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PEQ/COPPE/UFRJBruno F. Oechsler
Rio de Janeiro, 27 de setembro de 2012.
Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização do
Enxame de Partículas
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Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 2 / 13
1. Introdução e Objetivos
2. O Modelo Matemático de Lorenz
3. Formulação do Problema de Otimização
a. Determinação dos Expoentes de Lyapunov;
b. Caracterização do Espaço de Parâmetros;
4. Resultados
5. Conclusões e Próximas Etapas
Sumário
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Introdução e Objetivos
Limitações das técnicas clássicas de continuação paramétrica (AUTO, 2009):−Análise de bifurcações de órbitas periódicas (aproximações
polinomiais);
−Identificação de soluções dinâmicas caóticas (infinidade de órbitas
periódicas instáveis imersas);
Necessidade de desenvolvimento de métodos alternativos:−Análise de fenômenos dinâmicos via o cálculo dos expoentes de
Lyapunov ;
−Acoplamento com técnicas de otimização;
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O Modelo de Lorenz
Modelagem do movimento convectivo de camadas de fluido resultante de gradientes de temperatura:
yx
dt
dx
zxyxrdt
dy..
. .dz
z x ydt
Variáveis de estado:x é a intensidade do movimento do fluido;y e z estão relacionadas às variações de temperatura nas direções horizontal e vertical;
Parâmetros:, r σ e β estão relacionados com as propriedades do material e com a geometria da camada de fluido.
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Expoentes de Lyapunov
Diagnóstico e quantificação de fenômenos dinâmicos
0log
1lim 2
i
i
ti p
tp
t
2
10 0 1
1log
nk
kn k
d t
t t d t
Espectro para Sistemas Contínuos 3-D:(+,0,-) : um atrator estranho;(0,0,-) : um toro;(0,-,-) : um ciclo limite;(-,-,-) : um ponto fixo.
p1(0)
p2(0)x0
p1(t)
p2(t)x(t)
d0
d(t)
t
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Algoritmo de WOLF et al. (1985):−A evolução do centro da hiperesfera é acompanhada por uma
trajetória conhecida;
−Trajetórias de pontos na superfície da esfera são definidos pela ação
de equações linearizadas;
−Os eixos principais são definidos pela evolução das equações
linearizadas inicializadas por uma base de vetores ortonormais;
−Em sistemas caóticos, todo os vetores tendem para a direção de
maior crescimento (expoente de Lyapunov dominante);
−Reortonormalização de Gram-Schmidt para gerar uma nova base de
vetores alinhadas ao centro da esfera;
Expoentes de Lyapunov
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Formulação do problema de otimização:(i) Soluções Caóticas
(ii) Soluções Estacionárias
(iii) Soluções Periódicas
Sujeito a:
O Problema de Otimização
1
min , ,1
a cS a c
e
yxdt
dx
zxyxrdt
dy..
. .dz
z x ydt
dA
dt
fA
x
9,5 10,5
0 100 r
2 3
1
min , ,1 a c
S a ce
min , , 1S a c e
2
10 0 1
1log
nk
kn k
d t
t t d t
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Técnicas Numéricas Empregadas:−DASSL (integração numérica do sistema de equações diferenciais
ordinárias no domínio temporal);
−Otimização do Enxame de Partículas:
−Foram empregadas 20 partículas e 200 passos de otimização;
−Utilizou-se um fator de inércia w de 0,9 no início das iterações,
diminuindo-se este valor para 0,5 nas iterações finais;
−Utilizaram-se os valores de c1 e c2 equivalentes a 2,0.
O Problema de Otimização
1 1i i ip k p k k
1 1 2 21 ( ( )) ( )i i i i ik w k c r pbest k p k c r gbest k p k
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Mapeamento Global de Soluções Caóticas
Resultados
10,2590r 99,4306b2,6589
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Mapeamento Global de Soluções Periódicas
Resultados
9,78615r 92,72751b2,51869
,
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Mapeamento Global de Soluções Estacionárias
Resultados,
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Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização de Enxame de Partículas27/09/2012 12 / 13
Conclusões
− A metodologia mostrou-se eficiente no mapeamento de
fenômenos dinâmicos;
− A utilização de uma função objetivo contínua potencializa a
obtenção das regiões mais promissoras;
− A caracterização da trajetória dinâmica pelo expoente de
Lyapunov é uma estratégia rigorosa sob o ponto de vista
matemático;
− A possibilidade de quantificação dos fenômenos dinâmicos
permite a proposição de uma função objetivo contínua.
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Obrigado pela atenção...
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