performances des files d'attente

8/7/2019 Performances Des Files d'Attente

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Modlisation et valuationde Performances de Rseaux

Chapitre 3 : Performances des files d'attente

(maj : mars 03)

Fabrice [email protected]://citi.insa-lyon.fr/~ fvalois


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Paramtres de performances

'

Analyse oprationnelle' En rgime transitoire

Dbit moyen d'entre Dbit moyen de sortie Nombre moyen de clients Temps de sjour Taux d'utilisation (file d'attente)

' En rgime permanent' Condition de stabilit' Notion d'ergodicit' Loi de Little' quivalence des instants d'observation d'un systme


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Paramtres de l'analyse oprationnelle

' Ak : instant d'arrive du k ime client' Dk : instant de dpart du k ime client' R k : temps de sjour du k ime client

dans le systme :R k =Dk -Ak

' T: temps total d'observation

n= 0

T n ,T =T

'

T(n,T): temps total pendant lequel lesystme contient n clients

' P(n,T): proportion de temps pendantlequel le systme contient n clients

' A(T): nombre de clients arrivant dans lesystme pendant [0,T]

' D(T): nombre de clients quittant le

systme pendant [0,T]

P n ,T =T n ,T T

N(t)

T0

1

2

3

4

tA1

A2

D2

D1

R 1

R2


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Paramtres de performances (part. 1)

' Dbit moyen d'entre Xe Nombre moyen de clients arrivs dans le systme par unit de temps

' Dbit moyen de sortie Xs Nombre moyen de clients ayant quitt le systme par

unit de temps

X e

T = A T T

X s T = D T

T


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Paramtres de performances (part. 2)

' Nombre moyen de clients QMoyenne temporelle de N(t)

' Temps moyen de sjour R Moyenne (arithmtique) des temps de sjour des clientsarrivs dans le systme pendant la dure del'observation

Q T =1

T n=

0

nT n ,T =n=

0

n P n ,T

R T =1

A T k = 1 A T

Rk


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Paramtres de performancespour une file simple

' Xe, Xs, Q, R et....' Taux d'utilisation du serveur U

Proportion du temps pendant laquelle le serveur est occup

R

QXe Xs

Arrives Dparts

U T =n= 1

P n ,T =1 P 0, T


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Paramtres de performancespour un rseau de FA

' On peut considrer plusieursniveaux :' Les paramtres de performances du rseau tout entier ' Les paramtres de performances pour chacune des stations' Dans le cas multiclasse :

' On peut s'intresser aux paramtres de performances pour chaque classe' ... ou toutes classes confondues


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Paramtres de performances enrgime permanent

' On s'intresse l'existence et aux valeurs (ventuelles)des limites lorsque T :

X e= limT

X e T

X s= limT

X s T

Q= limT

Q T

R= limT

R T

U = limT

U T


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Stabilit ?

' Notion dfinie uniquement en rgime permanent' Restrictions : pas de mcanismes de type

' Join'

Fork

' Dfinition :Un systme est stable ssi le dbit moyenasymptotique de sortie des clients du systme est gal audbit moyen d'entre des clients dans le systme

limT

X s T =limT

X e T limT

A T D T


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Stabilit d'une file d'attente

' Une file d'attente sera considre comme stable ds que:taux d'arrives < taux de service

' i.e. il ne faut pas qu'il arrive, en moyenne, plus de clientdans la file que ce qu 'elle est capable de traiter


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Stabilit d'un rseau de FA ouvert

' Proprit : Un rseau de files d'attente monoclassecomportant M stations (chaque station i ayant un tauxservice i, Ci serveurs et tant soumise un taux

d'arrives i d'arrive des clients) est stable ssi:i < Ci. i pour tout i=1, ..., M


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Notion d'ergodicit

'

Paramtres oprationnels ?' Issus de l'tude du rgime stationnaire' Mais cela revient considrer une volution particulire du systme' Question : toutes les ralisations ont-elles le mme comportement

asymptotique ?' volution stochastique du systme ? relation entre paramtres de performances stochastiques et

oprationnels ?


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Une ide de l'ergodicit

' Systmeergodique: toutes les ralisations particuliresde l'volution d'un systme sont asymptotiquement etstatistiquement identiques

'

Ergodicit galit entre moyennes temporelles etmoyennes statistiques' Pour un systme ergodique, les paramtres de

performanceoprationnelssont gaux aux paramtresde performancesstochastiques (en rgime permanent)

' On peut montrer, qu'un systme ergodique tend vers un processus stochastique stationnaire


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Loi de Little' Ne concerne que le rgime permanent

' Aucune hypothse sur la bote noire ' Aucune hypothse sur les variables alatoires qui

caractrisent le systme

R

QXe X s

Arrives Dparts


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Loi de Little : nnonc

' Proprit : Le nombre moyen de clients Q, le tempsmoyen de rponse R et le dbit moyen X d'un systme

stable en rgime permanent se relient de la faon

suivante :Q=R.X

' Pseudo-preuve (intuitive mais....)' Un client arrivant trouve en moyenne Q clients devant lui' Ce client partant laisse derrire lui R.X clients' Donc dans l'tat stationnaire : Q=R.X


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Importance de la loi de Little

' Permet de dduire l'une des trois quantits (Q, R, X) enfonction de la connaissance des deux autres

' Peut s'appliquer :'

Sur une file d'attente (buffer+serveur)' Sur la file d'attente (le buffer seulement)' Sur le serveur de la file' ...


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Little sur file d'attente + serveur

'

Littlerelation entre nombre moyen dans la file (enattente ou en service) et le temps moyen total de sjour d'un client dans la file (temps d'attente+temps deservice) :

Q=R.X=R.

R

Q

X


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Little sur file d'attente

'

Ici bote noire = buffer ' Little relation entre le nombre moyen de clients en

attente Qw et le temps moyen d'attente d'un client avantservice W :

Qw=W.X=W

W

Qw

X


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Little sur serveur de la file

' Maintenant bote noire = serveur ' Little relation entre le nombre moyen de clients en

service Qs et le temps moyen de sjour S d'un client dans

le serveur :Qs=S.X=S.

S

Q s

X


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Observations d'un systme

' On peut observer un systme :' un instant quelconque' un instant d'arrive d'un client' un instant de dpart d'un client


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Equivalence des instants d'observations

' Proprit 1 : Dans un systme tel que l'on observe jamais l'arrive simultane ou le dpart simultan de plusieurs clients alors les instants d'arrive sont

quivalents aux instants de dpart ' Proprit 2 : Dans un systme soumis des arrives

poissoniennes alors les instants d'arrive sont quivalents aux instants quelconques

'

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