perbandingan metode dekomposisi klasik dan metode … · peramalan kualitatif menggunakan pendapat...
TRANSCRIPT
i
PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN
METODE ARIMA UNTUK PENDUGAAN PARAMETER
DATA RUNTUN WAKTU
(Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api)
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Noni Riani
NIM: 123114020
PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
THE COMPARISON OF CLASSICAL DECOMPOSITION
METHOD AND ARIMA METHOD TO ESTIMATE THE
PARAMETER OF TIME SERIES DATA
(Case Study: The Number of Train Passengers)
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics
By:
Noni Riani
Student Number: 123114020
MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2016
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
/iE-t.-t';ttEE'E-F -\--=Li7f rir*; P;m; \t3{ dnpq$ \L
It : G: _ .'ttddEF6tbt- l6lnr-i-ts. tt
: :r:.:::: i.:,- :r: .'r -., -:
.r-.:-:r:, :irir::a ,:. : ::i:.:' ,
qt yL. I -v tE -- ,\L\ J** ^ft fg
E\- '\t :f ffiEr2tr {AS= t,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PERBANDINGAI\ METODE DEKOMPOSISI KLASIK I}AI[
METODE ARIMA T]NTI]K PENDUGAAFI PARAMETER
DAT"A.RIJNTUN WAI(TU
(Studi Kasus: Juurtah Penunpang Kereta Api)
Dipersiapkan dan ditulis sleh:
Noni Riani
Ketua
Sekretaris
Anggofia
I Agustus 2016
Fakrltas Sains dur Teknologl
Universitas Sanata Dharma
Deka1
*h/-*S.Si-, M-IvIath.Sc., Ph.D.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
*-
li
I,
FDRNYATnAS{ xn*#XrIA$f IrAilPfA
Sry *bny#nur dengsn wewryfu/a bfua dxripsi yeg saya firfis ini
tid* mwet ka4n d&u bryian or&g lafu, keueli yaqg telah ftebutkan dalam
kutiru **datu @e str*ffiffi s*ry&'hrj& turi*-
Yogy*xtq 22 Jwri2CIl6
Fwulis
MI"$oni Riani
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk:
Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga
skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.
Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan
memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian,
kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini
dapat selesai.
Bapak Aris yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam
penulisan skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Metode peramalan yang baik adalah metode yang mempunyai galat terkecil
dalam peramalan. Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah metode
Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA. Metode ARIMA mendasarkan
ramalannya pada proses Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA).
Konsep-konsep yang digunakan dalam membangun model adalah Autocorrelation
Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF).
Data yang digunakan untuk membandingkan metode Dekomposisi Klasik
dan metode ARIMA adalah data jumlah penumpang kereta api tahun 2006-2015.
Data mempunyai komponen musiman dan tren. Tujuan penelitian ini adalah
membandingkan metode Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA untuk
mendapatkan metode yang terbaik dalam peramalan dengan menggunakan Mean
Square Error (MSE) sebagai kriteria evaluasi.
Kata kunci: Metode dekompisisi, metode ARIMA, Autoregressive (AR), Moving
Average (MA), Autocorrelation Function (ACF), Partial Autocorrelation
Function (PACF), musiman, tren.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
A good forecasting method is a method which has the minimum error in
forecasting. This thesis discusses about Classical Decomposition method and
ARIMA method. ARIMA forecasting method is based on the Autoregressive
(AR) and Moving Average (MA) processes. Concepts which are used to build the
model is Autocorrelation Function (ACF) and Partial Autocorrelation Function
(PACF).
The data which are used to compare Classical Decomposition method and
ARIMA method are the number of train passengers in 2006-2015. The data have
seasonal and trend components. The purpose of this thesis is to compare the
Classical Decomposition method and ARIMA method for getting the best method
on forecasting by using Mean Square Error (MSE) as evaluating criteria.
Keyword: Decomposition method, ARIMA method, Autoregressive (AR), Moving
Average (MA), Autocorrelation Function (ACF), Partial Autocorrelation
Function (PACF), seasonal, trend.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah
memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga.
Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima
kasih kepada:
1. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang
telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah
diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini.
2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika
sekaligus Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.
Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak
pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
5. Kedua orang tua ku tercinta, kakak ku Lusiana, Ganda, Nawa dan Dewita
yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat sehingga
terselesaikannya skripsi ini.
6. Teman-teman Matematika 2012: Lia, Ajeng, Putri, Sila, Anggun, Manda,
Happy, Arum, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby, Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi,
dan Risma yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, dan
memberikan kecerian serta dukungan selama kuliah.
7. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta
menyempurnakan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat
memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.
Yogyakarta, 22 Juni 2016
Penulis,
Noni Riani
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PER}TYATAAF{ PERf}ETUJUAIT
Pt}BLIKASI KARYA ILMIAH UNTI]K KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Noni Rianr
NornorMatrasiswa : 123114S20
Demi pengembangan ilmu pengetahuan? saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PERBAIYDINGAFT MET(}I}E I}EKOMFOSI$I KLASIK DAI\{ METODE
ARIMA T]NTUK PEF{DUGAAI\I PARAMETER DATA RUNTT}N }YAKTU
(Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api)
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kgpada Perpustakam Universitas Smata Dhmma hak unhrk menyimpr,
rnengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalarn bermk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau
media lain untuk kepontingan akademis tanpa perlu nneminta izin dari saya
mauprm rnemberikan royalti kepada saya selama tetap rnenc€rtumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 22 lwri 2A16
Yang menyatakan
XI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA ......................................................................... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ................................ xi
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1
A. Latar Belakang Masalah ........................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 6
C. Batasan Masalah ....................................................................................... 7
D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 7
E. Metode Penulisan...................................................................................... 8
F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 8
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................ 11
A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik .............................................. 11
B. Stasioneritas ............................................................................................ 13
C. Pembedaan (Differencing) ...................................................................... 15
D. Variabel Acak yang Saling Bebas ......................................................... 17
E. P-value (Nilai Signifikan)....................................................................... 22
F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF) ........................... 23
G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF) . 29
H. Proses White Noise ................................................................................. 34
I. Uji Normalitas Galat ............................................................................... 34
J. Moving Average (rata-rata bergerak) ...................................................... 37
K. Metode Dekomposisi Aditif ................................................................... 40
L. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ............. 45
M. Pengujian White Noise ............................................................................ 49
N. Evaluasi Model ....................................................................................... 51
BAB III METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA ............ 53
A. Pendahuluan ............................................................................................ 53
B. Metode Dekomposisi Klasik................................................................... 54
C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ............. 55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
D. Contoh 3.4 Runtun Waktu ...................................................................... 70
BAB IV PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN
METODE ARIMA ................................................................................................. 81
A. Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi Klasik .............. 81
B. Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA .................................. 86
C. Evaluasi Model ....................................................................................... 98
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 100
A. Kesimpulan ........................................................................................... 100
B. Saran ..................................................................................................... 100
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 102
LAMPIRAN ......................................................................................................... 104
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Ramalan adalah dugaan mengenai kejadian atau peristiwa yang akan datang
sedangkan peramalan adalah tindakan dalam membuat dugaan (Bowerman,1993).
Peramalan adalah suatu teknik untuk memperkirakan suatu nilai pada masa yang
akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini (Aswi
dan Sukarna, 2006). Untuk melakukan peramalan tersebut diperlukan data yang
akurat pada masa lampau sehingga dapat melihat kondisi yang akan datang.
Peramalan adalah salah satu unsur yang sangat penting dalam pengambilan
keputusan, sebab efektif atau tidaknya suatu keputusan umumnya tergantung pada
faktor yang tidak terlihat pada waktu keputusan tersebut diambil (Soejoeti,1987).
Berbagai bidang pengetahuan baik itu ekonomi, manajemen, keuangan, dan
berbagai bidang riset selalu membutuhkan peramalan. Peramalan sangat
diperlukan untuk mengetahui nilai dari suatu peristiwa berdasarkan waktu yang
akan terjadi, sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam peramalan, yang
menurut jenisnya dibagi menjadi dua yaitu:
1. Metode peramalan kuantitatif (bersifat obyektif)
Metode peramalan kuantitatif adalah metode peramalan yang melibatkan
analisis data waktu lampau untuk memperkirakan nilai yang akan datang dari
sebuah variabel. Metode peramalan kuantitatif dapat dikelompokkan dua jenis:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
a. Metode univariat runtun waktu (time series) yaitu metode yang dapat
digunakan untuk menganalisis serangkaian data yang merupakan fungsi dari
waktu. Model univariat menganalisis pola data yang diasumsikan kontinu di
waktu yang akan datang. Pola tersebut diekstrapolasi untuk menghasilkan suatu
model peramalan. Metode ini dipengaruhi oleh 4 komponen, yaitu:
1) Kecenderungan/Trend (T) merupakan pergerakan data untuk naik atau turun
pada suatu runtun waktu dalam periode yang cukup panjang.
2) Siklus/Cycle (C) merupakan pergerakan tren yang meningkat ataupun
menurun dalam jangka yang relatif lama atau untuk waktu yang lebih dari
satu tahun.
3) Pola Musiman/ Seasonal (S) merupakan fluktuasi dari data yang terjadi
secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, misalnya fluktuasi per
triwulanan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian.
4) Variasi Acak/Random (I) dapat terjadi karena adanya faktor-faktor, seperti
bencana alam, bangkrutnya perusahaan pesaing, promosi khusus, dan
kejadian-kejadian lainnya yang tidak mempunyai pola tertentu.
Metode-metode yang termasuk kelompok model univariat adalah Simple
Moving Average, Exponential Smoothing, Double Moving Average, Holt’s Two
Parameter Trend Model, Weight Moving Average, dan lain-lain.
b. Metode kausal yaitu metode yang mengasumsikan variabel yang diramalkan
menunjukkan adanya hubungan sebab akibat dengan satu atau beberapa
variabel bebas yang mempengaruhi. Metode peramalan yang termasuk metode
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
kausal di antaranya metode ekonometri, regresi berganda dari suatu runtun
waktu, dan lain-lain.
2. Metode peramalan kualitatif (bersifat subyektif)
Peramalan kualitatif menggunakan pendapat dari para ahli untuk mem-
perkirakan kejadian yang akan datang. Hasil peramalan kualitatif yang diperoleh
bergantung pada orang yang menyusunnya atau berdasarkan pendapat para ahli.
Beberapa metode yang termasuk dalam metode peramalan kualitatif:
metode Delphi, analogi historis (historical analogy), dan lain-lain.
a. Metode Delphi adalah suatu metode yang proses pengambilan keputusan me-
libatkan beberapa pakar. Adapun para pakar tersebut tidak dipertemukan secara
langsung (tatap muka), dan identitas dari masing-masing pakar disembunyikan
sehingga setiap pakar tidak mengetahui identitas pakar yang lain. Hal ini ber-
tujuan untuk menghindari adanya dominasi pakar lain dan dapat meminimal-
kan pendapat yang bias. Metode Delphi pertama kali digunakan oleh Air
Force-funded RAND pada tahun 1950.
b. Analogi historis (historical analogy), merupakan teknik peramalan berdasarkan
pola data masa lalu dari produk-produk yang dapat disamakan secara analogi,
misalnya peramalan untuk pengembangan pasar televisi multisistem meng-
gunakan model permintaan televisi hitam putih atau berwarna biasa. Analogi
historis cenderung akan menjadi terbaik untuk penggantian produk di pasar dan
apabila terdapat hubungan substitusi langsung dari produk dalam pasar itu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Pada dasarnya metode kualitatif ditujukan untuk peramalan terhadap produk
baru, pasar baru, proses baru, perubahan sosial masyarakat, perubahan teknologi,
atau penyesuaian terhadap ramalan-ramalan berdasarkan metode kuantitatif.
Metode yang akan digunakan pada skripsi ini adalah metode peramalan
kuantitatif yaitu univariat runtun waktu (time series). Data runtun waktu yakni
jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu
tertentu. Model yang menggunakan data runtun waktu ada 2 yaitu model stasioner
dan model non-stasioner.
Model stasioner yaitu model yang sedemikian hingga semua sifat
statistiknya tidak berubah dengan pergeseran waktu. Dalam aplikasi, sifat
statistika yang sering menjadi perhatian adalah rata-rata, variansi, serta ukuran
keeratan yakni fungsi kovariansi. Pada model stasioner, sifat-sifat statistiknya di
masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis yang telah
terjadi di masa lalu. Beberapa model runtun waktu stasioner yakni Autoregressive
(AR), Moving Average (MA), Autoregressive Moving Average (ARMA). Jika
deret waktu tidak stasioner, maka data harus dibuat stasioner melalui proses
pembedaan (differencing). Model AR, MA, dan ARMA dengan data yang
stasioner melalui proses pembedaan ini disebut dengan model Autoregressive
Integrated Moving Average (ARIMA). Model non-stasioner adalah model yang
tidak memenuhi sifat model stasioner.
Model ARIMA atau dikenal juga dengan model Box-Jenkins dapat ditulis
dalam bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
p, d, dan q berturut-turut adalah orde untuk Autoregressive (AR), integrated (I),
dan Moving Average (MA).
Selain peramalan dengan metode ARIMA, ada juga yang menggunakan
peramalan dengan metode dekomposisi. Metode dekomposisi lebih praktis
dibandingkan metode ARIMA dan lebih umum digunakan karena penerapannya
yang mudah dipahami.
Dekomposisi adalah suatu pendekatan analisis data runtun waktu untuk
mengidentifikasi faktor-faktor komponen yang mempengaruhi masing-masing
nilai dari data. Setiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi dari
masing-masing komponen kemudian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan
ramalan nilai masa depan dari data runtun waktu (Hanke dan Wichern, 2009).
Beberapa dekomposisi yang telah dikembangkan dan digunakan:
1. Dekomposisi Aditif
Dekomposisi Aditif mendekomposisi data runtun waktu pada komponen-
komponen tren, musiman, siklus dan galat (error). Metode ini mengidentifikasi
ramalan masa depan dan menjumlahkan proyeksi hasil peramalan. Model
diasumsikan bersifat aditif (semua komponen ditambahkan untuk mendapatkan
hasil peramalan).
Persamaan model ini adalah:
adalah data runtun waktu, Tt adalah komponen tren (trend), Ct adalah
komponen siklus (cycle), St adalah komponen musiman (seasonal), dan adalah
komponen tak beraturan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
2. Dekomposisi Multiplikatif
Dekomposisi multiplikatif mendekomposisi data runtun waktu pada
komponen-komponen tren, musiman, siklus dan galat kemudian memprediksi
nilai masa depan. Model diasumsikan bersifat multiplikatif (semua komponen
dikalikan satu sama lain untuk mendapatkan model peramalan).
Persamaan model ini adalah:
adalah data runtun waktu, Tt adalah komponen tren (trend), Ct adalah
komponen siklus (cycle), St adalah komponen musiman (seasonal), dan adalah
komponen tak beraturan.
Komponen musiman dan komponen tren merupakan komponen yang
biasanya terdapat pada data. Dengan adanya komponen musiman dapat juga
dilihat komponen siklusnya. Komponen tak beraturan hanya untuk melihat galat
yang ada pada data. Sehingga dalam perumusan masalah penulis hanya membahas
mengenai komponen musiman dan komponen tren.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah tugas akhir
adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana landasan matematis metode ARIMA dan metode dekomposisi
klasik yang memuat tren dan musiman?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
2. Bagaimana perbandingan metode ARIMA dan metode dekomposisi klasik
yang memuat tren dan musiman?
C. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini penulis membatasi permasalahan, yaitu
1. Membahas peramalan kuantitatif khususnya dekomposisi secara aditif yang
hanya memuat data tren dan musiman.
2. Pendugaan parameter AR dan MA dengan menggunakan program R.
3. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok
perkara skripsi.
4. Skripsi ini hanya mencari metode yang terbaik tanpa meramalkan data untuk
waktu kedepannya.
5. Data yang digunakan adalah data jumlah penumpang kereta api Jawa dan
Sumatera dari tahun 2006-2015.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah:
1. Mengetahui landasan matematis peramalan metode ARIMA dan metode
dekomposisi klasik yang memuat tren dan musiman.
2. Mengetahui perbandingan peramalan metode ARIMA dan metode dekomposisi
klasik yang memuat tren dan musiman.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai
ARIMA dan dekomposisi klasik. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan
dicantumkan dalam daftar pustaka.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari skripsi ini adalah:
1. Bagi penulis: lebih memahami mengenai metode peramalan seperti metode
dekomposisi klasik dan metode ARIMA.
2. Bagi pembaca: memberi pengetahuan baru mengenai metode peramalan yang
dapat digunakan serta memberikan informasi bagi pihak yang membutuhkan.
G. Sistematika Penulisan
BAB I: PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Bab II : LANDASAN TEORI
A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik
B. Stasioneritas
C. Pembedaan (Differencing)
D. Variabel Acak yang Saling Bebas
E. P-value (Nilai Signifikan)
F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF)
G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF)
H. Proses White Noise
I. Uji Normalitas Galat
J. Moving Average (rata-rata bergerak)
K. Metode Dekomposisi Aditif
L. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
M. Pengujian White Noise
N. Evaluasi Model
BAB III: METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA
A. Pendahuluan
B. Metode Dekomposisi Klasik
C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
D. Contoh 3.4 Runtun Waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB IV: PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN
METODE ARIMA
Bab ini menjelaskan tentang perbandingan metode dekomposisi klasik dan
metode ARIMA untuk pendugaan data runtun waktu.
BAB V : PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik
Definisi 2.1 Runtun waktu (time series)
Runtun waktu adalah himpunan pengamatan pada waktu . Runtun waktu
diskrit adalah himpunan pengamatan dengan . Runtun waktu kontinu adalah
himpunan pengamatan dengan atau t pada interval tertentu.
Contoh 2.1 Permainan bisbol tahun 1933-1995
Gambar 2.1 menunjukkan hasil permainan bisbol dengan memplot , dengan
{
ini adalah pertunjukan dengan hanya dua nilai kemungkinan yaitu . Ada
beberapa nilai yang tidak ada yaitu pada tahun 1945 dan tahun 1959-1962 karena
pertandingan tidak dimainkan.
Gambar 2.1 Permainan bisbol tahun 1933-1995
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Pada skripsi ini akan dibahas mengenai data runtun waktu diskrit. Data
runtun waktu diamati sebagai n variabel acak di sebarang waktu bilangan bulat
, untuk setiap n bilangan bulat positif, disediakan oleh fungsi distribusi
bersama, dievaluasi sebagai probabilitas bahwa nilai-nilai dari data yang bersama-
sama kurang dari n konstanta, yaitu
(2.1)
Pengamatan variabel yang tersedia dari waktu ke waktu disebut data
runtun waktu (Hanke & Winchern, 2009). Tujuan utama dari analisis runtun
waktu adalah untuk mengembangkan model matematika yang menyediakan
deskripsi yang masuk akal untuk data sampel. Agar dapat memberikan analisis
statistik untuk menggambarkan karakter data yang berfluktuasi secara acak dari
waktu ke waktu, diasumsikan runtun waktu dapat didefinisikan sebagai kumpulan
dari variabel acak diindeks berdasarkan urutan yang diperoleh dalam waktu.
Sebagai contoh, perhatikan data runtun waktu sebagai urutan variabel acak,
dengan variabel acak menunjukkan nilai yang diambil oleh deret
pada saat pertama, variabel menunjukkan nilai untuk periode waktu yang
kedua, variabel menunjukkan nilai untuk periode ketiga, dan seterusnya
(Shumway dan Stoffer, 2011:11).
Salah satu langkah yang penting dalam peramalan adalah
mempertimbangkan pola data sehingga metode peramalan yang sesuai dengan
data tersebut dapat bermanfaat. Secara umum terdapat empat macam pola data
runtun waktu, yaitu horisontal, tren, musiman, dan siklus (Hanke dan Wichren,
2009). Pola horisontal merupakan kejadian yang tidak terduga dan bersifat acak,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
tetapi kemunculannya dapat mempengaruhi fluktuasi data runtun waktu. Pola
horisontal terjadi ketika nilai berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan
artinya data tidak mengalami kenaikan atau penurunan secara signifikan. Pola tren
adalah kecenderungan data untuk naik atau turun pada suatu runtun waktu dalam
periode yang cukup panjang. Pola musiman merupakan fluktuasi dari data yang
terjadi secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, misalnya fluktuasi per
triwulanan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. Sedangkan pola siklus
merupakan fluktuasi dari data untuk waktu yang lebih dari satu tahun. Model
runtun waktu adalah model yang dapat digunakan untuk menganalisis serangkaian
data yang merupakan fungsi dari waktu.
B. Stasioneritas
Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada
data. Data secara kasarnya harus horisontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata
lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak
tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi yang konstan setiap waktu
(Makridakis, Wheelwright, McGee, 1999). Stasioneritas data dapat dilihat dari
plot data runtun waktu. Data runtun waktu dikatakan stasioner jika tidak ada unsur
tren dan musiman pada data, serta rata-rata dan variansinya konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Gambar 2.2 Plot data stasioner dalam rata-rata dan variansi
Gambar 2.3 Plot data stasioner dalam variansi dan tidak stasioner dalam
rata-rata
Gambar 2.4 Plot data stasioner dalam rata-rata dan tidak stasioner dalam
variansi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Gambar 2.5 Plot data tidak stasioner dalam rata-rata dan variansi
Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata, maka untuk menghilangkan
ketidakstasioneran dapat dilakukan dengan pembedaan yang akan dibahas pada
subbab C. Apabila data tidak stasioner dalam variansi maka dapat dilakukan
transformasi Box dan Cox (Wei, 2006), dengan fungsi transformasi sebagai
berikut:
Perhitungan dengan menggunakan program R dengan perintah: >Lambda=
BoxCox,lambda(Xt), dengan adalah data asli.
C. Pembedaan (Differencing)
Pembedaan (differencing) digunakan untuk menstasionerkan data yang tidak
stasioner khususnya data yang tidak stasioner dalam rata-rata (mean). Operator
yang biasa digunakan dalam pembedaan adalah operator langkah mundur
(backward shift). Notasi operator langkah mundur adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Dengan B = langkah mundur
= nilai variabel X pada waktu t
= nilai variabel X pada waktu
Notasi B pada mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode ke belakang.
Apabila ada dua B pada maka menggeser data 2 periode ke belakang, dapat
ditulis dan seterusnya.
Apabila suatu data runtun waktu tidak stasioner, maka data tersebut dapat
dibuat mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan orde pertama dari data
runtun waktu. Rumus pembedaan orde pertama adalah
(2.2)
Dengan menggunakan operator langkah mundur, persamaan (2.2) dapat ditulis
menjadi
(2.3)
Dengan = nilai variabel pada waktu setelah pembedaan. Pembedaan orde
pertama dinyatakan oleh (1-B).
Apabila stasioneritas tidak dicapai, dapat dilakukan pembedaan orde kedua
yaitu:
(2.4)
Dengan operator langkah mundur, persamaan (2.4) dapat ditulis
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Tujuan melakukan pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan
secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d dapat ditulis:
D. Variabel Acak yang Saling Bebas
Definisi 2.2
Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi
dan , mempunyai fungsi distribusi bersama . Maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
Untuk setiap pasangan bilangan real .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama
dan fungsi probabilitas marginal dan , maka dan
saling bebas jika dan hanya jika
Untuk semua pasangan bilangan real .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama
dan fungsi densitas marginal dan , maka dan saling
bebas jika dan hanya jika
Untuk semua pasangan bilangan real .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.3
Misalkan adalah fungsi dari variabel acak diskrit, ,
yang mempunyai fungsi probabilitas bersama . Maka nilai
harapan dari adalah
[ ] ∑
∑∑
Jika adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama
maka
[ ] ∫
∫ ∫
Teorema 2.1
Misalkan adalah konstan, maka
Bukti
Menurut definisi 2.3 untuk distribusi probabilitas diskrit, diperoleh
∑
∑
Dari teorema ∑
Menurut definisi 2.3 untuk distribusi probabilitas kontinu, diperoleh
∫
∫
Dari teorema ∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Teorema 2.2
Misalkan adalah fungsi dari variabel acak dan c adalah konstan,
maka
[ ] [ ]
Bukti
Menurut definisi 2.3 untuk diskrit, diperoleh
[ ] ∑∑
∑∑
[ ]
Menurut definisi 2.3 untuk kontinu, diperoleh
[ ] ∫ ∫
∫ ∫
[ ]
Teorema 2.3
Misalkan dan adalah variabel acak dan
adalah fungsi dari dan , maka
[ ] [ ] [ ]
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Bukti
Menurut definisi 2.3 untuk diskrit, diperoleh
[ ] ∑∑[
]
∑∑
∑∑
∑∑
[ ] [ ]
[ ]
Menurut definisi 2.3 untuk kontinu, diperoleh
[ ] ∫ ∫[
]
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
[ ] [ ]
[ ]
Teorema 2.4
Misalkan dan adalah variabel acak yang saling bebas, maka
[ ] [ ] [ ]
Bukti
Menurut definisi 2.3 dan 2.2 untuk diskrit, diperoleh
[ ] ∑∑
∑∑
∑ ∑
∑ [ ]
[ ]∑
[ ] [ ]
Menurut definisi 2.3 dan 2.2 untuk kontinu, diperoleh
[ ] ∫ ∫
∫ ∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
∫ [ ∫
]
∫ [ ]
[ ] ∫
[ ] [ ]
[ ] [ ]
E. P-value ( Nilai Signifikan)
P-value (nilai signifikan) adalah nilai kesalahan yang didapat dari hasil
perhitungan statistik atau sebagai ukuran untuk menerima atau menolak
(hipotesis nol). Sebelum menghitung nilai p-value, harus ditetapkan terlebih
dahulu nilai alpha ( ) sebagai patokan seberapa besar kesalahan tersebut dapat
diterima. Alpha adalah batas kesalahan maksimal yang dijadikan patokan oleh
peneliti. Nilai alpha yang sering digunakan adalah sebesar , nilai alpha yang
kecil menunjukkan semakin ketatnya aturan dalam suatu penelitian. Nilai alpha
menunjukkan seberapa ekstrim suatu data (data ideal), sehingga dapat
menunjukkan adanya perbedaan dengan data lainnya (tolak H0). Selanjutnya
membandingkan nilai alpha dengan nilai p-value untuk mengetahui apakah data
yang diobservasi berbeda secara signifikan dibandingkan dengan apa yang
ditetapkan dalam hipotesis nol (null hypothesis). Jika nilai p-value , maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
peneliti menolak hipotesis nol. Jika nilai p-value , maka peneliti gagal
menolak hipotesis nol (menerima hipotesis nol).
F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF)
Sebelum membahas ACF sebaiknya perhatikan penjelasan tentang fungsi
otokovariansi. Dalam asumsi stasioner, proses stokastik { } mempunyai rata-rata
dan variansi yang konstan dan
kovariansi , yang fungsinya merupakan selisih waktu | |.
Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara dan
dari proses stokastik { } sebagai berikut:
[ ] (2.6)
Fungsi otokorelasi merupakan hubungan antara suatu himpunan observasi
dengan himpunan observasi itu sendiri tetapi dalam waktu yang berbeda.
Koefisien otokorelasi menunjukkan keeratan hubungan antara nilai variabel yang
sama tetapi pada waktu yang berbeda. Koefisien ini juga mengukur tingkat
keeratan hubungan antara dengan . Sedangkan pengaruh time lag 1,2,3,...
dan seterusnya sampai k-1 konstan. Koefisien otokorelasi untuk lag-k dari data
runtun waktu dapat ditulis sebagai berikut (Wei, 2006):
√
[ ]
√ [ ]√ [ ]
(2.7)
Dengan: =rata-rata
=data runtun waktu
=otokovariansi pada lag-k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
= otokorelasi pada lag-k
=waktu pengamatan, t=1,2,3,...
dan
| | | |
Koefisien dari otokovariansi dapat diduga dengan
∑
(2.8)
dengan = koefisien otokovarian lag-k
n = ukuran sampel,
= rata-rata pengamatan pada
= pengamatan pada waktu ke
= pengamatan pada waktu ke , dengan
untuk
1. Penduga Fungsi Otokorelasi (ACF)
Menurut (Makridakis, 1999:339) koefisien fungsi otokorelasi dapat
diduga dengan koefisien otokorelasi sampel, yaitu
∑
∑
(2.9)
Dengan = koefisien otokorelasi lag-k
n = banyaknya data
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
= rata-rata pengamatan pada
= pengamatan pada waktu ke-t
= pengamatan pada waktu ke , dengan
Contoh 2.2
Diberikan contoh cara menghitung secara numerik fungsi otokorelasi pada
tabel 2.1
Tabel 2.1 data runtun waktu
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 8 15 4 4 12 11 7 14 12
Otokorelasi sampel untuk data dapat dihitung menggunakan pendugaan sampel
∑
∑
dengan dan . Misalkan , sehingga
diperoleh otokorelasi
∑
∑
adalah koefisien otokorelasi time lag 0, adalah koefisien otokorelasi
time lag 1. Dengan cara yang sama, koefisien otokorelasi ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
, dan seterusnya dapat dihitung seperti contoh di atas. Berikut adalah plot
ACF contoh 2.1 untuk lag 0 sampai lag 10.
Gambar 2.6 Plot ACF
Dalam perhitungan fungsi otokorelasi untuk lag 0 selalu bernilai 1.
dan seterusnya, untuk lag selanjutnya dapat
dilihat pada gambar di atas.
2. Pengujian Fungsi Otokorelasi (ACF)
Langkah-langkah pengujian:
1. (koefisien otokorelasi tidak signifikan)
2. (koefisien otokorelasi signifikan)
3. Menentukan
4. Statistik uji:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
dengan
√
5. wilayah kritis:
ditolak (koefisien otokorelasi signifikan) jika | | .
6. Membuat kesimpulan
merupakan fungsi atas k, maka hubungan koefisien korelasi dengan lag
nya disebut fungsi otokorelasi. Pengujian dilakukan untuk mengetahui apakah
koefisien fungsi otokorelasi signifikan atau tidak.
Selain menggunakan pengujian tersebut, dapat juga menggunakan batas
signifikansi. Untuk memeriksa apakah koefisien signifikan, dapat digunakan
rumus kesalahan standar dari yakni
√ . Sehingga seluruh nilai korelasi
yang tidak signifikan akan berada pada batas (
√ )
(
√ ) pada
selang kepercayaan , untuk nilainya mendekati nilai .
Pada skripsi ini, pengujian ACF tidak hanya digunakan untuk uji koefisien
otokorelasi tetapi juga digunakan untuk menguji galat dari model ARIMA,
sehingga keacakan galat dapat dilihat. Jika pada grafik ACF tidak ada lag yang
melebihi garis signifikans (garis putus-putus), maka galat bersifat acak (koefisien
otokorelasi tidak signifikan). Perhatikan plot ACF galat berikut (untuk lag 0
dalam program R tidak diperhitungkan karena selalu bernilai 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 2.7 Plot ACF galat
Dari gambar 2.7 terlihat bahwa galat bersifat acak karena untuk setiap lag berada
pada batas signifikan.
Selanjutnya perhatikan contoh 2.2, dari contoh dapat dihitung batas
signifikan untuk dan sehingga diperoleh batas signifikan
(
√ )
(
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
Perhatikan gambar 2.6 plot ACF pada contoh 2.2, dari gambar telihat bahwa
tidak ada lag yang melebihi batas signifikan sehingga dapat disimpulkan bahwa
koefisien otokorealsi untuk setiap lag adalah tidak signifikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF)
Otokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara
dan , apabila pengaruh dari time lag dianggap terpisah
(Makridakis, 1995).
Otokorelasi parsial dapat diturunkan dari model regresi linear, dengan
variabel dependent yang merupakan proses stasioner dengan rata-rata nol
yang diregresikan pada lag dengan variabel , yaitu
(2.10)
dengan adalah parameter regresi ke-i, dan adalah galat
dengan rata-rata 0 dan tidak berkorelasi dengan untuk .
Dengan mengalikan pada kedua sisi dari persamaan regresi (2.10)
diperoleh
Selanjutnya menghitung nilai harapannya (expected value)
Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6), diperoleh
Bila dibagi maka
Untuk diperoleh sistem persamaan Yule-Walker
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Dengan menggunakan aturan Cramer untuk diperoleh
|
|
|
|
dengan |
| , sehingga
|
|
|
|
dengan |
|
|
|
|
|
Karena merupakan fungsi atas k, maka disebut fungsi otokorelasi parsial.
(2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
1. Pendugaan Fungsi Otokorelasi Parsial (PACF)
Menurut (Wei, 2006) fungsi otokorelasi parsial persamaan (2.11) dapat
diduga dengan koefisien otokorelasi parsial sampel secara rekursif. Metode
rekursif dimulai dengan . Untuk perhitungan diberikan oleh Durbin
(1960) yaitu
∑
∑
(2.12)
dan
(2.13)
dengan
= koefisien otokorelasi parsial
Contoh 2.3
Mengacu pada contoh 2.2 ACF, selanjutnya dapat dihitung koefisien
otokorelasi parsial dengan persamaan (2.12) dan (2.13). Pada proses ACF
diperoleh , dan , selanjutnya dicari
koefisien otokorelasi parsial yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Untuk selainnya dapat dihitung menggunakan cara yang sama seperti contoh
di atas. Berikut adalah gambar PACF contoh 2.3
Gambar 2.8 Plot PACF contoh 2.3
2. Pengujian Fungsi Otokorelasi Parsial (PACF)
Langkah-langkah pengujian hipotesis koefisien otokorelasi parsial:
1. (koefisien otokorelasi parsial tidak signifikan)
2. (koefisien otokorelasi parsial signifikan)
3. Menentukan
4. Statistik uji:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
dengan
√
5. wilayah kritis:
ditolak (koefisien otokorelasi signifikan) jika | | .
6. Membuat kesimpulan
Untuk mengetahui apakah koefisien otokorelasi parsial signifikan atau tidak,
dapat juga menggunakan batas signifikansi. Dengan menggunakan rumus
kesalahan standar dari yakni
√ . Sehingga seluruh nilai korelasi
yang tidak signifikan akan berada pada batas (
√ )
(
√ ),
pada selang kepercayaan , untuk nilainya mendekati nilai .
Dari contoh 2.3 dapat dihitung batas signifikan untuk , sehingga
diperoleh batas signifikan
(
√ )
(
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
Perhatikan gambar 2.8 plot PACF pada contoh 2.3, dari gambar terlihat
bahwa tidak ada lag yang melebihi garis signifikan sehingga dapat disimpulkan
bahwa koefisien otokorealasi untuk setiap lag adalah tidak signifikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
H. Proses White Noise
Definisi 2.4 Proses White Noise
Suatu proses stokastik { } disebut proses white noise jika barisan variabel acak
yang berdistribusi normal tidak berkorelasi di setiap waktu, dengan rata-rata
dan variansi konstan Var = .
Berdasarkan definisi 2.4 di atas, proses white noise { } adalah stasioer
dengan fungsi otokovariansi (Wei, 2006).
{
fungsi otokorelasi
{
dan fungsi otokorelasi parsial
{
I. Uji Normalitas Galat
Uji normalitas galat digunakan untuk mengetahui apakah galat berdistribusi
normal atau tidak. Untuk menguji normalitas dari galat menggunakan uji
normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan langkah-langkah sebagai berikut
(Daniel, 1989):
1. galat berdistribusi normal
2. galat tidak berdistribusi normal
3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
4. Dengan statistik uji:
| |
Dengan fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data sampel
fungsi distribusi kumulatif di bawah
nilai Z diperoleh dari
adalah rata-rata sampel dan adalah standard deviasi sampel.
5. kriteria pengujian:
diterima (galat berdistribusi normal) jika atau
, dengan n adalah ukuran sampel.
6. Menentukan kesimpulan
Pengujian juga dapat dilakukan dengan melihat grafik normalitas. Jika galat
berdistribusi normal, maka galat akan berada di sekitar garis diagonal. Untuk galat
yang tidak berdistribusi normal, maka galat akan menyebar dan menjauhi garis
diagonal.
Gambar 2.9 galat berdistribusi normal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Contoh 2.4 uji data normalitas
Diberikan 14 data pada tabel 2.2
Tabel 2.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
73.9 74.2 74.6 74.7 75.4 76 76 76 76.5 76.6 76.9 77.3 77.4 77.7
Uji apakah data tersebut berdistribusi normal dengan menggunakan uji
Kolmogorov-Smirnov.
Penyelesaian:
1. galat berdistribusi normal
2. galat tidak berdistribusi normal
3.
4. Dengan statistik uji:
| |
Dengan = , nilai Z diperoleh dari
5. Menentukan kriteria pengujian
n adalah banyaknya pengamatan, n=14,
6. Menghitung stastistik uji
Diperoleh rata-rata dan standar deviasi
Perhitungan statistik uji Kolmogorov-Smirnov diberikan pada tabel di bawah
Frek
=
|
|
73.9 1 1 0.0714 -1.52 0.0643 0.0071
74.2 1 2 0.1429 -1.30 0.0968 0.0461
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
74.6 1 3 0.2143 -1.00 0.1587 0.0556
74.7 1 4 0.2857 -0.92 0.1788 0.1069
75.4 1 5 0.3571 -0.40 0.3446 0.0125
76 3 8 0.5714 0.05 0.5199 0.0515
76.5 1 9 0.6429 0.42 0.6628 0.0199
76.6 1 10 0.7143 0.50 0.6915 0.0228
76.9 1 11 0.7857 0.72 0.7642 0.0215
77.3 1 12 0.8571 1.02 0.8461 0.0110
77.4 1 13 0.9286 1.10 0.8643 0.0643
77.7 1 14 1 1.32 0.9066 0.0934
Dari perhitungan | | diperoleh nilai D maksimum adalah
0.1069
7. Kesimpulan:
Karena nilai , maka diterima. Jadi galat
berdistribusi normal.
J. Moving average (rata-rata bergerak)
Rata-rata bergerak merupakan salah satu cara untuk mengubah pengaruh
data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai peramalan. Rata-rata bergerak
digunakan untuk menentukan berapa jumlah nilai observasi masa lalu yang akan
dimasukkan untuk menghitung nilai tengah. Rata-rata bergerak adalah metode
pemulusan data runtun waktu berdasarkan nilai rata-rata dari observasi terdahulu.
Ide menggunakan rata-rata bergerak untuk pemulusan data adalah bahwa
pengamatan yang berada didekatnya dalam waktu , juga akan mendekati nilai
aslinya. Jadi mengambil rata-rata dari suatu titik pengamatan akan memberikan
pendugaan yang wajar dari tren yang diobservasi itu. Rata-rata menghilangkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
beberapa keacakan pada data. Agar lebih memahami tentang konsep rata-rata
bergerak, perhatikan tabel rata-rata bergerak dibawah:
Waktu Rata-rata bergerak
dst
Rata-rata bergerak dengan koefisien { } dapat ditulis sebagai { }, yang
didefinisikan (Ladiray & Quenneville, 2001):
∑
(2.14)
P “past” waktu pada masa lalu dan f “future” waktu pada masa yang akan datang.
Kuantitas p+f+1 adalah order dari rata-rata bergerak
Bila p sama dengan f, banyaknya titik pada masa lalu sama dengan
banyaknya titik pada masa yang akan datang, maka rata-rata bergerak
dikatakan terpusat (centered).
Jika untuk sebarang k, maka rata-rata bergerak M dikatakan
simetrik.
Berikut diberikan contoh rata-rata bergerak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Contoh 2.5
Diketahui data simulasi pada tabel 2.4 dengan n=60 dan
, p=2 dan f=0
Tabel 2.3
1 -0.09 16 -0.02 31 0.01 46 -0.01
2 0.06 17 0 32 -0.01 47 0.011
3 -0.05 18 -0.01 33 0.019 48 -0.02
4 -0.04 19 0.011 34 -0.019 49 -0.01
5 0.02 20 -0.01 35 0.011 50 0.02
6 -0.03 21 0.014 36 -0.011 51 -0.01
7 -0.02 22 -0.01 37 0.012 52 0.011
8 0 23 0.012 38 -0.05 53 -0.02
9 -0.01 24 -0.01 39 0.04 54 0.06
10 -0.02 25 0.013 40 -0.04 55 -0.05
11 0 26 -0.01 41 0.02 56 -0.04
12 -0.02 27 0.02 42 -0.03 57 0.02
13 -0.01 28 -0.01 43 -0.02 58 -0.03
14 0 29 0.011 44 -0.01 59 0.01
15 -0.01 30 -0.02 45 0.02 60 0.02
Dengan menggunakan rumus ∑
Diperoleh persamaan
Dengan perhitungan Excel diperoleh nilai sebagai berikut:
1 -0.0900 16 -0.0136 31 0.0270 46 -0.0266
2 0.1175 17 0.0090 32 -0.0240 47 0.0250
3 -0.1226 18 -0.0176 33 0.0292 48 -0.0308
4 0.0148 19 0.0174 34 -0.0349 49 0.0070
5 0.0265 20 -0.0208 35 0.0304 50 0.0188
6 -0.0580 21 0.0246 36 -0.0253 51 -0.0266
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
7 0.0068 22 -0.0227 37 0.0232 52 0.0250
8 0.0013 23 0.0237 38 -0.0619 53 -0.0308
9 -0.0176 24 -0.0215 39 0.0765 54 0.0770
10 -0.0136 25 0.0240 40 -0.0846 55 -0.0959
11 0.0090 26 -0.0221 41 0.0608 56 0.0148
12 -0.0276 27 0.0313 42 -0.0580 57 0.0265
13 0.0028 28 -0.0266 43 0.0068 58 -0.0580
14 -0.0012 29 0.0250 44 -0.0087 59 0.0368
15 -0.0138 30 -0.0308 45 0.0188 60 0.0022
Gambar 2.10 plot dan
Dari gambar 2.10 terlihat bahwa nilai data asli dan rata-rat bergerak tidak berbeda
secara signifikan.
K. Metode Dekomposisi Aditif
Dekomposisi adalah suatu pendekatan analisis data runtun waktu untuk
mengidentifikasi faktor-faktor komponen yang mempengaruhi masing-masing
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
nilai dari data. Setiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi dari
masing-masing komponen kemudian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan
ramalan nilai masa depan dari data runtun waktu (Hanke dan Wichern, 2009).
Metode dekomposisi memisahkan pola dasar menjadi tiga komponen
terpisah yang cenderung mencirikan runtun data ekonomi dan bisnis. Komponen
tersebut adalah tren, siklus, dan musiman. Dekomposisi mempunyai asumsi
bahwa data itu tersusun sebagai berikut:
Data = pola + galat
= f (tren, siklus, musiman) + galat
Jadi, di samping komponen pola, terdapat pula unsur galat atau kerandoman. Data
merupakan fungsi dari tren-siklus, musiman dan galat. Galat ini dianggap
merupakan perbedaan antara pengaruh gabungan dari tiga sub-pola runtun
tersebut dengan data yang sebenarnya.
Penulisan matematis umum dari pendekatan dekomposisi aditif adalah:
adalah nilai runtun waktu (data yang aktual) pada periode t
adalah komponen tren pada periode t
adalah komponen siklus pada periode t
adalah komponen musiman pada periode t
adalah komponen Ireguler/ tidak teratur pada periode t
Keempat komponen dalam analisis runtun waktu adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
1. Tren ( )
Tren adalah pergerakan naik turun suatu keadaan dalam jangka panjang.
Tren merupakan gerakan yang lamban, panjang, dan menuju ke satu arah.
Pergerakan tren dapat naik, turun bahkan konstan. Data runtun waktu
menunjukkan adanya kecenderungan untuk naik atau turun dalam jangka waktu
yang cukup panjang. Pola ini diidentifikasi sebagai tren, interpretasi lain dari tren
adalah pola yang mendasari data yang berlangsung selama bertahun-tahun.
Gambar 2.11 pola tren
Garis tren seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.10 dapat dijelaskan
dengan dua parameter dan dalam bentuk
Dengan
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
yang dijelaskan secara rinci pada subbab M. Terdapat beberapa kurva tren lain
yang non-linear misalnya eksponensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
2. Musiman ( )
Variasi musiman merupakan pergerakan suatu keadaan yang berlangsung
secara periodik/ berulang dalam jangka waktu satu tahun, yang disebut pula
dengan tren musiman dan akan berulang dalam setiap tahunnya. Contoh nyata
gejala variasi musim adalah adanya kecenderungan meningkatnya permintaan
yang diikuti oleh peningkatan harga beberapa komoditas tertentu, seperti telur,
daging, dan sayuran setiap kali mendekati perayaan hari raya keagamaan yang
akan berulang secara periodik setiap tahunnya. Besarnya nilai variasi musiman ini
dinamakan sebagai indeks musiman.
Gambar 2.12 pola musiman
Salah satu contoh yang memuat komponen musiman adalah gelombang
sinus, secara matematis dapat ditulus sebagai:
[(
) ]
Dengan adalah amplitudo
adalah frekuansi dari jumlah pengamatan
adalah indeks waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
adalah jumlah periode yang diamati
adalah sudut fase (dalam radian)
3. Siklus ( )
Variasi siklus merupakan pergerakan tren yang meningkat ataupun menurun
dalam jangka yang relatif panjang dari pada variasi musiman. Pola siklus biasanya
terjadi dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Sehingga pola siklus tidak perlu
dimasukkan dalam ramalan jangka pendek. Pola ini amat berguna untuk
peramalan jangka menengah dan jangka panjang. Seperti siklus bisnis, aktivitas
sosial-ekonomi secara bergantian berkembang.
Gambar 2.13 pola siklus
4. Tak beraturan / irregular ( )
Variasi acak dapat terjadi karena adanya faktor-faktor, seperti bencana alam,
bangkrutnya perusahaan pesaing, promosi khusus, dan kejadian-kejadian lainnya
yang tidak mempunyai pola tertentu (tak teratur). Variasi acak ini diperlukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
dalam rangka menentukan persediaan pengaman untuk mengantisipasi
kekurangan persediaan bila terjadi lonjakan permintaan.
Gambar 2.14 pola tak beraturan
L. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
ARIMA telah banyak dikembangkan lebih lanjut dan ditetapkan untuk
peramalan. Pendekatan yang digunakan di dalam menetapkan pola runtun waktu
yang demikian, beserta metodologi yang digunakan untuk mengekstrapolasi pola-
pola tersebut untuk masa yang akan datang lebih didasarkan pada teori statistika
yang telah dikembangkan dengan baik. Model ARIMA adalah gabungan dari
model AR dan MA nonstasioner yang telah di differencing sehingga menjadi
model yang stasioner.
1. Model Autoregressive (AR)
Model autoregressive orde p, dinotasikan dengan AR(p) atau
ARIMA(p,0,0). Bentuk umum model AR(p) adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
(2.15)
Dengan
= data runtun waktu ke-t
= koefisien autoregressive, i : 1,2,3,…….,p
= nilai galat pada waktu ke-t
p = orde AR
Persamaan (2.15) dapat ditulis dengan menggunakan operator B (langkah
mundur):
Orde AR yang sering digunakan dalam analisis runtun waktu adalah orde 1 dan
orde 2. Bentuk umum model AR(1) adalah , dengan operator
langkah mundur dapat ditulis . Bentuk umum model AR(2)
adalah , dengan operator langkah mundur dapat
ditulis .
2. Model Moving Average (MA)
Model Moving Average orde q, dinotasikan dengan MA(q) atau
ARIMA(0,0,q). Bentuk umum mode MA(q) adalah:
(2.16)
dengan
= data runtun waktu ke-t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
= parameter Moving Average (MA), i q
q = orde MA
= nilai galat pada waktu ke-t
= nilai galat pada waktu
Persamaan (2.16) dapat ditulis dengan menggunakan operator langkah mundur:
Dalam praktiknya, dua kasus yang kemungkinan besar akan dihadapi adalah
apabila q=1 dan q=2. Bentuk umum model MA(1) adalah ,
dengan operator langkah mundur dapat ditulis . Bentuk umum
model MA(2) adalah , dengan operator langkah
mundur dapat ditulis .
3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan gabungan
model AR(p) dan MA(q). Bentuk umum ARMA(p,q) adalah:
(2.17)
dengan
= data runtun waktu ke-t
= koefisien autoregressive,
= parameter Moving Average (MA),
p = orde AR
q = orde MA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
= nilai galat pada waktu ke-t
4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan
gabungan model AR(p), proses pembedaan dan MA(q). Dengan kata lain, apabila
nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA maka model umum
terpenuhi. Bentuk umum dapat ditulis
menggunakan bentuk operator langkah mundur yaitu:
(2.18)
dengan
adalah operator langkah mundur untuk
AR (Autoregressive)
adalah operator langkah mundur untuk
MA (Moving Average)
adalah proses pembedaan orde ke-d
5. Model ARIMA dengan Komponen Musiman
Kerumitan yang dapat ditambahkan pada model ARIMA adalah komponen
musiman. Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani komponen musiman,
notasi umumnya adalah
dengan = bagian yang tidak musiman dari model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
= bagian yang musiman dari model
= jumlah periode per musiman
Rumus umum dari adalah
dengan
adalah operator langkah mundur untuk
AR (Autoregressive)
adalah operator langkah mundur
untuk SAR (Seasonal Autoregressive)
adalah operator langkah mundur untuk
MA (Moving Average)
adalah operator langkah mundur
untuk SMA (Seasonal Moving Average)
adalah proses pembedaan orde ke-d non musiman
adalah proses pembedaan orde ke-D musiman
M. Pengujian White-Noise
Keacakan galat dari suatu model dapat diuji menggunakan uji statistik Q
Box-Pierce dengan hipotesis (Wei, 2006) sebagai berikut:
1. (galat acak yang memenuhi proses white noise)
2. dengan (galat tidak acak yang tidak memenuhi
proses white noise)
3. Menentukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
4. Statistik uji
∑
5. Wilayah kritis:
diterima (galat acak yang memenuhi white noise) jika nilai
atau . Dengan m adalah jumlah lag, p adalah
orde AR dan q adalah orde MA. adalah derajat bebas.
6. Membuat kesimpulan
Selain menggunakn pengujian Q Box-Pierce, keacakan galat dapat dilihat
dari plot ACF galat. Apabila pada plot ACF tidak ada lag yang melebihi garis
signifikansi maka galat bersifat acak, seperti yang telah dijelaskan pada subbab D.
Galat memenuhi proses white noise jika galat bersifat acak dan berdistribusi
normal.
Gambar 2.15 galat acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
N. Evaluasi Model
Dalam banyak situasi peramalan, ketepatan dipandang sebagai kriteria
penolakan untuk memilih suatu metode peramalan. Ketepatan merujuk kearah
kebaikan model, yang pada akhirnya menunjukkan seberapa jauh model
peramalan tersebut mampu memproduksi data yang telah diketahui. Untuk
mengukur ketepatan model menggunakan Mean Square Error (MSE) sebagai
berikut:
∑
dengan
n= banyaknya pengamatan
= nilai pengamatan pada waktu ke-t
= nilai peramalan pada waktu ke-t
Model yang baik akan memiliki nilai MSE yang paling kecil.
Berikut akan dijelaskan cara memperoleh nilai dan dari persamaan
yang akan digunakan untuk pendugaan garis tren pada Bab III.
Dengan asumsi terdapat data, persamaan regresi dapat
diduga sedemikian sehingga meminimumkan jumlah kuadrat deviasi .
Dengan mendefinisikan
,
maka
( )
dan ∑
∑( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Dengan substitusi diperoleh
∑
∑
Meminimumkan berarti turunan dari ∑
∑
∑
∑
∑
Sehingga diperoleh
∑
∑
Selanjutnya
∑
∑
∑
∑
∑
Dengan substitusi ∑
∑
pada persamaan diatas, sehingga diperoleh
∑
∑
∑
∑ ∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
BAB III
METODE DEKOMPOSISi KLASIK DAN METODE ARIMA
A. Pendahuluan
Metode dekomposisi termasuk pendekatan yang tertua. Metode ini
digunakan pada awal abad ini oleh ahli ekonomi untuk mengenali dan
mengendalikan siklus bisnis. Dasar dari metode dekomposisi muncul pada tahun
1920-an ketika konsep rasio-tren diperkenalkan. Sejak saat itu pendekatan
dekomposisi telah digunakan secara luas baik oleh para ahli ekonomi ataupun
para pengusaha.
Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) telah
dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan
nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk
analisis runtun waktu, peramalan dan pengendalian. Box dan Jenkins (1976)
secara efektif telah mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang
diperlukan untuk memahami dan memakai model-model ARIMA untuk data
runtun waktu univariat. Dasar dari metode ARIMA terdiri dari tiga tahap:
identifikasi, penaksiran dan pengujian serta penerapan (Makridakis, Wheelwright,
McGee, 1999).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
B. Metode Dekomposisi Klasik
Langkah-langkah dekomposisi aditif untuk data runtun waktu adalah
sebagai berikut:
1. Pada deret data yang sebenarnya ( ) hitung rata-rata bergerak yang
panjangnya (N). Maksud dari rata-rata bergerak ini adalah menghilangkan
unsur musiman dan kerandoman. Dengan cara merata-ratakan sejumlah
periode yang sama dengan panjang pola musiman (misalnya 12 bulan, 4 bulan,
atau 7 hari). Rata-rata bergerak merupakan penjumlahan dari ,
tetapi dalam sebagian besar prosedur dekomposisi menjadikan tren dan siklus
sebagai komponen tunggal (sebut saja ).
2. Mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak untuk
menghasilkan komponen musiman dan komponen acak/ tak beraturan.
3. Berdasarkan komponen data yang diperoleh dari , selanjutnya dicari
rata-rata medialnya, yaitu nilai rata-rata untuk setiap bulan setelah dikeluarkan
nilai terbesar dan terkecil.
4. Indeks musiman dapat diperoleh dari rata-rata medial, dengan menjumlahkan
setiap rata-rata medial dengan faktor koreksi sehingga rata-rata musiman
menjadi nol.
5. Mengurangkan data asli ( ) dengan indeks musiman ( ) untuk memperoleh
garis tren. Garis tren dapat ditentukan berdasarkan model
Dengan meminimumkan MSE diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
Dengan = data asli yang telah dikurang indeks musiman
= periode
= banyaknya data
6. Setelah diperoleh model, maka dapat dilakukan peramalan untuk periode
selanjutnya menggunakan faktor-faktor yang telah diduga sebelumnya yaitu,
faktor tren dan musiman.
C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Tahap-tahap dalam menentukan model ARIMA adalah:
1. Identifikasi Model
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah plot data runtun waktu. Dari
plot data dapat dilihat adanya tren, musiman, pencilan, variansi yang tidak
konstan dan keadaan yang tidak stasioner. Pada analisis runtun waktu, apabila
data tidak stasioner dalam rata-rata maka yang dilakukan adalah menstasionerkan
data dengan pembedaan yang dibahas pada bab II subbab C. Apabila data tidak
stasioner dalam variansi maka yang dilakukan adalah menstasionerkan data
dengan cara transformasi Box-Cox yang dibahas pada bab II subbab B. Model
ARIMA hanya dapat diterapkan untuk runtun waktu yang stasioner. Oleh karena
itu, pertama kali yang harus dilakukan adalah menyelidiki apakah data yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
digunakan sudah stasioner atau belum. Cara mengetahui data sudah stasioner atau
belum yaitu dengan membuat plot data runtun waktu atau dengan melihat plot
ACF. Data dikatakan stasioner bila plot data runtun waktu berada di sekitar nilai
rata-rata, variansi konstan, tidak terjadi kenaikan/ penurunan data dan plot ACF
akan turun dengan cepat mendekati nol. Apabila data telah stasioner berarti
, tetapi jika data stasioner setelah pembedaan pertama maka d=1 dan seterusnya.
Apabila data telah stasioner, langkah selanjutnya adalah menentukan orde
dari AR dan MA. Cara yang dapat dilakukan adalah dengan melihat plot PACF
dan plot ACF. Plot PACF akan menetukan orde dari AR sedangkan plot ACF
akan menentukan orde dari MA. Secara ringkas ditampilkan dalam tabel.
Tipe Model Pola Tipikal ACF Pola Tipikal PACF
AR(p) Menurun secara lambat menuju
nol
Terpotong setelah lag p
MA(q) Terpotong setelah lag q Menurun secara lambat
menuju nol
ARMA(p,q) Menurun secara lambat menuju
nol
Menurun secara lambat
menuju nol
Pola tipikal ACF dan PACF ditampilkan dalam gambar berikut
Gambar 3.1 Pola ACF menurun secara lambat menuju nol
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 3.2 Pola PACF terpotong setelah lag 2
Gambar 3.3 Pola ACF terpotong setelah lag 1
Gambar 3.4 Pola PACF menurun secara lambat menuju nol
lag
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
2. Pendugaan Parameter
Setelah menetapkan model sementara dari hasil identifikasi, yaitu
menentukan nilai p, d, dan q, langkah berikutnya adalah melakukan pendugaan
paramater Autoregressive (AR) dan moving average (MA) yang tercakup dalam
model.
a. Pendugaan parameter model AR
Parameter model AR adalah , parameter AR dapat diduga
menggunakan persamaan Yule-Walker untuk mencari nilai dari .
Persamaan Yule-Walker dapat dicari dengan mengalikan model AR( ):
dengan , untuk
hasilnya adalah
(3.1)
Selanjutnya dihitung nilai harapannya menjadi
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
(3.2)
[ ] untuk , saling bebas dengan nilai-nilai sebelumnya,
dan diasumsikan terdapat stasioneritas. sehingga persamaan (3.2) dapat ditulis
[ ] [ ] [ ] [ ] (3.3)
Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6) diperoleh
(3.4)
Kedua ruas dibagi dengan , berdasarkan definisi otokorelasi diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
(3.5)
yang merupakan fungsi otokorelasi pada lag k dari proses AR (p).
Untuk dan dengan menggunakan syarat ,
dari
fungsi otokorelasi maka persamaan (3.5) menjadi persamaan Yule-Walker yaitu
Karena nilai teoritis dari tidak diketahui, maka diduga dengan
.
Untuk atau model AR(1) : , cara menghitung
adalah yang hanya mempunyai satu persamaan. Karena diduga
dengan maka .
Untuk atau model AR(2) : , cara
menghitung dan adalah dengan memperhatikan persamaan
}
Setelah dihitung diperoleh penyelesaian
Karena diduga dengan dan diduga dengan maka
(3.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Contoh 3.1
Berikut adalah data untuk model ARIMA(2,0,0) atau AR(2):
. Dugalah parameter dan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
13 8 11 3 3 11 10 6 13 11 14 17 12 10 9 8 3 3 7 6
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari penduga dan yaitu
dengan menghitung dan . Menggunakan persamaan ∑
∑
,
karena dan diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
b. Pendugaan Parameter model MA
Parameter model MA adalah , parameter MA diduga untuk
mencari nilai dari . Dengan mengalikan model MA( ):
dengan
, untuk diperoleh
( )(
)
Selanjutnya dihitung nilai harapannya menjadi
[( )(
)]
Nilai harapan untuk persamaan (3.7) diatas akan bergantung pada nilai k. Bila
maka persamaan (3.7) menjadi
(3.8)
Semua suku yang lain pada persamaan (3.7) hilang, karena adanya definisi
{ n
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Jadi, persamaan (3.8) menjadi
(3.9)
Bila faktor dipisahkan, maka persamaan (3.9) menjadi
(3.10)
Persamaan (3.10) adalah variansi dari proses MA(q).
Secara umum untuk sebarang nilai , persamaan (3.7) menjadi
(3.11)
Bila persamaan (3.11) dibagi (3.10), akan menghasilkan
(3.12)
untuk semua nilai , maka fungsi otokorelasi pada lag dari proses MA(q) adalah
{
(3.13)
Karena nilai teoritis tidak diketahui maka nilai pendugaan dari koefisien
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan otokorelasi empiris pada
persamaan (3.13) kemudian dipecahkan.
Untuk q=1 atau model MA(1): , sehingga persamaan
(3.13) menjadi:
{
Dengan mensubstitusikan untuk dan mencoba memecahkan , akan
diperoleh persamaan kuadratik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
(
) , dengan
Untuk q=2 atau model MA(2): , sehingga
persamaan (3.13) menjadi
}
Dengan mensubstitusikan dan untuk dan akan menghasilkan dua
persamaan dalam bentuk dan yang tidak diketahui, tetapi tidak berarti
mudah untuk dipecahkan.(Box dan Jenkins, 1976: 517-520) memberikan tabel
dan grafik untuk mengatasi pendugaan dan . Untuk selanjutnya pendugaan
dihitung menggunakan program R.
Contoh 3.2
Berikut adalah data untuk model ARIMA(0,0,2) atau MA(2):
. Dugalah parameter dan
1 -0.09 20 0
2 0.06 21 0.02
3 -0.05 22 0
4 -0.04 23 -0.02
5 0.02 24 0
6 -0.03 25 0.02
7 -0.02 26 -0.01
8 0 27 -0.03
9 -0.01 28 0.04
10 -0.02 29 0.02
11 0 30 0.01
12 -0.02 31 0
13 -0.01 32 -0.01
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
14 0 33 -0.03
15 -0.01 34 0
16 -0.02 35 0.01
17 0 36 0
18 0.01 37 -0.01
19 -0.01
Menghitung pendugaan dan bukanlah pekerjaan yang mudah, karena
harus menggunakan algoritma Marquardt. Maka dari itu penulis menggunakan
program dalam perhitungannya. Dengan menggunakan program R diperoleh nilai
pendugaan yaitu dan . Dengan perintah program R
yaitu:
> library(forecast)
> estimasi=Arima(Xt,order=c(0,0,2))
> estimasi
Series: Xt
ARIMA(0,0,2) with non-zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 intercept
-0.5341 0.3186 -0.0054
s.e. 0.1564 0.1704 0.0029
sigma^2 estimated as 0.0005054: log likelihood=87.72
AIC=-167.44 AICc=-166.19 BIC=-161
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
c. Pendugaan Parameter Model ARMA
Pendugaan parameter mode ARMA berkaitan dengan fungsi otokorelasi.
Fungsi otokorelasi dari proses ARMA(p,q) dapat diperoleh dengan mengalikan
model ARMA( ):
dengan , untuk dan kemudian diambil nilai harapannya, sehingga
diperoleh
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
(3.14)
Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6), diperoleh
[ ] [ ]
[ ]
(3.15)
Karena [ ] untuk , sehingga
(3.16)
Jika kedua ruas dibagi , menurut definisi fungsi otokorelasi diperoleh
(3.17)
Agar lebih memahami pendugaan ARMA(p,q), perhatikan proses
ARMA(1,1) berikut:
Model ARMA(1,1): , dengan mengalikan model
ARMA(1,1) dengan dan dihitung nilai harapannya diperoleh
[ ] [ ] [ ] [ ]
Dengan menggunakan teorema 2.4 dan persamaan (2.6) diperoleh
[ ] [ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Untuk
[ ] [ ]
Berdasarkan sifat untuk semua , diperoleh
[ ] [ ]
Karena [ ] dan
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
Sehingga
(3.18)
Untuk
[ ] [ ]
(3.19)
Substitusi pada persamaan (3.18), diperoleh
Substitusi yang telah diperoleh ke persasamaan (3.19)
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Dengan menggunakan sifat otokorelasi untuk lag 1 untuk menduga yaitu
( )
Untuk
Jika kedua ruas dibagi , menurut definisi fungsi otokorelasi diperoleh
Sehingga diperoleh fungsi otokorelasi
{
(3.20)
Akan tetapi, penyelesaian persamaan (3.20) bukanlah hal yang mudah.
Box dan Jenkins memberikan grafik untuk membantu menemukan pendugaan
awal parameter dari model ARMA( ) (Box dan Jenkins, 1976:520). Untuk
langkah selanjutnya, penulis menggunakan program dalam pendugaan parameter
AR dan MA.
Contoh 3.3
Berikut adalah data model ARIMA(2,0,2) atau ARMA(2,2):
. Dugalah parameter dan
1 20 20 12
2 -20 21 -8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
3 62 22 12
4 52 23 32
5 -8 24 12
6 42 25 -8
7 32 26 22
8 12 27 42
9 22 28 -28
10 32 29 -8
11 12 30 2
12 32 31 12
13 22 32 22
14 12 33 42
15 22 34 12
16 32 35 2
17 12 36 12
18 2 37 22
19 22
Dengan menggunakan perhitungan program R, diperoleh nilai pendugaan
dan , dengan perintah
R, yaitu:
> estimasi=Arima(Xt,order=c(2,0,2))
> estimasi
Series: Xt
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2 intercept
-0.7835 -0.8547 0.9163 0.5458 17.1204
s.e. 0.1957 0.1374 0.3023 0.2381 2.4502
sigma^2 estimated as 252.3: log likelihood=-155.54
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
AIC=323.08 AICc=325.88 BIC=332.74
3. Pemeriksaan Diagnostik
Setelah berhasil menduga nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang
ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan dignostik untuk
membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai (Makridakis, 1999).
Pemeriksaan diagnostik dapat dilakukan dengan mengamati apakah galat dari
model ARIMA yang telah diduga memenuhi proses white noise. Model dikatakan
memadai jika galat memenuhi proses white noise yaitu galat bersifat acak dan
berdistribusi normal. Pengujian yang digunakan dalam pemeriksaan diagnostik
adalah:
a. Setelah pendugaan dilakukan, maka nilai galat dapat ditentukan. Jika nilai-nilai
koefisien otokorelasi galat untuk berbagai time lag tidak berbeda secara
signifikan (tidak signifikan) dari nol, maka galat bersifat acak sehingga
memenuhi proses white noise.
b. Menggunakan statistik Q Box-Pierce, yang dihitung dengan rumus:
∑
Jika atau maka galat bersifat acak yang
memenuhi proses white noise.
c. Uji normalitas galat, seperti yang telah dijelaskan pada bab II subbab G. Jika
galat berdistribusi normal maka memenuhi proses white noise.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Jika galat tidak white noise maka model tidak memadai, ulangi lagi mulai
langkah identifikasi model sampai akhirnya diperoleh model yang memadai.
Pengujian ini digunakan untuk melihat apakah galat memenuhi proses white
noise.
4. Peramalan
Tujuan dalam analisis runtun waktu adalah untuk meramalkan nilai masa
depan. Tujuan peramalan adalah untuk menghasilkan ramalan optimum yang
tidak memiliki galat atau sebisa mungkin galat yang kecil.
D. Contoh 3.4 Runtun Waktu
Diberikan 82 data pengamatan runtun waktu pada tabel 3.1 data asli di
lampiran. Data akan diolah menggunakan metode dekomposisi klasik dan metode
ARIMA. Selanjutnya akan dilihat keakuratan metode, sehingga model yang
terbaik dapat ditentukan.
1. Pengolahan data menggunakan metode Dekomposisi
a. Data yang digunakan untuk dekomposisi adalah data yang berdistribusi
normal. Data asli (lihat tabel 3.1 pada lampiran) tidak berdistribusi normal,
sehingga perlu dilakukan transformasi
. Dengan adalah
data asli dan . Cara mencari dengan menggunakan
program R dengan perintah: >lambda= BoxCox.lambda(Xt). Berikut adalah
data yang telah ditrasformasi dan berdistribusi normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Tabel 3.1 data transformasi
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1990 4.95 4.35 4.63 4.35 4.26 4.53 4.76 3.69 3.35 3.35 4.21 4.38
1991 4.81 4.74 4.44 4.55 4.44 4.35 4.69 4.08 3.99 4.38 4.38 4.53
1992 4.94 4.74 4.31 4.35 4.35 4.21 4.38 4.15 3.99 4.63 4.35 4.67
1993 5.14 4.55 3.99 4.21 4.08 3.35 4.31 4.08 4.15 4.26 4.59 4.47
1994 5.11 4.49 4.65 4.38 4.26 4.08 4.60 4.26 3.69 4.55 4.78 4.72
1995 4.97 4.15 4.67 4.35 4.31 3.87 4.38 4.38 3.69 4.60 4.47 4.76
1996 4.97 4.62 4.55 4.35 4.31 4.21 4.41 4.21 4.08 4.47
Setelah data ditransformasi langkah selanjutnya adalah menghitung rata-rata
bergerak 12 bulanan, yaitu dengan merata-ratakan data dari bulan Januari-
Desember. Data yang telah dirata-rata, diletakkan pada bulan Juli atau pusat dari
12 bulanan.
Tabel 3.2 Rata-rata bergerak
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1990 4.23 4.22 4.26 4.24 4.26 4.27
1991 4.26 4.25 4.28 4.34 4.42 4.44 4.45 4.46 4.46 4.45 4.43 4.42
1992 4.41 4.39 4.39 4.39 4.41 4.41 4.42 4.44 4.42 4.40 4.39 4.36
1993 4.29 4.29 4.28 4.29 4.26 4.28 4.27 4.26 4.26 4.31 4.33 4.34
1994 4.40 4.43 4.44 4.40 4.43 4.44 4.46 4.45 4.43 4.43 4.42 4.43
1995 4.41 4.39 4.40 4.40 4.41 4.38 4.38 4.38 4.42 4.41 4.41 4.41
1996 4.44 4.44 4.43 4.46
b. Setelah rata-rata bergerak diperoleh, selanjutnya mengurangkan data asli
dengan rata-rata bergerak untuk menghasilkan komponen
musiman dan komponen acak, yaitu
Tabel 3.3 pengurangan data dengan rata-rata bergerak
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
1990
1991 0.55 0.49 0.16 0.22 0.02 -0.09
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
1992 0.53 0.35 -0.08 -0.05 -0.07 -0.20
1993 0.85 0.27 -0.29 -0.08 -0.18 -0.93
1994 0.71 0.06 0.20 -0.02 -0.16 -0.36
1995 0.56 -0.24 0.27 -0.05 -0.10 -0.51
1996 0.53 0.17 0.12 -0.12
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1990 0.53 -0.54 -0.91 -0.89 -0.04 0.11
1991 0.25 -0.38 -0.47 -0.07 -0.05 0.11
1992 -0.04 -0.29 -0.43 0.24 -0.04 0.31
1993 0.04 -0.18 -0.10 -0.05 0.26 0.12
1994 0.14 -0.19 -0.74 0.12 0.36 0.29
1995 0.00 0.00 -0.74 0.19 0.05 0.35
1996
c. Setelah komponen musiman dan kerandoman diperoleh, lalu mencari
rerata medial dan indeks musiman.
Tabel 3.4 Rerata medial dan indeks musiman
Rerata
medial
Indek
musiman
Jan 0.5894 0.5933
Feb 0.2131 0.2171
Mar 0.0996 0.1035
Apr -0.0507 -0.0468
May -0.1092 -0.1053
Jun -0.3572 -0.3533
Jul 0.1060 0.1099
Aug -0.2586 -0.2547
Sep -0.5945 -0.5906
Oct 0.0498 0.0537
Nov 0.0579 0.0619
Dec 0.2074 0.2113
d. Mengurangkan data dengan indeks musiman untuk memperoleh
garis tren. Garis tren dapat dihitung dengan rumus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
diperoleh
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
Sehingga
Dengan adalah garis tren dan adalah periode.
e. Dengan menjumlahkan semua komponen yang telah dipisahkan, diperoleh
data peramalan.
Tabel 3.5 Data peramalan
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
1990 4.91 4.53 4.42 4.27 4.22 3.97
1991 4.93 4.55 4.44 4.29 4.23 3.99
1992 4.95 4.57 4.46 4.31 4.25 4.01
1993 4.97 4.59 4.48 4.33 4.27 4.03
1994 4.98 4.61 4.50 4.35 4.29 4.05
1995 5.00 4.63 4.52 4.37 4.31 4.07
1996 5.02 4.65 4.54 4.39 4.33 4.08
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1990 4.43 4.07 3.74 4.38 4.39 4.54
1991 4.45 4.09 3.76 4.40 4.41 4.56
1992 4.47 4.11 3.78 4.42 4.43 4.58
1993 4.49 4.13 3.79 4.44 4.45 4.60
1994 4.51 4.15 3.81 4.46 4.47 4.62
1995 4.53 4.17 3.83 4.48 4.49 4.64
1996 4.55 4.19 3.85 4.50
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Berikut adalah gambar data transformasi dan peramalan data transformasi.
Gambar 3.5 plot data transformasi dan data ramalan transformasi
2. Pengolahan data menggunakan metode ARIMA
Langkah-langkah yang digunakan adalah identifikasi model untuk
menyelidiki apakah data telah stasioner, pendugaan parameter, dan uji kecocokan
model. Langkah-langkah metode ARIMA dengan menggunakan program R dapat
dilihat pada lampiran program metode ARIMA contoh 3.4.
a. Identifikasi Model
Stasioneritas dapat dilihat dari gambar 3.6 plot data asli.
Gambar 3.6 plot data asli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Gambar 3.7 plot ACF
Dari gambar 3.6 terlihat data belum stasioner dalam variansi karena data ke-
37 dan 49 sangat menonjol, sehingga data perlu ditransformasi. Transformasi
yang digunakan adalah transformasi
, selanjutnya dicari nilai ,
dengan program R dengan perintah: >lambda= BoxCox.lambda(Xt), diperoleh
. Dilihat dari plot ACF pada gambar 3.7 menunjukkan adanya
faktor musiman. Faktor musimannya adalah 12 bulanan, karena pola ACF selalu
berulang setiap lag 12. Untuk ACF pola musiman turun secara lambat menuju nol.
Gambar 3.8 Plot data hasil transformasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Gambar 3.9 Plot PACF data transformasi
Gambar 3.10 Plot ACF data transformasi
Dilihat dari plot data transformasi dan ACF data transformasi, menunjukkan
bahwa data telah stasioner. Dari plot data transformasi terlihat bahwa tidak ada
data yang menonjol, yang berarti rata-rata dan variansi dari data telah stasioner.
Dari plot ACF terlihat bahwa ACF turun secara cepat menuju nol atau terpotong
pada lag 3. Setelah data stasioner, selanjutnya adalah menduga model dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
memperhatikan plot PACF dan ACF data transformasi (gambar 3.9 dan gambar
3.10). Dari plot PACF non musiman data terpotong pada lag 1, plot PACF
musiman data terpotong pada lag 1, plot ACF non musiman data terpotong pada
lag 1, dan plot ACF musiman data terpotong pada lag 3.
Ada beberapa kemungkinan model
Model
Arima(1,0,1)(1,0,0)12
Arima(1,0,0)(1,0,0)12
Arima(0,0,1)(1,0,0)12
Arima(0,0,0)(1,0,0)12
b. Pendugaan Parameter
Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah
menduga parameter.
a) Model ARIMA
AR 1 MA 1 SAR 1 konstan
Koefisien 0.4583 -0.1648 0.6469 4.3673
SE koefisien 0.2450 0.2668 0.0866 0.1002
b) Model ARIMA
AR 1 SAR 1 konstan
Koefisien 0.3095 0.6400 4.3672
SE koefisien 0.1060 0.0863 0.0933
c) Model ARIMA
MA 1 SAR 1 konstan
Koefisien 0.2405 0.6432 4.3661
SE koefisien 0.0923 0.0873 0.0815
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
d) Model ARIMA
SAR 1 konstan
Koefisien 0.6745 4.3636
SE koefisien 0.0837 0.0727
c. Uji Kecocokan Model
Langkah selanjutnya adalah uji white noise yaitu dengan menguji keacakan
galat dan uji normalitas galat. Uji keacakan galat dengan melihat plot ACF galat
dan uji normalitas dengan uji Kolmogorov-Smirnov dengan .
Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 3.6
Tabel 3.6 Rangkuman uji kecocokan model
Model Galat
Acak Normal p-value
normalitas
Arima(1,0,1)(1,0,0)12 Ya Tidak 0.034
Arima(1,0,0)(1,0,0)12 Ya Tidak 0.04
Arima(0,0,1)(1,0,0)12 Ya Ya 0.074
Arima(0,0,0)(1,0,0)12 Tidak Tidak 0.050
Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah
model yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan
berdistribusi normal. Model yang dipilih adalah .
Pendugaan yakni,
. Dengan menggunakan operator langkah mundur, model
dapat ditulis:
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Substitusikan parameter
pada persamaan ( ) ( ) , diperoleh:
Berikut adalah gambar data transformasi dan peramalan data transformasi
Gambar 3.11 Plot data transformasi dan data ramalan transformasi
3. Evaluasi Model
Pada tahap ini akan dicari model yang lebih baik, yaitu dengan
mempehatikan nilai dari MSE metode dekomposisi klasik dan MSE metode
ARIMA.
Model MSE
Dekomposisi klasik 0.05287
ARIMA 0.06980
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Nilai MSE diperoleh dari ∑
, dengan adalah data
transformasi, adalah data ramalan transformasi dan banyaknya data.
untuk metode dekomposisi diperoleh dengan menjumlahkan indeks
musiman dan tren. Sedangkan untuk metode ARIMA ,
adalah galat yang diperoleh menggunakan program R dengan perintah:
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),
period=12))
>galat= residuals(estimasi)
Dari nilai MSE terlihat bahwa metode dekomposisi klasik mempunyai nilai
MSE yang lebih kecil dibandingkan dengan model ARIMA . Jadi
metode yang lebih baik adalah metode dekomposisi klasik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
BAB IV
PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE
ARIMA
Pada bab ini akan dibahas perbandingan metode dekomposisi klasik dan
metode ARIMA dengan studi kasus data jumlah total penumpang kereta api Jawa
dan Sumatera. Data berasal dari Biro Pusat Statistik dilihat di
http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#.
A Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi Klasik
Pada tahap ini dibahas langkah-langkah dekomposisi aditif untuk data
runtun waktu. Data jumlah penumpang kereta Api Jawa dan Sumatera ada pada
tabel 4.1 pada lampiran. Data jumlah penumpang kereta api belum berdistribusi
normal, sehingga data harus ditransformasi terlebih dahulu. Transformasi yang
digunakan adalah . Berikut adalah data jumlah penumpang yang
telah ditansformasi dan berdistribusi normal.
Tabel 4.1 Data jumlah penumpang
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
2006
103 1383 -405 666 -372
2007 346 -2991 2440 1006 817 -128
2008 -57 -649 1693 -360 652 647
2009 -838 -625 3263 -357 1049 319
2010 -157 -2217 1785 -160 156 271
2011 -842 -2001 2088 -537 1081 -257
2012 -528 -793 1600 -344 1025 291
2013 -1204 -306 1232 174 113 1188
2014 -325 -1094 2838 -928 1080 852
2015 -1599 -1886 4477 -702 1345 -348
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
2006 1230 -1178 181 854 -659 -17
2007 1350 -1035 -386 833 -1475 693
2008 877 -779 -1229 1458 -1364 -641
2009 242 -858 -246 470 -973 803
2010 421 -1203 824 -393 -439 1264
2011 867 -3286 2075 -460 -282 632
2012 247 -1253 -688 759 -1354 331
2013 2944 -822 315 796 -615 1498
2014 -1340 699 394 1330 -567 1919
2015 50 184 -247 1169 -1049 2162
1. Menghitung rata-rata bergerak 12 bulanan, yaitu dengan cara merata-
ratakan data dari bulan Februari-Januari dan seterusnya. Data yang telah dirata-
rata, diletakkan pada bulan Agustus yaitu pusat dari 12 bulanan. Diperoleh
nilai pada tabel 4.2
Tabel 4.2 Data
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
2006
2007 158.42 168.42 180.33 133.08 131.33 63.33
2008 158.83 119.42 140.75 70.50 122.58 131.83
2009 94.42 41.50 34.92 116.83 34.50 67.08
2010 -73.67 -58.75 -87.50 1.67 -70.25 -25.75
2011 0.50 37.67 -135.92 -31.67 -37.25 -24.17
2012 66.42 14.75 184.17 -46.08 55.50 -33.83
2013 -63.42 161.33 197.25 280.83 283.92 345.50
2014 544.92 187.92 314.67 321.25 365.75 369.75
2015 310.17 426.00 383.08 329.67 316.25 276.08
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
2006 177.67 -80.17 7.92 125.50 138.08
2007 122.50 88.92 284.08 221.83 108.00 94.25
2008 20.67 -44.42 -42.42 88.42 88.67 121.75
2009 187.42 244.17 111.50 -11.67 4.75 -69.67
2010 12.67 -44.42 -26.42 -1.17 -32.58 44.50
2011 -76.83 -50.67 50.00 9.33 25.42 20.75
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
2012 -58.92 -115.25 -74.67 -105.33 -62.17 -138.17
2013 442.75 516.00 450.33 584.17 492.33 572.92
2014 404.83 298.67 232.67 369.25 388.08 410.17
2015 296.33
2. Mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak
untuk
menghasilkan komponen musiman dan kerandoman/ tak beraturan
Tabel 4.3 Pengurangan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
2006
2007 187.58 -3159.42 2259.67 872.92 685.67 -191.33
2008 -215.83 -768.42 1552.25 -430.50 529.42 515.17
2009 -932.42 -666.50 3228.08 -473.83 1014.50 251.92
2010 -83.33 -2158.25 1872.50 -161.67 226.25 296.75
2011 -842.50 -2038.67 2223.92 -505.33 1118.25 -232.83
2012 -594.42 -807.75 1415.83 -297.92 969.50 324.83
2013 -1140.58 -467.33 1034.75 -106.83 -170.92 842.50
2014 -869.92 -1281.92 2523.33 -1249.25 714.25 482.25
2015 -1909.17 -2312.00 4093.92 -1031.67 1028.75 -624.08
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
2006 -1355.67 261.17 846.08 -784.50 -155.08
2007 1227.50 -1123.92 -670.08 611.17 -1583.00 598.75
2008 856.33 -734.58 -1186.58 1369.58 -1452.67 -762.75
2009 54.58 -1102.17 -357.50 481.67 -977.75 872.67
2010 408.33 -1158.58 850.42 -391.83 -406.42 1219.50
2011 943.83 -3235.33 2025.00 -469.33 -307.42 611.25
2012 305.92 -1137.75 -613.33 864.33 -1291.83 469.17
2013 2501.25 -1338.00 -135.33 211.83 -1107.33 925.08
2014 -1744.83 400.33 161.33 960.75 -955.08 1508.83
2015 -246.33
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
3. Berdasarkan komponen data yang diperoleh dari , selanjutnya dicari
rata-rata medialnya. Rata-rata medial adalah nilai rata-rata untuk setiap bulan
setelah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil.
Tabel 4.4 Rerata medial dan indeks musiman
Rerata
medial
Indeks
musiman
-668.43 -474.69
-1433.36 -1239.62
2153.65 2347.39
-429.68 -235.94
738.33 932.07
206.68 400.42
387.11 580.85
-1645.07 -1451.33
-592.57 -398.83
88.70 282.44
-1282.52 -1088.78
152.27 346.01
4. Mengurangkan data asli ( ) dengan indeks musiman ( ) untuk memperoleh
garis tren. Garis tren dapat dihitung dengan rumus
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Sehingga diperoleh garis tren
5. Dengan menjumlahkan semua komponen yang telah dipisahkan, diperoleh data
peramalan.
Tabel 4.5 Data peramalan
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
2006 -1273.27 2316.80 -263.46 907.62 379.03
2007 -474.61 -1236.47 2353.61 -226.66 944.42 415.83
2008 -437.81 -1199.67 2390.41 -189.85 981.22 452.64
2009 -401.00 -1162.86 2427.22 -153.05 1018.03 489.44
2010 -364.20 -1126.06 2464.02 -116.25 1054.83 526.25
2011 -327.39 -1089.25 2500.82 -79.44 1091.64 563.05
2012 -290.59 -1052.45 2537.63 -42.64 1128.44 599.85
2013 -253.78 -1015.65 2574.43 -5.83 1165.25 636.66
2014 -216.98 -978.84 2611.24 30.97 1202.05 673.46
2015 -180.18 -942.04 2648.04 67.77 1238.85 710.27
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
2006 562.53 -1466.58 -411.02 273.32 -1094.83 343.02
2007 599.33 -1429.78 -374.21 310.12 -1058.03 379.82
2008 636.14 -1392.97 -337.41 346.93 -1021.22 416.63
2009 672.94 -1356.17 -300.60 383.73 -984.42 453.43
2010 709.74 -1319.37 -263.80 420.53 -947.61 490.24
2011 746.55 -1282.56 -226.99 457.34 -910.81 527.04
2012 783.35 -1245.76 -190.19 494.14 -874.01 563.84
2013 820.16 -1208.95 -153.39 530.95 -837.20 600.65
2014 856.96 -1172.15 -116.58 567.75 -800.40 637.45
2015 893.77 -1135.35 -79.78 604.56 -763.59 674.26
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Berikut adalah plot data dengan
peramalan
Gambar 4.1 plot data dan data
peramalan
B Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA
Ada beberapa tahap yang dilakukan pada bagian ini, dimulai dari
identifikasi model untuk pemerikasaan stasioneritas, pendugaan parameter, uji
kecocokan model dan peramalan. Langkah-langkah metode ARIMA dengan
menggunakan program R dapat dilihat pada lampiran program metode ARIMA
jumlah penumpang kereta api.
1. Identifikasi Model
Pada tahap ini akan diperiksa stasioneritas pada data, dengan cara melihat
plot data asli jumlah total penumpang jawa dan sumatera pada tahun 2006-2015.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Gambar 4.2 Plot data asli jumlah penumpang Kereta Api
Gambar 4.3 Plot ACF data asli jumlah penumpang Kereta Api
Berdasarkan gambar 4.2 dan 4.3 terlihat bahwa data belum stasioner
terhadap rata-rata, karena pada plot data asli yang ke-91 dan seterusnya data
mengalami kenaikan yang cukup tinggi dan ACF turun secara lambat menuju nol.
Sehingga perlu dilakukan pembedaan pertama untuk data. Pembedaaan pertama
dengan transformasi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Gambar 4.4 Plot data hasil pembedaan pertama
Berdasarkan gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner terhadap rata-
rata dan variansi, karena data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata dan varianisi
konstan. Setelah diperoleh data yang stasioner, langkah selanjutnya yang
dilakukan adalah identifikasi model dengan cara melihat plot PACF dan ACF data
yang telah dilakukan pembedaan.
Gambar 4.5 Plot PACF pembedaan pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Gambar 4.6 Plot ACF pembedaan pertama
Dilihat dari plot ACF gambar 4.6 data memuat faktor musiman yang turun
secara lambat mendekati nol. Faktor musiman adalah musiman 12 bulanan, karena
pola selalu berulang setiap lag 12. Dari plot PACF non musiman data terpotong
setelah lag 1 ditulis AR(p=1), plot PACF musiman data terpotong setelah lag 1
ditulis SAR(P=1), plot ACF non musiman data terpotong pada lag 1 ditulis
MA(q=1), dan plot ACF musiman data menurun secara lambat menuju nol ditulis
SMA(Q=0) dan pembedaan orde pertama yaitu d=1. Dari plot PACF dan plot
ACF diperoleh beberapa kemungkinan model.
Model
ARIMA(1,1,1)(1,0,0)12
ARIMA(1,1,0)(1,0,0)12
ARIMA(0,1,1)(1,0,0)12
ARIMA(0,1,0)(1,0,0)12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
2. Pendugaan Parameter
Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah
menduga parameter.
a) Model ARIMA
AR 1 MA 1 SAR 1
Koefisien -0.3304 -1.0000 0.5973
SE koefisien 0.0895 0.0246 0.0770
b) Model ARIMA
AR 1 SAR 1
Koefisien -0.6305 0.6393
SE koefisien 0.0719 0.0726
c) Model ARIMA
MA 1 SAR 1
Koefisien -1.0000 0.6431
SE koefisien 0.0188 0.0725
d) Model ARIMA
SAR 1
Koefisien 0.6886
SE koefisien 0.0682
3. Uji Kecocokan Model
Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah
model yang mempunyai galat acak dan galat berdistribusi normal yang berarti
galat bersifat white noise.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
a. Model ARIMA
Gambar 4.7 Plot ACF galat model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.7, tidak ada lag yang melebihi garis putus-
putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat bersifat acak. Untuk
lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah
Tabel 4.6 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 12 24 36 48
P-Value 0.8583 0.9346 0.9949 0.997
Gambar 4.8 plot Box-Pierce
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Berdasarkan Tabel 4.6 dan gambar 4.8 terlihat bahwa p-value untuk setiap
lag yang diuji lebih besar dari sehingga diterima (galat bersifat
acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.
Gambar 4.9 plot normalitas galat
Dari plot normalitas galat, data berada disekitar garis dan menggunakan
program spss diperoleh , yang berarti
sehingga galat berdistribusi normal.
b. Model ARIMA
Gambar 4.10 Plot ACF galat model ARIMA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Berdasarkan plot ACF gambar 4.10, ada lag yang melebihi garis putus-
putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak.
Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah
Tabel 4.7 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 1 2 3 12
P-Value 0.005708 0,0003443 0,0007.331 0.005431
Gambar 4.11 plot Box-Pierce
Berdasarkan tabel 4.7 dan gambar 4.11 terlihat bahwa p-value untuk setiap
lag yang diuji lebih kecil dari sehingga ditolak (galat tidak bersifat
acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.
Gambar 4.12 plot normalitas galat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program
spss diperoleh , yang berarti sehingga
galat berdistribusi normal.
c. Model ARIMA
Gambar 4.13 Plot ACF galat model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.13 ada lag melebihi garis putus-putus
(garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk
lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce lihat tabel dibawah
Tabel 4.8 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 1 2 3 4
P-value 0.0004719 0.002137 0.006408 0.01423
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Gambar 4.14 plot Box-Pierce
Berdasarkan tabel 4.8 dan gambar 4.13 terlihat bahwa untuk lag yang diuji
sehingga ditolak (galat tidak bersifat acak).
Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal
Gambar 4.15 plot normalitas galat
Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program
spss diperoleh , yang berarti sehingga
galat berdistribusi normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
d. Model ARIMA
Gambar 4.16 Plot ACF galat model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.16, ada lag yang melebihi garis putus-putus
(garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk
lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah
Tabel 4.9 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 1 2 12 24
P-Value
Gambar 4.17 plot Box-Pierce
Berdasarkan tabel 4.9 dan gambar 4.17 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag
yang diuji lebih kecil dari sehingga ditolak(galat tidak bersifat acak).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.
Gambar 4.18 plot normalitas galat
Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program
diperoleh , yang berarti sehingga galat
berdistribusi normal.
Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 4.10
Tabel 4.10 Rangkuman uji kecocokan model
Model Galat
Acak Normal
ARIMA Ya Ya
ARIMA Tidak Ya
ARIMA Tidak Ya
ARIMA Tidak Ya
Dari tabel ringkasan, dapat dilihat bahwa model yang dipilih adalah model
yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan berdistribusi
normal. Sehingga model ARIMA adalah model yang dipilih
untuk evaluasi model.
Setelah diperoleh model yang memenuhi asumsi, model dapat ditulis
menggunakan operator langkah mundur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
( )( ) ( )
Pendugaan parameter , yakni, ,
dan . Substitusi parameter ke dalam persamaan,
sehingga diperoleh
Gambar 4.19 plot data dan data
peramalan
C. Evaluasi Model
Pada tahap ini akan dicari model yang paling baik dalam pendugaan data
runtun waktu, yaitu dengan mempehatikan nilai MSE dari kedua model, yaitu
model dekomposisi klasik dan model ARIMA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Model MSE
ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12 822631.997
Dekomposisi klasik 627481.728
Dilihat dari nilai MSE, metode dekomposisi memiliki nilai MSE lebih kecil
dibandingkan dengan metode ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12. Sehingga metode yang
terbaik untuk pendugaan data runtun waktu jumlah penumpang kereta api adalah
metode dekomposisi klasik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
BAB V
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1. Metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA merupakan metode analisis
runtun waktu. Proses pemodelan metode dekomposisi terdiri dari:
menghitung rata-rata bergerak , mengurangkan data asli ( ) dengan
rata-rata bergerak , menghitung rata-rata medial dan indeks musiman
dari , menentukan garis tren , dan peramalan. Proses
pemodelan metode ARIMA terdiri dari: identifikasi model, pendugaan
parameter, Uji kecocokan model dan peramalan.
2. Berdasarkan hasil analisis data jumlah penumpang kereta api dari tahun
2006-2015, maka dapat disimpulkan bahwa metode yang terbaik adalah
metode dekomposisi klasik. Metode dekomposisi klasik menghasilkan nilai
MSE sebesar 627481.72, sedangkan metode
menghasilkan nilai MSE sebesar 822631.997. Sehingga metode
dekomposisi klasik lebih baik untuk pendugaan data runtun waktu
dibandingkan dengan metode ARIMA pada kasus ini.
B. SARAN
1. Metode yang dibahas pada skripsi untuk pendugaan data runtun waktu
adalah metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA. Metode tersebut
dapat dikembangkan lagi sepeti metode dekomposisi census II, metode
multivariat ARIMA dan metode X-11 ARIMA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
2. Pada skripsi ini hanya menduga model yang terbaik, bagi pembaca yang
ingin melanjutkan dapat meramalkan data dari model terbaik yang telah
diperoleh.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
DAFTAR PUSTAKA
Aswi dan Sukarna. (2006). Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi. Makasar:
Andira
Badan Pusat Statistik. (2016). Jumlah Penumpang Kereta Api, 2006-2015 (Ribu
Orang). http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#. 8 April 2016.
Binus University. Alpha dan P-value dalam Statistik.
http://sbm.binus.ac.id/2015/11/20/alpha-dan-p-value-dalam-statistik/. 20
Juli 2016.
Bowerman, L.B dan O’Connel, T.R. (1993). Forecasting and Time Series: An
Applied Approach. Belmont: Duxbury Press.
Box, G.E.P dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and
Control. Oakland: Holdan-Day.
Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis:
Forecasting and Control. New Jersey: Prentice-Hall.
Brockwell, P.J dan Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and
Forecasting. New York : Springer.
Chatfield, C. (2000). Time Series Forecasting. Boca Raton: Chapman &
Hall/CRC.
Daniel, W.W. (1989). Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.
Hanke, J.E. dan Wichern, D.W. (2009). Business Forecasting Ninth Edition. New
Jersey: Pearson Education.
Ladiray, D dan Quenneville, B. (2001). Seasonal Adjustment with The X11
Method. New York : Springer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1999). Metode dan Aplikasi
Peramalan. Jakarta: Erlangga.
Mendenhall, W.,Scheaffer, R.L., dan Wackerly, D.D. (1986). Mathematical
Statistics with Applications Third Edition. United States: PWS Publishers.
Shumway, R.H dan Stoffer, D.S. (2011). Time Series Analysis and Its Application
With R Examples Third Edition. New York: Springer.
Wei, W.W.S., (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multiplicative
Method Second Edition. United States: Pearson Education.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
LAMPIRAN
Berikut merupakan tabel dan program pada Bab III dan Bab IV
Tabel 3.1 data asli
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
1990 6600 1000 2300 1000 800 1700
1991 4100 3200 1300 1800 1300 1000
1992 6400 3200 900 1000 1000 700
1993 13900 1800 400 700 500 100
1994 12300 1500 2400 1100 800 500
1995 7300 600 2600 1000 900 300
1996 7200 2200 1800 1000 900 700
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1990 3500 200 100 100 700 1100
1991 2800 500 400 1100 1100 1700
1992 1100 600 400 2300 1000 2600
1993 900 500 600 800 2000 1400
1994 2100 800 200 1800 3700 3000
1995 1100 1100 200 2100 1400 3500
1996 1200 700 500 1400
Tabel 4.1 data asli jumlah penumpang kereta api
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
2006 11828 11931 13314 12909 13575 13203
2007 13960 10969 13409 14415 15232 15104
2008 15027 14378 16071 15711 16363 17010
2009 14494 13869 17132 16775 17824 18143
2010 17424 15207 16992 16832 16988 17259
2011 16891 14890 16978 16441 17522 17265
2012 16283 15490 17090 16746 17771 18062
2013 14900 14594 15826 16000 16113 17301
2014 21092 19998 22836 21908 22988 23840
2015 24676 22790 27267 26565 27910 27562
Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
2006 14433 13255 13436 14290 13631 13614
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
2007 16454 15419 15033 15866 14391 15084
2008 17887 17108 15879 17337 15973 15332
2009 18385 17527 17281 17281 16778 17581
2010 17680 16477 17301 16908 16469 17733
2011 18132 14846 16921 16461 16179 16811
2012 18309 17056 16368 17127 15773 16104
2013 20245 19423 19738 20534 19919 21417
2014 22500 23199 23593 24923 24356 26275
2015 27612 27796 27549 28718 27669 29831
Langkah-langkah metode ARIMA contoh 3.4 runtun waktu
> data= read.delim(file.choose())
> t= data[,1]
> Xt= data[,2]
> plot(t,Xt, type="o", main="Data Asli")
>acf(Xt, lag.max=40)
>library(forecast)
Trasformasi
> lambda= BoxCox.lambda(Xt)
> lambda
[1] -0.1463171
> dataTransformasi= (Xt^lambda-1)/lambda
> plot(t, dataTransformasi, type="o", xlab="t", ylab="transformasi",
main="Data transformasi")
> pacf(dataTransformasi, lag.max=60)
> acf(dataTransformasi, lag.max=60)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0)
,period=12))
Series: dataTransformasi
ARIMA(1,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean
Coefficients:
ar1 ma1 sar1 intercept
0.4583 -0.1648 0.6469 4.3673
s.e. 0.2450 0.2668 0.0866 0.1002
sigma^2 estimated as 0.06697: log likelihood=-8.82
AIC=27.64 AICc=28.42 BIC=39.67
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,0)
,period=12))
> estimasi
Series: dataTransformasi
ARIMA(1,0,0)(1,0,0)[12] with non-zero mean
Coefficients:
ar1 sar1 intercept
0.3095 0.6400 4.3672
s.e. 0.1060 0.0863 0.0933
sigma^2 estimated as 0.06742: log likelihood=-9
AIC=26 AICc=26.52 BIC=35.62
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0)
,period=12))
> estimasi
Series: dataTransformasi
ARIMA(0,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean
Coefficients:
ma1 sar1 intercept
0.2405 0.6432 4.3661
s.e. 0.0923 0.0873 0.0815
sigma^2 estimated as 0.06896: log likelihood=-9.94
AIC=27.88 AICc=28.4 BIC=37.51
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,0)
,period=12))
> estimasi
Series: dataTransformasi
ARIMA(0,0,0)(1,0,0)[12] with non-zero mean
Coefficients:
sar1 intercept
0.6745 4.3636
s.e. 0.0837 0.0727
sigma^2 estimated as 0.07362: log likelihood=-13.03
AIC=32.07 AICc=32.38 BIC=39.29
> galat= residuals(estimasi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
>acf(galat, lag.max=82)
> Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke
> tsdiag(estimasi)
> qqnorm(galat)
> qqline(galat)
>Xttopi= dataTransformasi-galat
> plot(t,dataTransformasi, col="red", type="o", main="plot data transformasi
dengan data ramalan transformasi")
> lines(t,Xttopi, col="blue")
> legend("topright", c("data transformasi","data ramalan transformasi"),
cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2)
Langkah-langkah metode ARIMA jumlah penumpang kereta api
> data= read.delim(file.choose())
> t= data[,1]
> Xt= data[,2]
> plot(t,Xt, type="o", main="Jumlah Penumpang Kereta Api")
>acf(Xt, lag.max=70)
>library(forecast)
Trasformasi .
>d1= diff(Xt)
>t1= 2:120
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
> plot(t1, d1, type="o", xlab="t1", ylab="d1", main="Pembedaan Pertama
Jumlah Penumpang KA")
> pacf(d1, lag.max=80)
> acf(d1, lag.max=80)
> estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12))
> estimasi
Series: d1
ARIMA(1,1,1)(1,0,0)[12]
Coefficients:
ar1 ma1 sar1
-0.3304 -1.0000 0.5973
s.e. 0.0895 0.0246 0.0770
sigma^2 estimated as 822632: log likelihood=-975.63
AIC=1959.26 AICc=1959.61 BIC=1970.34> galat= residuals(estimasi)
> estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12))
> estimasi
Series: d1
ARIMA(1,1,0)(1,0,0)[12]
Coefficients:
ar1 sar1
-0.6305 0.6393
s.e. 0.0719 0.0726
sigma^2 estimated as 1437586: log likelihood=-1007.37
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
AIC=2020.75 AICc=2020.96 BIC=2029.06
> estimasi=Arima(d1,order=c(0,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12))
> estimasi
Series: d1
ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12]
Coefficients:
ma1 sar1
-1.0000 0.6431
s.e. 0.0188 0.0725
sigma^2 estimated as 914595: log likelihood=-982
AIC=1970 AICc=1970.21 BIC=1978.31
> estimasi=Arima(d1,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12))
> estimasi
Series: d1
ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12]
Coefficients:
sar1
0.6886
s.e. 0.0682
sigma^2 estimated as 2334530: log likelihood=-1036.43
AIC=2076.86 AICc=2076.96 BIC=2082.4
>galat= residuals(estimasi)
>acf(galat, lag.max=120)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
> Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke
> tsdiag(estimasi)
> qqnorm(galat)
> qqline(galat)
>Xttopi= d1-galat
> plot(t1,d1, col="red", type="o", main="plot Xt' dengan Xt' Peramalan")
> lines(t1,Xttopi, col="blue")
> legend("topright", c("data Xt' ","data ramalan Xt' "),
cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI