perhiungan bunga

Universitas Gunadarma

Studi Kelayakan Bisnis

Perhitungan Bunga dan Nilai Uang

Ati Harmoni


2007

Studi Kelayakan BisnisAti Harmoni

2



TUJUAN

Setelah mempelajari Bab ini diharapkan mahasiswa dapat memahami:

• Konsep perhitungan bunga dan nilai uang dengan menggunakan berbagai metode


3


PERHITUNGAN BUNGA

• Bunga merupakan biaya modal• Besar kecilnya jumlah bunga yang merupakan beban

terhadap peminjam (debitor) sangat tergantung pada waktu, jumlah pinjaman, dan tingkat bunga yang berlaku

• Terdapat 3 bentuk sistem perhitungan bunga:1. Simple interest (bunga biasa)2. Compound interest (bunga majemuk)3. Annuity (anuitas).



4


SIMPLE INTEREST (BUNGA BIASA)

Besar kecilnya jumlah bunga yang diterima kreditor tergantung pada besar kecilnya principal (modal), interest rate (tingkat bunga), dan jangka waktu:

B = f (P.i.n), di mana: B= BungaP= Principal (modal)i = interest rate (tingkat

bunga)n = jangka waktu.

Contoh soal 1:Apabila jumlah pinjaman sebesar Rp. 5.000.000,00 dengan

tingkat bunga 18% per tahun. Berapa jumlah bunga selama 3 tahun? 2 bulan? 40 hari?



5


Untuk menghitung besarnya principal, interest rate, dan jangka waktu dapat diselesaikan dengan:

P = B/i.ni = B/p.nn = B/P.i S = P + B atau S = P + (P.i.n)Di mana S = jumlah penerimaan.

Contoh soal 2:Hitunglah nilai-nilai yang tidak diketahui dalam tabel berikut:

No Principal (Modal)

Interest Rate (Tingkat Bunga)

Time (Waktu)

Interest (Bunga)

Amount (Jml Penerimaan)

1 6.000.000 18% 2 tahun ? ?

2 ? 20% ? 250.000 5.250.000

3 7.000.000 ? 50 hari ? 7.145.833



6


COMPOUND INTEREST (BUNGA MAJEMUK)

Bunga majemuk biasanya dilakukan dalam waktu yang relatif panjang dan dalam perhitungan bunga dilakukan lebih dari satu periode.

Bunga majemuk adalah bunga yang terus menjadi modal bila tidak diambil pada waktunya.

Perhitungan bunga majemuk dilakukan secara reguler dengan interval tertentu, setiap bulan, setiap kuartal, setiap 6 bulan, atau setiap tahun.

Contoh soal 3:A meminjamkan uang sebesar Rp. 100.000,00 dengan tingkat bunga 12%

per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan selama 2 tahun. Berapa jumlah pengembalian setelah 2 tahun?

Jawab:Diketahui: P = Rp. 100.000,00, i = 12%/2= 6% , dan n = 2.2 = 4



7


Rumus perhitungan bunga majemuk:

S = P (1+i)n

P = S (1+i)-n atau P =

n =


)1log(

loglog

i

PS

ni

S

)1(

%1001i/1

n

P

S

Di mana: S = Jumlah penerimaan P = Present Value

n = Periode waktu i = tingkat bunga per periode waktu


8


Nilai (1+i)n disebut compounding factor, yaitu suatu bilangan yang digunakan untuk menilai uang pada masa yang akan datang (future value).

Nilai (1+i)-n disebut discount factor, yaitu suatu bilangan untuk menilai nilai uang dalam bentuk present value (nilai sekarang).

Contoh 4: Seorang investor meminjam uang sebesar Rp 5.000.000,00 selama 8

tahun dengan tingkat bunga 18% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan. Berapa jumlah pengembalian setelah 8 tahun?

Catatan: nilai (1+i)n dapat dilihat dalam Lampiran I pada n = 16 dan I = 9%.



9


Contoh 5: Apabila Bank A menerima tingkat bunga deposito sebesar

18% per tahun dan dimajemukkan setiap bulan. Bank B juga menerima tingkat bunga deposito sebesar 18% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan. Berapa tingkat bunga efektif (effective rate) pada masing-masing bank tersebut?

Rumus: F = (1+j/m)m di mana F = effective rate m = frekuensi bunga

majemuk dalam satu tahun



10


ANNUITY (Anuitas)Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran dengan

jumlah yang sama besar pada setiap interval pembayaran.

Besar kecilnya jumlah pembayaran pada setiap interval tergantung pada jumlah pinjaman, jangka waktu, dan tingkat bunga.

Anuitas dapat dibagi atas dua bagian:

1. Anuitas Biasa (Simple Annuity)

2. Anitas Kompleks (Complex Annuity).



11


ANUITAS BIASAAnuitas biasa adalah sebuah anuitas yang mempunyai

interval yang sama antara waktu pembayaran dengan waktu dibungamajemukkan.

Berdasarkan tanggal pembayarannya, anuitas biasa dapat dibagi 3 bagian, yaitu:

1. Ordinary annuity

2. Annuity due

3. Deferred annuity.



12


Ordinary annuityOrdinary annuity adalah sebuah anuitas yang diperhitungkan

pada setiap akhir interval seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir setiap 6 bulan, maupun pada setiap akhir tahun.

An = R R = An

Sn = R R = Sn

Di mana: An = Present value R = Annuity

Sn = Future value i = Tingkat bunga/interval n = jumlah interval pembayaran


i

i n)1(1

i

i n }1)1{(

})1(1{ ni

i

1)1{( ni

i


13



a. Present Value

Present value adalah nilai sekarang dari sebuah anuitas dan identik dengan nilai awal dari penanaman modal.

Contoh 6: Sebuah perusahaan mencicil pinjaman sebesar Rp 50.000,- pada setiap akhir bulan selama 6 bulan dengan suku bunga diperhitungkan sebesar 18% per tahun. Berapakah besarnya present value?

Diketahui: R = Rp. 50.000,-, i= 18%/12 = 0,015, n=6

Rumus : An = R

Catatan: nilai discount factor dari anuitas di atas dapat dilihat pada Lampiran 3 pada n=6 dan i=1,5%.


14


b. Anuitas dari present value

Anuitas dari sebuah present value sama dengan jumlah angsuran pada setiap interval. Jumlah angsuran pada setiap interval dari sejumlah pinjaman tergantung pada besar kecilnya tingkat bunga dan jangka waktu yang digunakan.

Contoh 7: Seorang investor merencanakan membangun proyek perumahan murah untuk dijual secara cicilan kepada nasabah. Biaya pembangunan diperhitungkan Rp. 12.000.000,-. Berapa besar nilai cicilan yang dibebankan kepada nasabah, bila tingkat bunga setahun diperhitungkan sebesar 15% dan dimajemukkan setiap bulan selama 3 tahun?

Diketahui: i = 15%/12 = 0,0125 dan n = 3x12 = 36

Rumus :



15


c. Jumlah penerimaan (Future amount)

Jumlah penerimaan dari serangkaian pembayaran diperhitungkan bunga secara bunga majemuk (compound interest) dari sejumlah uang yang dicicil.

Jumlah pembayaran pada interval pertama, diperhitungkan bunga pada akhir interval kedua, sehingga jumlah penerimaan pada akhir interval kedua adalah sebesar 2 kali setoran ditambah dengan bunga pada setoran pertama.

d. Tingkat BungaBila present value diketahui:

Bila jumlah penerimaan diketahui :

R

An

i

i n

})1(1{


R

Sn

i

i n

1)1{(


16


Contoh 8: Apabila diketahui jumlah present value sebesar Rp 969.482,- dengan anuitas Rp 150.000,- pada setiap akhir kuartal selama 2 tahun. Berapa besarnya tingkat bunga pada setiap kuartal? Berapa pada setiap tahunnya?

Diketahui: An = Rp 969.482,- n = 2x4 = 8 R = Rp 150.000,- Catatan: Nilai discount factor untuk {1-(1+i)-n/i} dapat dilihat pada Lampiran 3 pada n=8 di mana nilainya 6,463212760. Apabila nilai i tidak tersedia dalam lampiran, nilai i dapat dihitung dengan menggunakan sistem interpolasi.

Contoh 9: Seorang pengusaha menyetor uang pada bank sebesar Rp 445.000,- dan diambil kembali secara cicilan setiap akhir 6 bulan sebesar Rp 50.000,- dalam waktu 5 tahun. Berapa besarnya interest rate dan nominal rate?

Diketahui: An = Rp 445.000,- R= Rp 50.000,- n= 2x5 = 10 (tiap 6 bulan)



17


e. Menentukan Jangka WaktuUntuk menentukan jangka waktu dari sebuah anuitas, sama halnya

dengan cara menentukan tingkat bunga.

Contoh 10: Seorang pegawai negeri menerima uang dari bank sebesar Rp 1.653.298,- dari hasil setoran sebesar Rp 50.000,- pada setiap akhir kuartal dengan tingkat bunga 20% setahun. Berapa lama pegawai tersebut telah melakukan setoran untuk mendapatkan sejumlah uang tersebut?

Diketahui: Sn = Rp 1.653.298,- i= 20/4 = 5% dan R= Rp 50.000,- n= ?

Catatan: Gunakan lampiran 5.



18


2. Annuity DueAnnuity due adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada

setiap awal interval. Awal interval pertama merupakan perhitungan bunga yang pertama dan awal interval kedua merupakan perhitungan bunga kedua dan seterusnya.

Pada formula annuity due ditambahkan satu compounding factor (1+i), baik untuk present value maupun future value.

Penambahan satu compounding factor pada annuity due adalah sebagai akibat pembayaran yang dilakukan pada setiap awal interval.

Nilai uang yang dihitung dengan annuity due selalu lebih besar bila dibandingkan dengan ordinary annuity.



19


a. Perhitungan present valueRumus:

An(ad) = R

Atau

An(ad) = R

Atau

An(ad) = R


)1(})1(1{

ii

i n

1)1(1{ )1(

i

i n

Ru

i n

)1()1(1{

Contoh 11: Sebuah perusahaanIngin memperoleh uang secarakontinyu sebesar Rp 1.500.000,-dari bank setiap awal kuartal selama satu tahun. Berapa jumlahdana yang harus disetor pada bankapabila tingkat bunga diperhitungkansebesar 18% per tahun?

Diketahui: R=Rp 1.500.000,- i= 18%/4= 4,5% dan n=4

Catatan: Gunakan Lampiran 3 untukmendapat nilai discount factor annuitypada i=4,5% dan n=4 dan Lampiran 1untuk compounding factor dari bungamajemuk.


20


b. Jumlah Pembayaran (Future amount)

Jumlah pembayaran dalam annuity due dilakukan dengan rumus sebagai berikut:

Sn(ad) =

atau

Sn(ad) =

Atau

Sn(Ad) =


Ri

iR

i

iR

ii

iR

n

n

n

}1)1{(

1}1)1{(

)1(}1)1{(

)1(

1

Contoh 12: Suatu BPD memberikanFasilitas penjualan kendaraan berodaDua secara kredit pada guru-guru SD.Tingkat bunga diperhitungkan sebesar 12% per tahun dan cicilan dilakukanSetiap awal bulan sebesar Rp 70.000,-Selama 3 tahun. Berapakah besarnyaJumlah pembayaran?

Diketahui: R = Rp 70.000,- I = 12%/12 = 1% dan n = 12x3 = 36


21


c. Hubungan antara Present Value dengan Future amount

Hubungan antara present value dengan future value sebuah annuity due sama dengan hubungan yang terdapat pada perhitungan bunga majemuk.

Present value merupakan modal dasar dan future value merupakan penjabaran dari bunga majemuk.

An (ad) = Sn (ad) (1+i)-n

Sn (ad) = An (ad) (1+i)n

Apabila diketahui nilai present value dari annuity due, jumlah penerimaan pada akhir interval dapat diketahui tanpa menghitung besarnya anuitas pada setiap interval. Hubungan ini tidak dapat diterapkan pada ordinary annuity maupun bentuk annuity lainnya, misalnya deferred annuity.



22


d. Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bunga

Penentuan anuitas dalam sebuah annuity due dapat dilakukan apabila nilai present value atau future value (jumlah penerimaan) dari transaksi, tingkat bunga dan lamanya pinjaman diketahui.

Anuitas adalah cicilan yang harus dikembalikan oleh debitur, setiap bulan, kuartal, maupun setiap tahun tergantung perjanjian.

1)1(})1(1{

ii

iAnR

n


1)1(1)1{(

ii

iSnR

n


23


c. Hubungan antara Present Value dengan Future amountHubungan antara present value dengan future value sebuah annuity due

sama dengan hubungan yang terdapat pada perhitungan bunga majemuk.

Present value merupakan modal dasar dan future value merupakan penjabaran dari bunga majemuk.

An (ad) = Sn (ad) (1+i)-n

Sn (ad) = An (ad) (1+i)n

Apabila diketahui nilai present value dari annuity due, jumlah penerimaan pada akhir interval dapat diketahui tanpa menghitung besarnya anuitas pada setiap interval. Hubungan ini tidak dapat diterapkan pada ordinary annuity maupun bentuk annuity lainnya, misalnya deferred annuity.



24


d. Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bungaPenentuan anuitas dalam sebuah annuity due dapat diketahui apabila

nilai present value atau future value (jumlah penerimaan) dari transaksi diketahui, di samping tingkat bunga dan lamanya pinjaman.



25


Contoh 13. Seorang pimpinan perusahaan telah melakukan penyetoran pinjaman secara cicilan pada bank sebesar Rp 500.000,- pada setiap awal bulan. Tingkat bunga pinjaman diperhitungkan sebesar 18% per tahun. Berapa bulan harus diadakan penyetoran untuk menutupi pinjaman sebesar Rp 10.000.000,-?

Diketahui: R = 500.000,- i= 18%/12 = 1,5% An = 10.000.000,-

Ditanya: n = ?

Jawab:


Ri

iRadAn

n

})1(1{)(

)1(


26



19500000

50000010000000

015,0

})015,01(1{

500000015,0

})015,01(1{500000100000000

)1(

)1(

n

n

Pada lampiran 3 pada i=1,5%, nilai 19 tidak tersedia. Nilai yang mendekati19 pada i=1,5% adalah pada n=22 dengan nilai 18,62082437 dan pada n=23dengan nilai 19,33086145. Dengan demikian untuk mengembalikan kredit Sebesar Rp 10 juta membutuhkan waktu 22 bulan lebih:

22 bulan < n < 23 bulan

Gunakan metode interpolasi untuk mengetahui waktu pengembalin secara pasti.


27


3. Deferred Annuity Deferred annuity adalah suatu seri (anuitas) yang pembayarannya

dilakukan pada akhir setiap interval. Perbedaan dengan ordinary annuity adalah dalam hal penanaman modal di mana pada deferred annuity ada masa tengang waktu (grace period) yang tidak diperhitungkan bunga.

Contoh 14: Seorang petani yang membuka usaha dalam bidang peternakan meminjam uang ke Bank dengan tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan setiap kuartal. Pinjaman tersebut harus dikembalikan secara cicilan mulai pada akhir kuartal ketiga sebesar Rp 400.000,- selama 5 kali angsuran. Berapa besar jumlah pinjaman?


i

iRdaSn

ii

iRdaAn

n

tn

1)1{()(

)1(})1(1{

)(

t = tenggang waktu yang tidak dihitung bunga


28


Anuitas Kompleks (Complex Annuity) Anuitas kompleks adalah sebuah rentetan pembayaran dari suatu

pinjaman dengan jumlah yang sama pada setiap interval. Berbeda dengan anuitas biasa, pada anuitas kompleks interval pembayaran dan interval bunga majemuk mempunyai interval yang berbeda.

Apabila interval pembayaran dilakukan pada setiap bulan, mungkin dibungamajemukkan pada setiap kuartal atau sebaliknya apabila interval pembayaran dilakukan pada setiap kuartal, perhitungan bunga majemuk dilakukan pada setiap bulan.

Jika dilihat dari tanggal pembayaran, anuitas kompleks dibagi 3:1. Complex ordinary annuity 2. Complex due annuity3. Complex deferred annuity.



29


1. Complex Ordinary Annuity Pembayaran anuitas dalam complex ordinary annuity dilakukan

pada akhir setiap interval. Besar kecilnya anuitas tergantung pada besar kecilnya pinjaman, tingkat bunga, jangka waktu, dan frekuensi bunga majemuk dalam satu tahun.

a. Present Value

Rumus:

c = perbandingan antara frekuensi bunga majemuk dalam satu tahun dengan frekuensi pembayaran dalam satu tahun.


}1)11{(

})1(1{)(

c

nc i

i

iROaAnc


30


Contoh 15: Seorang petani merencanakan meminjam uang ke bank untuk perluasan usaha sektor perikanan. Berdasarkan pada perkiraan dan perhitungan benefit, ia mampu mengembalikan pinjaman sebesar Rp 76.015 pada setiap akhir kuartal selama 2 tahun dengan tingkat bunga pinjaman sebesar 18% per tahun dan dimajemukkan pada setiap bulan. Berapa besar jumlah kredit yang bisa ia pinjam?

Diketahui: R=Rp 76.015 n = 2x4 = 8 (per kuartal)

c = 12/4 = 3 nc = 3x8 = 24 i = 18%/12 = 1,5%

Ditanya: Anc(Oa) = ?

Jawab :


000.500.)(

)32838278,0)(03040533,20(015.76)(

}1)015,01{(

015,0

015,0

})015,01(1{015.76)(

}1)1{(

})1(1{)(

3

24

RpoaAnc

oaAnc

oaAnc

i

i

i

iRoaAnc

c

nc


31


b. Jumlah Penerimaan

Rumus:

Untuk mengubah nilai Anc dan Snc dalam complex ordinary annuity digunakan rumus berikut:

c. Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bunga

Penentuan anuitas dalam complex ordinary annuity sama halnya dengan perhitungan simple ordinary annuity.

1)1{(

1)1()(

c

nc

i

i

i

iRoaSnc


r

rRAn

r

iRSn

n

n

})1(1{

}1)1{( r = tingkat bunga pada setiap pembayaran dalam simple ordinary annuityi = tingkat bunga dalam complex ordinary annuity


32


2. Complex Annuity Due

Complex annuity due adalah pembayaran yang dilakukan pada setiap awal interval. Berbeda dengan simple annuity due, pada complex annuity due frekuensi bunga majemuk tidak sama dengan frekuensi pembayaran dalam satu tahun.

Sebagai kompensasi dalam perhitungan harus dikalikan dengan discount

factor [i/{1-(1+i)c}]

Untuk menghitung tingkat bunga, jangka waktu, dan anuitas sama dengan cara menghitung pada complex ordinary annuity.


cc

n

cc

n

ii

i

i

rRadSnc

ii

i

i

iRadAnc

)1(1)1(

}1)1{()(

)1(1)1(

})1(1{)(


33


3. Complex Deferred Annuity

Pembayaran dilakukan pada setiap akhir interval. Perbedaan dengan complex annuity yang lain adalah pada tenggang waktu yang tidak diperhitungkan bunga.

Contoh 16: Seorang mahasiswa meminjam uang pada bank sebesar Rp 800.000,- untuk membayar biaya kuliah. Ia akan mengembalikan pinjaman secara cicilan selama 5 tahun dan pengembalian pinjaman dilakukan setelah 3 tahun meminjam. Bunga diperhitungkan 12% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan. Berapa besarnya pembayaran yang harus dilakukan setiap akhir tahun?Diketahui: Anc= Rp 800.000,- n=5

c= 2 (dibungamajemukkan 2 kali setahun dan pembayaran setiap tahun t= 2 i= 12%/2= 6%

Ditanya: R?



34


Jawab: Rumus Anc dan Snc adalah sebagai berikut:

Rumus untuk menghitung jumlah pembayaran setiap tahun:

1)1(

1)1()(

)1(1)1(

})1(1{)(

c

nc

ctc

nc

i

i

i

rRdaSnc

ii

i

i

iRdaAnc


,682.282.

)262477,1)(06,2)(13586795,0(000.800

)06,01(06,0

}1)06,01{(

)06,01(1{

06,0000.800

)1(1)1{(

)1(1{)(

2.22

10

RpR

R

R

ii

i

i

idaAncR ct

c

nc

perhiungan bunga

Documents