV, (4.86)

kai oi posìthtec autèc eisèrqontai stouc nìmouc diat rhshc kat to pneÔma Lagrange, pouprèpei na upologisteÐ qrhsimopoiìntac thn perigraf tou pedÐou kat Euler. P.q. gia thndiat rhsh mzac èqoume thn sqèsh

DM

Dt=

D

Dt

∫Vm(t)

ρdV = 0, , (4.87)

en¸ gia thn diat rhsh thc orm c

D~P(t)Dt

≡ D

Dt

∫Vm(t)

ρ~u(~r, t)dV = ~Fm(t) (4.88)

ìpou ~Fm(t) eÐnai h olik dÔnamh pou askeÐtai ston ulikì ìgko Vm(t). H dÔnamh aut per-ilambnei dunmeic ìgkou (p.q. barÔthta) h epifaneiakèc dunmeic sto ìrio Sm(t), all denperilambnei dunmeic pou askoÔntai metaxÔ swmatidÐwn entìc tou ulikoÔ ìgkou, dÐìti autècanairoÔntai an zeÔgh (drsh kai antÐdrash) ìtan prosjèsoume tic dunmeic se ìla ta swmatÐdiatou ulikoÔ ìgkou. Fusik anaferìmaste se adraneiak sust mata anaforc kai mh sqetik-istikèc taqÔthtec.


Me to Ðdio skeptikì mporoÔme na gryoume kai ton nìmo diat rhshc thc stroform c touìgkou.

D~L(t)Dt

≡ D

Dt

∫Vm(t)

ρ~r × ~u(~r, t)dV = ~Tm(t) ≡∑i

~ri × ~Fi (4.89)

H sqèsh aut bgaÐnei an gryoume thn arq diat rhshc stroform c gia kje swmatÐdio touogkou kai sth sunèqeia prosjèsoume gia ìla ta swmatÐdia ston ìgko. Tìte sto dexiì mèrocèqoume thn olik rop pou askeÐtai apì ta exw, en¸ oi ropèc twn dunmewn metaxÔ swmatidÐwn(ektìc eidik¸n peript¸sewn) mhdenÐzontai pli an zeÔgh. Opwc kai sthn klassik mhqanik h arq dit rhshc stroform c den eÐnai kainoÔrgioc nìmoc all epakìloujo thc exÐswshckÐnhshc tou NeÔtwna.

O antÐstoiqoc nìmoc diat rhshc gia thn enèrgeia eÐnai

DE(t)Dt

≡ D

Dt

∫Vm(t)

ρε(~r, t)dV =dQ

dt− dW

dt(4.90)

ìpou h olik enèrgeia perilambnei kinhtik , dunamik kai eswterik enèrgeia, en¸ o pr¸tocìroc sto dexiì mèroc eÐnai o rujmìc me ton opoÐo jermìthta eisèrqetai èxw apì to ìgko mèsw thculik c epifneiac, kai o deÔteroc ìroc to olikì èrgo pou gÐnetai apì èxw mèsw thc epifneiac.Autì afor to èrgo thc pÐeshc gia mh ixwdik reust h to èrgo twn ixwdik¸n dunmewn ìpwcja doÔme sto keflaio 6.

4.10.2 Metatrop se ìgko elègqou kai je¸rhma metaforc Reynolds

Oi prohgoÔmenoi nìmoi eÐnai se mÐa morf pou den eÐnai eÔqrhsth gia efarmogèc. Kai toÔtodiìti kat thn ro èqoume paramìrfwsh tou ulikoÔ ìgkou18. To prìblhma, ìmwc eÐnai ìtiaut h paramìrfwsh den eÐnai ek twn protèrw gnwst kai apaiteÐ thn prohgoÔmenh lÔsh touprobl matoc. Ta prgmata ja tan piì eÔkola en eÐqame na knoume me èna ìgko thc epilog cmac19 me gnwst paramìrfwsh. Tìte toulqiston h perioq olokl rwshc eÐnai gnwst , alldhmiourgeÐtai to prìblhma ìti o antÐstoiqoc nìmoc den mac dÐnei to rujmì metabol c kat thn

18Akìmh kai gia asumpÐesth ro me stajer puknìthta, pli èqoume paramìrfwsh tou ulikoÔ ìgkou pou

prosdiorÐzetai apì tic oriakèc sunj kec kai to antÐstoiqo pedÐo taqÔthtac. Na upenjum soume ìti ulikìc

ìgkoc eÐnai o ìgkoc pou perièqei pnta thn Ðdia mza, all paramorf¸netai kat trìpo wste h exwterik

epifneia (onomzetai ulik epifneia) kineÐtai me thn taqÔthta ro c twn swmatidÐwn se kje shmeÐo thc

epifneiac.19Enac tètoioc ìgkoc onomzetai ìgkoc elègqou. En gènei ènac ìgkoc elègqou perikleÐetai apì mÐa epifneia

(epifneia elègqou) diafan sth ro , h opoÐa diaqwrÐzei to reustì sto eswterikì thc apì to upìloipo sÔsthma.

MporeÐ de na eÐnai statikì, ìpwc suqna qrhsimopoieÐtai gia thn lÔsh praktik¸n problhmtwn, h na kineÐtai

sto sÔsthma anaforc h na metablei ton ìgko kat dedomèno trìpo. To teleutaÐo eÐnai h diafor apì ton

ulikì ìgko tou opoÐou h metabol kajorÐzetai apì touc nìmouc diat rhshc, kai epomènwc proupojètei gn¸sh

thc ro c, kai autìc tan o lìgoc pou jèloume na ton apofÔgoume. Apì thn llh pleur prèpei na eÐnai

fanerì, ìti ènac ìgkoc elègqou den diathreÐ thn mza sto eswterikì tou, kai autì ja apait sei prosoq sthn

diatÔpwsh twn nìmwn diat rhshc. To prìblhma mporeÐ na parallhlhsteÐ me autì miac kinoÔmenhc roukètac,

h opoÐa kat thn kÐnhsh qnei mèroc thc mzac. Aut akrib¸c thn duskolÐa prèpei na antimetwpÐsoume sth

sunèqeia.

Enac ìgkoc elègqou pou eÐnai stajerìc sto q¸ro eÐnai sto pneÔma thc perigraf c Euler. Opwc kai to pedÐo

ro c orÐzetai sto q¸ro kai ed¸ mac endiafèrei ti gÐnetai me to perieqìmeno orm c h enèrgeiac se mia epilegmènh

perioq tou q¸rou. To prìblhma fusik eÐnai ìti oi nìmoi diat rhshc pou diatup¸same prohgoumènwc den

isqÔoun sthn morf pou d¸same gia ulikì ìgko. Etsi h perigraf gia ulikì ìgko eÐnai sto pneÔma Lagrange.


kÐnhsh tou swmatidÐou. Autì ìmwc mporoÔme na to xepersoume en sthn qronik stigm tdialèxoume ton ìgko elègqou na sumpÐptei me ton ulikì ìgko ston opoÐo thn metabol thcfusik c posìthtac jèloume na upologÐsoume. Tic leptomèreiec ja doÔme se lÐgo. All toapotèlesma ja mac odhg sei sthn diatÔpwsh enìc shmantikoÔ jewr matoc tou Reynolds, toopoÐo mac dÐnei thn dunatìthta na gryoume touc basikoÔc nìmouc diat rhshc qrhsimopoiìntacèna ìgko thc epilog c mac.

Gia ton skopì autì ja arq soume apì ton rujmì metabol c thc fusik c posìthtac B(t)ston ìgko elègqou Vc(t) ton opoÐo dialègoume ètsi ¸ste kje shmeÐo thc epifneiac elègqoukineÐtai me mÐa taqÔthta ~uc(~r, t). Qrhsimopoiìntac

φ(~r, t) ≡ ρ(~r, t)b(~r, t)

èqoume loipìn

D

Dt

∫Vc(t

φ(~r, t)dV = lim∆t→0

∫Vc(t+∆t) φ(~r, t+ ∆t)dV −

∫Vc(t)

φ(~r, t)dV

∆t. (4.91)

ìpou to pr¸to olokl rwma upologÐzetai ston ìgko kai tic antÐstoiqec fusikèc posìthtec seqrìno t + ∆ kai to deÔtero se qrìno t. AnaptÔsontac thn posìthta sto pr¸to olokl rwmase seir Taylor èqoume

φ(~r, t+ ∆t) = φ(~r, t) +∂φ

∂t

∣∣∣t∆t,

kai antikajist¸ntac sthn (4.91) èqoume

D

Dt

∫Vc(t

φ(~r, t)dV =∫Vc(t)

∂φ(~r, t)∂t

dV + lim∆t→0

∫Vc(t+∆t) φ(~r, t)dV −

∫Vc(t)

φ(~r, t)dV

∆t(4.92)

ìpou ston pr¸to ìro paraleÐyame sto pneÔma tou orÐou thn diafor ìgkou, h opoÐa mhdenÐzetaiepÐshc sto ìrio lim∆t→0. H diafor twn oloklhrwmtwn ston deÔtero ìro mporeÐ na upolo-gisteÐ san epifaneiakì olokl rwma sthn epifneia elègqou. Autì faÐnetai apì to sq ma 4.12.H diafor touc eÐnai aploÔstata h sunolik posìthta φ pou èqei persei mèsw thc epifneiacelègqou Sc(t), kai an diairèsoume me ∆t mac dÐnei ton antÐstoiqo rujmì ro c. Eqoume loipìn∫

Vc(t+∆t)φ(~r, t)dV −

∫Vc(t)

φ(~r, t)dV =∫Sc(t)

φ(~r, t)∆t~uc · ndS, (4.93)

ìpou n eÐnai h exwterik kjetoc sthn epifneia elègqou Sc(t) sto stoiqeÐo dS, kai ∆t~uc ·ndS eÐnai h aÔxhsh tou ìgkou elègqou ston qrìno ∆t, lìgw thc metatìpishc tou stoiqeÐouepifneiac dS kat ∆t~uc · n. Prosjètontac gia thn metatìpish ìlwn twn stoiqeÐwn epifneiacmac dÐnei to epifaneiakì olokl rwma sthn epifneia elègqou Sc(t). H posìthta φ stì mikrìautì disthma metatìpishc mporeÐ na jewrhjeÐ ìti den metablletai, all fusik metablletaikat m koc thc epifneiac.

Antikajist¸ntac thn (4.93) sthn (4.93) èqoume gia ton rujmì ston epilegmèno ìgko elègqou

D

Dt

∫Vc(t)

φ(~r, t)dV =∫Vc(t)

∂φ(~r, t)∂t

dV +∫Sc(t)

φ(~r, t)~uc · ndS, (4.94)

En t¸ra epilèxoume sthn qronik stigm t o ìgkoc elègqou Vc(t) na sumpÐptei me ton ulikììgko, kai h gnwst taqÔthta ~uc antikatastajeÐ apì thn gnwsth taqÔthta ro c sthn ulik epifneia, tìte èqoume to antÐstoiqo apotèlesma gia ton rujmì metabol c ston ulikì ìgko

D

Dt

∫Vm(t)

φ(~r, t)dV =∫Vm(t)

∂φ(~r, t)∂t

dV +∫Sm(t)

φ(~r, t)~u · ndS, (4.95)


Sq ma 4.12: Sq. 4.12. Metatìpish epifneiac elègqou lìgw thc epilegmènhc taqÔthtac

~uc(~r, t) kai upologismìc thc metabol c tou ìgkou elègqou gia thn (4.93).

H sqèsh aut onomzetai Je¸rhma metaforc Reynolds, kai to fusikì thc nìhma eÐnai pro-fanèc. Se kje qronik stigm

Rujmìc metabol c = Topikìc rujmìc metabol c + Kajar ro mèswkat thn ro se kje shmeÐo thc epifneiac.

MporoÔme ìmwc na knoume kai ton ex c sullogismì. Estw ìti jèloume na upologÐsoumethn ulik metabol se qrìno t = t∗. Gia to aristerì mèroc thc (4.95) prèpei pr¸ta na knoumethn parag¸gish kai sthn sunèqeia na antikatast soume t = t∗. Fusik den skopeuoume naknoume autìn ton upologismì, kaj¸c mporoÔme na proume to dexiì mèroc thc (4.95). Allse qrìno t∗ pnta mpor¸ na br¸ èna stsimo ìgko kai stsimh epifneia pou isoÔntai me ticÐdiec posìthtec tou ulikoÔ ìgkou kai epifneiac, dhl. Vc = Vm(t∗) Sc = Sm(t∗). Etsi gia tonupologismì tou dexioÔ mèrouc mpor¸ na antikatast sw ta ìria olokl rwshc se stajerì ìgkokai epifneia elègqou gia thn qronik stigm t∗. Tìte èqoume mÐa llh morf gia to je¸rhmametaforc Reynolds,

D

Dt

∫Vm(t)

φ(~r, t)dV =∫Vc

∂φ(~r, t)∂t

dV +∫Scφ(~r, t)~u · ndS, (4.96)

pou metatrèpei thn ulik pargwgo enìc oloklhr¸matoc se paramorf¸simo ìgko, se ènajroisma oloklhrwmtwn me stajerì ìgko kai epifneia antÐstoiqa, pou tan kai o stìqoc mac.Epeid de o ìgkoc elègqou Vc eÐnai stajerìc mporoÔme na proume thn merik parag¸gish èxwapì to olokl rwma. O pr¸toc ìroc sto dexiì mèroc eÐnai to olokl rwma ìgkou thc merik cparag¸gou wc proc ton qrìno thc φ stìn ìgko elègqou se qrìno t, krat¸ntac stajer thn epifneia elègqou, kai uprqei ìtan èqoume mh mìnimh ro . O deÔteroc ìroc ekfrzeito gegonìc ìti to ìrio tou ulikoÔ ìgkou den krat thn morf pou eÐqe se qrìno t allperilambnei perissìtero ìgko, kai epomènwc kai perissìtero apì thn posìthta φ, kaj¸cexellÐsetai qronik.


Enac mnhmonikìc kanìnac gia to je¸rhma Reynolds eÐnai ìti gia na upologÐsoume ton ulikìrujmì metabol c kpoiac fusik c posìthtac, autìc apoteleÐtai apì dÔo ìrouc. O ènac èqeina knei me thn topik qronik metabol ston ìgko, kai o deÔteroc me to gegonìc ìti stoìgko elègqou eisrèei reustì mèsw thc epifneiac apì geitonikèc perioqèc. Autì ekfrzetaime to rujmì ro c thc antÐstoiqhc posìthtac mèsw thc epifneiac. O rujmìc ro c mèsw thcepifneiac dÐnetai apì to eswterikì ginìmeno tou antÐstoiqou reÔmatoc φ~u me to stoiqeÐo thcepifneiac ndS. Thn parapnw diadikasÐa eÐqame qrhsimopoi sei gia thn apìdeixh thc exÐswshcsunèqeiac sto Kef. 2.

Gia thn perÐptwsh pou h ro eÐnai mìnimh tìte mìno to epifaneiakì olokl rwma suneisfèrei,kai èqoume

D

Dt

∫Vm(t)

φ(~r, t)dV =∫Sc(t)

φ(~r, t)~u · ndS, mìnimh ro . (4.97)

EpÐshc an jewr soume mìnimh ro se èna sÔsthma me kleist toiq¸mata, ektìc apì eisìdouch exìdouc me stajer taqÔthta ro c sthn diatom tìte to epifaneiakì olokl rwma aplopoieÐtaisan èna diakritì jroisma stic eisìdouc kai exìdouc∫

Sc(t)φ(~r, t)~u · ndS =

∑i, exìdouc

(φunA)i −∑

j, eisìdouc

(φunA)j , (4.98)

ìpou un eÐnai h kjeth sunist¸sa thc taqÔthtac sthn antÐstoiqh epifneia eisìdou h èxìdou.

4.10.3 Swmatidiakì ìrio tou ulikoÔ ìgkou

AxÐzei na doÔme ti mac lèei to je¸rhma Reynolds sthn morf (4.95), afoÔ antikatast soumeφ = ρb, ìtan o ulikìc ìgkoc gÐnei elqistoc (δV ). Tìte to dexiì mèroc mac dÐnei thn ulik pargwgo tou b, epÐ thn mza, dhl. ρδV Db

Dt kaj¸c h mza ρδV eÐnai stajer . To olokl r-

wma ìgkou sto dexiì mèroc eÐnai gia stajerì ìgko (Ðso me δV ) kai mac dÐnei δV ∂∂t(ρb). To

epifaneiakì olokl rwma metatrèpetai me to je¸rhma Gauss pr¸ta se olokl rwma ìgkou kaimac dÐnei δV ~∇ · (ρb~u). Prosjètontac touc dÔo ìrouc kai diair¸ntac me ton ìgko δV èqoume

ρDb

Dt=

∂

∂t(ρb) + ~∇ · (ρb~u). (4.99)

En orÐsoume

~b = ~∇ · (ρb~u) (4.100)

to reÔma an monda ìgkou thc posìthtac b, tìte h apìklis tou eÐnai akrib¸c h suneis-for apì to gegonìc ìti o ìgkoc tou swmatidÐou èqei allxei. Meta apì aplèc prxeic kaiqrhsimopoiìntac thn exÐswsh sunèqeiac èqoume

ρDb

Dt= ρ

∂b

∂t+ b

∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρb~u) = (4.101)

ρ∂b

∂t− b~∇ · (ρ~u) + ~∇ · (ρb~u) = ρ

∂b

∂t+ ρ(~u · ~∇)b, (4.102)

pou den eÐnai tÐpote llo par o orismìc thc ulik c parag¸gou. H parapnw sqèsh isqÔeikai gia kje sunist¸sa kpoiac dianusmatik c posìthtac an monda mzac. P.q. gia kjesunist¸sa thc taqÔthtac (orm an monda mzac) h thc antÐstoiqhc puknìthtac stroform cvecr × ~u. Etsi gia dianusmatik posìthta èqoume

ρD~b

Dt= ρ

∂~b

∂t+ ρ(~u · ~∇)~b. (4.103)


Kaj¸c to b eÐnai kpoia fusik posìthta an monda mzac, sthn (4.102) h (4.103) èqoumeto aristerì mèroc tou antÐstoiqou nìmou diat rhshc. Stì dexiì mèroc prèpei na prosjèsoumetic antÐstoiqec phgèc. P.q gia thn diat rhsh mzac b = 1 kai sto dexiì mèroc èqoume mhdènektìc an èqoume phgèc dhmiourgÐac nèac mzac. Gia thn diat rhsh orm c ~b = ~u sto dexiìmèroc èqoume ìlec tic exwterikèc dunmeic (epifaneÐac kai ìgkou) an monda ìgkou. Gia thndiat rhsh stroform c~b = ~r×~u kai stì dexiì mèroc tic ropèc an monda ìgkou twn exwterik¸ndunmewn. Dustuq¸c ìpwc eÐpame, h sqèsh gia thn diat rhsh stroform c tou swmatidÐou deneÐnai eÔqrhsth, kajìson apaiteÐtai h gn¸sh thc jèshc tou swmatidÐou an psa qronik stigm .

4.10.4 Nìmoi diat rhshc se epilegmèno ìgko elègqou

To je¸rhma Reynolds mporeÐ na ekfrasteÐ kai se llec morfèc pou Ðswc eÐnai pio praktikèc giathn epÐlush problhmtwn. MÐa kateÔjunsh pou èqei meglo endiafèron gia praktik probl -mata eÐnai na pme sthn llh kateÔjunsh kai na ekfrsoume touc basikoÔc nìmouc diat rhshcsan rujmoÔc metabol¸n pnw se epilegmènouc ìgkouc elègqou, oi opoÐoi suqn upodeiknÔon-tai apì thn efarmog . Autì mac dÐnei thn dunatìthta na krat soume touc makroskopikoÔcnìmouc, idiaÐtera an h plhroforÐa pou jèloume eÐnai makroskopikèc posìthtec, ìpwc p.q. hdÔnamh pnw sta toiq¸mata enìc agwgoÔ.

H diadikasÐa eÐnai polÔ apl . Gia touc treÐc basikoÔc nìmouc diat rhshc mzac orm c kaienèrgeiac antikajistoÔme sthn (4.96) gia φ antÐstoiqa thn puknìthta ρ, thn puknìthta orm cρ~u, thn puknìthta stroform c ρ~r × ~u, kai thn puknìthta enèrgeiac ρε an monda ìgkou an-tÐstoiqa. Gia kje nìmo ekfrasmèno se ulikì ìgko, p.q. stic sqèseic (4.82), (4.88), (4.89),kai (4.90), antikajistoÔme to dexiì mèroc tou nìmou, qrhsimopoiìntac to je¸rhma Reynoldsapì thn (4.95), wste na èqoume oloklhr¸mata se stajerì ìgko kai epifneia elègqou. TrÐ-ton prèpei na bebaiwjoÔme ìti to dexiì mèroc twn nìmwn dhl. h dÔnamh, h rop ktl. denmetabllontai ìtan ta upologÐsoume ston ìgko elègqou antÐ ston ulikì ìgko. Jèlei ìmwc kaiprosoq , diìti p.q. to èrgo pou gÐnetai apì tic dunmeic sthn epifneia elègqou diafèrei apìtic dunmeic sthn ulik epifneia, kaj¸c kinoÔntai me diaforetik taqÔthta.

Etsi gia thn diat rhsh thc mzac, èqoume∫Vc

∂ρ

∂tdV +

∫Scρ~u · ndS = 0 (4.104)

kai eÐnai h morf pou qrhsimopoi same sto Kef. 3 gia thn exagwg thc exÐswshc sunèqeiac.Gia thn diat rhsh orm c èqoume∫

Vc

∂(ρ~u)∂t

dV +∫Sc

(ρ~u)~u · ndS = ~Fc, (4.105)

ìpou ~Fc eÐnai to jroisma twn dunmewn ìgkou kai epifneiac sth mza tou ìgkou elègqou kaieÐnai Ðdia me aut ston ulikì ìgko. Gia mÐa suneq katanom èqoume

~Fc =∫Vcρ~fdV +

∫Sc~σsdS, (4.106)

ìpou ~f = ~g eÐnai dÔnamh an monda ìgkou gia thn barÔthta kai ~σs eÐnai h dÔnamh an mondaepifneiac sto stoiqeÐo epifneiac dS. Gia anixwdik ro èqoume ~σs = −Pn, ìpou n eÐnai hexwterik kjetoc sto stoiqeÐo dS. H (4.105) mac lèei ìti o rujmìc metabol c thc orm c stonstajerì ìgko elègqou (pou isoÔtai me ton ulikì ìgko se qrìno t), sun o rujmìc ro c orm cproc ta èxw mèsw thc stajer c epifneiac elègqou, se kje qronik stigm isoÔtai me thndÔnamh pou askeÐtai ston ìgko elègqou apì ton èxw kìsmo.


Suqn se èna makroskopikì ìgko den mac endiafèrei h leptomer c gn¸sh thc ro c stoeswterikì all kai den eÐnai pnta prosit . AntÐjeta eÐnai pio eÔkolo na gnwrÐzoume thn ro sthn epifneia enìc ìgkou. Autì shmaÐnei ìti eÐnai qr simo na doÔme an oi nìmoi diat rhshc( ki' ed¸ ja perioristoÔme mìno sthn diat rhsh orm c ) mporoÔn na grafoÔn mìno sunart seiepifaneiak¸n oloklhrwmtwn. Autì mporeÐ na gÐnei an h ro mac eÐnai mìnimh kai oi dunmeicìgkou (ìpwc h barÔthta ) eÐnai diathrhtikèc. Etsi gia mìnimh ro to olokl rwma ìgkousthn (4.105) den uprqei. EpÐshc gia diathrhtik dÔnamh ìgkou mporoÔme na thn orÐsoumeqrhsimopoiìntac to dunamikì an monda mzac φ wc

ρ~f = −~∇(ρφ)

kai na gryoume thn suneisfor thc dÔnamhc ìgkou san epifaneiakì olokl rwma. Etsi èqoume

∫Vcρ~fdV =

∫Sc

(−ρφ)nsdS, (4.107)

ìpou ns eÐnai to exwterikì kjeto monadiaÐo dinusma sthn epifneia se kje shmeÐo.Gia thn stroform èqoume∫

Vc

∂(ρ~r × ~u)∂t

dV +∫Sc

(ρ~r × ~u)~u · ndS = ~Tc. (4.108)

Ed¸ ~r eÐnai to dinusma jèshc gia mÐa aujaÐreth arq axìnwn se èna adraneiakì sÔsthma. Holik rop anafèretai kai aut wc proc to Ðdio shmeÐo kai eÐnai to jroisma ìlwn twn rop¸ngia dunmeic (ìgkou kai epifneiac) pou askoÔntai apì ton èxw kìsmo sth mza tou ìgkou.Gia mÐa suneq katanom dunmewn èqoume

~Tc =∫Vcρ(~r × ~g)dV +

∫Sc

(~r × ~σs)dS. (4.109)

Gia thn diat rhsh thc enèrgeiac èqoume∫Vc

∂(ρε)∂t

dV +∫Sc

(ρε)~u · ndS =dQ

dt+∫Sc~σs · ~udS, (4.110)

ìpou stì èrgo pou gÐnetai apì tic epifaneiakèc dunmeic blame thn taqÔthta ro c kai ìqi thnepilegmènh taqÔthta gia ton ìgko elègqou, pou ja mporoÔse na eÐnai kai mhdèn.

MÐa teleutaÐa sqèsh eÐnai h antÐstoiqh tou deÔterou jermodunamikoÔ axi¸matoc pou giaèna ulikì ìgko èqei thn morf

D

Dt

∫Vm(t)

(ρs)dV ≥ −∫Sm(t)

~q · ndST

, (4.111)

ìpou ~q eÐnai to dinusma ro c jermìthtac, dhl. jermìthta an monda epifneiac an mondaqrìnou. To deÔtero axÐwma mac lèei ìti o rujmìc metabol c thc entropÐac ston ulikì ìgkoeÐnai megalÔterh h Ðsh me ton rujmì ro c mèsw thc epifneiac afou diairèsoume me thn topik jermokrasÐa se kje shmeÐo thc epifneiac. To axÐwma ekfrasmèno se ìgko elègqou èqei thnmorf ∫

Vc

∂(ρs)∂t

dV +∫Sc

(ρs)~u · ndS ≥ −∫Sc

~q · ndST

, , (4.112)

To deÔtero axÐwma den bohj sthn lÔsh thc dunamik c thc ro c all bzei shmantikoÔc peri-orismoÔc stic pijanèc lÔseic enìc probl matoc.

4.11. DIAT'HRHSH ORM'HS SE MH ADRANEIAK'A SUST'HMATA 37

Sthn makroskopik melèth twn nìmwn diat rhshc den periorist kame se anixwdik ro oÔte se isentropik ro . All d¸same tic genikèc sqèseic pou ja isqÔoun kai gia ixwdik ro . Sthn perÐptwsh aut arkeÐ na gnwrÐzoume tic antÐstoiqec an monda epifneiac, dhl. ~σs.Gia isentropik ro qwrÐc didosh jermìthtac kai ix¸dec, h exÐswsh enèrgeiac aplopoieÐtai,en¸ to deÔtero jermodunamikì axÐwma isqÔei me isìthta, kai an jewr soume ìti oi sunj kecautèc ikanopoioÔntai proseggistik tìte mporoÔme na qrhsimopoioÔme thn exÐswsh Bernoulli.Mlista efìson èqoume lÔsei thn exÐswsh diat rhshc orm c gia ixwdik ro , h qr sh thcexÐswshc Bernoulli thn enèrgeia mporeÐ na mac pei an h ro eÐnai elqista ixwdik h ìqi.

4.11 Diat rhsh orm c se mh adraneiak sust mata

Gia èna swmatÐdio se èna adraneiakì sÔsthma h exÐswsh diat rhshc thc orm c an monda mzacmac lèei ìti o rujmìc metabol c thc orm c (epitqunsh ) isoÔtai me to sÔnolo twn pragmatik¸ndunmewn pou askoÔntai sto reustì swmatÐdio. P.q. gia ro reustoÔ sthn G oi pragmatikècdunmeic eÐnai h barÔthta kai h bajmÐda pÐeshc, an jewr soume anix¸dh ro . H epitqunshìmwc anafèretai se èna adraneiakì sÔsthma. Sthn G ìmwc mporoÔme na metr soume to pedÐoro c kai epomènwc thn antÐstoiqh epitqunsh se sqèsh me to peristrefìmeno (mh adraneiakì)sÔsthma thc G c. Prohgoumènwc eÐdame pwc sundèontai oi epitaqÔnseic sta dÔo sust mata.En t¸ra jèloume na gryoume thn exÐswsh gia thn epitqunsh sto mh adraneiakì sÔsthma,tìte prèpei na prw upìyh mazÔ me tic pragmatikèc kai tic yeudodunmeic20 pou sthn prokeimènhperÐptwsh eÐnai h dÔnamh Coriolis kai h fugìkentroc. Eqoume loipìn

ρD~u

Dt= −~∇P − ρg~∇h− ρ

[2~Ω× ~u+ ~Ω× (~Ω× ~r)

](4.113)

'Olec oi posìthtec sthn exÐswsh anafèrontai se èna sÔsthma anaforc pou peristrèfetai meth Gh, kai ~Ω eÐnai to dinusma gwniak c taqÔthtac gÔrw apì ton xona peristrof c.

4.11.1 Fugìkentroc dÔnamh

Ac exetsoume pr¸ta thn fugìkentro dÔnamh an monda mzac −~Ω× (~Ω×~r). Apì ton orismìthc eÐnai kjeth ston xona peristrof c kai sto epÐpedo twn dianusmtwn ~Ω kai ~r. EpomènwceÐnai sthn kateÔjunsh thc kjethc sunist¸sac tou ~r ston xona peristrof c. Autì faÐnetaieÔkola an bloume21 ~r = ~r|| + ~r⊥ sthn fugìkentro dÔnamh, kai èqoume

−~Ω× (~Ω× ~r) = Ω2~r⊥,

ìpou ~r⊥ eÐnai h kjeth sunist¸sa tou ~r ston xona peristrof c. H for thc dÔnamhc makriapì ton xona peristrof c dÐnei to ìnoma thc yeudodÔnamhc.

20Epeid suqn anagkazìmaste na douleÔoume se mh adraneiak sÔsthmata, paraleÐpoume na xekajarÐsoume

ìti eÐnai yeudodunmeic, ìpwc suqn gÐnetai sthn bibliografÐa. Sth sunèqeia kai emeÐc ja upokÔyoume ston

peirasmì na paraleÐpoume ton qarakthrismì yeudo- mprost apì to dÔnamh.21H isodÔnama an qrhsimopoi soume thn dianusmatik sqèsh

~A× ( ~B × ~C) = ( ~A · ~C) ~B − ( ~A · ~B)~C

.


H teleutaÐa morf thc eÐnai bolik ¸ste na ekfrasteÐ san bajmÐda. Eqoume22

Ω2~r⊥ =12~∇(Ω2r2

⊥) =12~∇(|~Ω× ~r|2)

gia thn fugìkentro dÔnamh. Autì mac dÐnei thn dunatìthta na perilboume ton ìro thc fu-gokèntro se mÐa energì barÔthta, dhl. èqoume

~ge = −~∇(U − 1

2|~Ω× ~r|2

)Gia sfairik G o ìroc thc barÔthtac èqei mìno aktinik sunist¸sa, en¸ h fugìkentroc exart-tai apì to to gewgrafikì pltoc (h to sumpl rwm thc) kai èqei sunist¸sa kai sthn eθkateÔjunsh. MÐa ektÐmhsh thc sÔgkrishc twn dÔo ìrwn eÐnai qr simh. H mègisth tim sthnepifneia thc g c eÐnai ston Ishmerinì kai dÐnetai apì thn gwniak taqÔthta peristrof c thcG c Ω = 7.29× 10−5 sec−1 kai thn aktÐna thc G c R = 2000m kai eÐnai Ðsh me 10−6g. Parìlopou o lìgoc eÐnai mikrìc eÐnai kajoristikìc sto sq ma twn peristrefomènwn swmtwn ìpwceÐnai h Gh. Ta s¸mata aut den èqoun sfairikì sq ma all prolate elleiyoeidèc me diìgkwshston ishmerinì ìpou h fugìkentroc èqei thn mègisth tim kai eÐnai se antÐjeth kateÔjunsh methn barÔthta. Na shmei¸soume ìti kai h g eÐnai èna reustì se gewlogikoÔc qrìnouc. EpÐshcèna barÔdio sthn epifneia thc ghc den kateujÔnetai sto kèntro thc g c all sthn sunistamènh~ge.

4.11.2 Coriolis DÔnamh.

H dÔnamh Coriolis exarttai apì thn taqÔthta ro c kai mìno to prìshmì thc exarttai apìthn jesh tou swmatidÐou. Emesa uprqei kai exrthsh apì thn jèsh, diìti an anaferìmastesth ro anèmwn aut eÐnai sun jwc eÐnai efaptomènh se kje shmeÐo. Stì Sq. 4.13 deÐqnoumethn allag pros mou thc dÔnamhc sto bìreio kai nìtio hmisfaÐrio. P.q. ro me taqÔthtaproc borr ja apoklÐnei proc ta dexi (arister) an eÐmaste sto bìreio (nìtio) hmisfaÐrio. ToantÐjeto sumbaÐnei an h ro eÐnai proc ton nìto. Den uprqei ìmwc diafor metaxÔ boreÐoukai notÐou hmisfairÐou ìtan h ro eÐnai proc dutik me apìklish bìreia h proc anatolc meapìklish nìtia kai sta dÔo hmisfaÐria. Sthn perÐptwsh pou h taqÔthta ro c èqei kai aktinik sunist¸sa tìte h eikìna gÐnetai pio polÔplokh all mporoÔme na anaferjoÔme ston orismìse kje shmeÐo gia na doÔme thn kateÔjunsh thc dÔnamhc Coriolis kai epomènwc thn apìklishthc ro c.

Ac doÔme thn epÐdrash thc dÔnamhc Coriolis se èna aplì pardeigma aktinik c ro c. StoSq 4.14 deÐqoume thn aktinik ro , ìpwc faÐnetai apì pnw, se èna dexiìstrofo peristrefìmenosÔsthma. H dÔnamh Coriolis se kje shmeÐo eÐnai kjeth sthn taqÔthta, dÐnei mÐa peristrof sta swmatÐdia reustoÔ, antÐjeth me thn fora peristrof c tou sust matoc. Sthn perÐptwshtou Sq. 4.14 h apìklish tou reustoÔ eÐnai sthn for twn deikt¸n rologioÔ en¸ h peristrof tou sust matoc eÐnai antÐjeta. Mia tètoia ro onomzetai antikukl¸nac, en¸ an h apìklishro c eÐnai sthn Ðdia for tìte èqoume èna kukl¸na

Eqontac deÐ ta qarakthristik thc dÔnamhc Coriolis axÐzei na dierwthjoÔme an eÐnai shman-tik h epÐdras thc. Gia na to doÔme autì arkeÐ na sugkrÐnoume touc ìrouc thc epitqunshcsto peristrefìmeno susthma me ton ìro Coriolis. Autì gÐnetai me ton lìgo touc pou eÐnai oarijmìc

arijmìc Rossby Ro =U

2ΩL(4.114)

22EÔkola bgaÐnei ìti1

2~∇(r2⊥) = ~r⊥


Sq ma 4.13: Sq. 4.13 H epÐdrash thc dÔnamhc Coriolis (a) sto bìreio hmisfaÐrio, (b) sto

nìtio hmisfaÐrio kai (g) gia anatolik h dutik ro .

Sq ma 4.14: Sq. 4.14 H epÐdrash thc dÔnamhc Coriolis se aktinik ro .


kef4-15.jpg

Sq ma 4.15: Sq. 4.15 Topikì sÔsthma anaforc gia tic exis¸seic diat rhshc orm c me thn

dÔnamh Coriolis. .

ìpou Ω h gwniak taqÔthta peristrof c, kai U , L qarakthristikèc klÐmakec taqÔthtac kaim kouc23. H dÔnamh Coriolis eÐnai shmantik ìtan o arijmìc Rossby eÐnai mikrìc. Autì densumbaÐnei mìno gia meglh gwniak taqÔthta all kai mikr taqÔthta ro c h megla m kh.Gia pardeigma se mÐa qarakthristik ro anèmwn èqoume m kh L = 1000km, taqÔthtec ro cU = 20m/sec me Ω ≈ 10−4sec−1. Aut mac dÐnoun Ro ≈ 0.1 pou den eÐnai idiaÐtera mikrì.

Gia èna swmatÐdio reustoÔ me taqÔthta ~u = (u, v, w) ìpou èqoume dexiìstrofo sÔsthma meto dinusma Ω kat m koc tou z−xona h dÔnamh Coriolis èqei sunist¸sec

~fcor = −~Ω× ~u = Ωvi− Ωuj

. Suqn ìmwc to sÔsthma anafor eÐnai topiko me ton z−qona kjeto sthn epifneia thcGhc, ìpwc sto Sq. 4.15 ìpou o y−xonac eÐnai efaptìmenoc thc epifneiac proc ta bìreiakai o x−xonac eÐnai kjetoc mèsa sto qarti. Sto nèo sÔsthma h gwniak taqÔthta èqeisunist¸sec ~Ω = (0,Ω cos δ,Ω sin δ), ìpou δ eÐnai to gewgrafikì pltoc. Oi sunist¸sec thcdÔnamhc Coriolis

~fcor = −2~Ω× ~u = −2

∣∣∣∣∣∣∣ex ey ez0 Ω cos δ Ω sin δux uy uz

∣∣∣∣∣∣∣ = (4.115)

−2(Ωuz cos δ − Ωuy sin δ)ex − 2Ωux sin δey + 2Ωux cos δez (4.116)

Suqn knoume thn epiplèon prosèggish ìti mhdenÐzetai h uz−sunist¸sa thc taqÔthtac (sthndieÔjunsh thc topik c kajètou) kai h dÔnamh Coriolis aplopoieÐtai wc

~fcor = fuy ex − fuxey + fux cot δez

ìpou eisgame thn Coriolis parmetro

f = 2Ω sin δ.

Sthn perÐptwsh aut o ìroc thc epitqunshc sto peristrefìmeno sÔsthma den èqei z−sunist¸sakai h z−sunist¸sa thc Coriolis dÔnamhc antistajmÐzetai apì thn bajmÐda pÐeshc h llecdunmeic.

4.11.3 ExÐswsh Bernoulli se peristrefìmeno sÔsthma.

Sto omal peristrefìmeno sÔsthma anaforc h exÐswsh diat rhshc thc orm c gia mìnimh ro mac dÐnei

~∇(12u2)− ~u× ~ζ = −~∇U − 1

ρ~∇P + ~f fug + ~fcor, (4.117)

23Gia thn akrÐbeia oi dÔo klÐmakec mpaÐnoun lìgw thc bajmÐdac thc taqÔthtac apì to oro epitqunshc lìgw

metaforc. H taqÔthta epiplèon uprqei kai stouc dÔo ìrouc kai anairoÔnatai sto lìgo.


ìpou ~ζ eÐnai o strobilismìc tou pedÐou taqÔthtac sto peristrefìmeno sÔsthma, U dunamik enèrgeia an monda mzac gia èna diathrhtikì pedÐo, ~f fug kai ~fcor h fugìkentroc kai h dÔnamhCoriolis antÐstoiqa. EÐdame ìti thn fugìkentro dÔnamh mporoÔme na thn perilboume se ènaenergì dunamikì kai mporeÐ na ekfrasteÐ san

~f fug = −~∇(

12|~Ω× ~r|2

)Etsi pli mporoÔme na orÐsoume mia sunrthsh B(~r) ¸ste

~∇B ≡ ~∇(

12u2 + U +

12|~Ω× ~r|2 − 1

ρP

)= ~u× ~ζ + 2~u× ~Ω. (4.118)

Sto dexiì mèroc mporeÐ na jewr soume ìti o ìroc ~ζ+2~Ω eÐnai o topikìc strobilismìc se sqèshme to akÐnhto sÔsthma. An de sumbeÐ na mhdenÐzetai tìte mhdenÐzetai kai to dexiì mèroc thc(4.118). Sthn perÐptwsh aut èqoume ìti h posìthta

B(~r) ≡(

12u2 + U +

12|~Ω× ~r|2 − 1

ρP

)(4.119)

= stajer se ìlo to q¸ro an , ~ζ + 2~Ω = 0. (4.120)

Se antÐjeth perÐptwsh mporoÔme na upologÐsoume thn metabol tou gia tuqaÐa dunat metatìpish24

d~r. Eqoume gia thn metabol thc posìthtac B,

dB = ~∇B · d~r = d~r ·[~u×

(~ζ + 2~Ω

)].

H metabol isoÔtai me to èrgo tou topikoÔ strobilismoÔ kat thn dunat metatìpish, toopoÐo en gènei exarttai apì thn metatìpish. En h dunat metatìipish eÐnai kai pragmatik metatìpish kat m koc thc gramm c ro c, tìte d~r = ~udt kai to antÐstoiqo èrgo mhdenÐzetai.Etsi h posìthta B eÐnai stajer kat m koc thc gramm c ro c. Gia mìnimh ro to reustìswmatÐdio diathreÐ thn enèrgei tou an s' aut perilboume kai to èrgo thc fugokèntrou stoenergì dunamikì. Dhl. h dÔnamh Coriolis den pargei èrgo kat thn kÐnhsh tou swmatidÐou,kai autì eÐnai anamenìmeno diìti eÐnai kjeth sthn pragmatik metatìpish. Autì mporeÐ naekfrasteÐ me thn ulik pargwgo thc D

DtB(~r, t) perilambnontac kai thn perÐptwsh pou h ro den eÐnai mìnimh. Prèpei na jewr soume thn metabol thc B gia èna swmatÐdio reustoÔ kaj¸ckineÐtai. H anlush aut ja gÐnei sto Kef. 6, ìtan ja perilboume kai tic ixwdikèc dunmeic.

4.11.4 Gewstrofik ro .

H dianusmatik morf thc dÔnamhc Coriolis (san exwterikì ginìmeno peristrofik¸n kai metaforik¸ndianusmtwn) eÐnai arket polÔplokh ¸ste na epidèqetai eÔkolh ermhneÐa twn epidrsewn thc.ElpÐzoume ìmwc ìti merikèc apì tic proseggÐseic pou ja knoume sth sunèqeia ja mac bo-hj soun na apokt soume fusik diaÐsjhsh kai katanìhsh merik¸n basik¸n fainomènwn pousumbaÐnoun sthn atmìsfaira kai stouc wkeanoÔc. Ena tètoio pardeigma eÐnai h anix¸dhc ro me mhdenikì arijmì Rossby. Sthn perÐptwsh aut mporoÔme na paraleÐyoume ton ìro thcepitqunshc D~u

Dt . H ro aut onomzetai gewstrofik , kai sumbaÐnei sthn atmìsfaira gia roècmikr c klÐmakac.

24Dunat metatìpish shmaÐnei ìti eÐnai metatìpish pou den antistoiqeÐ aparaÐthta se pragmatik metatìpish

sÔmfwna me tic sunistamènec dunmeic. Apl¸c eÐnai to dinusma pou sundèei dÔo shmeÐa sto q¸ro qwrÐc na

gÐnetai anafor se qronik exèlixh.


Sthn perÐptwsh aut h dÔnamh Coriolis antistajmÐzetai apì thn bajmÐda pÐeshc all ìpwcja doÔme h ro aut mac epifulssei ekpl xeic pou antitÐjentai sth mèqri t¸ra logik pouanaptÔxame. Eqoume loipìn ìti

2ρ~Ω× ~u = −~∇P

Blèpoume loipìn ìti h bajmÐda thc pÐeshc eÐnai kjeth sthn taqÔthta ro c25. Autì shmaÐnei ìtih ro gÐnetai kat m koc gramm¸n stajer c pÐeshc an jewr soume ìti h ro eÐnai didistathkai parllhlh proc to èdafoc. Autìc eÐnai kai o lìgoc pou suqn kai oi qrtec kairik¸nsunj kwn sqedizontai me isobarikèc (stajer c pÐeshc) grammèc. Sto Sq 4.15a deÐqnoume thndianusmatik sqèsh anmesa sthn bajmÐda pÐeshc kai ta dianÔsmata peristrof c kai taqÔthtacpou mac dÐnoun thn dÔnamh Coriolis. Ac jewr soume ìti sto epÐpedo èqoume èna kèntro uyhl cpÐeshc ìpou h pÐesh elatt¸netai kaj¸c apomakrunìmaste aktinik, ¸ste oi grammèc stajer cpÐeshc eÐnai kÔkloi. Sthn perÐptwsh aut to dinusma −~∇P eÐnai aktinik proc ta èxw. Hantistajmistik dÔnamh Coriolis eÐnai akrib¸c antÐjeth kai gia thn peristrof tou sq matoc hro , dhl h taqÔthta, èqei thn for tou sq matoc kai eÐnai efaptìmenh twn isobarik¸n gramm¸n.Etsi gnwrÐzontac thn bajmÐda pÐeshc gnwrÐzoume kai thn for ro c. O kanìnac autìc eÐnaisunep c kai me thn kateÔjunsh thc dÔnamhc Coriolis pou eÐdame gia to bìreio hmisfaÐrio. Etsien¸ h bajmÐda pÐeshc ja èteine na kin sei to reustì aktinik proc ta èxw h dÔnamh Coriolistou deÐnei apìklish proc ta dexi sto bìreio hmisfaÐrio.

Se dÔo diastseic me peristrof gÔrw apì kjeto xona èqoume gia tic dÔo sunist¸secthc taqÔthtac

uy =1ρf

∂P

∂x

ux = − 1ρf

∂P

∂y

pou mac odhgoÔn ston orismì thc sunrthshc ro c

Ψ(x, y) = − Pρf

pou epibebai¸nei ìti oi isobarikèc eÐnai kai roikèc grammèc. Stic parapnw sqèseic den up-ojèsame ìti to reustì eÐnai asumpÐesto ektìc apì thn sqèsh gia thn sunrthsh ro c ìpouupojèsame stajer puknìthta. Autì eÐnai sÔmfwno me ton prohgoÔmeno orismì thc sunrthshcro c.

Ena llo endiafèron fainìmeno pou eÔkola parathreÐtai sto ergast rio eÐnai h st lhTaylor. Gi' autì apaiteÐtai èna peristrefìmeno doqeÐo me ro pou empodÐzetai apì mÐa hmis-fairik proexoq sto dpedo pou eÐnai arket èxw apì to oriakì str¸ma ¸ste na mhn èqoumeshmantik epÐdrash twn ixwdik¸n dunmewn. Upo sunj kec mh peristrof c ja perimèname hro na gÐnei me sumpÐesh twn gramm¸n ro c pnw kai plgia apì to empìdio. En ìmwc h peri-strof eÐnai polÔ gr gorh autì pou parathroÔme eÐnai ìti oi grammèc ro c kmptontai gÔrwapì to empìdio kai ìqi apì pnw (dec Sq.4.16). H dÔnamh Coriolis sto peÐrama autì eÐnai pnwsto epÐpedo en¸ èqoume polÔ mikr exrthsh apo thn z−kateÔjunsh.

25Na upenjum soume ìti panta anaferìmaste sto peristrefìmeno sÔsthma anaforc, en¸ sto adraneiakì

sÔsthma h bajmÐda pÐeshc isoÔtai me thn epitqunsh sto adraneiakì sÔsthma, h opoÐa den eÐnai amelhtèa kaj¸c

perilambnei kai thn epitqunsh Coriolis.


kef4-16.jpg

Sq ma 4.16: Sq. 4.16 Grammèc ro c sthn st lh Taylor. .

4.11.5 Ro bajmÐdac.

Ac jewr soume pli thn ro se dÔo diastseic me peristrof gÔrw apì ton kjeto xona,paÐrnontac ìmwc upìyh kai thn perÐptwsh pou h adrneia den eÐnai amelhtèa. Etsi gia thndiat rhsh orm c se sunist¸sec èqoume

ux∂ux∂x

+ uy∂ux∂y

= −1ρ

∂P

∂x

ux∂uy∂x

+ uy∂uy∂y

= −1ρ

∂P

∂y

Sthn perÐptwsh kulindrik c summetrÐac eÐnai pio qr simo na ekfrastoÔn se kulindrikèc sunte-tagmènec. Eqoume loipìn

ur∂ur∂r

+uφr

∂ur∂φ−u2φ

r− fuφ = −1

ρ

∂P

∂r

ur∂uφ∂r

+uφr

∂uφ∂φ

+ fur = − 1ρr

∂P

∂φ

pou prèpei na lujoÔn mazÔ me thn exÐswsh sunèqeiac gia asumpÐesto reustì,

1r

∂

∂r(rur) +

1r

∂uφ∂φ

= 0

Oi parapnw exis¸seic lÔnontai eÔkola ro me ur = 0, uφ = uφ(r) kai P = P (r), dhl. èqoumemìno efaptomenik ro me exrthsh mìno apì to kèntro. Apì thn aktinik exÐswsh diat rhshcorm c èqoume

uφ = −rf2±

√(rf

2

)2

+r

ρ

∂P

∂r

ìpou gia dedomènh aktinik bajmÐda thc pÐeshc èqoume ro . H bajmÐda pÐeshc mporeÐ na eÐnaijetik h arnhtik . Sthn perÐptwsh arnhtik c bajmÐdac prèpei na ikanopoieÐ∣∣∣∣∂P∂r

∣∣∣∣ ρrf2

4

H for thc uφ mporeÐ na eÐnai sÔmfwnh h antÐjeth me touc deÐktec tou rologioÔ anloga me to

prìshmo thc tetragwnik c rÐzac26. Sto bìreio hmisfaÐrio (f > 0) uφ < 0∣∣∣∂P∂r ∣∣∣ < 0 en¸ èqei to

antÐjeto prìshmo sto nìtio hmisfaÐrio. Sthn perÐptwsh arnhtik c bajmÐdac o prohgoÔmenocperiorismìc sthn apìluth tim tou bazei kai periorismì sto mètro thc efaptomenik c ro c.

26Gia na doÔme an kai oi dÔo taqÔthtec eÐnai dunamik mìnimec prèpei na katafÔgoume sthn anlush sta-

jerìthtac. Sun jwc h mÐa eÐnai astaj c.


AntÐjeta gia jetik bajmÐda mporoÔme na èqoume uyhlèc taqÔthtec ìpwc parousizontai stoucanemostrobÐlouc.

Uprqei kai h eidik perÐptwsh mhdenik c bajmÐdac pÐeshc ∂P∂r = 0 kai èqoume to reÔma

adrneiac me uφ = −fr, dhl. peristrof me stajer gwniak taqÔthta f pou metabletai meto gewgrafikì pltoc kai antÐstoiqh perÐodo

T =2πf

pou metablletai apì perÐpou 12 ¸rec stouc pìlouc se apeiro ston ishmerinì.

perieqìmena - university of creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef4.pdf · 2013-02-21 · 4...

Documents