perbandingan inversi least-square dengan levenberg...
TRANSCRIPT
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
Perbandingan Inversi Least-Square dengan Levenberg-
Marquardt pada Metode Geomagnet untuk Model
Crustal Block
Umar Saida), Mohammad Heriyantob), dan Wahyu Srigutomoc)
Laboratorium Fisika Bumi,
Kelompok Keilmuan Fisika Bumi dan Sistem Kompleks,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung,
Jl. Ganesha no. 10 Bandung, Indonesia, 40132
a)[email protected] (corresponding author)
b)[email protected] c)[email protected]
Abstrak
Metode geomagnet merupakan metode geofisika yang memanfaatkan informasi perbedaan magnetisasi
batuan bawah permukaan bumi. Metode geomagnet umum digunakan pada eksplorasi awal pencarian
sumber panasbumi atau juga pemetaan sesar/patahan di bawah permukaan. Salah satu metode inversi yang
sering digunakan dalam pengolahan data geomagnet adalah inversi Least-Square (LS) dan Levenberg-
Marquardt (LM). Tujuan penelitian ini adalah membandingkan inversi LS dengan LM dalam hal keakuratan
penentuan parameter model berdasarkan error root-mean-square (rms) dan banyaknya iterasi. Data yang
digunakan berupa data sintetik dan bernoise dari model crustal block. Hasil dari penelitian ini menunjukan
bahwa kedua inversi ini sangat bergantung terhadap tebakan model awal dan LM juga bergantung terhadap
faktor redaman (). Inversi LS lebih baik digunakan untuk data tanpa noise dengan error rms-nya sebesar
2.110-10. Data dengan tambahan noise sebesar 5% dan 10 %, inversi LM lebih efektif dan baik daripada
LS, dengan error rms-nya sebesar 4.2910-8 dan 5.7310-5.
Keywords: Geomagnet, least-square, levenberg-marquardt, crustal block, noise
PENDAHULUAN
Geofisika merupakan satu cabang ilmu yang mempelajari bumi menggunakan prinsip-prinsip fisika.
Penelitian geofisika ditujukan untuk mengetahui kondisi bawah permukaan bumi melalui pengukuran-
pengukuran yang dilakukan di atas permukaan bumi. Pengukuran ini kemudian ditafsirkan sebagaimana sifat-
sifat dan kondisi di bawah permukaan. Metode geofisika terbagi menjadi dua kategori, geofisika aktif dan
geofisika pasif. Metode pasif dilakukan dengan mengukur respon alami yang dihasilkan oleh bumi seperti
medan elektromagnetik, magnet bumi, potensial bumi, gravitasi bumi, gempa bumi dan lain sebagainya.
Sedangkan metode aktif dilakukan dengan membuat gangguan buatan kemudian diukur respons terhadap
gangguan tersebut [1]. Salah satu bagian terpenting dalam geofisika adalah proses menafsirkan respon/data
yang bergantung dengan kondisi dan sifat fisis batuan bawah permukaan, atau yang dikenal dengan proses
interpretasi. Interpretasi data dapat dilakukan secara kualitatif ataupun kuantitatif. Interpretasi kualitatif
dilakukan dengan cara mengamati pola data atau anomali yang diperoleh. Anomali dengan pola tertentu
berasosiasi dengan sumber anomali bawah permukaan dengan geometri tertentu. Hubungan antara pola
anomali dengan parameter model diperoleh dari perumusan sederhana. Hasil dari interpretasi kualitatif
mencakup perkiraan posisi, ukuran, dan kedalaman benda yang menimbulkan anomali tersebut. Sedangkan
interpretasi kuantitatif dilakukan melalui pemodelan kedepan dan inversi. Dalam hal ini, model
ISBN: 978-602-61045-1-9 433
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
merepresentasi keadaan geologi bawah permukaan dengan besaran fisis dan geometri tertentu (variasi spasial). Model sederhana dipilih agar permasalahan dapat disederhanakan dan respon/data dapat dihitung
secara matematis dengan memanfaatkan teori fisika.
Metode geomagnet merupakan metode geofisika pasif yang didasarkan pada sifat kemagnetan batuan
sehingga sensitivitas metode ini bergantung pada kontras magnetisasi bawah permukaan. Magnetasi bumi
ditentukan oleh medan magnet bumi yang terdiri dari 3 bagian, yaitu medan utama, medan luar dan anomali
medan magnetik. Medan utama ditimbulkan dari medan magnet utama yang dihasilkan oleh bumi, medan
luar berasal dari pengaruh luar bumi yang merupakan hasil dari ionisasi di atmosfer yang ditimbulkan oleh
sinar ultraviolet dan matahari. Sedangkan anomali medan magnetik merupakan terget dari pengukuran
geomagnet, karena medan anomali ini berasosiasi dengan besarnya intensitas magnetisasi dari suatu batuan.
Besar anomali ini berkisar nilai ratusan sampai ribuan nT (nano Tesla). Secara garis besar anomali ini
disebabkan oleh medan magnetik remanen dan medan magnet induksi [3].
Tujuan penelitian ini adalah membandingkan inversi least-square (LS) dan Levenberg-Marquardt (LM)
pada metode geomagnet.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan data sintetik yang diperoleh dari model uji crustal block dengan posisi dan
ukuran geometri benda anomali magnetiknya ditetapkan pada suatu nilai tertentu. Data sintetik ini kemudian
divariasikan dengan memberikan tambahan noise sebesar 5% dan 10%. Kemudian dilakukan inversi LS dan
LM terhadap ketiga data tersebut. Pembuatan program pemodelan kedepan, inversi LS, dan LM dilakukan
pada software MATLAB MathWorks.
Pemodelan Kedepan Model Crustal Block
Pemodelan kedepan merupakan suatu proses perhitungan data yang secara teoritis akan teramati di
permukaan bumi jika diketahui harga parameter model tertentu bawah permukaan. Ilustrasinya ditunjukan
pada Gambar. 1 di bawah ini:
Gambar 1. Ilustrasi pemodelan kedepan
Pada penelitian ini digunakan model uji crustal block yang geometrinya sudah ditetapkan [3].
Gambar 2. Model crustal block
Berdasarkan Gambar. 2 diatas, perumusan anomali magnetik di setiap titik pengukuran adalah sebagai
berikut:
ISBN: 978-602-61045-1-9 434
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
)
43()
21(
2
0),(
zMzxzB
(1)
Dimana nilai 1
,2
,3
,4
adalah sebagai berikut:
1
01
1
)(tan
z
cxx ;
1
01
2
)(tan
z
cxx
2
01
3
)(tan
z
cxx ;
2
01
4
)(tan
z
cxx
dimana x adalah panjang pengukuran (meter), x0 berupa posisi tengah benda anomali (meter), c adalah
panjang setengah block (meter), diubah menjadi L, dimana L = 2c. Kemudian z1 sebagai kedalaman anomali
bagian sisi atas (meter), z2 adalah kedalaman anomali bagian sisi bawah (meter), dan Mz = kontras
magnetisasi (nano Tesla).
Inversi
Inversi merupakan suatu metode matematis dan statistik untuk memperoleh informasi yang berguna
mengenai suatu sistem fisika berdasarkan observasi terhadap sistem tersebut [2]. Sistem fisika bersesuaian
dengan fenomena yang akan ditinjau, sedangkan hasil observasinya bersesuaian dengan data, hasil informasi
yang ingin diperoleh merupakan suatu parameter model yang sesaui dengan sistem fisis yang ada [4]. Ilustrasi
pemodelan inversi ditunnukan pada Gambar. 3 di bawah ini:
Gambar 3. Ilustrasi inversi
Hubungan antara data/respon dengan parameter model adalah linier, akan tetapi permasalahan dalam
geofisika kebanyakan berupa non-linier [2,4].
)(mHd (2)
dimana d adalah data/respon, m menunjukkan parameter model/model, dan H adalah fungsi pemodelan
kedepan yang menghubungkan data/respon dan parameter model secara non-linier.
Inversi Least-Square (LS)
Persamaan iteratif inversi LS [2,4] sebagai berikut:
n
T
nn
T
nnnmHdJJJmm
obs
1
1 (3)
Dengan dobs adalah data lapangan atau sintetik dan nJ merupakan matriks Jacobi pada iterasi ke-n.
M
M
m
NH
m
NH
m
iH
m
iH
mm
mm
mJ
1
1
(4)
ISBN: 978-602-61045-1-9 435
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
dimana i berasosiasi pada pengukuran ke-i, N adalah banyak titik pengukuran dan M berupa banyak parameter
model.
Inversi Levenberg-Marquardt (LM)
n
T
nn
T
nnnmHdJIJJmm
obs
1
1 (5)
dimana n
m adalah parameter model iterasi ke-n, I disebut matriks identitas, dan adalah faktor redaman
yang nilainya dipilih dengan coba-coba sampai mendapatkan nilai yang sesuai.
Error root-mean-square (error rms) dipilih sebagai parameter yang digunakan untuk mengukur seberapa
besar kesalahan yang dimiliki data perhitungan dengan data pengamatan. Perumusan error rms sebagai
berikut:
Nrmserror
N
i
i
cal
i
obsdd
2
1_
(6)
Hasil dari error rms ini digunakan untuk menganalisis kesesuaian antara data observasi (dobs) dan data
perhitungan (dcal), semakin error rms-nya kecil maka semakin akurat pula kesesuaian datanya.
Gambar 4. Algoritma inversi non-linier
Gambar. 4 menjelaskan alur proses inversi non-linier. Model awal (m0) dipilih tidak jauh dari parameter
model sebenarnya (model uji), untuk menghasilkan solusi yang konvergen. Pada bagian modifikasi model,
untuk inversi LS = 0 sedangkan untuk LM = I. Parameter yang membedakan inversi keduanya. Sementara tol adalah toleransi, dalam penelitian ini ditentukan sebesar 110-10.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan Kedepan Model Crustal Block
Pengukuran dilakukan pada lintasan (arah x) sepanjang 200 meter dan spasi pengukuran sebesar 1 meter.
Tabel 1. Tabel parameter model untuk pemodelan kedepan
No Parameter Model
ISBN: 978-602-61045-1-9 436
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
1 Mz (nT) 600 2 z1 (m) 3
3 z2 (m) 4
4 x0 (m) 0
5 L (m) 20
Sehingga diperoleh data sintetik hasil pemodelan kedepan sebagai berikut:
Gambar 6. Hasil pemodelan kedepan dengan model uji crustal block. a) model bawah permukaan b) Data sintetik tanpa
noise c) Noise 5% dan d) Noise 10 %.
Penambahan noise dilakukan dengan cara menambahkan masing-masing data tanpa noise dengan 5% atau
10 % dari masing-masing data tersebut, sehingga pada Gambar. 6(c) dan 6(d) terlihat ada data yang berubah
nilainya dari data sintetik (data tanpa noise). Penambahan noise ini bertujuan untuk membuat data sintetik
berperilaku seperti data lapangan (tidak ideal/banyak noise), kemudian juga untuk menguji ketahanan metode
inversi yang dipilih terhadap data yang mempunyai noise.
Inversi
Hasil inversi LS dan LM pada data sintetik tanpa noise sebagai berikut:
a)
b)
c)
d)
ISBN: 978-602-61045-1-9 437
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
Gambar 7. Hasil inversi a) LS dan b) LM dengan = 110-11pada data sintetik tanpa noise.
Tabel 2. Perbandingan hasil inversi LS dan LM pada data sintetik tanpa noise.
Model Uji
Hasil Inversi
LS LM
1 = 1x10-11 2 = 1x10-21 3 = 1x10-27
Mz (nT) 600 599 449.14 599.97 599.97
z1 (m) 3 2.99 2.85 2.99 2.99
z2 (m) 4 4 4.189 4 4
x0 (m) 0 2.30x10-6 2.18x10-5 2.3x10-6 2.37x10-6
L (m) 20 20 19.99 20 20
Iterasi 100 100 100 100
Error rms 2.1x10-10 1.01x10-6 2.01x10-8 2.01x10-8
Inversi dilakukan untuk data tanpa noise dan data dengan tambahan noise. Inversi yang diterapkan berupa
inversi LS dan LM, dengan parameter model awal (m0) adalah Mz = 450 nT, z1 = 1 m, z2 = 3 m , x0 = 1 m,
dan L = 15 m. Untuk inversi LS dapat dilihat pada tabel 2, nilai error rms-nya sebesar 2.110-10, sedangkan
inversi LM menghasilkan error rms = 2.0110-8 dengan nilai = 110-21 dan 110-27 kemudian untuk = 110-11 nilai error rms = 1.0110-6. Sehingga untuk data tanpa noise, inversi LS lebih baik dibanding LM
dengan berdasarkan error rms yang diperoleh. LM terkadang memberi hasil inversi yang baik asalkan
pemilihan -nya tepat, dalam kasus ini > 110-27. Namun dalam pemilihan seringkali memakan waktu lama sehingga waktu komputasi kurang efisien. Hasil pemodelan inversinya ditunjukan pada Gambar 7 di
atas.
Gambar 8. Hasil inversi a) LS dan b) LM dengan = 110-11 pada data noise 5%.
Tabel 3. Perbandingan hasil inversi LS dan LM pada data noise 5%.
Model Uji Hasil Inversi
LS LM
b) a)
b) a)
ISBN: 978-602-61045-1-9 438
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
1 = 110-11 2 = 110-21 3 = 110-9 Mz (nT) 600 325.96 449.13 325.9 449.9
z1 (m) 3 2.6 2.89 2.67 2.89
z2 (m) 4 4.5 4.24 4.53 4.2
x0 (m) 0 -1.210-2 -1.210-2 -1.210-2 -1.210-2
L (m) 20 20.01 20 20.01 20
Iterasi 100 100 100 100
Error rms 2.5810-5 2.5910-5 4.2910-8 2.5910-5
Data dengan tambahan noise sebesar 5%, hasilnya dapat dilihat pada Gambar. 8 dan tabel 3. Nilai error
rms pada masing-masing inversi hampir sama yaitu pada orde 10-5. Akan tetapi jika diperhatikan masing-
masing parameter model, inversi LM lebih baik dibanding LS. Misal parameter model kedalaman, untuk LM
menghasilkan z1 = 2.89 m dan z2 = 4.2 m, hasil ini lebih mendekati nilai parameter model sebenarnya yaitu z1 = 3 m dan z2 = 4 m, daripada LS yang menghasilkan z1 = 2.6 m dan z2 = 4.5 m. Hal ini menunjukkan inversi
LM lebih baik dengan lebih besar dari 110-11.
Gambar 9. Hasil inversi a) LS dan b) LM dengan =110-11 pada data noise 10%.
Tabel 4. Perbandingan hasil inversi LS dan LM pada data noise 10%.
Model Uji
Hasil Inversi
LS LM
1 = 110-11 2 = 110-21 3 = 110-9 4 = 110-15
Mz (nT) 600 252.08 449.91 564.1 449.9 508.08
z1 (m) 3 2.42 2.86 2.99 2.86 2.93
z2 (m) 4 4.8 4.2 4.11 4.2 4.11
x0 (m) 0 -7.610-2 3.0910-3 -6.310-4 3.0810-3 3.1110-3
L (m) 20 20 19.97 19.9 19.97 19.9
Iterasi 100 100 100 100 100
Error rms 5.9410-5 5.7410-5 7.9310-4 5.7310-5 5.7310-5
Data dengan tambahan noise 10% menghasilkan model inversi seperti ditunjukan pada Gambar. 9, terlihat
bahwa inversi LS menghasilkan error rms sebesar 5.9410-5, sedangkan LM menghasilkan error rms sebesar
5.7310-5 untuk = 110-9. Berdasarkan hasil error rms-nya, kedua inversi tersebut sama baiknya dalam
menentukan parameter model. Akan tetapi, jika diperhatikan masing-masing parameter model, maka LM
lebih baik digunakan untuk data dengan noise 10% daripada inversi LS. Parameter model Mz, pada LS
menghasilkan nilai 252.08 nT, sedangkan LM menghasilkan nilai 564.1 nT untuk = 110-21. Hasil inversi
LM ini lebih mendekati Mz yang sebenarnya yaitu 600 nT, begitupun untuk parameter model lainnya yang
menunjukkan inversi LM lebih mendekati nilai sebenarnya dibanding inversi LS.
Hasil inversi LM dan LS sangat bergantung terhadap tebakan awal. Apabila tebakan awal tidak terlalu
dekat dengan parameter model sebenarnya maka inversi LS akan menghasilkan solusi inversi yang divergen
atau menuju tak hingga atau tak definisi. Namun untuk LM akan tergantung juga terhadap faktor redaman,
jadi tidak langsung menghasilkan solusi divergen seperti LS. Pada kedua data bernoise tersebut, inversi LM
a) b)
ISBN: 978-602-61045-1-9 439
-
PROSIDINGSKF2016
1415 Desember2016
lebih baik dibanding LS. Hal ini terjadi ketika pemilihan -nya tepat. Ketika pemilihan tepat maka persamaan iteratif (5) akan menghasilkan solusi inversi yang konvergen dan dekat dengan nilai parameter
model sebenarnya.
Pada penelitian ini, parameter banyaknya iterasi tidak bisa dianalisis lebih lanjut untuk membandingkan
inversi LS dan LM. Hal ini terjadi karena dalam proses perhitungan inversi, banyaknya iterasi selalu bernilai
100, nilai ini sebenarnya batas maksimum iterasi yang mampu dijalankan oleh program.
KESIMPULAN
1. Data tanpa noise inversi LS lebih baik dan cepat dibanding inversi LM dalam menentukan parameter model. LM tergantung nilai yang diberikan. Pada data tanpa noise, LM baik untuk > 110-27. Solusi inversi LS dan LM sangat bergantung dengan tebakan parameter model awal.
2. Data dengan noise 5% inversi LM dengan error rms 4.2910-8 lebih baik dalam menentukan parameter model dibanding inversi LS. Hasil LM sangat baik ketika menggunakan > 110-11.
Sedangkan pada inversi LS error rmsnya bernilai 2.58x10-5.
3. Inversi LM lebih efektif untuk digunakan pada data bernoise dengan memperhitungkan nilai yang digunakan. Tetapi untuk data yang teratur (data tanpa noise) maka inversi LS lebih efektif dibanding
inversi LM yang harus diatur terlebih dahulu -nya supaya menghasilkan nilai yang sesuai. Sehingga hasil inversi LM sangat bergantung dengan nilai yang dipilih.
REFERENSI
1. W. M. Telford, et all, Applied Geophysics 2 Ed. Cambridge University Press, Melbourne (1990) 2. W. Menke, Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory. Academic Press, New York (1984) 3. W. Lowrie, Fundamental of Geophysics 2 Ed. Cambridge University Press, New York (2007) 4. H. Grandis, Pengantar Pemodelan Inversi Geofisika. HAGI, CV. Bumi Printing, Bandung (2009)
ISBN: 978-602-61045-1-9 440