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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Pequeno Teorema de Fermat
Pequeno Teorema de FermatSeja p um primo e a ∈ Z. Entao
ap ≡ a (mod p).
Em particular, se p - a, entao
ap−1 ≡ 1 (mod p).
M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC
Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Pequeno Teorema de Fermat
Demonstracao (efetuada por Euler em 1730) :p = 2 a2 ≡ a (mod 2)⇔ 2 | a(a− 1) e a(a− 1) e par.p > 2 Para a = 0 e a = 1 a afirmacao e verdadeira.
Por hipotese de inducao, suponhamos que, paracerto a ∈ N0, ap ≡ a (mod p).Entao,
(a + 1)p ≡ap + (p1)a
p−1 + · · ·+ ( pp−1)a + 1 (mod p)
≡ap + 1 (mod p)≡a + 1 (mod p)
Logo ap ≡ a (mod p), para todo a ∈ N0.Como p − 1 e par, entao ap−1 = (−a)p−1 pelo que a afirmacaoe valida para todo o a ∈ Z.
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Pequeno Teorema de Fermat
Exemplo
250 + 350 e divisıvel por 13.
250 =24·12+2 = (212)4 · 22 logo
250 ≡22 (mod 13)
350 =34·12+2 = (312)4 · 32 logo
350 ≡32 (mod 13)
250 + 350 ≡22 + 32 (mod 13)≡0 (mod 13)
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Pequeno Teorema de Fermat
Exercıcios1 Calcule o resto da divisao de 3372 por 37.2 Mostre que 7 - n2 + 1 qualquer que seja n ∈ Z.3 Calcule
31100 mod 19,210000 mod 29.
4 Mostre que 1184 − 584 e divisıvel por 7.5 Mostre que, para qualquer n ∈ N,
1 se n ≡ 2 (mod 4), entao 5 | 9n + 8n;2 n13 − n ≡ 0 (mod 2730).
6 Mostre que para qualquer primo p > 3, abp − bap edivisıvel por 6p, para quaisquer inteiros a e b.
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Pequeno Teorema de Fermat
Sera o recıproco do Teorema de Fermat valido?
i.e., se an−1 ≡ 1 (mod n) para todo o inteiro a tal quem.d.c.(a,n) = 1, entao n e primo?
Nao, por exemplo, 561 e tal que:
561 = 3 · 11 · 17a560 ≡ 1 (mod 561), para qualquer a ∈ Z tal quem.d.c.(a,561) = 1.
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Pequeno Teorema de Fermat
Definicao
Seja a ∈ Z. Um inteiro composto n tal que
an−1 ≡ 1 (mod n)
diz-se um pseudoprimo de base a.
Se n e pseudoprimo de base a para todo o inteiro a tal quem.d.c.(a,n) = 1, entao n diz-se um pseudoprimo, ou umnumero de Carmichael.
ExemplosSao pseudoprimos os numeros: 561, 1105, 1729, 2465, 2821,6601, . . .
Sao pseudoprimos de base 2 os numeros: 341, 561, 645,1105, 1387, 1729, 1905, . . .
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Pequeno Teorema de Fermat
Se n e um pseudoprimo de base 2, entao 2n − 1 tambem e.
Se p e um primo que nao divide a(a2 − 1), entao a2p−1a2−1 e um
pseudoprimo de base a.
Logo existe uma infinidade de pseudoprimos de base a para qual-quer a. No entanto, isto nao chega para concluir que existe umainfinidade de pseudoprimos, mas ...
Teorema (Alford, Granville, Pomerance-1994)
Ha uma infinidade de numeros pseudoprimos.
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Pequeno Teorema de Fermat
Proposicao
Suponhamos que ar ≡ 1 (mod p) com p primo. Se m.d.c.(r ,p−1) = d ,entao
ad ≡ 1 (mod p).
Exemplo
Ha uma infinidade de primos do tipo 8k + 1.Se os primos do tipo 8k +1 fossem em numero finito, entao poder-se-ia admitir que existe ` tal que {p1, . . . ,p`} e o conjunto de todos osprimos da forma 8k + 1.Seja N = (2p1 · · · p`)
4 + 1. Entao,
1 N > pi para 1 ≤ i ≤ `;2 N e do tipo 8k + 1;
3 N e primo.
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Pequeno Teorema de Fermat
Exercıcios
1 Mostre que ha uma infinidade de numeros primos da forma16k + 1.
2 Generalize o resultado e mostrando que ha uma infinidade denumeros primos da forma 2r k + 1.
3 Mostre que:
91 e um pseudoprimo de base 3;45 e um pseudoprimo de base 17;45 e um pseudoprimo de base 19.
4 Mostre que se n e um pseudoprimo de base a e de base b,entao n e um pseudoprimo de base ab.
5 Seja p > 2 um primo. Mostre que se q e um primo que divide2p − 1, entao q = 2kp + 1 para algum k ∈ Z.
6 Mostre que os inteiros n que sao numeros de Mersenne ounumeros de Fermat verificam 2n−1 ≡ 1 (mod n).
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Pequeno Teorema de Fermat
Exercıcios1 Escreva uma funcao no Mathematica que teste se:
1 um numero e um pseudoprimo de base a.2 um numero e um numero de Carmichael.
Repita o exercıcio usando o metodo de Fermat paraverificar se o numero e primo.
2 Escreva uma funcao no Mathematica que:liste os pseudoprimos de base 2 menores do que 100000;liste os pseudoprimos de base 2, 3 e 5 menores do que100000;liste os numeros de Carmichael menores do que 100000;calcule o numero de pseudoprimos de base 2 no intervalode amplitude 1000 de limite inferior x e determine o valorno caso de x = k × 104 para k = 1, . . . ,100.
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Teorema de Euler
Definicao
O numero de elementos invertıveis modulo n num sistemacompleto de resıduos denota-se por φ(n). A funcao
φ : N → Nn 7→ φ(n)
chama-se funcao φ de Euler.
Exemplos
φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2.φ(p) = p − 1 se p e primo.
Exercıcio
Mostre que se p e primo, entao φ(pr ) = pr−1(p−1), para r ≥ 1.
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Teorema de Euler
TeoremaSe m e n sao inteiros tais que m.d.c.(m,n) = 1, entao
φ(mn) = φ(m)φ(n),
i.e., φ e multiplicativa.
Exemplo
φ(6600) = φ(11 · 52 · 3 · 23) = 10 · (5 · 4) · 2 · (22 · 1) = 1600
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Teorema de Euler
Exercıcios1 Prove que existe uma infinidade de numeros primos
usando a funcao φ.2 Escreva uma funcao no Mathematica que calcule φ(n),
para n ∈ N.3 Teste a funcao definida no exercıcio anterior calculandoφ(120) e φ(225).
4 Determine os valores de n para os quais φ(n) = 6.5 Determine os valores de n para os quais φ(n) = n − 2.
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Teorema de Euler
Teorema de EulerSe a e m sao inteiros tais que m.d.c.(a,m) = 1, entao
aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Demonstracao:Se r1, . . . , rφ(m) sao os elementos invertıveis modulo m numsistema completo de resıduos, entao
ar1, . . . ,arφ(m)
sao invertıveis e incongruentes dois a dois modulo m.
aφ(m)(r1 · · · rφ(m)) = ar1 · · · arφ(m) ≡ r1 · · · rφ(m) (mod m).
Como m.d.c.(ri ,m) = 1, entao
aφ(m) ≡ 1 (mod m).
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Teorema de Euler
Exemplo
Calcular os ultimos dois dıgitos de 19931993.
φ(100) = 40m.d.c.(1993,100) = 1
}→ 199340 ≡ 1 (mod 100)
Dado que 1993 mod 40 = 33,
19931993 ≡ 199333 (mod 100)
≡ 9333 (mod 100)
≡ −733 (mod 100)
≡ −(74)87 (mod 100)
≡ −7 (mod 100) ( porque 74 ≡ 1 (mod 100))≡ 93 (mod 100)
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Teorema de Euler
Exemplo
Calcular inverso de a modulo m.
Se m.d.c.(a,m) 6= 1, entao a nao e invertıvel modulo m.
Senao,aφ(m) ≡ 1 (mod m),
ou seja,a · aφ(m)−1 ≡ 1 (mod m).
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Teorema de Euler
Exercıcios1 Calcule o inverso de 2 e de 3 modulo 35.2 Calcule o resto da divisao de 2720 por 225.3 Calcule:
3340mod 341;789
mod 100;210000mod 121.
4 Mostre que n12 ≡ 1 (mod 72) para qualquer inteiro n talque m.d.c.(n,72) = 1.
5 Verifique que se p e primo, entao
1p−1 + 2p−1 + · · ·+ (p − 1)p−1 ≡ −1 (mod p).
6 Escreva um a funcao que permita verificar para queinteiros a congruencia da questao anterior e valida.
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Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Teorema de Lagrange
Teorema de Lagrange
Se K e um corpo e f e um polinomio de grau n em K[x ], entaoa equacao f (x) = 0 tem no maximo n solucoes em K.
CorolarioSe p e um primo e f (x) e uma funcao polinomial de grau nde coeficientes inteiros em que nem todos sao divisıveis por p,entao a congruencia f (x) ≡ 0 (mod p) tem no maximo n solu-coes modulo p.
CorolarioSe p e um primo e d | p − 1, entao a congruencia
xd − 1 ≡ 0 (mod p)tem exatamente d solucoes modulo p.
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Teorema de Wilson
Teorema de WilsonSe p e primo, entao (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Demonstracao:
S = {0,1,2, . . . ,p − 1}
e um sistema completo de resıduos.
1 e p − 1 sao inversos modulo p de si proprios;os restantes elementos nao nulos podem agrupar-se empares de elementos distintos do tipo (a,a′) em que a einverso modulo p de a′.
Logo,
1 · 2 · · · · · (p − 1) ≡ 1 · (p − 1) (mod p)≡ (p − 1) (mod p)
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Teorema de Wilson
O recıproco do Teorema de Wilson tambem e valido:
Se (p − 1)! ≡ −1 (mod p), entao p e primo.
Proposicao
Se n e um composto e n > 1, entao
(n − 1)! ≡{
2 mod n se n = 40 mod n se n 6= 4
.
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Teorema de Wilson
Exercıcios1 Calcule o resto da divisao de
87! por 89;18! por 437;13!7! por 7.
2 Mostre que se p e um primo ımpar, entao
2(p − 3)! ≡ −1 (mod p).
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